Apuntes del curso mate i conjuntos 040213 by augusto solares

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE SUROCCIDENTE AGRONOMIA TROPICAL

MATEMATICA I ING. AGR. M.Sc. RUBÉN SOSOF AÑO 2013

UNIDAD II. CONJUNTOS 2.1.INTRODUCCION Un conjunto es una colección de objetos, símbolos o entidades bien definidos, que reciben el nombre de miembros o elementos del conjunto. Los conjuntos se denotan o identifican con letras mayúscula (A, B, C, etc.) y sus elementos con letra minúscula (a, b, c, etc.).

2.2. FORMAS DE REPRESENTAR UN CONJUNTO Los conjuntos se pueden representar por extensión, por comprensión (ó intensión) y en forma gráfica.

Por extensión o forma tabular Un conjunto está determinado por extensión cuando se describe el conjunto enumerando cada uno de sus elementos. En este caso los elementos se separan con comas y se encierran entre llaves. Por ejemplo:   

, , , , El conjunto de las vocales. , , , , conjunto de los días de la semana. , , , , El conjunto de los dígitos1 impares

Por comprensión Un conjunto está definido por comprensión cuando se enuncian sus propiedades o reglas, que deciden si un objeto en particular, es o no un elemento del conjunto. Por ejemplo: 

⁄

Se lee2 “A es el conjunto de todas las x tal que x es una

vocal.   

⁄ í Se lee “B es el conjunto de todas las x tal que x es un día de la semana” ⁄ ú í Se lee “C es el conjunto de todas las x tal que x es un número dígito impar” ⁄ ú Se lee “D es el conjunto de todas las x tal que x es un número impar menor que 10”

Diagrama de Venn‐Euler Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante lo que se conoce como “Circulos de Euler” o “Diagrama de Venn”. Esta representación es una forma sencilla de visualizar conjuntos y sus relaciones utilizando esquemas gráficos. Son esquemas compuestos por regiones cerradas (rectángulos) que representa al Conjunto Universal, y por uno o varios círculos (ovalos ó rectángulos) que representan el conjunto a graficar. Por ejemplo:    1 2

⁄ ⁄ ⁄

Números dígitos son aquellos que constan de una sola cifra: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. También se puede leer como “ A es el conjunto de todos los elementos tal que un elemento es una vocal”

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El diagrama de Venn se puede representar así: El diagrama de Venn de dos conjuntos define cuatro áreas posibles:

Avestruz Pingüino

Mariposa Mosca

A (dos patas): Avestruz, Pingüino, Cóndor, Águila, Loro. A y B (dos extremidades y Vuelan): Cóndor, Águila, Loro. A y no B (dos extremidades y no vuelan): Avestruz, Pingüino. No A y B (± dos patas y Vuelan): Mariposa, Mosca, Pes volador. No A y No B (no tienen dos patas y no vuelan)

El área donde ambos círculos se superponen recibe el nombre de INTERSECCION entre A y B, o intersección A∩B.

2.3. RELACION DE PERTENENCIA La relación básica de los conjuntos es la pertenencia. Para indicar que un elemento es un miembro de un conjunto, se utiliza el símbolo " ∈ " que se U lee “pertenece a”. Para indicar que un elemento no está en el conjunto, se utiliza el símbolo " ∉ " que se lee “no pertenece”. U

∈ A x ∉ A

Dos conjuntos son iguales si y solo sí tienen exactamente los mismos elementos. Un conjunto contiene sus elementos e incluye sus subconjuntos. Naturalmente el conjunto vacío forma parte de cualquier conjunto.

2.4. CLASIFICACION DE CONJUNTOS Los conjuntos se pueden clasificar de la siguiente manera:

Conjuntos finitos Son aquellos que tienen un número de elementos conocidos. 

, , , ,

;

, , , ,

;

, , ,…,

Conjuntos infinitos Son aquellos en los que no se pueden determinar el número de elementos, o sea que tienen una cantidad ilimitada de elementos.   

, , , , , ,… …, , , , , ,… / ∈

El conjunto de los números naturales3. El conjunto de los número enteros

Conjunto vacío Es un conjunto que no contiene elementos, también se llama conjunto nulo y se denota por ∅. Naturalmente el conjunto vacío forma parte de cualquier conjunto. Su definición por comprensión es ∅ / , por ejemplo: U A 3

Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto.

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   

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40 í

∅ ⁄

Sea

, entonces B es un conjunto vacío.

Conjunto unitario Es aquel formado por un solo y único elemento. Ejemplo:    

9 ⁄ ú ⁄ ⁄ 2 7

7 9

Conjunto universal En la teoría de conjuntos, todos los conjuntos que se consideran serán muy probablemente subconjuntos de un mismo conjunto dado, que se llama conjunto universal y se denota con la letra U. Cuando se habla de conjuntos es conveniente establecer la naturaleza de sus elementos, por ejemplo, los elementos del conjunto , , pertenecen al conjunto de las vocales , , , , , es decir que el conjunto V constituye el Universo del conjunto A, por esta razón el conjunto V es un conjunto universal, que se denota con la letra U. , , , , 

Si ,

, , ,…, ,

entonces

conjunto

universal

será

Conjunto de conjuntos Tiene como elementos otros conjuntos. Para evitar decir conjunto de conjuntos, se suele decir “familia de conjuntos” o “clase de conjuntos”. En tales casos y para evitar confusiones se emplean letras inglesas ó Script (T? U? V? W) para identificar a las familias o clases de conjuntos, ya que las mayúsculas denotan sus elementos. U , , , , ,

2.5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Subconjunto Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Se denota como ⊆ , que también se puede leer “A está contenido en B”. Por ejemplo:  

El conjunto 2, 4, 3 es un subconjunto del conjunto los elementos de E pertenecen también a F El conjunto 5, 7, 9 es un subconjunto del conjunto elementos de E pertenecen también a F

1, 2, 3, 4, 5 , ya que todos 7, 5, 9 , ya que todos los

Con lo anterior se puede decir que dos conjuntos A y B son iguales, A=B, si y solo sí, ⊆ . Esto es lo que se conoce como propiedad transitiva.

⊆

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Subconjunto propio El conjunto A es un subconjunto propio de B si, en primer lugar, A es subconjunto de B y, en segundo lugar, A no es igual a B, o sea ⊆ . En otras palabras, a es un subconjunto propio de B, si ⊆ y B contiene al menos un elemento que no pertenece a A. A es un subconjunto propio de B se denota como ⊂ . Por ejemplo: 

, entonces,

⊂ . ⊂

De lo anterior se puede deducir también que si 

Sea

1, 2 ;

1, 2, 3 ;

⊂ , entonces

⊂ . Por ejemplo:

1, 2, 3, 4, 5

Se puede observar que A es subconjunto propio de B, y como B es subconjunto propio de C, entonces podemos deducir que A también es subconjunto propio de C.

Igualdad de conjuntos El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B, y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad de los conjuntos A y B se denota como A=B. Sean A y B dos conjuntos se dice que si c/u es subconjunto del otro, es decir, ambos tienen los mismos elementos. De otra manera se dice que no son iguales . O sea, í ⊆ ⊆ . Por ejemplo:  

Sea Sea

1, 2, 3 y 3 ⁄

2, 3, 1 , entonces ya que tienen los mismos elementos. 2 y 2, 1 , entonces C=D

Conjuntos Disjuntos, Disyuntos o diferentes Dos conjuntos A y B son diferentes si y solo sí, común. Ejemplo:  

∩

∅, o sea no tienen ningún elemento en

Sea ⁄ y ⁄ , entonces A y B son disjuntos ya que no tienen elementos en común. Sea 1, 6, 9, 4 y 2, 7, 8, 4 , entonces A y B no son disjuntos, ya que 4 está en ambos conjuntos, o sea 4 ∈ 4 ∈ .

Conjuntos comparables Dos conjuntos A y B, son comparables si subconjunto del otro. Por ejemplo:  

⊂

⊂ , esto es, si uno de los conjuntos es

Si , y , , , entonces A es comparable con B, debido a que A es un subconjunto de B. Si , y , , , entonces A no es comparable con B, debido a que A no es un subconjunto de B.

Si A no es comparable con B, entonces hay en A al menos un elemento que no está en B y hay también en B al menos un elemento que no está en A.

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Conjunto potencia o conjunto de partes El conjunto potencia de A es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, se denota ⁄ ⊆ . El número de subconjuntos que se pueden formar a partir de un como conjunto se puede determinar con la formula 2n, además, se debe tomar en cuenta que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, o sea, ∅ ∈ , debido a que no podemos encontrar elementos del conjunto vacío que no estén en A, así que todos los elementos del conjunto vacío están en A. Para crear un conjunto de partes, se puede crear una sucesión de número binarios (0 y 1) de n cifras y con cada combinación se realiza el conjunto potencia. Cuando exista un 1, se añade el elemento del conjunto que corresponde. Por ejemplo: 

Sea

, ,

, el conjunto potencia está formado por los siguientes subconjuntos: No. 1 2 3 4 5 6 7 8



Sea

a 1 1 1 1 0 0 0 0

b 1 1 0 0 1 1 0 0

c Subconjunto 1 , , 0 , 1 , 0 1 , 0 1 0

1, 3, 5 , el conjunto potencia está formado por los siguientes subconjuntos: 1 , 3 , 5 , 1,3 , 1,5 , 3,5 1,3,4, ,

2.6. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Así como las operaciones suma, resta, multiplicación y división, están definidas sobre los números reales, también existen operaciones definidas entre los conjuntos: unión, intersección, complemento, diferencia, diferencia simétrica y producto cartesiano.

UNION Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se define la unión entre A y B, como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Simbólicamente la unión de ⁄ ∈ ,∨, ∈ . En la unión de conjuntos se pueden conjuntos se define así: ∪ presentar los siguientes casos:

2.6.1.1. Conjuntos sin elementos en común    

1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 , 1,2,3,4 y 5,6,7 , entonces, ∪ 1,2,3,4,5,6,7 Si

8 9 0

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2.6.1.2. Conjuntos con algunos elementos en común    

Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 , A 1,2,3,4,5,6 y B 5,6,7 , entonces, A ∪ B 1,2,3,4,5,6,7

A 5 6

8 9 0

2.6.1.3. Uno de los conjuntos es subconjunto del otro    

Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 , A 1,2,3,4,5,6,7 y B 5,6,7 , entonces, A ∪ B 1,2,3,4,5,6,7

A 8 9 0

5 6 7

INTERSECCION Se define la intersección entre dos conjuntos A y B como el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Simbólicamente la intersección de ⁄ ∈ ,∧, ∈ . En la intersección de conjuntos se pueden conjuntos se define así: ∩ presentar los siguientes casos:

2.6.2.1. Conjuntos sin elementos en común (disjuntos)    

1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 , 1,2,3,4 y 5,6,7 , entonces, ∩ Si

8 9 0

2.6.2.2. Conjuntos con algunos elementos en común    

Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 , A 1,2,3,4,5,6 y B 5,6,7 , entonces, A ∩ B 5,6

A 5 6

8 9 0

2.6.2.3. Uno de los conjuntos es subconjunto del otro    

Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 , A 1,2,3,4,5,6,7 y B 5,6,7 , entonces, A ∩ B 5,6,7

A 8 9 0

5 6 7

En este caso si B es Subconjunto propio de A, entonces, la intersección de A y B es igual a B.

DIFERENCIA La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A, pero no a B. la diferencia de A y B se denota como A – B. que se lee “A diferencia B”, o simplemente “A ⁄ ∈ ,∧, ∉ menos B”. Simbólicamente la diferencia de conjuntos se define así: . En la diferencia de conjuntos se pueden presentar los siguientes casos: 18

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2.6.3.1. Conjuntos sin elementos en común    

1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 , 1,2,3,4 5,6,7 , entonces, 1,2,3,4 Si

8 9 0

2.6.3.2. Conjuntos con algunos elementos en común     

Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 , A 1,2,3,4,5,6 y B 5,6,7 , Entonces, A B 1,2,3,4, Entonces, B A 7

A-B

A 5 6

8 9 0

2.6.3.3. Uno de los conjuntos es subconjunto del otro A-B

     

Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 , A 1,2,3,4,5,6,7 y B 5,6,7 , Entonces, A Entonces, B

A 8 9 0

5 6 7

1,2,3,4

Entonces, si B es Subconjunto propio de A, la diferencia B – A da como resultado un conjunto vacío.

DIFERENCIA SIMETRICA La diferencia simétrica entre dos conjuntos no vacios A y B, se define como el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos. Simbólicamente la diferencia simétrica entre los conjuntos ⁄ ∈ , ∈ ,∧, ∉ ∩ . En la diferencia simétrica de A y B, se define así: conjuntos se pueden presentar los siguientes casos:

2.6.4.1. Conjuntos sin elementos en común ∆

   

1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 , 1,2,3,4 5,6,7 , Entonces, Δ ΔA 1,2,3,4,5,6,7

∆

8 9 0

2.6.4.2. Conjuntos con algunos elementos en común    

∆

Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 , A 1,2,3,4,5,6 y B 5,6,7 , Entonces, Δ ΔA 1,2,3,4,7

∆

A 8 9 0

5 6

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2.6.4.3. Uno de los conjuntos es subconjunto del otro ∆

   

Si U 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 , A 1,2,3,4,5,6,7 y B 5,6,7 , Entonces, Δ ΔA 1,2,3,4

A 8 9 0

∆ 2 5 6 7

3 4

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal (U), al conjunto A′ formado por todos los elementos de U pero nó de A, se llama complemento de A con respecto de U. ⁄ ∈ , ∉ Simbólicamente se expresa el complemento de A de la siguiente manera: ′

∆

  

∆

1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 , 1,2,3,4 Entonces, ′ 5,6,7,8,9,0, Si

5 6 7

8 9 0

2.6.5.1. Leyes de Morgan Existen algunas propiedades de las operaciones entre conjuntos que se consideran importantes: 

El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de los sucesos contrarios. ′∩ ′

∪ ∪ A

∪ B

′ A

′ B

′∩ ′ B

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

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El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de los sucesos contrarios. ∩

∩

′∪ ′

∩ B

′

′ B

′∪ ′ B

PRODUCTO CARTESIANO Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano ∙ al conjunto de “pares ordenados” formados por todos los elementos de A, como primero componentes, asociados a todos los elementos de B, como segundos elementos. Simbólicamente: ∙ , / ∈ ∧ ∈ Por ejemplo:  ⋅

⋅

, ,

 ⋅

Sean

, ,

1,2 y

Sean ,

⋅

, ,

1,1,2

, ,

Par ordenado

, ,

2.6.6.1. Plano cartesiano La representación gráfica de los pares ordenados de números reales, es el plano cartesiano, también llamado plano numérico. Los pares ordenados representarán puntos coordenados en el plano cartesiano, tomando como primera coordenada un elemento del primer conjunto, y como segunda coordenada a un elemento del segundo conjunto, independientemente que sean números u otras entidades. El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. 21

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El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Ejemplo, representar los siguientes pares ordenados en un plano cartesiano: (-2, 3), (2, -3), (2, 3), (-2, -3), (0, 5), (5, 0), (4, 4), (-4, -4)

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CARDINALIDAD (#) La cardinalidad de un conjunto se define como la cantidad de elementos que contiene dicho conjunto y se denota por #A. Por ejemplo: 

2,4,6,8 , entonces #A=4

Encontrar el cardinal del conjunto

2.6.7.1. Cardinal de la Unión de Conjuntos #

∪

1,2,3,4 ;

Sea ∪ #

1,2,3,4,5,6,7 ∪

∩

4,5,6,7 A

1 2 3

5 4

6 7

Otros ejemplos: # #

∩