IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1) Simplifique as expressões ao máximo. a)
sen 2 x 2 3 sen x ⋅cos x sen x
b)
cos x − cos x ⋅ sen 2 x cos 3 x sen 2 x ⋅ cos x
c)
tg x − sen x 2 2 4 sen x ⋅cos x sen x
2
2
2) Verifique as identidades trigonométricas. a)
sen 2 x = sen x cos x ⋅tg x
b)
sen2 x ⋅cos 3 x = cos7 x 2 2 sec x ⋅tg x
c)
cotg 2 x = sen 3 x ⋅cos x 5 cossec x ⋅cos x
d)
sen 2 x cos x = 2 3 1 − cos x ⋅tg x sen5 x
e)
cotg 2 x 1 sen x = 5 2 cossec x ⋅cos x ⋅1 − cos x cos x 1 cossec x ⋅1 cos x é igual a: cossec x ⋅1 cos x
3) (UA-AM) A expressão a)
2sen x
b)
2cos x
c)
2cossec x
d)
2tg x
e)
2sec x
e)
cotg x
2
4) (UF-PA) Qual das expressões abaixo é idêntica a a)
sen x
b)
5) (UFBA) As expressões
tg x
PROF.: LIMA
b)
2
c)
1 − tg 4 x E1 = cos 4 x − sen 4 x
x ∈ℝ , tal que
6) (UA-AM) Para todo a)
cos x
2
sen x − cos x
1 − sen x ? cotg x ⋅ sen x tg x
e
d)
E2 =
cossec x
1 cos 4 x
sen x ≠ cos x , a expressão c) 1
d)
são equivalentes. Justifique.
sen 3 x − cos 3 x sen x − cos x
1 sen x ⋅ cos x
e)
é idêntica a:
sen x cos x2
RESPOSTAS
1) a) sen x b) cos2 x c) tg2 x
2) a) sen x b) cos7 x c) sen3 x . cos x cos x 5 d) sen x sen x e) cos x
3) C
4) B
5) Sim. E1 = E2
6) D
PROF.: LIMA
RESOLUÇÃO 1) Simplifique as expressões ao máximo. Resolução. Utilizando a fatoração e relações trigonométricas, temos:
sen 2 x 2 3 sen x ⋅cos x sen x
a)
Fatorando-se o denominador colocando-se em evidência sen x, teremos: sen x . cos2x + sen3 x = sen x(cos2 x + sen2 x)
sen 2 x sen 2 x = sen x ⋅cos 2 x sen3 x sen x ⋅cos2 x sen 2 x Aplicando-se a lei fundamental da trigonometria no denominador fatorado e efetuando-se a substituição, teremos: sen2 x + cos2 x = 1, logo: cos2 x + sen2 x = 1
=
sen2 x sen 2 x = sen x ⋅cos 2 x sen 2 x sen x ⋅1
Efetuando-se a simplificação, dividindo-se o numerador e o denominador por sen x, teremos:
=
sen 2 x sen 2 x = = sen x sen x ⋅ 1 sen x ⋅1
sen 2 x = sen x sen x ⋅cos 2 x sen3 x
cos x − cos x ⋅ sen 2 x cos 3 x sen 2 x ⋅ cos x
b)
Fatorando-se o denominador colocando-se em evidência cos x, teremos: cos3 x + sen2 x . cos x = cos x (cos2 x + sen2 x)
cos x − cos x ⋅ sen 2 x cos x ⋅1 − sen2 x = = cos 3 x sen 2 x ⋅ cos x cos⋅cos 2 x sen2 x Aplicando-se a lei fundamental da trigonometria no denominador fatorado e efetuando-se a substituição, teremos: sen2 x + cos2 x = 1, logo: cos2 x + sen2 x = 1
=
cos x ⋅1 − sen2 x cos x ⋅ cos2 x = = 2 2 cos x ⋅ 1 cos ⋅cos x sen x
Efetuando-se a multiplicação no numerador aplicando-se a propriedade da potenciação (produto de uma potência de mesma bases), repetimos a base e somamos os expoentes, assim teremos: cos x . cos2 x = cos 1 + 2 = cos3 x, substituindo o resultado no numerador teremos:
=
cos x ⋅cos 2 x cos 3 x = = cos x ⋅1 cos x
Efetuando-se a simplificação, dividindo-se o numerador e o denominador por cos x, teremos:
(
)
(
)
cos x − cos xsen 2 x cos x 1 − sen 2 x cos x cos 2 x cos 3 x = = = = cos 2 x 3 2 2 2 cos x(1) cos x cos x + sen x cos x cos x cos x + sen x
(
=
cos 3 x cos 3 x = = cos 2 x cos x cos x
PROF.: LIMA
)
cos x − cos x ⋅ sen 2 x = cos 2 x 3 2 cos x sen x ⋅ cos x
tg 2 x − sen2 x sen 2 x ⋅cos 2 x sen 4 x
c)
Aplicando-se a relação fundamental
tg 2 x =
2
sen x 2 cos x
no numerador e fatorando-se o denominador
colocando em evidência sen2.x → sen2.x . cos2x + sen4 x = sen2.x (cos2 x + sen2 x); efetuando-se as substituições, teremos:
sen 2 x − sen 2 x 2 2 2 tg x − sen x cos x = = 2 2 4 2 sen x ⋅cos x sen x sen x ⋅cos 2 x sen2 x No numerador vamos aplicar o m.m.c e no denominador a lei fundamental da trigonometria,. e efetuando-se as substituições, teremos: sen2 x + cos2 x = 1, logo: cos2 x + sen2 x = 1 2
2
2
2
2
2
sen x sen x sen x sen x ⋅1 sen x ⋅cos x − sen 2 x − − 2 2 2 2 2 cos x cos x /1 1 /cos x cos x cos x = = = = sen 2 x ⋅cos 2 x sen 2 x sen 2 x ⋅ 1 sen 2 x sen 2 x − sen 2 x ⋅ cos2 x sen 2 x − sen 2 x ⋅cos 2 x cos 2 x cos 2 x = = = sen 2 x sen 2 x Fatorando-se agora o numerador colocando em evidência sen2.x e substituindo, teremos: sen2.x - cos2x . sen2.x = sen2.x (1 - cos2 x)
sen 2 x − sen 2 x ⋅ cos2 x sen 2 x 1 − cos2 x 2 2 cos x cos x = = = sen 2 x sen 2 x Aplicando-se a lei fundamental da trigonometria no numerador fatorado e efetuando-se a substituição, teremos: sen2 x + cos2 x = 1 → sen2 x = 1 - cos2 x, logo: 1 - cos2 x = sen2 x
sen 2 x 1 − cos 2 x sen 2 x sen 2 x cos 2 x cos 2 x = = = sen 2 x sen 2 x Efetuando-se a multiplicação no numerador aplicando a propriedade da potenciação (produto de uma potência de mesma base), repetimos a base e somamos os expoentes, efetuando-se a divisão (repetimos a primeira fração trocamos a operação de divisão para multiplicação e invertemos a segunda fração), teremos: 2
2
4
sen x 1 − cos x sen x 2 cos x cos 2 x sen 4 x 1 = = = ⋅ = 2 2 2 sen x sen x cos x sen 2 x Efetuando-se a simplificação entre o numerador da primeira fração e o denominador da segunda fração dividindo-se ambos os termos por sen2.x e substituindo, teremos:
=
sen 4 x 1 sen 4 x /sen 2 x 1 sen2 x ⋅ = ⋅ = cos 2 x sen 2 x cos 2 x sen2 x cos 2 x
2 Aplicando-se novamente a relação trigonométrica tg x =
PROF.: LIMA
2
sen x e substituindo, teremos: 2 cos x
2
=
sen x = tg 2 x 2 cos x
2
2
tg x − sen x = tg 2 x 2 2 4 sen x ⋅cos x sen x
2) Verifique as identidades trigonométricas. Solução. Utilizando a fatoração desenvolvemos o 1º membro até encontrar a expressão do 2º membro. 2
sen x = sen x cos x ⋅tg x
a)
Aplicando-se a relação
sen2 x = cos x ⋅ tg x
tg x =
sen x e efetuando-se a substituição no denominador, teremos: cos x
sen 2 x = sen x cos x ⋅ cos x
Simplificando-se o denominador dividindo os termos da fração, por cos x, teremos:
=
sen 2 x sen2 x sen 2 x = = sen x sen x sen x cos x ⋅ cos x ⋅ cos x cos x 2
Simplificando o numerador dividindo-se os termos por sen x, teremos:
=
2
sen x sen x = = sen x sen x sen x
sen2 x ⋅cos 3 x 7 = cos x 2 2 sec x ⋅tg x
b)
Aplicando-se as relações
denominador, teremos:
tg 2 x =
sen 2 x ; cos 2 x
sen2 x ⋅cos 3 x = sec2 x ⋅tg 2 x
sec 2 x =
1 cos 2 x
e efetuando as substituições no
sen2 x ⋅cos 3 x = 1 sen2 x ⋅ cos 2 x cos 2 x
Efetuamos a multiplicação do denominador fazendo a multiplicação do numerador com numerador e denominador com denominador, sendo que na segunda aplicamos a propriedade da potenciação (produto de uma potência de mesma base), repetimos a base e somamos os expoentes, assim teremos: cos2 x . cos2 x = cos 2 + 2 = cos4 x, substituindo o resultado no numerador teremos:
sen2 x ⋅cos 3 x sen 2 x ⋅ cos3 x sen 2 x⋅cos 3 x = = = sec 2 x ⋅tg 2 x 1⋅ sen 2 x sen 2 x cos 4 x cos 4 x Efetuamos a divisão de uma fração, repetindo a primeira fração, trocamos a operação que passa a ser uma multiplicação e invertemos os termos da segunda fração, assim teremos: 2
=
3
4
sen x⋅cos x cos x = sen 2 x ⋅cos 3 x ⋅ = 2 sen x sen 2 x cos 4 x
Simplificamos dividindo-se os termos por sen2.x e aplicamos a propriedade da potenciação (produto de uma potência de mesma base), repetimos a base e somamos os expoentes, assim teremos: cos3 x . cos4 x = cos 3 + 4 = cos7 x, substituindo o resultado no numerador teremos:
PROF.: LIMA
= sen 2 x ⋅cos 3 x ⋅
cos 4 x cos 4 x 2 3 = sen x ⋅cos x ⋅ = cos 3 x ⋅ cos 4 x = cos7 x 2 2 sen x sen x
cotg 2 x = sen 3 x ⋅cos x 5 cossec x ⋅cos x
c)
Aplicando as relações
cotg 2 x =
2
cos x ; 2 sen x
5
cossec x =
1 sen 5 x
e efetuando as substituições,
teremos:
cotg 2 x = cossec5 x ⋅cos x
cos 2 x sen 2 x 1 ⋅ cos x sen 5 x
=
Sabemos que a operação do denominador resultará em
cos x sen 5 x
, assim efetuaremos direto a divisão de
uma fração, repetindo-se a primeira fração, trocando-se a operação que passa a ser uma multiplicação e invertendo-se os termos da segunda fração, assim teremos:
cos2 x sen 2 x cos2 x sen 5 x = = ⋅ = cos x sen 2 x cos x sen 5 x Simplificamos dividindo-se os termos por sen2.x e aplicamos a propriedade da potenciação (divisão de potência de mesma base), repetimos a base e subtraímos os expoentes, assim teremos: sen5 x : sen2 x = sen
5-2
= sen3 x, substituímos o resultado; simplificamos novamente dividindo-se os termos
por cos.x e aplicamos a propriedade da potenciação (divisão de potência de mesma base), repetimos a base e subtraímos os expoentes, assim teremos: cos2 x : cos x = cos 2 - 1 = cos x, substituindo ambos os resultados, teremos:
cos 2 x sen 5 x cos 2 x sen 5/ 3 x = ⋅ = ⋅ = sen 3 x ⋅cos x 2 2 cos x sen x cos x sen x sen 2 x cos x = 2 3 1 − cos x ⋅tg x sen5 x
d)
Aplicando a relação fundamental da trigonometria e a relação
tg x =
sen x , substituindo, teremos: cos x
sen2 x + cos2 x = 1 → sen2 x = 1 - cos2 x → 1 - cos2 x = sen2 x 2
2
sen x sen x = = 2 3 1 − cos x ⋅tg x sen 2 x 3 ⋅ sen x cos x Resolvemos (sen2 x)3 aplicando a propriedade da potenciação (potência de potência) multiplicando-se os expoentes, logo: (sen2 x)3 = sen2 . 3 x = sen6 x, efetuando a substituição teremos:
=
sen 2 x sen 2 x = = sen x sen x 2⋅3 6 sen x ⋅ sen x⋅ cos x cos x
PROF.: LIMA
Efetuamos a multiplicação do denominador; fazendo a multiplicação do numerador com numerador e denominador com denominador, sendo que na segunda aplicamos a propriedade da potenciação (produto de potência de mesma base), repetimos a base e somamos os expoentes, assim teremos: sen6 x . sen x = sen 6 + 1 x = sen7 x, substituindo o resultado no numerador teremos:
sen 2 x sen2 x = = = sen x sen7 x sen 2⋅3 x ⋅ cos x cos x Efetuamos a divisão de uma fração por fração, repetindo a primeira fração, trocando-se a operação que passa a ser uma multiplicação e invertendo-se os termos da segunda fração, assim teremos:
=
sen 2 x cos x = sen2 x ⋅ = 7 sen x sen 7 x cos x
Simplificamos dividindo-se ambos os termos por sen2.x, assim teremos: 2
= sen x ⋅
cos x cos x cos x 2 = = sen x ⋅ == 7 5 sen x sen x sen 5 x 2
cotg x 1 sen x = 5 2 cossec x ⋅cos x ⋅1 − cos x cos x
e)
Aplicaremos as seguintes relações trigonométricas e efetuaremos em seguidas as devidas substituições:
cossec 2 x = cotg 2 1 2 2 sen x cos = 1 →
2
sen x = 1 − cos
2
cotg 2 x 1 cossec 2 x = = cossec5 x ⋅cos x ⋅1 − cos 2 x cossec5 x⋅cos x ⋅ sen 2 x Simplificamos dividindo-se os termos por cossec2.x, assim teremos: =
cossec 2 x cossec 2 x /1 1 = = = 5 2 5/ 3 2 3 cossec x ⋅cos x ⋅sen x cossec x ⋅cos x ⋅sen x cossec x⋅cos x⋅sen 2 x
cossec 3 x = Aplicaremos a relações trigonométricas
1 3 sen x efetuando a substituição e depois efetuamos a
multiplicação.
=
1 = cossec x ⋅cos x ⋅ sen 2 x 3
1 1 ⋅cos x ⋅sen 2 x 3 sen x
=
1 = cos x⋅ sen 2 x sen 3 x
Simplificando o denominador, teremos:
=
1 1 1 1 = = = = 2 2 cos x⋅1 cos x cos x⋅ sen x cos x⋅ sen x /1 sen x sen x sen3 x sen3 x
Efetuamos a divisão de uma fração por fração, repetindo a primeira fração, trocando-se a operação que passa a ser uma multiplicação e invertendo-se os termos da segunda fração, assim teremos:
=
1 sen x sen x = 1⋅ = cos x cos x cos x sen x
PROF.: LIMA
3) (UA-AM) A expressão
1 cossec x ⋅1 cos x é igual a: cossec x ⋅1 cos x
Solução. Desenvolvendo e escrevendo a cossecante em função do seno ( Aplicaremos a seguinte relação trigonométrica
cossec x =
cossec x =
1 sen x ), temos:
1 sen x e efetuaremos em seguidas as devidas
substituições:
1 cossec x ⋅1 cos x = cossec x ⋅1 cos x
1
1 ⋅1 cos x sen x
1 ⋅1 cos x sen x
Efetuando a multiplicação no denominador, teremos:.
1
=
1 ⋅1 cos x sen x
1 1 1 cos x ⋅1 cos x = = sen x 1 cos x sen x sen x
Na primeira parcela vamos efetuar a divisão de fração por fração, repetindo a primeira fração, trocando-se a operação que passa a ser uma multiplicação e invertendo-se os termos da segunda fração, assim teremos:
=
1 1 cos x sen x 1 cos x sen x 1 cos x = 1⋅ = = 1 cos x sen x 1 cos x sen x 1 cos x sen x sen x
Soma de frações com denominadores diferentes temos que tirar o m.m.c (m.m.c = (1 + cos x) . sen x), o m.m.c será o novo denominador; dividimos o novo denominador pelo antigo e multiplicamos o resultado pelo numerador, efetuando a substituição teremos:
=
sen x 1 cos x sen x 1 cos x = = 1 cos x sen x 1 cos x / sen x sen x /1 cos x
=
1 cos x ⋅1 cos x sen x 1 cos x sen x ⋅ sen x = = 1 cos x / sen x sen x /1 cos x 1 cos x⋅ sen x 1 cos x ⋅ sen x
2 1 cos x ⋅1 cos x 1 cos x 2 sen x ⋅ sen x sen x = = = 1 cos x ⋅sen x 1 cos x⋅sen x 1 cos x ⋅sen x 1 cos x ⋅sen x
=
2 1 cos x 2 sen2 x 1 cos x 2 sen x = = 1 cos x ⋅ sen x 1 cos x⋅sen x 1 cos x ⋅ sen x
Em seguida desenvolvemos (1 +. cos x) 2 = 12 + 2 . 1 . cos x + cos 2 x = 1 + 2 cos x + cos 2 x, efetuando a substituição teremos: =
sen2 x 1 cos x 2 sen2 x 1 2 cos x cos2 x = = 1 cos x ⋅ sen x 1 cos x ⋅ sen x
Percebemos que temos que aplicar a relação fundamental da trigonometria no numerador, e substituindo sen 2 x + cos2 x = 1, termos: =
sen2 x 1 2 cos x cos 2 x 1 1 2 cos x 2 2 cos x = = = 1 cos x ⋅sen x 1 cos x ⋅sen x 1 cos x ⋅ sen x
Fatorando o numerador, colocando 2 em evidência, teremos: =
21 cos x 2 2 cos x = = 1 cos x ⋅sen x 1 cos x ⋅sen x
PROF.: LIMA
Efetuando a simplificação, teremos: =
2 1 cos x 2 = 1 cos x ⋅ sen x sen x
cossec x =
Aplicando a relação trigonométrica =
1 sen x substituindo, teremos:
2 1 = 2⋅ = 2⋅ cossec x sen x sen x
1 cossec x ⋅1 cos x = 2⋅ cossec x cossec x ⋅1 cos x 4) (UF-PA) Qual das expressões abaixo é idêntica a
1 − sen 2 x ? cotg x ⋅ sen x
Solução. Aplicando a relação fundamental da trigonometria no numerador, sen 2 x + cos2 x = 1 → cos2 x = 1 - sen2 x, e a relação
cotg x =
cos x sen x no denominador e efetuando as substituições, teremos:
1 − sen 2 x cos 2 x = = cotg x ⋅ sen x cos x ⋅ sen x sen x Simplificando, teremos: 2
2
2
cos x cos x cos x = = = = cos x cos x cos x ⋅ sen x sen x sen x sen x Simplificando novamente, teremos:
=
cos 2 x cos 2 x = = cos x cos x cos x 4
5) (UFBA) As expressões
E1 =
1 − tg x 4 4 cos x − sen x
e
E2 =
1 cos 4 x
são equivalentes. Justifique.
Solução. Para a verificação, desenvolve-se E1 até que obter a igual em E2. Utilizando a fatoração, temos:
Aplicando-se a relação trigonométrica:
tg 4 x =
sen 4 x cos 4 x e em seguida efetua-se a operação do numerador
utilizando o m.m.c
sen 4 x cos 4 x − sen 4 x 1− 1 − tg 4 x cos 4 x cos 4 x E1 = = = cos 4 x − sen 4 x cos 4 x − sen 4 x cos 4 x − sen 4 x
=
Efetuando-se a divisão de fração por fração, já vimos como se procede.
=
cos4 x − sen 4 x 1 ⋅ = 4 4 cos x cos x − sen 4 x
Efetuando-se a simplificação:
=
cos4 x − sen 4 x 1 cos 4 x − sen 4 x 1 1 → E1 = E 2 ⋅ = ⋅ = 4 4 4 4 4 4 cos x cos x − sen x cos x cos x − sen x cos 4 x
PROF.: LIMA
6) (UA-AM) Para todo
x ∈ℝ , tal que
sen 3 x − cos 3 x é idêntica a: sen x − cos x
sen x ≠ cos x , a expressão
Solução. Utilizar a fatoração do tipo: 3
3
3
2
2
a − b = a − b⋅a ab b
3
2
2
sen x − cos x sen x − cos x ⋅ sen x sen x cos x cos x = = sen x − cos x sen x − cos x Simplificando:
=
sen x − cos x⋅ sen 2 x sen x cos x cos 2 x = sen 2 x sen x cos x cos 2 x = sen x − cos x
Aplicando a relação fundamental da trigonometria: sen 2 x + cos2 x = 1
= sen 2 x sen x cos x cos 2 x = 1 sen x cos x sen 3 x − cos 3 x = 1 sen x cos x sen x − cos x
PROF.: LIMA