FÍSICA by leonardo balcino dos santos

COLECCIÓN EL POSTULANTE

FÍSIC A

C O L E C C IÓ N EL POSTULANTE

FÍSICA

E d ito r ia l

FÍSICA -

C o le c c i ó n E l P o s t u l a n t e

Salvador Tim oteo © Salvador Timoteo Diseño de portada: Óscar Farro Composición de interiores: Blanca Llanos Responsable de edición: Alex Cubas © Editorial San Marcos E. I. R. L., editor Jr. Dávalos Lissón 135, Lima Telefax: 331-1522 RUC 20260100808 E-mail\ informes@ editorialsanmarcos.com Primera edición: 2007 Segunda edición 2013 Tiraje: 1000 ejemplares Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú Registro N.° 2012-12003 ISBN 978-612-302-915-9 Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780 Prohibida la reproducción to ta l o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del autor y del editor. Impreso en el Perú / Printed in Perú Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 974, Lima Telefax: 424-6563 E-mail: ventaslibreria@ editorialsanmarcos.com www.editorialsanmarcos.com Composición, diagramación e im presión: Editorial San Marcos de Aníbal Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S. J. L. RUC 10090984344

ÍNDICE Análisis d im en sio n a l............................................................................................................................................

Análisis vectorial...................................................................................................................................................

C inem ática.....................................................................................................

M ovim iento vertical de caída libre (M V C L)....................................................................................................

E stática...................................................................................................................................................................

D inám ica.................................................................................................................................................................

R o za m ie n to ..................................................................................................................................................................

Trabajo y p o te n c ia .............................................................................................................................................

E n e rg ía ...................................................................................................................................................................

Hidrostática y ca lo rim e tría ...............................................................................................................................

T erm odinám ica.....................................................................................................................................................

E lectrostática.........................................................................................................................................................

C on d e nsa d o res....................................................................................................................................................

E lectrodinám ica..........................................................................................................................................................

101

Ó p tic a ...........................................................................................................................................................................

110

PRESENTACION Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando en las necesidades académ icas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades, institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional. La Colección El Postulante reúne los tem as requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son desarrollados didácticam ente, con teoría ejem plificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocim ientos básicos necesarios para enfrentar no solo los diversos exám enes de admisión, sino afianzar los saberes de su form ación escolar y alcanzar una form ación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria exitosa. Finalmente, deseam os hacer un reconocim iento al staff de docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe dro de Castro, Jorge Solarl y Nathali Falcón, profesores de am plia trayectoria en las m ejores academ ias de nuestro país, quienes han entregado lo m ejor de su experiencia y conocim ientos en el desarrollo de los contenidos.

- E L E D IT O R -

ANÁLISIS DIMENSIONAL Es el estudio de las relaciones que guardan entre

M. K. S.

m etro

kilogram o

segundo

C. G. S.

centím etro

gramo

segundo

F. P. S.

pie

libra

segundo

Sistema

sí todas las m agnitudes físicas, ya que toda m agni tud derivada depende de las fundam entales. MAGNITUD Para la Física, una magnitud es aquella propiedad de un cuerpo, sustancia o fenóm eno físico suscep tible de ser medida. MEDIR M edir es com parar dos m agnitudes de la misma especie donde una de ellas se tom a como unidad de medida. CLASIFIC ACIÓ N DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS

Sistem as técnicos o gravitatorios. Estos siste mas elegían como m agnitudes fundam entales a la longitud, a la fuerza y al tiempo. L

metro

kgf

segundo

centímetro

grf

segundo

pie

Ibf

segundo

Sistema Técnico métrico Técnico cegesimal Técnico inglés

De acuerdo a su origen Magnitudes fundamentales: son aque llas m agnitudes que se toman como pa trones y se escogen convencionalm en te para definir las m agnitudes restantes. M agnitudes derivadas: son aquellas m agnitudes que se obtienen por com bi nación de las que se han tom ado como fundam entales.

En la actualidad se emplea un sistema más cohe rente, donde las m agnitudes fundam entales son siete, en el cual cada m agnitud física posee una adecuada unidad de medida. Sistem a Internacional de Unidades (SI). En este sistema las m agnitudes fundam entales son: Unidad

Sím bolo

metro

Masa

kilogramo

Tiempo

segundo

kelvin

Intensidad de corriente eléctrica

ampere

Intensidad luminosa

candela

mol

mo!

Magnitud

II.

De acuerdo a su naturaleza Magnitudes escalares: son aquellas m agnitudes que para estar bien defini das basta conocer únicamente su valor numérico.

Longitud

Temperatura term odinám ica

M agnitudes vectoriales: son aquellas que para su definición se requiere apar te de su valor, una dirección.

SISTEMA DE UNIDADES Es la a g rupación ordenada de unidades de m e dida de las m agnitudes físicas; hasta hace a lg u nos años eran de uso frecu e n te los siguientes

Cantidad de sustancia

A dem ás existen dos m agnitudes suplem entarias:

sistem as:

Magnitud

Sistem as absolutos. Estos sistemas se caracteri zan por tom ar como m agnitudes fundam entales a la longitud, a la masa y al tiempo.

Unidad

S ím b o lo

Ángulo plano

radián

rad

Ángulo sólido

estereorradián

| C

o l e c c ió n

El Po s tu lan te

ECUACION DIMENSIONAL

Es una igualdad que nos indica la dependencia de una magnitud cualquiera respecto de las que son fundam entales.

Las expresiones que son exponentes no tie nen unidades.

Toda ecuación dim ensional se escribe en for ma de monom io entero; si es fraccionario, se hace entero con exponente negativo.

Para determ inar la ecuación dim ensional de una m agnitud derivada siem pre se parte de una fór mula que previam ente ha sido hallada por otros medios. El sím bolo empleado para representar una ecua ción dim ensional son corchetes que encierran a una magnitud, así [trabajo], se lee ecuación dim en sional del trabajo. En general, las m agnitudes fundam entales son A, B, C, D, ... la ecuación dim ensional de una m agni tud derivada x se expresará por: [x] = A“ B!í C'1 D Donde a, p, y, 5 son números racionales.

• — = LTIVT1 M

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL En toda ecuación dímensionalm ente correcta, los térm inos que se están sum ando o restando deben tener Igual ecuación dim ensional. Adem ás la ecua ción dim ensional del primer m iembro de la ecua ción debe ser igual a la del segundo miembro. Ejemplo: Si la siguiente ecuación es dímensionalm ente co rrecta: (AX - B)2 = 27Z sen15° se cumple:

Ejemplo: Para determ inar la ecuación dim ensional de la ve locidad se empleará la siguiente ecuación: velocidad = distancia tiempo y em plearem os que la ecuación dim ensional de la distancia y el tiempo son L y T, respectivam ente, así: [V ] = y => [V ] = LT~1

•

[AX] = [B] [AX - B]2 = [27Z sen 15°]

ALGUNAS ECUACIONES DIMENSIONALES EN EL SISTEMA INTERNACIONAL [Longitud]

[Tiempo]

Propiedades 1.

[Área]

Al operar con ecuaciones dim ensionales, se pueden em plear todas las reglas algebraicas excepto las de sum a y resta, en su lugar d ire mos que la suma y diferencia de m agnitudes de la m ism a especie da como resultado otra m agnitud de la m isma especie.

[An] = [A]11

•

T - T -

f-l = — I d ] [d ] • L+ L + L = L T= T

La ecuación dim ensional de todo ángulo, fun ción trigonom étrica, logaritm o y en general toda cantidad adimensional es la unidad. [40 rad] [45] = 1

I L2

[Volumen]

[Velocidad]

........................................

LT~1

[Aceleración]

........................................

LT~2

[Período]

[Fuerza]

MLT 2

[Trabajo-energía] .......................................

[AB] = [Aj[B] •

[Masa] [Corriente]

• •

• -!=- = LT~3 j?

• [sen60°] = 1 ' • [log2] = 1

ML2T '

[Potencia]

ML2T~3

[Presión]

ML~1T~2

[Densidad]

........................................

[Caudal]

........................................

L I

UTILIDAD DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES Com probar si una fórm ula es dim enslonalmente correcta. Establecer nuevas fórmulas.

F ís ic a |

A: aceleración; B: densidad; C: velocidad

Determ inar las unidades que le corresponden a cierta magnitud derivada.

M2 i -2 L

h 4 b)\ r / iiML

M2L2

c ) M 1L4

1L3

EJERCICIOS RESUELTOS 2. 1.

Si la ecuación mostrada es dim ensionalm ente correcta; indique las unidades de p en el Sis tema Internacional de Unidades (SI). F A =

En la siguiente fórm ula física, calcular las di1 ? m ensiones de K: T = —Kx 2 T: energía; x: longitud

F: fuerza; A: área

c) ML

a) ML2T

d) MT2L

M_1L“ 2

V: velocidad; y: longitud 3.

En la siguiente fórm ula física, calcular [C]:

R e s o lu c ió n :

D = A B + PC

Por el p rin c ip io de h o m o g e n e id ad d im e n sional: Ifl

Ia ] ~

( llX l

M LT- 2

D: calor; P: potencia a) TL d) T 2

r iL T " 1

[y]

b) T e )T “ 1

c) T 3

En la siguiente fórm ula física, calcular [B]:

W = M L - 1T - 1 = ^ :

B = fM 2- x 2 f: frecuencia: x: distancia

Luego, en el Sistem a Internacional de Unidakg des (SI) las unidades serán: -----

De la siguiente ecuación dim ensional correc ta, determ inar las dim ensiones de m:

a) LT

b) C T 1

d) L2

e) L “ 2T “ 1

En la siguiente fórmula, calcular las dim ensio nes de B: A 2 t n = | -5- + A )

y = bn + mn2 b: velocidad; y: longitud

V: velocidad; n: constante numérica

R e s o lu c ió n : P or el p rin c ip io de hom o g e n e id ad d im e n sional: •

•

M = [b][n] L=LT

1[n] -

a) L

b) LT- 2

d) L T -1

e) T

c) LT

En la siguiente expresión, calcular [x]:

[n] = T

i 2nx \ c o tl^ |=

M = [m ][n]2 =» L = [m] T 2 =» [m] = L T 2

a: aceleración

Las dim ensiones de m son: LT~2

a) LT d) L T -2

e j e r c ic io s

PROPUESTOS

En la siguiente fórm ula física, encontrar las dim ensiones de p: p :

C 2tan(w t) AB logrt

b) L2T

c) L T -1

■e ) L

| 7.

c) T~1

En la siguiente expresión, calcular [B]: Btan 0 = An.log

/ an \ V

A: área; a: aceleración; V: velocidad

I C

o l e c c ió n

E l Po s tu la n te

d) LT2 8.

L2T

L2T 1

e) L3T 1

14. Si en vez de la masa (M), el trabajo (W) fuera considerado como magnitud fundam ental, la ecuación dim ensional de la densidad será:

En la siguiente fórmula física, calcular [CDE]:

a) L” 5W T d) LWT2

y: distancia; t: tiempo

b) L ' 3W T ” 2 e) L2W ” 1T

L " 5W T2

y = C tan(2r:Dt + E)

a) ML2T 2

b) ML2T

d) MLT” 4

e) LT” 1

ML2T ” 3

El periodo de un péndulo depende de la longi

15. Se ha creado un nuevo sistem a de unida des en el que se consideran las siguientes m agnitudes fundam entales: aceleración (U); frecuencia (N) y potencia (l). Determ inar la fórm ula dim ensional de la densidad en dicho sistema.

tud del m ismo y la aceleración de la gravedad, entonces su ecuación será: T = 2n Lxgy

a )l

U ” 5NI7

b) U5N” 7I

d) U ” 5N7I

Calcular: xy b ) - i

c ) - l

16.

U7N6I” 2

e)UN6!” 7

En ¡a siguiente fórm ula física, ca lcu la rla ecua ción dim ensional de A: (A = UNFV

d )l 10.

U: potencia; N: número; F: fuerza; V: velocidad

e)2

En la siguiente fórm ula física, calcular n:

M2L4T 6

b) M4L2T ” 3

M4L8T ” 12

e) M3L7T ” 12

ML sT ” 1

Da = cos9 . V n D: diámetro; a: aceleración; V: velocidad a) 1 11.

b) 2

c) 3

d) 4

17.

e) 5 a: aceleración: k: peso específico; F: fuerza; A: área; T: tiempo

En la siguiente fórm ula física, calcular las di m ensiones de [x]: A = V(0 + n EX)

V: velocidad; E: em puje hidrostático a) M ' 1L2T2

b) M “ 1L” 1T2

d) ML 2T2

e) MLT2

c) M ” 2LT” 2

18.

12. En la sigulene fórm ula física, calcular Zy/X:

13.

c) 4

b) 2

c) 3

d) 4

19.

Mb) e) M3

M ” 1c) M 2

Se da la siguiente fórm ula física: V _ 3a

h- b

~~ t3

Un cuerpo cae libremente durante un tiem po T partiendo del reposo. Deducir m ediante el

V: volumen; t: tiempo; h: altura

análisis dim ensional una ecuación para la ve locidad (k: constante numérica).

D eterm inar [El, si: E = — ac

a) kgT2 d) kgT

T”3

b) T2

M2L3

e) M T ” 3

b) kgT3 e) k

c) kg2T

e) 5

En la siguiente fórm ula física, calcular [Q],

a) d)

F: fuerza; A: tiempo; B: densidad; C: velocidad. b) - 1 e) 6

B: fuerza; C: aceleración

F = A xByCz

a) 1 d) 2

En la siguiente fórm ula física, calcular x.

c )T

F ís ic a |

20.

21.

La intensidad de campo eléctrico (E) es la fuerza eléctrica (F) por unidad de carga (q). Calcule [E], a)

MLT-2

b ) L M T 3r 1

L M T I"1

e) LM T3I

22.

En la siguiente fórmula física, calcular x + y + z. E2A = sena (Bx+y)(C)(Dz) A: fuerza; B: masa; C: longitud; D: densidad; E: tiempo

c) L M T 2I“ 2

a) 2

b) 1

c) 4

c) 3

e) - 2

En la siguiente fórm ula física, hallar [B].

tn ÜJ

A x2 + Bx + C

~ A T 2 + BT + C

< j u

A: velocidad; T: tiem po a)

b) L~1

c) T

d) T~1

e) LT

1. c

6. d

11. b

16. d

21. a

2. b

7. b

12. d

17. b

22. b

3. b

8. e

13. d

18. c

4. b 5. d

9. c 10. b

14. c 15. d

19. a 20. b

ANÁLISIS VECTORIAL VECTOR

los vectores con la intercepción de las para lelas.

Es un ente m atem ático que gráficam ente se repre senta por un segmento de recta orientado. La física utiliza los vectores para representar las m agnitudes vectoriales.

B Vector resultante: R = A + B M ódulo de R: R = VA 2 + B2 + 2 A B cosa En general un vector se representa de la si guiente forma: A = Ag

Casos particulares: A.

Si a = 0o (Á // B) => Se obtiene el m áximo valor del m ódulo de la resultante.

A: m ódulo del vector A g: vector unitario de A

Si: ¡I = (cosa; sena) => A = A (cosa; sena)

Donde: a es la dirección del vector A

R = A + B = R„. OPERACIONES VECTORIALES 1.

Suma de vectores o com posición vectorial.

Si a = 180° ( A l t B) =*

Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denom inado vector resultante (R ), el cual es igual a la suma de todos los vectores.

Se obtiene el m enor valor posible de la re sultante. — a _

Ejemplos: Sean A y B vectores

R = A - B = R„ => R = A + B Observación:

Sean A; B y C vectores = *R = A + B + C 2.

Resta de vectores. Es una operación que tie ne por finalidad hallar un vector denom inado vector diferencia (D ), el cual es igual a la res ta de vectores.

Si A form a un cierto ángulo con B; entonces: ^min V R C.

Ejemplo: •

Sean A y B vectores => D = A

Rrnáx

Si a = 90° (A ± B ) => Se obtiene aplicando el teorem a de Pitágoras

METODOS PARA CALCULAR LA RESULTANTE I.

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO R = -IA 2 + B2

Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanarios que tie nen un m ismo punto de origen. G rá fica m e n te se co n stru ye un p a ra le lo g ra mo tra z a n d o p a ra le la s a los ve cto re s. El v e c to r re su lta n te se tra za uniendo el o rigen de

Propiedad: Cuando los dos vectores A y B son iguales en módulo.

F ís ic a ¡

II.

MÉTODO DEL POLÍGONO Se utiliza para ca lcu la r la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanarios.

R = xV2

Es un método gráfico que utiliza escalas apro piadas y consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro m anteniendo sus ca racterísticas. El vector resultante (R ) se traza uniendo el origen del primer vector con el ex trem o del último vector. R = X-/3

Ejemplo: Sean A; B yC , vectores. Á

Si: a = 120°

R = x

C onstruirem os el polígono vectorial:

Observación: Si: a = 120°

R = 0

cYlata : Se llama polígono vectorial cerrado cuando los vectores son consecutivos, produciendo un vector resultante nulo.

R = 7x III.

Cyicdc¡/:

METODO DE LAS CO M PO NENTES REC TANGULARES Los dom ponentes rectangulares de un vector son aquellos vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre sí:

D = A -B A x: A y: componentes rec tangulares del vector A

D = ¡ A 2 + B2 - 2ABcosc

C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Se cumple que:

De la figura: b = 2 /7

y a = /7

Entonces: R2 = a2 + b2 + 2abcos60°

=AcosG El m étodo de las componentes rectangulares permite calcular el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores. Pasos a seguir:

R2 = 7 + 28 + 2 8 / ”

- 49

Si la resultante de los vectores mostrados, está ubicada en el eje y; hailar el valor del án gulo 0.

1.° Se h a lla la s c o m p o n e n te s re c ta n g u la re s . 2.° Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenados (Rx; Ry). 3.° Se calcula el m ódulo de la resultante apli cando Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente.

R e s o lu c ió n : Ry

R = Jp.2 x + R:

Como: Rx = 0

tanG = —

=> 24sen0 = 12 O bservaciones:

sene = 1^ = 1 24

•

SI la dirección de R es 0° => Ry = 0

•

Si la dirección de R es 90° ¡

•

Si la R = 0 =» Rx = Ry = 0

0 = 30°

R« - 0 3.

Si la resultante de los tres vectores que se in dican es nula; hallar el valor de 0. 10^3 10 cm

Determ inar el m ódulo del vector resultante de a y b.

20 cm

2 -Jl cm

R e s o lu c ió n : J0V 3

10V3

30°-

_ \6 0 ° b ....... -y/-

R e s o lu c ió n :

Por el m étodo del polígono se observa que el triángulo es rectángulo: 202 = 102 + (1 0 /3 f

=> e = 60° 4.

In d iq ue el m ódulo del v e cto r re su lta n te de los dos ve cto re s m ostra d o s: (a = 1 0 /5 cm; b = 20 cm).

F ís ic a |

e j e r c ic io s

PROPUESTOS

□

a 1.

Se da el vector A = 3i + 4 j. Calcular el m ódu lo del vector -%| 3A |. 15 a) 1

b R e s o lu c ió n : Descomponiendo rectangularm ente:

b) 2

d) 4

c) 3

e) 5

Se dan los siguientes vectores A, B y C. C al cular |2A + 3B + C¡. A = 2¡ + 4 j; B = 2i + 7 j; C = 2 Í — 13 j a) 5

4. => Rv = 20 - 10 /5 x - L = 10 cm y 15

Determine el m ódulo del vector resultante de los vectores m ostrados, si se sabe que: AB = 2AC = 20 cm, es el diámetro de la cir

d) 20

e) 25

4 5 6 7 8

En el sistema vectorial mostrado, hallar el mó dulo del vector resultante. a) 2 b) 4 c) 6 '

R = 1 0 /5 cm

c) 15

Si A = 5 y B = 3; calcular el m ódulo de la resultante, a) b) c) d) e)

=> R„ = 1 0 /5 x - i r = 2 0 cm

b) 10

2o \ V i \ i ...... 5 3 .° \

12 X

d) 8 e) °

cunferencia: 5,

Calcular la m edida del ángulo 0, si el módulo del vector resultante es igual a cero. a) 30°

b) 37°

c) 45° d) 53°

R e s o lu c ió n : Sean AB = a y A C = b Por el método del polígono se tiene un triángulo inscrito en una circunferencia que es notable, ya que a = 2b; entonces:

R = 2 0 /3

p \io

En el sistem a vectorial, hallar el módulo del vector resultante. a) 6

b) 8

R2 = a2 + b2 + 2abcos60° R2 = 400 + 400 + 800 x 1/2

e) 60°

c) 10 =

1200

d) 2 e) 12

/3 5 / 53 °

* X

| C

o l e c c ió n

El Po stulante

En el sistema vectorial mostrado, calcular la medida de! ángulo 9, tal que, el vector resul tante se encuentre en el eje x. a ) 0°

b) 30°

12. La figura muestra un cuadrado ABCD de 4 unidades de lado, donde M es el punto medio del segmento BC. Determ inar el valor del án gulo 9, tal que el módulo de la resultante sea •Í22A unidades. a) 37°

c) 45° d) 60°

b) 53°

e) 37°

c) 30° d) 60°

Sabiendo que el vector resultante se encuen tra en el eje vertical. Calcule el m ódulo de! vector resultante. a) 5

b) 10 c) 15

13. Calcular el módulo del vector resultante, si la figura mostrada es un cubo de arista a.

a) a b) 2a

3 r x A53°

d) 20

c) 3a

e) 25

d) 4a

En la figura mostrada, si la resultante del con junto de vectores es vertical. Calcular la m edi da del ángulo a.

e) 0 14.

En el siguiente sistema de vectores, calcular el m ódulo de la resultante, los vectores están en el mismo plano.

a) 30°

3)2-13

b) 37°

b) 4 /3

c) 45°

c) 6 /3

d) 53°

d) 8 /3

En el siguiente sistema de vectores, calcular el módulo de la resultante. a) 1 b) 2 c) 3

e) 0 /3

e) 60° 10.

e) 45°

15. SI los m ódulos de los vectores A, B y C son 80; 90 y 100, respectivam ente, y la dirección del vector resultante coincide con la del vector B. Hallar el módulo de la resultante. a) 60 b) 90

d) 4

c) 20

e) 8

d) 30 11.

Hallar el m ódulo del vector resultante, la figura es un rectángulo, AB_= 6; BC = 8 y M y N son puntos m edios de AD y CD.

e) 25 16.

En el sistema vectorial mostrado, calcular el m ódulo de la resultante, si: ¡ C | = 6 .

a) 10 b) 13 c) 20 d) 30 e) 15

a) 15 b) 10 c) 1 0 /2 d) 1 5 /2 e) 5

F ís ic a |

17.

18.

La máxima resultante de dos vectores es 28 y su m ínima resultante es 4. Calcular el módulo de la resultante cuando formen un ángulo de 90°.

a) 20

e) 60

b) 22

c) 24

d) 26

b) 30 c) 40 d) 50

e) 28

En el sistema vectorial mostrado, la resultante es nula. Calcular la medida del ángulo 9 y el módulo del vector F. a) 37°; 5 b) 53°; 15

20.

Hallar el ángulo que form an dos vectores, si la resultante tiene igual m ódulo que uno de ellos y adem ás es perpendicular a él. a) 135° d) 90°

b) 120° e) 45°

c) 60°

e) 37°; 10 19. La figura m ostrada es un paralelogram o ABCD. Calcular el m ódulo de la resultante de los vectores mostrados.

1. b

5. b

9. a

13. a

17. a

2. d

6. c

10. b

14. b

18. a

3. d

7. b

11. e

15. d

19. e

-í^ 0

c) 60°; 5 d) 30°; 10

8. c

12. a

16. c

20. a

CINEMÁTICA Parte de la mecánica de sólidos que se encarga de estudiar el m ovim iento mecánico de los cuerpos,

v f ~ v o _ Av_ At - At

teniendo como punto de partida ciertas condicio nes iniciales y leyes dei m ovimiento que se consi deran ya conocidas. MOVIMIENTO MECÁNICO El m ovimiento mecánico es ei cambio de posición que experim enta un cuerpo respecto de otro deno

cambio de velocidad

intervalo del tiempo

velocidad fina!

velocidad inicia!

minado “cuerpo de referencia".

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU)

Si ai cuerpo de referencia ligamos un sistem a de coordenadas espaciales y un reloj, tenem os el lla mado “sistema de referencia” (SR).

El MRU consiste en que e! móvi! describe una tra yectoria rectilínea, avanzando distancias recorri das iguales en intervalos de tiem po iguales. t

ELEMENTOS ¡Móvil. Es el cuerpo que describe el movimiento mecánico. -q

Trayectoria. Es el lugar geom étrico que describe el móvil respecto del sistema de referencia, cuando realiza el m ovim iento mecánico. Características Distancia recorrida (d). Medida de la longitud de la trayectoria entre dos puntos de la misma.

La velocidad instantánea es constante.

Desplazam iento (d). Es un vector que nos indica el cambio de posición efectivo que experim enta el móvil. Velocidad (v). M agnitud física vectorial que mide la rapidez del cambio de posición que experim enta un móvil.

t : tiempo transcurrido

Unidades: [d]: m; [t]: s; [v]: m/s Ecuación del m ovim iento

Velocidad media (v m). Se define como; rf : posición fina! r0 : posición inicia! v

= — = LL— 1 m

At: t f - t o

vm II d Aceleración (a). Magnitud física vectorial que ex presa la rapidez con que la velocidad cambia en cada instante del tiempo.

posición final Xf = x 0

Aceleración media (a m). Nos expresa el cambio de velocidad por cada intervalo de tiempo.

+ vt

posición inicia! velocidad instante del tiempo

F ís ic a ¡

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VA RIADO (MRUV) Es aquel m ovim iento donde el móvil describe una recta y además en intervalos de tiem po iguales los cam bios de velocidad son iguales y las distancias recorridas son diferentes. La pendiente (m) del segmento L será:

' 1 m/s

■ 3 m/s

> 5 m/s

• ! m/s

m = tanO

I----------------- 1------------- 1---------------1

Av = 2 m/s

Av = 2 m/s Av = 2 m/s

En cualquier gráfica x - 1 ia pendiente de los seg mentos rectos representan la velocidad del móvil:

Características a

Av At

v = tan9 ¡ : cte.

GRAFICA VELOCIDAD (v) - TEMPO (t)

En módulo:

En la gráfica v - t, la velocidad puede aumentar,

"Á T

dism inuir o perm anecer constante mientras que el móvil se traslada siguiendo una trayectoria recta.

Unidad: [a]: m /s2

Dada la gráfica v - 1, tendrem os que:

Leyes del movim iento vf = v0 ± at

Si falta d

vf2 = v 02 ± 2ad

Si falta t

d = v0t + —at2

Si falta vf

1) 1

Si falta a

m = tan9

O bservaciones: a (+ )

La pendiente (m) del segmento L será:

a (-) Aceleración (a) = tana

• o —

- o — V ’ En cualquier gráfica v - 1, la pendiente de los seg

M RUV (acelerado)

MRUV (desacelerado)

GRÁFICA POSICIÓN (x) - TIEMPO (i) En la gráfica x - 1, la posición (x) puede aumentar, disminuir; perm anecer constante al transcurrir el tiempo; en estas gráficas siem pre se emplean las pendientes de los segm entos rectos. Dada ¡a gráfica x - í, tendrem os que:

mentos rectos representan la aceleración del móvil: a = tañe

Área (A) en una gráfica v - t . Dem ostremos que si ia velocidad del móvil es constante, el área A del rectángulo que se forma debajo de la gráfica equi vale s la distancia (d) que recorre ei móvil.

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Para calcular la distancia total recorrida (d) de 0 s hasta 14 s sumaremos las áreas. d = |A,| + |A2¡ Para calcular el desplazamiento total (d) desde 0 s hasta 14 s restam os las áreas que están debajo del eje del tiempo.

El área del rectángulo es: A = vAt Como: que vAt es una distancia (d), luego: A = d

d = |A1| - | A 2|

Dem ostremos ahora que si la velocidad del móvil varía, el área A del trapecio que se forma debajo de la gráfica equivale a la distancia (d) que recorre el móvil.

GRÁFICA ACELERACIÓN (a) - TIEMPO (t) Una aceleración constante en una gráfica a - 1 se representa m ediante una recta horizontal, el área (A) debajo de esta expresa la variación de la velo cidad que experim enta el móvil. a

MRUV a

Calculam os el área del trapecio: A = ----------

_ _n_______ : 1)1 t

(Vf + Vq) Del MRUV sabem os que: ----1= d

El área del rectángulo es: A = at Luego: A = d O bservación: En cualquier gráfica v - 1 el área (A) debajo de la gráfica representa la distancia (d) que recorre el móvil: d = A

... (1)

Como: vf = v0 + at => at = vf - v0

... (2)

Reem plazando (2) en (1): A = vf - v0

Cálculo de la distancia recorrida (d) y el despla

Cuando la aceleración es variable es fácil dem os

zam iento (d) en una gráfica (v - 1). Cuando en la gráfica v - t el móvil presenta velocidades negati vas, se form arán áreas debajo del eje del tiem po (t) como podem os ver en el siguiente ejemplo:

trar que el área (A) debajo de la gráfica también resulta ser un cambio de velocidad.

A = cambio de velocidad A = Vf — v0 Observaciones: De 0 s a 8 s la velocidad es positiva.

Observación:

De 8 s a 14 s la velocidad es negativa.

En cualquier gráfica a - 1 el área (A) debajo de la

El área Af está sobre el eje del tiempo.

gráfica representa un cambio o variación de velo

El área A 2 está debajo del eje del tiempo.

cidad: A = vf - v0

F ís ic a |

EJERCICIOS RESUELTOS Dos móviles están separados por una distan

Un móvil A que se desplaza con una velocidad de 30 m/s se encuentra detrás de un móvil B a una distancia de 50 m. Si la velocidad de B es 20 m/s, ¿después de qué tiempo A estará 50 m

cia de 420 m. Si parten al encuentro con ve locidades constantes de 3 m/s y 12 m/s, res pectivamente, ¿después de qué tiem po están separados por una distancia que es la media

delante de B? R e s o lu c ió n :

geom étrica de los espacios recorridos por los móviles? R e s o lu c ió n : v, = 3

P Q ---------- «

De la figura: dA = 50 + dB + 50

— CP

—

Pero: d = vt => 30t = 100 + 20t x

=> 10t = 100

=> t = 10 s

420 m 4. Del dato: x = -/dyd^ Del gráfico: d, + ^d,d2 + d 2 = 420

En el instante mostrado, desde el automóvil se toca el claxon y la persona escucha el eco. Cuando el automóvil se encuentra en la mitad de su camino, ¿qué velocidad tiene el automóvil?

Pero: d = vt => 3t + ^36? + 12t = 420

(Vsonido = 340 m/s)

t = 420 ^ ( = 20 s

reposo

«7

—

Los móviles mostrados se m ueven con veloci dades constantes. ¿Después de qué tiem po A dista de B, lo mismo que B dista de A?

3 : o ' " :~ o ' 8x

R e s o lu c ió n : v2 = 30 m/s sonido í > Ar

-1500 m -

reposo i?

R e s o lu c ió n : Como B se mueve más rápido que A se tiene:

_J|-----

x = 2 vt

: Vt

^sonido

-1500 m -

^sonidol => 10

340t

...(2)

(1) en (2): 2vt = 34t => v = 17 ^ De la figura: d-i = 1500 - x

d2 = 1500 + x

Sumando: d i + d2 = 3000 Pero: d = vt => 20t + 30t = 3000 t =

3000 50

t = 60 s

Dos móviles parten sim ultáneam ente desde un mismo punto, uno hacia el este a 4 m/s y el otro a 3 m/s hacia el norte. ¿Qué distancia los separa al cabo de 5 s?

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

R e s o lu c ió n :

De la figura: dA = 13 + dc + 12 at2 Pero: dA = v0t + —

dc = vct

2t2 => 10t + # - = 13 + 10t + 12

=> t2 = 25 => t = 5 s Un automóvil parte del reposo y acelera a ra zón de 8 m/s2 durante 12 s; en los 25 s si guientes corre con velocidad constante y lue go desacelera a 16 m/s2 hasta que se detiene. ¿Qué distancia total ha recorrido?

Del dato: d, = v ,t = 3(5) = 15 A d2 = v2t = 4(5) = 20 De la figura: x2 = ( e ^ 2 + (e2)2

R e s o lu c ió n :

=» x2 = 152 + 202 => x = 25 m 6.

v = cte.

Un auto que parte del reposo y se m ueve con MRUV, acelera a 4 m/s2 y debe recorrer 1200 m

reposo Q -

para llegar a su destino; sin embargo, cuando le faltan 400 m deja de acelerar y m antiene constante su velocidad hasta llegar a su desti no. ¿Qué tiem po empleó el auto para llegar a su destino?

. a t2 8 x 122 r-rci d i = - r - = — - — = 576 m 2 2 v = at = 8 x 1 2 = 96 m/s

R e s o lu c ió n :

d2 = vt = 96 x 25 = 2400 m

Finalmente: 0 = 962 - 2 x 16 x d3 => d3 = 288 m .

o ~ o~

o ' ’ o : =-'-c 1----------------- 1 400

i------------------------

800

Dos m óviles parten sim ultáneam ente desde un m ismo lugar, en la misma dirección y sen tido; uno lo hace con velocidad constante de 20 m/s y el otro parte del reposo acelerando. ¿Qué aceleración debe tener este para alcan zar al primero en 10 s?

at? 4t? d-i = - ^ => 800 = - ~ => t, = 20 s vf = v0 + at =» V = 0 + 4 x 20 => v = 80 m/s d2 = vt2 => 400 = 80t2 =» t2 = 5 s

R e s o lu c ió n : — a,

=> ttota! ~ 20 + 5 => 25 s 7.

Un auto viaja con una velocidad de 36 km/h y divisa a 13 m delante de él a un camión que viaja con una velocidad constante de 10 m/s, en la misma dirección y sentido que el auto. Si el auto para adelantar al camión acelera a 2 m/s2, indique el tiem po que necesita para lograrlo, la longitud del auto y del camión son de 3 m y 9 m, respectivamente. R e s o lu c ió n :

< o < o i---------- d , ------------ 1 d i = d2 => v, x t = 20 x 10 = a2X- 1° 10.

=> 20 x t = 32 X t 2

=> a2 = 4 m/s2

Un auto parte del reposo con aceleración constante y se mueve en trayectoria rectilí nea; sí logra recorrer 99 m en el sexto segun do, calcular la distancia recorrida (a partir del inicio de su m ovimiento), por el auto, cuando su velocidad es de 72 m/s.

F ís ic a |

R e s o lu c ió n :

el m om ento en que el chofer oiga el eco? La rapidez del sonido en el aire es c. a) x = 2L

b )x = 2 !f C dR = a x - — = ax 5

36 a 2 25 a

vyi c' .2

c) x = 2Lv...(2) d) x = 2Lv

( 1 ) - (2): d6 - d 5 = ^

v + -Ic2 - v2sen2a

= 99 e) x = 2Lv

^ a = 18 m/s2

vsena + ’/c 2^ v 2cos2a

Luego: vf2 = v02 + 2ad En los vértices de un triángulo equilátero de lado a, se encuentran tres puntos. Ellos em piezan a m overse sim ultáneam ente con una velocidad v constante en módulo, con la par ticularidad de que el primer punto mantiene invariablem ente su curso hacia el segundo; el segundo, hacia el tercero y el tercero hacia el primero. ¿Pasado qué tiem po los puntos se encontrarían?

^ 722 = 0 + 2 x 1 8 x d => d = 144 m

[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS 1.

T~j

Un tren después de 2 h de marcha se detiene 15 min y vuelve a ponerse en marcha con una rapidez igual 3/4 de la rapidez anterior llegan do a su destino con un atraso de 33 min. Si la detención hubiera tenido lugar 7 km más ade lante, el atraso hubiera sido de 31 min. ¿Qué distancia recorrió el tren? a) 1000 km d) 253 km

b) 183 km e) 187 km

a) a/v d) 2a/3v

b) 80 e) 50

c) 2a/5v

Dos coches ubicados a 100 m de un obstácu lo parten sim ultáneam ente con rapideces de 2 y 3 m/s. ¿Después de qué tiem po los móviles equidistan del obstáculo?

c) 203 km

Un tren se m ueve con rapidez uniform e de 50 km/h, mientras que un carro que viaja por una carretera paralela a la vía férrea hace lo propio a 80 km/h. Am bas rapideces son res pecto a un puesto ferroviario y en sentidos opuestos. Hallar la rapidez del auto, respecto a un pasajero ubicado en el tren cuando se cru zan (en km/h). a) 30 d) 130

b) 2a/v e) 3a/5v

a) 10 s d) 40 s

b) 20 s e) 50 s

c) 25 s

Con rapidez constante v, un ciclista recorre una pista cuadrada. Encuentre el m ódulo de la velocidad media, cada vez que el ciclista recorre dos lados consecutivos. a) v /2

c) 65

c) v /3

d )J * Un autom óvil se aleja con una rapidez v de una pared larga bajo cierto ángulo a respecto a ella. Cuando la distancia hasta la pared era L, el autom óvil dio una señal sonora corta. ¿Qué distancia recorrerá elautom óvil hasta

La figura m uestra la trayectoria de un móvil que va de A hasta B, con rapidez constante v. Si R es el radio de curvatura, hallar el m ódulo de su velocidad media.

¡ C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

parte de Lima con rapidez constante a las 8 de la mañana y llega a Barranca a las 12 del mediodía. ¿A qué hora habrá pasado por Huacho? móvil a) V d) v/3 8.

b) v/ ti e) 3 v/it

a) 10 h 37 min 40 s c) 9 h 45 min 32 s e) 11 h 53 min 34 s

c) 2 v/jt

La partícula m ostrada para ir de A hacia C de mora 5 s. ¿Cuál es el m ódulo de su velocidad m edia? (AB = 5 m y B C = 1 5 -/2 m )

13.

Dos partículas se m ueven con velocidades constantes de módulos 4 m/s y 2 m/s en di recciones perpendiculares, tal que la segunda pasa por el punto de cruce de las trayectorias 2 segundos antes que la primera. Determine la distancia entre ambas partículas después de 3 segundos que la primea partícula pasó por el punto de cruce. a) 13,4 m d) 22,4 m

d) 7 m/s 9.

e) 8 m/s

Una partícula se m ueve con MRU en el plano xy. Si la rapidez del móvil es 3 m/s; determ i nar la distancia m ínima del móvil al origen de coordenadas, sabiendo que su vector posi ción describe un área de 6 m2 en cada se gundo. a) 1 m d) 4 m

b) 2 m e) 5 m

a) 3,2 d) 6,4 11.

b) 3.6 e) 7,2

c) 4,8

Un hombre va a pie de A hacia B, sale al me diodía y viaja a 70 m/min. En cierto punto, sube a u n camión que viaja a 150 m/min y que salió de A a las 12:20 p. m. El hombre llega a B 20 min antes que si hubiera continuado andado. ¿Cuál es la distancia entre A y B? a) 2625 m d) 2135 m

b) 1125 m e) 1325 m

c) 5250 m

12. De Lima a Huacho hay aproxim adam ente 130 km; de Lima a Barranca, 180 km. Un auto

b) 8,9 m e) 15,6 m

c) 22,0 m

14. La distancia entre una ciudad y una fábrica es 30 km, un hombre com ienza a viajar de la ciu dad a la fábrica a las 6:30 a. m. y un ciclista va de la fábrica a la ciudad de donde sale a las 6:40 a. m., viajando a una rapidez de 18 km/h. El hombre encuentra al ciclista después de re correr 6 km. ¿Con qué rapidez se desplazó el hombre? a) 2 km/h d) 5 km/h

c) 3 m

10. Una persona de 1,7 m de estatura va corrien do con una rapidez constante de 3 m/s y pasa junto a un pose de 3,2 m. Hallar la rapidez del extrem o de su sombra proyectada en el piso (en m/s).

b) 11 h 25 min 45 s d) 10 h 53 min 20 s

15.

b) 3 km/h e) 6 km/h

c) 4 km/h

Dos tanques se acercan el uno al otro con ra pideces de 30 m/s y 20 m/s. Si inicialmente están separados 200 m y luego de 2 s dispa ran, sim ultáneam ente y en form a horizontal, proyectiles a 100 m/s. Determ inar a qué dis tancia, del primer tanque, se produce ia explo sión de ambos proyectiles al chocar desde el reposo, en el disparo. a) 15 m d) 40 m

b) 20 m e) 52 m

c) 35 m

16. Una persona sale todos los días a la misma hora de su casa y llega asu trabajo a las 9:00 a. m. Un día se traslada al doble de la velocidad acostumbrada y llega a su trabajo a las 8:00 a. m. ¿A qué hora sale siem pre de su casa? a) 6:00 a. m. c) 2:00 a. m. e) 5:30 a. m.

b) d)

6:30 7:00

a. m. a. m.

F ís ic a |

17.

pués de qué tiem po el móvil B, que estaba retrasado, adelanta al móvil A en 500 m?

Una persona sale de su casa y llega a su tra bajo en 30 minutos de camino a una velocidad constante. Un día que salió norm alm ente de su casa, en m itad de su trayecto, se detiene por un tren en un intervalo de tiem po de 20 minutos. Luego reanuda su m ovim iento dupli cando su velocidad hasta llegar a su destino. ¿Cuánto tiem po llega retrasado a su centro de

a) 50 s d) 120 s 2.

trabajo? a) 7,5 min c) 12,5 min e) 20 min 18.

b) 10 min d) 15 min

30 m/s y 20 m/s en la misma dirección para luego encontrarse en el punto A. Si el segun do auto dem orase 2 s en salir, el encuentro de los autos sería Y metros antes de A. Halle Y,

a) 150 d) 80

b) 100 e) 50

c) 120 4.

19. Se m uestra una barra rígida lanzada al aire y las direcciones de la velocidad de sus ex tremos en un determ inado Instante. Hallar la m agnitud de la velocidad del extrem o A. a) 16 m/s

b) 12 m/s c) 25 m/s d) 20 m/s e) 15 m/s

1. c

9. d

13. e

2. d

6. b

10. d

14. c

18. c

3. d 4. d

. 7. c 8. b

11. c 12. d

15. e

19. d

16. d

[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS ~2 | Dos m óviles A y B se encuentran en una m is ma recta ¡nlcialmente separados 1000 m. Se mueven en una misma dirección con rapide ces de 20 y 30 m/s, respectivam ente. ¿Des

b) 10 s e) 76 s

c) 11

b) 648 m e) 1536 m

c) 972 m

Un portavlones avanza hacia el Sur a una velocidad constante de 60 km/h respecto a tierra. En un instante dado (t = 0) despegan de su cubierta 2 aviones de reconocimiento, uno que va hacia el Norte y otro que va hacia el Sur, ambos con una velocidad de 600 km/h con respecto a tierra y en la misma dirección del m ovimiento del portaviones. Cada uno se aleja 200 km respecto al portavlones y regre sa a él. Hallar la relación entre los tiempos em pleados en esos recorridos (tn para el que fue al Norte y ts para el que fue hacia el Sur). a) tn = 2ts d) tn = 3ts

17. c

5. d

c) 90 s

Una persona ubicada entre 2 montañas emite un grito y recibe el prim er eco a los 3 segun dos y el siguiente a los 3,6 segundos. ¿Cuál es la separación entre las montañas? (Rapidez del sonido en el aire igual a 340 m/s) a) 262 m d) 1122 m

en metros.

b) 60 s e) 150 s

Dos móviles parten al encuentro desde los puntos A y B distantes 152 m con rapideces de 6 m/s y 8 m/s, respectivam ente; pero el móvil que partió de B lo hace 2 s después que el otro. ¿Al cabo de qué tiem po de haber par tido el primero se encontrarán los móviles? a) 10,8 s d) 12 s

Dos autos separados cierta distancia salen si m ultáneam ente con rapideces constantes de

b) ts = 2tn e) ts = 3tn

c) tn = ts

Una co lu m n a de so ld a d os que se extie n de 2 km se m ue ve p o r la c a rre te ra a razó n de 8 km/h. El capitán que se halla en la reta guardia envía un motociclista con una orden a la cabeza de la columna. Después de 20 minutos el motociclista regresa. Determine la rapidez del motociclista considerando que avanzó, en ambas direcciones, con la misma rapidez. a) 16 km/h d) 8 km/h

b) 12 km/h e) 6 km/h

c) 10km/h

¡ C

Una persona A golpea un riel de acero, y otra persona B oye el sonido transm itido por los rieles 5 segundos antes que el propagado por el aire. Si el riel no presenta ninguna curva, ¿a qué distancia se encuentra B de A?

o l e c c ió n

E l Po stu lan te

a) 0,5 d) 2,5 12.

(^sonido en el aire “ 350 m/s)

b) 1,5 e) 3,0

Hallar el m ódulo d é la aceleración m edia si el tiem po de contacto entre la pelotita y la pared fue 3 s. v = 10 m/s

('^sonido en el acero “ 700 ITl/s)

a) 4000 m d) 2500 m 7.

b) 3500 m e) 2000 m

a) 1 m/s' 2 b) 2 m/s' 2 c) 3 m /s:

c) 3000 m

La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x está dada en función del tiempo por x = - 3 t + 4t2. Hallar la rapidez, en m/s, en el instante t = 2 s . a) - 3 i

b) 13 i

d) —13i

e) 3Í

c) 10¡

2 d) 4 m /s: 2 e) 6 m /s:

13.

Un móvil tiene un m ovimiento rectilíneo repre sentado por la ecuación: x = 4t2 + 4t + 1 (x en metros y t en segundos). Hallar la posición x del móvil (en m) cuando su rapidez es 8 m/s. a) 0 d) 6 9.

b) 4 e) 9

b) 10 s e) 25 s

/ ) 60°

4 m/s a) 2 l3 m /s2 d) 6 /3 m /s2 14.

c) 15 s

10. Si el m ódulo de la velocidad de la partícula perm anece constante, y es igual a 2 m/s. Ha llar la aceleración media para ir de A hasta B, si demora 1 s. a)

(i+

En el diagram a, para que el móvil vaya de A hacia B emplea 2 s, observándose que, en A, su rapidez es de 8 m/s y, que en B, es de 4 m/s. ¿Qué magnitud tendrá la aceleración media del móvil en este trayecto?

c) 3

Dos móviles A y B se están moviendo en sen tidos opuestos con rapideces constantes vA y vB. En t = 0 se encuentran separados 120 m. Si los m óviles se cruzan después de 10 s, calcu lar después de qué tiem po a partir del encuen tro estarán separados 60 m. a) 5 s d) 20 s

c) 2,0

b) 4 m/s2 e) 5 m /s2

c) 10 m/s2

Se tiene un vaso cilindrico de 7,5/n cm de ra dio y 10 cm de altura. En el punto A y por la superficie externa del vaso, se encuentra una horm iga la cual se mueve con rapidez cons tante de 6,25 cm/s. Determ ine el tiempo m íni mo para llegar hacia la gota de miel adherida en la superficie interna del vaso y en el punto B.

¡3 j ) m /s2

(i-

j )rr,/s2

(i+

h o riz o n ta l

)m/s2

d) (3 i + /3 j •) m /s2 e) ( - i + /3 j ) m /s2

11. Los v e c to re s v e lo c id a d in sta n tá n e a en los in s ta n te s t, y t2 son v, = (2¡ + 3j) m /s y v2 = (6¡ + 9j) m/s. Si la aceleración media en este intervalo de tiempo At es (2¡ + 3j) m/s2 determ ine At = (t2 - ti) en segundos.

c) 2 s

15.

Una lancha, navegando río abajo, deja atrás una balsa en el punto A. Transcurridos t = 60 min

F ís ic a |

la lancha da la vuelta y vuelve a encontrar la balsa a L = 6,0 km más abajo del punto A. Ha lle la rapidez de la corriente, en am bas direc ciones, si alolargo del trayecto de la lancha el motor trabajó por igual. a) 1 km/h d) 4 km/h 16.

b) 2 km/h e) 5 km/h

b) 4

c) 5

Dos móviles se desplazan en trayectorias rec tas y paralelas que están separadas 12 m, con rapideces constantes de 2 m/s y 3 m/s acer cándose mutuam ente. Si en cierto instante la separación de los móviles es de 13 m; ¿qué dis

c) 3 km/h

tancia los separa luego de 6 s de pasar por la posición indicada?

Dos trenes cuyas longitudes son 120 m y 90 m viajan por vías paralelas en direcciones con trarias con rapideces de 72 km/h y 54 km/h, respectivam ente. ¿Cuánto tiem po emplearán en cruzarse totalm ente? a) 3 s

19.

d) 6 s

e) 8 s

a) 25,0 m d) 13,0 m 20.

b) 27,7 m e) 20,0 m

c) 25,5 m

Dos móviles parten sim ultáneam ente y se m ueven con rapidez constante de

= 3 m/s

y v2 = 2 m/s. Una vez que han llegado a su destino retornan. ¿A qué distancia del punto

17.

Dos relojes están separados 1360 m, pero uno de ellos está adelantado 3 s. ¿A qué dis tancia de! reloj adelantado se oirá a los dos relojes dar la hora sim ultáneam ente? (rapidez del sonido en el aire es 340 m/s). a) 1020 m d) 1190 m

b) 240 m e) 3782 m

c) 170 m

18. Determ inar la magnitud de la velocidad de una partícula que se desplaza en el eje x con la siguiente ecuación: x = t3 + tz para t = 2 s. a) 12 m/s d) 16 m/s

b) 14 m/s e) 20 m/s

c) 13m/s

de partida se cruzaron? v, A _^= g M

.,s„ v2 u ^ y t i — ü_________b

I----------------------1----------------------------------1 60 m 140 m a) 20 m d) 60 m

b) 30 m e) 80 m

c) 100 m

17. d

1. e 2. d

5. a

9. a

13. a

6. b

10. d

14. c

18. d

3. d

7. b

11. c

15. c

19. b

4. c

8. b

12. d

16. d

20. d

MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE (MVCL) Es aquel tipo de m ovimiento uniform em ente acele rado, cuya trayectoria es una linea recta vertical y que se debe a la presencia de la gravedad pero no del peso del cuerpo, ya que no considera la resis tencia del aire. Este tipo de m ovim iento se refiere cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, o sim plemente es soltado. Este tipo de m ovim iento es independiente del peso del cuerpo.

Un cuerpo que es lanzado verticalm ente ha cia arriba alcanza su altura máxima cuando su velocidad final en el punto más alto es igual a cero. v, = 0

-O '1 Si: H„

vf = 0

Umax

ó Ó

Signo de g: tom a el signo positivo cuando cae y toma el signo negativo cuando sube. CARACTERISTICAS DEL MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE

O bservaciones: La gravedad no es la misma para todos los lu

No se considera la resistencia del aire, o sea el medio es vacío.

gares de la Tierra, depende de la altura sobre el nivel del m ar y de la latitud.

El m ovim iento de caída libre plantea la misma aceleración para todos los cuerpos cualquiera sea su masa, a esta aceleración se le llama ace leración de la gravedad normal, cuyo valor es: g = 9,8 m /s2 = 980 cm /s2 = 32,2 pies/s2 Si un cuerpo es disparado verticalm ente hacia arriba, desde una determ inada altura, se cum ple que la intensidad de la velocidad de subi da (vs) es igual a la intensidad de la velocidad de bajada (vB), y que el tiempo em pleado para subir (ts) y bajar (tB) un mismo tram o o altura, son iguales.

v O ,: ts - tB Vs = VB

En los polos: g = 9,83 m /s2 (máxima) En el ecuador: g s 9,78 m/s2 (mínima) No solo la Tierra atrae a los cuerpos, también el Sol, la Luna y todo astro. Se entiende por gravedad a la región de espacio que rodea a un astro gracias al cual atrae a los cuerpos (campo gravitatorio) y la aceleración de la gravedad es la rapidez con que es atraído un cuerpo. 9 T ic

Q Lu na —

9 sol - 28 gTie

La aceleración de la gravedad g depende de la masa y el radio terrestre, asim ismo de la corteza terrestre de la Tierra (sial y sim a) o sea:

„ Vf g = g—

Todos los cuerpos que se dejan caer sim ultá neamente con la m isma velocidad inicial des de una altura, utilizan el m ismo tiem po para llegar al suelo.

= 6,67 x 10 universal)

(constante de gravitación

MT = 5, 9 x 1024 kg (masa de la Tierra) Rt = 6400 km (radio de la Tierra)

F ís ic a ¡

Como las características en sus m ovimientos tanto en el MVCL y en el M RUV son equiva lentes, las ecuaciones o fórm ulas y los gráfi cos también lo son. O

v< = °

MRUV

d = vH t (MRU) h = v¡t + ^ g t

(caída libre)

vf = v¡ + gt (caída libre) vf2 = v¡2 ± 2gh (caída libre) Y = V '-^ V-f (caída libre)

vH = veos a ; vv = vsena

ó MRUV

vH: com ponente horizontal de v vv: com ponente vertical de v v¡ y vf: componentes verticales Inicial y final, respectivam ente.

MVCL CQ

vf2 = v 2 + 2ad

vf2 = v 2 + 2gH

d = v¡t ± — at2 2

H = v¡t ± 1 gt2

< l+

(+): descenso acelerado vf = v¡ ± at

( - ) : ascenso retardado El m ovim iento parabólico de los proyectiles es un m ovim iento com puesto por un MRU (hori zontal) y una caída libre (vertical), d: desplazam iento horizontal h: desplazam iento vertical

d = P ± * )t 2 H m áx

MOVIMIENTO

PARABÓLICO

CAÍDA

= - ~--en—- (altura máxima) 2g

LIBRE

(MPCL)

A hor = 2v s e n u .g ° S(.í (a lca n ce h o rizo n ta l)

Es el movimiento que tiene por trayectoria una pará bola, el movimiento es efectuado por los proyectiles sin resistencia del aire y solo bajo la acción de la gravedad. Este movimiento resulta de la composi ción de un MRU horizontal y una caída libre vertical.

tv =

(tiem po de vuelo)

EJERCICIOS RESUELTOS

.— v//

S0 91

Desde la parte superior de un edificio se im pulsa verticalm ente hacia arriba un cuerpo a 20 m/s y cuando ¡mpacta en el piso, lo hace a 40 m/s ¿Qué altura tiene el edificio? (g = 10 m/s2) R e s o lu c ió n : Reposo

Ecuaciones

,-O-T 20

’ 20 m/s

^ 4 0 m/s

j C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Analizando solo el descenso v f = v,2 + 2gH =» 40 2 „

1 6 0 0 -4 0 0

h = 4x => x = -

g tí Un cuerpo se deja en libertad desde una cier ta altura y se sabe que en el último segundo de su calda recorre 20 m, ¿Qué velocidad tie ne al im pacíar en el piso? (g = 10 m/s2)

Para h: H =

4x =

R e s o lu c ió n :

=> vf = v¡ + 10

- to

2 ...(2 ) g (‘ i + h f

í g tf

( 1)

2 /

4 ti2 = (tf + t2)2 => 2tf = tf + t2 => t, = t2 o

20 = v¡ + Vf 1 ~ 2 v¡ + vf = 40

Reposo

g (ti + t2)2

(1 )e n (2): 4

H _ v, + Vf t ' 2 ^

( 1)

Q Reposo

En el último segundo vf = v¡ + gt

3h 4

gt Para h/4: H = — 2

x = 60 m

3x :

2 O2 + 2 (10) x

V -2 = 1

' >1 s 5.

20 m/s ... (2)

De (1) y (2): vf = 25 m/s Dos esferitas se lanzan vertlcalm ente hacia arriba con velocidades de 19,6 m/s y 9,8 m/s; respectivam ente. Calcular la diferencia entre las alturas m áximas alcanzadas, por las esfe ritas.

De un caño cae una gota cada 0,1 s. Si cuan do está por caer la tercera gota se abre la lla ve y sale un chorro de agua. ¿Con qué veloci dad debe salir dicho chorro para que alcance a la primera gota, justo cuando llegue al piso? (El caño se encuentra a una altura de 7,2 m y g = 10 m /s2). R e s o lu c ió n : Para la primera gota:

R e s o lu c ió n :

« .a .

vf = 0 0 T Vf2

v 2

- 2gH máx

7,2 = y ( 0 , 2 + t f => 1,44 = ( 0 ,2 + t)2

=> 1,2 = 0 ,2 + t => t = 1 s

£L

Para el chorro: Para la primera: H máx(1) ~

Para la segunda: H máx(2) : ■ • ^máx(1)

19,62 2 x 9 ,8 9 ,8 2 2 x 9 ,8

= 19,6 m H = v¡t +

gt 2

7,2 = v x 1 +

10 x 1

: 2,2 m/s

= 4 ,9 m

^máx(2) = 14,70 m

[ " " e je r c ic io s PROPUESTOS 4.

Para un cuerpo que cae libremente, encontrar la relación entre los tiem pos que emplea en recorrer ia primera cuarta parte y las tres cuar tas partes restantes de su recorrido. R e s o lu c ió n : Sea la altura total:

□

Indicar verdadero (V) o falso (F) en las si guientes proposiciones: I.

La aceleración de la gravedad en la Luna es m enor que la aceleración de la grave dad en la Tierra.

F ís ic a |

II. La aceleración de la gravedad dism inuye con la altura.

II!. 9po¡os ? Secuador

IV. Los satélites que orbitan alrededor de la Tierra se encuentran en caída libre. a) VVVV d) FFFF 2.

b) FFVF e) VFVF

Indicar verdadero (V) o falso (F) en las si guientes proposiciones: I.

Un cuerpo puede tener velocidad cero y aceleración diferente de cero.

II.

Dos cuerpos de diferente peso soltados de una misma altura, en presencia de la resistencia del aire llegan al suelo al mismo tiempo.

a) VFFV d) VVFV 3.

b)FFVV e) FFFF

10 j m/s. ¿Cuánto tiem po empleará hasta que su velocidad sea de - 3 0 j m/s? (g = 10 j m/s2). a) 2 s d) 5 s 4.

c) 4 s

a) 40 m/s

- 1 0 j m/s. Hallar su velocidad al cabo de 5 segundos, (g = 10 m /s2)

d) 3 0 /3 m/s

a) 4 s; 45 m c) 7 s; 70 m e) 10 s; 160 m

11.

b) - 6 0 m/s d) - 3 0 m/s

Un cuerpo es lanzado verticalm ente hacia arriba con una rapidez de 40 m/s. Calcular el tiem po que demora en llegar al punto de lan zamiento y la altura máxima alcanzada. (g = 10 m/s2) b) 6 s; 20 m d) 8 s; 80 m

c )1 2 0 m

b) 20 m e) 50 m

c) 30 m

10. Desde lo alto de un edificio se suelta un cuer po que tarda 4 s en llegar a Tierra. D eterm i nar su velocidad en la mitad de su recorrido, (g = 10 m /s2)

Karlita lanza una piedra con una velocidad de

a) - 5 0 m/s c) - 4 0 m/s e) - 1 0 m/s 5.

b)3 s e)6 s

b) 100 m e) 200 m

Se lanza un objeto verticalm ente hacia arriba con una rapidez de 30 m/s, encontrar a qué altura con respecto al punto de lanzamiento se encontrará a! cabo de 4 s. (g = 10 m /s2) a) 10 m d) 40 m

Una pelota es lanzada con una velocidad de

b) 20 m/s; 3 s d) 40 m/s; 80 s

Una piedra se abandona desde lo alto de una torre,, si luego de cuatro segundos de haber sido soltada se encuentra en la mitad de la to rre. ¿Qué altura posee la torre? (g = 10 m/s2) a) 80 m d) 160 m

c) VFVV

b) 20 m/s; 20 m d) 40 m/s; 80 m

Un cuerpo es lanzado verticalm ente hacia arriba con cierta rapidez v logrando alcanzar una altura de 125 m. Calcular v y el tiempo que demoró en llegar al punto de lanzamiento. a) 10 m/s; 2 s c) 30 m/s; 5 s e) 50 m/s; 10 s

III. A un m ismo nivel horizontal la velocidad de subida es igual a la velocidad de baja da. IV. Durante el descenso en caída libre la ve locidad y la aceleración de la gravedad forman un ángulo de 0°.

Un cuerpo se abandona cerca de la superficie terrestre; luego de 3 segundos de haber sido soltado ¿qué rapidez posee y qué altura reco rrió? (g = 10 m/s2) a) 10 m/s; 10 m c) 30 m/s; 45 m e) 60 m/s; 100 m

c) FVFV

c) 2 0 /2 m/s

e) 3 0 /2 m/s

Desde la azotea de un edificio de altura H se lanza verticalm ente hacia arriba un objeto con una rapidez de 30 m/s; si el objeto emplea 8 s en llegar al piso, calcular la altura del edificio, (g = 10 m/s2) a) 40 m d) 120 m

12.

b) 20 m/s

b) 80 m e) 125 m

c) 60 m

Un globo aerostático se eleva con una rapidez constante de 5 m/s. Cuando se encuentra a una altura de 360 m se deja caer una piedra respecto del globo. Hallar el tiem po que tarda la piedra en llegar a la tierra, (g = 10 m/s2)

| C

o l e c c ió n

a) 6 s d) 15 s 13.

E l Po stulante

b) e)

9 s 18 s

c) 12 s

17.

18.

e) 24 m

Desde ia azotea de un edificio cae una m one da, una persona observa que tarda 9,2 s en pasar por delante de una ventana de 2,2 m de altura. Determine la distancia entre la azotea y el marco superior de la ventana, (g = 10 m/s2) a) 3 m ,d) 9 m

15.

b) e)

5 m 11 m

b) 60 m e) 45 m

c) 25 m

A,~

b) 60°

Dos partículas A y B están ubicadas en la misma vertical (A sobre B) separadas 80 m; si A se suelta y B se lanza verticalm ente hacia arriba con una velocidad de 5 m/s, calcular el tiempo para el encuentro, (g = 10 m/s2) a) 16 s d) 8 s

19.

c) 7 m

Un bloque es soltado en el punto A (vA = 0) y después de 10 s pasa por B con una rapidez de 80 m/s. Hallar© si no existe rozam iento. (g = 10 m /s2) a) 30°

c ) 8 jm / s

e) 0

Un objeto es soltado de cierta altura y recorre 25 m en el último segundo de su caída. De term ine de qué altura fue soltado tal objeto. (g = 10 m /s2) a) 100 m d) 35 m

c) 12 m

14.

40 m/s

b) 8 m d) 16 m

b ) - 1 2 jm / s -

d) - 8 j m/s

En la figura el móvil A es lanzado verticalm en te hacia arriba con velocidad de 40 m/s. ¿A qué distancia del móvil A debe encontrarse otro móvil B para que al ir con rapidez cons tante de 2 m/s, choque con este justo antes de im pactar en el suelo? (A y B parten al mismo tiempo y g = 10 m/s2) a) 4 m

a) 1 2 j m/s

b) 20 s e) 36 s

Un objeto es lanzado verticalm ente hacia arri ba con 20 m/s, si luego se le lanza con una rapidez v, verticalm ente hacia arriba, se ob serva que su altura m áxima aumentó en 60 m. Hallar v. (g = 10 m/s2) a) 60 m/s d) 80 m/s

20.

c) 10 s

b) 40 m/s e) 30 m/s

c) 160 m/s

Desde la azotea de un edificio se lanza un objeto verticalm ente hacia arriba con una ra pidez de 10 m/s llegando al piso 4 s después. Determine la altura del edificio.

c) 37° d) 53° e) 45° 16.

Desde el techo de una casa de 7 m de altura, un niño lanza una maceta verticalmente hacia aba jo con una rapidez de 2 m/s. ¿Con qué velocidad llegará la maceta a tierra? (g = 10 m/s2)

a) 5 m d) 40 m

b) 20 m e) 80 m

c) 45 m

1. a

5. d

9. d

13. d

17. e

2. a

6. c

10. c

14. b

18. a

3. c

7. e

11. b

15. d

19. b

4. b

8. d

12. b

16. b

20. d

ESTÁTICA Es la parte de la mecánica que se encarga de estu diar a los cuerpos que se encuentran en equilibrio.

NATURALEZA DE LAS FUERZAS Todas las interacciones se agrupan en tres tipos de fuerzas:

CONCEPTOS GENEALES Equilibrio. Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando no tiene aceleración, por lo tanto, solo hay 2 posibilidades. Está en reposo o se m ueve en lí nea recta con velocidad constante. c tu • n Equilibrio: a = 0

í v = 0 (reposo) | v = ("MRU)

Fuerza gravitacional. Es la fuerza de atrac ción entre dos cuerpos debido a sus respec tivas masas, esta fuerza es muy débil, y para sentir su efecto es necesario que por lo me nos uno de los cuerpos tenga una masa muy grande como la del Sol o de los planetas.

Fuerza (F). Cuando suspendem os un cuerpo, golpeam os un clavo, estiram os o com prim im os un resorte, em pujam os un automóvil o lim piamos una ventana de vidrio, decimos que estamos interaccionando; la interacción es pues ja la r o em pujar los demás cuerpos, entonces, la fuerza es la me dida de la interacción que se m anifiesta entre dos cuerpos. El peso de los cuerpos (W) es una fuerza gra vitacional y se debe a que la masa de la Tierra (M) atrae la masa (m) de los cuerpos.

Cabe recalcar que esta interacción puede ser por contacto o a distancia. Su unidad en el SI es el newton (N). M edición estática de la fuerza. Considerem os el resorte en espira! de longitud (L.) que se muestra en la figura, en el extrem o de este resorte aplique mos una fuerza (F) vertical hacia abajo, observa remos un aum ento (x) en la longitud directam ente proporciona! a la fuerza aplicada. Robert Hooke fue el primero que estableció esta relación mediante el invento de un resorte com pen sador para un reloj.

W = mg

VV: peso del cuerpo m : masa del cuerpo g : aceleración de la gravedad

El peso es un vector que siem pre apunta ha cia e! centro de la Tierra y puede variar de un lugar a otro ya que depende de la aceleración de la gravedad (g). 2.

La ley de Hooke se escribe como:

F uerza e le c tro m a g n é tic a . Se d e sco m p o ne en: Fuerza eléctrica: es la fuerza de atracción o repulsión entre dos cuerpos debido a que am bos poseen cargas eléctricas. Fuerza magnética: es una fuerza adicional a la fuerza eléctrica cuando las cargas eléctri cas están en movimiento.

F: fuerza deform adora k: constante de rigidez (depende del tipo de ma terial) x: elongación L: longitud natural (sin deformar)

Fuerzas nucleares. Son fuerzas que apare cen cuando la distancia entre ¡os cuerpos es menor que 10 15 m y desaparecen cuando esta distancia aumenta, luego son fuerzas de corto rango. Estas fuerzas explican por qué las partículas dentro del núcleo del átom o se m antienen unidas.

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Todas las diferentes fuerzas que se manifiestan en la naturaleza son de origen gravitacional, electro magnético o nuclear.

Fuerza normal (N). Considerem os un cuerpo sobre una superficie plana:

FUERZAS MÁS USADAS EN ESTÁTICA 1.

Tensión (T) en una cuerda. Tomemos una cuerda fija en el punto B y jalem os desde el otro extrem o A mediante una fuerza F.

-C 3 . N

M •

•

Mr A *J * corte imaginario

►

Debido ai contacto las m oléculas inferio res del cuerpo se comprim en (acercan).

F *■

En el contacto aparece una fuerza normal (N) para contrarrestar el acercam iento mo lecular.

Debido a la fuerza F las m oléculas de la cuerda se separan. Para contrarrestar esta separación m ole cular aparece una fuerza de restitución, llamada tensión (T) la cual se opone a la fuerza exterior F. •

Separando im aginariam ente la porción MA de la cuerda observam os que la tensión (T) se opone a la fuerza exterior F, ya que en el punto M ias moléculas se separan.

Com presión (C) en una barra. Tomemos una barra apoyada en el punto B y en el otro extre mo A apliquem os una fuerza F que comprim e la barra. B

Separando im aginariam ente el cuerpo de la superficie plana representam os la fuer za normal (N) la cual siem pre ingresa al cuerpo en form a p e rp e n d icu la r al con tacto. Las fuerzas de tensión (T), compresión (C), normal (N) son m oleculares y por tanto de naturaleza elec trom agnética. LEYES DE NEWTON

1.a Ley (ley de la inercia). La primera ley de Newton o ley de la inercia fue enunciada en el año 1787 y establece que: "Todo cuerpo con tinúa en su estado de reposo o de movimiento a velocidad constante m ientras que sobre elcuerpo no actúe una fuerza resultante exterior que lo obligue a cam biar de velocidad". La tendencia que tiene un cuerpo de m ante

corte im aginario

ner su estado de reposo o de m ovimiento a velocidad constante se llama inercia.

Debido a la fuerza F las m oléculas de la barra se acercan.

3.a Ley (ley de la acción y reacción). Descubier ta por Isaac Newton y publicada en el mismo

Para contrarrestar este acercam iento mo lecular aparece una fuerza de restitución, llamada compresión (C) la cual se opone a ia fuerza exterior F.

año que ia ley anterior, establece que: "Siem pre que un objeto ejerce una fuerza (acción)

Separando im aginariam ente una porción MA de la barra observam os que la fuerza de com presión (C) se opone a la fuerza exterior F, porque en el punto M ¡as m olé culas se acercan.

sobre otro objeto, el segundo ejerce una fuerza igual (reacción) y opuesta sobre el primero". La acción y la reacción actúan sobre objetos diferentes. La acción sobre uno de los cuer pos y la reacción sobre el otro cuerpo, por esto nunca se anulan.

F ís ic a j

PRIMERA CONDÍCIÓN DE EQUILIBRIO “Si un cuerpo se encuentra en equilibrio, entonces la fuerza resultante que actúa sobre éí es igual a cero’’.

Aplicando el teorem a de Lamy: F,

se n a

senfí

sentí

SF = 0 Si sobre un cuerpo en equilibrio (m) actúan tres fuerzas, estas deben ser concurrentes, coplanarias o paralelas. Ejemplo: Para plantear la solución a este problema, pode mos escoger cualesquiera de las tres form as que indicamos a continuación:

Por descomposición rectangular, trazando un sistema de coordenadas rectangulares. Se debe cum plir que:

b'F„

2F(,

£F(_ = “ F(_)

Consiste en aislar a un cuerpo y graficar sobre él, primero su peso y luego todas las fuerzas exter nas que actúan sobre él (tensiones, compresiones, reacciones, etc.). SEG UNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

M om ento de una fuerza (M). Es una magnitud vectorial, donde su m ódulo indica el grado de giro que produce una fuerza a un cuerpo alrededor de un punto denom inado: centro de mom entos o cen tro de giro. La dirección del vector mom ento es per pendicular ai piano form ado por el centro de giro y la línea de acción de la fuerza y su sentido se determ ina m ediante ia regia d e ia mano derecha. El momento producido por ia fuer za F con respecto al punto O está dado por: M q = Fd

M JT\

-F x

DIAGRAMA DEL CUERPO U B R E (DCL)

d = OP (brazo ae palanca) F: fuerza aplicada Convención de signos Si el cuerpo gira o intenta girar en sentido ho rario (O ), debido a una fuerza F, se dice que el momento producido por dicha fuerza es negativo.

M ediante el triángulo de fuerzas, ya que si la resultante es cero, los vectores fuerza deben form ar un polígono cerrado.

Si el cuerpo o sistema gira o intenta girar en sentido antihorario (O ), debido a una fuerza F, se dice que el m om ento producido por dicha fuerza es positivo.

nF,

Fi + F2 + F3

Alrededor de A: m om ento positivo

¡ C

o l e c c ió n

E l Po stu lan te

HP hb

R = 100 A lrededor de A: momento negativo

+ 180 = (R)(x) =• + 180 = (100) (x) x = 1,8 m

Caso particular: cuando una fuerza actúa directa mente en el centro de mom entos o su línea de ac ción pasa por dicho punto, el m om ento producido por la fuerza es cero.

P: punto de aplicación de la fuerza resultante (R) SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO “Si un cuerpo se encuentra en equilibrio, se cum ple que la suma de mom entos de las fuerzas que actúan sobre él, con respecto a un mismo punto, es igual a cero”.

Mq = ZMn = 0

cYlata: -

TEOREMA DE VARIGNON "En un sistema de fuerzas, la suma de momentos producidos por cada una de ellas, es igual al mo mento producido por la fuerza resultante (FR) del sistema".

Para que un cuerpo se encuentre en equi librio es necesario que cumpla con las dos condiciones de equilibrio.

Ejemplo: Ejemplo: En el siguiente sistema de fuerzas paralelas, deter mina a qué distancia del extrem o A actúa la fuerza resultante. 100 N

100 N

R = + 100 - 80 - 20 + 100 => R = + 1 0 0 N Cálculo del m om ento resultante o suma de mom entos (2 M A): =

-'M fa

R e s o lu c ió n :

Cálculo del m ódulo de la fuerza resultante (R):

perso que el la per 540 N.

20 N

R e s o lu c ió n :

-M

< :

80 N

Determ inar el peso que debe tener la na sentada en el extrem o derecho, para sistema pueda estar en equilibrio. Adem ás sona sentada en el extrem o izquierdo pesa (No considere el peso de la barra AB) AO = 1,2 m; OB = 1,8 m

Grafiquem os el diagram a de cuerpo libre de AB:

w B^

540 N

r +

\ A

“ I

(80)( 1) - (20)(2) + (100)(3) -180 Nm

Aplicando el teorem a de Varignon: ZM A ; f X R

Aplicando la segunda condición de equilibrio con respecto al punto O: Z M q = 0

F ís ic a ¡

= +(540 N)(AO) - (W B) (OB) = 0 (540 N )(1,2 m) = W B (1,8 m) => W B = 360 N R e s o lu c ió n : CUPLA 0 PAR DE FUERZAS

DCL de la cadena:

Es un sistema de dos fuerzas paralelas; ¡guales en m ódulo y dirigidas en sentido contrario, cuando una cupla actúa sobre un cuerpo trata de propor cionarle cierto m ovim iento giratorió.

T'-J

T,-x

6 o y''

'< p -

Mcupla

“ ^verticales = 0: 2T COS60° = W .-. T = W = 20 N 3. EJERCICIOS RESUELTOS 1.

El sistema m ostrado se encuentra en equili brio; las 4 cuerdas son idénticas y las 2 esfe

Si el sistem a se encuentra en equilibrio y no existe rozamiento; hallar la tensión en la cuer da que sostiene a la esfera 1 y la reacción de la pared sobre 2; dar como respuesta la suma de ambas.

ras también. ¿Qué tensión soporta la cuerda AO ? (Cada esfera pesa 20 N).

R e s o lu c ió n : “ Fhoriz = 0: T sen© = R

R e s o lu c ió n : “ Fyert ~ 9-

DCL del sistema completo:

Tcostl = W, + W 2 => T = (W , + W 2) secG

—^verticales — 0. T — 3 W

T = 60 N

Adem ás: R = (W, + W 2)(^ ® 0 i') \c o s ü / .-. R + T = (W ,+ W 2) (secG + tan0) 4. 2.

Una barra pesada y hom ogénea de 2 m de longitud se apoya en una pared vertical y una

La cadena m ostrada es homogénea, pesa 20 N y se encuentra en equilibrio, ¿qué ten sión soportan los aros ligados al techo y que

superficie cilindrica de ( 7 m de radio; si no

sirven de apoyo?

el equilibrio.

existe rozamiento, calcular el valor de “0” para

E l Po s tu la n te

o l e c c ió n

R e s o lu c ió n : R e s o lu c ió n :

DCL de la barra:

DCL de la barra pesada:

Del gráfico: £ M q = 0: W x f c o s a = R x 4a (2Lsen0)2 + (LcosO)2 = R2 => R = ^ c o s c c

4L2sen20 + L2 cos20 = R2 3L

7 -4 3 -'4 '

sen0 = —

0 = 30°

sen20 =-R

T =

senacosa

T = ■^■ sen2a 16

[ " e j e r c ic io s p ro p u e s to s Si la barra h o m o génea en fo rm a de L que se m uestra en la fig u ra está en e q u ilib rio y OB = OA = 20 cm. Hallar la longitud de OM.

Si la barra homogénea que pesa 120 N, per m anece en equilibrio, ca lcu la r la tensión T (W = 200 N). a) 450 N b) 300 N c) 250 N d) 600 N

e) 650 N R e s o lu c ió n : DCL de la barra: Z M j = 0: W (x) = W (10 - x ) x = 10 - x => x = 5 cm

Si el sistem a se encuentra en reposo y la ten sión en la cuerda 1 es de 30 N, determ ine (en kg) la masa de la barra homogénea y la del bloque (g = 10 m/s2).

1 6.

En ¡a figura se muestra a una barra hom ogé nea de peso W y longitud L; si no existe ro zamiento se pide determ inar la tensión en la cuerda horizontal (L = 5a).

r 5a

F ís ic a j

a) 2; 4 d) 3; 5 3.

a) 300 N d) 450 N

c) 6; 2

b) 8; 4 e) 5; 2

b) 400 N e) 350 N

c) 425 N

Calcular la tensión T de la cuerda y la fuerza de reacción de la articulación; la barra es in grávida y se encuentra en equilibrio (W = 25 N).

Determ ine el valor del ángulo 0 para que la barra homogénea de 60 N se m antenga en la posición m ostrada (g = 10 m /s2). a) 30° b) 37°

a) 20 N; 15 N

F = 18 N

c) 45°

b) 30 N; 15 N

d) 5 3 ’

c) 20 N; 20 N

e) 60°

d) 15 N; 10 N e) 25 N; 15 N

La placa cuadrada y homogénea de /2 k g se encuentra en reposo en la posición mostrada con ayuda de la fuerza F. Determ ine (en N) el valor de esta fuerza F (g = 10 m/s2). a) b) c) d) e)

Articulación

El sistema físico se encuentra en equilibrio. C alcular la tensión T, si se sabe que el peso de las poleas son despreciables y los bloques A y B pesan 2 N y 10 N, respectivam ente.

2 4 6 8 10

a) 4 N b) 8 N c) 6 N

Determ inar la reacción de la pared sobre la esfera de peso 80 N. No co nsidere roza m iento. a) b) c) d) e)

40 N 50 N 60 N 80 N 100 N

37°

d) 5 N e) 12 N 10.

a) 0,5 kg

Calcular la fuerza de reacción normal. La es fera pesa 120 N y el bloque pesa 40 N. Las poleas son de peso despreciable. a) 40 N

El sistem a m ostrado se encuentra en reposo. Determine la masa del bloque, sabiendo que el resorte ideal se encuentra estirado 5 cm y la barra homogénea es de 2 kg (g = 10 m /s2).

b) 1 kg

i k - 500 N/m

c) 1,5 kg d) 2 kg

e) 2,5 kg

b) 60 N

c) 80 N d ) 100 N e) 120 N

O Z

S u p e rfic ie lisa

bn el sistema en equilibrio, calcular la reac ción del piso liso sobre el bloque Q = 500 N, si F = 100 N.

11.

Si los resortes son idénticos y están comprim i dos 4 cm, calcular la masa m-, (k = 120 N/cm; g = 10 m/s2). A ) 150 kg b) 200 kg c) 240 kg d) 250 kg e) 300 kg

| C

o l e c c ió n

E l Po stu lan te

12. C alcular la fuerza F para que los cuerpos es tén en reposo. Ño hay rozamiento.

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

16. La barra homogénea OA de 10 kg y 12 m de longitud, está apoyada en una ranura rectan gular. Determine ia reacción en B (en N). Con sidere superficies lisas (g = 10 m/s2).

a) 3W tana

b) 2W tana

e) - W ta n a 3

W tana

a) b) c) d) e)

c) W tana

17.

13. Calcular la m edida del ángulo 9 para que la barra hom ogénea se encuentre en equilibrio. El peso de la barra es de 60 N mientras que el peso del bloque es de 30 N.

24 52 32 48 66

La esfera de m enor radio pesa 5 N y la de mayor radio pesa 20 N. Si en el sistema no existe fricción, determ inar la fuerza^de reac ción entre las dos esferas.

a) 2,5 N d) 5 /2 N a) 45° d) 30° 14.

c) 60° e) 63,5°

18.

Una cadena cuyo peso es 100 N, se suspen de de los puntos A y B. Calcular la relación entre las reacciones de dichos puntos: R a/R b B

n s 9 t\

c) 10 N 3) 2 ,5 /2 N

En la figura, una varilla de masa despreciable se mantiene en la posición mostrada, su lon gitud es de 1 m y el bloque A es de 20 N. De term ine el módulo de la fuerza de compresión que experim enta dicha varilla. a) 4 N b) 5 N c) 7,5 N d) 6 N e) 4,5 N

d) 16/25 15.

e) 7/24

En la figura, la barra homogénea perm anece en reposo. Si la fuerza de rozam iento entre la barra y el piso es igual a 40 N, determ ine la masa (en kg) de la barra (g = 10 m/s2). — liso

19.

En la figura, el joven jala el cable horizontal mente con una fuerza de 60 N. Si la barra ho m ogénea se encuentra en reposo, determ ine la masa (en kg) de dicha barra (g = 10 m/s2).

F ís ic a |

20.

es una m agnitud vectorial, cuya dirección es perpendicular al plano form ado por la fuerza y el centro de giro.

c) 10

b) 8 e) 14

a) 6 d) 12

La e s fe ra m o stra d a de ra d io 1 m y m asa 3 kg se encuentra apoyada en un hoyo semlcilíndrico de radio igual a 80 cm. Calcular la reacción en los puntos de contacto A y B.

a) FFV d) FFF 3.

c) FVF

b) VFV e) VVV

Calcular el mom ento resultante respecto al punto O, si la placa es hom ogénea cuadrada, de 2 m de longitud y 80 N de peso. a) - 1 0 0 N .m

50 N

/8 0 N

b) - 1 2 0 N .m 2m

c) - 6 0 N .m a) b) c) d) e)

Ra Ra Ra Ra Ra

= = = = =

d) 120 N .m

R b = 30 N R b = 25 N 15; R b = 1 0 N R b = 20 N 10 N; RB = 15 N

e) 100 N .m

1. e

5. c

9. a

13. d

17. d

2. e

6. d

10. d

14. e

18. b

3. d 4. c

7. c

11. a

15. c

19. d

8. a

12. a

16. d

20. b

Indique verdadero (V) o falso (F) según co rresponda:

II.

Para que un cuerpo esté en equilibrio, solo debe cum plir la segunda condición de equilibrio.

b) VFV e) FFF

80 N 100 N 120 N 160 N

a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d )4 c m

e) 5 cm En la figura mostrada la barra homogénea de 1 0 0 N de peso, se encuentra en equilibrio. Calcular W si las poleas son de peso desprecia ble.

III. Para que un cuerpo esté en equilibrio, se deben cum plir la primera y la segunda condición de equilibrio. a) FVF d) FFV

50 N

En la figura mostrada la barra homogénea de 8 kg está en equilibrio, en posición horizontal; si k = 6 0 N/cm, calcular la deform ación del re sorte (g = 10 m/s2).

EJERCICIOS PROPUESTOS ~2 l

La primera condición de equilibrio garanti za el equilibrio rotacional del cuerpo.

En la figura mostrada la barra homogénea de 1 6 0 N de peso se encuentra en equilibrio. Cal, cular la tensión en la cuerda. a) b) c) d) e)

F I.

30/2 N

a) 5 0 N

c) VVV

b) 8 0 N c) 1 0 0 N

Indique verdadero (V) o falso (F) según co rresponda: El momento de una fuerza... I.

es una m agnitud escalar.

II.

es una m agnitud vectorial, cuya dirección es paralela a la fuerza.

d ) 150 N e) 2 0 0 N 7.

El resorte está deform ado 3 cm, calcular la tensión del cable 1, si la barra homogénea se encuentra en equilibrio, (k = 20 N/cm)

| C

o l e c c ió n

E l Po s tu lan te

a) 130 N

b) 260 N

c) 320 N

d) 480 N

[ n 6 m

e) 600 N a) 20 N d) 50 N

b) e)

30 N 60 N

2m ¡

c) 40 N 13.

En la fig u ra m ostrada la barra hom ogénea de 30 kg se e n cu en tra en equ ilib rio , ca lcu la r

Calcular la tensión en la cuerda si la barra homogénea de 24 kg está en equilibrio. (g = 10 m/s2)

la de form a ció n del resorte, k = 100 N/cm; e2. A B = 1 10 m/s2 AC 5

a) 100 N a) 0, 5 cm

b) 200 N c) 300 N

b) 1 cm

d) 160 N

c) 2 cm

e) 500 N 9.

d) 3 cm

2 m

La barra homogénea de 80 N de peso se en cuentra en equilibrio. Calcular la tensión en la cuerda.

e) 4 cm 14.

En la figura mostrada, calcular el ángulo a para que la barra hom ogénea se mantenga en equilibrio, si AB = 2 m; RC = V3m

a) 34 N b) 63 N

a) 30°

c) 62 N

b) 60°

d) 65 N

c) 37°

e) 72 N

d) 53° 10. La barra hom ogénea de 240 N de peso, se encuentra en equilibrio. Determ inar la tensión en el cable, si AB = 8; BC = 12.

15. La barra homogénea de 80 N de peso y el

b) 100 N

bloque de 40 N, se encuentran en equilibrio. Calcular el ángulo a.

c) 140 N

a) 10°

d ) 160 N

b) 20°

a) 80 N

e) 180 N 11.

e) 45°

c) 30°

La barra homogénea de 800 N de peso se en cuentra en equilibrio. Determ inar la tensión en el cable. a) 100 N

b) 150 N

d) 40° e) 50° 16. En la figura m ostrada la barra hom ogénea de 9 kg está en equilibrio. Calcular la tensión en la cuerda, si:

c) 200 N d) 300 N

a) 25 N

e ) 350 N

b) 45 N

; g = 10 m /s2

c) 55 N 12. Indicar la lectura del dinam óm etro, si la barra homogénea de 40 kg de masa está en equili brio, el bloque tiene 8 kg (g = 10 m /s2).

d) 75 N e) 95 N

F ís ic a |

17. En la figura m ostrada la barra hom ogénea de 180 N de peso se encuentra en equilibrio, cal cular la fuerza F, si las poleas son de peso despreciable.

18.

La barra hom ogénea de 100 N de peso se en cuentra en equilibrio. Calcular la tensión en la cuerda, si W = 80 N. a) 120 N b) 146 N c) 156 N d) 180 N e) 175 N

a) 25 N d) 95 N

b) 50 N e ) 105 N

c) 75 N

1. d

5. b

9. a

13. c

17. c

2. a

6. e

10. e

14. d

18. c

3. b

7. e

11. d

15. b

4. c

8. d

12. b

16. d V

DINÁMICA Estudia la dependencia entre el m ovimiento de los cuerpos materiales y las fuerzas que actúan sobre ellos. El m ovim iento de un cuerpo queda determ i nado por la naturaleza y disposición de los otros cuerpos que form an su medio ambiente, así como por las condiciones iniciales de m ovimiento. INERCIA La comparación de los resultados de la acción de una misma fuerza sobre cuerpos diferentes, con duce a la noción de la inercia de los cuerpos. La experiencia muestra que, en general, si se aplica una misma fuerza a dos cuerpos distintos en re poso, libres de otras influencias, estos cuerpos du rante un mismo intervalo de tiempo recorrerán dis tancias diferentes y adquirirán distintas velocidades.

Esto es, la Tierra atrae al cuerpo y al mismo tiempo el cuerpo atrae a la Tierra. La fuerza ejercida sobre la Tierra por ei cuerpo tiene igual magnitud y direc ción opuesta a la fuerza ejercida sobre el cuerpo por la Tierra. La fuerza de gravedad (peso) no es una propiedad del cuerpo, sino que depende de su masa y de las características del planeta o del elemento material que ejerce atracción sobre ei cuerpo. APLICACIONES DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON 1.

Al movim iento rectilíneo. En este caso se debe tener en cuenta que la aceleración es paralela a la trayectoria rectilínea, por lo que en este caso es recom endable descom poner las fuerzas en una com ponente paralela y perpendicular a la trayectoria rectilínea, te niéndose:

Al movim iento circular. Para este caso la fuerza resultante se analiza en térm inos de las siguientes componentes:

La inercia caracteriza la propiedad de los cuerpos materiales de cam biar más rápido o más lentam en te ¡a velocidad de su m ovimiento bajo la acción de las fuerzas. La medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo dado, es una magnitud física escalar denominada masa del cuerpo. En mecánica se considera que la masa es una cantidad escalar positiva y constante para cada cuerpo dado, es decir, no depende de la velocidad del cuerpo considerado. SEGUNDA LEY DE NEWTON Toda fuerza resultante no nula al actuar sobre un cuerpo de masa m constante produce una acele ración que posee la misma dirección de la fuerza resultante, siendo su valor directam ente proporcio na! al valor de la fuerza resultante’ e inversam ente proporcional a la masa del cuerpo. F1

X FR a = — m

•

Com ponente rad ial(F rAD ): llamada tam bién fuerza centrípeta, se obtiene m edian te la suma de las com ponentes radiales de las diferentes fuerzas actuantes y genera a la aceleración centrípeta.

F r = >:f :

FUERZA DE GRAVEDAD Es la fuerza de atracción gravitatoria ejercida sobre un cuerpo por la Tierra. La fuerza de atracción gravitatoria ejercida sobre un cuerpo por la Tierra es un aspecto de la acción mutua entre la Tierra y el cuerpo.

F r AD - TFradia| - m ac

El papel de la fuerza centrípeta es desviar continuam ente el cuerpo del camino recti-

F ís ic a |

lineo que recorrería por inercia en ausen cia de la fuerza actuante. Componente tangencial(F rAN ): esta com ponente se obtiene sumando las com po

=€L

nentes tangenciales de las diferentes fuer zas actuantes, produciendo la aceleración R e s o lu c ió n :

tangencial. pTAN _ v p ' R

^ 't a n g e n c ia l

En este caso se utiliza la siguiente ecuación: Fní 'n e ta

iiia j

^sist. El papel de esta com ponente tangencial es la de m odificar la velocidad, es decir, acelera o retarda el movimiento.

EJERCICIOS RESUELTOS Un automóvil se m ueve sobre una carretera horizontal con MRUV; si aumenta su veloci dad desde 36 km/h hasta 72 km/h habiendo recorrido 200 m. Indique el valor de la fuerza resultante que actúa sobre el autom óvil (peso del automóvil igual a media tonelada).

Luego: a a = — 10

R e s o lu c ió n : Representando en el siguiente gráfico al auto móvil:

m1 + m 2 + m 3

m3g m3 + 8 m 3 + m3

a. a = 0, 98 m/s

En la figura se presenta a una polea ideal que es elevada mediante una fuerza constante F de 800 N. Si: m2 = 2m-| = 50 kg; determ ine la aceleración del bloque 1 (g = 10 m/s2).

200 m W = 500 kgf v, = 36 M vf

m = 500 kg

, 36 x 1000 m = 1 0 m 3600 s

72 M t - 20 —

Pero: v 2 = v¡ + 2ae R e s o lu c ió n : 202 = 102 -r 2a(200) => a = 0, 75 m/s2 Luego: FR = 500(0,75) .-. F r = 375 N Si no existe rozamiento entre las superficies en contacto, determ ine la aceleración del sis tema. (m2 = 8mf = 8m 3)

DCL de la polea móvil: Se cumple que: F r = ma, pero como la polea es de masa despreciable => F r = F - 2T = 0 Luego: T

800

= 400 N

| C

o l e c c ió n

El Po stulante

R e s o lu c ió n :

DCL de bloque 1:

Como: F r = ma

En prim er lugar se determ ina el valor de la aceleración, de cada bloque:

=* T - W-|= m-ia, 400 - 2 5 ( 1 0 ) = 25 x a, finalmente: a-, = 6 m/s2 w. Sobre un vagón de masa 3m actúa una fuerza horizontal de 40 N; en su Interior se encuentra

Horizontal (cruce)

3 m

un carrito de masa m, el cual por efecto de la inercia debido a la aceleración se recuesta y apoya en la pared posterior. Indique la reac ción de la pared sobre el carrito, si no existe rozamiento.

Se sabe que: a ^sistema

_ WA - V\4 = 2m Bg - mBg

R e s o lu c ió n :

mA + m B

Analizando a! sistema:

2 m B + mB

a = £ = 10 m /s2 3 3 Adem ás de la figura, se deduce que: eA = eB = |

Para el bloque A: vf2 = v¡2 + 2ae => vf2 = 0 + 2 x — x — 3 2 .-. vf = VTÓ m/s

Se sabe que: FR = ms¡ F = 4m a

... (1) mg

DCL del carrito: Utilizando: FR = ma => R = ma (2)

R -=

en (1): F = 4R

üzz n

=> 40 = 4R .-. R = 10 N

e j e r c ic io s

PROPUESTOS

... (2)

a) b) c) d) e)

El sistema m ostrado en la figura se encuentra inicialm ente en reposo; determ ine la veloci dad del bloque A cuando ambos bloques se encuentran en la m isma horizontal. (mA = 2m B y g = 10 m/s2)

Los b lo q u es 1 y 2 de 40 kg, re sp e ctiva m e n te, son e m p u ja d o s p o r una fu e rza h o riz o n tal F = 120 N. Calcular la fuerza de contacto entre los bloques. No hay rozamiento.

20 30 40 50 60

N N N N N

F — —

Dos bloques están en contacto sobre una su perficie lisa, se aplican 2 fuerzas horizontales Ff y F2, tal com o se m uestra. Si rrif = 8 kg; m2 = 2 kg; F, = 100 N y F2 = 80 N; determ ine el m ódulo de la fuerza que ejerce un bloque al otro.

3 m

_ÉL

F ís ic a |

a) 44 N d) 74 N

c) 64 N

b) 54 N e) 84 N

80 cm i-------------------- i dinamóm etro

Si el sistema m ostrado se deja en libertad, determ ine el m ódulo de la aceleración del blo que B (poleas ideales). mA = mc = 2 kg; mB = 6 kg a) b) c) d) e)

1 2 3 4 5

m/sc.2 m/s2 m/s2 m/s2 m/s2

60 cm

,o '

b ) 2, 2 kg e) 3,8 kg

a) 2,1 kg d) 3,4 kg 8. ■

Determ inar la aceleración que experim enta el bloque de masa 20 kg.

c) 3 kg

Determ ine la variación de la tensión en (2) luego de cortar la cuerda (1). Considere el sis tem a inicialm ente en reposo (g = 10 m/s2). a) 20 N b) 35 N

200 N

c) 45 N 60° 150 N

a) c) e) 5.

3,5 m/s2 4,5 m /s2 2,5 m /s2

d) 55 N

20 kg ■*300 Néí' b) 4 m/s2 d) 5,5 m /s2

e) 60 N

Determ inar el ángulo ), si el bloque desciende con aceleración a = 5 m /s2 y no existe rozam iento (g = 10 m/s2). a) 30°

H a lla r la a c e le ra c ió n del b lo q u e de m asa 40 kg. No hay rozam iento (g = 10 m /s2).

b) 37° c) 53°

a) 0 m/s

d) 60°

b) 2 m/s2

e) 45°

c) 5 m/s2 d) 4 m/s2

10.

e) 9,8 m/s2

Para el sistema de bloques mostrado, calcular: i.

Aceleración del sistema.

¡i.

Tensión en la cuerda.

Teniendo en cuenta que los bloques A y B son lisos y de m asas 4 kg y 1 kg, respectivam ente. Determ inar luego de cuánto tiempo, a partir del instante mostrado, el bloque A chocará con la pared (polea ideal). a) 1 s

20 kg 80 kg

v = 8 m/s a) b) c) d) e)

b) 2 s c) 3.5 s d) 5 s

d = 12 m

e) 5,5 s 7.

liso

En el sistema, el dinam óm etro registra 35 N. Determ ine la masa de la esfera (g = 10 m/s2).

11.

a a a a a

= = = = =

1 2 3 4 5

m/s T m/s2 T m/s2; T m/s2; T m/s2; T

= = = = =

75 70 75 80 75

N N N N N

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres ponda:

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

La segunda ley de Newton establece:

14.

ZF a = ■ m II.

a) g/7 b) c) d) e)

Si la fuerza resultante en un cuerpo o par tícula es despreciable (FR = 0) necesaria mente su m ovimiento es lento.

III. La masa y el peso son diferentes m agnitu des físicas. IV. La m edida cuantitativa de la inercia es la masa. a) VFVF d) FFVV

Hallar la aceleración de los bloques A y B. (g = 10 m /s2)

b) FVVF e) FFFV

15.

g/6 g/5 g/4 g/3

30 kg

Determ inar la aceleración de la cuña, si el blo que de masa m no se desliza sobre la cuña. „ at

c) V F W

3 r V

a) gtanB

a) 7 m/s c) 6,5 m/s2 e) 4,5 m/s2

c) gsen0 16. JH

13. Calcular la aceleración del bloque de la figura, si se sabe que su masa es 20 kg, F = 250 N y la fuerza F es siem pre horizontal. a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2 d) 4 m/s2 e) 5 m/s2

20 kg

b) 7,5 m/s2 d) 5,5 m /s2

Un joven desciende en un ascensor con velo cidad constante y la balanza sobre la que se encuentra indica 1000 N. ¿Cuánto marcará la balanza si el ascensor asciende con una ace leración de 4 m/s2? (g = 10 m /s2) a) 1400 N d) 1550 N

b) 1450 N e) 1600 N

c)1 500 N

1. c

5. c

9. c

2. e

6. b

10. d

14. a

3. b

7. a

11. c

15. b

b) gcot9 d)gcosG

liso

12. Del gráfico, calcular la aceleración del coche en térm inos de g y 9. La esfera está en reposo con respecto del observador.

e) gsec0

x jm /

8. a

12. a

16. a

13. d

ROZAMIENTO La resistencia que se opone ai resbalam iento o a su tendencia a resbalar, de un cuerpo sobre otro es una fuerza tangente a la superficie de contacto, que recibe el nombre de rozamiento. Las superfi cies en realidad no son lisas por lo que la reacción de un cuerpo sobre otro no es normal a dicha su perficie de contacto. Si se descom pone la reacción (F) en dos componentes, una perpendicular (N) y otra tangente a la superficie de contacto, la com po nente tangencial (f) a dicha superficie se denom ina fuerza de fricción o rozamiento. En consecuencia, los diagram as de cuerpo libre para problem as don de interviene el rozam iento son los m ismos que para aquellos en que intervienen superficies lisas, salvo que ha de incluirse una fuerza de rozam iento tangente a la superficie de contacto.

COEFICIENTE DE ROZAMIENTO Constante experim ental que perm ite com parar las propiedades de rozam iento de pares distintos o iguales de materiales en diferentes condiciones de sus superficies en contacto, y con objeto de calcu lar la fuerza de rozam iento máxima correspondien te a una fuerza normal cualquiera. El coeficiente de rozam iento estático de dos su perficies cualesquiera se define como la razón del rozam iento máximo o límite entre la fuerza normal correspondiente: Rozamiento límite (fs(máx)) Fuerza normal (N) Donde el rozam iento lim ite es el rozam iento que existe cuando las superficies están a punto de em pezar a moverse la una con respecto a la otra (es tado de m ovimiento inminente).

F =

H2 +

Se suele hablar de dos tipos de rozamiento: 1.

Rozam iento estático (fs): cuando no hay m ovimiento relativo entre los cuerpos en con tacto; es decir, cuando ninguno se mueve, o ambos se desplazan como si fueran uno solo, oponiéndose a cualquier intento de m ovim ien to relativo. En este caso la fuerza de roza miento desarrollada es exactam ente suficien te para m antener el reposo relativo con las demás fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Esto implica que la fuerza de rozam iento es tático es una fuerza regulable o variable al canzando un valor máximo o límite, el cual depende de la normal y de la aspereza de la superficie en contacto. Por lo tanto, la fuerza de rozamiento estático cumple con: 0 < fs < fs(máx)

Rozam iento cinético (fk): se genera cuando los cuerpos en contacto se encuentran en mo vim iento relativo. La fuerza de rozam iento es constante y prácticam ente independiente del valor de la velocidad.

En general, cuando las superficies en contacto se m ueven una respecto a la otra, el rozamiento dism inuye. En este caso, la razón de la fuerza de rozam iento entre la fuerza normal se define como coeficiente de rozam iento cinético. Rozamiento cinético (fk) Fuerza normal (N) El valor del coeficiente de rozam iento tiene que de term inarse experim entalmente, y es una constante para dos materiales cualesquiera determinados, cuando las superficies de contacto están en una condición fijada. No obstante, varia mucho para diferentes condiciones de las superficies y con la naturaleza de los cuerpos en contacto. LEYES DE ROZAMIENTO Los resultados de un gran número de experiencias sobre el rozam iento en superficies secas, publica das por C. A. de Coulomb en 1781, proporcionaron las primeras inform aciones sobre las leyes del ro zamiento, obteniéndose las siguientes leyes: La fuerza máxima de rozam iento que puede producirse es proporcional a la fuerza normal entre las superficies en contacto. Esta fuerza máxima es independiente del ta maño de la superficie de contacto.

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

La fuerza límite de rozam iento estático es mayor que la fuerza de rozam iento cinético, siem pre que actúe la misma fuerza normal.

valor de la fuerza necesaria F con velocidad constante. (mA = 2m B = 20 kg)

El coeficiente de rozam iento cinético es me nor que el coeficiente de rozam iento estático.

La fuerza de rozamiento cinético es indepen diente de la velocidad relativa de los cuerpos en contacto.

R e s o lu c ió n : DCL del bloque A:

EJERCICIOS RESUELTOS

WA Indique el valor de ia fuerza de rozamiento sobre A cuyo peso es de 800 kgf, si se sabe que el bloque B pesa 960 kgf y las poleas son ideales. (ms = 0,8 y m k = 0,5)

I |l I I

fk(A) na

T - fk(A) ~ HkNA N a = W A = 20 kgf => T = (0,20)(20) = 4 N DCL del bloque B: Na WB

k(A)

R e s o lu c ió n : Sobre la figura se efectúa el DCL de cada momento: Luego se cumple que si el sis tema se encuentra en equilibrio:

W A E r=E-

NBfk<B> F - T + fk(A) + fk(B) N b = Na + W b = 20 + 10 = 30 kgf => F = 4 + 4 + (0, 20)(30) .■. F = 14 N 3. T2 = W B = 960 kgf

21 = 1 , => T = 240 kgf f = y = 240 kgf

(WA = 100 N ; W B = 140 N y W c = 120 N)

2 1 1 = J 2 => T, = 480 kgf

•

Como: fs(máx) = msN = msWA fs(méx) = 0,8(800) = 640 kgf Finalm ente se deduce que existe equilibrio y que: f = fs = 240 kgf

En el sistema m ostrado se sabe que los blo ques deslizan con velocidad constante; de term ine el valor del coeficiente de rozam iento cinético entre el plano y el bloque C .

Si se sabe que el valor del coeficiente de ro zam iento cinético entre todas las superficies ásperas en contacto es: 0,20. Determ ine el

F ís ic a |

R e s o lu c ió n :

e je r c ic io s p r o p u e s t o s " !

DCL de cada bloque: El sistema m ostrado en la figura se encuentra en equilibrio. Calcular el coeficiente de roza m iento p, si se sabe que el peso del bloque y la semiesfera homogénea son de 200 y 100 N, respectivam ente. El sistema está a punto de ponerse en movimiento. a) 0,25 b) 0,50

c) 0.75 d) 1 El sistema se encuentra en equilibrio debi do a que los bloques deslizan con veloci dad constante.

e) 0,40 2.

Sobre el bloque A: T2 = WA = 1 0 0 N

Una polea de radios externo e interno R y r se apoya sobre un eje cilindro inmóvil. El coefi

Sobre el bloque B: T, = W B = 140 N

ciente de rozamiento entre la posea y el eje es

Sobre el bloque C: N = W ccos 37°

(212. Siendo los bloques y las cuerdas lisas;

T2 -F W csen37° —T-] + fk

determ ine los valores de que permiten el equi-

100 = 1 2 0 ( | j = 1 4 0 M k:

uk(120)

librio del sistema f - = - l R 3

- = 0.33 3

a) b) c) d) e)

Un bloque de 20 kg ingresa con una velocidad de 20 m/s a una pista horizontal áspera. Si pk es de 0,25; Indique qué espacio recorre hasta que finalm ente se detiene, (g = 10 m /s2)

Determina el menor valor de F que permita

R e s o lu c ió n :

sostener el bloque de masa m. El coeficiente

Del enunciado se obtiene:

de rozam iento estático entre la curva y la po lea es p.

vf = 0

H F r = ma

a) mg b) mg(p + 1)

H ^ V

=> f k = ma => pk — N = ma Fk

30° < a < 45° 26,5° < a < 63,5° u > 45° 31,3° < a < 4 5 ° a = 45°

mg = ma

d) m geue -fi/e e) mge

N =» a = Fk9 Luego: a = (0, 25)(10) = 2,5 m /s2

Finalm ente de ¡a ecuación cinemática: v2 = v 2 — 2ae => 0 = (20)2 - 2(2,5)d a = — 40 pn m d —0 = oU m 5

c) m ge“ uB

-— fk : FkN

íTTN

„

□

La barra uniforme de peso W se encuentra en equilibrio en la posición mostrada; si de un extrem o se suspende un bloque de peso K, la barra adopta una nueva posición de equilibrio pero está a punto de resbalar. Hallar el ángulo a que define la posición de equilibrio. Existe suficiente rozam iento para evitar que la barra de longitud L resbale.

j C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Calcular el máximo m ódulo de F horizontal para que el cuerpo A de 2 kg que se halla apo yado sobre B de 3 kg no resbale. Los coefi cientes de rozam iento entre ios bloques valen 0,4 y 0,2 (g = 10 m/s2). a) b) c) d) e)

_L^ c) 2R KL 2 R (K + W)

KL ' R (K + W)

9. 5.

Dos discos con centros solidarios de densida des homogéneas, tiene un peso total de 4K. Hallar el coeficiente de rozam iento p sabiendo que se m antiene en equilibrio. Calcular u mí nimo.

80 60 40 20 10

N N N N N

A F

liso /

A partir del equilibrio mecánico del sistema mostrado, determ ine el m ódulo de la fuerza de rozam iento entre las barras homogéneas de 60 N cada una y además determ ine el m ó dulo de la reacción del piso. a) 32 N, 80 N b) 23 N, 80 N

a) 0,25

c) 20 N, 80 N

b) 0,5

d) 28 N, 60 N

c) 0.6

e) 30 N, 80 N

d) 0.8 e) 0.75 6.

10.

El bloque A, de peso W, desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano in clinado cuya pendiente es 37°; mientras la tabla B, tam bién de peso W, descansa sobre la parte superior de A. La tabla se encuentra unida m ediante una cuerda al punto más alto del plano inclinado. Si el coeficiente de roza miento cinético es el mismo para todas las su perficies en contacto, calcular su valor. a) 0,25 b) 0,22 d) 0.42 e) 0,48 Al frenar bruscam ente un auto que viajaba a 72 km/h, las llantas patinan resbalando 50 m para detenerse. Calcular el coeficiente de ro zamiento cinético entre la pista y los neum áti cos (g = 10 m /s2). a) 0,1 d) 0.4

a) 5 s d) 30 s 11.

b) 0.2 e) 0,5

c) 0,3

b) 10 s e) 40 s

c) 20 s

Calcular el m ódulo de la aceleración del sis tema, si las masas de A y B valen 30 y 50 kg, respectivamente. a) b) c) d) e)

c) 0.33

Determine el m ínimo tiempo que puede em plear un automóvil para recorrer 3,6 km en línea recta sobre una pista horizontal, cuyos coeficientes de rozam iento con los neum áti cos son 0,8y 0,6. Considere el auto inicial mente en reposo (g = 10 m /s2).

0 4,76 3,02 1,81 2,74

m /s2 m /s2 m/s2 m/s2

12. Se deja caer una caja sobre una cinta trans portadora que se mueve a 3 m/s. Si la caja está inicialm ente en reposo y p k = 1/3. ¿Cuán to tiem po transcurrirá hasta que cese el des plazamiento? (g = 10 m/s2). a) d)

0,3 s 1,2 s

b) 0,9 s e) 1.5 s

0,5 s

F ís ic a |

13. Señale verdadero (V) o falso (F):

y (2) es -Í313 y la reacción en la articulación es 32,10~1 N. Determinar d (mA = mB = 500 g y

Los coeficientes de rozam iento depende del grado de pulim entación de las super ficies en contacto. II. La fuerza de rozam iento no depende del área de contacto.

la longitud de (1) es 0,5 m). Considere barras homogéneas. a) 15,25 cm b) 10,25 cm

III. En todo caso la fuerza de reacción normal es igual al peso del objeto en módulo. a) FFV d) VVF

b) FFF e) VVV

c) 12,11 cm d) 11,89 cm

c) VFF

e) 9,85 cm

14. Señale verdadero (V) o falso (F) acerca del rozamiento: I.

18. El conjunto form ado por los bloques A y B de 40 N cada uno se mueve con velocidad cons

Para una m ism a pareja de su p e rficie s

tante por las superficies rugosas de |uk = 0,5. Hallar el m ódulo de las fuerzas norm ales que las paredes ejercen sobre el bloque A.

Fk > Fs-

II.

Se necesita menos fuerza para iniciar el resbalam iento de un cuerpo que para m antenerlo en movimiento.

v = c te .

III. La fuerza de rozamiento siem pre se opone al m ovim iento del cuerpo. a) VVV d) FVF

b) FFF e) FFV

a) 17 N

b) 19 N c) 20 N

c) VFV

d) 25 N e) 30 N

15. Calcule la altura m áxima del cajón hom ogé neo y la medida del ángulo 9 de m odo que esté a punto de volcar.

19. Un bloque es arrojado a lo largo de un terreno h o riz o n ta l con una v e lo c id a d de m ó d u lo 30 m/s, si los coeficientes de rozam iento va len 0,7 y 0,5. Determ inar que distancia avanza el bloque hasta detenerse (g a) b) c) d) e) 16.

h h h h h

= = = = =

DtanG; 0 DtanG; 0 Dcot0; 0 DcotO; 0 DcotO; 9

> = = < >

tan~1(g) tan~1(g) tan~1(p) ta n ” 1(g) tan~1(g)

Determine el máximo valor de 9 para el cual, las barras idénticas de 50 N que están articu ladas se mantengan en reposo. a) 16° b) 24°

b) 60 m e) 3 m

a) 30 m d) 5 m 20.

10m/s ). c) 90 m

Cuando un bloque se desliza sobre una su perficie plana rugosa, halle el ángulo que for ma la reacción de la superficie sobre el bloque con la normal a dicha superficie, si los coefi cientes de rozam iento valen 3/4 y 7/24. b) 53° e) 45°

a) 37° d) 74°

c) 16°

c) 32° d) 37°

1. a

5. e

9. a

13. d

e) 74°

2. b

6. a

10. d

14. b

18. c

3. c

7. d

11. e

15. d

19. c

4. d

8. d

12. b

16. c

20. c

17. En la figura, la barra (2) se encuentra a punto de deslizar, si el coeficiente de fricción entre (1)

17. d

TRABAJO Y POTENCIA TRABAJO(W) Magnitud escalar que caracteriza la acción que ejerce la fuerza sobre el cuerpo al com unicarle cierto desplazam iento. El trabajo caracteriza la ac ción de las fuerzas capaces de m odificar el m ódulo de la velocidad del cuerpo, es decir, que pueden acelerar o retardar el m ovimiento del cuerpo con siderado. Esto implica que solo pueden realizar trabajo aquellas fuerzas que tengan una com po nente en la dirección del movimiento, es decir, una com ponente tangente a la trayectoria en cada uno de sus puntos.

W F = FTd

Para una fuerza de dirección constante: cuyo m ódulo varía con su posición o distancia (x). En este caso se efectúa la gráfica de la fuerza con respecto a la posición (x), el tra bajo está representado por el área encerrada por la gráfica con el eje de la posición, entre la posición inicial (x0) y la posición final (x-i).

El valor del trabajo se calcula conociendo la fuerza y la trayectoria que recorre el cuerpo, teniéndose los siguientes casos básicos: 1.

Fuerza constante:

W F = FMd = Fdcosd Unidad: jo u le (J) = N.m Casos que se pueden presentar:

■ 4

0o < 0 < 90°

-E

Trabajo neto o total (Wtotai): en general, cuando sobre un cuerpo actúan dos o más fuerzas (sistem a de fuerzas) en este caso se define el trabajo total o neto como la suma al gebraica de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuer po. Este trabajo es tam bién igual al trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo. : ZF

W F: +

90° < 6 < 180°

Wtotal - W F1 + W Fj + Wp3

W F: Si el m ovimiento es acelerado (|v | aumenta):

lili

U_ -=

Wtotal- "i" Si el m ovim iento es retardado (|v | disminuye):

Wtotal- — WF = 0

Si el m ovim iento es uniform e (|v| constante): W total = 0

Fuerza de m ódulo constante: la cual es tan gente a la trayectoria en cada uno de sus pun tos (espacio recorrido).

T e o re m a d e la e n e r g ía c in é tic a . El trabajo realizado por la fuerza resultante (trabajo neto o total), que actúa sobre un cuerpo durante cualquier

F ís ic a ¡

parte de su movimiento, es igual al cam bio que ex perim enta la energía cinética (Ec) del cuerpo du rante esa parte de su movimiento.

L, Para el caso de un resorte ideal, el cual presenta las siguientes características: La energía cinética de un cuerpo en un punto del recorrido que realiza está dada por:

_ -= —

Ec = x m v

Es de masa despreciable.

Cum ple la ley de Hooke tanto al ser estirado o comprim ido. Esta ley establece que la fuerza deform adora (FD) es directam ente proporcio nal a la deform ación (x = Lf - L0) del resorte:

Trabajo de la fuerza de gravedad. La fuerza de gravedad (peso) realiza un trabajo que posee las siguientes características: A --O — .

Constante del resorte. La relación entre la fuerza deform adora (F D) y la fuerza recuperadora elástica

rng

-■Q

k = — = constante x

(Fe) es: B

FP = -

nivel de referencia

WFe = - WFd

Luego de la ley de Hooke obtenem os que F d = kx por lo que la gráfica F d - x es una recta. A partir de esta gráfica obtenemos:

El trabajo no depende de la trayectoria reco rrida.

tan6 = k

El trabajo es igual al producto del peso por el desplazamiento vertical (diferencia de alturas): W mg = m g(h0 - hf) 3.

W,f d

= |< xf -xo )

Por lo que el trabajo de la fuerza recuperadora elástica es:

Se denom ina energía potencial gravitatoria a: WF

= f ( X§ -

x?)

E pg = mgh Con la cual el trabajo del peso se puede ex presar como: W mg - m g(h0 - hf) - (EPG(0) - EPG(f)) Trabajo de la fuerza elástica. Se denom ina fuerza elástica a la que se genera en un cuerpo deform a do y la cual se opone a la deform ación, es decir, su sentido está que tiende a devolverle al cuerpo su form a o dim ensiones originales.

O bservaciones: En general el trabajo de una fuerza depende de la trayectoria recorrida, o como el cuerpo o sistema pasa de su posición o estado inicial a su posición o estado final. Solo para el caso de ciertas fuerzas el trabajo es independiente de la trayectoria, por ejem plo, una fuerza constante. A estas fuerzas se denom inan fuerzas po ten cia le s o co n se r vativas.

| C

o l e c c ió n

E l Po stulante

POTENCIA (P)

R e s o lu c ió n :

M agnitud escalar que determ ina la rapidez con la cual se realiza un trabajo. En el caso particular que el trabajo se realice de manera uniforme, es decir, que realizan trabajos iguales en tiem pos iguales cualesquiera, la potencia es constante e igual al trabajo realizado en la unidad de tiempo:

El trabajo mecánico m ínim o que es necesario efectuar se presenta cuando el cuerpo es des lizado con velocidad constante:

Unidad: watt (W) = J.s 1

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

Del dato y de la figura: d = AB = 3 m y H = 0,5 m Entonces se observa que el trabajo es efec tuado por la fuerza F

Determ inar una expresión para el trabajo efectuado por la fuerza de gravedad, sobre el bloque de masa m, cuando este recorre todo el largo del plano inclinado de altura H.

Del DCL se tiene que: F = m gsenu; W = Fd W = (m gsena)(d) = m gdsena = mgFI W = 2 x 9,8 x i = 9,8 J 2 3.

R e s o lu c ió n :

Un bloque de 8 kg se eleva verticalmente des de el reposo hasta a lca n za r la velocidad de 5 m/s y una altura de 10 m. ¿Qué trabajo mecánico se ha efectuado sobre el bloque al elevarlo? R e s o lu c ió n : Sea F la fuerza que eleva verticalm ente al blo que:

De la figura se observa que: d=AB

(desplazam iento)

mgsencc com ponente de la fuerza de grave dad que efectúa trabajo mecánico. W = Fd

W = (m gsena)(d) = m gdsena

Pero de la figura: H = dsena

W = mgH

Cálculo del valor de F: FR = ma =» F - mg = ma

...(1)

Pero: v2 = Vq + 2ad => 52 = 2(a)10 2.

¿Qué trabajo mecánico mínimo es necesario realizar, para subir un cuerpo de 2 kg a lo lar go de un plano inclinado liso cuya longitud es 3 m y altura 0,5 m?

=5 a = — m /s2 4 En (1):

F-8x9,8 = 8 x |

=> F = 88,4 N

F ís ic a |

F ina lm e n te para el cá lcu lo del tra b a jo de F: W = F x d = 88, 4 x 10 =

884 J

Un tanque con capacidad de 2000 litros está colocado a 6 m de altura, por encim a de una cisterna. Una bomba que funciona duran

te 20 min hace subir verticalm ente el agua, llenando com pletam ente el tanque en dicho tiem po. ¿Cuál fue la potencia desarrollada por

Determ inar el trabajo neto que se efectúa so bre el bloque 2, cuando el bloque 1 desciende 10 m. (No existe asperezas entre las superfi cies en contacto).

el m otor de la bomba? R e s o lu c ió n :

6 m

iii iii

rrq = m2 = 200 kg R e s o lu c ió n :

El peso que se eleva es de 2000 kgf porque son 2000 L de H20 . P =

W _ Fd _ 2 0 0 0 x 9 ,8 x 6 t 20 • 60

P = 98 W Se sabe que no existe rozam iento

y que: d2 = d, = d = 10 m Además: W Net0 = FRd

... (1) Contra de a

Pero: FR n ^ g -0

2 0 0 x 9 ,8

m-i + m 2

200 + 200

Determ inar la potencia en hp desarrollada por el m otor de una lancha, sabiendo que cuando se desplaza con rapidez constante de 38 m/s, soporta una resistencia de parte del agua de 200 kgf. R e s o lu c ió n :

= 4,9 m/s

Luego: FR = 200 x 4, 9 En (1): W Net0 = 200 x 4,9 x 10 ; 9800 J W Net0 = 9,8

Hallar la potencia de un motor en hp sabiendo que levanta bloques de 38 kgf hasta una altu ra de 8 m en dos segundos.

.-. P = 100 hp

Del dato: W = 38 kgf => F = 38 kgf : cte.

W = Fd t t

38 p = ■

F m = FResist. = 200 kgf => P = Fmv = 200 x 38 R P = 7600 kgf. m/s

Pero: 1 hp = 76 kgf.m /s

R e s o lu c ió n :

P =

Del dato: v = 38 m/s y se observa que:

152 kgf. m/s

Pero: 1 hp = 76 kgf. m/s .-. P = 2 hp

peso *

J_L

De una mina debe extraerse cada 3 minutos, 900 litros de agua desde una profundidad de 150 m. ¿Qué potencia es necesaria? R e s o lu c ió n : Se observa que cada litro de agua pesa 1 kgf; entonces el peso total es de 900 kgf.

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

=, P =

W = Fd t t

Pero:

9 0 0 x1 5 0 = 750 kgf.m/s 3 x 60

1 CV : 75 kgf.m /s => P = 1 0 C V

La gráfica m uestra la fuerza aplicada a un cuerpo y su correspondiente desplazam iento (x). ¿Qué trabajo ha realizado al trasladar el cuerpo de Xt = 0,3 m a x2 = 0,6 m? F(N)

a) 9 J ["

e j e r c ic io s

PROPUESTOS

□

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres ponda: I.

El trabajo se mide en jo u le s (J) y la poten cia en watts (W).

II.

El trabajo puede ser positivo o negativo.

III. El trabajo desarrollado por una fuerza variable se determ ina como W = FdcosO donde d es la distancia y F es la fuerza variable. IV. Si un cuerpo se m ueve lentamente, enton ces el trabajo neto sobre él es nulo. a) FFVV d) FFFV

b) VFVV e) VVVV

c) VVFV

En las siguientes afirm aciones, m arcar falso (F) o verdadero (V): I.

Las fuerzas perpendiculares al desplaza m iento no realizan trabajo.

II.

La potencia es el trabajo desarrollado en cada unidad de tiempo.

III. El trabajo neto se calcula como la suma de todos los trabajos efectuados por cada una de las fuerzas. IV. La eficiencia o rendim iento m ecánico n se calcula de la siguiente forma: Potencia útil x 100% Potencia absorbida a) VFVV d )V V V V

b) FFFV e) FFFF

c) VFVF

b) 10 J

c) 11 J

d) 8 J e) 3 J

0,3 0,4 0,6

x (m )

Calcular el trabajo neto sobre el cuerpo para un desplazam iento de 15 m sobre la superfi cie rugosa (g = 10 m/s2). a ) 200 b) 190 c) 180 d) 160 e ) 120

J J J J J

20 N

Una fuerza F actúa sobre un cuerpo de masa de 2 kg. En el gráfico se m uestra el com por tam iento de dicha fuerza en función de la po sición del cuerpo. Determ inar la cantidad de trabajo (en joules) realizado por la fuerza en tre las posiciones x = 0 y x = 3 m . a) 8 J b) 6 J

F(N) 4 ■

c) 15 J d) 14 J e )0 J

x(m)

Una fuerza F = 3i + 8 j actúa sobre un cuer po durante 3 segundos, llevándolo desde el punto (3; 2) hacia el punto (8; 5). Determine el trabajo realizado sobre dicho cuerpo. La fuerza está en newtons y las coordenadas en metros. a) 11 J d) 40 J

b) 30 J e) 49 J

c) 39 J

Hallar el trabajo realizado por la fricción si el bloque de 100 N de peso es llevado desde A hasta B con velocidad constante. (F = 20 N).

Determ ine la cantidad de trabajo que se desa rrolla m ediante la fuerza constante F al trasla dar el bloque de A hacia B.

a) - 5 0 J

a) 50 J

b) - 8 0 J c) - 9 0 J d) - 1 0 0 J e) - 1 2 0 J

b) 60 J A t-

F = 50N

c) 80 J 5 m

d) 90 J e) 100 J

A>í >7 f1 -

F ís ic a |

un tra b a jo neto de + 1 5 J. C o n siderando que

Determ inar la eficiencia que debe tener un m otor que acciona un ascensor de 500 kg, si en cada minuto eleva una carga de 500 kg a una altura de 6 m y con rapidez constante, la potencia que recibe es de 2000 W. (g = 10 m/s2), a) 50% d) 80%

b) 60% e) 75%

F = 20 i N, hallar el trabajo que desarrolla la fuerza de rozam iento desde A hasta B. (g = 10 m /s2) a) 30 J

c) 25%

b) - 3 0 J c) 20 J

10.

Un bloque de 4 kg se encuentra en reposo, se le va n ta v e rtic a lm e n te con una fu e rz a de 48 N hasta una altura de 36 m. ¿Qué potencia desarrolló la fuerza F? a) 188 W d) 488 W

11.

b) 288 W e) 588 W

F(N)

b) 600 J

200

e) - 5 0 J 15.

c) 388 W

Si una fuerza varía con la posición del cuer po sobre el cual actúa tal como nos m uestra el gráfico. Halle el trabajo realizado por esta fuerza. a) 800 J

d) - 2 0 J

a) 80% d) 50% 16.

c) 400 J 8

12.

x(m)

Un bloque de 2 kg sube aceleradam ente a ra zón de 3 m /s2 por un plano inclinado debido a la fuerza F. Si el bloque se desplaza 8 m, ¿cuál es el trabajo realizado por la fuerza F? No hay rozam iento, (g = 10 m /s2)

17.

d) 108 J e) 98 J

e) - 5 0 W

c) 118 J

14.

b) 0,4 J e) 0,2 J

-3 2 W + 32 W -4 2 W + 42 W

4 kg

18. Si el m otor de un auto requiere de 120 W para funcionar y entrega como potencia útil 90 W, determ inar la eficiencia o rendim iento del mo tor; tam bién, determ inar la potencia perdida.

c) - 0 ,4 J

El bloque m ostrado de 0,5 kg es desplazado desde A hasta B desarrollándose sobre este

c) 90 J

(g = 10 m /s2)

b) 128 J

a) - 0 ,2 J d) 0,6 J

b) 80 J e) 120 J

¿Qué potencia desarrolla la fuerza de roza m iento para detener el bloque de 4 kg que se movía con una rapidez de 8 m/s sobre la su

a) b) c) d)

Debido al efecto de la fricción del aire, las go tas de lluvia caen verticalm ente con una rapi dez constante de 10 m/s, determ ine la canti dad de trabajo desarrollado por el aire sobre una gota de 0,2 g durante 10 s. (g = 10 m/s2)

c)60%

perficie horizontal rugosa pk = 0,2?

a) 138 J

13.

b) 70% e) 20%

Una fuerza F = 8 i + 6 j actúa sobre un cuerpo d u ra n te 5 s, lle vá n d o lo d e sd e la posición (4; 3) hasta (12; 9). Determ ine el trabajo rea lizado sobre dicho cuerpo. La fuerza está en newtons y las coordenadas en metros. a) 50 J d) 100 J

d) 200 J e) 100 J

Hallar la eficiencia de una m áquina, sabiendo que la potencia perdida equivale al 25% de la potencia útil.

19.

75% y 30 W

b) 75% y 40 W

80% y 30 W

d) 80% y 40 W

60% y 30 W

El bloque m ostrado se encuentra afectado por fuerzas que le perm iten desplazarse desde A

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

hasta B. ¿Cuál es el trabajo neto que realizan las fuerzas mostradas sobre el bloque? Don de AB = 6 m.

2 2 . El bloque m ostrado es arrastrado a velocidad constante sobre una superficie horizontal ru gosa. Si el trabajo que se efectúa m ediante F en el tram o AB es de 60 J. Determ inar la

100 N

a ) 504 J b) 404 J

cantidad de trabajo que se efectúa m ediante la fricción en el tram o BC.

c) 304 J 20 N ■

d ) 204 J

a) - 6 0 J

A h-

e) 104 J

6 m

b) - 1 2 0 J c) + 120 J

20.

Un m otor tiene una eficiencia del 80% y se sabe que efectúa un trabajo útil de 200 J, ¿qué cantidad de trabajo se pierde en vencer ciertas resistencias? a) 35 J d) 70 J

21.

b) 78 J e) 60 J

c) 75 J

23.

b) 650 J e) 800 J

c) 700 J

’f

c) - 8 J

lililí

d) +8 J

|M |

e) - 3 J

'i'l'r

-n

[3kg]

1. c

6. b

11. a

16. d

21. c

2. d

7. c

12. b

17. a

22. b

3. d

8. e

13. a

18. a

23. b

4. c 5. c

9. a 10. b

14. b 15. a

19. a 20. c

10 m a) 500 J d) 750 J

El bloque de 3 kg desciende con una acele ración constante de 0,4 m /s2. ¿Cuánto es el trabajo neto sobre dicho cuerpo durante un recorrido de 5 m? (g = 10 m /s2).

b) + 6 J

80 N .D

a) - 6 J

100Ó2N

4 m

e) + 500 J

Un bloque de masa m se m ueve según se muestra en la figura con velocidad constante, siendo F = 20 N. Determ inar el trabajo neto al Ir de A hasta B. Donde AB = 10 m.

F— —

d) - 5 0 0 J

ENERGÍA Se entiende por energía la capacidad o aptitud que

Elástica

tiene un cuerpo para realizar un trabajo. Debido

Resorte no deformado

a esto la energía de un cuerpo se medirá por el

EP = 0

trabajo que es capaz de efectuar en condiciones

determ inadas. E pf —

Si un cuerpo realiza trabajo su contenido energéti

kx¿

co dism inuye en una cantidad equivalente al traba jo efectuado. Por el contrario, si sobre el cuerpo se realiza un trabajo su energía aumenta en la misma cantidad.

MECANICA (Em)

El origen de esta aptitud puede ser muy diferente

Es ia suma de la energía potencial y cinética que po see un cuerpo en un punto del recorrido que realiza.

de un cuerpo a otro, por lo que la energía se m ani

: Ep I Er

fiesta de diferentes m aneras a las que se denom i nan form as de la energía. En mecánica interesa conocer la posición y rapidez de un cuerpo, por lo que se tienen las siguientes form as de energía mecánica:

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGIA CINETICA El trabajo neto o total sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética. W„,

ENERGÍA CINÉTICA (Ec)

■AEC - Ec(f) - EC(0)

W n eto =

jm v /

Es la aptitud que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de su velocidad. Se mide por el trabajo que habría que hacer sobre el cuerpo para

FUERZAS CONSERVATIVAS

que adquiera la velocidad que posee, partiendo del

Son aquellas fuerzas cuyo trabajo entre dos posi ciones no depende de la trayectoria seguida por el cuerpo; las principales fuerzas conservativas son el peso (fuerza de gravedad), las fuerzas elásticas; las fuerzas electrom agnéticas.

reposo.

c©-

Ec =

mv 2

FUERZAS NO CONSERVATIVAS ENERGIA POTENCIAL (EP) Es la aptitud que tiene un cuerpo para efectuar un trabajo en virtud de su posición o de su configu

Son aquellas cuyo trabajo si depende de la trayec toria seguida por el cuerpo. Ejemplo: la fuerza de rozamiento.

ración. Se mide por el trabajo que hay que realizar sobre el cuerpo para hacerlo pasar de la posición o configu ración tipo (EP = 0) a aquella en que se encuentra:

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA MECÁNICA La suma de trabajos de las fuerzas no conserva tivas que actúan sobre una partícula es igual a la variación de su energía mecánica.

Casos: A.

Gravitatoria

—M(f j

E m(o) - ^ E w

W FNC: Suma de trabajos de las fuerzas no conser vativas.

Q mg nivel de referencia

: mgh

<=V ío iw :

Si: W FNC — 0

E m(0) - E m(í )

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

EJERCICIOS RESUELTOS

Se observa que: NB = Fcp =

Un cuerpo de 20 kg se lanza verticalm ente ha cia arriba con una velocidad de 60 m/s, calcu lar a qué altura la energía cinética del cuerpo se ha reducido al 40% de la que tenia inicialmente en el lanzamiento, (g = 10 m /s2)

m v| R

...(1 )

También entre A y B se cum ple que: E m<b) - E m{a ) : m vB

-C (B ) +

Ep(B) - EC(A) + Ep(A)

mgR = m g(2R) => m v ¡ = 2mgR

R e s o lu c ió n : Como se trata de un m ovimiento de caída li bre, en ascenso; se cumple: Q

tv f

-M (f) '

En (1): N b =

2mg

Si la esfera de 20 N de peso se deja en li

-M (0 )

Ec(f) + EP(f) :

-C (0)

+ E|■P(0)

Del dato: 40 Ec(0) - —E,C ( 0 ) -C (f) : 100

bertad en la posición m ostrada determ ine la tensión en la cuerda cuando la esferita pase por la posición más baja de su trayectoria. -O R e s o lu c ió n :

Luego: ^ E C(0) + EP(fl - EC(0)

Ubicando en la figura a la esferita en la posi ción inicial y la más baja, se tiene:

Ep(f) = - | Ec(0) =» m9 H = | m ^ H 2.

3 (60) — xT— i - => H = 108 m 10 10

Una esfera pequeña de masa m se deja en libertad en el punto A y recorre la superficie lisa que se indica en la figura; determ ine la reacción normal de la superficie sobre la esfe ra pequeña, cuando esta pase por el punto B.

--Q A

referencia

mg Del DCL se observa que en el punto B: Em

m a„

T -m g = ^ r

-(1 )

Adem ás entre A y B: EM(B) E, M(B) = ' -M (A ) Ec(B) + Ep(B) = EC(A) + EP(A) R e s o lu c ió n :

mVn „ ■> „ —j= - = m g R => m v B= 2 m g R

DCL de la esfera pequeña en el punto B de la pista:

Luego en (1):

A;9v0 = 0

T = mg +

2mgR

=» T = 3mg = 60 N Una e sfera pequeña se deja en libertad en

,Y ' ly

: nb mg

el punto A y luego desliza por la pista sin rozam iento que se indica en la figura. D eter m ine con qué ve lo cid a d pasa por el punto B. (g = 10 m /s2)

F ís ic a |

La energía mecánica de la esfera en el punto A es 300 J; si en el punto B la energía cinética es 120 J, ¿cuál es su energía potencial en el punto B? a) b) c) d) e)

175 180 190 193 195

J J J J J

R e s o lu c ió n : Un bloque de 20 kg se encuentra a 20 m de altura del pozo sobre una columna. Halle la energía potencial del bloque, (g = 10 m/s2). a) 4 kJ d) 3 kJ 4.

b) 250 J

-P(A)

d) 270 J

PROPUESTOS

Un objeto cae hasta el suelo, determ inar la energía cinética del objeto de 4 kg en el ins tante que pasa con una velocidad de 10 m/s.

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres ponda: I.

a) 200 J d) 210 J 6.

La energía cinética depende de la masa de un cuerpo y de su rapidez: Ec = - im v

II.

resorte sin estirar

e) 280 J

Luego: v B = ^2(10)200 => vB = 2 0 -/To m/s

e j e r c ic io s

Un b lo q u e de 50 kg c u e lg a de un re s o rte (k = 500 N/m), tal como se muestra. Determ i nar la energía potencial elástica, (g = 10 m/s2)

c) 260 J

= mgH =f v B = ^2gH

c) 5 kJ

a) 240 J

Com o no existen asperezas, entonces se cum ple que: EM(B) = EM(A) Ec (B) + Ep(B) - EC(a )

b) 2 kJ e) 1 kJ

La energía potencial gravitatoria equivale al trabajo que realiza el peso al caer de

c) 250 J

Un bloque de 4 kg de masa, que descansa sobre un piso liso es afectado por una fuerza F = 40 N, horizontal y constante. ¿Cuál será la energía cinética del bloque al cabo de un tiem po t = 3 s? a) 1,8 kJ d) 1,9 kJ

una altura H: EPG = mgH

b) 220 J e) 230 J

b) 1,6 kJ e) 1,7 kJ

c )1 ,5 k j

III. La energía potencial elástica está asocia da a los materiales elásticos cuando están estirados o comprimidos.

¿Qué trabajo neto hay que realizar para que un cuerpo de 10 kg de masa aum ente su velo cidad de 2 m/s a 8 m/s?

IV. La capacidad que tiene un cuerpo para realizar trabajo y transm itir m ovim iento se denom ina energía mecánica. a) VVFV d) FFFF

b) FFVV e) FVVV

c) FFFV

a) 280 J d ) 290 J

b) 300 J e) 320 J

c) 350 J

En ia figura mostrada, hallar la velocidad en el punto B. No hay rozamiento.

| C

o l e c c ió n

E l Po stu lan te

13. Hasta qué altura ascenderá la esfera de 1 kg respecto del piso, si el trabajo de la fuerza de rozam iento sobre la esfera en el tram o áspero AB es de - 3 0 J. (g = 10 m /s2). La rapidez en A es 10 m /s2

VB -s ^jrn ) I lis o L ~J

§ \ /2 0

m \

■-Ma ) 1 0 m /s

b) 11

d ) 1 8 m /s

e ) 1 9 m /s

a) 10 m

- NR

b) 11 m

c) 13 m/s

m /s

c) 12 m

d) 13 m 9.

Se im p u ls a el b lo q u e de 2 kg con v e lo c i dad v = 30 m/s (y el piso es liso). D eterm i nar la máxima deformación del resorte donde k = 200 N/m. a) b) c) d) e)

1m 2 m 3 m 4 m 5m

- i-----^1 m

14.

a) 140 J b) 145 J

B 6 m

c) 148 J

c) 25 J d) 20 J e) 40 J

a) b) c) d) e)

— ^ 3 7 °

En la figura dada, hallar el trabajo neto reali zado sobre el bloque desde A hacia C; veloci dad en C es de 15 m/s, velocidad en A es de 10 m/s, m = 2 kg.

3 x(m)

15. Si el pequeño ladrillo sale de la superficie ho rizontal áspera con la mitad de la rapidez con la cual Ingresó. Determine d, considere pk = 0,2 y g = 10 m /s2. 1m 2 m 3 m 4 m 5 m

4 m ls

liso A'

áspero ; q

16. ¿Qué trabajo realiza la fuerza (F) que es cons

a) 120 J

tante para que el bloque m ostrado cam bie su

b) 122 J

velocidad de 3 m/s a 8 m/s?

c) 125 J

a) b) c) d) e)

d )130J e) 150 J 12.

La fuerza resultante horizontal que actúa so bre un cuerpo que se desplaza sobre el eje x varía de acuerdo al gráfico. Determine su energía cinética en x = 3 cm. SI en x = 0 tiene

a) 30 J b) 35 J

e) 160 J 11.

P¡so-

7,5 J de energía cinética. P W W I T '-

10. Calcular el trabajo que realiza la fuerza F para llevar al bloque de 2 kg desde la posición mostrada hasta la parte más alta del plano, si partió del reposo y llegó con una velocidad de 5 m/s. No hay rozamiento.

d) 150 J

e) 14 m

Determ inar la deform ación máxima del resor te; la masa del bloque es de 1 kg; k = 400 N/m No hay rozamiento, (g = 10 m/s2) a) b) c) d) e)

0,8 0,6 0,5 0,4 0,2

m m m m m

17.

50 55 60 65 75

J J J J J

Un joven de 54 kg se encuentra a 30 m del piso en una ventana de un edificio. Determ i nar cuál es su energía potencial en ese ins tante. a) 16,2 kJ d) 16,4 kJ

b) 16,6 kJ e) 16,8 kJ

c) 17,2 kJ

F ís ic a |

mos que solamente llega hasta B. ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza de rozam iento sobre dicho ladrillo? (g = 10 m/s2)

18. En la figura, hallar la velocidad de la esfera en el punto B, si sale del reposo en A. a) V2g(H - h) b) V2g(H + h j c) ^g(H + h) d) /3Í7H“ T ) e) V3g(H + h) 19.

Un jugador de fútbol patea una pelota que ¡nicialmente se encontraba en reposo com u nicándole una rapidez de 50 m/s. Si se eleva una altura m áxima de 80 m, determ ine la velo cidad de la pelota en la altura m áxima. Consi dere un m ovim iento parabólico, (g = 10 m/s2). a) 10 m/s d) 20 m/s

b) 30 m/s e) 40 m/s

b) 4 m

4 m/s

c) - 1 5 J d) - 1 8 J e) - 2 0 J

-=r--------=1-------A

Un proyectil se lanza con una v0. Hallar la ve locidad horizontal en el punto B. Desprecie la resistencia del aire. (H es altura máxima). Si:

a) K b) 2K c) 3K e) K/2 24.

Por efecto del rozamiento la velocidad de una teja que se desliza sobre un piso rugoso ho rizontal dism inuye de 20 m/s a 10 m/s en un recorrido de 50 m. Halle el coeficiente de ro zam iento cinético, (g = 10 m/s2) a) 0,1 d) 0,2

3m 25.

sobre el bloque de 100 kg, cuando este se desliza a través de la superficie curva partien do del reposo de A y llegando al reposo en B. (g = 10 m /s2).

b) 0,3 e) 0,4

0.5

Si el trabajo resultante sobre un bloque de 12 kg a lo largo de una trayectoria horizontal es 288 J y además se sabe que para dicho tram o duplica su rapidez. ¿Qué rapidez final adquiere? a) 2 m/s d) 4 m/s

a) 3 kJ

b) 6 m/s e ) '10 m/s

3 m

c) 4 kJ 9 m

e) - 5 kJ 22.

d) 5K

2 1 . Qué trabajo realiza la fuerza de rozam iento

d) - 4 kJ

10_m/s

k = 8 N/m

d) 3,5 m

b) - 3 kJ

a) - 1 0 J b) - 1 2 J

K = K -2 g H

= 0,1

c) 4,5 m e) 5,5 m

23.

c) 25 m/s

20. Se m uestra el la n za m ie n to con rap id e z de 4 m/s, de un bloque de 1 kg, sobre una super ficie áspera, ¿cuánto como m áximo avanzará el bloque hacia la derecha? a) 3 m

Cuando lanzamos con rapidez de 10 m/s un ladrillo de 0,5 kg, tal como se muestra, nota

tn Id < J ü

1. e

6. a

11. c

16. b

21. b

2. b

7. b

12. c

17. a

22. a

3. a

8. a

13. c

18. a

23. a

4. b 5. a

9. c 10, b

14. a 15. c

19. b 20. b

24. b 25. c

m/s

HIDROSTÁTICA Y CALORIMETRÍA ESTATICA DE FLUIDOS Es la parte de la mecánica de fluidos que estudia el com portam iento y los efectos que origina los flui dos en reposo.

Unidad en el SI: - ^ - = Pascal (Pa) m Las unidades de presión atmosférica más usadas son: 1 atm = 1,01 x 105 Pa = 76 cmHg

A su vez, la estática de fluidos se divide en: . I.

Hidrostática: estudia a los líquidos en reposo.

II.

Neumostática: estudia a los gases en reposo.

1 bar = 105 Pa PRESIÓN DE UN LÍQUIDO EN REPOSO (PRESIÓN HIDROSTÁTICA)

FLUIDO Es toda sustancia capaz de fluir, en particular, un líquido o un gas cualquiera. Una de las propieda des más im portantes es ia de ejercer y transm itir presión en toda dirección.

Considerem os un recipiente que contiene un líqui do de densidad p L. mg

■frr

PRESIÓN Para explicarlo, considerem os la siguiente situa ción. Si ponem os un libro sobre una mesa, no importa cómo lo coloquem os - y a sea en posición horizontal o v e rtic a l- la fuerza que ejerce el libro sobre la mesa es ia misma. Ahora pongam os el libro sobre la palma de nuestra m ano de las dos m aneras indicadas anteriormente. A pesar de que la fuerza es la misma, observare mos que el libro presiona la palma de la mano con mayor intensidad en el caso B que en A. Para aclarar ideas, supongam os que el libro pesa 20 N. F = 20 N F = 20 N

F SICA

O bservam os que la colum na del líquido ejerce una presión sobre la superficie de área A debido a su peso, esto es: P|H =

a "’

pero: F n :

_ m g _ (pi V ) g H

A ~

Pi_(Ah)g

A P h = pi_gh

p L: densidad del líquido (kg/m 3) h: profundidad (m) Otra manera útil de expresar la ecuación anterior es la siguiente: „ W Como: y = — => y = pg

N = 20IN 10 NI ; i;o n [ J j

5n :5 N 5 N i 5 n: ± 4 ;

P h = YLh yL: peso específico del líquido (N/m 3)

B Notemos que en el caso B la fuerza de 20 N se distribuye sobre una menor superficie. Para caracterizar la acción de una fuerza normal sobre una superficie se utiliza una magnitud física denom inada presión (P). Fn A Fn: fuerza normal a la superficie. A: área de ia superficie.

PRINCIPIO DE PASCAL En la figura adjunta se m uestra un líquido dentro de un recipiente provisto de un pistón al cual pode mos aplicar cualquier presión externa.

F ís ic a I

Si ahora aplicam os sobre el émbolo una fuerza de 2 N observam os que:

De acuerdo a este resultado, si A2 > A-,, entonces F2 > F-). Luego, en este caso, la prensa hidráulica m ultiplica la fuerza.

F = 2 N p;

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Si colocam os un bloque de madera sobre un reci piente lleno de agua, observarem os que este flota. ¿Cómo se puede explicar esto?

La presión ejercida por la fuerza de 2 N sobre el líquido es:

C onsiderem os un cuerpo en form a de paralelepí pedo sum ergido dentro de un líquido de densidad pL tal como se muestra.

P = — = = 2 Pa A 1 m2 Que justam ente es igual a la variación de la pre sión en las dos lecturas: (P-¡ -

Pi y

P2)

El principio de Pascal establece que: “ El fluido (gas o líquido) transm ite la presión que se les ejerce en todas las direcciones y con igual valor”. PRENSA HIDRÁULICA Las fuerzas que actúan en las caras laterales son Fi _ A 1 h2 F2 A 2 h-|

iguales y se equilibran, es decir, F3 = F4. Por el efecto de estas fuerzas el cuerpo solo se com prime. Jh2

En la vertical, como P2 > P, entonces F2 > F4, por esta razón el cuerpo es em pujado por una fuerza resultante F2 - F1 a la cual se denom ina empuje hidrostático (E).

E = F2 - F, E = P2A - P ,A = (P2 - P i)A = (pLgh2 - p Lgh,)A

Al ejercer sobre el pistón de área A-, una fuerza F-i este transm ite al líquido una presión P, dada por: P = A 1 A-, Luego, el líquido le transm ite al pistón de área A 2 una presión P2 dada por:

E = p Lg(h2 - h ^ A => E = p L gVsum G eneralizando este resultado

M ^ ~ P[_9Vsum

^sum A2

Pero, de acuerdo al principio de Pascal. P1

De donde:

'= ,

F, = F l, 7¿

-Ü = Ü Ai A2

Todo cuerpo sumergido total o parcialm ente en un fluido experim enta una fuerza resultante vertical y dirigida hacia arriba denom inada empuje y actúa en el centro de gravedad de la parte sumergida (M). Esto es lo que establece el principio de Arquímedes.

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Si el cuerpo está totalm ente sumergido: ''sum ergido

= v„

= p LgVo,

G eneralizando este resultado para sistem as acele rados, observam os que la magnitud del em puje de pende de la gravedad efectiva que afecta al fluido. e

donde: g

Líquido de y .—yy densidad Pl

= P l|8 J V ,

Como todos los puntos pertenecientes a una isóbara están sometidos a la misma presión, entonces: P, = P2

= g - a

a : aceleración del sistema

, + PL9 h

Casos particulares Si el sistema acelera hacia arriba verticalm en te con aceleración a =» | g j = g + a. Por lo tanto:

El principio de Arquím edes también es válido cuando un cuerpo está sum ergido en form a parcial o total en un gas. En este caso:

E = pL(g + a) Vsl SI el sistema acelera hacia la derecha hori zontalm ente con aceleración a, entonces: 9ef =

P ga s9 ^si

CALOR CON CAMBIO DE FASE Se encarga del estudio de la m edida dei calor transferido en los fenóm enos térmicos.

¡ g ^ + a 2

Por lo tanto: TEMPERATURA (T) : = p, ( I g

2 ~ + a 2 ) v SL

Se define el peso aparente de un cuerpo como la diferencia entre el peso real y el empuje que experim enta dicho cuerpo cuando se sum er ge en un líquido de densidad pL. Es decir:

Podemos expresar esta ecuación de una for ma diferente considerando la densidad del cuerpo como pc y volumen V, tenem os que:

Magnitud física escalar que mide el grado de agi tación m olecular en un cuerpo. Sirve para clasificar a los cuerpos como calientes, tem plados y fríos. Unidades: °C; °F; K CALOR (Q) Energía que se transfiere de un cuerpo a otro debi do a que poseen diferentes temperaturas, el calor se transfiere de m ayor a m enor temperatura. Q Unidades: caloría (cal) kilocaloría (kcal) jo u le (J)

Wreal = mg = p cVg

además: E = PLgV ^a p a re n te

^ Pc ^ 9 —P l 9 ^ = pc Vg í 1 ———j \ Pc / ^ a p a r e n te ”

^ V re

(i _ a ' Pc

Observaciones: 1.

M anómetro: es aquel instrum ento que se uti liza para m edir la presión de un gas encerrado en él.

Equivalencias: 1 kcal = 1000 cal 1 cal = 4,186 J 1 J = 0,24 cal TRANSFERENCIA DE CALOR 1.

Por conducción: metales especialmente.

Por convección: fluidos (líquidos y gases).

Por radiación: radiación infrarroja.

F ís ic a |

Calor sensible (Q). C alor transferido hacia un cuerpo o por el cuerpo, el cual solo produce un cambio en su temperatura.

/I Q = mCeAT

m J

Donde: m: masa (g; kg) AT = Tf - T0: variación de tem peratura (°C) Ce: calor específico del material Calor específico (Ce). Propiedad térm ica de las sustancias que nos indica la cantidad de calor que se debe transferir o debe transferir la unidad de masa de la sustancia para que su tem peratura in crem ente o dism inuya en un grado. Ce (hielo) = 0,5

Ce (agua) = 1

cal

g°c cal

g°c

CAMBIOS DE FASE 0 DE ESTADO FÍSICO Existen principalm ente tres fases: sólido, liquido y gaseoso. Todo cambio de fase se realiza a cierta presión y tem peratura las cuales perm anecen constantes mientras se produzca dicho cambio. Cuando la sustancia está en condiciones de cam biar de fase (tem peratura de cambio de fase) dicho cambio se puede producir por ganancia o pérdida de calor de la sustancia. La fusión y vaporización (ebullición) se producen por ganancia de calor. La solidificación y conden sación por pérdida de calor. El calor en el cambio de fase realiza un reordenam iento molecular de la sustancia. La tem peratura de cambio de fase solo se altera si se modifica la presión a la cual está som etida la sustancia. sublimación directa

kcal

= 0,5

fusión

vaporización

kg= 1

Ce (vapor de agua) = 0,5

Sólido

kcal k g . °C cal

g-°c

solidificación

SI en un recipiente aislado térm icam ente se efec túa la mezcla de dos o más cuerpos a diferentes temperaturas, se producirá transferencia de calor, la cual culminará cuando el sistema alcance el equi librio térmico, cumpliéndose la siguiente relación: SQ,g a n a d o s = I Q

m 1Ti] + m 2T2 rrq + m 2 Teq: tem peratura de equilibrio

condensación

sublimación inversa Para el agua. A la presión de una atmósfera sus tem peraturas de cambio de fase son: T f u s ió n

" TgQiijjfjQgción

T v a p o r iz a d ó n

—

0 C

— T c o n d e n s a c ió n ~

TOD

CALOR GANADO 0 PERDIDO EN EL CAMBIO DE FASE (Q)

p e rd id o s

Observaciones: Mezcla de sustancias iguales sin cambio de fase:

Gas (vapor)

Líquido

kcal 0,5 k g . °C

LEY DEL EQUILIBRIO TERMICO

Q = mL m: masa que cambia de fase L: calor latente Para el agua (P = 1 atm) i ¡ on cal • -fu s ió n ‘-s o lid ific a c ió n OVJ n y _i S4D i • - v a p o r iz a c ió n — “- c o n d e n s a c ió n —

Mezcla de sustancias distintas sin cam bio de fase.

EJERCICIOS RESUELTOS

m^Oe^Tj + m2Ce2T2 ir^Ce-i + m 2Ce2

Hallar la presión del gas A encerrado en el re cipiente que se m uestra en la figura:

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

F r = ma

E - W = ma

7 H 2O ^ c u e rp o

Pero: y =

61 cm

Q c u e rp o V c i W V

Luego:

H g-

R e s o lu c ió n

1H 2 O

■ma

• c u e rp o Y c u e rp o

Piden que se determ ine la presión absoluta del gas A en el manómetro:

- L - 1) 9 ,8 = a => a = 2,45 m/s2 0,8 / Finalm ente como la v0 = 0: d =

referencia

Del nivel de referencia: ab s (1 ) ‘

19,6 :

2 ,4 5 {2 2

t = VÍ6 = 4 s

61 cm J

Pgas(1)

a b s (2 )

Dos líquidos no m iscibles están en equilibrio en el tubo en U que se muestra. Determine la relación entre las presiones hldrostáticas en los puntos A y B?

—Patm

Pgas + 7 h9(61) = 1,033 Pero:

1,033 gf/cm 2 = YHg(76)

Pgas =

Pgas = 15rHg < > 15 cm de Hg ¿Qué tiempo em pleará un cuerpo de 8 kg de masa y densidad 0,8 g/cm 3 en llegar a la su perficie libre del agua, si se deja en libertad en el punto A?

R e s o lu c ió n : Se observa que los puntos A y B se encuen tran en diferentes líquidos: líquido

P°'m

(1)

líquido (2)

referencia D"

R e s o lu c ió n : En prim er lugar se determ ina la aceleración del cuerpo: _SZ_________________

Piden determinar: Ph (a ) _ 7i 2H = 2y,

r H(B)

Y? H

A hora se aprovecha la horizontal de refe rencia: | peso

P a b s (C ) =

P a b s (D )

P h (C ) =

P h (D )

F ís ic a |

Y1( 3 H ) = Y 2(2 H ) => f

ser calentadas ambas varillas para que ten gan la m isma longitud?

= f

(aA = 2 x 10~5 1/°C Finalm ente en (1):

' H(B)

^ ó

a B = 4 x 10~5 1/°C)

De la condición del problem a se tiene: Lf(A) = Lf(B) Lo(A) + a AL0(A)AT = L0(B) + « bLo(B)AT Reem plazando valores: 25,005

+ 2 < 10~5 x 25,005 x AT = 25,0025 + 4 x 10~5 x 25,005 x AT

(g = 10 m/s)

25 x 10~4 = 50 x 1 0 *5 x AT =» AT = 5 °C

R e s o lu c ió n :

AT = T, - 0 = 5 => T, = 5 °C

En este caso se consi dera que cada líquido ejerce su propio empuje, independientem ente del otro líquido: Del equilibrio se deduce: Hg

VV V

w = rv

Cuál es el cambio de tem peratura que ha oca sionado un aumento de 0,3 cm de longitud en una varilla, si se sabe que al aum entar la tem peratura en 15 °C adicionales, la varilla se dilata 0,8 cm en total. R e s o lu c ió n : L D T

Luego: Y V c u e rp o 1 c u e rp o

R e s o lu c ió n :

Un cuerpo flota en equilibrio en un recipiente que contiene agua y mercurio; se sabe que el 20% de su volum en se encuentra en el agua y el resto en el mercurio. Determine el peso específico del cuerpo.

Pero: Y =

L + 0,3

20 \ v

D T + AT

-M w o L + 0,8

C :1

[to )

+ 13, 6(

\10

D T + AT + 15

Se sabe que: AL = a L 0AT 0.3 = a L AT

= 11,08 gf/cm 3

...(1 )

0,8 = a L (A T + 15)

...(2 )

Dividiendo (1) y (2): 5.

Un tubo de hierro para conducir vapor tiene 100 m de longitud a 0 °C. ¿En cuánto aum entará su longitud si se calienta hasta alcanzar 10 °C?

^ 3 ~ '8

AT AT + 15

Determ ine el coeficiente de dilatación lineal de un sólido del cual se sabe que si su tem pe ratura aumenta en 50 °C, entonces su densi dad dism inuye en el 12%.

R e s o lu c ió n : En el estado inicial:

D T 1 = 0 °C AL = a L 0 AT

AL = 10~5 x 100 x 10 = 10~2 m AL = 10~2 x 103 mm = 10 mm 6.

gLA T a L (A T + 15)

Resolviendo: AT = 9 °C

«Fe ; 10~5 — °C

Se cumple que:

0,3 0 ,8

Dos v a rilla s A y B m iden 2 5 ,0 0 5 cm y 25,0025 cm, respectivam ente, a la tem peratu ra de 0 °C. ¿Hasta qué tem peratura deberán

R e s o lu c ió n : Se sabe que para la variación de la densidad de un cuerpo se cum ple que: pF = ~ vf m Po Pf = yAT) V0(1 + yA T ) (1 Del dato: pf = p0 -

12 100Po

88 1 0 0 P°

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Po 100

El tubo en U m ostrado contiene líquidos no m isclbles en reposo, h a lla r el valor de x.

1 + 5 0 / = 100/88

(1 fy A T )

(g = 10 m/s2: pA = 1000 kg/m3; p B = 600 kg/m3)

50y = 12/88 =» y = 27 x 10 4

a) 1 cm

=» 3a = 27 x 10~4 =» a = 9 x 10~4 1/°C

b) 2 cm c) 3 cm

□ 1.

EJERCICIOS PROPUESTOS " |

En el gráfico mostrado, ¿en qué posición 1; 2 o 3 se experim enta mayor presión?

d) 4 cm e) 5 cm 6.

a) En 1 b) En 2 c) En 3

Los émbolos de una prensa hidráulica tienen 10 cm y 100 cm de diámetro. Si al émbolo se le aplica una fuerza de 20 N, calcular la fuerza que se desarrolla en el ém bolo mayor. a) d)

d) En 1 y 2 e)

5 cm

1000 N 4000 N

b) 2000 N e) 5000 N

c) 3000 N

Igual en los tres puntos. La presión ejercida a través del ém bolo sobre la superficie superior del líquido es de 2 x 104 Pa, hallar la presión en el fondo, (g = 10 m /s2)

Una esfera de hierro se suelta sobre la super ficie del agua. Con relación al em puje sobre la esfera podem os decir que:

a) 21,6 kPa b) 2,16 kPa c) 216 kPa d) 216 Pa e) a) b) c) d) e) 3.

En Es Es Es Es

po? (g = 10 m/s2) a) 10 kN d) 40 kN

La presión atm osférica en la superficie de un lago es 80 000 Pa. Hallar la presión total en el fondo de un lago de 10 m de profundidad. (g = 10 m /s2) b) 100 kPa ' e) 5 kPa

c) 80 kPa

Hallar la diferencia de presiones entre los pun tos A y B del liquido de densidad 800 kg/m 3. (g = 10 m /s2). ^

a) 8 kPa b) 10 kPa c) 16 kPa d) 20 kPa e) 25 kPa

b) 20 kN e) 50 kN

2m '-- - -- ■ O B '

c) 30 kN

Un cuerpo pesa 70 N en el aire y sumergido totalm ente en un líquido x pesa 50 N. Hallar el em puje que experim enta el cuerpo. a) 20 N d) 50 N

b) 30 N e) 25 N

c) 40 N

10. Una esfera se encuentra sum ergida hasta la mitad en agua. Hallar la densidad del material de la esfera. a) 0,5 g/cm b) 0,6 g/cm 3

y - ...........-OA

....

20 cm

Un cuerpo de 3 m3 se sum erge totalm ente en agua. ¿Qué empuje experim enta dicho cuer

A es mayor. mayor en B que en C mayor en C que en D m ayor en D que en C Igual en B; C y D.

a) 180 kPa d) 10 kPa

p = 8000 kg/rrr

21,6 x 10 Pa

c) 0,7 g/cm 3 d) 0,4 g/cm 3 e) 0,8 g/cm 3

agua

F ís ic a I

11.

presión se reduzca a la quinta parte, si d o n de se e ncuentra la presión es 15 000 Pa? (g = 10 m /s2)

Un tronco de pino en form a de cilindro rec to flota en agua con 1/4 de su volumen fuera de ella. ¿C uánto va le la densidad de dicho tronco?

a) 6 m d) 12 m

a) 0,25 g/cm 3

b) 8 m e) 15 m

c )1 0 m

b) 0,75 g/cm 3 17.

c) 0,8 g/cm 3 d) 2 g/cm 3 e) 0,62 g/cm 3 12.

Un cuerpo pesa 90 N en el aire y sumergido totalm ente en agua pesa 80 N. Determ inar la densidad en kg/m 3 del cuerpo, (g = 10 m/s2). a) 3000 d) 8000

b) 4000 e) 9000

c) 7000

¿Cuál debe ser la relación de los diámetros de los ém bolos de una prensa hidráulica, para que con una fuerza de 50 N se levante un peso de 4050 N? a) 1/9 d) 1/5

c)' 1/4

18. En el sistema mostrado, determ inar la presión 1000 kg/m 3; g = 10 m /s2 del gas. p H20 a) 10 kPa

13.

b) 1/3 e) 1/12

Hallar la tensión en la cuerda, si la masa del bloque es 10 kg y la densidad es de 2 g/cm 3, cuando está sumergido en agua, (g = 10 m/s2)

vacío

b) 20 kPa 5m

c) 30 kPa d) 40 kPa e) 50 kPa

a) 20 N

gas

agua

b) 40 N c) 50 N d) 80 N e) 100 N 14.

La figura muestra una esfera de volumen 2 L y densidad 400 kg/m 3 sum ergido totalm ente en el agua por acción de la cuerda AB. Hallar la tensión de la cuerda, (g = 10 m/s2)

19. Un cuerpo de 2 m se sumerge en agua com pletamente. ¿Qué volumen de agua desaloja dicho cuerpo? a) 1 m3 d) 4 m3 20.

a) 10 N c) 12 N d) 13 N e) 14 N 15. La fig u ra m u e s tra u na e s fe ra de v o lu m e n 0 ,0 0 2 m 3 y densidad 1600 kg/m 3, sumergido en agua. Determ inar la deform ación del resor te (k = 100 N/m); (g = 10 m/s2).

21 .

c) 3 m3

Un cuerpo tiene un volumen de 0,005 m y se encuentra sum ergido totalm ente en agua. Hallar el empuje, (g = 10 m /s2) a) 10 N d) 40 N

b) 11 N

b) 2 m3 e) 5 m3

b) 20 N e) 50 N

c) 30 N

Calcular la densidad de un cuerpo, si el 25% de su volumen se encuentra libre en el agua, en g/cm 3. a) 0,2 d) 0,75

c) 0,6

b) 0,4 e) 0,8

22. El sistem a está en equilibrio, ¿cuál es la den a) 2 cm

sidad del liquido? (g = 10 m/s2)

b) 4 cm

16.

c) 6 cm

a) 200 kg/m 3

d) 8 cm e) 7 cm

b) 250 kg/m 3

¿Cuánto debe ascender un cuerpo dentro de un líquido de densidad 150 kg/m 3 para que la

c) 300 kg/m 3 d) 350 kg/m 3 e) 400 kg/m 3

líquido U j

40 cm

10 c m j , agua

7 6

| C

23.

En una prensa hidráulica que contiene un lí quido incom prensible, la razón de los diám e tros de los ém bolos es de 1/3. ¿Qué fuerza se obtiene sobre el ém bolo menor cuando se aplica una fuerza F sobre el ém bolo mayor?

o l e c c ió n

a) F/9 d) 6F 24.

P o stulan te

b) F/3 e) 9F

a) 100 N d) 10 N 25.

c) 5F

La e s fe ra h id rá u lic a m o stra d a de 20 kg y 0,02 m 3 está atada al fondo de un tanque que contiene un líquido de densidad 1500 kg/m 3. Hallar la tensión del cable, (g = 10 m/s2).

b) 200 N e ) 2000 N

c) 1000 N

En el fondo de un lago se abandona una es fera de densidad 500 kg/m 3. Si demora en llegar a la superficie libre del agua un tiempo de 2 s, ¿qué profundidad tiene el lago? (g = 10 m /s2). a) 10 m d) 25 m

b) 15 m e) 30 m

c) 20 m

in u

1. e

6. b 7. a

11. a 12. e

16. b

2. e

17. a

22. b

< j u

3. a 4. c 5. b

8. c

13. c

18. e

23. a

9. a 10. a

14. c 15. b

19. b 20. e

24. a 25. c

21. d

TERMODINÁMICA La term odinám ica trata acerca de la transform a ción de energía térm ica en energía mecánica y el proceso inverso, la conversión de trabajo en calor. Puesto que casi toda la energía disponible de la materia prima se libera en form a de calor, resul ta fácil advertir por qué la term odinám ica juega un papel tan Importante en la ciencia y la tecnología. En este capítulo se estudiarán dos leyes básicas que deben obedecerse cuando se utiliza energía térm ica para realizar trabajo. La primera ley es sim plem ente volver a postular el principio de la con servación de la energía. La segunda ley impone restricciones sobre el uso eficiente de la energía disponible.

CICLO TERMODINAMICO Es una sucesión de estados o procesos de tal for ma que el sistema al final vuelve a su estado inicial. Ciclo ABCA

ENERGÍA INTERNA DE UN GAS IDEAL (U) Es la suma de las energías cinéticas de traslación,

SISTEMA TERMODINÁMICO

vibración y rotación de todas las m oléculas que

Es aquella porción de materia que puede consi derarse limitada por una superficie cerrada real o imaginaria. La región no incluida en el sistema constituye el exterior o alrededores o ambiente.

com ponen determ inada masa de gas ideal, esta

ESTADO DE UN SISTEMA

Para un gas m onoatóm ico form ado por n moles la

Es una situación determ inada del sistema definida por los valores de sus variables term odinám icas (presión, volumen, tem peratura, etc.), en el diagra ma P-V se representa por un punto.

m agnitud depende de la tem peratura absoluta (T) y de la cantidad de gas (n).

u T- “ {^C(traslación) T ^ C (v¡bració n ) T ^C (ro ta e ió n ) } 3

energía interna es: U = —nRT Para un gas diatóm ico form ado por n moles la 5

energía interna es: U = — nRT

Donde:

P, Estado A Pi

R: constante universal de los gases

T, R = 8,31

J n cal = 2m ol.K m ol.K

T: tem peratura absoluta (K) PROCESO TERMODINAMICO

AU = U2 - U,

Es una sucesión continua de estados que el sis tem a experim enta cuando es estim ulado externa mente, en el diagram a P-V se representa por una curva continua.

La variación de energía interna (AU) no depende de la trayectoria.

Proceso term odinám ico AB

TRABAJO REALIZADO POR UN GAS (W) Para que un gas efectúe trabajo necesariam ente debe cam biar su volum en ya sea expandiéndose o comprimiéndose: que se realice m ayor o menor cantidad de trabajo depende del proceso que se siga al cam biar de volumen, en un diagram a P-V el trabajo está representado por el área que está entre la gráfica y el eje horizontal.

| C

o l e c c ió n

El Po s tu lan te

Q: calor que entra o sale. W: trabajo realizado por o sobre el sistema. AU: variación de la energía interna. área = W

Convención de signos:

" {¡-i Q

Si e! volumen aum enta W: +

realizado por el sistema realizado sobre el sistema

W (-)

r (+) ganado por el sistema l ( - ) perdido por el sistema aumenta dism inuye

Si el volumen dism inuye W: -

W (+) /

Q(+)

/ Q (-)

CAPACIDAD CALORÍFICA MOLAR Debido a que todo gas puede ser calentado o en friado m anteniendo la presión o volumen constan te, entonces existirá dos tipos de capacidad calo rífica: uno a presión constante y el otro a volumen constante, siendo el primero m ayor que el segundo y su diferencia nos determ ina la constante univer sal de los gases (R). C p: capacidad calorífica m olar a presión constante Cv: Capacidad calorífica molar a volumen constante

■Cv

c„

Proceso isobárico (P = cte.). En este proce so se hace evolucionar a un sistema desde un estado inicial hasta otro final m anteniendo en todo instante la presión constante.

AU = nCvAT

Para gases m onoatóm icos: He, Ne, Ar, Kr, Xe: Cv = | 2

Es la secuencia de estados por los cuales se obliga a pasar a la sustancia de trabajo para que se per mita la conversión de calor en trabajo.

W = PAV

Cu = R

cal R = 8, 31 ■= 2 m ol.K m ol.K

|R ; 2

PROCESOS TERMODINAMICOS

Cp k = ^ = 5 Cv

^ = Vo — = — (Ley de Charles)

Diagrama P-V

Para gases diatóm icos: H, N, O, CO: n

-p

—

7 z

°v~ 2 «

Área = A = P(Vf - V 0)

k= •

Área = A = PAV Área = A = W = Trabajo

k: constante adiabática PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA En todo proceso term odinám íco el calor que entra o sale de un sistem a será igual al trabajo realizado por el sistema o sobre él. más la variación de la energía interna. W

Proceso ¡socoro (V = cte.). Es aquel proce so term odinám ico, en el cual una sustancia evoluciona desde un estado inicial hasta otro final m anteniendo su volumen constante. W = 0 => ■Q = AU Q = n CvAt

Sistema termodinámico

AU = nCvAt Ley de Gay-Lussac:

Pf = Po

T, Q = W + AU

Diagrama P-V

F ís ic a |

III.

No existe m áquina térm ica que sea capaz de convertir en forma continua todo el calor en

Proceso isotérm ico (T = cte.). En este pro ceso se hace evolucionar a la sustancia desde un estado inicial hasta otro final, m anteniendo su tem peratura constante.

trabajo. No existe ninguna m áquina térm ica cuya efi ciencia sea del 100%. MAQUINA TERMICA (MT) Es aquel dispositivo que transform a parte del calor que recibe en trabajo mecánico, está constituido por una fuente caliente (caldera u horno), que en trega calor (Q-i) a la m áquina y otra fuente fría (con densador o sum idero de calor), donde se expulsa

•

Q = 2 ,3 P 0 V0 lo g ( | - ) = P o V 0l n ( ^ )

el calor residual (Q2). El trabajo útil que se obtiene de la m áquina térm ica es W = Q-, - Q 2.

•

W = 2 ,3 P 0 V0 l o g ( ^ j = P 0V0l n ( - | )

Representación esquem ática y cálculo de la efi ciencia de una m áquina térmica.

Ley de Boyle-Mariotte: P0V0 = PfVf W IV.

Proceso adiabático (Q = 0). Es aquel proce so term odinám ico en el cual se hace evolucio nar a la sustancia desde un estado inicial has ta otro final sin adición ni sustracción de calor.

Qi - Q2

Q1 1 n = 1

Q2 Q1

CICLO DE CARNOT Es aquel ciclo con el cual una m áquina térm ica tendría la máxima eficiencia, está constituido por •

procesos isotérm icos y dos procesos adiabáticos, su eficiencia solo depende de las tem peraturas ab solutas de los focos entre los cuales opera.

Q = 0 => W = -A U AU = nCvAT

w __ PfVf - PqM,. k _ C P 1- k ’ Cv

•

P0V 0k = P fVfk

.c Y l o i a - .............. | I

- - ............... - ......... -

La pendiente de la curva adiabática es m ayor que la pendiente de la curva isotérmica.

SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA Ningún cuerpo es capaz de entregar calor en form a espontánea a otro cuerpo de ma yor tem peratura, existiendo la posibilidad de forzarlo a ello si es que previam ente en él se invierte trabajo.

O T: tem peratura absoluta 1.

Expansión isotérm ica (A - B)

Expansión adiabática (B - C)

Com presión isotérm ica (C - D)

Com presión adiabática (D - A) Relaciones:

| C

El Po s tu lan te

o l e c c ió n

^C a rn o t ~

^C a rn o t -> ^ciclo

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

R e s o lu c ió n : El proceso m ostrado es isovolumétrico, en tonces la cantidad de calor transferido se de term ina así:

En un sistema se sabe que 160 g de oxíge no siguen el proceso mostrado. Determ inar el trabajo efectuado por el sistema. (T, = 127 °C)

Q = mCuAT

... (a)

Adem ás se cumple que: F ^ = Po _ T, T0

(2)

( 1)

2P = P_ T2 T,

2T i

Luego: T, = 27 + 273 = 300 K => T2 = 600 K En (a): Q = 500 x 0,124(600 - 300)

2V0

Q = 18 600 cal

La tem peratura del foco frío de una m áquina térm ica que sigue el ciclo Carnot es 300 K y su eficiencia es el 50%. Diga cuál sería la nue va eficiencia si la tem peratura del foco calien te dism inuye en 50 °C.

R e s o lu c ió n : Se sabe que el área bajo la gráfica P-V da el trabajo efectuado durante el proceso.

( 1)

R e s o lu c ió n

(2 )

Com o la m áquina térm ica sigue el ciclo de Carnot, se cumple:

•área = A

n _ T — T2 O

Vo n

2 „ ^ Vuo

W = A = P0(2V0 - V0) = P0V0 Pero: PV = nRT => W = nRT,

To"

= Vb T2

.(a )

Pero si el foco caliente disminuye su temperatu ra en 50 °C, también disminuye en 50 K; enton ces:

T2= 2T, 550 - 300 100% =» n = 4 5 ,5 % 550

Luego: T, = 127 + 273 = 400 K 4.

T2 = 800 K En (a): W = ^

50 _ T — 300 100 “

T, = 600 K

Como el proceso es isobárico: VL = Vo

x 8,31 x 400 = 16 620

Se sabe que 500 g de un gas ideal diatóm i co realizan el proceso mostrado; determ ine la cantidad de calor transferido al sistema. (C onsidere: C v = 0 ,1 2 4 -2 % y T, = 27 °C \ g .K

Una m áquina térm ica que sigue el ciclo de Carnot recibe 900 cal a 227 °C y expulsa calor a 27 °C. Determ ine la cantidad de calor que expulsa. R e s o lu c ió n : Com o la m áquina térm ica sigue el ciclo de Carnot, entonces se cum ple que: Ta — Tb

Q a —Qb

F ís ic a |

! _ A =

_ 5

(2 7 + 2 7 3 )

Dividiendo (a) y ((3): 1000 x C eH2O(50 —T ) ^ Cmetai x 15 1000 x C eH2o(25 —T )

50 - T = 75 - 3T =5 T = 12,5 °C

Determ ine el volum en de aceite, de calor específico 0 ,5 cal/g.°C, que tiene la m isma

capacidad calorífica que 1 litro de agua. 0 , 8

C metai x 5

Q b = 540 cal

(2 2 7 + 2 7 3 ) ~ 9 0 0

ÍP a c e it e “

g/cm 3)

Si el equ iva le nte en agua de un calorím etro es 300 g, d eterm ine el va lo r de la m asa del ca lorím etro si su ca lo r e specífico es de: 0,75 kcal/kg.°C

R e s o lu c ió n :

Del dato se tiene que el volum en de aceite y el litro de agua tienen la misma capacidad ca lorífica:

Por definición se sabe que el equivalente en agua de un calorím etro, es la masa de agua que tiene la misma capacidad calorífica que el calorím etro, entonces:

Q (a c e lte ) ~

Q f¡

, X Ce,( a c e it e )

n agua x

^ e (a g u a )

Q agua =

m aCeite(0,5) = (1 0 0 0 )1

Q c a lo r í m e t r o

m.' a g u a ^ Q ® a g u a — P t c a lo r ím . 300 x 1 — mca|0rím x 0,75

rCaceite = 2000 g Finalmente. p ace^e — rriaceite/^aceite

^aceite ~ maceite/Paceite Vaceite = 2 0 0 0 /0 ,8 = 2 5 0 0

t t t c a lo r ím .

cm3 => V ace¡te = 2,5

En un calorím etro de calor específico despre ciable se tienen 1000 g de agua a cierta tem peratura. Sí un cuerpo metálico se Introduce a 65 °C, entonces la tem peratura de equilibrio es de 50 °C, pero si el cuerpo metálico se in troduce a 30 °C, entonces la tem peratura de equilibrio es de 25 °C. Determ ine la tem pera tura inicial del agua.

Q ® c a lo r í m .

— 400 g

Calcular la tem peratura de equilibrio, si se mezclan en un recipiente de capacidad calorí fica despreciable, 150 g de hielo a 0 °C y 240 g de agua a 50 °C. R e s o lu c ió n :

R e s o lu c ió n : En el prim er caso: Se cum ple que:

Q-i + Q2 — Q3 T

50 °C

( m agtia = 1

000 g)

Q g anado :

65 °C

150 x 80 + 150 x 1 x T = 240(50 - T ) 1200 + 15T = 1200 - 2 4 T

(metal)

Teq = T = 0 °C

=> Q-| — Q 2 1000 X CeH2o(50 —T) = Cmetaiíl 5) ... (a)

[ "

e j e r c ic io s

PROPUESTOS

En el segundo caso:

Las unidades de temperatura, cantidad de ca lor y calor específico en el Sistem a Internacio nal son respectivam ente: 25 °C

( m agua =

1000 9)

3 0 °C

I. Kelvin (K)

(metal)

=> Q 3 — Q4 1 0 0 0 x C e H2o (2 5 - T ) = C metal(5 )

II. Joule (J)

III. J/kg.K

Son verdaderas: ... (p )

a )T odas d) Solo I

b) Solo I e) I y III

c) I y II

| C o le c c ió n E l P o s t u l a n t e

¿En qué caso, la sustancia líquida tiene ma yor calor específico, si MA = MB = Mc , de ma sas iguales?

a) 2 kJ/g d) 6 kJ/g 7.

a) Solo A d) Son iguales 3.

c) 60 °C

b) 60 °C e) 79 °C

c) 69 X

A un recipiente de 0,4 kg de masa, se le su m inistra 0,6 kcal cuando se encuentra a una tem peratura de 20 °C y se observa que la tem peratura llega a 35 °C. ¿Cuál es el calor específico del material? a) 0,1 c a l/g .X c) 0,3 cal/g.°C e) 0,5 c a l/g .X

b) 40 °C e) 0 °C

En un recipiente de capacidad calorífica des preciable se vierten 300 g de agua a 20 °C y 700 g a 90 °C. ¿Cuál será la tem peratura final de equilibrio? a) 55 °C d) 70 X

c) Solo C

Un cuerpo de capacidad calorifica 20 cal/°C, recibe 600 calorías cuando se encontraba a 30 °C, ¿cuál será la tem peratura final del pro ceso? a) 30 °C d) 70 °C

b) Solo B e )A y B

c ) 1,5 kg

b) 60 g e) 90 g

c) 70 g

Indicar verdadero (V) o falso (F): I. A una misma tem peratura no pueden coexistir dos fases distintas de una misma sustancia. II. A una misma tem peratura no pueden coexistir dos fases distintas de dos sus tancias diferentes. III. A una misma tem peratura no pueden coexistir las mismas fases de dos sustan cias distintas. a) VVV d) FVF

b) FFV e) FFF

c) VFF

10. Se tiene un bloque de hielo tal como muestra la figura, está sobre una mesa y sobre el se encuentra un alam bre que sostiene dos pe sas. Indica la(s) alternativa(s) correcta(s):

hielo

b) 0,2 c a l/g .X d) 0,4 c a l/g .X

Un cuerpo absorbe calor para derretirse se gún la siguiente gráfica. Si la masa es 25 gra mos, hallar el calor latente de fusión:

b) 1,0 kg e) 0

Determ inar la cantidad de agua a 50 X que se debe introducir a un calorím etro de capa cid a d c a lo rífic a d e s p re c ia b le que c o n tie n e 20 g de hielo a - 2 0 X , para que la tem pera tura final de equilibrio sea 10 X . a) 50 g d) 80 g

c) 4 k j/g

Se vierten 2 kg de agua a 40 X sobre un gran bloque de hielo a 0 X . ¿Cuánto hielo se fun de? (L, = 80 cal/g) a) 0,5 kg d) 1,75 kg

b) 3 k j/g e) 8 k j/g

Para que el alambre llegue a la superficie de la mesa deberá fusionarse todo el hielo.

II.

El alambre presiona al hielo hasta que lo divide en dos bloques.

III. El alambre presiona al hielo pasando a tra vés de él totalmente, sin seccionarlo. a) Solo I d) Solo II

b)II y III e)Solo III

c) I y II

F ís ic a I

11.

Un recipiente contiene 540 g de agua y 60 g de hielo a la tem peratura de equilibrio 0 °C. Se introducen en este sistema 200 g de agua a 100 °C. Determinar la temperatura final de la mezcla. a) 0 °C d) 100 °C

b) 15,5 °C e) 50 °C

17. La figura m uestra el cambio de la temperatura de una sustancia de masa 50 g a temperatura inicial de 0 °C y en su fase líquida. Luego es falso afirmar:

c) 19 °C

12. Se tiene M gram os de hielo a 0 °C y se sum er ge en M gram os de agua a 100 °C. ¿Cuál será la tem peratura final de equilibrio del sistema? Despreciar toda ganancia o pérdida de calor con el exterior. a) 10 °C d) 40 °C 13.

c) 0,2 ’ C

b) 1200 e) 5000

b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6

e) El calor latente de vaporización es 50 cal/g. 18.

Un recipiente de calor específico desprecia ble, contiene 20 gram os de hielo a - 2 0 °C. ¿Cuántos gram os de agua a 100 °C se debe verter en el recipiente, para obtener finalm en te agua líquida a 0 °C? a) 18 g d) 12 g

19.

c) 11 000

b) 16 g e) 20 g

c )1 4 g

Si se mezclan 580 g de hielo a 0 °C con 720 g de agua a 50 °C, ¿qué ca n tid ad de hielo que da rá ? a) 450 g d) 320 g

Un cuerpo de masa 5 gram os absorbe calor para derretirse a la tem peratura de 60 °C. De term inar el calor específico en su fase líquida, en J/g.°C. a) 0,2

El calor específico del líquido es 0, 5 cal/g.°C.

d) El calor específico del vapor es 1 cal/g.°C.

c) 3 kg

Un automóvil de masa 400 kg tiene una ve locidad de 5 m/s (hacia el norte). Calcular la cantidad de calorías producidas por los frenos cuando se detiene. 1 J = 0,24 cal. a) 21 000 d) 1490

16.

b) 0,1 °C e) 5,5 °C

b) La sustancia absorbe 2 kcal durante la ebullición. c)

Determ inar la diferencia de tem peraturas en tre las aguas de arriba y las de abajo de una catarata de altura 420 m. Calor específico del agua = 4200 J/kg.°C; g = 10 m/s2. a) 1.0 °C d) 0.5 °C

15.

b) 2 kg e) 5 kg

a) La tem peratura de ebullición es 40 °C.

c) 30 °C

Un recipiente de calor específico despreciable contiene 3 kg de hielo a 0 °C. ¿Cuántos kilo gram os de vapor de agua a 100 °C se debe inyectar al recipiente, para obtener finalm ente agua líquida a 100 °C? Dar como respuesta la mínima cantidad de vapor de agua. a) 1 kg d) 4 kg

14.

b) 20 °C e) 50 °C

b) 130 g e) 100 g

c) 200 g

20. Se tiene un calorím etro de calor específico despreciable, en el cual se introduce 800 g de hielo a - 2 0 °C y se v ie rte agua (líqu id a ) a 0 °C una cantidad de 800 g. Hallar la cantidad de hielo que queda en el recipiente cuando se alcanza la tem peratura de equilbrio. a) 800 g d) 1400 g

b) 900 g e) 1600 g

c )1 0 0 0 g

21. Se tiene una mezcla com puesta por 50 g de hielo y 100 g de agua a 0 °C. ¿Qué cantidad de vapor a 120 °C, debe inyectarse para que solo se condense la tercera parte de esta masa de vapor agregada? a) 100 g d) 150 g

b) 120 g e) 180 g

c) 130 g

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

22.

Hallar la tem peratura de equilibrio de la m ez cla de 992 g de hielo a 0 °C y 160 g de vapor de agua a 100 °C. El recipiente no gana ni pierde calor. a) 20 °C d) 26 °C

b) 22 °C e) 28 °C

-----------------------------

a) 800 m/s d) 200 m/s 25.

b) 600 m/s e) 100 m/s

c) 400 m/s

En un recipiente de masa despreciable se encuentra 100 g de hielo a - 2 0 °C. Hallar la

c) 24 “C

m ínima cantidad de agua a 30 °C que se debe introducir para que todo el hielo se derrita.

23.

¿A qué tem peratura se enfrían 5 kg de agua a 100 °C, dejando fusionar en ella 3 kg de hielo a 0 °C? a) 27,5 °C d) 32,5 °C

24.

b) 42,5 °C e) 52,5 °C

a) 250 g d) 400 g

c) 37,5 °C

¿Con qué velocidad se debe lanzar un trozo de hielo a 0 °C, contra la pared, tal que cambie de fase íntegramente? (Agua líquida a 0 °C). Calor latente de fusión del agua = 320 kJ/kg

en Ul > < j u

1. a

b) 300 g e) 450 g

c) 350 g

6. c 7. b

11. c

16. d

21. a

2. c

12. a

17. e

22. a

3. c

8. a

13. a

18. a

23. d

4. c 5. a

9. e 10. e

14. a 15. b

19. b 20. b

24. a 25. d

ELECTROSTÁTICA campo eléctrico

CARGA ELECTRICA (q O Q) Se denom ina así al defecto o exceso en el número de electrones que posee un cuerpo respecto del número de protones.

| q = ± ne~|

n e M ; e = 1 ,6 x 1CT19 C (carga del electrón) La unidad en el SI de la carga e lé ctrica es el coulom b (C). 1 mC(m ilicoulom b) = 10 " 3 C 1 pC('microcoulomb) = 1CT6 C

La intensidad del campo eléctrico en uno de sus puntos está dado por la fuerza con que actúa por unidad positiva de carga colocada en dicho punto. Fuerza(F) E = ■ C a rg a eléctrica (q)

LEYES DE INTERACCIÓN ELECTROSTÁTICA 1.a Ley: “Dos cargas eléctricas de igual signo se rechazan y de signos contrarios se atraen” *

La unidad en el SI es el N/C, newton por coulomb. La intensidad del campo eléctrico en un punto ubi cado a una distancia r de una carga Q, está dada

por:

E = 9x10

9Q ,2

0 — F2.a Ley (Ley de Coulomb): “La fuerza con que se atraen o rechazan dos cargas eléctricas es direc tam ente proporcional al valor de sus cargas, pero inversam ente proporcional al cuadrado de la dis tancia de separación” .

Observaciones: Las intensidades de campo en dos puntos ubicados a una misma distancia no siempre son iguales, puesto que pueden tener direc ciones distintas.

9 x 10 Qq

Ejemplos: Q

r 2q 2F

2F 4F~

2Q - f c í- y 2Q r

^ 3q

4F 6F

Así también:

CAMPO ELECTRICO Es aquel medio, a través del cual una carga eléctri ca puede actuar sobre otra carga.

La intensidad de campo es una magnitud vec torial, puesto que además de un m ódulo (valor numérico y unidad) posee una dirección. Una región de campo eléctrico se puede re presentar m ediante líneas de fuerza, las cua les son salientes en una carga positiva y en trantes en una carga negativa.

El vector Intensidad de campo es siem pre tan gente a las líneas de fuerza del campo. Se llama campo eléctrico uniform e u hom ogé neo a aquel que está representado por líneas

| C

o l e c c ió n

El Po stulante

de fuerza paralelas e igualmente espaciadas; en cuyos puntos la intensidad del campo siempre es la misma (en m ódulo y dirección).

POTENCIAL ELECTRICO (V) Es una magnitud escalar que nos indica el trabajo que efectúa el agente externo para trasladar una carga a velocidad constante desde el infinito hasta el punto m encionado.

EA = EB = Ec = constante e x te rn o

El campo actúa con una fuerza de igual sen tido, que las líneas de fuerza, sobre una car ga positiva, pero con una fuerza de sentido opuesto sobre una carga negativa.

e x te rn o

W00-P

trabajo efectuado por el agente externo para trasladarlo hasta P (en joules).

q: carga que se traslada (en coulombs) V P: potencial en el punto P L

Unidades:

Siendo F = qE = (carga)(intensidad)

jo u le (J) coulomb (C)

: voltios (V)

Si la carga es puntual o esférica: El potencial en P será: Q

v = kQ

(con su signo)

i—

POTENCIAL TOTAL DEBIDO A VARIAS CARGAS PRINCIPIO DE SUPERPOSICION DE LOS CAMPOS ELÉCTRICOS La intensidad del campo eléctrico en un punto próxim o a dos cargas eléctricas, está dada por la resultante de las intensidades de campo produci das por cada una de las cargas.

Como el potencial es una magnitud escalar, para hallar el total, solo se sumará algebraicam ente. ., P

©Qi

El potencial total en P será: V = V-, +

Ejemplos:

No olvidar que para el cálculo de cada potencial la carga in gresa con su signo.

E ^ E .-E , DIFERENCIA DE POTENCIAL q,

E2 +

£1

e r = e, + e 2

--a ^ -£ L

& Ri jO

E2 ? ) - - - .

q2 + J :. 2, '

___________ Er = J ( E , f + (E 2f VR -

v2 + v3

F ís ic a |

V B: potencial en B

EJER CICIOS RESUELTOS

VA: potencial en A q: carga que se traslada (debe ser colocado con su signo) El trabajo no depende de la trayectoria, ya que la fuerza eléctrica es conservativa.

En los vértices de un cuadrado se colocan consecutivam ente las siguientes cargas eléc tricas: O-,, Q 2, Q i , y Q2; respectivam ente. ¿En qué relación están Q-i y Q2 si se sabe que Q t se encuentra en equilibrio? R e s o lu c ió n

LÍNEAS EQUIPOTENCIALES

Q.2 ' 2 Q “ 1/ 0 - - - , ; 5x C

Son aquellas líneas en las que todos sus puntos

' 1

tienen el mismo potencial. ■- — T F2

Las líneas equipotenciales poseen las siguientes

* Í2 /

características: 1.

Las líneas equipotenciales (punteadas) son per

A 45° ¿A' Q

pendiculares a las líneas del campo eléctrico. 2.

En una misma línea encontram os el mismo potencial.

■Oq ,

De la figura se deduce que signos contrarios y además:

y Q2 son de

F-, = F2 x 12

k| Q-i i | Q-i j

líneas de L ?

fuerzas

V, = V 2

v3 = v4 V3 > V, líneas equipotenciales

( a /2 )2

k| 0,11 Qz | ”

| Qi I

(V2

a2 _

L - i = | Q 2 |V2 *

IQ , I

= 2/2

^ Í = -2V2 Q2

RELACION ENTRE EL CAMPO ELECTRICO Y EL POTENCIAL ELÉCTRICO En realidad, la relación del campo es más bien con la variación o diferencia de potencial.

Determine la posición de un punto situado en la proximidad de dos cargas puntuales de +50 C y - 1 8 C, las cuales están separadas 40 cm y en donde se cumple que al colocar una ter cera carga en dicho punto, la fuerza eléctrica resultante sea nula. R e s o lu c ió n :

V = Ed

Q1 = 50C Q2 ——18 C p, Q<+) -O O --I--------------------1---------40

De la condición: F-, = F2 Donde: V = VA - V B V: potencial eléctrico (diferencia de potencial) E: intensidad de campo eléctrico d: distancia

k x 5 0 x Q _ kx 18xQ ( 4 0 + x)2

(40 + x)

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

R e s o lu c ió n :

=> ----= - => 5x = 120 + 3x (40 + x) x

Se efectúa el DCL de la esfera car gada positivamente:

2x = 120 => x = 60 cm

De la ley de Coulomb: _ kQ-]Q2

Hallar el valor de la reacción normal de la pa red vertical sobre la esfera cargada; se sabe que el sistema se encuentra en equilibrio y que todas las superficies son lisas. (q2 = 4q, = 40 statc y W , = 1 dina)

1 x 400 x 4900

(10f

; 19 600 dinas

Del equilibrio: T = F + W T = 19 600 + 20 x 980 T = 39 200 dinas 5.

R e s o lu c ió n :

El potencial eléctrico a una cierta distancia de una carga puntual es de 600 voltios y la in tensidad del campo eléctrico es de 200 N/C. ¿Qué valor tiene la carga eléctrica? R e s o lu c ió n :

Se efectúa el DCL de la esferita cargada que está en contacto con la pared vertical lisa:

Q O-

Sea Q la carga eléctrica, entonces: kQ d kQ

. 600 V

(a)

(P)

= 200 N/C

d2 De la ley de Coulomb: F =

KQ,Q 1^2

Luego se deduce que: V P = d x EP 600 = d x 200 => d = 3 m

F = 1 2 0 0 x 4 0 = 1 d¡ng En (a):

(20 f £ F hor = 0 =» N + Tcos53° = F

9 x 109

x Q = 600

=> Q = 2 x 10~7 C

.(a)

£Fvert = 0 =» Tsen53° = W, En (a ): N + W t cot 53° = F => N + 1(3/4) = 1 N = 0,25 dinas C alcular la tensión que soporta la cuerda que sostiene a la esferita de 20 g y 400 statc de carga eléctrica. (La carga negativa es de 4900 statc).

I10

Dos cargas: Q, = 2 x 10~8 C y Q2 = 8 x 10~8 C están separadas por una distancia de 3 m, de term ine el valor del potencial eléctrico resul tante en un punto sobre la línea recta que los une, sabiendo que en dicho punto el campo eléctrico resultante es nulo. R e s o lu c ió n : Graficando las cargas puntuales: Q 1 = 2 x 1 0 _8C

O I-

Q2 = 8 x 10~8 C Ei h

-9 —i

3 m

F ís ic a |

Como: ER = 0

En el punto P: ER = 0 Ei = E2 =■ 2 x 10~8 x2

kQ-j O X

Pero de la figura se observa que Q es negati

8x10 8 _______

va; entonces: Q = - 4 0 / 2 statc

(3 - x )2

kQi

kQ2

9 x 109 x 2 x 10~8 | 9 x 109 x 8 x 10 ~8

Tres cargas eléctricas son colocadas en los vértices de un cuadrado, tal como se indica en la figura; determ ine la carga q si se sabe que la intensidad dei campo eléctrico resultante en el vértice libre, tiene dirección horizontal. 10 C .

V R = 540 V 7.

E2 = V2E,

k|Q J 5 L = / 2 x k x 2 g => Q = 40 /2 : (a /2 )

kQ 2 (3 —x )2

Luego en el m ismo punto P V R = SV :

Dos gotas de m ercu rio de rad io s 1 mm y W m m , tienen cargas eléctricas de +40 statc y + 60 statc. Determ ine el potencial eléctrico de la gota esférica resultante que se form a al unir a las dos gotas. R e s o lu c ió n :

R e s o lu c ió n :

Al unirse las dos gotas se obtiene una gota resultante cuyo volumen se obtiene de la si guiente manera:

De la condición del problema: E r = L E hor

V T = V, + v 2

-X

4 ttR3/3 = 4 n R 8/3 + 4 n R ^ /3

r 3= r ,3 + r 23 = 13 + ( W ) 3

10 c

R = 2 mm

Luego se determ ina el potencial eléctrico de la gota esférica resultante: kQ esf V =-

1(40 + 60)

‘ ■/;E2 E3

v X ''

: 500 statv

ló '-

-Ó

2x10-

q3=

En los vértices de un cuadrado se colocan con secutivamente cargas eléctricas de: + 2 0 statc, Q y +20 statc. ¿Cuál debe ser el valor de Q, para que en el cuarto vértice el campo eléctri co resultante sea nulo?

Se deduce que q es negativa y además que É Ve r t

1luego: E3 = E2 x sen45°

k¡ q j _ k x Q 2 ^ /2 L2

(L /2 f

R e s o lu c ió n : |d | = f

De los datos:

f = 7 /2 statc

Luego: q = - 7 / 2 statc 20 statc O

10.

o a

-O 20 statc

En los vértices de un cuadrado de 10 cm de lado se han colocado cargas puntuales de: +200, - 4 0 0 , + 1 00 y - 4 0 0 statc, respecti vamente. Determine la intensidad del campo eléctrico resultante en el centro del cuadrado.

9 0

| C

o l e c c ió n

El Po stulante

R e s o lu c ió n :

1600 = 8 0 x 2 0 eos 2a sena

Graficando al cuadrado y las cargas puntua les, se tiene:

sena = cos2a => a + 2a = 90° .-. a = 30°

[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS T | 1. Q4 = - 4 0 0

10 cm

(572 f

II.

Un cuerpo neutro que es cargado negati vam ente gana masa.

III. Un cuerpo neutro no tiene electrones. a) W V d) FVF

1 x100 (5 /2 f

E r = 4 - 2 = 2 dinas/statc 11.

Un cuerpo neutro que es cargado positiva mente pierde masa.

Q 3 = + 100

Se observa que: E4 = E2 y, por lo tanto, se anu lan entre sí:

E = 1 x200

Indicar verdadero (V) o falso (F): I.

El sistema que se indica se encuentra en equi librio, se sabe que la carga eléctrica de - 2 0 statc pasan 1600 dinas y que el campo eléctrico uni forme tiene una intensidad de: 80 dinas/statc. Determine el valor de a.

b) VVF e) FFF

c) VFF

Se tienen dos cuerpos m etálicos A cargado positivam ente y B descargado. Se ponen en contacto y luego se separan, entonces pode mos afirmar: I.

Pasaron protones del cuerpo A hacia el cuerpo B.

II.

Pasaron electrones del cuerpo A hacia el cuerpo B.

III. Pasaron electrones del cuerpo B hacia el cuerpo A. a) FFF d) VFF 3.

b) FVV e) VVV

c) FFV

Un estudiante realiza un experim ento para m ed ir la carga e lé ctrica de 4 cuerpos: Q, = 2.4 x 1CT19 C; Q 2 = 11,2 x 1CT19 C;

R e s o lu c ió n :

Q 3 = 8,8 x 1CT19 C; Q4 = 8 x 1CT19 C

DCL de la carga en equilibrio:

¿Cuáles de las medidas diría usted que no son compatibles con sus conocim ientos teó ricos? a) d) 4.

Q-| y Q 3 Q2 y Q4

b) Q3 y Q4 e) Q, y Q4

c) Q, y Q2

Del teorem a de Lamy:

Se tie n e n dos ca rg a s e lé c tric a s de 4 pC y - 2 pC, fijas en dos puntos situados a una dis tancia de 3 cm; calcular el valor de la fuerza de atracción entre ellas.

W s e n (90° + 2a)

a) d)

Eq s e n (1 8 0 °- a )

60 N 8 N

b) 40 N e) 0,008 N

c) 80 N

F ís ic a |

Calcular la distancia de separación entre dos cargas eléctricas de 3 x 1CT4 C y 12 x 1CT4 C si se repelen con una fuerza de 1000 N. a) 36 m d) 24 m

b) 3,6 m e) 2,4 m

10. Hallar la fuerza eléctrica resultante sobre la carga 3; Q 3 = -4-9 gC; Q2 = + 2 gC; Q3 = - 6 gC. a) b) c) d) e)

c) 1,8 m

En la gráfica; la carga +4q es reem plazada por otra carga +q. ¿Qué debe ocurrir con la distancia d para que la fuerza de repulsión eléctrica perm anezca constante?

11.

20 30 50 90 60

N N N N N

Debe Debe Debe Debe Debe

duplicar su valor. cuadruplicar su valor. reducir su valor a la mitad. reducir su valor en un 25%. aum entar en un 35%.

q Q 4d 0 -------O --------- O 1----------- 1----------------1 x y a) 2/3 d) 3/2 12.

Las cargas q y - q se atraen con una fuerza de 10 N. Hallar la fuerza eléctrica total en la carga central.

b) 20 N d) 40 N e) 50 N 8.

+4q -q 0 -------- - O — 1 3 m '

+q o

3m 1

En el gráfico mostrado, determ inar la fuerza re s u lta n te en q 3. Donde: q-i = 4 x 10- 4 C; q2 = - 3 x 10 4 C y q3 = 2 x 10~4C.

b) 1/2 e) 2

c) 1

Hallar x para que cualquier carga en A se mantenga en reposo. a) b) c) d) e)

a) 10 N c) 30 N

Q-. Q2 ^3 0 ........ o ------------o 1----------- 1----------------1 3 m 6 m .

Si las cargas q y 4q son fijas y puntuales, cal cular la relación entre las distancias x e y para que la carga Q perm anezca en reposo.

+qO * ------*------ O + 4 q i-------------------------1 d a) b) c) d) e)

4 cm 12 cm 8 cm 20 cm 18 cm

0 .......... 1 1 h

36 cm

4q O H

13. Dos esferas iguales conductoras muy peque ñas que poseen cargas de + 20 gC y - 3 gC se acercan hasta tocarse por cierto tiem po y luego se separan hastaque su distanciaesde 0,1 m. ¿Cuál es la fuerza de Interacción entre ellas?

a) 55 N b) 70 N

a) 70 N _ d) 100 N

b) 90 N e) 22,5 N

c) 50 N

c) 90 N d) 100 N e) 110 N

14. SI el sistema se encuentra en equilibrio, hallar la reacción de la pared no conductora lisa, m-i = 10 kg; m2 = 5 kg; g = 10 m/s2. a) 5 /3 N

En el gráfico m ostrado, d e term in a r la fuerza

b) 5 0 /3 N

resultante en Q 2. D onde: Q-i = 5 x 1 0 ~ 4 C;

c) 0 ,0 5 /3 N

Q 2 = 10~5 C; Q 3 = 3 x 10~4 C.

d) 1 0 /3 N

a) 10 N

e) 2 5 /3 N

b) 8 N c) 7 N d) 1 0 /3 N e) 5 /2 N

15.

El sistema está en equilibrio, sabiendo que el peso de la esferita (1) es 200 N y la esferita (2) tiene una carga de + 6 gC. ¿Cuál será la carga de la esfera (1)?

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 2,5 pC

21.

b) 16 pC

a) 2F bt 3F N3F

c) 20 pC d) 25 pC e) 30 uC 16.

Al frotar un paño de seda con vidrio, el vi drio se carga positivam ente y la seda ne gativamente.

II. Al cargar un cuerpo conductor por induc ción, la carga del inducido es opuesto a la del inductor.

IV. El proceso de carga por inducción solo se da en cuerpos conductores. b) FFVF e) VFVF

a) 15 N b 0 NN b)) 220 c) 225 N d) 4545 NN e) 65 N 23.

c) FFFF

b) 1 N e) 16 N

c) 1,6 N 24.

18. Si la esfera perm anece en equilibrio, hallar la tensión en el hilo aislante, si q = 6 pC. a) 90 N b) 120 N c) 40 N

| T ^ p~~ O-

d) 900 N e) 60 N 19.

20.

0,1 m 0,2 m 0,3 m 0,40,4 mm 0,5 m

+99 0 1

-ó 0 0,4 m '

+Q 0 x

En los vértices de un triángulo equilátero se colocan cargas iguales +q y estas se repe len con una fuerza eléctrica de 10 N. Hallar la fuerza total en cualesquiera de las cargas. b) 10 N e) 30 N

c) 20 N

6 cm

b )2 F e) 2F/3

a) 0,3 p C b) 0,4 p C c) 0,5 p C

— — / \ 13 c m / \ 13 cm

d) 0,6 p C e) 0,7 pC

será la nueva fuerza si su separación aum en ta en 30 cm? b) 20 N e) 25 N

25. Hallar q conociéndose que las esferas están separadas 10 cm. Am bas pesan 0,54 N y es tán suspendidas m ediante hilos de seda de 13 cm de longitud.

c) F/2

Dos cargas se repelen con una fuerza de 400 N, cuando están separadas 10 cm. ¿Cuál

a) 40 N d) 2,5 N

£1________¡h_ .......... _ _ ^3

a) 0 d) 1 0 /3 N

-Q :

Dos partículas cargadas se atraen entre sí con una fuerza F. Si la carga de una de las partículas se duplica y también se duplica la distancia entre ellas, hallar la fuerza. a) F d) F/4

Se m uestran dos cargas fijas de +9q y - q , determ inar la distancia x a la cual cualquier carga +Q perm anecerá en equilibrio. a) b) c) d) e)

17. Calcular la fuerza de repulsión entre 2 electro nes separados por una distancia de 12x1Cr15 m. a) 4 N d) 3,2 N

22. Se tienen 3 cargas tal com o se m uestra. C alcula la fuerza resultante en la carga q2. q-i = 2 x1 0 -4 C; q2 = 3x10~4 C: q3 = 6 x1 0 " 4 C.

III. Un cuerpo m etálico al cargarse por con tacto, su carga tendrá signo contrario a la carga del otro.

a) VVFV d) V V W

d) 6F e )8 F

Indicar verdadero (V) o falso (F): I.

La fuerza entre las cargas A y C es F, hallar la fuerza entre las cargas B y C. (QA = QB = Q0).

c) 10 N

tn til > < j u

q©-

©q

1. b

6. c

11. b

16. a

2. c

7. c

12. b

17. c

22. c

3. a

8. d

13. e

18. a

23. b

4. c 5. c

9. c 10. c

14. b 15. a

19. c 20. e

24. d 25. c

21. c

.... -/

F ís ic a |

a) b) c) d) e)

[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS 2 \

Indicar si las si guientes proposi ciones son verdaderas (V) o falsas (F): I.

La intensidad de campo eléctrico es una m agnitud escalar.

II.

En una esfera hueca de radio r, con carga Q, el campo eléctrico en el centro es cero.

III. La intensidad del campo eléctrico se mide a) V W d) FVV 2.

b) FFF e) FFV

c) FVF

Considere un cuerpo metálico descargado AB, en un campo eléctrico no hom ogéneo cu yas lineas de fuerza se muestran en la figura. Debido a la inducción electrostática en el cuerpo metálico: I.

El signo de la carga que aparece en el ex trem o A es negativo.

II.

El signo de la carga que aparece en el ex trem o B es positivo.

III. En los extrem os A y B el signo de las car gas que aparecen es positivo. a) b) c) d) e)

i 4.

Determ ine el m ódulo de la intensidad de cam po eléctrico a 40 cm de un electrón. a) 9 / 10~10 N/C c) 9 x 1 0 ^ 19 N/C e) 9 x 1 0 28 N/C

¿Qué fuerza eléctrica actúa sobre un electrón cuando es colocado en un campo eléctrico de 5 x 1 09 N/C? a) c) e)

b) 9 x 10~9 N/C d) 9 x 1 0 ~ 12 N/C

8 x 1 0 ‘ 1° N 6 x 1 0 ~ 1° N 4 x 1 0 ~ 1° N

b) 7 x 10~1° N d) 5 x 10-1° N

En el esquem a se m uestran dos cargas pun tuales. Calcule la intensidad de campo eléctri co total en el punto O.

O 4_¿iC ' ............ " ' y 1m 2m

12 gC © 1

Hallar el peso de una partícula cuya carga es de 3 x 10~3 C, si flota en el aire bajo la acción de un cam po u n ifo rm e v e rtica l hacia a rrib a de 3000 N/C de intensidad. b) 6 N e) 10 N

c) 9 N

La diferencia de potencial (VA - V B) entre los puntos A y B es 16 V del campo eléctrico ho mogéneo. Hallar la intensidad de dicho cam po, si d = 2 m. a) b) c) d) e)

WF VVV VFF FVF FFF 9.

5 m 1m 4 m 6 m 8 m

a) 2 N d) 12 N 8.

La intensidad del campo eléctrico resultante en el punto medio de la línea que separa a las cargas positivas es 18 000 N/C. Halla la distancia de separación entre las cargas. a) b) c) d) e)

en voltios.

5 4 x 1 03 N/C 6 3 x 1 03 N/C 4 5 x 1 0 3 N/C 9 x 1 0 3 N/C 9 0 x 1 03 N/C

6 N/C_______ _______________ 8 N/C_______ _______________ 10 N/C ___ £ _______5__ 9 N/C------------t l l z z ! -----5 N/C---------------------------------------

Hallar la tensión en la cuerda si la partícula de carga 2 x 1 0 - 3 C perm anece en reposo en el interior de un campo uniform e de 6000 N/C. a )1 5 N b) 7 N c) 12 N d) 9 N e) 13 N

. ---------------------E ----- ----------------------C h -----------------*-----------------------------

10. Determ inar el potencial eléctrico debido a una carga de 2 x 10 10 C, en un punto que se halla a 6 cm de la carga. a) d) 11.

6 V 30 V

b) 3 V e) 18 V

c) 20 V

Hallar el trabajo que le costará a un agente externo traer una carga de 4 pC desde el infi nito hasta un lugar de 5 kV de potencial.

12.

| C

o l e c c ió n

El Po s tu lan te

a) 2 x 1 0 3 J

b) 2 x 1 ( T 3 J

d) 2 <102 J

e) 103 J

Determinar la diferencia del potencial (VA - V B) entre los puntos A y B del campo eléctrico ho mogéneo de intensidad E = 10 N/C. a) b) c) d) e)

+12 V + 10/12 V +10 V -1 2 V -1 0 V

a) 1,3 N d) 1,6 N

c )2 x 1 0 ~ 2 J

17.

un ca m p o u n ifo rm e v e rtic a l hacia a rrib a de

a) 1,6 N d) 2,4 N

A B I— 1,2 m —I 18.

Oí 0 1—

—I

10 cm

19.

e) 4 x 1 0 ~ 4 C 14.

La figura representa una reglón donde existe un campo eléctrico uniforme de Intensidad E = 5 N/C y dos superficies equipotenciales paralelas de 50 V y 40 V. Hallar la distancia (x) entre las superficies.

d) 2,5 m 50 V

40 V

15. El gráfico representa un campo eléctrico uni form e de intensidad E = 8 x 1 04 V/m. Una car ga puntual q = 2 x 1 0 ~ e C es desplazada de A hasta B, conform e la trayectoria indicada. ¿Cuál es el trabajo de la fuerza eléctrica reali zado sobre la carga para ese desplazamiento?

16.

J J J J J

E ©

Una particula.de carga + q y masa m se en cuentra suspendida en equilibrio en el interior de un campo eléctrico uniforme E. Determine E.

d)gq

20.

c) 3,5 m

0,28 0,14 0,48 0,32 0,16

c) 4,8 N

e) 2m/q

b) 3.0 m

a) b) c) d) e)

7 N 14 N 28 N 21 N 35 N

a) mg b) mgq c) mg/q

a) 2,0 m

e) 4,0 m

b) 3,2 N e) 5,6 N

Hallar la tensión en el hilo de seda si la par tícula que se suspende tiene una carga de - 2 x 1 0 3 C, una masa de 600 g y está dentro de un campo uniforme E = 4000 N/C. (g = 10 m/s2). a) b) c) d) e)

-o

d) 4 x 1 0 9 C

Hallar el peso de una partícula cuya carga es

2 0 0 0 N/C de intensidad.

►E

a) 4 x 1 0 ~ 5 C c) 4 x 10~8 C

c) 1,2 N

de 800 gC, si flota en el aire bajo la acción de

13. Dos cargas puntuales q i y q2 = 1 x 10 " 5 C, es tán separadas 10 cm. El punto A está a 2 cm de q2; si el potencial eléctrico en el punto A es cero, ¿cuál es el valor y signo de la carga q1?

b) 4 x 10~6 C

b ) 1,7 N e) 2 N

b) 102 17

d) 105V7

e) 104 / 7

c) 103 /7

¿Cuál es la m agnitud del ca m p o e lé ctrico .a

a) 1,6 x 10~18

b) 1,6I x 10~18

c) 1,1 / 10~8

d)1,E ¡ x 10~8

e) 1,6 v 10~6

: :

a) 106-/7

3 cm de un protón?, (en N/C).

En dos vértices de un triángulo equilátero de 60 cm de lado se han colocado cargas de - 4 C y 12 C. Determ inar la intensidad de campo eléc trico en el vértice libre, en N/C.

Hallar la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga de 300 C, si está bajo la acción de un campo uniform e de intensidad 4000 N/C.

22.

Se tiene una e sfera co n d ucto ra neutra de 3 cm de radio. Si esta pierde 106 electrones, hallar el potencial eléctrico que adquiere. a) 4,8 x 10 V c) 4,8 V e) 4,8 x 102 V

b) 4,8 x 1 0 "3V d) 4,8 x 10~2 V

F ís ic a |

23. Cuatro cargas puntuales de 1; 2; 3 y - 3 pC, están colocadas en el mismo orden de los vértices de uncuadrado cuyo lado tiene una longitud de 1 m. Hallar el potencial eléctrico en el punto m edio del lado que une las cargas de 1 pC y 2 pC. a) c) e)

5,4 / 103 V 5,4 x 104 V 5,4 x 10® V

a) d) 25.

b) 5,4 x 102 V d) 5,4 x 105 V

b) 12 V e) 40 V

b) 10 V

d) - 5 V

tn w > < j ü

C \

c)5V

c) 45 V

Calcular el potencial de C si para trasladar una carga de 10 coulom b desde A hasta C se realiza un trabajo de - 2 0 0 J. a) - 1 0 V

24. Calcular la diferencia de potencial (Vc - V 0) entre los puntos C y D del campo eléctrico ho m ogéneo de intensidad E = 15 N/C.

30 V 60 V

30 v

AG\! '

1. c

6. c

11. o

16. c

2. a

7. c

12. a

17. a

21. e 22. d

3. b

8. b

13. a

18. b

23. c

4. a 5. c

9. a 10. d

14. a 15. d

19. c 20. d

24. c 25. b

CONDENSADORES CAPACITORES O CONDENSADORES Un capacitor o condensador es un dispositivo que puede alm acenar carga eléctrica; consiste de dos objetos conductores colocados uno cerca del otro, pero sin tocarse, cada conductor alm acena cargas ¡guales de signos contrarios. Observe que los cuerpos conductores no se tocan, siem pre entre ellos existe una sustancia aislante llam ada dielétrico. El aire o vacío es el aislante que com únm ente hay entre las arm aduras del conden sador. c o n d u c to r 1

El farad (F) suele ser una unidad muy grande, ma yormente emplearemos el microfarad: 1 gF = 10~6 F CARACTERÍSTICAS DE UN CAPACITOR DE PLA CAS PARALELAS La capacitancia de un condensador de pla cas paralelas es directam ente proporcional al área (A) de las placas e inversam ente propor cional a su separación (d).

c o n d u c to r 2

+Q -Q El c o n d e n s a d o r a lm a c e n a c a rg a e lé c tric a

C: capacitancia o capacidad del condensador, en F. s 0: perm isividad del aire o vacío

CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS Un capacitor característico consiste de un par de placas paralelas separadas por una distancia pe queña. Si el condensador se conecta a los bornes de una batería, rápidam ente se acumulan cargas, una placa adquiere carga negativa ( - Q ) y la otra una cantidad igual de carga positiva (+Q).

Sg = 8 , 8 5 x 1CT12 C2/ N .m2 A: área de las placas, en m2 d: distancia entre las placas, en m Si la distancia d entre las lám inas del conden sador es pequeña, entre estas láminas se for ma un campo eléctrico uniforme.

Para un capacitor dado, se ve que la cantidad de carga Q adquirida es proporcional a la diferencia de potencial: CV = Q; de donde:

| C = Q/V \

La constante de proporcionalidad C, se llama ca pacitancia o capacidad de! condensador. Unidades en el SI:

V: diferencia de potencia! entre placas, en V. E: intensidad del campo eléctrico. ENERGÍA ALMACENADA EN UN CAPACITOR Un capacitor alm acena energía eléctrica. Esta

coulomb (C)

volt (V)

coulumb _ fa m d (F) volt

energía será igual al trabajo efectuado para cargar lo. Si un condensador de capacidad C se conecta a una batería de voltaje V, la energía alm acenada en el condensador será:

F ís ic a |

La inversa de la capacidad equivalente es

tJIr c

Igual a

lasuma de las inversas de las capaci

dades de cada condensador. Recordaremos que: C = Q/V => V = Q/C

V1, v > 11 La batería hace trabajo para cargar el condensador

Reem plazando en (2):

Qt Cj

U: energía alm acenada (Joules)

Qi C,

Q 2 Q3 C2 C3

Cancelemos las cargas porque son ¡guales:

C: capacidad (faradio) V: diferencia de potencial o voltaje (voltios)

C1 C2 C3

CAPACITORES CON DIELÉCTRICOS Llenando un dieléctrico entre las placas de un con densador, su capacidad aumenta en un factor K, que se llama constante dieléctrica.

Capacitores en paralelo. Un circuito en paralelo es aquel en el que dos o más condensadores se encuentran conectados a dos puntos com unes A y B. En este arreglo se observa las siguientes pro

sin dieléctrico

-k T

con dieléctrico kC Ij

El dieléctrico aumenta la capacidad del condensador en un factor k

piedades: La carga to ta l se rep a rte en cada co n d e n sador.

Qj — Q-i + Q 2 + Q 3

... ( 1 )

ASOCIACION DE CONDENSADORES Capacitores en serie. Los capacitores están co nectados en serie cuando se conectan unos a con tinuación de otros. En esta conexión se observan las siguientes características: Cada capacitor está conectado al m ismo vol

Todos los condensadores en serie alm acenan la misma carga:

taje, el de la batería.

Qt ~ Q-i = Q2 ■Q3

VT = V 1 = V 2 = V3

... ( 1)

...( 2 )

La capacidad equivalente es igual a la suma de las capacidades de los condensadores. Recordem os que: C = Q A/ => donde: Q = CV Reem plazando en (1): C y V j — C tV , + C 2V 2 -i- C 3V 3

El voltaje de la batería se reparte en cada con densador:

Cancelem os los voltajes porque son iguales. C y = C-| + C 2 + C 3

VT = V 1 + V2 + V 3

...(2 )

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

EJERCICIOS RESUELTOS —

—

Determine la capacidad equivalente entre los puntos A y B. 16 p F

2 t

II-

8 pF

— II

11—

2 t1

16 p F

—

II—

Sim plificando se tiene

II-

14 p F

Serie

II—

J_= 1 O 3

C-i = 10 p F

1 J_ 3 3

1 pF

Paralelo: C 2 = 1 +

R e s o lu c ió n :

Paralelo! O3 — O-j

Se observan dos conexiones en serie: 8

Serie: C4 = 0

C eq = C 4 =

= 1 + 1 = 2 pF + C2 — 1+ 2 — 3 |iF = 2 pF 2 pF

lA( CV22 x 1 0 ~ 6( 1 2 ) 2 Luego: W = = ---------- 2

W = 144 x 10~6 J => W = 144 pJ Se observan dos conexiones en parelelo: A . -------------

12 H h

Si el sistema de condensadores que se m ues tra, alm acena 1,6 m ilijoules; determ ine el va lor de C. 3 pF

II---------24

40 V -

4 pF

12x24 = 8 pF (12 + 24) R e s o lu c ió n :

Determine la energía que entrega la batería de 12 V al sistema de condensadores que se indica. 6 uF

_ 3 ( 4 + C)

3 PF

- H h - m ------------Í 12 V :t

En prim er lugar se determ ina la Ceq; entonces:

— 11—

3(4 + C)

3+ 4 + C

7+ C

2 pF

y 2 pF

=r 1 pF j

:3 pF

También: W = ——— 2

II 1 ,6 4 1° 3 = |

3 uF

R e s o lu c ió n : La energía que entrega la batería es igual a la energía que alm acena el condensador equi valente del sistema.

10- 6

14 + 2C = 12 + 3C => C = 2 p F 4.

Un condensador plano posee entre sus pla cas un dieléctrico de permitividad: s = 4 b0;

F ís ic a ¡

a) 80 pC

al conectar este dispositivo a una diferencia de potencial de 20 V la carga en una de las placas es de 20 pC. ¿Qué energía acumula este condensador cuando se le conecta a una fuente de 8 V?

b) 40 pC

„ _ 20

10 6 C _ Hn_6 c 20V 10 F

4 pF

d) 70 pC 4 pF

e) 35 pC

En el circuito mostrado, determ ine la energía almacenada.

CVf = 1 0 ^ 8 ) ^ 2

11 3 pF

a) 300 pJ

Finalm ente cuando se conecta a 8 voltios:

c) 60 pC

R e s o lu c ió n : Inicialmente: C = Q/V

b) 250 pJ c) 200 pJ

> 1 0 -6J

+ 10 V - r ■

d ) 150 pJ e) 100 pJ

¿6pF

2 pF: ii II 12 pF

W = 32 pJ Hallar la capacidad equivalente en el circuito mostrado:

□

EJERCICIOS PROPUESTOS

□

b) 2/5 pF 1.

Hallar la capacidad equivalente entre los pun tos A y B. C

c) 4/5 pF d) 5/4 pF e) 6/5 pF

2pF

a) 1/5 pF

P V . e pF 6 p F \ - " 2 pF '_

Determ inar la capacidad equivalente entre los bornes A y B. a) C d )6 C

b) 3C e) 2C

c) C/2 A-

8 pF Ib 10 pF rjr

Hallar la capacidad equivalente entre A y B. a) 2C/3 b) 3C

a )1 pF d) 4 pF

e) C/2 En el circuito mostrado, determ inar la carga alm acenada por el sistema.

a) 8CV/5 b) 3CV/5

b) 129 pC

c) CV/5 6 pF

c) 3 pF

b) 2 pF e) 5 pF

En el circuito mostrado, hallar la carga del sis tema, siendo el voltaje en AB: V voltios.

a) 100 pC

d) 160 pC

4 pF

d) 3C/7

c) 140 pC

”1

ip F

C Hh

c) 3C/2

4pF

3 pF:

d) 6CV/5 e) 4CV/5

C H l-

e) 180 pC 4.

Calcular la carga eléctrica que alm acena el condensador de 8 pF en el circuito mostrado.

Calcular el valor de C si se sabe que el con densador equivalente tiene una capacidad de 10 pF.

1 0 0 | C o l e c c ió n

Po s tu la n te

3 pF

a) 6 pF b) 3 pF c) 4 pF d) 12/5 pF e) 5/12 pF

•—

6 pF 11— 10 p F 7

6 pF F -|-2 uF ± 1 PF

N a) d) 10.

6 pF 10 pF

b )7 p F e) 12 pF

c) 8 pF

Calcular la capacidad equivalente entre los puntos A y B.

tn ai < j u

1. e

3. d

5. d

7. d

9. c

2. a

4. a

6. e

8. a

10. c __ J

ELECTRODINÁMICA Parte de la electricidad que estudia los fenóm enos relacionados con las cargas eléctricas en movimiento.

Unidades en SI:

CORRIENTE ELÉCTRICA Es el flujo o m ovimiento ordenado en una dirección determ inada de partículas cargadas.

Q.m

La resistividad de un m aterial (p) nos indica si di cho material es buen, regular o mal conductor de

E (c a m p o e lé c tric o ) /

'(+)

Potencial mayor

I \

I —

so so

¡^

so es

la electricidad. Ley de Ohm. La resistencia eléctrica (R) es direc

tam ente proporcional al voltaje (V) e inversam ente

Potencial m enor

proporcional a la corriente (i) que la atraviesa.

Corriente Corriente convencional real R = tana

R = c V lo ia / : ......... - ....................- - - .................

■ Se utiliza la corriente convencional. ■ La corriente convencional es equivalente a la corriente real. • La intensidad de corriente eléctrica (I) es aquella magnitud que nos expresa la can tidad de carga por unidad de tiempo que atraviesa una sección transversal del con ductor.

Unidades: V: voltio (V); I: ampere (A); R: ohmio (Q) Variación de la resistencia con la temperatura. En un conductor metálico su resistencia es proporcio nal a la temperatura. R = R0 (1 + a, AT) Donde: AT = T - T0 (variación de temperatura)

(

I = q/t

a t: coeficiente térm ico en (°C~1)

:) t___ carga

ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS Unidades:

Podem os asociarlas en serie o paralelo.

I: ampere (A); q: coulomb (C); t: segundo (s) 1.

Resistencia en serie. Las resistencias están conectadas

Resistencia eléctrica. Las cargas al circular a través del conductor colisionan con los átom os de este, a esta oposición se le denom ina resistencia

en serie cuando están unas a

continuación de otras; como en el diagrama. Ri

eléctrica. A cierta temperatura; la resistencia (R) de un alam bre conductor es directam ente proporcional a su longitud (L) e inversam ente proporcional al área (A) de su sección tranversal. Matem áticamente:

R = p -1

vT En una conexión en serie se observa lo si guiente:

102

| C

o l e c c ió n

E l Po s tu lan te

La corriente que entrega la batería (lT) es

Observación:

igual a la corriente que pasa por cada re

A mayor número de resistencias en serie, ma

sistencia:

yor resistencia equivalente.

lT = l-i = l2 = I3

(1)

A m ayor número de resistencias en paralelo, menor será la resistencia equivalente.

El voltaje que sum inistra la batería (VT) se reparte en cada resistencia: Vy = V i + V 2 + V 3

... (2)

Usando la ley de Ohm (V = IR) en la ecua

Casos particulares: I.

ción (2) obtendremos:

Req = nR

It R t = 11F?i + l2R2 + l3R3 En serie las corrientes son iguales: luego la resistencia equivalente será:

R Req -

Ry — R1 + R2 2.

R n

Resistencias en paralelo. Las resistencias están en paralelo cuando están conectadas al mismo par de puntos; como en el diagrama:

POTENCIA ELECTRICA DISIPADA EN UNA RESIS TENCIA (P)

\ l2

R , 3 = R2 i

P = I R = VI

En una conexión en paralelo se observa lo si guiente: I.

La corriente que entrega la batería se re parte en cada resistencia: ly = h + l2 + l3

en la ecua

ción (1) obtendremos: V l = V[ Ri

V2 V3 ■— + — r 2

r 3

J_ = ± + J_ + J_ Ri

w = i2R t = v n = y ~ t R Unidades: jo u le = voltio, ampere. segundo EFECTO JOULE Q = 0,241 Rt Q: cantidad de calor disipado en el conductor en calorías (cal).

En paralelo los voltajes son iguales, luego la resistencia equivalente será:

ENERGÍA ELÉCTRICA DISIPADA (W)

...(2 )

III. Usando la ley de O h m |l =

Unidades: vo ltio .ampere = watt (W)

■■■ (1)

II. Todas las resistencias están sometidas al mismo voltaje, el de la batería: Vy = V 1 = V 2 = V3

y ! R

FUERZA ELECTROMOTRIZ (e) También se denota fem; es la cantidad de energía eléctrica que entrega la fuente a cada unidad de carga que pasa por el interior de su polo negativo a su polo positivo. Se debe precisar que la fem no es una fuerza, es una energía convertida en energía eléctrica por unidad de carga.

F ís ic a | 1 0 3

e polo negativo Unidad: voltio (V) :

jo u le (J) coulomb (C)

Asociación de recorridos cerrados form ados, en general, por resistencias y generadores, a través de los cuales circula la carga eléctrica form ando una o más corrientes. LEYES DE KIRCHOFF

W: energía sum inistrada a q por la fuente. Observación: Si la corriente pasa por la fuente de (+ ) a ( - ) , en tonces las cargas pierden energía eléctrica, en este caso la energía eléctrica se convierte en ener gía quím ica (pilas, baterías).

1.a ley (ley de los nudos): se basa en el principio de conservación de la carga eléctrica, establece que en todo nudo la surtía algebraica de corrientes que entran al nudo es Igual a la suma de corrientes que salen del nudo. Se llama nudo a todo punto del circuito en donde concurren tres o más conductores.

POTENCIA DESARROLLADA POR UNA FUENTE

S le n tra n = X lsa te n nudo nudo

DE ENERGÍA ELÉCTRICA

L + 13 — 12 + 14 + 15

p = w _ sq t t

P =el

Unidad: watt (W) = vo ltio .ampere Observación: La misma expresión para la potencia se utiliza para calcular la potencia en una fuente receptora cuan do la corriente o cargas pasan por su interior de (+ ) a ( - ) . Fuente real

ñ El

2.a ley (ley de las mallas): basada en el principio de conservación de la energía. En toda malla o tra yectoria cerrada, la suma algebraica de los voltajes que existen en la malla es igual a cero. También se puede enunciar para fuentes y resistencias que existen en la malla, que la suma de las fem de las fuentes es Igual a la suma de los productos de las resistencias con las intensidades de corriente que circulan por ellas. 2AV = 0

I \W r~ I

v » -v R

Regla de signos:

(VAB = VA - V B)

r: resistencia Interna de la fuente

= —I

V a — V R - 8 + Ir

'I---------------*B ¡:

De A hacia B: s(+ )

SI la corriente pasa de (+ ) a ( - ) por el interior de una fuente, se cumple: _

De B hacia A: e(—) También:

+ -------- •

(V a b > e )

De A hacia B: - IR De B hacia A: +IR

104 | C

El Po stulante

o l e c c ió n

. ” ll A

_i_ IU AAAM

I = 5A Haciendo el recorrido de A hacia B: VA + XV = VB =» VA + 10 - 5 x 10 - 20 + 30 = VB VA - V B = 30 V

MEDICION DE CORRIENTE Y VOLTAJE DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS

DE UN CIRCUITO Para hallar la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de un circuito, se inicia un re

El am perím etro (A). Es un dispositivo que, a través de cierta escala, mide la corriente eléc trica que circula por el circuito. Forma de uso: se instala en serie con la re sistencia cuya corriente se quiere medir.

corrido en un punto hasta llegar al otro punto final siguiendo cualquier trayectoria.

^inicial 4

‘ Vfjnal

Ejemplos:

El amperímetro se instala en serie y mide la corriente 1.

Hallar la diferencia de potencial entre los ex trem os de una fuente:

- £

+ 1 ^ N U r------- ^

Precaución: durante la fabricación del am perím etro se procura que tenga la m enor re sistencia interna posible para que cuando se instale en serie no m odifique la resistencia del circuito ni altere la corriente original.

~ V Haciendo el recorrido de B hacia A: V B + 2V = VA =» V B + E — Ir = VA VA - V B =

A m perím etro ideal. Lo que quisiera diseñar el fabricante. E¡ am perím etro ideal es aquel cuya re siste n cia in te rn a es tan pequeña (Ra -> 0) que podría despreciarse.

- Ir

Haciendo el recorrido de A hacia B: VA + XV = V B ^

VA+ Ir -

= VB

VA - V B = s - Ir 2.

Hallar la diferencia de potencial entre los ex trem os de un receptor:

- E+ • 1 h IM r ------- • B__________ i,___ A I Haciendo el recorrido de B hacia A: V B + I V = VA =» VA — VB =

El voltím etro (V). Este dispositivo nos per m ite m edir la diferencia de potencial (voltaje) entre dos puntos de un circuito. Form a de uso: se instala en paralelo con la resistencia cuyo voltaje se quiere medir.

R A

"1"

V B+ £ + Ir = VA

+ Ir i1

Hallar la VAB:

El voltímetro se instala en paralelo y mide el voltaje

F ís ic a | 1 0 5

P re c a u c ió n : durante la fabricación del voltí

Ley de Ohm: V = IR

metro se procura que tenga la mayor resis

117 = 0 ,1 1 7 x R => R = 103 O

tencia posible, para que cuando se instale en paralelo la corriente que circule por el voltímetro sea muy pequeña (lv -> 0 ) y no altere la corrien

Determ ine la cantidad de calor que disipa la resistencia de 4 O durante 100 s; se sabe que la caída de tensión en la resistencia de 3 Q es

te original. El voltím etro leerá la diferencia de potencial

(+ )

de 13 V. 4 í! m -------

= R 2 í¡

Í3 fii6 fi

V o ltím e tro id e a l. Lo que quisiera diseñar el fabricante. El voltím etro ideal es aquel cuya resistencia interna es tan grande (Rv —» °°) que la corriente que circula por él podría des preciarse (lv - > 0).

( - ) --------------------R e s o lu c ió n De la conexión en paralelo que se tiene:

EJERCICIOS RESUELTOS

El voltím etro V de la figura indica 117 voltios y el amperímetro A indica 0,13 amperios. Si la resistencia eléctrica del voltím etro es 9000 ohm ios y la del amperímetro es 0,017 ohmios, determ ine el valor de la resistencia R. =* I, = 6 A; l2 = 4 A =» l3 = 2 A; l4 = 1 2 A Del efecto Joule: Q = 0.24 I2 Rt Q = 0,24(12)2 (4)(100) => Q = 13 824 cal Cada una de las resistencias del sistema mos trado en la figura puede disipar un máximo de 18 vatios sin fundirse. ¿Cuál es la máxima po tencia que puede disipar el sistema mostrado?

R e s o lu c ió n : 9000 Q

L»

20 H/W W -*

0,017 n 20

Ley de Ohm: V = IR 117 = 1,(9000) =* I, =

9000

De la conexión en paralelo: 117 - + I, = 0,13 I, + l2 - I => 9000 l2 = 0,117 A

R e s o lu c ió n : Se sabe que para una resistencia se cumple: I P = l2R

-W r

| C

o l e c c ió n

El Po stulante

De los datos se sabe que cada resistencia puede disipar como m áximo 18 vatios sin fun dirse.

20R = 25 + 10R + R2 0 = 25 - 10R + R2 0 = (R - 5)2 => R = 5 í l

20 Determ ine el valor de la potencia eléctrica que disipa la resistencia de 5 Q, en el circuito eléc

■—W b — 2 0

trico que se muestra. 50

2.Q

—

Entonces: 18 = l§ (2) = l3 = 3 A 36 V

Además: b = l2 = 1,5 A

[I|l|l1Q

Finalmente: Pmá<¡ma = (1,5)2(2) + (1,5)2(2) + (3)2(2) R e s o lu c ió n :

Pmáx¡ma“ 27 vatios

50 - m -

Xe = X (IR ) 36 = 51 + I =» I = 6 A

La cantidad de calor que disipa la resistencia R en 16 s es capaz de fusionar a 24 g de hielo

Para la potencia: P = l2R

que se encuentran a 0 °C. ¿Cuál es el valor de

P = (6)2 x 5 =

la resistencia R? R m —

180 W

—

| i |i |m m v h 36 V 1 O

i 6. í

Del circuito eléctrico que se indica se pide de term inar la potencia eléctrica consumida.

—

50 m ---------

100 V 200 V = £

R e s o lu c ió n :

6 O ¡£

9 0 i £ 18 n i

Se sabe que cuando existe cambio de fase, se cumple: Q = ma = 24 x 80 cal Del efecto Joule, se tiene: Q = 0,24l2Rt 0,24 l2R x 16 = 24 x 8 0

...(a )

Del circuito: R

R e s o lu c ió n : La potencia eléctrica consum ida o disipada por el circuito es de igual valor a la que disipa la resistencia equivalente, entonces: 50

—m — J_ 200 Vi £ 100 V

6 0 =\ 9ni \ i8ni

Xe = X(IR) 100 = 21 + IR + 31 =* I = 100/(5 + R)

Conexión en paralelo

En (a): 0,24 x — ! ° ° Í _ x R x 16 = 24 x 80 (5 + R)

1 1= 1 + 1 + R-i

_ 6_

R1 = 3 Q

F ís ic a | 1 0 7

5. Luego se tiene:

Determ inar la resistencia equivalente entre los puntos A y B. a ) 1 0 £2

Req = 8 £2

3 £2

5 £2

b) 36 Q

200 V ^

É8 £2

c) 13 Q d) 20 ü

|2d = v 2/ r Finalmente: P -= FR ,2/q - 5 k w P = (200)2/8

-W r~

Cuál es la resistencia equivalente entre A y B. 3 £2

a) 1 £2

[" 1.

e j e r c ic io s

□

c) 3 £2

Por R, pasa la corriente I. Por R2 no pasa corriente.

6 £2

-W r-

d) 4 Q

Del gráfico mostrado, indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: II.

— m —

b) 2 £2

PROPUESTOS

9 £2

1 0 £2

e) 40 £2

2 £2

e) 5 £2

— m —

D e te rm in e la re siste n cia e q u iva le n te entre A y B.

III. VDg = VpG

a) 7 £2 D

R;3

b) 5 £2

c) 4 £2 — W r —r F 3 Rq C

a) VVV d) FVF

b) 4 x 1 0 - 1 A e) 400 A

6£2

Calcular la resistencia equivalente entre A y B:

D eterm inar la intensidad de corriente que pasa por un conductor, si se sabe que en el tiempo de 0,01 s pasan 4 C de carga. a) 2 x 1 0 A d) 4 x 10~2 A

6 £21

/e n 2n — m — Y----------------

d) 3 £2 e) 2 £2

c) VFV

b) FFF e) VVF

3 £2 \

6Q • --------YWVv

3Q YYVVV

2a VVVYV

c) 0 ,4 4 A a) 0,5 £2 d) 1,2 £2

Determ inar la intensidad de corriente del si guiente conductor y su sentido, si: VA = 100 V; V B = 80 V; R = 50 Q

b) 0,8 £2 e) 2 £2

c) 1 £2

Hallar la resistencia equivalente entre A y a) 8R/5 b) R

a) b) c) d) e)

1 A (->) 2 A (-> ) 1.4 A (<-) 0,4 A (-») 10.4 A (—>)

c) 3R/5 (+ ) «

R -JWWL-

d) 5R/3 e) 5R/2 10. H a lla rla resistencia equivalente entre x e y.

Un foco conectado a una fuente de alim enta ción de 10 V, disipa 24 calorías en 2 minutos. Hallar la resistencia del foco. a) 100 n d ) 200 n

b) 120 £2 e ) 250 Q

c) 150 Q

a) 5 £2 b) 7 £2 c) 9 £2 d) 3 £2 e )8 fi

E l P o stulante

108

| C o l e c c ió n

11.

Hallar la resistencia equivalente entre A y B.

II. La intensidad de corriente es una m agnitud vectorial.

III. 1 volt = 1 ampere.ohm IV. Las cargas eléctricas qué fluyen en un conductor son los protones. V. 1 watt = 1 v o lt. ampere a) d) 17. a) 4 Q d) 7 Q 12.

1A 2A 3A 2,5 A 3,5 A

9V x

6 fi

19.

b) 3 A

± 4 V

IV ±

d) 3,6 A e) 0,4 A 15. En el siguiente circuito eléctrico, calcular las corrientes que pasan por 2 Q y 412.

b) 3 A; 2 A c) 4 A; 2 A d) 3 A; 1 A e) 1 A; 2 A 16.

b) e)

c) 2,5

2 3,5

Cuando una plancha se conecta a la diferen cia de potencial de 220 V, circula por ella una corriente de 8 A. Calcular la resistencia de la plancha eléctrica.

a) 27 d) 26 a

b) e)

27,5 0 28 Q

c) 29 a

2 0 . Por una tostadora electrodom éstica circulan 11 A de com ente: calcular la resistencia de la tostadora eléctrica. (V = 220 V) a) d)

20 50

a a

b) 30 e) 60

a a

c) 40

2 1 . Hallar la resistencia equivalene entre x e y. x »—

¿4a

— r - m —.

1a HWir-

La intensidad de corriente en un conductor es de 30 A, hallar el tiempo en que circulan 4500 C (en minutos)

3£2 — 1|— — — <l— I 12 V 5V 3 V- — -----

2A 2A 3A 3A 3A

d) 3

Determine la corriente en el siguiente circuito.

a) 3 A; 3 A

1 A; 2 A; 3 A; 2 A; 4 A;

a) 1

a) 1 A c) 2 A

c) VFVFV

En el circuito m ostrado calcular la intensidad de corriente que pasa por las resistencias de a) b) c) d) e)

18.

b) W V V V e) V F W F

2 a.

Del gráfico determ inar la resistencia equiva lente entre x e y. a )R b) 2R c) R/2 d) R/3 e) 5R

14.

c) 6 f i

Determine la lectura del amperímetro ideal. a) b) c) d) e)

13.

b) 5 a e )8 Q

FFVFV W FFF

y .----------- - m — -----

Indicar verdadero (V) o falso (F) en las si guientes proposiciones: I. La unidad de la intensidad de corriente eléctrica en el SI es el amperio (A).

a) R d) R/2

b) 2R e) R/3

c) 3R

22 . En el circuito mostrado, cuánto marcará el am oerím etro instalado.

F ís ic a | 1 0 9

20V

60 e) 5 A

20 a) 1,67 A d ) 1,7 A 23.

b) 1,56 A e) 1,9 A

c) 1,48 A

25.

2A 4A 6A 8A 10 A

40 40

24 V 30 V 36 V 12,5 V 15 V

15A

4a —W r~

3a 12 a — m — N

I = 10 A 20 -m -

tn iii < j

24.

Determine la lectura del voltím etro ideal. a) b) c) d) e)

Halle la com ente que pasa por la resistencia de 2 Q . a) b) c) d) e)

25 V

a) 2,5 A b) 7 A

Halle la co rrie n te que circula por la resiste n cia de 4 Q.

6. e

11. d

16. a

2. e

7. a

12. a

17. c

22. a

3. d 4. b 5. c

8. c 9. a 10. b

13. b

18. c

23. d

14. c 15. b

19. b 20. a

24. a 25. c

1. c

21. b

ÓPTICA Estudia a la luz y los fenóm enos que ocasiona. Naturaleza de la luz. La luz tiene una naturaleza doble, cuando se propaga se com porta como una onda electrom agnética y cuando interacciona con la materia, como si estuviera form ado por peque ñas partículas o corpúsculos, es decir, tiene una naturaleza ondulatoria o corpuscular. En un medio hom ogéneo y transparente la luz se propaga en línea recta, representado por rayos lu minosos. En el vacío su velocidad es m áxima y su valor es c = 300 000 km/s en forma aproximada. Reflexión y refracción de la luz. Si la luz incide sobre una superficie que separa a dos medios transparentes, una parte de la luz se refleja y la otra parte se refracta penetrando en el segundo medio.

Reflexión difusa. Se produce en superficies rugo sas obteniéndose que los rayos que inciden para lelamente se reflejan en todas las direcciones.

REFRACCION DE LA LUZ índice de refracción (n). Es un número sin uni dades (cantidad a dim ensional) que para una luz m onocromática se define como la velocidad de la luz en el vacío (c) dividido por la velocidad de la luz en dicho m edio (v). El índice de refracción mide la densidad óptica del medio transparente. [ n = c/v |

n> 1

REFLEXIÓN DE LA LUZ Leyes de la refracción: /ó \

N: normal

Xn N: normal

■ ':!r / S > /

" i \ n2

^'S uperficie

ángulo de incidencia r: ángulo de reflexión

i: ángulo de incidencia r: ángulo de reflexión

Leyes de la reflexión: 1 a Los rayos incidente, reflejado y la normal en el punto de incidencia, están en un mismo plano. 2.a El ángulo de incidencia es igual al ángulo de

1.a Los rayos incidentes, refractado y la normal se encuentra en el m ismo plano. n-i sem = n2 senr

reflexión, es decir, ] i = r | Observación:

Casos particulares:

La luz al reflejarse se sigue propagando en el m is mo m edio sin cam biar su velocidad, frecuencia y longitud de onda.

Reflexión regular. Se presenta en superficies per fectam ente pulidas, obteniéndose que los rayos de luz que inciden paralelam ente se reflejarán tam bién paralelamente.

Si la luz pasa de un m edio de menor índice a otro m edio de mayor índice, se desvía acercándose a la normal.

n-|< n2; i > r

Si la luz pasa de un medio de mayor índice a menor índice, se desvía alejándose de la normal.

F ís ic a | 1 1 1

Por geometría: D = i + i' - A

N n-i> n2; i < r n2

Si: D es m ínimo (Dmin) =» i = Luego: D = 2i - A

ñ X

Si la luz incide perpendicularm ente a la super ficie no se desvía.

A + Dm,n

además: r = r' =» r = — P o rS n e ll: nMseni = nPsenr => np = nM-

ni "1

/ senA + Dm¡r

nP - nM-

Observación: Cuando la luz se refracta cambia su velocidad y longitud de onda, pero su frecuencia no varía. Á ngulo límite (L). Es el ángulo de incidencia que produce un ángulo de refracción de 90°, esto solo sucede cuando la luz pasa de un medio de mayor índice a un m edio de menor índice de refracción.

ESPEJOS Son superficies perfectam ente pulidas donde solo se produce reflexión regular. Espejos planos

Reflexión total. Es aquel fenóm eno que se produ ce cuando el ángulo de Incidencia es mayor que el ángulo límite y la luz no puede pasar al otro medio.

zona real

’ zona virtual

Características de la imagen: 1.

El tam año de la im agen es igual al tamaño del objeto.

La ubicación del objeto y su imagen es sim é trica al espejo.

La Imagen es virtual y derecha.

ni objeto Refracción de un prisma

Espejos esféricos. Son ca sq u ete s e sfé rico s pu lidos. SI está pulido en la parte in te rio r es cónca vo y convexo si está pulido en la parte exterior. La abertura del espejo debe ser pequeña (m enor de 10°).

112

| C

o l e c c ió n

El Po stulante

Elementos:

zona real

zona virtual

espejo esférico

C: centro de curvatura V: vértice f: distancia focal f: R/2

F: foco xx': eje principal R: radio de curvatura

Espejos convexos. La im agen es virtual, derecha y de m enor tamaño.

IMÁGENES EN ESPEJOS ESFÉRICOS Espejos cóncavos 1.

El objeto más allá de C. La im agen es real, invertida y de m enor tam año que el objeto.

El objeto en C. La Imagen es real, invertida y de igual tam año que el objeto.

Elementos:

0: distancia del objeto al espejo (V) i: distancia de la imagen al espejo (V) f: distancia focal. LENTES Son cuerpos transparentes lim itados por super ficies esféricas, una de las superficies puede ser plana. Estudiarem os lentes delgadas. Tipos de lentes

El objeto entre C y F. La im agen es real, in vertida y de m ayor tam año que el objeto.

Lentes convergentes. Cuando un grupo de rayos lum inosos incide sobre estas lentes, se desvían hacia la parte más gruesa de la lente, al salir de la lente convergen hacia un punto F llam ado foco principal.

Biconvexa 4. 5.

El objeto en F. No existe im agen porque los rayos reflejados son paralelos. El objeto entre F y V. La im agen es virtual, derecha y de m ayor tam año que el objeto.

Plana convexa

M enisco convergente

F ís ic a ¡ 1 1 3

Lentes divergentes. Si los rayos lum inosos para lelos llegan a la lente, al salir de la lente divergen y sus prolongaciones se cortan en un solo punto F que es el foco principal de la lente.

El objeto entre 2f y f. La im agen es real, in vertida y de m ayor tam año que el objeto.

El objeto en F0. No hay im agen porque los

El objeto entre F0 y el centro óptico. La im agen es virtual, derecha y de mayor tamaño

rayos refractados no se cortan.

que el objeto. Bicóncava

Plana cóncava

Menisco divergente Elem entos de la lente Lentes divergentes. La im agen es virtual, dere cha y de menor tam año que el objeto.

C-i, C2: centros de curvatura de las superficies que limitan a la lente. R i, R2: radios de curvatura O: centro óptico de la lente xx': eje principal F0: foco donde está el objeto F-,: foco donde está la imagen f: distancia focal

Ecuación de Descartes

FORMACIÓN DE IMÁGENES Lentes convergentes 1.

9: distancia del objeto a la lente i: distancia de la im agen a la lente

Objeto más allá de 2f con respecto a la lente. La imágen es real, invertida y de m enor tam a ño que el objeto.

f: distancia focal 0: (+ ) r (+): imagen real, invertida '■ \ ( - ) : imagen virtual, derecha j J (+): lente convergente |_ ( - ) : lente divergente 2.

Ecuación del aum ento (A)

Tam año de la imagen(T|) 2.

El objeto a 2f de la lente. La im agen es real, invertida y de igual tamaño que el objeto.

Tam año del objeto(T0 )

114 | C

o l e c c ió n

A - - 1 ; 0

El P o s tu lan te

(+): imagen virtual, A: í l ( - ) : imagen real, invertida

Ecuación de fabricante de lentes

IMAGENES POR REFRACCION EN UNA SUPERFI CIE PLANA Se produce por la intersección de las prolonga ciones de los rayos refractados provenientes del objeto.

1 = ( l k _ 1V II + - I f

\ nM

A Ri

nL: índice de refracción del m aterial de la lente H-i = H0 /

nM: índice del m edio que rodea a la lente.

R-i, R2: radios de las superficies que limitan a la lente. Superficies cóncavas: R: -

■

índice del medio donde está el observador, índice del medio donde está el objeto, distancia de la im agen a la superficie que se para los medios (profundidad aparente), distancia del objeto a la superficie (profundidad real).

Superficies convexas: R: + Superficies planas: R: cc Observación: Las lentes que son convergentes en un medio puede ser divergentes en otro m edio y vice versa.

[" 4.

e j e r c ic io s

PROPUESTOS

]

Potencia óptica de la lente (P) Se m uestra dos espejos planos que forman 110° y un rayo que se refleja sucesivam ente en los dos espejos. Determ ine 9.

Unidades: f: metro (m) P: dioptría

f 2 = X-|X2

f: distancia focal x ^ distancia del objeto al foco objeto (F0)

a) 10° d) 40°

x2: distancia de la imagen al foco imagen (F-i) Asociación de lentes en contacto

b) e)

20° 50°

c) 30°

Se muestra una caja cúbica interiorm ente reflectora y un rayo incidente que luego de 3 reflexiones emerge de la caja. Halle 9. a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°

± = 1 + 1 + 1 L') ^2 ^3

En la figura se muestra a una persona de 1,6 m de altura que ve con las justas el extrem o del

F ís ic a | 1 1 5

muro de 0.8 m de altura a través del espejo plano y cuadrado de 10 m de lado. ¿A qué distancia del muro está el espejo?

¿Cuál es el radio de curvatura (en cm) de un espejo de afeitar que da un aumento triple de un rostro a 30 cm del vértice del espejo? a) 60 d) 90

b) 70 e) 95

c) 80

espejo

_____

3 m ----------- 1 a) 1,2 m d) 1,5 m 4.

b) 1,3 m e) 0,9 m

El hombre en la posición Indicada no logra ob servarse, luego camina 1 m sobre la superfi cie inclinada pudiendo ver 1,6 m de la longitud de su cuerpo. Si la altura de la persona es 1,8 m; determ ine 0.

b) 37° c) 53° d) 45° e) 30° M ientras la persona sube-las escaleras, el es pejo es acercado y justo cuando la persona term ina de subir, el espejo llega al pie de la escalera. Si la rapidez media de la imagen de la persona es de 1,5 m/s, determ ine la rapidez media de la persona.

Un objeto es colocado a 6 cm de un espejo esférico obteniéndose una imagen Invertida con un aum ento de - 5 , luego son ciertas: I.

La imagen del objeto es virtual.

II.

La imagen está a 30 cm del espejo

III.

El espejo es cóncavo.

a) VFV d) VFF

b) VVF e) FVF

Los espejos convexos siem pre dan im á genes más pequeñas.

III.

Los espejos cóncavos siem pre dan imá genes reales.

c) FVV

b) VVV e) V V F

c) FVV

Un haz cónico convergente incide como se m uestra en un espejo esférico cóncavo de 0,8 m de radio de curvatura. ¿A qué distancia del foco se intersecan los rayos reflejados? (d = 0,4 cm).

b) 0,2 m e) 0,4 m

c) 0,3

Un móvil se encuentra a 80 cm de un espejo cóncavo de radio 40 cm. ¿Con qué rapidez deberá acercarse un móvil al espejo, m ovién dose sobre su eje, para que luego de 10 s, desaparezca su im agen? a) 2 cm/s d) 8 cm/s

1,5/3 m/s 11.

II.

a) 0,1 m d) 0,15 m 10.

b) 2 m/s e) 4 m/s

Las imágenes virtuales siem pre se for man detrás del espejo.

a) VFV d) FFV 9.

a) 1,5 m/s d) 3 m/s

I. c) 1,4 m

a) 16°

Señalar verdadero (V) o fatso (F) con respecto a los espejos esféricos:

b) 4 cm /s e) 10 cm/s

c) 6 cm/s

El radio de curvatura de un espejo esférico cóncavo es de 40 cm. ¿A qué distancia del espejo (en cm) debe colocarse el objeto para obtener una imagen real cuya altura sea la mitad del objeto? a) 15 d) 80

b) 30 e) 90

c) 60

12. Un espejo cóncavo de radio R puede em plear se como cocina solar colocando la parrilla en

1 1 6 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

el eje principal del espejo a upa distancia x del vértice, luego se cumplirá que: a) x = R d) x < R/2 13.

b) x = R/2 e) x = 0

x > R/2

Un espejo esférico cóncavo da una Imagen real cuyo tam año es tres veces mayor que el objeto. D eterm inar la distancia focal del espe jo, si la distancia entre el objeto y su imagen es 20 cm. a )7 ,5 c m d) 9,0 cm

b) 8,0 cm e) 9,5 cm

8,5 cm

14. Un objeto de 4 cm de altura situado frente a un espejo cóncavo, dista 15 cm del vértice del espejo. S i el radio de curvatura es 40 cm, ¿qué característica tiene la im agen? a) b) c) d) e) 15.

a) DR/(2S - R) c) DR/(S - R) e) DR/(2S + R)

¿Con qué ángulo se refleja un rayo luminoso en un espejo plano, que ha girado 15° en sen tido horario con respecto al rayo reflejado en el espejo en su posición Original? b) 20 “

c) 30°

d) 40 “

a) 20 d) 50 20.

a) 9 cm, Invertida c) 11 cm, invertida e) 15 cm, invertida

a) 5 cm/s b) 6 cm/s c) 8 cm/s d) 10 cm/s e) 15 cm/s

21.

22.

b) 25 e) 40

b) 55 cm' e) 40 cm

50 cm

b) 90 e) 180

120

Un d e n tista m aneja un e sp e jo có n ca vo de 6 cm de radio de curvatura a una distancia de 2 cm del empaste de una muela. El tamaño de la im agen respecto al tam año del empaste será: a) Igual d) La mitad

2"cmj

c) 40

¿A qué distancia (en cm) de un objeto se co loca su imagen, si esta se coloca a 180 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es 120 cm? a) 60 d) 150

23.

b) 30 e) 60

En un espejo esférico convexo, se obtuvo una im agen de un objeto reducida diez veces, que dista 1,8 m del espejo. Calcular el radio de curvatura del espejo. a) 60 cm d) 45 cm

b) 10 cm, invertida d) 12 cm, invertida

17. De la figura, un objeto se encuentra girando a lre d e d o r del e je p rin c ip a l del e sp e jo con 5 rad/s. Determ ine el valor de la velocidad tan gencial de su imagen.

b) SR/(D - R) d) Cero

La Imagen real de un objeto producido por un espejo cóncavo de 20 cm de distancia focal es cuatro veces el tam año del objeto. ¿A qué distancia (en cm) se encuentra el tamaño del objeto? a) 20 d) 35

e) 50“

Un espejo esférico cóncavo de 20 cm de ra dio, se utiliza para proyectar la im agen de un objeto sobre una pantalla a 110 cm del espejo. ¿Dónde debe ser colocado el objeto y cómo se verá la Imagen?

terrestre al S y que el el diámetro emplea un

19. Frente a un espejo cóncavo de 60 cm de radio de curvatura se coloca una vela de 20 cm de altura. SI esta vela se ubica a 40 cm del espe jo, calcular el tam año (en cm) de la imagen.

Virtual, Invertida, de 4 cm de altura Real, derecha, de 8 cm de altura Virtual, derecha, de 16 cm de altura Virtual, derecha, de 8 cm de altura Real, invertida, de 16 cm de altura

a) 10“ 16.

18. Considere que desde la superficie centro del Sol hay una distancia diám etro de este es D. ¿Cuál será de la imagen del Sol cuando se espejo cóncavo de radio R?

b) Doble e) Un tercio

Triple

-*- —i------- — 24.

Cuando un objeto se coloca a 60 cm de un es pejo esférico se obtiene una im agen derecha a 20 cm del espejo, luego, son ciertas:

F ís ic a | 1 1 7

La im agen es real.

II.

El espejo es convexo.

80 cm del objeto, su im agen resultó la mitad del tam año del objeto; determ ine la distancia focal del objeto.

III. El aumento en dicha posición es 3. a) W F d) FVF 25.

b) e)

VFF FFV

a) 48 cm d) 24 cm

c) F W

En un camión, que se desplaza con rapidez constante de 6 m/s, está instalado un espejo plano, una persona se encuentra en reposo justo detrás del camión. Hallar la rapidez con la cual la persona ve m overse a su imagen.

28.

29.

26.

c) 10 m/s

¿A qué dista n cia de un espejo convexo de 60 cm de radio habrá que colocar un objeto de 2 cm de altura, para que su im agen tenga una altura de 1 cm? a) 1 cm d) 40 cm

27.

b) 6 m/s e) 14 m/s

b) 20 cm e) 50 cm

c) 30 cm

Un objeto se ubica frente a un espejo cóncavo de tal manera que su imagen es invertida y del triple de tamaño. Si luego se aleja el espejo

c) 32 cm

Una persona coloca el objeto delante de un espejo observando que se form a una Imagen real del triple de tamaño. Determine la distan cia focal del espejo si la distancia entre el ob jeto y su imagen es 20 cm. a) 2,5 cm d) 10 cm

espejo

a) 8 m/s d) 12 m/s

b) 40 cm e) 64 cm

b) 5 cm e) 12,5 cm

c)7,5 cm

Determ inar entre qué valores deberá estar com prendido el ángulo diedro que form an dos espejos planos de modo que el número de imágenes completas visibles entre ellos sea cuatro. a) 60° < 0 < 72° c) 0 = 72° e) 0 = 60° 1. d 2. 3. 4. 5. 6.

c e c a c

7. d 8. 9. 10. 11. 12.

e b c c b

b) 55° < 0 < 60° d) 72° < 0 < 80°

13. c

19. e

14. 15. 16. 17. 18.

20. 21. 22. 23. 24.

c c c a a

b e b c a

25. d 26. 27. 28. 29.

c e c a

■ A ritm é tic a •• ■

Á lg e b ra G e o m e tría T rig o n o m e tría

■

Fís ic a

■

Q u ím ic a R a zo n a m ie n to

M a te m á tic o

R a zo n a m ie n to Verbal H a b ilid a d V erb al E c o n o m ía y E d , C ívic a

5 L ó g i c a y Filo s o fía *

H is to ria d e l P e rú

■

G e o g ra fía

■

Le n g u a

■

Lite ra tu ra

■

A n a to m ía

H is to ria U n iv e rs a l

P s ic o lo g ía B io lo g ía