ÁLGEBRA by leonardo balcino dos santos

C O LECCIÓN EL POSTULANTE

ÁLGEBRA

COLECCIÓN EL POSTULANTE

ÁLGEBRA

E d it o r ia l

ÁLGEBRA - C o l e c c i ó n S a iv a d o rT im o te o

El Po s t u l a n t e

© S a iv a d o rT im o te o D iseño de p o rta d a : M ig u e l Bendezú C o m p o sició n de in te rio re s : Blanca Llanos R esponsable de e d ic ió n : Alex Cubas © E ditorial San M a rco s E. I. R. L., e d ito r jr. Dávalos Lissón 135, Lima Telefax: 33 1-1 522 RUC 20 2 6 0 1 0 0 8 0 8 E -m a il: in fo rm e s @ e d ito ria ls a n m a rc o s .c o m P rim era e d ic ió n : 2007 Segunda e d ic ió n 2013 T ira je : 1000 e je m p la re s H echo el d e p ó s ito legai en la B ib lio teca N acion al del Perú R egistro N.° 20 12 -1 1 9 9 7 ISBN 9 7 8 -6 1 2 -3 0 2 -9 1 9 -7 R egistro de P royecto E d ito ria l N.° 3 1 5 0 1 0 0 1 2 0 0 7 8 0 P roh ib ida la re p ro d u c c ió n to ta l o parcial de esta obra, sin previa a u to riza ció n escrita de! a u to r y de! e d ito r. Im p re so en el Perú / P rin te d i r Perú Pedidos: Av. G arciiaso de la Vega 974, Lima Telefax: 42 4 -6 5 6 3 E -m ail: v e n ta s lib re ria @ e d ito ria ls a n m a rc o s .c o m w w w .e d ito ria is a n rn a rc o s .c o m C om posició n, a ia g ra m a ció n e im p re sió n : E d ito ria l San M a rco s de A n íb a l Paredes G alván Av. Las Lomas 1600, U rb. M a n g o m a rca , S. j. L. RUC 1 0 09 098 43 44

ÍNDICE Le ye s d e e x p o n e n íe s ..........................................................................................................................................................

P o lin o m io s ................................................................................................................................................................................

P ro d u c to s n o ta b le s ...............................................................................................................................................................

D iv is ió n d e p o lin o m io s .........................................................................................................................................................

F a c to rlz a c ió n ...........................................................................................................................................................................

F ra c c io n e s a lg e b ra ic a s ........................................................................................................................................................

B in o m io d e N e w to n ..............................................................................................................................................................

R a d ic a c ió n ................................................................................................................................................................................

N ú m e ro s c o m p le jo s ..............................................................................................................................................................

E c u a c io n e s ...............................................................................................................................................................................

D e s ig u a ld a d e s e in e c u a c io n e s ........................................................................................................................................

P ro g re s io n e s ...........................................................................................................................................................................

L o g a ritm o s .................................................................................................................................................................................

PRESENTACION E d ito ria l S a n M a rc o s p re s e n ta al p ú b lic o la C o le c c ió n El P o s tu la n te , e la b o ra d a ín te g ra m e n te p e n s a n d o en las n e c e s id a d e s a c a d é m ic a s d e lo s jó v e n e s q u e a s p ira n a a lc a n z a r un a v a c a n te en las u n iv e rs id a d e s , in s titu to s y c e n tro s s u p e rio re s d e e s tu d io a nive l n a cio n a l. La C o le c c ió n El P o s tu la n te re ú n e lo s te m a s re q u e rid o s p o r los p ro s p e c to s d e a d m is ió n , lo s c u a le s son d e s a rro lla d o s d id á c tic a m e n te , co n te o ría e je m p lific a d a y e je rc ic io s p ro p u e s to s y re s u e lto s , d e a lto g ra d o d e d ific u lta d , c o n los c u a le s se b u sc a d o ta r a lo s jó v e n e s d e lo s c o n o c im ie n to s b á s ic o s n e c e s a rio s pa ra e n fre n ta r n o s o lo lo s d iv e rs o s e x á m e n e s d e a d m is ió n , s in o a fia n z a r lo s s a b e re s d e su fo rm a c ió n e s c o la r y a lc a n z a r un a fo rm a c ió n in te g ra l q u e le s p e rm ita , en el fu tu ro p ró xim o , d e s a rro lla r un a v id a u n iv e rs ita ria ex ito s a . F in a lm e n te , d e s e a m o s h a c e r un re c o n o c im ie n to al s ta ff d e d o c e n te s lid e ra d o s p o r S a lv a d o r T im o te o , P e d ro d e C a s tro , J o rg e S o la rl y N a th a li F a lcó n , p ro fe s o re s d e a m p lia tra y e c to ria e n la s m e jo re s a c a d e m ia s de n u e s tro pa ís, q u ie n e s ha n e n tre g a d o lo m e jo r de su e x p e rie n c ia y c o n o c im ie n to s en el d e s a rro llo de lo s c o n te n id o s .

- E L E D IT O R -

LEYES DE EXPONENTES POTENCIACION E s a q u e lla o p e ra c ió n m a te m á tic a d o n d e , d a d o s d o s e le m e n to s lla m a d o s b a s e (b) y e x p o n e n te (n) se c a lc u la un te rc e r e le m e n to lla m a d o p o te n cia .

E x p o n e n te n e g a tiv o SI x es un n ú m e ro rea l no nu lo , y si n es un e n te ro p o s itiv o , d e fin im o s 1 /x n E je m p lo s :

N o ta c ió n : bn = P

3~3 = — = — 27 3 l_ 4- 2 = 1 4 2 16

b: b a se , b e lE n: e x p o n e n te , n e Z P: p o te n c ia , P E l

E je m p io s :

( -

2 )'

( - 2 ,3 (-3

r 2=

1 í- 3 .r

SI x e y son re a le s no nu lo s, n es un e n te ro p o s itiv o i x r n / v \n = —1 -—\

En 54 = 62 5, la b a s e es 5, el e x p o n e n te es 4 y la p o te n c ia es 62 5.

e n to n c e s

a 3, a q u í a e s la ba se , 3 es el e x p o n e n te y a 3 es u n a p o te n c ia in d ic a d a .

E je m p lo s :

PRINCIPALES EXPONENTES E x p o n e n te n a tu ra l. S i n es c u a lq u ie r e n te ro p o s itiv o y b e s un n ú m e ro re a l, d e fin im o s . bn =

si n = 1 r b b ' b x b .. b; si n > 2 n veces

= 3 = 27

N ó te s e q u e no h e m o s d e fin id o 0 n, e s ta e x p re s ió n n o tie n e se n tid o : p u e s si: 0 11 = — = - = 3 e n to n c e s 0 n no e x is te . 0n 0

E je m p lo s : 61 = 6

T e o re m a . Si x e y s o n n ú m e ro s re a le s y m, n son e n te ro s , ta l q u e x m, x n, y n e x is te n , e n to n c e s

£ F = V3 H U 1 X1 X1 X1 = ± \2¡ 2 2 2 2 16

X X

( - 2 ) 7 = (—2 )(—2 )(—2 )(—2 )(—2 ){—2 )(—2) = - 1 2 8

(x y )n = x ny n

( í í - H

625 16

r - i - i r -

= X"’

x'r -= X X

x / 0 ;y

(í)

_1_ 16

(x m)n = x mn

-= x y -

( " 3 ) 4 = ( 3 ) ( —3 ) ( —3 )(—3 ) = 81 E je m p lo s :

- 3 4 = —(3 4) = - 8 1 - 2 3 = —(2 3) = - 8

6 3 v 6 4 \ 62 x = 6 3 + (~4) * 2 = 6 1 = 6

E x p o n e n te c e ro . Si a es c u a lq u ie r n ú m e ro rea l no

—

= 3 2_(~3> = 3 1 = 3

nulo, .

E je m p lo s : ( | ) = 1 ; ( - 7 ) ° = 1; ( /5 )° = 1 ; ( - | )

27f 92

' 9

3 n " 2 = 3 n x 32 = 9 x 3 n 3 (2 5 ") = 3 (5 2") = 3 (5 ")2

N ó te s e q u e n o h e m o s d e fin id o 0°, e s ta e x p re s ió n no tie n e un s ig n ific a d o útil.

Si b es un n ú m e ro rea l y m , n, p s o n e n te ro s e n to n c e s:

¡ C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

E sta s e x p re s io n e s no e s tá n d e fin id a s en IR (no e x is te n), e s ta s e s tá n en el c a m p o d e los im a g in a rio s . E s im p o rta n te o b s e rv a r q u e "Va c u a n d o e x is te , es un n ú m e ro rea l único.

P o r e je m p lo :

T e o re m a . Si n es un n a tu ra l, n > 2, x e y son re a le s ta le s q u e n/ x y n/ y e x is te n , e n to n c e s

RADICACION EN IR n/ x n/ y = n/x y iT e s el s ím b o lo ra d ica l n es el ín dice; n e IN a n > 2 n/a = b a e s el ra d ic a n d o (c a n tid a d ra d ic a l) b es la ra íz e n é s im a

•

n/y

= n f^-; si y A 0

" V W = mn/x ; si m es un a n a tu ra l, m 5:2, y las ra íc e s In d ic a d a s e x is te n x: n es im p a r [x|; n es p a r

P o r e je m p lo , en s/3 2 = 2, el ín d ic e es 5, el ra d ic a n d o es 32 y la ra íz q u in ta e s 2. E je m p lo s :

O b s e r v a c io n e s : 1.

4/ 8 4/3 2 = 4/8 ,. 32 = 4/2 5 6 = 4

Si a > 0 y n es un e n te ro p o s itiv o , n > 2; e n to n ces e x is te un ú n ic o rea l b 0, ta l q u e b n = a. El n ú m e ro b se lla m a ra íz e n é s im a d e a y se d e n o ta p o r n/a

- M = ¡ J M = 3/2 7 = 3 3f3 ' 3 3M

SI a < 0 y n es un e n te ro p o s itiv o im p a r n > 3, e n to n c e s e x is te un b < 0, ta l q u e b n = a. En e s te c a s o e s c rib im o s b = n/a y la lla m a m o s la raíz e n é s im a d e a.

3/ / 72 9 = 6Í7 2 9 = 3 V( — 4 )2 = I 4 | = 4

EXPONENTES RACIONALES

F in a lm e n te n/0 = 0

D e la s d e fin ic io n e s n( á = b si y s o lo si b n= a

= 12/2

Si x es un n ú m e ro real y n es un na tura l (n > 2), e n to n c e s d e fin im o s :

„1/n _ nr Vx (s u p o n ie n d o q u e n¡x e x is te )

n >2

C u a n d o n = 2, es u s u a l e s c rib ir /a en lu g a r

E je m p lo s :

d e 2/a y lla m a r a -la la ra íz c u a d ra d a d e a. A l

4 1,2 = 2/ 4 = 2 =2 g °,5 = g1/2 = y g = 3

n ú m e ro 3/a se le lla m a la ra íz c ú b ic a d e a. E je m p lo s :

=4 = 3

% 1 = 3, pu e s: 34 = 81

2 7 1/3 = 3/2 7 = 3

16025 = 1 6 1/4 = 4/T 6

3'T _8 = - 2 , pu es: ( ~ 2 ) 3 = - 8 ■Í9 = 3, pu es: 32 = 9

3/6 4

8 1 1,4 = 4/8 1

4/ l 6 = 2, pu es: 24 = 16

S e a m /n un n ú m e ro ra c io n a l irre d u c tib le y n un n a tu ra l (n > 2). L u e g o , si x e s un n ú m e ro real, ta l q u e n/ x e x is te , d e fin im o s .

N ó te se q u e no h e m o s d e fin id o n/a c u a n d o a < 0 y n es un e n te ro p o s itiv o par. La ra z ó n d e e s to c o n s is te e n q u e p a ra to d o n ú m e ro real b, b 11 es no n e g a tiv o c u a n d o n e s par.

E je m p lo s :

P o r e je m p lo : / - 4 ; 4/ - 5; 6V— 1 0 0 ;...; 2rV(—T

•

x m,n =

3 1 2 5 2' 5 = ( 5/3 1 2 5 )2 = (5 )2 = (5 )2 = 25

EJERCICIOS RESUELTOS

( ~ 2 7 ) 2/3 = ( 3Á ~ 2 7 )2 = ( - 3 ) 2 4 - ^ . {^

lg ebr a

= 2- 5 = ± = ± 2b

C a lc u la r el v a lo r de: [(1 /3 )~ 2 + (1 /2 )~ 4] 1/2

Resolución:

6 4 0 ,6 = 6 4 2 /3 = Á 6 4 2 = 4 2 = 16

A p lic a n d o la p ro p ie d a d d e e x p o n e n te s n e g a tiv o s :

8 5 /3 = ( 3/8 f = (2)5 = 32

[3 2 + 24] 1'2 = [2 5 ]1'2 =

cY lo ta :-------------------------

Con juntos num éricos

¡2 5 = 5

C a lc u la r el v a lo r de: [(1 /2 ) 2 + 2(1 /3 )~ 2 + (1 /3 )" 3] ° 5

R esolución: A p lic a n d o la p ro p ie d a d d e e x p o n e n te s n e g a ti vos: [22 + 2 (3 )2 + (3 )3] 1'2 = [4 + 18 + 2 7 ]1'2 = [4 9 ]1,2 = Í4 9 = 7 3.

R e d u c ir la e x p re s ió n : X =

( x m ) 1/m _ ( x 1 + 1/m Jm/( m + 1) _j_ ir y ^ 2 m

Resolución: ¡ U

E = (x )

—x

m + 1\ I m \ 2m m + x m

E = x - x + x2 = x2 P ro p ie d a d e s : •

a° = 1

Resolución:

i a \n _ a^ \ b I ~ bn

R e a liz a n d o tra n s fo rm a c io n e s e q u iv a le n te s :

(a n)m = a nm

•

a '" — = am n

" /a " = a; n es im p a r

nla T b = a nVb

n / I

"Va^ = a p/n

n/ Á

M =

2n + n2 n+2

n (n + 2 )

— V2 n‘

n+ 2 M = nJ — —— = " ! ¥ = n/4 2"

nH 7 = 2 2 /7

’ =

S im p lific a r: M = n

(a b )n = a nb n

If a 1/n = J _ = J _ a=1,n ÁÁ

H a lla r la fra c c ió n d e c im a l e q u iv a le n te a la s i g u ie n te e x p re s ió n : E =

£ ______ ¡7 2 + Í5 0 - Í 8

Resolución: E fe c tu a n d o : E =

/2 73 6 (2 ) + /2 5 ( 2 ) - /4 ( 2 )

j C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

E =

Ü 6 /2 + 5 /2 - 2 /2

= J L = 1 9 /2 9

- 2 í 2 n'

S im p lific a r la e x p re s ió n : E ;

2 ( 2 " +3)

Resolución: 6.

R e p re s e n ta n d o c o n v e n ie n te m e n te :

E fe ctu a r: P = 8

R esolución:

E =

2 n x 2 4 - 2 (2 n)

2 n(2 4 —2)

2 n(1 6 )

En e je rc ic io s d e p o te n c ia s d e e x p o n e n te s en c a d e n a s e e m p ie z a las re d u c c io n e s d e la p o te n c ia e x tre m a . A sí: __4- o.5

1_ 40,5

, ^ 4 - 0 .5 _

10. 1_ _ _ J_ 2

1 ;2

= ^ 27"

Resolución: R e p re s e n ta n d o c o n v e n ie n te m e n te :

= 7 ^ 3 1

2 7 1'3

3-Í27

^ 3 n3 3 - 3 ( 3 n) 3 n{2 7 - 3) E = — = -------------------- — ¿4 3 ( 3 n)(3 ) 3" 11.

-1/3 _

,R t3 — 3 (3 n) 3 ( 3 n 1!

27“

S im p lific a r la e x p re s ió n : E

_ _1_

8 1/3

C a lc u la r el v a lo r de: 2 X+ 4 + 36 Í2 .X " 2) E =2 x + s _ 2 ( 2 XX 3) - 4 { 2 X _1) - 6 ( 2 X~ 1)

3/8

P = 1/2 = 0,5

Resolución: 7.

H a lla r el v a lo r d e x en:

=27

2 x (2 4 ) + 3 6 ( 2 x /2 2 )

E =

Resolución:

2 X2 5 - 2 ( 2 X2 3) - 4 ( 2 X)(2 1) — 6 ( 2 x/2 )

R e a liz a n d o tra n s fo rm a c io n e s e q u iv a le n te s : 3 3 *.3 _

v W = 27

__________ (1 6 )(2 X) + (9 ) ( 2 X)

(3 2 ) (2 X) - (1 6 )(2 X) - (8 )(2 X) - ( 3 ) (2 X)

Id e n tific a n d o e x p o n e n te s : A « 2 + 1 /x „ Oo 1=3 , pe ro: 1 = 3 U

1 3 x/3

=> 0 = 2 + 1/x

E = ^ > 5 (2 ")

c. E = 5

x = -1 /2 12. C a lc u la r el v a lo r de : E

S im p lific a r: E = a b 23»,a 1b~2 l a " 1b

R esolución: E lim in a n d o ra d ic a le s y e s c rib ie n d o b a jo la fo r m a e x p o n e n c ia l: E = a b 2a - 1/V

[4 '4

V.nl2

Resolución: T ra n s fo rm a n d o , p a ra e s c rib ir en b a se 4:

(8 4,3P = [(23)4/3] = (24 r n= f(22)2] " = 4 -

2/3a - 1/6b 1/6

R e d u c ie n d o p o te n c ia s d e ig u a l ba se : E = a

4 3(8 4

( i _ ! _ ! j (2 -2 + 1 ) 3 6 b ' 3 6/

R e e m p la z a n d o en la e x p re s ió n p ro p u e s ta : E =

( 4 3) ( 4 - 2n!

( 4 3) ( 4 - 2n)

4 3 2n

( 4 14 " n)2

( 4 1 ""n)2

4 2 ' 2n

=> E = a lí2b 3''2 = la -Z b 3 = í a b l b E = b la b

^ 3 —2n —(2 —2n) _ ^ 3 —2n —2 + 2n _

13. C a lc u la r el v a lo r de: E ;

216 x 353 x 803

Resolución:

15 4 x 1 4 9 x 3 0 2

T ra b a ja n d o c o n el d e n o m in a d o r:

R e s o lu c ió n :

-n ^ ¡ 4 x W

lg e br a

= c-i^ 4 1x 4 n'2 = ^ 4 1+n/2

D e s c o m p o n ie n d o e n fa c to re s p rim o s: E -

n+2U ~ r = n- 4 ( 2 ^ r = 3 2 ^ 7 - 2

(-3 > 7 ) 6 ( 7 " ' 5 '3 ( 2 4 x 5 ) 3

(3 x 5 ) 4 (2 x 7 )9 (2 x 3 x 5 f

n+ 2

= 2 "+ 2 = 2

P or p ro p ie d a d : E =

R e e m p la z a n d o y d e s c o m p o n ie n d o :

3 S ■. 7 6 - 7 3 v 5 3 x 2 12 x 5 3 334 x 5£ 4 v,. x 2o9 x. 7 xw 2o2 xw q2 3 w x c5 2

p — nj 2 x 2

nJTjñ

. p —2

M u ltip lic a n d o p o te n c ia s d e b a s e s ¡guales: E =

3 6 x 7 9 x 5 6 x 2 12 17. C a lc u la r: E = n.

3 6 x 7 9 x 5 6 x 2 11 E = 2 1/ 22,9

11 _

o 1 2 - 11 _

= 02 1'

E = 2

10n + 15n + 6 n 5~~n + 2 ~ n + 3 ~ n

Resolución: T ra n s fo rm a n d o el d e n o m in a d o r:

14.

C a lc u ia r el v a ío r de: E = { 3j3/ 3^ } 1 0 n + 15n + 6 n

R e s o lu c ió n :

E s c rib ie n d o ia ra íz p rin c ip a l en la fo rm a e x p o

n e n c ia l. E = | 3 ' 3/”' 3 }

,3 -1 1 6

i i)

= ( 3 )36 '

( 10 " + 15 n + " E = n |6 n + 1 5 n + 1 0 n V 5 n x 2 n .x 3 n

3 -1 /6

- W ” (

3 -I/6

+ ±

D a n d o c o m ú n d e n o m in a d o r e n el d e n o m in a d o r d e la raiz:

T ra n s fo rm a n d o lo s e x p o n e n te s : E = 1(3)3

J_ + ±

l1 0 n + 1 5 R+ 6 n 1 I na 1 1 0 n + 15" + 6 n

(5 x 2 x 3 f

E = nV ( 3 0 )n = 30

= 3 3° = 3 1

E = 3

15. S im p lific a r la e x p re s ió n :

j- EJER C IC IO S PROPUESTOSs j

E = { m _1[m (m 3)1/2]1/

3 <3)(3)

R e s o lu c ió n :

C a lc u le : 33

E fe c tu a n d o o p e ra c io n e s :

i1/5

= > E = m 2m 5 m 5 = m i 16. C a lc u la r. P = n

a ) 73 d) 1 E = m

x b) 12 e ) 77

C a lc u le A y ES \-i

c) 75

| C

o l e c c ió n

E l Po s tu la n te

9 - 2- V 5 °

a) x d ) 5x

{ ( 2 - 3~ 1)2 a) 5; 2 d ) 4; 7

.( ( x 5)4 )3

c = '¡

b) 1; jt; 2 e ) 2: 71; 5

c) 1;

el exponente final de: /x"/x7>Tes cular n. Si

7/4,

(x2)(x4)(x6)(x8)(x10) (x )(x 3)(x5)(x7)(x9)

12. Si: x 4 0, re d u ce : a) x 5 d) x 1'

cal

c) 3

b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

71;

c) 3

b) 0 e) 5

a) 2 d) 1

B = 'l n f n

3/3

a ) 3; t i; 3 d) 1; 71; 4

Si: x A 0, s im p lific a r:

C a lc u le A , B y C: A = -/s + / 6 + /6 + ... ;

c) 3x

c) 2; 3

b) 1; 2 e ) 5; 9

11. 3.

b) x2 e ) 7x

c) 2x

b) x e) x ‘

13. S i se c u m p le : x x = 6, h a lla r: x 6 a) 12 d ) 12

b) 2 e ) 18

c) 6

C a lc u le el v a lo r d e x, en: 2*-Í2 = 3/ 4 x a) 2 d ) 1/4

b) - 3 / 2 e ) 5/3

c) 1/2

14. C a lc u le : 4/ ( - 2 ) 47° a) 1 d) 2

b) - 2 e) 6

c) 3

R educe: a) 27 d) 20 7.

b) 48 e) 30

E n c o n tra r el v a lo r d e

ine

,(3/3 -2 )3Í3

c) 4 9 15.

n, si d e s p u é s

d e re d u cir:

3TÓ® i R e d u c e : 13/9 ’ } a) 1 d ) 12

b) 3 e) 81

c) 9

IN, s e o b tie n e : 4 1

a) 5 d) 1

b) 4 e ) 10

c) 9

16. Si se c u m p le qu e: x ' 1/x = 2 , c a lc u la r: /x a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

Si: x 2 2>!— 2, c a lc u le : x ' /2x b) ¡5 e) 8

a ) Í2 d) 2

c) 4Í2

í i v 1r£ ) [\ i

2 \41

Si: a a = 2 h a lle : a a3+1 a) 4 d ) 10

b) 2 e ) 12

17. C a lc u le : r

c) 8

a) 4 d) 4 0

--1 2 / 1 '_3 + — I ’ ó 1 8- 1 /f ” V1 2 5 / b) 21 e ) 20

c) 30

18. SI x x = 5, in d ic a r el e x p o n e n te d e a x en: a x 10. R ed uce:

ix ix /x

a) 5 d) 4

b) 3 e) 7

c) 2

19. Si: x y V O, s im p lific a r A y B: A -

-2

+ y — ;

B =

a) 1 d) 5

8 x 3y 4

(x y )

4 x ~ 1y 2

a) x 2 + y 2; 2 x 4y ” 6 c) x - y; x J/y e ) x + y: x 3/y 5

b) x + y; x 3/y 2 d) x + y; x/y

c) 3

b) 2 e) 8

26. S i s e c u m p le qu e: x x

lg e br a

c a lc u le : x 3 + x ”3 + x 6 + x x6 a) 21 d) 4 2

b) 25 e) 28

c) 37

b) 3 /7 e ) 3/91

c) 1/4

20. Si: x v = 2, c a lc u le : <x xV)y ( x 3) V( 4 v )' a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

27. E fe c tu a r: 3

21. E fe c tu a r A y B: A = ¡2

3/ 2

a) 1/2 d ) 1/9

6/9 ■4Í9 , Á 9

6¡2 :

20/ 9 „ 5Í9 a ) 2; 3 d) 1 :2

c) 7: 2

b) 5; 2 e ) 4; 2

28. S im p lific a r: a ) 20 d ) 30

22. In d iq u e el v a lo r re d u c id o de la e x p re s ió n : ( 6/ 7 ) a) 2 d) 9 23 . Si: n

¡3 + .27 + .12 /3

29.

b) 5 e ) 15 e

30.

81 v e c e s

b) 84 e) 90

b) 35 e) 4 0

c) 25

S im p lific a r:

d i ' 3 ' 4 i ) ' 3Í a) 287 d ) 123

81 x 81 x 8 1 ... 81

c) 12

S ea : x x = 5; halle: (x x) a) 2 0 d) 28

c )7

IN y a d e m á s :

110 4 )(3 0 3 1( 4 2 3) (5 4 )(2 5 0 )(6 0 2 )(7 0 2)

+(t

b) 281 e) 4 3 5

c) 23 5

10 v e ce s c a lc u le : n2 + 1

31. R e d u c e : (5 5 /5 X J 5 5 - 10/5)1 2 ,

a ) 20 e ) 10

b) 30 e ) 15

c) 4 0

2 4 . Si: a a = 2, c a lc u le : 3J (a a2 + aa* a )1/a 3 )1 d) 4

a) 21 d ) 26 32. S im p lific a r:

b) 24 e) 30

c) 25

(1 0 5 )(6 5)(2 4 ) (4 8 2)( 15 4 )(4 3)

c) 3

b) 2 e) 5

a) 2 d ) 4 /3

b) 5/2 e ) 3/8

c) 5/6

25. H a lle el e x p o n e n te fin a l d e x 33. S e a x > 1 y a d e m á s : x x = x x'

b v e ce s ( x a)bc( x bc) V cx ac..'.x acx ac. ( ( X 3 a )b f

c a lc u le : x 3x x * 0

a) 2 d) 5

b) 3 e) 7

c) 8

34.

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

c) x

a) x7

b) x 3

d) x ~ 5

e) x - 20

o n - 4 _ n v on + 2 35.

S im p lific a r:

— 2 x 2n

; x e 1N

£1) Ui s < J

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

c) 1/3

b) 3 e) 1/5

a) 2 d ) 1/2

; x e ¡R+

S im p lific a r:

a a a b b c b

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

a a b d a c d

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

c a a a a a a

22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

c d b a d b b

29 . 30. 31. 32. 33. 34. 35.

c a c b c e d

POLINOMIOS N o ta c ió n m a te m á tic a . Es la q u e p e rm ite d ife re n c ia r la s v a ria b le s d e la s c o n s ta n te s . P(x; y; z) = 2 a x 3 - 5 b x y z

variables

constantes

E llo s se d e n o m in a rá n té rm in o s s e m e ja n te s y tie n e n c o m o p ro p ie d a d q u e la s u m a d e té rm in o s s e m e ja n te s se re d u c e n a un s o lo té rm in o s e m e ja n te y s e o b tie n e s u m a n d o lo s c o e fic ie n te s a c o m p a ñ a d o d e la m is m a p a rte v a ria b le , p o r e je m p lo : S e a n : 4 x 7y; 57ix7y; a b x 7y =» 4 x 7y + 57ix7y + a b x 7y = (4 + 5 ji + a b )x 7y

E x p re s io n e s a lg e b ra ic a s . S o n a q u e lla s e x p re s io ne s d o n d e la s o p e ra c io n e s q u e s e usa n s o n s o lo la s d e a d ic ió n , s u s tra c c ió n , m u ltip lic a c ió n , d iv is ió n , p o te n c ia c ió n , ra d ic a c ió n e n tre s u s v a ria b le s , e n un n ú m e ro lim ita d o d e c o m b in a c io n e s . S o n e je m p lo s d e e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s :

Q (x; y) — ——————+ Í 3 y — 5 71

R (x; y; z ) = 3 + 5x + lo g 2 /xy z •

S e d e fin e al p o lin o m io c o m o la e x p re s ió n a lg e b ra i c a d o n d e lo s e x p o n e n te s d e la s v a ria b le s s o n e n te ro s p o s itiv o s y e s tá d e fin id o p a ra c u a lq u ie r v a lo r q u e s e d é a s u s v a ria b le s. S o n e je m p lo s d e p o lin o m io s :

P (x) = x 2 + 5x - y .

POLINOMIO

T (x ; y) = ^

+ 6

•

2 4x2

GRADO DE UN POLINOMIO

Vxy S o n e je m p lo s d e e x p re s io n e s n o a lg e b ra ic a s lla m a d a s ta m b ié n tra s c e n d e n te s :

Es la c a ra c te rís tic a q u e d is tin g u e a u n a fa m ilia d e p o lin o m io s , e s te g ra d o se h a lla s e g ú n la c a n tid a d d e v a ria b le s .

K (x) = c o s x - 1

P o lin o m io d e u n a s o la v a ria b le . El g ra d o e s tá d a d o p o r e! m a y o r e x p o n e n te d e la v a ria b le . P o r e je m p lo :

N (x) = xxX - 1 M (x; y; z ) = 3 + 6 x + lo g x /x y z R (x) = 1 + x + x 2 + ... La s e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s p u e d e n s e r ra c io n a le s o irra cio n a le s .

N (x: y) = 57i x 2,7 y

P (x) = - 6zx; Q (x: y) = 2 0 0 0 x 2y 7 V e m o s q u e la s e x p re s io n e s N y Q p re s e n ta n d i fe re n te s c o e fic ie n te s p e ro la m is m a p a rte v a ria b le y d ic h a s v a ria b le s e s tá n e le v a d a s al m is m o e x p o ne nte .

es d e g ra d o 6;

N (z) = x 7 + (v a ria b le z )

2 z 2x -

e s d e g ra d o 3.

M (x; y ) = 7 x 2y 8 es d e g ra d o a b s o lu to : 10 re s p e c to a x (G R ): 2 re s p e c to a y (G R ): 8

p a rte v a ria b le

S o n e je m p lo s d e té rm in o a lg e b ra ic o :

P (x) = x 4 + 3 x 3 + 7 x 6

M o n o m io s d e v a ria s v a ria b le s . El g ra d o o g ra d o a b s o lu to se rá la s u m a d e lo s e x p o n e n te s d e to d a s su s v a ria b le s m ie n tra s q u e su g ra d o c o n re s p e c to a un a v a ria b le o g ra d o re la tiv o s e rá el e x p o n e n te d e la v a ria b le en re fe re n c ia . P o r e je m p lo :

T é rm in o a lg e b ra ic o . Es a q u e lla e x p re s ió n a lg e b ra ic a e n la q u e no se e n la z a a la s v a ria b le s m e d ia n te la a d ic ió n y la s u s tra c c ió n , p re s e n ta d o s p a r te s q u e s o n el c o e fic ie n te y la p a rte lite ra l o p a rte v a ria b le .

c o e fic ie n te -

M (x; y) = 5 x 2y + ( - 6 x 3y 5) + 1 N (x) = x 2 - 6 x 3 + 5 x 6 T (x ) = x 2 + 2 x 2 + 7 x 2 +

•

P o lin o m io de d o s o m á s té rm in o s co n u n a v a ria b le . El g ra d o o g ra d o a b s o lu to e s tá d a d o p o r el m a y o r g ra d o d e lo s m o n o m io s q u e in te rv ie n e n , m ie n tra s q u e el g ra d o re la tiv o (G R ) lo d a rá el m a y o r e x p o n e n te d e la v a ria b le en re fe re n c ia . P o r e je m p lo :

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

P(x; y) = 7 x 2y 3 - 4 x 5y6 + 6 x 7y2

S o n e je m p lo s d e p o lin o m io s m ó nico s:

G ra d o a b s o lu to (G A ):

A (x) = 1 + x2 + 3x; B(x) = 7 - 2x2 + x 3: C (x) = x

m a y o r {5; 11; 9 } = 11

P o lin o m io h o m o g é n e o . E s a q u e l en ei qu e c a d a té rm in o tie n e el m is m o g ra d o a b so lu to . S o n e je m p lo s d e p o lin o m io s h o m o g é n e o s : A (x; y) = 6 x 4y 2 + 3 x y 5 - y 6, su g ra d o d e h o m o g e n e id a d e s 6.

P o lin o m io c o m p le to . E s a q u e l p o lin o m io qu e p re s e n ta to d o s sus e x p o n e n te s d e s d e el m a y o r h a sta el d e té rm in o in d e p e n d ie n te .

G ra d o re la tiv o (G R ) G R (x ) = m a y o r {2; 5: 7 } - 7 G R (y ) = m a y o r {3; 6; 2 } = 6 R e p re s e n ta c ió n g e n e ra l d e p o lin o m io s d e una s o la v a ria b le P (x) = a 0 + a ,x + a 2x 2 + a 3x 3 + , . . . + a nx n, d o n d e : a 0; a y ...: a n: c o e fic ie n te s

S o n e je m p lo s d e p o lin o m io s c o m p le to s : A (x ) = 7 a 3 x 2 + x + 4 x 3 B(x; y) = x y 2 + x y + x 2 es co m p le to respe cto a y. C (x; y) = x 3y + x2y2 + x + 2 y 3 es c o m p le to re s p e c to a x y ta m b ié n re s p e c to a y.

a n: c o e fic ie n te p rin c ip a l, si a n A 0 a 0: té rm in o in d e p e n d ie n te . Si a n = 1 =■ P (x) se lla m a m ó níco C a s o s p a rtic u la re s n = 1: P (x) = a 0 + a ^ p o lin o m io linea l, si a A

P o lin o m io o rd e n a d o . Si lo s e x p o n e n te s de un a v a ria b le p re s e n ta n un o rd e n ya s e a a s c e n d e n te o d e s c e n d e n te re s p e c to a e s ta v a ria b le s e rá o rd e n a d o .

n = 2: P (x) = a 0 + a ,x + a2x 2, p o lin o m io c u a d rá tico, si a 2 A 0. n = 3: P (x) = a 0 + a ,x + a 2x 2 + a 3x 3, si a 3 A 0, p o lin o m io c ú b ico .

S o n e je m p lo s d e p o lin o m io s o rd e n a d o s : P(x; y) = y fix 2 + y 4x 3 + y 2x 5 + x 6y es o rd e n a d o d e s c e n d e n te m e n te re s p e c to a y m ie n tra s qu e re s p e c to a x lo es en fo rm a a s c e n d e n te .

IGUALDADES DE POLINOMIOS D o s p o lin o m io s so n ig u a le s o id é n tic o s si s o n del m is m o g ra d o y p o s e e n el m is m o v a lo r p a ra c u a l q u ie r v a lo r a s ig n a d o a su v a ria b le o v a ria b le s (qu e d e b e n s e r e q u iv a le n te s ). Es decir, al s e r Id é n tico s p re s e n ta rá n los m is m o s c o e fic ie n te s en té rm in o s s e m e ja n te s . P (x) = a0 + a-|X + a2x2 + ... + a nx n es Igual a Q (x ) = b0 + b-,x + b2x 2 + ... + b nx n o sea, P(x) = Q (x) =>

a0 =

b0 A a 1 = b-i

A a2 =

b2 A

... Aan =

<=}'lo ia :----------------------------------------------------------------------------------------_ ;

•

En to d o p o lin o m io d e d o s o m á s té rm in o s la s u m a d e s u s c o e fic ie n te s se o b tie n e e v a lu a n d o el p o lin o m io p a ra x = 1. Es d e c ir, s u m a d e c o e fic ie n te s e s P (1 ) o P (1 ; 1) o P (1; 1; 1) (se g ú n la c a n tid a d de v a ria b le s ).

•

En to d o p o lin o m io su té rm in o in d e p e n d ie n te se o b tie n e e v a lu a n d o d ic h o p o lin o m ió p a ra x = 0. E s d e cir: té rm in o in d e p e n d ie n te : P (0 ) o P (0; 0) o P (0; 0; 0) (se g ú n la c a n tid a d d e v a ria b le s ).

•

A q u e l p o lin o m io q u e c u m p le s im u ltá n e a m e n te c o n la d e fin ic ió n 3 y 4 se d e n o m i na n c o m p le to s y o rd e n a d o s , p o r e je m p lo , P(x) = x3 + x2 + 4x - 2 es c o m p le to y o r d e n a d o d e s c e n d e n te m e n te m ie n tra s qu e R (x) = 1 - x - x 2 - x 3 - x 4 es c o m p le to y o rd e n a d o a s c e n d e n te m e n te .

¡ | | | I

P o r e je m p lo : P (x) = x (x + 3) + (2 - x )3 es Id é n tico a

Q (x) = x 2 + 6; p u e s P (1 ) = Q (1 ); 7 = 7 R (x) = 2 x 2 - 13x + 2 2 es id é n tic o a: T (x ) = 22 - 13x + 2 x 2 y a q u e los c o e fic ie n te s de té rm in o s s e m e ja n te s son ig u a le s.

POLINOMIOS ESPECIALES 1.

P o lin o m io m ó n ic o . E s un p o lin o m io d e una v a ria b le q u e tie n e c o e fic ie n te p rin c ip a l 1 se le d e n o m in a m ó n ico .

E je m p lo s : 1. Si P(x) = 3x + x2 + 6, c a m b ie m o s a x por (x - 1):

En to d o p o lin o m io c o m p le to y o rd e n a d o el n ú m e ro d e té rm in o s es su g ra d o m á s uno, el p o lin o m io P a n te rio r e s d e g ra d o 3 v e m o s q u e su c a n tid a d d e té rm in o s es 4 el p o lin o m io R e s d e c u a rto g ra d o y p o se e c in c o té rm in o s .

=> P (x - 1) = 3(x - 1) + (x - 1)2 + 6 => P (x - 1) = 3x - 3 + x 2 - 2x + 1 + 6 A. P (x - 1) = x2 -t- x + 4 2.

SI Q (x) = x° + x 7 + 1, h a lle m o s Q ( - x ) , c a m b ia n d o x p o r - x :

E je m p lo :

=* Q ( —x) = ( —x )5 + ( - x ) 7 + 1

S ie n d o P (x - 1) = x 2 + 4, h a lla r su té rm in o in d e p e n d ie n te m á s la s u m a d e c o e fic ie n te s . A p a re n te m e n te e s te e je m p lo p a re c e ob vio , p u e s s e p u e d e p e n s a r q u e su té rm in o in d e p e n d ie n te e s 4 y la s u m a d e c o e fic ie n te s e s 1 + 4 = 5, pe ro ¡cuidado! la v a ria ble es (x - 1) lu e g o p a ra c a lc u la r la s u m a de c o e fic ie n te s h a lle m (1 ) pa ra x - 1 = 1 =» x = 2 .-. P (1 ) = 2 2 + 4 = 8, a s im is m o el té rm in o in d e p e n d ie n te : P (0) p a ra x - 1 = 0 => x = 1

.-. Q ( - x ) = - x 5 - x 7 + 1

P (0) = 12 + 4 = 5

Si P (b) = 4 b 2 - 8 b 3 + 4 b - 1, h a lle m o s P (b/2); c a m b ia n d o b p o r b/2:

a . P (b /2 ) = b 2 - b 3 + 2 b - 1

CÁLCULO DE VALORES NUMÉRICOS Y CAMBIO DE VARIABLE EN POLINOMIOS V a lo r n u m é ric o . El v a lo r n u m é ric o es el re s u lta d o q u e se o b tie n e al re e m p la z a r la v a ria b le d e un p o lin o m io p o r a lg ú n nú m e ro .

Si P (x - 1) = x 2 + 9, h a lle m o s P (x) Lo o b te n d re m o s c a m b ia n d o a x p o r (x - 1) ¡C u id a d o ! no ig u a le así: x = x - 1 p u e s lo p u e d e c o n fu n d ir y lle g a rá en a lg u n o s c a s o s a o b te n e r a b su rd o s. P ara re a liz a r c o rre c ta m e n te el c a m b io d e v a ria b le v e a m o s d o s fo rm a s : La v a ria b le q u e se d e s e a c a m b ia r (en e s te c a s o x - 1) se fo rm a en el s e g u n d o m ie m bro m e d ia n te un a rtificio . A sí: P (x - 1) = (x - 1 + 1)2 + 9 re a liz a n d o el c a m b io : (x - 1) p o r x o b te n d re m o s : P (x) = (x + 1)2 + 9

E je m p lo : Si P (x) = x b ^ 1 - 2 x b + 8; b e IN h a lle m o s P(2), lo o b te n d re m o s c u a n d o su v a ria b le se a 2 es d e c ir x = 2.

=» P (x) = x 2 + 2x + 1 + 9

P (2 ) = 2 b T , - 2 / 2 b + 8

A. P (x) = x 2 + 2 x + 10

.-. P (2 ) = 8

La v a ria b le q u e se d e s e a c a m b ia r, es d e cir, (x - 1) se ig u a la a un a le tra (d istin ta d e x) lle v a m o s to d o a e s ta n u e v a le tra, es d e cir: x - 1 = b =* x = b + 1 re e m p la z a n d o o b te n d re m o s P (b ) = (b + 1 )2 + 9 o p e ra n d o P (b ) = b2 + 2 b + 1 + 9

Si Q (x: y) = 2 x 2 - 3 x y 2 + y; h a lle m o s Q (3; - 1 ) , lo o b te n d re m o s c u a n d o la c o le c c ió n (x; y) s e a ig u a l a (3; - 1 ) , e s decir, x = 3; y = - 1 Q (3; - 1 ) = 2 (3 )2 - 3 ( 3 ) ( - 1 ) 2 + ( - 1 ) a.

lg e br a

Q (3; - 1 ) = 8

P (b) = b2 + 2b + 10

CYLata¿:-----------------------------------I i ¡

En to d o p o lin o m io c o n s ta n te s ie m p re s e ob tie n e n el m is m o v a lo r n u m é ric o p a ra c u a lq u ie r v a lo r d e su v a ria b le , es decir, si: P (x) = k => P (x 0) = k, V x 0

a . P (x) = x 2 + 2x + 10

I \

C a m b io d e v a ria b le . C o n s is te e n re e m p la z a r v a ria b le s p o r o tra s v a ria b le s .

CV L o t a / : - - -

i I ; ;

------------------

A l re a liz a r un c a m b io d e v a ria b le en el p o lin o m ió su g ra d o ; té rm in o in d e p e n d ie n te ; c o e fic ie n te s no se a lte ra n . E s d e cir, o b te n d re m o s p o lin o m io s e q u iv a le n te s .

. ; ; ;

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

E je m p lo s : 1.

r - 15 + 7 x í > - p - i 6

s e a c o m p le to y o rd e n a d o en fo rm a d e s c e n d e n te .

Resolución: C o m o el p o lin o m io e s tá o rd e n a d o en fo rm a d e s c e n d e n te los e x p o n e n te s va n d is m in u y e n d o d e s d e el p rim e ro h a sta eí te rc e ro . A d e m á s es c o m p le to , e n to n c e s el m e n o r e x p o n e n te q u e e s ig u a l a c e ro (p o r s e r té rm in o in d e p e n d ie n te ) c o rre s p o n d e al te rc e ro , el a n te rio r ig ua l a 1 y el p rim e ro ig u a l 2, así:

Si: P (x) = 2 x + 6 A Q (x + 1) = 2 x + 8 v e m o s q u e Q (x + 1) = 2(x + 1) + 6 En e s te c a s o P (x) y Q (x) s o n e q u iv a le n te s s e g ú n la no ta an te rio r. S e ría e rró n e o p la n te a r q u e P (x) e s Id é n tico a Q (x + 1) p u e s p o se e n d ife re n te s v a ria b le s .

b - p + 16 = 0 ...( 1 ) m - p + 15 = 1 ...( 2 ) m -1 8 = 2 = > m = 2 0 En (2): 2 0 - p + 15 = 1 => p = 3 4 En (1): b - 3 4 + 16 = 0 = s b = 1 8

EJERCICIOS RESUELTOS 1,

H a lla r m, p y b pa ra q u e el p o lin o m io : P (x ) = 5 x m - 13 - 15 x n'

P (x) = 3x4 al re e m p la z a r x p o r z: P (z) = 3 z 4 o re e m p la za n d o x po r (x - 1): P(x - 1) = 3(x - 1 )4 o re e m p la z a n d o x p o r x6: P (x 6) = 3(x°)4: to d o s e llo s p o s e e n el m is m o g ra d o 4: c o e fic ie n te p rin c ip a l 3. es decir, h e m o s o b te n id o p o lin o m io s e q u iv a le n te s ,

El g ra d o del s ig u ie n te m o n o m io es 8: 4. 3x6

Si: f(x + 1) = 3x + 7; h a lla r: f(x - 2)

Resolución:

9 x 4 3/ x m f 2 x ^

f(x + 1) = 3x + 7 | + 3; + 4 ]

h a lla r el v a lo r d e m.

Resolución: Luego:

E lim in a n d o ra d ic a le s: (3 x 6)5/ 9 ( X4/5)x m/15( 30/ 2 x )m/3° 5.

R e d u c ie n d o p o te n c ia s d e ig ua l base:

_ 4 m 3

l 30J 2 x

f(x - 2) = 3(x - 2 ) + 4 = 3x - 6 + 4

f(x - 2) = 3x - 2

H a lla r m /n si el p o lin o m io : P (x; y) = 3 x my n(2 x 2m 1 1 + 7 y 6n + 1) e s h o m o

5 + 15 + 3ü

géneo.

D e a c u e rd o al e n u n c ia d o d e l p ro b le m a , la e x p re sió n es d e g ra d o 8, es de cir:

Resolución:

6 + —+ — + — 5 15 30

P (x; y) = 6 x 3m 4 1y n + 2 1 x :>l y 7n T 1

m = 12

E fe c tu a n d o o p e ra c io n e s :

S i : f ( x ) = ^ , x =é 1, c i= - 1 ; h a lla r el v a lo r

C o m o e s h o m o g é n e o , se c u m p le :

de: f[f(x )].

G A (t-i) = G A (t2) => 3m + 1 + n = m + 7 n + 1

Resolución:

3m - m = 7 n - n => 2 m = 6n

X+ c X- 1

P o r d a to : f(x ) =

1 X -

E fe ctu a n d o o p e ra c io n e s y re d u cie n d o : x (c + 1l f[f(x)] =

(c + 1)

= x

+ c

m _ 6. m n _ 2'

o n

H a lla r la s u m a d e c o e fic ie n te s del s ig u ie n te p o lin o m io : 4 bCa+t) i o ~ K2 y ' 2 + — x 3 y^3 + —- ybd P (x; y) = ax + bx b a si es h o m o g é n e o .

Resolución:

Si: P (x — 1) = 2x + 1 h a lla r: Q (x + 1)

S i es h o m o g é n e o , se c u m p le : G A (t,) = GA(12) = G A (t3) = G A (t4)

(p)

(y )

Q (x ) = (P )

16 =>

=* Q (x) = x - 2

=> Q (x + 1) = (x + 1) - 2 .-. Q (x + 1) = x - 1

H a c ie n d o : (p) = (y) Á '¡ aTb

P [Q (x)¡ = 2 x - 1

C o m o P [Q (x)¡ = 2x - 1, 2 Q (x ) + 3 = 2 x - 1

(«

...

..(a - b)/b .

j” EJERCICIOS PROPUESTOS ab

a .

b d'b

i lb/

S i f(x ) = x 41 + 5 1 2 x 32 + 3; h a lla r: f ( —2)

=4 = 2

d e aq uí: a /b = 2 =» a = 2b

(e)

R e e m p la z a n d o (e) en (p) 2 b = b2

Si: f(x ) = x " + 2 4 3 x 94 + 2x + 6; ha lla r: f ( - 3 ) 8 )1 d) 4

b = 2

c) 3

b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

a/b

(2 b ) = (b )21

.( 0 )

S u s titu y e n d o (p) en (9) se ob tie ne : „a /b

P (x - 1) = 2x + 1 [ :<2 ; + 3 t

H a c ie n d o : (a ) = (<t>) a b = ba =■ a = ba'b

Resolución:

a b = bi a a " b + 12 : 3 + 13 = ba (a )

lg ebra

b) 0 e) 5

c) 3

En (e): a = 2 (2 ) = 4 La s u m a d e c o e fic ie n te s del p o lin o m io es:

a ) 10 d ) 13

a + b + a /b + b2/a = 4 + 2 + 4 /2 + 4 /4 = 6 + 2 + 1 =9 7.

Si: P (x 3 + 5) = x 6 + x 3 + 7: c a lc u la r: P (7)

S i la e x p re sió n :

b ) 11 e ) 14

S i: P (x 5 + 2 ) = x 10 + x 5 a ) 10 d) 5

P (x :y :z ) — X2y " 4 JJ y 3z 3x 3v 132 + x 3z 3y 3 x ' 32 + X3y 3z 3x + 3y

c) 12

3: h a lla r: P (3)

b ) 21 e ) 51 2

c) 3

e s h o m o g é n e a , h a lla r su g ra d o a b so lu to .

Resolución:

S i es h o m o g é n e a , lo s g ra d o s a b s o lu to s de c a d a té rm in o d e b e n s e r ig u a le s, e s d e cir: 3 + 3 + 3y + 3z x + y +z 43

a ) 10x + 1 d ) 10x - 6

3 + 3 + 3x + 3z x + y + z + 3 3 + 3 + 3x + 3y x + y + z + 3

(x n ' 2i3x n f4

Sí:

G A (P )

6 (3 + x + y + z ! 3 (x + y + z + 3 )

= G A (P )

.-. G A (P ) = 2

c) 10x - 5

b) 3x - 1 e ) 6x + 3

c) 6x - 3

es d e 6.° g ra d o ; h a lla r: n

( x nf

3 + 3 + 3 y + 3 z +- 3 + 3 + 3 x + 3 z + 3 + 3 + 3 x + 3y x + y + z + 3 + x + y + z + 3 + x + y + z + 3

b) 10x + 3 e ) 10x + 6

Si: F (x + 4 ) = 2x + 3: h a lla r: F (3 x + 1) a ) 2x + 1 d )6 x + 2

= G A (P )

U s a n d o la p ro p ie d a d d e s e rle d e ra z o n e s ig u a le s:

A p a rtir d e : P (3 x + 1) = 1 5 x — 4; h a lla r: P (2 x + 3)

8 )1 d) 4 Si

b) 2 e) 5

c) 3

( x m + 2)4 ( x rnr 3 — es a e 4 ' g ra d o ; h a lla r; m ( x 3 )2

¡ C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 1 d) 4 9.

*c ) 3

b) 2 e) 5

El g ra d o d e M (x )N (x ) es 10 y el g ra d o de

n2), en:

(m + n - 3 )x 2y + (m

M 3( x ) - N 2(x)

a) 2 d) 8

b) 5 e ) 12

c) 6

a) 1 d) 5

a) 10 d ) 15

c) 3

b) 2 e) 7

Si se c u m p le : 6 x 2 - 10x(a c a lc u la r: a + b b) 12 e ) 17

n - 2)x y = 0 c) 6

b) 4 e ) 10

17. Si el p o lin o m io :

10. E l g ra d o d e M ( x ) N ( x ) e s 7 y e l g ra d o d e M(x) a N (x) es 3. C alcular el grado de: M (x) - N(x)

11.

16. H a lla r: (m 2

M ( x )N 3( x ) es 16. C a lc u la r el g ra d o de:

a) 7 d ) 21

c) 3

b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

P (x; y: z) = x ab + x 7 y ba + x 2Qz 12 e s h o m o g é n e o , c a lc u la r: (a a )1 d) 16

b x 2 + 10x.

b )2 c) 9

b) 3 e ) 25

S a b ie n d o q u e el p o lin o m io : P (x) = (a x + b )(x - 1) + c (x 2 + x + 1) es Id én

c) 13

tic o a: Q (x) = 2 x 2 + 5x - 1, c a lc u la r: a + b - c

12 . SI se c u m p le : x2 - 2 x (a - x) = b x 2 + 8x, c a lc u -

a) 1 d )2

b ) -1 e )3

c) 0

lar: a - b a) - 3 d) - 7

b) - 4 e) -1

19. C a lc u la r: m + n + p, si

c) - 5

1y5

x m + ’ y 2 + x 2py q -

P (x; y) = 5 x m ‘ 2

es h o m o g é n e o d e g ra d o 7 13. H a lla r m - n - p, si se s a b e q u e el p o lin o m io :

x m - n + 15 + x p - n + 6 0S o o m _

P (x) — x m ~ 10 p le to y o rd e n a d o e n fo rm a d e s c e n d e n te . a) 2 d) 8

b) 4 e ) 10

a) 5 d ) 15

c) 8

b) 7 e) 18

20. Si: P (x + 3) = 5x + 7 P [Q (x ) - 3] = 15x + 2, c a lc u la r: P [Q (1 )]

14. H a lla r a + b + c, si se s a b e q u e el p o lin o m io :

a) 32 d ) 81

b) 35 e) 120

c) 37

e s c o m p le to y + x“ P(x) o rd e n a d o e n fo rm a d e s c e n d e n te . a) 1 d) 5

b) 2 e) 7

c) 3

15. H a lla r m + n - p, en: (m - n - 2 )x 4 + (m + n ~ 5 )x 2 + (p - 1) s 0

1. 2. 3. 4.

c b d d

5. 6. 7. 8.

e c d b

9. 10. 11. 12.

b d d d

13. 14. 15. 16.

c d d c

17. 18. 19. 20.

c a b a

PRODUCTOS NOTABLES POLINOMIO PRODUCTO

E je m p lo :

A p a rtir d e la m u ltip lic a c ió n a lg e b ra ic a A (x )B (x ) d e fin im o s el p ro d u c to c o m o el re s u lta d o d e la m u l tip lic a c ió n a lg e b ra ic a , es decir, s ie n d o A (x ) y B (x) e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s o b te n d re m o s :

Siendo P(x) = (x3 + 2)3: Q(x) = (x4 - 1 )5 y R(x) = (x7 - 2 f hallar el grado de P (x)Q (x) + Q (x)R (x)

C (x ) d o n d e : A (x )B (x ) = C (x)

R e c o rd e m o s q u e el g ra d o d e la s u m a e s ta rá d a d o p o r el g ra d o d e l m a y o r s u m a n d o , e n to n c e s h a lle m os:

Si A (x ) y B (x) s o n p o lin o m io s C (x) se d e n o m in a rá p o lin o m io p ro d u c to c u m p lié n d o s e que:

Resolución:

G [C (x )] = G [A (x )] + G [B (x )]

G ra d o d e P (x )Q (x )

P a ra el c á lc u lo d e l p ro d u c to u s a re m o s la le y c o n m u ta tiv a y d is trib u tiv a d e lo s rea les:

G ra d o d e Q (x )R (x )

= G [P (x )] + G [Q (x)] = 2 x 3 + 4 x 5 = 26

a b = ba; a (b + c) = ab + ac E je m p lo :

= G [Q (x )] + G [R (x )j = 4 x 5 + 7 x 2 = 34 L u e g o el g ra d o de la s u m a in d ic a d a s e rá 34.

M u ltip lica r: A (x ; y) = 2 x 2y + 3y: B(x; y ) = 5x + 2 x 4y2 O b te n d re m o s : A (x; y )B (x ; y) = (2 x 2y - 3 y )(5 x + 2 x 4y2) = 10 x 3y + 4 x 6y 3 + 15xy + 6x4y3 P (x) = (x 2 - x + 1): Q (x) = x 3 + 4 O b te n d re m o s : P (x )Q (x ) = (x - x + 1)(x3 + 4)

PRODUCTO NOTABLE E s el p ro d u c to q u e al a d o p ta r c ie rta fo rm a p a rtic u lar, e v ita q u e se e fe c tú e la o p e ra c ió n d e m u ltip li c a c ió n e s c rib ie n d o d ire c ta m e n te el re s u lta d o . Los p rin c ip a le s p ro d u c to s n o ta b le s son: •

T rin o m io c u a d ra d o p e rfe c to . El d e s a rro llo de un b in o m io al c u a d ra d o n o s d a el c u a d ra do de l p rim e r té rm in o , m á s el d o b le del p rim e r té rm in o p o r el s e g u n d o té rm in o , m á s el c u a d ra d o d e l s e g u n d o té rm in o . (a + b )2 = a2 + 2 a b + b2

P (x )Q (x ) = x 5 + 4 x 2 - x4 - 4 x + x 3 + 4

(a - b )2 = a 2 - 2 a b + b2 T e o re m a Si el g ra d o d e P (x) es a c o n (a > 1), el g ra d o d e P n(x) s e rá n a c o n n e IN, n > 1

C o n s e c u e n c ia s : a 2 + 2a + 1 = (a + 1)2 •

P ru e b a : P o r s e r n 6 IN y n > 1, P n(x) e s tá d e fin id a c o m o el p ro d u c to Pn(x) = P (x )P (x )P (x ) ... P (x)

a 2 - 2a + 1 = (a - 1 f a 2 + b2 = (a + b )2 - 2a b a 2 + b2 = (a - b )2 + 2a b

Id e n tid a d e s d e L e g e n d re n veces

(a + b )2 + (a - b )2 = 2 (a 2 + b2)

lu e g o el g ra d o d e P (x ) se rá la s u m a d e lo s g ra d o s d e lo s p o lin o m io s ig u a le s a P (x), es de cir:

(a + b )2 - (a - b )2 = 4 a b

G P n(x) = G [P (x)] + G [P (x)] + G [P (x)] + ... + G [P (x)]

(a + b )4 - (a - b )4 = 8 a b (a 2 + b2) Id e n tid a d d e L a g ra n g e

. G [P n(x)] = n G [P (x )]

(a x + by )2 + (a y - b x )2 = (a 2 + b2)(x 2 + y 2)

C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

D ife re n c ia d e c u a d ra d o s . El p ro d u c to d e d o s b in o m io s u n o q u e p re s e n ta la s u m a d e 2 e x p re s io n e s y el o tro la d ife re n c ia d e la s m is m a s e x p re s io n e s es el c u a d ra d o d e la p rim e ra , m e nos el c u a d ra d o d e la se g u n d a .

p o r el s e g u n d o al c u a d ra d o , m á s el c u b o d e l s e g u n d o té rm in o .

b)3 =

a 3 + 3 a 2b + 3 a b 2 + b3

-b )3=

a 3 - 3 a 2b + 3 a b 2 - b3

(a + (a

(a + b)(a - b) = a 2 - b 2 C o n s e c u e n c ia s : (a m + b n)(a m - b n) = a 2m - b 2n (a + b )3 = a 3 + b 3 + 3 a b (a + b) (a - b )3 = a 3 - b 3 - 3 a b (a - b)

C o n s e c u e n c ia s : •

x - y = ( I x + / y ) ( / x - / y ) : x e I R +; y e I R + (a - b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a 2n + h 2")... nfl + 1 ofl + 1 = a2 - b2

D e s a rro llo d e un trin o m io al c u a d ra d o . Al d e s a rro lla r un trin o m io al c u a d ra d o se o b tie n e la su m a d e los c u a d ra d o s d e lo s tre s té rm in o s , m á s el d o b le d e la s u m a d e lo s p ro d u c to s to m a d o s d e d o s en d o s (p ro d u c to s b in a rio s ).

• •

(a + b )3 + (a - b )3 = 2 a (a 2 + 3 b 2) (a + b )3 - (a - b )3 = 2 b (3 a 2 + b 2)

S u m a y d ife re n c ia de c u b o s (a - b )(a 2 + a b + b2) = a 3 + b3 (a - b )(a 2 + a b + b2) = a 3 - b3

PROPIEDADES AUXILIARES (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(a b + ac + be) C o n s e c u e n c ia : (ab + ac + b e )2 = (a b )2 + (a c )2 + (b e )2 + 2 a bc(a + b + c) M u ltip lic a c ió n d e b in o m io s co n un té rm in o en c o m ú n . A l m u ltip lic a r d o s b in o m io s con un té rm in o e n c o m ú n se o b tie n e : el c o m ú n al c u a d ra d o , m á s el p ro d u c to d e la s u m a d e no c o m u n e s p o r el c o m ú n , m á s el p ro d u c to d e no co m u n e s , es decir:

D e s a rro llo d e un trin o m io al c u b o (a + b + c )3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3 (a + b )(b + c) (c + a) (a + b + c )3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3(a + b + c )(a b + be + ca ) - 3abc P ro d u c to d e m u ltip lic a r b in o m io s c o n un té rm in o c o m ú n (x + a )(x + b)(x + c) = x 3 + (a + b + c )x 2 + (a b + be + c a )x + abe (x - a )(x - b )(x - c) = x3 - (a + b + c )x 2 + (ab + be -i- c a )x + ab e

(x + a )(x + b) = x2 + (a + b )x + ab Id e n tid a d trin ó m ic a (A r g a n ’d) C o n s e c u e n c ia s : (x + a )(x - b) = x2 + (a - b)x - ab (x - a )(x - b ) = x 2 - (a + b)x + ab • (x m + a )(x m + b) = x 2!TI + (a + b )x nl + ab D e s a rro llo d e un b in o m io al c u b o . A l d e s a rro lla r un b in o m io ai c u b o s e o b tie n e : el c u b o d e l p rim e r té rm in o , m á s el p ro d u c to d e l trip le d e l p rim e ro al c u a d ra d o p o r el s e g u n d o , m á s el p ro d u c to d e l trip le d e l p rim e ro

(X 2 + x + 1 )(x2 - X + 1) = X4 + x 2 + 1 (x 2 + x y + y 2)(x 2 - x y + y 2) = x 4 + x 2y 2 + y 4 En g e n e ra l: (x2m + x my n + y 2n)(x 2m - x my n + y 2n) = X4m _|_ x 2m y 2n - f y 4n

Id e n tid a d e s ad ic io n a le s (id e n tid a d de G au s s) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c )(a 2 + b2 + c 2 - a b - be - ca)

Á lgebra ¡

R esolución:

(a + b )(b + c )(c + a ) + a b e = (a + b + c )( a b + b e + c a ) .

•

x4 + 4 = (x2 + 2 x + 2 )(x 2 -

H a c ie n d o el c a m b io d e v a ria b le :

2x + 2) A = k x9

Ig u a ld a d e s c o n d ic io n a le s Si: a + b + c = 0 S e v e rific a n :

A d e m á s : k + 1/k + 2 = 7 + 2

ik a

9 => / k + - 1

...( 1 )

S e pide : E = 4ik + 4J J Ik

c 3 = 3abc

•

( a 2 + b 2 + c 2 )2 = 2 ( a 4 +

A k A - = 7 k

c a )2 = (ab )2 + (be)2 + (c a )2

•

= 1 k

a 2 + b2 + c2 = - 2 ( a b + be + ac) (ab A be

/ a 2 + b 2+ c 2

b 4+

a3 + b3 +

c4)

a 5 + b 5+ c5

E le v a n d o al c u a d ra d o : E 2 = ¡ i k l P e ro d e (1): E 2 = (3

I a 2 + b 2 + c 2 j| a 5 + b 5 +

c5 \

a 7 + b 7+ c7

-L Vk

2 ) => E = Í5

E v a lu a r la s ig u ie n te e x p re s ió n : (x - 3 y )2 - 4 y (2 y - x) A 8 S i s a b e m o s qu e: (x - y) = 8

1 EJERCICIOS RESUELTOS 1.

Resolución: L la m a n d o E a la e x p re s ió n d a d a y e fe c tu a n d o o p e ra c io n e s : E = x 2 - 6xy a 9y2 - 8y2 A 4xy a 8

H a lla r el e q u iv a le n te d e la e x p re s ió n : 1 + x (x + 1)(x + 2 )(x a 3)

Resolución:

E = x 2 - 2xy

E fe c tu a n d o lo s p ro d u c to s c o n v e n ie n te m e n te : 1 a x ( x A 1)(x + 2 )(x + 3) f t t t 1

+ (x2

+ 3x)(x2 + 3x

R e a liz a n d o el c a m b io d e v a ria b le : x 2 + 3x = k L u e g o : 1 + k(K +

= 1 + k2 +

= (k + 1 f

R e e m p la z a n d o en : (k + 1)2

R e d u c ir:

(x +

8 = 72

H a lla r el v a lo r q u e a s u m e la e x p re s ió n : x 2 a y2 x a 2y 2y U xy 2x x a 3y x

Resolución: + z )3 + 2 (x 3 + 3(x +

+ z 3) -

+ z)(x2

+ z 2)

Resolución:

H a lla n d o la re la c ió n e n tre x e y d e la c o n d ic ió n d e l p ro b le m a , se tiene : 1 , 1 _

yx A y

^ (y + x > _ 15

4___ ( x a y)

D e s a rro lla n d o p o r p ro d u c to s n o ta b le s y s im p lific a n d o té rm in o s s e m e ja n te s :

3 x 3 + 3 y 3 + 3 z 3 + 3 x 2y A 3 x z z + 3 y 2x + 3 y 2z +

x2 - 2xy

3 z 2x a 3 z 2 y + 6 x y z - 3 x 3 - 3 y 3 - 3 z 3 - 3 x y 2 -

F in a lm e n te : x ~ y = 0 =>x = y R e e m p la z a n d o en la e x p re s ió n cu yo v a lo r se pide , se tie n e :

3xz2 -

3yx2 -

3yz2 - 3zx2 -

3zy2 = 6xyz

9 3.

R e e m p la z a n d o : E = 8 2

s i: — A — = •

(x 2 + 3x + 1)2

E = (x - y) 2 A 8 P e ro p o r c o n d ic ió n : (x - y) = 8

S a b ie n d o q u e

— x9

la e x p re s ió n : 4 ~ v x9

— a

= 7 ,

h a lla r el v a lo r de

y )2 = 4 x y =» (x A

y)2 - 4 x y = 0

y 2 = 0 =» (x -

U = x2 + x 2 + _x a 2x x (x ) 2x U = 2 a ~ a

— = 4

2 2

y )2 =■- 0

2x 3x

| C o le c c ió n 1 E l P o s t u l a n t e

S im p lific a r la e x p re s ió n : 2v z gx2

E =

b) - 1 6 )1

a) - 2 5 d ) 25 6.

2 v 2y 2 + g x 2

R e d u c ir: (x 2 + 8 x + 11)2 - (x + 1)(x + 3 )(x + 5 )(x + 7) a) 2 d ) 16

g* s a b ie n d o qu e: y - z = R

Resolución:

T ra b a ja n d o c o n el ra d ic a n d o :

b) e)

b) 4 c 2 e) 1 6 c2

c) 9c

E fe c tu a r: (a + 3b + c )2 + (a + 2 b + c)2 2 (a + b + c )(a + 4 b + c) a) 5a 2 d) 3a2

4 c) 8 20

R e d u c ir: (a + b + 5 c )2 + (a + b + 4 c )2 2 (a + b + c )(a + b + 8c) a ) c2 d) 25c2

c) 4 9

b) 5 b 2 e) 4 a 2

c) 5 c 2

Si: a + b + c = 0; re d u cir: (2a + b + c )3 + (a + 2 b + c )3 + (a + b + 2 c )3 a) - 3 d) 3

[ "

e j e r c ic io s p r o p u e s t o s ' "

E fe ctu a r: (x

3 )2

]

b) - 1 6 e ) -2 2

/ a + 2 b \2 i c

4 )(x -

)2 + ( x + 4 ) 2 -

a) - 4 d) -1

b) - 3 e) 0

(x +

5)2

Si: - + - = x

calcular:

c) 10

+y 2

R xy

b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

c) 3

E fe ctu a r: a) 1 d) 4

b) 2 e )5

c) 3

R e d u c ir: x 2 - (3 x + 1 )(3 x + 2) + 2 (2 x + 1 f a) - 2 x d )x

b) 8 e) 14

-2

4 x 2 - (2x + 1)2 - 4 (x + 1)2 + (2 x + 3 )2

a + 3c \2 + / 2 b + 3 c \2 b

d) 12

R ed ucir: (x + 3 )2 - (:

a) 6

—18 11.

c) - 3 a b c

10. Si: a + 2 b + 3c = 0; re d u cir:

3 )2 (x -

a) - 1 4 d) - 2 0

b) 3 a b c e) 0

b) - x e)

c) 0 2x

E fe ctu a r: (x + 1)(x - 2 )(x + 3 )(x - 4 ) - (x 2 - x - 7 )2

12. Si: (x + y )2 = 4xy c a lc u la r: P =

x2 + y2

x + 3y

b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

c) 3

13. S im p lific a r: R =

(a + b )(a 3 - b 3) + (a - b )( a 3 + b 3 ) 2a4 - 2 b 4

a) O d) 3

c )2

b) 1 e) 4

a) 1 d )4 c) 3

b) 2 e) 5

. x + y + xy 15. Si xy

b) 2 e )5

c) 3

(X 6 + 1) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

22. C a lc u la r: P = 16V(3 )(5 )(1 7 )(2 5 7 ) + 1

+ -b y

b) 2 e) 5

a) 1 d) 4

21 . C a lc u la r: P = (1 - x)(1 + X + x 2)(1 + x)(1 - X + X 2) +

x + y + 4 x + y

c a lc u la r: P = x y

20 . Si: a + b + c = O c a lc u la r: P = (a + b )(a + c )(b + c) + ab e + 5

(x + y)2 - (x - y)2 14. S im p lific a r: xy a) 1 d) 4

lg e b r a

a) 1 d) 4

c) 3

b) 2 e) 5

23 . S¡! 9 + b + c — O 16.

Si: Á + .y Y x

c a lc u la r: R ¡

(3 a + b)3 + (3 b + c )3 + (3 c + a )3 (3 a + b )(3 b + c )(3 c + a )

c a lc u la r: R = x 3y 3 a) 1 d) 4 17.

Si: a = Í 2 + 1

b) 2 e) 5

24.

b = ¡2 - 1

b )2 e) 5

a) 1 d) 4

c) 3

Si: a + b + c = O c a lc u la r: P =

c a lc u la r: P = a 2 + b2 + 3a b a) 2 d) 7 18.

19.

Si: x - 1 = Á 2

b) 3 e) 9 a

25.

y + 1 = 3¡2

(a + b )(a + c )(b + c ) b) - 2 e) 3

a) -1 d) - 5

c) 5

c) 3

SI: x 4 - y 4 = 6

c) - 3

x 2 - y2 = 3

c a lc u la r: R = x 3 + 3 x y + 3 x y 2 + y 3

h a lla r: R = (x + y )2 + (x - y )2

a) 2 d ) 16

a) 1 d) 4

b) 4 e ) 32

Si: x + y + z = O ix + y ha lla r: P = a) 1 d) 9

c) 8

ID Lü

JL _ + _x_ x + z y + z

b) 3 e ) 12

c) 6

< J

1. 2. 3. 4. 5.

c) 3

b) 2 e) 5 c a d b a

6. 7. 8. 9. 10.

d d b b e

11. 12. 13. 14. 15.

d d b d b

16. 17. 18. 19. 20.

b e d d e

21. 22. 23. 24. 25.

b b c c d

DIVISIÓN DE POLINOMIOS ¡D E N U D A D FUNDAMENTAL DE LA DIVISION S e a n D (x), d (x ) d o s p o lin o m io s no c o n s ta n te s . Al e fe c tu a r D (x) + d (x ) se o b tie n e n d o s ú n ic o s p o lin o m io s q (x ) y R (x) ta le s qu e: D (x) = d (x ) q (x ) + R (x)

... (I)

p o lin o m io p o iln o m io p o lin o m io p o lin o m io

d iv id e n d o d iv is o r c o c ie n te re s id u o o resto.

A dem ás: R (x)

G [D ] = 8

5x4 + x + (

G [d ] = 4

L u e g o , G [q ] = 8 - 4 = 4 =4 - 1

G [R ]„

C rite rio g e n e ra l p a ra d iv id ir. Lo s p o lin o m io s d iv i d e n d o y d iv is o r d e b e rá n d e e n c o n tra rs e c o m p le to s (c a s o c o n tra rio se re p re s e n ta rá c o n c e ro s a los té rm in o s q u e fa lta n y p o r lo g e n e ra l o rd e n a rlo s en fo rm a d e s c e n d e n te .

D on de: D (x) d (x ) q(x) R (x)

2x - x + 6x3

E je m p lo : e

C = . G [R ] < G [d]

El p o lin o m io : P (x) = 3 x - 5 x 3 + x 6 - 8 es e q u iv a

Si en (I): R (x) = 0 se d ic e q u e la d iv is ió n es e x a c ta , lu e g o se te n d ría : D(x) = q (x ) d (x )

D (x) = d (x ) q (x )

Si en (I): R (x) = 0 se d ic e q u e la d iv is ió n es in e x a c ta , d e aq u í:

le n te a: P (x) = x6 + Ox6 + Ox4 - 5 x 3 + Ox2 + 3x - 8 y d ire m o s q u e p re s e n ta a to d o s su s té rm in o s

MÉTODOS PAR A DIVIDIR M é to d o d e H o rn e r. E s el m á s g e n e ra i y se u tiliza p a ra d iv id ir p o lin o m io s d e c u a lq u ie r g ra d o E squem a

D (x) = d (x ) q (x ) + R (x) D (x ). q(x) d (x )

R(x) d (x)

E je m p lo : D e ¡a s ig u ie n te id e n tid a d : x3 + 2 = (x - 1 )(x 2 + x + 1) + 3 c o e fic ie n te s d e l R (x)

S e p o d ría a firm a r: D (x) = x 3 + ; ! | G [D ] d (x ) = x - 1 3 q (x) = x2 + x + 1 R (x) = 3

U b ic a r la lín e a d iv is o ria c o n ta n d o en el e s q u e m a , d e d e re c h a a iz q u ie rd a ta n ta s c o lu m n a s c o m o el g ra d o de l d iviso r.

G [d] 1

G [R ] < G [d] 0

T e o re m a s

E je m p lo : D ividir:

4 x4 + 9x3 + 6x5 - 1 x + 2x3 - 1

•

G [q] = G [D ] - G [d]

Resolución:

•

G [R ]máx = G [d ] - 1

P re p a ra n d o io s p o lin o m io s :

E je m p lo : En la s ig u ie n te d iv is ió n : ■

D (x) = 6 x 5 + 4 x 4 + 9 x 3 + Ox2 + Ox d (x ) = 2 x 3 + Ox2 + x - 1

Á lgebra I

Resolución:

A p lic a n d o H o rn e r:

+ 3x - 1 = 0 x = 1/3 X

i 2 ;

i —7

i - 1

i 1i

!—2 i '

-6

-3

1 -2 -1 C o e f. de l q (x )

C o m o G [q ] = 4 - 1

C o m o D (x) y d (x ) p re s e n ta n to d o s s u s té rm in o s y e s tá n o rd e n a d o s en fo rm a d e s c e n d e n te , e n to n c e s q (x ) y R (x) ta m b ié n d e b e n p re s e n ta r to d o s s u s té r m in o s y e s tá n o rd e n a d o s d e s c e n d e n te m e n te . A d e m á s co m o : G [q ] - 5 - 3 = 2 y G [R ]máx - - = 3 - 1 = 2, se tiene :

= 3, s e tie n e :

2 -

D ividir:

x3 - 2x - 3 x —2

R esolución: i x - 2 = 0

i 0 i i-2

x = 2

i 2 i l__4 1 i

R e g la d e R u ffin i. Es un c a s o p a rtic u la r de l m é to d o d e H o rn e r y se u s a rá c u a n d o el d iv is o r e s d e p rim e r g ra d o o tra n s fo rm a b le a un p o lin o m io linea l. E s q u e m a d e c o c ie n te s S u p o n ie n d o q u e el d iv is o r tie n e la fo rm a : a x + b; a / 0

2x - 1

R e s to = 4

q (x ) = 3 x 2 + 2 x + 3 1x 2 - 1 x -*-2

-1

q (x ) = 1x3 + 1x2 - 2 x - 1 = x 3 + x 2

R (x) =

1 -3 :

2 '

41 _ _ lj

C oe f. d e l q(x) C o m o : G [q ] = 3 - 1 = 2 T e n e m o s : q (x ) = x 2 + 2 x + 2 R e s to = 1

TEOREMA DEL RESTO c o e f icie n tes d el D(x)¡ x = —

b a X

F in a lid a d . O b te n e r el re s to d e c ie rta s d iv is io n e s sin n e c e s id a d d e e fe c tu a r la d ivisió n .

I | I

c o e fic ie n te s de l q (x )

R e s to

E n u n c ia d o . S e a P (x) un p o lin o m io no c o n s ta n te . El re s to d e d iv id ir P (x) e n tre (x - m ) v ie n e d a d o p o r P (m ).

En el e s q u e m a d e R u ffin i el re s to o b te n id o s ie m p re es un a c o n s ta n te .

E s d e cir:

E je m p lo s :

D ividir:

P (x ) 3x - 1

P (x )

R = P (m )

« R = P (3)

R: re sto

Q(x) x + 6

R = Q ( —6)

I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

REGLA PRACTICA El d iv is o r se ¡gu ala a c e ro (x - m = 0). S e d e s p e ja la v a ria b le (x = m ). S e re e m p la z a en el d iv id e n d o o b te n ié n d o s e el re s to R = P (m ). E je m p lo :

L o s e x p o n e n te s en c a d a un o d e los té rm in o s de l d iv id e n d o s o n ig u a le s . H a y c u a tro fo rm a s d e c o c ie n te s n o ta b le s, q u e se o b tie n e n c o m b in a n d o lo s sig n o s: (t T ' T

)

C o m o c o n s e c u e n c ia se p re s e n ta n 4 ca so s:

H a lle el re s to en:

E s tu d io d e l p rim e r c a s o : -------------x+ a

x - 2

R esolución:

A p lic a n d o el te o re m a d e l re s to , re g la p rá ctica :

H a c ie n d o u s o d e la re g la p rá ctica : x -2 = 0 • x = 2 R = 2 (2 )5 + 2 - 6 0

x + a = 0

x = -a

R = (-a )m + am = 0

=» R = 6

H a y d o s c a so s: C o ro la rio . S e a P (x) un p o lin o m io no c o n s ta n te . El re s to d e d iv id ir P (x) e n tre (a x + b), d o n d e a A 0, v ie n e d a d o p o r ( - b/a), es d e cir: P(x) ax + b

Q u e m s e a par, luego: =2 a m A 0

R = ( - a ) m + am = an

N o es c o c ie n te n o ta b le , p o rq u e el re s to es d ife re n te d e cero. Q u e m s e a im pa r, lu eg o: R = ( - a ) m + am = - a m + am = 0

E je m p lo :

S i e s c o c ie n te n o ta b le .

. ... . 2 x ¿ + 5x + 7 H a lle el re s to d e d ivid ir: 2x - 1

Resolución:

C o n c lu s ió n : La fo rm a -------------- es C N c u a n d o m x + a e s im par.

S ig u ie n d o c o n la re g la p rá ctica , a n te s m e n c io n a d a . 2x - 1 = 0

•

x = 1/2

—m

E s tu d io d e l s e g u n d o c a so :

x+ a

C á lc u lo d e l resto: •

R - 2(

5( +

x + a = 0 R = ( - a ) m - am

R = J- + ^ + 7 =* R = 10 2

x = -a

P a ra q u e s e a c e ro , m d e b e s e r n ú m e ro par, así: R = am - am = 0

COCIENTES NOTABLES (CN) S e d e n o m in a c o c ie n te s n o ta b le s, a c ie rto s c o c ie n te s d e ta l fo rm a q u e sin e fe c tu a r la d iv is ió n , se p u e d e e s c rib ir su d e s a rro llo . S e c a ra c te riz a n p o r s e r c o c ie n te s e x a c to s . F o rm a g e n e ra l d e lo s c o c ie n te s n o ta b le s . Todo c o c ie n te n o ta b le s e p u e d e p re s e n ta r d e la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l:

a"’

d o n d e se o b s e rv a :

C o n c lu s ió n : La fo rm a

x+ a

es C N c u a n d o m

e s un n ú m e ro par. E s tu d io d e l te rc e r c a s o : ------------x - a C á lc u lo de l resto: x - a = 0

x = a

R = ( a f + am = 2am + 0 C o m o el re s to e s d ife re n te d e c e ro , no es C N

1. 2.

El d iv id e n d o y el d iv is o r tie n e n c a d a u n o d o s té rm in o s . Las b a s e s de l d iv id e n d o y d iv is o r (x, a), re s p e c tiv a m e n te , s o n ig u a le s.

C o n c lu s ió n : La f o r m a ------------x - a ta b le p a ra n in g ú n v a lo r d e m.

no e s c o c ie n te no-

w rn

•

C u a n d o el d iv is o r es d e la fo rm a (x + a) los s ig n o s d e lo s té rm in o s de! c o c ie n te son a lte rn a d o s (+ ) y ( - ) c o m e n z a n d o p o r (+ ). C u a n d o el d iv is o r es d e la fo rm a (x - a) lo s s ig n o s d e lo s té rm in o s de l c o c ie n te son p o sitiv o s .

—m

E s tu d io d e l c u a rto c a s o : -------------x- a C á lc u lo del resto: x -a = 0 R = (a )m - a m = 0

lg ebr a

x = a

p irn

w f4"i

C o n c lu s ió n : La fo rm a -------------- es c o c ie n te no ta x - a

c V L a ta .

ble p a ra c u a lq u ie r v a lo r d e m.

----------------

El d iv id e n d o en a m b o s c a s o s (a y b) p u e d e

D e s a rro llo d e l c o c ie n te n o ta b le . P ara d e s a rro lla r el C N s e re a liz a la d iv is ió n p o r R u ffin i, a p lic a d o a un c a so , p e ro se g e n e ra liz a p a ra lo s tre s c a s o s de c o c ie n te s n o ta b le s co n la s re g la s p rá c tic a s q u e se ha rá al fin a l d e la d e m o s tra c ió n .

s e r (x m + a m) o (xm - a m)

E je m p lo s : 1.

x + a = x 4 - x 3a + x2a 2 - x a 3 + a4

x - a x - a

xm+ am S e a el C N -------------- p a ra m = n ú m e ro Im par.

X+ 3

x + a

D iv id ie n d o p o r R u ffin i:

-a

+am

-a

+a2

-a 3

-a m

-a 1

+a2

- a 3 ...

+ am_ 1

= x 5 - x 4a + x 3a 2 - x 2a 3 + x a 4 - a 5

a x2 + a4

El c o c ie n te es d e g ra d o = m - 1

—1—é

( x2) + ( a 4 )

= ( x 2 )4 -

( x 2)3( a 4 ) +

(x2)2(a 4)2 - (x2)(a 4)3 + (a 4)4

q (x ) = x IT1 1 - x m ~ 2a 1 + x m - 3a2 - x m - 4a 3 + ...

o e n fo rm a in m e d ia ta :

v 10

+ am~ 1

, _20

+ a . = x 8 - x V + x 4a 8 - x 2a 12 + a 16

D e te rm in a c ió n d e un té rm in o c u a lq u ie ra d e un c o c ie n te n o ta b le . En fo rm a g e n e ra l: R e g la s p rá c tic a s p a ra e s c rib ir d e l d e s a rro llo d e c u a lq u ie r c o c ie n te n o ta b le 1.

El p rim e r té rm in o d e l c o c ie n te es ig u a l al c o c ie n te e n tre el p rim e r té rm in o d e l d iv id e n d o y el p rim e r té rm in o d e l diviso r. El ú ltim o té rm in o de l c o c ie n te es Ig ual al c o c ie n te e n tre el s e g u n d o té rm in o d e l d iv id e n d o y el s e g u n d o té rm in o del d iviso r. A p a rtir d e l s e g u n d o té rm in o de l c o c ie n te el e x p o n e n te d e x c o m ie n z a a d is m in u ir d e 1 en 1 h a s ta el v a lo r fin a l. T a m b ié n a p a rtir d e l s e g u n d o té rm in o d e l c o cie n te , a p a re c e a c o n e x p o n e n te 1 y e n ca d a té rm in o p o s te rio r su e x p o n e n te a u m e n ta d e 1 e n 1 h a s ta m - 1. P ara lo s s ig n o s d e ca d a té rm in o se d e b e te n e r en c u e n ta :

..m i x i

a x±a

= x m . - 1 T x m - 2 a 1 + x m- 3 g 2 + x m

4g 3 +

-1

D e d u c c ió n d e la fó rm u la , p a ra el té rm in o k. 1.er té rm in o : (s ig n o ) x m - 1a 1 “ 1 x m - 2g2 ~

x m - 30 3 - 1

4.° té rm in o : (s ig n o ) x 17 10.° té rm in o : (s ig n o ) x lr k.° té rm in o : (sig n o ) x 7 .'.

tk = (s ig n o ) x 17

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

R e g la p a ra el s ig n o 1.

EJERCICIOS RESUELTOS

C u a n d o el d iv is o r es d e la fo rm a (x - a) el s ig n o d e c u a lq u ie r té rm in o e s p o s itiv o .

C u a n d o el d iv is o r e s d e la fo rm a (x + a ) el s ig n o d e lo s té rm in o s q u e o c u p a n un lu g a r p a r son n e g a tiv o s y lo s q u e o c u p a n un lu g a r im p a r s o n p o sitiv o s .

2m2 -

m -

1): (m - 2 )

R esolución: A p lic a n d o el te o re m a de l resto: d = m - 2 D = P (m ) = 3 m 5 - 2 m 4 + 3 m 3 - 2 m 2 - m - 1 H a c ie n d o d = 0, es d e cir: m - 2 = 0 ^ m = 2

E je m p lo :

R = P (2) = 3 (2 )5 - 2 (2 )4 + 3 (2 )3 - 2 (2 )2 - 2 - 1 .-. R = 77

H a lla r el t25 y t40 e n el d e s a rro llo d e l C N :

x150 - a100 2.

x3 + a2

¿ C u á l es el re s id u o d e la s ig u ie n te d iv is ió n ? (3m 6 - 2 m 4 + 3 m 3 -

Resolución:

D a d o el p o lin o m io : 6 x 3 - 3 x 2 - m x - 6 d e te rm in a r el v a lo r d e m p a ra q u e s e a d iv is i b le p o r (2x - 3)

( x 3)50 — (a 2 )50 D a n d o ia fo rm a d e C N : -------------------------; d e d o n d e : (x ) + (a )

R esolución: S i un a e x p re s ió n es d iv is ib le e n tre o tra , e s to im p lic a q u e si s e e fe c tú a la d iv is ió n e n tre a m ba s el re s id u o s e rá nulo.

1.a b a se d e l d iv is o r: (x 3) 2 .a b a se d e l d iv is o r: (a 2)

A p lic a n d o el te o re m a d e l re s to y un a v e z h a lla d o e s te re s id u o s e ig u a la a ce ro , p o r c o n d i c ió n d e d iv is ib ilid a d , y s e c a lc u la m.

m = 50 P a ra k = 25: t25 = + (x 3)50 ” 25(a 2)25 ' 1 t25 = + x 75a48

P a ra h a lla r el re s id u o s e hace: d = 0, es d e cir: 2 x - 3 = 0 =» x = 3/2

P a ra k = 40 : t40 = - ( x 3)5° - 40(a 2)40 “ 1 t40 = - x 30a 78 C o n d ic ió n n e c e s a ria y s u fic ie n te p a ra q u e el x m -jc o c ie n te = -= - s e a n o ta b le . E s ta b le c id a s las xp± a q _)_ g^ c o n d ic io n e s d e d iv is ib ilid a d el c o c ie n te — i — xp± a q s e rá n o ta b le c u a n d o : x m + a n = ( x p)r ± ( a q)r xp± a q donde: pr = m qr = n

x p± a q

=> r = m /p

. .. ( a )

... (p)

r = n/q

E s de cir, lo s c o c ie n te s e n tre m /p y n/q, d e b e n s e r e n te ro s e ig u a le s . N ú m e ro d e té rm in o s d e l c o c ie n te n o ta b le . D e

(« ) y (P): — = - = n ú m e ro d e té rm in o s d e l c o c ie n te n o ta b le P Q

P e ro p o r c o n d ic ió n d e d iv is ib ilid a d : R = 0 E fe c tu a n d o e ig u a la n d o a c e ro re s u lta : m = 5 3.

D e te rm in a r m + n p a ra q u e el p o lin o m io : 4 x 4 + 2 x 3 - m x 2 + 3x + n s e a d iv is ib le p o r x 2 - 2 x + 1. H a lla r: m + n

R esolución: P o r c o n d ic ió n d e d iv is ib ilid a d : “ S i.s e d iv id e n d o s e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s d iv is ib le s , el re s id u o d e b e rá s e r id é n tic a m e n te nulo". E fe c tu a n d o la d iv is ió n p o r H o rn e r:

1 2 -1

2 8

-m -4 20

| 3 n I i -1 0 . 2(16 - m) (m - 16)

(16 - m) | (25 - 2m) (m + n -1 6)

Á lgebra ¡

E n to n c e s :

25 -2 m = 0 m + n - 16 = 0 D e (2): m + n = 16 4.

... (1) ...( 2 )

D = P (x) = x 3 + m (a - 1)x 2 + a 2(m x + a - 1) d = x - a + 1 = d = 0 =3 x - (a - 1 ) = 0

x = (a - 1 )

R = P(a - 1) = (a - 1 )3 + m (a - 1)(a - 1 )2 +

H a lla r el re s id u o d e la d iv is ió n de: 2 x 5 + 7 x 4 - 5 0 x 3 - 1 7 3 x 2 - 2 2 x + 60 e n tre x 2 - 2 x - 15

a 2[m (a - 1 ) + (a - 1 )] R = (a - 1 )3 + m (a - 1 )3 + a 2(a - 1 )(m + 1)

Resolución:

R = (a - 1)3[1 + m ] + a 2(a — 1 )[1 + m]

E fe ctu a n d o la divisió n p o r el m é to d o d e H orner.

R = (a — 1 )(1 + m )(2 a 2 - 2a + 1)

Pero:

=> m + 1 = 0 7.

.-. m = -1

S im p lific a r: xn- i E = l + A + í : + 2 f : + ... + j ^ + . a a2 a3 a4 a n ” 1 a n- ! ( a -

Resolución: S u m a n d o to d o s m e n o s el ú ltim o s u m a n d o : .-. R = 0 5.

a 2

an+ 1

Q u é v a lo re s d e b e rá n to m a r a y b pa ra q u e el polinom io: x5 - ax + b s e a d ivisib le entre: x 2 - 4

Resolución:

E s c rib ie n d o el n u m e ra d o r c o m o CN:

P o r c o n d ic ió n d e d iv is ib ilid a d : "S i se d iv id e n d o s e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s d iv is ib le s , el re s id u o s e rá id é n tic a m e n te n u lo ” E fe c tu a n d o la d iv is ió n p o r H o rn e r:

1_ + _x_ + >c + a g2 % 3

xn _ an+ 1 -

a - x gn+ 1

a n + i — x n+1 — : s u s titu y e n d o en la e x p re s ió n : o n +1

vn+ 1

E = - -------~ -------+ . (a -x ) a n+ ( a - x ) E = a ^ + 1 - x n + 1 + x n41 a

ia - x )

a 11 ! 1 1 E = f = — !— = (a - X ) " 1 a n+ (a - x ) a - x E n to n c e s : 16 - a = 0 » a = 16 b = 0 => b = 0 6.

¿ C u á l d e b e rá s e r el v a lo r d e m p a ra q u e el p o lin o m io : x 3 + m (a - 1)x 2 + a 2(m x + a - 1) s e a d iv is ib le e n tre x - a + 1?

H a lla r el té rm in o in d e p e n d ie n te del c o cie n te : ( x + a )n - a 11 x

Resolución:

D a n d o la fo rm a de C N y d e s a rro lla n d o :

A p lic a n d o el te o re m a de l re s to p a ra h a lla r el re s id u o en d ic h a d iv is ió n y p o r c o n d ic ió n de d iv is ib ilid a d , se ig u a la el re s id u o a cero.

(x + a )n - a " (x + a ) - a

_____ = (x + a )n 1 + (x + a )n (x + a )n

I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

El té rm in o in d e p e n d ie n te d e l C N es: P (0) = a n ~ 1 + an 2a ' + an “ 3a2 + ... + a 11“ 1

o 3.

A l d ivid ir:

2 - 5x + 6 x 2 - 7 x 3 + x 4 , dar com o x 3 - 5x + 4x - 1

re s p u e s ta la s u m a d e c o e fic ie n te s del re s id u o .

n té rm in o s

a) 4 d) 1

= a n ~ 1 + a n " 1 + a n ’ 1 + ... + a n “ 1 V ________________ 1

b) - 4 e )0

c) —1

n té rm in o s .-. P (0) = n a n “ 1 9.

S im p lific a r:

re s to : R (x) = 8x - 4. C a lc u la r: a b ~ 1

E _ x 78 + x 76 + x 74 - ... + x 4 + x 2 + 1

a ) 1 /50 d ) 1/2

x 38 + x 36 + X 34 + ... + x 4 + x 2 + 1

Resolución: E s c rib ie n d o com o CN:

el n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r

x2 - 1

6. c

( x 4(!f - 1 2

x 40 - 1

_ ( x 40 + 1)(x40 - 1)

f- "EJERCICIOS

6x4 + 16x3 + 25x2 + Mx + N 1 + 2x + 3x2

propuesto s'"

c) 3

i x 3 - 4 x 2 + px - p El re s to d e la d iv is ió n : -----------------------------x - 3x - 2

b) - 1 e) 2

c) 0

SI los c o e fic ie n te s de l c o c ie n te d e d ivid ir: a x 2 + bx + c + 8 x 4 + 1 8 x 3 2x + 3 so n n ú m e ro s c o n s e c u tiv o s y el re s id u o es ( - 8 ) , s e ñ a la r: (a + b + c )0,5

In d iq u e v e rd a d e ro (V ) o fa ls o (F ) en las p ro p o s ic io n e s s ig u ie n te s : I. SI R (x) = 0; D (x) = d (x )q (x ) II. G [q (x )] = G [D (x )] + G [d(x)] III. P a ra e fe c tu a r la d ivisió n , se c o m p le ta y o r d e n a en fo rm a c re c ie n te al d iv id e n d o y al diviso r. b) V V F e) FV F

b )-2 e )d 1

a) 1 d) 2

a) V F V d) V F F

c) —1

es u n a c o n s ta n te , h a lla r d ic h o re sto a u m e n ta d o e n p.

x 40 - 1

( x 40 - 1)

Si la sig u ie n te división:

a) 2 d) - 3

x2 - 1

E = — ó------ !— ; e fe c tu a n d o y s im p lific a n d o : ( x2 )20 - 140

b) 2 e )3

tie n e re s id u o : R (x) = 0, s e ñ a la r: 3</M + N + 8

(x 2 l4 0 - 1 40

E _ x 80 - 1

• 4 2 u Al e fe c tu a r: — — se o b tie n e po r 2x + x -■ 1

a) 1 d )4 8.

b) 2 e )6

c) 3

La s ig u ie n te d iv is ió n : m x 5 + n x 4 - x 3 + 7 x 2 - 5x - 12 3x2 + x - 4

c) F V V

e s e x a c ta . C a lc u la r: m n a) 10 d ) 30

H a lla r e l c o c ie n te d e d ivid ir:

b) 15 e) 42

c) 24

12 x4 - 2 x 3 - 1 6 x2 + 8 x - 3 2x2 + x - 3 a) 6 x 2 + 4 x + 3 c) 6 x 2 + 4 x - 3 e) 6 x 2 + 4x

b) 6 x 2 - 4 x + 3 d) 6x2 - 4x - 3

_ 9.

. . , . .. . .. 25x4 + 5x3 + b x 2 + 3 (x + 1) A p a rtird e la d iv is ió n :----------------------------------1---------5 x2 — 3(x + 1) c a lc u la r su c o c ie n te e v a lu a d o e n 1, s a b le n d o q u e su re s to es: 5cx.

a) 5 d) 8

b) 6 e )9

c) 7

a) 10 d) - 1 3

s e ñ a la r el c o e fic ie n te del té rm in o lin e a l d e l c o cien te. a) 2 d )9

b) 3 e ) 12

16.

b ) —11 e) 14

P ro p o rc io n a r el c o c ie n te d e d ivid ir:

a) x 2 + ax + a b) x 2 + bx + b c) x 2 + ax + b d ) x 2 + bx + a e) x 2 + bx + (b - a + ab )

c) 12

A x 5 + B x4 + C x3 + D x2 + Ex + F x + 1 se re a liz a e m p le a n d o la re g la d e R ufflni, o b te n ié n d o s e el e s q u e m a :

c) 6

x 3 + (b - a ) x 2 + (b - a )x + a - ab x - a

La s ig u ie n te d ivisió n :

-1 11.

ca lc u la r: b, + b2 + b 3 + b4 + b 5

10. D e s p u é s d e d iv id ir: 6 x 4 + 1 1 x + 7 ( x + 1)(x2 - x + 1)

lgebra

h a lla r la s u m a d e c o e fic ie n te s de l d ivid e n d o . a) - 2 5 d) 25

b) 50 e) - 5 0

c) 0

17. Si al e fe c tu a r la d ivisió n : 12. A l d ivid ir:

P(x) = x3 + ( - 2 - */7 )x 2 + ( 2 / 7 - 1 5 ) x + 1 5 / 7 + k e n tre x -■ 17, se e n c o n tró un re s id u o 3k - 8. E n c o n tra r k. a) 1 d )4

b) 2 e )5

c) 3

(6 x 4 + A x 3 - 14x2 + B x - 5) : ( - 5 + x + 2 x 2) se o b tu v o c o m o re s id u o al p o lin o m io (3x + 5), c a lc u la r: "Va + B - 1 a) 1 d) 4

b) 2 e) 0

c) 3

18. H a lla r el re s id u o d e d ivid ir: 13. D e te rm in a r el v a lo r d e a en la d ivisió n :

a m x 3 + (an + b m )x 2 + (ap + b n )x + bp

2 5 x 4 + (x + a )2 + 2

ax + b

2 + 5x si el v a lo r n u m é ric o d e su c o c ie n te p a ra x = 0 es ig ua l a 2. a) 1 d) 3

b) 2 e )6

c) 4

14. D e te rm in a r el re s id u o d e la d ivisió n :

px5 + 2qx4 + (3r - p)x3 _+ _(p_ - 2q)x2 + (2q - p)x + p si la s u m a d e c o e fic ie n te s del c o c ie n te e s 54. a) 15 d ) 18

b) 16 e ) 19

1 3 b3

b) - 1 e) 0

19. A i e fe c tu a r la d iv is ió n :

c) bn

^ ! 5x - 1 x + 3x - 4 x + X

se o b tie n e un re s id u o d e p rim e r g ra d o . P ro p o rc io n a r d ic h o re sid u o . a ) 14x + 3 c) 7 (2 x + 1) e) 7 (2 x + 3) - 20

b) 14x - 3 d ) 7 (2 x — 1)

c) 17

15. C o n s id e ra n d o el s ig u ie n te e s q u e m a d e H orner: 2

a) 1 d) 2bn

4 ¡ b-i I I I b5 ; 1

20. Si: 15x4 + 7 x 3 + A x 2 + B x + C se d iv id e e n tre 5 x 2 - x + 3, se o b tie n e un c o c ie n te c u yo s c o e fic ie n te s v a n d is m in u y e n d o d e 1 en 1 a p a rtir d e l p rin c ip a l y un re s to 2x + 5. C a lc u la r:

ir ^ c 1

a) - 3 d )2

b) - 2 e )3

c) - 1

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

21 . L u e g o d e d iv id ir: 6><3 - 1g x 2 + 19x - 16 3x - 2

27. C u á l es el v a lo r d e m p a ra q u e la d ivisió n : x 3 + m ía - 1 )x 2 + a 2(m x + a - 1) ------------------------------------------------------------ p o s e a resix- a + 1

h a lla r la s u m a d e l c o c ie n te con el re s id u o . a) 2 x 2 + 5x + 7 c) 2 x 2 + 5x - 7 e) 2 x 2 + 5x

d ú o id é n tic a m e n te nulo.

b) 2 x 2 - 5x + 7 d) 2x2- 5x - 7

22 . O b te n e r la s u m a d e c o e fic ie n te s d e l c o c ie n te d is m in u id a c o n el re s to d e la d ivisió n :

a) 1 d) a + 1

b) 4 e) 1

(a 2 - b 2)x3 ■+ (2 a b - 2 b 2)x2 + 4 a b x + 2 b 2 - ab (a + b )x + b - a es e x a c ta , h a lla r: (a 2 + b2)(a b )~ 1

c) 3

a) 0 d ) 0 ,5

23. C a lc u la r (m + 2 n ), si el re s to de: 4x4 - x2 + mx + n

b) 1 e ) -0 ,5

2 b) 2 e) 5

c) - 1

29. El e s q u e m a :

es: 2x + 5

2x + x - 3 a) 1 d) 4

c) - a

28. Si ¡a d iv is ió n in d ic a d a :

2 ( x + 1)3 — 3 x 2 - x + 3

a) 5 d) 2

b) a e) - 1

c) 3

a3 a6

fiv 3 _ 1 T v2 _ % - 3 24. Si el c o c ie n te d e d iv id ir : -----------2x - 5

a0 -6

-5

a5 3

-1 2

a 9 a 10

c o rre s p o n d e a la d iv is ió n d e d o s p o lin o m io s p o r la re g la d e R uffini. O b te n e r: a 0 + a4 + a 8

e s d e la fo rm a m x 2 + nx + p. c a lc u la r: a) 8 d )0

m " ' p + (n + p )m a) 8 d ) 17

b) 12 e ) 57

b) 11 e )3

c) 14 30. A l e fe c tu a r la d iv is ió n : a x 5 + bx4 + (c - a )x 3 + (a - b )x 2 + (b - a )x + a

25. Si el re s id u o d e la d iv is ió n :

2x2 + 3x3 + 4x4 + x5 + ax + b es R (x) = 2 6 x + 17, ha lla r la a ltern ativa correcta.

26 . C alcular a y b, si al e fe c tu a r la sig u ie n te división: 3x2 + x - 2 Id é n tic a m e n te nulo. a) 12 y - 2 d ) 8 y - 12

b )1 0 y 2 e) 6 y - 6

c )-1 0 y 8

b) 21 e) 45

a) 15 d) 36

b) a + b = 0 c) a b = 0 e) a + b i1 = 0

a x 5 + b x 4 + 2 x 3 - x 2 -J J x _ + _ 6 e| res|duQ eg

el re s to q u e se o b tie n e es 9. S e ñ a la r la s u m a de c o e fic ie n te s d e l c o cie n te .

x2 - x - 1

a) a = b d )a + b = 1

c) 5

ÜJ Lü > < j □

1. 2. 3. 4. 5. 6.

d b b b c d

7. 8. 9. 10. 11. 12.

d d d b e d

13. 14. 15. 16. 17. 18.

c) 27

e d b e b e

19. 20. 21 . 22 . 23 . 24.

a a d e c d

25 . 26. 27. 28. 29 . 30.

a a e b b c

FACTORIZACIÓN FACTOR ALGEBRAICO

N (x) = x 2 + n; (n > 0)

S e d ic e q u e N (x) es un fa c to r a lg e b ra ic o d e P (x) de g ra d o n > 1; si e x is te un p o lin o m io M (x ) ta l qu e P (x) = N (x)M (x), es decir, N (x) es un fa c to r d e P (x) si la d iv is ió n d e P (x) e n tre N (x) es ex a c ta .

• '

E je m p lo s :

P ro p ie d a d e s d e lo s p o lin o m io s irre d u c tib le s en un c a m p o n u m é ric o

N (x) es p rim o en © y IR

P (x ) = (x + 1 ) ( x + 3) S u s fa c to re s a lg e b ra ic o s son: x + 1; x + 3: (x + 1)(x + 3) •

Todo p o lin o m io de p rim e r g ra d o es irre ductib le . Si el p o lin o m io P e s irre d u c tib le lo es ta m b ié n c u a lq u ie r p o lin o m io cP d o n d e c es un e le m e n to d e d ic h o c a m p o (c ■-/■0).

Q (x ) = (x + 3 )(x + 4 )(x + 6) S u s fa c to re s son: x + 3; x + 4; x + 6: (x + 3)(x + 4), (x + 3 )(x + 6); (x + 4 )(x + 6): (x + 3)(x + 4 )(x + 6)

FACTORIZACIÓN F a c to riz a r un p o lin o m io d e g ra d o n (n # 2) re d u c ti b le s o b re un c a m p o n u m é rico , es un p ro c e d im ie n to q u e c o n s is te e n tra n s fo rm a r d ic h o p o lin o m io , en un a m u ltip lic a c ió n in d ic a d a d e fa c to re s p rim o s s o b re un c a m p o n u m é rico .

T e o re m a D a d o el p o lin o m io m ó n ico : P (x) = (x + a )“ (x + b f El n ú m e ro d e fa c to re s a lg e b ra ico s es: (a + 1)(p + 1) cY l a t w : — ------I ;

—

.................—

R (x) = x2 + p, p < 0; p no es c u a d ra d o pe rfe cto E n to n c e s R (x) es p rim o e n ©

„

N o se c o n s id e ra rá c o m o fa c to r a la u n id a d o c u a lq u ie r c o n s ta n te .

E je m p lo : l I

F a c to ric e P (x) = x 4 -

en ©

Resolución: A p lic a n d o d ife re n c ia d e c u a d ra d o s :

P o lin o m io re d u c tib le . Un p o lin o m io P d e g ra d o n > 1 es re d u c tib le e n un c a m p o n u m é ric o si el p o lin o m io se p u e d e d e s c o m p o n e r s o b re e s te c a m p o en la m u ltip lic a c ió n d e d o s p o lin o m io s d e g ra d o m e n o re s q u e n. E je m p lo : P (x) = x 2 - 3

P (x) = (x2 + 1 )(x 2 - 1) => P (x) = (x2 t 1 )(x + 1 )(x - 1)

CRITERIOS PARA FACTORIZAR C rite rio d e l fa c to r c o m ú n . C o n s is te en b u s c a r fa c to re s c o m u n e s a to d o s lo s té rm in o s d e un p o lin o m io p a ra lu e g o e x tra e rlo s .

P (x) es re d u c tib le en IR, es d e cir: P (x) = (x + Í 3 ) ( x - ¡3 )

E je m p lo s : F a cto rice :

P o lin o m io irre d u c tib le . U n p o lin o m io d e g ra d o n (n > 1) e s irre d u c tib le s o b re un c a m p o si e n c u a l q u ie ra d e s u s d e s c o m p o s ic io n e s u n o d e e llo s es d e g ra d o ce ro y el o tro d e g ra d o n. E je m p lo s : P (x) = 3x + 12 S e tra n s fo rm a e n P (x) = 3(x + 4 ) P (x) es p rim o e n © y IR

P (x: y) = 4 x 2y + 5 x y 2 + xy = x (4 x y + 5 y 2 + y) P (x; y ) = x y (4 x + 5 y + 1) L u e g o el p o lin o m io p re s e n ta 3 fa c to re s p ri m o s: x; y; 4 x + 5y + 1 F a cto rice : Q (x; y) = (x + 3)y + (x + 3 )x + (x + 3) Q (x: y) = (x + 3 )(y + x + 1) L u eg o, el p o lin o m io p re s e n ta d o s fa c to re s p ri m o s: (x + 3), (y + x + 1)

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

A g ru p a c io n e s . C o n s is te en a g ru p a r té rm in o s c o n v e n ie n te m e n te tra ta n d o q u e a p a re z c a a lg ú n fa c to r com ún. E je m p lo s : F a cto rice : P (x; y; z ) = x 2 + x y + zx + z y + x + y P (x; y; z ) = x (x + y) + z (x + y) + (x + y) P (x; y; z ) = (x + y )[x + z + 1] L u eg o, el p o lin o m io p re s e n ta d o s fa c to re s p ri m os: (x + y); [x + z + 1] F a cto rice : P (a; b: c) =

a 2+ ab + ac + a 3 + a2b+ a2c

P (a; b; c) =

a (a + b + c) + a 2(a + b+ c)

P (a; b; c) = P (a; b; c) = L u e g o , el p o lin o m io m os: (a + b + c); a;

(a + b + c)[a + a 2] (a + b + c)a(1 + a) p re s e n ta tre s fa c to re s p ri (1 + a)

Id e n tid a d e s . P o r id e n tid a d e s a lg e b ra ic a s . E je m p lo s : F a cto rice : P(a: b; c) = a2 + b2 + c 2 + a + 2ab + b + 2 a c + c + 2bc P(a: b; c) = (a2 + b2 4 c2 + 2 a b + 2 b c + 2 a c) + (a + b + c) P(a; b: c) = (a + b + c)2 + (a + b + c ) . 1 P(a: b; c) = (a + b -i c )(a + b + c + 1) L u eg o, el p o lin o m io p re s e n ta d o s fa c to re s p ri m o s: (a + b + c): (a + b + c + 1) F a cto riza r: P (x; y) = x 4 + 2 x 2y2 + y4 - (x2 + y 2)(1 + y2) P(x; y) = (x2 + y 2)2 - (x2 + y 2)(1 + y2) P (x: y) = (x 2 + y 2)[x 2 + y 2 - 1 - y 2] P (x; y) = (x2 - y 2)2[x 2 - 1] P (x; y) - (x2 + y 2)(x + 1)(x - 1) L u eg o, el p o lin o m io p re s e n ta tre s fa c to re s p ri m o s: (x2 + y 2): (x + 1): (x - 1) A s p a s im p le . F o rm a g e n e ra l d e p o lin o m io a fa c to riza r. P (x; y) = A x 2n + B x ny m + C y 2m

P ro c e d im ie n to : se d e s c o m p o n e lo s e x tre m o s tra ta n d o d e b u s c a r el té rm in o c e n tra l. P (x; y) = A x 2n + B x ny m + C y 2m a ,x

c ,y n

a 2x r B x ny m (té rm in o c e n tra l) D o n d e : B xny m = (a 2C! + a 1c 2)x lly m L u e g o : P (x; y) = ( a ^ " + c 1y m)(a 2x n + c 2y m)

cVlota: P (x) = a x 2 + bx + c; a fa c to riz a b le en © o b2 d o p e rfe c to . P (x) = a x 2 + bx + c; a fa c to riz a b le en IR « b2

# 0 A a; b; c e © es - 4 a c es un c u a d ra A 0 a a; b: c e IR es - 4ac > 0

E je m p lo s : • P (x) = x 2 + 5x + 1 A n a liz a n d o el d is c rim in a n te se tiene : A = 52 — 4 (1 )(1 ) > 0 .-. P(x) es factorizable en IR: pero prim o en © •

P (x) = 2 x 2 + 3x - 1 A n a liz a n d o el d is c rim in a n te A = 3 2 - 4 (2 )(1 ) => A = 1

E je m p lo s : F a cto riza r: P(x; y) = 3 x 2 + 2 0 x y + 12y2 3xx 2y x -^ K ^ + 6 y

2xy 1 18 xy r (+ ) ’ 2 0 xy

L u e g o : P (x; y) = (3x + 2 y )(x + 6y), el p o lin o m io p re s e n ta d o s fa c to re s p rim o s. F a cto rice : P (x) = 1 4 x2 — 3x - 11 14x \ í / r

11 * \ | > 11 x ^ ^ - 1

=> 11 X j

-1 4 X [ (+ ) — -3 x

Lu eg o: P (x) = (1 4 x + 11 )(x - 1) El p o lin o m io p re s e n ta d o s fa c to re s p rim o s.

P (x) = A x 2n + B x n + C D o n d e : m; n

A s p a d o b le . F o rm a g e n e ra l del p o lin o m io a fa c to riza r.

Á lgebra |

P(x; y) = A x 2n + B x ny m + C y 2m + D x n + E ym + F

E je m p lo : F a cto rice :

P (x) = x4 + 3 x 3 + 7 x 2 + 7x + 6

D o n d e : m; n e IN P ro c e d im ie n to : S e a p lic a d o s v e c e s a s p a s im p le e n lo s s ig u ie n te s té rm in o s : t-,, t2, t3 a t3, t5, t6 F in a lm e n te s o lo p a ra c o m p ro b a r se a p lic a otra a s p a s im p le con: t,, t4, t6 P (x; y) = A x 2n + B x ny m + C y 2m + D x n + E y m + F

ai x"

Í1

L u e g o : P (x;y) = ( a ,x n + c ^ " 1 + L,) (a 2x n + c 2y m + f2)

B a la n ce : Tenem os: 5x2 F a lta: 7 x 2 - 5 x 2 = ( § ) P (x) = (x2 + 2x + 3 )(x 2 + x + 2) El p o lin o m io p re s e n ta d o s fa c to re s c u a d rá tic o s p ri m o s (x2 + 2x + 3); (x2 + x + 2). D iv is o re s b in ó m ic o s . S e a p lic a p a ra fa c to riz a r p o lin o m io s q u e a d m ite n p o r lo m e n o s un fa c to r li neal. R a íz d e un p o lin o m io . S e a P (x) un p o lin o m io de g ra d o n > 1.

E je m p lo : F a cto riza r:

a es ra íz d e P (x) « P (a ) = 0

P (x; y) = 1 5 x2 + 11 x y + 2 y 2 + 16x + 6 y + 4 5x

Es de cir, ra íz es el v a lo r q u e a n u la al p o lin o m io . E je m p lo :

L u e g o : P (x; y) = (5 x + 2 y + 2 )(3 x + y + 2)

P (x) = x 3 + 7x - 8 x = 1 => P (1 ) = 0 => 1 es ra íz d e P (x)

el p o lin o m io p re s e n ta d o s fa c to re s p rim o s. P o s ib le s ra íc e s ra c io n a le s (P R R ) A s p a d o b le e s p e c ia l. F o rm a g e n e ra l del p o lin o m io a fa cto riz a r.

S ea : P (x) = a 0x n + D o n d e : a 0: a n ¿ 0

P (x) = A x 4n + B x 3n + C x 2n + D x n + E

E je m p lo : P (x) = 2 x 3 + 5 x 2 - 4x - 3 P r r

P (x) = A x 4n + B x 3n + C x 2n + D x n + E

... + a n _ ,x + a n

[ D iv is o re s d e I a n I P R R = ± ---------------------- !— H D iv is o re s d e | a 0 1

D o n d e : n e IN P r o c e d im ie n to : S e d e s c o m p o n e lo s e x tre m o s tra ta n d o d e b u s c a r un a p ro x im a d o al té rm in o c e n tra l:

a-|Xn ~ 1 +

D iv is o re s d e 3 j [D iv is o re s d e 2 j

+ f

PRR= H H H , ; ? 3;f l B a la n ce :

T e n e m o s : (a 1e 2 + a 2e 1)x2n \ F a lta: (C - a 1e 2 - a 2e 1)x 2n = ( £ x ^ ) = (f1x Il)(f2x n) L u eg o: P (x) = (a-ix211 + f.,xn + e 1)(a 2x 2n + f2x n + e 2)

P R R = ± 1; +

± 3; ± 2

L u e g o el p o lin o m io P (x) p o s ib le m e n te se a n u le p a ra a lg u n o s d e e s to s v a lo re s . Si: x = 1 ^ P (1 ) = 0 => 1 es un a ra íz ra c io n a l d e P (x)

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

TEOREMA DEL FACTOR

R esolución:

S e a P (x) un p o lin o m io ta l q u e g ra d o d e P (x) > 1

E = x 3y - x 3z + x 2y2 - x 2y z - y 2z 2 + y z 3 xyz2 + xz 3 E = x 3(y - z) + x 2y (y - z ) - y z 2(y - z ) -

P (a) = 0 o (x - a) es un fa c to r d e P (x) E je m p lo : P (x) = x 3 + 2 x 2 - 4 x - 8 SI: x = 2 =3 P (2 ) = 0 =s (x - 2 ) es un fa c to r d e P (x) L u e g o el p o lin o m io se p u e d e e x p re s a r d e la fo rm a : P (x) = (x - 2 )Q (x )

x z 2(y - z) E = (y - z )[x 3 + x 2y - y z 2 - x z 2] E = (y - z )[x 2(x + y) - z 2(x + y)] E = (y - z )(x + y )(x 2 - z 2) E = (y - z )(x + y )(x + z )(x - z) 3.

B u s c a r el e q u iv a le n te d e la e x p re s ió n : b2 + c 2 - a 2 - d 2 + 2a d + 2 b c

P ro c e d im ie n to p a ra fa c to riz a r S e a P (x) el p o lin o m io a fa c to riz a r p rim e ro b u s c a m o s un a ra íz ra c io n a l (se a a d ic h a raíz).

Resolución: (b 2 + 2 b c + c 2) - (a 2 - 2 a d + d 2) (b + c )2 - (a - d )2 P o r d ife re n c ia d e c u a d ra d o s : (b + c + a - d )(b + c - a + d)

L u e g o P (a) = 0 y p o r el te o re m a d e l fa c to r (x - a) e s un fa c to r d e P (x) e n to n c e s el p o lin o m io se p u e d e e x p re s a r d e la fo rm a : P (x) = (x - a) q (x ) D o n d e q (x ) es el c o c ie n te d e la s ig u ie n te d iv is ió n : P (x )

4. en d o n d e pa ra h a lla rla se a p lic a R uffini.

Resolución: A g ru p a n d o c o n v e n ie n te m e n te : E = x 6 - (x2 + 8 x + 16) P la n te a n d o la d ife re n c ia d e c u a d ra d o s : E = (x 3)2 - (x + 4 )2 E = (x 3 + x + 4 )(x 3 - x - 4 )

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

F a c to riz a r P (x) = x 3 - 2 x 2 - 2 x - 3

Resolución: B u s c a m o s la s p o s ib le s ra íc e s ra c io n a le s . PRR = ±

= + 1, ± 3

Resolución:

6. 3 1

-2

-3

Resolución:

=> P (x) = (x - 3 )(x 2 + x + 1) P (x) = (x - 3 )(x 2 + x + 1) L u e g o el p o lin o m io tie n e 2 fa c to re s p rim o s. D e s c o m p o n e r en fa cto re s : x 3y + x 2y 2 - x 2y z + y z 3 - x y z 2 + x z 3 y 2z 2 - x 3z

U n o d e lo s fa c to re s d e x 4 + 2 x 2 + 9 es: S e g e n e ra un a d ife re n c ia d e c u a d ra d o s q u i ta n d o 4 x 2 y p o n ie n d o 4 x 2. A sí: E = x4 + 2x2 + 4x2 + 9 - 4 x 2 E = (x4 + 6 x 2 + 9 ) - 4 x 2 E = (x2 + 3 )2 - (2 x )2 E = (x 2 + 2x + 3 )(x 2 - 2x + 3)

coef. d e q(x)

D e s c o m p o n e r el b in o m io x 4 + 4 y 4 en el p ro d u c to d e d o s b in o m io s rea les. S u m a n d o y re s ta n d o 4 x 2y 2, se tiene : x 4 + 4 y 4 = (x4 + 4 x 2y2 + 4 y 4) - 4 x 2y 2 x 4 + 4 y 4 = (x2 + 2 y 2)2 - (2 x y )2 x4 + 4 y 4 = (x 2 + 2 x y + 2 y 2)(x 2 - 2 x y + 2 y 2)

D e aquí 3 es una raíz racional porque P (3) = 0 y p o r te o re m a (x - 3) es un fa c to r d e P (x), lu e g o : P (x) = (x - 3 )Q (x). H a lla n d o Q (x) p o r P (x ) -R uffini, en la s ig u ie n te d iv is ió n : x - 3 1

H a lla r un o d e los fa c to re s de: x 6 - x 2 - 8x - 16

F a c to riz a r el s ig u ie n te p o lin o m io : a 2 + 2 a b + b2 - 2 a - 2 b - 35

R esolución: A g ru p a n d o c o n v e n ie n te m e n te , se logra:

A lg e b r a |

a) 5 d) 4

(a + b )2 - 2 (a + b) - 35 (a + b ) 7 (a + b) +5

(a + b — 7)(a + b + 5)

b) 6 c) 2 e ) h a y 2 re s p u e s ta s .

F a ctorizar: P(x, y) = (x + y + 3)2 + 7x + 7y + 3 e in d iq u e q u é fa c to r e s prim o . a )x + y + 9 d) x + y + 1

b )x + y - 2 e ) x + y + 10

c )x

+ y + 2

[^ E J E R C IC IO S PROPUESTOS " I

F a c to rlz a r: 3 a 3b - 4 a 2b + 3 a c - 4c, d a r uno d e sus fa c to re s . a ) a 2b + c 3 d) 2a - 3

b) 3 e )6

c) 3

b) 5a b - 1 e) ab - 1

c) 2 a b - 3

F a c to riz a r: (x + y )4 - 5 x y (x + y )2 + 6 x 2y 2, in d i c a r un o d e s u s fa c to re s . b) 2 x 2 - 2 y 2 d) x2 + y 2 + xy

Factorizar: F(x) = (x2 + x + 1)2 - 16x(x + 1) + 23, s e ñ a la r q u e fa c to r no p e rte n e c e a F(x). a) x - 3 d) x + 2

c) 4

b) 2 e )5

a) x 2 - y 2 c) x 2 + y 2 e ) x 2 + y 2 - xy

b) x - 1 e) x + 4

c) 9 x 4 + 5 y 2

F a c to riz a r: F(x; y) = (x 2 - y 2)2 - (y 2 - 1)2, in d ic a r un fa c to r p rim o . a) x + y d) x 2 + y

b) x - y e) y - 1

c) x + 1

12. F a c to riz a r: R (x; y) = y 2 - x 2 + 6 x - 9, In d ic a r el fa c to r p rim o d e m a y o r s u m a d e c o e ficie n te s .

In d ic a r la s u m a d e té rm in o s d e lo s fa c to re s : 6 a 2b2 - 11ab + 3 a) 5 a b - 4 d) 8ab

b) 9 x 4 - 4 y 2 e ) 3 x 2 + 2y

c) 2 b - a

F a c to riz a r: (a 3 + b 3 + c 3)3 - a 3 - b 3 - c 3 e in d ic a r el n ú m e ro d e fa c to re s p rim o s a) 1 d )4

11.

C u á n to s fa c to re s p rim o s tie n e : a 7b 5 - a 3b9 a) 2 d )5

b) 2 + b e) b - 2

a) 6 x 4 - 5 x 2 d) 6 x 4 + 4 y 2

c) 3 a - 4

F a c to riz a r: 2 a 3 + b 3 - a 2b - 2 a b 2 e in d ic a r un factor. a) a + 2 d) a - b

b) ab + c e ) 3a + 4

10. F a c to riz a r: H (x; y) = 5 4 x 8 + 2 1 x 4y 2 - 2 0 y 4 e in d iq u e un fa c to r p rim o .

c) x + 1

F a cto riza r: (x 2 + 5 )2 + 1 3 x(x 2 + 5) + 4 2 x 2 in d iq u e la s u m a d e c o e fic ie n te s d e un fa c to r prim o.

a) y + d) x +

x - 3 b) y - x + 3 2 y - 1 e ) y + 2 + 3x

c )x + y + 2

13. F a c to riz a r: 8 1 a 4 + 9 a 2 + 1, d a r el p ro d u c to de té rm in o s d e u n o d e s u s fa c to re s . a) 9 a 2 + 1 d) a 3

b) - 2 7 a 3 e ) 27

c) 27 a

14. H a lla r la d ife re n c ia d e io s fa c to re s p rim o s de: P (x) = (x + 1)(x + 2 )(x + 3 )(x + 4 ) - 3 a) x

b) 2

c) 1

d) 4

e) x 2

15. H a lla r el fa c to r p rim o q u e m á s v e c e s se rep ite : P (x) = x 4 + 7 x 3 + 1 7 x2 + 17x + 6 a) x + d) x -

1 3

b) x + 2 e) x - 2

c) x + 3

16. F a c to riz a r: P (x) = x 3 - 12 x2 + 4 7 x - 60 e in d iq u e la s u m a de lo s té rm in o s in d e p e n d ie n te s d e s u s fa c to re s prim o s. a ) 10 d ) 12

b ) —14 e ) —12

c) 19

17. F a c to riz a r: (a - b )2(c - d )2 + 2 a b (c - d )2 + 2 c d (a 2 + b2) e in d ic a r la s u m a d e sus fa c to re s . a) a 2 + b2 c) a 2 + b2 + c 2 + d 2 e) c 2 + b

b) c 2 + d 2 d) a 2 - b + c

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

18. In d ic a r la s u m a d e los fa c to re s p rim o s o b te n i d o s al fa c to riz a r: P (x) = 8 x 3 - 1 2 x2 - 2 x + 3 a ) 6x d )9 x - 1

b) 6 x - 3 e) 6x - 1

c) 8x + 1

19. F a cto riza r: F (x) = 2 4 x 3 + 1 7 x2 + 11x + 3 e In d iq u e la s u m a d e c o e fic ie n te s d e s u s fa c to re s prim o s. a) 3 d) 27

b) 15 e ) 11

c )1

21 . F actorizar: (a + b + c + d )2 - a2 - b2 - ac - ad in d ic a r lu e g o u n o d e lo s fa c to re s prim o s. b) d + 2 b + c e )b + c + d

c) a + b+ c

22 . F a c to riz a r el p o lin o m io : x 2 - y 2 + 2 z 2 - z 2 - 8x + 16, d e c ó m o re s p u e s ta la s u m a a lg e b ra ic a de lo s té rm in o s In d e p e n d ie n te s d e lo s fa c to re s p rim o s. a )-8 d) - 4

26 .

b) 8 e) 0

27 .

b) 4 e )2

23. A l e s c rib ir el p o lin o m io : x 7 - 4 x 6 + 2 x 4 - 3 x 3 + x 2 - 1 b a jo la fo rm a (x - 1 )a(x + 1 )b h a lla r el v a lo r d e a - b.

a) 2 a 2 - b c 2 c) 2 a 2 + b - c 2 e) 2 c 2 - b + c

b) 2

c) —1

d ) —2

a) 1 d )4

b) 2 e )5

b 3(a - c2) + c3(b - a 2) + a b c fa b c - 1) + a 3(c - b2) b) c 2 - b e) a2 + b

c) 3

29. In d iq u e u n o d e lo s fa c to re s p rim o s en: a 3 + b3 - 6 a b + 8 b) a + b + 2 e) a + b + 1

c) a + b + 6

30. In d iq u e la s u m a d e fa c to re s p rim o s en: (a 2 - b2 - c 2)2 - 4 b 2c2 a)

b) 2 a 0 e ) 5a

c) a

e) 3

24. In d iq u e u n o d e lo s fa c to re s p rim o s en:

a) a 2 - b d) a 2 - c

b) 2 a 2 + b + c d) 2 b 2 - a - c

28. In d iq u e el n ú m e ro d e fa c to re s p rim o s en: (x2 + 5 + 7 x )2 + 3 x 2 + 5 + 2 1 x

a) 1

c) 5

In d iq u e la s u m a d e fa c to re s p rim o s en: a4 + 5 b c 2 - a2b - a 2c2 - 2 b 2 - 2 c 4

a) a + b + 3 d) a + b + 5

c) 4

b) 4 a + 4 b + 4 c d ) 4 a + 3b + c

In d iq u e el n ú m e ro d e fa c to re s prim o s: (1 8 c + 7 b + 6 a )(a + 3 c + 3b ) + 3 b 2 a) 3 d )6

b) 7 e )-3

a) a + 2 c + d d )a + b + d

In d iq u e la s u m a d e fa c to re s p rim o s: 8 (a + b + c )3 - (a + b )3 - (a + c )3 [b 3 + 3 b c (b + c) + c 3] a) 4 a - 4 b - 4 c c) 4 a + 3b + c e ) 4 a + 3 b + 3c

c) 7

20. S e ñ a la r el v a lo r d e m p a ra qu e: P(x; y) = 2 x 2 + m x y + 3y2 - 5y - 2 p u e d a e x p re s a rs e c o m o la m u ltip lic a c ió n d e 2 p o lin o m io s . a) 0 d) 5

25.

c) c2 - c

1. c

7. c

13. b

19. e

25.

2. d

8. e

14. d

20. b

26. e

9. d

15. a

21. b

27. a

10. e

16. e

22. a

28. c

5. a

11. c

17. c

23. a

29. c

6. c

12. b

18. b

24. a

30. a

3. d 4.

FRACCIONES ALGEBRAICAS MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD)

A = (x2 + y 2 f z 2)(x 2 + y 2 - z 2)

D e d o s o m á s e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s , es la e x p re s ió n d e m a y o r g ra d o p o s ib le q u e e s tá c o n te n id a c o m o fa cto r, un n ú m e ro e n te ro d e v e c e s e n d ich a s e x p re s io n e s . P a ra d e te rm in a r el m á x im o c o m ú n d iv is o r se fa c to riz a n la s e x p re s io n e s y se fo rm a el p ro d u c to d e lo s fa c to re s c o m u n e s c o n su m e n o r e x p o n e n te .

B = (x2 + y 2)2 + 2 z 2(x2 + y 2) + z 4 B = (x 2 + y 2 + z 2)2 C = (x4 + 2 x 2z 2 + z 4) - y4 = (x2 + z 2)2 - (y2)2 C = (x2 + z 2 + y 2)(x2 + z 2 - y 2)* M C D (A ; B; C ) = x 2 + y2 + z 2 M C M (A ; B: C ) = (x2 + y2 + z 2)2(x2 + y 2 - z 2) (x2 + z 2 - y 2)

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) D e d o s o m á s e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s , e s la e x p re s ió n d e m e n o r g ra d o p o s ib le q u e c o n te n g a un n ú m e ro e n te ro d e v e c e s c o m o fa c to r a d ich a s e x p re s io n e s . P ara d e te rm in a r el m ín im o c o m ú n m ú ltip lo se fa c to riz a n las e x p re s io n e s y se fo rm a el p ro d u c to d e lo s fa c to rs c o m u n e s y no c o m u n e s c o n su m a y o r e x p o n e n te . E je m p lo s : 1.

H a lla r el m á x im o c o m ú n d iv is o r y el m ín im o c o m ú n m ú ltip lo de:

H a lla r el M C D y el M C M de: A = x3

B = x3

5x2 + 8x + 4 3x2 - 4

C = x3

6 x 2 + 12x + 8

R esolución: F a c to riz a n d o ca d a e x p re s ió n : A = (x 3 + 2 x 2) + (3 x 2 + 8x + 4 ) fa c to riz a n d o p o r a s p a s im p le el s e g u n d o p a ré n te s is : 3x

+2 +2

Resolución: En A: A = x 4(x - a ) - a4(x - a) E xtrayendo fa cto r com ún y de sa rrolland o x4 - a4:

A = x 2(x + 2) + (3 x + 2 )(x + 2) A = (x + 2 )(x 2 + 3x + 2) F a c to riz a n d o p o r a s p a s im p le el s e g u n d o p a ré n te s is :

A = (x - a )(x 2 + a2)(x + a )(x - a); fin a lm e n te :

:x -

A = (x - a )2(x 2 + a 2)(x + a) En B: e x tra y e n d o fa c to r c o m ú n : B = x (x 3 - a x 2 - a 2x + a 3) B = x [x 2(x - a) - a 2(x - a)] B = x (x - a )(x + a )(x - a); fin a lm e n te : B = x (x - a )2(x + a) M C D (A ; B): (x - a )2(x + a)

A = (x + 2 )(x + 1 )(x + 2 ) = (x + 1)(x + 2 )2 B = x3 + 3x2 - 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4 F a c to riz a n d o en lo s d o s p rim e ro s y en lo s d o s ú ltim o s té rm in o s : B = x 2(x - 1) + 4 (x 2 - 1)

M C M (A ; B): x (x - a )2(x + a )(x 2 + a 2)

B = x 2(x - 1) + 4 (x + 1 )(x - 1)

H a lla r el M C D y el M C M de:

C = x 3 + 6 x 2 + 12x + 8 = (x 3 + 8) +

B = (x - 1 )(x 2 + 4 x + 4 ) = (x - 1 )(x + 2 )2 2.

A = x 2(x2 + 2 y 2) + (y2 + z 2)(y + z )(y - z)

(6 x 2 + 12 x) = (x 3 + 2 3) + (6 x 2 + 12x)

B = (x2 + y 2)(x 2 + y 2 + 2 z 2) + z 4

C = (x + 2 )(x 2 - 2x + 4 ) + 6 x (x + 2)

C = x4

C = (x + 2 )(x 2 - 2x + 4 + 6x)

2 x 2z 2 + z 4

Resolución:

C = (x + 2 )(x 2 + 4 x + 4 ) = (x + 2 )(x + 2 )z

F a c to riz a n d o s e p a ra d a m e n te c a d a e x p re s ió n :

C = (x + 2 )3

A = x 4 + 2 x 2y 2 + (y2 + z 2)(y2 - z 2)

M C D (A ; B; C ) = (x + 2)

A = (x4 + 2 x 2y2 + y 4) - z 4 = (x2 + y 2)2 - (z2)2

M C M (A ; B; C ) = (x + 2 )3(x + 1)(x - 1)

I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

FRACCIONES ALGEBRAICAS

(a -b )(a -c )

E s fra c c ió n a lg e b ra ic a to d a a q u e lla e x p re s ió n q u e tie n e p o r lo m e n o s un a le tra en el d e n o m in a d o r. E je m p lo s :

1 2x + 3y

X- z

^ _2/ 4zb 4 5 4)(

S ig n o s d e u n a fra c c ió n . En un a fra c c ió n se ha lla n tre s sig n o s: 1. 2. 3.

S ig n o d e l n u m e ra d o r S ig n o d e l d e n o m in a d o r S ig n o d e la fra c c ió n

EJERCICIOS RESUELTOS S im p lific a r: x 3 + (2 a + b )x 2 + ( a 2 + 2 a b )x + a 2b x 3 + (a + 2 b ) x 2 + (b 2 + 2 a b )x + a b 2

C u a n d o no h a y fa c to re s in d ic a d o s . En to d a fra c c ió n se p u e d e c a m b ia r d o s d e s u s tre s s ig no s y la fra c c ió n no se alte ra . A sí:

p + b

S im p lific a c ió n d e fra c c io n e s . P ara s im p lific a r un a fra c c ió n se fa c to riz a el n u m e ra d o r y el d e n o m in a d o r y se e lim in a los fa c to re s c o m u n e s q u e a c e p ta n .

CAMBIOS DE SIGNOS EN UNA FRACCIÓN 1.

1 ■= (a -b )(a -c )

Resolución:

—3 _ + 3

E fe c tu a n d o o p e ra c io n e s in d ic a d a s :

+ b

x 3 + 2 a x 2 + b x 2 + a 2x + 2 a b x + a 2b

- b

x 3 + a x 2 + 2 b x 2 + b 2x + 2 a b x + a b 2 E je m p lo :

O rd e n a n d o y fa c to riz a n d o :

S im p lific a r: E

x ( x 2 + 2 a x + a 2) + b ( x 2 + 2 a x + a 2)

Resolución:

x (x 2 + 2bx

C a m b ia n d o d e s ig n o a la fra c c ió n y al n u m e ra ib 2 - a 2) (b 2 - a 2)

(x +

a )2 ( x

+ b) ^

(x + b)2 (x + a )

S im p lific a r: E =

x +

x + b a b íx 2 + y 2 ) + x y ía 2 + b 2) a b ( x 2 - y 2) + x y ( a 2 - b 2)

Resolución: E fe c tu a n d o o p e ra c io n e s in d ic a d a s :

E je m p lo : S im p lific a r: E

b 2 ) + a ( x 2 + 2 b x + b 2)

C a d a p a ré n te s is es un b in o m io al cu a d ra d o :

-1

C u a n d o la fra c c ió n tie n e fa c to re s in d ic a d o s . En to d a fra c c ió n si se c a m b ia d e s ig n o a un n ú m e ro p a r d e fa c to re s , la fra c c ió n n o se a lte ra ; si se c a m b ia d e s ig n o un n ú m e ro im p a r d e fa c to re s , la fra c c ió n c a m b ia d e sig n o . A sí:

^ _ a b x 2 + a b y 2 + a 2xy + b 2xy

(a - b) (a - c)

a b x 2 - a b y 2 + a 2x y - b 2x y

(b - a ) (c - a)

Resolución:

a x íb x + a y ) + b y fa y + bx )

C a m b ia n d o d e s ig n o a lo s d o s fa c to re s d e l de (b - a )(a - c) n o m in a d o r se o b tie n e : E = (b - a )(a - c)

a x (b x + a y ) - b y (a y + bx )

E je m p lo : 1 1 S im p lific a r: E = -, . (a -b )(a -c ) (a -b )(c -a )

Resolución: C a m b ia n d o d e s ig n o al fa c to r (c - a ) en la s e g u n d a fra c c ió n , s e o b tie n e :

(b x + a y )(a x + b y )

ax + by

(b x + a y )(a x - by )

ax - by

S im p lific a r: E =

(x + 1)(x2 - 9 ) ( x - 5 ) + 2 7 (x + 2)(x2 - 16 ) ( x - 6 ) + 48

Resolución: D e s c o m p o n ie n d o la d ife re n c ia d e c u a d ra d o s :

Á lg ebra |

_ ( x + 1 ) ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x - 5 ) + 27

H a lla r el p ro d u cto : E = ( i± Á _ J _ z A y J L + 4 “ X 1- x 1 + x /\4 x 4

(x + 2 )( x + 4 ) ( x - 4 ) (x - 6 ) + 4 8 (x + 1)(x - 3 )(x + 3 )(x - 5 ) + 27

Resolución:

~~ (x + 2 )(x - 4 ) ( x + 4 )( x - 6 ) + 4 8

T ra b a ja n d o co n c a d a fa cto r:

E fe c tu a n d o lo s p ro d u c to s d e d o s e n dos: _ ( x 2 - 2x - 3 ) (x 2 - 2x - 151 + 27

(1 + X )2 - ( 1 - x ) 2

(1 + x ) ( 1 - x )

1 -x 2

( x 2 - 2x - 8 ) ( x 2 - 2x - 2 4 ) + 4 8 3 + x2 - 4x2 4x

H a c ie n d o x 2 - 2 x = y: ( y - 3 ) ( y - 1 5 ) + 27 E= (Y - 8 )(y - 24 ) + 48 E=

y2 -1 8 y

+ 45 + 27

y 2 - 18y + 72

(y — 1 2 )(y — 6)

y - 6

(y - 2 0 )(y - 12)

y - 20

x 2 - 2x - 20

Si x

a + (a 2 - 1)1/2

a + x a - x

E =

R e p re s e n ta n d o c o n v e n ie n te m e n te : c a2 - b2 b (a -b ) ab - a ( a - b)

a - (a 2 - 1)1/2

E =

ab - a

Resolución:

a - ( a 2 - 1)1/2

H a c ie n d o : (a 2 - 1 )1/2 = x

ab - b ab

E _ a + (a 2 - 1)1/2

R esolución:

R e d u c ir a su m ín im a e x p re s ió n : E =

— =* a

a -x a + x

(a + x )2 - (a - x )2

4ax

R e p o n ie n d o : E :

E = —7- — —r- + ab ab a

R e d u c ir a su m ín im a e x p re s ió n :

x 2 - 2x ~ 6

R e p o n ie n d o v a lo re s d e y: E

Á 3 (1 - x 2 )\ = 4x 1 —x¿

y 2 _ 32y + 192 + 48

y 2 - 32y + 240

3(1 ~ x 2) 4x

4 a ( a 2 - 1)1' 2

4 a ( a 2 - 1)1/

= 4 a (a 2 - 1 )1/2

E fe c tu a r la s ig u ie n te s im p lific a c ió n : 8xy

±1, h a lla r el p ro d u cto :

4 x 2 + 2xy + y 2

E =

( x + 1)2(x 2 - x + 1)2

( x - 1)2(x 2 + x + 1)2

8x3 + y 3

(x 3 + 1 )2

(x3 - 1)

8x3 - y 3

2V 2x + y

Resolución:

T ra b a ja n d o en el in te rio r d e c a d a c o rch e te :

T ra b a ja n d o c o n c a d a u n o d e lo s m ie m b ro s de la fra c c ió n :

p =

(x + 1)2(x 2 - x + 1)2]2 r( x - 1)2(x 2 + x + 1)2 (x 3 + 1)2

(x 3 - 1)

( x 3 + 1)

( X 3 ~ 1)2

( x 3 + 1)2

(X 3 -

1)2

P = [ I ] 2 A [1 ]2 a P = 1

D =

8 x 2 + 4xy + 2 y 2 - 8xy

2 (4 x 2 - 2xy + y2)

4x + 2xy + y

(4 x 2 + 2xy + y 2

(2 x + y )( 4 x 2 - 2 x y + y 2) 2x - y (2 x - y )( 4 x 2 + 2 x y + y 2) 2x + y

E = N /D = 2

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

R e d u c ir:

E —----------1■

T -4 + 2W [(a + -¿Mxd + a)l

2az "1- a

1+a-

12. S im p lific a r: E

Resolución: 1

P2- Í Í > 4

Resolución:

E fe ctu a n d o o p e ra c io n e s , de a b a jo h a cia arriba: E =

- if í a - i

F a c to riz a n d o las d ife re n c ia s d e c u a d ra d o s en el p rim e r p a ré n te s is d e l n u m e ra d o r y d e n o m i n a do r:

(1 + a)

-x-

a(1 - a ) (1 + a 2

E = E = (1 + a 2) ; , (1 + a ) (1 + a )

la 4 (1 + a 2)

(1 + a ) . a _

( 1 + a ) X ( a 2 + 1) _ a 10.

S im p lific a r la e x p re s ió n :

1 - a2

E =

E = ■

(1 + a x )2 - ( a + x )2

Resolución:

í i - i n

T ra b a ja n d o c o n el d e n o m in a d o r d e la fra c c ió n y re p re s e n ta n d o la d ife re n c ia d e c u a d ra d o s : (1 + ax + a + x)(1 + ax - a - x)

E =

A g ru p a n d o y fa c to riz a n d o : [(1 + a ) + x(1 + a)] . [(1 - a) - x(1 - a)]

a+¿

a 3

1 b

b + i a

b -1 a

-n

ab + 1 n ab - 1 b b ab + 1 ab - 1 a a

/ a ,° m = 1

E =

E = 1

(1 + a)(1 + x)(1 - a)(1 - x) => (1 - a 2)(1 - x 2) Toda la fra c c ió n : E =

11.

1 —a2 1 — = (1 - a )(1 - x ) 1 —x

H a lla r la e x p re s ió n e q u iv a le n te a:

I " - EJER C IC IO S P R O P U E S T O S ''|

mi - m!n + m n2 _ n3 , - 2 7

3 /m

a) (x + 1)2(x - 3 )2 b ) ( x + 1)4 c ) ( x + 6 )7 d ) (x + 1)4(x - 3 )4 e ) (x + 1)(x - 1)(x - 3)

Resolución: Sabemos que: | m - n | = ^

- m_J2 + m n 2 - n 3 2.

R e e m p la z a n d o : E

H a lla r el M C D de: P (x) = (x + 1)2(x - 3 )4(x + 5 )6 Q (x ) = (x + 1 )2(x + 1 )3(x - 3 )2 R (x) = (x + 1)4(x - 3 )3(x + 6 )7

\ 3

H a lla r el M C M de: P (x) = (x + 1 )2(x - 3 )4 Q (x ) = (x - 3 ) 5 ( x + 4 )2 a ) (x + 1 ) 2(x -

3 )5(x + 4 )

b) x - 3 )6 c) (x + 1 ) 2 ( x - 3 )5(x + 4 )2

Á lg ebra |

d) (x - 3 )4 e) (x + 1 )2(x 3.

3 ) 4 (x

Q (x ) = x 4 + 2 x 3 - 7 x 2 + px + q es x 2 - 5x - 6. H a lle el g ra d o d e l M C M de d ic h o s p o lin o m io s .

+ 4 )2

H a lla el M C D d e la s s ig u ie n te s e x p re s io n e s :

a) 1

a - 1x n - 1; b Á " - 2; c - ’ x 11- 3 a) abcx" d )x n- 2 4.

b) x n/a b c e) x n ~ 1

10.

c )x n ~ 3

d )a b c x n ~ 4

e )x n~ 5

c )a b c x n ~ 6

abe

11.

E fe c tu a r:

B (x, y, z ) = x a - 1y b + 3z c

b) x 8y 9z 6

e) x 8y 6z 9

2 -

b) 3 /(x —2) d) 3

b) x - 2 4 e) x +

x2 xy + y

a) 0 d)

a) d)

c) x + 5

b) x /y 2 e )— 1

+ 2 - 2

c) y/x

x2 x2

+ x + x

b )x + 4 e) x + 3

Si el M C D d e los p o lin o m io s : P (x) = x 4 - 9 x 2 + m x + n

c) x - 5

15. +

es el 16.

x x2

1 +

- 2 + 1

1 c)

b ) ^ ± ^ 3x + y

b) d)

b) e)

x -

x -1 x

+ 1

(x + 2 y )2 - y 2 y2 E fe c tu a r: P = - --------------------------- y (2 x + y ) - x x - ( 4 x + y) a ) -TT— — 3y + x

¿ C u á l d e las e x p re s io n e s q u e se d a n M C D d e (3 x 3 - 8x + 8) y (x3 - 6x - 4 )7 a )x + 5 d) x + 2

14.

E n c o n tra r el M C D d e lo s p o lin o m io s : P (x) = x 4 - 5 x 2 + 4 Q (x ) = x 3 + x 2 - 4 x - 4 R (x) = x 3 - 2 x 2 - x + 2

c) 1 4

+ V ■■■- Á _ 1 xy + x y x

13. E fe c tu a r: M =

b) x - 1 e ) x (x - 2)

a) x2 - x - 1 c) x 2 - x - 2 e) x - 1

x 2 + 4x x2 + 6x + 8

c) x 8y 10z 6

S ie n d o : A (x ) = x 2 + 3x - 10 B (x) = x 4 - 2 5 x 2 C (x ) = x 3 + 4 x 2 - 5x h a lle el M C D ÍA ; B; C ). a) x - 2 d) x

e) 7

^ x + 6 , x 2 + x - 20 x - x -

x +

d) 6

E fe ctu a r: x2 - x - 2 , x 2 - 2x - 3 x2 - 4 x2 - x - 6

12. R e d u c ir:

C (x, y, z ) = x a ~ 2y b r2z c * 2 in d iq u e el M C M (A ; B; C ). a ) x 10y6

c) 3

áÍ

a) x + d) x

D a d o s lo s m o n o m io s : A (x , y, z ) = x a ~ 3y b ~ 'z c - 1

x 7y 6z 5

b) 2

a ) 2 /(x + 1 ) c) ( x - 2 ) /( x + 1 ) e )2

H a lla r el M C D d e las e x p re s io n e s : a x n ~ 3; b x n ~ 4; c x n ~ 5 a )a b c x n ~ 3

1e)

E fe ctu a r: 11 , ( a - b )2( a - c )

1 x -1

a) x / ( x - 1 ) c) - 2 / ( x + 1 ) 2 e)

2x 3x + y

1 , 1 (b -a )(b -c ) ' (c -a )(c -b )

a) abe c) a b + be + a c e) 0 E fe c tu a r:

b) a + b + c d) 1

2 x + 1

2 x2 - 1

x -1 (x + 1 )2

b) 1 /(x + 1 )2 d) 3 /(x + 1 )2

17.

| C o l e c c iĂł n E l P o s t u l a n t e

E fe ctu a r: 1 1 a -7 b , 2 x -3 y E= 7 b -1 1 a - 3 y + 2x a) 4

b) 3

c) 2

x + y

x2 - y3

y3 - xz e)

d) 1

0 e)

18.

E fe ctu a r: E

1 x(x + y)

n x (x + ny)

25 â&#x2013; x2

20 .

1 x (x + ny)

x 2 - 5 x + 6 , x + 6x - 27 x2 - 9

x(x + y)

E fe ctu a r: N

(x 2 + 2 x (x 2 + 1f - ( x 2 - 2 x - 1)2

, 2x+1

9 x + 20 a) a) d) 19.

0 2x - 1

H a lla r el e q u iv a le n te de: 1 , 1 s = x(x + y) (x + y)(x + 2y) 1 . 1 (x + 2y) (x + 3y) (x + 3y) (x + 4y)

. n fracciones

b )-i

x - 1 d) x + 1 1. 2. 3. 4.

a c c e

5. 6. 7. 8.

c c c d

X + 1 1

x + 1

9. 10. 11. 12.

d e c e

13. 14. 15. 16.

a e e c

17. 18. 19. 20.

e d c a

BINOMIO DE NEWTON SIMBOLO FACTORIAL D a d o un n ú m e ro e n te ro p o s itiv o n, s e d e fin e su fa c to ria l al p ro d u c to d e lo s fa c to re s c o n s e c u tiv o s d e s d e la u n id a d h a sta d ic h o n ú m e ro p ro p u e s to .

P ro p ie d a d e s d e l c o e fic ie n te b in ó m ic o 1. Si el Indice inferior es cero, el coeficiente vale uno.

(o)-' 2.

N o ta c ió n : E x is te n d o s n o ta c io n e s : n! y [n

E je m p lo s : 1!

Si el ín d ic e in fe rio r e s la u n d ia d , el c o e fic ie n te es ig u a l al ín d ic e s u p e rio r:

= 1

= m

S u m a d e c o e fic ie n te s b in ó m ic o s :

Q - ( n T , ) - c ; í )

2! = 1 > 2 = 2 31 = 1 x 2 x 3 = 6 41 = 1 x 2 x 3 x 4 = 2 4 51 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

cY lo ia &/.-■....................................

L a s p ro p ie d a d e s s ig u ie n te s s e c u m p le n c u a n d o lo s e le m e n to s son n ú m e ro s n a tu ra le s, d e b ie n d o s e r la b a se m a y o r o ig u a l q u e el o rd e n . E s to s o p e ra d o re s ta m b ié n s e d e n o m in a n n ú m e ro s c o m b in a to rio s y se le s re p re s e n ta por:

a! = 1 = » a = 0 v a ; a! = b! => a = b a! = a (a - 1)!

C” - ( n ) '

C " “ ( n ) = n ! ( m X n"|"i

En g e n e ra l: n! = 1 x 2 x 3 x . . . x n

•

:n e IN

» ( ™ ) = ( m h n) e s - 0

- 1

COEFICIENTE BINOMICO

•

E s un o p e ra d o r m a te m á tic o , q u e se u tiliz a p a ra re p re s e n ta r los c o e fic ie n te s q u e se o b tie n e n al d e s a rro lla r la p o te n c ia d e un b in o m io .

• C T .Q -0 ;s ¡m

N o ta c ió n : U n c o e fic ie n te b in ó m ic o s e re p re s e n ta I

- n

BINOMIO DE NEWTON I q u e se

le e "c o e fic ie n te b in ó m ic o m s o b re n ” . E le m e n to s : 1. ín d ic e s u p e rio r o b a s e . Es el n ú m e ro q u e se ha re p re s e n ta d o c o n m y q u e tie n e v a lo r a rb i tra rio . 2. ín d ic e in fe rio r u o rd e n . E s el n ú m e ro e n te ro y p o sitiv o , d e s ig n a d o c o n n, q u e in d ic a el to ta l d e fa c to re s q u e h a y e n el d e s a rro llo . D e s a rro llo g e n e ra l d e l c o e fic ie n te b in ó m ic o

S e d a e s te n o m b re a la p o te n c ia in d ic a d a d e un b in o m io . E je m p lo s : (a + b )5; (a - b)~ 2; (1 + x ) M/3

DESARROLLO DEL BINOMIO (a + b )n R e g la p rá c tic a : un c o e fic ie n te c u a lq u ie ra del d e s a rro llo , se o b tie n e m u ltip lic a n d o el c o e fic ie n te a n te rio r al q u e d e s e a m o s c a lc u la r p o r el e x p o n e n te d e a, y lu e g o d iv id ie n d o e n tre el e x p o n e n te d e b a u m e n ta d o en la un id ad. E je m p lo s :

m (m - 1) (m - 2 ) ... (m - n + 1)

n (n - 1 )(n - 2 ) ... 1

E je m p lo :

/1 2 \ _ (12)(11)(10)(9)(8) c i> (5 ) (4 )(3 )(2 )(1 )

= 79 2

(a + b )4 = a4 + 4 a 3b + 6 a 2b 2 + 4 a b 3 + b4 (a + b )“ 2 = a -2 - 2 a ~ 3b + 3a~4b2 - 4 a ~ sb 3 + ... O b s e rv a c ió n : Si el e x p o n e n te e s e n te ro n e g a tiv o o fra c c io n a rio , el d e s a rro llo a d m ite in fin id a d d e té rm in o s .

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

TRIANGULO DE PASCAL

Resolución:

N os s irv e p a ra o b te n e r lo s c o e fic ie n te s del d e s a rro llo d e un b in o m io p a ra e x p o n e n te n a tu ra l.

D e s a rro lla n d o el n ú m e ro c o m b in a to rio y e fe c tu a n d o c a d a s u m a in d ic a d a se c o n s ig u e :

1 1 1

1 3 4

1 3

1 4

1 5

mx x! m!(m + 1)(m + 2)(m + 3)... (m + 3x(m + x ) ! . m . m . m ....... m

(a + b)° (a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5

1 1

T é rm in o g e n e ra l d e l d e s a rro llo de (a

x) _ ^RRn

x veces T ra n s fo rm a n d o c a d a e x p re s ió n in d ic a d a te n e m o s: m x (x !)(m + x )l 3 x (m + x )l m x

xi x (x — 1)1 = x- = - 1680 3x 3x

(x - 1)! = 5040, es decir: (x - 1)! = 7! de donde: x - 1 = 7 =* x = 8 d o n d e : (k

E n c o n tra r el v a lo r d e x q u e v e rific a :

1) es la p o s ic ió n del té rm in o .

C y_ 4 + 2 C x _3 + C *_2 P ro p ie d a d e s d e l d e s a rro llo d e (a + b )n, n e 2Z+ 1.

El n ú m e ro d e té rm in o s q u e re s u lta n es n + 1.

L o s s ig n o s d e lo s té rm in o s se d e fin e n de l e s quem a: (a + b )n: + , + , + , + .........+ (a - b )n: + , ( - a - b )n:

la r

R esolución: d e d u c im o s q u e : C x : 4 + 2 C x l3 + C x l 2 = 10 c on la fin a lid a d d e u tiliz a r la p ro p ie d a d d e re d u c c ió n p a ra n ú m e ro s c o m b in a to rio s e x p re s a m o s así: la ig u a ld a d da d a :

.... ±

Si n par: + , + , + , + , .... + Si n im p a r: - .......

)n es: S =

p )n

c;:J + c;:J + c;:5 + c;:J = io L u e g o : C x _ 3 + C x . 2 — C ( ' 2 — 10

(en el c a s o p a rtic u

D e a c u e rd o con la p ro p ie d a d d e c o m p le m e n to p o d e m o s e s ta b le c e r que:

= |i = 1 re s u lta S = 2 n)

La s u m a d e los e x p o n e n te s d e l d e s a rro llo de (a + (í)n (n + 1) (a “ + b1) es: S exp = i L

120

T e n ie n d o en c u e n ta que: 120 = 5! fá c ilm e n te

La s u m a d e los c o e fic ie n te s d e l d e s a rro llo d e (a a +

(1 ) (2 )(3 )

10 = (5) (2)

Es d e cir: (x + 1)(x )(x - 1) = (5 )(4 )(3 ) I ______________J

La p o s ic ió n d e l té rm in o c e n tra l o m e d io del d e s a rro llo se c a lc u la rá con la s re la c io n e s :

x =4 S i n par: n ^ ^ S i n im par:

n + 1.n + 3

E n c o n tra r el v a lo r d e n p a ra q u e el c u a rto té r m in o de l d e s a rro llo d e (x2 - y )n c o n te n g a a x 10.

Resolución: P o r c o n d ic ió n de l p ro b le m a : t4 = x 10

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

P ro p o rc io n a r el v a lo r de x de m 3x CT

1 + ± }U + 2_¡1 + — 1...Í1 f i l = m m m l mJ

... (I)

H a lle m o s t4 d e l d e s a rro llo d e (x2 - y )n s e g ú n fó rm u la : 16 80

t4 = C 3 (x 2)n - 3( - y ) 3 = - C 5 x 2n 6y 3

... (II)

C on (I) y (II) te n e m o s : 2n - 6 = 10 ^ n = 8

Á lgebra |

E n c o n tra r el c o e fic ie n te de l té rm in o q u e a d m i te a x 20 c o m o p a rte lite ra l en la e x p a n s ió n de:

Resolución:

F in a lm e n te en (a ) s e c o n s ig u e : t7 = C § = C § = M 2 (1 ) (2 )(3 ) 7.

La p o te n c ia d a d a es: (x 3 + x ~ 1) 12i s e a T k * , q u ie n c o n tie n e a x 20, lu e g o p o r fó rm u la se te n

En la e x p a n s ió n de: (-/x 3 + x ~ 1/3)n, la s u m a de to d o s los c o e fic ie n te s es ig u a l a 128. H a lla r el té rm in o q u e c o n tie n e a x 5.

D e a c u e rd o co n la te o ría la s u m a d e to d o s ¡os

O b s e rv a r q u e el c o e fic ie n te p e d id o es:

c o e fic ie n te s de l d e s a rro llo d e ( ( x 3 + y.~V3f s e c o n s ig u e h a cie n d o : x = 1; v e a m o s : S u m a d e c o e fic ie n te s = (1 + 1)n= 2 n; P o r

...(1 )

P o r c o n d ic ió n : 3 6 - 4 k = 2 0 => k = 4 ... (2) F in a lm e n te s u s titu y e n d o (2) e n (1) te n e m o s :

c o n d ic ió n : 2 n = 128 => 2 n = 27 D e d o n d e se d e d u c e qu e: n = 7. S e a tk + , el

(1 2 )(1 1 )(1 0 )(9 ) (1 )(2 )(3 ) (4) 5.

té rm in o d e ( / x 3 + x ~ 1/3) q u e c o n tie n e a x 5, es de cir:

H a lla r el v a lo r d e n s a b ie n d o q u e la d ife re n c ia e n tre lo s g ra d o s a b s o lu to s d e lo s té rm i n o s s e x to y d e c im o s e x to d e l d e s a rr o llo d e (x4 + y n)2m es 10.

tk + -i = C k (Vx )

P o r c o n d ic ió n : G A (t6) - G A ( t 16) = 10

... (1)

H a lle m o s t6 de: (x4 + y n)2m así:

(1)

C k ^ * 9 ~ k ( ^ ~ :jk = C k x ” 2

•= 0

18 - 3k

c) 12

d ) 13

e) 14

S e ñ a le el v a lo r d e l té rm in o in d e p e n d ie n te del

a) 56 d) 126 3.

b) 78 e) 154

c) 84

H a lla r a + k si se s a b e q u e e! c u a rto té rm in o de l d e s a rro llo d e (x + 2 ) a es u j x k.

4 ■■■ (ex)

C o m o e s te té rm in o no c o n tie n e a x se d e b e rá c u m p lir qu e: 9 - k

b) 11

d e s a rro llo : 14=- +

Resolución: 1=

Q u é lu g a r o c u p a el té rm in o d e g ra d o 4 8 en el d e s a rro llo de: (x2 a y 3) 18 a ) 10

e x p a n s ió n de : I í x + — ' 4/ í

tk +

□

EJERCICIOS PROPUESTOS

E n c o n tra r el té rm in o q u e no c o n tie n e a x e n la

S e a tk + 1 el té rm in o p e d id o , e s d e cir:

(2) (3) (4!)

□

,..(2 )

H a lle m o s : t 16 d e (x4 + y n) así: + _ p 2 m /v4\2m-15/.,n\15 _ f'2 m v 8m-60 w15n '16 - o 15 (x ) (y ) - u 15 x y O b s e rv a r que: G A (t16)! = 8m + 15n - 60 ... (3) S u s titu y e n d o (2) y (3) e n (1) te n e m o s : 8m + 5n - 2 0 - (8 m + 15n - 6 0 ) = 10 - 1 0 n + 4 0 = 10 => n = 3

= 63 - 11 k = 30 k = 3 L u e g o el té rm in o p e d id o es: t4

t6 = C 2m(x4)2m ~5(y n)5 = C 2mx 8m 20y 6n O b s e rv a r qu e: G A (t6) = 8 m + 5n - 2 0

. 21 3k

(x 1/3f

P o r c o n d ic ió n : 21 ~ 3k - ^ = 5 2 3

Resolución:

t7 = 84

Resolución:

d rá : T k + k = C l2 (x 3)12 “ k(x " 1)k = c ; 2x 36 “ 4k C i2

a) 6 4.

b) 7

c) 8

d) 9

e) 12

En el d e s a rro llo d e ( x 4 + x~ 3)2n ~ 1 uno d e los té rm in o s c e n tra le s e s in d e p e n d ie n te d e x. H a lle el n ú m e ro d e té rm in o s .

X 3

I C

o l e c c ió n

E l Po stu lan te

a) 6 d ) 11

H a lla r n: a) 1

b) 8 e ) 10

c n+® /-nn + 4 u n- 1 b) 2

14. S im p lific a r la e x p re s ió n :

c) 12

p _

1 (2 n )l 2 n ( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) ...( 2 n - 1)

a) n! d) n

= 1 c) 8

b) (n - 1)! e) n + 1

c) (n + 1)!

e) 6

d) 4

15. H a lla r el té rm in o in d e p e n d ie n te e n el d e s a rro

H a lla r lo s v a lo re s d e x q u e s a tis fa c e n la Ig u a l

llo de: ^ x 2 - - i j

dad: c 33 = C¡® a) {0; 2 } d ) {1: 2; 5 } 7.

b ) {2; 5 } e ) {2; 3; 4}

c) {0: 2; 5}

P a ra q u e v a lo r d e n se v e rific a Igualdad:

la s ig u ie n te

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n — 1) = C q +

+ ... + C „ p ro p o rc io n a r la s u m a d e los 2 v a lo re s h a lla do s, a) 8

R e d u c ir: E = a) x

b ) 15

b) x 2

c) 12

b) 4 9 5 e) 61

16. H a lla r el c o e fic ie n te d e l 7.° té rm in o d e s a rro llo de : (2 x + y )9 a) 31 2 d ) 521

b) 2 1 5 e) 406

del

c) 67 2

/ 1 T^ 17. H a lla r el té rm in o c e n tra l de : ^x - — j a) 2 5 2 d) x

e) x3

d ) 3x

b) - 2 5 2 e) 1

c) 2 5 2 x

18. C a lc u la r el te rc e r té rm in o d e l d e s a rro llo de: (x + y r 2

R e d u c ir: Ce,2 + C ]? + C ]jj + a) 5 x 2y a ) 211 d ) 455

b) 1 8 9 e ) 321

c) 4 6 2

10. H a lla r x: C6 = C 2X_ 16 a ) 10 d) 9 11.

c) 9

e) 6

d )4

+ 4 C ^ 1+ C ^ + 2 c) 2x

a) 8 d ) 132

b ) 11 c) 12 e ) h a y 2 re s p u e s ta s

H a lla rx : C í _2 + ( ^ a) 7

b) 6

d) 4

e) 3

12. H a lla r x e n : ( - J L _ ) C ; : ¿ + ( ^ ) C ; : 2 = 15

19. A q u é e x p o n e n te d e b e e le v a rs e el b in o m io (x + 2y ) d e m a n e ra q u e el c o c ie n te d e los c o e fic ie n te s d e lo s té rm in o s d e lu g a re s 11.° y 10.° re s u lte 40.

b) 5

c) 2

d) 6

13. H a lla r el v a lo r d e n : -------------- - = 3 ( 2 n)ü b) 3 e) 8

c) 20 9

lu g a r (k + 1) p o s e e x k + 1. H a lla r d ic h o lugar, b) 7

c) 9

d ) 11

e) 13

e) 7

2 n(n + 1 )!

a) 2 d) 6

b) 110 e ) 112

i i 1 \17 20. En el d e s a rro llo d e ( x + — ) . el té rm in o de

a) 5 a) 4

c) 3x~ 4y 2

e ) x " 5y 2

a ) 109 d) 208

2 ) 0 ^ 1 3 = 12

c) 5

b) x~4y

d ) 2 x ~ 4y 2

c) 4

21. H a lla r el v a lo r d e n si el té rm in o d e lu g a r 2 5 en / 9 1 19 el d e s a rro llo d e ^x + — j c o n tie n e a x . a) 3 0 d) 70

b) 4 0 e ) 78

c) 6 6

22.

H a lla r el s é p tim o té rm in o s a b ie n d o q u e es in d e p e n d ie n te d e x e n e l d e s a rro llo d e :

b) 8 0 e )1

c) 84

25.

b) (a x 2 - 2b )

c ) ( a 2x + b 2)

d ) ( a x 4 - b)

e) (a 2x2 - 2 b 2)

b) 10 e ) 13

c) 11

H a lla r el lu g a r q u e o c u p a el TI d e 154

(

2 3 . En el d e s a rro llo d e la q u in ta p o te n c ia d e un b in o m io se v e rific a q u e el c u a rto té rm in o es - 8 0 a 4b 6x 4 y el ú ltim o - 3 2 b 10. H a lla r d ic h o b i no m io. a ) (ax + 2 b )

24. D e te rm in a r el v a lo r d e n p a ra q u e lo s té rm in o s d e lo s lu g a re s 9 y 10 d e (x + 3 )n te n g a n ig ua l c o e fic ie n te . a) 9 d ) 12

a ) 50 d) 9 5

lg e br a

a ) 72 d ) 112

w U J N*.

< J u

1. 2. 3. 4. 5.

d c b b a

b) 98 e ) 113 6. 7. 8. 9. 10.

c e e e e

11. 12. 13. 14. 15.

c) 111

d b a a b

16 17 18 19 20

c b c e d

21. 22. 23. 24. 25.

c c e c e

RADICACIÓN R a d ic a c ió n es la o p e ra c ió n q u e c o n s is te en h a lla r u n a c a n tid a d a lg e b ra ic a q, lla m a d a raíz, q u e al s e r e le v a d a a un c ie rto ín d ic e re p ro d u c e u n a c a n tid a d d a d a A , lla m a d a ra d ic a n d o o c a n tid a d s u b ra d ic a l. En g e n e ra l: n/ A = q => A = q 11 E le m e n to s de u n a raíz: | í n d i c e ^ ’’

nIÁ

s ig n o ra d ica l

E je m p lo s : ¡ 5 ~ + l2 4

•

VTl - / l 20

T ra n s fo rm a c ió n d e ra d ic a le s d o b le s a ra d ic a le s s im p le s o s e n c illo s . T o do ra d ic a l d o b le se p u e d e d e s c o m p o n e r en la s u m a o d ife re n c ia d e d o s ra d i c a le s s im p le s . D e d u c c ió n d e la fó rm u la . En re s u m e n la fó rm u la p a ra d e s c o m p o n e r un a raíz d o b le en ra íc e s s im p le s es:

= q i/ a

I— c a n tid a d s u b ra d ic a l o ra d ic a n d o S ig n o s d e la s ra íc e s La ra íz d e In d ic e p a r d e un a e x p re s ió n a lg e b ra ic a p o s itiv a tie n e d o s v a lo re s ig u a le s y de s ig n o s c o n tra rio s (+ ) y ( - ) . La ra íz de ín d ic e p a r d e un a e x p re s ió n a lg e b ra ic a n e g a tiv a c a re c e de v a lo r rea! y se llam a ra íz Im a g in a ria , La ra íz d e ín d ic e im p a r d e e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s tie n e el m is m o s ig n o d e l ra d ic a n d o . En re s u m e n :

^(T )

= (± )

^ V (-)

= Im a g in a rla

Donde:

±V b =

A -C

C = IA2- B

E s d e c ir q u e , pa ra tra n s fo rm a r ra íc e s d o b le s, en ra íc e s s im p le s , A 2 - B (c u a d ra d o p e rfe c to ). E je m p lo : D e s c o m p o n e r e n ra d ic a le s s im p le s : Vi 1 + 6 / 2

Resolución: P re v ia m e n te , In tro d u c ie n d o el 6 d e n tro del ra d ica l in te rio r, y a p lic a n d o la fó rm u la :

Vi 1 + V72 =

... (1)

¡2^ / ( T ) = ( + ) C á lc u lo d e C: C = Vi 12 - 72 = Vi 21 - 72 = ¡4 9 = 7

RAÍZ DE UN MONOMIO P ara e x tra e r la ra íz d e un m o n o m io , se d e b e p ro c e d e r así: S e e x tra e la ra íz de l s ig n o d e a c u e rd o co n la ley d e s ig n o s p a ra la s raíces. S e e x tra e la ra íz del c o e fic ie n te . S e d iv id e n lo s e x p o n e n te s d e las le tra s e n tre el Ín d ic e d e la raíz. E je m p lo s : •

R e e m p la z a n d o e n (1):

h - l + -Í7 2 = 3 + Í2 O b s e rv a c ió n : E ste e je rc ic io y s u s s im ila re s se p u e d e n re s o lv e r d á n d o ie la fo rm a d e b in o m io al c u a d ra d o b a jo el ra d ica l y p ro c e d ie n d o d e la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l:

4Í8 1 x 12y 8z 24 = 3 x 3y 2z 6 la + b ± 2 la E = '¡(■la + I b f = la ± Ib

•

- 2 x 2y4z 5

RADICALES DOBLES S e d e n o m in a

ra d ic a l d o b le al q u e p re s e n ta la s i

g u ie n te fó rm u la g e n e ra l: Í a ± W

A p lic a n d o al e je rc ic io a n te rio r:

fn+ e¡2 = U-l +172 =fñ~+Ux18 = fl1 + 2 -/Í8

Á lgebra |

¡11 + 2-ÍÍ8

= / l

+ 2 J9V Í =

Í9 +

+ 2/9 x

S =

E je m p lo s : 1.

¡ ( 3 x + 1) + (2 x - 3) + 2 /(3 > T T T )(2 > r^Á 3 ) =

/(3 x + 1) + -l(2x - 3) E = <3x + 1 + / 2 x - 3

Vi 1 + 2-IÍ8 = 3 + 72

Í9 + Í2

C a lc u la r el v a lo r de: E = / l 2 + / Í 4 Ó - ^ 8 + /2 8 + Vi 1 - 2-/3Ó ¡7 -2 Í8

Resolución: T ra n s fo rm a n d o c a d a ra d ic a l d o b le s e p a ra d a m e n te , h a c ie n d o q u e s ean d e s a rro llo d e c u a d ra d o p e rfe c to :

S im p lific a r:

E = //2 - l(/56 + 40/2 - ^34+ 26/2 W23 + 37/2 ) Resolución: N in g u n o d e los ra d ic a le s d o b le s q u e tie n e la e x p re s ió n p u e d e tra n s fo rm a rs e d ire c ta m e n te a ra d ic a le s s im p le s , ¿ p o r q u é ? , e n to n c e s , se re a liz a el p ro d u c to d e ra d ic a le s: E fe ctu a n d o :

E = ¡ ( ( I- 1)(56 - 40(2) - ¡(-Í2 - l)(34 + 26/2) + ¡(-Í2 - 1)<23 + 3 7 ( 2 )

V i2 + / l 4 0 = V i2 + 1/4 x 35 = / 7 + 5 + 2 / 7 T Í r = ¡ 7 + ¡5

E = ^8 0 - 5 6 + 16-/2 - 1/52 - 3 4 + 8 / 2 + /7 4 ^ 2 3 ^

¡8 + ¡2 8 = ¡8 + M

7 = ¡ 7 + 1 + 2 /7 x 1

= ¡7 + ¡1

¡ r \~ ^ 2 ¡3 0 = ¡ 6 ~+ 5 - 2 -1 6 x 5 = ¡6 - ¡ 5 ¡ 7 - 2 Í 6 = ¡6 + 1 - 2 / 6 T T = ¡6 - ( i

E = ^ 2 4 + 1 6 / 2 - ^ 1 8 + 8 / 2 + ^51 - 1 4 / 2 T ra n s fo rm a n d o a ra d ic a l sim p le , ca d a ra d ic a l do ble: / 2 4 + 1 6 /2 = ¡ 2 4 + ¡ ^ ¡ ( d 8 = ¡ w T J T ^ M y d = ¡ 1 6 + (8

S u s titu y e n d o en la e x p re s ió n p ro p u e s ta :

¡2 4 + 1 6 /2 = 4 + 2 / 2

...( 1 )

E = /7 + /5 -(/7 + /T ) + /6 - /5 - ( /6 - /T ) E = (7 + ( 5 - ( 7 - 1 + ¡ 6 - ( 5 - ( 6 + (l E = 0 2.

/1 8 + 8 / 2 = / l 8 + 2 /3 2 = Vi 6 + 2 + 2 / 1 6 x 2 = ( l 6 + (2

H a lla r la ra íz c u a d ra d a de:

¡1 8 + 8 / 2 = 4 i /2

E2 = 5x - 2 + 2 / 6 x 2 - 7 x - 3

Í5 1 - 1 4 /2 = ¡ 5 1 ^ 2 ¡ ( W x í

Resolución: A l e x tra e r la ra íz c u a d ra d a se te n d rá : E = 4 x - 2 + 2 /6 x 2 - 7 x - 3 F a c to riz a n d o p o r el m é to d o d e l a s p a al ra d ic a l in te rio r se o b tie n e :

... (2)

= ^4 9 + 2 - 2 / 4 9 x 2 = ¡4 9 - ¡2 ¡ 5 1 ~ ^ U ¡ ¡ 2 = 7 - (2

...( 3 )

S u s titu y e n d o (1), (2) y (3) en la e x p re sió n : .-. E = 7

6 x 2 + 7x - 3 = (3x + 1)(2 x - 3)

RACIONALIZACIÓN

S u s titu y e n d o : ¡5 x - 2 + 2 /( 3 x + 1 )(2 x — 3)

Es la o p e ra c ió n q u e c o n s is te en tra n s fo rm a r un d e n o m in a d o r irra c io n a l en o tro e q u iv a le n te q u e sea ra c io n a l.

D a n d o la fo rm a d e ia ¡ T b ^ ~ 2 ( a b , d o n d e : a = 3x + 1 ; b = 2 x - 3

F ra c c ió n irra c io n a l. S e lla m a a sí a un a fra c c ió n en c u y o d e n o m in a d o r e s tá p re s e n te un a raíz.

| C o le c c ió n E l P o s t u l a n t e

F a c to r ra c io n a liz a n te . El fa c to r ra c io n a liz a n te de un a e x p re s ió n irra cio n a l, es ta m b ié n o tra e x p re s ió n irra c io n a l q u e m u ltip lic a d a p o r la p rim e ra , la c o n v ie rte en un a e x p re s ió n ra c io n a l. C u a n d o se ra c io n a liz a un a fra c c ió n , d e s a p a re c e to d o s ig n o ra d ic a l d e l d e n o m in a d o r.

S e d e n o m in a n e x p re s io n e s c o n ju g a d a s a d o s e x p re s io n e s q u e e s tá n fo rm a d a s , un a p o r la s u m a y o tra p o r la re s ta d e té rm in o s ig u a le s . P o r e je m p lo :

CASOS QUE SE PRESENTAN

E je m p lo s :

P rim e r c a s o . C u a n d o el d e n o m in a d o r irra c io n a l es un m o n o m io . El fa c to r ra c io n a liz a n te de l d e n o m i n a d o r es un ra d ic a l d e ig u a l ín d ic e , el ra d ic a n d o e s tá e le v a d o a un e x p o n e n te ig ua l a la d ife re n c ia e n tre el ín d ic e d e la ra íz y el e x p o n e n te in ic ia l del ra d ic a n d o .

S e d e b e re c o rd a r qu e: ( l a + l b ) ( l a - I b ) = a - b .

P a ra ra c io n a liz a r se m u ltip lic a y d iv id e la fra c c ió n p o r el fa c to r ra c io n a liz a n te .

R a c io n a liz a r: E =

M u ltip lic a n d o y d iv id ie n d o p o r el: F R = -la + b + la - b E _ , ; ;

la + b ( / a + b + la - b ) = a + b + / a 2 - b 2 ( la + b f - ( la - b f

"Ja*

R e s o lu c ió n : m u ltip lic a n d o y d iv id ie n d o por: FR = 'Va" “ q

" lÜ T 7*

" I J r 7*

nI U * ' " l a r 7* 2.

E _ " la T 7*

"J U

R a c io n a liz a r: E = - = — -7= — p r I + I + I

2 3 5

R e s o lu c ió n : M u ltip lic a n d o y d iv id ie n d o p o r el

7i ?

E =

R e s o lu c ió n : El fa c to r ra c io n a liz a n te es:

M u ltip lic a n d o y d iv id ie n d o p o r el fa c to r ra c io n a liz a n te :

y 5l 7 % 7l ? ~ 5la 3 V b 2 7le* X V a 2 3lb 7le 3

( l 2 + -Í3 ) - -Í5

(I 2 + 13) + 1~5 (I 2 + I z ) - JE (■Í2 + Jzf - (IEf ~

FR = 5l7 23l b 7l ? 1

-JE) +2 /6 + 3 - 5

1 2 ( /2 + 13 - 1 5 ) _ 1 2 (1 2 + l z

FR = 5J ^ 3Jb3^ 7I S Z*

E _

FR = { l 2 + l z ) - l 5

R a c io n a liz a r: E ==

\ l la + b + la - b

L o s d e n o m in a d o re s so n c o n ju g a d o s e n tre sí, e s un p ro d u c to d e s u m a p o r d ife re n c ia q u e da d ife re n c ia d e c u a d ra d o s :

-i R a c io n a liz a r: E = ——

E _

la + b

la + b - I a - b A la + b + / a - b

E je m p lo s : 1.

/a + b la + b - I a - b

R e s o lu c ió n :

- ................... - - - ,

f i l a t a : ....................... | I

(■Í5 + 1 2 );(1 5 - Í 2 ) s o n e x p re s io n e s c o n ju g a d a s .

_ 5Ja2 x 3Jb x 7le3 abe S e g u n d o c a s o . C u a n d o el d e n o m in a d o r p re s e n ta ra d ic a le s d e ín d ic e d o s, s e ra c io n a liz a m u ltip lic a n do y d iv id ie n d o p o r la c o n ju g a d a de l d e n o m in a d o r,

12(/2 + /3 - I E ) _ 6(/2 + IE - IE) 2/6 le

E = 6 (/2 + / 3 - / 5 ) x /6 = ^

+ /T 3 _ /3 Ó

e = 2 /3 + 3/2 - Iz ó j T e rc e r c a s o . C u a n d o el d e n o m in a d o r irra c io n a l es ; un b in o m io o trin o m io c u y o s ra d ic a le s son d e te rc e r j o rd e n d e la fo rm a :

Á lg ebra |

v 3^ ±

3/ á b + 3lb~2

‘/ 2 ( 3^

( 3^ ± 3/ b ) ( 3/ ? + 3^ b + 3^ ) = a ± b

3/2 + -|)

3V2^ - 3^ + 1

F R = 3/2 + 1

E je m p lo s :

Luego: A

H a c e r ra c io n a l el d e n o m in a d o r de: E =

3x1

S im p lific a n d o : A

U n o d e lo s fa c to re s es el fa c to r ra c io n a liz a n te del otro.

3 3/2

Luego: A =

S e d e b e re c o rd a r qu e:

------Á5+Á2

[ "

e j e r c ic io s

PROPUESTOS " l

R e s o lu c ió n : F R = V 52 - 3¡ 5

2 + V 22

M u ltip lic a n d o n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r d e la fra c c ió n p o r el FR: E = 2.

7 ( 3Í2 5 - 3VTo + 3Í 4 ) 5 + 2

E fectuar: T = J(2 - /3 )2 + V (2/2 - 3 )2 + <3 + 2/2 a) 2

b) 3

d ) —1

e) 4 / 2 - 1

c) 5

3Í2 5 - VÜD + 3/ 4 2.

R a c io n a liz a r el d e n o m in a d o r: 48 E = ■ a/ 2 i - 3/ 3 + 3/3 5 - 3/5

E fe ctu a r: I = 2 / 1 8 - - / 2 + 4/ í - —

a) 3 / 2 d ) —3 / 2

b) / 2 e) 0

- 3 /2

c )-/2

R e s o lu c ió n : 3.

F a c to riz a n d o el d e n o m in a d o r: 3/21 - 3l3 + 3/3 5 - 3Í 5 = 3/7 ( 3/3 + 3/ 5 ) -

a) 2x d) - 2 x

(3/3 + 3/5 ) = (3/5 + 3/3 )(3 /7 - 1) L u e g o : E = -------------- — -------------( 3 / 5 + 3/ 3 ) ( 3 / 7 - l )

E fe ctu a r: M = <¡x 2 + 2 x + 1 + / x 2 - 2 x + 1 s ie n d o : 0 < x < 1

b) 2 e) 3

E fe c tu a r: P = h + 2 / Í 5 - I l 2 - 2 / 2 7 -

F R = (3 /5 ^ - 3/5 x 3 + 3l ^ ) ( 3f ^ + 3/ 7 + 1 )

V32 + 2 /1 3 5 + / 3

M u ltip lic a n d o n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r d e la fra c c ió n p o r el fa c o tr ra c io n a liz a n te : E = 4 8 (3 /2 5 - 3/^5 + 3/ g )(3/4 9 +

c) - 2

a) 3 d) 4

b) - 1 e ) N.A.

+ -i)

(5 + 3 )(7 - 1)

E fe c tu a r: T = Vi 3 + /4 8 - 1/15 - /2 0 0 ¿ I7 + 4 / Í 5 - 1

E = (3/25 - 3/15 + 3/9 )(3/4 9 + 3/7 + 1)

R a c io n a liz a r: A =

c) - 3

33/2

a) ¡2

b) / 5

d )-/T o

e) 3

c) /ÍO

3/4 - 3/2 - 2 R e s o lu c ió n : F a c to riz a n d o el d e n o m in a d o r: 3 / 4 - 3 / 2 - 3 / i J i= „ 3V 2 ( 3 ^ _ 3/2 + l)

E fe ctu a r: E : 1/1 + 4 ^ 7 + 4 ^ a) 0

b) 1

d )-/5

e) 2

4 /5 - 2 c) <Í5

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

E fe c tu a r: _______

________ 15. R e d u c ir: N

O = -Í2 x h + Í3 - 1/4 + /i~5 x / 2 + /5 a)

- 1

c) /5

b) ¿3 e ) 10

Efectuar: V = W + Í3 x VVl2

8. a) d)

b) e)

1 ¿3

+ 2/35

a) 1 d ) Í 3 + ¡2

- k + 2 fi5

¡2

a) d)

R e d u c ir: A =

b) e)

a )-1 d) 2

c) Í2

I6 + Í2

:+-

2 Í 2 + -Í6

J + J

k +4 /5

+ V13 - 47To

-2

-1

12 + 1

E fe ctu a r: E :

2 + (2

Í 4 + ~ / Í 2 - h - 124

11.

U--Í7

b) - 1 e ) 1/2

- 1/2

A =

a) 10. E fe ctu a r: L =

17. R a c io n a liz a r y re d u cir:

1c) - 2

3 2

-/6 3 +

U 4 - 5 - Í 3 + -¡2 - -Í3

ho-2Í21 -k-2fi5 h +2-114- ¿f + 2¿Í0

b) 2 e ) Í 3 - -Í2

16. E fe c tu a r: A :

c) 3

+Í72 -h-Í8 ¿14 - V Í8 0 + Í6--Í2Ó ¿11

b) 1

e ) 2 -Í2

E fe ctu ar: B =

c) 1

. V5 - -/2Í h --Í5

18.

U-

-/Í5

- U - - I7

19.

c) /2

¿2/2

^ + 2 ■¡7 - •Í3 ¿TO + ¿7

a ) /3

d) 9

3 /3

2 /3 + ñO c)

R a c io n a liz a r: C = Í2 + J3 + I 5 ’

a) d)

-1

- 1/2

1/2

12. Reducir: N =

o)1

s e ñ a la r el d e n o m in a d o r. a) 2 d) 8

^ 1 3 - 2 / 4 0 + h + Í4Q + f n + 6 ¡ 2

b) e)

c) 6

133 + 8/2 + h - - Í 8 + Vi 1 — V72 a ) ¿2

b) 3 / 2

d )3 ¿ 2 -1

e) 1

13. Efectuar: T =

/2 -1

20 .

/2 + /5 + Í 7 ’ s e ñ a la r el d e n o m in a d o r. a) d)

V28 - 6/ 3 - V 7 - 4/3 + V12 + 6/3

^13-4/3 + J21 - 12/3 + ^19 + 8/3

a) 1 d ) 5/2 14. E fe ctu a r:: I =

b) e)

R a c io n a liz a r: E =

3 /2 3

c) 2

J(2Í3-3/2)2+ 1/(3 -

2 /3 f

21.

2 b) 4 8e ) 10

c) 6

R a c io n a liz a r: F 5 - -/Í5 + ¿ÍO - -Í6 ’ s e ñ a la r el d e n o m in a d o r. a) 1 d) 6

b) 2 e ) 12

c) 3

I2 7 -6 M 22. R a c io n a liz a r: F = a) ~2 d) 1

b) - 1 e) 2

c) 0

7 + ¿15" + ¿21 + ^35 In d ic a r el d e n o m in a d o r.

2 /3

Á lg ebra |

a) 1

d) 6

b) 2 e) 8

c) 4

23. C a lc u la r N = 3i l 6 3^ 1 6 3/ T 6 ! ^

a) 1 d) 4

b) 2 5

b) 2 e ) 2~9

a) 2d ) 2"

c) 2 -

27. Si: A = ^ 5 ^3 7 5 /3 7 7 7 ; B = ¡ 3 - ¡ 5 h K 7 . c) 3

ca lc u la r: A B

a) 1

b) 3 e ) 30

d ) 15

c) 5

24. E fe ctu a r: a) 1 d) 8

c) 3

28 . C a lc u la r: a) 16 d) 17

25. C a lc u la r: E =

a) 2 d) 5

26.

H a lla r x:

f í 0 ,3 )

c) 4

tn iii > « j u

b) 13 e ) 19

1. c 2. e 3. 4. 5. 6.

+ (0 ,2 5 T 4 - (0 ,5 T 2

b c d c

7. . 8. 9. 10 . 11. 12.

a b c d a e

13. 14. 15. 16. 17. 18.

c) 15

a c b e b e

19. c

20 . b 21. b 22. a 23 . d 24 . b

25. 26. 27. 28.

a a d c __ y

NÚMEROS COMPLEJOS NÚMEROS IMAGINARIOS

R e s o lu c ió n :

La s c a n tid a d e s im a g in a ria s son la s ra íc e s d e ín d i ce p a r d e c a n tid a d e s n e g a tiv a s .

T ra n s fo rm a n d o las p o te n cia s : E = 5 (1 ) - 3 i 2 + 4 (¡)3 - 8 (1 ) + 4 (¡)1 E = 5 - 3 (—1) + 4 ( —i) - 8 + 4i = 5 + 3 4i - 8 + 4i E = 0

E je m p lo s : ■ T I; 4^ l 6 ; U n id a d Im a g in a ria : la c a n tid a d P ^ l s e ie d e n o m i na u n id a d im a g in a ria . S e g ú n la n o ta c ió n d e G a u ss , la u n id a d im a g in a ria se re p re s e n ta p o r la le tra i.

S im p lific a r: E =

P o r lo ta n to i = P H , y p o r d e fin ic ió n : i2 = - 1

R e s o lu c ió n :

E je m p lo :

E fe c tu a n d o las p o te n c ia s in d ic a d a s : P^4 = f i P l

= 2P

1 =

E =

E = 1

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA: 3.

¡ - 5 _ ¡ - 1 5 + ¡ - 4 9 _ r 1 8 + ¡ -4 0 0 + 2 ¡ - 1 4

lí"

C a lc u la r la e x p re s ió n : 6

¡— 50

¡- 2 3

. ¡ -3 5

¡-44 1

- i

CT> Ó) =

—-ú

i4 X

I =

.4 I X

CM_

I =

= ¡

■2 X

\2 = p ~ \ f r i X

( / = ! ) 1 I

1 + i + ¡ + (i2) + i = 1 + i + i - 1 + i = 3i i + 1 - 1 + i - ( i ) 3 i + 1 - 1 + i + i _ 3i

R e s o lu c ió n :

S e o b s e rv a q u e lo s re s u lta d o s d e la s p o te n c ia s de la u n id a d im a g in a ria s e re p ite n e n p e rio d o s d e 4 en 4 y e s to s v a lo re s s o n i, 1, - i , 1.

T ra n s fo rm a n d o la s p o te n c ia s :

1 _ J_ + J ¡5

¡15

¡49

¡18

¡400

¡14

T ra n s fo rm a c ió n d e p o te n c ia im, d o n d e m e s e n te ro y p o s itiv o . S u p o n ie n d o q u e s e d e s e a c a lc u la r im, d o n d e m > 4,

E = J------!-------- !--------- 1-------- L -----------— ; e fe c tú a n-

1.°

d o la s p o te n cia s :

S e d iv id e m e n tre 4, d e d o n d e s e tie n e : m = 4q + r

1 _J_

¡m = ¡4q + , = |4q x ¡r = (¡4 )q x ¡r = ¡r

.-. im = ir

d o n d e : r = 0; 1; 2; 3 ' r r 1 r _r

¡m — ¡r „

= = = =

0 => 1 1 => i 2 => - 1 3 => - i

C o n c lu s ió n : c u a n d o i e s tá e le v a d a a u n a p o te n c ia p o s itiv a , si el e x p o n e n te es m ú ltip lo d e 4, el re s u lta d o es la u n id a d , si el e x p o n e n te e s ig u a l a un m ú ltip lo d e c u a tro m á s 1 el re s u lta d o e s i, si es ig u a l a m ú ltip lo d e c u a tro m á s 2 el re s u lta d o e s - 1 , y si e s ig ua l a m ú ltip lo d e c u a tro m á s 3 el re s u lta d o e s ig u a l a - i . E je m p lo s : 1.

C alcular: E = 5i 476 - 3i 258 + 4 ¡327 - 8¡392 + 4i 441

1 ____ 1_

'~ i3 + ¡ _ j ( - 1)

1, 1

( - 1 ) + 1 + ( - 1) r ' T ^ r r ( - 1 ) ¡3 ¡3 ¡

„

NÚMEROS COMPLEJOS Los n ú m e ro s c o m p le jo s s o n a q u e llo s q u e tie n e n u n a p a rte rea l y un a im a g in a ria . S i Z = a + bi e s un n ú m e ro c o m p le jo d o n d e a y b p u e d e n s e r n ú m e ro s p o sitiv o s , n e g a tiv o s y a ú n nu lo s.

CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS

•

C o m p le jo re a l: es a q u e l c u y a pa rte im a g in a ria es nula. C o m p le jo p u ro : es a q u e l c u y a p a rte rea l es nula. C o m p le jo n u lo : e s a q u e l c u y a p a rte rea l y p a rte im a g in a ria s o n nu la s.

Á lg ebra ¡

C o m p le jo ig u a le s : s o n d o s c o m p le jo s q u e tie n e n ig u a le s s u s p a rte s re a le s e ig u a le s su s p a rte s im a g in a ria s . P o r e je m p lo : Si: a + b i = c + d¡ =»a = c A b = d C o m p ie jo s c o n ju g a d o s : so n d o s c o m p le jo s q u e tie n e n ig u a le s s u s p a rte s re a le s e ig u a le s p e ro d e s ig n o s c o n tra rio s s u s p a rte s im a g i n a ria s . S i:

Z f = a + bi ] S o n d o s c o m p le jo s Z 2 = a - bi c o n ju g a d o s

C o m p le jo s o p u e s to s : son d o s c o m p le jo s q u e tie n e n ig u a le s , p e ro d e s ig n o s c o n tra rio s , ta n to s las p a rte s re a le s c o m o la s im a g in a ria s . Si:

Z-i = a + bi I S o n do s c o m p le jo s Z 2 = - a - bi J o p u e s to s

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN COMPLEJO R e p re s e n ta c ió n c a r te s ia n a . S e re a liz a e n un s is te m a d e e je s re c ta n g u la re s o c a rte s ia n o s e n d o n d e el e je x s irv e p a ra re p re s e n ta r lo s n ú m e ro s re a le s y el e je y pa ra re p re s e n ta r la s c a n tid a d e s im a g in a rias. A l p la n o fo rm a d o p o r lo s e je s rea l e im a g in a rlo s se le lla m a P la n o d e G a u ss.

C alc u lo del m ód ulo: en el triá ng ulo rectángulo M N O : (M N )2 + (N O )2 = (M O )2 (p o r P itá g o ra s ) =» b 2 + a 2 = r2 de donde:

r = ia^~~

C á lc u lo d e l a rg u m e n to o á n g u lo 9: e n el triá n g u lo re c tá n g u lo M N O :

0 = a rc ta n (b /a )

ta ñe = b/a

A p o y a d o e n la fig u ra , la fo rm a p o la r d e a + bi, se rá : a + bi = rcosO + risenO a + bi = r(c o s 0 + isen 9)j y a q u e : a = rs e n 0 y, b = rsen© E je m p lo : E fe c tu a r: E =

1+i 12 — 5i

1- i 5 -1 2 1

10 + 3i 169

R e s o lu c ió n : R a c io n a liz a n d o la s d o s p rim e ra s fra c c io n e s : E =

(1 + i) ( 1 2 + 5 i)

(1 - i) (5 + 121)

12 i

12 - 25¡

En el e je y: i = u n id a d d e m e d id a d e lo s v a lo re s im a g in a rio s . En el e je x: 1 = u n id a d d e m e d id a d e lo s v a lo re s rea les.

E = 12 + 5Í + 12Í — 5 5 + 12Í — 5Í + 12 16 9 ~ 169 E =

7 + 1 7 Í - 1 7 - 7 I + 10 + 3Í 169

R e p re s e n ta c ió n p o la r o trig o n o m é tric a . P a ra re p re s e n ta r un c o m p le jo d e e s ta m a n e ra es n e c e s a rio c o n o c e r el ra d io v e cto r, c o n o c id o c o n el n o m b re d e m ó d u lo y el á n g u lo q u e fo rm a e s te c o n la p a rte p o s itiv a del e je x. r : ra d io v e c to r o m ó d u lo

0 : á n g u lo o a rg u m e n to d e l m ó d u lo .

10 + 3i 169

[ "

a) 0 d )1

13i 169

e j e r c ic io s p r o p u e s t o s '

b) i e) - 1

10 + 3Í 169 I 13

c) - i

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 0 d) I 3.

b) i + 1 e) 1

b) 4¡

13. SI a y b

c) “ 4

d) -8

e ) 8i

b) 0 e) - 4 i

b) - 8

c) 4¡

a) a = 2b d) a + b =

c) - 4

c) - 3 / 2

IR, In d ic a r la c o n d ic ió n p a ra q u e :

a) - 4 d ) 4¡ e) 8

d) - 4 i

b) 2 a = b e) a - b =

c) a 2 = b 2

14. SI: Z-| — —2 + 3¡ y z 2 = i - z ^ c a lc u la r: lm (z 2)

C a lc u la r: M = (1 + i )4 - (1 - i )4 a) 0

b ) 2 /3 e) - 3 /4

Z = 5 _ L É i se c o n v ie rta e n n ú m e ro real b + ai

C a lc u la r: M = (1 + i )2 - <1 — i )2 a) 2i d ) 4i

c) 1 - i

C a lc u la r: R = (2 + 2 ¡)2 a) 4

a ) 1/2 d ) 1/4

C a lc u la r: B = i 4+ ¡“6 + i “8

15.

b) - 2 ¡ ,e) 4

c) 2

Si: 3Jx + yi = m + ni c a lc u la r: A = 11 - - í - )/1 + ^

c ic u la r R .liiif + ll ^ f f a) 3 d) 0

b )-2 e ) 4i

a) 1 d) 9

c )2 i 16.

C a lc u la r: P = i ó t i _ I j l í 1 -i 1+1 a) 4 d) - 2

b) 0 e ) -41

c) 21

„3

b) 2 e ) 16

c) 3

C a lc u la r: 37 - 2 + 2i - 1 a) 0 d) 2i

b) 1 e) i

c) - 2

17. R e d u c ir: R = 6^ / = I i

a ) 2¡ d) 2 9.

a) 1 d) - i

C a lc u la r: M = ( 1 ± - ! Í + \1 - i 5 1 + i 5 /

R e d u c ir: M = a) 0 d) - 2

b) 5¡ e) 4

c) 0

2+ I

b) 4¡ e) 2i

c) 3

a) 0 d )I 11.

b) 1 e) - i

c ) —1

SI: z = 3 + 4i, c a lc u la r: R e (z )lm (z ) a) 6 d ) 12

b) 8 e ) 20

c) 10

c) 1 - i

b) 2 e )5

c) 3

20. C u á n to s v a lo re s p u e d e to m a r: A = i" + r n; n e IN a) 2 d) 8

b) 3 e )n

c) 4

21. S a b ie n d o qu e: 3^4 - 2i = a + b¡ c a lc u la r: M =

12. C a lc u la r b p a ra q u e el c o m p le jo : 3 + 4¡ Z = ^ s e a im a g in a rio pu ro.

b) 2000 I e) 0

19. C a lc u la r n, si: [(1 + i )9 + (1 - i)9] n = 10 24 a) 1 d) 4

10. E fe ctu a r: A = I1 + i 2 + i 3 + i4 + ... + i 1999

c) - 1

18. C a lc u la r: S = i 5 + i 10 + I15 + i20 + ... + i200C a ) 2000 d) 1

1 - i

b) 0 e )i

a) 2 d) - 4

b4- a 4 2a - b b) -2 e) 1

c )4

Á lgebra |

22.

C a lc u la r: E = /3~+~4¡ + -13 - 4i a) 3 d ) 3¡

23.

24.

!_ 1+ i

b ) 7 + 3i e ) 2 + 9i

a) ¡ 2

b) 2

d ) /3

e ) ¡7

- 1

b) 2 ¡ e) 1

c) i

28. H a lla r n en: [(1 + i )6 + (1 - i)5]" = - 5 1 2

1 1 “ 15i 64 i

a) 1 d )4

29.

b) 2 e )5

b ) - 2 16 e ) - 2 19

30. H a lla r k, p a ra qu e: Z =

(1 + i)22

(1 + i )20

( 1 - ¡ ) 20

( 1 - I )16

c) 3

R e d u c ir: ( h + h + 12 + \ ¡ 2 - h a ) - 2 15 d ) - 2 18

c) - 2

b) 2 0 e) 15

In d ic a r el m ó d u lo de: Z =

a) 0 d) - 1

c) 12 - 5i

b) 4 e ) 1/4

In d ic a r el m ó d u lo de : Z a ) 10 d ) 12

26 .

S im p lific a r: S = 0 + 1 1)(¡ + ^ (i - 7 f a) 2 d) 1/2

25 .

c) 5

S im p lific a r: R = —§ 9 — + — !— 4 + 3¡ 1 - i a ) 9 — 6i d ) 4 + 6i

27. R e d u c ir: R = 1 2 Vi - ¡ W

b) 4 e )4 ¡

+ lí ) c) - 27

-§ í + a + s e a ,-je a + i 1 - al

la fo rm a k¡. b) 3 e) 2

a) 1 d) 5

c) 25

c) 4 "N

-- - - -

3 + 770(1 - I ) c )3

tn Ui > < j ü

1. c 2. e 3. 4. 5. 6.

e d b b

7. 8. 9. 10 . 11. 12.

c c c c d e

13. 14. 15. 16. 17. 18.

c a d e d e

19. 20 . 21. 22. 23. 24.

b b a b a d

25. 26. 27. 28. 29. 30.

b a c c b e

ECUACIONES ECUACIÓN

E je m p lo :

E s un a ig u a ld a d e n tre d o s e x p re s io n e s m a te m á ti c a s e n la q u e al m e n o s e s té p re s e n te un a v a ria b le q u e a h o ra re c ib irá el n o m b re d e in có g n ita .

H a lle el C S en c ada caso: • 3x + 2 = (x + 1) + 2 x + 1 => C S - IR

A (x ; y; ...; z )

p rim e r m ie m b ro

Vx - 2 = h - 2

=> C S = {x e IR / x > 2 }

B (x; y; ...; z) s e g u n d o m ie m b ro

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES

D o n d e : A y B: e x p re s io n e s m a te m á tic a s

A la s e c u a c io n e s d e a c u e rd o al n ú m e ro s o lu c io n e s p o d e m o s c la s ific a rla s en:

x; y; ...; z: in c ó g n ita s

S o lu c ió n d e u n a e c u a c ió n . U n a s o lu c ió n d e un a e c u a c ió n e s un a c o le c c ió n d e v a lo re s (de la s In c ó g n ita s ), q u e al s e r re e m p la z a d a s e n la e c u a c ió n tra n s fo rm a n a e s ta , e n u n a p ro p o s ic ió n v e rd a d e ra .

E c u a c io n e s c o m p a tib le s . S o n a q u e lla s q u e p o se e n al m e n o s un a s o lu c ió n . É s ta s p u e d e n ser:

E je m p lo :

S e a la e c u a c ió n x 3 = x Si x = 0

=> O3 = 0

Si x = 1

=> 13 = 1

D e te rm in a d a s : e n un a e c u a c ió n c o m p a tib le d e te rm in a d a , sí e s p o s ib le d e te rm in a r la c a n ti d a d d e s u s s o lu c io n e s . In d e te rm in a d a : en un a e c u a c ió n c o m p a tib le in d e te rm in a d a n o e s p o s ib le d e te rm in a r la c a n tid a d d e s u s s o lu c io n e s .

E c u a c io n e s in c o m p a tib le s (In c o n s is te n te s ). S on a q u e lla s e c u a c io n e s q u e no p o s e e n s o lu c io n e s , su c o n ju n to s o lu c ió n : C S = 0

S ix = - 1 =» ( - 1 ) 3 = - 1 L u e g o 0; 1 y - 1 son s o lu c io n e s d e la e c u a c ió n .

E je m p lo s : C o n ju n to s o lu c ió n d e u n a e c u a c ió n (C S ). Es a q u e l c o n ju n to fo rm a d o p o r to d a s la s s o lu c io n e s d e d ic h a e c u a c ió n . Si la e c u a c ió n no tie n e s o lu c ió n , e n to n c e s su c o n ju n to s o lu c ió n es el c o n ju n to v a c ío 0 . E je m p lo : S e a la e c u a ció n en x: (x - a )3(x - b )5(x - c )7 = 0 S ix = a =>0 — 0 S ix = b = 0 = 0 S ix = c =>0 = 0

j I

•

En c a s o q u e la e c u a c ió n n o p re s e n te s o lu c io n e s e n to n c e s el c o n ju n to s o lu c ió n se rá el c o n ju n to n u lo o va cío . A sí: C S = 0 v C S = { } E n c a s o la e c u a c ió n p re s e n te in fin ita s s o lu c io n e s e n to n c e s el c o n ju n to d e va lo re s en el c u a l e x is te la e c u a c ió n se le d e n o m in a u n iv e rs o .

(x - 1)2 = x 2 - 2x + 1 tie n e C S = IR => Ec. c o m p a tib le in d e te rm in a d a p u e s tie n e in fin ita s s o lu c io n e s . x + 7 = x + 2 tie n e C S = 0 => Ec. in c o m p a tib le p u e s no tie n e s o lu c ió n .

ESTUDIO DE LA ECUACIÓN PARAMÉTRICA EN x Sea: l A x = B ]

C S = {a; b; c}

cYlaia•/:-----------------

x + 3 = 5 tie n e C S = {2 } => E c. c o m p a tib le d e te rm in a d a .

Caso I Si A ^ 0; x = B /A => C S = {B /A } La e c u a c ió n p o s e e s o lu c ió n ún ica. La e c u a c ió n es c o m p a tib le d e te rm in a d a . C a s o II Si A = 0 A B = 0: 0 (x ) = 0 => C S = C La e c u a c ió n p o s e e in fin ita s s o lu c io n e s . La e c u a c ió n e s c o m p a tib le in d e te rm in a d a . C a s o III S i A = 0 A B ± 0: 0 (x ) = B => C S = 0 La e c u a c ió n e s In co m p a tib le .

Á lgebra I

E je m p lo : S e a la e c u a c ió n en x, co n p a rá m e tro p: (p - 5 )(p - 2)x = (p - 2 )(p - 3)

Ig u a la n d o c a d a fa c to r a c ero = 0 =» X1 = - 2 = 0 =» x 2 = - 2 = 0 => x 3 = - 2

S i p = 2 ^ 0 (x ) = 0 =* C S = C T e n e m o s in fin ita s s o lu c io n e s , lu e g o s e ría e c u a c ió n c o m p a tib le in d e te rm in a d a . S i p = 3 =» ( —2)(1 )x = 0 =* C S = {0 }

x = - 2 es ra íz d e m u ltip li c id a d tre s o ra íz trip le .

una

D o s o m á s e c u a c io n e s s o n e q u iv a le n te s si tie n e n el m is m o c o n ju n to s o lu c ió n .

} x = 8 e s ra íz s im p le

ECUACIONES EQUIVALENTES

= 0

N o te n e m o s s o lu c ió n a lg u n a , lu e g o s e ría un a e c u a c ió n in c o m p a tib le .

1 x = 5 e s ra íz d e m u ltip lij c id a d 2 o ra íz do b le .

CD X tí

T e n e m o s 1 s o lu c ió n , lu e g o s e ria u n a e c u a c ió n c o m p a tib le d e te rm in a d a . S i p = 5 =» 0 ( x ) 6 i C S - 0

= 0 => x 4 = 5 = 0 => *5 = 5

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA T o da e c u a c ió n p o lin o m ia l d e c o e fic ie n te s n u m é ri co s p o s e e p o r lo m e n o s u n a ra íz q u e g e n e ra lm e n te e s c o m p le ja .

E je m p lo :

C o ro la rio . T o da e c u a c ió n p o lin o m ia l d e g ra d o n tie n e e x a c ta m e n te n ra íce s c o n ta d a s c o n su re s p e c tiv a m u ltip lic id a d .

Ei: f + T = 14 =>cs = í12}

S e a n la s ra íc e s d e P (x) p o lin o m io d e g ra d o n con c o e fic ie n te p rin c ip a l a.

E 2: 5 x - 36 = 2 x =* C S = { 1 2 } E 3: x + 8 = 2 0 => C S = {1 2 } S o n e c u a c io n e s e q u iv a le n te s

ECUACIONES POLINOMIALES CON UNA INCÓG NITA F o rm a g e n e ra l d e u n a e c u a c ió n p o lin o m ia l d e g ra d o n: P(x) = a 0x n + a ^ "

1 + ... + a n = 0 / a 0 # 0 A n e Z +

R a íz d e un p o lin o m io . D ire m o s q u e a es u n a raíz d e un p o lin o m io P (x) si y s o lo si P (a ) = 0 C o n s e c u e n c ia : a es ra íz d e P (x) si y s o lo si (x - a ) es fa c to r d e P (x). E je m p lo : S ea : P (x) = x 3 - 2 x 2 - x + 2 se o b s e rv a que: P (1 ) = 0; P ( - 1 ) = 0; P (2 ) = 0 L u e g o , - 1 ; 1; 2 s o n ra íc e s d e d ic h o p o lin o m io . P o r ta n to : (x + 1); (x - 1); (x - 2) s o n fa c to re s de d ic h o p o lin o m io . Un m é to d o p rá c tic o pa ra h a lla r la s ra íc e s d e un p o lin o m io e s fa c to riz a r s o b re C al p o lin o m io e ig u a la r c a d a fa c to r a ce ro . E je m p lo : H a lle m o s la s ra íc e s de: P (x) = (x + 2 ) 3 ( x - 5 )2(x - 8 )

x ,; x..: x . x 4; x . : ...; x. el p o lin o m io p u e d e e x p re s a rs e d e la s ig u ie n te m a-

P (x) = a(x - x ,)(x - x 2)(x - x 3) ... (x - x n) E je m p lo : Un p o lin o m io c o n ra íce s { - 2 ; - 1 ; 1; 2 } es: P (x) = (x + 2 )(x + 1)(x - 1)(x - 2) S e a la e c u a c ió n p o lin o m ia l P (x) = 0 L la m a re m o s ra íce s d e la e c u a c ió n p o lin o m ia l a la s ra íce s d e P(x). T o da ra íz de la e c u a c ió n e s ta m b ié n s o lu c ió n d e la e c u a c ió n .

TEOREMA DE CARDANO - VIETTE S e a la e c u a c ió n p o lin o m ia l d e g ra d o n P ( x ) = a 0x n + a , x n

1 + a 2x n

C u y a s ra íc e s s o n x-p x 2; x 3; ... x n S u m a d e ra íc e s 51 = x-| + x 2 + x 3 + ... + x n =

¡ao S u m a d e p ro d u c to s b in a rio s _ 32 5 2 = X-|X2 + XtX 3 + X2X3 + ... = —

S u m a d e p ro d u c to s te rn a rio s _ a3 S 2 = X-|X2X3 + X-|X2X4 + x 2x 3x 4 + ... = - —

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

P ro d u c to s d e ra íc e s S n = x ,x 2x 3 ... x n = ( - 1 ) " ~ 3ü

1 tx ) = l ( - b ) « x = - |

CS = { - | }

T e o re m a (d e p a rid a d d e ra íc e s ) S e a P (x) = 0 un a e c u a c ió n p o lin o m ia l, d e g ra d o no m e n o r a d o s, d e c o e fic ie n te s re a le s . El n ú m e ro c o m p le jo (a + b¡) es ra íz d e P (x) = 0 si y s o lo si (a - b¡) es ra íz d e P (x) = 0; b i= 0.

ECUACIÓN CUADRÁTICA (Ec. de 2.° grado)

E je m p lo : C o n s tru ir un a e c u a c ió n d e m e n o r g ra d o , un a de c u y a s ra íc e s es: 5 - 3¡

F o rm a g e n e ra l: P (x) = a x ‘ + bx + c = 0; a

Resolución:

R e s o lu c ió n : P o r el te o re m a s i x , x 2 = 5 + 3¡ ta m b ié n lo c io n e s d e m e n o r g ra d o es:

= 5 - 3i e s ra íz e n to n c e s se rá , lu e g o un a d e las e c u a

x2 -

(Xt + x 2)x + x ,x 2

= 0

x2 -

10x + 34 = 0

T e o re m a S e a P (x) = 0 un a e c u a c ió n p o lin o m ia l d e g ra d o no m e n o r a d o s, d e c o e fic ie n te s ra c io n a le s . El n ú m e ro Irra c io n a l (a + I b ) es ra íz de P (x) = 0 si y s o lo si (a - -ib )e s ra íz d e P (x) = 0; -ib e l E je m p lo : S i un a d e las ra íce s d e la e c u a ció n x 2 + ax + b = 0; (a; b} e © es 3 + Í 2 . H a lle a y b.

P o r fa c to rlz a c ió n : S ea : 6x 2 - 17x + 12 = 0 » (3 x - 4 )(2 x - 3) = 0 » 3x - 4 = 0 v 2 x - 3 = 0 « x = 4 /3 v x = 3/2 .-. C S =

C o m o los c o e fic ie n te s d e la e c u a c ió n s o n n ú m e ro s ra c io n a le s , a p lic a m o s el te o re m a . C o m o X! = 3 + Í2 e s ra íz e n to n c e s x 2 = 3 - - Í 2 ta m b ié n es raíz; fo rm a re m o s la e c u a c ió n x 2 - (x, + x 2)x + x ,x 2 = 0 x 2 - 6x + 7 = 0 C o m p a rá n d o la c o n x 2 + ax + b se tiene : a = -6 y b = 7

ECUACIÓN LINEAL (Ec. de 1.° grado) S o n a q u e lla s e c u a c io n e s p o lín o m ia le s q u e se re d u c e n al a s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l. P (x) = ax + b = 0 / a ^ 0

4 ,3 3’2

L a s ra íc e s d e la e c u a c ió n son: x , = 4/3; x 2 = 3/2 P o r fó rm u la : s e a P (x) = a x 2 + bx + c = 0 / a # 0 p o d e m o s d e m o s tra r q u e la s ra íc e s d e e s ta e c u a c ió n v ie n e d a d a por: x 1: 2

- b ± Ib? - 4 a c 2a

F ó rm u la g e n e ra l d e la e c u a c ió n c u a d rá tic a A n á lis is d e s u s s o lu c io n e s S e a la e c u a c ió n c u a d rá tic a : a x + bx + c = 0

R e s o lu c ió n :

a # 0 d e c o e fic ie n te s re a le s

D e fin im o s su d is c rim in a n te (A), a si: A = b - 4 a c E n to n c e s las ra íce s se rá n : - b + -ÍK . .. - b -IX x2 = 2a 2a Caso I Si A = 0 : la s ra íce s son ig u a le s (x-i = x 2) y re a le s . L a e c u a c ió n p o s e e s o lu c ió n ú n ic a . A d e m á s a x 2 + bx + c, es un trin o m io c u a d ra d o p e rfe cto . C a s o II SI A > 0 : la s ra íc e s so n d ife re n te s (x, ^ x 2) y re a les. La e c u a c ió n p re s e n ta d o s s o lu c io n e s . C a s o III Si A < 0: la s ra íc e s s o n c o m p le ja s no re a le s y c o n ju g a d a s . (x-i = u + vi =>x 2 = u - vi); v # 0 .

R e s o lu c ió n : ax t b = 0 » ax + b + ( - b ) = 0 + ( - b ) « ax + 0 = - b « ax = - b (C o m o a + 0 => a 1 i 0 ) o a 1ax = a ~ 1 ( - b )

P ro p ie d a d e s : S e a la e c u a ció n cu a d rá tica : ax 2 + bx + c = 0; a # 0 d e ra íc e s Xt y x 2:

x-, + x 2 = - b /a

S u m a d e ra íce s :

P ro d u c to d e ra íce s : I x 1x 2 = c/a D ife re n c ia d e raíces: (Xi + x 2)2 - ( x 1 -

x 2 )2

= 4

x 1x 2

R e c o n s tru c c ió n d e la e c u a c ió n : x - (x, + x 2)x + x ,x 2 = 0 O b s e rv a c ió n : La e c u a c ió n a x 2 + bx + c = 0 / a --f- 0, d e ra ic e s x, y x 2 no nu la s. P o s e e ra íc e s s im é tric a s « Xt + x 2 = 0 P o s e e ra íc e s re c íp ro c a s « x ,x 2 = 1

T e o re m a II T o da e c u a c ió n p o lin o m ia l d e c o e fic ie n te s ra c io n a le s tie n e ra íz (a + Ib), si y s o lo si (a - Ib) e s raíz, donde a s ® , ib e l T e o re m a III Toda e c u a c ió n c io n a le s

p o lin o m ia l

com o

ra íce s

te n d rá

la - Ib; - la - Ib; - la

c o e fic ie n te s a:

Ja + I b ,

si y s o lo si u n a de

e lla s e s tá p re s e n te (la, Ib so n irra c io n a le s ). En s e g u id a a n a lic e m o s a lg u n a s e c u a c io n e s p o lin o m ia le s d e g ra d o s u p e rio r m u y im p o rta n te s .

ECUACIÓN CÚBICA L la m a d a ta m b ié n e c u a c ió n p o lin o m ia l d e g ra d o 3 c u ya fo rm a g e n e ra l es: a x 3 + b x 2 + ex + d = 0 ; a 7 0

T e o re m a Si la s e c u a c io n e s c u a d rá tic a s : a x 2 + bx + c = 0: ab e ± 0 m x 2 + nx + p = 0 ; m n p # 0 p o s e e n ig ua l c o n ju n to s o lu c ió n . S e c u m p le :

lg ebr a

ECUACIONES POLINOMIALES DE GRADO SUPE RIOR S o n a q u e lla s e c u a c io n e s p o lin o m ia le s q u e se re d u c e n a la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l:

D o n d e : a 0 7 0, n

1 + ... + a n _ ,x + a n = 0 a

R e s o lu c ió n : P a ra re s o lv e r e s ta s e c u a c io n e s se ha n d e s a rro lla d o u n a d iv e rs id a d d e té c n ic a s y a rtific io s , q u e e n su m a y o ría p e rm ite n h a lla r los v a lo re s a p ro x im a d o s d e sus raíces. En el p re s e n te c a p ítu lo , b a jo c ie rta s c o n d ic io n e s la re s o lu c ió n d e a lg u n a s d e e s ta s e c u a c io n e s h a ce u so d e los s ig u ie n te s te o re m a s : T e o re m a I Toda e c u a c ió n p o lin o m ia l d é c o e fic ie n te s re a le s a d m ite ra íz im a g in a ria (a + bi), si y s o lo sí (a - bí) e s ra íz im a g in a ria , d o n d e b # 0 .

se p u e d e

o b te n e r la s ig u ie n te e c u a c ió n en x x 3 + px + q = 0

_a_ _ b _ c m ~ n _ p

P (x) = a 0x n + a^x"

M e d ia n te la s u s titu c ió n x p o r | x

P a ra s o lu c io n a r la e c u a c ió n an te rio r, d e fin a m o s . .q. 3/ i/ np >3 , —j + j . E n to n c e s la s ra íc e s d e (I) serán : x, = ° f Y + I I + * ] - % - I I

X2 = 3^ - | + / a W + 3J - ^ - I a W X3 = 3J - § + V Á w 2 + ^ - | - / Á v donde: w =

+ — i/i = - P r

E je m p lo : R e s u e lv a : x 3 - 15x - 12 6 = 0 R e s o lu c ió n :

I .A = 62 ; Xj = 5 t 1 = 6 H

- H

' M

- i - f ,

- M .-. C S = { 6 ; -

3 + 2 / 3 i: - 3 - 2 / 3 i}

| C o le c c ió n E l P o s t u l a n t e

ECUACION BICUADRADA E s a q u e lla e c u a c ió n d e c u a rto g ra d o q u e p re s e n ta la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l: a x + b x 2 + c = 0 ; abe

1” va -

n 1k

eos

(2k+ 1)jt\ n

( 2 k + 1)7t||

) + ,sen

k = 0 ; 1 ; 2 ; ...; (n - 1 )

ECUACIÓN TRINOMIA

T e o re m a s S e a la b ic u a d ra d a e n x:

E s a q u e lla e c u a c ió n d e tre s té rm in o s y q u e p re s e n ta la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l:

a x 4 + b x 2 + c = 0 ; ab e é 0 S i m y n s o n d o s ra íc e s no s im é tric a s , e n to n c e s : —m y —n ta m b ié n lo se rá n . Lu eg o: C S = {m ; - m ; n; - n } m 2 + n 2 = - b /a m 2n 2

a x 2n + b x n + c = 0 , d o n d e : a b e ^ 0 n - e Z / \ n > 2 P a ra su re s o lu c ió n h a re m o s un c a m b io de v a ria b le : x 11 = y. fo rm á n d o s e un a e c u a c ió n c u a d rá tic a cuya s o lu c ió n es se n c illa , p ro p o rc io n a n d o lu e g o la s s o lu c io n e s d e y a la v a ria b le o rig in a l x n o rig in a n d o e c u a c io n e s b in o m ia s , d e re s o lu c ió n ya c o n o cid a . En la e c u a c ió n : ax 211 + b x 11 + c = 0 ha ce m o s: xr = y

...(1)

R e c o n s tru ir u n a e c u a c ió n b ic u a d ra d a . C o n o c ie n d o d o s ra íce s , c u y a s u m a no s e a ce ro , (no s im é tric a s ).

a y + by + c = 0 = > y1 ;2 = -

U na e c u a c ió n b ic u a d ra d a en x, d o n d e d o s d e sus ra íc e s so n m y n ( m + n / - 0 ) v ie n e d a d a por:

- b + ib 2 - 4ac ; y2 = . y, = --------------2a En (1):

(m 2 + n 2)x 2 + m 2n 2 = 0

-b ± Ib 2 - 4ac 2a - b - ■lb2~- 4 a c 2a

- b + ib 2 - 4ac 2a

ECUACION BINOMIA E s a q u e lla e c u a c ió n d e d o s té rm in o s y q u e p re s e n

^ b ^ -_ /b ^ -_ 4 a c _ 2a

- b + Ib 2 - 4ac 2a n -b

/ b 2^ 4 a c 2a

ta la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l: a x n + b = 0 d o n d e : a b # 0; n

POLINOMIO RECIPROCO

TL a n > 3

P a ra re s o lv e r e s ta e c u a c ió n - p o d e m o s a p lic a r p ro d u c to s n o ta b le s o lo s c rite rio s d e fa c to riz a c ió n , así c o m o ta m b ié n las a p lic a c io n e s d e los n ú m e ro s c o m p le jo s . En: a x ;l + b = 0

■X '1 =

D a d o el p o lin o m io P (x) no c o n s ta n te y d e g ra d o n con té rm in o in d e p e n d ie n te n o n u lo d ire m o s q u e P (x) e s re c íp ro c o si y s o lo si s e c u m p le : P (x) = x n p ( I '

=> x = P (x) = 2 x 3 - 7 x 2 - 7 x + 2

L u eg o: si: |

x' “

'la

< 0 => x =

COSÍ

?k7T n

| ( 1 ) = nJ - ^ ,

2 k it

+,sen(— )j

k = 0; 1; 2; ...; (n - 1) Sí: b/a

o - x = ^ | ( - i ) = nj | . nr i

nf \

P (x) = 6x 4 a 35 x 3 + 6 2 x 2 + 3 5 x + 6

ECUACIÓN RECÍPROCA E s a q u e lla e c u a c ió n c u y o s c o e fic ie n te s d e lo s té r m in o s e q u id is ta n te s d e los e x tre m o s son d e ig ua l v a lo r: p re s e n ta n la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l: D onde: n

TL I n > 2

E s ta s e c u a c io n e s si p re s e n ta n c o m o s o lu c ió n a m , e n to n c e s ta m b ié n a c e p ta rá n c o m o s o lu c ió n a x = 1 /m , c o m o m y 1 /m s o n re c íp ro c o s y ra íc e s de la e c u a c ió n , a e s ta s in g u la rid a d se d e b e el n o m b re d e e c u a c ió n re c íp ro ca . P a ra la re s o lu c ió n se d e b e a g ru p a r los té rm in o s e q u id is ta n te s d e los e x tre m o s , fa c to riz a r x n/2 (si n es p a r) pa ra lu e g o re a liz a r el s ig u ie n te c a m b io de v a ria b le : x + 1 /x

r x 2 - 1 /x 2 = y 2 - 2 = y => 4 , „, , , „ [ x + 1/x 3 = y 3 - 3y

ax4 + bx3 + ex2 + bx + a = 0

E c u a c ió n re c íp ro c a de g ra d o im p ar. C o m o c a so s p a rtic u la re s se tie n e n e c u a c io n e s d e la fo rm a :

S e lla m a así al c o n ju n to d e e c u a c io n e s lin e a le s con do s o m á s in c ó g n ita s , ia s c u a le s p u e d e n v e rifi c a rs e p a ra a lg u n o s v a lo re s a s ig n a d o s a s u s in c ó g n ita s o ta l v e z n u n c a se v e rifiq u e : E je m p lo : x + y = 2 x - y = 4

es un s is te m a lin e a l d e d o s e c u a c io n e s c o n d o s in c ó g n ita s

2x + 5y = 0

es un s is te m a linea l d e 3 e c u a c io n e s con 3 in c ó g n ita s

=> s is te m a lin e a l h o m o g é n e o

3x - 7y = 0

bx5 + bx 4 + ex 3 + ex 2 + bx + a = 0

5x + 7 y + 2 z = 0

2x - y - z = 0

Esta ecua ción tiene c o m o solu ción a: x = 1 v x = - 1 , e n to n c e s se p o d rá a p lic a r la re g la d e R u ffin i para te n e r un a e c u a c ió n d e g ra d o m e n o r a la re s p u e s ta .

3x + y + z = 0

ECUACIÓN FRACCIONARIA E s a q u e lla q u e se p re s e n ta c o m o la d iv is ió n d e d o s h (x )

S is te m a lin ea! h o m o g é n e o . E s a q u e l s is te m a d o n d e sus té rm in o s in d e p e n d ie n te s son ig u a le s a cero.

a x 7 + b x 6 + ex 5 + d x 4 + d x 3 + ex 2 + bx + a = 0

E je m p lo :

ax 6 + b x 5 + ex 4 + d x 3 + ex 2 + bx + a = 0

p o lin o m io s , c u y a fo rm a g e n e ra l es:

SISTEMA DE ECUACIONES

x + y + 3x = 5 2x + y - z = 4 7x + 9 y - 2z = 14

E c u a c ió n re c íp ro c a d e g ra d o par. C o m o c a so s p a rtic u la re s p o d e m o s in d ic a r las s ig u ie n te s e c u a cio n e s :

lg ebr a

d o n d e h(x) es un p o lin o m io no c o n s ta n te . R e s o lu c ió n : P a ra re s o lv e r e s ta e c u a c ió n , se s u g ie re segu ir, los s ig u ie n te s p a so s: f (x) A s e g u ra r la e x is te n c ia d e la e x p re sió n — - , h (x ) p a ra lo c u a l se d e b e a s e g u ra r q u e n(x) A 0 . D e a q u í se o b tie n e un c o n ju n to d e v a lo re s qu e p u e d e a s u m ir ia in có g n ita . P rocura r, en lo p o sib le , tra n s fo rm a r la fra c c io n a ria , en un a p o lin o m ia l; cu ya re s o lu c ió n la c o n o c e m o s o b te n ié n d o s e un c o n ju n to s o lu ción. F in a lm e n te el c o n ju n to s o lu c ió n d e ¡a e c u a c ió n fra c c io n a ria , es la in te rs e c c ió n d e los c o n ju n to s o b te n id o s en los p a s o s a n te rio re s

=> s is te m a lin e a l h o m o g é n e o

S o lu c ió n d e u n s is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s Es una c o le c c ió n d e n ú m e ro s q u e v e rific a n en fo rm a s im u ltá n e a a un c o n ju n to d e e c u a c io n e s linea le s. E je m p lo : El p a r o rd e n a d o (2; 3) es s o lu c ió n d e i s iste m a : x + y = 5 2x + y = 7 p u e s si a s ig n a m o s a x el v a lo r d e 2 y a y el v a lo r de 3, e n to n c e s se v e rific a n a m b a s e c u a c io n e s . S o lu c ió n triv ia l d e un s is te m a lin e a l. S e llam a así c u a n d o la c o le c c ió n d e n ú m e ro s e s tá fo rm a d o p o r ce ro s. P o r e je m p lo : (0: 0), (0: 0; 0), (0; 0: 0; 0), etc.: son s o lu c io n e s triv ia íe s . S is te m a d e e c u a c io n e s q u e p re s e n ta n s o lu c io nes triv ia le s . Los s is te m a s d e e c u a c io n e s lin e a le s q u e s o n h o m o g é n e o s , s o n ios q u e p re s e n ta n s o lu c io n e s triv a le s , a sí p o r e je m p lo : 3x + 2y + z = 0 x + y + z = 0 x - y- z = 0

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Es un s is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s h o m o g é n e o q u e tie n e c o m o s o lu c ió n ( 0 ; 0; 0).

EJERCICIOS RESUELTOS

El c o n ju n to s o u c ió n d e un s is te m a d e e c u a c io n e s. C o m o el c o n ju n to fo rm a d o p o r la s s o lu c io n e s d e l s is te m a linea l.

H a lla r las ra íce s d e la e c u a ció n :

C o n ju n to s o lu c ió n d e un s is te m a lin e a l q u e no p re s e n ta s o lu c ió n . E s el c o n ju n to n u lo o v a c io , es d e cir: C S = { } o C S = o

R e s o lu c ió n : M u ltip lic a n d o a m b o s m ie m b ro s d e la e c u a c ió n

x (x - 2 a) ^ a _ x

por

E x iste n la s c o m p a tib le s d e te rm in a d a s , c o m p a ti b le s in d e te rm in a d a s e in c o m p a tib le s . P ro p ie d a d e s S e a el s is te m a d e e c u a c io n e s lin e a le s: a x + by = c m x + ny = p E n to n c e s se c u m p le : ja n

bm | c u a n d o se tie n e s o lu c ió n ú n ic a (c.

d e te rm in a d o )

|a n = bm

bp = nc ¡ c u a n d o tie n e in fin ita s s o

ja n = bm

(in c o m p a tib le )

REGLA DECRAM ER

S e a el s is te m a s ig u ie n te : ax + by = c m x + ny = p 3.

AS = I a b I Im n | ’

Ibc

o b tie n e :

¿ C u á le s s o n los v a lo re s d e p y q, p a ra q u e las ra íc e s d e la e c u a c ió n : x 2 + px + q = 0 , se a n ta m b ié n p y q?

P o r da to : x , = p; x 2 = q P o r p ro p ie d a d d e la s ra íc e s d e una e c u a c ió n d e 2 .° g ra d o : Xi + x 2 = - p x ,x 2 = q R e e m p la z a n d o lo s v a lo re s d e Xí y x 2 p o r ra z ó n d e e n u n c ia d o : p + q = - p =» q = - 2 pq = q =5 p = 1

S irv e p a ra re s o lv e r s is te m a s d e e c u a c io n e s lin e a le s con 2 o m á s in có g n ita s .

la e l Ic b • Ay = Ax = m p IP n |

■=

S e a n x , y x 2 ra íce s d e la e c u a c ió n : x 2 + px + q = 0

bp # nc I c u a n d o no tie n e s o lu c ió n

S e de fin e:

R e s o lu c ió n :

lu c io n e s (c. in d e te rm in a d o ) 3.

Ibc . se

a - x

x(x - 2a) + Ib (a - x) - le (a - x) = Ibc - a2 Ordenando e igualando a cero: x2 - 2ax + a Ib - I b x - a l e + ■ x2 + (le - Ib - 2a)x + a Ib - a x2 + ( V c - V b - 2 a ) x + (a + V b )(a -V c ) = 0 [x - (a + Vb )][x - (a - Ve)] = 0 Igualando a cero los factores y. despejando: x-i = a + Vb a x2 = a - Ve

DE ACUERDO A LA CANTIDAD DE SOLUCIONES, ¿QUÉ CLASES DE SISTEMAS DE ECUACIONES EXISTE?

Vbc

¿ Q u é v a lo r d e b e te n e r c, e n la e c u a c ió n : x 2 + 8x + c = 0 p a ra q u e un a ra íz sea in ve rsa d e la o tra ?

D on de: A s: d e te rm in a n te re s p e c to al s is te m a

R e s o lu c ió n :

A x: d e te rm in a n te re s p e c to a la in c ó g n ita x

S e a n sus raíces: x, y x 2

A v: d e te rm in a n te re s p e c to a la in c ó g n ita y

P o r p ro p ie d a d d e la s ra íc e s e n una e c u a c ió n c u a d rá tic a : x ,x 2 = c / 1 ... (I)

P a ra h a lla r lo s v a lo re s d e x e y se u tiliz a las s i g u ie n te s re la c io n e s : x = A x /A s

y = A y /A s

La e c u a c ió n : x 2 - 8x + c = 0

P o r d a to d e l p ro b le m a : x-,x 2 = 1 (El p ro d u c to d e d o s c a n tid a d e s s ie n d o un a la in v e rs a d e la o tra s ie m p re es la u n id a d )

R e e m p la z a n d o e n (I): 1 = c /1 => 1 = c

- 8x - 1 2 / 7 = - 6 4

...(III)

8x - 2 / 7 = 36

...(IV )

En la e c u a c ió n : 2 x 2 - (m - 1)x + (m + 1) = 0, ¿ q u é v a lo r p o s itiv o d e b e d a rs e a m p a r q u e la s ra íce s d ifie ra n en un o ?

S u m a n d o (III) + (IV): - 1 4 / 7 = - 28 => ¿ 7 = 2 7.

R e s o lu c ió n :

2 x 2 - (m - 1 )x + (m + 1 ) = 0

..y = 4

D a d o el s ig u ie n te s is te m a de e c u a c io n e s :

e n c o n tra r el v a lo r d e (x + y).

P o r da to : x , - x 2 = 1 ... (I)

R e s o lu c ió n :

P o r p ro p ie d a d d e la s raíces: - (m - 1 )

5 Ix - 3 / 7 = 3 2 5 x — 9 y = 81

S e a n x 1 y x 2 la s ra íce s d e la e c u a c ió n :

Xi + X2 — —

lg e br a

El s is te m a : 5 / x - 3 / 7 = 3 2 5 x - 9y = 81

(II)

...( I) ...( II)

D e (II): ( 5 /x )2 - ( 3 / 7 )2 = 81

( 5 / x + 3 / 7 ) . ( 5 / x - 3 / 7 ) = 81 S u m a n d o (I) + (II), se lo g ra : x , =

m + 1

D e ( l) : 5 / x + 3 / 7 = 27

S u m a n d o m ie m b ro a m ie m b ro (I) + (III)

R ee m plazan do este valo r en (III), se logra: x 2 = 2

S e lo gra: 1 0 /x

R e e m p la z a n d o x 1 y x 2 en (II):

H a lla r el p ro d u c to d e las ra íce s d e la e c u a c ió n : Vx + 3 - / x - 2 = 5

D a d o el s is te m a d e e c u a c io n e s : x - y = 1,3 /TÓx - /T o 7 = 1,0

R e s o lu c ió n : S e tie n e : / x + 3 - f x ~ ^ 2 = 5

e n c o n tra r el v a lo r d e (x + y)

T a m bién : ■Ix + 3 = 5 + -Ix - 2

R e s o lu c ió n :

E le v a n d o al c u a d ra d o :

El s is te m a : x - y = 1,3

x + 3 = 2 5 + 10 l x - 2 + x - 2 =» - 2 0 = 1 0 / x - 2

= 30 ^ x = 9

R e e m p la z a n d o en (II): 2 5 (9 ) - 81 = 9y D e d o n d e : y = 16 S e pide : x + y = 16 + 9 = 25

m A 1 , O m —1 -1*1 — h 2 = ---------- , d o n d e : m = 11 4 2 5.

...( III)

.-. - 2 = h - 2

... (I)

/ÍO x - /ÍÓ 7 = 1 D e (I): ( / x + / 7 ) ( / x - / 7 ) = 1,3

La e c u a c ió n no tie n e s o lu c ió n p u e s no e x is te n in g ú n n ú m e ro rea l ta l q u e su ra íz c u a d ra d a s e a n e g a tiv a .

D e (II): ¿ T o (/x - J y ) = 1

¿ C u á l es el v a lo r d e y en el s is te m a d e e c u a

R e e m p la z a n d o (IV ) e n (III):

c io n e s s im u ltá n e a s : 2 x + 3 /y = 16

( /7 + /7 )

8x - 2 / y = 36 R e s o lu c ió n : S is te m a : 2x + 3 / 7 = 16

8x - 2 / y = 3 6 M u ltip lic a n d o la (I) p o r - 4 :

.... (I) ...( II)

(¿T -/ 7 ) = ~

...( II) ...( III)

-( IV )

¿10

1 = 1,3 /10

(/x + /7)= 1 , 3 / 1 0

,..(v)

S u m a n d o (V ) + (IV ) m ie m b ro a m ie m b ro : 2 / x = 1 ,3 /1 0 -■ 1 ¿To

x = 4,9; y = 3,6

S e pide : x + y = 4 ,9 + 3 ,6 = 8,5

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

I DE JE R C IC IO S 1.

R e s o lv e r: - 3 ( 2 x + 7) + ( - 5 x + 6) - 8(1 - 2x) - (x - 3) = 0 a) 2 d) 5

c) 4

b) - 3 e) 7

c) 3/8

a ) x e IR d ) x e IR - {2 }

c) 3

b) x = 0 e ) x = 3/2

c ) x = 1/3

3 + -—i

c) 3/2

3x - 1\

2 /x + 2 \ 3V 6

1 4

c) 7 /19

a) 4

b) 3 j

d) 3

e) 1

( 2 n + 1) a) --------------

e) 7

c) 1/35

b) 2/35 e ) 3/17

R e s o lv e r: (x + 3 )3 - x 3 - 9 x 2 = 54 c) 1

x- 6

( n + 1) b) — - —

d) 2 = 7 - x +

e) - 2 ^ x - 6

a + b - c

c2 c + a - b

ab e a + b + c

16. L u e g o d e re s o lve r: el v a lo r d e ^x 1 + 1

3n c) —

( n - 1)

15. H a lla r el v a lo r d e x en:

d) O

c )2 ]

14. E n la s ig u ie n te e c u a c ió n : (x + 1) + (x + 2 ) + (x + 3 ) + ... + (x + n) = n 2 d o n d e : n e TL A n > 2 0 0 0 ; el v a lo r d e x es:

R e s o lv e r: (4 - 5 x )(4 x - 5) = (1 Ox - 3 )(7 - 2x)

R e s o lv e r: x - 5 h

x -2

c) 1

b) - 1

(x + 1) —4 — x -2

3 + — !—

b) 2 /1 3 e ) 19/23

b) 2

b) - 6 d) in d e te rm in a d o

13. R e s o lv e r:

R e s o lv e r: (x - 2 )2 = 1 + (3 - x )2

a) O 10.

b) 5/7 e ) 11/7

b) 18/5 e) 18/15

a) 1/15 d ) 4 /9 9.

x - 3 _ x - 5

R e s o lv e r: 2 x - ( 2x

a) 3

x - 2

R e s o lv e r: — (x + 3) + = -1 (x - 1) - (x - 3) 3 6 2

a ) 1/13 d ) 13 /15

x - 2

b) 2 e) 5

a ) 13/5 d ) 8/5

2+ —

R e s o lv e r: - — 5- = 2 a) 1 d) 4

R e s o lv e r: x - 4 + 2 {5 - x = 8 - x + {2 0 - 4x

12. H a lla r el v a lo r d e x en:

b) O d) in d e te rm in a d o

. x - 1 R e s o lv e r: 3 )1 d) 2/9

11.

b) - 6 d ) in d e te rm in a d o

a) 6 c) - 6 y 6 e ) in c o m p a tib le

R e s o lv e r: x - (5 - x) = 3 - ( - 2 x + 8 ) a) 5/2 o )1 e) in c o m p a tib le

a) 6 c) 6 y - 6 e ) in c o m p a tib le

PROPUESTOS 1

x - a _ x - b _ x - c ab ac be b) d)

a + b - c b+ c - a

Jy | T | O JC i — —— = 3 in d iq u e /x ~ T l - 2 Í k

a) 4 d ) 2 ,5 17.

, a (a -x ) R e s o lv e r :—5— a) a + b d) b

18.

b) 3 ,5 e) 2

19.

a + b

a) - 6 d) 15

b (b + x) -----5------------= x

b) a - b e ) ab

b) a - b be )

d) a) d) 20.

a - b (a + b )2

R e s o lv e r: 2 x + 3y = 8 c a lc u la r xy a) 1 d) 4

21 .

b) (a - b )2 e ) ab

b) e)

R e s o lv e r: 2 x + 3y = - 2 h a lla r x + y.

25.

b) 10 4 e )3

x — 1 = 1/y

3/ 4

c) 12

e) 1/4

a) d)

5x + 7 y = 11

U) ai <r

c) 15

R e s o lv e r:

y + =

- y = ■

ca lc u la r: x + y

a ) -2 0 d)

c) - 1 5

c) a + b

4 x + 5 y = 14

2 5

24 x + 4 7 y = - 2 2

b) - 3

8)“ Á

R e s o lv e r: — - — 1— = — — ^— + 2 x + a - b x - a+ b

b) - 2 e) - 6

24. R e s o lv e r: x + 1 = 1 /(2 y) ha lla r: xy

c) a ab

c) - 1

b) 1 e ) 18

a) 5 d) - 1 8

2 x - 1 6 = 5y

23. R esolver: 30x - 23 y = 136 h a lla r xy

c) a

R e s o lv e r: ^ Í 1 - - W - f l - - W x > a\ x a) d)

22. Si: 7x - 9 y = 3 9 in d iq u e xy

c) 3

lgebra

3 12 i. 2. 3. 4. 5.

d d b e d

c) 10

b) 7 e ) 15 6. 7. 8. 9. 10.

c a c c e

11. 12. 13. 14. 15.

e d a c b

16. 17. 18. 19. 20.

a b a b b

21. 22. 23. 24. 25.

c a e d c

DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDADES E s a q u e lla c o m p a ra c ió n q u e se e s ta b le c e e n tre d o s n ú m e ro s re a le s , m e d ia n te los s ím b o lo s : < ; < ; >; > L u e g o , se a n a, b

Si: a > b se le e a es m a y o r q u e b a b se le e a es m a y o r o ig ua l q u e b a

P ru e b a . S e a n a y b n ú m e ro s re a le s , e n to n c e s ( - b ) ta m b ié n es real, lu e g o p o r la L e y d e C la u s u ra p a ra la a d ic ió n ( + ) en IR se tie n e q u e a + ( - b ) es real, es d e c ir (a - b)

IR.

A p lic a n d o la Le y d e T ric o to m ía p a ra (a - b) e IR: a - b < 0 v a - b = 0 v a - b > 0 e q u iv a le n te m e n te (p o r la s d e fin ic io n e s ( 1 ), ( 2 ) s o b re < ; > , y p o r el p rin c ip io : la d ife re n c ia d e d o s n ú m e ro s es c e ro si y s o lo si son ¡guales). a b

D a d o s a, b e IR

TEOREMA Y PROPIEDADES DE > Y <

1 . a > b si y s o lo si a - b es p o s itiv o 2 . a < b si y s o lo si b - a e s p o s itiv o

D a d o s a, b, c, d

E je m p lo s : 3 < 5 p o rq u e 5 - 3 = 2 y 2 es p o s itiv o - 1 0 < - 6 porque - 6 — ( —10) = 4 y 4 es positivo. 7 > 2 p o rq u e 7 - 2 = 5 y 5 e s p o sitiv o . - 2 > - 7 p o rq u e - 2 - ( - 7 ) = 5 y 5 e s p o sitiv o . 3 2 3 2 1 1 — > - p o rq u e ^ - ■= = — y — es p o s itiv o 4 3 4 3 12 12 D e fin ic ió n d e < y > D a d o s a, b

1. 2.

a b si y s o lo si a > b o a = b

L a s p ro p ie d a d e s a < b, a > b, a b se d e n o m in a n d e s ig u a ld a d e s . En p a rtic u la r, a b s e lla m a n d e s ig u a ld a d e s e s tric ta s , m ie n tra s q u e a b re c ib e n el n o m b re d e d e s ig u a ld a de s no e s tric ta s. D e la d e fin ic ió n d e < y >

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

IR,

SI a + 0 y b > 0, e n to n c e s a + b > 0 SI a > 0 y b > 0, e n to n c e s a b > 0 Si a 0, e n to n c e s a c < be Si a be

La p ro p ie d a d (1) a n te rio r e s ta b le c e q u e la s u m a de d o s n ú m e ro s p o s itiv o s es p o s itiv a , y la p ro p ie d a d ( 2 ) e s ta b le c e q u e el p ro d u c to d e d o s n ú m e ro s p o s itiv o s es p o sitiv o .

INTERVALOS S e a I un s u b c o n ju n to d e IR (I

IR).

D e c im o s q u e I es un in te rv a lo , si y s o lo si es el c o n ju n to d e to d o s lo s n ú m e ro s re a le s q u e está n c o m p re n d id o s e n tre d o s e x tre m o s (q u e p u e d e n s e r fin ito s o id e a le s ), lla m a d o s e x tre m o s in fe rio r y e x tre m o su p e rio r.

a > 0 si y s o lo si a es p o s itiv o a < 0 si y s o lo si a es n e g a tiv o

LEY DE TRICOTOMÍA P a ra c u a lq u ie r n ú m e ro rea l “a ” , un a y s o la m e n te u n a d e las s ig u ie n te s re la c io n e s se c u m p le : a < 0 v a = 0 v a > 0 C o r o la r io . P a ra c u a le s q u ie ra d o s e le m e n to s a, b e IR, una y s o la m e n te un a d e las s ig u ie n te s re la c io n e s se c u m p le : a b

CLASES DE INTERVALOS Si I es un In te rva lo , p u e d e ser: a c o ta d o o no a c o ta d o . In te rv a lo a c o ta d o . Es a q u e l in te rv a lo c u y o s e x tre m o s s o n fin ito s. El c o n ju n to d e lo s n ú m e ro s x q u e s a tis fa c e n la d e s ig u a ld a d a < x < b se d e n o m in a in te rv a lo a b ie rto y se d e n o ta p o r (a ; b ). P o r ta n to :

(a ; b ) = (x / a < x + b}

Á lg e b r a |

: (a ; b) El in te rv a lo c e rra d o d e a a b e s el In te rv a lo a b ie rto (a ; b ) ju n to c o n lo s d o s e x tre m o s d e l s e g m e n to a y b, y se d e n o ta p o r [a; bj. A sí: [a; b] = {x / a < x < b}

x e [a; b]

El in te rv a lo s e m ia b ie rto p o r ia iz q u ie rd a es el in te rv a lo a b ie rto (a : b ) ju n to c o n el e x tre m o d e re c h o b. E s te in te rv a lo se d e n o ta p o r (a : b j; d e m o d o q u e (a ; b] = {x / a < x < b}

Figura 1

x e (a ; b]

S e d e fin e el in te rv a lo s e m ia b ie rto p o r la d e re c h a d e m a n e ra s im ila r y s e d e n o ta p o r [a; b ). A sí: [a; b> = {x / a < x < b}

x e [a; b)

Figura 2

In te rv a lo s no a c o ta d o s . E s a q u e l in te rv a lo d o n d e al m e n o s un e x tre m o e s el id e a l o - cc. (a ; +oc) = {x / x > a} ( - c c ; b ) = {x / x < b} [a; + c c )= {x / x > a} ( - c o ; b ]= {x / x < b} ( —cc; + o o )— IR

Figura 3

xe(-oo;b)

Figura 4 La fig u ra 3 m u e s tra el in te rv a lo (a ; +cc> m ie n tra s q u e la fig u ra 4 p re s e n ta el in te rv a lo ( - c c ; b ). O b s e rv e q u e ( - c c ; +oc) re p re s e n ta el c o n ju n to d e to d o s lo s n ú m e ro s rea les. P a ra c a d a u n o d e lo s in te rv a lo s (a ; b ), [a; b], [a; b) y (a; b] lo s n ú m e ro s a y b se d e n o m in a n e x tre m o s d e l in te rv a lo . El in te rv a lo c e rra d o [a; b¡ c o n tie n e a lo s d o s e x tre m o s , m ie n tra s q u e el in te rv a lo a b ie r to (a ; b ) no c o n tie n e a n in g u n o d e s u s e x tre m o s . El in te rv a lo [a; b ) c o n tie n e a su e x tre m o iz q u ie rd o p e ro no al d e re c h o , y el in te rv a lo (a ; b] c o n tie n e a su e x tre m o d e re c h o p e ro no al iz q u ie rd o . Un in te rv a lo a b ie rto p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o el in te rv a lo q u e no c o n tie n e a s u s e x tre m o s ; p o r el c o n tra rio , un in te rv a lo c e rra d o p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o el in te rv a lo q u e c o n tie n e a to d o s su s e x tre m o s . En c o n s e c u e n c ia , el in te rv a lo [a; +oc) s e c o n s id e ra c o m o un in te rv a lo c e rra d o p o rq u e c o n tie n e a su ú n ic o e x tre m o a. D e fo rm a s e m e ja n te , ( - 00; b] e s un in te r v a lo c e rra d o , e n ta n to q u e , (a ; b ) y ( - c o ; b ) son a b ie rto s . Lo s in te rv a lo s [a; b ) y (a ; b] n o s o n a b ie rto s ni c e rra d o s . El in te rv a lo ( —00¡ + 00) n o tie n e e x tre m o s , y se c o n s id e ra ta n to a b ie rto c o m o c e rra d o .

OPERACIONES CON INTERVALOS

El in te rv a lo (a ; bj se m u e s tra en la fig u ra 1, y el in te rv a lo [a; b ) se p re s e n ta en la fig u ra 2. S e u tili z a rá el s ím b o lo +cc (in fin ito p o s itiv o o m á s in fin ito ) y el s ím b o lo -o o (in fin ito n e g a tiv o o m e n o s in fin ito ); sin e m b a rg o , te n g a c u id a d o en no c o n fu n d ir e s to s s ím b o lo s con n ú m e ro s re a le s , ya q u e n o c u m p le n la s p ro p ie d a d e s d e d ic h o s n ú m e ro s .

-«

S e a n A y B in te rv a lo s , se d e fin e n y se d e n o ta n : A uB ={xE lR /xeA vxeB } AnB ={xeE/xeAAxeB} A - B = {x e IR / x e A a x í B} C A = A c = A ' = {x e IR/ x £ A } A ' = c o m p le m e n to d e A re s p e c to a IR A 1 = IR - A T e o re m a s a d ic io n a le s . S e a n a, b, c, d, x e IR V a e IR; a 2 > O v a , b, c, d e IR+ / a v b

c < d=> a c < bd

a b > O « (a > O a b > 0 ) v (a < O a b < 0 ) a b < O <=> (a > O a b < 0 ) v (a < 0 a b > 0)

+00

a > 0 o

— >0 a

a < 0 »

— <0 a

(a ; +co)

¡ C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Si a y b tie n e n el m is m o sign o:

3x + 3 > 2 x + 5 o 3 x + 3 + ( - 3 ) > 2x - 5 + ( - 3 ) o 3x > 2 x + 2

=> a ' x ' b o - > - > ■ ! a x b a < x < b

0 < x 2 < m á x {a 2; b2} b2 < x2 < a2

« 3x + ( —2x) > 2x + ( —2x) + 2 si 0 < a < b siacO AO cb si a : b < 0

» x > 2 G rá fic a m e n te :

■y

+oc

a+ -> 2;V aeIR + a

L u e g o : C S = [x e IR / x > 2 } = (2 ; + cc)

b + - < 2; V b < : HT b

INECUACIÓN LINEAL

a + b > 2 ab; V a, b e ffi.

F o rm a g e n e ra l:

a 2 + b 2 + c 2 > a b + a c + be; V a, b, c e IR

INECUACIÓN E s un a d e s ig u a ld a d q u e se e s ta b le c e e n tre d o s e x p re s io n e s m a te m á tic a s la s c u a le s tie n e n p o r lo m e n o s un a v a ria b le , la c u a l se d e n o m in a rá in có g n ita . E s ta d e s ig u a ld a d s o lo se v e rific a p a ra a lg u n o s v a lo re s d e te rm in a d o s d e las in c ó g n ita s o ta l v e z n u n c a se v e rifiq u e . P o r e je m p lo , la d e s ig u a ld a d : 2 x + 3 > x + 5 e s u n a in e c u a c ió n p o rq u e tie n e un a in c ó g n ita x, y se v e rific a p a ra v a lo re s d e x m a y o re s q u e 2. T a m b ié n , la d e s ig u a ld a d : s e n (x ) + 2 > 5, e s u n a in e c u a c ió n q u e n u n c a s e v e rific a , p o rq u e lo s v a lo re s de l s e n (x ) e s tá n c o m p re n d id o s en el in te rv a lo [ - 1 ; 1 ] p a ra to d o x real, e n c o n s e c u e n c ia s e n (x ) + 2 e s tá en el in te rv a lo [1; 3] y n in g ú n v a lo r d e e s te in te rv a lo e s m a y o r o ig u a l q u e 5. S o lu c ió n p a rtic u la r. Es a q u e l v a lo r (o v a lo re s ) de la in c ó g n ita (o in c ó g n ita ) q u e v e rific a la in e c u a c ió n . P o r e je m p lo , en la in e c u a c ió n 2 x + 3 > x + 5, una so lu ció n p a rtic u la r es x = 5, pu es 2 (5 ) + 3 > 5 + 5 es cierto . T a m b ié n e n la in e c u a c ió n x + y > 2, p a ra x = 1 e y = 1 la in e c u a c ió n se v e rific a , p u e s 1 + 1 > 2 es c ie rto , lu e g o ( 1 ; 1 ) e s un a s o lu c ió n pa rtic u la r. C o n ju n to s o lu c ió n . E s a q u e l c o n ju n to d e n o ta d o p o r C S q u e a g ru p a a to d a s las s o lu c io n e s p a rtic u la re s (si e x is te n ) d e un in e c u a c ió n . Si la in e c u a c ió n n o tie n e s o lu c ió n , e n to n c e s d ire m o s q u e el C S es el c o n ju n to v acio. R e s o lv e r u n a in e c u a c ió n . S ig n ific a h a lla r un c o n ju n to s o lu c ió n . La re s o lu c ió n se re a liz a s o lo e m p le a n d o p a s o s e q u iv a le n te s , p o r e je m p lo , si q u e rem os:

P (x) = ax + b S 0 |; a f- 0

s ie n d o : a, b e=K E je m p lo : D e te rm in e x en a x + b > 0; a < 0 R e s o lu c ió n : a x + b > 0 => ax + b + ( - b ) > 0 + ( —b) => ax > - b ; a < 0 => “ ( a x ) < ^ ( —b); p u e s I < 0 d d d « x < -b a G rá fic a m e n te : -b/a L u e g o : C S = j x e IR / x < - - | j = / - x ; C rite rio d e los p u n to s c rític o s . Es u tiliz a d o pa ra a n a liz a r la v a ria c ió n d e los s ig n o s d e lo s fa c to re s lin e a le s (de c o e fic ie n te s re a le s ) en un a m u ltip lic a c ió n in d ic a d a . E je m p lo s : 1.

S e a P (x) = (x - 2 )(x - 7) Las ra íc e s de l p o lin o m io son: 2 a 7 U b iq u e m o s e s o s v a lo re s en la re cta real.

— CC

+ 00

La s ra íc e s del p o lin o m io p a rtic io n a n la re c ta IR e n 3 z o n a s (in te rv a lo s ): • x e ( -c e ; 2) = » x < 2 = » x - 2 < 0 A x - 7 < - 5 < 0, lu e g o : (x - 2 )(x - 7) > 0

(2;7)=*2<x < 7 = » 0 < x - 2 < 5 a - 5 < x - 7 < 0 , lu e g o : (x - 2 )(x - 7 ) < 0 x e (7 ; + o o ) x > 7 s x -2 > 5 a x - 7 > O, lu e g o : (x - 2 )(x - 7) > O G rá fic a m e n te : P (x) = (x - 2 )(x - 7)

x e

lg ebr a

P (x) = a x 2 + bx + c S O s ie n d o : a, b, c

a 7A O

R e s o lu c ió n : C o m o (a 0 ) d iv id im o s a a m b o s m ie m b ro s e n tre a, te n ie n d o c u id a d o el p o s ib le c a m b io e n el s e n tid o d e la in e c u a c ió n , e n to n c e s te n e m o s :

—ce 2.

+co

S e a P (x) = (x - 4 )(x + 1)(x - 7), la s ra ic e s son: - 1 , 4, 7. U b iq u e m o s e s to s v a lo re s e n la re c ta real.

-00

—1

+00

L a s ra íc e s de! p o lin o m io p a rtic io n a n a la re c ta IR en 4 z o n a s (in te rv a lo s ) A n a lic e m o s la s v a ria c io n e s . P (x)

x -4

x + 1

x - 7

4 < x < 7

x >7

F a cto r Zona x < -1 -1 < x

a (x 2 + | x + - | ) s 0 C o m p le ta n d o c u a d ra d o s d e n tro de! p a ré n te s is . a ( x2 + 2x( A \ + ^ i _ ^ L + £ ) í 0

' 2a/ 4a2 4a

a | í x

+ b '2 2a /

/ b2 - 4ac j S O ... ( a ) \ 4a

P e ro re c u e rd e q u e b 2 - 4 a c e s el ¡D is c rim in a n te !, d e n o ta d o p o r A = b 2 - 4 a c. V a m o s a re e m p la z a r en (a ) y te n d re m o s :

C o m e n z a re m o s c o n el a n á lis is d e lo s c a s o s p o s i b le s q u e d e p e n d e n de l d is c rim in a n te . C a s o I. S i A = O re e m p la z a n d o e n (I), n o s q u e d a : / b \2 a x+ — S O c a n c e lo a c u id á n d o s e d e la v a ria 2a / c ió n d e sig n o . En e s te c a s o te n e m o s p o r e je m p lo :

-ce

+cc

SI se tra ta rá d e re s o lv e r: P (x) > O, te n d ría m o s q u e : el C S = ( - 1 ; 4 ) u (7 ; +oc) C u a n d o fo rm a m o s la In e c u a c ió n p o lin o m ia l ¡os v a lo re s d e la s ra íc e s del p o lin o m io to m a n el n o m b re d e p u n to s c rítico s. 3.

S e a P (x) = (7 - x )(x - 4) L a s ra íc e s son: 4 y 7 p e ro la s v a ria c io n e s de s ig n o c a m b ia n .

—oo

INECUACIONES CUADRÁTICAS S o n a q u e lla s in e c u a c io n e s d e la fo rm a :

+cc

(x - 2 )2 > O =» C S = IR, p u e s V x e IR , c u m p le al s e r re e m p la z a d a e n la in e c u a c ió n . x 2 - 4 x + 4 > 0 o ( x - 2 )2 > 0 , n o ta m o s q u e se v e rific a x e IR , e x c e p to c u a n d o x = 2. .■. C S = IR - {2 } x 2 - 6x + 9 < O o (x - 3 )2 < O, o b v ia m e n te la in e c u a c ió n tie n e el s ím b o lo q u e h a c e q u e e s ta in e c u a c ió n se a n o v e riflc a b le p a ra a lg ú n v a lo r rea l. C S = 0 (x - 7 )2 < O » (x - 7 )2 = O, e n to n c e s te n e m o s q u e la ú n ic a s o lu c ió n es x = 7. .-. C S = {7} C a s o II. Si A = b 2 - 4 a c > O, re e m p la z a n d o e n (I), te n e m o s lu e g o d e e le v a r al c u a d ra d o y to m a r raíz. x + f f - ^ j s O 2a I 4a 2 1

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

V a m o s a m u ltip lic a r p o r el in v e rs o m u ltip lic a tiv o d e a y a p ro v e c h a n d o la d ife re n c ia d e c u a d ra d o s , q u e d a rá : '

b , Va , b + t^ + — x + „ 2a 2a A 2a

S e a (3 - x )(5 - x) < 0 o (x - 3 )(x - 5) < 0

Va\ -,0 2a

y p a ra re s o lv e rlo a p lic a re m o s el m é to d o d e ¡ P u n to s c rític o s !, v a m o s a v e rlo m e jo r en a lg u n o s e je m p lo s :

.-. C S = <3; 5)

E je m p lo s :

En lo p o sib le , u ste d , ha v is to la s v a ria b le s , a h o ra a n a lic e m o s q u e p a s a c u a n d o (A < 0). En el te o re m a s ig u ie n te :

S e a x - 5 x + 4 > 0, fa c to riz a n d o p o r a s p a sim p le , se tie n e (x - 4 )(x - 1) > 0. Lo s p u n to s c rític o s s e rá n : 1; 4 (q u e s o n v a lo re s q u e a n u lan c a d a fa cto r). R e e m p la z a m o s en la re cta n u m é rica .

T e o re m a (trin o m io p o s itiv o ). S ea : P (x) = a x 2 + bx + c, d o n d e a, b, c e IR a a V 0 S e c u m p le qu e: P (x) > 0, V x e IR » a > 0 A A D e m o s tra c ió n : P (x) = a x 2 + bx + c :

_b_'2 2a

< 0

4ak

E m p e z a m o s d e d e re c h a a iz q u ie rd a c o n el s ig n o + , p u e s lo s c o e fic ie n te s d e x so n p o s iti v o s, a d e m á s to m a m o s la p a rte p o s itiv a , pu es el s ím b o lo e n la in e c u a c ió n es > . L u e g o C S = ( - c c ; 1] u [4; +oo)

T e n e m o s q u e a > 0 y en el b in o m io : (b '2 2a 4a2 (+

S e a x 2 - 4 x - 5 < 0, fa c to riz a n d o q u e d a : (x - 5 )(x + 1) < 0 =» P u n to s c rític o s : 5; - 1

El s ig n o m e n o s con el s ig n o d e l d is c rim in a n te se h a rá to d o p o s itiv o y s u m a d e p o s itiv o s h a rá n q u e P (x) sea sie m p re positivo, c u a lquiera qu e sea x e IR. E je m p lo s : 1.

x 2 + 2x + 3 > 0 Su C S = IR, pues A = 2 - 4 (3 ) = - 8 < 0, y su c o e fic ie n te p rin c i pal es p o sitiv o .

x 2 + 4 x + 7 < 0 => S u C S = 0 , pu es A = 4 2 - 4 (7 ) < 0 y su c o e fic ie n te p rincipa l es p o sitivo = > 0 < x 2 + 4 x + 7 < 0 = > 0 < 0 ¡A b s u rd o ! CS = o

.-. C S = ( - 1 ; 5 ) S e a (x - 2 )(3 - x) > 0 e n to n c e s lo s p u n to s c rític o s son: 3, 2. C u a n d o re e m p la z o e n la re cta no e m p e z a re la v a ria c ió n c o n (+ ), s in o con ( - ) , ¿por qué?

O tra fo rm a : x 2 + 4 x + 7 = x 2 + 4 x + 4 + 3 < 0 (x + 2 )2 + 3 < 0 => C S = 0 N o te q u e e s p o s ib le m u ltip lic a r p o r ( - 1 ) a a m bos m ie m b ro s y nos q u e d a rá ( x - 2 )(x - 3) < 0, a h o ra te n e m o s en la recta.

C S = [2; 3]

U n te o re m a a n á lo g o s e rá el s ig u ie n te : a x 2 + bx + c > 0, V x e IR a; b; c e IR ; a V 0 o a >0 a A <0 T e o re m a (trin o m io n e g a tiv o ). Sea: P (x) = a x 2 + bx + c, s ie n d o a, b, c e IR, a V 0 S e c u m p le qu e: P (x) < 0 , V x e l o a < 0 a A < 0 N o te m o s q u e el p ro d u cto :

Á lg e b r a |

{a <0)

(x l

+ A ) 2_

2a /

4a 2

... P (x)

> o

e s un v a lo r q u e a n u la el fa c to r y q u e re e m p la z a n d o en la in e c u a c ió n o rig in a l te n d ría m o s el a b s u rd o (0 < 0 ), e s to q u ie re d e c ir q u e x = 1 es un v a lo r no s o lu ció n .

In e c u a c ió n p o lin o m ia l d e g ra d o s u p e rio r. Q u e ta l si c o n s id e ra m o s el p o lin o m io d e g ra d o n:

.-. C S = ( - 2 ; 3 ) - {1} Lo m is m o p a sa con x = 7, p e ro c o m o no e s tá e n el C S no le a fe c ta .

P (x) = a nx n + a n _ 1x 11 1 + ... + a-,x + a 0 a 0 d o n d e a n A 0, a d e m á s c a d a a¡ e IR; i = {0; 1; 2; 3; ...; n} C o m o n o s o tro s re c o rd a m o s p o r un c o ro la rio del T e o re m a F u n d a m e n ta l del Á lg e b ra , se tie n e n n ra í ce s la s q u e lla m a m o s x ,, x 2, x 3, x 4 x n.

(x 2 - 4)(1 - x )(x 2 + x + 1 )27(x 2 - 5x - 6 ) > 0 S im p lific a n d o (x 2 + x + 1)27, p u e s x 2 + x + 1 e s p o s itiv o , n o s q u e d a ría (x 2 - 4 )(1 - x)

B ie n , si es q u e to d a s s o n re a le s , p o d e m o s fa c to rizar:

(x 2 - 5x - 6) > 0, p e ro po d e m o s fa cto riz a r y nos qu ed a: (x + 2 )(x - 2)(1 - x)(x - 6)(x + 1 ) > 0

a n(x - x ,) (x - x 2)(x - x 3) ... (x - x „ ) í O E n to n c e s p a ra re s o lv e rla le a p lic a re m o s el m é to d o d e p u n to s c rític o s . P e ro en g e n e ra l p re v ia m e n te ¡sim p lifica r, a lg u n o s fa c to re s d e los q u e ya c o n o c e m o s el sig n o ! P a ra e llo n o te m o s que:

“x

SI: (x - a )2n + 1 > 0 « (x - a) > 0 ; n e lN Si: (x - a )2n + 1 < 0 « ( x - a ) < 0 ; n e I N

n e ZT =s. C V A = C = { x + y i / x e I R

+ GC

(x - 1)2(x - 3 )(x + 2 )(x - 7 )4 < 0. S im p lific a n do (x - 3 )(x + 2 ) < 0 Los p u n to s c rític o s son: - 2 : 3.

—00

—2

y <e IR

E x p re s io n e s fra c c io n a ria s . C o m o la d iv is ió n p o r c e ro no e s tá d e fin id a , e n to n c e s el d e n o m in a d o r no p u e d e s e r ce ro .

de lo c u a l C S = ( - 00; 1] u [2; 3] u [4; +oo> 2.

E x p re s io n e s p o lin o m ia le s P (x) = a 0x n + a^x3 ~ 2 + a 2x n “ 1 + ... + a n; a 0 V 0;

P o r e je m p lo p o d e m o s re s o lve r: 1. (x — 1 )(x — 2 )(x - 3 )(x - 4 ) > 0 Lo s p u n to s c rític o s son; 1; 2; 3; 4.

E s a q u e l c o n ju n to fo rm a d o p o r to d o s lo s v a lo re s q u e g a ra n tiz a n q u e u n a e x p re s ió n m a te m á tic a q u e d e b ie n d e fin id a ; a sí se tie n e lo s s ig u ie n te s c a so s:

=> (x - a )2n + 1 > 0

CONJUNTO DE VALORES ADMISIBLES (CVA)

P ru e b a . Si: (x - a )2n + 1 > 0 » (x - a )2n(x - a) > 0 P e ro (x - a )2n > 0 => x - a > 0 Si: (x - a) > 0 m u ltip lic a n d o p o r (x - a )2n > 0

—00

- 1

L u e g o el C S = ( - * > ; - 2 } u ( - 1 ; 1} u (2 ; 6 ) A n te s d e e s tu d ia r la in e c u a c ió n fra c c io n a ria e irra c io n a l, v e a m o s un c o n c e p to pre vio:

T e o re m a . S ea n: x, a e IR 1. 2.

-2

+00

N o te m o s q u e el C S = ( - 2 ; 3 ), p e ro ¡cu id a d o ! el fa c to r (x - 1 )2, c a n c e la d o , tie n e a x = 1 , qu e

P íx t A s í: f(x ) = - Á - L Q (x )

=» C V A = {x e IR / Q (x ) V 0}

E x p re s io n e s ir r a c io n a le s . E s ta s e x p re s io n e s e s tá n d e fin id a s s o b re lo s re a le s IR, d e m o d o que: n/ f( x ) e IR a. b.

C u a n d o n e s p a r a n e 2 + a n > 2 A f(x ) > 0 C u a n d o n es im p a r A n e Z + A n > 3 A f(x ) <G ( — 0 0 ; + 0 0 )

INECUACIÓN FRACCIONARIA S o n a q u e lla s in e c u a c io n e s q u e se re d u c e n a la s i g u ie n te fo rm a g e n e ra l:

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

.-. C S = [2; 5)

f ( x ) = ^ £ t g 0; ü[Q(x)! - 1

N o ta r q u e en 5 es a b ie rto p o r el C VA.

d o n d e P y Q s o n p o lin o m io s .

ECUACIÓN IRRACIONAL

°[Q (x)]: G ra d o d e Q (x)

S o n a q u e lla s e c u a c io n e s d e la fo rm a : | P (x) = 0 1

R e s o lu c ió n :

d o n d e P es un a e x p re s ió n irra cio n a l.

C o m o Q (x ) # 0 =s Q 2(x) > 0

R e s o lu c ió n :

M u ltip lic a n d o a a m b o s la d o s d e la in e c u a c ió n siP (x ) g u ie n te : ^ ~ - > 0 p o r Q 2(x) se tie n e : Q 2(x)

)

>Q2(X,<01

C o n lo c u a l el s e n tid o d e la d e s ig u a ld a d n o s e a l te ra. L u e g o , s im p lific a n d o s e tie n e : Q (x )P (x ) > 0. E sto ú ltim o s e ría in e c u a c ió n p o lin o m ia l, s ie m p re qu e Q (x) /- 0. E n re s u m e n u n a In e c u a c ió n fra c c io n a ria d e la fo rP ( X) m a: — — 5 0 c o n Q (x ) V 0 U (x ) S e rá e q u iv a le n te a un a In e c u a c ió n p o lin o m ia l: Q (x )P (x ) t í 0: c o n Q (x ) V o. E je m p lo : R e s u e lv a :

3x + 2

6x + 5

P rim e ra m e n te se d e te rm in a el C VA, lu e g o la e c u a c ió n o rig in a l s e re d u c e a o tra e q u iv a le n te m á s s im p le y la s o lu c ió n o s o lu c io n e s d e e s ta ú ltim a e c u a c ió n s e a n a liz a n si e s tá o no c o n s id e ra d o en el C VA.

INECUACIÓN IRRACIONAL E s a q u e lla in e c u a c ió n q u e s e re d u c e a la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l:

P (x) 3 0

d o n d e P e s un a e x p re

s ió n irra cio n a l. R e s o lu c ió n : H a lle el C V A d e P M e d ia n te pa so s e q u iv a le n te s re d u c ir ¡a in e c u a c ió n o rig in a l y o b te n e r un c o n ju n to s o lu c ió n al c u a l le p o d e m o s lla m a r s o lu c ió n p a rti c u la r (S p). P a ra h a lla r el c o n ju n to s o lu c ió n fin a l in te rc e p ta r el C V A c o n la s o lu c ió n p a rtic u la r (S p); es d e cir: C S = S p n C V A

< 0

R e s o lu c ió n : F a c to riz a n d o el n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r s e tie -

(X -2K X -J)

P a ra la re s o lu c ió n d e in e c u a c io n e s d o n d e in te rv e n g a n ra íc e s c u a d ra d a s p o d e m o s a p lic a r lo s s ig u ie n te s te o re m a s :

(x — 5 ) (x — 1) Lo s v a lo re s a d m is ib le s s e rá n to d o s lo s x e IR, e x c e p to 5 y 1. E s d e cir: C V A = IR - {5; 1} P ro c e d e m o s a s im p lific a r:

x - 5

< 0

A h o ra tra n s fo rm a m o s a u n a p o lin o m ia l u b ic a n d o el d e n o m in a d o r e n fo rm a p rá c tic a al la d o de l n u m e ra dor, d e m o d o q u e e s te m u ltip lic a n d o : (x - 5 )(x - 2 ) < 0 E sta in e c u a c ió n se re s u e lv e en b a s e al m é to d o d e lo s in te rv a lo s p a ra u n a in e c u a c ió n c u a d rá tic a :

Teorem as. S e a n a, b & IR, e n to n c e s : /a < b » 0 < a

0< b

a a b2

i a < b o O < a A O < b A a < b z b <

- /a » ( 0 < a A b < 0 )v ( 0 < a A 0 < b A b 2 <a)

b < /a » ( 0 < a A b < 0 ) v ( 0 < a A 0 < b A b 2 <a)

Adem ás

p o d e m o s a p lic a r la s ig u ie n te

p ro p ie

da d: c u a n d o u n a e x p re s ió n n/ f ( x ) se e n c u e n tra n m u ltip lic a n d o a o tra s e x p re s io n e s m a te m á tic a s en un s o lo m ie m b ro y se tie n e c e ro en el o tro m ie m b ro , e n to n c e s : Si n es par, se s im p lific a to d a la e x p re s ió n p o r s e r p o sitiv a .

Si n es impar, se reemplaza n/f(x ) por el ra dicando f(x); es decir se elimina el símbolo radical.

E s de cir, el re s u lta d o d e a p lic a r v a lo r a b s o lu to a un a e x p re s ió n m a te m á tic a n o s d a rá c o m o re s u lta d o s ie m p re u n a e x p re s ió n p o sitiv a .

1. 2.

[2;+co>

b) V x - 2 (x2 - 3x + 2) > 0 « x2 - 3x + 2 > 0 « (x x e

2)(x - 1) > 0

3. 4. 5.

CS = Sp n CVA = [2;

+oo)

6. 7.

Ejem plo: Resuelva: Áx - 1

5-lx-

2 < 0

R e s o lu c ió n : Eliminamos los radicales por ser de índice impar, así: (x - 1)(x - 2 ) < 0 CS = [1; 2]

VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real x, se define como aquel número real no negativo que se denota por |x|: donde: J x; si x es positivo o cero 'x' { - x ; si x es negativo

/ x 2 = |x| ; v x e IR A d e m á s , si x, y e IR , e n to n c e s :

( —oo¡ 1] u [2; +oo) = Sp

IM 8 . |x + 9. |x + 10 . |x +

=> CVA =

~x~

CVA: x - 2 > 0 s x > 2

R e s o lu c ió n :

|x| > 0 ; V x g IR |x |2 = x 2 ; v x e l |x| > x ; V x e E | - x | = |x| ; v x e l

Á c - 2 ( x 2 - 3x + 2) > 0

En ta l s e n tid o , e n u n c ia m o s la s s ig u ie n te s p ro p ie d a d e s:

Ejem plo:

lg e br a

= — Iy y| < y| = y| <

;y + o I |x| + |y| « x, y e E |x| + |y| « x y > 0 |x¡ + |y| « x y < 0

E c u a c io n e s c o n v a lo r a b s o lu to . S o n e c u a c io ne s q u e se re d u c e n a la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l: | A (x ) = 0 | d o n d e A es u n a e x p re s ió n c o n v a lo r a b so lu to . S e p u e d e n u s a r lo s s ig u ie n te s te o re m a s :

1. 2.

|x| = a « (x = a v x — ~ a ) |x|= |b| « x = b v x = -b

a >0

E jem plos: |5| = 5; solo se borran las barras, pues 5 es positivo. |—3| = - ( - 3 ) = 3; al borrar las barras se cam bia de signo, de - 3 a 3, pues - 3 es negativo.

In e c u a c io n e s c o n v a lo r a b s o lu to . S o n a q u e lla s in e c u a c io n e s q u e se re d u c e n a la s ig u ie n te fo rm a g e n e ra l: A (x ) S 0 D o n d e A e s un a e x p re s ió n c o n v a lo r a b so lu to . A q u í te n e r en c u e n ta lo s s ig u ie n te s te o re m a s :

O bservación: Sea x = g - a, reemplazando en la definición, se tiene: r g - a; si (g - a) es positivo o cero |g - a| = j _ s¡ ^ _ a) es negativ0

1. 2. 3. 4.

|x| b |x| > b

o b>0 A -b < x 0 A —b < x b V x < -b o x > b v x < -b

E je m p lo s : Entonces: r g - a ; g es mayor que a a - p; p es menor que a

a' ~ { Ejem plo:

-Í2- 11= fl - 1; pues (2 es mayor que 1 ¡1 - Í3 | = /3 - 1; pues 1 es menor que ¡3

R e s u e lv a : 1. |x| < 5 « —5 < x < 5 o C S = ( —5; 5) 2. |x| > 7 o x > 7 V x < - 7 C S = ( —co; —7 ) U ( 7 ; +oo) 3. |x + 3| < 9 o - 9 < x + 3 < 9

o - 1 2 < x < 6 « C S = [—12; 6] |x - 2| > 5 » x - 2 > 5 v x - 2 < - 5

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

R e s o lu c ió n :

o x > 7 v x < -3 o x > 7 v x < -3 C S = { — —3] u [7; +nc)

te te o re m a :

- 3 < 0

x 2 + 2x + 6 D a n d o c o m ú n d e n o m in a d o r y m u ltip lic a n d o

P a ra e lim in a r un v a lo r a b s o lu to g e n e ra lm e n te e s te d e b e e le v a rs e al c u a d ra d o , así te n e m o s el s ig u ie n |x| £ íy| «

3x + 2

E fe c tu a n d o :

. 2 x 2 + 9x + 16 . n p o r - 1: — >0 x + 2x + 6

x2 í y2

(« )

A d e m á s : x 2 + 2x + 6 = (x + 1 )2 + 4, e n to n c e s s ie m p re es p o sitivo .

También: 2x2 + 9x + 16 = 2 [(x 2 + -|x +

EJERCICIOS RESUELTOS

S ix e s m ú ltip lo d e 1 7 q u e s a tis fa c e la s s ¡g u ¡e n te s

16/

+ -7 Á]

16 J

(2 x 2 + 9x + 16) = 2 ( x + f f + ^ 4/ 18’ e n to n c e s s ie m p re es p o sitiv o .

5 ( x 2 - 1 15x — 6 0 0 ) ■< 1 d e s ig u a ld a d e s : 0 < ■ x (x + 5)

( a ) s ie m p re se c u m p le pa ra c u a lq u ie r v a lo r d e x n ú m e ro real.

H a lla r el v a lo r d e x. R e s o lu c ió n : R e p re s e n ta n d o c o n v e n ie n te m e n te :

5 ( x - 12 0) (x + 5) ■

x (x + 5)

H a lla r la s o lu c ió n d e la d e s ig u a ld a d : (4 x + 8 )(x 2 - 1 ) ---------------------------- < - 1 : d o n d e ; x =7 1 x - 1

< 1

S im p lific a n d o y te n ie n d o p re s e n te q u e x es m ú ltip lo d e 17 p o sitiv o :

R e s o lu c ió n :

5 (x - 120)

(4 x + 8 )(x + 1 )(x — 1) + 1 < Q

>0 = x

E x p re s a n d o c o n v e n ie n te m e n te :

120

(x — 1 ) 5 (x - 120)

D e d o n d e : (4x + 8)(x + 1) + 1 < 0 M e jo r aú n: 4 x 2 + 12x + 9 < 0 Q u e se p u e d e e s c rib ir: (2 x + 3 )2 < 0 Lo cual es a b s u rd o ya q u e pa ra to d o n ú m e ro al c u a d ra d o s ie m p re s erá m a y o r o igual q u e cero.

< 1 =* x < 150

E n to n c e s un m ú ltip lo d e 17 en el in te rv a lo : 120 x 150 se rá : .-. x = 136 2.

H a lla r la s o lu c ió n d e la in e c u a c ió n : - x 2 + 8x - 7 > 0

R e s o lu c ió n : S e tie n e : - x 2 + 8x - 7 > 0 M u ltip lic a n d o la d e s ig u a ld a d p o r - 1 : x 2 - 8x + 7 < 0 A (x — 7 )(x — 1) < 0 P o s ib ilid a d e s : x - 7 > 0 A x - 1 < 0 x 7 x< 1 • x - 7 < 0 ax - 1 >0 x < 7 x> 1 S o lu c io n a n d o la in e c u a c ió n : x < 7; x > 1

R e s o lv e r la in e c u a c ió n :

3 x 2 + 2x > 0 y x 3 + x 2 + x < 0 R e s o lu c ió n : E x p re s a n d o c o n v e n ie n te m e n te : ...(1 ) x (3 x + 2 ) > 0 1 \2 3 <0 X+ 2) + 4 D e (1): x 0

3x + 2

...(2)

X> 0AX >

=* x > 0

C S = (1 ; 7 ) 3.

H a lla r lo s v a lo re s re a le s d e x q u e s a tis fa c e n s im u ltá n e a m e n te la s d e s ig u a ld a d e s :

x 2 - 3x + 2 x2 + 2x + 6

x < 0 < 3

3x + 2 < 0 ; x < 0 a x < - |

D e (2): x

a ) x E (5: +oo) c) x g [ - 5 ; + co) e) N. A.

< O

S ie m p re s e rá po sitivo. E n to n c e s la s o lu c ió n ún ica : x < 0 D e (1) y (2): in te rs e c ta n d o s o lu c io n e s :

-2/3

-o —

b) x e ( - o c ; 5) d) x e ( - o o ; - 5 ;

Resolver: 3ax a2 - 1 a + 1 '

a- 1

;a > 1

S e ñ a le su c o n ju n to s o lu ció n .

2/3

lg e br a

-o —

a) ( 1 ; + oc) c) IR — [1; +oo) e) N. A. R e s o lv e r: 2x a) x

( - oo;

b) x g o

d )< -c c ; 1]

—-— < 7 - x H — x - 3 x - 3 b) x g (5 ; + oo) d) x g ( - o c ; 5] - { 3 }

c ) x e (9 ; 10)

S o lu c ió n d e l s is te m a : x < - -

e ) x e (3 ; 5 )

□ 1.

E JERC IC IO S

propuesto s"

R e s o lv e r: x - 8

a) x g [ 6 ; 9 ) c) x e [9; 9] e) N. A.

R e s o lv e r: Á + Á + Á < i + 5 2 3 4 6 In d iq u e el m a y o r v a lo r e n te ro q u e la v e rifica . a) 0 d) 6

b) 5 e ) no e x is te

R e s o lv e r: ^ — i + -5x

c) 3

- 2

b) 2 e) 1

c) a

R e s o lv e r: a(x - b) - b(x - a ) < a 2 - b2; a < b S e ñ a la n d o el m e n o r v a lo r q u e p u e d e te n e r x. a) a d) b

b) a + b e) - b

R e s o lv e r: 0 < a < b 2 bx /a + b r 1, , a -

b) x g [9; +oc) d ) x G [ - 9 ; +oo) - { 6}

R e s o lv e r: x 2 - 10x + 16 > 0

a) b) c) d) e)

R e s o lv e r:

b) b e) a

10. R e s o lv e r: 2 x 2 + 5x - 12 < 0 c) - 3

a (x + b) + b(x - a) > a 2 - b2; a < b < 0 S e ñ a la n d o el m a y o r v a lo r q u e p u e d e te n e r x. a) - a d) 2

10 - x +

a) x g ( - c c ; 2 ) u ( 8 ; +oo) b ) x e ( 2 ; 8) c ) x g IR d) x g ( - 2 ; - 8) e) N. A.

S e ñ a le un v a lo r q u e la v e rific a . a) -1 d) 0

12 x - 6

11.

x g ( - 4 ; 3 /2 ) x g ( —ce; —3 /2 ) u (4 ; -feo) x g ( —cc; —4 ) u (3 /2 ; +cc) x g IR N. A.

R e s o lv e r: x - 14x < - 4 9 a) x e (7 ; +oc) c) x e ( - c c ; 7 ) e) x g o

b) x g ( - 7 ; +cc) d ) x g ( —oc; - 7 )

12. R e s o lv e r: x 2 - 2 0 x < - (25 + 3 x 2) a ) x g IR c) x g o e ) x g IR - {2 /5 }

c) -

13.

b; x G

d) x

R e s o lv e r: x 2 + x < 1 - x a ) x g [ - 1 - Í2\ - 1 + Í2\

IR - {5 /2 } {5 /2 }

¡ C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

b) x e

( -0 0 ;

a) -2 1 d) - 2 4

- 1 - / 2 ) u [ - 1 + /2 ;+ o o )

c)xe 1 -[-1 -/2;-1

+12]

d ) x e IR - { - 1 - / 2 ; 1 + Í 2 ) e ) H a y 2 c o rre c ta s

a)xe<2;+oo)

d)xe0

e ) N .A

5 - / 2 Í 5 + / 21 20 . R e s o lv e r: |x + 1| > 2 s e ñ a la r el m e n o r v a lo r e n te ro p o s itiv o q u e v e rific a la in e c u a c ió n . a) 0 d )3

15. R e s o lv e r: 3 x 2 + x + 8 > 0 a) b) c) d) e)

x x x x x

e (1 - <2\ 1 + ( ) e IR e0 g IR - { 1 - Í2 \ 1 + 1 2 } e IR - {2}

16. R e s o lv e r: 5 x 2 - 2 x + 1 0 < 9 a) x e I R b ) x e ( l - Í 3 ; 1 + V3> c) x g I R - (1 - Í 3 ; 1 + Í 3 ) d) x G 0 e) N.A.

21 .

22 .

c) 2

R e s o lv e r: |2x + 3| > 7, d e te rm in a r el n ú m e ro d e v a lo re s e n te ro s q u e no v e rific a n la In e c u a c ió n . b) 2 5 e)

c) 4

R e s o lv e r: |2x + 5| < 3; In d ic a r la s u m a d e las s o lu c io n e s e n te ra s. a) - 1 d ) —10

c) - 6

b) - 3 e ) —12

23. R e s o lv e r: ¡3x + 4¡ < 5 s e ñ a la r la m e n o r s o lu c ió n e n te ra . a) - 5 d) - 2

b) x e [ 5 ; + 0 0 ) d)xe(-o=;5]

18. R e s o lv e r: (x + 21 )2 + (x + 2 2 )2 > (x + 2 3 )2 d a r c o m o re s p u e s ta el m e n o r v a lo r e n te ro q u e no v e rific a la in e c u a c ió n .

b) 1 e )4

a) 1 d)

17. R e s o lv e r: (x - 1 )2 - x 2 > - (x - 2 )2 d a r el c o n ju n to no so lu ció n . a) x e [ 1 ; 5] c ) x e ( - c o ; 1] e ) x g {1 , 5)

b)xe(-3;3> djxeIR

c)xe(-3;+oc) e) N .A .

a ) x e { - 5 -- Í 2 Í ; - 5 + V21) c) x e

c) - 2 3

19. R e s o lv e r: x — 3> ' 7- < 3 x + 2x + 5

14. R e s o lv e r: x 2 - 5x + 1 < 0

b) x e IR

b) - 2 2 e ) N.A.

tn y > < j U

1. b 2. b 3. e 4. b 5. a

b) - 4 e) - 1

6. c 7. 8. 9. 10.

d b a a

11. e 12. d 13. a 14. c 15. b

c) - 3

16. 17. 18. 19. 20 .

d e a d b

21. e 22. d 23. d

PROGRESIONES PROGRESION ARITMETICA (PA) E s u n a s u c e s ió n d e n ú m e ro s , en la c u a l c a d a uno d e e llo s se o b tie n e s u m á n d o le al a n te rio r un a c a n tid a d c o n s ta n te lla m a d a razón. S ím b o lo s : tp p rim e r té rm in o tn: té rm in o d e lu g a r n o e n é s im o té rm in o r: razón n: n ú m e ro d e té rm in o s S n: s u m a d e n p rim e ro s té rm in o s . R e p re s e n ta c ió n d e un a p ro g re s ió n a ritm é tic a : ^ ti, l 2. *3. tn - 1 . tn P o r d e fin ic ió n : tn = tn _ -i + r De donde:

PROPIEDADES V a lo r d e un té rm in o c u a lq u ie ra : tn = t, + (n - 1 )r E n una PA la s u m a d e d o s té rm in o s e q u id is ta n te s d e lo s e x tre m o s es ig ua l a la s u m a de lo s e x tre m o s . S e a la PA: e t, ... tp ... tq ... t n S ie n d o tp y tq e q u id is ta n te s d e los e x tre m o s : ti + tn - tn + tn 3.

M e d io s a ritm é tic o s o d ife re n c ia le s : s o n los té r m in o s d e un a PA, c o m p re n d id o s e n tre sus e x tre m o s: -t t , .................... t„ m m edios aritm éticos In te rp o la c ió n d e m e d io s a ritm é tic o s : es la o p e ra c ió n q u e c o n s is te en fo rm a r un a PA c o n o c ie n d o los e x tre m o s y el n ú m e ro de m e d io s a in te rp o la r. S e a n lo s e x tre m o s a y b y m el n ú m e ro d e m e d io s . a m + 1

La ra z ó n d e in te rp o la c ió n es:

| r = tn — tn _ |

La p ro g re s ió n a ritm é tic a es c re c ie n te c u a n d o la ra z ó n e s p o s itiv a y es d e c re c ie n te c u a n d o la ra z ó n e s n e g a tiv a

S n = [2 t 1 + ( n - 1 ) r ] i

S n = (ti + t „ ) i

En un a PA d e un n ú m e ro im p a r d e té rm in o s el té rm in o c e n tra l es ig u a l a la s e m is u m a d e los e x tre m o s :

ti + tn

E je m p lo s : 1. En u n a PA s e c o n o ce :

t 3 + t 6 = 57 t 5 + t 10 = 99 h a lla r la ra z ó n y el p rim e r té rm in o .

R e s o lu c ió n : P o r la fó rm u la tn - l 1 + (n - 1 )r: +

t 3 = t, + 2 r t 6 = t i + 5r

t 3 + tg — 2 ti + 7 r - 57 t í - ti + 4 r

tío = tg + t 3o — 2t-i + 13 r — 9 9

...(2 )

R e s ta n d o (2) - (1) : 6r = 4 2 ; r = 7 E n (1): 2 t, + 7 X 7 = 57; 2 t, = 8 ; t, = 4 r = 7, t-i = 4

tcentrat

En un a PA d e tre s té rm in o s , el s e g u n d o té rm i no es m e d ia a ritm é tic a e n tre los o tro s dos. S e a la PA: 3- t 1f t2, t 3

En la PA: e ..., 5, 47 , .... 159, el n ú m e ro d e té rm in o s q u e h a y e n tre 4 7 y 159 e s trip le d e l n ú m e ro d e té rm in o s q u e ha y e n tre 5 y 47. H a lla r la ra z ó n d e e s ta p ro g re s ió n . R e s o lu c ió n :

ti + h

...( 2 )

La s u m a d e los n p rim e ro s té rm in o s d e una p ro g re s ió n a ritm é tic a es ig u a l a la s e m is u m a d e los e x tre m o s , m u ltip lic a d a p o r el n ú m e ro d e té rm in o s . E s de cir:

C o n s id e ra n d o la PA d e ra z ó n r: , 159 P o r da to : -r 5 , ......4 7 , n

D e in te rv a lo con e x tre m o s 5 y 4 7 4 7 - 5 = 42 r = O) n + 1 n+ 1

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

S n: s u m a d e n té rm in o s . P n: p ro d u c to d e n té rm in o s

D el In te rv a lo con e x tre m o s 4 7 y 159: 159-47 112 ...( II) 3n + 1 3n + 1 c o m o se tra ta d e la m is m a P.A. (I) y (II) son 42 112 ; de donde: ig u a le s , e n to n c e s : n + 1 3n + 1 42 = 7 5 + 1

n = 5; s u st. en (I): r

.-. r = 7

El g u a rd iá n d e un p o zo d e un a h a c ie n d a ha p la n ta d o a p a rtir d e l po zo , ca d a 5 m e tro s y en la d ire c c ió n n o rte , un to ta l d e 2 7 á rb o le s y p u e d e s a c a r a g u a de l p o zo c a d a v e z pa ra el rie g o d e un s o lo á rb o l. ¿ C u á n to tie n e q u e a n d a r pa ra re g a r los 2 7 á rb o le s, s a b ie n d o q u e d e po zo al p rim e r á rb o l h a y 8 m d e d is ta n c ia ?

R epresentación de una progresión geom étrica; ■H- t| : t 2 : t 3 : ... : tn _ i : tn

c Y lo ta /:-

La razón de una PG se halla dividiendo dos tér minos consecutivos. PROPIEDADES Un té rm in o c u a lq u ie ra :

R e s o lu c ió n : 31.

„ —1 -5 m —( - 5 m —1 -5 m —| -

S e a la PG : = t , . t2

El e s p a c io q u e re c o rre p a ra lle v a r a g u a al p rim e r á rb o l y re g r e s a r al p o z o e s: 8 + 8 = 16 m. El e s p a c io q u e re c o rre p a ra lle v a r a g u a al s e g u n d o á rb o l y re g re s a r al p o z o es: 13 + 13 = 2 6 m.

P ara el te rc e r á rb o l: 2 6 + 10 = 36 m.

tn = t iq n

( 1)

La ra z ó n d e un PG el p ro d u c to d e d o s té rm i n o s e q u id is ta n te s d e lo s e x tre m o s es ig u a l a p ro d u c to d e los e x tre m o s .

,.............................

P o r d e fin ic ió n : tn = tn _ -¡q

tp .... tq .... tn _ -|. tn

d o n d e tp y tq son e q u id is ta n te s d e los e x tre m o s tp tq

A sí, s u c e s iv a m e n te .

t-| tn

En un a PG d e un n ú m e ro im p a r d e té rm in o s el té rm in o c e n tra l es ig ua l a la ra íz c u a d ra d a del p ro d u c to d e los e x tre m o s .

La d is ta n c ia to ta l re c o rrid a es: S = 16 + 2 6 + 3 6 + ... C o m o la s u m a es d e 2 7 s u m a n d o s :

En u n a PG d e tre s té rm in o s , el s e g u n d o té rm i no e s m e d ia g e o m é tric a e n tre el p rim e ro y el te rc e ro . S ea : +- t-i : t 2 : t 3

S 27 = (2 t, + 2 6 r) 2 7 /2 ; sust. d a to s: S 27 = (2 v 16 + 26

10) 27 /2 ; e fe c tu a n d o :

S 27 = 3 9 4 2 m.

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (PG)

t 2 — Vt-j t 3 5.

Es u n a s u c e s ió n d e n ú m e ro s en la c u a l el p rim e r té rm in o es d is tin to d e c e ro y c a d a u n o d e lo s té r m in o s s ig u ie n te s s e o b tie n e m u ltip lic a n d o al a n te rio r p o r u n a c a n tid a d c o n s ta n te , lla m a d a ra z ó n d e ¡a PG . S ím b o lo s : t¿ p rim e r té rm in o tn: té rm in o d e lu g a r n o té rm in o e n é s im o q: razón n: n ú m e ro d e té rm in o s

En un a PG lim ita d a d e n té rm in o s , el p ro d u c to d e s u s té rm in o s e s ig u a l a la ra íz c u a d ra d a del p ro d u c to d e s u s e x tre m o s , e le v a d o al n ú m e ro d e té rm in o s d e la PG . J( ti tn)n

La s u m a d e lo s n p rim e ro s té rm in o s d e un a P G lim ita d a , es: q tn ~ t;

q —1

(2 )

P o r fó rm u la : t 3 = L q 2

t i d n ~ 1q - ti Sn = — ; de donde:

q- 1

S u s t. d a to s : 1 = — q 2 =>

= -Í2

qn- 1

s u s titu y e n d o :

P o r la fó rm u la : tn = t-iqn

,n -

2 5 6 = j - i y / 2 )' El lím ite d e la s u m a d e los té rm in o s d e un a P G d e c re c ie n te ilim ita d a es ig u a l al p rim e r té r m in o d iv id id o e n tre la d ife re n c ia d e la u n id a d y la razón : S L =

R e s o lu c ió n :

S ustitu ye n d o (1) en (2), se ob tie ne otra fórm ula:

lg ebr a

n -1

5 1 2 = ( / 2 )'nr 1 =, 29 = ( 2 ) 2 ; d e do nd e:

18 = n - 1 .-. n = 19

ti 1 -q

En u n a PG el p rim e r té rm in o es 7, el ú ltim o es 4 4 8 y la s u m a 889. H a lla r la ra z ó n y el n ú m e ro de té rm in o s .

p a ra un a P G d e c re c ie n te : 0 q < 1 cuando n -> co (se lee: n tie n d e a Infinito).

R e s o lu c ió n :

M edios geom étricos o proporcionales: son los té rm in o s d e un a PG c o m p re n d id o s e n tre s u s e x tre m o s :

P o r la fó rm u la : tn = ^ q " “ 1; s u stitu ye n d o da tos: 4 4 8 = 7 q n “ 1 => 6 4 = q n/q, d e d o n d e :

:: t ' ^ - t , -

q n = 64 q

m medios geométricos

. . . ( 1)

/ nn - 1 \ P o r la fó rm u la : S n = t 3 ÁL '

q —1

In terpo lar m edios geom étricos entre dos n úm e ros dados. E s fo rm a r un a PG e n tre d ic h o s n ú m e

qn- 1\

S ust. d a to s : 88 9

ros. S e a n los n ú m e ro s a y b y el n ú m e ro d e m e d io s m, la p ro g re s ió n g e o m é tric a será. + a : .......: b

127 :

qn - 1

q-1

...(2)

64q - 1

S u s titu y e n d o (1) en (2): 127 = — — — ; de

La ra z ó n de In te rp o la c ió n es:

q-1

donde: q = 2

Ejem plos:

S u s titu y e n d o en (1):

2 n = 6 4 x 2 = 128 = 2 7 .-. n = 7

H a lla r el té rm in o d e lu g a r 16 en la PG : „ 1 . 1 . 1 . 256'128'64"" R e s o lu c ió n : D ato s: t, =

25 6

n = 16; q = 2

1 t/o \1 6 - 1

El lím ite d e la s u m a d e los té rm in o s d e la PG /

tío = 128 2.

El lim ite d e la s u m a d e lo s in fin ito s té rm i n o s d e u n a P G d e c re c ie n te e s el d o b le d e la s u m a d e s u s n p rim e ro s té rm in o s . H a lla r la ra z ó n . R e s o lu c ió n :

A p lic a n d o la fó rm u la : tn = t,q n S e tiene : t 1B =

En u n a P G se c o n o c e q u e : t, = 1/2, t 3 = 1 y t n = 2 5 6 , h a lla r la ra z ó n y el n ú m e ro d e té r m in o s .

in fin ita es: lim S =

1 -q

...(1)

s ie n d o la s u m a d e los n p rim e ro s té rm in o s : Sn =

t ,(1 - q n) 1-q

...(2)

P o r c o n d ic ió n del p ro b le m a : 2 S n = llm S

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

S u s titu y e n d o (1) y (2) e n e s ta c o n d ic ió n del p ro b le m a : 2 t-,

2(1 - q n) = 1

M -q n

) 1 - q /

1- q

s im p lific a n d o :

a) n d) - 4 n 2

q " = L ; d e d o n d e : q = nJ í

□

b) 1,2 e) 3

c) 1,5

b) 16 e) 32

a) 4 d) 15 c) 20

L o s té rm in o s d e lu g a re s 2a y 2 b d e u n a p ro g re s ió n g e o m é tric a son, re s p e c tiv a m e n te , m 2 y n2, ¿ C u á l e s el té rm in o d e lu g a r a + b? a) mn d ) (m - n )2

b) (m n )2 e ) m 2 n‘

c) m n /2

b) n ■ e) n

11.

c) 38

b) 9 e ) 14

c) 11

c) n + 3

b) 5 e) 4 5

c) 10

En u n a p ro g re s ió n a ritm é tic a se c o n o c e que: a 7 = 10 y a 10 = 7. C a lc u la r el té rm in o a 15 a) 3 d) - 3

b) 2 e) 0

12. H a lla r la s u m a : S = 7 + 13 ( 6n + 1 ) a) n 2 + 2 n d) 2 n 2 - 3n

D e un a P .A s e tie n e : S n - a n = (n - 1)(n + 3); d o n d e : a n: té rm in o g e n e ra l S n: s u m a d e lo s n p rim e ro s té rm in o s SI n es im par, p ro p o rc io n a r el té rm in o c e n tra l. a) n + 1 d) n + 4

b) 39 e ) 32

10. In d ic a r el m e n o r d e 4 n ú m e ro s e n P.G. s a b ie n d o q u e la s u m a d e s u s e x tre m o s e s 14 0 y la s u m a d e lo s té rm in o s c e n tra le s e s 60.

Según: (x - 3 ) : x : (x + 12) y: Jx : (y + 3) 2 y : 2 x : z; c a lc u la r z a ) 12 d ) 24

c )1

La s e d a d e s d e un p a d re y s u s d o s h ijo s e s tá n en p ro g re s ió n g e o m é tric a ; el p ro d u c to d e to d a s la s e d a d e s e s 13 31 . In d ic a r la e d a d del h ijo m a yo r. a) 7 d) 13

b) 10; 30; 60 , 90 d) 120, 90; 60, 30

b) 4 e ) 1/4

El té rm in o en la posición 17 de: te 8 : 32 :1 2 8 :... es ig u a l a 2 k. S e ñ a la r el v a lo r d e k. a ) 41 d ) 35

M o s tra r lo s c u a tro m e d io s g e o m é tric o s in te r p o la d o s e n tre 160 y 5. a ) 5: 10, 20 ; 4 0 c) 80, 40, 20, 10 e ) 10, 30, 90 , 120

D a d a la p ro g re s ió n a ritm é tic a :

a) 2 d ) 1/2

Si a lo s n ú m e ro s 3; 7 y 13 se le s s u m a una m ism a c a n tid a d re s u lta , en e s e o rd e n , una p ro g re s ió n g e o m é tric a . D e te rm in a r la ra z ó n d e d ic h a p ro g re s ió n .

c) 6n

1 1 1 , o b te n e r: -b b + c c + a

E JE R C IC IO S PROPUESTOS

a ) 0,6 d) 2,5

b) - 3 n 2 e) 1 2 n 2

1 -q " = ~ 7.

q =

En la p ro g re s ió n : + a, b, c, d la s u m a d e sus té rm in o s es n y la ra z ó n e s 2n . H a lla r: a 2 - d 2

b) 2 n + 3n e) 3 n 2 - 4n

c) - 2

19 + 25 c) 3 n 2 + 4 n

13. D e u n a p ro g re s ió n a ritm é tic a se s a b e que:

a3 + a5 = 57 a 5 + a 10 = 9 9

¿ A q u é In te rv a lo p e rte n e c e la ra z ó n ? a ) [0; 6 > d ) < 6 ; 7]

b) < 0 ; 5] e) < - 1 ; 0 >

c) < 5 ; 7 >

14. En un a P.A la ra z ó n y el n ú m e ro d e té rm in o s so n ¡guales, la s u m a d e lo s té rm in o s e s 15 6 y la d ife re n c ia d e lo s e x tre m o s e s 30. C a lc u la r el ú ltim o té rm in o . a) 29 d ) 39

b) 35 e ) 41

c) 37

15. P ro p o rc io n a r la s u m a d e lo s 2 0 p rim e ro s té r m in o s d e la s ig u ie n te p ro g re s ió n d e c re c ie n te : -^ x 2, 2x, 3, ... a) -5 0 0 d) -3 9 0

b) - 4 2 0 e) -2 8 0

c) -4 0 0

a) 2 d )5

b) 3 e)6

a) 6 d )3

b) 5 e) 2

c) 4

ca, a d e m á s : a - d = 7, c a lc u la r: (a - c )2 + (b - c )2 + (b - d )2 a ) 91 d ) 19

b) 49 e ) 14

c) 34

19. S i al s o lta rs e un a p e lo tita d e s d e 1 m e tro de a ltu ra , e s ta a d q u ie re e n c a d a re b o te lo s 3/4 d e la a ltu ra a n te rio r, c a lc u la r la d is ta n c ia q u e re c o rre h a sta q u e s e d e tie n e . b) 6 m e) 3 m

c) 5 m

20. S u m a r:

1+/ l _ i U ( i - l W 1 2

c) 4

17. En la p ro g re s ió n : a 3, 30 p el n ú m e ro d e té rm in o s c o m p re n d id o s e n tre 3 y 3 0 es ig ua l al n ú m e ro d e lo s c o m p re n d id o s e n tre 30 y p. C a lc u la r la ra z ó n si a d e m á s la s u m a d e to d o s lo s té rm in o s e s 570.

18. S i: a; b; c; d e s tá n e n p ro g re s ió n g e o m é tri

a) 7 m d) 4 m

16. S e in te rp o la n 5 m e d io s a ritm é tic o s e n tre lo s n ú m e ro s 4 y 2 2 . C a lc u la r la ra z ó n d e in te rp o la ción

lg ebr a

a) d)

31 \4

2/ 3

1. c 2. c 3. e 4. a

1 ' ' / 1

12/

\ 16

b) 4/ 3 2 e) 3 5. 6. 7. 8.

d b d d

9. c

10 . b 11. b 12. c

1 '> 24/

c) 8/ 3

13. 14. 15. 16.

c e d b

17. d 18. b 19. d 20 . b

LOGARITMOS S e a n A real, n g IN ta l q u e A n > 0

LOGARITMOS EN LOS REALES

lo g aA n = n lo g a|A|

T e o re m a d e e x is te n c ia y u n ic id a d d e l lo g a ritm o P a ra to d o p a r d e n ú m e ro s re a le s a y b ta le s q u e a > 0 , a # 1 y b > 0 , e x is te un ú n ic o n ú m e ro rea l x, q u e c u m p le : ax = b.

S e a A real, ta l q u e A > 0, n g IN, n > 2 l° 9 a nÍ A = ^ lo g aA

D e fin ic ió n d e lo g a ritm o . S e a n lo s n ú m e ro s re a le s a y b, si a > 0 , a # 1 y b > 0 , el n ú m e ro rea l x se d e n o m in a lo g a ritm o de l n ú m e ro b en b a s e a y se d e n o ta p o r lo g ab si y s o lo si a x = b.

S e a A real, ta l q u e A > 0, m g IR A n G l R lo g an A m = — lo g aA ; n ¿ 0

: lo g ab <=> ax = b

C o ro la rio . S i se e le v a a u n m is m o e x p o n e n te m (o se e x tra e ra íz e n é s im a ) la b a s e y n ú m e ro de l lo g a ritm o , el v a lo r d e l lo g a ritm o no se a lte ra .

D o n d e : a: b a s e d e l lo g a ritm o b: n ú m e ro de l lo g a ritm o x: lo g a ritm o d e b en la b a se a

lo g aA = lo g amAm = lo g n - n/A ; A > 0 E je m p lo s : 1.

2 = lo g 39 o

32 = 9

Si A > 0 A B > 0 lo g aA = lo g aB » A = B C a m b io d e base: D a d o lo g ab e IR S ea : c > 0 a c / 1

lo g c b

lo g ab =

lo g ca

PROPIEDAD lo g a1 = 0 lo g an a = 1/n !o g aa = 1

lo g aa n = n lo g anam = m/n

lo g ba = (lo g ab) 1

lo g ab

a #1

R e g la d e la c a d e n a . Si: Id e n tid a d fu n d a m e n ta l d e l lo g a ritm o S i a > 0, a # 1

3 '°a35 = 5

a b > 0 s e c u m p le : •

a logab = b

( 2 x )log2xa = a

T e o re m a s . S e a la b a s e rea l a, ta l q u e a > 0 a a # 1 1. S e a n A y B re a le s , ta l qu e: A B > 0 lo g aA B = lo g a|A| + ¡oga|B| 2.

S e a n A y B re a le s , ta l qu.e: A /B > 0 lo g a (A /B )= lo g a|A| - lo g a|B|

a > 0 , a / 1, b > 0, b # 1, c > 0, c # 1 A d > 0 S e c u m p le :

lo g ab lo g bc lo g cd = lo g ad

SISTEMAS DE LOGARITMOS C a d a b a se d e lo g a ritm o s d e te rm in a un s is te m a d e lo g a ritm o s en c o n s e c u e n c ia e x is te n in fin ito s s is te m a s d e lo g a ritm o s p a ra u n a b a s e p o s itiv a y d ife re n te d e 1. L o s s is te m a s m á s im p o rta n te s son: S is te m a d e c im a l o d e B rig g s . E s a q u e l s is te m a d e lo g a ritm o s e n el c u a l la b a s e es 10 . N o ta c ió n :

lo g 10N = lo gN

S e lee: lo g a ritm o d e N En g e n e ra l: lo gN =

lgebra

PROPIEDADES

P a rte e n te ra ■?

S e a b > 0, b A 1

P arte d e c im a l A

a n tilo g b(lo g bx) = x; v x e IR 4 lo g b(a n tilo g bx) = x; V x e IR a n tilo g bx a n tilo g by = a n tilo g b(x + y)

(c a ra c te rís tic a s ) (m a n tis a ) T e o re m a . S e a N > 1; el n ú m e ro d e c ifra s en su p a rte e n te ra v ie n e d a d o por: n ú m e ro d e c ifra s N = c a ra c te rís tic a + 1 S is te m a h ip e rb ó lic o o n e p e ria n o . E s a q u e l s is te m a c u y a b a s e es el n ú m e ro tra s c e n d e n te d e E uler:

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA E s ta s fu n c io n e s se d e n o m in a n tra s c e n d e n te s a d e m á s se c a ra c te riz a n p o r s e r u n a in v e rs a d e la otra.

FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a S e a a un n ú m e ro rea l p o s itiv o y d ife re n te d e 1. La fu n c ió n f: IR -> IR d e fin id a por: f(x ) = ax S e d e n o m in a fu n c ió n e x p o n e n c ia l d e b a se a.

- = — + ± + 1 + 1 + ... = 2 , 7 1 8 2 8 1 8 . ,k ! 0! 1! 2! 3! N o ta c ió n :

El d o m in io d e e s ta fu n c ió n es D f = IR y su ra n g o es R f =

lo g eN = InN

Si 0 Si a

R e s u lta d o s im p o rta n te s In 1 = 0 Ine = 1 Ine" = n; n g IR Ine® = e e lnx = x; x a o Inx =

lo g x lo ge

;x > 0

loga = c « log 1 = 0 log 10 = 1

1 0C = a

lo ga = lo g ba lo gb log 1 0n = n

y y = ax. 1/a

i a -1 0

a ______ 1 í

b > 0; b # 1 ; x > 0

C o ro la rio :

Si a > 1, la fu n c ió n f(x ) = a x e s c re c ie n te en to d o su d o m in io .

La g rá fic a d e la fu n c ió n e x p o n e n c ia l d e b a s e a p a s a r p o r el p u n to ( 0 ; 1 ).

Si 0 < a < 1, e n to n c e s : lím a x = +oc ; lím

X — +oo

ax = 0

S i a 1, e n to n c e s lím

a x = 0 ; lím

a x 4 z = a xa 2

A s í:

ax z = — ; a A 0 az

b>0, b#1;xeIR

A n tilo g a ritm o . S e d e fin e c o m o e! o p e ra d o r in v e rs o del lo g a ritm o y se d e n o m in a ta m b ié n e x p o n e n c ia l. a n tilo g bx = bx;

1/a i

P ro p ie d a d e s de la fu n c ió n e x p o n e n c ia l 1. Si 0 a < 1, la fu n c ió n f(x ) = a x es d e c re c ie n te e n to d o su d o m in io .

X — -o o

b > 0, b y i , x > 0

a > 1 F ig u ra 2

F ig u ra 1

C o lo g a ritm o . S e d e fin e c o m o el lo g a ritm o en b a s e b del in v e rs o m u ltip lic a tiv o d e un n ú m e ro x. A sí:

c o lo g bx = - lo g bx:

-1

0< a < 1

DEFINICIONES

c o lo g bx = lo g b| l

a < 1, la grá fica se m u estra en la fig u ra 1 1, 1a g rá fic a se m u e s tra en la fig u ra 2.

y = ax

lo g x = Í D í _ ; x > 0 a In 10

(0 ; + o c )

R e s p e c to a la g rá fic a c o n s id e ra m o s d o s ca so s:

X — —o o

X —+ o o

ax =

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

FUNCION INVERSA DE EXPONENCIAL 0 FUNCION LOGARÍTMICA D e la s p ro p ie d a d e s 1 y 2 d e d u c e q u e la fu n c ió n e x p o n e n c ia l d e b a s e a d a d a p o r f(x ) = a x d o n d e a > 0 a ^ 1, es in y e c tiv a e n su d o m in io (IR) y p o r ta n to a d m ite fu n c ió n in v e rs a q u e e s lla m a d a fu n c ió n lo g a rítm ic a d e b a s e a y e s tá d e fin id a por:

LOGARITMOS NATURALES Y DECIMALES C o m o e es un n ú m e ro p o s itiv o y d ife re n te d e 1, las fu n c io n e s d e fin id a s p o r f(x ) = e x (fu n ció n e x p o n e n c ia l d e b a s e e). g (x ) = lo g ex (fu n c ió n d e b a s e e) S o n ta le s que: 1.

g: (0 ; +oo) -> IR ta l q u e g (x ) = lo g ax (lo g a ritm o d e x en b a s e a) Dg — (0 ; +oo) y Rg = IR

2. 3. 4.

Df = IR, R f — (0 ; + oc) D g = (0 ; + oc); R g = IR U n a es in v e rs a d e la otra. 2 <e <3 S us g rá fic a s se m u e s tra n en la s ig u ie n te figura .

En la fig u ra 3 se m u e s tra la g rá fic a d e g (x ) = lo g ax, si 0 < a < 1 y e n la fig u ra 4 se m u e s tra la g rá fic a d e g (x ) = lo g ax, si a > 1 .

A lo g ex se d e n o m in a lo g a ritm o n a tu ra l o n e p e ria n o d e x y se d e n o ta c o m o Inx. A lo g 10x se d e n o m in a lo g a ritm o d e c im a l o v u l g a r d e x y se d e n o ta c o n logx.

0<a < 1 F ig u ra 3

F ig u ra 4

f(g(x)) = x, V x e ( 0; +oc) o al09ax = x; v x e ( 0; +oo)

P o r la fó rm u la d e c a m b io d e ba se , la re la c ió n e n tre Inx y logx, e s tá d a d a por: lo g x lo g x = - ! n í - o Inx ; d e do nd e: lo ge a In10

g (f(x )) = x, V x e IR o lo g a(a x) = x, v x e IR

lo g x = 0 ,4 3 4 3 Inx o Inx = 2 ,3 0 2 6 logx

P o r d e fin ic ió n d e fu n c ió n in ve rsa , te n e m o s :

En re s u m e n : a y = x »

y = lo g ax

P o r e je m p lo , 3 4 = 81 » 4 = lo g 3(8 1 ) P ro p ie d a d e s d e la fu n c ió n io g a rítm ic a d e b a s e a 1.

Si 0 < a < 1 , la fu n c ió n g (x ) = lo g ax e s d e c re c ie n te en su d o m in io (IR+).

Si a > 1, la fu n c ió n g (x ) = lo g ax e s c re c ie n te e n su d o m in io (IR ").

La g rá fic a d e to d a fu n c ió n lo g a rítm ic a p a sa p o r el p u n to ( 1 : 0 ).

SI 0 < a < 1, e n to n c e s : lím lo g ax : +oc y

x -0*

lím lo g ax = -o o X—+oo

SI a > 1, e n to n c e s : lím lo g ax : x - 0*

-oo y

lím lo g ax = +oo X—-foc

IV.

A u n q u e e s ta s fu n c io n e s so n c a s o s p a rtic u la re s d e la s fu n c io n e s e x p o n e n c ia le s y lo g a rít m ic a s e s n e c e s a rio re c o rd a r lo s ig u ie n te :

In (ex) = x

2. e

= x

EJERCICIOS RESUELTOS H a lla r un a e x p re s ió n e q u iv a le n te a: x + /x 2- 1 K = log f x - / x 2- 1 R e s o lu c ió n : R e a liz a n d o tra n s fo rm a c io n e s c o n v e n ie n te s : (x + Vx2 — i ) ( x + Vx2 — i )

( x + Vx 2 — 1 )

( x - / x 2 - i ) ( x + i x 2 - 1>

X2 - ( h 2 - 1f

Á lg e b r a

log

K - lo g X —

Vx 2

—

(5 x + 2 )(2 x - 1) = 0 O \ x = - - ; x = -+: p e ro x > 0 (p o r d e f. d e lo gx) 5 2

K = io g [ x 2 + 2 x I x 2 - 1 + ( ’I x 2 - 1 ) ] ^ K = lo 9 Á + í x-2.- J . ^ | n n ( x + / ^

x - l x 2~ 1 F in a lm e n te , s e pide : K = 2 lo g ( x + 2.

•Ix 2 -

C o n s id e ra m o s la e c u a c ió n :

log(Vx® + 3 7 ) — = 3 lo g ( /x + 1 )

H a lla r la s s o lu c io n e s rea les.

H a lla r el v a lo r d e b q u e s a tis fa c e la e c u a c ió n : (!o gb9 )2 - 4 (!o g b9) + 4 = 0

R e s o lu c ió n :

S e tie n e :

H a c ie n d o : lo g b9 = x

D e d o n d e : 10 x 2 - x - 2 = 0

1 + x2- 1 x 2 - x2 + 1

x 2 + 2x J x 2

lo g f / x 3 + 3 7 ) — = 3 lo g (V x + 1 )

S e tie n e : x 2 - 4 x + 4 = 0; (x - 2 )2 = 0 =s x - 2 = 0 ; x = 2 R e p o n ie n d o : lo g b9 = 2

R e p re s e n ta n d o c o n v e n ie n te m e n te :

P o r d e fin ic ió n : b 2 = 9 F in a lm e n te : b = + -/9 ; b = ± 3 => b = 3 S e e lim in a c o m o s o lu c ió n : b = - 3 ya q u e la b a se n u n c a e s n e g a tiv a .

to m a n d o a n tilo g a ritm o s a a m b o s m ie m b ro s :

Io g ( Vx 3 + 3 7 ) = Iog ( I x + 1)3

I x 2 + 37 = ( I x + 1)3 h a c ie n d o : I x - a , se tie n e : a 3 + 37 = (a + 1 )3 e fe c tu a n d o : a 2 + a - 12 = 0 d e d o n d e : (a + 4 )(a - 3) = 0

¿ Q u é v a lo r m a y o r d e 7 re s u e lv e la s ig u ie n te e c u a c ió n : Iog 16 + lo g x + lo g (x - 1 )

a = - 4 , o s e a I x = - 4 (a b s u rd o )

= lo g (x 2 - 4 ) + Iog 15

a = 3, o s e a Vx = 3 => x = 9 la ú n ic a s o lu c ió n se rá 9.

R e s o lu c ió n : R e a liz a n d o tra n s fo rm a c io n e s e q u iv a le n te de com p osición : lo g[1 6x(x - 1)] = lo g[1 5(x2 - 4)]

I " - EJERCICIOS PROPUESTOS

L e vantando logaritm os: 16x(x - 1) = 15(x2 - 4) x 2 - 16x + 6 0 = 0 = (x - 10 )(x - 6 ) = 0 =>x = 1 0 v x = 6 x = 10 4.

R e s o lv e r: 2 log7<x2 - 7x + 21> = 3 l0974 In d ic a r el m a y o r valo r. a)

R e s o lv e r la e c u a c ió n : 1 + 2 lo g x - lo g (x + 2 ) = 0

b) 4

a) d)

L u e g o : Io g 1 0 + lo g x 2 - lo g (x + 2 ) = 0

10 x = Iog 1 x + 2

10 x x + 2

c) 2

d) 7

e ) 10

3 Iog (Io g x)

[Iog (Iog

Se tie n e : 1 + 2 lo g x - lo g (x + 2 ) = 0

L e v a n ta n d o lo g a ritm o s:

R e s o lv e r la s ig u ie n te e c u a c ió n :

R e s o lu c ió n :

Iog

= 1

102 103

x ) j los [|oa (|09 x )l

b) 104 e ) 10 b

S i: lo g (|x| - 1) = 1 + 2 lo g 3^ m a r q u e : 4/¡ V ¡ - 1

= 27 c) 10

l 2 s e p u e d e a fir

| C o le c c ió n E l P o s t u la n t e

a) b) c) d) e)

Es Es Es Es Es

un n ú m e ro un n ú m e ro un n ú m e ro m ú ltip lo d e un n ú m e ro

irra cio n a l. n e g a tiv o . im par. 4. par.

c a lc u la r: J = 2—£/cd a) 6

b) 2

c) 4

d) 3

e)d1

12. Si: lo ga =-/i~3 - -Í7 lo g b = -Í7 - / T í

Si: lo g (10 + 2V2i) ( f f + - Í 3 f - 8 , resolve r: x xX = n a ) Í2 d) 5.

b) -Í3

Vio

lo g c = - / T T - / T 3

c) 17

lo g 3a + lo g 3b + lo g 3c

ca lc u la r: P

e )2

lo g a lo1 g b logc

C a lc u la r E, si x = 10/3

a) 3

b) 1

c) 2

d ) 1/3

e) 0

E = lo g x ( 3 lo9L3x + 4 |092x + 6iog.'6x ) a) 11 d) 9

c) 10

b) 3 e) 12

13. R e d u c ir: lo g n{ lo g n 2—4 / n ^ / ñ } s ie n d o n > 1. a) 1

b) 1/2

c) n

d) - 1

e) - 2

C a lc u la r x, si: 3 lo g x16 + 7 lo g x8 = 22 14. Si: m, n e IR + a lo g mnrn = 3 c a lc u la r el v a lo r de: a) - -Í8

c) 2 Í 3

b) 2 e) 3/2

d) 2 -Í2

loga

L u e g o d e re s o lve r: 3 1 + logx + 3 2 + logx = 2 3 + |O0X in d iq u e lo c o rre c to : a) x = 0 ,0 4 c) 10x - 1 = 0 e ) 1 /x = 100

b) x 2 = x + 1 d )x = 1

l° 9 ( x - 2)7

a) 3 d) - 1

R e d u c ir: F

III. lo g 46 = lo g 642 1 6 b) F F V e) V F V

c) F V V

16. In d ic a r el v a lo r d e v e rd a d (V ) o fa ls e d a d (F ) en:

c) 3

d) 2

e) 1

a) 2

b) 4

d) 7

e ) 7(A

Si se s a b e qu e: a = b = c = bc d b +

lo g 2b lo g 2c lo g 2d = 128 c = 6

lo g 215 = lo g 2( - 5 ) + lo g 2(—3)

lo g 3

¡2 =

III. lo g 57 ^

10. R e s o lv e r: lo g xlo g x7/4 = 7

11.

a logab = b, b > 0 a a e IR

lo g /35 / lo g 54 x lo g 4 /2 7 l0 9 j ab |9 b

b) 4

a) FVF d) VVF

lo g abn -

a) 5

c) 6

II. !o g s12 - lo g 54 = lo g 58

c) - 2

b) - 3 e) 0

b) - 1 0 e) 7

15. In d ic a r el v a lo r d e v e rd a d (V ) o fa ls e d a d (F ) en:

1 = lo g 74 lo g (x + 1)7

R e s o lv e r:

a) - 6 d) - 7

c) 7Í2

( 1)

(2 ) (3) (4) (5)

a) F V F d) F F V 17.

2 lo g 32 1 lo g 75 b) V F V e) F F F

C) VVV

E n c o n tra r el v a lo r de: |0g 75 !og5343 + |0g 2-9log9128 - l 0g 51 3 log1325 a) 12 d) 5

b) e)

10 9

Á lg e b r a |

18. C a lc u la r: M = lo g 44 9 lo g 52 lo g 271 25 lo g /73 a) 7 d ) 14

b) 2 e) 49

x |ogxx3 + 2 7 x iogxx = 9 x iogxx2 + 2 7 (x > O A x # 1) a) 9 d) 1 20.

b) e)

6 27

lo g 2n + lo g 2| l + ~ ) + !° 92(1 + n + g j

c) 1

19. C a lc u la r x en la ig u a ld a d :

c) 3

C a lc u la r el v a lo r d e n qu e c u m p la la e c u a c ió n :

lo g 2 1 a) 62 d) 44 1. 2. 3. 4.

c) 52

b) 4 8 e ) 56 b d e e

5 6. 7. 8.

e d c e

9. 10. 11. 12.

c c c a

13. 14. 15. 16.

d b b d

17. 18. 19. 20.

c b c c

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ISBN: 978-612-302-919-7