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Ángulos Un ángulo es una porción del plano limitada por dos semirrectas, a y b, que poseen un origen común, O. a
O Un ángulo recto mide 90º.
O
b
Un ángulo agudo mide menos de 90º.
Un ángulo obtuso mide más de 90º.
O
Dos ángulos son complementarios si al sumarlos forman un ángulo recto.
O Dos ángulos son suplementarios si suman 180º.
30º 60º
60º
O
120º
O
1 Indica si los siguientes ángulos son agudos, rectos u obtusos: a) 27°
d) 95°
b) 145°
e) 45°
c) 90°
f) 270°
2 Comprueba si los siguientes ángulos son complementarios: a) 34° y 56°
c) 45° y 55°
b) 89° y 11°
d) 23° y 67°
3 Comprueba si los siguientes ángulos son suplementarios: a) 134° y 56°
c) 84° y 96°
b) 96° y 45°
d) 73° y 17°
4 Si dos ángulos son complementarios, ¿cómo deben ser ambos, agudos u obtusos? 5 ¿Pueden dos ángulos agudos ser suplementarios? ¿Y dos obtusos?
3 6 Indica el valor del ángulo suplementario al indicado. a) 12° d) 145° b) 45° e) 13° c) 123° f) 90° 7 Indica el valor del ángulo complementario al indicado. a) 12° d) 57° b) 35° e) 66° c) 41° f) 1° 8 Determina en cada caso si A y B son complementarios o suplementarios. a) b) c)
A=110º
A=45º O
A=50º
O
O
B=45º
B=70º
O
B=40º
O
O
9 Indica cuál es el valor de los ángulos A, B y C en las siguientes figuras: a) b) c) 140º 120º B
A A
C
120º
B C
C
A B
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Triángulos El triángulo es la figura geométrica que tiene tres lados. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°. A
altura
A + B + C = 180° b
Área =
c base
base altura 2
C
B
a
.Tipos de triángulos atendiendo a la medida de sus lados: A
A c
b C
b B
a
Escaleno 3 lados desiguales
C
A b
c B
a
c
C
Isósceles 2 lados iguales (al menos)
a
B
Equilátero 3 lados iguales
.Tipos de triángulos atendiendo a la medida de sus ángulos: A
A
C
B
Acutángulos 3 ángulos agudos
A
C
C
B
Rectángulos 1 ángulo recto
B
Obtusángulo 1 ángulo obtuso
.Puntos notables del triángulo: Mediatriz
Circuncentro
Bisectriz
Incentro
Mediana
Baricentro
Altura
Ortocentro
10 Observa los siguientes triángulos y clasifícalos atendiendo a la medida de sus lados y de sus ángulos. a) b) c) d)
11 En el triángulo ABC de la figura mide los lados y comprueba que ningún lado sea mayor que la suma de los otros dos. A
B
C
5 12 Dibuja un triángulo de lados 2 cm, 3 cm y 4 cm. ¿Se podría dibujar uno de lados 6 cm, 8 cm y 15 cm? 13 Traza las alturas de los siguientes triángulos: a)
b)
c)
14 Las figuras muestran un mismo triángulo colocado de tres maneras diferentes. Traza en cada caso la altura y realiza el producto base·altura/2. ¿Por qué coincide? a) b) c)
15 Mide los lados y los ángulos de las siguientes parejas de triángulos e indica si son iguales o no. a)
b)
c)
16 Dibuja un triángulo y une cada vértice con el punto medio del lado opuesto. ¿Se cortan las rectas? En el caso de que se corten, ¿cómo se llama a ese punto? 17 En las siguientes figuras traza en a el incentro y en b el baricentro. a)
b)
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Triángulos rectángulos Un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos es recto. B a Teorema de Pitágoras: en los triángulos c rectángulos se cumple que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los A cuadrados de los catetos. b a2 = b2 + c2
C
18 Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados 3 cm y 4 cm. 19 Calcula cuánto mide el cateto desconocido de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 cm si el otro cateto mide 5 cm. 20 Los lados de un triángulo miden 4 cm, 6 cm y 7 cm. ¿Es rectángulo? 21 Calcula cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados 3 cm y 4 cm. ¿Cuanto medirán las diagonales de un rectángulo de lados 3 y 4 cm? 22 Un triángulo rectángulo isósceles (aquel que tiene dos catetos iguales) tiene una hipotenusa de 10 cm. Indica cuánto miden los catetos. 23 Determina cuánto mide el perímetro de un cuadrado si su diagonal mide 5 cm. 24 Calcula cuánto mide la altura de un triángulo isósceles si los lados iguales miden 13 cm y la base mide 10 cm. 25 Calcula el área del triángulo rectángulo de la figura.
6 cm
10 cm
8 cm 26 Determina la altura del triángulo rectángulo de la siguiente figura.
4 cm
3 cm
27 Si el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles mide 14 cm, determina la longitud de la hipotenusa y de los catetos. 28 Determina el área de un triángulo equilátero de lado 10 cm. 29 Dibuja en un triángulo rectángulo isósceles el ortocentro. Indica dónde se encuentra.
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Semejanza. Teorema de Tales Dos polígonos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y los lados proporcionales. A’ A E’ B’ E B D
C D’
C’
DE EA BC CD AB = = = = DE E A BC CD AB
La razón de semejanza es: r =
Teorema de Tales: Si dos rectas secantes son cortadas por paralelas, los segmentos que éstas determinan sobre una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante. AB AB = BC B C
B
A B’
C
C’
48 Los lados de un triángulo miden 10 cm, 7 cm y 6 cm, y los de otro miden 20 cm, 14 cm y 32 cm respectivamente. ¿Son semejantes dichos triángulos? 49 Los lados de un triángulo miden 5 cm, 8 cm y 7 cm. Calcula los lados de un triángulo semejante a él si la razón de semejanza es igual a 5. 50 Dados los cuadriláteros siguientes, indica cuánto tienen que medir los lados del cuadrilátero menor para que sean semejantes. D C 6 D’ C’ 4 A
5 8
1,5 B
A’
B’
51 Un ciprés proyecta una sombra de 10,5 m. En ese mismo momento, un pequeño castaño de 1,8 m de altura arroja una sombra de 60 cm. Calcula la altura del ciprés.
8 52 Desde un barco se mide la distancia d a la cima de un monte, resultando 4525 m, y el ángulo que forma la visual sobre el horizonte. Sobre un papel dibujamos un triángulo rectángulo ABC, uno de cuyos ángulos agudos es . Medimos el cateto BC y la hipotenusa AC. Esas medidas son: BC = 21 cm y AC = 83 cm. Calcula la altura del monte.
d = 4525 m h
C B
A
53 Dos octógonos son semejantes con una razón de semejanza de 15. Si el perímetro del primero es de 45 cm, calcula el perímetro del segundo octógono. 54 Dos triángulos tienen una razón de semejanza de 2. La altura del primero mide 2 cm y su base 1 cm. Calcula la base y la altura del segundo triángulo. Calcula las áreas de los dos triángulos y determina la razón (cociente) existente entre ellas.
Referencia: http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=web&cd=3&cad=rja& uact=8&ved=0CEEQFjAC&url=http%3A%2F%2Fficus.pntic.mec.es%2F~jgam0105%2Fsorpresa% 2FCuad_sm%2FSM3%2520geometria2.doc&ei=FUJuU_nXH8rQsQTJ94HoBA&usg=AFQjCNE6H0BhNjy U436h22oEVwfO00V25Q&sig2=bjnjuikw0bRQ3jEI22XZGw