GEOMETRÍA ANALÍTICA Fernando Miranda / Elías Irazoqui.
La Parábola. DEF. La Parábola es el conjunto T de puntos del plano que cumplen con: P(x, y) − T Í P(x,y) equidista de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Esto es : P(x, y) − T
Í .ÐP(x,yÑß J Ð:ß !ÑÑ œ .ÐP(x,y), directriz).
Graficamente la situación es la siguiente:
Obervaciones: 1. El vértice de la parábola es el punto medio del segemneto del eje desde el foco a la directri, en el dibujo el el vértice corresponde al punto: V(0,0).
2. El segmento A1 A se llama lado recto ( latus rectum), su longitud es: 4p.
Teorema 1. La ecuación de la parábola con foco F(p,0) y directriz x=p es: C # œ %:B Ð"Ñ Demostración. Sea P(x,y) cualquier punto de la parábola, entonces: . ÐT ß J Ñ œ .ÐT ß UÑ
È ÐB :Ñ# C # œ È ÐB :Ñ# ÐC CÑ# ÐB :Ñ# C # œ ÐB :Ñ# C # œ %:BÞ Obs. 1. Si : !ß la parábola se abre hacia la derecha. 2. Si : !ß la parábola de abre hacia la izquierda.
Teorema 2. La ecuación de la parábola con foco F(0,p) y directriz y= -p es: B# œ %:C Ð#Ñ Demostración. Ejercicio. Obs. 1. Si : !ß la parábola se abre hacia arriba.. 2. Si : !ß la parábola de abre hacia abajo.
Teorema 3. La ecuación de la parábola de vértice V(h,k)ß con eje paralelo al eje X y foco: F(h+p, k) es: ÐC 5Ñ# œ %:ÐB 2Ñ
Ð$Ñ
Demostración. P(x,y) − T ß si y sólo si, .ÐT ß J Ñ œ .ÐT ß UÑ esto es, ÐB Ð2 :ÑÑ# ÐC 5Ñ# œ ÐB Ð2 :ÑÑ#
ÐC 5Ñ# œ %:ÐB 2Ñ Teorema 4. La ecuación de la parábola de vértice V(h,k)ß con eje paralelo al eje Y y foco: F(h, k+p) es: ÐB 2Ñ# œ %:ÐC 5Ñ
Ð%Ñ
Demostración. Ejercicio. Obs. Las ecuaciones (1). (2), (3) y (4) reciben el nombre de ecuaciones canónicas de la parábola. Si se desarrollan sus expresiones algebraicas toman la forma: B œ +C # ,C ó C œ +B# ,B -Þ