Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.
Redaktører: Harald Øyen Kittang og Bjørn Johannes Neef
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen
Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Victor Paiam
Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund
Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk: Merkur Grafisk AS
Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien
ISBN 978-82-03-40889-2 www.aschehoug.no
Bildeliste
s. 6–7 mikroman6/Getty Images, s. 8 Science Photo Library/NTB, s. 11 XINHUA/NTB, s. 23 a catscandotcom/iStock, b ttunar/iStock, s. 32 Muro/Corbis, s. 33 benjaminec/iStock, s. 36 og 37 pixel-dreams/iStock, s. 39 mgkaya/iStock, s. 45 Bettmann/Getty Images, s. 56 RVStock/shutterstock.com, s. 68 a The Granger Collection/NTB, b Det Norske Vitenskapsakademi, c matematikksenteret.no/NTNU, s. 76 Stian Schløsser Møller/Samfoto/NTB, s. 88–89 Nirian/E+/Getty Images, s. 89 Archive Photos/Stringer/Getty Images, s. 96 xiljan/iStock, s. 100 Lana2011/iStock, s. 113 JonJakob/iStock, s. 138 georgeclerk/iStock, s. 143 Stein J. Bjørge/Afenposten/NTB, s. 156 ilbusca/iStock, s. 159 photoman/iStock, s. 163 sculpies/iStock, s. 165 pixdeluxe/iStock, s. 168 Erik Ødegård/Basta Illustrasjon & Design, s. 178–179 Tone Kari Toft, s. 181 Rimma Z/Shutterstock/ NTB, s. 185 guruxoox/iStock, s. 187 baona/iStock, s. 192 alexemanuel/iStock, s. 203 Farknot-Architect/ iStock, s. 206 Ridofranz/iStock, s. 216 Capchure/Moment/Getty Images, s. 218 Alaska Stock/NTB, s. 227 Svein Grønvold/Samfoto/NTB, s. 229 Peathegee Inc/Tetra Images/Getty Images, s. 240 Gudella/iStock, s. 256–257 cookelma/iStock, s. 265 gorodenkoff/iStock, s. 268 Science Photo Library/NTB, s. 275 JMrocek/iStock, s. 283 Avirat Somsarn/iStock, s. 285 SolStock/iStock, s. 294 mayo5/iStock, s. 301 pidjoe/iStock, s. 302–303 Frédéric Soltan/Getty Images, s. 311 a Heritage Images/NTB, b Science Photo Library/NTB, s. 316 asbe/iStock, s. 327 Heritage Images/Getty Images, s. 342 avatar25/iStock, s. 344 kramikel/iStock, s. 345 gevende/iStock, s. 366 Frédéric Soltan/Getty Images, s. 394 Terje Pedersen/NTB, s. 398 vchal/iStock, s. 399 MarsBars/iStock
SVANEMERKET
Om Matematikk R2
Matematikk R2 følger fagfornyelsens læreplan i matematikk R2 som gjelder fra august 2022, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
Læreboka
Vi presenterer matematikken på en strukturert og forståelig måte. Vi følger opp teori og eksempler med innlæringsoppgaver. I eksemplene legger vi vekt på gode forklaringer og framgangsmåter, også med GeoGebra og programmering i Python der det er relevant.
I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene mulighet til å kommunisere matematikk.
Hvert underkapittel inneholder differensierte oppgaver:
Røde oppgaver er en naturlig fortsettelse av innlæringsoppgavene.
Blå oppgaver gir større utfordringer.
Til slutt i hvert kapittel finner du Blandede oppgaver som gir både mengdetrening og dybdelæring.
Oppgaver som vi mener bør løses uten hjelpemidler, er merket med
Oppgaver som krever programmering, er merket med .
Det siste kapittelet i boka er en oppgavesamling, med relevante oppgaver som forberedelse til eksamen og avsluttende heldagsprøver.
Digitale ressurser på Aunivers.no
De digitale ressursene har samme kapittelinndeling som læreboka, og inneholder blant annet:
Som lærer får du også tilgang til:
Vi håper at Matematikk R2 møter dine forventninger til et komplett læreverk. Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikkR2@aschehoug.no.
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne IngerChristinBorge,JohnEngeseth,OddHeir,HåvardMoe,Tea ToftNorderhaug og SigridMelanderVie, og redaktørene HaraldØyenKittang og BjørnJohannesNeef.
Innhold
1 Følger og rekker
1A Rekursive sammenhenger 8
1B Bevis 25
1C Endelige aritmetiske og geometriske rekker 41
1D Flere rekker 58
1E Praktiske anvendelser av rekker 70
Blandede oppgaver 78
Sammendrag 86
Kapitteltest 87
2 Integrasjon
2A Bestemt integral 90
2B Numerisk integrasjon 104
2C Bruk av bestemt integral 113
2D Analysens fundamentalteorem 128
2E Integrasjonsmetoder 143
2F Volum og overflate ved integrasjon 154
Blandede oppgaver 170
Sammendrag 176
Kapitteltest 177
3 Trigonometri
3A Et nytt vinkelmål 181
3B Enhetssirkelen 188
3C Trigonometriske grunnlikninger 199
3D Trigonometriske identiteter 208
3E Trigonometriske funksjoner 218
3F Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner 235
Blandede oppgaver 246
Sammendrag 253
Kapitteltest 254
4 Modeller
4A Modeller av reelle datasett 258
4B Analyse og tolkning av modeller 273
4C Vekstmodeller 281
4D Frie svingninger 290
Blandede oppgaver 296
Sammendrag 300
Kapitteltest 301
5 Romgeometri
5A Fra 2D til 3D 304
5B Multiplikasjon av vektorer 315
5C Areal og volum 330
5D Linjer og kurver 337
5E Plan 347
5F Vinkler 360
5G Avstander 368
5H Kuleflater 379
Blandede oppgaver 391
Sammendrag 397
Kapitteltest 398
6 Oppgavesamling
399
Fasit 420
GeoGebra i R2 450
Python i R2 464
Register 471
Følger og rekker
KAPITTELINNHOLD
1A Rekursive sammenhenger 8
1B Bevis 25
1C Endelige aritmetiske og geometriske rekker 41
1D Flere rekker 58
1E Praktiske anvendelser av rekker 70
Fibonaccitallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … er et eksempel på en liste, eller følge, av tall der en bestemt sammenheng mellom tallene gjentas.
Tallfølgen har fått navn etter den italienske matematikeren Fibonacci (ca. 1170−1250). Han så på følgende modell for hvordan kaniner formerer seg: Hvertparavkaninerføderettnyttparkaninerhvermåned,ogde startermeddetnårdeertomånedergamle
Ved å bruke modellen til å regne ut hvor mange kaninpar vi har etter hver nye måned, får vi fibonaccitallene. (Vi ser bort fra at kaniner dør etter hvert!) Figuren til venstre viser hvordan vi får tallene 1, 1, 2, 3 og 5.
La oss starte med ett par kaniner. Det er da det første paret. Etter én måned har vi fortsatt bare det første paret, altså ett par.
Etter to måneder har det første paret fått ett nytt par kaniner. Det er da det andre paret. Vi har nå 1 + 1 = 2 kaninpar.
Etter tre måneder har det første paret fått ett par til, mens det andre paret fortsatt ikke har startet med å få unger. Dermed har vi to «gamle» par og ett «nytt» par. Det gir 2 + 1 = 3 kaninpar.
Etter fire måneder får både det første og andre paret ett nytt par, mens det tredje paret fortsatt ikke har startet med å få unger. Dermed har vi de tre parene vi hadde forrige måned, sammen med to nye kaninpar, så vi har 3 + 2 = 5 kaninpar.
Merk at parene i de loddrette linjene på figuren er det samme paret.
UTFORSK
Rekursive sammenhenger
Ordet «rekursiv» betyr «gjentakende» eller «som kan gjentas». I naturen finner vi mange eksempler på sammenhenger som er gjentakende. Slike fenomener kan ofte modelleres ved hjelp av tall som passer i en rekursiv sammenheng.
På forsiden av kapitlet kan du lese om modellen til Fibonacci for hvordan kaniner formerer seg.
a Ta for deg modellen, og forklar hvorfor den gir 8 kaninpar etter fem måneder og 13 kaninpar etter seks måneder. Forklar hvilken sammenheng vi kan bruke til å finne nye fibonaccitall.
b Skriv av og kjør programmet du finner på forsiden av kapitlet. Forklar programmet, linje for linje.
Hva er sammenhengen mellom tallene programmet skriver ut?
c Hva ville utskriften blitt hvis n = 15? Kontroller ved å kjøre programmet.
Fibonaccitallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … er et eksempel på en uendelig følge.
En følge (tallfølge) er en oppramsing av tall.
Hvis oppramsingen inneholder n tall, der ∈ n , er følgen endelig. Hvis ikke, er følgen uendelig.
I oppramsingen skriver vi komma etter hvert tall. I en følge kommer tallene i en bestemt rekkefølge. Hvis vi endrer rekkefølge på tallene i en følge, får vi en ny følge. For eksempel er følgen 1, 2, 1, 5, 3, 13, 8, … ikke fibonaccitallene.
Skrivemåten forteller oss om en følge er endelig eller uendelig. Følgen 1, 3, 5, 7 består av fire tall. Følgen 1, 3, 5, 7, … består av uendelig mange tall.
Skrivemåten «…» markerer at følgen fortsetter etter samme mønster.
EKSEMPEL 1
a Beskriv mønstret for tallene i følgen 1, 4, 7, 10, … .
b Skriv opp det neste tallet i følgen.
c Lag en pseudokode til et program som skriver ut de 20 første tallene i følgen.
d Lag et program som skriver ut de 20 første tallene i følgen.
a Vi ser at vi får hvert nye tall i følgen ved å legge 3 til det foregående tallet. 1,4,7,10, 3333 …
b Det neste tallet i følgen er 10 + 3 = 13.
c Pseudokode:
Gi variabelen tall verdien 1
Gjenta 20 ganger:
Skriv ut tall
Øk tall med 3
d Med Python: tall = 1 for i in range(20): print(tall) tall = tall + 3
1.1
Beskriv mønstret i følgen og skriv opp det neste tallet.
Lag et program som skriver ut de 20 første tallene i følgen.
a 5, 9, 13, 17, … b 10, 8, 6, 4, …
c 1, 2, 4, 7, 11, … d 1, 4, 16, 64, …
e 1, 3, 9, 27, … f 1, 4, 9, 16, …
1.2
Finn det manglende tallet i følgen.
a 0, 2, 4, ?, 8, b 1, ?, 9, 27, 81,
c 11, 8, ?, 2, 1, d ?, 8, 18, 32, 50,
Tallene i en følge kaller vi ledd
Vi skriver leddene i en følge som a1, a2, a3, ... .
I følgen 1, 4, 7, 10, … er aa121,4 og a 7 3
Det generelle leddet i følgen kaller vi ofte an der n
Indeksen n gir oss leddnummeret
Ledd
Leddnummer a n
EKSEMPEL 2
Vi vil noen ganger navngi en følge, og da bruker vi symbolet an {} for en følge der det n-te leddet er an.
En følge kan være gitt ved en sammenheng mellom ledd som følger etter hverandre i følgen. For eksempel får vi fibonaccitallene ved å starte med leddene 1, 1, og legge sammen de to foregående leddene for hvert nye ledd. Vi sier at følgen er gitt ved en rekursivsammenheng
En rekursiv sammenheng kalles også en rekursiv formel. Ofte har vi en formel der an 1 er uttrykt ved an . En rekursiv formel gjelder for n 1 med mindre noe annet er oppgitt.
La følgene an {} og bn {} være gitt ved aa 1 nn 1 =+ + , der a 1 1 b 1 1 og bb 2 nn 1 =+ for
Skriv opp de første fire leddene i følgene.
Av formelen til følgen an {} ser vi at vi får det neste leddet i følgen ved å legge til én. Det gir
De første fire leddene i følgen an {} er 1, 2, 3 og 4. For følgen bn {} har vi
De fire første leddene i følgen bn {} er 1, 3, 5 og 7.
Merk!
Hvis vi ikke får oppgitt hvilket tall a1 er, så fins det uendelig mange følger som passer med den rekursive formelen.
Hvis formelen for an 1 er uttrykt ved an , kan vi beregne hvert ledd ved hjelp av det foregående leddet. I tillegg trenger vi ett ledd i følgen for å bestemme en konkret følge.
1.3
Ta for deg formelen aa 1 nn 1 =+ + .
a Hvilken følge får vi hvis a 5 1 ?
b Hvilken følge får vi hvis a 2 1 =− ?
c Lag et program som skriver ut leddene i følgen gitt ved aa 1 nn 1 =+ + for ulike valg av a1 og ulikt antall ledd.
d Hvis vi skriver om formelen, har vi aa 1 nn 1 −= + Hva forteller denne formelen oss?
e Beskriv med egne ord hva slags følge dette er.
1.4
Skriv opp de fem første leddene i følgen gitt ved
a a 2 1 og aa 2 nn 1 = +
b b 5 1 og bb 3 nn 1 =+ for n 2
c c 1 1 og cc23nn 1 =− +
d d 1 1 og ddn nn 1 =+ +
1.5
Lag et program som skriver ut de ti første leddene i følgene i oppgave 1.4.
EKSEMPEL 3
Finn en rekursiv formel for følgen.
a 1, 2, 4, 8, 16, …
b 1, 3, 7, 15, 31, …
c 5, 11, 20, 32, 47,…
a For å finne en rekursiv formel må vi først lete etter mønstret i tallene. Følgen starter med tallet 1. Vi får det neste leddet i følgen ved å multiplisere det foregående leddet med 2. Det gir
a 1 1 og aa 2 nn 1 =− +
b Følgen starter med 1. Vi skriver leddene under hverandre slik at vi ser hvordan vi kommer fra ett ledd til det neste:
Differansen mellom to etterfølgende ledd er 2, 4, 8, 16, … . Disse tallene gjenkjenner vi som toerpotensene 21, 22, 23, 24, … . Vi får altså det neste leddet i følgen ved å legge en toerpotens til det foregående leddet. I a2 legger vi til 21, i a3 legger vi til 22 , i a4 legger vi til 23 , og så videre. Vi legger til en toerpotens der eksponenten er én mindre enn leddnummeret. Det gir
1 1 og aa 2 nn n 1 =+ +
c Følgen starter med 5. Vi skriver opp leddene under hverandre:
Differansen mellom to etterfølgende ledd er 6, 9, 12, 15, ... .
Disse tallene gjenkjenner vi som «3-gangen», altså multiplumer av 3. I a2 legger vi til 32 , i a3 legger vi til 33, i a4 legger vi til 34 , og så videre. Vi legger altså til et multiplum av 3, der 3 multipliseres med leddnummeret. Det gir
SNAKK
Siri mener følgen i eksempel 3c på forrige side også kan gis ved
a 5 1 og aan 3 nn 1 =+ for n 2
Stemmer dette? Forklar.
1.6
Finn en rekursiv formel for følgen.
a 14, 11, 8, 5, …
c 2, 5, 14, 41, …
b 20,10,5, 5 2 ,
d 1 4 , 1 2 ,1,2,4, …
e 1, 5, 11, 19, 29, … f 1, 2, 4, 7, 11, …
1.7
Finn en rekursiv formel for følgen r, r, r, …, der R r
SNAKK
Vi kan også ha rekursive sammenhenger mellom flere enn to etterfølgende ledd i følgen.
La an {} være en følge gitt ved den rekursive formelen
aaa nnn 21 ++=+
Bruk den rekursive formelen ovenfor med a1 = 1 og a2 = 1.
Hvilken følge er dette?
1.8
Se på følgen 5, 11, 20, 32, 47, … .
I eksempel 3c fant vi at denne følgen er gitt ved
a 5 1 og aan3(1) nn 1 =++ +
a Hvor mange regneoperasjoner (addisjoner og multiplikasjoner) må til for å finne ledd nummer 50?
b Lag et program som skriver ut de 50 første leddene.
c Lag et program som skriver ut differansen aann 1 + for de 50 første leddene.
EKSEMPEL 4
Eksplisitt formel
Det vil være nyttig med en formel der vi kan sette inn n og regne ut det n-te leddet i en følge direkte. En slik formel kaller vi en eksplisitt (direkte) formel. En eksplisitt formel gjelder for n 1, med mindre noe annet er oppgitt.
La følgen an {} være gitt ved
an 2 n
a Finn ledd nr. 2 og ledd nr. 100 i følgen.
b Hvilken følge er dette?
a Formelen sier at vi finner det n-te leddet ved å gange 2 med n
a 224 2 =⋅= a 2100200 100 =⋅=
Ledd nr. 2 i følgen er 4, og ledd nr. 100 er 200. b Vi kan skrive alle tallene i følgen som 2n, der n er et naturlig tall. Følgen er altså partallene som er større enn eller lik 2.
Merk!
Vi kan også skrive ut leddene i en følge ved å bruke CAS.
Hvis følgen er gitt ved en eksplisitt formel, kan vi bruke kommandoen Følge(<Uttrykk>, <Variabel>, <Fra>, <Til>).
Hvis følgen er gitt ved en rekursiv formel, kan vi bruke kommandoen
Finn de fem første og det tiende leddet i følgen uten hjelpemidler. Kontroller med CAS.
a an21 n =− b bn32 n =+
c cn35 n =−+ d dnn 1 2 1 2 1 n 2 =−+
EKSEMPEL 5
a Finn en eksplisitt formel for følgen av oddetallene 1, 3, 5, 7, … .
b Finn en eksplisitt formel for følgen av kvadrattallene 1, 4, 9, 16, 25, … .
c Lag et program som skriver ut de ti første oddetallene.
a Vi kan ta utgangspunkt i partallsfølgen 2, 4, 6, 8, …, som er gitt ved formelen an 2 n . Vi får oddetallsfølgen ved å trekke fra 1 i hvert ledd i partallsfølgen. Det gir formelen
an21 n =−
b Kvadrattallene får vi ved å kvadrere de naturlige tallene. Formelen er derfor
an n 2
c Vi bruker en for-løkke, og den eksplisitte formelen vi fant i oppgave a.
Merk!
Det kan være lurt å sette inn et par verdier for n i formelen du har funnet, for eksempel n = 1 og n = 2, for å sjekke at de første leddene stemmer.
1.10
Finn en eksplisitt formel for følgen.
a 1, 2, 3, 4, …
b 3, 6, 9, 12, …
c 2, 2, 2, 2, …
d 1, 1, 1, 1, … for i in range(1, 11): print(2*i - 1)
EKSEMPEL 6
La følgen bn {} være gitt ved
b 1 1 og bb 3 nn 1 =+ +
Finn en eksplisitt formel for følgen.
Vi får leddene i følgen ved å starte med 1 og legge til 3 for hvert nye ledd.
Vi har b
Vi får det n-te leddet ved å regne ut 1 + 3 ⋅ (n 1).
Det gir formelen
bnn13(1)32 n =+−=−
For å være sikre på at den eksplisitte formelen vi fant i eksemplet, gjelder for alle n, trenger vi å bevise dette. Slike bevis skal vi se på i neste underkapittel.
1.11
Finn en eksplisitt formel for følgen.
Lag et program som skriver ut de ti første tallene i følgen. Velg selv om du vil bruke den eksplisitte eller rekursive formelen.
UTFORSK
La k og d være reelle tall.
Velg en verdi for a1 og utforsk følger som er gitt ved den rekursive sammenhengen akad nn 1 =+ + for ulike verdier av k og d
Kan du finne et uttrykk for det n-te leddet til slike følger?
EKSEMPEL 7
Finn en eksplisitt formel for følgen 3, 17, 55, 129, 251, … ved å bruke regresjon.
Vi legger inn følgen i regnearket i GeoGebra slik figuren viser. (Vi legger inn leddnumrene i kolonne A og leddene i følgen i kolonne B.)
Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi prøver oss fram og får eksakt treff ved å velge Polynom av grad 3 som regresjonsmodell.
Av funksjonsuttrykket ser vi at en eksplisitt formel for følgen er an21 n 3 =+
Merk!
For å bruke regresjon til å finne en eksplisitt formel er det viktig at tallene passer eksakt i uttrykket vi får. Dette kan vi for eksempel sjekke nederst i regresjonsanalysevinduet.
EKSEMPEL 8
Det er bare de markerte punktene på regresjonsgrafen som har med følgen å gjøre. De er «grafen» til følgen: Vi kan tenke på en følge an {} som en funksjon der definisjonsmengden er de naturlige tallene: Til hvert naturlig tall n får vi et ledd an med n som leddnummer.
Den eksplisitte formelen til følgen er formelen til denne funksjonen, og grafen til en slik funksjon er en serie enkeltpunkter.
1.12
Finn en eksplisitt formel for følgen.
a 1, 5, 10, 16, 23, …
Rekker
b 2, 9, 20, 35, 54, …
Når vi setter pluss mellom leddene i en følge, får vi en rekke. Hvis vi har følgen 3, 7, 12, 18, 25, … , får vi rekka 3 + 7 + 12 + 18 + 25 + .
Vi bruker skrivemåten med tre prikker til slutt for å markere at rekka har uendelig mange ledd.
Hvis vi setter pluss mellom leddene i en endelig følge, får vi en endeligrekke For eksempel er 3 + 7 + 12 + 18 + 25 en endelig rekke med fem ledd.
Vi skal først konsentrere oss om endelige rekker og summen av slike rekker. Vi bruker s2 som symbol for summen av de to første leddene i en rekke, s3 for summen av de tre første leddene, og så videre. Dette er eksempler på delsummer til rekka.
Leddene i en rekke er gitt ved formelen a 3 n n 1 = . Skriv opp de fire første leddene i rekka, og finn delsummene s2 og s 4
De fire første leddene er 1, 3, 9 og 27. Det gir delsummene
1.13
Leddene i en rekke er gitt ved formelen an31 n =− . a Skriv opp de seks første leddene i rekka. b Finn s2 og s6 .
EKSEMPEL 9
Summen av en endelig rekke
Fra en rekke kan vi regne ut mange delsummer:
Delsummene danner en følge s n { } . Når vi vil finne en formel for summen av de n første leddene i en rekke, kan vi lete etter et mønster i delsummene og finne en eksplisitt formel for følgen s n {}
Finn en formel for summen av de n første oddetallene.
Summen av de n første oddetallene er
Følgen av delsummer ser ut til å bestå av kvadrattallene. Figuren viser også at de fire første delsummene av oddetall gir oss kvadrattall.
Dette mønstret ser ut til å fortsette, noe som gir formelen sn n 2
1.14
Ta for deg rekka 1 + 7 + 19 + 37 + 61 +
a Skriv opp de fem første delsummene til rekka.
b Finn en formel for summen av de n første leddene i rekka.
Summasjonstegnet
Vi kan skrive 2 + 4 + 6 + 8 + + 200 for summen av partallene fra og med 2 til og med 200. Skrivemåten med de tre prikkene gjør at vi ikke trenger å skrive opp alle leddene.
En mer presis skrivemåte får vi med summasjonstegnet Σ. Symbolet er en stor gresk S (s for sum) fra det greske alfabetet og kalles sigma. Vi kan skrive
Under summasjonstegnet står summasjonsindeksen (i dette tilfellet i) og startverdien til indeksen (i dette tilfellet 1). Over summasjonstegnet står sluttverdien (i dette tilfellet 100). Tallene 1 og 100 kaller vi nedre og øvre summasjonsgrense. Vi leser uttrykket som «summen av 2i når i går fra og med 1 til og med 100».
Uttrykket i2 i 1 100
= sier at vi skal summere 100 ledd. Det første leddet får vi ved å
sette inn startverdien 1 for i. Det andre leddet får vi ved å sette inn 2 for i, og så videre, helt til vi har fått et ledd for hvert naturlige tall opp til og med 100. Det gir
EKSEMPEL 10
Skriv opp leddene og regn ut summen
(23)
Vi skriver opp leddene og regner ut summen:
(23)(213)(223)(233)(243)5791132 i 1 4
Med CAS:
Vi skriver inn kommandoen Sum(2i+3, i, 1, 4).
GeoGebra viser dette ofte slik:
Merk!
Parentesen som forteller hvilket uttrykk som tilhører summasjonstegnet er usynlig i GeoGebra, men GeoGebra regner som om den er der. i2 3 i 1 4 ∑ + = betyr strengt tatt 2·12·22·32·4 3 23 ++++=
Merk også at når du skriver inn Sum-kommandoen, veksler GeoGebra på å skrive ut summasjonstegnet som i eksemplet på forrige side og å skrive ut kommandoen slik du skrev den som i utskriften til høyre.
1.15
Skriv opp leddene og regn ut summen uten hjelpemidler. Kontroller med CAS.
EKSEMPEL 11
Finn summen av de 50 første kvadrattallene.
Formelen for det n-te kvadrattallet er an n 2 For å finne summen skal vi summere dette uttrykket for n = 1, n = 2, og så videre, opp til og med n = 50. Se utskriften fra CAS til høyre.
Summen av de 50 første kvadrattallene er 42 925.
Med Python:
sum_kvadrat = 0
print(sum_kvadrat) 1 2 3 4 5 6
for n in range(1, 51): sum_kvadrat = sum_kvadrat + n**2
1.16
Finn summen av de 50 første leddene i rekka med både CAS og programmering. a an21 n =− b fn 2 n 2 =− c b 32 n n =⋅ d g 500,89 n n 1 =⋅
Summen av de n første leddene i en rekke kan vi skrive slik:
saaaaa nni i n 123 1 ∑ =++++= =
Vi kan for eksempel skrive summen av de n første oddetallene som sni135(21)(21) n i n 1 ∑ =++++−=− =
Vi skriver denne summen inn i CAS med kommandoen
Sum(2i-1, i, 1, n) og får et uttrykk for summen:
1.17
a Skriv summen av de n første kvadrattallene ved hjelp av summasjonstegnet.
b Finn et uttrykk for summen av de n første kvadrattallene.
Vi kan bruke et annet symbol enn i for summasjonsindeksen. Vi kan også la den nedre summasjonsgrensen være noe annet enn 1.
EKSEMPEL 12
(1)
Vi skriver ut leddene og regner ut:
k (1)(31)(41)(51)(61)815243582 k 2 3
Med CAS:
1.18
Skriv ut leddene. Regn ut summen uten hjelpemidler og kontroller svaret med CAS eller med programmering.
SNAKK
«Summasjonstegnet er jo en for-løkke!»
Kommenter påstanden.
1.19
Ta utgangspunkt i programmet i eksempel 11 og endre dette slik at programmet regner ut k (1)
UTFORSK
Lag et program som summerer de n første fibonaccitallene: fffn 12
Gå systematisk til verks og bruk programmet til å regne ut summen for ulike verdier av n
Finner du en sammenheng mellom fibonaccitallene og de ulike summene?
RØDE OPPGAVER
1.20
Finn de tre neste leddene i følgen.
a 50, 47, 44, 41, … b 5, 7, 11, 17, …
1.21
c 500, 490, 460, 410, …
Skriv opp de seks første leddene og finn en rekursiv formel for følgen.
a an 52 n =+ b bn53 n =−
1.22
c c 7 n
Lag et program som skriver ut de ti første leddene i rekka og finner s10
a an 43 n =− b b 2 n n
1.23
Ta for deg rekka 20001000500 125 32 .
a Finn leddene a4 og a5
c Hvor mange ledd er det i rekka?
BLÅ OPPGAVER
1.24
Finn en eksplisitt og en rekursiv formel for følgen.
a 2, 6, 14, 30, … b 4, 10, 22, 46, …
1.25
Skriv ut leddene og regn ut summen.
c cnn21 n 2 =++
b Finn en rekursiv formel for leddene i rekka.
d Finn summen av rekka.
c 1, 7, 16, 28, 43, …
a (21) n n 1 6 ∑ = b i (2) i i 2 0 8 ∑ = c ab b 3 1 4 ∑ = d nn
1.26
Skriv summen ved hjelp av summasjonstegnet.
Lag et program som finner summen.
a 2123262362 b 10152128210
1.27
a Lag et program som skriver ut summen av de n første kvadrattallene, summen av de n første oddetallene og til slutt differansen mellom de to summene. Ser du en sammenheng?
b Forklar ved å bruke et annet argument enn programmet i oppgave a, at summen av de n første kvadrattallene minus summen av de n første oddetallene er lik summen av de n 1 første kvadrattallene.
c Løs oppgave b ved å bruke summasjonstegnet. Hvilke regneregler for summasjonstegnet trenger du? Får du bruk for en kvadratsetning?
UTFORSK
Bevis
For å være sikre på at noe vi påstår er sant, må vi bevise det. En påstand som kan være sann eller usann, kaller vi et utsagn. «Matematikk er gøy!» er en påstand, men ikke et utsagn, siden vi ikke kan avgjøre om det er sant eller usant − det avhenger av hvem vi spør. «Vinkelsummen i en trekant er 180°.» er et utsagn. Dette kan vi bevise at er sant.
Bruk figuren nedenfor til å bevise at vinkelsummen i en trekant er 180°
Hvilke ideer er det som gjør at beviset ditt fungerer?
Et bevis for en påstand er et resonnement som gjør oss overbevist om at påstanden er sann. I et bevis må vi gjøre antakelser og trekke logiske slutninger. En måte å trekke logiske slutninger på er at vi bruker direkte konsekvenser av aksiomer, definisjoner eller resultater vi har vist før. Hvis vi har vist at ethvert tall som slutter på null, er delelig med 5, så kan vi trekke slutningen at tallet 1230 er delelig med 5.
Et aksiom er en grunnleggende setning som vi godtar er sann. For eksempel kan vi i figuren ovenfor tegne en linje som er parallell med linjestykket AB Det følger fra det såkalte parallellaksiomet. Å bruke dette aksiomet til å bevise at vinkelsummen i en trekant er 180° gjør at vi kommer videre i beviset og kan fullføre argumentasjonen. Vi kan kalle det enbærendeidé i beviset.
En definisjon beskriver nøyaktig hva vi mener med et ord eller et begrep. For eksempel har vi følgende definisjon av et partall:
Et helt tall n kaller vi et partall hvis det fins Z k slik at n = 2k «Hvis det fins Z k » er skrivemåten for «hvis det fins et helt tall k». ab c Ca AB
Inger Christin Borge har doktorgrad innenfor algebra fra University of Oxford. Hun er ansatt ved Universitetet i Oslo hvor hun er førstelektor ved Matematisk institutt.
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole.
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU. Hun er lærer ved Bjørknes privatskole og underviser i matematikk, kjemi og naturfag. Tea har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Matematikk R2 følger fagfornyelsens læreplan i matematikk R2, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
Læreboka
Læreboka inneholder teori, eksempler og innlæringsoppgaver samt differensierte oppgaver til hvert underkapittel. I tillegg har vi UTFORSKoppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKKoppgaver som gir elevene mulighet til å kommunisere matematikk. Slutten av hvert kapittel inneholder blandede oppgaver, sammendrag og kapitteltest.
På Aunivers.no finner du Aschehougs digitale ressurser.
