Prismas, pirámide y aplicaciones

Page 1

Ă REA SUPERFICIAL DEL PRISMA:

1

Cuando nos referimos al ĂĄrea superficial de un sĂłlido o poliedro decimos que esta ĂĄrea es equivalente a la suma del ĂĄrea de sus caras y bases. Es decir: đ?‘¨đ?‘ˇđ?‘šđ?‘°đ?‘şđ?‘´đ?‘¨ = đ?’”đ?’–đ?’Žđ?’‚ ĂĄđ?’“đ?’†đ?’‚đ?’” đ?’…đ?’† đ?’?đ?’‚đ?’” đ?’„đ?’‚đ?’“đ?’‚đ?’” đ?’?đ?’‚đ?’•đ?’†đ?’“đ?’‚đ?’?đ?’†đ?’” + đ?’”đ?’–đ?’Žđ?’‚ ĂĄđ?’“đ?’†đ?’‚đ?’” đ?’…đ?’† đ?’”đ?’–đ?’” đ?’ƒđ?’‚đ?’”đ?’†đ?’”

Realicemos un ejemplo !!! Calcule el ĂĄrea superficial del siguiente prisma, el cual tiene como bases trĂ­angulos equilĂĄteros. El lado del triĂĄngulo mide 2 đ?‘?đ?‘š, y el ĂĄrea de de cada cara lateral es igual a 8 đ?‘?đ?‘š2.

-

SoluciĂłn:

Vamos a hallar el ĂĄrea de las bases; debido a que las bases son triĂĄngulos equilĂĄteros, cuya medida de los lados es 2 đ?‘?đ?‘š. Construyendo las base triangular tenemos:

KINGooZ

CONCEPTOS

2

Para calcular el ĂĄrea de un triĂĄngulo equilĂĄtero es necesario conocer su altura, pero por su condicion (equilĂĄtero) se sabe que su ĂĄltura serĂĄ perpendicular a su base. Dicha ĂĄltura dividirĂĄ al segmento đ??´đ??ľ entre 2, es decir que los segmentos đ??´đ??ť = đ??ťđ??ľ = 1 đ?‘?đ?‘š.

đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž

1 đ?‘?đ?‘š

1 đ?‘?đ?‘š

Utilizando el teorema de pitĂĄgoras es posible calcular la altura de dicho triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś, asĂ­: 22 = đ??ťđ??ľ 2 + đ??ťđ??ś 2 4 = 1 + (đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž)2 3 = (đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž)2 √đ?&#x;‘ = đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’–đ?’“đ?’‚

KINGooZ

CONCEPTOS

3

Luego la altura mide √3 đ?‘?đ?‘š. Calculando ahora el ĂĄrea del triĂĄngulo: ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž ∆=

đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ ∗ đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž 2

ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž ∆=

2đ?‘?đ?‘š ∗ √3đ?‘?đ?‘š 2

ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž ∆= √3 đ?‘?đ?‘š2 Como en el prisma hay dos bases congruentes (tienen la misma medida), entonces el ĂĄrea de la suma de las bases serĂĄ: đ?&#x;?√đ?&#x;‘đ?’„đ?’Žđ?&#x;? Ya que las bases son congruentes, entonces las caras laterales son paralelogramos que tienen igual ĂĄrea; la suma de las ĂĄreas de los tres caras es: đ??´đ??śđ??´đ?‘…đ??´đ?‘† đ??żđ??´đ?‘‡đ??¸đ?‘…đ??´đ??żđ??¸đ?‘† = 3(8 đ?‘?đ?‘š2 ) = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?’„đ?’Žđ?&#x;? Teniendo en cuenta los datos hallados, ahora es posible conocer el ĂĄrea superficial del prisma: đ??´đ?‘ƒđ?‘…đ??źđ?‘†đ?‘€đ??´ = đ?‘ đ?‘˘đ?‘šđ?‘Ž ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ đ?‘™đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘ + đ?‘ đ?‘˘đ?‘šđ?‘Ž ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘˘đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’đ?‘ đ?‘¨đ?‘ˇđ?‘šđ?‘°đ?‘şđ?‘´đ?‘¨ = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?’„đ?’Žđ?&#x;? + đ?&#x;?√đ?&#x;‘đ?’„đ?’Žđ?&#x;? = (đ?&#x;?đ?&#x;’ + đ?&#x;?√đ?&#x;‘)đ?’„đ?’Žđ?&#x;? đ?‘¨đ?‘ˇđ?‘šđ?‘°đ?‘şđ?‘´đ?‘¨ ≅ đ?&#x;?đ?&#x;•, đ?&#x;’đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?’„đ?’Žđ?&#x;? = đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?’„đ?’Žđ?&#x;‘

KINGooZ

CONCEPTOS

VOLUMEN DE UN PRISMA:

1

Se conoce como volumen de un sĂłlido al espacio ocupado por un cuerpo. Considere los cuerpos conocidos como prismas. Dichos cuerpos poseen una longitud, altura y anchura:

El volumen de cualquier prisma se obtiene al multiplicar el årea de su base por la altura (h). ������� = ����� . �

Pero ÂżquĂŠ es la altura de un prisma? Observe el siguiente prisma:

La altura es la medida de las aristas de color amarillo, asĂ­ como se muestra en la siguiente imagen:

Altura

Altura

KINGooZ

Altura

Altura

CONCEPTOS

Es decir:

2

La altura de un prisma es la longitud de cualquier arista que no pertenece a las bases.

Hagamos un ejemplo !!!

Considere el siguiente sĂłlido en el cual sus bases son triĂĄngulos equilĂĄteros y calcule su volumen:

-

SoluciĂłn:

Para encontrar el volumen del prisma es necesario conocer el ĂĄrea de su base y multiplicar este resultado por su altura. Como en el enunciado se dice que las bases son triĂĄngulos equilĂĄteros, el ĂĄrea de uno de estos serĂĄ:

Por teorema de PitĂĄgoras: (4 đ?‘?đ?‘š)2 = (2 đ?‘?đ?‘š)2 + â„Ž2 16 đ?‘?đ?‘š2 = 4 đ?‘?đ?‘š2 + â„Ž2 â„Ž = √12 đ?‘?đ?‘š

KINGooZ

CONCEPTOS

El ĂĄrea del triĂĄngulo es:

3

(đ?‘? ∗ â„Ž) đ??´âˆ† = 2 đ??´âˆ† =

4 đ?‘?đ?‘š ∗ √12 đ?‘?đ?‘š 2

đ??´âˆ† = 2√12 đ?‘?đ?‘š2 Ya conocemos el ĂĄrea de la base, ahora realizamos la siguiente operaciĂłn para hallar el volumen del solido: đ?‘‰đ?‘ƒđ?‘…đ??źđ?‘†đ?‘€đ??´ = đ??´âˆ† ∗ â„Ž đ?‘‰đ?‘ƒđ?‘…đ??źđ?‘†đ?‘€đ??´ = (2√12 đ?‘?đ?‘š2 ) ∗ (7 đ?‘?đ?‘š) đ?‘˝đ?‘ˇđ?‘šđ?‘°đ?‘şđ?‘´đ?‘¨ = đ?&#x;?đ?&#x;’√đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’„đ?’Žđ?&#x;‘

Otro ejemplo !!! Tenemos la informaciĂłn del siguiente prisma. Encontremos el volumen:

8đ?‘?đ?‘š

đ??´đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ = 25đ?‘?đ?‘š2

-

7đ?‘?đ?‘š

SoluciĂłn:

Para calcular el volumen del prisma necesitamos conocer la altura del mismo; es el Ăşnico dato que nos hace falta, dado que es conocida el ĂĄrea de su base. Como puede observar, se forma un triĂĄngulo rectĂĄngulo en la figura, la cual conocemos la longitud de sus catetos. La hipotenusa de dicho triĂĄngulo rectĂĄngulo es la altura de nuestro prisma. Apliquemos el teorema de PitĂĄgoras y hallemos dicha distancia:

KINGooZ

CONCEPTOS

đ?’‰

4

â„Ž2 = (7 đ?‘?đ?‘š)2 + (8 đ?‘?đ?‘š)2

8đ?‘?đ?‘š

â„Ž2 = 113 đ?‘?đ?‘š2 â„Ž = √113 đ?‘?đ?‘š 7đ?‘?đ?‘š

Conocida el ĂĄrea de la base y la altura del sĂłlido, calculamos el volumen: đ?‘‰đ?‘ = đ??´đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ ∗ â„Ž đ?‘‰đ?‘ = 25đ?‘?đ?‘š2 ∗ √113 đ?‘?đ?‘š đ?‘˝đ?’” = đ?&#x;?đ?&#x;“√đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;‘ đ?’„đ?’Žđ?&#x;‘

Un ejemplo mĂĄs !!! Calcule el volumen del prisma:

â„Ž = 15đ?‘?đ?‘š

đ??´đ??ľđ??´đ?‘†đ??¸ = 12 đ?‘?đ?‘š2 -

SoluciĂłn:

Aplicando el algoritmo del volumen de un prisma: đ?‘‰đ?‘ = đ??´đ??ľđ??´đ?‘†đ??¸ ∗ â„Ž đ?‘‰đ?‘† = 12 đ?‘?đ?‘š2 ∗ 15 đ?‘?đ?‘š đ?‘˝đ?’” = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Ž đ?’„đ?’Žđ?&#x;‘

KINGooZ

CONCEPTOS

Y nos vamos con otro ejemplo mĂĄs !!! Calcule el volumen del siguiente prisma en donde su base es un pentĂĄgono regular:

7 đ?‘?đ?‘š

3 đ?‘?đ?‘š

-

SoluciĂłn:

Para conocer el ĂĄrea de la base es necesario conocer el apotema del pentĂĄgono regular:

đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž

1.5 đ?‘?đ?‘š

3 đ?‘?đ?‘š

Observamos que la base es un pentågono regular, por lo tanto tiene 5 lados, esto quiere decir que internamente se pueden construir 5 triångulos equilåteros. Hallemos el ångulo �: �=

KINGooZ

360° đ?‘

CONCEPTOS

5

�=

360° 5

6

đ?›ź = 72° En donde podemos concluir que đ?›ź = 36° 2 Utilizamos la razĂłn trigonomĂŠtrica de la tangente para hallar la apotema: đ?›ź 1.5 đ?‘?đ?‘š tan ( ) = 2 đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž tan(36°) =

1.5 đ?‘?đ?‘š đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž

Despejando la apotema tenemos que: đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž =

1.5 đ?‘?đ?‘š tan(36°)

đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž ≅ 2.06 đ?‘?đ?‘š El ĂĄrea del pentĂĄgono regular estĂĄ dado por el algoritmo: đ??´=

đ?‘ƒâˆ—đ?‘Ž 2

, đ?‘’đ?‘› đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ƒ đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;Ă­đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘Ś đ?‘Ž đ?‘’đ?‘™ đ?‘Žđ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž

Reemplazando los valores obtenidos en la ecuaciĂłn encontraremos el ĂĄrea del pentĂĄgono que es el ĂĄrea de la base del prisma: 15 đ?‘?đ?‘š ∗ đ??´đ??ľđ??´đ?‘†đ??¸ =

1.5 đ?‘?đ?‘š tan(36°) 2

đ??´đ??ľđ??´đ?‘†đ??¸ ≅ 15.48 đ?‘?đ?‘š2 Calculando el volumen del prisma: đ?‘‰đ?‘ ≅ 15.48đ?‘?đ?‘š2 ∗ 7 đ?‘?đ?‘š đ?‘˝đ?’” ≅ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;–. đ?&#x;‘đ?&#x;— đ?’„đ?’Žđ?&#x;‘

KINGooZ

CONCEPTOS

EL CUBO

1

Un cubo es un tipo de prisma que tiene todas sus caras cuadradas y congruentes.

Muchos hemos escuchado hablar del cubo rubik, un juego que reta el pensamiento humano que consiste en ubicar todas las piezas de cada cara del mismo color.

Tomado de http://www.rubikaz.com/imagenes/novatos/paso7.png

Observemos las seis caras del cubo rubik:

Tomado de http://www.artecreativo.net/oy/uploads/2009/09/rubiks-solver.gif

KINGooZ

CONCEPTOS

Un ejemplo !!! Encuentre el área superficial del siguiente cubo si cada uno de sus lados mide 7 cm.

-

Solución:

Como todas las caras del cubo son cuadradas, lo que vamos a hacer es calcular el área de una cara y multiplicarla por 6 (este número se debe a la cantidad de caras del cubo), dicho resultado será el área superficial del cubo.

Observemos:

Cara

Cara

Cara

Cara

Cara

Cara

KINGooZ

CONCEPTOS

2

El ĂĄrea de cada cara es:

3

7 cm

7 cm Ya que el lado đ??´đ??ľ = 7đ?‘?đ?‘š, y como las caras son cuadradas, decimos que todas las aristas del cubo medirĂĄn 7 đ?‘?đ?‘š, entonces el ĂĄrea de una cara cuadrada es: đ??´đ??śđ??´đ?‘…đ??´ = đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ . đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ??´đ??śđ??´đ?‘…đ??´ = 7đ?‘?đ?‘š ∗ 7đ?‘?đ?‘š đ?‘¨đ?‘Şđ?‘¨đ?‘šđ?‘¨ = đ?&#x;’đ?&#x;—đ?’„đ?’Žđ?&#x;? Multiplicando por 6 este resultado se obtendrĂĄ el ĂĄrea superficial del cubo: đ??´đ??śđ?‘ˆđ??ľđ?‘‚ = 6 ∗ 49đ?‘?đ?‘š2 đ?‘¨đ?‘Şđ?‘źđ?‘Šđ?‘ś = đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;’ đ?’„đ?’Žđ?&#x;?

Volumen de un cubo: El volumen de un cubo estĂĄ dado por la fĂłrmula: đ?‘‰đ??śđ?‘ˆđ??ľđ?‘‚ = đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ . đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ . đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ đ?‘˝đ?‘Şđ?‘źđ?‘Šđ?‘ś = đ?’?đ?’‚đ?’…đ?’?đ?&#x;‘

KINGooZ

CONCEPTOS

GrĂĄficamente estas medidas son:

4

Realicemos un ejemplo !!! Encuentre el volumen del siguiente cubo si la medida de uno de sus lados equivale a 5 cm.

-

SoluciĂłn:

Como estamos hablando de un cubo, la medida del ancho y el alto del cubo tambiĂŠn equivalen a 5 cm, por lo que el volumen de este cuerpo es: đ?‘‰đ??śđ?‘ˆđ??ľđ?‘‚ = đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ . đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ . đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ = 5 đ?‘?đ?‘š ∗ 5 đ?‘?đ?‘š ∗ 5 đ?‘?đ?‘š đ?‘˝đ?‘Şđ?‘źđ?‘Šđ?‘ś = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’„đ?’Žđ?&#x;‘

Volumen de cajas: Como estudiamos anteriormente, para hallar el volumen de un cubo basta con multiplicar tres veces el valor del lado debido a que las tres dimensiones del cuerpo: largo, ancho y alto tienen la misma medida. Existen cuerpos que tienen cierto parecido al cubo, estas se conocen como cajas. Las cajas tienen distintas medidas tanto de su largo, ancho o alto.

KINGooZ

CONCEPTOS

El volumen de una caja es equivalente a:

5

đ?‘˝đ?‘Şđ?‘¨đ?‘ąđ?‘¨ = đ?’?đ?’‚đ?’“đ?’ˆđ?’? . đ?’‚đ?’?đ?’„đ?’‰đ?’? . đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’?

Practiquemos !!! Vamos a encontrar el volumen de la siguiente caja:

-

SoluciĂłn:

Utilizamos el algoritmo para hallar el volumen de la caja: đ?‘‰đ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘› = 2 đ?‘?đ?‘š ∗ 1 đ?‘?đ?‘š ∗ 7 đ?‘?đ?‘š đ?‘˝đ?’?đ?’?đ?’–đ?’Žđ?’†đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?’„đ?’Žđ?&#x;‘

KINGooZ

CONCEPTOS

 PIRAMIDE:

1

Para considerar un objeto geométrico como pirámide se deben cumplir las siguientes características: 

Su base debe ser cualquier polígono

Sus caras laterales son triángulos y además todas ellas comparten un vertice en común.

Véase la siguiente pirámide:

Vamos a observar que sí cumple las características descritas anteriormente: 

Su base es un polígono. Observemos la vista superior del poliedro, es decir supongamos que estamos arriba de él, observando hacia abajo:

El polígono que tiene como base es un cuadrado.  KINGooZ

Analicemos sus caras laterales para verificar que sí son triángulos:

CONCEPTOS

2

Cara1:

Cara2:

Cara3:

Cara 4

Dichas caras laterales triangulares tienen un vértice en común: Vértice común entre las caras

KINGooZ

CONCEPTOS

Realicemos un ejemplo !!! ¿Cuál de las siguientes figuras no es una pirámide?

a)

b).

Si es una pirámide porque la base es el polígono CDB y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice común (A).

c)

KINGooZ

No es una pirámide porque sus caras laterales no son triangulares.

No es una pirámide porque sus caras laterales no tienen forma triangular y no tienen un vértice común.

CONCEPTOS

3

Ă REA SUPERFICIAL DE LA PIRĂ MIDE

1

Encuentre el ĂĄrea superficial de la siguiente pirĂĄmide, la cual estĂĄ conformada por triĂĄngulos equilĂĄteros. Tenga en cuenta que su lado đ??´đ??ś mide 2đ?‘?đ?‘š.

SoluciĂłn: Se debe encontrar el ĂĄrea de cada uno de los triĂĄngulos y posteriormente sumar dichos resultados, los cuales nos proporcionarĂĄn el ĂĄrea superficial de este cuerpo geomĂŠtrico, asĂ­: En el ejercicio 1 se habĂ­a calculado el ĂĄrea de un triĂĄngulo equilĂĄtero en el cual sus lados median 2 đ?‘?đ?‘š, se llegĂł a la conclusiĂłn que su ĂĄrea era igual a √3 đ?‘?đ?‘š2 . Como en este caso se estĂĄ hablando de un triĂĄngulo con iguales caracterĂ­sticas, luego el ĂĄrea es la misma. El ĂĄrea superficial serĂĄ igual a la suma de las ĂĄreas de cada una de las caras de la pirĂĄmide, es decir: ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™ = ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž 1 + ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž 2 + ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž 3 + ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž4 Y como el ĂĄrea de cada una de las caras de la pirĂĄmide es igual, entonces la fĂłrmula es lo mismo que multiplicar cuatro veces el ĂĄrea de alguna cara, por ejemplo de la cara 3: ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž 1 = ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž 2 = ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž 3 = ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž4 ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™ = 4(ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Ž 3) ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“đ?‘–đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘™ = 4(√3 đ?‘?đ?‘š2 ) ĂĄđ?’“đ?’†đ?’‚ đ?’”đ?’–đ?’‘đ?’†đ?’“đ?’‡đ?’Šđ?’„đ?’Šđ?’‚đ?’? = đ?&#x;’√đ?&#x;‘ đ?’„đ?’Žđ?&#x;?

KINGooZ

CONCEPTOS

VOLUMEN DE LA PIRĂ MIDE

1

El volumen de una pirĂĄmide se calcula mediante la siguiente expresiĂłn:

Conocida una pirĂĄmide con altura đ?’‰ y ĂĄrea de la base igual a đ?‘¨đ?’ƒđ?’‚đ?’”đ?’† . El volumen de la pirĂĄmide es: đ?‘˝đ?’‘ =

đ?&#x;? đ?‘¨ ∗đ?’‰ đ?&#x;‘ đ?’ƒđ?’‚đ?’”đ?’†

Hagamos un ejemplo !!! Calcule el volumen de la siguiente pirĂĄmide:

đ?’‰ = đ?&#x;’ đ?’„đ?’Ž

đ?‘¨đ?’ƒđ?’‚đ?’”đ?’† = đ?&#x;’√đ?&#x;‘ đ?’„đ?’Žđ?&#x;? -

SoluciĂłn:

Para hallar el volumen de esta pirĂĄmide utilizamos la expresiĂłn: đ?‘‰đ?‘? =

1 đ??´ ∗ℎ 3 đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’

Reemplazando los valores de đ??´đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ = 4√3 đ?‘?đ?‘š2 y â„Ž = 4 đ?‘?đ?‘š tenemos: 1 đ?‘‰đ?‘? = (4√3 đ?‘?đ?‘š2 ) ∗ 4 đ?‘?đ?‘š 3 đ?‘˝đ?’‘ = KINGooZ

đ?&#x;?đ?&#x;”√đ?&#x;‘ đ?’„đ?’Žđ?&#x;‘ đ?&#x;‘ CONCEPTOS

Otro ejemplo !!! Encuentre el volumen de una pirĂĄmide cuya altura mide 8 cm y su base tiene forma de pentĂĄgono regular.

-

SoluciĂłn:

Para conocer el ĂĄrea de la base es necesario conocer el valor del apotema del pentĂĄgono regular:

36°

Apotema

đ?‘¨đ?’‘đ?’?đ?’•đ?’†đ?’Žđ?’‚

đ?&#x;?. đ?&#x;“ đ?’„đ?’Ž

2.5 cm

đ?&#x;“ đ?’„đ?’Ž

Hallamos el ĂĄngulo đ?›ź, dividiendo 360° entre el nĂşmero de lados del polĂ­gono: đ?›ź=

360° 360° â&#x;š â&#x;š 72° đ?‘ 5

Podemos concluir que đ?›ź = 36° 2

KINGooZ

CONCEPTOS

2

Utilizando la identidad trigonomĂŠtrica para saber el valor de la apotema: đ?›ź 2.5 đ?‘?đ?‘š tan ( ) = 2 đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž tan(36°) =

2.5 đ?‘?đ?‘š đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž

Despejando el apotema: đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž =

2.5 đ?‘?đ?‘š tan(36°)

đ??´đ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž ≅ 3.44 đ?‘?đ?‘š

Hallamos el ĂĄrea del polĂ­gono regular utilizando la expresiĂłn: đ??´=

đ?‘ƒâˆ—đ?‘Ž 2

, đ?‘’đ?‘› đ?‘‘đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ˇ đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;Ă­đ?‘šđ?‘’đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘œ đ?‘Ś đ?’‚ đ?‘’đ?‘™ đ?‘Žđ?‘?đ?‘œđ?‘Ąđ?‘’đ?‘šđ?‘Ž

Reemplazando los valores obtenidos en la ecuaciĂłn encontraremos el ĂĄrea del pentĂĄgono: 25 đ?‘?đ?‘š ∗ đ??´đ??ľđ??´đ?‘†đ??¸ =

2.5 đ?‘?đ?‘š tan(36°) 2

đ??´đ??ľđ??´đ?‘†đ??¸ ≅ 43.011 đ?‘?đ?‘š2

Ya tenemos el ĂĄrea de la base y la altura de la pirĂĄmide, vamos a reemplazar estos datos en el algoritmo del volumen: đ?‘‰đ?‘? =

1 đ??´ ∗ℎ 3 đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’

1 đ?‘‰đ?‘? = (43.011) ∗ 8 đ?‘?đ?‘š 3 đ?‘˝đ?’‘ ≅ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;’. đ?&#x;• đ?’„đ?’Žđ?&#x;‘

KINGooZ

CONCEPTOS

3

APLICACIÓN – VOLUMEN DE PIRà MIDE

1

Halle el volumen de la siguiente pirĂĄmide de base cuadrada. Sabemos que el perĂ­metro de su base es igual a 36 đ?‘?đ?‘š y su altura mide 12 đ?‘?đ?‘š.

-

SoluciĂłn:

Es necesario conocer el årea de la base, para esto debemos fijar nuestra atención a la información dada en el enunciado:  

Su base es un cuadrado El perĂ­metro de la base es igual a 36 đ?‘?đ?‘š

Como es un cuadrado se tendrĂĄ que todos sus cuatro lados tendrĂĄn igual longitud, es decir 9 đ?‘?đ?‘š. Entonces: đ??´đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ = đ??´đ?‘?đ?‘˘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ = 9 đ?‘?đ?‘š ∗ 9 đ?‘?đ?‘š đ??´đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ = 81đ?‘?đ?‘š2

Procedemos a continuaciĂłn a calcular el volumen de la pirĂĄmide: đ?‘‰đ?‘? = đ?‘‰đ?‘? =

1 ∗ đ??´đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ ∗ â„Ž 3

1 (81 đ?‘?đ?‘š2 ) ∗ 12 đ?‘?đ?‘š 3 đ?‘˝đ?’‘ = đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?’„đ?’Žđ?&#x;‘

KINGooZ

CONCEPTOS

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.