Transformaciones geométricas y traslación

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Todos los seres humanos en algún momento hemos observado el reflejo en un espejo, no hay duda de que lo visto en él es exactamente nuestra figura. Lo mismo sucede si nos acercamos a un estanque de agua y en muchos otros objetos de superficie plana brillante. Esta y Distintas situaciones de nuestra vida cotidiana pueden explicarse de forma matemática, la geometría a través de muchos pensadores han tratado de explicar y describir cómo funcionan los fenómenos observables que nos rodean.

De manera más específica, los inicios de la geometría tenían en la solución de problemas en los cuales se involucren medidas. Actualmente la aplicación de la geometría es indispensable en nuestro diario vivir; por ejemplo, podemos aplicarla en la astronomía, agricultura, arquitectura, mecánica, topografía, etc.

A continuación se mostrará en qué consisten las transformaciones isométricas, algunas de ellas probablemente han sido escuchadas por el lector: rotación, traslación y reflexión.

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

ISO

METRÍA

Igual

medida

Las transformaciones isométricas son cambios de posición de una figura en donde no se altera su forma y tamaño.

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CONCEPTOS

 Ejemplo 1:

2

¿Cuál de las siguientes imágenes es isométrica?

a)

b)

- Solución: Los cuadrados de la opción a) no son isométricos. Tenga presente que en una transformación isométrica la forma y medida de una figura no se deben alterar.

Se puede notar que a pesar de tener la misma forma, las medidas de los cuadrados son distintos. Caso contrario ocurre en los triángulos de la opción b) en el que se observa que la figura cambia de posición pero no su forma o sus dimensiones.

Las transformaciones isométricas son cambios de posición de una figura en donde no se altera su forma y tamaño.

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CONCEPTOS

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Existen tres tipos de transformaciones geomĂŠtricas:

1. TRASLACIĂ“N: El movimiento de una figura de un lugar a otro sin cambiarlo de sentido se conoce como traslaciĂłn, esta solo debe desplazarse en direcciĂłn horizontal, vertical u oblicua.

Todos estos movimientos deben realizarse en lĂ­nea recta. ďƒ˜ Ejemplo:

Observe la posiciĂłn en la que se encuentra el triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś y luego se traslada hacia la derecha, convirtiĂŠndose en el triĂĄngulo đ??´1 đ??ľ1 đ??ś1:

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CONCEPTOS

Puede apreciarse en la figura que el triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś es exactamente igual al triĂĄngulo đ??´Â´đ??ľÂ´đ??śÂ´. El triĂĄngulo đ??´Â´đ??ľÂ´đ??śÂ´ se construyĂł al trasladar el triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś.

Una caracterĂ­stica particular de las traslaciones es que si se traza un segmento que una cualquier punto de la figura con su respectivo homĂłlogo, se obtendrĂĄ como resultado que todos estos segmentos serĂĄn paralelos entre sĂ­.

Observemos esta caracterĂ­stica en el ejemplo:

Los segmentos đ??´đ??´1 , đ??ľđ??ľ1 y đ??śđ??śÂ´1 son paralelos entre sĂ­.

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CONCEPTOS

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 Ejemplo:

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A continuación se muestra una figura de color verde sobre la cual se ha realizado una traslación.

En la siguiente imagen se puede observar que la imagen se ha trasladado de lugar dejando una sombra de su anterior posición.

Los segmentos de recta que unen a cada punto de la figura verde con sus homólogos son paralelos entre sí.

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CONCEPTOS

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Observemos el siguiente ejemplo que nos permite comprender el proceso de traslaciĂłn de figuras geomĂŠtricas en el plano cartesiano: ďƒ˜ Ejemplo: Traslade la siguiente figura cinco unidades horizontalmente a la derecha.

-

SoluciĂłn: Si vamos a mover horizontalmente una figura, la coordenada đ?‘Ľ es la que cambia, mientras que đ?‘Ś (vertical) permanece constante.

Por ejemplo si se tiene el punto ( 5 , 4 ) y se desea trasladar seis unidades a la derecha, se suma 6 a la coordenada en đ?‘Ľ, asĂ­: ( đ?&#x;“ + đ?&#x;” , 4 ) = ( đ?&#x;?đ?&#x;? , 4 ) Pero si lo que se desea es trasladarla 6 unidades horizontalmente a la izquierda, se debe restar 6 a la coordenada en đ?‘Ľ.

Por ejemplo si se quiere mover horizontalmente a la izquierda 6 unidades el punto ( 5 , 4 ), se obtiene: (đ?&#x;“ − đ?&#x;”, 4) = ( −đ?&#x;? , 4 )

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CONCEPTOS

Vamos a trasladar el triĂĄngulo del ejemplo.

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Primero debemos identificar las coordenadas de sus vĂŠrtices: đ??´ = ( 1 ,2 ) đ??ľ = ( 2 ,5 ) đ??ś = ( 2 , −2 ) Como en el problema nos piden trasladar el triĂĄngulo 5 unidades a la derecha, debemos sumar 5 a las coordenadas en đ?‘Ľ de los puntos: đ??´Â´ = ( đ?&#x;? + đ?&#x;“ , 2 ) = ( đ?&#x;” , 2 ) đ??ľÂ´ = ( đ?&#x;? + đ?&#x;“ , 5 ) = ( đ?&#x;• , 5 ) đ??śÂ´ = ( đ?&#x;? + đ?&#x;“ , −2 ) = ( đ?&#x;• , −2 ) Ubicamos los puntos en el plano:

Formando el nuevo triĂĄngulo ∆ đ??´Â´đ??ľÂ´đ??śÂ´:

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CONCEPTOS

ďƒ˜ Ejemplo:

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Traslade horizontalmente la figura cinco unidades a la derecha.

-

SoluciĂłn: Identificando los vĂŠrtices del polĂ­gono: đ??´ = ( 2 ,1 ) đ??ľ = ( 3 ,4 ) đ??ś = ( 6 ,3 ) đ??ˇ = ( 4 , −2 ) Trasladando cinco unidades a la derecha: đ??´Â´ = ( đ?&#x;? + đ?&#x;“ , 1 ) = ( đ?&#x;• , 1 ) đ??ľÂ´ = ( đ?&#x;‘ + đ?&#x;“ , 4 ) = ( đ?&#x;– , 4 ) đ??śÂ´ = (đ?&#x;” + đ?&#x;“ , 3 ) = ( đ?&#x;?đ?&#x;? , 3 ) đ??ˇÂ´ = ( đ?&#x;’ + đ?&#x;“ , −2 ) = ( đ?&#x;— , −2 )

Ubicamos los puntos en el plano y trazando el nuevo polĂ­gono đ??´Â´đ??ľÂ´đ??śÂ´đ??ˇÂ´:

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CONCEPTOS

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TRASLACIONES VERTICALES ďƒ˜ Ejemplo: Traslade la siguiente imagen hacia arriba 7 unidades.

-

SoluciĂłn:

Como la traslaciĂłn de esta imagen es vertical, las coordenadas de los puntos de la figura cambian en đ?‘Ś, es decir, que si se desea trasladar verticalmente hacia arriba 3 unidades el punto ( 2 , 1 ), la ubicaciĂłn nueva serĂĄ: (2 , đ?&#x;? + đ?&#x;‘ ) = ( 2 , đ?&#x;’ ) No obstante, si se quiere mover verticalmente hacia abajo tres unidades el punto ( 2 , 1 ), se debe restar esa magnitud a la coordenada en đ?‘Ś, asĂ­: ( 2 , đ?&#x;? − đ?&#x;‘ ) = ( 2 , −đ?&#x;? )

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CONCEPTOS

Para la soluciĂłn del problema es necesario identificar la ubicaciĂłn de los vĂŠrtices del polĂ­gono đ??´đ??ľđ??śđ??ˇđ??¸đ??š: đ??´ = ( 3 , −2 ) đ??ľ = ( 6 , −2 ) đ??ś = ( 6 , −4 ) đ??ˇ = ( 3 , −4 ) đ??¸ = ( 1 , −3 ) đ??š = ( 3 , −3 ) Sumando siete unidades a las coordenadas en el eje đ?‘Ś de los puntos anteriores, se forman nuevos puntos: đ??´Â´ = (3, −đ?&#x;? + đ?&#x;•) = (3, đ?&#x;“) đ??ľÂ´ = (6, −đ?&#x;? + đ?&#x;•) = (6, đ?&#x;“) đ??śÂ´ = (6, −đ?&#x;’ + đ?&#x;•) = (6, đ?&#x;‘) đ??ˇÂ´ = (3, −đ?&#x;’ + đ?&#x;•) = (3, đ?&#x;‘) đ??¸Â´ = (1, −đ?&#x;‘ + đ?&#x;•) = (1, đ?&#x;’) đ??šÂ´ = (3, −đ?&#x;‘ + đ?&#x;•) = (3, đ?&#x;’)

Ubicando los puntos en el plano y formando el polĂ­gono đ??´Â´đ??ľÂ´đ??śÂ´đ??ˇÂ´đ??¸Â´đ??šÂ´ se obtiene la traslaciĂłn de đ??´đ??ľđ??śđ??ˇđ??¸đ??š siete unidades verticalmente hacia arriba:

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CONCEPTOS

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ďƒ˜ Ejemplo:

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Traslade el siguiente cuadrilĂĄtero 2 unidades hacia abajo:

-

SoluciĂłn: Se debe identificar las coordenadas de los vĂŠrtices del polĂ­gono: đ??´ = (3,4) đ??ľ = (7,6) đ??ś = (11,6) đ??ˇ = (12,5) Restando dos, a las coordenadas en đ?‘Ś de los puntos, se obtienen los nuevos vĂŠrtices del polĂ­gono trasladado: đ??´Â´ = (3 , đ?&#x;’ − đ?&#x;?) = (3 , đ?&#x;?) đ??ľÂ´ = (7 , đ?&#x;” − đ?&#x;?) = (7 , đ?&#x;’) đ??śÂ´ = (11 , đ?&#x;” − đ?&#x;?) = (11 , đ?&#x;’) đ??ˇÂ´ = (12 , đ?&#x;“ − đ?&#x;?) = (12 , đ?&#x;‘) Ubicando estos puntos en el plano y formando el polĂ­gono đ??´Â´đ??ľÂ´đ??śÂ´đ??ˇÂ´:

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CONCEPTOS

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TRASLACIONES OBLICUAS ďƒ˜ Ejemplo: Traslade todos los puntos del polĂ­gono nueve unidades positivas en đ?‘Ľ y tres unidades negativas en đ?‘Ś.

-

SoluciĂłn:

Para trasladar esta imagen es necesario realizar dos movimientos: un movimiento en el eje đ?‘Ľ como en el đ?‘Ś.

En estos casos por ejemplo si se tiene el punto de coordenadas đ??´ = (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) y se desea trasladar dos unidades positivas en el eje đ?‘Ľ y cuatro negativas en el eje đ?‘Ś, el nuevo punto serĂĄ: đ??´Â´ = (đ?’™ + đ?&#x;? , đ?’š − đ?&#x;’) Observe que al punto đ??´ en la coordenada đ?‘Ľ se le sumo 2, mientras que en la coordenada đ?‘Ś se restĂł 4.

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CONCEPTOS

Para trasladar la imagen vamos a identificar la ubicaciĂłn en el plano cartesiano: đ??´ = (2, −3) đ??ľ = (5, −3) đ??ś = (6, −1) đ??ˇ = ( 4 ,1 ) đ??¸ = (1, −1) Trasladando las coordenadas segĂşn las instrucciones del enunciado, se forman los puntos: đ??´Â´ = (đ?&#x;? + đ?&#x;—, −đ?&#x;‘ − đ?&#x;‘) = (đ?&#x;?đ?&#x;?, −đ?&#x;”) đ??ľÂ´ = (đ?&#x;“ + đ?&#x;—, −đ?&#x;‘ − đ?&#x;‘) = (đ?&#x;?đ?&#x;’, −đ?&#x;”) đ??śÂ´ = (đ?&#x;” + đ?&#x;—, −đ?&#x;? − đ?&#x;‘) = (đ?&#x;?đ?&#x;“, −đ?&#x;’) đ??ˇÂ´ = ( đ?&#x;’ + đ?&#x;— , đ?&#x;? − đ?&#x;‘ ) = (đ?&#x;?đ?&#x;‘, −đ?&#x;?) đ??¸Â´ = (đ?&#x;? + đ?&#x;—, −đ?&#x;? − đ?&#x;‘) = (đ?&#x;?đ?&#x;Ž − đ?&#x;’) Ubicamos los nuevos puntos en el plano y construimos el polĂ­gono đ??´Â´đ??ľÂ´đ??śÂ´đ??ˇÂ´đ??¸Â´, que es la traslaciĂłn oblicua de la imagen:

A este tipo de movimiento se le conoce como traslaciĂłn oblicua.

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CONCEPTOS

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ďƒ˜ Ejemplo:

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Traslade la siguiente circunferencia

32 3

unidades positivas en el eje đ?‘Ľ y

7 5

unidades positivas en el eje đ?‘Ś.

-

SoluciĂłn:

La figura que se quiere trasladar es una circunferencia, en la cual lo importante es conocer la ubicaciĂłn de su centro en el plano. Dicho movimiento es una transformaciĂłn isomĂŠtrica con lo cual es claro que la longitud del radio serĂĄ la misma. Es decir, su radio medirĂĄ tres unidades.

El centro de esta circunferencia es el punto đ??´ = (2,2), al realizar la traslaciĂłn se obtiene una nueva ubicaciĂłn de la circunferencia: đ??´Â´ = (đ?&#x;? +

đ?&#x;‘đ?&#x;? đ?&#x;• đ?&#x;‘đ?&#x;– đ?&#x;?đ?&#x;• ,đ?&#x;? + ) = ( , ) đ?&#x;‘ đ?&#x;“ đ?&#x;‘ đ?&#x;“

Al ubicar el punto đ??´Â´ en el plano y trazar una circunferencia con centro en đ??´Â´ y radio 3 đ?‘˘đ?‘›đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘đ?‘’đ?‘ tenemos la nueva circunferencia:

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CONCEPTOS

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 Ejemplo: Mueve la figura siguiente dos unidades a la derecha y responde la pregunta:

¿Qué tipo de transformación isométrica se ha realizado?, explica tu respuesta.  Solución: Para mover la figura dos unidades a la derecha, es necesario desplazar cada vértice esa cantidad de unidades.

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CONCEPTOS

2

ďƒ˜ Ejemplo: Mueve la figura siguiente cuatro unidades verticalmente y responde la pregunta:

ÂżQuĂŠ tipo de transformaciĂłn isomĂŠtrica se ha realizado?, explica tu respuesta.

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SoluciĂłn:

Las flechas de color rojo muestran la cantidad de unidades que se ha trasladado verticalmente el triĂĄngulo đ??´đ??ľđ??ś. Al tratarse de un movimiento vertical, la isometrĂ­a que se realiza se conoce como traslaciĂłn.

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