Rekengebouw dat traditie en toekomst verbindt

R

Rekengebouw dat traditie en toekomst verbindt

Paul Op Heij

Basisschoolleerkracht Pink van de Hel bouwt met haar achtergrond in de ICT aan het Rekengebouw dat de montessorileerlijn verbindt met SLO-tussendoelen en de volgorde in volgsysteemtoetsen. Dat bovendien een verbeterde versie van digitale adaptieve rekenmethodes wil zijn. ‘Ik heb lang genoeg in de ICT gewerkt om te weten dat je pas precies weet wat je nodig hebt als je een systeem eenmaal gebruikt.’

Om de groei bij kinderen qua rekenenwiskunde aanschouwelijk en tastbaar te maken, ontwikkelt Pink van de Hel van Openbare Montessorischool Jan Vermeer in Delft met collega’s het zogenoemde Rekengebouw. Dat is een website waarop voortgang zichtbaar wordt, in een bouwwerk met etages voor moeilijkheidsgraden en kamers voor de aparte rekenonderdelen. Ze noemt het voor de afwisseling ook wel lasagne, omdat er geen ramen in zitten. Kinderen vergeten gemakkelijk hun eigen ontwikkeling, licht ze toe, en zo’n gebouw met verdiepingen helpt niveaus zichtbaar maken. ‘Zeker kinderen die wat moeilijker leren, wil je eraan herinneren dat ze iets eerder niet konden en een verdieping hoger kwamen, omdat het helpt bij het opbouwen van vertrouwen en motivatie. Ons was opgevallen dat bij gezamenlijke tempotoetsen kinderen die het goed deden, plezier hadden, meer oefenden en snel vooruitgingen. Goed voor het klassengemiddelde, maar wat heb je daaraan als kinderen die het niet goed kunnen, weinig oefenen en nauwelijks vooruitgaan. Door die laatsten te laten oefenen en toetsen op een beperkt aantal tafelsommen tegelijk, boekten ook zij meer vooruitgang en werden gemotiveerder. Ik programmeerde daartoe toetsen op maat. Daarna zijn we aan die maatwerktoetsen naast tafelsommen steeds meer soorten opgaven gaan toevoegen. Om alle doelen te ordenen plaatsten we die van gelijk niveau naast elkaar en moeilijkere boven makkelijkere. Dat groeide uit tot het Rekengebouw, waarmee we kinderen van de ene naar de volgende verdieping laten werken, ieder in een eigen tempo. Dus leerlijnordening in de vorm van een gebouw.’

Vanuit de basis

Op basisscholen loopt rekenen minder het gevaar dan wiskunde op de middelbare om een geïsoleerd vak te worden in het curriculum, zegt Pink van de Hel. Dit omdat op basisscholen bijna alle leerkrachten alle vakken geven, ‘ook al leggen ze hun eigen accenten.’ Zelf studeerde ze Industrieel Ontwerpen aan de Technische Universiteit Delft en ontwikkelde 10 jaar software bij TNO 1 voordat ze in de avonduren de pabo ging doen en een montessoriomscholing. Als ingenieur op de basisschool legt zij het accent allicht bij rekenen-wiskunde, zegt ze, al wil dat niet zeggen dat ze andere onderdelen niet met plezier doet. Toen ze voor het onderwijs koos, zaten haar twee kinderen op de basisschool. ‘Wat ik het allerleukste vind is als je bij kinderen het kwartje ziet vallen, hoe ze enthousiast kunnen uitroepen: hé nu snap ik het.’ Voorlopig zal ze dus nog wel in het basisonderwijs werken, ook al ziet ze zichzelf al wel eens bij een Lego Education Centre of het Freudenthal Instituut.

2 Op de pabo werd rekenen sterk benaderd vanuit de basis, wat volgens haar heel goed is, omdat veel mensen in het onderwijs trauma’s met rekenenwiskunde oplopen en tegen de tijd dat ze leerkracht willen worden denken dat ze het niet (meer) kunnen. Veel kinderen en ook volwassenen hebben het idee dat rekenen moeilijk en ingewikkeld is, zegt ze, terwijl dat helemaal niet het geval hoeft te zijn, als je maar goed bij de basis begint: rekenen als vaardigheid om te ordenen, nog niet het ‘realistisch rekenen’ voor het echte leven van het Freudenthal Instituut. Pink van de Hel: ‘Als je eerst goed leert ordenen met cijfers valt dat bewerken later heel erg mee. Dat ordenen heeft weinig met intelligentie te maken, vrijwel iedereen moet dat kunnen. Daarbij is het voor mij als leerkracht, met mijn bredere ervaring, makkelijker om kinderen mee te nemen, omdat ik meer overzicht heb en vreemde gedachtenkronkels van kinderen makkelijker kan herkennen. Toen ik 10 jaar geleden in het onderwijs begon, moest ik me wel bepaalde didactische vaardigheden nog eigen maken, maar daarbij heb ik veel steun gehad van ervaren collega’s als Anne Schiereck van Montessorischool Leidschenveen, net als ik een rekenfreak. Hoewel ik al bijna vier jaar in Delft werk, werken we nog steeds goed samen.’

1 Nederlandse Organisatie voor toegepastnatuurwetenschappelijk onderzoek (TNO) werd in 1932 opgericht en werkt aan onderzoeken en innovaties die direct kunnen worden toegepast door bedrijven en overheden. 2 Het Freudenthal Instituut aan de Universiteit

Utrecht draagt al 50 jaar het zogenaamde

‘realistische rekenen’ uit waarbij kinderen leren vanuit praktijksituaties, om vanuit de fysieke werkelijkheid tot de abstractie van formules te komen, in plaats van andersom. 3 Schmeier, Marcel (2017), Effectief rekenonderwijs op de basisschool 2.0, Uitgeverij

Pica. Pink van de Hel over Schmeier: ‘Ik heb de indruk dat de extreme variant van het “realistische rekenen” een beetje op zijn retour is. Marcel Schmeier maakt steeds meer tromgeroffel om terug te keren naar de basisvaardigheden.’ Pink van de Hel

Behoorlijk in beweging

Op veel scholen is het rekenonderwijs behoorlijk in beweging, vertelt Van de Hel, en daarbij lopen de ideeën van collega’s vaak flink uiteen. Zeker ook op montessorischolen. De materialen van Maria Montessori worden er vaak nog met liefde gebruikt, maar met alleen die materialen krijg je kinderen niet aan het rekenen, meent zij. ‘Naast de lesjes wil je als docent ook een aanleiding hebben waarom kinderen iets moeten uitrekenen. En er moet geoefend worden. De materialen die we op school hadden, waren wat morsig geworden en we konden het niet gemakkelijk eens worden over hoe ze te vervangen. Bij ons op school, toen nog twee locaties, koos de ene locatie voor de methode Getal en Ruimte Junior, de andere wilde zonder methode verder en koos voor AVE-Ik. Maar eigenlijk wil je een systeem dat niet alleen voor de leraren, maar ook voor de leerlingen de leerlijn transparant maakt. Want het is hartstikke leuk om leerlingen individueel lesjes te geven, maar je hebt er wel 27 in de klas. Je wil dus een goed voorbereide omgeving met niet alleen die materialen, maar ook alles wat ze nodig hebben om individueel voldoende te kunnen herhalen en geïnspireerd te raken.’ Je hebt niet altijd een aanleiding nodig om iets te kunnen uitleggen of uit te laten rekenen, maar praktijkvoorbeelden en -situaties, ‘soms een bijzonder getal uit het Jeugdjournaal’, maken het wel makkelijker om de aandacht van kinderen vast te houden, meent ze. Dus vraagt ze haar leerlingen, zeker bij groepsactiviteiten, hoe lang zij denken dat de gang is of hoe breed het speelplein. Ze heeft bijvoorbeeld een touw van honderd meter in haar lokaal waarmee ze leerlingen regelmatig op pad stuurt. En zo’n Viktor Mids van Mindfuck op tv. - oud-leerling trouwens van het Haags Montessori Lyceum, en een Ionica Smeets met haar rekenwiskundecolumns in de Volkskrant, vindt ze heel inspirerend, al kan ze hun ideeën en ideetjes zelden direct meennemen in lessen, vertelt ze.

Marcel Schmeier

Maar er is ook Marcel Schmeier met zijn Hoe leer je kinderen rekenen? 3, zegt ze, die zich juist sterk afzet tegen al dat moderne realistische rekenen, waarbij alles moet kunnen worden beleefd, terwijl er nauwelijks nog geoefend en geautomatiseerd wordt. ‘Veel mensen lijken te denken dat abstractie en jonge kinderen niet samengaan, maar ik denk dat abstract denken ook gewoon een vaardigheid is die je met onderwijs kan

helpen ontwikkelen. Je moet dus niet te lang in het realistische rekenen en dat toepassen blijven hangen. Marcel Schmeier vindt zelfs dat je eerst moet leren bewerken en oefenen en dan pas toepassen, dus eerst kilometers maken, niet anders dan dat nodig is voor het opbouwen van spieren. Ik denk ook dat automatiseren belangrijk is om dat abstracte uiteindelijk aan te kunnen. Want als het rekengedeelte van een talige contextsom te moeizaam gaat en teveel tijd kost, gaat op een gegeven moment ook weer de context verloren. En zit de leerling dus met twéé problemen. Om plezier aan contextsommen te kunnen beleven, moet je ook de nodige rijtjes kunnen. Natuurlijk heb je daarbij nog het onderscheid tussen memoriseren, dat je je de uitkomst van een som gewoon herinnert, en automatiseren, dat je weet welke handeling vereist is om tot een juiste berekening te komen, maar het moet in ieder geval een beetje snel en vanzelf gaan om bij die uitkomst te komen. Je kan best een algoritme leren uitvoeren zonder te begrijpen hoe het werkt. Begrip daarvan is mooi maar niet noodzakelijk. Routine zonder begrip is noodzakelijker dan begrip zonder routine.’ Te vaak denken volwassenen ook dat kinderen rijtjes leren saai vinden, meent zij. ‘Natuurlijk is teveel niet goed, maar kinderen vinden het ook gewoon fijn als ze merken dat ze iets zeker zijn gaan beheersen. In ons Rekengebouw zitten dan ook gewoon rijtjes en we doen ze ook regelmatig, ieder op een eigen niveau.’ Als leerlingen het al een tijd niet meer gedaan hebben, vragen ze er soms zelf om. En als het hun lukt om een rijtje op tijd te maken, hoor je de succeservaring, zegt ze: ‘ Yes!’ Wat ons spontaan bij kinderboek De telduivel4 brengt, waarin Robert ’s nachts zijn dromen leert opvrolijken door veel te leren over rekenen-wiskunde, van de telduivel die bij hem op bezoek komt. Van de Hel heeft met dat boek nog een tijd freelance les gegeven in de groepen 5 en 6, vertelt ze enthousiast. Ze las dan telkens een passage voor en koppelde daar rekenkundige of wiskundige opgaven op het juiste niveau aan.

Leerlijn bewaken

Ze zegt niet te weten of docenten het leren rekenen altijd net zo systematisch opbouwen als ze dat bij taal doen. ‘Kijk, in het regulier onderwijs bewaakt de gebruikte methode een leerlijn, bij montessori moeten docenten die zelf bewust neerzetten en aanhouden. Ze beginnen met de gouden materialen, de kraaltjes, 10 aan 105, heel concreet. Daarna wordt het abstracter en worden er afspraken gemaakt: de groene kraal staat voor 1, de blauwe voor 10 en de rode voor 100. Alvast abstracter, maar je hebt nog steeds iets in handen. Omdat het aanschouwelijk en tastbaar maken van rekenen-wiskunde zo voor de hand ligt, gebruiken tegenwoordig ook veel reguliere scholen materialen, meer dan alleen een telraam. Bij ons werken kinderen in de onderbouw met de materialen al met sommen van 10.000, dat wat in het regulier pas in groep 5-6 op het programma staat. En ook de overstap naar de algebra en het worteltrekken gaat prima met die materialen, omdat leerlingen dan letterlijk 1000 kralen in handen hebben. De materialen zijn zo opgebouwd dat getalbegrip ook echt een beeld in je hoofd kan worden. Maar leerlingen leren het berekenen uiteraard ook op papier, want dat is het uiteindelijke doel. Op papier werken gaat ook veel sneller dan met materialen. Die gebruik je vooral voor het inzicht en begrip krijgen. Hoe meer zintuigen je daarbij betrekt, hoe sterkere herinneringen je aanmaakt.’ Van de leerlijn op haar basisschool heeft zij aardig overzicht, zegt ze: ze weet wat leerlingen als ze bij haar in de bovenbouw aankloppen, moeten kunnen en wat ze moeten beheersen als ze naar de middelbare gaan. Maar ze heeft geen goed beeld, zegt ze, van wat ze doen in de brugklas, al weet ze, ook van haar eigen kinderen, dat leerlingen op de basisschool veel leren wat ze later nooit meer gebruiken. ‘Op de montessorischool leren ze de staartdeling als vanouds – het is trouwens heel verwarrend als kinderen op reguliere basisscholen leren delen met kolomsommen of met happen nemen en dat dat dan ook staartdeling wordt genoemd. Vandaar dat wij onze aanpak de klassieke staartdeling zijn gaan noemen. Maar in de derde van de middelbare school zijn leerlingen het allemaal weer kwijt, omdat er op de middelbare school niet meer met klassieke staartdelingen wordt gewerkt. Daar mogen leerlingen trouwens gewoon de rekenmachine gebruiken.’

Digitale methodes

Aangezien Van de Hel toch kon programmeren, zocht ze de oplossing voor een goede en ook voor leerlingen transparante, doorlopende leerlijn via haar website Rekengebouw: van elke leerling en van elk rekenonderdeel de voortgang duidelijk zichtbaar. ‘We hebben er ook al alle tussendoelen van het SLO in gebouwd. Ons bouwwerk is iets heel anders dan digitale adaptieve rekenmethodes als Snappet en Gynzy. Het adaptieve ervan zit ook in ons systeem, maar het is zeker niet de bedoeling dat onze kinderen steeds via de website op computers werken, al moeten ze dat uiteindelijk ook wel kunnen. Wij hebben boekjes met sets opgaven, werkjes, en kinderen pakken daar dan gewoon de materialen bij. Maar ook al werken ze vooral vanaf het papier, ze zijn het toch al vrij snel levels gaan noemen. We volgen weliswaar de montessorileerlijn, maar we hebben die lijn ook al zo afgestemd dat leerlingen, wanneer ze een landelijk genormeerde toets maken, ook via het Rekengebouw goed voorbereid zijn. Het is immers niet fijn om aan ouders uit te moeten leggen dat hun kinderen wel veel geleerd hebben, meer dan nodig zelfs, maar dat ze voor die toets toch niet goed gescoord hebben.’ 6 Omdat het in het onderwijs belangrijk is opgebouwde materialen ook te kunnen overdragen aan minder ervaren leerkrachten, zou de hoeveelheid sommen in het Rekengebouw een probleem kunnen zijn. Toch is dat niet het geval, legt Pink van de Hel uit, omdat zij en haar collega’s juist de logische opbouw in de rekenlijn benadrukken en duidelijk maken dat onderdelen als worteltrekken echt de extra’s zijn. ‘Als je aan zo’n onderdeel niet toekomt, ligt niemand daar wakker van. Als een leerling meer tijd nodig heeft bij klokkijken, kan hij beter daar iets meer tijd aan besteden. De extra’s voor meer uitdaging zitten door het hele gebouw heen, maar het bovenste deel is geheel gevuld met extra’s voor kinderen die daar nog aan toe komen.’

4 Enzensberger, Hans Magnus (1999), De telduivel. Een hoofdkussenboek voor iedereen die bang voor wiskunde is, De Bezige Bij. 5 https://www.heutink.nl/artikel/alles-vanheutink/100_590538 6 Enkele concrete voorbeelden hierbij: ‘Bij montessori leren kinderen in de middenbouw, soms onderbouw, al cijferend optellen en aftrekken met getallen boven de 1000. Dat wordt pas in groep 6 getoetst in de LVS toetsen.

Andersom komen er ook dingen in toetsen die in het montessoricurriculum wat later worden aangeboden, juist in de LVS toetsen van groep 4 of 5 voorbij. Zo kan of kon het gebeuren dat kinderen bepaalde vaardigheden die nog niet getoetst worden goed beheersen, maar toch slecht scoren op een toets.’

Persoonlijke QR-code

Ze probeert met haar collega’s het Rekengebouw voor zowel kinderen als andere docenten dus zo transparant mogelijk te maken. Leerlingen loggen in met een persoonlijke QR-code en zien hun eigen versie van het gebouw, zoals de leerkracht het op basis van wat die signaleerde voor hen persoonlijk heeft voorbereid en klaargezet. ‘Ik geef keuzevrijheid door een beperkte keus te geven. We willen hen niet teveel keus geven, omdat ze dan al gauw iets kiezen wat nog niet lukt en wat vooral zal frustreren. We overleggen daarbij dus ook regelmatig met onze collega’s in Leidschenveen. We geven elkaar feedback en we groeien samen mee met het gebruik van het systeem. Daarom is het ook prettig dat het niet door een derde partij ontwikkeld wordt. Je weet pas precies wat je wil als je iets hebt. Door het systeem te gebruiken, weet je steeds preciezer wat je wilt. Ik heb lang genoeg in de software ontwikkeling gewerkt om te weten dat het zo werkt. We kennen dat fenomeen ook van de overheid waar softwareprojecten altijd helemaal uit de hand lopen, omdat ze ontwikkeld worden door externe ontwerpers en ontwikkelaars, omdat het heel moeilijk is om te bedenken wat de gebruiker, de klant dus, precies wil. Ik ben zowel gebruiker als ontwikkelaar en heb nauw contact met collega-gebruikers waardoor we geleidelijk toe groeien naar steeds beter. Uiteraard horen we ook van de kinderen wat niet en wel werkt, maar de belangrijkste feedback van hen is toch als het hen lukt om elkaar te helpen om te leren, zonder afhankelijk te zijn van de leerkracht, en je aan hen ziet dat ze ervan genieten als het lukt.’

E

Effectiviteit van montessorirekenonderwijs

Jaap de Brouwer

Van oudsher werken veel scholen in kleutergroepen met ontwikkelingsmaterialen vanuit het idee dat concreet materiaal de eerste stap is om zich abstracte reken- en wiskunde concepten eigen te maken. Dat gebeurt ook op montessorischolen. Maar is het werken met montessorimaterialen wel zo effectief voor het verzorgen en leren van rekenen en wiskunde onderwijs?

De inzet van ontwikkelingsmateriaal komt voort uit het idee dat kinderen eerst concreet moeten handelen, voordat ze abstract kunnen redeneren. Eerst leren we kinderen om te tellen met stenen, kralen en vingers om ze dit vervolgens, naar mate getallen groter worden, zonder concrete ondersteuning van materialen te laten doen. Zo bekeken stellen de ontwikkelingsmaterialen voor rekenen een abstracter wiskundig concept voor. Het gouden materiaal als voorstelling van het decimale stelsel, het kralendecanoom van de tafels van vermenigvuldiging of het machtsverheffen. Toch zit hier een tegenstrijdigheid: het vraagt van kinderen immers al abstract te kunnen denken om een wiskundig concept af te leiden uit een concreet ontwikkelingsmateriaal: het decimale stelsel afleiden uit het gouden materiaal, wat nogal wat (denk-) stappen van kinderen vraagt natuurlijk. Maria Montessori overzag dit probleem al. In haar boek De Methode1 vraagt zij zich af of dit komt door het nog niet ontwikkelde vermogen van kinderen om te komen tot abstractie, of door het gebrek van materialen om een abstract wiskundig concept over te brengen. Ze gaat uit van het laatste en probeerde in haar zelf ontwikkelde materialen abstracte, wiskundige concepten te ‘materialiseren’. Niet door ze persé zo concreet mogelijk te maken, maar vooral door wiskundige concepten een tastbare en meer begrijpelijkere vorm te geven. Maria Montessori’s rekenmaterialen zijn in die zin dan ook niet altijd concreet, eerder symbolisch: het wiskundige concept ligt ‘verborgen’ in het materiaal. Zij sprak dan ook over ‘gematerialiseerde abstracties.’ De logische volgorde voor het zich eigen maken van abstracte wiskundige concepten is dan: vanuit de concrete ervaring naar een symbolische weergave door naar abstractie.

Hoe met materialen

Vaak staan er dozen vol montessorimaterialen in onderbouwgroepen, nog eens aangevuld met andere ontwikkelingsmaterialen. Maar wie die voor rekenen en wiskunde goed bekijkt, ziet dat ze nogal verschillen, qua uiterlijk, maar ook qua gebruik: positie binnen de leerlijn, doelstelling, maar bovenal de bruikbaarheid om effectief bij te dragen aan het leren van rekenen en wiskunde. Onderzoek naar de toegevoegde waarde van ontwikkelingsmaterialen op het leren van rekenen laat een wisselend beeld zien: sommige studies laten zien dat materialen wel bijdragen aan het leren van rekenen en wiskunde, andere spreken dat tegen of stellen dat materialen het leren zelfs verstoren. Een grote overzichtsstudie2 uit 2013 van Kira Carbonnaueau en collega’s laat een genuanceerder beeld zien. Zij stellen dat ontwikkelingsmaterialen wel degelijk kunnen bijdragen aan het leerproces van kinderen, mits toegepast onder een viertal voorwaarden. Ten eerste dat kinderen langere tijd met de materialen moeten hebben gewerkt voordat het bijdraagt – bevestigt en verduidelijkt door onder andere Elida Laski en collega’s: hoe langer je werkt met materialen, hoe effectiever het wordt.3 Dit omdat kinderen de tijd nodig hebben om de relatie te leggen tussen materialen en abstractere wiskundige concepten. Het is als een iteratief proces: door het werken met materialen een basaal idee krijgen van hoe een wiskundig concept in elkaar zit. Dat leidt tot een beter begrip van het wiskundige concept. Hierdoor begrijpt het kind ook weer beter hoe dit wiskundige concept zich verhoudt tot het materiaal dat het gebruikt. En dat leidt weer tot een beter gebruik van het materiaal, wat weer leidt tot een beter begrip van het wiskundige concept, enzovoorts. Verwacht dus niet, aldus Laski, dat kinderen al na een enkele keer werken met het gouden materiaal het decimale stelsel kennen. Ze stelt dat het zelfs met het best ontworpen ontwikkelingsmaterial niet realistisch is te denken dat jonge kinderen zelfstandig de relatie leggen tussen materialen en abstractere wiskundige concepten. Het vraagt tijd, instructie en oefening om deze relaties te leggen.

1 Montessori, M. (2016), De Methode.

Montessori-Pierson Publishing Company:

Amsterdam. 2 Carbonneau, K. J., Marley, S. C., & Selig,

Relaties en verbindingen

Dat leraren kinderen expliciete begeleiding bieden om de relatie te leggen tussen het materiaal en het wiskundige concept is ook de tweede voorwaarde van werken met materialen die Carbonnaueau en collega’s stellen. Leraren moeten daarom hun denkstappen, handelingen en denkprocessen hardop uitleggen tijdens het geven van instructies met het materiaal. Dat vraagt ook, als derde voorwaarde, een heldere materiaallijn van concreet naar steeds abstracter. Hoe concreter de overeenkomst is tussen een ontwikkelingsmateriaal en het wiskundige concept, hoe makkelijker het voor kinderen is om de relatie tussen deze twee te begrijpen. Dat klinkt simpel bij tellen en getalbegrip, maar wordt ingewikkelder bij machtsverheffen of worteltrekken. Maar blijf niet bij die concrete fase hangen, is het advies van Laski en collega’s. Concrete materialen zijn weliswaar nodig voor het eerste basisidee van het wiskundige concept, maar kinderen zullen op den duur los moeten komen van het materiaal. Of, zoals Maria Montessori dat voor zich zag: van concreet naar symbolisch naar abstract. Voor leraren is het dus van belang te weten wat de wiskundige essenties van de materialen zijn en welk doel ze dienen. Maar ook wanneer materialen in te zetten in

3 Laski, E. V., Jor’dan, J. R., Daoust, C., &

Murray, A. K. (2015), What makes mathematics manipulatives effective? Lessons from cognitive science and Montessori education. SAGE Open.

de leerlijn en waarom juist dít specifieke materiaal. Het hoe, wat, wanneer en waarom ervan dus.

Aanvullingen overbodig

Voorkom afleiding

Als laatste voorwaarde stellen Carbonnaueau en collega’s dat ontwikkelingsmaterialen eenvoudig en eenduidig zouden moeten zijn. Minder is meer, is hun devies. Storende, irrelevante eigenschappen van materialen leiden af van het wiskundige doel ervan. Die afleiding leidt tot minder effectief leren.4 En hoewel vaak gedacht wordt dat alledaagse voorwerpen, zoals het tellen van knuffeldieren of fruit, leidt tot het begrijpen van wiskundige concepten, is het tegenovergestelde waar. Laski en collega’s stellen dat dit soort alledaagse voorwerpen door kinderen op twee manieren bekeken kunnen worden: als op zichzelf staande voorwerpen of als een voorstelling voor een wiskundig concept. Wanneer voorwerpen eerder uitnodigen om mee te spelen dan te gebruiken voor een wiskundige doel leidt dat de aandacht van kinderen af. Montessori’s rekenmateriaal voldoet aan deze voorwaarde om niet te af te leiden. De isolatie van de eigenschap, zoals Montessori dat noemt, zorgt er voor dat er één wiskundig aspect centraal staat in elk materiaal. Kleur, vorm, lengte of andere eigenschappen worden binnen een materiaal zoveel mogelijk gelijk ‘Ik denk dat je heel goed rekenonderwijs kunt geven met alleen de montessorirekenmaterialen,’ concludeert Chris Willemse, brand manager bij Nienhuis, uitgever van montessorimaterialen. Willemse: ‘De mogelijkheden die in het montessori reken- en wiskundemateriaal zitten, worden, volgens mij, nog niet volledig benut. Er zitten nog veel meer gebruiksmogelijkheden in dan dat ik nu in de praktijk zie. Dat vraagt wel om grondige kennis van de leraar om de materialen optimaal te benutten. Kennis die mijn inziens nog wel eens ontbreekt. Ik denk dat je heel goed rekenonderwijs kunt geven met alleen de montessorirekenmaterialen. Als je de materialen optimaal benut heb je weinig aanvullende materialen nodig. Maar dat aanvullend materiaal ontwikkelt Nienhuis zelf toch ook? Willemse: ‘We hebben een rekenarena en een grotere mat voor het fichesspel ontwikkeld. De scholen vragen ook om aanvullingen, dus blijven wij ook kritisch kijken naar ons eigen aanbod. Momenteel zijn we bezig met een materiaal om Pi uit te kunnen rekenen. Dat zijn aanvullingen die ook echt iets toevoegen aan het bestaande materiaal.’

gehouden als het er niet toe doet. Dat helpt om de aandacht van kinderen te richten op het wiskundige concept. Kortom: alle montessorirekenmaterialen zijn bedoeld om mee rekenen en niet om mee te spelen.

Is het effectief?

Zo bezien lijkt het of Maria Montessori’s materialen aardig voldoen aan de voorwaarden van Carbonnaueau en collega’s om effectief reken- en wiskundeonderwijs mee te geven. Dat is ook wat Laski en collega’s stellen. Toch is er nog geen onderzoek bekend waarin duidelijk wordt aangetoond dat het leren van reken- en wiskunde met behulp van de montessorimaterialen effectiever is dan op scholen die geen gebruik maken van deze materialen. Angeline Lillard en Abha Basargekar waagden afgelopen jaar een poging om de effectiviteit van het montessorirekenonderwijs beter in beeld te krijgen.5 In hun overzichtsstudie pogen zij de onderzoeken naar het reken- en wiskundeonderwijs op de montessorischolen die bekend zijn en de werkende leerprincipes samen te brengen. De meeste onderzoeken die zij bekeken hebben, tonen geen verschil. Enkele studies suggereren dat een andere aanpak beter is, zoals ook enkele aantonen dat de montessori-aanpak effectiever is. Kortom, resultaten verschillen en harde conclusies zijn dan moeilijk te trekken. Maar Lillard en Basrgekar zijn ook kritisch: kijkend naar de uitvoering van het montessorionderwijs concluderen zij dat wanneer het montessoriconcept trouw en stevig geïmplementeerd werd op een school, dit ook betere resultaten liet zien in de studies naar reken- en wiskundeprestaties. Maar ook andersom: dat de studies die geen positief effect aantoonden in het voordeel van het montessorionderwijs, gingen over scholen waar de implementatie van het montessoriconcept ook slechts matig was. Alles uit de onderzoeken van Carbonnaueau, Laski en Lillard samengenomen, betekent dat wanneer het materiaal op de juiste wijze wordt ingezet en de school het montessoriconcept op een zo getrouw mogelijke manier uitvoert, dit volgens deze onderzoekers leidt tot effectief rekenonderwijs.

4 Zie o.a: McNeil, N. M., Uttal, D. H., Jarvin,

L., & Sternberg, R. J. (2009), Should you show me the money? Concrete objects both hurt and help performance on mathematics problems.

Learning and Instruction, 19, 171-184. 5 Basargekar, A. & Lillard, A.S. (2021), Math achievement outcomes associated with

Montessori education. Early Child Development and Care, 191:7-8, 1207-1218

Verschillende keuzes

Andere montessorischolen pakken het rigoureuzer aan wat betreft hun reken- en wiskunde onderwijs en zoeken naar alternatieven en aanvullingen. Een ontwikkeling die al vanaf 2003 is ingezet met een discussie over de vernieuwing van het reken- en wiskundeonderwijs binnen de NMV. De conclusie was dat de rekenmaterialen alleen niet voldoende zijn om de kerndoelen te behalen en dat aanvullingen dus noodzakelijk zijn.6 Inmiddels valt er heel wat te kiezen, van reguliere rekenmethodes, tot meer op de montessorileest geschoeide rekenmaterialen. Ronald Bakker, directeur op Montessorischool Tuinstad (Rotterdam), gebruikt op zijn school de aanvullingen van de projectgroep Wiskunde Montessori Basisonderwijs (WMBO). Bakker: ‘Naast de gewone montessorimaterialen, de oude rekenkaarten, gebruiken we ook de werkwijze van het WMBO. De materialen blijven voor ons echter centraal staan. Daarom hebben we ook voor de WMBO werkwijze gekozen, want die sluit er goed bij aan. Het WMBO materiaal bestaat uit werkkaarten voor kinderen, maar er zijn ook didactische bijsluiters voor leraren. Maar de implementatie van het WMBO is best pittig, vereist veel kennis van de leraar, van de leerlijnen, van rekendidactiek en de montessorimaterialen. Maar dat zorgt er wel voor dat we rekenonderwijs hebben dat goed aansluit bij de kinderen en de montessorivisie. En we zien rekenlust bij de kinderen, dat motiveert om er mee door te gaan.’ Op Montessorischool de Plotter in Zutphen kiezen ze voor een andere werkwijze. Na het werken met een reguliere methode en het WMBO materiaal hebben ze daar gekozen voor Ik wil rekenen. Jeffrey Martherus, leraar van een bovenbouwgroep: ‘Dat was in het begin best wennen. We hebben als team eerst wat overzicht moeten creëren. Ik wil rekenen bestaat uit een grote kast vol met materialen en rekenkaarten; de kinderen hadden in het begin geen overzicht. Dat vroeg wat tijd en kennis van ons, je hebt een plan nodig: hoe zet je de rekenkaarten en materialen van Ik wil rekenen in, hoe past het binnen het onderwijs dat wij geven? Inmiddels loopt het goed. Het voordeel vind ik dat kinderen kunnen werken aan doelen die passen bij hun eigen niveau. Soms grijp ik eerst terug op de montessorimaterialen voordat ik met hen abstracter ga werken met de kaarten in Ik wil rekenen. Het voordeel ervan, vind ik, is dat ik als leraar keuzes kan maken. Zo werkt Ik wil rekenen goed in combinatie met de montessorirekenmaterialen.’ Maurice Limpens en Desiree Leensen, beiden leraar in de middenbouw van Montessorischool Venray, herkennen de zoektocht naar aanvullend passend rekenmateriaal. ‘Eerst werkten we met een reguliere rekenmethode die we helemaal verknipt en in doelen verdeeld hadden. Maar we merkten dat alles door elkaar liep, er was weinig overzicht, ook voor de kinderen. We hebben veel methodes en aanvullende materialen bekeken en uiteindelijk gekozen voor Getal en ruimte junior. Ze geeft veel overzicht: één doel in de week staat centraal, we geven instructie en daarna gaan we inoefenen. Het eindigt met een toepassingsopdracht. Differentiëren gebeurt doordat er verschillende werkboeken zijn die passen bij het niveau van de kinderen. Het geeft leraren veel handvatten om goed rekenonderwijs te geven. We hebben een jaar gedraaid om de methode onder knie te krijgen, nu zitten we in de fase om de methode meer los te laten en de montessorimaterialen meer te integreren. We hebben immers Getal en ruimte junior nooit aangeschaft om die slaafs te blijven volgen, maar als leidraad.’

6 Zie ook: Inspectie van het Onderwijs (2007), Het Montessori Basisonderwijs.