La Circunferencia

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ACTIVIDAD Materiales:    

Cuerda Puntilla Tizas de distintos colores Metro INSTRUCCIONES

1. Ubicar un punto para poner una puntilla en el piso de tal manera que quede una parte de ella fuera del suelo.

2. Cortar una cuerda en la cual su longitud sea de 10 cm y en el otro extremo amarrar una tiza.

3. Estirar la cuerda (a nivel del piso) hasta que se encuentre completamente recta y marca dos puntos en el suelo con la tiza que está sujeta a la cuerda.

4. Realiza el mismo procedimiento del numeral anterior pero realizando un tercer punto.

CONCEPTOS

Responde:

2

¿Cuál es la distancia desde la puntilla al primer punto? _______ ¿Cuál es la distancia desde la puntilla al segundo punto? _______ ¿Cuál es la distancia desde la puntilla al tercer punto? _______ ¿Qué figura se forma al unir los dos puntos? _______

5. Realiza ahora muchos puntos en distintas posiciones con la cuerda estirada en el suelo de tal forma que la distancia entre los puntos sea muy pequeña, luego de esto únelos.

La figura formada es una CIRCUNFERENCIA.

CONCEPTOS

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La circunferencia es una lĂ­nea curva formada por un conjunto infinito de puntos que equidistan a un punto llamado Centro

.

CENTRO

El radio es el segmento de recta que une al cualquier punto de la circunferencia con el centro de la misma.

.

CENTRO

CONCEPTOS

4

La cuerda es un segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

B

CENTRO

A Continuemos con la actividad !!!

6. En la circunferencia dibujada, trace una recta la cual contenga al centro de la circunferencia y marque los dos puntos en donde corta la recta con la circunferencia. ¿Cuál es la distancia entre estos dos puntos? ________________________ ¿Este segmento puede considerarse una cuerda?, ¿por qué? ___________ _____________________________________________________________

CONCEPTOS

La distancia de la marca 1 a la marca 2 es igual a 20 đ?‘?đ?‘š. Podemos observar que la medida de este segmento de recta es el doble de la medida del radio.

A este segmento lo llamamos diĂĄmetro de la circunferencia.

El diĂĄmetro es un segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia y que contiene al centro de la misma.

D

CENTRO

C

La medida dell diĂĄmetro es equivalente al doble del radio. đ?‘‘ =2đ?‘&#x;

CONCEPTOS

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1

ACTIVIDAD: 1. Dibuja una circunferencia cualquiera y pon sobre ella tres puntos, luego construye un ángulo con vértice sobre la circunferencia en donde sus lados son dos cuerdas de la circunferencia:

Al ángulo formado con vértice sobre la circunferencia y sus lados son dos cuerdas de la circunferencia se le conoce como ÁNGULO INSCRITO.

2. Construye un ángulo en donde su vértice es el centro de una circunferencia y sus lados son dos radios del mismo.

A dichos ángulos construidos con esas características se les conoce como ÁNGULOS CENTRALES.

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CONCEPTOS

3. Ubique dos puntos cualesquiera sobre una circunferencia y dibuje con un color distinto la uniรณn de un punto de esos con el otro alrededor de la circunferencia.

Como puede notarse hay dos formas distintas de unir dichos puntos siguiendo un camino sobre la circunferencia. A cada una de estas porciones de distinto color se les conoce como ARCOS DE LA CIRCUNFERENCIA.

Note que es posible ubicar mรกs puntos y obtener distintos arcos.

4. Dibuje una circunferencia y su diรกmetro, luego borre uno de los dos arcos formados.

La parte de la circunferencia que se encuentra punteada es la parte que se decidiรณ borrar.

A la figura formada por el diรกmetro de la circunferencia y el arco se le conoce como SEMICIRCUNFERENCIA.

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CONCEPTOS

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5. Dibuje una circunferencia y un punto sobre ella, luego trace una recta que pase por solo por este punto.

Una recta que corta en un solo punto o que interseca a una circunferencia en un solo punto se le conoce como recta tangente.

6. Dibuje una circunferencia y resalte dos puntos sobre ella, luego de esto Ăşnalos por medio de una recta.

La recta que pasa por dos puntos de la circunferencia se le conoce como RECTA SECANTE.

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CONCEPTOS

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7. Construyamos polígonos de 5 y 6 lados cuyos vértices estén sobre una circunferencia: Polígono de 5 lados

Polígono de 6 lados

Todo polígono en el cual sus vértices estén sobre la circunferencia se llamará POLÍGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.

8. Ahora construyamos una circunferencia que esté dentro de un triángulo:

Si una circunferencia está dentro de un polígono con la característica que cada uno de los lados de dicho polígono son tangentes a la circunferencia, se llamará POLÍGONO CIRCUNSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA.

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CONCEPTOS

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1

Recordemos tres elementos geomĂŠtricos de la circunferencia: ďƒ˜ Centro ďƒ˜ Radio ďƒ˜ DiĂĄmetro

Para saber cuåntos diåmetros cubren la longitud de la circunferencia tenemos que se necesitan 3 diåmetros mås una medida muy pequeùa, 0,141592‌, es decir, 3,141592‌diåmetros.

ComĂşnmente se usa 3,1416 y recibe el nombre de “piâ€? siendo su representaciĂłn el sĂ­mbolo (đ??…), la forma curva que toma el diĂĄmetro para ubicarse sobre la circunferencia recibe el nombre de arco.

OBSERVEMOS LO DICHO GRĂ FICAMENTE.

CONCEPTOS

ÂżPor quĂŠ hallamos la longitud de una circunferencia y no de un cĂ­rculo?

La razĂłn es que cuando hablamos de cĂ­rculo nos referimos a la superficie total de la regiĂłn que se encuentra dentro de la circunferencia y cuando se habla de circunferencia nos referimos a la lĂ­nea curva que rodea la superficie.

Teniendo en cuenta que Ď€ es el nĂşmero de veces que se necesitan para que el diĂĄmetro rodeae el cĂ­rculo, se tiene que: đ??żđ?‘œđ?‘›đ?‘”đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ = đ?œ‹đ?‘‘ = 2đ?œ‹. đ?‘&#x;

Practiquemos !!! ďƒ˜ ÂżCuĂĄl el es perĂ­metro de la circunferencia si su diĂĄmetro es 16 metros?

Conocemos el diĂĄmetro, apliquemos el algoritmo de la longitud: đ??żđ?‘œđ?‘›đ?‘”đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘˘đ?‘›đ?‘“đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž = đ?œ‹ . đ?‘‘ = đ?œ‹ .16 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ = đ?&#x;?đ?&#x;”đ??… đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’?đ?’”

CONCEPTOS

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Otro ejemplo !!! ďƒ˜ Jaime recorre 5 veces un coliseo circular. Si el diĂĄmetro del coliseo mide 52 metros. ÂżCuĂĄnta longitud recorriĂł en total?

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SoluciĂłn Grafiquemos primero la situaciĂłn.

Para encontrar la longitud recorrida se calcula la longitud del estadio:

đ??żđ?‘œđ?‘›đ?‘”đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ = đ?œ‹ Ă— đ?‘‘đ?‘–ĂĄđ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ = đ?œ‹ Ă— 52 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘

đ??żđ?‘œđ?‘›đ?‘”đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ ≅ (3,1416) Ă— 52 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ ≅ 163,3632 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘

Como lo hallado equivale a una sola vuelta y Jaime ha recorrido 5 veces el coliseo circular, tenemos entonces que,

đ??żđ?‘œđ?‘›đ?‘”đ?‘–đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘ đ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž = 163,3632 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ Ă— 5 = đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;”, đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;” đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’?đ?’”

CONCEPTOS

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El algoritmo que permite hallar el ĂĄrea es:

Ă đ?’“đ?’†đ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?’„Ă­đ?’“đ?’„đ?’–đ?’?đ?’? = đ??… ∗ đ?’“đ?’‚đ?’…đ?’Šđ?’?đ?&#x;?

Practiquemos !!!

ďƒ˜ ÂżCuĂĄl el es ĂĄrea del cĂ­rculo si su diĂĄmetro es 16 metros?

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SoluciĂłn:

Recordemos que el radio es la mitad de la medida del diĂĄmetro.

Se tiene que, đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?Ă­đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ =

16 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ = 8 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ 2

Hallemos el ĂĄrea: Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?Ă­đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ = đ?œ‹ Ă— (8 đ?‘š)2 = đ?œ‹ Ă— 64 đ?‘š2 = đ?&#x;”đ?&#x;’đ??… đ?’Žđ?&#x;?

CONCEPTOS

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Otro ejemplo !!!

ďƒ˜ En un parque de forma circular de 50 metros de diĂĄmetro se encuentra situada una fuente justo en su centro tambiĂŠn de forma circular de 8 metros de radio.

Calcular el ĂĄrea de la zona de paseo.

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SoluciĂłn:

DiseĂąemos la siguiente representaciĂłn:

Calculemos inicialmente el ĂĄrea del cĂ­rculo que comprende todo el parque: Dado su diĂĄmetro de 50 metros, hallamos el radio: đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ =

đ?‘‘đ?‘–ĂĄđ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ 50đ?‘š = = 25đ?‘š 2 2

Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ = đ?œ‹ Ă— đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ 2 = đ?œ‹ Ă— (25 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ )2 = 625đ?œ‹ đ?‘š2 ≅ đ?&#x;?. đ?&#x;—đ?&#x;”đ?&#x;‘, đ?&#x;“ đ?’Žđ?&#x;?

El siguiente paso a seguir es calcular el ĂĄrea que ocupa la fuente, con un radio de 8 metros. Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘“đ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ = đ?œ‹ Ă— (8 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ )2 ≅ (3,1416) Ă— 64 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ ≅ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?, đ?&#x;? đ?’Žđ?&#x;?

CONCEPTOS

Por lo tanto, el ĂĄrea de la zona de paseo serĂĄ la diferencia entre el ĂĄrea del parque y el ĂĄrea que ocupa la fuente. Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘§đ?‘œđ?‘›đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’đ?‘œ ≅ 1.963,5 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ 2 − 201,1 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ 2 Ă đ?’“đ?’†đ?’‚ đ?’›đ?’?đ?’?đ?’‚ đ?’‘đ?’‚đ?’”đ?’†đ?’? ≅ đ?&#x;?. đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;?, đ?&#x;? đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’?đ?’”đ?&#x;?

CONCEPTOS

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