Potenciação e Radiciação

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO POTENCIAÇÃO

1. Definição: A potenciação indica multiplicações de fatores iguais.

4

3 = 81

Exemplo 1 : O produto 3.3.3.3 = 81 pode ser indicado na forma 4

3 = 81

, onde: Base = 3

Expoente = 4

Potência = 81.

Exemplo 2: a) 33 = c) ( − 2 )

3⋅ 3⋅ 3 =

3

=

b) ( − 2 ) 2 =

27

− 2⋅ − 2⋅ − 2 =

−8

 3 d)    4

2

=

− 2⋅ − 2 = 3 3 ⋅ = 4 4

4

9 16

BIZU: Cuidado com os sinais. 

Número negativo elevado a expoente PAR fica positivo.

Exemplo 3:

(− 2) 4 

=

Número negativo elevado a expoente ÍMPAR permanece negativo.

−23 = −2⋅−2⋅−2 = −8

Exemplo 4: 

− 2 ⋅ − 2 ⋅ − 2 ⋅ − 2 = 16

Se x = 2 , qual será o valor de “ − x 2 ”?

Observe:

− (2 )

2

=

− 4

, pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.

→ os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” − x 2 = − ( 2) 2 = − 4 não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x.

2. Propriedades: Acompanhar pelo quadro resumo entregue a)

n

m

a ⋅a = a

nm

→ Quando tivermos multiplicação de potencias de bases iguais, conservamos

a base e somar os expoentes.

Exemplo 5: 2 x ⋅ 2 2 =

2x+ 2

Exemplo.6: a 4 ⋅ a 7 =

a 4+ 7 =

a 11

Exemplo 7: 4 2 ⋅ 3 4 → neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes.

42 ⋅ 34

=

16 ⋅ 81 =

1296

BIZU: Esta propriedade é válida nos dois sentidos. Assim: PROFESSOR: LIMA

a

nm

n

= a ⋅a

m

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

a

Exemplo 8: am an

b)

7

= a ⋅a

n

Nesta propriedade vemos que quando tivermos divisão de potencias de bases iguais

a m− n

=

7n

temos que conservar a base e subtrair os expoentes.

Exemplo 9:

34 3

=

x

3 4− x e :

a4 a5

=

a 4− 5 =

a−1

BIZU: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja am an

(a )

c)

m

n

a m− n

ou

a m− n

=

Exemplo 10: a 4− x =

an

a4 ax

Nesta propriedade temos uma potencia elevada a um outro expoente, para resolver

a m⋅ n

=

am

=

temos que conservar a base e multiplicar os expoentes .

( )

Exemplo.11: 4 3

2

( )

4 3⋅ 2 =

=

46 e b x

4

b x⋅ 4 =

=

b 4⋅ x

BIZU: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja

a d)

m⋅n

= a 

m

n

a

m n

=a

n m

( )

34 x = 34

Exemplo 12:

x

ou

(3 )

x 4

Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado numa potencia de

expoente fracionário, onde o índice da raiz é o denominador do expoente.

Exemplo 13:

x =

Exemplo 14:

3

x7

Exemplo 15: 25

1 2

2

x1 = 7

=

x

=

25 =

x

1 2

3

5

e x

8

=

3

3

x8

BIZU: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja n m

m

a = a e)

 a    b

n

=

Exemplo 16.: a

n

5

2

=

a5

an , com b ≠ 0 bn

 2 Exemplo 17:    3

2

=

22 32

=

4  1 e  9  5

2

=

12 52

=

1 25

BIZU: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja PROFESSOR: LIMA

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO  a    b

f)

n

an

=

b

an

ou

n

(a ⋅ b )n

=

=

n

b

n

 a    b

2

Ex.:

3

=

2 3

1 1

2

2

 2 =    3

1

2

2 3

=

an ⋅ bn

Exemplo 18: ( x ⋅ a )

(

Exemplo 19: 3 x

2

)

x 2 ⋅ a 2 e ( 4x )

=

4

=

3

4

⋅ ( x)

4

=

3

=

43 ⋅ x 3 =

1 3 ⋅  x 2    4

4

64 x 3

=

34 ⋅ x

4

=

2

34 ⋅ x 2 =

81x 2

BIZU::Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja (a ⋅ b )n

=

Exemplo 20: g)

a− n

ou

an ⋅ bn

x⋅

a n ⋅ bn

1

y= x

2

⋅y

1

2

(a ⋅ b ) n

=

= ( x ⋅ y)

1

2

=

x⋅ y

1 an

=

Exemplo 21: a

−3

 1    a

=

3

13 a3

=

=

1  2 e  3 a  3

−2

=

 3    2

2

=

32 22

=

9 4

=

1 an

1 1  1 Exemplo 22: ( − 4) − 1 =  −  = −

4



4

BIZU: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja Exemplo 23: a)

a− n

ou

1 an

=

a−n

1 2 2 1 2 = x − 2 e b) 3 = ⋅ 3 = ⋅ x − 3 2 x 3x 3 x 3

CUIDADO !!! 

(− 2) − 3



( 3)



 1    a

−3

=

 1 −   2  1    3

=

−3

=

=

3

 a    1

( − 1) 3 (2) 3

3

13 33

= 3

=

a3 13

=

−1 8

1 27

=

=

a3

BIZU: É importante colocar que nos três exemplos acima o sinal negativo do expoente não interferiu no sinal do resultado final, pois esta não é a sua função.

PROFESSOR: LIMA

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO EXERCÍCIOS 1) Calcule as potências: a)

62

b)

(-6)2

c)

-6

2

d)

(-2)3

k)

028

e)

-23

l)

132

f)

50

m)

(-1)20

g)

(-8)0

n)

(-1)17

 

3 2

4

 

3 2

3

i)  − 

j)  − 

 3  2

4

h)  

 

3 5

2

o)  − 

2. O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é: a) 16

b) 8

c) 6

d) 4

e) 2

3. Qual é a forma mais simples de escrever: a)

(a . b)3 . b . (b . c)2 3

b)

2

5

x ⋅y ⋅y ⋅x⋅x 7 y

4. Sendo a) 252

7

4

8

a = 2 ⋅3 ⋅7 b) 36

5

b = 2 ⋅3

e

c) 126

6

, o quociente de a por b é: d) 48 −2

5. Calcule o valor da expressão:

e) 42 −1

−2

2 1 1 A =   −   −  3 2 4 2

6. Simplificando a expressão

1 1 3⋅−   2 4 2 1 3 3⋅−  − 3 2

a) − 6 7

c) 6 7

b) − 7 6

d) 7 6

PROFESSOR: LIMA

, obtemos o número:

e) − 5 7

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 7. Quando a = −

1 e b = − 3 , qual o valor numérico da expressão a 2 − ab + b 2 ?

3

8. Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências:

a) 2-3 =

-2

b) 10

c) 4-1 =

=

Exemplos mais complexos:

(

(1) 4 xy x2

(

(2) x.y

)

3 −1

 1     4 xy 3    2 x

=

)

 1  =  3   xy 

3 −2

−3

 1  (3)  4 3   a .b 

1

1 4xy 3 x2 1

=

2

12

=

( )

x 2. y

 a 4 .b 3   =   1  

2

(a ) .(b )

3

4 3

=

1 4x 3 y 3

=

1 1 = 3.2 2 6 x .y x .y

=

3 2

1 1 ⋅ 2 3 4xy x

=

3 3

13

a 4.3 .b 3.3 = = a 12 .b 9 1

( − 1) 2

(

(4) − a . y 4

)

3 −2

=

 1   − 4 3   a .y 

2

1 a . y 3.2

=

( a ) .( y ) 4 2

3 2

4.2

=

1 a .y6 8

ou

=

nº negativo elevado a expoente par, fica positivo.

2

 1  12 1       →  4 3  = 4⋅ 2 3⋅ 2 = 8 6 a y a y a y 

(

2

(5) 8.y .a

)

−2

 1   =  2   8.y .a 

2

=

12

(8.y .a ) 2

=

2

12

( ) .a

8 2. y

2 2

2

1 64.y 4 .a 2

=

Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece dentro dos parênteses. −3

1  (6)  2 +  4  1  (7)  c +  2 

2

1   c+  2 

2

1  =  2+  4 

−3

 2c + 1  =    2 

2

 8 + 1 =    4  =

−3

( 2c + 1) 2 22

 9 =    4 =

−3

 =  

4  9

( 2c + 1) ⋅ ( 2c + 1) 4 ou

3

=

=

1  1 1 1 1 1  =  c +  ⋅  c +  = c2 + c ⋅ + ⋅ c + ⋅ = 2  2 2 2 2 2 

PROFESSOR: LIMA

43 64 = 3 729 9 4c 2 + 2c + 2c + 1 4c 2 + 4c + 1 = 4 4

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO c c 1 2c 1 1 4c 2 + 4c + 1 + + = c2 + + = c2 + c + = 2 2 4 2 4 4 4

= c2 + 9.

Efetue:

a)

a 6 .a 4 =

f)

(x 3 )5 =

b)

a8 = a3

g)

( 2 x 2 )3 =

h)

(5a b )

i)

 3a   2 = b 

j)

 2ab3     5x4   

k)

1   − 2  3a 

c)

 2ab  3  c 

2 2

3

  a c  ⋅    b  =    2

2 3 3

=

4

2

d)

 3x 2 y   3 3  ab    = 3 2  3 xy   2 2  2a b   

e) ( 3x ) 4 = 10. Sabendo que

4 −2 a = −2  5

−2

=

−4

=

, determine o valor de a.

Atenção neste exemplo. Simplifique as expressões: 2n ⋅ 4 = Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes, devemos reduzir 3 8 ⋅ 2 3n + 1 todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos escrever todos os números que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22 e 3 8 por 2.

2n ⋅ 22 = 2 ⋅ 2 3n + 1

Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de mesma base.

2 n+ 2 2 n+ 2 = 3n + 2 = 2 n + 2 − ( 3n + 2 ) = 2 n + 2 − 3 n − 2 = 1+ 3n + 1 2 2

2

−2n

ou

1 2 2n

ou

1 4n

11. Simplifique as expressões: a) E =

3n + 2 ⋅ 3n 3 ⋅ 3n + 1

b) E =

4n ⋅ 2( n − 1) 4( n + 1)

RADICIAÇÃO 1. Definição: A radiciação é a operação inversa da potenciação.

PROFESSOR: LIMA

c) G =

25n + 2 ⋅ 100 5n + 1

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO De modo geral podemos escrever: a =

n

3

2

pois

22 =

4

8 =

2

pois

23 =

8

3 8 = 2

Na raiz

bn =

4 =

Exemplo 24: Exemplo 25:

⇔

b

(n ∈

a

e n ≥ 1)

Ν

, temos: índice = 3; radicando = 8 e raiz = 2.

2. Propriedades dos radicais a)

n

⇔

ap

a

Exemplo 26:

n

2 =

3

Exemplo 27: Exemplo 28:

p

5

Essa propriedade mostra que todo radical pode ser escrito na forma de uma potência.

1 3

2

43

=

4

62

=

6

3

2

2

5

Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário ou p

seja a

n

=

a p (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do radical).

n

3

Exemplo : 2

=

5

b)

n

an

c)

n

a⋅b

=

=

n

n

a b

a

n

b

( b)

m

d)

e)

n

=

a

n m

a

n

=

Exemplo 32.:

f)

n

=

5

23 .

n

=

Exemplo 29:

a

Exemplo 30:

a ⋅n b

 1n  b   

a

3

m

=

1

=

bn

 12  5   

⋅m

=

3

=

Exemplo 33:

3

1 m ⋅ 1

3

3

=

3

=

3

a3 ⋅ 3 b6 a

=

b5

2

b

6 5

2 2

=

21 =

=

a

a3 b

5

2

m

=

bn

3 2

=

23

a6

=

b5

1 ⋅3 2 5

3

a3 ⋅ b6

a6

Exemplo 31

( 5) m⋅ n

=

a1

= =

bn

13 ⋅ 2 5 1

3⋅ 2

=

5

3 =

6

3

2

3

EXERCÍCIOS 12. Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária: PROFESSOR: LIMA

3

2

3

⋅b

ou

6

=

3

a3 b5

a ⋅ b2

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO d) −

1 = 100

a)

1 = 16

b) −

0,01 =

e)

0,81 =

f)

2,25 =

4 = 9

c)

13. Calcule a raiz indicada: a)

9

a3

b)

3

t7

c)

48

4 12

d)

t

14. Escreva na forma de potência com expoente fracionário: 7=

a) b)

4

c)

23 =

d)

5

6

e)

32 =

3

x2 =

f)

1

a5 =

15. Escreva na forma de radical: 1

5

a) 2 5 =

e) a 7 =

2

b) 4 3 = 1

c) x 4 = 1

f)

(a b)

g)

(m n)

3

2

1 4

=

−

1 5

=

3

d) 8− 2 =

h) m − 4 =

16. De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro negativo? a)

10 − 1

b) 10 − 2

c) 10 − 3

d) 10 − 4

e) 1− 10

3. Raízes Numéricas Exemplo 34: a)

144

Devemos fatorar 144

=

=

144 72

2 2 2 2

4 ⋅ 3 = 12

36 18 9 3

24 ⋅ 32 2 ⋅ 3 4

2

4

2

⋅3

2 ⋅3 2

1

2

2

= =

2

=

3 3

1 2 4 ⋅ 3 2 = 144 PROFESSOR: LIMA

Forma fatorada de 144

3

=

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

b)

3

243 =

3

=

35

33 ⋅ 32

3

33 ⋅ 3 3 2

3

3

3

3

3⋅ 3

⋅3 2

2

243 81 27 9 3 1 35

= =

3

3

ou 3⋅ 3 3

ou

= 243

Forma fatorada de 243

Resultados possíveis

2

3 3 3 3 3

3⋅ 3 9

Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical.

4. Raízes Literais 9

a)

x9 = x 2 Escrever o radical

9

x 9 na forma de expoente fracionário x 2 não resolve o problema, pois

nove não é divisível por 2.

Assim decomporemos o número 9 da seguinte forma: 9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz. Assim teremos: x 8+ 1 =

x9 = b)

3

3

x 14 = 3

x 12 ⋅ x 2

=

3

x 12 ⋅ 3 x 2 12

x8 ⋅ x = x

8

2

⋅ x = x4 ⋅ x

x 12+ 2 pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz).

=

= x

x 8 ⋅ x1 =

3 ⋅3

x2

= x4 ⋅ 3 x2 Exemplos 35: a)

3

27.x 6 = =

3

= 3

3

27 ⋅ 3 x 6

33 ⋅ x 3

3

⋅ x2

= 31 ⋅ x 2 = 3x 2 PROFESSOR: LIMA

6

3

(pois 6 é divisível por 3)

3 27 3 9 3 3 1 33 = 27

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

b)

3

48 ⋅ x 4 ⋅ y 6 = =

3

3

48 ⋅ 3 x 4 ⋅ 3 y 6

23.6 ⋅ 3 x 3+ 1 ⋅ y

6

48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1

3

pois 4 não é divisível por 3

=

3

23 ⋅ 3 6 ⋅ 3 x 3 ⋅ x ⋅ y 2

= 2 ⋅ 3 6 ⋅ 3 x3 ⋅ 3 x ⋅ y2

2 3.2.3 = 2 3.6 = 48

= 2 ⋅ 3 6 ⋅ x ⋅ 3 x ⋅ y2 = 2 xy 2 ⋅ 3 6 ⋅ 3 x = 2 xy 2 ⋅ 3 6 x 17. Calcule: a)

3

125 =

e)

6

0=

b)

5

243 =

f)

1

7=

36 =

g)

3

− 125 =

1=

h)

5

− 32 =

i)

7

−1=

c) d)

5

18. Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário: a)

3

32 =

d)

7

81 =

b)

3

25 =

e)

8

512 =

c)

4

27 =

f)

8

625 =

19. Calcule a raiz indicada: a)

4a 2 =

b)

36a 2 b 6 =

e) f)

c)

d)

4 2 4 a b = 9 x2 = 100

PROFESSOR: LIMA

g) h)

4

8

5

16a 10 = 25

i)

4

100x 2 =

j)

3

1 = 25 a6 b3

=

121 = 1024 x 5 y 10 =

k)

16 x 4 y2z6

=

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 20. Simplifique os radicais: a) b)

5

432 =

a10 x =

c)

a3b =

e)

3

a 4b2c =

d)

25a 4 x =

f)

1 45 = 3

3. OPERAÇÕES COM RADICAIS 3.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um único radical somando-se os fatores externos desses radicais.

Exemplo 36:

(1 +

4 − 2) ⋅ 3 = 1 3 =

1)

3+ 4 3− 2 3 =

2)

2  33  3−2  3 =  23−2   3 = 3 3

5

5

5

3

5

5

fatores externos

BIZU: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos os termos da soma.

3)

2  2−3  5 

4  2−2  23  5−6  5 = 4−2  2  3−6  5 =

não pode mais ser reduzido

4) 3 2 + 7 − 5 2 − 4 =

( 3 − 5) ⋅

2 + ( 7 − 4) =

− 2 2+ 3

21. Simplifique 12 10 − 6 10 − 8 10 : 22. Determine as somas algébricas: a) b)

73 5 2 − 23 2 − 3 2 = 3 4

5 5 5 5 + − − = 6 2 5 3

c) 53 2 − 83 3 + 2 − 43 2 + 83 3 = d) 85 7 + 4 6 − 125 7 − 104 6 =

23. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas: a) 5 28 − 3 20 − 2 63 + 2 45 =

e)

b) 8 2 − 5 8 + 13 18 − 15 50 − 9 72 =

f) 53 32 −

c) 6 45 − 12 48 + 6 108 − 10 20 = d)

3 1 1 90 − 250 − 10 = 2 4 4

PROFESSOR: LIMA

g)

4

5

96 +

64 −

h) 43

4

5

486 − 24 6 + 94 243 = 23 8 256 + 3 16 − 23 2 + 3 4 = 5 5 486 −

5

2=

81 375 24 + 813 − 103 = 64 729 125

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 24. Calcule as somas algébricas: a) − 10 x + 4 x + 6 x − x =

e)

b)

f)

c)

4a − 3

27 −

81b − 6 9a + 8 144b = 3

8a − 3 1000a =

a 2 x − a 4 x + 3 a 3 − 4a a = 4

a − 5 b − 34 a − 8 b = x2 y y − x + 4 9

g)

x − 100

81x =

d) − 2a 4 a 5 − 12a 4 a + 34 a 9 = h)

25. Considere a =

4

a 4c − 2

4

b 4c 5 c − a4 = 8 16

9m , b = 2 100m , c = − 8 36m e determine:

a) a + b + c =

b) a –( b + c )=

26. Simplifique a expressão −

4

c) a – b + c=

1 a 2 y 4 −  y 6 a3 − 2

10

d) ( a + b ) – c=

 a 5 y10  . 

3.2 Multiplicação: Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada um: 1

º

CASO:

Radicais têm raízes exatas: Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados:

2

º

CASO:

4 ⋅ ( − 2) =

16 ⋅ 3 − 8 =

Exemplo 37:

−8

Radicais têm o mesmo índice: Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos,

simplificando sempre que possível o resultado obtido.

3⋅ 5 =

Exemplo 38: a) b)

3

3⋅ 5 =

x ⋅ y ⋅ 3 x2 ⋅ 3 y 4

=

15 3

x ⋅ y ⋅ x2 ⋅ y 4

=

3

x 3 ⋅y 5

pode parar aqui!

Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e divisão: 3

x 3 ⋅ y5 =

3

x 3 ⋅ 3 y 5 = x ⋅ 3 y 3+ 2 = x ⋅ 3 y3 ⋅ y 2 = x ⋅ 3 y 3 ⋅ 3 y 2 = x ⋅ y ⋅ 3 y 2 A ordem dos fatores não altera o produto (multiplicação)

c) 2 2 ⋅ 3 5 = 3

º

CASO:

2 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 5 =

6 2⋅ 5 =

6 10

Radicais têm índices diferentes: O caminho mais fácil é transformar os radicais em

potências fracionárias. Logo em seguida, transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo denominador).

PROFESSOR: LIMA

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO Multiplicamos numerador e denominador da fração por 2 e transformamos na fração equivalente

Exemplo 39: a)

b)

3⋅ 2 =

1 32

a⋅ x =

1 a3

4

3

4

1 24

⋅ ⋅

= 3

1 x4

1 ⋅2 2 ⋅2

= a

1 ⋅4 3 ⋅4

⋅

1 24

⋅x

=

1 ⋅3 4 ⋅3

2 34

1 24

⋅

=

4 12 a

4

= ⋅

3 12 x

3 2 ⋅ 4 21 = =

12

4

32 ⋅ 2 =

a 4 ⋅ 12 x 3 =

12

4

18

a 4 ⋅ x3

ATENÇÃO: 2+

-

2 =

2 2 , ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de dois.

( )

por que?

2⋅ 2 = 2 2⋅ 2 = 2 = (2) ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potência, então:

-

2

Conservam os a base e som am os os expoentes.

2⋅ 2 =

2

1 2

⋅2

1 2

regra de

1 +1 2 2

potenciação    → 2

=

2

1+ 1 2

2

=

22

=

21 =

2

3.3 DIVISÃO: A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles: 1

º

CASO:

Os radicais têm raízes exatas.

Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados.

81 : 3 27 =

Exemplo 40: 2

º

CASO:

9:3 =

3

Radicais têm o mesmo índice.

Devemos conservar o índice e dividir os radicandos.

Como os índices das raízes são iguais, podemos substituir as duas raízes por uma só!

3

3

º

CASO:

x3 = xy

x 3 : xy =

Exemplo 41:

20 : 3 10 =

3 3

20 = 10

Radicais com índices diferentes.

PROFESSOR: LIMA

x3 = xy

3

20 = 10

x2 y 3

2

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as operações de potências de mesma base e voltar para a forma de radical .

1

2

2: 2 = 3

Exemplo 424:

3

22

=

2

1 1 − 22 3

=

1 23

3− 2 2 6

=

=

1 26

=

6

2

4. Racionalização de Denominadores Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos: 1) Temos no denominador apenas raiz quadrada: 4 = 3

4 3 ⋅ = 3 3

4 3

( 3)

4 3 3

=

2

2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2: 2

(a)

3

2 3

x

(b)

⋅

3

x2

3

x2

2⋅ 3 x2

=

3

1 5

1 5

Temos que multiplicar numerador e denominador por

x

x2

x ⋅

x1 ⋅ x 2

2⋅ 3 x2

=

3

x 1+ 2

=

2 ⋅ 3 x2 3

Temos que multiplicar numerador e denominador por

2

5

x3

5

x3

=

5 5

x3

x2 ⋅ x3

=

5 5

x3

x 2+ 3

=

5

x3

5

x5

=

x 2 , pois 1 + 2 = 3.

5

x 3 , pois 2 + 3 = 5.

2⋅ 3 x2 x

=

x3

3

5

x3 x

O sinal deve ser contrário, senão a raiz não será eliminada do denominador.

3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais: 2 2 7+ 3 2 7+ 3 2 7+ 3 2/ 7 + = ⋅ = = = 2 2 7− 3 4/ 7− 3 7− 3 7+ 3 7 − 3

(

( )(

) ( ) ) ( ) ( )

(

) (

( 7 − 3 ) ⋅ ( 7 + 3 ) = ( 7 )2 − 27. Calcule: PROFESSOR: LIMA

3

)= (

7 ⋅ 3+ 3⋅ 7 −

7+ 3 2

)

( 3 )2 = ( 7 )2 − ( 3 )2

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO a) 6 7 + 5 7 − 3 7 = b) 5 2 + 3 50 − 2 18 = c) 23 81 + 3 24 + 53 3 = d) 4 5 ⋅ 3 2 = e) 35 2 ⋅ 5 2 = f) 4 3 ⋅ 2 3 = g)

8 10 = 2 5

2 h) 5 − 5 − 4.1.4 =

2

i)

62 − 4.1.5 = 2

6+

28. Simplifique os radicais e efetue: a) 2 2 x3 − x 8x + 8 x3 = b) 43 343 − 23 3 −

3

24 + 3 192 =

c) 4 y x + 3 y 2 x + 3x x − 5 x 3 =

29. Efetue: a) 3a x − 2 x x − 4a 2 x + 9 x 3 =

c) 2 4 x + 8 − 3 25 x + 50 + 4 16 x + 32 =

b) 5 a 5 + 4a 3 − a 4a 3 − a =

d) − 3b a + 7 b 2 a − 3a a − a 3 =

30. Escreva na forma mais simplificada: a)

x. x =

e)

x3 = x2

b) 3 x + x = a− 7 a=

c)

f) x − 3 .x − 4 = x .x 7 =

g) 3

d)

x x

=

PROFESSOR: LIMA

h)

3

a ⋅ 3 a4 =

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO k) 52 ⋅ b 4 =

a⋅ a =

i)

4

j)

( a) ⋅ a 3

2

=

31. Efetue as multiplicações e divisões: a)

3

a 5 . ab .4 a 2b 2 =

d)

xy .3 x 2 y 2 . x3 y =

b)

3

4a 2 x . 4a 2 x 2 =

e)

a⋅3 a⋅4 a =

c)

10

x3 . x =

3

f)

a5 a3

=

32. Efetue: a)

b)

c)

4

a2

8

a3

6

a 3b 2

4

a 5b

4

2

x y 3

d)

=

xy

2 ⋅ 6 27 = 4 9

e) 3 b ⋅ 53 b ⋅

=

f)

3

=

14 b= 3

3.6 125 = 5.4 25

2 , o valor numérico da expressão 3x 2 − x − 2 é: 3 1 2 b) 1 c) -1 d) e) − 3 3

33. Quando x = − a) 0

34. Se x = 3 6 e y = 9 3 : a)

x é o dobro de y;

d)

b) x − y = 1

y é o triplo de x;

e) x + y = 1

c) x = y 35. Racionalize as frações: a)

1 x

PROFESSOR: LIMA

b)

2 x+ 4

c)

3 1−

x

d)

3

4 x

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

1ª Questão: a) 36

h)

b)

36

i)

c)

–36

j)

d) e) f) g)

–8 –8 1 1

k) l) m) n)

2ª Questão:

81 16 81 16 - 27 8 0 1 1 -1

o)

b) 0,01

c) 0,25

9

25

D

3ª Questão: a) a 3 b 6 c 2

b)

4ª Questão:

A

5ª Questão:

A=

6ª Questão:

A

7ª Questão:

73 9

8ª Questão:

a) 0,125

x8

65 4

9ª Questão: a) a 10

d)

8x 3y 4

g)

8x 6

j)

b)

e)

81x 4

h)

125 a 6 b 9

k)

a5

PROFESSOR: LIMA

25x 8 4a 2 b 6 81 a 8

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO c)

4 a 8b c3

10 Questão:

x 15

i)

81 a 4 b8

b)

F = 2n –3

c)

G = 5n+4 . 2

25 36

a=

11ª Questão: a) E = 3n 12ª Questão: a) 1 10 b) − 1 4 13ª Questão: a)

f)

c) d) 3

3 -1 10 b) 2 ⋅ 3 6

a

14ª Questão: 1 a) 72 3 b) 24

2

e) f)

9

10 15 10

c) t 3 ⋅ t

d) t 3

c)

2 35

e)

d)

5 a6

f)

15ª Questão: a) 5 2

c)

4

e)

7 5

g)

1

b)

d)

f)

4 3

h)

1

g) h) i)

-5 –2 -1

3

42

x

1

8

2 x3

3

−

1 2

a

a b

5

m2n

4

m3

16ª Questão: C 17ª Questão: a) 5 b) 3

c) d)

6 1

e) f)

c)

3 4 3

e)

3 7 2

g)

9 28

d)

3 4 5

f)

4 7 3

h)

1 2 5

19ª Questão: a) 2a

d)

x 10

g)

4

11

j)

b)

e)

4a 5 5

h)

4xy 2

k)

a2 b 4x 2

18ª Questão: 5 a) 23 2 b) 53

6ab 3

PROFESSOR: LIMA

0 7

yz 3

c)

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO i) 10 x 1

f)

2 ⋅ ab 2 3

5

20ª Questão: a) a 2 5 x

c)

a ⋅ ab

e)

b)

d)

5a 2 x

f)

22ª Questão: 11 3 a) − ⋅ 2 12

b)

2 5 15

c)

23ª Questão: a) 4 7 b) − 92 2

c) d)

− 12 3 − 2 5

3 10

e) f)

24ª Questão: a) − x

c)

3 − 12 ⋅ 3 a

b)

d)

a 2b c

6⋅ 3 2 5

21ª Questão: − 2 10 d)

− 45 7 − 9 4 6

− 2⋅ 5 2

10 ⋅ 3 4

g) h)

e)

− a x− a a

g)

x 89 . y− . x 6 10

(a 2 − 12a) ⋅ 4 a

f)

− 2 ⋅ 4 a − 13 b

h)

− bc 4 ⋅ c 8

b)

31 m

c)

− 65 m

d)

71 m

27ª Questão: a) 8 7

c)

13 ⋅ 3 3

e)

3⋅ 5 4

g)

b)

d)

12 10

f)

24

h) i)

4 2 1

− 16 a + 87 b

25ª Questão: a) − 25 m 26 Questão:

−

3

2+ 2

3 ⋅ 4 6 + 27 ⋅ 4 3

44 ⋅ 3 3

y a 2

14 2

28ª Questão: a) 2 x 2 x b)

30ª Questão: a) x

d)

b)

4 x

e)

c)

−6 a

f)

31ª Questão: PROFESSOR: LIMA

(7 y − 2 x ) x

b) 28

29ª Questão: a) (a + x) x

5

c)

5 x+ 2

d)

4 a (b − a)

g)

15 x2

j)

7 a2

x

h)

5 a3

k)

5b4

x -7

i)

3 4 a

(3a 2 + 2a − 1) a

1

6

x

a) b)

8 a3

c) ⋅b

2ax ⋅ 3 4a 2 x

32ª Questão: 1 a) 8 a 3 1 b) − 4 12 ⋅b

a

d)

POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 4 e) a ⋅ 12 a x5 6a f) x2 y ⋅ 3 x2 y2

c)

1 6 x

e)

5b12 b

d)

2

f)

3 5

b)

2 x− 2 4 x− 4

c)

3+ 3 x 1− x

⋅

5 12 y

33ª Questão: A 34ª Questão: C

35ª Questão: a) x x

PROFESSOR: LIMA

d)

4 ⋅ 3 x2 x