El cilindro y el cono

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ďƒ˜ CILINDRO: Un cilindro es un cuerpo curvo que tiene dos bases circulares y paralelas.

Dichas bases son regiones circulares congruentes, ademĂĄs el segmento que une los centros de las bases se llama eje. Se considera un cilindro como recto si sus bases son perpendiculares a dicho eje.

Bases

Algunos ejemplos en donde son vistos a diario, cilindros: -

Corte de un tronco:

http://g03.a.alicdn.com/kf/HTB1eCBoIVXXXXazXFXXq6xXFXXXa/La-forma-del%C3%A1rbol-coj%C3%ADn-coj%C3%ADn-cilindro-crecimiento-del-%C3%A1rbolcoj%C3%ADn-anillo-para-incre%C3%ADble-vida.jpg

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CONCEPTOS

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La forma de un contenedor:

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Una lรกmpara en forma de cilindro:

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https://img1.etsystatic.com/015/0/6987831/il_570xN.465433693_jmaw.jpg

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CONCEPTOS

ÁREA SUPERFICIAL DEL CILINDRO

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Sabemos que cuando se habla de área superficial esto hace referencia a encontrar la suma del área de cada una de las caras del cuerpo.

En un cilindro es fácil reconocer que tiene dos bases circulares:

Tapa 1

Tapa 2

El reto ahora es saber el área del contorno del cilindro que tiene superficie curva.

Ubiquemos un tubo de papel higiénico, el contorno de este es igual al de un cilindro. Hagamos el siguiente experimento: 1. Marca sobre el tubo.

2. Corte perpendicular a la base sobre el tubo.

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CONCEPTOS

2

3. Abra el tubo por este corte y oprĂ­malo sobre la mesa de manera tal que quede plano y hallemos el ĂĄrea de ese contorno:

El ĂĄrea del contorno circular es equivalente a:

Altura del cilindro

đ??´đ??śđ?‘‚đ?‘ đ?‘‡đ?‘‚đ?‘…đ?‘ đ?‘‚ = đ??żđ??śđ??źđ?‘….đ??ľđ??´đ?‘†đ??¸ . đ??´đ??śđ??źđ??żđ??źđ?‘ đ??ˇđ?‘…đ?‘‚ Este algoritmo corresponde a: đ??´đ??śđ?‘‚đ?‘ đ?‘‡đ?‘‚đ?‘…đ?‘ đ?‘‚ = 2đ?œ‹đ?‘&#x; . đ??´đ??śđ??źđ??żđ??źđ?‘ đ??ˇđ?‘…đ?‘‚

đ?‘¨đ?‘Şđ?‘śđ?‘ľđ?‘ťđ?‘śđ?‘šđ?‘ľđ?‘ś = đ?&#x;?đ??…đ?’“đ?’‰

Longitud circunferencia de la base En conclusiĂłn: đ??´đ?‘…đ??¸đ??´đ??śđ??źđ??żđ??źđ?‘ đ??ˇđ?‘…đ?‘‚ = 2(đ??´đ?‘…đ??¸đ??´đ??ľđ??´đ?‘†đ??¸đ?‘† đ??śđ??źđ?‘…đ??śđ?‘ˆđ??żđ??´đ?‘…đ??¸đ?‘† ) + đ??´đ?‘…đ??¸đ??´đ??śđ?‘‚đ?‘ đ?‘‡đ?‘‚đ?‘…đ?‘ đ?‘‚

En conclusiĂłn, un cilindro de altura h y de radio r, tiene un ĂĄrea superficial de: đ??´đ?‘†đ??śđ??źđ??żđ??źđ?‘ đ??ˇđ?‘…đ?‘‚ = 2(đ?œ‹đ?‘&#x; 2 ) + 2đ?œ‹đ?‘&#x;â„Ž

đ?‘¨đ?‘şđ?‘Şđ?‘°đ?‘łđ?‘°đ?‘ľđ?‘Ťđ?‘šđ?‘ś = đ?&#x;?đ??…đ?’“(đ?’“ + đ?’‰)

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CONCEPTOS

Un ejemplo !!!

Encuentre el ĂĄrea superficial del siguiente cilindro:

r = 7cm

h = 19 cm

-

SoluciĂłn:

Es posible saber la medida del radio de la base y la altura del cilindro: đ?‘&#x; = 7 đ?‘?đ?‘š â„Ž = 19 đ?‘?đ?‘š Vamos a encontrar el ĂĄrea superficial de este cilindro paso a paso para mejor comprensiĂłn del algoritmo. 

Ă rea de la base ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Ž đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ = đ?œ‹đ?‘&#x; 2 = đ?œ‹(7đ?‘?đ?‘š)2 = 49đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2

Pero como el cilindro tiene dos bases congruentes, entonces la suma de las ĂĄreas de estas bases es: đ?‘ đ?‘˘đ?‘šđ?‘Ž ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘‘đ?‘’ đ?‘™đ?‘Žđ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’đ?‘ = 2(49đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2 ) = 98đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2 

Ă rea del contorno đ??´đ??śđ?‘‚đ?‘ đ?‘‡đ?‘‚đ?‘…đ?‘ đ?‘‚ = 2đ?œ‹đ?‘&#x;â„Ž = 2đ?œ‹(7)(19)đ?‘?đ?‘š2 = 266đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2

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CONCEPTOS

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Área superficial del cilindro

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𝐴𝑅𝐸𝐴𝐶𝐼𝐿𝐼𝑁𝐷𝑅𝑂 = 2(𝐴𝑅𝐸𝐴𝐵𝐴𝑆𝐸𝑆 ) + 𝐴𝑅𝐸𝐴𝐶𝑂𝑁𝑇𝑂𝑅𝑁𝑂 = 98𝜋 𝑐𝑚2 + 266𝜋 𝑐𝑚2

𝑨𝑹𝑬𝑨𝑪𝑰𝑳𝑰𝑵𝑫𝑹𝑶 = 𝟑𝟔𝟒𝝅 𝒄𝒎𝟐

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CONCEPTOS

VOLUMEN DEL CILINDRO

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Para calcular el volumen de un cilindro, utilizamos el siguiente algoritmo: đ?‘˝đ?‘Şđ?‘°đ?‘łđ?‘°đ?‘ľđ?‘Ťđ?‘šđ?‘ś = đ??…đ?’“đ?&#x;? đ?’‰

đ?’“ corresponde al radio de la base del cilindro h corresponde a la altura del cilindro

Otro ejemplo !!!

Encuentre el volumen del siguiente cilindro: r = 16cm

h = 23 cm

-

SoluciĂłn:

Es posible saber la medida del radio de la base y la altura del cilindro: đ?‘&#x; = 16 đ?‘?đ?‘š â„Ž = 23 đ?‘?đ?‘š Hallamos el volumen del cilindro: đ?‘‰đ??śđ??źđ??żđ??źđ?‘ đ??ˇđ?‘…đ?‘‚ = đ?œ‹đ?‘&#x; 2 â„Ž = đ?œ‹(16 đ?‘?đ?‘š)2 (23 đ?‘?đ?‘š) đ?‘˝đ?‘Şđ?‘°đ?‘łđ?‘°đ?‘ľđ?‘Ťđ?‘šđ?‘ś = đ?&#x;“đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;–đ??… đ?’„đ?’Žđ?&#x;?

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CONCEPTOS

 CONO:

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El cono es un cuerpo geométrico que tiene dos elementos geométricos:  Base de forma circular, cuya medida del radio es r.  Vértice opuesto a la base del cono.

El cono más común es el cono circular recto donde su eje es perpendicular a su base, observemos con la siguiente representación: Cono circular recto Vértice

Generatriz Eje Radio Base circular

Intentemos percibirla forma de la base.

Observemos dicho cono desde una vista superior al mismo:

Ahora desde esta perspectiva es posible observar mejor que la base es un círculo.

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CONCEPTOS

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Ă REA SUPERFICIAL DEL CONO: Si “despegamosâ€? todas las regiones superficiales del cono obtendremos las siguientes figuras planas:

Ă rea base

Decimos que el ĂĄrea superficial del cono es equivalente a la suma del ĂĄrea lateral y el ĂĄrea de la base. đ??´đ?‘†đ??śđ?‘‚đ?‘ đ?‘‚ = đ??´đ??żđ??´đ?‘‡đ??¸đ?‘…đ??´đ??ż + đ??´đ??ľđ??´đ?‘†đ??¸ -

Ă rea lateral del cono: El ĂĄrea lateral del cono se conoce mediante la expresiĂłn đ?‘¨đ?‘łđ?‘¨đ?‘ťđ?‘Źđ?‘šđ?‘¨đ?‘ł = đ?œ‹đ?‘&#x;đ?‘”

-

; đ?‘” = đ?‘”đ?‘’đ?‘›đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘§

Ă rea de la base: El ĂĄrea de la base circular se expresa mediante: đ??´đ??ľđ??´đ?‘†đ??¸ = đ?œ‹đ?‘&#x; 2

Por lo tanto, el ĂĄrea superficial del cono es:

đ?‘¨đ?‘şđ?‘Şđ?‘śđ?‘ľđ?‘ś = đ??…đ?’“đ?’ˆ + đ??…đ?’“đ?&#x;? = đ??…đ?’“(đ?’ˆ + đ?’“)

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CONCEPTOS

Practiquemos !!!

Encuentre el ĂĄrea superficial del siguiente cono si el radio de la base es igual a 4 đ?‘?đ?‘š y su altura mide 3 đ?‘?đ?‘š.

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SoluciĂłn:

Debemos hallar el årea lateral y el årea de la base del cono para luego sumar estos resultados y saber el årea superficial del cono. 

Ă rea de la base Como la base es un cĂ­rculo, su ĂĄrea serĂĄ: đ??´đ??ľđ??´đ?‘†đ??¸ = đ?œ‹đ?‘&#x; 2 = đ?œ‹(4 đ?‘?đ?‘š)2 đ??´đ??ľđ??´đ?‘†đ??¸ = 16đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2



Ă rea lateral ĂĄđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Ž đ?‘™đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™ = đ?œ‹ ∗ đ?‘&#x; ∗ đ?‘” Ya tenemos el radio, nos hace falta encontrar la generatriz.

La generatriz es la medida del segmento que une el vĂŠrtice del cono con cualquier borde de la base.

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CONCEPTOS

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2

3 cm

Altura

Observe que se forma un triĂĄngulo rectĂĄngulo

Radio

4 cm

Utilizamos el teorema de PitĂĄgoras para conocer la medida de la hipotenusa. â„Ž2 = đ?‘Ž 2 + đ?‘? 2 En nuestro caso la hipotenusa es la generatriz del cono. Reescribiendo la ecuaciĂłn: đ?‘”2 = đ?‘Ž 2 + đ?‘? 2 đ?‘”2 = 32 + 42 đ?‘” = √32 + 42 đ?‘” = √9 + 16 đ?‘” = √25 đ?‘” = 5 đ?‘?đ?‘š

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CONCEPTOS

Ya es posible encontrar el ĂĄrea lateral del cono mediante su la expresiĂłn: đ??´đ??żđ??´đ?‘‡đ??¸đ?‘…đ??´đ??ż = đ?œ‹ ∗ đ?‘&#x; ∗ đ?‘” đ??´đ??żđ??´đ?‘‡đ??¸đ?‘…đ??´đ??ż = đ?œ‹ ∗ 4 đ?‘?đ?‘š ∗ 5 đ?‘?đ?‘š đ?‘¨đ?‘łđ?‘¨đ?‘ťđ?‘Źđ?‘šđ?‘¨đ?‘ł = 20đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2 Sumando los dos resultados obtenidos (ĂĄrea lateral y ĂĄrea de la base) se obtiene el ĂĄrea superficial del cono: đ??´đ?‘†đ??śđ?‘‚đ?‘ đ?‘‚ = đ??´đ??ľđ??´đ?‘†đ??¸ + đ??´đ??żđ??´đ?‘‡đ??¸đ?‘…đ??´đ??ż đ??´đ?‘†đ??śđ?‘‚đ?‘ đ?‘‚ = 16đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2 + 20đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2 đ?‘¨đ?‘şđ?‘Şđ?‘śđ?‘ľđ?‘ś = đ?&#x;‘đ?&#x;”đ??… đ?’„đ?’Žđ?&#x;?

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CONCEPTOS

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VOLUMEN DEL CONO Para calcular el volumen de un cono, utilizamos el siguiente algoritmo: ����� =

đ??…đ?’“đ?&#x;? đ?’‰ đ?&#x;‘

đ?’“ corresponde al radio de la base del cilindro h corresponde a la altura del cilindro EJEMPLO !!!

Calcule el volumen del siguiente cono:

-

SoluciĂłn:

Lo primero que vamos a hacer es identificar la medida del radio y altura. đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ = 2 đ?‘?đ?‘š đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž = 3 đ?‘?đ?‘š

Reemplazamos en la expresiĂłn del volumen del cono:

đ?‘‰đ??śđ?‘‚đ?‘ đ?‘‚ =

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đ?œ‹đ?‘&#x; 2 â„Ž 3

CONCEPTOS

𝑉𝐶𝑂𝑁𝑂 = 𝑉𝐶𝑂𝑁𝑂

𝜋(2 𝑐𝑚)2 (3 𝑐𝑚) 3

2

𝜋(4 𝑐𝑚2 )(3 𝑐𝑚) = 3

𝑉𝐶𝑂𝑁𝑂 =

12𝜋 𝑐𝑚3 3

𝑽𝑪𝑶𝑵𝑶 = 𝟒𝝅 𝒄𝒎𝟑

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CONCEPTOS