Manual para constructores - Matemáticas

MANUAL PARA CONSTRUCTORES DE PREGUNTAS

PRUEBA INTERMEDIA DE CIENCIAS BÁSICAS EN INGENIERÍA AREA DE MATEMÁTICAS Septiembre de 20061

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ste manual presenta los elementos básicos a tener en cuenta para la construcción de preguntas de la prueba intermedia de ciencias básicas en ingeniería, presenta los siguientes puntos: 1. Competencias; 2. Dominios conceptuales; 3. Estructura de prueba; 4. Formato de preguntas; 5. Indicaciones para construir las preguntas; 6. Ejemplos de preguntas.

1. Competencias Genéricas

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l marco general que se plantea asume tres competencias genéricas como objeto de evaluación, las cuales a su vez se expresan en las competencias específicas propias de cada área.

Capacidad de abstracción, análisis y síntesis La abstracción es entendida como el proceso mental mediante el cual se determinan características comunes a diferentes objetos o las relaciones existentes entre ellos, la materialización de esa característica o relaciones mediante ideas y la posibilidad de trabajar con las ideas independientemente de los objetos que están representados por ellas. En el proceso de abstracción está implícito el análisis (dividir el todo en tantas partes como se pueda, hasta llegar a los elementos más simples y la síntesis (construcción de un todo a partir de los distintos elementos a la luz de teorías específicas). En matemáticas esta capacidad se evidencia al identificar variables, constantes, parámetros, las relaciones entre ellos y su representación matémática.

En ninguna de las ciencias básicas se considera que la abstracción, el análisis y la síntesis se puedan evaluar de manera independiente.

Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica Es la capacidad de aplicar los modelos y algoritmos estudiados a casos particulares o problemas típicos. Por ejemplo determinar ecuaciones de rectas tangentes a gráficas de funciones dadas explícitamente (dada la fórmula), calcular áreas de regiones descritas matemáticamente (dadas las ecuaciones que la limitan), graficar funciones específicas, resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, entre otras.

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Elaborado por Ps. Olga Rosalba Rodríguez a partir del marco conceptual elaborado por los profesores Bernarda Aldana y Carlos Álvarez

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Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas Es la capacidad de abordar una situación desde el punto de vista matemático, esto es poder determinar un modelo matemático pertinente, realizar las representaciones que le permitan aplicar dicho modelo y los cálculos necesarios. Por ejemplo calcular el valor del área de una región de la cual sólo se le da la descripción general, resolver una situación descrita en lenguaje corriente en la que se deba plantear una ecuación sistema de ecuaciones y resolver el sistema, calcular el centro de masa de un cono sabiendo que la densidad de un punto es inversamente proporcional a su distancia al vértice, entre otras.

2. Dominios Conceptuales Variación y cambio. En este campo encontramos los problemas o situaciones relacionadas con magnitudes que varían, optimización, rapidez de cambio (incluimos aquí la modelación de problemas mediante ecuaciones diferenciales y su análisis en ausencia de soluciones explícitas). Los conceptos son: funciones en una y varias variables, dominios, imágenes, gráficas, límites, continuidad y derivadas. Los procedimientos son: solución de ecuaciones, elaboración de gráficas de ecuaciones, cálculo de límites y derivadas de funciones de una o varias variables reales. Las representaciones son: representación de dependencia entre magnitudes en forma funcional, gráfica, mediante ecuaciones o tablas.

Medición. En este campo encontramos los problemas o situaciones relacionadas con cálculo de áreas, volúmenes, longitudes, masas, momentos, centros de masa, flujos, trabajo, funciones de densidad, (incluimos aquí la modelación de problemas mediante ecuaciones diferenciales y su análisis usando soluciones explícitas). Los conceptos son: funciones en una y varias variables, dominios, imágenes, gráficas, integración, densidad, diferenciales y distribuciones continuas de probabilidad. Los procedimientos son: solución de ecuaciones incluyendo las ecuaciones diferenciales, la elaboración de gráficas de ecuaciones, el cálculo de integrales simples y múltiples, aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo en sus diferentes formas (teorema fundamental de las integrales de línea, teorema de Green, teorema de Stokes y Teorema de Gauss), cálculo de probabilidades. Las representaciones son: representación de dependencia entre magnitudes en forma funcional, gráfica, mediante ecuaciones o mediante tablas.

Convergencia. En este campo encontramos los problemas o situaciones relacionadas con la convergencia de sucesiones y series (incluyendo series de potencias), determinación de funciones discretas de densidad de probabilidad, aproximación polinómica de funciones, aproximación de integrales. Los conceptos son convergencia, series numéricas, series de potencias, radios de convergencia, distribuciones de probabilidad discretas. Los procedimientos son: aplicación de técnicas de conteo, inducción y recursión para determinar términos n- ésimos de sucesiones y series, aplicación de criterios de convergencia, aproximación polinómica de funciones, solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias, cálculo de probabilidades y aproximación de integrales. Las representaciones son: representación de dependencia entre magnitudes en forma funcional, gráfica, mediante ecuaciones o mediante tablas.

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Estructuras. En este campo encontramos los problemas y situaciones relacionadas con solución de ecuaciones e inecuaciones en el conjunto de los números reales, solución de sistemas de ecuaciones lineales, aplicación del producto escalar y el producto vectorial en la determinación de áreas, volúmenes y ecuaciones de rectas y planos, determinación de bases y dimensión para subespacios de cálculo de determinantes, operaciones con matrices y determinación de valores y vectores propios. Los conceptos son: estructura de grupo, de grupo abeliano, de campo ordenado completo (la estructura de los números reales) y estructura de espacio vectorial (específicamente Rn , espacios de matrices y polinomios), producto escalar, producto vectorial, transformación lineal, núcleo e imagen de una transformación lineal, determinante, base y dimensión, valores y vectores propios. Los procedimientos son solución de ecuaciones e inecuaciones de primero y segundo grado en una variable, ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto en una variable, algunos sistemas de ecuaciones no lineales (como los que se presentan cuando se resuelve un problema por multiplicadores de Lagrange) y de sistemas de ecuaciones lineales (incluyendo las diferenciales), cálculo de producto escalar y producto vectorial, cálculo de determinantes, cálculo de inversas de matrices, sumas y productos de matrices.

Aleatorio. En este campo encontramos los problemas relacionados con la toma de decisiones a partir de colecciones de datos obtenidos de experimentos aleatorios. Los conceptos son espacios de probabilidad, distribuciones de probabilidad, estimación de parámetros poblacionales, pruebas de hipótesis, correlación y regresión. Los procedimientos son aplicación de métodos de conteo, cálculo de probabilidades, cálculo de integrales, operaciones con conjuntos, derivadas de funciones de una y varias variables, convergencia de series e integrales impropias. Las representaciones son gráficas cartesianas, representación funcional, tablas y diagramas circulares.

Es de aclarar que estos dominios conceptuales no son excluyentes y en muchos aspectos de la formación de los ingenieros son transversales.

3. Estructura de prueba La combinación de las competencias y las competencias se concreta en la estructura de prueba que se relaciona a continuación.

Dominio conceptual Variación cambio

Competencia Genérica

Competencia Específica

y Capacidad de Capacidad para identificar variables, abstracción, análisis y parámetros y constantes y establecer síntesis relaciones entre ellas Capacidad para representar las relaciones entre variables mediante ecuaciones, funciones o gráficas cartesianas.

Capacidad para describir el comportamiento de las variables a partir de representaciones algebraicas o gráficas.

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Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica

Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas

Capacidad de abstracción, análisis y síntesis Medición Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica

Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas Convergencia

Capacidad de abstracción, análisis y síntesis Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica

Capacidad para modelar problemas mediante ecuaciones diferenciales Habilidad para operar funciones, (suma, producto, cociente y compuesta) Habilidad para calcular límites y derivadas de funciones.

Habilidad para determinar máximos y mínimos relativos y absolutos de funciones dadas.

Capacidad para graficar funciones.

Habilidad para determinar soluciones de ecuaciones.

Capacidad para resolver problemas que involucran razones de cambio.

Capacidad para resolver problemas de optimización.

Capacidad para resolver problemas de aplicación de ecuaciones diferenciales.

Capacidad para representar áreas, volúmenes, longitudes, momentos, masas, probabilidades, flujos, trabajo, como integrales de funciones.

Habilidad en la escogencia del sistema de coordenadas más conveniente para representar un problema.

Habilidad en la aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo en sus diferentes formas (teorema fundamental de las integrales de línea, teorema de Green, teorema de Stokes y teorema de Gauss Habilidad en la determinación de antiderivadas Habilidad para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

Capacidad para resolver problemas de flujos o trabajo utilizando el teorema fundamental del cálculo (Green, Stokes y Gauss) Capacidad para resolver problemas de aplicación de ecuaciones diferenciales.

Habilidad para encontrar el término n-ésimo de una sucesión o una serie, conociendo un número determinado de términos.

Habilidad para aproximar funciones por polinomios de Taylor.

Habilidad en la aplicación de criterios de convergencia.

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Estructuras

Aleatorio

Habilidad en la determinación de intervalo de confianza en una serie de potencias Habilidad para calcular el valor de series geométricas y telescópicas Capacidad para Capacidad para resolver problemas utilizando identificar, plantear y sucesiones y series resolver problemas Capacidad para identificar subespacios Capacidad de vectoriales de y polinomios abstracción, análisis y Capacidad de identificar transformaciones síntesis lineales Habilidad para realizar operaciones en la estructura de los números reales Capacidad de aplicar los Habilidad para hacer cálculos en y los conocimientos en la espacios de matrices y polinomios práctica Habilidad para resolver sistemas de ecuaciones lineales Capacidad para determinar ecuaciones de planos y rectas a partir de condiciones Capacidad para Capacidad para resolver aplicando identificar, plantear y operaciones definidas en resolver problemas Capacidad para resolver problemas usando sistemas de ecuaciones Capacidad de Capacidad para establecer relaciones entre las abstracción, análisis y variables que intervienen en una investigación síntesis estadística Capacidad para construir modelos de probabilidad de situaciones reales o ficticias Capacidad para analizar la tendencia de un modelo y realizar pronósticos Capacidad para representar situaciones reales o ideales sobre un espacio muestral Capacidad para construir conceptos estadísticos a través de relaciones numéricas Capacidad para identificar variables aleatorias, el tipo y la distribución de probabilidad asociados a la misma Capacidad para hacer comparaciones entre distribuciones muestrales de probabilidad Capacidad para interpretar el estimador y efectuar el análisis de confiabilidad Capacidad para identificar un espacio muestral o probabilística Capacidad para plantear, identificar y construir el modelo de distribución adecuado

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Capacidad de aplicar los Capacidad para organizar la información e conocimientos en la inferir sobre ella práctica Habilidad para realizar estimaciones a través de los intervalos de confianza Habilidad para calcular medidas de tendencia central y de dispersión Habilidad para calcular la probabilidad de un evento o combinación de ellos Capacidad para Capacidad para plantear y generar identificar, plantear y alternativas de solución para situaciones que resolver problemas involucren variables aleatoria Capacidad para aplicar los conceptos de probabilidad en problemas que involucran las distribuciones de probabilidad 4. Formato de preguntas

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l formato de pregunta que se usa en la prueba se denomina: Pregunta dependiente de un contexto. En este formato se presenta un contexto y varias preguntas que se contestan a partir de la información presentada en el mismo.

La estructura de la pregunta es Contexto: representa la situación marco de las preguntas. El contexto incluye representaciones pictóricas como gráficas, tablas de datos, fotografías, esquemas, figuras, mapas o similares; conjunto de problemas, ensayos o textos a partir de los cuales se generan una o varias preguntas.

Enunciado: frase en forma afirmativa que presenta la situación que debe ser respondida o resuelta.

Opciones de respuesta: son las respuestas posibles al enunciado. Se consideran como respuestas incorrectas.

Respuesta Correcta: la opción que se considera responde adecuadamente el enunciado.

La siguiente pregunta tomada del ECAES de ingeniería de 2005-2006 ejemplifica el formato.

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CONTEXTO Considere un tanque en forma de prisma recto de área A b en la base que tiene una salida redondeada y taponada de área A s cerca a la base. Este tanque contiene agua hasta una altura inicial H o medida desde el orificio de salida y se alimenta con un chorro de agua de área A o que ingresa al tanque con velocidad vo. Se asume que la densidad del agua y la aceleración g de la gravedad son constantes. La superficie del agua se estima libre de ondulaciones y a una distancia desde el orificio que no afecta el flujo por el orificio si llegara a retirarse el tapón. Cuando la altura de la superficie es h y se destapa el orificio la velocidad de salida del agua es 2 gh .

Pregunta 1 ENUNCIADO En las condiciones planteadas la velocidad de ascenso del nivel de agua en el tanque es

OPCIONES DE RESPUESTA Ao a. v o Ab b. v o

Pregunta 2 ENUNCIADO Si desde el principio se retira el tapón del orificio, la expresión que permite calcular la velocidad de salida por el orificio en función del paso del tiempo t es

OPCIONES DE RESPUESTA

Ab Ao

Ao c. v o As As d. v o Ab

a.

 A  2 g  H o  vo o t  Ab  

b.

 A A  2 g  v o o  2 gH o s t Ab   Ab

c.

 2 g  H o   

2 2 g As  A  t  vo o t  2 Ab  Ab  

d.

 2 g  H o   

2 g Ab 2 As

RESPUESTA CORRECTA: a

2  A  t   vo o t   Ab   

RESPUESTA CORRECTA: c

5. Indicaciones para la construcción de preguntas

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lgunas consideraciones que se deben tener en cuenta para la Construcción de las preguntas que conforman una prueba objetiva son:

En el enunciado y Contexto a. Garantizar que es claro, preciso y pertinente.

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b. Evitar hacer preguntas sobre aspecto muy general o muy específico, siempre garantizando que se indaga por un aspecto relevante. c. Incluir solo la información que se considere necesaria para resolver las distintas preguntas. d. Presentar en el enunciado un solo problema o situación.

En las opciones a. Redactar todas las opciones con la misma extensión, el mismo lenguaje y enfoque conceptual buscando que estas completen de forma coherente el enunciado planteado. b. No utilizar en las opciones las mismas palabras significativas que se utilizaron en el enunciado. c. No utilizar expresiones como ninguna de las anteriores, todas las anteriores, o más de una de las anteriores, así como el uso de determinantes tales como siempre y nunca. d. Ordenar las opciones de acuerdo al orden natural que poseen, como en el caso de fechas, o resultados numéricos; revisando que el orden que se plantea no presente alguna indicación o sugerencia de la respuesta correcta. e. Redactarlas de modo que sean posibles para quien no tiene ese nivel de competencia, para ello es necesario que tenga en cuenta las razones por las cuales podría ser seleccionado.

De las preguntas en general a. Utilizar número para designar las preguntas y letras para designar las opciones. b. Evitar el uso de negación en el enunciado o en las opciones de respuesta. c. Utilizar un lenguaje claro y adecuado al nivel de los estudiantes que van a ser evaluados. d. Asegurarse de que la pregunta tiene respuesta. e. Evitar preguntar de opiniones, en caso de que se usen citar fuentes o textos de las que provienen. f. Buscar la independencia entre las preguntas, es decir que el planteamiento de una pregunta o su resolución no se convierta en ayuda para responder otra. g. Asegurarse de que las respuestas correctas en la prueba no sigue ningún patrón en particular, p.e. siempre considerar que la c es la respuesta adecuada.

Es importante anotar que las opciones de respuesta se construyen a partir de distintas aproximaciones conceptuales a un mismo problema, en algunas ocasiones estos se pueden ver como resultado producto de una operación con información incompleta o una visión disciplinar no vigente.

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6. Ejemplos de preguntas

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