Semejanza y congruencia de figuras geométricas

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Los triángulos se ven de la misma forma y el mismo tamaño, la cuadrícula ayuda a apreciar mejor esta igualdad. Cuando los triángulos cumplen esa condición se dice que son congruentes, un término matemático que se refiere a iguales y se simboliza como

≅ CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son congruentes si sus correspondientes lados y ángulos tienen la misma medida. Para escribir la congruencia de triángulos es necesario nombrarlos, de tal manera que cada vértice se identifique con una letra diferente para evitar confusiones.

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CONCEPTOS

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Como podemos observar, los dos triĂĄngulos tienen todos sus lados y ĂĄngulos congruentes, por lo tanto estos triĂĄngulos son congruentes.

Expresemos la congruencia de la siguiente forma:

CONGRUENCIA DE Ă NGULOS

CONGRUENCIA DE LADOS

âˆ˘đ??´ ≅ âˆ˘đ??š âˆ˘đ??ľ ≅ âˆ˘đ??ˇ âˆ˘đ??ś ≅ âˆ˘đ??¸

Ě…Ě…Ě…Ě… ≅ đ??šđ??ˇ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… đ??ľđ??ś ≅ đ??ˇđ??¸ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??śđ??´ ≅ Ě…Ě…Ě…Ě… đ??¸đ??š

La congruencia entre los triĂĄngulos ∆ABC y ∆FDE se escribe de la siguiente forma:

∆đ?‘¨đ?‘Šđ?‘Ş â‰… ∆đ?‘­đ?‘Ťđ?‘Ź Se debe tener en cuenta la correspondencia de cada vĂŠrtice para escribir correctamente la congruencia entre ĂĄngulos y lados respectivos en los triĂĄngulos.

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CONCEPTOS

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๏ Ejemplo:

Se tiene โ ๐ ป๐ ผ๐ ฝ โ โ ๐ พ๐ ฟ๐ , entonces la congruencia de lados y รกngulos se establece de la siguiente manera.

CONGRUENCIA DE ร NGULOS

CONGRUENCIA DE LADOS

โ ข๐ ป โ โ ข๐ โ ข๐ ผ โ โ ข๐ ฟ โ ข๐ ฝ โ โ ข๐

ฬ ๐ ป๐ ผ ฬ ฬ ฬ โ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ พ๐ ฟ ฬ โ ๐ ฟ๐ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ ผ๐ ฝ ฬ ๐ ฝ๐ ป ฬ ฬ ฬ โ ฬ ฬ ฬ ฬ ฬ ๐ ๐ พ

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CONCEPTOS

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Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaĂąo.

Observemos las siguientes figuras:

Desde el punto de vista visual decimos que los dos rectĂĄngulos tienen la misma forma pero la conclusiĂłn final de semejanza debe expresarse desde la interpretaciĂłn matemĂĄtica.

No es posible saber si dos figuras son semejantes solo con observarlas, para solucionar esta situaciĂłn utilizamos la teorĂ­a de las proporciones; veamos:



Recordemos que una proporciĂłn es la igualdad entre dos razones.

Para nuestro anĂĄlisis decimos que la primera razĂłn define las alturas de los rectĂĄngulos y la segunda razĂłn define las bases de los rectĂĄngulos: Primera razĂłn: đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘ĄĂĄđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ đ?‘Łđ?‘–đ?‘œđ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ž 8đ?‘š = đ?‘Žđ?‘™đ?‘Ąđ?‘˘đ?‘&#x;đ?‘Ž đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘ĄĂĄđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ đ?‘Žđ?‘§đ?‘˘đ?‘™ 4đ?‘š

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CONCEPTOS

Segunda razĂłn:

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đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘ĄĂĄđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ đ?‘Łđ?‘–đ?‘œđ?‘™đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ž 6đ?‘š = đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘ĄĂĄđ?‘›đ?‘”đ?‘˘đ?‘™đ?‘œ đ?‘Žđ?‘§đ?‘˘đ?‘™ 3đ?‘š

Las razones son proporcionales si se cumple la igualdad siguiente: 8 6 = 4 3 En una proporciĂłn los productos cruzados son iguales.

3Ă—8=6Ă—4 24 = 24 Cuando las figuras cumplen esa condiciĂłn se dice que son semejantes, un tĂŠrmino matemĂĄtico que se refiere a iguales y se simboliza como:

âˆź De acuerdo a lo anterior:

Dos triĂĄngulos son semejantes si tienen los ĂĄngulos correspondientes iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

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CONCEPTOS

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Las razones trigonomĂŠtricas son relaciones entre los lados de un triĂĄngulo rectĂĄngulo asociando a los ĂĄngulos.

SENO DE UN Ă NGULO El seno de un ĂĄngulo un triĂĄngulo rectĂĄngulo es equivalente a la razĂłn:

đ?‘łđ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’Šđ?’•đ?’–đ?’… đ?’…đ?’†đ?’? đ?’?đ?’‚đ?’…đ?’? đ?’?đ?’‘đ?’–đ?’†đ?’”đ?’•đ?’?

đ?‘şđ?’†đ?’?đ?œˇ = đ?‘łđ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’Šđ?’•đ?’–đ?’… đ?’…đ?’† đ?’?đ?’‚ đ?’‰đ?’Šđ?’‘đ?’?đ?’•đ?’†đ?’?đ?’–đ?’”đ?’‚

đ?‘şđ?’†đ?’?đ?œˇ =

đ?’„đ?’‚đ?’•đ?’†đ?’•đ?’? đ?’?đ?’‘đ?’–đ?’†đ?’”đ?’•đ?’? đ?’„. đ?’?. = đ?’‰đ?’Šđ?’‘đ?’?đ?’•đ?’†đ?’?đ?’–đ?’”đ?’‚ đ?’‰

COSENO DE UN Ă NGULO El coseno de un ĂĄngulo de un triĂĄngulo rectĂĄngulo es equivalente a la razĂłn:

đ?‘şđ?’†đ?’?đ?œˇ =

đ?‘şđ?’†đ?’?đ?œˇ =

đ?‘łđ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’Šđ?’•đ?’–đ?’… đ?’…đ?’†đ?’? đ?’?đ?’‚đ?’…đ?’? đ?’‚đ?’…đ?’šđ?’‚đ?’„đ?’†đ?’?đ?’•đ?’† đ?‘łđ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’Šđ?’•đ?’–đ?’… đ?’…đ?’† đ?’?đ?’‚ đ?’‰đ?’Šđ?’‘đ?’?đ?’•đ?’†đ?’?đ?’–đ?’”đ?’‚

đ?’„đ?’‚đ?’•đ?’†đ?’•đ?’? đ?’‚đ?’…đ?’šđ?’‚đ?’„đ?’†đ?’?đ?’•đ?’† đ?’„. đ?’‚. = đ?’‰đ?’Šđ?’‘đ?’?đ?’•đ?’†đ?’?đ?’–đ?’”đ?’‚ đ?’‰

TANGENTE DE UN Ă NGULO

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CONCEPTOS

La tangente de un ángulo de un triángulo rectángulo es equivalente a la razón:

𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝑺𝒆𝒏𝜷 = 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝑺𝒆𝒏𝜷 =

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒄. 𝒐. = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄. 𝒂.

COTANGENTE DE UN ÁNGULO La cotangente de un ángulo de un triángulo rectángulo es equivalente a la razón:

𝑪𝒐𝒕 𝜷 =

𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝑪𝒐𝒕 𝜷 =

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄. 𝒂. = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒄. 𝒐.

SECANTE DE UN ÁNGULO La secante de un ángulo de un triángulo rectángulo es equivalente a la razón:

𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂

𝑺𝒆𝒏𝜷 = 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆

𝑺𝒆𝒏𝜷 =

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝒉 = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄. 𝒂.

COSECANTE DE UN ÁNGULO La cosecante de un ángulo un triángulo rectángulo es equivalente a la razón: KINGooZ

CONCEPTOS

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3 𝑺𝒆𝒏𝜷 =

𝑺𝒆𝒏𝜷 =

𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐

𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒄. 𝒐. = 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 𝒉

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