SISSEJUHATUS Matemaatika on üks väheseid õppeaineid, millele peaaegu igaüks mõtleb tagasi segaste ning muserdavate tunnetega. Kõige hullem on see, et kindlasti oli klassis üks õpilane, kes lahendas ülesandeid silmagi pilgutamata ning lisas sellega veel pingeid. Kui kohustuslikud riigieksamid on kaelast ära, siis lükkavad paljud matemaatika kuhugi kaugele mälusoppi ja loodavad, et ei kuule enam kunagi fraase nagu „pikk jagamine“, „negatiivne korrelatsioon” või – õuduste õudus – „ruutvõrrandid“. Kindlasti ei tahaks keegi enam olla kohustatud x-i väärtust leidma. Kui matemaatikat tutvustatakse hüpoteetiliste kolmnurkade ja mõttetu tõenäosusena (nagu ei oleks inimesel midagi paremat teha kui 100 korda täringut veeretada), võib ainest kergelt jääda mulje kui päriselus täielikult kasutust. Aga matemaatikaõpetajana olen võtnud endale ülesandeks lisaks reeglitele õpetada selgeks ka matemaatika tõelise eesmärgi. Olgu selleks nooleviskemängu punktide arvestamine või pilvelõhkuja ehitamine, matemaatikal on tõepoolest eesmärk. Matemaatika on järjepidev, loogiline ja vahel filosoofiline. Mõni võib öelda, et isegi ilus. Matemaatika on keel, mida teadlased kasutavad meie füüsilise universumi kirjeldamiseks ja avastamiseks. Matemaatika
11
u
on loogikat kasutav probleemilahendusviis, mistõttu eelistavad tööandjad palgata hea matemaatikaoskusega töötajaid. Matemaatika on kasulik – peaaegu iga tänapäevane koht või ese, alates rongijaamast ning lõpetades mobiiltelefoniga, töötab matemaatikast juhinduvatel põhimõtetel. Minu eesmärk selle raamatu kirjutamisel on alustada baasteadmistega ja iga teema järk-järgult läbi töötada, et see ka päriselt selgeks saaks. Enamiku ajast pigem tuletan meelde kui õpetan midagi täiesti uut. Loodan, et mida kaugemale raamatus jõuad, seda enam hakkad end tundma selle klassi ees oleva matanohikuna: võimelisena instinktiivselt matemaatikat praktilistes olukordades kasutama. Seega, kui loed seda raamatut, aitamaks oma poega või tütart matemaatikakodutöös, või oled lihtsalt otsustanud, et matemaatika ei saa ju nii ilmvõimatu olla, loodan siiralt, et õpid matemaatikat armastama ja jagad seda rahuldust, mis ei tule pelgalt õige vastuse saamisest, vaid ka oskusest seda vastust tõestada.
12
u
ARITMEETIKA Aritmeetika on lihtne igapäevane numbrite kasutamine. Iga kord, kui loendad tööpäeva lõpuni jäänud tunde ja minuteid, loed üle vahetusraha või arvutad süüdlaslikult kokku, mitu ühikut alkoholi sel nädalal tarbinud oled, teed aritmeetikat. Matemaatikutele on aritmeetika tehe, milles on üks või enam arve. Neid tehteid kutsutakse lihtsamalt liitmiseks, lahutamiseks, korrutamiseks ja jagamiseks ning aritmeetika jaguneb tervikuna kaheks: asjad, mida saad arvutada peast või sõrmedel – vaimne aritmeetika –, ja asjad, mida teed paberil koolis kalkulaatori abil ning mida kutsume paberil aritmeetikaks.
KÜMME ARVU
Võid end väga õnnelikuks pidada, et keegi tuli kunagi kümne numbri – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 – ehk kümnendsüsteemi peale. Miks kümme? Kui palju sõrmi ma üleval hoian?
13
u
Õpitud, aga ununenud matemaatika
Kuna meil on kümme sõrme või arvu (ahaa!) tähendab, et inimestena, kes õppisid arvutama ja algelist aritmeetikat tegema sõrmedel, oleme kõige õnnelikumad, kui mõtleme numbritele kümnetena. Varem kasutatud Rooma numbrid on paberil aritmeetika jaoks täiesti kasutud. Välja arvutada, mis aastal teie lemmikkostüümidraama lavastati, on niigi raske, kujutage siis veel ette pikka jagamist nende numbritega?
VAIMNE ARITMEETIKA Oskuslik vaimne aritmeetika vajab harjutamist. Mitte sellist, et istud maha ja teed mõnda aega vaimset aritmeetikat. Meil kõigil on paremaidki asju teha. Vaimne aritmeetika on praktiline matemaatika, mida tehakse iga päev, ilma seda taipamatagi: kui palju on minu osa arvest? Kui kaua on veel järgmist rongi oodata? Kui palju tööle hiljaks jään, kui sellele ei jõua? Meil kõigil on arvestatavad vaimse aritmeetika oskused, mis puudutab otsest liitmist või lahutamist. Milles me vähem mõistuspärasemad oleme, on korrutamine ja jagamine, mis on sama mündi teine pool.
14
u
ARITMEETIKA
Korrutustabeli nipid ja trikid Kui sõna „korrutustabel“, eriti kasutatuna koos sõnaga „tunnikontroll“, kutsub sinus esile piinlikkust tekitanud õudusunenäolisi mälestusi kooliajast, siis ei ole sa üksi. Kahjuks pole meie korrutamise ja jagamise paberimeetoditest (lk 20–32) kasu numbritega, mis on väiksemad kui 10, seega on ainus võimalus see paganlik korrutustabel pähe õppida. Baastabelis on 144 õpitavat asja, mis tundub pigem liialdatud. Ent kui kustutame kõik kordused (5 x 3 on sama, mis 3 x 5) ning eeldame, et ühega korrutamisel oled üsna osav (st oskad arvutada), siis jääb järele see: _
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
16
20
24
28
32
36
40
44
48
25
30
35
40
45
50
55
60
36
42
48
54
60
66
72
49
56
63
70
77
84
64
72
80
88
96
81
90
99
108
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
100 110 120
11
121 132
12
144
15
u
Õpitud, aga ununenud matemaatika
See jätab meile õppimiseks vaid 66 asja, vähem kui poole tabelist. Ja olgem ausad: kui noolemängijad on vaimses aritmeetikas head, saad ka sina hakkama. 2-ga korrutamise tabelis lihtsalt kahekordista number. Seega on 2 x 8 topelt 8, mis on 16. 4-ga korrutamise tabeli jaoks kahekordista number kaks korda. Seega on 4 x 8 topelt kahekordistatud 8, mis on topelt 16, mis on 32. 8-ga korrutamise tabeli jaoks kahekordista arv kolm korda. Seega on 8 x 8 topelt topelt 8, mis on topelt topelt 16, mis on topelt 32, mis on 64. 10-ga korrutamise tabeli jaoks lisa 0. Seega 2 x 10 on 2 ja lõppu lisatud 0 – 20. 5-ga korrutamise tabeli jaoks korruta 10-ga ja poolita tulemus. Seega 6 x 5 on pool 6 x 10-st (60), mis on 30. 11-ga korrutamise tabeli jaoks lihtsalt korda arvu, mida korrutad. Näiteks 8 x 11 on 88 ja 4 x 11 on 44. See töötab ainult kuni 9 x 11 (99), aga sa tead juba nagunii, et 10 x 11 on 11, millel 0 lõpus ehk – 110, seega pead pähe õppima ainult 11 x 11 = 121 ja 12 x 11=132 ja nii jääbki kõik meelde. 16
u
ARITMEETIKA
9-ga korrutamise tabeli jaoks hoia käsi välja- sirutatud sõrmedega enda ees. Alustades vasakult, painuta sõrm, mis vastab vajaminevate üheksate arvule. Näiteks 4 x 9 jaoks hoiad all neljandat sõrme vasakult, mis on vasaku käe nimetissõrm.
Seega jääb vasakule kolm sõrme ja kuus paremale,
mis ütleb, et 4 x 9 = 36. 8 x 9 jaoks painutaksid parema käe keskmist sõrme ja saaksid vastuseks 8 x 9 = 72. See töötab ainult kuni korrutiseni 10 x 9, aga ülal on trikk 11 x 9 (99) jaoks, seega pead meeles pidama vaid 12 x 9 = 108.
17
u
Õpitud, aga ununenud matemaatika
PABERIL ARITMEETIKA Liitmine ja lahutamine on üsna ühemõttelised ega vaja pikemalt peatumist. Igas vanuses inimestele võivad aga vempu mängida hoopis korrutamine ja jagamine, eriti “pikkade” tehete korral…
ÜLEKANDMINE JA LAENAMINE
Liitmise ja lahutamise puhul kasutame tavaliselt tulparitmeetikat. See tähendab, et reastame kõik tulbad (ühelised, kümnelised, sajalised jne.) ja teostame kordamööda tehted igas tulbas, alustades ühelistest, saame all vastuse ja seejärel liigume vasakule. Aga mis saab, kui ühe tulba arvutus on 10 või enam? Kuhu läheb üleliigne arv? Siin tuleb appi ülekandmine. Kümnendsüsteemi rõõm – justnimelt, rõõm! – on, et kui jääte 10 või enama tulbaga, saate lihtsalt 1 vasakul olevale tulbale lisada, sest 10 üksust on 1 kümneline ja 10 kümnelist on 1 sajaline jne. Kui meie ühikute tulp lõppeb kümnega, siis lihtsalt liigutame – või liidame – selle kümneliste tulpa.
18
u
ARITMEETIKA
Kui veel koolis käisin, tähistati ülekandmist väikeste numbritega, mis pandi tihti alla vastuse lähedusse. See võib aga parasjagu segadust tekitada, seega soovitan ülekande kirja panna summa kohale. Võtame näiteks 189 + 93, kus teil on 9 + 3 = 12 ja 1 + 8 + 9 = 18; vastavalt peate lisama kaks 1-e: 1 1 1 8 9 + 9 3 2 8 2 Laenamine on põhimõtteliselt vastupidine tegevus, seda tehakse lahutamisena, kui algusnumber on väiksem kui lahutamist ootav arv. Võtame näiteks 485 – 327. Esimene arvutus annab 5 – 7 = –2, asjad aga muutuvad kiirelt pirnikujuliseks, kui hakkan numbri keskele negatiivseid arve panema. Mida saan teha summa loogiliseks muutmiseks, on laenata 10 kümneliste tulbast, et muuta 5 arvuks 15. 5 naabrilt 10 äravõtmine, 8, on lihtsam, kui tundub, sest 8 on kümnendike tulbas ja tegelikult on selle väärtus 80. (kaotab 10 ja sellest saab 7, 5 võtab 10, et sellest saaks 15, ja summa on äkitselt palju hallatavam: 4 7\8 15 -3 2 7 1 5 8
19
u