Polígonos regulares

1

Una figura geometría plana en la que todos sus lados tienen la misma medida es un POLÍGONO REGULAR. Los polígonos regulares se pueden clasificar de acuerdo al número de lados, observemos algunos de ellos:

5,1 cm

5,1 cm

5,1 cm

8 mt

8 mt

8 mt

Cuadrado Cuatro lados

8 mt

6 Km

6 Km

Pentágono regular 6 Km

6 Km 6 Km

CONCEPTOS

Cinco lados

1m

2

1m

1m

1m

Hexágono regular Seis lados

1m

1m

3m

3m

3m

3m

Heptágono regular Siete lados

3m

3m 3m

0,1 m 0,1 m

0,1 m

0,1 m

0,1 m

0,1 m

Octágono regular

0,1 m

Ocho lados

0,1 m

Los Polígonos Regulares tienen cinco características métricas: 1.

2.

3.

4.

5.

Perímetro del polígono.

Suma de ángulos internos del polígono.

Angulos internos del polígono.

Apotema. Área del Polígono

A continuación definiremos cada una de estas características y observaremos algunas aplicaciones en polígonos regulares:

CONCEPTOS

1. PERĂ?METRO DE LOS POLĂ?GONOS REGULARES Como sabemos, el perĂ­metro de las figuras plana equivalen a la suma de todas las medidas de los lados que conforman la figura.

Observemos el siguiente pentĂĄgono regular:

Para hallar el perĂ­metro de los polĂ­gonos regulares basta con realizar el producto entre el nĂşmero de lados y la medida del lado. đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;Ă­đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ = (đ?‘ ° đ??żđ?‘Žđ?‘‘đ?‘œđ?‘ ). (đ?‘€đ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ)

De acuerdo con esta conclusiĂłn, el perĂ­metro del pentagĂłno anterior es equivalente a: đ?‘ƒ5 = (5). (2 đ?‘šđ?‘Ąđ?‘ ) = 10 đ?‘šđ?‘Ąđ?‘

2. SUMA DE Ă NGULOS INTERNOS DEL POLĂ?GONO

Para conocer la medida de la suma de los ĂĄngulos internos de un polĂ­gono regular basta con conocer el nĂşmero de lados que tiene, el cual llamaremos “ n â€? y aplicamos el siguiente algoritmo: đ?‘†đ?‘˘đ?‘šđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ ĂĄđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œđ?‘ = 180°. (đ?‘› − 2)

CONCEPTOS

3

Para hallar el valor de la suma de los ĂĄngulos de cualquier polĂ­gono no es necesario conocer la longitud de sus lados, solo es necesario el nĂşmero de lados de la figura.

Observemos esta caracterĂ­stica en el pentĂĄgono:

PentĂĄgono

Suma = 180° . 5 − 2 = 180° . 3 = 540°

3. Ă NGULOS INTERNOS DEL POLĂ?GONO

La medida del ĂĄngulo interno de un polĂ­gono regular se halla cuando dividimos el valor de la suma de las medidas de los ĂĄngulos internos y el nĂşmero de lados “ L â€? de la figura. đ?‘€đ?‘’đ?‘‘đ?‘–đ?‘‘đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ ĂĄđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘›đ?‘œ =

108° 108° 108° 108° 108°

CONCEPTOS

đ?‘ đ?‘˘đ?‘šđ?‘Ž 180°. (đ??ż − 2) = đ?‘› đ?‘›

Medida de ĂĄngulo =

540° 5

= 108°

4

5

4. APOTEMA

El apotema es el segmento de recta que une el centro del polígono regular de cinco o más lados con el centro de cualquiera de los lados del polígono.

Centro

Apotema Punto Medio

La apotema también se puede comprender como la altura de cada uno de los triángulos congruentes que constituyen el polígono regular.

Observemos,

Apotema

5. ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES Recordemos el algoritmo que permite hallar el área del triángulo equilátero y el cuadrado:

CONCEPTOS

6

đ??´=

đ??ľ. đ??´ 2

Base Lado

Lado

đ??´ = đ?‘™. đ?‘™ = đ?‘™ 2

Lado Para hallar el ĂĄrea de cualquier polĂ­gono regular de cinco o mĂĄs lados realizamos el siguiente proceso:

ďƒź Identificamos las regiones triangulares que constituyen el polĂ­gono regular:

ďƒź Reconocemos que los triĂĄngulos que constituyen el polĂ­gono regular son congruentes.

CONCEPTOS

7

 Identificamos el polígono como la suma de áreas triangulares equivalentes:

 Comprendemos que un polígono regular tiene tantos lados como triángulos congruentes que se pueden identificar dentro de él. En el caso anterior observamos un pentágono (polígono de cinco lados) y se puede decir que el área del pentágono es equivalente a cinco veces el área del triángulo poligonal.  Identificamos los elementos matemáticos del triángulo poligonal: la medida del lado y la medida de la apotema.

a

Apotema ( )

l

Lado ( ) CONCEPTOS

 Hallamos el área del triángulo poligonal:

 Hallamos finalmente el área del polígono regular multiplicando el área del triángulo poligonal por el número de lados “ n ” del polígono regular.

Luego el áres de un polígono regular es:

CONCEPTOS

8

1

1. Hallar el perĂ­metro del heptĂĄgono regular.

-

SoluciĂłn Por ser un heptĂĄgono regular (polĂ­gono de 7 lados) sabemos que todos sus lados tienen la misma medida.

Para este caso, cada lado del heptĂĄgono mide 7 metros, por lo que el perĂ­metro (P) del polĂ­gono es: đ?‘ˇ = đ?&#x;• + đ?&#x;• + đ?&#x;• + đ?&#x;• + đ?&#x;• + đ?&#x;• + đ?&#x;• = đ?&#x;’đ?&#x;— đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’?đ?’”

CONCEPTOS

1

1. Hallar el perĂ­metro del heptĂĄgono regular.

-

SoluciĂłn Por ser un heptĂĄgono regular (polĂ­gono de 7 lados) sabemos que todos sus lados tienen la misma medida.

Para este caso, cada lado del heptĂĄgono mide 7 metros, por lo que el perĂ­metro (P) del polĂ­gono es: đ?‘ˇ = đ?&#x;• + đ?&#x;• + đ?&#x;• + đ?&#x;• + đ?&#x;• + đ?&#x;• + đ?&#x;• = đ?&#x;’đ?&#x;— đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’?đ?’”

CONCEPTOS

1

3. Hallar la longitud de la figura sombreada.

-

Solución La figura sombreada es un círculo que se encuentra dentro de la mitad de otro círculo de mayor superficie.

Necesitamos hallar la longitud del círculo sombreado, pero no conocemos su diámetro, para estos casos es necesario observar los datos que nos dan las imágenes.

Observemos el diámetro de la mitad del círculo.

Sabemos que la mitad del diámetro de un círculo es su radio.

Se puede analizar que el diámetro del círculo sombreado es el radio del semicírculo más grande: 14 metros

CONCEPTOS

⟹ 𝐷𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑜 =

28 𝑚 = 14 𝑚 2

⟹ 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = (𝜋 × 14 𝑚)

⟹ 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂 = 𝟏𝟒𝝅 𝒎

CONCEPTOS

2

1

4. Hallar el perĂ­metro del pentĂĄgono regular sombreado.

-

SoluciĂłn Las medidas que conocemos corresponden a los lados del cuadrado adyacente al pentĂĄgono (6 metros).

Observemos que un lado del cuadrado es un lado del pentĂĄgono regular.

Entonces cada lado del pentĂĄgono mide 6 metros. Luego el perĂ­metro es: đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;Ă­đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘ƒđ?‘’đ?‘›đ?‘ĄĂĄđ?‘”đ?‘œđ?‘›đ?‘œ = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;Ă­đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ = 30 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ .

Recordemos que otra forma de hallar el perĂ­metro del pentĂĄgono es el producto de la medida de un lado por el nĂşmero de lados. đ?‘ƒđ?‘’đ?‘&#x;Ă­đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘?đ?‘’đ?‘›đ?‘ĄĂĄđ?‘”đ?‘œđ?‘›đ?‘œ = 6 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ Ă— 5 đ?‘ˇđ?’†đ?’“Ă­đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’? đ?’‘đ?’†đ?’?đ?’•ĂĄđ?’ˆđ?’?đ?’?đ?’? = đ?&#x;‘đ?&#x;Ž đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’?đ?’”.

CONCEPTOS

1

5. Hallar el área de la región sombreada.

-

Solución Tenemos un rectángulo formado por tres triángulos, dos de ellos forman parte de la región sombreada. Recordemos el algoritmo para hallar el área de un triángulo: Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =

𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 2

El área de la región sombreada es la suma de las áreas de los dos triángulos sombreados.

𝑨𝒔 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐

𝐴1 =

6 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 × 4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 2

𝐴2 =

3 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 × 4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 2

𝐴1 =

24 2 𝑚 2

𝐴2 =

12 2 𝑚 2

𝐴1 = 12 𝑚2

CONCEPTOS

𝐴2 = 6 𝑚 2

Por lo tanto,

2 2

Á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 = 12 𝑚 + 6 𝑚 Á𝒓𝒆𝒂 𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂 = 𝟏𝟖 𝒎𝟐

CONCEPTOS

2

1

6. Hallar el área de la región sombreada.

-

Solución La región sombreada equivale a dos triángulos que se encuentran dentro de un cuadrado cuyos lados miden 4 metros.

Las diagonales del cuadrado se cortan en el punto medio del cuadrado, por lo que observamos que la altura de cada triángulo será la mitad de la altura del cuadrado.

CONCEPTOS

đ??´đ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘˘đ?‘› đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–ĂĄđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ =

4 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ = 2 đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ 2

Los dos triĂĄngulos sombreados son congruentes porque tienen la misma altura y la misma base, lo que significa que el ĂĄrea de la regiĂłn sombreada es equivalente al doble del ĂĄrea de un triĂĄngulo.

Hallemos el ĂĄrea del triĂĄngulo: 4 đ?‘š Ă— 2 đ?‘š 8 đ?‘š2 Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’đ?‘™ đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–ĂĄđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ = = = 4 đ?‘š2 2 2

Luego el ĂĄrea de la figura sombreada es equivalente a: Ă đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘“đ?‘–đ?‘”đ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘ đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž = 2 (4 đ?‘š2 ) Ă đ?’“đ?’†đ?’‚ đ?’…đ?’† đ?’?đ?’‚ đ?’‡đ?’Šđ?’ˆđ?’–đ?’“đ?’‚ đ?’”đ?’?đ?’Žđ?’ƒđ?’“đ?’†đ?’‚đ?’…đ?’‚ = đ?&#x;– đ?’Žđ?&#x;?

CONCEPTOS

2