Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.
Redaktører: Harald Øyen Kittang og Bjørn Johannes Neef
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen
Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Victor Paiam
Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund
Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk: Merkur Grafisk AS
Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien
ISBN 978-82-03-40899-1 www.aschehoug.no
Bildeliste
s. 6–7 mikroman6/Getty Images, s. 9 Science Photo Library/NTB, s. 16 Hill Street Studios/ Getty Images, s. 21 Randall Munroe/xkcd.com, s. 32 Yakobchuk Olena/iStock, s. 35 Ziga Plahutar/iStock, s. 37 Bettmann/Getty Images, s. 60 Scharvik/iStock, s. 65 alex_ugalek/ iStock, s. 66 Choreograph/iStock, s. 76–77 Sorbyphoto/iStock, s. 83 borchee/iStock, s. 92 polartern/iStock, s. 97 kool99/iStock, s.103 benjaminec/iStock, s. 112 1111iESPDJ/ iStock, s. 115 Stein J. Bjørge/Aftenposten/NTB, s. 121 Ugur Karakoc/iStock, s. 123 Motortion/iStock, s. 125 olaser/iStock, s. 134–135 Steinar Myhr/Samfoto/NTB, s.136 Drazen Zigic/iStock, s. 141 gorodenkoff/iStock, s. 144 bumbumbo/iStock, s. 147 Hill Street Studios/Getty Images, s. 153 onurdongel/iStock, s. 160 manfeiyang/ iStock, s. 168 Romolo Tavani/iStock, s. 174 dschaef/iStock, s. 177 piola666/iStock, s. 192–193 Halfpoint Images/Getty Images, s. 198 Hege R. Aspelund, s. 201 devolmon/ iStock, s. 205 Sjo/iStock, s. 211 Mickis-Fotowelt/iStock, s. 217 Dmitry Andreev/iStock, s. 219 adventtr/iStock, s. 224–225 doble-d/iStock, s. 227 sturti/iStock, s. 236 Science Photo Library/Getty Images, s. 240 Jollier_/iStock, s. 253 basar17/iStock, s. 256 zoranm/ iStock, s. 271 Olav Urdahl/Aftenposten/NTB, s. 276 MarsBars/iStock, s. 286 Andril Yalanskyi/iStock, s. 295 Stuart Paton/Plainpicture/NTB SVANEMERKET
Om Matematikk S2
Matematikk S2 følger fagfornyelsens læreplan i matematikk S2 som gjelder fra august 2022, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
Læreboka
Vi presenterer matematikken på en strukturert og forståelig måte. Vi følger opp teori og eksempler med innlæringsoppgaver. I eksemplene legger vi vekt på gode forklaringer og framgangsmåter, også med GeoGebra og programmering i Python der det er relevant.
I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene mulighet til å kommunisere matematikk.
Hvert underkapittel inneholder differensierte oppgaver:
Røde oppgaver er en naturlig fortsettelse av innlæringsoppgavene.
Blå oppgaver gir større utfordringer.
Til slutt i hvert kapittel finner du Blandede oppgaver som gir både mengdetrening og dybdelæring.
Oppgaver som vi mener bør løses uten hjelpemidler, er merket med
Oppgaver som krever programmering, er merket med .
Det siste kapittelet i boka er en oppgavesamling, med relevante oppgaver som forberedelse til eksamen og avsluttende heldagsprøver.
Digitale ressurser på Aunivers.no
De digitale ressursene har samme kapittelinndeling som læreboka, og inneholder blant annet:
Som lærer får du også tilgang til:
Vi håper at Matematikk S2 møter dine forventninger til et komplett læreverk. Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikkS2@aschehoug.no.
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne ØrnulfBorgan, IngerChristinBorge,JohnEngeseth,OddHeir,HåvardMoe, Tea ToftNorderhaug og SigridMelanderVie, og redaktørene HaraldØyenKittang og BjørnJohannesNeef.
Innhold
1 Følger og rekker
1A Rekursive sammenhenger 8
1B Rekker 24
1C Aritmetiske og geometriske rekker 32
1D Uendelige rekker 48
1E Praktiske anvendelser av rekker 57
Blandede oppgaver 69
Sammendrag 74
Kapitteltest 75
2 Integrasjon
2A Det bestemte integralet 78
2B Integral og areal 86
2C Bruk av det bestemte integralet 94
2D Analysens fundamentalteorem 102
2E Integrasjonsmetoder 115
Blandede oppgaver 127
Sammendrag 132
Kapitteltest 133
3 Modeller
3A Økonomiske modeller 136
3B Grensekostnad og grenseinntekt 149
3C Tilbud og etterspørsel 156
3D Konstant og eksponentiell vekst 162
3E Logistisk vekst 170
Blandede oppgaver 182
Sammendrag 188
Kapitteltest 190
4 Sannsynlighet
4A Forventningsverdi 194
4B Varians og standardavvik 205
4C Regneregler for forventning og varians 215
4D Kontinuerlige stokastiske variabler 221
4E Normalfordelingen 229
4F Sentralgrensesetningen 244
4G Hypotesetesting 256
Blandede oppgaver 267
Sammendrag 274
Kapitteltest 275
5 Oppgavesamling
276
Fasit 298
GeoGebra i S2 316
Python i S2 325
Register 333
2
1
1 Følger og rekker
3
4
KAPITTELINNHOLD
1A Rekursive sammenhenger 8
1B Rekker 24
1C Aritmetiske og geometriske rekker 32
1D Uendelige rekker 48
1E Praktiske anvendelser av rekker 57
Fibonaccitallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, er et eksempel på en liste, eller følge, av tall der en bestemt sammenheng mellom tallene gjentas.
Tallfølgen har fått navn etter den italienske matematikeren Fibonacci (ca. 1170−1250). Han så på følgende modell for hvordan kaniner formerer seg: Hvert par av kaniner føder et nytt par kaniner hver måned, og de starter med det når de er to måneder gamle.
Ved å bruke modellen til å regne ut hvor mange kaninpar vi har etter hver nye måned, får vi fibonaccitallene. (Vi ser bort fra at kaniner dør etter hvert!) Figuren til venstre viser hvordan vi får tallene 1, 1, 2, 3 og 5.
La oss starte med ett par kaniner. Det er da det første paret. Etter én måned har vi fortsatt bare det første paret, altså ett par.
Etter to måneder har det første paret fått ett nytt par kaniner. Det er da det andre paret. Vi har nå 1 + 1 = 2 kaninpar.
Etter tre måneder har det første paret fått ett par til, mens det andre paret fortsatt ikke har startet med å få unger. Dermed har vi to «gamle» par og ett «nytt» par. Det gir 2 + 1 = 3 kaninpar.
Etter fire måneder får både det første og andre paret ett nytt par, mens det tredje paret fortsatt ikke har startet med å få unger. Dermed har vi de tre parene vi hadde forrige måned, sammen med to nye kaninpar, så vi har 3 + 2 = 5 kaninpar.
Merk at parene i de loddrette linjene i figuren er det samme paret.
Rekursive sammenhenger 1A
UTFORSK
Ledd Leddnummer a n
a = 1
b = 1
n = 10
print(a)
print(b)
for i in range(n):
c = a + b
print(c)
a = b
b = c
a Du finner programmet på Aunivers.no.
Kjør programmet, og forklar det linje for linje.
Hva er sammenhengen mellom tallene programmet skriver ut?
b Hva vil utskriften bli hvis n = 18? Kontroller ved å kjøre programmet.
Ordet «rekursiv» betyr «gjentakende» eller «som kan gjentas».
I naturen finner vi mange eksempler på sammenhenger som er gjentakende.
Slike fenomener kan vi ofte modellere ved hjelp av tall. Vi kan for eksempel modellere formeringen av kaniner som du leste om på kapitteloppslaget ved fibonaccitallene: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Fibonaccitallene er et eksempel på en tallfølge, ofte bare kalt en følge
En tallfølge er tall som står etter hverandre i en bestemt rekkefølge, og vi kaller hvert av tallene ledd
Fibonaccitallene er altså tallfølgen der det første leddet er 1, det andre leddet er 1, det tredje leddet er 2 osv. Hvis vi bytter rekkefølgen på noen av tallene, får vi en annen følge.
Vi bruker en bokstav, ofte a, med en indeks for å referere til leddene i en følge.
Vi kan da skrive leddene i fibonaccifølgen slik
a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, ...
Fibonaccifølgen har et navn, så i stedet for a kan vi velge å bruke bokstaven f for Fibonacci. Da får vi
f1 = 1, f2 = 1, f3 = 2, ...
Hvis det er et mønster i en følge, kan vi beskrive mønstret og forlenge følgen.
I fibonaccifølgen starter vi med de to første leddene som begge er lik 1, og finner deretter de neste leddene ved å legge sammen de to foregående.
De tre prikkene i slutten av fibonaccifølgen betyr at dette mønstret fortsetter i det uendelige. Den er en uendeligfølge
Følgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 er et eksempel på en endeligfølge med 7 ledd.
a1, a2, a3, ... , an er en endelig følge med n ledd.
a1, a2, a3, ... er en uendelig følge.
EKSEMPEL 1
a Beskriv mønstret for tallene i følgen 1, 4, 7, 10, ... .
b Skriv opp det neste tallet i følgen, a5
c Lag en algoritme du kan bruke til å skrive ut de 20 første tallene i følgen. d Lag et program som bruker algoritmen i oppgave c.
a Vi ser at vi får tallene i følgen ved å legge 3 til det foregående tallet.
1,4,7,10, 3333
b a5 = a4 + 3 = 10 + 3 = 13
c Algoritme:
Gi variabelen tall verdien 1
Gjenta 20 ganger:
Skriv ut tall
Øk tall med 3
d Med Python:
= 1
1.1
Beskriv mønstret og skriv det neste tallet i følgen.
Lag et program som skriver ut de 20 første tallene i følgen.
a 5, 9, 13, 17, ... b 10, 8, 6, 4, ...
c 1, 2, 4, 7, 11, ... d 1, 4, 16, 64, ...
e 1, 3, 9, 27, ... f 1, 4, 9, 16, ...
1.2
Finn det manglende tallet i følgen.
a 0, 2, 4, ?, 8, ... b 1, ?, 9, 27, 81, ...
c 11, 8, ?, 2, 1, ... d ?, 8, 18, 32, 50, ...
UTFORSK
Dunya skal finne det neste leddet i tallfølgen 1, 2, 9, 22, 41, 66, ... .
Hun ser ikke mønstret umiddelbart, men forsøker slik:
129224166 97 17131925 31 6666 6
Det neste leddet er 97.
a Forklar hva Dunya gjør.
Vi kaller metoden differansemetoden
b Bruk differansemetoden til å finne mønstret i tallfølgen.
1 1, 5, 12, 22, 35, 51, ...
2 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...
c Vil metoden fungere for å finne mønstret i alle tallfølger? Forklar.
Rekursiv formel
I en rekursivformel får vi oppgitt en sammenheng mellom etterfølgende ledd i følgen. Formelen gir oss den rekursivesammenhengen mellom leddene.
I tillegg må vi ha ett eller flere startledd. Formelen gjelder for n 1, med mindre noe annet er oppgitt.
Når vi navngir en følge, kan vi bruke symbolet {an}, slik vi gjør i neste eksempel.
EKSEMPEL 2
La følgen {an} være gitt ved a1 = 2, an + 1 = an + 4. Skriv opp de fem første leddene i følgen.
Vi ser at første ledd er 2, og at hvert nye ledd i følgen er 4 større enn leddet foran.
a1 = 2
a2 = a1 + 4 = 2 + 4 = 6
a3 = a2 + 4 = 6 + 4 = 10
a4 = a3 + 4 = 10 + 4 = 14
a5 = a4 + 4 = 14 + 4 = 18
De fem første leddene er 2, 6, 10, 14 og 18.
Med CAS:
Med Python:
IterasjonListe(<Funksjon>, <Start>, <Antall iterasjoner>) tall = 2 for i in range(5): print(tall)
Ta for deg formelen i eksempel 2. Hva blir de fire første leddene hvis a1 = 5? Hva hvis a1 = 3?
SNAKK
1.3
Skriv opp de fem første leddene i følgen. Kontroller med CAS eller med programmering.
a a 2 1 og aa 2 nn 1 = +
b b 5 1 og bb 3 nn 1 =+ for n 2
c c 1 1 og cc23nn 1 =− +
d d 1 1 og ddn nn 1 =+ +
1.4
Lag et program som skriver ut de 20 første leddene i følgen gitt ved
ff 121,1 og fff nnn21 =+ ++
Hva kaller vi disse tallene?
EKSEMPEL 3
Beskriv den rekursive sammenhengen mellom leddene i følgen med ord. Finn en rekursiv formel for følgen.
a 1, 2, 4, 8, 16, ...
b 1, 3, 7, 15, 31, ...
c 5, 11, 20, 32, 47, ...
a Følgen starter med tallet 1. Vi får de neste leddene i følgen ved å multiplisere det foregående leddet med 2. Det gir
a 1 1 og aa 2 nn 1 =− +
b Følgen starter med 1. Vi skriver leddene under hverandre slik at vi ser hvordan vi kommer fra et ledd til det neste:
Vi får det neste leddet i følgen ved å legge en toerpotens til det foregående leddet. I a2 legger vi til 21, i a3 legger vi til 22, i a4 legger vi til 23, og så videre. Vi legger til en toerpotens der eksponenten er én mindre enn leddnummeret. Det gir
a 1 1 og aa 2 nn n 1 =+ +
c Følgen starter med 5. Vi skriver opp leddene under hverandre:
Vi får det neste leddet i følgen ved å legge til et multiplum av 3 til det foregående leddet. I a2 legger vi til 32, i a3 legger vi til 33, i a4 legger vi til 34, og så videre. Antall ganger vi legger til 3, er altså det samme som leddnummeret.
Det gir a 5 1 og aan3(1) nn 1 =++ +
SNAKK
Stella mener følgen i eksempel 3c er gitt ved
a 5 1 og aan 3 nn 1 =+ for n 2
Stemmer dette? Forklar.
1.5
Beskriv den rekursive sammenhengen med ord.
Finn en rekursiv formel for følgen.
a 14, 11, 8, 5, ... b 20,10,5, 5 2 , c 2, 5, 14, 41, ...
d 1 4 , 1 2 ,1,2,4, e 1, 5, 11, 19, 29, ... f 1, 2, 4, 7, 11, ...
1.6 for tall in range(5, 30, 5): print(tall) 1 2
a Ta for deg programmet ovenfor. Hva blir utskriften?
Sjekk svaret ved å kjøre programmet. Du finner det på Aunivers.no.
b Utskriften i programmet kan vi beskrive med en rekursiv sammenheng. Beskriv sammenhengen med ord.
c Lag en rekursiv formel for tallene programmet skriver ut.
EKSEMPEL 4
Lag en rekursiv formel for rektangeltallene.
Vi lager en illustrasjon og setter opp en tabell der vi skriver rektangeltallene som en sum av det foregående rektangeltallet og antall kuler som er lagt til.
Nummer i følgenRektangeltall
Vi ser at antall kuler som er lagt til, er lik det dobbelte av leddnummeret.
Vi får altså
R 2 1 og RRn2(1) nn 1 =++ +
1.7
a Bruk formelen fra eksempel 4 til å finne R5 og R6
b Lag et program som tar utgangspunkt i den rekursive formelen og regner ut rektangeltall nummer 100.
Hva er fordelen med å bruke programmering i en slik oppgave?
a Skriv opp og illustrer det femte og det sjette trekanttallet, T5 og T6
b Lag en rekursiv formel for trekanttallene.
c Bruk formelen til å bestemme T5 og T6
UTFORSK
K1 = 1 K2 = 4 K3 = 9
K4 = 16
a Skriv opp og illustrer det femte og sjette kvadrattallet, K5 og K6
b Lag en rekursiv formel for kvadrattallene.
I kombinatorikken i S1 definerte vi fakultet.
nnn!(1)321 … =⋅−⋅⋅⋅⋅
For eksempel er 5!54321 =⋅⋅⋅⋅ = 120.
a Forklar at nnn!(1)! =⋅−
fak = int(input("Hvilket tall vil du finne fakultet av?"))
def Fakultet(n):
if n <= 0:
print("n må være 1 eller større") elif n == 1:
return 1 else:
return n * Fakultet(n - 1)
print(Fakultet(fak))
Du finner programmet ovenfor på Aunivers.no.
b Kjør programmet for tallet 5. Hva blir utskriften? Kan du forklare hvorfor?
Funksjonen Fakultet() i programmet ovenfor er en rekursiv funksjon
c Hvorfor tror du vi kaller Fakultet() en rekursiv funksjon?
d Lag på tilsvarende måte et program som definerer den rekursive funksjonen Fibonacci(). I programmet skal du kunne legge inn nummeret til et ledd i fibonaccifølgen, og få skrevet ut leddet.
UTFORSK
Eksplisitt formel
Eirik og Channie skal lage et program som skriver ut de 20 første tallene i en følge.
Eirik gjør slik:
= 2
Channie gjør slik:
21):
+ 3
a Hvilken følge skriver de ut?
Eirik ser på programmet til Channie og sier: «Jeg har brukt en rekursiv formel, men hva har du gjort?»
Channie svarer: «Jeg har brukt en eksplisitt formel.»
b Hva er forskjellen på de to formlene til Eirik og Channie?
c Hvorfor er det en fordel å bruke programmering når den rekursive formelen er gitt og vi skal finne et ledd langt ut i følgen?
Hvilke fordeler er det ved å bruke formelen til Channie i et slikt tilfelle?
I en rekursiv formel må vi kjenne til de foregående leddene for å finne nye.
I en eksplisittformel kan du sette inn for n og regne ut det n-te leddet direkte.
Dette kan spare oss for mye jobb hvis vi vil finne et ledd langt ut i følgen.
De eksplisitte formlene gjelder for n 1, med mindre noe annet er oppgitt.
EKSEMPEL 5
EKSEMPEL 6
La følgen {an} være gitt ved an = 2n2 3n + 1.
Finn ledd nummer 4 og ledd nummer 100 i følgen.
a 2434121 4 2 =⋅−⋅+= a 21003100119701 100 2 =⋅−⋅+=
Med CAS:
Hvis vi ønsker å skrive ut de ti første leddene i følgen i eksempel 5 med CAS, kan vi bruke kommandoen Følge(<Uttrykk>, <Variabel>, <Fra>, <Til>):
1.10
Skriv opp de fem første leddene i følgen. Kontroller med CAS. a an 2
La følgen bn {} være gitt ved b 1 1 og bb 3 nn 1 =+ + Finn en eksplisitt formel for følgen.
Vi får leddene i følgen ved å starte med 1, og legge til 3 for hvert nye ledd.
Vi får det n-te leddet ved å regne ut 1 + 3 ⋅ (n 1). Det gir formelen
bnn13(1)32 n =+−=−
1.11
Finn en eksplisitt formel for følgen.
Lag deretter et program som skriver ut de 10 første tallene i følgen.
Velg selv om du vil bruke den eksplisitte eller rekursive formelen.
a a 1 1 og aa 1 2 nn 1 =+ +
b b 2 1 og bb 2 nn 1 =+ +
c c 1 1 og cc 2 nn 1 = +
d d 0 1 og dd21nn 1 =+ +
1.12
Ta for deg tallfølgen 2, 4, 8, 16, ... .
a Skriv av tabellen og fyll ut det som mangler.
Ledd nummer 12345 ...n
Ledd 248... yn
Uttrykk 21 22
b Bestem ledd nummer 10 i tallfølgen.
c Forklar at 487 ikke kan være et av leddene i tallfølgen.
d La dn være det n-te tallet i tallfølgen 1, 3, 7, 15, ... .
Lag en formel for dn
1.13
Finn en eksplisitt formel for følgen.
a 2, 4, 6, 8, ... b 1, 3, 5, 7, ...
c 1, 1 4 , 1 9 , 1 16 , d 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,
UTFORSK
La k og d være to reelle tall.
Velg en verdi for a1 og bruk programmering til å utforske følger som er gitt ved den rekursive sammenhengen akad nn 1 =+ + for ulike verdier av k og d
Kan du finne et uttrykk for det n-te leddet til slike følger?
EKSEMPEL 7
a Lag en eksplisitt formel for rektangeltallene.
b Lag en eksplisitt formel for trekanttallene.
a Vi ser at bredden av hvert rektangel er den samme som nummeret til følgen, mens lengden er én større enn nummeret.
Nummer i følgenRektangeltall
R 1234 3 (3 1) 3 ==⋅=⋅+
R 2045 4 ( 4 1) 4 ==⋅=⋅+
Vi får altså Rnnnn (1) n 2 =⋅+=+
b Det n-te trekanttallet er halvparten av det n-te rektangeltallet: T Rnn 2 (1) 2 n n == ⋅+
1.14
a Lag en eksplisitt formel for kvadrattallene.
b Bruk formelen til å bestemme K 9 og K100
c Hvilket nummer i følgen har kvadrattallet 121?
1.15
Figurserien nedenfor illustrerer de fire første tallene i en følge.
a Tegn det femte tallet i følgen.
b Lag en formel for det n-te tallet i følgen.
c Bruk formelen til å finne tall nummer 30 og tall nummer 100.
EKSEMPEL 8
summen = 0
Figur 1Figur 2Figur 3
Ovenfor ser du de tre første figurene i en figurserie.
a Lag en algoritme du kan bruke til å bestemme hvor mange hvite kvadrater du totalt trenger for å lage de 20 første figurene.
b Bruk algoritmen til å bestemme hvor mange hvite kvadrater du trenger.
a Hver figur er bygd opp av et stort kvadrat med et mindre rødt kvadrat på midten. I tillegg har figuren en «hale». Vi får algoritmen:
Sett summen av antall hvite kvadrater lik 0.
Gjenta 20 ganger:
stort_kvadrat = (n + 2)2
rødt_kvadrat = n2
hale = n
figur_hvit = stort_kvadrat rødt_kvadrat + hale Legg figur_hvit til summen av hvite kvadrater
b Vi løser oppgaven med programmering.
# setter startverdi for summen lik 0 for n in range(1, 21): # n tar verdier f.o.m. 1 t.o.m. 20
stort_kvadrat = (n + 2)**2
rodt_kvadrat = n**2
hale = n
# Regner ut antall hvite kvadrater i figur nummer n figur_hvit = stort_kvadrat - rodt_kvadrat + hale
# Verdien av figur_hvit legges til i summen summen = summen + figur_hvit
print("Totalt antall hvite kvadrater i de", n, "første figurene er ", summen)
Programmet skriver ut svaret på oppgaven: Totalt antall hvite kvadrater i de 20 første figurene er 1130
Figuren illustrerer de tre første tallene i en tallfølge.
a Følg mønstret, og lag en illustrasjon av det fjerde tallet.
b Hvordan kan du se at tallene er bygd opp av kvadrattall og partall?
c Skriv opp de fem første tallene i tallfølgen.
d Bestem summen av de fem første tallene i tallfølgen.
e Lag en algoritme som du kan bruke til å bestemme hvor mange små kvadrater du totalt trenger for å lage de 20 første figurene.
f Bruk algoritmen til å bestemme hvor mange kvadrater du trenger.
EKSEMPEL 9
Ta for deg tallfølgen 1, 2, 9, 22, 41, 66, ... .
a Bruk regresjon til å lage en formel for det n-te tallet yn i tallfølgen.
b Undersøk om 251 er et av tallene i tallfølgen.
a Vi åpner regnearket i GeoGebra, og skriver inn leddnumrene i kolonne A og tallene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi ser at punktene ligger på en krum graf og prøver med polynomregresjon av andre grad.
b Tenk deg at 251 er tall nummer n Det gir likningen nn 386251 2 −+=
Siden grafen går gjennom alle punktene vi la inn, kan vi konkludere med at formelen er ynn386 n 2 =−+
Nummeret n skal være et positivt, helt tall. Vi må derfor forkaste begge løsningene på likningen. Tallet 251 er altså ikke et av tallene i tallfølgen.
SNAKK
Forklar hvorfor det er viktig at grafen går gjennom alle punktene fra tabellen i eksempel 9.
1.17
Ta for deg tallfølgen 5, 2, 1, 2, 5, 10, ... .
a Bruk regresjon til å finne en formel for det n-te tallet yn
b Hvilket nummer i tallfølgen har tallet 50?
c Undersøk om 1000 er et av tallene i tallfølgen.
RØDE OPPGAVER
1.18
Beskriv mønstret i følgen og skriv opp de to neste leddene.
a 99, 95, 91, 87, 83, ... b 11, 22, 44, 88, ... c 1, 3, 6, 10, 15, ... d 1, 8, 27, 64, ...
1.19
Vi har gitt følgen 2, 16, 76, 212, 454, ... .
a Bruk regresjon til å finne en formel for det n-te leddet i følgen.
b Hva er det åttende leddet i følgen?
c Hvilket leddnummer har leddet 7636?
d Lag et program der du kan legge inn hvor mange ledd i følgen du vil ha skrevet ut.
e Bruk programmet i oppgave d til å undersøke om 64 904 er et ledd i følgen.
1.20 for tall in range(4, 67, 3): print(tall)
1 2
a Ta for deg programmet til venstre.
Hva blir utskriften?
Sjekk svaret ved å kjøre programmet.
Du finner det på Aunivers.no.
b Utskriften i programmet kan vi beskrive med en rekursiv sammenheng. Beskriv sammenhengen med ord.
c Lag en rekursiv formel for tallene programmet skriver ut.
BLÅ OPPGAVER
1.21
I en følge er a2 = 147, a3 = 1029, a5 = 50 421 og a6 = 352 947.
Bruk regresjon til å finne en formel for det n-te leddet i følgen.
1.22
a Bruk den eksplisitte formelen for rektangeltall til å bestemme differansen RRnn 1 + for n 1
b Sammenlikn resultatet i oppgave a med den rekursive formelen for rektangeltallene. Kommenter.
1.23
Figuren viser de tre første kubikktallene, k1, k2 og k3
a Bestem en eksplisitt formel for kubikktallene.
b Skriv uttrykket nn (1)33 +− enklere.
c Bruk resultatet i oppgave b til å forklare at en rekursiv formel for kubikktallene er k 1 1 og kknn331 nn 1 2 =+++ + , der n 1
d Lag et program som summerer de 20 første kubikktallene.
k1 k2 k3
Aritmetiske rekker
Geometriske rekker
Ørnulf Borgan er professor emeritus ved
Matematisk institutt, Universitetet i Oslo, der han arbeider med utvikling og anvendelser av statistiske metoder. Han har vært lærebokforfatter i mange år og har gitt en rekke kurs og foredrag for lærere i videregående skole.
Integrasjonsregler
Inger Christin Borge har doktorgrad innenfor algebra fra University of Oxford. Hun er ansatt ved Universitetet i Oslo hvor hun er førstelektor ved Matematisk institutt.
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU. Hun er lærer ved Bjørknes privatskole og underviser i matematikk, kjemi og naturfag. Tea har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
Det bestemte integralet
b n i i n 1
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole.
fxxfxx () dlim ()
=⋅
= , der x ba n =
fxxFxFbFa () d( )( )( ) a b a b ∫ [] == , der Fxfx () () ′ =
Areal og integral
Matematikk S2 følger fagfornyelsens læreplan i matematikk S2, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
Læreboka
Aunivers.no inneholder blant annet:
• Fullstendige løsninger av alle oppgavene
• Interaktive oppgaver
• Eksamensløsninger
• Opplæringsressurser til GeoGebra og Python
Afxx () d a b ∫ = Afxx () d a b ∫ =−
Grensekostnad og grenseinntekt
KxKxKx (1)( )( ) +− ≈ ′
Læreboka inneholder teori, eksempler og innlæringsoppgaver samt differensierte oppgaver til hvert underkapittel. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene mulighet til å kommunisere matematikk. Slutten av hvert kapittel inneholder blandede oppgaver, sammendrag og kapitteltest.
På Aunivers.no finner du Aschehougs digitale læremidler.
IxIxIx (1)( )( ) +− ≈ ′
Vinningsoptimal produksjonsmengde
Overskuddet er størst når IxKx () () ′ = ′
Kostnadsoptimal produksjonsmengde
Enhetskostnaden er lavest når GxKx () () = ′ x ab A f(x)
