2.3
DIFERENCIACIÓN
En la sección 2.1 consideramos algunos métodos para graficar funciones. Mediante solo estos métodos puede ser imposible calcular suficiente información para comprender incluso las características generales de una función complicada. Por el cálculo elemental sabemos que el concepto de derivada puede ser de mucha ayuda en esta tarea; por ejemplo, nos permite localizar máximos y mínimos, y calcular tasas de cambio. Intuitivamente ya sabemos, por nuestro trabajo con la sección 2.2, que una función continua no tiene la gráfica rota. Una función diferenciable de V # a V debe ser tal que su gráfica no este rota, pero además debe tener bien definido un plano tangente a la gráfica en cada punto. Así, no debe haber dobleces, esquinas
Figura 2.3.1
Gráfica suave.
Figura 2.3.2
Esta gráfica no es suave.
o picos en la gráfica (ver las figuras 2.3.1 y 2.3.2). En otras palabras, la gráfica debe ser suave.
Para precisar estas ideas necesitamos una definición sensata de lo que entendemos por "0 aB" ß Þ Þ Þ ß B8 b es diferenciable en x œ aB" ß Þ Þ Þ ß B8 b". En realidad esta definición no es tan sencilla, como pudiera pensarse. Para avanzar en esa dirección, introduzcamos el concepto de derivada parcial. Este concepto se basa en nuestro conocimiento del cálculo en una variable.
DEFINICIÓN Sean Y § V 8 un conjunto abierto y 0 À Y § V 8 Ä V una función con valores reales. Entonces `0 Î`B" ß Þ Þ ß `0 Î`B8 ß las derivadas parciales de 0 respecto a la primera,. segunda, Þ Þ Þ , 8-ésima variable son las funciones con valores reales, de 8 variables, las cuales, en el punto aB" ß Þ Þ Þ ß B8 b œ x, están definidas por `0 `B4 aB" ß Þ Þ Þ ß B8 b
0 aB" ß B# ß Þ Þ Þ ßB4 2ß Þ Þ Þ ß B8 b0 aB" ßÞ Þ Þ ßB8 b 2 2Ä!
œ lim
œ lim
2Ä!
0 ax2e4 b0 axb 2
si existen los límites, donde " Ÿ 4 Ÿ 8 y e4 es el 4-ésimo vector de la base usual, definido por e4 œ a!ß Þ Þ Þ ß "ß Þ Þ Þ ß !b, con el " en el 4-ésimo lugar (ver la sección 1.5). En otras palabras, `0 Î`B4 es simplemente la derivada de 0 respecto a la variable B4 , manteniendo las otras variables fijas. Si 0 À V $ Ä V , con frecuencia usaremos la notación `0 Î`Bß `0 Î`Cß y `0 Î`D en lugar de `0 Î`B" , `0 Î`B# ß y `0 Î`B$ Þ Si 0 À Y § V 8 Ä V 7 , entonces podemos escribir 0 aB" ß Þ Þ Þ ß B8 b œ a0" aB" ß Þ Þ Þ ß B8 bß Þ Þ Þ ß 07 aB" ß Þ Þ Þ ß B8 bbß de modo que podemos hablar de las derivadas parciales de cada componente; por ejemplo, `07 Î`B8 es la derivada parcial de la 7-ésima componente con respecto a B8 , la 8-ésima variable.
EJEMPLO 1
Si 0 aBß Cb œ B# C C$ , hallar `0 Î`B y `0 Î`C.
SOLUCIÓN Para hallar `0 Î`B mantenemos C constante (piénsenla como si fuera un número, digamos 1) y diferenciamos solo respecto a B; entonces `0 `B
œ
. aB# CC$ b .B
œ #BCÞ
De manera análoga, para hallar `0 Î`C mantenemos B constante y diferenciamos sólo respecto a C: `0 `C
œ
. aB# CC$ b .C
œ B# $C# Þ
Para indicar que una derivada parcial ha de evaluarse en algún punto particular, por ejemplo en aB! ß C! b, escribimos À `0 `B aB! ß C! b
o
`0 `B º BœB! ßCœC!
`0 `B º aB! ßC! b
o
Cuando escribamos D œ 0 aBß Cb para denotar la variable dependiente, con frecuencia escribiremos `DÎ`B en lugar de `0 Î`B. Estrictamente hablando, este es un abuso de notación, pero es una práctica común usar de manera indistinta estas dos notaciones. EJEMPLO 2 Si D œ -9= BC B -9= C œ 0 aBß Cb, a`DÎ`BbaB! ß C! b y a`DÎ`C baB! ß C! b. SOLUCIÓN
hallar
las
derivadas
parciales
Primero fijamos C! y diferenciamos respecto a B, obteniendo `D `B aB! ß C! b
œ
. a-9= BC! B -9= C! b .B
œ a C! =/8 BC! -9= C! b œ C! =/8 B! C! -9= C!Þ De manera análoga, fijamos B! y diferenciamos respecto a C para obtener `D `C aB! ß C! b
œ
. a-9= B! CB! -9B C b .C
DEFINICIÓN Sea 0 À V # Ä V . Decimos que 0 es diferenciable en aB! ß C! b, si `0 Î`B y `0 Î`C existen en aB! ß C! b y si `0 `0 0 aBßCb0 aB! ßC! b” `B aB! ßC! b•aBB! b” `C aB! ßC! b•aCC! b
maBßCbaB! ßC! bm
Ä!
Ð"Ñ
cuando aBß Cb Ä aB! ß C! b. Esta ecuación expresa el significado que damos cuando decimos que `0 0 aB! ß C! b ” `B aB! ß C! b•aB B! b ” `0 `C aB! ß C! b•aC C! b
es una buena aproximación a la función 0 . No siempre es fácil usar esta definición para saber si 0 es diferenciable, pero será fácil usar otro criterio dado en el teorema 9, mas adelante.
DEFINICIÓN Sea 0 À V # Ä V diferenciable en x! œ aB! ß C! b. El plano en V $ definido mediante la ecuación (1), `0 D œ 0 aB! ß C! b ” `B aB! ß C! b•aB B! b ” `0 `C aB! ß C! b•aC C! bß
Ð#Ñ
se llama plano tangente a la gráfica de 0 en el punto aB! ß C! b. EJEMPLO % a"ß !ß #b.
Calcular el plano tangente a la gráfica de D œ B# C% /BC en el punto
SOLUCIÓN Aquí usamos la formula (#), con B! œ ", C! œ !ß y D! œ 0 aB! ß C! b œ #. Las derivadas parciales son `D `B
œ #B C/BC y
`D `C
œ %C$ B/BC Þ
En a"ß !ß #b, son # y ", respectivamente. Asi, por la formula (#), el plano tangente es D œ #aB "b "aC !b #ß
i Þe Þ
D œ #B CÞ
Escribamos H0 aB! ß C! b para la matriz renglón `0 aB! ß C! b `0 ’ `B `C aB! ß C! b “ß
entonces, la definición de diferenciabilidad afirma que 0 aB! ß C! b H0 aB! ß C! b”
B B! C C! •
`0 œ 0 aB! ß C! b ” `B aB! ß C! b•aB B! b ” `0 `C aB! ß C! b•aC C! bß
Ð$Ñ
es nuestra buena aproximación a 0 cerca de aB! ß C! b.ÐComo antes, "buena" se toma en el sentido de que la expresión (3) difiere de 0 aBß Cb en alguna cantidad pequeña
multiplicada por ÉaB B! b# aC C! b# .Ñ Decimos que la expresión (3) es la mejor aproximación lineal a 0 cerca de aB! ß C! b. Ahora estamos preparados para dar una definición de diferenciabilidad para funciones 0 de V 8 a V 7 , usando el análisis anterior como motivación. La derivada H0 ax! b de 0 œ a0" ß Þ Þ Þ ß 07 b en un punto x! es una matriz con elementos >34 œ `03 Î`B4 evaluada en x! .
DEFINICIÓN Sean Y un conjunto abierto en V 8 y 0 À Y § V 8 Ä V 7 una función dada. Decimos que 0 es diferenciable en x! − Y si existen las derivadas parciales de 0 en x! y si m0 axb0 ax! bX axx! bm mxx! m BÄB!
limite
œ !ß
Ð%Ñ
donde X œ H0 ax! b es la matriz cuyos elementos matriciales son `03 Î`B4 evaluadas en x! y X ax x! b es el producto de X con x x! (considerado como an vector columna). Llamamos a X derivada de 0 en x! . Siempre denotaremos la derivada X de 0 en x! por H0 ax! b, aunque en algunos libros se denote .0 ax! b y se denomine diferencial de 0 . En el caso 7 œ ", la matriz T es precisamente la matriz renglón `0 `0 aB! b Þ Þ Þ `B aB! b “Þ ’ `B " 8
(A veces, cuando hay peligro de confusión, separamos los registros mediante comas.) Al hacer 8 œ # y colocar el resultado en la ecuación (4), vemos que las condiciones (2) y (4) coinciden. Así, si hacemos h œ x x! , una función 0 con valores reales, de 8 variables, es diferenciable en un punto x! si " 0 ax ! º hÄ! mhm
limite pues
`0 hb 0 ax! b ! `B ax! b24 º œ !ß 4 8
4œ"
`0 X h œ !24 `B ax! bÞ 4 8
4œ3
7
Para el caso general en que 0 manda a un subconjunto de V 8 a V , la derivada es la matriz de 7 x 8 dada por Ô `B" H0 ax! b œ Ö ã Õ `07 `0"
`B8
á á
× ã Ù `07 Ø `0" `B8
`B8
donde `03 Î`B4 está evaluada en x! . A H0 ax! b se le llama, de manera correcta, matriz de las derivadas parciales de 0 en x! .
EJEMPLO 5 Calcular las BC # 0 aBß Cb œ a/ Cß C Bb, B 0 aBß Cß D b œ aD/ ß C/D b.
matrices de derivadas parciales # 0 aBß Cb œ aB -9= Cß C/# b (b)
SOLUCIÓN (a) Aquí 0 À V # Ä V # esta definida 0# aBß Cb œ C# B. Entonces H0 aBß Cb es la matriz de # x # H0 aBß Cb œ ” (b)
/BC C#
por 0" aBß Cb œ /BC C y
/BC " Þ #BC •
=/8 C Þ /B •
#B C/B
Aquí H0 aBß Cb œ ”
DEFINICIÓN de " x 8:
(a) (c)
Tenemos H0 aBß Cb œ ”
(c)
para y
D/B !
/B Þ C/B •
! /B
Considerar el caso especial 0 À Y § V 8 Ä V . Aquí H0 axb es una matriz `0 H0 axb œ ’ `B "
`0 `B8
á
“Þ
Formamos el correspondiente vector a`0 Î`B" ß Þ Þ Þ ß `0 Î`B8 b, llamado el gradiente de 0 y denotado por grad 0 o f0 .
De la definición vemos que para 0 À V $ Ä V , f0 œ
`0 `B i
`0 `C j
`0 `D kß
mientras que para 0 À V # Ä V , f0 œ
`0 `B i
`0 `C jÞ
En términos de productos internos, podemos escribir la derivada de 0 como H0 axbahb œ f0 axb † h. EJEMPLO 6
Sea 0 À V $ Ä V , 0 aBß Cß D b œ B/C . Entonces
`0 `0 `0 grad 0 œ Š `B ß `C ß `D ‹ œ a/C ß B/C ß !bÞ
EJEMPLO (
Si 0 À V $ Ä V está dada por aBß Cb È /BC =/8 BC, entonces f0 aBß Cb œ aC/BC C -9= BCbi aB/BC B -9= BCbj œ a/BC -9= BCbaCi BjbÞ
En cálculo de una variable se muestra que si 0 es diferenciable entonces 0 es continua. En el teorema 8 enunciaremos que esto también se cumple para las funciones diferenciables de varias variables. Como sabemos, hay multitud de funciones que son continuas pero no diferenciables, como 0 aBb œ lBl. Antes de enunciar el resultado daremos el ejemplo de una función cuyas derivadas parciales existen en un punto pero que no es continua en ese punto.
EJEMPLO )
Sea 0 À V # Ä V definida por 0 aBß Cb œ œ
" si B œ ! o si C œ ! ! de no ser así
Como 0 es constante en los ejes B y C, donde es igual a ", `0 `B a!ß !b
œ!
Pero 0 no es continua en a!ß !b, pues limite
`0 `C a!ß !b
y
œ !.
0 aBß Cb no existe.
aBßCbÄa!ß!b
TEOREMA 8 en x! .
Sea 0 À Y § V 8 Ä V 7 diferenciable en x! − Y . Entonces 0 es continua
Como ya vimos, por lo general es fácil decir si existen las derivadas parciales de una función usando nuestro conocimiento de cálculo en una variable. Sin embargo, la definición de diferenciabilidad se ve algo más complicada, y la condición de aproximación requerida en la ecuación (4) parece difícil de verificar. Afortunadamente existe un criterio sencillo, dado en el siguiente teorema, que nos dice cuando una función es diferenciable.
TEOREMA 9 Sea 0 À Y § V 8 Ä V 7 . Supongamos que existen todas las derivadas parciales `03 Î`B4 de 0 y son continuas en una vecindad de un punto x − Y . Entonces 0 es diferenciable en x.
Una función cuyas parciales existan y sean continuas, se dice que es de clase G " . Así, el teorema 9 dice que cualquier función G " es diferenciable.
EJEMPLO *
Sea
0 aBß Cb œ
-9= B /BC B# C# Þ
Mostrar que 0 es diferenciable en todos los puntos aBß Cba!ß !b Á . SOLUCIÓN
Observar que las derivadas parciales `0 `B
œ
aB# C# baC/BC =/8 Bb#Ba-9= B /BC b aB# C# b#
`0 `C
œ
aB# C# bB/BC #Ca-9= B /BC b aB# C# b#
son continuas excepto cuando B œ ! y C œ ! (por los resultados en la sección 2.2).