De kunst van wiskunde

D

De vrucht van kritische zelfreflectie

Bert Kraai1

We zijn in Nederland gewend geraakt aan realistisch reken- en wiskundeonderwijs, zoals dit is ingezet door het Freudenthal Instituut en ook internationaal navolging kreeg. Maar hoe anno 2022 tegen deze ‘vernieuwing’ aan te kijken? Een boekbespreking van Volgens Barton2 van Craig Barton, vertaald en uitgegeven door collega René Kneyber.3

Enkele jaren geleden mocht ik een vwo-leerling begeleiden bij een profielwerkstuk met als titel Een goede wiskundeles. Die leerling was van mening dat wiskunde op een veel betere manier gegeven kon worden dan ik deed. Ik voelde mij wat in mijn wiek geschoten, want ik zag mijzelf als de beste wiskundedocent in de school en misschien wel in de regio. Nu realiseer ik mij dat in het land der blinden eenoog koning is. Ik ben de uitdaging met deze leerling aangegaan. Hij stuurde mij een link naar een TED-Talk van Dan Meyer4 over de noodzaak om wiskundelessen te herontwerpen. Deze video maakte diepe indruk op mij. Ik werd mij er ineens van bewust dat ik pas aan het begin stond van een lange reis om echt goede wiskundelessen te gaan geven.

Iets soortgelijks overkwam Craig Barton, sinds 2004 wiskundeleraar in Engeland. ‘Er is geen wiskundeleraar in Engeland die hem niet kent’, aldus vertaler/uitgever René Kneyber in zijn inleiding. In Volgens Barton beschrijft Barton hoe hij zich jaren geleden ontwikkeld had tot een gevierd wiskundeleraar, die zowel door leerlingen als de inspectie op handen gedragen werd. Daarnaast had hij twee populaire wiskundesites ontwikkeld (www. mrbartonmaths.com en www.diagnostic questions.com) die door een breed internationaal publiek worden bekeken.

Studeren, experimenteren

Maar toen begon hij eind 2015 met het interviewen van interessante en inspirerende onderwijsmensen als Dylan Wiliam, Robert en Elizabeth Bjork, Daisy Christodoulou en Doug Lemov. Hij onderwierp hen aan een vragenvuur, hoe zij hun lessen vormgaven en waarop zij hun keuzes baseerden. Ineens realiseerde Barton zich dat hij zich zelf niet bewust was geweest van zijn eigen keuzes en vooral intuïtief handelde. Dus begon hij als een razende onderwijsliteratuur te verzamelen en verslinden. Barton maakte overal aantekeningen van, vatte alles samen op zijn website en probeerde nieuwe inzichten uit in de praktijk. Daarnaast gaf hij presentaties en workshops aan wiskundeleraren. Hoe meer hij las en experimenteerde, hoe meer vragen er boven kwamen. Uiteindelijk heeft hij alle verzamelde informatie samengevat in het boek Volgens Barton. Dit is zo’n dikke pil geworden, dat het bij de Nederlandse vertaling in eerste instantie werd opgeknipt in twee afzonderlijke delen, maar bij een heruitgave toch weer is samengevoegd. Het boek is overzichtelijk ingedeeld in 2 inleidende hoofdstukken, die vervolgens op een verdiepende laag worden uitgewerkt in de resterende 10 hoofdstukken. Ieder hoofdstuk bestaat uit paragrafen, die een vaste opbouw kennen: wat ik vroeger dacht, inspiratiebronnen, wat ik ervan opstak en wat ik nu doe. Door de veelheid aan verwijzingen in het boek maakt Barton duidelijk dat alles met alles samenhangt. Maar dit maakt het er soms voor de lezer niet altijd duidelijker op. Daarnaast valt hij regelmatig in herhaling. Mogelijk heeft hij dit gedaan vanuit de gedachte dat herhaling de kracht is achter de reclame...

1 Bert Kraai is docent wiskunde Vrijeschool

Zutphen 2 Barton, Craig (2019), Volgens Barton. Lesgeven in wiskunde aan de hand van wetenschap, experts en 12 jaar aan mislukkingen. Uitgeverij

Phronese/Culemborg. 3 René Kneyber was 15 jaar wiskundedocent en is publicist, uitgever en trainer onderwijs. Hij schreef o.a. de boeken Het Alternatief 1 en Het

Alternatief 2, kritische beschouwingen op ons onderwijsbestel en voorstellen ter verbetering 4 Meyer, Dan (2010), TED Talk: Math Class

Needs a Makeover. https://www.ted.com/ talks/dan_meyer_math_class_needs_a_ makeover?language=n

Humor en zelfspot

Het vraagt enige moed om aan deze dikke pil te beginnen. Maar Craig Barton weet de lezer met zijn lichtvoetige schrijfstijl, doorspekt met de nodige humor en zelfspot, prima bij de les te houden. De voorbeelden uit zijn lespraktijk zijn heel herkenbaar, waardoor je als lezer al snel merkt dat een ervaren collega jou een kijkje in zijn keuken gunt. En jou deelgenoot durft te maken van zijn eigen fouten en wat hij daarvan heeft geleerd. Dat maakt dit boek wel uniek in zijn soort! Gaandeweg doe ik allerlei nieuwe ontdekkingen. Een voorbeeld: als leerlingen eenmaal iets fout hebben aangeleerd, raken zij dit nooit meer helemaal kwijt. Ineens ging ik begrijpen waarom het averechts werkt als je veel aandacht besteedt aan veelgemaakte fouten als (x – 2)2 = x2 – 4. In plaats daarvan leg ik nu kwadrateren uit als: met zichzelf vermenigvuldigen. Dan ontstaan vanzelf dubbele haakjes, en de meeste leerlingen weten inmiddels wel hoe je die weg moet werken. Nog zo’n eyeopener is dat motivatie niet altijd leidt tot succeservaringen, maar dat het omgekeerde wel geldt: succeservaringen leiden bijna altijd tot meer motivatie. Dus is het belangrijker om randvoorwaarden te scheppen zodat leerlingen succeservaringen kunnen opdoen, in plaats van de lessen te gaan opleuken om de motivatie te verhogen. Daarmee moedigt Barton mij als collega aan om mijn wiskundelessen te gaan herontwerpen. Op ruim 500 bladzijden biedt hij daarvoor tal van handreikingen, die ik zelf in mijn lessen kan uitproberen. Daarnaast biedt hij talloze mogelijkheden om in mijn sectie met elkaar in gesprek te gaan en experimenten uit te voeren op het vlak van wiskundedidactiek. Bijvoorbeeld over hoe leerlingen vanuit voorbeelden en non-voorbeelden zelf kunnen komen tot een heldere definitie van begrippen als: rekensom, vergelijking of functie. Of zijn suggestie om iedere les af te sluiten met een quiz waarin de lesstof kort en krachtig wordt samengevat.

Realistische wiskunde

Craig Barton durft in Volgens Barton ook tegen heilige huisjes aan te trappen, zoals het gebruik van realistische contexten om wiskunde aan te laten sluiten bij de belevingswereld van leerlingen, de wereldwijd bekend geworden aanpak van het Freudenthal Instituut5 . Hilarisch is bijvoorbeeld zijn beschrijving van een les over het rekenen met breuken. Om deze lessen memorabel te maken, besloot hij om de leerlingen uit te dagen om 7 cakerollen, die op elkaar gestapeld waren, met zo min mogelijk verticale doorsnijdingen eerlijk te verdelen over 12 leerlingen, zonder dat er iets overbleef. Toen hij jaren later bij een leerling informeerde wat hij van deze les had onthouden, bleek dit de hoeveelheid slagroom te zijn die er op de bril van de docent terecht was gekomen.

Barton waarschuwt ons voor de beperkte capaciteit van ons werkgeheugen en raadt ons aan om ons sterk te beperken in de hoeveelheid nieuwe informatie die wij tegelijkertijd aanbieden. Veel contexten bevatten zinloze informatie die de aandacht afleiden en het werkgeheugen onnodig belasten. Daarnaast wordt er bij het mathematiseren van realistische contexten informatie weg gefilterd, die in de beleving van leerlingen nog wel relevant is. Of er worden bepaalde aannames gedaan, die voor leerlingen niet vanzelfsprekend of zelfs discutabel zijn. Ten slotte waarschuwt Barton voor contexten die de neiging hebben om leerlingen buiten te sluiten omdat zij er weinig affiniteit mee hebben, zoals dat ook met voetbal, economie of natuurkunde het geval kan zijn. Dit alles heeft Barton ertoe doen besluiten dat de realistische wiskunde meer kost dan oplevert. In plaats daarvan laat hij bijvoorbeeld leerlingen een vergelijking met een onbekende eerst via de beschikbare inefficiënte methodes oplossen, bijvoorbeeld met getallen uitproberen of inklemmen. Vervolgens stelt hij de vraag of het niet fijn zou zijn als er een handiger methode zou zijn. Daarmee sluit hij aan bij Dan Meyers blogserie Headache and Aspirine6. Kortom: na het lezen van Volgens Barton is de boodschap voor mij wel duidelijk: het geven van rekenen en wiskunde is een ambacht waarbij ook ik nog veel kan leren.

5 Freudenthal Instituut (z.d.). Realistic

Mathematics Education. https://www.uu.nl/ onderzoek/freudenthal-instituut/realisticmathematics-education 6 Meyer, Dan (2015), If Math Is The Asperin,

Then How Do You Create The Headache? https://blog.mrmeyer.com/2015/if-math-is-theaspirin-then-how-do-you-create-the-headache/

Groepsovernachtingen voor onderwijs

Dat gevoel van kamp. De krakende stapelbedden, de nachten zonder kunstlicht en de ochtendgymnastiek in de buitenlucht. Bij Stichting Paasheuvelgroep geloven we in het traditionele kamp, maar dan wel in een hedendaags jasje. Ga je mee?

Groepsovernachtingen met respect voor de natuur Veel ruimte voor sport en spel Lekker in het bos, op de heide of bij het water Meer dan 600 schoolkampen per jaar

www.groepsgebouw.nl/montessori

100 jaar!

In 2022 gunt Stichting Paasheuvelgroep al 100 jaar kinderen dat gevoel van kamp. Gedurende het hele jaar willen we deze mijlpaal vieren met alle bezoekers. Later meer!

36 GROEPSACCOMODATIES DOOR HEEL NEDERLAND: Austerlitz, Baarn, Epe, Evertsoord, Oosterhout, Oostvoorne, Stroe, Teteringen en Vierhouten.

v

Vrijheid en medeverantwoordelijkheid

Als ‘geesteswetenschapper’ is het vaak een verademing te lezen over natuurwetenschappen, omdat die teksten zoveel nuchterder zijn. Zelfs al betreft het columns als die van wiskundige Ionica Smeets in Superlogisch. 1 En Victor Kal maakt filosoof Spinoza alleen nog maar nuchterder.

Smeets geeft in Superlogisch tips om grote getallen in bijvoorbeeld de miljoenennota voorstelbaar te maken, wijst op het belang van goed kunnen schatten en legt de elfproef voor burgerservicenummers uit. Ze schrijft over bolstapelingen, misleidende reclameacties, ecologische rekenfouten en waarom het beter is iets langzamer te rekenen en dan wel te begrijpen wat je aan het doen bent. Over schijndata, zelfversterkende feedbackloops en het neutraal verstrekken van medische informatie. En bij dat laatste de vraag of mensen met zulke specialistische gegevens wel om kunnen gaan, of ze die binnen laten komen zoals bedoeld of dat hun emoties er mee aan de haal gaan. Waarmee ik bij Miriam van Rijen kom, kenner van Spinoza – ’s lands belangrijkste filosoof, ten minste daar waar het om diens omgang met emoties gaat. Van Rijen beschrijft in de bundel Waar, goed en schoon onderwijs2 hoe Spinoza’s stoïcijnse omgang met emoties (‘passies’) het nuchtere denken en handelen minder in de weg zit. We moeten eigenlijk helemaal niet willen leren omgaan met emoties, legt ze uit, we kunnen beter direct schoon schip maken en achterhalen waar bijvoorbeeld die faalangst vandaan komt. Geen symptoombestrijding dus! En voor wie nu denkt dat Benedictus de Spinoza (1632-1677), alleen maar zinnigs te melden had over misleidende emoties en ethiek (zoals in zijn geometrisch opgebouwde Ethica), die leze er ook nog Victor Kal’s De LIST van Spinoza3 op na, een essay dat je behoorlijk in verwarring kan brengen, over die andere menselijke passie: het verlangen naar vrijheid. Victor Kal haalt het traditionele beeld van Spinoza als voorvechter van vrijheid en democratie onderuit. Met citaten uit Spinoza’s Theologisch-politiek traktaat (1670) maakt Kal duidelijk dat wij de afgelopen decennia, samen met historici als Jonathan Israël en Steven Nadler, Spinoza compleet naar ons toe hebben gelezen. Spinoza leefde immers voordat ons moderne (individualistische) vrijheidsbegrip ontstond en was helemaal niet uit op ons begrip van democratie. Hij ontwierp juist een staatsideologie (‘ware religie’), waarmee burgers vrijwillig hun handelen lieten inperken, als de vrijheid om te redeneren en te oordelen maar mocht blijven bestaan, ook om daarmee de overheid te kunnen corrigeren. Spinoza dacht dat dat onderscheid tussen handelen en denken noodzaak was, om de eenheid en rust in de samenleving te bewaren, want met alleen ‘oproerkraaiers’, die geen betere ideeën aandragen, is niemand gediend, vond hij. Victor Kal heeft nauwelijks oog voor Spinoza’s onderscheid tussen handelen en redeneren en noemt diens staatsideologie een grote ‘gelijkschakeling’, een vorm van conservatisme en het tegendeel van democratie en individuele vrijheid. Dat valt nog te bezien, maar misschien heeft Spinoza op een heel andere manier meer gelijk gekregen dan wij ons tegenwoordig willen realiseren: niet omdat we een overheid kregen die van haar burgers medeverantwoordelijkheid4 afdwingt voor bijvoorbeeld meer gelijkheid, gezondheid en duurzaamheid, maar een die juist aanzet tot meer consumeren. Om burgers rustig te houden met brood en spelen. Consumentisme als ‘ware religie’ dus. De Spinoza van Jonathan Israël was comfortabel, die van Victor Kal is confronterend. Paul Op Heij

1 Smeets, Ionica (2019), Superlogisch. Hoe getallen je helpen om de wereld beter te begrijpen, Uitgeverij Nieuwezijd 2 Klarus, Ruud, en De Beer, Fedor (2018), Waar, goed en schoon onderwijs, ISVW Uitgevers 3 Kal, Victor (2020), De LIST van Spinoza. De grote gelijkschakeling, Uitgeverij Prometeus 4 Medeverantwoordelijkheid, de achterkant van vrijheid, zou ten tijde van een pandemie kunnen inhouden dat burgers alleen keuzevrijheid behouden als ze zelf een alternatief inbrengen dat net zo effectief bijdraagt aan collectieve veiligheid.

Paul Op Heij

In Nederland gaan er om allerlei redenen zo’n 12.000 leerplichtige kinderen niet naar school. Her en der in het land zijn er wel onderwijs-zorgarrangementen (OZA’s), maar meestal maken therapeuten en jeugdhulpverleners alleen gebruik van wat ouders vertellen, ook al zijn die onderdeel van het probleem. Docenten moeten zich bij hun onderwijsleest houden, is hun redenering, schrijft Martin Schravesande in De thuiszittersklas. 1 Het boek is geschreven vanuit eigen praktijkervaringen met thuiszitters en de auteur, docent en pedagoog vindt dan ook dat ggz en onderwijs meer moeten samenwerken, omdat docenten met meer distantie waarnemen en omdat het contraproductief is om onderwijsprestaties te verlangen van kinderen die fysiek of psychisch ontregeld zijn. Bij thuiszitters zien we de problemen door een vergrootglas, meent Schravesande: ‘Thuiszitters confronteren ons met onze pedagogische radeloosheid en dagen onze creativiteit uit. Ze wijzen ons op de essentie van pedagogiek: het vermogen om, ook wanneer het spannend, lastig en ongemakkelijk is, echt contact met jongeren te maken. Ik beschouw een verstoorde wil tot leren als een gevolg van complexere problematiek en waarachtig contact als hét instrument om die verstoorde wil te laten helen.’

1 Schravesande, Martin (2021), De thuiszittersklas. Op zoek naar de wil om te leren, Uitgeverij Van Gennep De documentaire Herr Bachmann und seine

Klasse (2021) is een mooie filmische tegenhanger voor De thuiszittersklas.

Colofon

Montessori Magazine is een uitgave van de Nederlandse Montessori Vereniging en verschijnt drie keer per jaar.

Redactie

Jaap de Brouwer, Joëlle Meijer, Sandra Veenstra, Sam de Vlieger, Elena Ramil (eindredacteur), Paul Op Heij (hoofdredacteur)

Redactieadres (voor artikelen en inhoudelijke mededelingen) E-mail: redactie@montessori.nl parel@montessori.nl piazza@montessori.nl Kaaisjouwerskade 132, 6541 EW Nijmegen – Telefoon: 0615408130

Grafische vormgeving en advertentieverkoop

Elma Media BV Keizelbos 1, 1721 PJ Broek op Langedijk Postbus 18, 1720 AA Broek op Langedijk Telefoon: (0226) 331600 Fax: (0226) 331601 E-mail: info@elma.nl Website: www.elma.nl

Leden van de NMV ontvangen Montessori Magazine gratis. De kosten van het NMV-lidmaatschap bedragen € 35,00. Aanmelding per e-mail aan nmv-secretariaat@montessori.nl Losse nummers zijn verkrijgbaar bij het secretariaat.

Centraal Secretariaat NMV (voor informatie over lidmaatschap) Boerhaavelaan 40, 2713 HX Zoetermeer Telefoon: 06-40233698 E-mail: nmv-secretariaat@montessori.nl

Websites NMV: www.montessori.nl – www.montessorinet.nl

Sluitingsdatum kopij Montessori Magazine 45-3 (juni 2022): 29-04-2022 De redactie behoudt zich het recht voor om artikelen te redigeren en in te korten, dan wel te weigeren of te laten plaatsen op Montessorinet.

Gehele of gedeeltelijke overname van artikelen uitsluitend na schriftelijke toestemming van de uitgever. De redactie tracht bij alle gebruikte afbeeldingen de eigenaar te achterhalen. Waar dit niet is gelukt, vragen wij de rechthebbende om contact op te nemen.

ISSN nummer Koninklijke Bibliotheek: ISSN 2352-2623 Werk je, of wil je graag op een montessorischool werken, en wil je daarom je NMV montessoridiploma Basis- of Vakbekwaam halen? Dat kan bij ons. We starten 2 November 2022 met een nieuw opleidingsjaar.

• Bewust en met plezier ontspannen een montessorigroep begeleiden, daar gaan we graag voor aan de slag: • Veel aandacht voor individuele begeleiding : 15 uur per • • • • Hulp aanwezig voor snelle opbouw van verplicht NMV • • • montessori-materiaal en veel nieuw Nienhuis materiaal: