Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.
Redaktører: Bjørn Johannes Neef og Harald Øyen Kittang
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen
Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Victor Paiam
Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund
Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print
Trykk: Merkur Grafisk AS Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien
ISBN 978-82-03-40875-5
www.aschehoug.no
Bildeliste
s. 6–7 newsfocus1/iStock, s. 8 tupungato/iStock, s. 9 omada/iStock, s. 11 kali9/ iStock, s. 13 GrapeImages/iStock, s. 16 RYSZARD FILIPOWICZ/iStock, s. 22 Mehmet Hilmi Barcin/iStock, s. 27 PeopleImages/iStock, s. 28 Daisy-Daisy/iStock, s. 30 olaser/ iStock, s. 32 aqabiz/iStock, s. 36–37 Tashi-Delek/iStock, s. 40 Bjørn S. Delebekk/VG/ NTB scanpix, s. 42 DWalker44/iStock, s. 50 PeopleImages/iStock, s. 61 Tomwang112/ iStock, s. 65 ZU_09/iStock, s. 77 JJ Farquitectos/iStock, s. 78 ArtBoyMB/iStock, s. 84–85 AISimonov/iStock, s. 89 Alina Rosanova/iStock, s. 92 feellife/iStock, s. 101 Nataliia K/Shutterstock/NTB scanpix, s. 102 wmaster890/iStock, s. 112 Henvry/ iStock, s. 118 gorodenkoff/iStock, s. 120 Asergieiev/iStock, s. 124–125 Artur Debat/ Getty Images, s. 126 Issaurinko/iStock, s. 130 LauriPatterson/iStock, s. 133 moisseyev/ iStock, s. 143 Silvia Jansen/iStock, s. 150 altmodern/iStock, s. 152 desifoto/iStock, s. 158 Artur Debat/Getty Images, s. 159 SDI Productions/iStock, s. 163 NTB scanpix, s. 166 klazing/iStock, s. 167 LianeM/iStock, s. 174–175 a FGorgun Nielson/iStock, b Mikkel William/iStock, c bee32/iStock, s. 183 Cecilie Arcurs/iStock, s. 191 Khos rork/iStock, s. 194 PeopleImages/iStock, s. 200 monkeybusinessimages/iStock, s. 202 ultramarine5/iStock, s. 206 Kritchanut/iStock, s. 210 Antonio_Diaz/iStock, s. 213 Ross Helen/iStock, s. 220 MarsBars/iStock, s. 241 Tomas Bullock/iStock
SVANEMERKET
Om Matematikk 2P
Matematikk 2P følger fagfornyelsens læreplan i matematikk 2P som gjelder fra august 2021, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
Læreboka
Vi presenterer matematikken på en strukturert og forståelig måte. Vi følger opp teori og eksempler med innlæringsoppgaver. I eksemplene legger vi vekt på gode forklaringer og framgangsmåter, også med GeoGebra, Excel og programmering i Python der det er relevant.
I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene mulighet til å kommunisere matematikk.
Hvert underkapittel inneholder differensierte oppgaver:
Røde oppgaver er en naturlig fortsettelse av innlæringsoppgavene.
Blå oppgaver gir større utfordringer.
Til slutt i hvert kapittel finner du Blandede oppgaver som gir både mengdetrening og dybdelæring.
Alle oppgavene som vi mener bør løses uten hjelpemidler, er merket med Oppgaver som krever programmering, er merket med .
Siste kapittel i boka er en oppgavesamling, med relevante oppgaver som forberedelse til eksamen.
Digitale ressurser på Aunivers.no
De digitale ressursene har samme kapittelinndeling som læreboka, og inneholder blant annet:
Som lærer får du i tillegg tilgang til: undervisningen
Vi håper at Matematikk 2P møter dine forventninger til et komplett læreverk. Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikk2p@aschehoug.no.
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne Ørnulf Borgan, John Engeseth, Odd Heir, Håvard Moe, Tea Toft Norderhaug og Sigrid Melander Vie, og redaktørene Harald Øyen Kittang og Bjørn Johannes Neef.
Innhold
1 Prosent
1A Prosent og prosentpoeng 8
1B Vekstfaktor 12
1C Modellering 19
Blandede oppgaver 29
Sammendrag 34
Kapitteltest 35
2 Statistikk
2A Frekvenstabell og histogram 38
2B Stolpediagram og sektordiagram 45
2C Sentralmål 56
2D Spredningsmål 69
Blandede oppgaver 78
Sammendrag 82
Kapitteltest 83
3 Likninger og ulikheter
3A Lineære likninger og ulikheter 86
3B Likninger og ulikheter av andre grad 94
3C Likningssystemer 103
3D Flere strategier for å løse likninger 111
Blandede oppgaver 118
Sammendrag 122
Kapitteltest 123
4 Geometri
4A Formler fra geometrien 126
4B Sammensatte geometriske figurer 135
4C Spesielle vinkler og trekanter 139
4D Pytagorassetningen 146
4E Formlikhet 154
4F Målestokk 161
Blandede oppgaver 166
Sammendrag 172
Kapitteltest 173
5 Økonomi
5A Lønn 176
5B Hva får jeg for pengene? 184
5C Sparing 194
5D Lån 201
5E Hva skal jeg velge? 210
Blandede oppgaver 213
Sammendrag 217
Kapitteltest 218
6 Oppgavesamling
220
Fasit 243
GeoGebra i 2P 259
Python i 2P 265
Register 271
1 Prosent
KAPITTELINNHOLD
1A Prosent og prosentpoeng 8
1B Vekstfaktor 12
1C Modellering 19
Svein og Tord jobbet med matematikkleksa. En av oppgavene var som følger: I 2017 var det 1250 besøkende på Sommerfestivalen. De neste årene økte antall besøkende med 20 % hvert år. Hvor mange besøkende var det på festivalen i 2020?
Svein fikk 2000 som svar, mens Tord fikk 2160.
Hvem hadde regnet riktig?
Hvilken feil hadde den andre gjort?
Prosent og prosentpoeng
På en skole valgte 40 % av elevene spansk som tredje fremmedspråk.
Det betyr at 40 av 100 elever valgte spansk. Prosent betyr del av hundre.
40 % = 40 100 = 0,40 prosent brøk desimaltall
SNAKK
Larsen AS har startet en «sykle til jobben»-kampanje. På oppslagstavla står følgende:
Fra august til september steg antallet som syklet, med 20 %.
Fra september til oktober sank antallet med 20 %.
Svendsen står og leser dette og sier til Iversen: «Men da var det jo like mange som syklet i oktober som i august!»
Har Svendsen rett?
EKSEMPEL 1
På skolen som ble nevnt ovenfor, er det 740 elever. Hvor mange av elevene valgte spansk som tredje fremmedspråk?
40 % = 0,40
740 0,40 = 296
296 elever valgte spansk som tredje fremmedspråk.
1.1
I A-klassen er det 25 elever. 20 % av elevene har valgt tysk som tredje fremmedspråk.
a Hvor mange elever har valgt tysk som tredje fremmedspråk?
b Hvor stor brøkdel av elevene har ikke valgt tysk som tredje fremmedspråk?
1.2
Et egg består av 30 % plomme, 60 % hvite og 10 % skall.
Egget veier 60 g. Hvor mye veier plommen i egget?
1.3
I lokalavisa kunne vi lese følgende:
«80 % stemte nei til kommunesammenslåingen. Valgdeltakelsen var på 62 %.»
Hvor mange prosent av de stemmeberettigede stemte nei?
EKSEMPEL 2
Forrige år solgte Sentrum bil til sammen 520 biler. Av disse var 182 elbiler.
Hvor mange prosent av det samlede bilsalget utgjorde elbilene?
Elbilene utgjorde 35 % av det samlede salget.
1.4
Over hylla med tannkrem i butikken står det: «Kjøp tre, betal for to.»
Ola kjøper tre tannkremtuber, som alle koster det samme.
Per benytter seg av tilbudet og kjøper tre tannkremtuber.
Hvor mange prosent sparer Per sammenliknet med Ola, som kjøper hver tannkremtube for seg?
1.5
På Fjellhvil hadde de i påsken 3200 gjester i kafeteriaen. Av disse var 580 fra Danmark.
Hvor mange prosent av gjestene var danske?
1.6
På aktivitetsdagen kan elevene velge mellom sykkeltur, fottur og orienteringsløp.
Elevene har valgt slik:
Aktivitet SykkelturFotturOrienteringsløp
Antall elever 11540580
a Hvor mange prosent av elevene valgte sykkeltur?
b Hvor mange prosent av elevene valgte enten sykkeltur eller fottur?
EKSEMPEL 3
Prosentpoeng
Banken setter ned renten på boliglån fra 3,45 % per år til 3,15 % per år.
Vi sier at banken setter ned renten med 0,30 prosentpoeng.
En endring i prosentandel oppgir vi i prosentpoeng.
Økning i prosentandel: prosentpoeng = ny prosentandel – gammel prosentandel
Nedgang i prosentandel: prosentpoeng = gammel prosentandel – ny prosentandel
Ved siste kommunevalg gikk Bygdelista fram fra 16 % til 20 %.
a Hvor mange prosentpoeng var framgangen på?
b Hvor mange prosent var framgangen på?
a 20 16 = 4
Framgangen var på 4 prosentpoeng.
b 4 16 0,2525%
Framgangen var på 25 %.
1.7
Bybanken setter opp innskuddsrenten per år fra 1,75 % til 2,15 %.
a Hvor mange prosentpoeng økte innskuddsrenten?
b Hvor mange prosent økte innskuddsrenten?
1.8
Tabellen nedenfor viser kjønnsfordelingen ved Fjellrast skole i 2019 og 2020. Skriv av og fyll ut tabellen.
År 20192020Endring i prosentpoengEndring i prosent
Jenter 62 %55 %
Gutter 38 %45 %
1.9
I januar hadde Landpartiet en oppslutning på 23,6 % på meningsmålingen i lokalavisa. Det neste året økte oppslutningen med 0,3 prosentpoeng hver måned.
a Hvor stor oppslutning hadde partiet i april?
b Hvor mange prosent økte oppslutningen med fra januar til april?
c Hvilken måned passerte oppslutningen om partiet 25,5 %?
RØDE OPPGAVER
1.10
På en matematikkviss er toppskår 60 poeng. Kravet til diplom er minst 75 % av toppskår. Lise fikk 47 poeng. Får Lise diplom?
1.11
Før første nummer kommer ut, har treningsmagasinet Jogger’n fått 3400 abonnenter. Målet er å øke antall abonnenter med 15 % i løpet av tre måneder.
Den første måneden øker antall abonnenter med 8 %, og den andre måneden fikk bladet 150 nye abonnenter.
Hvor mange abonnenter var bladet avhengig av å få den tredje måneden for å nå målet?
1.12
I B-klassen er det 16 jenter og 12 gutter.
a Hvor mange prosent av elevene i B-klassen er gutter?
b Hvor mange prosent flere jenter enn gutter er det i B-klassen?
1.13
Det går 800 elever på Storåsen skole. 60 % av elevene er jenter, og 10 % av jentene deltar i arbeidet med skolerevyen.
a Hvor mange jenter deltar i arbeidet med skolerevyen?
b Hvor stor prosentdel av jentene deltar i arbeidet med skolerevyen?
c Tolv gutter er med i revyarbeidet.
Hvor stor prosentdel av elevene deltar i arbeidet med skolerevyen?
BLÅ OPPGAVER
1.14
I april kostet en kjøretime hos Svingen kjøreskole 600 kr. Den 1. juni økte prisen med 10 %, og 1. august økte prisen med 5 %.
Hvor mange prosent økte timeprisen fra april til august?
1.15
I 2019 deltok 820 personer i mosjonsløpet Veslefjellet rundt. I 2020 var det 1066 deltakere. I 2019 var 30 % av deltakerne menn, og i 2020 var 410 av deltakerne menn.
Hvor stor var økningen av mannlige deltakere i prosent?
1.16
På en skole er 60 % av elevene jenter. 25 % av jentene og 35 % av guttene reiser med buss til og fra skolen hver dag.
Hvor mange prosent av elevene tar buss til og fra skolen daglig?
SNAKK
Vekstfaktor
I Storgata registrerer en teller antall passerende syklister. I uke 24 registrerte telleren 4587 syklister, og i uke 25 registrerte den 4954 syklister.
Silvio regnet ut økningen i prosent fra uke 24 til uke 25 slik:
4954 4587 1,08108%
Økningen fra uke 24 til uke 25 var på 8 %. Forklar hvordan Silvio har tenkt.
Vekstfaktor større enn én
Hvis en verdi øker med 15 %, er den nye verdien 115 % av den gamle verdien. 115 % er 1,15 som desimaltall.
Å legge til 15 % er derfor det samme som å gange med 1,15.
Tallet 1,15 kaller vi vekstfaktoren for en økning på 15 %.
Vekstfaktor mindre enn én
Hvis en verdi minker med 40 %, er den nye verdien 60 % av den gamle verdien. 60 % er 0,60 som desimaltall.
Å trekke fra 40 % er altså det samme som å gange med 0,60.
Tallet 0,60 kaller vi vekstfaktoren for en reduksjon på 40 %.
Vekstfaktor lik én
Hvis verdien ikke endrer seg, er vekstfaktoren lik 1.
SNAKK
Johanna forklarer en medelev hvordan hun kan finne vekstfaktoren. Hun sier:
«Når noe øker med p %, kan vi finne vekstfaktoren V slik: V p 1 100 =+ .»
Hvordan har Johanna tenkt?
Hvordan ser den tilsvarende formelen ut for en reduksjon på p %?
Regning med vekstfaktor
ny verdi = gammel verdi · vekstfaktor
N = G · V
EKSEMPEL 4
EKSEMPEL 5
Etter en lønnsøkning på 5 % tjente Karina 210 kr per time.
Hva var timelønna før lønnsøkningen?
Timelønna etter lønnsøkningen er 100 % + 5 % = 105 % av timelønna før lønnsøkningen.
105 % = 1,05
Vekstfaktoren er 1,05.
Vi setter inn i formelen N = G ⋅ V og løser likningen.
Før lønnsøkningen var timelønna 200 kr.
Ved lønnsoppgjøret øker timelønna til Sveinung fra 187,60 kr til 195,10 kr.
Hvor stor var økningen i prosent?
Vi bruker formelen N = G V og setter inn tallene for N og G
Vekstfaktoren er 1,04.
Timelønna økte med 4 %.
SNAKK
1.17
Sommeren 2019 hadde Badebukta campingplass 18 200 gjestedøgn. Fra 2019 til 2020 økte antall gjestedøgn med 12 %.
Hvor mange gjestedøgn var det i 2020?
1.18
Normalprisen for en fotballtur til England er 6400 kr. Tre dager før avreise blir restplassene solgt for 3990 kr. Hvor stort er avslaget i prosent?
1.19
I 2019 kunne vi lese dette på hjemmesiden til Statistisk sentralbyrå:
I 2018 kastet norske husholdninger i gjennomsnitt 411 kg husholdningsavfall per innbygger. Dette var en nedgang på 3,5 % sammenliknet med 2017. 2014 var det året nordmenn kastet mest avfall, med 441 kg per innbygger.
a Hvor mye kastet norske husholdninger i gjennomsnitt per innbygger i 2017?
b Hvor stor var den prosentvise nedgangen fra 2014 til 2018?
Prosentendring i flere perioder
En spahelg på Fjordbadet hotell koster 4600 kr. Fjordbadet hotell setter opp prisen med 10 %. Da går antall gjester kraftig ned, og prisen blir derfor satt ned med 20 %.
Hva er prisen etter prisnedsettelsen?
Dette er et eksempel på prosentvis endring i flere perioder.
En prisøkning på 10 % svarer til en vekstfaktor på 1,10.
Prisen etter prisøkningen ble 4600 kr ⋅ 1,10.
En prisnedsettelse på 20 % svarer til en vekstfaktor på 0,80.
Prisnedsettelsen på 20 % skal regnes av prisen etter prisøkningen.
Prisen etter prisnedsettelsen er 4600 kr ⋅ 1,10 ⋅ 0,80 = 4048 kr.
Når vi har flere prosentendringer etter hverandre, finner vi sluttverdien ved å gange den opprinnelige verdien med vekstfaktoren for hver endring.
For fire år siden kjøpte Svein aksjer.
Verdien av aksjene i dag er 10 000 kr 1,08 1,08 0,95 1,03 = 11 413,22 kr
a Hva forteller regnestykket om hvordan verdien på aksjene har endret seg?
b Hvor mange prosent har aksjene økt i verdi i løpet av de fire årene?
Kan du finne svaret på to forskjellige måter?
EKSEMPEL 6
1.20
En bluse kostet 300 kr. Prisen ble først satt ned med 20 % og deretter med 10 %.
a Hvor mye koster blusa nå?
b Hvor mange prosent er prisen satt ned med i alt?
1.21
For fem år siden kjøpte Lisa aksjer for 20 000 kr. De første fire årene steg verdien på aksjene med 4,8 % hvert år. I år solgte Lisa aksjene for 25 570 kr.
Hvor mange prosent har aksjene steget i verdi det siste året?
1.22
Asgeir har kjøpt en ny båt. Båtens verdi er 975 000 kr.
Han antar at båten vil falle i verdi med 25 % det første året og så med 8 % hvert år de neste fem årene.
Hva vil båtens verdi være etter seks år?
Eksponentiell vekst, prosentvis vekst
I en bakteriekultur er det 10 000 bakterier. De første timene øker antall bakterier med 10 % per time.
Hvor mange bakterier er det i kulturen etter tre timer?
En økning på 10 % svarer til en vekstfaktor på 1,10.
Vi finner antall bakterier etter tre timer ved å gange den opprinnelige verdien med vekstfaktoren tre ganger. Det er det samme som å gange den opprinnelige verdien med vekstfaktoren opphøyd i tredje.
⋅ 1,10 ⋅ 1,10 ⋅ 1,10 = 10 000 ⋅ 1,103 = 13 310
Etter tre timer er det 13 310 bakterier i bakteriekulturen.
Merk!
Hvis vi regner ut 1,103 får vi 1,331.
Det svarer til en økning i antall bakterier på 33,1 % for hele perioden.
Når noe øker eller avtar med like mange prosent i hver periode, sier vi at det øker eller avtar eksponentielt eller prosentvis.
ny verdi = gammel verdi · vekstfaktorantall perioder
N = G · V t
EKSEMPEL 7
Henny kjøpte en hytte til 1 350 000 kr.
Etter seks år solgte hun hytta for 1 850 000 kr.
Hvor stor har den gjennomsnittlige årlige verdiøkningen vært i prosent?
Vi setter inn i formelen N = G V t og får likningen
1 850 000 = 1 350 000 V 6
Vi løser likningen med CAS.
En vekstfaktor er alltid positiv, så vi forkaster den negative løsningen.
Vekstfaktoren er 1,054. Det svarer til en årlig økning av verdien på 5,4 %. Den gjennomsnittlige årlige verdiøkningen har vært på 5,4 %.
1.23
Verdien V(x) kr av en skuter etter x år er gitt ved Vx()135000,85 x =⋅
Hva forteller tallene 13 500 og 0,85?
1.24
På sommerauksjonen solgte Lisa et maleri for 138 500 kr. Da Lisa kjøpte maleriet for tjue år siden, betalte hun 8500 kr for det. Hvor mange prosent har verdien av maleriet økt med i gjennomsnitt per år?
1.25
Folketallet i en kommune er 18 400. Prognosen sier at innbyggertallet vil øke med 3 % per år de neste årene.
Hvor stort vil folketallet være om fire år hvis prognosen slår til?
1.26
René kjøper en bil til 240 000 kr. Han regner med at verditapet vil være 15 % per år de neste årene.
a Hva vil verdien av bilen være om tre år?
b Finn verditapet i prosent på disse tre årene.
c Forklar, uten å regne, hvorfor verditapet i kroner per år blir mindre og mindre etter hvert.
1.27
Etter t måneder er antall kaniner, N(t), i en bestand gitt ved Nt()121,22t =⋅
a Hvor mange kaniner er det i bestanden etter ett år?
b Hvor lang tid tar det før antall kaniner i bestanden er doblet?
c Hvor mange kaniner øker bestanden med i den sjette måneden?
EKSEMPEL 8
Folketallet i en kommune er 12 700. Kommunen regner med at folketallet vil øke med 3 % per år de neste årene. Lag et program som finner hvor mange år det tar før folketallet passerer 14 500.
folketall = 12700
vekstfaktor = 1.03 # økning på 3 % antall_aar = 0 # startverdi for antall år
while folketall < 14500:
folketall = folketall * vekstfaktor
antall_aar = antall_aar + 1
print("Det tar", antall_aar, "år før folketallet har passert 14 500.")
UTFORSK
Ta for deg programmet i eksempel 8 ovenfor. a I eksemplet fant programmet hvor mange år det tar før folketallet passerer 14 500. Utvid programmet slik at det regner ut hvor mange år det tar før folketallet passerer et antall som du velger.
b Fortsett med programmet fra oppgave a.
Utvid programmet slik at du kan velge startverdi for folketallet og prosentvis økning/nedgang per år. Programmet skal regne ut vekstfaktoren.
c Fortsett med programmet fra oppgave b.
Utvid programmet slik at det skriver ut folketallet år for år til folketallet passerer den grensen du har valgt. Her kan du få bruk for kommandoen round(tall).
RØDE OPPGAVER
1.28
Teaterpakken til Hotell Norge kostet i fjor sommer 1860 kr. Da høstsesongen startet, ble prisen på pakken satt opp med 15 %. Etter jul ble prisen satt ned med 20 %.
a Hvor mye kostet teaterpakken etter jul? Rund av svaret til nærmeste 10-krone.
b Hvor mange prosent endret prisen seg fra sommeren til etter jul?
1.29
I 2020 var det 4150 besøkende på Fjellfestivalen. Arrangørene antar det blir en årlig vekst i antall besøkende på 5 % de neste årene.
a Lag et program som regner ut antall besøkende hvert år til antall besøkende passerer 5300.
b Utvid programmet fra oppgave a slik at du kan legge inn andre verdier for antatt prosentvis økning/nedgang i antall besøkende per år.
1.30
I april ble det telt 3500 syklister i Skolegata. Tre måneder senere, i juli, ble det telt 4920 syklister. Hvor stor var økningen av syklister i Skolegata i gjennomsnitt per måned?
BLÅ OPPGAVER
1.31
Leilighetene på Skogtunet stod ferdige i 2012. Fra 2012 til 2017 steg gjennomsnittsprisen i gjennomsnitt med 8,0 % per år. Fra 2017 til 2020 var prisstigningen i gjennomsnitt 3,5 % per år. I 2017 var gjennomsnittsprisen 1 750 000 kr.
a Hva var gjennomsnittprisen i 2012?
b Hvor mye økte gjennomsnittsprisen med i prosent fra 2012 til 2020?
1.32
I løpet av ti år sank folketallet i en kommune med like mange prosent hvert år, fra 15 100 til 10 050. Hvor lang tid tok det før folketallet i kommunen var lavere enn 13 000?
1.33
Det bryter ut en influensaepidemi i bygda. Antall smittede personer er tilnærmet gitt ved Nt()6002500,68t =−⋅ , der N(t) er antall smittede etter t uker.
a Hvor mange personer var smittet da epidemien startet?
b Hva sier modellen om antall smittede etter hvert som tiden går?
c Lag et program som beregner og skriver ut antall smittede personer per uke for de 10 første ukene.
SNAKK
Modellering
Når vi bruker matematikk til å beskrive noe fra den virkelige verden, sier vi at vi lager en matematisk modell
De fleste modeller innebærer en forenkling av virkeligheten. Det fører til at de har sine begrensninger, og vi må ikke bruke dem ukritisk.
Fylkeskommunen ønsker å lage en modell som viser hvor mange elevplasser det er behov for innenfor de ulike programområdene i videregående skole de neste årene.
Hvilke faktorer må fylkeskommunen kjenne til for å kunne lage en slik modell?
Forsøk å gruppere i sikre og mindre sikre faktorer.
Hvor lang tid (hvor mange år) kan gyldighetsområdet for en slik modell være?
En matematisk modell gir en sammenheng mellom to (eller flere) størrelser.
Her er noen eksempler på størrelser vi skal se på modeller for i dette kapitlet:
En matematisk modell kan være gitt ved et funksjonsuttrykk, en tabell, en graf eller en formel.
Modellering med eksponentialfunksjonen
En funksjon som beskriver eksponentiell vekst, kaller vi en eksponentialfunksjon.
En eksponentialfunksjon kan vi skrive på formen
fxab () x = =⋅⋅ , der b > 0 og a 0
Her er a funksjonsverdien når x = 0, mens b er vekstfaktoren.
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole.
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i flere år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Ørnulf Borgan er professor emeritus ved Matematisk institutt, Universitetet i Oslo, der han arbeider med utvikling og anvendelser av statistiske metoder. Han har vært lærebokforfatter i mange år og har gitt en rekke kurs og foredrag for lærere i videregående skole.
Matematikk 2P følger fagfornyelsens læreplan i matematikk 2P, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
Læreboka
Læreboka inneholder teori, eksempler og innlæringsoppgaver samt differensierte oppgaver til hvert underkapittel. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene mulighet til å kommunisere matematikk. Slutten av hvert kapittel inneholder blandede oppgaver.
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU. Hun er lærer ved Bjørknes privatskole og underviser i matematikk, kjemi og naturfag. Tea har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Aunivers.no inneholder blant annet:
• Fullstendige løsninger av alle oppgavene
• Interaktive oppgaver
• Eksamensløsninger
• Opplæringsressurser til GeoGebra, Excel og Python
