Identidades trigonometricas

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1) Simplifique as expressões ao máximo. a)

sen 2 x 2 3 sen x ⋅cos x  sen x

b)

cos x − cos x ⋅ sen 2 x cos 3 x  sen 2 x ⋅ cos x

c)

tg x − sen x 2 2 4 sen x ⋅cos x  sen x

2

2

2) Verifique as identidades trigonométricas. a)

sen 2 x = sen x cos x ⋅tg x

b)

 sen2 x ⋅cos 3 x  = cos7 x 2 2  sec x ⋅tg x 

c)

cotg 2 x = sen 3 x ⋅cos x 5 cossec x ⋅cos x 

d)

sen 2 x cos x = 2 3 1 − cos x  ⋅tg x sen5 x

e)

cotg 2 x  1 sen x = 5 2 cossec x ⋅cos x ⋅1 − cos x  cos x 1  cossec x ⋅1  cos x é igual a: cossec x ⋅1  cos x 

3) (UA-AM) A expressão a)

2sen x

b)

2cos x

c)

2cossec x

d)

2tg x

e)

2sec x

e)

cotg x

2

4) (UF-PA) Qual das expressões abaixo é idêntica a a)

sen x

b)

5) (UFBA) As expressões

tg x

PROF.: LIMA

b)

2

c)

1 − tg 4 x E1 = cos 4 x − sen 4 x

x ∈ℝ , tal que

6) (UA-AM) Para todo a)

cos x

2

sen x − cos x

1 − sen x ? cotg x ⋅ sen x tg x

e

d)

E2 =

cossec x

1 cos 4 x

sen x ≠ cos x , a expressão c) 1

d)

são equivalentes. Justifique.

sen 3 x − cos 3 x sen x − cos x

1  sen x ⋅ cos x

e)

é idêntica a:

 sen x  cos x2

RESPOSTAS

1) a) sen x b) cos2 x c) tg2 x

2) a) sen x b) cos7 x c) sen3 x . cos x cos x 5 d) sen x sen x e) cos x

3) C

4) B

5) Sim. E1 = E2

6) D

PROF.: LIMA

RESOLUÇÃO 1) Simplifique as expressões ao máximo.

Resolução. Utilizando a fatoração e relações trigonométricas, temos:

sen 2 x 2 3 sen x ⋅cos x  sen x

a)

Fatorando-se o denominador colocando-se em evidência sen x, teremos: sen x . cos2x + sen3 x = sen x(cos2 x + sen2 x)

sen 2 x sen 2 x = sen x ⋅cos 2 x  sen3 x sen x ⋅cos2 x  sen 2 x Aplicando-se a lei fundamental da trigonometria no denominador fatorado e efetuando-se a substituição, teremos: sen2 x + cos2 x = 1, logo: cos2 x + sen2 x = 1

=

sen2 x sen 2 x = sen x ⋅cos 2 x  sen 2 x  sen x ⋅1

Efetuando-se a simplificação, dividindo-se o numerador e o denominador por sen x, teremos:

=

sen 2 x sen 2 x = = sen x sen x ⋅ 1 sen x ⋅1

sen 2 x = sen x sen x ⋅cos 2 x  sen3 x



cos x − cos x ⋅ sen 2 x cos 3 x  sen 2 x ⋅ cos x

b)

Fatorando-se o denominador colocando-se em evidência cos x, teremos: cos3 x + sen2 x . cos x = cos x (cos2 x + sen2 x)

cos x − cos x ⋅ sen 2 x cos x ⋅1 − sen2 x  = = cos 3 x  sen 2 x ⋅ cos x cos⋅cos 2 x  sen2 x  Aplicando-se a lei fundamental da trigonometria no denominador fatorado e efetuando-se a substituição, teremos: sen2 x + cos2 x = 1, logo: cos2 x + sen2 x = 1

=

cos x ⋅1 − sen2 x  cos x ⋅ cos2 x  = = 2 2 cos x ⋅ 1 cos ⋅cos x  sen x 

Efetuando-se a multiplicação no numerador aplicando-se a propriedade da potenciação (produto de uma potência de mesma bases), repetimos a base e somamos os expoentes, assim teremos: cos x . cos2 x = cos 1 + 2 = cos3 x, substituindo o resultado no numerador teremos:

=

cos x ⋅cos 2 x  cos 3 x = = cos x ⋅1 cos x

Efetuando-se a simplificação, dividindo-se o numerador e o denominador por cos x, teremos:

(

)

(

)

cos x − cos xsen 2 x cos x 1 − sen 2 x cos x cos 2 x cos 3 x = = = = cos 2 x 3 2 2 2 cos x(1) cos x cos x + sen x cos x cos x cos x + sen x

(

=

cos 3 x cos 3 x = = cos 2 x cos x cos x

PROF.: LIMA



)

cos x − cos x ⋅ sen 2 x = cos 2 x 3 2 cos x  sen x ⋅ cos x

tg 2 x − sen2 x sen 2 x ⋅cos 2 x  sen 4 x

c)

Aplicando-se a relação fundamental

tg 2 x =

2

sen x 2 cos x

no numerador e fatorando-se o denominador

colocando em evidência sen2.x → sen2.x . cos2x + sen4 x = sen2.x (cos2 x + sen2 x); efetuando-se as substituições, teremos:

sen 2 x − sen 2 x 2 2 2 tg x − sen x cos x = = 2 2 4 2 sen x ⋅cos x  sen x sen x ⋅cos 2 x  sen2 x  No numerador vamos aplicar o m.m.c e no denominador a lei fundamental da trigonometria,. e efetuando-se as substituições, teremos: sen2 x + cos2 x = 1, logo: cos2 x + sen2 x = 1 2

2

2

2

2

2

sen x sen x sen x  sen x ⋅1  sen x ⋅cos x  − sen 2 x − − 2 2 2 2 2 cos x cos x /1 1 /cos x cos x cos x = = = = sen 2 x ⋅cos 2 x  sen 2 x  sen 2 x ⋅ 1 sen 2 x sen 2 x −  sen 2 x ⋅ cos2 x  sen 2 x − sen 2 x ⋅cos 2 x cos 2 x cos 2 x = = = sen 2 x sen 2 x Fatorando-se agora o numerador colocando em evidência sen2.x e substituindo, teremos: sen2.x - cos2x . sen2.x = sen2.x (1 - cos2 x)

sen 2 x −  sen 2 x ⋅ cos2 x  sen 2 x 1 − cos2 x  2 2 cos x cos x = = = sen 2 x sen 2 x Aplicando-se a lei fundamental da trigonometria no numerador fatorado e efetuando-se a substituição, teremos: sen2 x + cos2 x = 1 → sen2 x = 1 - cos2 x, logo: 1 - cos2 x = sen2 x

sen 2 x 1 − cos 2 x  sen 2 x sen 2 x  cos 2 x cos 2 x = = = sen 2 x sen 2 x Efetuando-se a multiplicação no numerador aplicando a propriedade da potenciação (produto de uma potência de mesma base), repetimos a base e somamos os expoentes, efetuando-se a divisão (repetimos a primeira fração trocamos a operação de divisão para multiplicação e invertemos a segunda fração), teremos: 2

2

4

sen x 1 − cos x  sen x 2 cos x cos 2 x sen 4 x 1 = = = ⋅ = 2 2 2 sen x sen x cos x sen 2 x Efetuando-se a simplificação entre o numerador da primeira fração e o denominador da segunda fração dividindo-se ambos os termos por sen2.x e substituindo, teremos:

=

sen 4 x 1 sen 4 x /sen 2 x 1 sen2 x ⋅ = ⋅ = cos 2 x sen 2 x cos 2 x sen2 x cos 2 x

2 Aplicando-se novamente a relação trigonométrica tg x =

PROF.: LIMA

2

sen x e substituindo, teremos: 2 cos x

2

=

sen x = tg 2 x 2 cos x

2

2

tg x − sen x = tg 2 x 2 2 4 sen x ⋅cos x  sen x



2) Verifique as identidades trigonométricas.

Solução. Utilizando a fatoração desenvolvemos o 1º membro até encontrar a expressão do 2º membro.

2

sen x = sen x cos x ⋅tg x

a)

Aplicando-se a relação

sen2 x = cos x ⋅ tg x

tg x =

sen x e efetuando-se a substituição no denominador, teremos: cos x

sen 2 x = sen x cos x ⋅ cos x

Simplificando-se o denominador dividindo os termos da fração, por cos x, teremos:

=

sen 2 x sen2 x sen 2 x = = sen x sen x sen x cos x ⋅ cos x ⋅ cos x cos x 2

Simplificando o numerador dividindo-se os termos por sen x, teremos:

=

2

sen x sen x = = sen x sen x sen x

 sen2 x ⋅cos 3 x  7 = cos x 2 2  sec x ⋅tg x 

b)

Aplicando-se as relações

denominador, teremos:

tg 2 x =

sen 2 x ; cos 2 x

 sen2 x ⋅cos 3 x =  sec2 x ⋅tg 2 x 

sec 2 x =

1 cos 2 x

e efetuando as substituições no

 sen2 x ⋅cos 3 x = 1 sen2 x  ⋅  cos 2 x cos 2 x

Efetuamos a multiplicação do denominador fazendo a multiplicação do numerador com numerador e denominador com denominador, sendo que na segunda aplicamos a propriedade da potenciação (produto de uma potência de mesma base), repetimos a base e somamos os expoentes, assim teremos: cos2 x . cos2 x = cos 2 + 2 = cos4 x, substituindo o resultado no numerador teremos:

 sen2 x ⋅cos 3 x  sen 2 x ⋅ cos3 x   sen 2 x⋅cos 3 x = = =  sec 2 x ⋅tg 2 x  1⋅ sen 2 x sen 2 x cos 4 x cos 4 x Efetuamos a divisão de uma fração, repetindo a primeira fração, trocamos a operação que passa a ser uma multiplicação e invertemos os termos da segunda fração, assim teremos: 2

=

3

4

 sen x⋅cos x cos x =  sen 2 x ⋅cos 3 x ⋅ = 2 sen x sen 2 x cos 4 x

Simplificamos dividindo-se os termos por sen2.x e aplicamos a propriedade da potenciação (produto de uma potência de mesma base), repetimos a base e somamos os expoentes, assim teremos: cos3 x . cos4 x = cos 3 + 4 = cos7 x, substituindo o resultado no numerador teremos:

PROF.: LIMA

= sen 2 x ⋅cos 3 x ⋅

cos 4 x cos 4 x 2 3 =  sen x ⋅cos x ⋅ = cos 3 x ⋅ cos 4 x = cos7 x 2 2 sen x sen x

cotg 2 x = sen 3 x ⋅cos x 5 cossec x ⋅cos x 

c)

Aplicando as relações

cotg 2 x =

2

cos x ; 2 sen x

5

cossec x =

1 sen 5 x

e efetuando as substituições,

teremos:

cotg 2 x = cossec5 x ⋅cos x  

cos 2 x sen 2 x 1 ⋅ cos x  sen 5 x

=

Sabemos que a operação do denominador resultará em

cos x sen 5 x

, assim efetuaremos direto a divisão de

uma fração, repetindo-se a primeira fração, trocando-se a operação que passa a ser uma multiplicação e invertendo-se os termos da segunda fração, assim teremos:

cos2 x sen 2 x cos2 x sen 5 x = = ⋅ = cos x sen 2 x cos x sen 5 x Simplificamos dividindo-se os termos por sen2.x e aplicamos a propriedade da potenciação (divisão de potência de mesma base), repetimos a base e subtraímos os expoentes, assim teremos: sen5 x : sen2 x = sen

5-2

= sen3 x, substituímos o resultado; simplificamos novamente dividindo-se os termos

por cos.x e aplicamos a propriedade da potenciação (divisão de potência de mesma base), repetimos a base e subtraímos os expoentes, assim teremos: cos2 x : cos x = cos 2 - 1 = cos x, substituindo ambos os resultados, teremos:

cos 2 x sen 5 x cos 2 x sen 5/ 3 x = ⋅ = ⋅ = sen 3 x ⋅cos x 2 2 cos x sen x cos x sen x sen 2 x cos x = 2 3 1 − cos x  ⋅tg x sen5 x

d)

Aplicando a relação fundamental da trigonometria e a relação

tg x =

sen x , substituindo, teremos: cos x

sen2 x + cos2 x = 1 → sen2 x = 1 - cos2 x → 1 - cos2 x = sen2 x 2

2

sen x sen x = = 2 3 1 − cos x  ⋅tg x  sen 2 x 3 ⋅ sen x cos x Resolvemos (sen2 x)3 aplicando a propriedade da potenciação (potência de potência) multiplicando-se os expoentes, logo: (sen2 x)3 = sen2 . 3 x = sen6 x, efetuando a substituição teremos:

=

sen 2 x sen 2 x = = sen x sen x 2⋅3 6  sen x ⋅  sen x⋅ cos x cos x

PROF.: LIMA

Efetuamos a multiplicação do denominador; fazendo a multiplicação do numerador com numerador e denominador com denominador, sendo que na segunda aplicamos a propriedade da potenciação (produto de potência de mesma base), repetimos a base e somamos os expoentes, assim teremos: sen6 x . sen x = sen 6 + 1 x = sen7 x, substituindo o resultado no numerador teremos:

sen 2 x sen2 x = = = sen x sen7 x  sen 2⋅3 x ⋅ cos x cos x Efetuamos a divisão de uma fração por fração, repetindo a primeira fração, trocando-se a operação que passa a ser uma multiplicação e invertendo-se os termos da segunda fração, assim teremos:

=

sen 2 x cos x = sen2 x ⋅ = 7 sen x sen 7 x cos x

Simplificamos dividindo-se ambos os termos por sen2.x, assim teremos: 2

= sen x ⋅

cos x cos x cos x 2 = = sen x ⋅ == 7 5 sen x sen x sen 5 x 2

cotg x  1 sen x = 5 2 cossec x ⋅cos x ⋅1 − cos x  cos x

e)

Aplicaremos as seguintes relações trigonométricas e efetuaremos em seguidas as devidas substituições:

cossec 2 x = cotg 2  1 2 2 sen x  cos = 1 →

2

sen x = 1 − cos

2

cotg 2 x  1 cossec 2 x = = cossec5 x ⋅cos x ⋅1 − cos 2 x  cossec5 x⋅cos x ⋅ sen 2 x  Simplificamos dividindo-se os termos por cossec2.x, assim teremos: =

cossec 2 x  cossec 2 x /1 1 = = = 5 2 5/ 3 2 3 cossec x ⋅cos x ⋅sen x  cossec x ⋅cos x ⋅sen x  cossec x⋅cos x⋅sen 2 x

cossec 3 x = Aplicaremos a relações trigonométricas

1 3 sen x efetuando a substituição e depois efetuamos a

multiplicação.

=

1 = cossec x ⋅cos x ⋅ sen 2 x   3

1 1 ⋅cos x ⋅sen 2 x  3 sen x

=

1 = cos x⋅ sen 2 x sen 3 x

Simplificando o denominador, teremos:

=

1 1 1 1 = = = = 2 2 cos x⋅1 cos x cos x⋅ sen x  cos x⋅ sen x /1 sen x sen x sen3 x sen3 x

Efetuamos a divisão de uma fração por fração, repetindo a primeira fração, trocando-se a operação que passa a ser uma multiplicação e invertendo-se os termos da segunda fração, assim teremos:

=

1 sen x sen x = 1⋅ = cos x cos x cos x sen x

PROF.: LIMA

3) (UA-AM) A expressão

1  cossec x ⋅1  cos x é igual a: cossec x ⋅1  cos x 

Solução. Desenvolvendo e escrevendo a cossecante em função do seno ( Aplicaremos a seguinte relação trigonométrica

cossec x =

cossec x =

1 sen x ), temos:

1 sen x e efetuaremos em seguidas as devidas

substituições:

1  cossec x ⋅1  cos x = cossec x ⋅1  cos x 

1 

1 ⋅1  cos x  sen x



1 ⋅1  cos x  sen x

Efetuando a multiplicação no denominador, teremos:.

1

= 

1 ⋅1  cos x  sen x



1 1 1  cos x ⋅1  cos x =  = sen x 1  cos x sen x   sen x

Na primeira parcela vamos efetuar a divisão de fração por fração, repetindo a primeira fração, trocando-se a operação que passa a ser uma multiplicação e invertendo-se os termos da segunda fração, assim teremos:

=

1 1  cos x sen x 1  cos x sen x 1  cos x   = 1⋅   =  = 1  cos x sen x 1  cos x sen x 1  cos x sen x   sen x

Soma de frações com denominadores diferentes temos que tirar o m.m.c (m.m.c = (1 + cos x) . sen x), o m.m.c será o novo denominador; dividimos o novo denominador pelo antigo e multiplicamos o resultado pelo numerador, efetuando a substituição teremos:

=

sen x 1  cos x sen x 1  cos x   =  = 1  cos x sen x 1  cos x / sen x sen x /1  cos x

=

1  cos x ⋅1  cos x  sen x 1  cos x sen x ⋅ sen x  =  = 1  cos x / sen x sen x /1  cos x 1  cos x⋅ sen x 1  cos x ⋅ sen x

2 1  cos x ⋅1  cos x  1  cos x  2 sen x ⋅ sen x sen x =  =  = 1  cos x ⋅sen x 1  cos x⋅sen x  1  cos x ⋅sen x  1  cos x ⋅sen x

=

2 1  cos x 2 sen2 x  1  cos x 2 sen x  = = 1  cos x ⋅ sen x  1  cos x⋅sen x  1  cos x ⋅ sen x 

Em seguida desenvolvemos (1 +. cos x) 2 = 12 + 2 . 1 . cos x + cos 2 x = 1 + 2 cos x + cos 2 x, efetuando a substituição teremos: =

sen2 x  1  cos x 2 sen2 x  1  2 cos x  cos2 x = = 1  cos x ⋅ sen x  1  cos x ⋅ sen x 

Percebemos que temos que aplicar a relação fundamental da trigonometria no numerador, e substituindo sen 2 x + cos2 x = 1, termos: =

sen2 x  1  2 cos x  cos 2 x 1  1  2 cos x 2  2 cos x = = = 1  cos x ⋅sen x 1  cos x ⋅sen x  1  cos x ⋅ sen x 

Fatorando o numerador, colocando 2 em evidência, teremos: =

21  cos x  2  2 cos x = = 1  cos x ⋅sen x  1  cos x ⋅sen x

PROF.: LIMA

Efetuando a simplificação, teremos: =

2 1  cos x  2 = 1  cos x ⋅ sen x  sen x

cossec x =

Aplicando a relação trigonométrica =

1 sen x substituindo, teremos:

2 1 = 2⋅ = 2⋅ cossec x sen x sen x

1  cossec x ⋅1  cos x = 2⋅ cossec x cossec x ⋅1  cos x  4) (UF-PA) Qual das expressões abaixo é idêntica a

1 − sen 2 x ? cotg x ⋅ sen x

Solução.

Aplicando a relação fundamental da trigonometria no numerador, sen 2 x + cos2 x = 1 → cos2 x = 1 - sen2 x, e a relação

cotg x =

cos x sen x no denominador e efetuando as substituições, teremos:

1 − sen 2 x cos 2 x = = cotg x ⋅ sen x cos x ⋅ sen x sen x Simplificando, teremos: 2

2

2

cos x cos x cos x = = = = cos x cos x cos x ⋅ sen x sen x sen x sen x Simplificando novamente, teremos:

=

cos 2 x cos 2 x = = cos x cos x cos x 4

5) (UFBA) As expressões

E1 =

1 − tg x 4 4 cos x − sen x

e

E2 =

1 cos 4 x

são equivalentes. Justifique.

Solução. Para a verificação, desenvolve-se E1 até que obter a igual em E2. Utilizando a fatoração, temos:

Aplicando-se a relação trigonométrica:

tg 4 x =

sen 4 x cos 4 x e em seguida efetua-se a operação do numerador

utilizando o m.m.c

sen 4 x cos 4 x − sen 4 x 1− 1 − tg 4 x cos 4 x cos 4 x E1 = = = cos 4 x − sen 4 x cos 4 x − sen 4 x cos 4 x − sen 4 x

=

Efetuando-se a divisão de fração por fração, já vimos como se procede.

=

cos4 x − sen 4 x 1 ⋅ = 4 4 cos x cos x − sen 4 x

Efetuando-se a simplificação:

=

cos4 x − sen 4 x 1 cos 4 x − sen 4 x 1 1 → E1 = E 2 ⋅ = ⋅ = 4 4 4 4 4 4 cos x cos x − sen x cos x cos x − sen x cos 4 x

PROF.: LIMA

6) (UA-AM) Para todo

x ∈ℝ , tal que

sen 3 x − cos 3 x é idêntica a: sen x − cos x

sen x ≠ cos x , a expressão

Solução.

Utilizar a fatoração do tipo: 3

3

3

2

2

a − b = a − b⋅a  ab  b 

3

2

2

sen x − cos x  sen x − cos x ⋅ sen x  sen x cos x  cos x = = sen x − cos x sen x − cos x Simplificando:

=

 sen x − cos x⋅ sen 2 x  sen x cos x  cos 2 x  = sen 2 x  sen x cos x  cos 2 x = sen x − cos x

Aplicando a relação fundamental da trigonometria: sen 2 x + cos2 x = 1

= sen 2 x  sen x cos x  cos 2 x = 1  sen x cos x sen 3 x − cos 3 x = 1  sen x cos x sen x − cos x

PROF.: LIMA