Reflexión de figuras

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Mediante el siguiente ejemplo vamos a introducirnos en el concepto de reflexiĂłn de figuras geomĂŠtricas. ďƒ˜ Ejemplo: Dibuje una figura simĂŠtrica a la que se muestra en el plano respecto al eje đ?‘Ś.

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SoluciĂłn: Para que una figura sea simĂŠtrica a otra respecto a un eje, es necesario que la recta que une a cada punto de la imagen con su respectivo homĂłlogo sea perpendicular al eje.

Como en este caso se estĂĄ trabajando con polĂ­gonos es necesario dibujar rectas perpendiculares al eje que pasen por cada vĂŠrtice de la figura, asĂ­:

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Cada punto homĂłlogo de los vĂŠrtices del polĂ­gono debe estar ubicado en la misma recta y tiene que estar a igual distancia del eje de simetrĂ­a, observemos:

En la grĂĄfica anterior se puede observar que đ??ˇÂ´ es el homĂłlogo del punto đ??ˇ, esto se debe a que đ??ˇ y đ??ˇÂ´ se encuentran ubicados en la misma recta roja y estĂĄn a la misma distancia del eje de simetrĂ­a đ?‘Ś.

Lo anterior se realiza con todos los vĂŠrtices del polĂ­gono:

En este ejercicio đ??¸Â´ đ?‘Ś đ??¸ se ubican en el mismo lugar, debido a que đ??¸ esta sobre el eje de simetrĂ­a o eje đ?‘Ś no existe distancia que los separe del eje de simetrĂ­a đ?‘Ś.

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El polĂ­gono đ??´Â´đ??śÂ´đ??ľÂ´đ??šÂ´đ??¸Â´đ??ˇÂ´ es simĂŠtrico con el polĂ­gono đ??´đ??śđ??ľđ??šđ??¸đ??ˇ con respecto al eje đ?‘Ś.

CONCLUIMOS QUE EL POL�GONO �´�´�´�´�´�´ ES LA REFLEXIÓN DE ������

La reflexiĂłn es un movimiento geomĂŠtrico que cambia de orientaciĂłn la figura reflejada.

El “espejoâ€? acerca el movimiento geomĂŠtrico cuando hablamos de reflexiĂłn.

Observemos el siguiente ejemplo:

Como se puede observar, el eje y es el eje de reflexiĂłn o simetrĂ­a y se comporta como el espejo, lo que al tener una figura a un lado del eje se refleja en “espejoâ€? al otro lado del eje.

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ďƒ˜ Ejemplo: Reflejar la figura respecto al eje y.

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SoluciĂłn: Para encontrar reflexiĂłn del polĂ­gono đ??´đ??ľđ??śđ??ˇđ??¸ es importante identificar las coordenadas de sus vĂŠrtices: đ??´ = (2,2) đ??ľ = (4,3) đ??ś = (5,4) đ??ˇ = (6,3) đ??¸ = (8,2) Una vez conocidas las coordenadas de sus vĂŠrtices, pueden encontrarse sus simĂŠtricos, asĂ­: đ??´Â´ = (−2,2) đ??ľ = (−4,3) đ??ś = (−5,4) đ??ˇ = (−6,3) đ??¸ = (−8,2)

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Ubicamos estos puntos en el plano:

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Trazando el polĂ­gono đ??´Â´đ??ľÂ´đ??śÂ´đ??ˇÂ´đ??¸Â´ se obtiene la figura reflejada:

ďƒ˜ Ejemplo: Dibuje la reflexiĂłn de la siguiente figura respecto al eje đ?‘Ľ.

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SoluciĂłn:

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Para poder encontrar una figura simĂŠtrica respecto al eje đ?‘Ľ es necesario encontrar los puntos simĂŠtricos del polĂ­gono đ??´đ??ľđ??ś. En este caso la Ăşnica coordenada que cambia es đ?‘Ś.

Es decir, si tenemos el punto (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) su simĂŠtrico respecto al eje đ?‘Ľ serĂĄ (đ?‘Ľ, −đ?‘Ś).

Por ejemplo: Se tiene el punto (2, −5), su simĂŠtrico serĂĄ (2, −(−5)) = (2,5). Por lo tanto, en el punto simĂŠtrico el signo de la coordenada en đ?‘Ś cambia.

Identificando los vĂŠrtices del triĂĄngulo: đ??´ = (2,0) đ??ľ = (4,3) đ??ś = (8,1) Sus simĂŠtricos serĂĄn respecto al eje đ?‘Ľ serĂĄn: đ??´Â´ = (2,0) đ??ľÂ´ = (4, −3) đ??śÂ´ = (8, −1) Ubicando estos tres puntos en el plano tenemos:

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Formando la reflexiĂłn đ??´Â´đ??ľÂ´đ??śÂ´de la siguiente forma:

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El triĂĄngulo đ??´Â´đ??ľÂ´đ??śÂ´ es simĂŠtrico a đ??´đ??ľđ??ś respecto al eje đ?‘Ľ.

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ďƒ˜ Ejemplo: Reflejar la figura respecto al eje x.

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SoluciĂłn: Los vĂŠrtices del rectĂĄngulo đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ son: đ??´ = (0,2) đ??ľ = (0,0) đ??ś = (4,0) đ??ˇ = (4,2) Los simĂŠtricos de los anteriores puntos respecto al eje đ?‘Ľ serĂĄn: đ??´Â´ = (0, −2) đ??ľÂ´ = ( 0 , 0 ) đ??śÂ´ = ( 4 , 0 ) đ??ˇÂ´ = (4, −2)

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Ubicamos estos puntos en el plano:

Observe que los puntos đ??ľ đ?‘Ś đ??ľÂ´ tienen la misma ubicaciĂłn y đ??ś = đ??śÂ´ tambiĂŠn; esto se debe a que las coordenadas en đ?‘Ś de los cuatro puntos son cero.

Al formar el polĂ­gono đ??´Â´đ??ľÂ´đ??śÂ´đ??ˇÂ´ se obtiene la reflexiĂłn de đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ respecto al eje đ?‘Ľ de la siguiente forma:

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ďƒ˜ Ejemplo: Reflejar la figura respecto al eje x.

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SoluciĂłn: Los vĂŠrtices del polĂ­gono son: đ??´ = (5,0) đ??ľ = (5,2) đ??ś = (7,4) đ??ˇ = (9,2) đ??¸ = (9,0) Los puntos simĂŠtricos respecto al eje đ?‘Ľ serĂĄn: đ??´Â´ = ( 5 , 0 ) đ??ľÂ´ = (5, −2) đ??śÂ´ = (7, −4) đ??ˇÂ´ = (9, −2) đ??¸Â´ = ( 9 , 0 )

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Ubicamos los puntos en el plano:

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Representamos la reflexiĂłn mediante el polĂ­gono đ??´Â´đ??ľÂ´đ??śÂ´đ??ˇÂ´đ??¸Â´:

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