Figuras sombreadas

1

1. Halla el área de la figura sombreada.

-

Solución Podemos observar que la región sombreada es la siguiente:

Como este triángulo es una parte de un rectángulo cuya altura es 5 metros, decimos que la altura del triángulo equivale a 5 metros. Veamos:

4 metros

5 metros Vamos a hallar el área del triángulo, para observar mejor la base y la altura del triángulo podemos rotar la figura de la siguiente manera:

CONCEPTOS

5 metros

2

4 metros Se observa que la altura mide 5 metros y la medida de la base es 4 metros, hallemos el ĂĄrea de esta regiĂłn sombreada: Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘ đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž =

đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ . đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž 4 đ?‘š . 5 đ?‘š = 2 2

Ă đ?’“đ?’†đ?’‚ đ?’”đ?’?đ?’Žđ?’ƒđ?’“đ?’†đ?’‚đ?’…đ?’‚ = đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?’Žđ?&#x;?

CONCEPTOS

1

2. Hallar el área de la siguiente figura, si se sabe que los diámetros de los semicírculos miden 4 metros.

4 mts

4 mts

-

Solución Si observamos detenidamente la figura, podemos unir con un segmento los extremos de cada arco de circunferencia formando otra figura.

CONCEPTOS

¿Qué figura es?

Es un cuadrado y cada uno de los lados mide 8 metros.

Se puede analizar que en la parte exterior del cuadrado sobresalen 4 semicírculos, y dentro del cuadrado hacen falta cubrir 4 semicírculos de la misma medida; lo que significa que el área de los semicírculos sobresalientes es igual al área de los semicírculos que hace falta cubrir en el cuadrado.

Concluimos entonces que el área de la figura inicial es equivalente al área del cuadrado:

CONCEPTOS

2

Hallemos el ĂĄrea del cuadrado. Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ = 8 đ?‘š Ă— 8 đ?‘š = 64 đ?‘š

Luego el ĂĄrea de la figura es đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?’Žđ?&#x;? .

CONCEPTOS

3 2

1

3. Hallar el ĂĄrea de la figura sombreada que se encuentra dentro del cĂ­rculo cuyo diĂĄmetro es de 20 metros.

-

SoluciĂłn Al observar la figura de la imagen, se puede observar que los dos lados de menor medida del triĂĄngulo son equivalentes al radio de la circunferencia.

Hallemos el radio de la circunferencia para saber la medida de estos dos lados del triĂĄngulo.

Si sabemos que el radio de toda circunferencia es la mitad del diĂĄmetro, tenemos que: đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ =

đ?‘‘đ?‘–ĂĄđ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ 20 đ?‘š = 2 2

đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ = 10 đ?‘š

Vamos a calcular el ĂĄrea del triĂĄngulo:

10 metros

10 metros

CONCEPTOS

Á𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑇𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =

CONCEPTOS

10 𝑚 × 10 𝑚 2

100 𝑚2 = 𝟓𝟎 𝒎𝟐 2

2

1

4. Encuentra el ĂĄrea de la regiĂłn sombreada.

La imagen muestra una medida en metros, esa medida es el radio del cĂ­rculo. đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?Ă­đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ = 8 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘

Observemos que si se traza otro radio al cĂ­rculo se forma un triĂĄngulo.

Utilizamos el teorema de PitĂĄgoras para calcular la hipotenusa del triĂĄngulo que es la misma medida del lado del cuadrado; veamos:

CONCEPTOS

2

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎2 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝐴2 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝐵2

TEOREMA DE PITÁGORAS

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = √(8 𝑚)2 + (8 𝑚)2

= √64 𝑚2 + 64 𝑚2

= √128𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 2 ≅ 11,31 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 2

Veamos que la hipotenusa es un lado del cuadrado.

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 ≅ 11,31𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

CONCEPTOS

3

Los lados del cuadrado tienen la misma medida, conocida esta medida hallamos su ĂĄrea.

Ă đ?’“đ?’†đ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?’„đ?’–đ?’‚đ?’…đ?’“đ?’‚đ?’…đ?’? ≅ đ?&#x;?đ?&#x;?, đ?&#x;‘đ?&#x;? Ă— đ?&#x;?đ?&#x;?, đ?&#x;‘đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;?, đ?&#x;”đ?&#x;? đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’?đ?’”

CONCEPTOS

1

5. Hallar el ĂĄrea de la regiĂłn sombreada.

Nombremos C1 al cuadrado que se encuentra dentro de la regiĂłn sombreada para diferenciarlo del cuadrado de mayor superficie y hallemos su ĂĄrea: Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ??ś1 = 6 đ?‘?đ?‘š Ă— 6 đ?‘?đ?‘š = 36 đ?‘?đ?‘š2

Observemos que las esquinas del cuadrado mayor estĂĄn compuestas por 1

1 4

de cĂ­rculo. Como tienen el mismo radio decimos que al sumar cada de cĂ­rculo 4

el resultado que se obtiene el ĂĄrea de un cĂ­rculo completo cuyo radio es 2 cm.

1 1 1 1 4 + + + = =1 4 4 4 4 4

CONCEPTOS

2

Conocido el radio podemos hallar su ĂĄrea: Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?Ă­đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ = đ?œ‹ Ă— đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ 2 Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?Ă­đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ = (3,1416) Ă— (2 đ?‘?đ?‘š)2 = (3,1416) Ă— 4 đ?‘?đ?‘š2 ≅ 12,57 đ?‘?đ?‘š2 El ĂĄrea de la regiĂłn que no estĂĄ sombreada es la suma de las ĂĄreas del cĂ­rculo y del cuadrado C1. Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?’?đ?’? đ?‘ đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž = 36 đ?‘?đ?‘š2 + 12,57 đ?‘?đ?‘š2 ≅ 48,57 đ?‘?đ?‘š2

Por lo tanto, para encontrar el ĂĄrea de la regiĂłn sombreada debemos restarle al ĂĄrea del cuadrado de mayor superficie, el ĂĄrea no sombreada; veamos:

Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘Žđ?‘Śđ?‘œđ?‘&#x; = 12 đ?‘?đ?‘š Ă— 12đ?‘?đ?‘š = 144 đ?‘?đ?‘š2 Luego, Ă đ?’“đ?’†đ?’‚ đ?’…đ?’† đ?’?đ?’‚ đ?’“đ?’†đ?’ˆđ?’ŠĂłđ?’? đ?’”đ?’?đ?’Žđ?’ƒđ?’“đ?’†đ?’‚đ?’…đ?’‚ = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;’ đ?’„đ?’Žđ?&#x;? − đ?&#x;’đ?&#x;–, đ?&#x;“đ?&#x;• đ?’„đ?’Žđ?&#x;? ≅ đ?&#x;—đ?&#x;“, đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?’„đ?’Žđ?&#x;?

CONCEPTOS

1

6. Encuentra el ĂĄrea de la regiĂłn sombreada.

T1 T2

T3 El ĂĄrea de la figura sombreada es equivalente a la suma de las ĂĄreas T1, T2 y T3. đ??´đ?‘ = đ?‘‡1 + đ?‘‡2 + đ?‘‡3 Hallemos el ĂĄrea T1: đ?‘‡1 =

đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ Ă— đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž 10 đ?‘š Ă— 10 đ?‘š 100 2 = = đ?‘š 2 2 2 đ?‘‡1 = 50đ?‘š2

El triångulo T2 tiene las mismas medidas del triångulo T1, por lo tanto decimos que T2 = T1. �2 = 50�2

En la parte inferior de la imagen se encuentra un semicĂ­rculo cuyo diĂĄmetro es 10 m. Es necesario saber el valor del radio para hallar el ĂĄrea T3.

CONCEPTOS

đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘–đ?‘?Ă­đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ =

10 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ =5đ?‘š 2

El årea del semicírculo sombreado es la mitad del årea total del cÏrculo. �3 =

đ?œ‹ Ă— đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ 2 2

(3,1416) × (5�)2 (3,1416) × 25�2 �3 = = 2 2 ≅

78,54�2 ≅ 39,27 �2 2

El ĂĄrea de la figura sombreada es la suma de las tres ĂĄreas sombreadas halladas. đ??´đ?‘ = đ?‘‡1 + đ?‘‡2 + đ?‘‡3

đ??´đ?‘ = 100đ?‘š2 + 100đ?‘š2 + 39,27đ?‘š2 ≅ 239,27đ?‘š2

CONCEPTOS

2

1

7. Encuentre el ĂĄrea sombreada de las siguientes figuras:

-

SoluciĂłn: Para encontrar el ĂĄrea sombreada de la figura es indispensable conocer el ĂĄrea del cuadrado, el triĂĄngulo y el semicĂ­rculo.

El ĂĄrea sombreada As es equivalente a:

đ?‘¨đ?‘ş = đ?‘¨đ?‘Şđ?‘źđ?‘¨đ?‘Ťđ?‘šđ?‘¨đ?‘Ťđ?‘ś − đ?‘¨đ?‘ťđ?‘šđ?‘°Ă đ?‘ľđ?‘Žđ?‘źđ?‘łđ?‘ś − đ?‘¨đ?‘şđ?‘Źđ?‘´đ?‘°đ?‘ŞĂ?đ?‘šđ?‘Şđ?‘źđ?‘łđ?‘ś ďƒ˜ Ă rea del cuadrado: Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ = đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ ∗ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ â&#x;š Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ = (30 đ?‘?đ?‘š)(30 đ?‘?đ?‘š) â&#x;š Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ = 900 đ?‘?đ?‘š2

CONCEPTOS

ďƒ˜ Ă rea del triĂĄngulo:

2

Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–ĂĄđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ =

đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ ∗ đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž 2

Hasta el momento conocemos la base del triĂĄngulo el cual es 30 đ?‘?đ?‘š; con este solo dato no podemos calcular el ĂĄrea del triĂĄngulo porque debemos saber la medida de su altura.

Observemos que la superficie de dicho triĂĄngulo es la mitad de la superficie del triĂĄngulo formado con la diagonal y dos lados del cuadrado. Por lo tanto:

đ??´ đ?‘‡đ?‘…đ??źĂ đ?‘ đ??şđ?‘ˆđ??żđ?‘‚

đ??´ đ?‘‡âˆ’đ??ˇđ??źđ??´đ??şđ?‘‚đ?‘ đ??´đ??ż = = 2

30đ?‘?đ?‘š . 30đ?‘?đ?‘š 900đ?‘?đ?‘š2 2 = đ?&#x;?

4

đ??´ đ?‘‡đ?‘…đ??źĂ đ?‘ đ??şđ?‘ˆđ??żđ?‘‚ = 225 đ?‘?đ?‘š2

ďƒ˜ Ă rea del semicĂ­rculo: El ĂĄrea que vamos a calcular es la del semicĂ­rculo que es equivalente a la mitad del ĂĄrea del cĂ­rculo completo.

El radio del semicĂ­rculo es igual a 15 đ?‘?đ?‘š dado que su diĂĄmetro es un lado del cuadrado los cuales miden 30 đ?‘?đ?‘š. Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘–đ?‘?Ă­đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ =

ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?Ă­đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ đ?œ‹(15 đ?‘?đ?‘š)2 = 2 2

Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘ đ?‘’đ?‘šđ?‘–đ?‘?Ă­đ?‘&#x;đ?‘?đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ =

225đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2 2

Podemos dar soluciĂłn al ĂĄrea de la regiĂłn sombreada porque hemos encontrado las ĂĄreas del semicĂ­rculo, cuadrado y triĂĄngulo. Procedemos a aplicar la fĂłrmula inicial (1): đ??´đ?‘† = đ??´đ??śđ?‘ˆđ??´đ??ˇđ?‘…đ??´đ??ˇđ?‘‚ − đ??´ đ?‘‡đ?‘…đ??źĂ đ?‘ đ??şđ?‘ˆđ??żđ?‘‚ − đ??´đ?‘†đ??¸đ?‘€đ??źđ??śĂ?đ?‘…đ??śđ?‘ˆđ??żđ?‘‚

CONCEPTOS

225𝜋 𝑐𝑚2 𝐴𝑆 = 900 𝑐𝑚 − 225 𝑐𝑚 − 2 2

𝐴𝑆 = (675 −

2

225𝜋 ) 𝑐𝑚2 2

𝑨𝑺 ≅ 𝟑𝟐𝟐 𝒄𝒎𝟐

CONCEPTOS

3

1

8. A continuaciĂłn pueden observarse tres cĂ­rculos (đ?‘™, đ?‘&#x;, đ?‘ ). El diĂĄmetro de đ?‘™ mide 40 đ?‘‘đ?‘š. AdemĂĄs el diĂĄmetro de đ?‘&#x; es el radio de đ?‘™ y el diĂĄmetro de đ?‘ es el radio de đ?‘&#x;. Hallar el ĂĄrea de la regiĂłn sombreada.

-

SoluciĂłn: Para hallar el ĂĄrea sombreada es necesario encontrar el ĂĄrea de đ?‘™, đ?‘&#x;, đ?‘ y aplicar la siguiente ecuaciĂłn:

đ?‘¨đ?’”đ?’?đ?’Žđ?’ƒđ?’“đ?’†đ?’‚đ?’…đ?’‚ = đ?‘¨đ?’? − đ?‘¨đ?’“ + đ?‘¨đ?’” ďƒ˜ Ă rea del cĂ­rculo đ?’?: Sabemos que đ?’? tiene un diĂĄmetro de 40 đ?‘‘đ?‘š, es decir que su radio mide 20 đ?‘‘đ?‘š. Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™ = đ?œ‹đ?‘&#x;đ?‘™ 2 ; đ?‘&#x;đ?‘™ đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™ Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™ = đ?œ‹(20 đ?‘‘đ?‘š)2 Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™ = 400đ?œ‹ đ?‘‘đ?‘š2

CONCEPTOS

2

ďƒ˜ Ă rea del cĂ­rculo đ?’“: Como el diĂĄmetro de đ?’“ es el radio de đ?’?, esto quiere decir que el radio de đ?’“ serĂĄ igual a 10 đ?‘‘đ?‘š. Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘&#x; = đ?œ‹(đ?‘&#x;2 )2

; đ?‘&#x;2 đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘&#x;

Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘&#x; = đ?œ‹(10 đ?‘‘đ?‘š)2 Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘&#x; = 100đ?œ‹ đ?‘‘đ?‘š2

ďƒ˜ Ă rea del cĂ­rculo đ?’”: Conocemos el diĂĄmetro de đ?’” el cual serĂĄ igual que el radio de đ?’“. Esto quiere decir que el radio de đ?‘ medirĂĄ 5 đ?‘‘đ?‘š. Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ = đ?œ‹(đ?‘&#x;3 )2

; đ?‘&#x;3 đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘

Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ = đ?œ‹(5 đ?‘‘đ?‘š)2 Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ = 25đ?œ‹ đ?‘‘đ?‘š2 Podemos hallar el ĂĄrea de la regiĂłn sombreada porque tenemos el ĂĄrea de los tres cĂ­rculos. đ??´đ?‘ đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž = 400đ?œ‹ đ?‘‘đ?‘š2 − 100đ?œ‹ đ?‘‘đ?‘š2 + 25đ?œ‹ đ?‘‘đ?‘š2 đ?‘¨đ?’”đ?’?đ?’Žđ?’ƒđ?’“đ?’†đ?’‚đ?’…đ?’‚ = đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;“đ??… đ?’…đ?’Žđ?&#x;? ≅ đ?&#x;–đ?&#x;“. đ?&#x;”đ?&#x;— đ?’Žđ?&#x;?

CONCEPTOS

1

9. Hallar el ĂĄrea de la figura sombreada si los lados del cuadrado miden 8đ?‘š, đ?‘™, đ?‘ , đ?‘Ą son semicĂ­rculos y los diĂĄmetros de đ?‘ y đ?‘Ą miden lo mismo.

-

SoluciĂłn: El ĂĄrea sombreada se obtendrĂĄ al encontrar la siguiente informaciĂłn:

ďƒ˜ Ă rea regiĂłn sombreada dentro del cuadrado (AS) ďƒ˜ Ă rea de los semicĂ­rculos

đ?‘¨đ?’”đ?’?đ?’Žđ?’ƒđ?’“đ?’†đ?’‚đ?’…đ?’‚ = đ?‘¨đ?‘şđ?’„đ?’–đ?’‚đ?’…đ?’“đ?’‚đ?’…đ?’? + đ?‘¨đ?’? + đ?‘¨đ?’” + đ?‘¨đ?’• ďƒ˜ Ă rea de regiĂłn sombreada dentro del cuadrado (AS):

Se puede observar que el cuadrado estĂĄ conformado por cuatro triĂĄngulos congruentes si trazamos las dos diagonales del cuadrado.

CONCEPTOS

2

Luego, 3 đ??´đ?‘†đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ = (ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ) 4 3 3 đ??´đ?‘†đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ = (8đ?‘š . 8đ?‘š) = (64 đ?‘š2 ) 4 4 đ??´đ?‘†đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ = 48 đ?‘š2

ďƒ˜ Ă rea del semicĂ­rculo

đ?’?:

Como el diĂĄmetro de đ?’? tiene la misma longitud del lado del cuadrado (8m), decimos que el radio de đ?’? es igual a 4 đ?‘š. Hallemos el ĂĄrea: đ??´đ?‘™ =

đ?œ‹đ?‘&#x; 2 2 đ??´đ?‘™ =

, đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘&#x; đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™. đ?œ‹(4đ?‘š)2 16đ?œ‹ đ?‘š2 = 2 2 đ??´đ?‘™ = 8đ?œ‹ đ?‘š2

ďƒ˜ Ă rea de los semicĂ­rculos đ?’” y đ?’•: Ya que đ?’” y đ?’• tienen igual diĂĄmetro (4m), la uniĂłn de estos dos semicĂ­rculos forman un cĂ­rculo.

Calculemos el ĂĄrea de un cĂ­rculo con radio đ?‘&#x; = 2 đ?‘š (este resultado se obtiene al dividir entre cuatro la longitud del lado del cuadrado).

CONCEPTOS

á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋𝑟 2 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋(2 𝑚)2 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 4𝜋 𝑚2

Ahora sí hallamos el área de la región sombreada propuesta inicialmente: 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 𝐴𝑆𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 + 𝐴𝑙 + 𝐴𝑠 + 𝐴𝑡 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 48 𝑚2 + 8𝜋 𝑚2 + 4𝜋 𝑚2 𝐴𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = (48 + 12𝜋) 𝑚2 𝑨𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂 ≅ 𝟖𝟓. 𝟔𝟗 𝒎𝟐

CONCEPTOS

3