Matrizes
Definição Mat Fis
Qui
7
5
6
Maria 9
4
5
João
Denomina-se matriz m x n a uma tabela formada por m . n elementos dispostos em m LINHAS e n COLUNAS.
7 5 6 A = 9 4 5
PROF.: LIMA
Matrizes
Notação
Dada uma matriz A denotaremos cada elemento da matriz A por aij onde i é o número da linha e j é o número da coluna desse elemento.
A=
Observação: As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. PROF.: LIMA
Matrizes
Representação de Matrizes
A representação de matrizes é feita de três formas diferentes:
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Tipos de Matrizes
Matriz Linha Toda matriz que possui só uma linha.
A = (1
3
7)
Matriz Coluna É formada por uma única coluna.
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Tipos de Matrizes
Matriz Nula Possui todos os elementos iguais a zero.
0 0 0 0= 0 0 0 Matriz Quadrada Possui todos os elementos iguais a zero.
2 − 1 4 0
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Tipos de Matrizes
Diagonal Principal Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo i = j.
Diagonal Secundรกria Diagonal de uma matriz quadrada formada pelos elementos aij, sendo i + j = n + 1. PROF.: LIMA
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Tipos de Matrizes
Matriz Diagonal É a matriz quadrada na qual todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero.
Toda matriz quadrada nula é matriz diagonal PROF.: LIMA
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Tipos de Matrizes
Matriz Identidade ou Matriz Unidade É a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero.
Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja: A . I = I . A = A PROF.: LIMA
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Tipos de Matrizes
Matriz Oposta ( - A) É matriz obtida invertendo-se o sinal de cada elemento de uma matriz dada.
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Tipos de Matrizes
Matriz Transposta Dada uma matriz A do tipo m x n chama-se transposta de A, a matriz At obtida a partir de A, onde as linhas de A serão as colunas de At e vice-versa
5 3 4 A= 1 0 2
5 1 t A = 3 0 4 2
Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que At é do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A será o elemento aji de At . PROF.: LIMA
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Operações com Matrizes
Igualdade de Matrizes Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se e somente se os seus elementos são respectivamente iguais.
A = B <=> aij = bij
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Operações com Matrizes
Adição Para adicionarmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos aij + bij = cij
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Operações com Matrizes
Subtração Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos aij - bij = cij
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Operações com Matrizes
Multiplicação Dada duas matrizes A do tipo m x n e B do tipo n x p, chama-se produto da matriz A pela matriz B que se indica C = A . B a matriz m x p definida por Cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + ain . bnj Observações: 1. O produto de duas matrizes existe se e somente se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B.
2. Se as matrizes A e B são do tipo m x n e n x p respectivamente, LIMA então o produto C = A . B existe e é umaPROF.: matriz do tipo m x p.
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Operações com Matrizes
Multiplicação
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Operações com Matrizes
Multiplicação (continuação)
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Operações com Matrizes
Multiplicação (outra explicação)
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Lei de formação de uma matriz
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Lei de formação de uma matriz
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Matrizes
Lei de formação de uma matriz
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Lei de formação de uma matriz
Após efetuar a multiplicação sua matriz terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda. No caso de duas matrizes quadradas, o resultado também será uma matriz quadrada.
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Lei de formação de uma matriz
Dada a matriz A = (aij) 3x2 e B = (bij) 2x2 efetue o produto A x B.
2 A = 1 4
3 3 0 e B = 2 5
2.3 +3.2 C = A.B = 1 . 3 + 0 . 2 4.3 +5.2
1 4 2.1 +3.4 12 3 1.1 +0.4 = 4.1 +5.4 22 PROF.: LIMA
14 1 24
Matrizes
Observações
O produto de duas matrizes não é comutativo, mas há casos em que A . B = B . A e quando isso acontece dizemos que A e B se comutam.
Quando A . B for diferente de B . A temos que (A + B)2 = A2 + A . B + B . A + B2
Quando A e B se comutam temos (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 PROF.: LIMA
Matrizes
Lei de formação de uma matriz
Dada a matriz A = (aij) 3x2 tal que:
a11 A= a21
a12 a22
aij = i − 2 j se i = j bij = 3i + j se i ≠ j
a13 a23
1 − 2.1 3.1 + 2 3.1 + 3 − 1 5 6 A= = 3.2 + 1 2 − 2.2 3.2 + 3 7 − 2 9 PROF.: LIMA
Matrizes Quantas matrizes existem de ordem 2 com elementos de números naturais tais que:
Exercício Resolvido
6 5 X +X = 5 8 t
Solução:
a b a c t Chamaremos de X = eX = c d b d a b a c 6 5 Substituíndo temos + = c d b d 5 8 2 a b + c 6 5 b + c 2d = 5 8
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Operações com matrizes
Produto de número por uma Matriz O produto de um número por uma matriz m x n resulta uma matriz m x n formada pelos produtos do número dado por cada um dos elementos da matriz dada.
=
= PROF.: LIMA
Matrizes Matriz Inversa (A-1) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A . B = B . A = I.
−1
A. A = I n Dada a matriz A = elas são inversas.
e matriz B =
, verifique se
. Multiplicar as duas matrizes se o produto encontrado for uma matriz identidade de ordem dois, elas serão inversas entre si. PROF.: LIMA