Tallregning 1A
–3 –4–2–10123456789
Tallene som er merket av på tallinja ovenfor, er hele tall.
Pila til høyre på tallinja viser at tallene blir større jo lenger mot høyre vi kommer.
Tallet 4 står til venstre for tallet 2 på tallinja. 4 er et mindre tall enn 2, og vi skriver 4 < 2.
Tallene blir større jo lenger mot høyre på tallinja vi kommer.
1,2 1,11,31,41,51,61,71,81,9
Det er uendelig mange tall på tallinja. På figuren ovenfor har vi tatt en del av tallinja og forstørret den. Pila peker mot desimaltallet 1,2.
Tallet 1,2 har to sifre. Det har én desimal.
Tallet 1,25 har tre sifre. Det har to desimaler.
1.1 U
Skriv tallene i stigende rekkefølge.
a 4 1 3 5 2
b 2 2,25 2,255 1,25 1,255
1.2
a Skriv et tall som har fire sifre og to desimaler.
b Skriv to tall som er større enn 0,9 og mindre enn 0,7.
c Rund av tallet 2,455 til to desimaler.
d Rund av tallet 10,448 til én desimal.
Regning med positive og negative tall
5(2)523 +−=−=
Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. Legg merke til at vi setter parentes rundt negative tall når de står etter et regnetegn.
5(2)527 −−=+=
Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet.
multiplisere: gange
dividere: dele
addere: legge sammen
subtrahere: trekke fra
Når vi ganger, er fortegnet på svaret avhengig av hvor mange negative faktorer det er. En faktor er et tall som står foran eller bak et gangetegn, eller foran eller bak et deletegn.
3(2)6
(3)(2)6
(3)(2)(1)6
Ganging med negative tall
Når det er 1, 3, 5, … negative tall, blir svaret negativt.
Når det er 2, 4, 6, … negative tall, blir svaret positivt.
Tilsvarende regel gjelder når vi deler med negative tall.
( 6) : 2 = 3 ( 10) : ( 5) = 2
1.3 U
Til nå (2019) er 51,4 °C den laveste målte temperaturen i Norge (Karasjok 1886). Den høyeste målte temperaturen er 35,6 °C (Nesbyen 1970).
Hvor stor er temperaturforskjellen mellom den laveste og den høyeste målte temperaturen?
SNAKK
1.4 U
En dag er temperaturen 8,0 °C.
Hva blir temperaturen hvis den
a øker med 5,0 °C
b minker med 10,5 °C
c først øker med 4,0 °C, deretter minker med 5,5 °C
1.5 U
Regn ut. a 2 ( 4) + 6 b ( 2) ( 1) ( 3) c ( 2) 3 ( 4) d ( 2) 3 4 e 12 : ( 3) f ( 12) : ( 2)
Gange og dele med 10, 100, 1000
Bruk kalkulatoren til å kontrollere disse utregningene: 3,75 ⋅ 10 = 37,5 3,75 ⋅ 100 = 375 3,75 ⋅ 1000 = 3750 865 : 10 = 86,5 865 : 100 = 8,65 865 : 1000 = 0,865
Ser du systemet?
Å gange med 10 er det samme som å flytte kommaet én plass mot høyre.
Å gange med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser mot høyre.
Osv.
Å dele med 10 er det samme som å flytte kommaet én plass mot venstre.
Å dele med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser mot venstre.
Osv.
Lars og Bilal studerer huskereglene ovenfor. Bilal sier:
«Å dele med 10 er det samme som å gange med 0,1, og å dele på 0,1 er det samme som å gange med 10.»
Det skjønner ikke Lars.
Hvordan vil du forklare dette for Lars?
EKSEMPEL 1
EKSEMPEL 2
Regn ut.
a 4,5 ⋅ 100 b 8,5 : 100
a Du skal gange med 100, altså skal du flytte kommaet to plasser mot høyre. Når du har flyttet kommaet én plass, står det bak 5-tallet. Du skal flytte kommaet én plass til, det er det samme som å legge til én 0 bakerst.
4,5 100 = 450
b Du skal dele med 100, altså flytte kommaet to plasser mot venstre. Vi skriver noen nuller foran 8-tallet. Da blir det lettere å flytte kommaet.
00008,5 : 100
8,5 : 100 = 0,085
1.6 U
Regn ut.
a 2,65 10 b 4,3 100 c 5,0 1000 d 645,8 : 100 e 12,7 : 10 f 35,8 : 1000
1.7 U
Regn ut.
a 75,8 : 100 b 0,12 : 100 c 0,06 1000
d 0,5 : 10 e 0,045 100 f 0,12 10
Regn ut 65 : 1000.
Når et tall ikke inneholder et komma, kan du alltid «late som om» det står et komma og null bak det bakerste sifferet.
65 : 1000 = 65,0 : 1000
Så bruker vi «knepet» fra eksempel 1 med å skrive noen nuller foran 6-tallet. Da blir det lettere å flytte kommaet tre plasser mot venstre.
000065,0 : 1000 = 0,065
65 : 1000 = 0,065
1.8 U
Regn ut.
a 8 : 10 b 65 : 100 c 95 : 1000
d 6 : 1000 e 25 : 1000 f 8 : 1000
SNAKK
Dele med tall mellom 0 og 1
4: 1 2 4 2 1 8 1 8 =⋅==
1 2 er det samme som 0,5. Å dele med 0,5 er altså det samme som å gange med 2.
3: 1 4 3 4 1 12 1 12 =⋅==
1 4 er det samme som 0,25. Å dele med 0,25 er altså det samme som å gange med 4.
Se på regnestykkene ovenfor.
Hvordan kan vi raskt regne ut 7 : 0,2?
EKSEMPEL 3
Regn ut 12:0,4. := 12 0,4 12 0,4 = ⋅ = = 1210 0,410 120 4 30
1.9 U
Regn ut.
Eksponent 23
Grunntall
Potenser
23 er eksempel på en potens.
Tallet 2 er grunntallet i potensen og 3 er eksponenten 23 er det samme som 2 2 2.
23 er en potens med 2 som grunntall og 3 som eksponent.
23 = 2 2 2
Når eksponenten er et positivt heltall, forteller den hvor mange ganger grunntallet skal stå som faktor.
SNAKK
Grunntallet i en potens kan være både positivt og negativt.
Legg merke til forskjellen mellom (2)4 og 24:
Når vi skriver (2)4 , er grunntallet 2.
Når vi skriver 24, er grunntallet 2. Minustegnet er fortegnet til potensen 24
Det kunne vi ha skrevet slik: (24)
1.10 U
Skriv og regn ut en potens med a 2 som grunntall og 3 som eksponent b 4 som eksponent og 3 som grunntall
1.11 U
Regn ut. a 25 b ( 3)2
Kvadratrot
25 er eksempel på en kvadratrot. Kvadratroten av 25 er det positive tallet som ganget med seg selv blir 25. Derfor er 255
Kvadratroten av et positivt tall a er det positive tallet som ganget med seg selv er lik a ( () ) = aa 2
Vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.
Uten hjelpemidler er det lettest å ta kvadratroten av et tall hvis tallet er et kvadrattall: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …
Daniel og Liz utfordres av læreren til å finne 576 uten hjelpemidler når de får vite at 576 er et kvadrattall.
Liz tenker seg om og sier til Daniel: «Det må være enten 24 eller 26.»
Hvordan tror du Liz tenkte?
Vi bruker to regneregler, når vi regner med rotuttrykk:
⋅⋅==⋅⋅ abab
❷ a b a b
EKSEMPEL 4
a Vis at 18 kan omformes til 32
b Skriv a 4 9 så enkelt som mulig.
c Vis at 3 3 kan omformes til 3
a Vi faktoriserer 18 slik at den ene faktoren er et kvadrattall. Fordi 9 er et kvadrattall, velger vi faktoriseringen 18 = 9 ⋅ 2. 18929232 =⋅=⋅=
1.12 U
a Vis at 12 kan omformes til 23
b Vis at 8 kan omformes til 22
c Vis at 27 kan omformes til 33
1.13 U
Regn ut.
a 2516 b 94 c 2525 d 49 2()
1.14 U
Skriv så enkelt som mulig.
a 4 25 b 16 100 c x 25 36 d a 49 81
1.15 U a Vis at 2 2 2 . b Vis at 1 3 1 3 3 .
RØDE OPPGAVER
1.16 U
Regn ut.
a 3 ( 9) b 3 9 c ( 3) ( 9) d 3 + 5
1.17 U
Skriv tallene i stigende rekkefølge.
50726243 2 3 ()
1.18 U
a Finn 289 når du får vite at 289 er et kvadrattall.
b Hva er størst av 10000 og 81121?
1.19 U
Regn ut.
a 0,040 ⋅ 1000 b 0,40 : 0,2 c 25,6 : 1000 d 0,25 : 0,010
1.20 U
Regn ut.
a 81832 +− b 2045 c 12273 +−
BLÅ OPPGAVER
1.21 U
Regn ut.
a 822() b 82 2() c 26227 ⋅− d 268 22
1.22
Regn ut.
a 3333 b 2324 ⋅− c 6232 () + d 2188 ()
1.23 U
Helena kjøper bananer til 3 kr stykket, og Eskil kjøper epler til 4 kr stykket. De betaler like mye.
a Hvor mange bananer kan Helena ha kjøpt, og hvor mange epler kan Eskil ha kjøpt?
Finn tre forskjellige løsninger.
b Se på svarene dine på oppgave a.
Ser du mønstret her? Hvordan vil du beskrive mønstret?
EKSEMPEL 5
Regning med potenser
Multiplikasjon av potenser
53 =
Vi ser at eksponenten 7 er lik eksponenten 4 pluss eksponenten 3. 5555 43437 ⋅== +
Divisjon av potenser
5:5 5 5 555555 5555 555 64 6 4 2 == ⋅⋅⋅⋅⋅
=⋅=
Vi ser at eksponenten 2 er lik eksponenten 6 minus eksponenten 4. 5 5 55 6 4 642 ==
Multiplikasjon av potenser med samme grunntall:
= + aaapqpq
Divisjon av potenser med samme grunntall: ❷ = == = aa a a a : pq p q pq
Bruk potensreglene til å regne ut. a 22234 b 33 3 54 2
Husk : 2 kan vi skrive som 21 Regel ❶
EKSEMPEL 6
Hvis vi har potenser med forskjellige grunntall i samme oppgave, regner vi som i eksempel 6.
Vi samler potenser med samme grunntall.
Vi bruker potensreglene for hvert grunntall for seg.
1.24 U
Regn ut ved å bruke potensreglene.
1.25 U
Skriv så enkelt som mulig.
1.26 U
Regn ut ved å bruke potensreglene.
Når grunntallet er et produkt (2 ⋅ 5)3 = (2 ⋅ 5) ⋅
Vi ser at faktorene 2 og 5 begge får eksponenten 3.
(2 5)3 = 23 53
Når grunntallet i en potens er et produkt, opphøyer vi hver av faktorene i eksponenten. ❸ (a b)p = ap bp
EKSEMPEL 7
1.27 U Regn ut.
Når grunntallet er en brøk
Vi ser at både telleren og nevneren får eksponenten 2.
Når grunntallet i en potens er en brøk, opphøyer vi teller og nevner i eksponenten. ❹
EKSEMPEL 8
EKSEMPEL 9
Regn ut.
Legg merke til parentesen rundt produktet 2 a
Regn ut.
Når grunntallet er en potens
Eksponenten 8 får vi når vi ganger sammen eksponentene 2 og 4. 333 2 4 248 () ==
Vi opphøyer en potens i en ny eksponent, ved å opphøye grunntallet i produktet av eksponentene. ❺ ( () ) = = aa p q pq
Regn ut.
a xxx 3 2 326 () ==
b Grunntallet er et produkt med faktorene 3 og x4
Vi bruker derfor først regelen (ab) p = apbp
Deretter kan vi bruke regelen aapqpq() = xxxx 3399 4 2 24 2 428()()=⋅=⋅=
EKSEMPEL 10
Vis at vi kan omforme 23n til 8n .
Vi bruker potensregelen aapqpq() = baklengs.
2228 nnnn 333() ===
1.29
Regn ut.
1.30
a Vis at vi kan omforme 62n til 36n
b Vis at vi kan omforme 4 9 til ⎛
c Vis at vi kan omforme 82 til 26
Nå har vi kommet fram til fem regneregler for potenser:
1.31 U Skriv så enkelt som mulig.
Regn ut og skriv svaret som et produkt av to potenser.
Regel ❸
1.32 U
Regn ut og skriv svaret som et produkt av to potenser.
Regn ut og skriv svaret som et produkt av to potenser.
SNAKK
Hvilken potens er størst av 275 og 350? Finn svaret uten hjelpemidler.
Omgjøring av enheter
Regneregler
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole.
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i flere år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Hermod Haug har en bred fagbakgrunn og underviser ved Oslo Handelsgymnasium.
Han har bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole i flere år, de siste årene også som forfatter.
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Inger Christin Borge har doktorgrad innenfor algebra fra University of Oxford. Hun er ansatt ved Universitetet i Oslo hvor hun er førstelektor ved Matematisk institutt.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU. Hun er lærer ved Bjørknes privatskole og underviser i matematikk, kjemi og naturfag. Tea har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Sammensatte enheter
= fart strekning tid
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Eksempler på enheter: km/h og m/s
= massetetthet masse volum
Eksempler på enheter: kg/m3 og g/L
Matematikk 1P følger fagfornyelsens læreplan i matematikk 1P og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
Aunivers.no inneholder blant annet:
• Fullstendige løsninger av alle oppgavene
• Opplæringsressurser til GeoGebra og regneark
• Interaktive oppgaver
Førstegradsfunksjoner (lineære funksjoner)
Læreboka
f (x) = ax + b
a: stigningstallet b: konstantleddet
Andregradsfunksjoner
f (x) = ax2 + bx + c
Læreboka inneholder teori, eksempler og innlæringsoppgaver samt differensierte oppgaver til hvert underkapittel. I tillegg har vi UTFORSKoppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene muligheten til å kommunisere matematikk. Slutten av hvert kapittel inneholder blandede oppgaver.
Tredjegradsfunksjoner
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
Eksponentialfunksjoner
f (x) = abx
a: funksjonsverdien når x = 0 b: vekstfaktoren
Gjennomsnittlig vekstfart
() () = yy xx fxfx xx 21 21 21 21
• Eksamensløsninger
Som lærer får du også tilgang til:
• Lærerveiledning
• Kapittelprøver
• Terminprøver
• Aktivt klasserom
