UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE SUROCCIDENTE AGRONOMIA TROPICAL
MATEMATICA I ING. AGR. M.Sc. RUBÉN SOSOF
UNIDAD I. LOGICA SIMBOLICA 1.1.INTRODUCCION Es también conocida como lógica matemática, es la disciplina que estudia la estructura, fundamento y uso de las expresiones del conocimiento humano. También se puede definir como el estudio de los métodos y principio del razonamiento humano en todas sus posibles forma, es decir, es un ciencia que trata de ser una teoría formal del razonamiento. La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determinada si un argumento es válido. Es ampliamente aplicada en filosofía, matemática, computación, física, etc. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados que pueden ser aplicados en investigaciones. En general la lógica se aplica en tareas diarias, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por ejemplo: ir de comprar al supermercado, pintar una pared, etc. La lógica es importante, ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano, utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados (experiencias), se pueden obtener nuevos inventos, innovaciones a los ya existentes o simplemente la utilización de los mismos. El razonamiento lógico se emplea en matemática para demostrar teoremas; en Ciencias de la Computación para verificar si son o no correctos los Programas; en la la Ingenieria, para sacar conclusiones de experimentos; y en las Ciencias Sociales y en la Vida Cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente usamos en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. Toda estructura matemática necesita tener un razonamiento válido a través de un lenguaje que sea de uso universal. La lógica ofrece métodos que enseñan como formar proposiciones, evaluar sus valores de verdad y determinar si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de proposiciones supuestos.
1.2.PROPOSICIONES Una proposición es un enunciado declarativo que puede ser calificado sin ambigüedad como verdadero o falso, por lo que se dice que son bivalentes. En este análisis no se tendrán en cuenta proposiciones que requieran una opinión individual y que por lo tanto, no pueden ser verdaderas o falsas. Una primera área de estudio de la lógica es la lógica de proposiciones, que trata de las combinaciones de variables en proposiciones arbitrarias. Estas variables se llaman variables lógicas o proposicionales. Estas variables pueden asumir los dos valores de la lógica clásica, los de verdad o falsedad. En lógica de proposiciones se pueden producir nuevas proposiciones aplicando las fórmulas lógicas a las proposiciones existentes. El interés de la lógica de proposiciones está en el estudio de estas reglas que permiten producir nuevas variables y proposiciones en función de otras ya conocidas. La lógica de proposiciones corresponde a la lógica que simboliza y describe razonamientos basados en enunciados declarativos, estos enunciados se denominan proposiciones, por ejemplo: 1
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En Mazatenango está lloviendo 2+3=5 Antonio corre La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática, se indican o identifican por una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo: p : La tierra es plana q : -17 +38 = 21 r:x>y–9
Proposición válida, puede tomar un valor F o V Proposición válida, puede tomar un valor F o V Es una proposición válida, aunque su valor F o V depende del valor asignado a las variables X y Y en determinado momento Es una proposición válida, aunque su valor F o V se sabrá al final del campeonato No es una proposición valida ya que no puede tomar un valor VoF No es una proposición valida ya que no puede tomar un valor VoF
s : El Suchi será campeón de la temporada de futbol
t : ¿Que tal, cómo está usted? w : Limpia mi vehículo por favor
1.3.TABLA DE VERDAD Una Tabla de Verdad es una forma de resumir el valor de verdad de las proposiciones. Esta se construye de acuerdo al número de proposiciones distintas que se den. Es un representación esquemática de las relaciones entre proposiciones, sirve para determinar los valores de verdad de proposiciones compuestas, las cuales dependen de los conectivos lógicos utilizados y de los valores de verdad de sus proposiciones simples. El número de combinaciones posibles de valores de verdad se determina al resolver la expresión: 2 donde n representa el número de proposiciones dadas. Por ejemplo, si hay una sola proposición “p”, entonces n=1, resolvemos 2 2, esto significa que se pueden dar dos posibles valores de verdad para la proposición “p” y la tabla que resulta es: p V F Si hay dos proposiciones distintas “p” y “q”, entonces n=2, resolvemos 2 4, esto significa que se pueden dar cuatro posibles combinaciones de valores de verdad y la tabla que resulta es: p V V F F
q V F V F
Si hay tres proposiciones distintas “p”, “q” y “r”, entonces n=3, resolvemos 2 8, esto significa que se pueden dar ocho posibles combinaciones de valores de verdad y la tabla que resulta es: 2
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p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
Y así sucesivamente.
1.4.CONECTIVOS LOGICOS Las proposiciones pueden considerarse como simples o compuestas. Las proposiciones simples se utilizan con conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Para denotar las proposiciones se utilizan letras minúsculas, las cuales se llaman variables proposicionales, por ejemplo: p, q, r, s, etc. Ejemplos de proposiciones compuestas pueden ser: -
Las rosas son rojas y tienen espinas Por la tarde iré al cine o al gimnasio En el país no hay violencia. Si estudio matemática entonces seré un destacado ingeniero agrónomo. 4 es un número para, si y solo si, se puede dividir entre dos.
Para formar las oraciones anteriores se utilizar palabras tales como: y, ó, no, si…entonces, si y solo sí, que sirvieron para unir o enlazar proposiciones simples, las cuales se llaman conectivos lógicos. Los conectivos lógicos son también conocidos como conectivos proposicionales. Los conectivos principales son:
La conjunción representada por el símbolo “˄” que se lee “y” La disyunción (incluyente) representada por el símbolo “˅” que se lee “ó” La disyunción excluyente representada por el símbolo “˅” que se lee “ó… ó” “ó…, pero no ambas” La condicional representada por el símbolo “→” que se lee “ si…entonces” La bicondicional representada por el símbolo “↔” que se lee “si y solo sí” La negación representadas por el símbolo “~” y que se lee “no”
conjunción “˄” que se lee “y” Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p y q, simbolizada por p˄q, se denomina la conjunción de p y q. Esta proposición compuesta será verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones simples sean verdaderas. Para establecer la tabla de verdad de la conjunción, surgen las siguientes posibilidades: p V V F F
˄ V F F F 3
q V F V F
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Ejemplo 1. Conjunción
r˄s : 6 es un número par y entero positivo. La proposición compuesta anterior está formada por las proposiciones simples y el conectivo siguiente: r : 6 es un número par ˄:y s : entero positivo
Ejemplo 2. Conjunción
p˄q : Termino de estudiar y luego jugaré pelota La proposición compuesta anterior está formada por las proposiciones simples y el conectivo siguiente: p : termino de estudiar ˄ : conectivo lógico que se lee “y” q : luego jugaré pelota
La Disyunción (incluyente) “˅” que se lee “ó” Dadas dos proposiciones simples p y q. Se llama disyunción a la proposición compuesta “p ó q”, y se simbolizada como “p˅q”. Esta proposición compuesta será verdadera si al menos una de las dos proposiciones simples (p ó q) es verdadera. Para establecer la tabla de verdad de la disyunción, surgen las siguientes posibilidades: p V V F F
˅ V V V F
q V F V F
Ejemplo 1. Disyunción (incluyente)
p˅q : Juan estudia Agronomía o Juan estudia Derecho p : Juan estudia Agronomía ˅ : conectivo lógico que se lee “ó” (p ó q, también pueden ser ambas) q : Juan estudia Derecho
La Disyunción excluyente “˅” que se lee “ó…, pero no ambas” Dadas dos proposiciones simples p y q, se llama disyunción excluyente a la proposición compuesta “p ó q, pero no ambas”, y se simbolizada como “p˅q”. Esta proposición compuesta será verdadera cuando únicamente una de las dos proposiciones simples (p ó q) es verdadera. Para establecer la tabla de verdad de la disyunción, surgen las siguientes posibilidades:
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p V V F F
˅ F V V F
q V F V F
Ejemplo 1. Disyunción excluyente
p˅q : El desayuno puede incluir café o té p : el desayuno puede incluir café ˅ : conectivo lógico que se lee “ó” (p ó q, pero no ambos) q : té
Proposición condicional “→” que se lee “ si…entonces” Dadas dos proposiciones simples p y q, Se llama proposición condicional a la proposición compuesta “si p, entonces q”, y se simbolizada como “p→q”. Esta proposición compuesta será falsa cuando la primera proposición simple (p) sea verdadera y la segunda proposición simple (q) sea falsa. En este caso la proposición p se llama hipótesis o antecedente y la proposición q se llama conclusión o consecuente. Para establecer la tabla de verdad de la proposición condicional, surgen las siguientes posibilidades: p V V F F
→ V F V V
q V F V F
Ejemplo 1. Proposición condicional
p→q : Si estudio entonces apruebo el curso p : Estudio → : Conectivo lógico que se lee “si… entonces” q : apruebo el curso
Ejemplo 2. p→q : Si es gato entonces es felino Ejemplo 3. p→q : Si no estudio entonces pierdo el curso
A continuación se presenta un análisis de los cuatro casos que puede presentar la tabla de verdad de la proposición condicional: a. Antecedente verdadero y consecuente verdadero, la condicional es verdadera (V) “Si como mucho entonces engordo” Se debe tomar en cuenta que ha de evaluarse también como verdadera una condicional en la que no exista una relación de causa entre el antecedente y el consecuente. Por ejemplo, la condicional: “Si Maradona fue un futbolista, entonces Colon fue un Presidente”
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Debe evaluarse como verdadera, aunque no existe relación causal entre el antecedente y el consecuente. Es por esta razón que no hay que confundir la proposición condicional con la impliación lógica. “Maradona fue un futbolista implica que Colom fue un presidente” Es una implicación falsa desde el punto de vista de la lógica (se explica más adelante) b. Antecedente verdadero y consecuente falso, la condicional es falsa (F) “Si gano las elecciones, entonces bajaré los impuestos” Esta condicional será falsa (F) solo si ganando las elecciones, el político no baja los impuestos. c. Antecedente falso y consecuente verdadero, la condicional es verdadera (V) Cabe recordar que la condicional también se puede interpretar como: “p es una condición suficiente para q” o sea que “p” no es la única condición posible, por lo que puede darse el caso de que “q” sea verdadera siendo “p” falso. “Si estudio mucho, entonces me canso” Qué pasa si no estudio y sin embargo me cansara? La proposición no sería inválida (falsa) ya que no dice que no pueda haber otros motivos que me puedan producir cansancio. d. Antecedente falso (F) y consecuente falso (F), la condicional es verdadera (V) Parecida a la anterior, la condición “p” es falsa, por lo que el consecuente “q” puede ser falso o verdadero y el condicional al no ser falso, será verdadero. “Si usted es programador, entonces yo soy el dueño de Microsoft”
Proposición bicondicional “⟷” que se lee “ sí y solo sí” Dadas dos proposiciones simples “p” y “q” se llama proposición bicondicional a la proposición compuesta “p si y solo sí q” que se simboliza como “p⟷q”. Esta proposición es verdadera únicamente en caso de que ambas proposiciones simples (“p” y “q”) tengan los mismos valores de verdad (falso o verdadero). Para establecer la tabla de verdad de la proposición bicondicional, surgen las siguientes posibilidades: p V V F F
⟷ V F F V
q V F V F
Ejemplo 1. Proposición bicondicional
p : Un triángulo es rectángulo q : Un triángulo tiene un ángulo recto. La proposición bicondicional se puede escribir de la siguiente forma p⟷q : Un triángulo tiene un ángulo recto, si y solo sí, es un triángulo rectángulo. p⟷q : Un triángulo es rectángulo, si y solo sí, tiene un ángulo recto. 6
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Implicación lógica “p⟹q”, que se lee “p implica a q” Se dice que una proposición “p” implica lógicamente la proposición “q”, y se simboliza como “p⟹q”, si q es verdad cuando p es verdad. La proposición p implica lógicamente la proposición q si, y solo sí la proposición condicional “p→q” es una tautología En otras palabras “p⟹q” solo sí “p→q” es una tautología. Esta situación se tendrá cuando: p → V V F V
q V F
La negación “~”, que se lee “no p” Sea p una proposición simple, se define la negación p mediante la proposición “no p” que se simboliza como “~p”, también se puede leer como “no es cierto p”. La tabla de verdad de la negación es la siguiente: p ~p V F F V
Ejemplo 1. Negación
p : 3 es un número entero primo ~p : 3 no es un número entero primo ~p : Es falso que 3 es un número entero primo
Ejemplo 2. Negación
q : El automóvil de Luis es rojo ~p : El automóvil de Luis no es rojo ~p : Es falso que el automóvil de Luis es rojo
Proposición condicional recíproca Dada la proposición condicional p→q, su recíproca es la proposición, también condicional, q→p. Por ejemplo, sea la proposición “si estudio, entonces apruebo el curso”, su recíproca es “apruebo el curso solamente si estudio.
Proposición (condicional) contra recíproca Dada la proposición condicional p→q, su contra recíproca es la proposición, también condicional ~q→~p. por ejemplo, sea la proposición “Sí María estudia mucho, entonces es buena estudiante”, su contra recíprocas es “Si María no es buena estudiante, entonces María no estudió mucho”.
Conjunción negativa El símbolo Δ se define como la conjunción negativa, es decir “pΔq” se lee “ni p ni q”, esta conjunción será verdadera si ambas conjunciones (p, q) son falsas (F). La tabla de verdad de esta proposición es la siguiente: 7
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p V V F F
Δ F F F V
q V F V F
Ejemplo 1. Conjunción negativa
pΔq : ni voy al cine ni voy al partido de futbol p : voy a cine → : Conectivo lógico que se lee “ni… ni” q : voy al partido de futbol
Tabla de verdad resumen de los principales conectivos lógicos. A continuación se presenta la tabla de verdad de los distintos conectivos lógicos vistos anteriormente. p
q
V V F F
V F V F
Negación Conjunción Disyunción ~p F F V V
p˄q V F F F
p˅q V V V F
Disyunción Condicional Bicondicional excluyente p˅q p→q p⟷q F V V V F F V V F F V V
1.5.LEYES DE LA LOGICA Tautología Entre las proposiciones compuestas existen unas muy importantes por ser siempre verdaderas, independientemente del valor de verdad de las proposiciones que la conforman, este tipo de proposiciones reciben el nombre de Tautología. En otras palabras, una Tautología es una proposición que es verdadera en todos los casos.
Ejemplo 1. Demostrar que la proposición (p˅q) → (~q→p) es una Tautología
(p˅q) → (~q→p) p q (p˅q) ~q (~q→p) V F V V V V V V V V F V V F V F V V F V F F F V Como se observa en la tabla de verdad anterior la proposición (p˅q) → (~q→p) es una tautología, ya que su resultado (última columna) es toda verdadera. También, de acuerdo a lo visto con anterioridad, se puede decir que (p˅q) implica a (~q→p), ya que en este caso la proposición condicional (→) es tautología, simbólicamente se puede escribir (p˅q) ⟹ (~q→p). 8
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Contradicción Una proposición compuesta que es falsa en todos los casos independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la conforman se llama Contradicción.
Ejemplo 1. Demostrar que la proposición (p ˄ ~q) ˄ q es una contradicción
(p ˄ ~q) ˄ q p q ~q (p ˄ ~q) F F V V F V V V F F F F F V F V F F F F Como se observa en la tabla anterior, la proposición (p ˄ ~q) ˄ q es una contradicción, ya que en el resultado todos los valores de verdad son falsos (F)
Contingencia Se llama contingencia a una proposición compuesta que no es Tautología ni Contradicción, en otras palabras, aquella proposición compuesta en la que sus valores de verdad pueden ser tanto verdaderos (V) como falsos (F)
Equivalencia Dos proposiciones se consideran lógicamente equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para cada una de las opciones en la tabla de verdad. Se simboliza como p≡q y se lee como “p equivale a q”. En otras palabras si al aplicar la proposición bicondicional se obtiene una Tautología.
Ejemplo 1. Demostrar que la proposición (p→q) ≡ (~p˅q)
Para esto se utiliza la proposición bicondicional. compuesta (p→q) ⟷ (~p˅q) es una Tautología.
Hay que comprobar que la proposición
p q (p→q) ~p (~p˅q) (p→q) ⟷ (~p˅q) V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V Como los valores de la última columna son todos verdaderos (V) se considera una Tautología, por lo que se puede concluir que las proposiciones son lógicamente equivalentes, o sea (p→q) ≡ (~p˅q).
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