1
NĂšMEROS NATURALES: Guiado por la necesidad de negociar, ordenar y contar el hombre empezĂł a hacer uso de piedras, palos, sus dedos, marcas en los ĂĄrboles, pero como cada vez se fue encontrando cantidades cada vez mĂĄs grandes, tuvo que crear sĂmbolos que representaras esa variedad, de tal manera que pudiera diferenciarlas, asĂ se facilitaban mĂĄs sus tareas de arquitectura, cĂĄlculos aproximados de lluvia o sequĂa, distribuciĂłn equitativa de los alimentos, dĂas en que se obtenĂa una cosecha, mercadeo, etc. A partir de esas necesidades surgen los nĂşmeros naturales y debido a su importancia se crea un sĂmbolo que representa a todo su conjunto (â„•). De este conjunto se generan dos operaciones la suma (cĂĄlculos en las ganancias diarias de una venta, las propiedades, nĂşmero de integrantes por familia, etc.) y la multiplicaciĂłn (cĂĄlculos en el aumento en cosechas, pesca, poblaciĂłn, etc.). Partes de la suma ďƒź En una empresa la cantidad de empleados era inicialmente de 105, si ingresaron 10 mĂĄs, ÂżcuĂĄntos empleados hay ahora? 105 + 10 = 115 đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘™đ?‘’đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘ SUMANDOS 105 y 10
SUMA O TOTAL 115
Partes de la multiplicaciĂłn ďƒź En una caja caben 10 libros de matemĂĄticas para primaria, un camiĂłn sale rumbo a los colegios con 70 cajas. ÂżCuĂĄntos libros caben en 70 cajas? 70 ∗ 10 = 700 đ?‘™đ?‘–đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ FACTORES 70 y 10
PRODUCTO 700
Al momento de sumar o multiplicar se observar algunas propiedades que ĂŠstas operaciones poseen. Propiedades de la suma Propiedad asociativa ďƒ˜ En Hallowen Rita le regala 15 dulces a Manuel, 8 a SofĂa, un minuto despuĂŠs llega Gabriel y le da 12, en total ella regalĂł 35 dulces. ÂżHabrĂa regalado lo
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mismo si primero le hubiese repartido a Manuel y pasado un minuto a SofĂa y Gabriel? (15 + 8) + 12 = 35 15 + (8 + 12) = 35 (15 + 8 ) + 12 = 15 + (8 + 12) = 35 đ?‘‘đ?‘˘đ?‘™đ?‘?đ?‘’đ?‘
Propiedad conmutativa ďƒ˜ JuliĂĄn afirma que por estudiar 5 horas para el examen de espaĂąol y 7 horas para el examen de matemĂĄticas no obtuvo buenos resultados, su rendimiento habrĂa sido diferente si hubiese estudiado 7 horas de matemĂĄticas primero y 5 horas de espaĂąol despuĂŠs. ÂżTiene la razĂłn? 5 + 7 = 12 7 + 5 = 12 5 + 7 = 7 + 5 = 12 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘œ
Propiedad – elemento neutro ďƒ˜ A las 3 de la tarde lucĂa habĂa vendido 18 perfumes, 4 horas despuĂŠs lucĂa no vendiĂł nada. ÂżCuĂĄntos perfumes vendiĂł LucĂa? 18 + 0 = 18 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘ đ?‘Łđ?‘’đ?‘›đ?‘‘đ?‘–đ?‘‘đ?‘œđ?‘
Propiedades de la multiplicaciĂłn Propiedad asociativa ďƒ˜ Una empresa que fabrica gaseosas empaca 25 botellas en una caja y distribuye por cada camiĂłn 75 cajas, al dĂa salen 30 camiones de la empresa, el contador cree que si los cĂĄlculos de ĂŠstas distribuciones del producto no se hacen en orden, se pueden obtener resultados incorrectos. ÂżCĂłmo ayudarlo? (25 Ă— 75) Ă— 30 = 56.250 25 Ă— (75 Ă— 30) = 56.250 (25 Ă— 75) Ă— 30 = 25 Ă— (75 Ă— 30) = 56.250 đ?‘”đ?‘Žđ?‘ đ?‘’đ?‘œđ?‘ đ?‘Žđ?‘ đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Žđ?‘
Kingooz
2
Propiedad Conmutativa ďƒ˜ Esteban en clase de matemĂĄticas afirma que para las elecciones del personero se pueden conocer el total de estudiantes que deben que votar en el colegio si se multiplica el nĂşmero de estudiantes que hay en cada salĂłn por el total de salones o el total de salones por la cantidad de estudiantes en cada salĂłn. Si en un salĂłn hay 35 estudiantes y el colegio tiene 22 salones. ÂżCrees que Esteban se merece un 5 por su idea? 35 Ă— 22 = 770 22 Ă— 35 = 770 35 Ă— 22 = 22 Ă— 35 = 770 đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘
Propiedad distributiva ďƒ˜ MartĂn en al dĂa vende 2 vacas y 4 gallinas, ÂżCuĂĄntos animales vende en 7 dĂas?, Âżse obtiene el mismo resultado si se calcula la cantidad de vacas en 7 dĂas y se suma con la cantidad de gallinas en 7 dĂas? 7 Ă— (2 + 4) = 7 Ă— 6 = 42 (7 Ă— 2) + (7 Ă— 4) = 14 + 28 = 42 7 Ă— (2 + 4) = (7 Ă— 2) + (7 Ă— 4) = 42 đ?‘Žđ?‘›đ?‘–đ?‘šđ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘
Propiedad – elemento neutro ďƒ˜ JosĂŠ reparte 300.000 pesos como herencia a cada miembro de su familia. ÂżCuĂĄnto dinero le corresponde a una sola persona? 300.000 Ă— 1 = 300.000 đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘œđ?‘
NĂšMEROS ENTEROS AdemĂĄs de ganancias, en la antigĂźedad se presentaban deudas, perdidas de cosecha, ganado, propiedades, etc. Para diferenciar las pĂŠrdidas de las ganancias ellos utilizaban elementos de diferente color, textura o apariencia. La simbologĂa que se usĂł tambiĂŠn fue exclusiva para ese tipo de necesidades. Surgiendo asĂ el conjunto de nĂşmeros enteros representados por el sĂmbolo ℤ. Dentro del conjunto de los enteros se encuentran los nĂşmeros naturales. De la relaciĂłn que se establece entre los nĂşmeros naturales y los enteros surge una nueva operaciĂłn, la resta entre cantidades.
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3
Partes de la resta
4
ďƒź En el equipo de fĂştbol “los vencedoresâ€? habĂa inicialmente 12 jugadores, en el desarrollo del partido se lesionaron 2. ÂżCuĂĄntos jugadores quedaron al finalizar el partido? 12 − 2 = 10 đ?‘—đ?‘˘đ?‘”đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ El -2 simboliza la pĂŠrdida de dos jugadores. El resultado que se obtuvo fue un nĂşmero natural, el conjunto de los nĂşmeros enteros toma las cantidades debidas o faltantes con un signo negativo a su derecha. Analicemos otra situaciĂłn.
ďƒź Sonia tenĂa una deuda en el banco de 450.000 pesos, hoy en la maĂąana abonĂł 120.000 pesos, ÂżCuĂĄnto dinero le queda por pagar? −450.000 + 120.000 = −330.000 đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘œđ?‘ ÂżCĂłmo se hizo esto? Es evidente que la cantidad que abona es mĂĄs pequeĂąa que la cantidad que debe, por lo tanto sigue presentando la deuda hasta no ser cancelada por completo, es decir, el signo negativo en el resultado se obtendrĂĄ siempre que la cantidad mayor sea negativa, es por esto que el resultado final del ejemplo tiene el signo negativo. Estos nĂşmeros se conocen como nĂşmeros negativos.
MINUENDO 12 -450.000
SUSTRAENDO -2 120.000
DIFERENCIA 10 -330.000
Propiedades de la resta No es conmutativa ďƒ˜ Tener cinco hectĂĄreas de terreno y perder dos por causa del fenĂłmeno del niĂąo, no es igual a tener dos hectĂĄreas y haber perdido cinco por la misma causa. 5 − 2 = 3 đ?‘Ś 2 − 5 = −3 5−2 ≠2−5 ďƒ˜ Por el mismo argumento anterior, la resta no es asociativa.
Propiedad – elemento neutro
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ďƒ˜ Juliana debe a sus papĂĄs 56.000 pesos, ella prometiĂł abonarles una cantidad de dinero para disminuir esa deuda. Si al finalizar el dĂa Juliana no abonĂł nada, Âżsigue teniendo la misma deuda? − 7 + 0 = −7
NĂšMEROS RACIONALES Partiendo de la necesidad de dividir, partir o repartir sus posesiones, escoger partes del dĂa para dedicarse a hacer tareas diferentes, etc. El hombre llamĂł esas partes fracciones, teniendo en cuenta que pertenecĂan a un todo o a una unidad. En la antigĂźedad se usaba un Ăłvalo que representaba parte o partido, que iba acompaĂąado de la cantidad en que se partĂa la unidad. En el conjunto de los nĂşmeros racionales se encuentran las fracciones, los nĂşmeros naturales y los nĂşmeros enteros. Este conjunto se representa por medio del sĂmbolo â„š. Partes de la divisiĂłn ďƒź Mayerly tiene 8 chocolates y desea repartirlos entre dos amigos. ÂżCuĂĄntos chocolates le corresponden a cada uno? 8 = 4 đ?‘?â„Žđ?‘œđ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘˘đ?‘›đ?‘œ 2
DIVIDENDO 8
DIVISOR 2
COCIENTE 4
RESIDUO 0
Partes de una fracciĂłn ďƒź MarĂa lleva una canasta con 6 frutas para su picnic, 2 de estas frutas son manzanas. ÂżCĂłmo representar la cantidad de manzanas si sabemos que hay 6 frutas? La unidad es el conjunto de frutas, esa unidad se divide en 6 frutas, ese es el total. 2 đ?‘’đ?‘ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘šđ?‘Žđ?‘›đ?‘§đ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ â„Žđ?‘Žđ?‘Ś đ?‘’đ?‘› đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž 6
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5
NUMERADOR 2
DENOMINADOR 6
El denominador me indica las partes en las que se divide la unidad y el numerador la cantidad que se toma de esa unidad, en este caso, lo que se toma son las 6 manzanas. GrĂĄficamente es una opciĂłn para ver la situaciĂłn que se plantea. La unidad estĂĄ dividida en 6 partes, el color rojo representa la cantidad de manzanas y el verde las frutas otras frutas de la canasta.
ďƒź En una conferencia hecha sobre las implicaciones ambientales que tiene el cambio climĂĄtico asistieron 10 mujeres y 14 hombres. ÂżQuĂŠ parte del total de conferencistas son mujeres y quĂŠ parte del total de conferencistas son hombres? En total asistieron 10 + 14 = 24 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘“đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Ž. La unidad es el conjunto de personas y ese conjunto estĂĄ dividido en 24 personas, 10 pero de esas 24 se sabe que hay 10 mujeres, por lo tanto se representa , ademĂĄs 24 14 esa unidad se divide tambiĂŠn en 14 hombres . De esta manera encontramos quĂŠ 24 parte de mujeres y quĂŠ parte de hombre asistieron a la conferencia. GrĂĄficamente.
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6
7
NUMERADOR 10 14
DENOMINADOR 24 24 Tipos de fracciones
Fracciones homogéneas Julio y su hermana para ver una película, pidieron una pizza que trae 8 porciones, 5 de esas porciones son para Julio y el resto son para su hermana. La unidad es la pizza y está dividida en 8 porciones, de ese total de porciones se toman 5 para Julio y 3 para su hermana. 5 8
;
3 8
Las fracciones homogéneas tienen igual denominador. Gráficamente.
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Fracciones heterogĂŠneas
8
ďƒź En la sala de urgencias A se encuentran 5 pacientes de los cuĂĄles 3 van por fuertes dolores de estĂłmago, en la sala B, esperan 7 pacientes, 4 van por sĂntomas de gripe. ÂżQuĂŠ parte de pacientes esperan en la sala A con dolor de estĂłmago y quĂŠ parte de pacientes esperan en la sala B con sĂntomas de gripe? En la sala A la unidad se encuentra dividida en 5 pacientes, de esos se toman 3. En la sala B la unidad se encuentra dividida en 7 pacientes, de esos se toman 4. 3 5
;
4 7
Las fracciones heterogĂŠneas tienen distinto denominador. GrĂĄficamente.
Existe otro mĂŠtodo para la suma y resta de fracciones heterogĂŠneas, utilizando el mĂnimo comĂşn mĂşltiplo. Paso 1 Se calcula el mĂnimo comĂşn mĂşltiplo de los denominadores, y ese valor es el denominador comĂşn de todas las fracciones. Paso 2 Se divide el mĂnimo comĂşn mĂşltiplo por el denominador de cada fracciĂłn y el cociente obtenido se multiplica por el numerador. ďƒź Resuelve: 1 5 2 + + 2 6 4
đ?‘Ś
2 7 3 − − 5 10 4
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La suma y resta de fracciones tienen diferente denominador, es claro que estamos trabajando con fracciones heterogĂŠneas. Calculemos el mĂnimo comĂşn mĂşltiplo de los denominadores para la suma.
Tomando los factores comunes tenemos que đ?‘€. đ??ś. đ?‘€ (2, 6, 4) = 2 Ă— 2 Ă— 3 = 12 siendo este valor el nuevo denominador para cada fracciĂłn. Dividamos el mĂnimo comĂşn mĂşltiplo de 2, 6 y 4, para obtener el valor que multiplicarĂĄ a cada numerador. 12 á 2 = 6 12 á 6 = 2 12 á 4 = 3 El denominador 2 tiene por numerador a 1, por lo tanto multiplicamos el cociente de la divisiĂłn del mĂnimo comĂşn mĂşltiplo entre 2. AsĂ mismo el cociente que se obtuvo al dividir por el denominador 6 se multiplica por su numerador 5 y por Ăşltimo el cociente 3 multiplicarĂĄ por el numerador 2. 1Ă—6=6 5 Ă— 2 = 10 2Ă—3=6
Miremos la transformaciĂłn de la suma de fracciones 1 5 2 + + 2 6 4
6 10 6 + + 12 12 12
Cada fracciĂłn tiene el mismo denominador, recordemos que si dos o mĂĄs fracciones tienen el mismo denominador son fracciones homogĂŠneas. Las fracciones homogĂŠneas permiten suman los numeradores de forma directa, dejando el mismo denominador. 6 10 6 6 + 10 + 6 22 + + = = 12 12 12 12 12
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9
10 Ahora calculemos el mĂnimo comĂşn mĂşltiplo de los denominadores para la diferencia.
De los factores comunes y no comunes tenemos que đ?‘€. đ??ś. đ?‘€ (5, 10, 4) = 2 Ă— 2 Ă— 5 = 20 Dividiendo el mĂnimo comĂşn mĂşltiplo de 5, 10 y 4, obtenemos. 20 á 5 = 4 20 á 10 = 2 20 á 4 = 5 El denominador 5 tiene por numerador a 2, por lo tanto multiplicamos el cociente de la divisiĂłn del mĂnimo comĂşn mĂşltiplo entre 5. AsĂ mismo el cociente que se obtuvo al dividir por el denominador 10 se multiplica por su numerador 7 y por Ăşltimo el cociente 5 multiplicarĂĄ por el numerador 3. 2Ă—4=8 7 Ă— 2 = 14 3 Ă— 5 = 15
Miremos la transformaciĂłn de la diferencia de fracciones heterogĂŠneas a fracciones homogĂŠneas. 2 7 3 + + 5 10 4
8 14 15 + + 20 20 20
La resta de fracciones homogĂŠneas se hace al igual que la suma, restando los numeradores de forma directa, recuerda dejar el mismo denominador. 8 14 15 8 + 14 + 15 37 + + = = 20 20 20 20 20
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11 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES – FRACCIONES EQUIVALENTES Simplificar (o reducir) fracciones significa hacer la fracción lo más simple posible. Veamos este proceso gráficamente:
=
=
4 6
8 12
2 3
LAS FRACCIONES EQUIVALENTES TIENEN EL MISMO VALOR AUNQUE SUS NUMERADORES Y DENOMINADORES PAREZCAN DIFERENTES. Recordemos que el denominador de una fracción indica las partes en las que divido la unidad y el numerador indica las partes que tomo. Como vemos en cada figura, el numerador de cada fracción está sombreado de color morado. En la primera se toman 8 partes, en la segunda 4 y en la tercera 2, también es fácil percibir en los tres círculos que el espacio resaltado de color morado es el mismo en cada una de las tres representaciones, así como el espacio resaltado de color verde, es decir el espacio que no se toma es el mismo en los tres círculos. Por este motivo aunque visualmente las tres fracciones se ven diferentes, su valor es el mismo.
Es así que,
8 12
Es por ello que
es equivalente a
8 12
4 6
y a su vez estas dos fracciones equivalentes a
lo podemos escribir como
4 6
2 3
y reduciendo aún más la fracción como
2 3
¿CÓMO PUEDO SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN? Se cuenta con dos métodos muy útiles al momento de simplificar una fracción, tú escoges con el que mejor trabajes. Método 1
Kingooz
Dividir el numerador y el denominador de la fracciĂłn por el mismo nĂşmero primo. ďƒź
Simplificar
12
90 120
ďƒź El primer primo es 2 y 2 divide tanto a 90 como a 120. 90 á 2 = 45 đ?‘Ś 120 á 2 = 60 ďƒź 60 es divisible por 2 pero 45 no, es por esto que debemos buscar un nĂşmero que dividida tanto a 60 como a 45 y el siguiente nĂşmero en la lista de los primos es 3. 45 á 3 = 15 đ?‘Ś 60 á 3 = 20 ďƒź 20 es divisible por 2 y 15 es divisible por 3, pero se pueden utilizar diferentes divisores, por tal motivo seguimos el proceso de reducciĂłn con el siguiente primo que es 5. 15 á 5 = 3 đ?‘Ś 20 á 5 = 4
ďƒź
El único primo que divide a 4 es 2, pero 2 no divide a 3, como no existe ningún primo 90 que divida a 3 y 4 al mismo tiempo finaliza la simplificación o reducción de 120 3 transformada en 4 á2
90 120
=
á2
á3
45 60
=
á3
á5
15 20
=
3 4
á5
MĂŠtodo 2 Divide el numerador y el denominador de la fracciĂłn por el mĂĄximo comĂşn divisor.
ďƒź Simplificar
28 56
1. Descompongamos el numerador y el denominador de la fracciĂłn.
Kingooz
13
Los factores comunes son 2 y 7, seleccionando la menor cantidad de veces en que se repite cada valor tenemos: đ?‘€. đ??ś. đ??ˇ (28 , 56) = 2 Ă— 2 Ă— 7 = 28 2. Dividimos el numerador y el denominador por 28. 28 á 28 = 1 đ?‘Ś 56 á 28 = 2 Finalmente. á 28
28 1 = 56 2 á 28
¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN PROPIA Y UNA FRACCIÓN IMPROPIA? 
Una fracciĂłn es propia si su numerador es mĂĄs pequeĂąo que el denominador. 8 16

Una fracciĂłn es impropia si su numerador es mĂĄs grande que su denominador. 69 8
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NÚMERO MIXTO Yohanna compró 2
1 2
14
metros de tela para diseñar su vestido de fiesta.
En este caso tenemos 2 unidades completas, la fracción me indica que hay una unidad más dividida en dos partes por el denominador, de las cuales sólo tomamos una, es por esto que sólo tenemos dos unidades y no tres. Partes de un número mixto PARTE ENTERA 2
NUMERADOR 1
DENOMINADOR 2
Partir o repartir es lo mismo que dividir la unidad en una cierta cantidad de partes, así es como surge la división.
¿CÓMO PUEDO PASAR UNA FRACCIÓN IMPROPIA A UN NÚMERO MIXTO Y UN NÚMERO MIXTO A UNA FRACCIÓN IMPROPIA? Transformemos
69 8
a un número mixto.
El primer paso es dividir el numerador entre el denominador.
Para formar el número mixto el cociente de la división será la parte entera, el residuo el denominador y el divisor que es el denominador de la fracción impropia también será el denominador del número mixto. Es decir, 8
5 8
Kingooz
De esta manera, la fracción impropia
69 8
tansformada en un número mixto es 8
Ahora transformemos el número mixto 8
5 8
5 8
a una fracción impropia.
Lo primero que se debe hacer es multiplicar la parte entera por el denominador de la fracción. 8 × 8 = 64 El siguiente paso a seguir es sumar el numerador a ese producto que obtuvimos. 5 + 64 = 69 69 es el numerador que necesitamos para formar la fracción impropia. Por último es clave tener claro que el denominador de un número mixto es el mismo denominador para la fracción impropia, este siempre será el mismo. 69 8 Vimos que
69 8
transformada a un número mixto es 8
a fracción impropia es
5 8
y éste a su vez transformado
69 69 . Esto quiere decir que y 8 8
8
5 8
son fracciones
equivalentes.
UBICACIÓN DE LAS FRACCIONES PROPIAS E IMPROPIAS Y NÚMEROS MIXTOS EN EL PLANO Recordemos que cuando hablamos de fracciones propias, estamos tomando como punto de partida una unidad-un todo, y esa unidad se divide en el número de partes que indique el denominador de la fracción y se tomarán sólo las partes que diga el numerador. La ubicación de las fracciones propias en una recta, tiene el mismo proceso, es decir, nuestra recta será la unidad y la dividiremos en el total de partes que diga el denominador de la fracción y la ubicación de ésta la dará el punto en donde tomemos el total de partes que da el numerador de una fracción.
Representemos en la recta numérica
8 12
Primero dividamos la recta en 12 partes iguales por que ese es el denominador de la fracción.
Kingooz
15
16
Después tomamos las 8 partes que indica el numerador de la fracción y ubicamos el punto en dónde quedará la fracción sobre la recta.
8 12
Como vimos en la simplificación de fracciones Ubiquemos en la recta
4 6
y
8 12
se reducir a
4 6
y a su vez en
2 3
2 3
Siempre dividimos la recta en las partes que diga el denominador y tomamos lo que indique el numerador.
4 6
2 3 Observe que todos los puntos en los que ubicamos a cada fracción coinciden en el mismo espacio, recordemos que estas tres fracciones son equivalentes, este es el mismo de la misma ubicación de cada una de ellas en la recta.
Representar en la recta numérica 2
1 3
y
7 3
Para el caso del número mixto, como la parte entera es mayor que uno, ya no vamos a trabajar con 1 unidad, vamos a trabajar con 2 que es la parte entera, más una unidad en la que ubicaremos la fracción, la cual será dividida en 3 partes y se tomará 1.
Kingooz
17
2 La fracción impropia
1 3
7
para ser representada en la recta numérica necesita tomar 3 más de una unidad, ya que las 7 partes que debo tomar, son más de las 3 que puedo partir en la unidad. Tomando otra unidad más, dividida en 3 partes, de nuevo lo máximo que puedo tomar son 3 partes, contando las partes que tomé en la unidad anterior y sumándole éstas, tendría un total de 6 partes, y el numerador me dice que debo tomar 7, por lo tanto se hace necesario una tercera unidad. Veámoslo en la recta numérica.
7 3 La ubicación del número mixto por este motivo que 2
1 3
y
7 3
2
1 3
es la misma que la de la fracción impropia
7 3
es
son fracciones equivalentes.
Grafica en la recta numérica
5 5
y
9 9
La unidad en esta fracción se divide en 5 partes, gracias al numerador. Puede sonar raro o presentarse confusiones, pero en algo muy sencillo. Es clave preguntarse. ¿Qué valor toma la fracción en la recta numérica?
Kingooz
18
5 5
La Ăşnica diferencia de esta fracciĂłn con la anterior es el nĂşmero que estĂĄ tanto en el numerador como en el denominador, por todo lo demĂĄs, el proceso es el mismo. La unidad se dividirĂĄ en 9 partes, porque asĂ lo dice el denominador, pero el numerador dice que tengo que tomar 9 partes. Pero, ÂżquĂŠ valor tomarĂĄ esta fracciĂłn?
9 9 El valor que tomĂł cada fracciĂłn fue de la unidad. 5 =1 5
đ?‘Ś
9 =1 9
Por lo tanto, se puede afirmar que para cualquier fracciĂłn que tenga igual numerador y denominador su valor serĂĄ siempre 1.
Partes de la divisiĂłn ďƒź Mayerly tiene 8 chocolates y desea repartirlos entre dos amigos. ÂżCuĂĄntos chocolates le corresponden a cada uno? 8 = 4 đ?‘?â„Žđ?‘œđ?‘?đ?‘œđ?‘™đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž đ?‘˘đ?‘›đ?‘œ 2
Kingooz
DIVIDENDO 8
DIVISOR 2
COCIENTE 4
RESIDUO 0
De las fracciones se obtienen los nĂşmeros decimales, ĂŠstos se clasifican en exactos y periĂłdicos (puros, mixtos).
ďƒź Carmenza comprĂł 5 metros de tela que utilizarĂĄ para diseĂąar dos blusas. Ella desea utilizar la misma cantidad de tela para las dos blusas. ÂżCuĂĄntos metros de tela utilizarĂĄ para cada blusa? 5 = 2,5 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘?đ?‘™đ?‘˘đ?‘ đ?‘Ž 2 
2,5 es un decimal exacto.
ďƒź Camilo recorre un kilĂłmetro en su bicicleta haciendo 9 pausas para descansar. ÂżCuĂĄntos kilĂłmetros recorre Camilo en cada pausa? 1 = 0,11111 ‌ đ?‘˜đ?‘–đ?‘™Ăłđ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ 9 
0,11111‌ es un decimal periódico – puro, el número que se repite estå a la derecha de la coma.
ďƒź Carlos escala 1 pie en 12 horas, ÂżCuĂĄntos pies escala en una hora? 1 = 0,083333 ‌ đ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž 12 
0,083333‌ es un decimal periódico – mixto, el número que se repite no es el primero que aparece despuÊs de la coma.
ďƒ˜ La divisiĂłn no tiene las propiedades conmutativa, asociativa y elemento neutro.
Kingooz
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20
ORDEN EN LAS OPERACIONES Gran variedad de operaciones combinan adición, sustracción, multiplicación y división con signos de agrupación (paréntesis ( ), corchetes [ ] , llaves { }) para su solución. Cuando las sumas y las restas no están separadas por paréntesis, corchetes o llaves, el orden que seguiremos es realizar las operaciones tomando las dos primeras cantidades ubicadas a la izquierda. 45 − 36 + 72 + 10 − 29 = 9 + 72 + 10 − 29 = 81 + 10 − 29 = 91 − 29 = 62
OPERACIONES CON PARÉNTESIS 72 × (25 − 12) = 72 × 13 = 936
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OPERACIONES CON PARÉNTESIS Y CORCHETES 32 + [45 − (16 á 8)] = 32 + [45 − 2] = 32 + 43 = 75
OPERACIONES CON PARÉNTESIS, CORCHETES Y LLAVES 15 + {64 − [30 á (5 Ă— 6)] + 7} = 15 + {64 − [30 á 30] + 7} = 15 + {64 − 1 + 7} Para resolver lo que estĂĄ dentro de las llaves aplico el orden de soluciĂłn de las dos primeras cantidades ubicadas a la izquierda, este mismo proceso aplica si en vez de llaves tuviĂŠramos parĂŠntesis o corchetes. = 15 + {63 + 7} = 15 + 70 = 85
ÂżQuĂŠ orden se debe seguir cuĂĄndo las 4 operaciones (suma, resta, multiplicaciĂłn y divisiĂłn) no estĂĄn separadas por parĂŠntesis, corchetes o llaves? 24 Ă— 15 + 32 á 8 − 14 Para estos casos lo primero que se resuelve son las multiplicaciones y las divisiones. 24 Ă— 15 = 360
đ?‘Ś
32 á 8 = 4
24 Ă— 15 + 32 á 8 − 14 = 360 + 4 − 14 = 364 − 14 = 350
Kingooz
21
1
Las razones se utilizan para comparar dos cantidades, suelen expresarse por medio de una fracción. Una razón puede presentar la relación entre cantidades de la misma magnitud o cantidades de distinta magnitud. Comparemos las cantidades � ,y, � con � ≠0. En las razones � es llamado antecedente y � es llamado consecuente. �: � ó �/� ;
đ?‘Ľ đ?‘Ś
đ?‘†đ?‘’ đ?‘™đ?‘’đ?‘’ "đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ž đ?‘Ś". PROBLEMA 1. -
4 de cada 10 personas botan la basura en la caneca correspondiente.
ÂżCuĂĄl es relaciĂłn entre el nĂşmero de personas que botan la basura correctamente y el total de personas del estudio? SOLUCIĂ“N. Cuando se habla de relaciĂłn entre cantidades, se hace referencia a la comparaciĂłn entre esas cantidades, por tanto, los datos se expresan como una razĂłn. 4: 10 Ăł
4 10
En esta razĂłn 4 es el antecedente y 10 es el consecuente.
PROBLEMA 2. -
En una academia hay 4 salas en las que se practica un tipo de danza diferente.
En la sala A asisten 8 personas. En la sala B asisten 10 personas. En la sala C asisten 12 personas. En la sala D asisten 6 personas. ÂżCuĂĄl es la razĂłn entre el total de personas en las cuatro salas y la cantidad de personas que hay en las salas B y D?
Kingooz
SOLUCIĂ“N.
2
El total de personas en las cuatro salas es: đ?‘†đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ž đ??´ + đ?‘†đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ž đ??ľ + đ?‘†đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ž đ??ś + đ?‘†đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ž đ??ˇ = 8 + 10 + 12 + 6 = 36 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘ . La cantidad de personas en las salas B y D es: đ?‘†đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ž đ??ľ + đ?‘†đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ž đ??ˇ = 10 + 6 = 16 đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘ . Comparando las dos cantidades obtenidas se tiene: 36 9 = đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘ đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘ 16 4 Por lo tanto, la razĂłn entre el total de personas que asisten a la academia y la cantidad de personas que hay en las salas B y D es: 9: 4 Ăł
9 4
PROBLEMA 3. -
Un auto elĂŠctrico diseĂąado para la preservaciĂłn del medio ambiente recorre 26 kilĂłmetros en 2 horas. ÂżCuĂĄl es la razĂłn entre la distancia recorrida y el tiempo empleado?
SOLUCIĂ“N. Se tienen dos cantidades de magnitudes diferentes: kilĂłmetros/hora. La razĂłn que hay entre la distancia recorrida y el tiempo empleado es: 26 13đ?‘˜đ?‘š = 2 1â„Ž Por lo tanto la razĂłn es: 13: 1 Ăł
13 1
SERIES DE RAZONES IGUALES Una serie de razones es una igualdad entre dos o mĂĄs razones equivalentes. Las razones: 10 25 15 , đ?‘Ś 12 30 18
Kingooz
Forman una serie de razones iguales por que al simplificarlas se obtiene la razĂłn: 5 6 Es decir, las razones son equivalentes: 5 10 25 15 = = = 6 12 30 18 Para toda serie de razones iguales, cada razĂłn serĂĄ igual a la suma de la razĂłn entre los antecedentes y la suma de los consecuentes. đ?‘Ž đ?‘? đ?‘’ = = =â‹Ż đ?‘? đ?‘‘ đ?‘“
=
đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘’+â‹Ż đ?‘?+đ?‘‘+đ?‘“+â‹Ż
5 10 15 25 = = = 6 12 18 30
=
5 + 10 + 15 + 25 6 + 12 + 18 + 30
Aplicando lo anterior:
55 66
=
55 5 = 66 6
PROBLEMA 4. -
Encuentre los valores de đ?‘Ľ ,y, đ?‘Ś si: đ?‘Ľ đ?‘Ś = , đ?‘Ś, 4 16
đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 10
SOLUCIĂ“N. Por series de razones iguales tenemos: đ?‘Ľ đ?‘Ś = 4 16
đ?‘Ľ+đ?‘Ś 4 + 16
=
Reemplazando đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 10 y resolviendo la adiciĂłn: đ?‘Ľ đ?‘Ś = 4 16
=
Observemos que: đ?‘Ľ 10 = 4 20 Encontremos el valor de đ?‘Ľ.
Kingooz
10 20
3
Despejando đ?‘Ľ, obtenemos:
4
10 Ă— 4 40 đ?‘Ľ= = =2 20 20 Finalmente, encontremos el valor de đ?‘Ś. Usemos đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 10 y reemplacemos el valor đ?‘Ľ = 2. Entonces: 2 + đ?‘Ś = 10 Despejamos y, obtenemos: đ?‘Ś = 10 − 2 = 8 De esta manera, đ?‘Ľ = 2 ,y, đ?‘Ś = 8.
APLICACIONES PROBLEMA 5. Dos personas que parten del mismo punto, a la misma hora y se dirigen al mismo 8 destino estån en una relación de distancia de 12. Si la suma del antecedente y el consecuente es igual a 60 �. Encuentre las distancias. SOLUCIÓN. Observemos que 8 + 12 ≠60. Por tanto, debemos encontrar primero el valor que al multiplicarse con el antecedente y el consecuente cumpla con el resultado en la adición. Recordemos que las razones tienen razones equivalentes: 8 8(�) = 12 12(�) Debe cumplirse: 8� + 12� = 60 20� = 60 �=
60 =3 20
Reemplazamos el valor đ?‘Ž = 3 en la razĂłn: 8đ?‘Ž 8Ă—3 24 = = 12đ?‘Ž 12 Ă— 3 36
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Por tanto, las distancias son 24 y 36 metros.
5
PROBLEMA 6. -
El perĂmetro de una cancha de fĂştbol mide 420đ?‘š, y la razĂłn entre las medidas de sus lados es 4: 3. Calcule el ĂĄrea de la cancha de fĂştbol.
SOLUCIĂ“N. El perĂmetro de cualquier figura geomĂŠtrica es la suma de todos sus lados. đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘Ś = 420 2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 420 Planteando las condiciones del enunciado tenemos: đ?‘Ľ 4 = đ?‘Ś 3 4
Pero necesitamos encontrar el valor de los lados de la cancha de fĂştbol, 3 es la razĂłn entre las medidas de los lados de la cancha de fĂştbol, no son sus lados. Entonces, planteamos una razĂłn equivalente: đ?‘Ľ 4(đ?‘Ž) = đ?‘Ś 3(đ?‘Ž) Reemplazamos esta razĂłn en la adiciĂłn: 2đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 420 2(4đ?‘Ž) + 2(3đ?‘Ž) = 420 8đ?‘Ž + 6đ?‘Ž = 420 14đ?‘Ž = 420
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đ?‘Ž=
420 = 30 14
Reemplazamos el valor đ?‘Ž = 30 en la razĂłn: 4đ?‘Ž 4(30) 120 = = 3đ?‘Ž 3(30) 90 Entonces, đ?‘Ľ 120 = đ?‘Ś 90 El ĂĄrea de un rectĂĄngulo es el producto entre su base y su altura. Como đ?‘Ľ = 120 ,y, đ?‘Ś = 90 el ĂĄrea de la cancha de fĂştbol es: 120đ?‘š Ă— 90đ?‘š = 10.800đ?‘š2
PROBLEMA 7. -
En una serie de razones los antecedentes son 2,9 y 13, si la suma de los consecuentes es 48. ÂżCuĂĄl es la suma de los dos Ăşltimos consecuentes?
SOLUCIĂ“N. Sean đ?‘Ž, đ?‘? y đ?‘? los consecuentes de las razones: 2 9 13 = = đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? 2 9 13 2 + 9 + 13 24 = = = = đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? 48 48 Simplificando la adiciĂłn de razones: 24 1 = 48 2 Hallemos el valor del consecuente đ?‘Ž tomando dos razones equivalentes. 2 1 = đ?‘Ž 2 Despejando đ?‘Ž, obtenemos: đ?‘Ž=
2Ă—2 =4 1
Ahora hallemos el valor del consecuente đ?‘?, de la misma forma:
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6
2 9 = 4 đ?‘? Despejando đ?‘?, obtenemos: đ?‘?=
9Ă—2 = 18 1
Finalmente hallamos el valor del consecuente c: 9 13 = 18 đ?‘? Despejando đ?‘?, obtenemos: đ?‘?=
13 Ă— 2 = 26 1
Por lo tanto, la suma de los dos Ăşltimos consecuentes đ?‘? y đ?‘? es: đ?‘? + đ?‘? = 18 + 26 = 44
PROPORCIONES Una igualdad entre dos o mĂĄs razones es una proporciĂłn. đ?‘Ľ đ?‘¤ = đ?‘Ś đ?‘Ł đ?‘Ľ: đ?‘Ś = đ?‘¤: đ?‘Ł đ?‘ đ?‘’ đ?‘™đ?‘’đ?‘’ "đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ž đ?‘Ś đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘œ đ?‘¤ đ?‘’đ?‘ đ?‘Ž đ?‘Ł"
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES
En toda proporciĂłn, el producto de los tĂŠrminos extremos es igual al producto de los tĂŠrminos medios. Es decir:
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7
� � = � �
đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘
�� =��
Ejemplo: 11 22 = 14 28 Aplicando el teorema fundamental de las proporciones tenemos: 11 Ă— 28 = 14 Ă— 22 308 = 308 Con esta propiedad es posible saber si dos razones presentadas como proporciĂłn lo son realmente.
Propiedades de la proporciĂłn 1. Si se intercambian las razones, la igualdad se mantiene. Sea la proporciĂłn: đ?‘Ľ đ?‘¤ = đ?‘Ś đ?‘Ł Aplicando el teorema fundamental de las proporciones: đ?‘ĽĂ—đ?‘Ł = đ?‘ŚĂ—đ?‘¤ Aplicando la ley conmutativa tenemos: đ?‘ŚĂ—đ?‘¤ =đ?‘ĽĂ—đ?‘Ł Reordenando los elementos a cada lado de la igualdad: đ?‘¤Ă—đ?‘Ś=đ?‘ŁĂ—đ?‘Ľ Expresando en razones obtenemos la Propiedad 1. đ?’˜ đ?’™ = đ?’— đ?’š La proporciĂłn se mantiene igual.
Ejemplo: Sea la proporción: � � = � �
≥
15 5 = 27 9
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8
�� =��
≥
15 Ă— 9 = 27 Ă— 5
15 × 9 = 27 × 5 135 = 135 Aplicando la propiedad 1. � � 5 15 = ≥ = � � 9 27 � × � = � × � ≥ 5 × 27 = 9 × 15 5 × 27 = 9 × 15 135 = 135
2. Si se invierten las razones, la igualdad se mantiene. Sea la proporciĂłn: đ?‘Ľ đ?‘¤ = đ?‘Ś đ?‘Ł Aplicando el teorema fundamental de las proporciones tenemos: đ?‘ĽĂ—đ?‘Ł = đ?‘ŚĂ—đ?‘¤ Aplicando la propiedad conmutativa: đ?‘ŚĂ—đ?‘¤ =đ?‘ĽĂ—đ?‘Ł Expresando en razones obtenemos la Propiedad 2. đ?’š đ?’— = đ?’™ đ?’˜ La proporciĂłn se mantiene igual.
Ejemplo: Sea la proporción: � � 15 5 = ≥ = � � 27 9 � × � = � × � ≥ 15 × 9 = 27 × 5 15 × 9 = 27 × 5
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9
135 = 135 Aplicando la propiedad 2. � � 27 9 = ≥ = � � 15 5 � × � = � × � ≥ 27 × 5 = 15 × 9 27 × 5 = 15 × 9 135 = 135
3. Si se intercambian los tĂŠrminos medios y los tĂŠrminos extremos entre sĂ, se mantiene la igualdad. Sea la proporciĂłn: đ?‘Ľ đ?‘¤ = đ?‘Ś đ?‘Ł
Intercambiando primero los tĂŠrminos medios: đ?‘Ľ đ?‘Ś = đ?‘¤ đ?‘Ł Intercambiando ahora los tĂŠrminos extremos: đ?‘Ł đ?‘Ś = đ?‘¤ đ?‘Ľ Aplicando el teorema fundamental de las proporciones: đ?‘ŁĂ—đ?‘Ľ = đ?‘¤Ă—đ?‘Ś De esta manera obtenemos la Propiedad 3. đ?’— đ?’š = đ?’˜ đ?’™ La proporciĂłn se mantiene igual.
Ejemplo: Sea la proporción: � � 15 5 = ≥ = � � 27 9
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� × � = � × � ≥ 15 × 9 = 27 × 5 15 × 9 = 27 × 5 135 = 135 Aplicando la propiedad 3. � � 9 27 = ≥ = � � 5 15 � × � = � × � ≥ 9 × 15 = 5 × 27 9 × 15 = 5 × 27 135 = 135
4. Si se descomponen las razones, es decir, al sumar o restar el antecedente con el consecuente y manteniendo el consecuente, la igualdad se mantiene. Sea la proporciĂłn: đ?‘Ľ đ?‘¤ = đ?‘Ś đ?‘Ł La propiedad 4 para la suma es: đ?’™+đ?’š đ?’˜+đ?’— = đ?’š đ?’— La propiedad 4 para la diferencia es: đ?’™âˆ’đ?’š đ?’˜âˆ’đ?’— = đ?’š đ?’—
Ejemplo: Sea la proporción: � � 15 5 = ≥ = � � 27 9 Aplicando la propiedad 4 para la suma. �+� �+� 15 + 27 5 + 9 = ≥ = � � 27 9 15 + 27 5 + 9 = 27 9
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42 14 = 27 9 Aplicando la propiedad 4 para la diferencia. đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś đ?‘¤âˆ’đ?‘Ł 15 − 27 5 − 9 = ≥ = đ?‘Ś đ?‘Ł 27 9 15 − 27 5 − 9 = 27 9 −
12 4 =− 27 9
5. Si se descomponen las razones, es decir, al sumar o restar el antecedente con el consecuente y utilizando como consecuente de cada razĂłn su respectivo antecedente. Sea la proporciĂłn: đ?‘Ľ đ?‘¤ = đ?‘Ś đ?‘Ł La propiedad 5 para la suma es: đ?‘Ľ+đ?‘Ś đ?‘¤+đ?‘Ł = đ?‘Ľ đ?‘¤ La propiedad 5 para la diferencia es: đ?’™âˆ’đ?’š đ?’˜âˆ’đ?’— = đ?’™ đ?’˜ Ejemplo: Sea la proporciĂłn: đ?‘Ľ đ?‘¤ 15 5 = ≥ = đ?‘Ś đ?‘Ł 27 9 Aplicando la propiedad 5 para la suma. đ?‘Ľ+đ?‘Ś đ?‘¤+đ?‘Ł 15 + 27 5 + 9 = ≥ = đ?‘Ľ đ?‘¤ 15 5 15 + 27 5 + 9 = 15 5 42 14 = 15 5
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13
Aplicando la propiedad 5 para la diferencia. đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś đ?‘¤âˆ’đ?‘Ł 15 − 27 5 − 9 = ≥ = đ?‘Ľ đ?‘¤ 15 5 15 − 27 5 − 9 = 15 5 −
12 4 =− 15 5
6. Si se componen o descomponen las razones, la igualdad se mantiene. Sea la proporciĂłn: đ?‘Ľ đ?‘¤ = đ?‘Ś đ?‘Ł Propiedad 6 - Componiendo y descomponiendo: đ?‘Ľ+đ?‘Ś đ?‘¤+đ?‘Ł = đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś đ?‘¤âˆ’đ?‘Ł
Ejemplo: Sea la proporciĂłn: đ?‘Ľ đ?‘¤ 15 5 = ≥ = đ?‘Ś đ?‘Ł 27 9 Aplicando la propiedad 6. đ?‘Ľ+đ?‘Ś đ?‘¤+đ?‘Ł 15 + 27 5 + 9 = ≥ = đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ś đ?‘¤âˆ’đ?‘Ł 15 − 27 5 − 9 15 + 27 5 + 9 = 15 − 27 5 − 9 −
42 14 =− 12 4
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Aplicaciones
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PROBLEMA 8. -
En una pista de atletismo, una persona completa 9 vueltas en una hora y otra completa 17 vueltas en dos horas.
SOLUCIÓN. Planteando las razones del enunciado: 9 17 � 1 2 ¿Estas razones son proporcionales? 9 17 ¿ = ? 1 2 ¿ 9 × 2 = 1 × 17? 18 ≠17 Las razones no cumplen el teorema fundamental de las proporciones y por tanto no son una proporción.
PROBLEMA 9. -
En Bucaramanga por cada 9 motos hay 6 carros, en BogotĂĄ por cada 18 motos hay 12 carros.
SOLUCIĂ“N. Planteando las razones del enunciado: 9 18 đ?‘Ś 6 12 Observemos si las razones son proporcionales Âż
9 18 = ? 6 12
Planteando el teorema fundamental de las proporciones: Entonces: 9 Ă— 12 = 6 Ă— 18 108 = 108
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Las razones cumplen con el teorema y, por lo tanto son una proporciĂłn.
PROBLEMA 10. -
Si se debe diluir 60 g de un purgante en 450 ml de agua. ÂżCuĂĄnto purgante debe diluirse en 630 ml de agua?
SOLUCIĂ“N. Planteamos las razones como proporciones. Sea đ?‘Ľ los gramos de purgante que se deben diluir en 630 ml de agua. 60 đ?‘Ľ = 450 630 Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones: 60 Ă— 630 = 450 Ă— đ?‘Ľ Despejando đ?‘Ľ, obtenemos: 60 Ă— 630 =đ?‘Ľ 450 37800 =đ?‘Ľ 450 84 = đ?‘Ľ Por lo tanto, deben diluirse 84 g de purgante en 630 ml de agua.
PROBLEMA 11. -
Encuentre el valor de đ?‘Ľ en la proporciĂłn. 8 4 = đ?‘Ľ + 2 48
SOLUCIĂ“N. Aplicando el teorema fundamental para las proporciones. 8 Ă— 48 = (đ?‘Ľ + 2)4 8 Ă— 48 = 4đ?‘Ľ + 8 384 − 8 = 4đ?‘Ľ 376 =đ?‘Ľ 4
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94 = đ?‘Ľ Por lo tanto el valor de đ?‘Ľ = 94
PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos variables (una dependiente đ?‘Ľ y la otra dependiente đ?‘Ś) son directamente proporcionales si el cociente entre ellas es constante. Sea đ?‘š una constante. đ?‘Ś =đ?‘š đ?‘Ľ Al aumentar o disminuir una variable, la otra aumenta o disminuye respectivamente, en la misma razĂłn. Para entender mejor la proporcionalidad directa veamos un ejemplo. ÂżLa longitud de los lados de un trapecio es directamente proporcional con su perĂmetro? La respuesta es sĂ, a mayor longitud de los lados del trapecio, mayor serĂĄ su perĂmetro.
PROBLEMA 12.
LucĂa recorre 60đ?‘š en 3 minutos. ÂżCuĂĄntos metros recorre LucĂa en 2 minutos y 5 minutos? SOLUCIĂ“N. Para analizar mejor el recorrido y el tiempo que emplea LucĂa haremos una tabla de datos.
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đ?’Ž (đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’?đ?’”) đ?’• (đ?’Žđ?’Šđ?’?đ?’–đ?’•đ?’?đ?’”)
60 1
2
3
17
4
5
Para encontrar los datos faltantes expresemos la proporcionalidad entre dos razones. Sea đ?‘§ los metros que recorre en 2 minutos. 60 đ?‘§ = 3 2 Aplicando el teorema fundamental de las proporciones y despejando đ?‘§ obtenemos: 60 Ă— 2 = 3 Ă— đ?‘§ 120 =đ?‘§ 3 40 = đ?‘§ AsĂ, LucĂa recorre 40 metros en 2 minutos.
Utilicemos el mismo proceso para encontrar los metros recorridos en 5 minutos. 60 đ?‘§ = 3 5 Aplicando el teorema fundamental de las proporciones y despejando đ?‘§ obtenemos: 60 Ă— 5 = 3 Ă— đ?‘§ 300 =đ?‘§ 3 100 = đ?‘§ De esta manera LucĂa recorre 100 metros en 5 minutos.
Aplicando el proceso anterior se encuentran los datos que hacen falta para completar la tabla. đ?’Ž (đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’?đ?’”)
20
40
60
80
100
đ?’• (đ?’Žđ?’Šđ?’?đ?’–đ?’•đ?’?đ?’”)
1
2
3
4
5
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Observemos que entre más distancia se recorra, más tiempo se invertirá en ese proceso.
PROPORCIONALIDAD INVERSA Dos variables (una independiente 𝑥 y la otra dependiente 𝑦) son inversamente proporcionales si el producto entre las variables es constante. 𝑥×𝑦=𝑛 Al aumentar una variable la otra disminuye en la misma razón o al disminuir una variable, la otra aumenta en la misma razón. Para entender mejor la proporcionalidad inversa veamos un ejemplo. ¿La velocidad de un automóvil es inversamente proporcional al tiempo empleado en recorrer el mismo trayecto? La respuestas es sí, a mayor velocidad del automóvil, menor será el tiempo que empleará en recorrer el mismo trayecto.
REGLA DE TRES SIMPLE La regla de tres simple es una operación que ayuda a resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa. Una de las características es que se conocen tres de los cuatro datos que forman una proporción. La operación que se aplica permite hallar el cuarto dato.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Si las magnitudes que se comparan son directamente proporcionales, la regla de tres es simple directa.
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PROBLEMA 15. -
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Si se deben rociar 7.200 litros de veneno sobre un cultivo de tomate de 12 hectĂĄreas para erradicar una plaga que amenaza con acabar el cultivo. ÂżCuĂĄntos litros de veneno se debe rociar sobre un cultivo de 20 hectĂĄreas?
SOLUCIĂ“N. Observemos que entre mĂĄs grande sea el terreno, mĂĄs veneno se debe utilizar para eliminar la plaga. Por lo tanto, el ejercicio es de regla de tres simple directa.
Escribamos la proporciĂłn: đ??żđ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Łđ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘›đ?‘œ (đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ 1) đ??ťđ?‘’đ?‘?đ?‘ĄĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘ (đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ 1) = đ??żđ?‘–đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Łđ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘›đ?‘œ (đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ 2) đ??ťđ?‘’đ?‘?đ?‘ĄĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘ (đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ 2) Reemplazando los datos: Sea đ?‘Ľ los litros que se deben rociar en un cultivo de 20 hectĂĄreas. 7.200 12 = đ?‘Ľ 20 Aplicando el teorema fundamental de proporcionalidad y despejando đ?‘Ľ: 7.200 Ă— 20 = đ?‘Ľ Ă— 12 đ?‘Ľ=
7.200 Ă— 20 12
đ?‘Ľ=
144.000 12
đ?‘Ľ = 12.000 Se deben rociar 12.000 litros en un cultivo de 20 hectĂĄreas.
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REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Si las magnitudes que se comparan son inversamente proporcionales, la regla de tres es simple inversa.
PROBLEMA 16. -
El recorrido de AndrĂŠs desde su cada hasta el pueblo mĂĄs cercano dura 6 horas a una velocidad de 18 km/h. Si en un dĂa de pico y placa AndrĂŠs utiliza su bicicleta. ÂżCuĂĄnto tiempo gasta en llegar al pueblo si su velocidad es de 24 km/h?
SOLUCIĂ“N. Se conocen 3 datos del problema y un dato se desconoce. Sea đ?‘Ľ el tiempo que gasta AndrĂŠs en llegar al pueblo mĂĄs cercano con una velocidad de 24 km/h.
Analicemos: A mayor velocidad, menos tiempo gastarĂĄ en llegar, por lo tanto, es un ejercicio de regla de tres simple inversa. La velocidad y el tiempo son dos magnitudes inversamente proporcionales cuando la distancia que se recorre es fija. Por tanto, la proporciĂłn que se forma es: đ?‘‡đ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘œ (đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ 1) đ?‘‰đ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘?đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ (đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ 1) = đ?‘‡đ?‘–đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘œ (đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ 2) đ?‘‰đ?‘’đ?‘™đ?‘œđ?‘?đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘ (đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ 2) Observemos que cada razĂłn tiene la misma magnitud. Reemplazando los datos del enunciado en la proporciĂłn: 6 18 đ?‘˜đ?‘š/â„Ž = đ?‘Ľ 24 đ?‘˜đ?‘š/â„Ž
Kingooz
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La razĂłn directa entre los tiempos es igual a la razĂłn inversa entre las velocidades respectivas, es decir: 6 24 đ?‘˜đ?‘š/â„Ž = đ?‘Ľ 18 đ?‘˜đ?‘š/â„Ž Aplicando el teorema fundamental de las proporciones y despejando x se obtiene: 6 Ă— 18 = đ?‘Ľ Ă— 24 đ?‘Ľ=
6 Ă— 18 24
đ?‘Ľ = 4,5 A una velocidad de 24 km/h, AndrĂŠs se demora en llegar al pueblo 4,5 horas. Es decir, 4 horas y media.
PROBLEMA 17. -
Si 4 tanques de bomberos se demoran 12 horas en apagar un incendio forestal. ÂżCuĂĄntos tanques se necesitan para apagar el mismo incendio forestal en 6 horas?
SOLUCIĂ“N. Observemos que entre mĂĄs tanques de bomberos haya, menos horas se demorarĂĄn los bomberos en apagar el incendio forestal.
Escribamos la proporciĂłn: đ?‘‡đ?‘Žđ?‘›đ?‘žđ?‘˘đ?‘’đ?‘ (đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ 1) đ??ťđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ (đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ 1) = đ?‘‡đ?‘Žđ?‘›đ?‘žđ?‘˘đ?‘’đ?‘ (đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ 2) đ??ťđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ (đ?‘‘đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘œ 2) Reemplazando los datos: Sea đ?‘Ľ los tanques que se necesitan para apagar el incendio forestal en 6 horas.
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4 12 = đ?‘Ľ 6
22
La razĂłn directa entre los tanques de bomberos es igual a la razĂłn inversa entre las velocidades tiempos, es decir: 4 6 = đ?‘Ľ 12
Aplicando el teorema fundamental de proporcionalidad y despejando đ?‘Ľ: 4 Ă— 12 = đ?‘Ľ Ă— 6 đ?‘Ľ=
4 Ă— 12 6
đ?‘Ľ=
48 6
đ?‘Ľ=8 Se necesitan 8 tanques de bomberos para apagar el incendio forestal en 6 horas.
PROBLEMA 18. -
15 obreros construyen un muro que rodea una cancha de futbol en 16 dĂas. ÂżCuĂĄntos dĂas tardarĂĄn en la construcciĂłn de un muro de una cancha de fĂştbol con las mismas caracterĂsticas 4 obreros?
SOLUCIĂ“N. A menos obreros trabajando en la construcciĂłn del muro mĂĄs dĂas se emplearĂĄn, por lo tanto, la relaciĂłn es inversa.
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La proporciĂłn es:
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4 16 = 15 đ?‘Ľ Despejando đ?‘Ľ, obtenemos: 4 Ă— đ?‘Ľ = 15 Ă— 16 đ?‘Ľ=
15 Ă— 16 4
đ?‘Ľ=
240 4
đ?‘Ľ = 60 4 obreros se demoran 60 dĂas en construir el muro que rodea la cancha de fĂştbol.
PROPORCIONALIDAD COMPUESTA La proporcionalidad compuesta se observa en situaciones en las cuales intervienen dos o mĂĄs magnitudes relacionadas proporcionalmente. Entre estas magnitudes intervienen la proporcionalidad directa, inversa y mixta. Proporcionalidad directa: la relaciĂłn entre dos o mĂĄs magnitudes se establece de manera directa. Proporcionalidad inversa: la relaciĂłn entre dos o mĂĄs magnitudes se establece de manera inversa. Proporcionalidad mixta: la relaciĂłn entre dos o mĂĄs magnitudes se establece de manera directa e inversa.
Veamos un ejemplo de proporcionalidad mixta. PROBLEMA 1. -
Una empresa de moda ha fabricado 3200 vestidos, trabajando 16 horas diarias durante 20 dĂas. ÂżCuĂĄnto tiempo tardarĂĄ la empresa en cumplir con un pedido de 4.000 vestidos trabajando 20 horas al dĂa?
SOLUCIÓN. Utilicemos una tabla para registrar los datos del enunciado. N° Vestidos 3.200 4.000
N° Horas 16 20
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N° DĂas 20 đ?‘Ľ
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Analicemos: 1. Entre mĂĄs vestidos se quieran fabricar, mĂĄs dĂas se van a emplear. Por lo tanto, la relaciĂłn de proporcionalidad es directa. 2. Entre mĂĄs horas se trabajen, menos dĂas se necesitarĂĄn para cumplir con el pedido. Por lo tanto la relaciĂłn de proporcionalidad es inversa.
Sea đ?‘Ľ el nĂşmero de dĂas que se van a emplear para fabricar 2.000 vestidos trabajando 10 horas diarias. La relaciĂłn entre cada dato del enunciado no puede establecerse de la siguiente manera:
Observemos que cada razĂłn tiene una magnitud respectiva. La relaciĂłn inversa que hay los dĂas y las horas empleadas implica que la razĂłn de con magnitud horas debe invertirse. 3.200 20 20 Ă— = 4.000 16 đ?‘Ľ Hallando el producto entre las razones: 64.000 20 = 64.000 đ?‘Ľ 1=
20 đ?‘Ľ
Kingooz
Aplicando el teorema fundamental de las proporciones y despejando đ?‘Ľ: 1 Ă— đ?‘Ľ = 20 đ?‘Ľ = 20 Deben emplearse 20 dĂas para fabricar 4.000 vestidos trabajando 20 horas diarias.
REGLA DE TRES COMPUESTA La proporcionalidad compuesta que se establece es entre dos o mĂĄs magnitudes. Se aplica cuando una magnitud depende de dos magnitudes a la vez, la dependencia puede ser de forma directa, inversa o mixta. La regla de tres compuesta se aplica para la resoluciĂłn de problemas de proporcionalidad compuesta.
REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA La regla de tres compuesta directa serĂĄ una sucesiĂłn de reglas de tres simples directas.
PROBLEMA 2. -
18 grifos abiertos durante 20 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de $800.000. ÂżCuĂĄl es el precio del agua de 30 grifos abiertos 12 horas diarias?
SOLUCIÓN. Se tienen tres magnitudes: N° Grifos 18 30
N° Horas 20 24
Dinero $800.000 đ?‘Ľ
Observemos: 1. NĂşmero de grifos y cantidad de dinero. Cuantos mĂĄs grifos abiertos haya, mĂĄs serĂĄ el dinero se debe pagar por el agua. Por lo tanto, la relaciĂłn entre la cantidad de grifos y el dinero es directa. 2. NĂşmero de horas y cantidad de dinero.
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Cuanto mĂĄs tiempo salga agua, mĂĄs dinero se debe pagar. Por lo tanto, la relaciĂłn entre las horas y el dinero es directa.
La forma correcta de escribir la regla de tres compuesta directa es: 18 20 800.000 Ă— = 30 24 đ?‘Ľ Resolviendo el producto: 360 800.000 = 720 đ?‘Ľ Aplicando el teorema fundamental de las proporciones y despejando đ?‘Ľ: 360 Ă— đ?‘Ľ = 720 Ă— 800.000 đ?‘Ľ=
720 Ă— 800.000 360
� = 1.600.000 Registrando el dato en la tabla: N° Grifos 18 30
N° horas 20 24
Dinero $800.000 $1.600.000
Se pagan $1.600.000 por 30 grifos abiertos durante 24 horas.
PROBLEMA 3. -
En una fĂĄbrica 18 mĂĄquinas iguales producen 1.800 piezas de Lego en 6 horas. ÂżCuĂĄntas piezas de Lego producirĂĄn 27 de estas mĂĄquinas en 9 horas?
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SOLUCIĂ“N.
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Se tienen tres magnitudes: N° Måquinas 18 27
N° Horas 6 9
N° Piezas 1.800 �
Observemos: 1. NĂşmero de mĂĄquinas y nĂşmero de piezas. Cuantas mĂĄs mĂĄquinas haya, la producciĂłn de piezas serĂĄ mayor. Por lo tanto, la relaciĂłn entre la cantidad de mĂĄquinas y la cantidad de piezas es directa. 2. NĂşmero de horas y nĂşmero de piezas. CuĂĄnto mĂĄs tiempo se trabaje, mĂĄs piezas se elaborarĂĄn. Por lo tanto, la relaciĂłn entre las horas y la cantidad de piezas es directa.
La forma correcta de escribir la regla de tres compuesta directa es: 18 6 1.800 Ă— = 27 9 đ?‘Ľ Resolviendo el producto: 108 1.800 = 243 đ?‘Ľ Aplicando el teorema fundamental de las proporciones y despejando đ?‘Ľ: 108 Ă— đ?‘Ľ = 243 Ă— 1.800 đ?‘Ľ=
243 Ă— 1.800 108
đ?‘Ľ = 4.050 Registrando el dato en la tabla:
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N° måquinas 18 27
N° horas 6 9
N° Piezas 1.800 4.050
Se elaboran 4.050 piezas de Lego, con 27 mĂĄquinas en 9 horas.
REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA La regla de tres compuesta inversa serĂĄ un sucesiĂłn de reglas de tres simples inversas.
PROBLEMA 4. -
10 obreros de construcciĂłn, trabajando 12 horas diarias construyen un muro en 4 dĂas. ÂżCuĂĄntos dĂas tardarĂĄn 8 obreros trabajando 20 horas diarias?
SOLUCIÓN. Se tienen tres magnitudes: N° Obreros 10 8 Observemos:
N° Horas 12 20
N° DĂas 4 đ?‘Ľ
1. Cantidad de obreros y nĂşmero de dĂas. A menos obreros trabajando, mĂĄs dĂas se gastarĂĄn construyendo el muro. Por lo tanto, la relaciĂłn entre el nĂşmero de obreros y los dĂas es inversa. 2. NĂşmero de horas y nĂşmero de dĂas. CuĂĄnto mĂĄs horas diarias se trabaje en la construcciĂłn, menos dĂas se necesitarĂĄn. Por lo tanto, la relaciĂłn entre las horas y los dĂas es inversa.
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Recordemos que para solucionar situaciones de proporcionalidad inversa es necesario invertir las razones que forman el producto. Es decir, no podemos expresar la proporcionalidad de esta manera:
La forma correcta de escribir la regla de tres compuesta inversa es: 8 20 4 Ă— = 10 12 đ?‘Ľ Resolviendo el producto: 160 4 = 120 đ?‘Ľ Aplicando el teorema fundamental de las proporciones y despejando đ?‘Ľ: 160 Ă— đ?‘Ľ = 120 Ă— 4 đ?‘Ľ=
120 Ă— 4 160
�=3 Registrando el dato en la tabla: N° Obreros 10 8
N° horas 12 20
N° DĂas 4 đ?‘Ľ
En la construcciĂłn del muro, 8 obreros tardan 3 dĂas trabajando 20 horas diarias.
PROBLEMA 5. -
Un incendio forestal consumiĂł durante 24 horas 36 hectĂĄreas de bosque, dejando sĂłlo 6 hectĂĄreas de bosque sin consumir. Si el incendio hubiese consumido el mismo bosque durante 9 horas destruyendo sĂłlo 18 hectĂĄreas, ÂżcuĂĄntas hectĂĄreas de bosque habrĂan quedado sin consumir?
SOLUCIĂ“N. Se tienen tres magnitudes:
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HectĂĄreas Afectadas 36 18
N° horas 24 9
HectĂĄreas Salvadas 6 đ?‘Ľ
Observemos: 1. HectĂĄreas afectadas y hectĂĄreas salvadas. A menos hectĂĄreas afectadas por el incendio, mĂĄs hectĂĄreas salvadas habrĂĄn. Por lo tanto, la relaciĂłn entre las hectĂĄreas afectadas y las hectĂĄreas salvadas es inversa. 2. NĂşmero de horas y hectĂĄreas salvadas. CuĂĄnto mĂĄs horas pasen del incendio, menos hectĂĄreas se podrĂĄn salvar. Por lo tanto, la relaciĂłn entre el nĂşmero de horas y las hectĂĄreas salvadas es inversa.
Recordemos que para solucionar situaciones de proporcionalidad inversa es necesario invertir las razones que forman el producto. Es decir, no podemos expresar la proporcionalidad de esta manera:
La forma correcta de escribir la regla de tres compuesta inversa es: 18 9 6 Ă— = 36 24 đ?‘Ľ Resolviendo el producto y despejando đ?‘Ľ: 162 6 = 864 đ?‘Ľ 162 Ă— đ?‘Ľ = 864 Ă— 6
Kingooz
30
31
864 Ă— 6 đ?‘Ľ= 162 đ?‘Ľ = 32 Registrando el dato en la tabla: HectĂĄreas Afectadas 36 18
N° Horas 24 9
HectĂĄreas Salvadas 6 đ?‘Ľ
Durante 9 horas de incendio forestal 18 hectĂĄreas de bosque fueron destruidas y 32 hectĂĄreas se salvaron.
REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA La regla de tres compuesta mixta estarĂĄ formada por una mezcla de reglas de tres simples inversas y directas.
PROBLEMA 6. -
Una empresa constructora contratĂł a 5 arquitectos para supervisar en 6 dĂas el progreso de 1.200 casas. Si la misma empresa contrata 3 arquitectos para supervisar el progreso de 600 casas. ÂżCuĂĄntos dĂas tardarĂĄn los 3 arquitectos en analizar las 600 casas?
SOLUCIÓN. Se tienen tres magnitudes. N° Arquitectos 5 3
N° Casas 1.200 600
N° DĂas 6 đ?‘Ľ
Analicemos la relaciĂłn entre las magnitudes: 1. NĂşmero de arquitectos y nĂşmero de dĂas. Entre mĂĄs arquitectos se contraten menos dĂas se emplearĂĄn en la supervisiĂłn de las casas. Por lo tanto, la relaciĂłn entre la cantidad de arquitectos y el nĂşmero de dĂas que se emplean es inversa.
2. NĂşmero de casas y nĂşmero de dĂas.
Kingooz
Entre mĂĄs casas se tengan para supervisar, mĂĄs dĂas se emplearĂĄn para cubrir su supervisiĂłn. Por lo tanto, la relaciĂłn entre el nĂşmero de casas y el nĂşmero de dĂas es directa.
Tenemos entonces que el nĂşmero de dĂas depende de forma inversa con el nĂşmero de arquitectos que se contraten y a su vez depende de forma directa con la cantidad de casas que sometan a supervisiĂłn.
Entonces la proporcionalidad se plantea de la siguiente manera: La razĂłn de las magnitudes dependientes, y la razĂłn del producto directo entre las magnitudes independientes correspondientes. Por tal motivo la proporciĂłn compuesta no se puede expresar de la siguiente manera:
La forma correcta de escribir la proporcionalidad compuesta es: 6 3 1.200 = Ă— đ?‘Ľ 5 600 Resolviendo el producto y despejando đ?‘Ľ: 6 3.600 = đ?‘Ľ 3.000 6 6 = đ?‘Ľ 5 đ?‘Ľ=
5Ă—6 6
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đ?‘Ľ=5
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Se emplean 5 dĂas para la supervisiĂłn de 3 arquitectos a 600 casas.
PROBLEMA 7. -
Si 16 jardineros se demoran 20 dĂas en podar 24 ĂĄrboles. ÂżCuĂĄntos jardineros se necesitan para podar 36 ĂĄrboles en 8 dĂas?
SOLUCIÓN. Se tienen tres magnitudes. N° Jardineros 16 �
N° DĂas 20 8
N° à rboles 24 36
Analicemos la relaciĂłn entre las magnitudes: 1. NĂşmero de dĂas y cantidad de jardineros. Entre mĂĄs dĂas se gasten en podar los ĂĄrboles, menos jardineros se encargarĂĄn de ese trabajo. Por lo tanto, la relaciĂłn entre el nĂşmero de dĂas y la cantidad de jardineros es inversa.
2. NĂşmero de ĂĄrboles y cantidad de jardineros. Entre mĂĄs ĂĄrboles hayan, mĂĄs jardineros se necesitarĂĄn para podarlos todos. Por lo tanto, la relaciĂłn entre el nĂşmero de ĂĄrboles y el nĂşmero de jardineros es directa. Entonces el nĂşmero de dĂas depende de forma inversa con el nĂşmero de jardineros y a su vez depende de forma directa con la cantidad de ĂĄrboles que hayan para podar.
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Por tal motivo la proporciĂłn compuesta no se puede expresar de la siguiente manera:
Entonces la proporcionalidad se plantea de la siguiente manera: 16 8 24 = Ă— đ?‘Ľ 20 36 Resolviendo el producto y despejando đ?‘Ľ: 16 192 = đ?‘Ľ 720 16 4 = đ?‘Ľ 15 đ?‘Ľ=
16 Ă— 15 4
đ?‘Ľ = 60 Se necesitan 60 jardineros para podar 36 ĂĄrboles en 8 dĂas.
REPARTOS PROPORCIONALES La reparticiĂłn de una cantidad đ?‘€, en partes proporcionales a los nĂşmeros đ?‘Ž, đ?‘? y đ?‘?, se basa en hallar tres nĂşmeros đ?‘Ľ, đ?‘Ś ,y, đ?‘§ que cumplan la condiciĂłn: đ?‘Ž đ?‘? đ?‘? = = đ?‘Ľ đ?‘Ś đ?‘§ đ??ˇđ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’,
đ?‘Ľ+đ?‘Ś+đ?‘§ = đ?‘
PROBLEMA 8. -
Para iniciar una empresa tres socios (Miguel, Carmen y Natalia) aportĂł $18.000.000, $36.000.000 y $42.000.000 respectivamente. Acordaron que al cumplirse el primer aĂąo de funcionamiento de la empresa se repetirĂan las ganancias proporcionalmente a los aportes que cada uno habĂa hecho inicialmente. Si la ganancia anual fue de $560.000.000, ÂżcĂłmo queda repartida la ganancia?
SOLUCIĂ“N.
Kingooz
34
Usemos una tabla para organizar los datos del enunciado. Aporte Ganancia
Miguel 18.000.000 đ?‘Ľ
Carmen 36.000.000 đ?‘Ś
Natalia 42.000.000 �
35
Total 96.000.000 560.000.000
Establezcamos las proporciones por separado de manera que sea posible encontrar los valores de �, � ,y, �. 1. Encontremos el valor de �. 18.000.000 96.000.000 = � 560.000.000 Aplicando el teorema fundamental de las proporciones y despejando �: �=
18.000.000 Ă— 560.000.000 96.000.000 đ?‘Ľ = 105.000.000
2. Encontremos el valor de đ?‘Ś. 36.000.000 96.000.000 = đ?‘Ś 560.000.000 Aplicando el teorema fundamental de las proporciones y despejando đ?‘Ś: đ?‘Ś=
36.000.000 Ă— 560.000.000 96.000.000 đ?‘Ś = 210.000.000
3. Encontremos el valor de �. 42.000.000 96.000.000 = � 560.000.000 Aplicando el teorema fundamental de las proporciones y despejando �: �=
42.000.000 × 560.000.000 96.000.000 � = 245.000.000
Registremos finalmente las ganancias de Miguel, Carmen y Natalia. Aporte Ganancia
Miguel 18.000.000 105.000.000
Carmen 36.000.000 210.000.000
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Natalia 42.000.000 245.000.000
Total 96.000.000 560.000.000
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PROBLEMA 9. -
JuliĂĄn, Camilo y David con el fin de tener una excelente cosecha decidieron tomar una parcela entre los tres y aportar cada uno 50, 80 y 100 semillas respectivamente para cultivar tomate. Al final acordaron repartirse el fruto proporcionalmente a las semillas que habĂa dado cada uno. Si la cosecha fue de 4.600 tomates. ÂżCĂłmo debe ser la reparticiĂłn?
SOLUCIĂ“N. Usemos una tabla para organizar los datos del enunciado. Aporte Ganancia
JuliĂĄn 50 đ?‘Ľ
Camilo 80 đ?‘Ś
David 100 �
Total 230 4.600
Establezcamos las proporciones por separado de manera que sea posible encontrar los valores de �, � ,y, �. 1. Encontremos el valor de �. 50 230 = � 4.600 Aplicando el teorema fundamental de las proporciones y despejando �: �=
50 Ă— 4.600 230
đ?‘Ľ = 1.000 2. Encontremos el valor de đ?‘Ś. 80 230 = đ?‘Ś 4.600 Aplicando el teorema fundamental de las proporciones y despejando đ?‘Ś: đ?‘Ś=
80 Ă— 4.600 230
� = 1.600 3. Encontremos el valor de �. 100 230 = � 4.600 Aplicando el teorema fundamental de las proporciones y despejando �:
Kingooz
�=
100 Ă— 4.600 230
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� = 2.000 Registremos finalmente las ganancias de Juliån, Camilo y David. Juliån 50 1.000
Aporte Ganancia
Camilo 80 1.600
David 100 2.000
Total 230 4.600
REGLA DE TRES SIMPLE COMPUESTA MIXTA PROBLEMA 7. -
22 agricultores siembran en un campo rectangular de 440 m de largo y 96 de ancho en 12 dĂas. ÂżCuĂĄntos agricultores serĂĄn necesarios para sembrar en otro campo similar de 600 m de largo por 112 m de ancho en 10 dĂas?
SOLUCIĂ“N. Conocido el largo y el ancho de la superficie rectangular inicial, encontremos su superficie. đ??´đ?‘…đ?‘’đ?‘?đ?‘ĄĂĄđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ = 440 đ?‘š Ă— 96 đ?‘š = 42240 đ?‘š2 Conocido el largo y ancho del terreno rectangular, encontremos la superficie sobre la que se va a sembrar. đ??´đ?‘…đ?‘’đ?‘?đ?‘ĄĂĄđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ = 600 đ?‘š Ă— 112 đ?‘š = 67.200 đ?‘š2 Tabulando los datos. N° Agricultores 22 đ?‘Ľ
Superficie đ?’Žđ?&#x;? 42.240 67.200
N° DĂas 12 10
Analicemos la relaciĂłn entre las magnitudes: 1. Superficie y cantidad de agricultores. Entre mĂĄs superficie se tenga para labrar, mĂĄs agricultores se necesitarĂĄn. Por lo tanto, la relaciĂłn entre la superficie y la cantidad de agricultores es directa.
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2. NĂşmero de dĂas y cantidad de agricultores. Entre mĂĄs dĂas se empleen en la siembra del cultivo, menos agricultores estarĂĄn a cargo. Por lo tanto, la relaciĂłn entre el nĂşmero de dĂas y la cantidad de agricultores es inversa.
Entonces la proporcionalidad se plantea de la siguiente manera: La razĂłn de las magnitudes dependientes, y la razĂłn del producto directo entre las magnitudes independientes correspondientes. La forma correcta de escribir la proporcionalidad compuesta es: 22 42.240 10 = Ă— đ?‘Ľ 67.200 12 Resolviendo el producto y despejando đ?‘Ľ: 22 422.400 = đ?‘Ľ 806.400 22 11 = đ?‘Ľ 21 đ?‘Ľ=
22 Ă— 21 11
� = 42 Completando la tabla: N° Agricultores 22 42
Superficie đ?’Žđ?&#x;? 42.240 67.200
N° DĂas 12 10
Se necesitan 42 agricultores para sembrar en una superficie rectangular de 67.200đ?‘š2 durante 10 dĂas.
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1
Al emplear la palabra conjunto, posiblemente el razonamiento que le den muchos es: la reuniĂłn de “cosasâ€?. Dicha interpretaciĂłn no es errĂłnea, en efecto, un conjunto es la agrupaciĂłn de objetos los cuales tienen unas caracterĂsticas en comĂşn haciĂŠndolos merecedores de estar dentro de ĂŠl. Por ejemplo: 
El conjunto de figuras triangulares
SegĂşn lo dicho al inicio, un conjunto es la reuniĂłn de objetos los cuales comparten una caracterĂstica en particular, en este caso: ser figuras triangulares. Para referirnos a un conjunto lo denotaremos por letras MAYĂšSCULAS, seguido de un igual y un par de corchetes, dentro de los cuales estarĂĄn los elementos pertenecientes al conjunto, separados por una coma. AsĂ:
đ?‘¨ = {đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘, đ?&#x;’, đ?&#x;“} La letra đ??´ en mayĂşscula hace referencia al nombre del conjunto el cual tiene por elementos los nĂşmeros 1, 2, 3, 4 đ?‘Ś 5. Todo lo que estĂŠ dentro de los corchetes son los elementos que pertenecen al conjunto.
Existen dos formar para determinar un conjunto, llamadas: comprensiĂłn y extensiĂłn:
Kingooz
1. COMPRENSIĂ“N: determina las caracterĂsticas que poseen los elementos del conjunto, por ejemplo: đ??´ = đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ 6 Como puede notar, en el conjunto anterior no se muestran los elementos que posee, se nombran las caracterĂsticas que tienen los elementos que lo conforman (1, 2, 3, 4 y 5). Ejercicio 1: Sea el conjunto: đ??´ = đ?‘Łđ?‘œđ?‘?đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘Žđ?‘?đ?‘’đ?‘?đ?‘’đ?‘‘đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘œ. Diga cuales elementos pertenecen al conjunto escrito por comprensiĂłn. SoluciĂłn: Las vocales que pertenecen al abecedario son đ?‘Ž, đ?‘’, đ?‘–, đ?‘œ, đ?‘˘. Estos son los Ăşnicos elementos pertenecientes al conjunto đ??´. ÂżPor quĂŠ la letra đ?‘? no pertenece al conjunto đ??´?, la respuesta es porque đ?‘? no es una vocal, por esta razĂłn no es merecedora de hacer parte del conjunto đ??´. El tĂŠrmino “conjuntoâ€? no hace referencia solamente a la reuniĂłn de nĂşmeros que cumplen una caracterĂstica, tambiĂŠn podemos hablar del conjunto: animales en una granja, colores en mi cartuchera, los niĂąos que tienen ojos de color verde en el salĂłn de clases, etc. Considere la siguiente situaciĂłn:
Ejercicio 2: En un salĂłn de clases estĂĄ la profesora Juliana tomando asistencia de sus estudiantes presentes en clase. Ella lee el siguiente listado: Pedro Pablo Ricardo JuliĂĄn MarĂa Alejandra Cesar Laura Kingooz
2
3

La profesora quiere dividir en distintos grupos a sus estudiantes, y considera las siguientes opciones: đ??´ = â„Žđ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ??ľ = đ?‘šđ?‘˘đ?‘—đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ ÂżQuiĂŠnes hacen parte de cada conjunto? đ??´ = {đ?‘ƒđ?‘’đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘œ, đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘œ, đ?‘…đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘œ, đ??˝đ?‘˘đ?‘™đ?‘–ĂĄđ?‘›, đ??śđ?‘’đ?‘ đ?‘Žđ?‘&#x;} đ??ľ = {đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;Ăđ?‘Ž, đ??´đ?‘™đ?‘’đ?‘—đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Ž, đ??żđ?‘Žđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž}

Suponga ahora que desea organizarlos de la siguiente manera: đ?‘€ = đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘ đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™ đ?‘›đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘–đ?‘’đ?‘›đ?‘§đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘™đ?‘Ž đ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘? Dicho conjunto estarĂĄ conformado por: đ?‘€ = {đ?‘ƒđ?‘’đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘œ, đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘œ}

Quienes hacen parte del conjunto:
đ?‘… = đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘ đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘˘đ?‘™đ?‘Ąđ?‘–đ?‘šđ?‘Ž đ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘˘ đ?‘›đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘šđ?‘–đ?‘›đ?‘Ž đ?‘’đ?‘› đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘Łđ?‘œđ?‘?đ?‘Žđ?‘™ Dicho conjunto es: đ?‘… = {đ?‘ƒđ?‘’đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘œ, đ?‘ƒđ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘œ, đ?‘…đ?‘–đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘œ, đ?‘€đ?‘Žđ?‘&#x;Ăđ?‘Ž, đ??´đ?‘™đ?‘’đ?‘—đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Ž, đ??żđ?‘Žđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž} 
ÂżQuiĂŠn pertenecerĂĄ al conjunto đ??´ = đ?‘Žđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘›đ?‘œđ?‘ đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™ đ?‘›đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘’đ?‘šđ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘§đ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘™đ?‘Ž đ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘ ? đ??´ = đ?‘›đ?‘–đ?‘›đ?‘”Ăşđ?‘› đ?‘Žđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘›đ?‘œ A este tipo de conjunto el cual no posee ningĂşn elemento lo llamaremos de ahora en adelante como el conjunto vacĂo (Ă˜). Es decir el conjunto del ejercicio el cual no tiene ningĂşn elemento es: đ??´=Ă˜
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2. EXTENSIÓN: A esta manera de llamar un conjunto se le conoce así porque en él se muestran todos los elementos que conforman el conjunto. Ejercicio 3: 𝐴 = {𝑔𝑎𝑡𝑜, 𝑝𝑒𝑟𝑟𝑜, 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠, 5, 𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒𝑛𝑎} De la forma como se muestra el conjunto 𝐴 es por EXTENSIÓN.
Ejercicio 4: Escriba por extensión el siguiente conjunto: 𝐶 = 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑙𝑜𝑚𝑏𝑖𝑎
-
Los colores de la bandera de Colombia son: amarillo, azul y rojo. Luego el conjunto por extensión será:
𝐶 = {𝑎𝑚𝑎𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜, 𝑎𝑧𝑢𝑙, 𝑟𝑜𝑗𝑜} Ejercicio 5: Escriba por comprensión los siguientes conjuntos: a) 𝐴 = {1,3,5,7,9} b) 𝐵 = {2,4,6,8,10}
Solución: a) 𝐴 = 𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 Tenga en cuenta que esta no es la única forma de poder describir este conjunto. Por ejemplo podríamos escribirlo por comprensión así: 𝐴 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 945 Dichas formas de expresar el conjunto 𝐴 son equivalentes, lo que quiere decir que describen al mismo conjunto de distinta forma. Tenga en cuenta que posiblemente hay distintas maneras de escribir por comprensión un conjunto.
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b) đ??ľ = đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘œ đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ 2 Ejercicio 6: Analicemos la siguiente situaciĂłn: Sea el conjunto đ??´ = đ?‘?đ?‘–đ?‘›đ?‘?đ?‘œ đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘›đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ đ?‘šĂşđ?‘™đ?‘Ąđ?‘–đ?‘?đ?‘™đ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ 3. ÂżEl nĂşmero 18 hace parte del conjunto đ??´? SoluciĂłn: La respuesta es no. a pesar que el nĂşmero 18 es mĂşltiplo de 3, este no hace parte del conjunto đ??´. Veamos por quĂŠ: đ??´ = {3,6,9,12,15} El conjunto đ??´ estĂĄ conformado por los elementos que se pueden apreciar. El nĂşmero 18 no hace parte de ĂŠl, ya que 18 es el sexto nĂşmero natural mĂşltiplo de 3 y la condiciĂłn del conjunto đ??´ es que solo pueden aparecer en ĂŠl los primeros cinco nĂşmero naturales mĂşltiplos de 3.
Nota: a los elementos que no hacen parte de un conjunto se les denotarĂĄ asĂ: đ?‘Ž ∉ đ??´, en donde el sĂmbolo ∉ significa: no pertenece. De la misma manera, para decir que un elemento hace parte de un conjunto se escribirĂĄ: đ?‘? ∈ đ??ľ. En donde ∈ significa: pertenece.
En el ejemplo anterior: 18 ∉ đ??´ y 6 ∈ đ??´
Suponga que se tienen dos conjuntos (đ??´ đ?‘Ś đ??ľ), la uniĂłn de đ??´ y đ??ľ se representarĂĄ como: đ??´âˆŞđ??ľ En donde đ??´ âˆŞ đ??ľ representa un nuevo conjunto, el cual estarĂĄ conformado por los elementos que tienen tanto el conjunto đ??´ como el conjunto đ??ľ. Observemos con un ejemplo esta operaciĂłn:
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
Considere los conjuntos: - đ??´ = {1,2,3,4} - đ??ľ = {5,6,7,8} đ??´ âˆŞ đ??ľ = {1,2,3,4,5,6,7,8}
Note que el conjunto đ??´ âˆŞ đ??ľ estĂĄ conformado por los elementos que pertenecen tanto a đ??´ como a đ??ľ.

Sean los conjuntos: - đ??ś = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘} - đ??ˇ = {đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘, đ?‘’} đ??ś âˆŞ đ??ˇ = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘, đ?‘’}
Tenga en cuenta que si en ambos conjuntos hay elementos en comĂşn, no es necesario escribirlos mĂĄs de una vez. Es decir: đ??ś âˆŞ đ??ˇ = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘, đ?‘’} Ya que al seguir el orden de los elementos que pertenecen a đ??´ âˆŞ đ??ľ: -
đ?‘Žâˆˆđ??śyđ?‘Žâˆˆđ??ˇ đ?‘?∈đ??śyđ?‘?∈đ??ˇ đ?‘?∈đ??śyđ?‘‘∈đ??ˇ đ?‘Žâˆˆđ??śyđ?‘Žâˆˆđ??ˇ đ?‘?∈đ??śyđ?‘?∈đ??ˇ đ?‘?∈đ??śyđ?‘?∈đ??ˇ đ?‘‘∈đ??śyđ?‘‘∈đ??ˇ đ?‘’∈đ??śyđ?‘’∈đ??ˇ
Puede notarse que hay renglones repetidos. Resulta redundante nombrar de nuevo un elemento que ya con anterioridad se habĂa dicho que estaba en ese conjunto. Por esta razĂłn y de ahora en adelante cuando nos refiramos a la operaciĂłn đ??´ âˆŞ đ??ľ, escribiremos solo una vez los elementos que hacen parte del conjunto. Para el ejemplo anterior: đ??ś âˆŞ đ??ˇ = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘, đ?‘’}
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Ejercicio 7:
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ÂżCuĂĄl es la uniĂłn entre los conjuntos đ??´ y đ??ľ? đ??ľ
đ??´
SoluciĂłn: Siguiendo la definiciĂłn de uniĂłn entre conjuntos, la soluciĂłn serĂĄ la agrupaciĂłn de todos los elementos pertenecientes a đ??´ y đ??ľ en un nuevo conjunto llamado đ??´ âˆŞ đ??ľ, asĂ:
đ??´âˆŞđ??ľ
La intersecciĂłn entre dos conjuntos đ??´ y đ??ľ se denota por đ??´ ∊ đ??ľ. Esta operaciĂłn agrupa en un nuevo conjunto SOLAMENTE los elementos que tienen en comĂşn đ??´ y đ??ľ. Compare la operaciĂłn uniĂłn e intersecciĂłn. En la primera (âˆŞ) agrupa los elementos presentes en los dos conjuntos, en cambio en la segunda (∊) solo tiene en cuenta los elementos comunes en ambos conjuntos.
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Ejercicio 8:
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ÂżCuĂĄl es la intersecciĂłn entre los conjuntos đ??´ y đ??ľ? đ??ľ
đ??´
SoluciĂłn: En la intersecciĂłn irĂĄn solamente los elementos que tienen en comĂşn los conjuntos đ??´ y đ??ľ, asĂ: đ??´âˆŠđ??ľ
Los conjuntos đ??´ y đ??ľ son los mismos del ejercicio 7, observe la diferencia entre la uniĂłn e intersecciĂłn de dichos conjuntos: đ??´âˆŠđ??ľ
đ??´âˆŞđ??ľ
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No se debe confundir la uniĂłn (âˆŞ) con la intersecciĂłn (∊) de conjuntos ya que son operaciones distintas.
Ejercicio 9: DĂŠ un ejemplo en el cual la uniĂłn e intersecciĂłn entre conjuntos dan como resultado el mismo conjunto. SoluciĂłn: Ya que en la uniĂłn se reĂşnen absolutamente todos los elementos presentes en ambos conjuntos y en cambio la intersecciĂłn solo tiene en cuenta los elementos en comĂşn, las Ăşnicas soluciones son crear dos conjuntos en los cuales tengas exactamente los mismos elementos o que ambos conjuntos no tengan ninguno. Veamos algunas posibles soluciones para este ejercicio:
SoluciĂłn 1: đ??´=∅ đ??ľ=∅ đ??´âˆŞđ??ľ =∅ đ??´âˆŠđ??ľ =∅ Recuerde que el sĂmbolo ∅ representa el conjunto vacĂo, el cual no posee ningĂşn elemento. Como puede notar tanto la uniĂłn como intersecciĂłn de los conjuntos đ??´ y đ??ľ dan como resultado el mismo conjunto: ∅ SoluciĂłn 2: Considere los siguientes conjuntos: đ??ľ
đ??´
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đ??´ âˆŞ đ??ľ: đ??´âˆŞđ??ľ
đ??´ ∊ đ??ľ: đ??´âˆŠđ??ľ
Observe que en cualquier caso (âˆŞ,∊) la respuesta es la misma.
Suponga que se tienen dos conjuntos cualesquiera, por ejemplo đ??´ y đ??ľ. A partir de ahora se conocerĂĄ a la diferencia đ??´ − đ??ľ, como los elementos que estĂĄn en el conjunto đ??´ y que a su vez no estĂĄn en đ??ľ. Es importante que se cumplan ambas condiciones. Observemos con un ejemplo para comprender mejor este nuevo concepto:
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Ejemplo:
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Sean los conjuntos đ??´ y đ??ľ que se muestran a continuaciĂłn. Calcule đ??´ − đ??ľ y đ??ľ − đ??´. đ??´ = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘, đ?‘’} đ??ľ = {đ?‘?, đ?‘‘, đ?‘“, đ?‘”, â„Ž, đ?‘–} SoluciĂłn: đ??´ − đ??ľ = {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘’} Tenga en cuenta que en el conjunto đ??´ − đ??ľ solamente aparecerĂĄn elementos de đ??´ y al mismo tiempo no pueden aparecer elementos que estĂŠn presentes en đ??ľ. Es claro que los elementos đ?‘?, đ?‘‘ pertenecen al conjunto đ??´, pero no aparecen en el conjunto đ??´ − đ??ľ ya que estĂĄn presentes en el conjunto đ??ľ.
đ??ľ − đ??´ = {đ?‘“, đ?‘”, â„Ž, đ?‘–} Observe que la operaciĂłn de diferencia estĂĄ escrita de distinta forma. En este caso, en el conjunto đ??ľ − đ??´ solamente deben aparecer elementos que estĂŠn en el conjunto đ??ľ y que al mismo tiempo no estĂĄn en đ??´.
Observe en el ejemplo anterior que los conjuntos đ??´ − đ??ľ y đ??ľ − đ??´ son distintos. Esto quiere decir que no es lo mismo realizar la operaciĂłn entre conjuntos “đ??´ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘œđ?‘ đ??ľâ€? que “đ??ľ đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘œđ?‘ đ??´".
Ejercicio 10 Encuentre un par de conjuntos, en los cuales su diferencia đ??´ − đ??ľ y đ??ľ − đ??´ sea la misma: SoluciĂłn: Considere los conjuntos: đ??´ = {1,2,3,4} đ??ľ = {1,2,3,4} đ??´âˆ’đ??ľ =∅ đ??ľâˆ’đ??´ =∅
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Como puede notar đ??´ − đ??ľ = ∅ = đ??ľ − đ??´ con lo que podemos concluir que đ??´ − đ??ľ = đ??ľ − đ??´. Este resultado se obtiene ya que el conjunto đ??ľ es igual al conjunto đ??´ (đ??ľ = đ??´).
Ejercicio 11 De un ejemplo en el cual la diferencia entre đ??´ − đ??ľ = đ??´. SoluciĂłn: đ??ľ=∅
đ??´
đ??´âˆ’đ??ľ
đ??´ − đ??ľ EstarĂĄ conformado por todos los elementos pertenecientes a đ??´ y que no estĂĄn en đ??ľ. En este caso, como en đ??ľ no hay ningĂşn elemento, se obtiene que đ??´ − đ??ľ = đ??´.
Si se tiene un conjunto đ??´ y el conjunto vacĂo (∅), entonces la diferencia đ??´ − ∅ = đ??´
La diferencia simĂŠtrica entre dos conjuntos đ??´ y đ??ľ es una operaciĂłn la cual muestra como resultado un conjunto conformado por los elementos que no son comunes entre đ??´ y đ??ľ. Se acostumbra a simbolizar la operaciĂłn de diferencia simĂŠtrica asĂ: đ??´âˆ†đ??ľ Kingooz
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Ejemplo: Sea đ??´ = {1,2,3,4,5} y đ??ľ = {4,5,6,7,8}, ÂżCuĂĄles serĂĄn los elementos pertenecientes a đ??´âˆ†đ??ľ?
SoluciĂłn: Tenga en cuenta que en la diferencia simĂŠtrica solo pueden aparecer los elementos que no son comunes en ambos conjuntos. Es decir, para nuestro ejercicio debemos descartar los elementos que son comunes en ambos conjuntos, asĂ: đ??´ = {1,2,3,4,5} đ??ľ = {4,5,6,7,8} Los elementos comunes en ambos conjuntos son: 4,5. Luego ellos no deberĂĄn aparecer en la operaciĂłn de diferencia simĂŠtrica. La soluciĂłn de nuestro problema serĂĄ: đ??´âˆ†đ??ľ = {1,2,3,6,7,8}
Ejercicio 12: Encuentre la diferencia simĂŠtrica đ??´âˆ†đ??ľ de los siguientes conjuntos: đ??´ = đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ đ??ľ = đ?‘›Ăşđ?‘šđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘
SoluciĂłn: Los conjuntos đ??´ y đ??ľ pueden ser reescritos de la siguiente manera: đ??´ = {1,2,3,4,5,6,7, ‌ } đ??ľ = {‌ , −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4, ‌ } El conjunto đ??´âˆ†đ??ľ es: đ??´âˆ†đ??ľ = {‌ , −4, −3, −2, −1,0}
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Observe que en la diferencia simÊtrica no aparecen los elementos 1,2,3,4, ‌ ya que estos son elementos comunes en ambos conjuntos.
Ejercicio 13: Encuentre đ??´âˆ†đ??ľ y đ??ľâˆ†đ??´ de los siguientes conjuntos: đ??´
đ??ľ
SoluciĂłn: đ??´âˆ†đ??ľ
đ??ľâˆ†đ??´
Como puede notar: đ??´âˆ†đ??ľ es igual a đ??ľâˆ†đ??´
Para cualesquiera dos conjuntos đ??´ y đ??ľ, se obtendrĂĄ siempre la siguiente igualdad: đ??´âˆ†đ??ľ = đ??ľâˆ†đ??´
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El complemento de un conjunto đ??´ estarĂĄ conformado por todos los elementos que no hacen parte de đ??´. Para poder realizar esta operaciĂłn es imprescindible mostrar de donde se estĂĄn sacando los elementos de đ??´. El complemento de đ??´ se simboliza de la siguiente manera: đ??´đ?‘? Ejercicio 14: Observe el conjunto đ??´, el cual estĂĄ contenido en el universal (đ?‘ˆ):
El complemento de đ??´ serĂĄ quitar todos los elementos que estĂĄn dentro de đ??´.
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