Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.
Redaktører: Bjørn Johannes Neef og Harald Øyen Kittang
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen
Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Victor Paiam
Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund
Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk: Merkur Grafisk AS
Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien
ISBN 978-82-03-40884-7 www.aschehoug.no
Bildeliste
s. 6–7 Ekspansio/iStock, s. 12 Nico De Pasquale Photography/Getty Images, s. 15 Science & Society Picture Library/Getty Images, s. 18 monkeybusinessimages/ iStock, s. 29 maikid/iStock, s. 37 Ciungara/iStock, s. 46 brizmaker/iStock, s. 49 Motortion/iStock, s. 52 Boris SV/Getty Images, s. 59 a Charles O’Rear/Corbis Documentary/Getty Images, b Ryu Seungil/iStock, s. 65 vaitekune/iStock, s. 72 Bård Løken, Samfoto, NTB, s. 81 Elizaveta Veronina/EyeEm/Getty Images, s. 90 amriphoto/iStock, s. 93 Inger Christin Borge, s. 106 benjaminec/iStock, s. 110 phototropic/iStock, s. 114–115 Album/NTB, s. 122 OJO Images/iStock, s. 127 DjordjeZ/iStock, s. 134 milan2099/iStock, s. 150 sajoiner/iStock, s. 166–167 Robert Haasmann/imageBROKER/NTB, s. 184 Ingrid Maasik/Shutterstock/ NTB, s. 206–207 mantaphoto/iStock, s. 214 georgeclerk/iStock, s. 232–233 Espen Bratlie/Samfoto/NTB, s. 236 piola666/iStock, s. 262 Alamy Stock Photo/NTB, s. 285 German Vizulis/Shutterstock/NTB, s. 296–297 Wesley Jenkins/iStock, s. 307 BrettCharlton/iStock, s. 314 ermingut/iStock, s. 325 piola666/iStock, s. 334 Arne Nærva/Samfoto/NTB, s. 338 Steinar Myhr/Samfoto/NTB, s. 343 Paul Anthony Wilson/iStock, s. 348 MarsBars/iStock, s. 364 witoldkr1/iStock SVANEMERKET
Om Matematikk R1
Matematikk R1 følger fagfornyelsens læreplan i matematikk R1 som gjelder fra august 2021, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
Læreboka
Vi presenterer matematikken på en strukturert og forståelig måte. Vi følger opp teori og eksempler med innlæringsoppgaver. I eksemplene legger vi vekt på gode forklaringer og framgangsmåter, også med GeoGebra og programmering i Python der det er relevant.
I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene mulighet til å kommunisere matematikk.
Hvert underkapittel inneholder differensierte oppgaver:
Røde oppgaver er en naturlig fortsettelse av innlæringsoppgavene.
Blå oppgaver gir større utfordringer.
Til slutt i hvert kapittel finner du Blandede oppgaver som gir både mengdetrening og dybdelæring.
En del oppgaver bør løses uten hjelpemidler for å gi tiltenkt læringsutbytte. Disse er merket med Oppgaver som krever programmering, er merket med .
Siste kapittel i boka er en oppgavesamling, med relevante oppgaver som forberedelse til eksamen og avsluttende heldagsprøver.
Digitale ressurser på Aunivers.no
De digitale ressursene har samme kapittelinndeling som læreboka, og inneholder blant annet:
Som lærer får du også tilgang til:
Vi håper at Matematikk R1 møter dine forventninger til et komplett læreverk. Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikkR1@aschehoug.no.
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne ØrnulfBorgan,IngerChristinBorge,JohnEngeseth,OddHeir,HåvardMoe, Tea ToftNorderhaug og SigridMelanderVie, og redaktørene HaraldØyenKittang og BjørnJohannesNeef.
Innhold
1 Potenser og logaritmer
1A n-terøtter og potenser 8
1B Logaritmer 15
1C Logaritmesetningene 23
1D Logaritme- og eksponentiallikninger 31
1E Generelle logaritmer 48
Blandede oppgaver 54
Sammendrag 60
Kapitteltest 61
2 Grenseverdier og kontinuitet
2A Funksjoner med delt forskrift 64
2B Grenseverdier 75
2C Kontinuitet 92
2D Asymptoter 99
Blandede oppgaver 108
Sammendrag 112
Kapitteltest 113
3 Derivasjon
3A Funksjonsuttrykket til den deriverte 116
3B Noen derivasjonsregler 124
3C Den algebraiske definisjonen av den deriverte 131
3D Deriverbarhet 137
3E Numerisk derivasjon 143
3F Kjerneregelen 148
3G Produktregelen og brøkregelen 153
Blandede oppgaver 159
Sammendrag 163
Kapitteltest 164
4 Bruk av derivasjon
4A Størst og minst verdi 168
4B Størst og minst vekst 178
4C Tangenter 187
4D Newtons metode 192
4E L’Hôpitals regel 198
Blandede oppgaver 200
Sammendrag 204
Kapitteltest 205
5 Omvendte funksjoner
5A Hva er omvendte funksjoner? 208
5B Å finne den omvendte funksjonen 219
5C Den deriverte av omvendte funksjoner 224
Blandede oppgaver 228
Sammendrag 230
Kapitteltest 231
6 Vektorer
6A Hva er en vektor? 234
6B Sum og differanse 243
6C Parallelle vektorer 256
6D Skalarproduktet 264
6E Geometriske resultater 276
Blandede oppgaver 288
Sammendrag 294
Kapitteltest 295
7 Anvendelser og modeller
7A Parameterframstilling for linjer 298
7B Parameterframstilling for kurver 309
7C Vekst og modeller 316
7D Reelle datasett 327
Blandede oppgaver 343
Sammendrag 347
Kapitteltest 348
8 Oppgavesamling
349
Fasit 366
GeoGebra i R1 394
Python i R1 405
Register 413
Potenser og logaritmer
KAPITTELINNHOLD
1A n-terøtter og potenser 8
1B Logaritmer 15
1C Logaritmesetningene 23
1D Logaritme- og eksponentiallikninger 31
1E Generelle logaritmer 48
I dette kapitlet skal du lære om logaritmer.
Du får vite at:
log10log10log10
log21log31log41
log42log92log162 234 234 234
Ser du noen sammenheng?
Hva tror du at log125 5 er?
Hva med log36 6 ?
EKSEMPEL 1
n-terøtter og potenser
n-terøtter
16 er et eksempel på en kvadratrot. Kvadratroten av 16 er det positive tallet som ganget med seg selv blir 16. Derfor er 164
Kvadratrot er det samme som andrerot
Vi kan også finne tredjeroten, fjerderoten osv. av tall.
8 3 er et eksempel på en tredjerot (kubikkrot).
82 3 fordi 28 3
Vi kan også ta tredjeroten av negative tall.
For eksempel er −=−82 3 fordi −=− (2)8 3
16 4 er et eksempel på en fjerderot.
162 4 fordi 216 4
Vi vet at også −= (2)16 4 , men fjerderoten skal være et positivt tall.
n-teroten av et tall a er det tallet som opphøyd i n-te potens er lik a:
aa n n ( () ) = =
Hvis n er et partall, skal både a og a n være positive tall.
Finn 125 3 og 10000 4
−=−1255 3 fordi −=− (5)125 3
1000010 4 fordi 1010000 4 og 10000 4 skal være et positivt tall.
Med CAS i GeoGebra kan vi finne n-terøtter med kommandoen nrot(<x>,<n>).
Vi finner for eksempel 60 5 ved å skrive nrot(60, 5) og klikke på
Finn n-terøttene. Oppgi svaret med tre desimaler. a 10 3 b 17 4 c 64 7 d 1,065 12
Potenser med rasjonale eksponenter
Vi minner om definisjonene og regnereglene for potenser.
a a a 1 1 Definisjoner n n n n faktorer
Skriv så enkelt som mulig.
1.4
Bruk potensreglene og skriv så enkelt som mulig.
a xx xx 42 3 b x x 5 5 2 2 3 () c x x 1 6 2 3() ⎛ ⎝ ⎜
1.5
Bruk potensreglene og skriv så enkelt som mulig.
a ab ab 62 3 b ab ab 39 23 3 ()
1.6
Cecilie ønsker å begrunne at ()⋅=⋅ ababppp. Hun skriver:
() ()
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ab=abab...ab=aa...abb...b=ab p p pp pp faktorer faktorerfaktorer
a Begrunn at ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = a b a b pp p på en tilsvarende måte.
Hva må du anta om b?
b Begrunn at = a a a p q pq
Hva må du anta om a?
UTFORSK
Regnereglene gjelder også for rasjonale eksponenter (brøkeksponenter).
Her skal du utforske sammenhengen mellom n-terøtter og potenser.
a Bruk potensreglene til å regne ut 16 2 1 2 ()
Hva er 16 1 2 ? Hva er 25 1 2 ? Hva er a 1 2 ?
b Bruk potensreglene til å regne ut 27 3 1 3 ()
Hva er 27 1 3 ? Hva er 8 1 3 ? Hva er a 1 3 ?
c Hva betyr an 1 ?
d Bruk resultatet i oppgave c og potensreglene til å forklare trinnene i hver av de to utregningene nedenfor.
() =====
e Ta utgangspunkt i oppgave d og vis at aaa tntnt n () == , der tn , , an0og0
EKSEMPEL 3
La t være et helt tall, n et positivt helt tall og a et positivt tall. Da er
Skriv tallene i stigende rekkefølge.
EKSEMPEL 4
I brøken skriver vi om rotuttrykkene til tierpotenser og bruker potensreglene.
Tallene skrevet i stigende rekkefølge er derfor
Lag et program som beregner og skriver ut verdien av disse tallene.
1.7
Skriv rotuttrykkene som potenser og potensene som rotuttrykk.
7 3
1.8
Bruk potensreglene og skriv så enkelt som mulig.
1.9
Bruk potensreglene og skriv så enkelt som mulig.
Skriv tallene i stigende rekkefølge.
1.11
Lag et program som beregner verdien av uttrykkene i oppgave 1.10.
Regning med røtter
Vi kan omforme 75 til 53 ved å bruke regelen =⋅ abab =⋅=⋅= 7525325353
Vi vet også at a b a b . For eksempel er 25 9 25 9 5 3
Vi har tilsvarende regler for n-terøtter. nnnabab = =⋅⋅
UTFORSK
Vi vet at nx er lik xn 1 .
Bruk dette og potensreglene til å bevise de to regnereglene for n-terøtter.
EKSEMPEL 5
a Vis at vi kan omforme 54 3 til 32 3
b Skriv x 8 1000 6 3 så enkelt som mulig.
1.12
a Vis at vi kan omforme 50 til 52
b Vis at vi kan omforme 45 til 35
c Vis at vi kan omforme 32 4 til 22 4 .
d Vis at vi kan omforme a7 6 til aa 6 . 1.13
Skriv så enkelt som mulig.
RØDE OPPGAVER
1.14
Regn ut.
1.15
Skriv rotuttrykkene som potenser og potensene som rotuttrykk.
1.16
Skriv så enkelt som mulig uten å bruke hjelpemidler.
På tallinja har vi markert 12 punkter A–L
Avgjør for hvert av tallene nedenfor hvilket punkt det svarer til.
BLÅ OPPGAVER
1.18
Skriv så enkelt som mulig uten å bruke hjelpemidler.
a () () n n 3 3 2 b ⋅⋅ xxx 2 3 1 6 c xx416 3 2 3 d ()() +− 32233223
1.19
Finn to hele tall a og b slik at 2 a b er lik a 4 b 2 3 c 8 d 1 4 e
1.20
a Skriv 50 5 så enkelt som mulig.
b Vis at 4 2 3 er lik 2 3 5()
Logaritmer
Hvilket tall må vi opphøye 2 i for at potensen skal bli lik 64?
Svaret på spørsmålet kaller vi 2-logaritmen til 64.
Vi har at 2 64 6
Tallet 64 har 2-logaritmen 6, og vi skriver log64 6 2
4-logaritmen til 64 er det tallet vi må opphøye 4 i for at svaret skal bli 64.
Vi har at 4 64 3
Det betyr at log64 3 4
Siden 8 64 2 , må log64 2 8 .
De blå tallene 2, 4 og 8 ovenfor er grunntall for logaritmene.
Vi skal nå konsentrere oss om to spesielle logaritmer som vi kaller briggske logaritmer og naturligelogaritmer. De briggske logaritmene har grunntall 10, og de naturlige logaritmene har grunntall e, eulertallet. Vi vil se mer på generelle logaritmer i det siste underkapittelet.
Briggske logaritmer
På 1600-tallet kom noen matematikere på at det kunne være smart å skrive alle positive tall som tierpotenser, altså potenser med 10 som grunntall. Eksponenten i disse potensene kalte de for logaritmer.
For eksempel fant de ut at 2100,3010 og at 50,2101,7007. Tallet 2 har altså logaritmen 0,3010, og tallet 50,2 har logaritmen 1,7007, avrundet til fire desimaler.
Den engelske matematikeren Henry Briggs (1561–1630) laget den første logaritmetabellen med grunntall 10 i 1617. Tabellen ga logaritmen til de 1000 første naturlige tallene med en nøyaktighet på 14 desimaler! Tabellen til Briggs ble blant annet brukt til store og krevende beregninger innen astronomi. Det ble sagt at tabellen forkortet astronomenes arbeid og forlenget deres liv!
UTFORSK
Figuren viser grafen til funksjonen f gitt ved fx()10 x . p lg p
Den briggske logaritmen til et positivt tall p, lg p, er det tallet vi må opphøye 10 i for å få p:
p 10 p lg
Merk!
Vi skriver lg p i stedet for p log10 Andre navn på den briggske logaritmen er tierlogaritmen og 10-logaritmen
I margen ser du et lite utdrag av en logaritmetabell med en nøyaktighet på 2 desimaler.
a Fra tabellen i margen ovenfor kan vi lese at lg50,70 Forklar hvordan vi kan bruke figuren til å bekrefte dette.
b Bruk figuren til å finne en tilnærmingsverdi for
c Er det mulig å finne en verdi for lg 0?
d Er det mulig å finne en verdi for logaritmen til et negativt tall?
e Kan logaritmen til et tall være negativ?
Vi kan finne den briggske logaritmen til alle positive tall. Uansett hvilket tall vi opphøyer 10 i, vil svaret alltid bli et positivt tall. Vi kan derfor ikke finne logaritmen til negative tall og null.
Noen logaritmer klarer vi å regne ut uten tabell eller hjelpemidler.
lg 10 = 1 fordi 101 = 10
lg 100 = 2 fordi 102 = 100
lg 1000 = 3 fordi 103 = 1000
lg 1 = 0 fordi 100 = 1
lg 0,1 = 1 fordi 10−1 = 0,1
lg 10k = k
EKSEMPEL 6
Bruk definisjonen av den briggske logaritmen til å finne
a 10lg 3 b lg 0,01 c lg10
a 10lg 3 = 3
b lg 0,01 = lg 10 2 = 2 c lg10lg10 1 2 1 2
1.21
Bruk definisjonen av den briggske logaritmen til å finne
a 10lg 6 b 10lg 0,5 c 10lg 3 5
1.22
Bruk definisjonen av den briggske logaritmen til å finne
a lg 105 b lg 103,4 c lg 10 2,5 d lg10 1 4
1.23
Bruk definisjonen av den briggske logaritmen til å finne
a lg 10 000 b lg 0,0001 c lg10 3 d lg1000 5
Vi kan finne logaritmer med CAS. Legg merke til at vi må bruke parentes.
Programmet nedenfor beregner lg 500.
1 2 3 from pylab import * print(log10(500))
Utskriften ser slik ut: 2.6989700043360187
SNAKK
«Det er ingen overraskelse at den briggske logaritmen til 500 er et tall mellom 2 og 3.»
Kommenter dette utsagnet.
1.24
Vi har logaritmene nedenfor.
1 lg 7 2 lg 0,80 3 lg 4,5 4 lg 95
a Bestem logaritmene grafisk ved å ta utgangspunkt i grafen til eksponentialfunksjonen f gitt ved fx()10 x
b Bestem logaritmene med CAS.
c Lag et program som bestemmer logaritmene.
d Skriv tallene 7, 0,80, 4,5 og 95 som tierpotenser.
SNAKK
Hvis lg a er et tall i intervallet 0,1 , hva vet vi da om a?
Hvis lg a er et negativt tall, hva vet vi da om a?
UTFORSK
Logaritmefunksjoner
For hvert positivt tall x eksisterer det kun ett tall vi kan opphøye 10 i slik at svaret blir x. Det betyr at f gitt ved f(x) = lg x er en funksjon av x, der Df = 0, . Vi tegner grafen til f
1.25
a Bruk grafen til f ovenfor og bestem en tilnærmet verdi for 1 lg 2 2 lg 0,5
b Ta utgangspunkt i definisjonen av den briggske logaritmen til et positivt tall. Forklar hvorfor svarene får motsatt fortegn i oppgave a.
Tegn grafene til funksjonene f og g gitt ved
f(x) = lg x, Df = 0, og g(x) = 10 x , Dg = R
a Bestem f(1), f(2) og f(3).
Løs likningene gx()1, gx()2 og gx()3 Kommenter.
b Grafene til f og g ligger symmetrisk om en linje. Hva er likningen til denne linja?
c Hva er verdimengden til f?
Hva er verdimengden til g?
Kommenter.
UTFORSK
Naturlige logaritmer
Ta utgangspunkt i uttrykket + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ n 1 1 n
Skriv av og fyll inn i tabellen nedenfor. Bruk minst fem desimaler.
Hva skjer med verdien av uttrykket når n blir svært stor?
Uttrykket + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ n 1 1 n vil nærme seg tallet 2,718 281 828 459 … når n blir
større og større. Dette tallet er irrasjonalt og har fått symbolet e. –4–101 –3 –2 2 3
Det var den sveitsiske matematikeren Leonard Euler (1707–1783) som først brukte symbolet e om dette tallet. Derfor kaller vi det eulertallet
Eulertallet dukker ofte opp i naturvitenskapelige modeller.
Logaritmen med e som grunntall kaller vi derfor den naturlige logaritmen. Den naturlige logaritmen til p skriver vi ln p
Det er ikke vanlig å bruke skrivemåten p loge
Den naturlige logaritmen til et positivt tall p, ln p, er det tallet vi må opphøye e i for å få p: p e p ln
Merk! = 0 fordi e0 = 1 = 1 fordi e1 = e k = k fordi ek = ek
EKSEMPEL 7
Bruk definisjonen av den naturlige logaritmen til å finne
a eln2 b ln 1 e3 c lne
a e2 ln2
b ==− ln 1 e lne3 3 3
c lnelne 1 2 1 2
e ln p = p
ln e k = k
Vi kan regne ut naturlige logaritmer med CAS.
Programmet nedenfor beregner ln 2.
print(log(2)) 1 2 3
from pylab import *
Utskriften ser slik ut:
0.6931471805599453
1.26
Bruk definisjonen av den naturlige logaritmen til å finne a eln3 b lne2 c eln1 d lne 42
1.27
a Bruk definisjonen av den naturlige logaritmen til å finne
1 eln0,6 2 ln 1 e3 3 lne2 3 4 ln e e 5 2
b Sjekk svarene fra oppgave a med CAS.
Du finner eulertallet ved å holde Alt-tasten nede og trykke e.
c Lag et program som finner svarene i oppgave a.
1.28
a Tegn grafene til funksjonene f og g gitt ved fxx ()lg og gxx ()ln i det samme koordinatsystemet med en graftegner.
b Forklar hvorfor grafen til g stiger brattere mot høyre enn grafen til f
RØDE OPPGAVER
1.29
Skriv så enkelt som mulig. a lg108 b lg10 x c lne2 d lne x 5
1.30
Skriv så enkelt som mulig. a lg10000 b lg0,01 c lne d eln10
1.31
Skriv så enkelt som mulig. a lg10lg1 b ln1lne2 c lg100lg10 2 d lnee3ln3
1.32
Skriv tallene i stigende rekkefølge. lg1 lne3 lg0,1 lne lg10
BLÅ OPPGAVER
1.33
Skriv tallene i stigende rekkefølge. lg1003 10lge lge lg1002 3 ln(lg10) e
1.34
Anta at a og b er positive tall, og sett inn riktig symbol i rutene: ⇒, ⇐ eller ⇔ a abab lglg b abab lglg
1.35
Skriv så enkelt som mulig. a lg100ln 1 e2 b lg(lne) c eln2ln3 d lnelg100 5 3 3
1.36
Skriv så enkelt som mulig. a e3ln3 b lg100 x c ln 1 e d 10 2lg4
1.37
Skriv 1,35 som en potens med a 10 som grunntall b e som grunntall
EKSEMPEL 8
Logaritmesetningene
Vi har tre regneregler for logaritmer. Disse kaller vi logaritmesetningene, og de gjelder for alle positive grunntall forskjellig fra 1. Når vi bruker den briggske logaritmen, er grunntallet 10. Når vi bruker den naturlige logaritmen, er grunntallet e.
Første logaritmesetning
Denførstelogaritmesetningen sier at logaritmen til et produkt er lik summen av logaritmen til hver av faktorene.
La a og b være positive tall. Da er
abablglglg = =+ +
abablnlnln = =+ +
Merk!
For å være ekstra tydelig kan vi bruke parentes rundt produktet: =+ abablg()lglg
ababln()lnln =+
Gitt at ln31,1 og ln41,4 . Bestem en tilnærmingsverdi for ln 12.
ln12ln(34) ln3ln4 1,11,4 2,5
1.38
Første logaritmesetning
Gitt at lg20,3 og lg50,7
a Bestem en tilnærmingsverdi for lg25
b Bestem en tilnærmingsverdi for lg8
c Bestem en tilnærmingsverdi for lg20
aa t Logaritmer
Briggske: k lg10k =
Ørnulf Borgan er professor emeritus ved Matematisk institutt, Universitetet i Oslo, der han arbeider med utvikling og anvendelser av statistiske metoder. Han har vært lærebokforfatter i mange år og har gitt en rekke kurs og foredrag for lærere i videregående skole.
Naturlige: p e p ln = og k ln e k =
Logaritmesetningene
Inger Christin Borge har doktorgrad innenfor algebra fra University of Oxford. Hun er ansatt ved Universitetet i Oslo hvor hun er førstelektor ved Matematisk institutt.
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Kontinuitet og grenseverdier f er kontinuerlig i a: fxfalim( )( ) xa = → fxblim( ) xa = → hvis og bare hvis fxbfxbfxblim( ) lim () lim () xaxaxa == ∧=
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole.
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i flere år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU. Hun er lærer ved Bjørknes privatskole og underviser i matematikk, kjemi og naturfag. Tea har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Matematikk R1 følger fagfornyelsens læreplan i matematikk R1, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
fxguu () () ′ = ′ ′ når fxgu () () = og uux() =
Læreboka
Algebraisk definisjon av den deriverte fxfx x fxxfx x () lim () lim () () xx
Læreboka inneholder teori, eksempler og innlæringsoppgaver samt differensierte oppgaver til hvert underkapittel. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene mulighet til å kommunisere matematikk. Slutten av hvert kapittel inneholder blandede oppgaver, sammendrag og kapitteltest.
Aunivers.no inneholder blant annet:
• Fullstendige løsninger av alle oppgavene
• Interaktive oppgaver
• Eksamensløsninger
• Opplæringsressurser til GeoGebra og Python
• Læringsløp med programmering
Som lærer får du også tilgang til:
• Kapittelomtaler
• Kapittelprøver
• Terminprøver
• Aktivt klasserom
På Aunivers.no finner du Aschehougs digitale læremidler.
Parameterframstilling for rette linjer m xxat yybt : 0 0 =+ =+
er en parameterframstilling for den rette linja m som går gjennom punktet xy(, ) 00 og har retningsvektoren ab[, ]
