RAZONAMIENTO MATEMÁTICO by leonardo balcino dos santos

COLECCIÓN EL POSTULANTE

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

CO LECCIÓ N EL POSTULANTE

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

E d i t o r ia l

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - COLECCIÓN Salvador Timoteo

E l POSTULANTE

© Salvador Timoteo Diseño de portada: Óscar Farro Composición de interiores: Lidia Ramírez Responsable de edición: Alex Cubas © Editorial San Marcos E. I. R. L.; editor Jr. Dávalos Lissón 135, Lima Telefax: 331-1522 RUC 20260100808 E-mail: informes@editorialsanmarcos.com Primera edición: 2007 Segunda edición 2013 Tiraje: 1000 ejemplares Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú Registro N.° 2012-11993 ISBN 978-612-302-914-2 Registro de Proyecto Editorial N.” 31501001200780 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita dei autor y del editor. Impreso en el Perú / Printed ¡n Perú Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 974, Lima Telefax: 424-6563 E-ma¡l\ ventaslibreria@editorialsanmarcos.com www.editorialsanmarcos.com Composición, diagramación e impresión: Editorial San Marcos de Aníbal Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S. J. L. RUC 10090984344

INDICE Planteo de ecuaciones.......................................................................................................................................... 9 Edades.................................................................................................................................................................. 17 M óviles......................................

Operadores matemáticos....................................................................................................................................26 Relojes................................................................................................................................................................... 30 Inducción y deducción......................................................................................................................................... 35 Sucesiones y series............................................................................................................................................. 41 Conteo de figuras.................................................................................................................................................46 Razonamiento lógico........................................................................................................................................... 51 Comparación de magnitudes.............................................................................................................................. 60 Porcentajes........................................................................................................................................................... 66 Fracciones.............................................................................................................................................................72 Análisis combinatorio......................................................................................................................................

Razonamiento geométrico................................

Regiones sombreadas......................................................................................................................................... 93 Cripto aritm ética.................................................................................................................................................101

PRESENTACIÓN Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando en las necesidades académicas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades, institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional. La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para enfrentar no solo los diversos exámenes de admisión, sino afianzar los saberes de su formación escolar y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria exitosa. Finalmente, deseamos hacer un reconocimiento al staffde docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe dro de Castro, Jorge Solari y Nathali Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores academias de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de los contenidos.

-E L EDITOR-

PLANTEO DE ECUACIONES ECUACIÓN Igualdad entre cantidades del mismo valor donde uno o más valores desconocidos están represen tados por variables. Para realizar un correcto planteo de ecuaciones es necesario comprender correctamente e Interpretar el enunciado para luego simbolizarlo, es decir, pa sarlo al lenguaje algebraico.

ENUNCIADO

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

La edad de Ana es dos veces más que la edad de Bety:

Ana: 3x Bety: x

El exceso de A sobre B es 40:

A-B = 40 A B

A es a B como 2 a 3:

2 3

PLANTEO DE ECUACIONES

Enunciado

ENUNCIADO

matemático

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

a es dos veces b:

x = 2y

x es dos veces más que y:

x = 3y

El doble, de x más 4:

2(x + 4)

El triple de x, más 7:

3x + 7

El número de manzanas excede al número de na ranjas en 8:

EJERCICIOS RESUELTOS

Lenguaje

R esolución:

Como Inicio a la resolución del problema ve mos que el número de conejos y el de gallinas es desconocido, es por ello que le damos a cada uno una variable. Número de conejos = y Número de gallinas = x Ahora planteamos las ecuaciones según los datos, obteniéndose lo siguiente: gallinas + conejos = 30 =» x + y = 30 Con respecto a las patas (conejos: 4 patas; gallinas: 2 patas) 4y + 2x = 100 => 2y + 2(y + x) = 100

M- N=8

La suma de tres números (x)+(x + 2)+(x + 4) impares consecutivos: El número de varones es al número de damas como 5 es a 9:

V D

5 9

El cubo del doble de x :

(2x)3

El doble del cuadrado de x:

2(x2)

Dos menos tres veces un número:

2 - 3x

Dos menos de tres veces un número:

3x - 2

El triple de un número, au mentado en 12:

3x + 12

El triple, de un número au mentado en 12:

3(x + 12)

La suma de tres números consecutivos:

(x—1) + x + (x+ 1)

La edad de Luis es dos veces la edad de Kike:

Luis: 2x Kike: x

Anita tiene entre conejos y gallinas treinta ani males. Si el número de patas en total que ella observa es 100, ¿cuántos conejos tiene?

~ 6( P 2y + 60 = 100 2.

.-.y = 20

Me falta S/.100 para poder comprar una ca misa y me sobraría S/.50 si decido comprar un polo cuyo costo es la mitad de la camisa. ¿Cuánto dinero tengo? R esolución:

Como el precio de la camisa es el doble que el precio del polo por ello uno es 2x y el otro x. SI me falta S/.100 para comprar la camisa, mi dinero es el precio de la camisa menos S/.100, pero si luego de comprar el polo me sobra S/.50, mi dinero es el precio del polo más S/.50. Esto lo expresamos con variables de acuerdo a lo siguiente: Precio de la camisa = 2x; Precio del polo = x Mi dinero: 2x - 100; Mi dinero: x + 50

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Planteo la ecuación: 2x - 100 = x + 50 => x = 150

R esolución:

Finalmente mi dinero es: x + 50 = 200 3.

Dentro de un establo hay caballos negros y blancos, el número de caballos negros es tres veces el número de caballos blancos. SI saco del establo 13 caballos negros y los reemplazo por 17 caballos blancos la propor ción Inicial entre caballos negros y blancos se invierte. Calcular el número total de caballos ¡nlclalmente.

3x - 13

x + 17

n.° total de hierba

I + 25C

I+ 4 5 C

I + 75C

Hierba consumida en 1 día por una vaca: I + 25C = I + 45C = I + 75C ^ , = 75C 60x25 40x45 75x

Al inicio la relación es de 3 : 1, al final será de 1: 3, lo cual se esquematiza con el siguiente cuadro: Caballos blancos

n.° de días

I: hierba inicial C: crecimiento diario

R esolución:

Caballos negros

n.° de vacas

De donde: x = 30 [ " ejer cicios PROPUESTOS 1 | 1.

3(3x - 13) = x + 17 => x = 7

En una fiesta habían 76 personas. Se observó que el número de hombres era igual a la raíz cuadrada del número de mujeres adultas. Y el número de niños era la raíz cúbica del número de mujeres adultas. Calcule la diferencia entre el número demujeres y hombres adultos.

Total caballos inicialmente: 4x = 28 4.

Pepe no sabe si comprar 56 tajadores o por el mismo costo 8 lápices y 8 lapiceros. Si deci dió comprar el mismo número de artículos de cada tipo, ¿cuántos compró en total?

a) 4 d) 56 2.

R esolución: Tajador

Lápiz

Lapicero

Costo de c/u

Luego según enunciado: 56x = 8y + 8z = n(x + y + z) Resolviendo: n = 7; pero compró en total: 3n = 21 artículos 5.

La hierba crece en el prado con igual rapi dez y espesura, se sabe que 60 vacas se la comerían en 25 días y 40 vacas, en 45 días. ¿Cuántas vacas se comerían toda la hierba en 75 días?

c) 24

Con las tablas que sirven para construir un área de 40 metros, se desea delimitar un jar dín de forma rectangular, donde uno de sus lados sea la pared de la casa y que el área sea,lo más grande posible. ¿Qué dimensio nes debe tener dicho jardín? a) 24 m; 8 m c) 25 m; 7,5 m e) 22 m; 9 m

Sea n el número de artículos de cada tipo que compró.

b) 12 e) 36

b) 26 m; 12 m d) 20 m; 10 m

Se tiene un número de 2 cifras donde uno de sus dígitos es k2. Dicho número es igual a la suma de sus cifras multiplicada por M, y cuan do se invierte el orden de sus cifras, se obtie ne un número igual a la suma de sus cifras multiplicada por: a) k + M d) k - M

b) M- k e) k2+ M + 1

c) 11 - M

El señor Lolo da a uno de sus colaboradores 90 entradas para el circo, a otro le da 96 entra das y a otro 78 entradas, para repartirlo entre

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

los trabajadores de la prensa, de manera que todos den a cada trabajador la misma canti dad de entradas. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán dar a cada trabajador y cuántos son los trabajadores beneficiados con las en tradas? a) 6 y 44 d) 3 y 52 5.

b) 48 e) 38

b) 30 cm e) 53 cm

c) 41

c) 20 cm

Al contar x bolitas de colores, algunas blancas y otras negras, se encontró que 29 de las pri meras 30 eran blancas, de ahí en adelante 7 de cada 10 contadas eran blancas. Si en total 4 de cada 5 bolas contadas eran blancas, cal cular x. a) 60 d) 120

b) 90 e) 80

Con dos números enteros y positivos se hicie ron las siguientes operaciones: los sumaron, los restaron, el menor del mayor, los multipli can y los dividieron, el mayor entre el menor. SI la suma de los 4 resultados fue 243, ¿cuál es el mayor de dichos números? a) 20 d) 24

b) 23 e) 22

10. En un matrimonio masivo participaron 85 pa rejas, de ellos 68 damas no usaron anteojos, y hay tantas personas como caballeros que no los usan. ¿Cuántas personas usan anteojos? a) 50 d) 54

b) 53 e) 52

c) 3

El día de los enamorados un ratoncito sale de su hueco hacia el hueco de su ratoncita dan do alegres saltos de 11 cm, al encontrarla con otro regresa dando tristes saltos de 7 cm, pero habiendo recorrido 1,23 m se detiene a suici darse. ¿Cuánto le faltaba recorrer para llegar a su hueco? a) 26 cm d) 32 cm

b) 4 e) 6

Con las bolitas que tengo puedo formar dos cuadrados compactos exactamente, tal que los lados de los cuadrados se diferencian en 6 bolitas. Pero si formamos un triángulo equilá tero también compacto colocando en su lado una cantidad de bolitas igual a la suma de las bolitas que se colocaron en los lados de los cuadrados, también alcanzaría exactamente. Si formamos un solo cuadrado compacto (el más grande) ¿cuántas bolitas sobran? a) 20 d) 24

c) 4 y 51

Brenda compra 30 libros de medicina a S/.70 cada uno, en un descuido le robaron unos cuantos, y al vender cada uno de los restan tes aumentó tantas veces S/,2,8 como libros le hablan robado, resultando que no hubo pér dida ni ganancia ¿Cuántos libros le robaron? a) 2 d) 5

b) 3 y 41 e) 4 y 53

c) 70

11. Se tiene una suma de S sumandos todos ma yores que 1. A tres de ellos se les aumenta 25 unidades a cada uno y se vuelve a sumar, si el nuevo resultado es el cuádruple del anterior y se sabe que S es mayor que 6, ¿cuál era el resultado original? a) 10 d) 50

b) 20 e) 25

12. Un asta de metal se rompió en cierto punto quedando con la parte de arriba doblada a manera de gozne y la punta tocando el piso en un punto localizado a 20 m de la base. Se reparó pero se rompió de nuevo. Esta vez en un punto localizado 5 m más abajo que la vez anterior y la punta tocando el piso a 30 m de la base. ¿Qué longitud tenia el asta? a) 43 m d) 50 m

b) 55 m e) 62 m

58 m

13. Considere los tres menores números natura les consecutivos de tres cifras, cuya suma es un cuadrado perfecto. Hallar la menor cifra del mayor de estos tres números. a) 1 d) 4

b) 2 e) 3

14. Max reparte 26 caramelosentre sus 4 sobri nos. Comen cada uno de los 4 varios cara melos. Al cabo de una hora comprueba que le queda a cada uno el mismo número de cara melos. Si el mayor había comido tantos como el tercero, el segundo comió la mitad de su

| C o le c c ió n

P o s t u la n t e

número inicial y el cuarto comió tantos como los otros 3 juntos, ¿cuántos caramelos recibió el menor de los 3 sobrinos?

lo que le da al niño. Un día encontró a los 3 y repartió S/.700 entre ellos. ¿Cuánto le tocó al ciego?

a) 10 d) 8

a) S/.400 d) S/.350

b) 11 e) 15

c) 12

15. Un comerciante compró cierto número de libros por S/.60, se le extraviaron 3 de ellos y vende los que le queda en S/.2 más de lo que había costado cada uno, ganando en total S/.3. ¿Cuántos le costó cada libro? a) S/.4 d) S/.8

b) S/.10 e) S/.5

c) S/.6

a) 360 d) 405

b) 380 e) 432

c) 460

17. En la orilla de un río de 100 m de ancho está situada una planta eléctrica y en la otra orilla opuesta a 500 m río arriba, se está constru yendo una fábrica. Sabiendo que el río es rec tilíneo y que el tendido de cables a lo largo de la orilla cuesta S/.9 cada metro y que el tendi do de cable sobre el agua cuesta S/.15 cada metro. ¿Cuál es la longitud del tendido más económico posible entre la planta eléctrica y la fábrica? a) 500 m d) 950 m

b) 420 m e) 550 m

c) 600 m

18. Luchito gastó $100 en comprar 100 juguetes de 3 clases, cada carrito costó $4, cada motito $2 y cada pelota un tercio de dólar. Si compró al menos uno de cada clase, ¿cuántos objetos de cada clase compró Luchito? (El número de motltos es un número no primo). a) 8; 12; 80 c) 10; 18; 72 e) 5; 29; 66

b) 15; 7; 78 d) 14; 16; 70

19. El señor Panchito es un hombre muy caritativo y le da limosna a los mendigos de la siguiente manera: cuando encuentra a una mujer pobre y a un ciego, le da a la mujer el doble de lo que le da al ciego.Cuando se encuentra a un ciego y a un niño, le da al ciego el doble de

21.

c) S/.200

Cuando tú tengas el dinero que él tiene, él tendrá la mitad del dinero que tú y yo tenemos y le será suficiente para comprarse un automóvil de $3600 y aún quedarse con $400. SI tú tienes la cuarta parte de lo que él tendrá en ese entonces, ¿cuánto de dinero tengo? a) $7000 d) $6000

16. Al número xyz se le resta zyx y en el resultado se observó que la cifra de las unidades era el doble de las cifras de las centenas. SI x + y + z es lo máximo posible, calcular xyz. ,

20.

b) S/.300 e) S/.500

b) $7500 e) $2500

c) $7600

Se desea cambiar un billete de 10 soles en monedas de 20 céntimos y 50 céntimos. ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer esto, utilizando al menos una moneda de cada tipo? a) 7 d) 11

b) 9 e) 8

c) 10

22. Bruno, Diego y Federico fueron al supermer cado. Bruno pagó con S/.50 y recibió S/.12 de vuelto. Diego y Federico pagaron cada uno con un billete de S/.100. Bruno y Fede rico gastaron entre los dos S/.80. SI el vuelto de Diego fue la mitad del vuelto de Federico, ¿cuánto gastó Diego? a) S/.40 d) S/.86

b) S/.80 e) S/.71

c) S/.51

23. En un aula de un seminario de Razonamiento Matemático hay 86 personas. El profesor ob serva que el cuádruple de señoritas, disminui do en 15, es mayor que 65 y que el triple de estas disminuido en 2 es menor que el doble de ellas aumentado en 10. ¿Cuántos varones hay en el aula? a) 65 d) 67

b) 69 e) 41

c) 66

24. Un agricultor tiene cierto número de cabezas de ganado, al vender la cuarta parte quedarán menos de 118 y si la venta fuera la sexta parte quedarían más de 129, ¿cuántas eran las ca bezas de ganado que tenía? a) 155 d) 150

b) 154 e) 151

c) 156

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

25. Al repartir caramelos entre un grupo de niños se observa que, si se entrega 20 a cada uno sobraría 40, pero si se les entrega 25 a cada uno solo sobraría 10 caramelos, ¿cuántos ca ramelos se van a repartir? a) 160 d) 125

b) 165 e) 120

1. 2. 3. 4. 5. 6.

c) 130

26. Gabito le dice a su tío: De los S/.400 que me diste gasté S/.150 más de lo que no gasté. ¿Cuánto gastó Gabito? a) S/.295 d) S/.250

b) S/.225 e) S/.150

c) S/.275

27. Rosa y Edith son dos niñas que les gusta co leccionar chapas de gaseosas; entre las dos tienen 40. Si Rosa le diera a Edith 12 de sus chapas entonces Edith tendría ahora el triple de lo que a Rosa le queda, ¿cuántas chapas tenía Edith al inicio? a) 22 d) 18

b) 30 e) 15

a) 29 d) 35

b) 30 e) 40

b) S/.11 e) S/.15

a) 4 d) 5

b) 3 e) 7

c a e d e c

19. 20. 21. 22. 23. 24.

c a b e a c

25. 26. 27. 28. 29. 30.

a c d c b d

c) 26

b) 30 y 30 e) 32 y 28

c) 44 y 16

b) 10 e) 25

c) 15

En un colegio, se observa la misma cantidad entre niños y niñas. A la salida, vienen a reco gerlos sus familiares entre varones y mujeres, contándose con los niños 16 personas en to tal. Media hora después se duplica el número de varones adultos, aumenta en 3 veces más el número de mujeres y las niñas se duplican, contándose en total a 38 personas. Calcule el número máximo de mujeres, entre adultas y niñas, que habían. a) 3 d) 9

b) 18 e) 20

En una ciudad de 240 personas, a 1/4 de la población no le gusta ir al cine ni visitar un museo, a 1/8 de la población le gusta ir al cine y a los 17/24 les gusta visitar un museo. ¿A cuántos les gusta ir solo al cine? a) 8 d) 20

c) S/.21

c) 10

13. 14. 15. 16. 17. 18.

Con 60 monedas en total, unas de 5 soles y otras de 2 soles, se quiere pagar una deuda de 204 soles. ¿Cuántas monedas de cada clase se tienen respectivamente? a) 28 y 32 d) 40 y 20

c) 36

30. Joel lanza 3 dados y observa que la suma es 16, ¿cuánto suman los números que están en la parte inferior de cada dado?

e e e c e d

Si tengo que pagar un recibo de luz de S/.100 y pago con monedas de S/.5 y S/.7, ¿cuántas monedas tengo, si hay más monedas de S/.5 que de S/.7? a) 15 d) 16

29. Entre dos niños tienen S/.20, si uno tiene el triple del otro, ¿cuánto debe dar el que tiene más al otro para que este tenga el cuádruple de lo que tiene él? a) S/.13 d) S/.10

7. 8. 9. 10. 11. 12.

[^EJERCICIOS PROPUESTOS^

c) 12

28. Se tienen tres montones de canicas con dife rentes números de canicas cada uno; aunque la diferencia entre ellos es la misma. Además entre los tres se cuentan 60 canicas. Si del montón que no es el más grande ni el más pequeño se pasan al montón pequeño dos canicas entonces este tendría la tercera parte de canicas que quedaría en el montón dismi nuido, inicialmente, ¿cuánto tenía el montón más grande?

d d c a d c

b) 4 e) 12

c) 8

Si tengo sólidos geométricos entre tetraedros regulares y pirámides de base cuadrada, con tándose un total de 46 aristas, calcule la me nor cantidad de pirámides.

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 1 d) 4 6.

b) 14 e) 21

b) 40 e) 56

b) S/.12 e) S/.18

.46

c) S/.8

Sobre un estante se puede colocar 15 libros de Álgebra y 3 libros de Geometría o 9 libros de Geometría y 5 libros de Álgebra. ¿Cuántos libros solo de Álgebra entran en el estante? a) 12 d) 18

b) 15 e) 16

c) 20

10. Pedro y Juan al llevar 7 y 5 panes, respectivamente, se encuentran con Carlos y comparten con él los 12 panes en partes iguales. SI Carlos pagó S/.12 por su parte, ¿cómo deben repartirse el dinero Pedro y Juan? a) SI. 2 y S/.10 c) S/.9 y SI .3 e) S/.7,5 y S/,4,5

b )S /.7 y S /.5 d) S/.8 y S/.4

11. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto? a) 190 d) 197

b) 188 e) 181

a) 13 y 25 d) 15 y 23

b) 19 y 19 e) 10 y 28

c) 9 y 29

c) 18

Para tener 20 soles me falta tanto como la mitad de lo que me falta para tener 28 soles. ¿Cuánto tengo? a) S/.20 d) S/.16

han entrado de cada clase, sabiendo que los diámetros de dichas monedas son de 23 y 37 mm.

En una reunión, hay 8 mujeres sentadas y tantas parejas bailando como varones senta dos. Luego se observa que todas las mujeres bailan y 8 varones no lo hacen. ¿Cuántas per sonas hay en la fiesta? a) 36 d) 54

c) 3

Si dos números suman 32 y uno es múltiplo de 3 y otro de 7. Halle el mayor de ellos. a) 12 d) 20

b) 2 e) 5

c) 176

12. Con 38 monedas de plata de 1 y de 5 pese tas, colocadas en contacto, unas a continua ción de otras, se ha formado la longitud de un metro. Calcular el número de monedas que

13. Un padre de familia compró por Navidad una botella de champagne y un panetón; costando éste S/.6 más que la botella; el año siguien te compró otra botella de champagne y otro panetón resultando este S/.2 más caro que el del año pasado, y la botella resultó S/.2 más barata que la del año pasado; entonces ahora resultó que el precio del panetón era el doble que el de la botella de champagne. ¿Cuánto costó el segundo panetón? a) S/.20 d) S/.10

b) S/.12 e) S/.15

c) S/.18

14. Un chofer de combl iba a cobrar S/.2,50 para llevar a un grupo de personas; pero le propo nen llevar a dos personas más y por ello co bra S/.2 a cada uno. El chofer sacó la cuenta y observó que ganaría S/.1 más por lo que realizó el traslado. ¿Cuántos pasajeros llevó en total? a) 12 d) 6

b) 10 e) 8

c) 11

15. Un comerciante que llevaba naranjas para vender en el mercado, razonaba de la si guiente manera: “SI vendo cada naranja a x soles, me faltarían R soles para comprar una bicicleta. En cambio si vendo cada naranja a y soles, compro la bicicleta y me sobrarían S soles. ¿Cuántas naranjas llevaba el comer ciante? a) R + 1 c) (R + S)/(y - x) e )y -x

b) (y —x)/(R + s) d) x + y

16. En una reunión el número de hombres es al número de damas como 4 es a 5. Si se reti ran 8 parejas de esposos, la nueva relación es de 2 a 3. Si se sabe que solo asistieron 2/3 de los Invitados, ¿cuántos Invitados no asistieron? a) 18 d) 25

b) 22 e) 23

c) 24

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

17. En un salón de la academia el día de hoy fal taron 5 alumnos por problemas de salud. SI los asistentes se sientan 4 alumnos en cada carpeta, faltarían 3 alumnos para que todas las carpetas estén llenas. Pero si se sientan 3 alumnos por carpeta se quedarían 9 alumnos de pie. Halla el número total de alumnos del salón. a) 60 d) 40

b) e)

50 c) 45 55

18. Con 3 cuadernos se obtiene un libro, con 3 libros una enciclopedia. ¿Cuántas enciclope dias se obtendrá con 225 cuadernos? a) 2 d) 27

b) 23 e) 31

c) 25

19. El exceso de un número sobre 20 es igual al doble del exceso del mismo número sobre 70. Halla el número disminuido en su cuarta parte. a) 120 d) 110

b) 80 e) 98

c) 90

20. El cuadrado de la suma de dos números con secutivos es 81. Halla la diferencia del triple del mayor y el doble del menor. a) 9 d) 12

b) 8 fe) 10

c) 7

21. La empleada de ta fonoteca no ha parado de trabajar en toda la semana. El lunes recibió varios discos y marcó algunos de ellos. El martes recibió tantos discos nuevos como no había marcado el lunes y marcó 12. El miérco les recibió 14 más que el lunes y marcó doble número que el lunes. El jueves recibió el do ble número de los discos que había marcado el miércoles y marcó 10. El viernes recibió 4 discos y marcó 14 menos de los que había recibido el miércoles. El sábado marcó los 20 discos que le quedaban. ¿Sabrías decir cuán tos discos recibió el lunes? a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

c) 12

22. Tres hombres Luis, Miguel y Antonio, van a la feria con sus hijas, que se llaman Amalia, Lui

sa y Margarita. Cada una de estas personas compran un determinado número de objetos, pagando por cada uno un cierto número de euros igual al número de objetos que com pran. Antonio compra 23 objetos más que Margarita y Miguel 11 más que Luisa. Cada padre gasta 63 euros más que su hija. ¿Cuál es la hija de Antonio? a) Margarita b) Amalia d) Faltan datos e )N .A .

c) Luisa

23-, Un agricultor desea dividir un terreno de forma rectangular en pequeñas parcelas cuadradas, para ello debe colocar cierto número de es tacas en hileras igualmente espaciados tanto a lo largo como a lo ancho y el número de ellas deben estar en relación de 3 a 2. Hace un primer intento y le faltan 174 estacas, se decide entonces colocar 3 menos en el largo y 2 menos en el ancho con lo cual le sobran 96 estacas. Calcular el número de estacas dispo nibles. a) 3120 d) 2844

b) 3200 e) 2780

c) 3000

24. Con todos los alumnos de un aula se formó un cuadrado compacto con n alumnos por lado. Pero si quisieran formar dos triángulos equi láteros compactos iguales con n alumnos por lado, harían falta 9 alumnos. ¿Cuántos alum nos hay en el salón? a) 64 d) 121

b) 81 e) 144

c) 100

25. En un lejano planeta de otra galaxia hay dos formas de vida mutuamente hostiles: Los Septicapltas, que tienen 7 cabezas y dos pa tas, y los Pentápodos que tienen 2 cabezas y 5 patas. Un día, un número par de Septicapitas se encuentran con un número par de Pentápodos y se organiza un gran tumulto; un observador contó 210, entre cabezas y patas. ¿Cuántos ejemplares de cada clase Intervi nieron en la pelea? a) 14 y 12 d) 14 y 16

b) 12 y 16 e) 12 y 20

c) 1 0 y 2 0

26. Iván cobra en un banco un cheque por S/.2700 y le pide al cajero que le entregue cierta can tidad de billetes de S/.10, 20 veces esa can tidad en billetes de S/.20 y el resto en billetes

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 15 d) 19

de S/.50. ¿Cuántos billetes en total le entrega al cajero? a) 105 d) 115 27.

b) 108 e) 118

c) 111

Les preguntan por sus edades a una madre, su hijo e hija responde: - Madre: Nuestras tres edades suman 100 años. - Hijo: Cuando yo tenía la edad que tiene mi hermana nuestras tres edades sumaban 70 años. - Hija: Cuando yo tenga los años que mamá tenía, cuando mi hermano tenía los años que dijo, nuestras tres edades sumarán 160 años. - Mamá: SI yo tuviera los años que tenía, tengo y tendré, tendría 160 años. ¿Qué edad tiene la hija? a) 18 d) 24

b) 20 e) 25

c) 22

28. Los señores Pérez tienen cinco niños de los más activos: - El lunes van al cine cuatro de ellos cuyas edades suman 38 años. -

El martes van a patinar cuatro cuyas eda des suman 35 años.

El miércoles van al parque de atracciones cuatro, sumando sus edades 36 años.

El jueves salen cuatro a la piscina, sus edades suman 36.

El viernes van cuatro a un concierto, sus edades suman 38.

El sábado se van al fútbol cuatro y esta vez, sus edades suman 39.

Sabemos que ningún chico sale en seis ocasio nes. ¿Sabrías calcular la edad de cada uno? Dar como respuesta la suma de cifras de to das las edades.

b) 16 e) 14

c) 18

29. Matías y Fernando pasaron la noche en los refugios A y B, respectivamente. A la mañana siguiente, Matías camina hacia B y Fernando hacia A; los dos van a velocidad constante, y los dos recorren el mismo sendero que pasa por un bosque. Matías salió de A a las 8:00 h y llegó a B a las 11:00 h; Fernando salió de B a ias 8:30 h y llegó a A a las 11:00 h. Los dos entraron en el bosque a la misma hora (cada uno siguiendo su dirección) y uno de ellos sa lió del bosque 3 minutos antes que el otro. ¿A qué hora salió Matías del bosque? a) 7:48 h d) 8:30 h

b) 9:48 h e) 9:30 h

c) 8:48 h

30. Una tortuga camina 60 metros por hora y una lagartija lo hace a 240 metros por hora. Ambas parten con la misma dirección desde el vértice A de una pista rectangular de 120 metros de largo y 60 metros de ancho, como lo indica la figura. La lagartija tiene por cos tumbre avanzar dos lados consecutivos de la . pista, retroceder uno, volver a avanzar dos, volver a retroceder uno y así sucesivamente. ¿Después de cuánto tiempo la tortuga y la lagartija se encuentran por primera vez? a) b) c) d) e)

75 min 1,h 15 min 1 h 20 min 1h 1 h 25 min

N tn y > < j ü

1. 2. 3. 4. 5. 6.

b a b d b c

7. 8. 9. 10. 11. 12.

e b c c a c

13. 14. 15. 16. 17. 18.

a e c a b c

19. 20. 21. 22. 23. 24.

c c c b c b

25. 26. 27. 28. 29. 30.

a e b d b c

EDADES ELEMENTOS EN LOS PROBLEMAS DE EDADES Para resolver los ejercicios de esta parte se requie re tener en cuenta los elementos que intervienen en los mismos. Edad: es un intervalo de tiempo, el cual pue de variar de acuerdo a la condiciones, sexo, condiciones de vida, clima, temperatura. Por ejemplo se dice que las mujeres en promedio viven seis años más que los hombres, la gen te que fuma vive en promedio 10 años menos que los que viven una vida normal, la gente en oriente vive más años que los de occidente, etc. Sujetos: son las personas (o seres vivos) que tienen un tiempo de vida (edad) y con ellos trabajaremos en los problemas. Tiempos: aquí tomaremos la acepción como un momento determinado en la vida de un su jeto. Por ejemplo: hace ocho años, dentro de 4 años. Los problemas sobre edades se clasifican de diversas formas, veamos:

Dentro de 25 años Anita tendrá el triple de la edad que tenía hace 5 años. ¿Qué edad ten drá dentro de 10 años? R esolución:

'(30)' Luego: x + 30 = 3x => x = 5 Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos. En este caso suele emplearse una tabla de doble entrada para distribuir mejor los datos y obtener la información necesaria que nos permita resolver el problema. A continuación se presenta un cuadro con algunos datos; vamos a llenar dicho cuadro y obtendremos de él algunas observacio nes importantes: Ejemplo:

Hace 5 años Pasado

dentro de

8 años Futuro

Presente

Ejemplos: 1.

Pasado

Futuro

Lily

Katy

25 Observaciones:

Hacemos un esquema: 5

Presente

Ana

Tony tenía hace 5 años, 12 años de edad. ¿Qué edad tendrá dentro de 13 años? R esolución:

Cuando interviene la edad de un solo sujeto

“El tiempo transcurre por igual para todos los sujetos”. Así podemos notar en el esquema: Si para Lily transcurre 25 años, entonces para Ana también transcurren 25 años. Lily

Ana

32 - 7 = 4 6 - 2 1 = 2 5 Nota que las líneas punteadas señalan el re sultado de sumas 5 + 13 lo cual da 18. Luego sumando 12 con 18 obtenemos 30 que es la edad que Tony tendrá dentro de 13 años.

“La diferencia de edades se mantiene cons tante a través del tiempo". Del esquema comparemos las edades de Ana y Katy.

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

En el pasado 21 - 3 = 18

En el presente 31 - 13 = 18

En el futuro 46 - 2 8 = 18

La diferencia de edades en todos los tiempos es 18. “La suma en aspa de valores ubicados simé tricamente en la tabla son iguales’’. Analicemos la suma en aspa de las edades de Lily y Katy en el pasado y en el futuro. 7 + 28 = 32 + 3 = 35 Ejemplos: 1. Dentro de 6 años tu edad será a mi edad como 11 es a 7 y hace 7 años esa relación era de 5 a 2. ¿Cuántos años tengo? R esolución:

Considerando la relación en el pasado (5k, 2k), se construye el cuadro obteniéndose lo siguiente: Hace 7 años

Dentro de

6 años

Pasado

Presente

Futuro

5k + 7

5k + 13

Tú

2k + 7

2k + 13

Como en el pasado nuestra relación con res pecto a nuestras edades era de 5 a 2 coloca mos 5k y 2k. Luego en el presente se tendrá 5k + 7; 2k + 7 y en el futuro 5k + 13; 2k + 13. Además en el futuro la relación de nuestras edades es de 11 a 7 y por ello planteamos:

Pasado

Presente

Katty

Bety

La suma en aspa debe darnos valores iguales: 30 + 6 = x + 3x ^ x = 9 Nos piden la edad actual de Bety: 3x = 3(9) = 27 años Cuando Intervienen el año de nacim iento y la edad de la persona. En esta parte mostramos el listado realizado hasta 10 de enero del 2004 Nombre

A ño de Nac.

Edad

Resultado

Lolo

1977

2003

Luis

1980

2003

Timoteo

1982

2003

Katy

1988

2004

Se sabe que Katy cumple años el 5 del mes de enero por ello al sumarle con su año de nacimiento da como resultado 2004 (año actual), en cambio Luis cumple años en octubre, Lolo en julio y Timo teo en julio por ello para ellos al sumar sus años de nacimiento con sus edades da como resultado 2003 (un año menos que el actual). Ejemplo:

5k + 13 = U = 35k + 91 = 22k + 143 2k + 13 7

En el mes de octubre del año 1933 se le pidió a 12 alumnos que sumen los años que tenían a los años en los cuales nacieron luego que sumen to dos los resultados obteniéndose al final 23 911. ¿Cuántos alumnos todavía no cumplían años en ese momento?

13k = 52 =* k = 4

R esolución:

Preguntan cuántos años tengo: 5k + 7 = 5(4) + 7 = 27 años

Podemos suponer que todos los alumnos ya cum plieron años en lo que va del año entonces a cada alumno el resultado que obtendría sería 1993 y al sumar todos estos resultados se obtendría:

Katy tiene 30 años, su edad es el quíntuple de la edad que tenía Anlta; cuando Katy tenía la tercera parte de la edad actual de Bety. Hallar la edad actual de Bety. R esolución:

En el enunciado hay dos tiempos: pasado (te nia) y presente (actual). Como en el pasado no se conoce la edad, se coloca una va riable: x

1.° 1993

2.° 1993

3.° 1993

4.° ... 12.° 1993 1993

Resultado total 12(1993) = 23 916 SI todos hubieran cumplido ya años se obtendría 23 916, pero según el dato se obtuvo 23 911, ve mos que faltan 5 años; es porque aún 5 personas todavía no han cumplido años en lo que va del año.

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

R esolución:

EJERCICIOS RESUELTOS

+5 La edad de Katy es los 3/2 de la edad de Luis. Si Katy hubiera nacido 10 años antes y Luis 5 años después, entonces la razón de ambas edades sería 16/5 de la razón que habría si Katy hubiera nacido 5 años después y Luis 10 años antes. Hallar la diferencia de edades. Resolución:

Edad de Katy:K; edad K

3, 2

—L

K 3

L[ K =>= i3x 2 ] L = 2x

1918

1923

1940

Padre

9x + 5

9x + 22

Hijo

x + 5

Piden la edad del padre en 1940: => 9x + 22 = 9(5) + 22 = 67

Según enunciado:

3x - 5 16í 5 (, 2x + 10

+17

Según enunciado: 9x + 5 = 5(x + 5) 9x + 5 = 5x + 25 => x = 5

de Luis: L

=> — = —

3x + 10 2x - 5

x = 10

Piden la diferencia de edades: 3x - 2x => x = 10

Salvador tiene 30 años, su edad es el triple de la edad que tenía Pítágoras, cuando Salvador tenía la cuarta parte de la edad que tiene Pitágoras. Hallar la edad actual de Pitágoras. Resolución:

Tú tienes la mitad menos 5 años de la edad que yo tendré cuando tú tengas lo que yo te nía cuando tú tenías la cuarta parte de la edad que yo tuviese, si tendría 10 años más de los que yo tendré; pero si yo tuviese 10 años más de los que tendré y tú los que te he dicho que tienes, entonces entre ambos tendríamos 110 años. ¿Qué edad tengo? ¡

Pasado

Presente

Salvador

x/4

Pitágoras

Se cumple:

+ x = 10 + 30

~ = 40 => x = 32 años 4

Resolución: Tenía Tienes

Tengo Tienes

Tendré Tengas

Tuviese, 10 años más

2x + 10

Tú

2x + 10 4

x - 5

Según enunciado: 2x + 10 + x - 5 = 110 = *x :

[ "

2x + 10

b) Noviembre d) Octubre

+ 2x 2.

Como x = 35 => y = 45 Suma en aspa: z + y = x - 5 + 2x Reemplazando: z = 55 3.

Consuelo en el mes de diciembre resta los años que tenía de los meses que había vivido y obtuvo 283. Si es mayor que Vianca en 5 meses, ¿en qué mes nació Vianca? a) Diciembre c) Setiembre e) Agosto

Suma en aspa: y + y = — ^ —

e j e r c ic io s p r o p u e s t o s "

En 1918, la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo; en 1923, la edad del padre fue el quíntuplo de la de su hijo. ¿Cuál fue la edad del padre en 1940?

Cuando yo tenga el doble de la edad que tenía cuando tu tenías la cuarta parte de la edad que tendrás, nuestras edades sumarán 40 años. ¿Qué edad tengo si nuestras edades al sumarse resultan un cuadrado perfecto, y además tu edad es un número entero? a) 20 años d) 24 años

b) 22 años e) 25 años

c) 18 años

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Mario tiene 40 años; su edad es el doble de la edad que tenía Juan, cuando Mario tenía la tercera parte de la edad que tiene Juan. ¿Qué edad tiene Juan? a) 30 años d) 45 años 4.

b) 25 años e) 55 años

c) 40 años

Hace 5 años la edad de un hijo se diferen ciaba en el doble de su edad con la edad de su padre, y se diferenciaba en la mitad de su edad con la de su hermano menor. Si dentro de 7 años el menor tendrá la edad que tiene su hermano mayor, calcular la edad que tuvo el padre cuando nació su primer hijo. a) 21 años d) 25 años

b) 28 años e) 30 años

c) 32 años

En el mes de mayo, un estudiante sumó a los años que tiene todos los meses que ha vivi do, obteniendo como resultado 232. ¿En qué mes nació? a) Abril d) Julio

b) Mayo e) Marzo

c) Junio

Hace 12 años las edades de dos hermanos estaban en relación de 4 a 5; actualmen te sus edades suman 59 años. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en relación de 8 a 7? a) 6 d) 9 7.

b) 7 e) 10

c) 8

Al ser preguntado Salvador por su edad, con testó de la siguiente manera: “SI al año en el que cumplí 15 años le suman el año en el que cumplí los 20, y si a este resultado le restan ustedes la suma del año en que nací con el año actual, obtendrán 7”. ¿Qué edad tiene Salvador? a) 30 años d) 32 años

b) 26 años e) 24 años

c) 28 años

Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú tenías lo que yo tengo, yo lo que Carlos tiene y él la tercera parte de lo que tú tendrás, cuan do entre los tres tengamos 300 años y yo ten ga lo que tú tienes y Carlos lo que yo tengo. Si yo tuviese lo que tengo, tenía y tendré, tendría 240 años, ¿cuántos años tengo ahora?

a) 80 d) 85 9.

b) 75 e) 65

c) 70

Se sabe que si una pareja de esposos, donde el marido es mayor, tuviese un hijo ahora; al cabo de cierto tiempo la suma de las edades de los 3 sería 66 años y que el triple de di cho tiempo es justamente la diferencia de las edades de los esposos. Hallar la suma de las cifras de la edad del esposo. a) 8 d) 10

b) 4 e) 5

c) 6

10. Mi tatarabuelo nació en el siglo XIX; tenía X años en el año X2 y 126 años después del año en el que nació, tenía yo tantos años como expresa las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi profesor esta coincidencia, él dijo que con su edad ocurría lo mismo, ¿qué edad tenía mi profesor cuando yo nací? a) 46 años d) 36 años

b) 86 años e) 50 años

c) 56 años

11. Nancy y Samlr se casaron cuando tenían 18 años, y luego de un año nació Naty. 'Si cuando Naty se casó, su edad era igual a la cuarta parte de la suma de las edades de sus pa dres, ¿a qué edad se casó Naty? a) 19 años d) 17 años

b) 18 años e) 23 años

c) 21 años

1 2 . Antonio le dice a Jorge: “Dentro de 4 años mi

edad será 2 veces más que tu edad”. Jorge responde: “Hace 6 años tu edad era 7 veces la que yo tenía”. ¿En qué año la edad de uno de ellos fue el cuádruple del otro? Año actual: 2001.

a) 2000 d) 1996

b) 1999 e) 1992

c) 1998

13. SI una persona nació en 19ba y en 19ab cum ple (a + b) años, ¿en qué año cumplió 2(ab) años? a) 1985 d) 1972

b) 1984 e ) 1970

c) 1980

14. Pepe cuenta que cuando cumplió años en 1994, descubrió que su edad era igual a la

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

suma de las cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tenía en 1979? a) 12 d) 10

b) 13 e) 11

c) 14

15. Lina le dice a Katy: “Yo tengo 9 veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será de 44 años”. ¿Cuál es la diferencia entre las edades de es tas dos mujeres? a) 2 d) 8

b) 10 e) 6

c) 4

16. Cuando a Mary se le pregunta por la edad de su perrito, ella responde: “Hace dos años tenía la cuarta parte de la edad que tendrá dentro de 22 años”. ¿Dentro de cuántos años tendrá el doble de ¡a edad que tenía hace 5 años? a) 0 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

17. En junio de 1992, tres amigos Carlos, Raúl y Mario suman sus edades a los años de su na cimiento, obteniendo como respuesta 5974. Si Carlos nació en mayo y Raúl en octubre, ¿en qué mes nació Mario? a) Abril d) Marzo

b) Mayo e) Enero

c) Julio

18. En un aula de 40 alumnos, el tutor suma to das las edades con los años de nacimiento de cada uno y obtiene 79 670. SI dicha suma se realiza en 1992, ¿cuántos ya habían cumplido años ese año? a) 10 d) 35

b) 20 e) 25

c) 30

19. Cuando yo tuve la tercera parte de la edad que tú tienes, tú tuviste la mitad de tu edad actual. En cambio, cuando yo tenía la mitad de la edad que tengo, la suma de nuestras edades era 48 años. ¿Cuál es la edad que tengo? a) 40 años d) 46 años

b) 42 años e) 48 años

c) 44 años

20. Dentro de 4 años tu edad será a la mía como 3 es a 4, pero hace 14 años eran como 3 es a 7. ¿Qué edad tengo? a) 28 años d) 30 años

b) 26 años e) 32 años

c ) 29 años

21. Lucas tiene 28 años, su edad es el doble de la que tenía Pedro, cuando Lucas tenía la edad que tiene Pedro. ¿Cuál es la edad de Pedro? a) 20 d) 23

años años

b ) 18 años e) 21 años

c) 22 años

22. La suma de las edades de un padre y dos hijos es 75 años. Hallar la edad del dre sabiendo que hace 5 años su edad el triple de la suma de las edades de hijos. a) 54 años d) 50 años 1. 2. 3. 4. 5.

c b d b c

6. 7. 8. 9. 10.

b) 55 años e) 60 años c c a c e

11. 12. 13. 14. 15.

a a a d d

sus pa era sus

c) 45 años

16. 17. 18. 19. 20.

a c c a a

21. e 22. d

MÓVILES

A T A

I e = vt I ..

Sabemos que la diferencia de tiempos es 4 s: ti —t2 = 4 => 4k - 3k = k = 4

t = S.

v = ?

Luego: t, = 16 s =»d = (6)(16)

.-. d = 96m

EJERCICIOS RESUELTOS 3. Un móvil recorrió 200 km con rapidez constan te. Si hubiera viajado con una rapidez mayor en 2 km/h hubiera empleado 5 h menos. ¿En qué tiempo recorrerá 240 km? R esolución: 200

R esolución:

Vamos a recurrir a un gráfico para observar las condiciones iniciales y finales de la carre ra, además de las distancias recorridas por cada uno.

200 km

v su pu esto

+ 2

tSUpUe5í0 ■

200 v +2

Sea t el tiempo transcurrido: (el tiempo es e! mismo para los tres móviles).

Sabemos, por dato, que el tiempo en el caso supuesto es menor que el tiempo en el caso real, en 5 h; por lo tanto, la diferencia de tiem pos sería de 5 h. Es decir: 200 = 5 (v + 2 )

200

La rapidez de A, B y C es de 8; 10 y 6 m/s, respectivamente. Participan en una carrera, donde B les da una ventaja de 40 y 24 metros a C y A, respectivamente. Si la carrera fue ga nada por B cuando A le llevaba una ventaja de 14 m a C, ¿en cuánto aventajó B a A en dicho momento?

l km/h J) ' 24 m '

16 m

' 14 m '

2(15) —24 + x =* x = 6 c VLata/: ....................................

Resolución:

Como la distancia es constante, entonces la rapidez y el tiempo son inversos: '

Tiempo de encuentro tF = -

Íl = ! t2 3

Del gráfico: 8t = 16 + 6t + 14 => t = 15 10t = 24 + 8t + x => 2t = 24 + x

Un alumno desea calcular la distancia entre su casa y cierta tienda, observa que caminan do a razón de 6 m/s tarda 4 segundos más que si lo hace a razón 8 m/s. ¿Cuál es la dis tancia mencionada?

-v2= l 8 < > 74

V! + V 2

t, = 4k; t2 = 3k

Graficando: v2 = 6 m/s

e y, - v2

t, = 4k e Tienda

Casa y, = 8 m / s ^ ^ _ _ t, = 3k

Lolo recorre 23 km en 7 horas; los 8 prim e ros con una velocidad superior en 1 km a la

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

R esolución:

velocidad del resto del recorrido. Calcular la velocidad con que recorrió el primer tra yecto.

5v Callao

Resolución:

h' * 2

Se tiene que: : .- — — B___________ C P 60 km x 60 km

Considerando las 3 horas del vapor y según gráfico, su espacio recorrido será: Se sabe que: t = e/v

15v = 60 + x + 60 => x = 15v - 120

Como emplea 7 horas en realizar todo el reco rrido, se tiene: - + - ItL = 7 v v- 1 ti t2

...(1)

Considerando las 5 horas del avión y según gráfico, su espacio recorrido será: 5(5v) = 60 + x + x ...(2)

v = 4 km/h

Reemplazando (1) en (2): 5.

Si un recipiente que tiene ab litros de agua, se llena a caudal constante, al cabo de 30 minutos se obtiene ba litros y cumplidos los primeros 60 minutos se tiene aOb litros. Hallar el caudal en litros por hora. R esolución:

En la primera media hora llenó: ba - ab litros. En la segunda media hora llenó: aOb - ba litros y como el caudal es constante: ba - ab = aOb - ba Descomponiendo polinómicamente y efec tuando: b = 6a =* a = 1 y b = 6

25v = 60 + 2(15v - 120) => v = 36 km/h Piden la velocidad del avión: 5v = 5(36) = 180 km/h 7.

Un viajero sale de A y viaja 40 km hacia el norte y llega al punto B. Se dirige hacia el este recorriendo 40 km hacia el punto C. De ahí sigue 30 km al este llegando al punto D, luego se dirige en trayectoria recta hacia el punto E que está a 40 km al sur de C, luego vuelve al punto A. Averiguar cuál fue el recorrido total del viajero. R esolución:

. => En media hora llenó: 61 - 16 = 45 litros En una hora llenará: 90 litros. 6.

Un avión provisto de un radio de 60 km de alcance parte del Callao al encuentro de un vapor cuya velocidad es la quinta parte de la suya (avión). Cuando sus mensajes alcanzan al vapor responde este que llegará al Callao dentro de 15 horas. El avión regresa inmedia tamente y puede anunciar la noticia al Callao por medio de su radio cinco horas después de su partida del Callao. Determinar la velocidad del avión.

DE = 50 km; AE = 40 km e: recorrido total e = A B + BC + CD + DE + EA e = 40 + 40 + 30 + 50 + 40 e = 200 km

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

[ "

100 m/s 115 m/s 119 m/s 120 m/s 125 m/s

b) 25 m/min e) 40 m/min

b) 28 min e) 22 min

b) 58 m e) 70 m

b) 360 m e) 380 m

c) 60 s

c) 30 m/min

c) 20 min

c) 60 m

Un tren cuya longitud es de 120 m demora 60 s en cruzar un túnel. Hallar la longitud del túnel, si la rapidez del tren es 36 km/h. a) 480 m d) 460 m

b) 58 s e) 64 s

Un tren tarda 60 s en cruzar un túnel de 120 m de longitud, y en pasar delante de un observa dor emplea 20 s. ¿Cuál es la longitud del tren? a) 55 m d) 65 m

a) b) c) d) e)

| | c

Una madre y su hija trabajan juntas en la mis ma oficina. De su casa a la oficina, la hija em plea 30 minutos y la madre, 40 minutos. ¿En cuánto tiempo alcanzará la hija a su mamá, si esta sale 8 minutos antes? a) 24 min d) 18 min

Vg = 50 m/s B

i---------------- 400 m----------------- 1 1,

En una pista circular de 3000 m dos velocistas parten juntos en sentido contrario y se cruzan al cabo de 20 min. Después de 5 min, llega el más veloz al punto de partida. ¿Cuál es la velocidad del otro? a) 20 m/min d) 35 m/min

vA = 30 m/s A n

Un hombre parado sobre una escalera mecáni ca en funcionamiento sube en 60 s; pero si cami nara sobre la escalera en movimiento emplearía 20 s. ¿En cuánto tiempo, el hombre bajaría ca minando sobre la escalera en funcionamiento? a) 55 s d) 62 s

¿En qué tiempo ocurre el encuentro y en qué lado respecto al punto N, que es un punto me dio entre A y B?

El ruido emitido por el avión en A es escucha do por un observador en C. Cuando el avión se encuentra en B, hallar la rapidez del avión. a) b) c) d) e)

e j e r c ic io s p r o p u e s t o s "

c) 420 m

Dos móviles parten al mismo tiempo desde los puntos A y B como se muestra en la figura.

5s 7s 10 5s 7s

a la derecha de N, a 50 m a la izquierda de N, a 60 m s a la derecha deN, a10 m a la izquierda de N, a50 m a la izquierda de N, a60 m

Un microbús recorre en una hora toda la ave nida Venezuela, mientras que; otro microbús lo hace en 35 minutos si el microbús más len to parte 15 minutos antes, hallar el tiempo en que el otro lo alcanzará. a) 21 min d) 18 min

b) 20 min e) 19 min

c) 22 min

Recorrí 2000 km con rapidez constante. Si hubiera viajado con una rapidez mayor en 2 km/h hubiera empleado 5 horas menos. ¿En qué tiempo recorreré 240 km? a) 20 h d) 34 h

b) 30 h e) 36 h

c) 32 h

10. Un alumno de la academia viajando en ómni bus a razón de 40 km/h generalmente llega a tiempo; sin embargo, el día que le tocó Razo namiento llegó con un retraso de 10 minutos, debido a que el ómnibus solo pudo desarro llar 30 km/h por razones de tránsito. ¿A qué distancia de la academia toma el ómnibus el estudiante? a) 10 km d) 20 km

b )1 5 k m e) 30 km

c) 18 km

11. Un asaltante después de robar un banco huye con el botín en un auto a una velocidad de 80 km/h. Un policía empieza a perseguirlo después de 15 minutos. ¿A qué velocidad via jó el policía si capturó al asaltante después de 50 minutos de persecución? a) 104 km/h d) 110 km/h

b) 78 km/h e) 90 km/h

c) 105 km/h

R a z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

12. El barco explorador recibió la orden de hacer el reconocimiento en dirección que llevaba la escuadra; tres horas después la nave de bía incorporarse a la escuadra. ¿Al cabo de cuánto tiempo, a partir del momento en que se distancia de la escuadra, debe iniciar el barco explorador el regreso, si su velocidad es de 60 km/h y de la escuadra 40 km/h? a) 3 h d) 2,5 h

b) 0,5 h e) 2 h

c) 1 h

13. Una persona sale de su casa y llega a su tra bajo en 30 minutos a una velocidad constante. Un día que salió normalmente de su casa, en mitad de su trayecto se detiene por un inter valo de tiempo de 20 minutos, luego renueva su movimiento duplicando su velocidad hasta llegar a su centro de trabajo. ¿Cuánto tiempo retrasado llega a su trabajo? a ) 1 2 min d) 12,5 min

b ) 1 0 min e) 11,5 min

c) 11 min

14. Pepe y Miriam separados por una distancia de 2400 m, parten al mismo tiempo al encuen tro uno del otro. Justamente con Pepe parte Fido, perro fiel a ambos. Fldo al encontrarse con Miriam regresa nuevamente hacia Pepe y así sucesivamente de Pepe a Miriam y de Miriam a Pepe hata que ellos se encuentan. Se desea saber el espacio total recorrido por el perro, si se sabe que lp velocidad de Pepe es de 373 m/h, de Fido 393 m/h y de Miriam 227 m/h. a) 1572 m d) 1275 m

b) 1472m e) 1742 m

c)1752rri

15. Si la circunferencia de cada uno de los rodi llos de la figura mostrada es de un decímetro, ¿cuánto habrá avanzado la losa cuando los rodillos dan una vuelta? y~Losa

T ü 'tü a ) 1 0 cm d )1 4 c m

b )1 3 c m e )1 8 c m

mente parte en su automóvil con una rapidez constante de 20 m/s hacia la fábrica, llegando un minuto atrasado, ¿a qué distancia de la fá brica se hallaba el obrero? a) 3,4 km d) 3,2 km

b) 2,8 km e) 3,8 km

c) 20 cm

16. En una fábrica se toca la sirena con 2 minu tos de anticipación alertando a sus obreros; si uno de ellos al escuchar la sirena Instantánea

c) 3,6 km

17. Dos autos van uno al encuentro del otro, par tiendo simultáneamente. Uno parte del punto A y el otro de! B, siendo sus velocidades cons tantes de 10 m/s y 20 m/s, respectivamente. Si la distancia entre A y B es de 100 m, hallar el tiempo que transcurre, hasta que la distancia que le falta al primer auto para alcanzar el pun to B sea el triple de la distancia que le falta al segundo para alcanzar el punto A. a )10s d) 8 s

b )5 s e) 7 s

c )4 s

18. Una escalera mecánica tiene una longitud de 5 metros. Cuando está detenida, una persona sube empleando 10 segundos. Se pide cal cular la velocidad de la escalera cuando está funcionando, si en este estado la persona de mora solo 4 segundos en subir. a) 0,75 m/s d) 0,85 m/s

b) 0,80 m/s e) 0,90 m/s

c) 0,60 m/s

19. Dos jinetes corren en un hipódromo de 90 m de circunferencia y en el mismo sentido. El pri mero que tiene 20 m de adelanto corre a 5 m/s, y el segundo, a 3 m/s; calcular la suma de las distancias recorridas hasta su encuentro. a) 80 m d) 240 m

b )1 6 0 m e) 280 m

c) 200 m

20. Un automóvil debe hacer un cierto recorrido en 4 h, una hora después de iniciado el reco rrido aumenta su rapidez en 16 km/h, lo que le permite llegar antes. ¿Cuál fue la distancia recorrida? a) 125 km d) 130 km

K f

1. 2. 3. 4.

c c c a

b) 120 km e) 138 km 5. 6. 7. 8.

c a b a

9. 10. 11. 12.

b d a d

c) 128 km

13. 14. 15. 16.

d a c a

17. 18. 19. 20.

c a e c

OPERADORES MATEMÁTICOS OPERACION MATEMATICA Dada: / x +

Es un procedimiento que transforma una o más cantidades en otra llamada resultado, bajo reglas y/o condiciones convenidas.

= 4x + 6, hallar n en:

/x -^ k = / í - n \ + /£ \

Operador matemático

R esolución:

a 9 b = 2a - b Operación

Por regla: / x + 1 \ = 4x + 6

Regla o definición

x 4; + 2 O perador m atemático. Son símbolos que por sí mismos no tienen significación. Toda operación matemática tiene un símbolo que la representa.

En la condición: 4(p - 6) + 2 = [4(1 - n) + 2] + [4(2) + 2] 4n - 2 4 + 2 = 4 - 4n + 2 + 10 8n = 38 =» n = 19/4

Operadores: {*, #, 0, A, f ( ), a, % ..... } Ejemplos: 1.

Se define en Z+: [x] = x3(x - 1)

Si: / x \ = x2 - 3x + 1, calcular: k k

hallar n en: / k

= ( - 3 ) 2 - 3 (-3 ) +1 = 9 + 9 + 1 = 1 9

R esolución:

n - 18 20

Se define: a 0 b = a2 + 2b + 1; calcular: 4 0 5. R esolución:

4 0 5 = 4 2 + 2 x 5 + 1 - 27 I 1 a b

SI:

= 3x - 1, hallar n en:

EJERCICIOS RESUELTOS Se define: a lb =

J(a~b) ( - b _a); si a < b (a a)(-b ); si a > b

(5t2) -

halle: M =

Resolución:

R esolución:

En la condición: [3(2n + 3) - 1] + [3(3n - 2) - 1] = 46 6n + 9 - 1 + 9n - 6 - 1 '= 46 15n + 1 = 46 .-. n = 3

= 20 => n = 400

(2n + 3 ) + (2 n ~ ^ 2 ) = 46

Por regla: CZ5 = 3x - 1 I J x 3; -1

23(2

Comparando: — - 1 8 = 2

Dando forma de, la operación: 23 a 10 = 5 x 2 + 3 x 1 0 = 40 l

■

n - 18 20

Se define: a3 a b = 5a + 3b; calcular: 8 a 10. Resolución:

Resolución:

(r 2[21

Esta definición es condicionada, es decir: I.

Si a < b

II. Si a > b

^ lb = (a~b)(-b~a) -2 <2

^2l_2_ = (—2 2X—22); -2 L 2 =

a lb = (a‘ a)(-b ^ b) 2 >-2

2 ^ 2 =(2"2X -(-2r<-2))

-4 = 1 :2 1 -2 = - x - 4 = -1 4

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

Nos piden:

Si: (x) = x(x + 1)

|® | = 56

M = (2 0 2 .) - (—2l_2_) = -1 - 1 = - 2 calcular:

M = -2 2.

R esolución:

lÍ H ; calcule: Q = 1 ^ 3 3

Si:

Dado la forma necesaria al 56: ® = x(x + 1)

R esolución:

= 7(7 + 1)

Sea: P = -^ = m = 4p

f x ] = 7 => resultado constante

Ahora, en la regla de definición: 4p - 4n * p - IIn p n — ------- => p * n = -----4pn pn on -----1 Regla de definición

Luego:

r n

Trabajamos con esta regla ya que solo hemos acomodado los términos. En lo que nos piden, primero hallamos lo que está entre paréntesis: 1

_1 3 2 9

1 *1 = 1 3 3

1*2 3

R esolución:

: x2 -

1i => l~a~| = a + 1

+1 Ahora: 1 operador

2 4 *1 5 = 3 49 * 26 = 24 1 8 *2 3 = 2 a5 1 3 0 = 8

=>l 1 l = H 2]

2 operadores= 0 - 2

3 operadores = 0 - 2 + 4

|5 + 4|=[9l =l

Para 25 operadores será:

calcule: P = -^1—= ; si: a A b ba * aa

í 2] = | 625. [ = 625 + 1 = 626

Resolución:

2 4 *1 5 = 2 x 4 1x5 = 3 49 * 26 = 4 x 9 2 x 6 = 24 1 8 *2 3 = 1 x 8 2 x 3 = 2 a5 * 3b = a x 5 3 x b = 8 5a - 3b = 8 1 t 4 4 (No cumple, pues debe ocurrir: a A b)

Si se cumple: -/a * b2 = 2(-/b * a2 ■ab, calcular:

Haciendo: b = /y =» Ib = 4Vy Reemplazando en la regla dada:

P= ^ = 9 9 *7 9 ba * aa 97 * 77

p _ 9 x 9 - 7 x 9 _ 18 9 X7 - 7x 7

*V3 *6 1 *2

Resolución:

7 9 (Sí cumple) => a = 7 A b = 9 Luego:

= x2 - 1

25 operadores

Q = — =» Q = 18 2 Si se sabe que:

x2 - 2

Resolver: ..

6 _ 27 5 = 18 _3X6 10 2 5

Ahora: Q = (-■)

En el conjunto 1N se define:

x * y = 2 ('Vy * x4) - x2/y p _ 9

=> w

* x4 = 2 {4I 7 * v ) - 4/ y 2

•(i)

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Aly * x4 = 2(x * y) - Jy x2

...(II)

(II) en (I): (x * y) = 2(2(x * y) - Vy x2) - x2^y

Se define en IR: mAn = m (nAm)2; (mAn) ¿ 0 hallar: 27 A 1 a) 1/2 d) 1/3

(x * y) = 4(x * y) - 2 ¡y x2 - x2 /y

b) 1/4 e) 1/6

c) 1/9

=> x * y = x2 /y Luego:

4V 3*6 1*2

4/ 3 2-/6 ■= •13x13 = 3 !2V2

[ " e je r c i c io s p ro p u e s to s '

Se define en IN: Si:

1#(2 # 8)

b) 3 e) 9

Se define en IR: x O y =

2 4 * 15 49 * 26 1 8 *2 3 a 5 *3 b

c) 5

(yO x f

c) 504

Se define en IR: Ja * b2 = 2(-/b * a2) - a b Calcular: 3 * 4 a) 4 d) 48

c) 18

Se define en el conjunto 2Z. nx □ n:x+1

13 48 14 18

b b *a b b i* ü b) 1/5 e) 9/4

c) 1/8

Si: | x | = 4x - 3; y (x) = 8x + 9

a) 8x - 3 d) 4x + 5

b) 8x + 3 e) x + 1

c) 4x - 5

11. Si: P (x + 1) = x2 + 3x + 2, calcular y, además: P(P(y)) = 42 b) 6 e) 27

c) 9

Se define en TL.

a) 2 d) 1

b) 3 e) 5

c) 4

12. Si: x * y = x - xy - 1

= la + b + E ly f i 1 = a2

calcular: A = 8 *(8 *(8 *(8 *...))) a) 1 d) 8

hallar el valor de:

a) 1 d) 25

= = = =

_ vn

calcular: 8 □ 16

a) 7/9 d) 1/3 10.

c)7

calcular: (fx n b) 9 e) 36

a) 3 d) 18

b) 25 e) 3

Si se sabe que:

calcule: N = b) 2001 e) 2002

c)5

Si: 2ab * 3ba = -Ia2 + b2 , calcular: 128 * 243

calcular: 2001 O 2002 a) 1 d) 4

b) 3 e) 9

a) 5 d) 4 9.

: 231, hallar: x

Si: a # b = 2a - b, calcular: E = (4 # 3 ) # (2#1) a) 2 d) 7/6

[17] = 1 + 2 + 3 + . . . + n

a) 1 d) 7 2.

b) 2 e) 10

c) 7

13. Sabiendo que: aAb = a2+ 2a, además: (mDn) = (mAn) + 1; calcular: 7D(5D(403)) b) 8 e) 30

c) 5

a) 70 d) 8

b) 64 e) 10

c) 7

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

14. Si: x - 1 = x + 1

calcular x en: / 3 \ * 5 = x * / 2 \

20.

100 operadores

b) x - 200 d) x - 207

a) x + 200 c) x + 205 e) x + 210

Si: Va * b2 = 2 (Vb * a2) - a b , calcular: b) 3 e) 1,5

a) 2 d) 1

15. Si: (a) = a(a + 1), además:((x + 2JJ = 156,

21. SI:

a*b =

b) 11 e) 12

4V3 * 2

c) 4

a * b = a + ^ - ,si: a > b a- b

calcular: a) 12 d) 9

c) 5

b) 6 e) 7

a) 4 d) 8

... x + 5 ...

calcular:

a+ b

, si: a < b

además: m * n = 4/7 A n * m = 5/3

c) 10

calcular: m/n b) 23/47 e) 321/451

a) 47/23 d) 35/12

16. Si: f~x~1 = (x - 2)x + 1

c) 12/35

Q IL 22. Si: P(x) = x2(x - 9) + 27 (x - 1)

calcular: A =

((m

a) 1 d) - 3

b) 3 e) 5

|3 p(25 )]

17. SI: <x - £> = x + 6 , además:

c) -1

= x + 8,

f 7P(1)

calcule:

[...[[[p(27)r(26)]3p<25)]-l

a) P(0) d) P(4)

b) P(1) e) P(27)

c) P(3)

; 23. Se cumple que: | x ] = | x - 1 + x - 2 calcular: ( a) 10 d) 20

C IO )

además: | 1 | ==3 b) 12 e) 9

Calcule n en:

18. Si:

calcular: E = 4 * 2 b) 8 e) 64

19. Si: [~IT*in = 2a + b; / x \ = 2x

c) 9

-----1

a) -1 d) 5

a * b = I a%b l: m%n = m * - -■; [ Y ] = y2 - 1

a) 3 d) 63

| 0 |= 5

c) 16

tí) LJ > < J ü

1. 2. 3. 4. 5.

+ n=

3 c) 3

b) 1 e) 2 b d c c d

6. 7. 8. 9. 10.

d d a d a

11. 12. 13. 14. 15.

a c b c a

16. 17. 18. 19. 20.

a b d b d

21. b 22. d 23. c y

RELOJES ADELANTOS Y ATRASOS Situaciones donde se encuentran relojes malogra dos, debemos considerar: + Atraso total

+ Adelanto total

Hora real = Hora adelantada - adelanto Hora real = Hora atrasada + atraso Hora atrasada

x <

— Adelanto total

- Atraso total

Observación:

Hora real

Hora _ Hora adelantada real

Atraso total Adelanto total

RELACION DEL RECORRIDO DEL HORARIO Y MINUTERO Punto de partida

Recorrido

1 división horaria O 30° 1 división de minuto 0 6° El reloj tiene 12(5) = 60 divisiones que equi valen para el rtiinutero 60 minutos o 360° (1 vuelta) 60 div. < > 6 0 min < > 360° 1 div. = 1 min = 6° (para el minutero) Veamos cuantos grados sexagesimales reco rren las agujas cuando transcurre un tiempo determinado en minutos (a partir de las 4 en punto): Tiempo que transcurre (en minutos)

Angulo que recorre el minutero

60’ 30'

360° ->

20' 10'

—>

8’ 3’ 1' c Y lo tw :-

m’

Partíendo las agujas de las 12:00 a las 12:30, el horario ha recorrido, 15°, mientras que el minutero 180°, es decir, el minutero avanzó: 180 15

Ángulo que recorre el horario

. ->

—»

30°

180°

—>

15°

120°

10°

60°

—>

5°

48°

—>

4°

18°

—>

3 2

6°

—>

1 2 ^ D IV 12

m DIV

ANGULO QUE FORMAN EL MINUTERO Y EL HORARIO 1.° caso: cuando el minutero adelanta al horario:

12 veces lo que avanzó el horario. m antes que H

En general:

m = 12H

Donde: m: recorrido del minutero H: recorrido del horario

0 = 11 m - 30H

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o ¡

Luego:

Por ejemplo, si la hora es 3:35: H = 3 y m = 35

| Hora exacta |

« 0 = ^ (35) - 30(3) = 102,5° a

Hace 15'

T. transcurrido*-

2.° caso: cuando el horario adelanta al minutero:

Dentro de 25’

sL-"

T. falta

24 h

\___________________________ / 2 h < > 120°

H antes que m 0 — 30H —

Entonces: a + 15 + 25 + a = 120 =» a = 40 Hora exacta: 3 p. rr>- + (a + 15)’ =>3 p. m. + 55’

La hora exacta es: 3:55 p. m. 3. Por ejemplo, si la hora es 4:10: H = 4 y m = 10 =» 0 = 30(4 ) - ^ (10) = 65°

Faltan para las 8:00 a. m., la mitad de los mi nutos que pasaron desde las 6:00 a. m. de esta mañana, hasta la hora actual. ¿Qué hora indica el reloj? R esolución:

EJER CICIOS RESUELTOS

Distribuyendo convenientemente los tiempos según los datos, tenemos:

¿Qué hora es si hace 4 horas faltaba, para acabar el día, el triple del tiempo que faltará para acabar el día, pero dentro de 4 horas?

| Hora exacta | 2(40)’

R esolución:

6 :0 0

Hora exacta |

—

2 h < > 120’ < > 3(40 )

^ 24 h

(3 x)h '

Hora exacta: 6 h + 80 min = 7 h 20 min

Son las 7:20 a. m.

1 día < > 24 horas

Del gráfico: 4 + 4 + x = 3x =» x = 4 Hora exacta: 24 - (4 + x) = 16

Para retrasarse 1 hora, falta retrasarse: 1 h - 3 min = 57 min

Son las 16 h o 4 p. m. Ya pasaron las 3:00 p. m., pero todavía no son las 4:00 p. m. de esta tarde. Si hubieran pasado 25 minutos más, faltaría, para las 5:00 p. m., los mismos minutos que pasaron desde las 3:00 p. m. Hasta hace 15 minutos; ¿qué hora es? R esolución:

Se deduce que el intervalo de tiempo en el cual trabajaremos es de 3:00 a 5:00 p. m.

Un reloj tiene 3 minutos de retraso y sigue re trasándose a razón de 3 segundos por minu to. ¿Cuántos minutos deben transcurrir para tener una hora de retraso? R esolución:

i8 ~"

8:00

\______________________________ /

Hace 4 h Dentro de 4 h x h r ^ T . fa lta > Oh

40’

. *^ítra n scu rrid cr''' ^ ffa ita N

1 min — retraso—

x ----------------► 57 min = 57 x 60 s = 5 7 x 6 0 x 1 min = 1UQ 3 5.

Hallar el ángulo formado por las agujas de un reloj en cada caso: •

4:12

•

10:44

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

R esolución:

Se puede deducir que en ambas horas el mi nutero aún no pasa al horario. •

4:12 0 = 30(4) - 11(12) = 54

•

10:44 0 = 3 0 (1 0 )-

11(44) = 58

.-.0 = 54°

.•.0 = 5 8 ° En cada hora el minutero B adelante 5 min al minutero C o 30°, luego:

Hallar el ángulo formado por las agujas de un reloj en los siguiente casos: •

4:40

•

Tiem po

Ángulo

1 h ------------ ► 30°

2:26

x — —

* 120°

=> X=

(1)120° 30

= 4h

Resolución:

Se puede deducir que en ambas horas el mi nutero ya pasó al horario. •

4:40 0 = 11(40) - 30(4) = 100

•

0 = 100°

Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora y al cabo de 6 horas, luego de sincronizarlo con la hora correcta, marca las 8:17. ¿Cuál será la hora correcta? R esolución: En 1 hora

2:26 6 = y (26) - 30(2) = 83

6 horas

(

3 m¡nutos

-Sejatrasará ( x

.'.0 = 8 3 ° x=

se atrasa

Entre las 5:00 y 6:00, ¿a qué hora por primera vez se forma un ángulo de 40°?

-!0 = 18 m¡n (atrasototal)

=» Hora correcta = 8:17

+ 18 = 8:35

R esolución:

La primera vez ocurrirá cuando el horario esté delante del minutero y la segunda vez a la In versa, luego aplicaremos:

[^ E J E R C IC IO S PROPUESTOS

¿Qué hora indican las agujas del reloj?, si: 3a - 0 = 40°

0 = 30H - l m 2

a) b) c) d) e)

40 = 3 0 (5 )-l l m => m=20 La hora será: 5:20. 8.

Tres relojes A, B y C se sincronizaron simul táneamente al mediodía. Si el reloj de A se atrasa 5 minutos por hora, el de B se adelante 5 minutos y el de C señala la hora correcta, ¿dentro de cuánto tiempo los minuteros de los 3 relojes equidistarán entre sí? R esolución:

Sea x la cantidad de horas necesarias para que se cumpla la siguiente situación:

10:17/9 10:97/8 10:73/11 10:80/11 10:110/9

Un boxeador da 7 golpes en 5 segundos. ¿Cuánto tiempo demorará en dar 49 golpes? a) 35 s d) 40 s

b) 1 min 20 s e) 60 s

c) 25 s

A las 7:15 p.m. un alumno dela academia le dice a su compañera cuando la suma de cifras de las horas transcurridas sea igual ai doble

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

de las horas que quedan por transcurrir, será la hora de salida. ¿A qué hora terminan las clases en la academia?

Arturo al observar un campanario nota que da 5 campanadas en 10 segundos. ¿Qué tiempo demorará en dar 25 campanadas?

a) 10 p. m. c) 9:20 p. m. e) 8:30 p. m.

a) 50 s d) 52 s

b) 8 p. m. d) 10:40 p. m.

b) 22; 22; 44 d) 21; 21; 44

Se tienen dos relojes sincronizados a las 12 del medio día (hora exacta). Si el primero se adelanta 2’ cada hora y el segundo se atrasa 3’ cada hora, responder: ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán nue vamente la hora correcta los 2 relojes si multáneamente?

a) 12 a. m. d) 9 p. m. 7.

b )1 0 p . m. e) 11 p. m.

■Í4r? + 1 2n

a) 16 d) 24

11 .

b) 2 días; 9 días d) 5 días; 6 días

Un alumno le dice a su amiga: cuando la suma de las cifras de las horas transcurridas sea Igual a las horas por transcurrir, te espero donde ya tú sabes. ¿A qué hora es la cita?

c) 60 s

n(n + 2) — s n- 1 n2 + 1 .

b) 18 e) 12

c) 20

Al preguntarle la hora a un profesor de Razo namiento Matemático de la academia respon dió: “El duplo de las horas que han transcu rrido es igual al cuádruplo de las que quedan por transcurrir”. ¿Qué hora es? a) 4 p. m. d) 11 a. m.

b) 8 a. m. e) 6 p. m.

n(h - 1)

4n h -1 n ( h - 1)

4(n - 1)

c) 3 p. m.

12. ¿Qué hora es?, si a = (

c) 7 a. m.

El campanario de un reloj indica las horas con igual número de campanadas, para indicar las h horas tarda 4 s. ¿Cuánto tiempo (en horas) habrá transcurrido desde el Instante en el que se empleó n s para Indicar la hora hasta el ins tante que empleó 2n s para indicar la hora? a)

c) n s

10. Un anciano al caminar por la calle se da cuen ta que da 5 golpes con su bastón en 8 segun dos. ¿En cuántos segundos dará 10 golpes?

II. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán la misma hora? a) 3 días; 6 días c) 7 días; 3 días e) 9 días; 3 días

b) 62 s e) 65 s

Un campanario tarda n2x s en tocar tantas campanadas como n veces el tiempo que de mora entre campanada y campanada, hallar el tiempo en función a n que demora entre campanada y campanada si es igual a x.

En un día: I. Cuántas veces se superponen el horario y minutero. II. Cuántas veces se encuentran formando 180° III. Cuántas veces aparecen las agujas for mando 90°. a) 23; 23; 45 c) 22, 23; 43 e) 23; 23; 48

c) 10:39^ d) 10:38-)

2n(h - 1) c) 13.

e) 10:39

El reloj de Katy empieza a atrasarse sin que él se dé cuenta, si después de un determinado tiempo a José se le pregunta la hora y respon-

| C o lec c ió n El P ostu la n te

R esolución:

Se puede deducir que en ambas horas el mi nutero aún no pasa al horario. •

4:12 0 = 3 0 ( 4 ) - ^ ( 1 2 ) = 54

•

10:44 9 = 30(10) — - y (44) = 58

.-.0 = 54°

.-.0 = 5 8 ° En cada hora el minutero B adelante 5 min al minutero C o 30°, luego:

Hallar el ángulo formado por las agujas de un reloj en los siguiente casos: •

4:40

•

Tiem po

Ángulo

1 h ------------ --

2:26

30-

11)12°: _ 4 h

x ------------ ► 120°

Resolución:

Se puede deducir que en ambas horas el mi nutero ya pasó al horario. •

4:40 0 = y ( 4 O ) - 30(4) = 100

■••9 = 100°

Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora y al cabo de 6 horas, luego de sincronizarlo con la hora correcta, marca las 8:17. ¿Cuál será la hora correcta? R esolución:

En 1 hora •

2:26

— . atrasa

„ 3 minutos

En 6 horas se atrasara ( x

0 = y (26) - 30(2) = 83

0 = 83° x = --x 3 — — = 18 min (atraso total)

Entre las 5:00 y 6:00, ¿a qué hora por primera vez se forma un ángulo de 40o?

=> Hora correcta = 8:17 -t- 18 = 8:35

R esolución:

La primera vez ocurrirá cuando el horario esté delante del minutero y la segunda vez a la in versa, luego aplicaremos:

[ "

a) b) c) d) e)

=> m = 20

.-. La hora será: 5:20. 8.

Sea x la cantidad de horas necesarias para que se cumpla la siguiente situación:

¿Qué hora indican las agujas del reloj?, si: 3a - 0 = 40°

9 = 30H - , ^ m 2 40 = 30(5) - y m

e j e r c ic io s p r o p u e s t o s ”

10:17/9 10:97/8 10:73/11 10:80/11 10:110/9

Un boxeador da 7 golpes en 5 segundos. ¿Cuánto tiempo demorará en dar 49 golpes? a) 35 s d) 40 s

b) 1 min 20 s e) 60 s

c) 25 s

A las 7:15 p. m. un alumno de la academia le dice a su compañera cuando la suma de cifras de las horas transcurridas sea igual ai doble

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

de las horas que quedan por transcurrir, será la hora de salida. ¿A qué hora terminan las clases en la academia?

Arturo al observar un campanario nota que da 5 campanadas en 10 segundos. ¿Qué tiempo demorará en dar 25 campanadas?

a) 10 p. m. c) 9:20 p. m. e) 8:30 p. m.

a) 50 s d) 52 s

b) 8 p. m. d) 10:40 p. m.

a) 23; 23; 45 c) 22, 23; 43 e) 23; 23; 48

¿Dentro de cuánto tiempo marcarán nue vamente la hora correcta los 2 relojes si multáneamente?

a) 12 a. m. d) 9 p. m. 7.

b )1 0 p . m. e) 11 p. m.

a) 16 d) 24

11 .

b) 2 días; 9 días d) 5 días; 6 días

Un alumno le dice a su amiga: cuando la suma de las cifras de las horas transcurridas sea igual a las horas por transcurrir, te espero donde ya tú sabes. ¿A qué hora es la cita?

■¡4r?+ 1

n- 1

b) 18 e) 12

c) 20

b) 8 a. m. e) 6 p. m.

n(h - 1)

4n h -1 n ( h - 1)

4 ( n - 1)

c) 3 p. m.

12. ¿Qué hora es?, si a = 6

c) 7 a. m.

El campanario de un reloj Indica las horas con igual número de campanadas, para indicar las h horas tarda 4 s. ¿Cuánto tiempo (en horas) habrá transcurrido desde el Instante en el que se empleó n s para Indicar la hora hasta el ins tante que empleó 2n s para indicar la hora? a)

c) n s

10. Un anciano al caminar por la calle se da cuen ta que da 5 golpes con su bastón en 8 segun dos. ¿En cuántos segundos dará 10 golpes?

II. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán la misma hora? a) 3 días; 6 días c) 7 días; 3 días e) 9 días; 3 días

c) 60 s

n(n + 2 ) b)

b) 22; 22; 44 d) 21; 21; 44

Se tienen dos relojes sincronizados a las 12 del medio día (hora exacta). Si el primero se adelanta 2’ cada hora y el segundo se atrasa 3’ cada hora, responder:

b) 62 s e) 65 s

Un campanario tarda n x s en tocar tantas campanadas como n veces el tiempo que de mora entre campanada y campanada, hallar el tiempo en función a n que demora entre campanada y campanada si es igual a x.

En un día: I. Cuántas veces se superponen el horario y minutero. II. Cuántas veces se encuentran formando 180° III. Cuántas veces aparecen las agujas for mando 90°.

c) 10:39y d) 10:38-)

2n(h - 1) c) 13.

e) 10:39

El reloj de Katy empieza a atrasarse sin que él se dé cuenta, si después de un determinado tiempo a José se le pregunta la hora y respon-

C o le c c ió n E l P o s t u la n t e

de acertadamente. ¿Cuánto tiempo se atrasó el reloj hasta ese momento, si este es el me nor posible? a) 24 h d) 360 min

b) 12 h e) 180 min

c) 36 h

14. Un reloj marca las 3:x; x está entre las 8 y las 9, pasado cierto tiempo el horario y el minute ro se permutan. ¿Qué hora era inicialmente? a) 3 : 4 2 ^

b ) 3 :4 2 ^

d) 3:41 ^2

e) 3:41í ¡

c) 3:42

b) 202 e) 324

b) 5 días

d ) 3 | días

21.

c) 348

16. El reloj de Luis empieza a atrasarse a las 8:00 a. m. Si después de 3 horas cuando el re loj marcaba 10:30 de la mañana Luis arregla su reloj. ¿Después de cuánto tiempo volverá a marcar la hora exacta, si el reloj a partir del momento en que lo arreglan empieza a ade lantarse 10 minutos por hora? a) 1 día

20.

15. Un reloj indica las horas tocando tantas cam panadas como hora indica y además toca 2 campanadas en las medias horas. ¿Cuántas campanadas se escucharán en 1 día? a) 204 d) 342

19. La mitad del tiempo que ha pasado desde las 9:00 a. m. es una tercera parte del tiempo que falta para las 7:00 p. m. ¿Qué hora es?

23.

d) 1 h 7 | min

e) 1 h 18.

a) 5:47

b )5 :4 5 y

d) 5:48

e) 5:47-.

b) 120° e) 127°

c) 135°

c |5 :4 8 l ¡

A qué hora entre las 6 y las 7 el horario ade lanta a la marca de las 6 tanto como el minu tero adelante a la marca de las 7. „\c .4 2 1

a )6 lF

b) 6- l T

424 13

c . 420

.313 e) 6: 11

c) 39

b) 41 e) 36

Un reloj anuncia las horas con un número de campanadas igual a las horas que está marcan do, además este mismo reloj da 3 campanadas en 8 segundos, entonces, ¿a qué hora exacta mente terminará el reloj de anunciar las 21 horas? a) 21 h 32 s d) 22 h 21 s

min

En la tarde melancólica de un día viernes Alfredito proyecta una sombra de -Í3 m, si su estatura es igual a 1 m, ¿cuál es el ángulo que forman las agujas en ese instante? a) 70° d) 60°

Se construye un reloj que tiene el horario más grande que el minutero, cuando Timoteo ve la hora dice: “Son las 9:29, si el ángulo que forman las manecillas es 114°, ¿qué hora es en realidad?

a) 40 d) 37

17. Cada cuánto tiempo las manecillas de un reloj (horario y minutero) forman un ángulo de 0°.

c ) 1 h -8 min 11

e) 10:— p. m. 3

campanadas igual a las horas que está Indi cando, para anunciar los cuartos de hora da una campanada y para anunciar las medias horas da 2 campanadas, pero el reloj se ma logra a las 11:00 a. m., con lo cual deja de dar una campanada en todos los casos. ¿Cuán tas campanadas a dado el reloj desde las 10 horas hasta las 12 horas 15 minutos?

c ) 3 días

b) 1 h 5 — min 11

d) 2:20 p. m.

c)4:00p. m.

2 2 . Un reloj anuncia las horas con un número de

e) 4 — días 5

b) 1:00 p. m.

d) 6:

a) 1 h 6— min

a) 11:00 a. m.

b) 22 h 4 s e) 21 h 10 s

c) 21 h 28 s N

m Ld < J ü

1. 2. 3. 4. 5.

d d a b a

6. 7. 8. 9. 10.

d a c c b

11. 12. 13. 14. 15.

a a b d a

16. 17. 18. 19. 20.

c b b b d

21. b 22. e 23. a y

INDUCCIÓN Y DEDUCCIÓN INDUCCION La palabra inducción proviene del latín inductivo (¡n: en y ducere: conducir) que es la acción y efecto de inducir. Es definido como una manera de razonar, en la cual se obtiene de los hechos particulares, una conclusión general. Así el razo namiento inductivo deductivo desempeña un gran papel en la resolución de diversos problemas matemáticos aplicándose también en las ciencias experimentales. Se puede representar de la si guiente forma: Casos particulares =»

DEDUCCION La palabra deducir proviene del latín deducere que significa sacar consecuencias (conclusiones). La deducción es la acción de deducir; también es la conclusión que se obtiene en un proceso deducti vo. En lo que respecta a nuestro estudio, veremos como a partir de casos generales llegamos a es tablecer cuestiones particulares para la resolución de un problema. Caso general

=» Casos particulares

Caso general Ejemplo:

Ejemplos:

Calcular: bca + cab + abe, s¡: (a + b + c)2 = 324

Aplicando deducción:

Calcular la suma de cifras del resultado en E, si se sabe que en la base hay 49 cifras 3. E = (333...333)2

(a + b + c)2 — 324 ■-> a + b 4- c = 18 Piden: bca + cab + abe =» bca +

Aplicando inducción:

cab abe

Suma de cifra del resultado

Con 1 cifra:

(3)2 = 9

1998

9(1)

1 cifra Con 2 cifras: (33)2 = 1089

Por lo tanto: bca + cab + abe = 1998 9(2) EJERCICIOS RESUELTOS

2 cifras Con 3 cifras: (333)2 = 110 889

9(3)

3 cifras

En el problema:

Si: abed =(...4321)4-9999 hallar: a + b + c + d R esolución:

Con 49 cifras: (333...33)2 =

9( ) = 9(49) = 441

Calcular la suma de cifras del resultado de: M = (111...1)2

Según el primer dato: abcd = (,..4321) h- 9999 El 9999 pasa al otro miembro multiplicando: abed x 9999 = 4321 Podemos escribir (10 000 - 1) a cambio de 9999

9 cifras

Entonces abed x (1000 - 1) = ... 4321

Aplicando inducción: Suma de cifras

2 cifras:

( 1)2 = 1 ( 11)2 = 121

3 cifras:

(111)2 = 12321

4 cifras:

(1111 )2= 1234321

1 cifra:

1 = 12

abcdOOOO - abed = ...4321

4 = 22

Es lo mismo que:

9 = 32 = 442 16 = '

_______ abcdOOOOabed 7..4 3 2 1

Entonces si fueran 9 cifras: 9 cifras: (11 ...11 )2 = 12...21

de donde: d = 9 ; b = 7 ;c = 6;a = 5 a + b + c + d = 29

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Calcular la suma de cifras de P:

Resolución:

Sumar los 100 elementos que conforman la matriz va a ser demasiado operativo, aplican do inducción tendremos:

P = 7444...44- .8 8 0 3 8 1000 cifras

500 cifras

R esolución:

[ 1 ] => suma = 1 = (1)3

Tomando casos simples pero con la mis ma estructura del problema planteado, pero teniendo en cuenta que el número de cifras cuatro es el doble del número de cifras ocho.

. n.° filas

|1 ( D j => suma = 8 = (2) 12 3 ¡

Entonces: .

. n.° filas

1 2(3} 2 3 4 3 4 5

V44 - 8 = 6

suma = 21 = (3)3 ■n.° filas

1 cifra .

74444 - 88 = 6 6 X 3~

2 cifras

7444444 - 888 = 666 H ZT 3 cifras

7444...444 - 88...88 = 666...66

3 4

11 12

10 11

.-. suma = (10)3 = 1000 L— n.° filas

.-. suma = 1000

En el problema: I l 1000 cifras

2 3

=> su™ade

l I i I Clfras 500 cifras 500 cifras 6(500) = 3000 l____________I

200 cifras R esolución:

Hallar el valor de: x = 797 x 98 x 99 x 100 + 1

Por Inducción tendremos:

R esolución:

3^ = 9 =» Scifras = 9 = 9(1)

Aplicando el método inductivo en el proble ma: • 7 1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 5 => 5 = 1 x 4 + 1 •

7 2 x 3 x 4 + 5 + 1 =11

•

7 3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 1 9 =» 19 = 3 x 6 + 1

Calcular E y dar como respuesta la suma de sus cifras. E = (333...333)2

1 cifra

'-------► n.° cifras

(33)2 = 1089

Dcifras

= 18 = 9(2)

2 cifras

11 = 2 x 5 + 1

►n.° cifras

(333) = 110 889

S c ifr a s

= 27 = 9(3) L-►n.° cifras

3 cifras

Aplicando al problema:

E = (333...333)2 = 11...110 88...889

797x98x99x100+ 1 = x = 97 x 100 + 1

200 cifras

.-. x = 9701

199 cifras 199 cifras

■■■ Scifras = 9(200) = 1800 4.

Hallar la suma de todos los elementos de la siguiente matriz: 1

3 4

... ..

► n.° cifras

Hallar la suma de cifras del producto siguien te: P = 777...777 x 999...9999 50 cifras

50 cifras

R esolución:

Aplicando inducción: 9

12 13

.. ..

17 18

18 19

_7_ x _9_ =

1 cifra

Suma de cifras 9 = 9(1)

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

_77_x 99 = 7623

18 = 9(2)

[ ” EJERCICIOS PROPUESTOS

2 cifras 2 cifras l l l x 999 = 776 223

Si: (a + b + c)° = 2b6, además: ab2= a0c5 calcular: abe + bea + cab

Luego: P = 77...777x999...999

27 = 9(3)

3 cifras 3 cifras

50 cifras

a) 1666 d ) 446

9(50) = 450

50 cifras

¿Cuántos puntos de contacto hay en la si guiente gráfica?

b) 1776 e) 1006

c) 1206

Halle la siguiente suma: abed + mnpp + xyzw; sabiendo que: bd + np + yw = 160 ac + mp + xz = 127 ab + mn + xy = 124 a) 12 437 d) 11 440

c) 11 590

Si: x + — = 2. hallar M: X

M = x + x~1 + x2 + x” 2 + x4 + x" 4 + ...

R esolución:

Vamos a proceder a contar aplicando el mé todo inductivo, es decir, analizando casos simples, cuidando que la formación (distribu ción de las esferas) se mantenga uniforme mente, así:

b) 12 590 e) 12 780

+ X1024 + X - 1024

a) 20 d) 18 4.

n.° de puntos de contacto

b) 160 e) 78

c) 32

Si se tiene el caso, en que una recta trate de cortar en lo máximo a una circunferencia, ha llar cuántos puntos de corte se puede realizar como máximo con 5 rectas y 6 circunferen cias. a) 60 d) 120

c) 22

Se tienen 2 rectas paralelas, en una de ellas se ubica 8 puntos y en laotra se ubican 4 punto. Si cada punto de la primera paralela se une a cada punto de la segunda parale la. Hallar en cuántas veces se cruzan dichas rectas. a) 168 d) 66

b) 10 e) 16

b) 30 e) 150

c) 40

(a + 3 f + (a + 4 )2 Si: E = —2 2 --------- 1 a2 + (a + 1)2 + (a + 2)2 además: a eZZ+, si E toma su mínimo valor, calcular el valor de A: A = 2e4 + 234E + 23E a) 2 d )7

b) 4 e) 1

c) 20

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

¿Cuántos cuadriláteros cóncavos se pueden contar en la siguiente figura?

a) 1963 d) 100

b) 1962 e) 962

c) 900

11. Halle la suma de las tres últimas cifras del re sultado de: S = 5 + 66 + 555 + 6666 + ... + 666...6 40 cifras

a) 8100 d ) 3000

88 89 90

b) 3900 e ) 9321

b) 10 e) 17

a) 9 d) 15

c) 7200

12. Si: m = / 7 - / 5 ; n = V 3 - V 7 ; p = 75 - /3 hallar B:

En la siguiente figura, calcular el total de pun tos de intersección y de tangencia.

.4 .4 ^4 ' 4 D4 \ rn +— h (mn + np + m p r 1 np r' mp m n /' r

b) - 3 e) 4

a) - 5 d) 2

c) 1

13. En la siguiente figura se han contado 570 pun tos de contacto. Calcule el número de mone das colocadas en la base.

48 49 50

a) 11 325 d) 12 325 9.

b) 7500 e) 10 150

c) 11 300

Hallar cuántas bolitas no están pintadas en la figura 20.

a) 10 d) 18

b) 12 e) 20

c) 14

14. Calcule R(20); si:

; ^

a) 1140 d) 400

b) 1120 e) 501

c) 1540

10. Hallar cuántas bolitas no están pintadas en la figura 10.

50 . R(d = 1 - 3 - 2bü x 2 R(2) = 4 + + 248 ■ 9 R(3)-=9 - 1 5 x 2 ,46 x, 28 ,44 . R(4) = 16 + 24 - 244 - 65 : 25 35 242 x 126 ( 5)

a) -1 2 457 d) -1 4 655

b) -11 255 e) 13 255

c) - 1 3 455

15. En qué cifra termina:

S =7/47 +7/48 +

... 99

653 sumandos F,

a) 8 d) 7

b)1 e) 2

c) 9

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

a) 0 d) 7

16. Halle la cifra de las decenas: S = 1! + 2 ! + 3! + ....+ 10 508! a) 0

b) 3 e) 4

d) 1

c)2

17. En cada una de las figuras mostradas, debes unir los centros de las circunferencias con los centros de sus vecinas. Haciendo esto, ¿cuántos triángulos simples (los más peque ños) se pueden contar en la figura 100?

c) 5

b) 9 e) 10

21. Si: ^7(a + 1)b5 = k5, calcular: a + b + k a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

22. Hallar: K = ' ^ 1 R2 x 9989 + R x 5545 + 16 si: R = (99 - 1)(98 - 2)(97 - 3)...(1 - 99) a) 4 d) 0

b) 9989 e) 1998!

c) 99892

23. Calcular el número de triángulos en F(40).

a) 60 000 d) 30 000

b) 57 420 d) 17 200

F(1)

18. En cada casilla del siguiente tablero se colo can los números 1; 2; 3: 4 de tal manera que en cada fila, columna y diagonal figuren los 4 números. X

c) 23 400

Calcula el máximo valor de E:

F(2)

a) 1640 d) 840

b) 178 e) 100

b) 401 e) 820

c) 640

24. En el poste A hay n discos de madera de di ferentes tamaños. Trasladando los discos de uno en uno se deben pasar todos los discos al poste C, pudiendo utilizar el poste B como punto de paso. ¿Cuántos traslados como mí nimo se deben realizar, si un disco grande no puede ser colocado sobre uno pequeño?

E = 2W+ 3y + 2Z + 3X a) 140 d) 150

F(3)

" fl

c) 120

4J= 21

_ lC

19. Calcule el número total de hexágonos que se pueden contar, considerando el tamaño que se Indica en la figura. a) 1250 b) 1225 c) 1500 d ) 1600 e) 1275 20.

a) 2n

b) 2" - 1

d) 2n+1 - 1

e )n 2

c) 2n_1 - 1

25. Si: abcd x m = 12 492; abcd x n = 21 861; calcular la suma de cifras de: abcd x mnonm 0 0 0 1

2 3

OOO 51 52 53

Calcular a + b: (71°° - 2 )(7 7 " - 2)(798 - 2). 20 factores

a) 16 d) 20 26.

b) 17 e) 19

c) 18

Calcular el valor de la siguiente expresión:

..ab M =

[1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 ...]+ m 1 + 2

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 2m d) m2 + 1

b) 2m + 1 e) 4

c) m2

27. ¿Para qué valor de n la suma de las cifras de A es igual a 39?

a) 12 d) 15 32.

A2 + 222 ... 222 = 111 ... 11 n cifras

a) 10 d) 14

b) 11 e) 13

2n cifras c) 12

28. En qué cifra termina E: E = ...5e + ...6e + ...9E + ...4e a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

33.

a) 72 d) 81

c)512

Halle x + y:

a) 7 d) 25

6 cifras b) 42 e) 64

b) 400 e) 800

(13 x 33 x 53 x 73 x ... x 19993)2 = Z xy

A=[(a + 5Xa + 5)... (a + 5) - (a + 4Xa + 4)... (a + 4)]

6 cifras

c) 7

Se colocan mil fichas numeradas del 1 al 1000 en forma circular sobre una mesa. Lue go se empieza a tomar las fichas a partir del número uno y en forma alternada, siempre en forma alternada, vuelta tras vuelta y co menzando desde el inicio, después de cada vuelta, ¿qué número tendrá la última ficha to mada, sabiendo que después de cada vuelta se empieza tomando la primera que se en cuentre? a) 200 d) 999

c) 6

29. Calcule la suma de cifras del resultado de A.

b) 8 e) 20

c) 36

b) 9 e) 10

c) 12

34. Halle a + b: 1a + 2a + 3a + ... + 7a = bb6 a) 10 d) 12

30. Si: — + — = 2 n m

b) 11 e ) 14

c) 9

X a) 100 d) 13

b) 4 e) 81

c) 5

31. Calcule: m + n; x e S + x51 + (x + 1)52 + (x + 2)53 + ... = O r ín (2n +

1) sumandos

tn lii < _l U

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

b b c a a b a

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

a e e a a e b

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

c d a b e d c

22. 23. 24. 25. 26. 27. 28.

a e b b e e e

29. 30. 31. 32. 33. 34.

c c c a a b -/

SUCESIONES Y SERIES TIPOS DE SUCESIONES Aritm éticas. Llamadas también progresiones arit méticas, son aquellas que cumplen con la siguien te regla de formación: “Todo término (excepto el primero) menos el anterior es una constante llama da razón aritmética”.

Ejemplo: Hallar el término de lugar 40: 13; 16; 22; 31; 43; 58;... R esolución:

Arreglando la sucesión: 13;

a 1i

a 2Í

a 3Í

a 4;

13; +0

16;

31; +9

43;...

+12

+r +3

Aplicando Inducción: a-, = ay, a2 = a, + r;

22;

a2 =

+ 2r

r = 3; a = 1,5;

an = ai + .(n - 1)r ay. primer término; an: término de lugar n r: razón; n: n.° de términos desde a 1 hasta an

A una progresión aritmética también se le conoce como sucesión polinomial de primer grado o sim plemente sucesión lineal

+3 3o — 13 c = 13

m0 = 0; b = -1 ,5 ;

Reemplazando: a40 = 1,5(40)2 + (—1,5)(40) + 13 ^ a40 = 2353 Geométricas. Llamadas también progresiones geométricas, son aquellas que cumplen con la si guiente regla de formación: “Todo término (excep to el primero) dividiendo entre el anterior, es una constante llamada razón geométrica”.

Ejemplo: aT

Hallar el término de lugar 50: 11:18; 25; 32; 39;...

a 3 Í__ a 4;

R esolución:

r = 7; n = 50; a, = 11

■■■I

Aplicando inducción:

as0 = 11 + (50 - 1)(7) = 354

3 l = 31 i

Sucesiones polinóm iales de segundo grado. Llamadas también sucesiones cuadráticas, son aquellas que cumplen la siguiente regla de forma ción: “Las diferencias de sus términos adyacentes están en progresión aritmética”. En toda sucesión cuadrática el término enésimo es de la forma:

■a,q

a t : primer término;

an: término de lugar n

q: razón geométrica; n: n.° de términos desde a-¡ hasta an. Ejemplo: 1.

am + bn + c

a3 = a-,q

3 2 == 3 i CJi

Hallar el término de lugar 10: 4; 12; 36; 108;... R esolución:

Donde: a; b; c son valores constantes que se cal culan de la siguiente manera: api JA ;

a2;__a ^ __a4;

q = 3;

n = 10;

36;

108 x3

a, = 4

a10 = 4(3)9 = 78 732

+r SERIE NUMÉRICA

b = m0 - a

O II oQ)

r 2

12; x3

...

+m 0 -t-m, +m 2 +m3 +r

Se denomina serie numérica a la adición Indica da de los términos de una sucesión numérica,

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

al resultado de la adición se le llama valor de la serie.

S„ = | ^

Sn = [2a1 + (n - 1 ) r ] ^

l | n

Sum atorias notables 1.

Suma de los n primeros enteros positivos:

PROGRESION GEOMETRICA

ti!

Y 'j = 1 + 2 + 3 + ... + n ¡= 1

t2; xq

Y -

n (n +

Zj ~

t3; xq

1=1

ti(q n - 1)

tn = t i q n

¿ ( 2 i) = 2 + 4 + 6 + . . . + 2n

1-q

EJERCICIOS RESUELTOS

£ ( 2i) = n (n + 1)

sL=

q —1

Suma de los n primeros números pares positivos:

¡=

t4; ...; tn xq

Hallar la suma de términos de la fila n.° 45. 2 6 14

Suma de los n primeros números impares po sitivos:

4 8 16

10 18

12 20

¿ ( 2 i - 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) R esolución:

Por inducción en la fila n.° 45 habrán 90 términos. Calculamos la cantidad de términos desde la fila n.° 1 hasta la fila n.° 45: 2 + 4 + 6 + ... + 90 = 45 x 46 = 2070 Último término en la fila n.° 45: 2 0 7 0 x 2 = 4140 Primer término en la fila n.° 45: 4140 - 8 9 x 2 = 3962

Suma de cuadrados de los n primeros enteros positivos: 12 + 22 + 32 + ... + n2 n(n + 1)(2n + 1) ¡ = i'

suma = | 3962 + 4140 j 90 = 364 590

“

Suma de cubos de los n primeros enteros po sitivos:

La suma de los 6n primeros números Impares es 5ab. Calcular (a + b + n). R esolución:

Z '3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3

1 + 3 + 5 + ... + x = 5ab => (6n)2 = 5ab 6n términos

n(n + 1) z ¡ 3=

Observamos que: V5ab es un n.° de 2 cifras;

¡= 1

la cifra de las decenas tiene que ser 2: PROGRESION ARITMETICA ai!

a2Í +r

a3Í

V5ab = 6n = 6 x 4 = 24

a4; ...; an

5ab = 242 = 576 7 + 6 + 4 = 17

an = a1 + (n — 1)r

n =

Si son 50 términos, calcular el valor de: M = 1 x 100 + 2 x 9 9 + 3 x 9 8 + ...

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

cada minuto, el rey avanza 1 paso en el pri mer minuto, 2 pasos en el segundo minuto, 3 pasos en el tercer minuto, y así sucesiva mente. Si al final ambos han dado la misma cantidad de pasos, ¿cuántos pasos han dado en total cada uno? (Los pasos del rey y de la reyna son de igual longitud)

R esolución:

Observamos que en cada producto la suma de los 2 factores es 101, en 50: M = 1 x 100 + 2 x 9 9 + 3 x 9 8 + ... + 50 x 51 +101

M = 1(101 - 1 ) +2(101 - 2 ) + ... +50(101 -5 0 ) M = 101(1 + 2 + ... + 50) - (12 + 22 + ... + 502) M = 101 x 5 0 x 5 1

R esolución:

5 0 x 5 1 x101

1.°

2.°

3.°

...

primeros números impares.

Ahora; como ambos han dado el mismo nú mero de pasos dicha cantidad es: 20(39) = 780

2 + 4 + 6 + . . . + x = (2a)(2b)0 4n términos

4n(4n + 1) = (2a)(2b)0

Aplicando descomposición polinómica y ope rando: n(4n + 1) = 5 x ab 21

ab = 21 =» a = 2 ; b Nos piden: S= 1+ 3+ 5

1 = 26 + 16 = 65 = 652 = 4225

65 términos

Un tren salió de su paradero inicial con 7 pa sajeros y en cada estación suben dos pasa jeros más de los que subieron en la estación anterior. Si al llegar a su paradero final se con taron 616 pasajeros, ¿en cuántas estaciones se detuvo a recoger pasajeros? Resolución:

1.° 9

2.°

3.° 13

n O

Final 616

Total de pasajeros: 7 + 9 + 11 + 13 + ... + □ = 616 (n +

1) términos

(n — 1)2 Luego: 9 + n = 609 « n = 21 6.

n(n + 1)

+ 3

Resolución:

Inicio:

Suma

Como han dado la misma cantidad de pasos: n(n + 1) = 20n => n = 39

es (2a)(2b)0. Hallar la suma de los (a6 + b6)

1 +2

Rey

La suma de los 4n primeros números pares

Reyna: 20 + 20 + 20 + ... + 20 = 20n

M = 85 850 4.

La reyna y el rey de un reino salen a pasear por los bosques de sus dominios; mientras la reyna da 20 pasos en forma constante por

Un obrero ha ahorrado este mes 178 soles y tiene con esto S/.1410 en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/.12 más que el mes anterior. ¿Cuántos ahorró el pri mer mes? R esolución: 1.er 2.° 3.er ... n.° mes mes mes 1.ermes actual pasado antepasado de ahorro 178 + 166 + 154 + ... + 190 - 12n n sumandos

178 +

(n - 1)(n - 12)

n = 1410 =» n = 15

.-. El 1.er mes ahorró: 190 - 12(15) = 10 En la siguiente igualdad, ambas series tienen el número de términos dependientes de n. 1 + 3 + 5 + 7 + ... + x = 40 + 38 + 36 + ... + y n términos

(n - 4) términos

hallar: x + y Resolución:

Como x es un número impar será: x = 2n - 1 (término enésimo de los números impares) En el 2.° miembro de la igualdad tenemos: PA: 40; 38; 36; ... =» t„ = 42 -2 n

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

En el término enésimo calculamos para n - 4 y simplificando obtenemos: tn_ 4 = 50 - 2n

A = 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ... B = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ...

Luego: x = 2n - 1 A y = 50 - 2n x + y = 49 Hallar la suma de la siguiente serle: S = 1 + 2 + 7 + 7 + 13 + 12 + ...42

a) 8 d) 9,5 4.

La sucesión asociada es: 5. 2:

12; ... ; 42

S+ 1; 7; 13;...; tn = 6n - 5 S2: 2; 7; 12; ...; tn = 5n - 3

De lo cual se concluye que: S2 tiene 9 térmi nos. Además, S, también tiene 9 términos, t9 de St es: t9 = 6(9) - 5 = 49

S = 1+7 +13 +19 + ...49+ 2 + 7 + 12 +17 + ...+ 4 2 9 sumandos

S = 11 +' 4 9 ')9 + ( 2 +„ 4 2 'l9

••• S = 423

•+ •

102 10J 104

b) 7/8 e) 81/7

c) 10/7

¿Cuánto suman los números pares conte nidos en los n primeros números naturales, siendo n impar? b) (n2 - 1)/4 d) n3(n + 1)/6

La suma de 30 números naturales consecu tivos es K. Hallar la suma de los 30 números siguientes.

¿Cuántos sumandos hay, si la mitad de ellos es 2275?

b) 2K + 900 e) K + 930

Hallar el valor de x en: 22; 7; 0; 0; 12; x a) 20 d) 15

|~EJERCICIOS PROPUESTOS' |

10. Si: Sn =

b) 19 e) 17

c) 18

1 + 2 + 3 + ... + n, hallar el valor de:

A = S2o - S19- S18 —S17 + ... + S2 - S-|

S —2n + (2n + 3) + (2n + 6) + ... + 5n

c) Q

Efectuar: S = -J- + - 2 - + - ®

a) K + 900 c) 2K + 930 e) 0,5K + 900 9.

b) 25 e) 28

b) C e) J

9 sumandos

Calculando el valor de cada serie tendremos:

a) 24 d) 27

c) K

Que letras continúan: Y; W; S; N; ...

a) (n2 + 1)/4 c) n(n3 + 1 )/2 e) (n2 - 1)/6

Entonces la serie se puede escribir así:

b) M e) Q

a) 5 d) 10/81

Luego: S2 = 2 ; 7; 12; ...;42 =» 42 = 5n - 3 => n = 9

c) 9

Que letra continúa: A; D; F; G; J; I ; ...

a) Y d) F

Puede apreciarse claramente que hay dos subsucesiones:

b) 8,5 e) 7,5

a) L d) N

R esolución:

Hallar: K = A + B, donde:

a) 420 d) 120

c) 26 11.

b) 210 e) 220

c) 110

Efectuar: S = 2 + 4 + 6 + ... + (2m)'

Hallar la suma de los 30 primeros múltiplos positivos de 3, más los 20 primeros múltiplos positivos de 5.

a) 4m2(m + 1)2 c) 4m2(m - 1) e) 4m

a) 2445 d) 2454

b) 4m(m - 1)2 d) 4m2(m - 1)2

b) 1395 e) 2654

c) 1050

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o [

12. Hallar el valor de x: 4 + 7 + 10 + ... + x = 175 a) 26 d) 29

b) 31 e) 28

c) 30

18. En una caja se pone 2 caramelos, en otra 4, en otra 6 y así sucesivamente. ¿Cuántas cajas tengo en total, si solo tengo 380 cara melos? a) 16 d) 20

13. Hallar x + y: 8; 16; 17; 3; 35; x; y; a) 140 d) 151

b) 141 e) 142

c) 139

14. Se suman tantos números pares consecutivos desde el 20, como números naturales conse cutivos desde el 40. Si las sumas son iguales, ¿cuántos números pares se consideran? a) 50 d) 30

b) 41 e) 28

c) 42

b) 17 e) 19

c) 18

19. Efectuar si son 140 sumandos: M = 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 4 + 3 + 4 + 5 + ... a) 10 000 d) 9960

b) 9250 e) 9710

c) 9870

20. La suma de los 100 primeros números pares excede a la suma de los 100 primeros núme ros impares en: a) -2 0 0 d) 200

b) 0 e) 100

c) —100

15. En la progresión aritmética que sigue: a; ...; a l a . La suma de todos sus términos es 43 512 y el primer término vale igual que la razón. Ha llar el valor de a. a) 5 d) 8

b) 6 e) 7

21. Qué número continúa: 4; 8; 7; 14; 13; 26; 25; 50; ... a) 46 d ) 56

c) 9

b) 49 e) 100

c) 52

22. Hallar x: 2; 6; 30; 260; x; ... 16. Calcular: S = - 5 - + - ^ - + ^ | + ^ + ... 22 24 2 2 a) 5/2 d) 1,5

b) 5/8 e) 5/3

a) 59 d) 30

b) 61 e) 31

a) 530 d ) 525

c) 3

17. Hallar n si: n + ... + 75 + 77 + 79 = 700 c) 63

tn Id > < J ü

1. 2. 3. 4. 5.

c a b b d

b) 585 e ) 3118 6. 7. 8. 9. 10.

d b a e a

11. 12. 13. 14. 15.

a b d b e

c)3130

16. 17. 18. 19. 20.

e b e d e

21. b 22. c

CONTEO DE FIGURAS METODO COMBINATORIO Consiste en asignar dígitos y/o letras a todas las figuras simples y luego se anotan los dígitos o combinaciones de ellos que corresponden a cada figura observada. Se recomienda proceder al conteo ordenado (en forma creciente). Por ejem plo: figuras de un dígito, figuras de 2 dígitos y así sucesivamente. Ejemplo:

Conteo de ángulos ¿Cuántos ángulos agudos se observa en la si guiente figura?

Si:

n.° de ángulos agudos n = 1 => 1 = 1 n=2=* 3 = 1+2 n = 3 =? 6 = 1 + 2 + 3

Total de ángulos agudos:

Calcular el número total de triángulos.

Ejemplo: Calcular el número total de ángulos. De 1 cifra: 1; 2; 3; 5; 6; 7 =• seis De 2 cifras: 12; 23; 24; 35; 67 => cinco De 3 cifras: 123; 356 =* dos De 5 cifras: 23 456 => uno En total: 6 + 5 + 2 + 1 = 1 4 triángulos R esolución:

Conteo por Inducción. Para resolver los siguien tes ejercicios hacemos uso del método inductivo. Conteo de segm entos ¿Cuántos segmentos como máximo hay en la si guiente figura? V

Total de ángulos:

¿Cuántos triángulos como máximo se observa en la siguiente figura?

n -í n ’

n.° de segmentos n = 1 => 1 = 1 n = 2 => 3 = 1 + 2 n = 3 =• 6 = 1 + 2 + 3

n(n + 1) Total de segmentos: 1 + 2 + 3 + ... + n = — - —

= 15 ángulos.

Conteo de trián gu los

Si: Si:

5x6

n.° de triángulos n = 1 =» 1 = 1 n = 2 = 3 = 1+2 n = 3= 6= 1+ 2 +3

n(n + 1) Total de ángulos: 1 + 2 + 3 + ... + n = — - — Ejemplo: ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura, para n = 10?

Ejemplo: Indicar cuantos segmentos hay como máximo en la figura:

R esolución: 7x8

Total de segmentos: —~

= 28 segmentos

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

Resolución:

Ejemplos:

10x 11 Total de triángulos: — - — = 55 triángulos

En la siguiente figura:

Conteo de trián gu los en la siguiente figura

\ m

Total de triángulos: n(n + 1) — -— x m

\\3 \ \2 1 2 3

...

¿Cuántos cuadriláteros hay? ¿Cuántos cuadrados hay?

¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados se puede observar?

Ejemplo: R esolución:

¿Cuántos triángulos hay?

Total de cuadriláteros:

52<6x 5><6 _ 225 Total de cuadrados: ^ x

.§.-1-11 = 55

Total de cuadriláteros que no son cuadrados:

R esolución:

n.° de triángulos:

225 - 55 = 170

x 5 = 30

Conteo de cubos y paralelepípedos Conteo de cuadriláteros y conteo de cuadrados

En la figura:

En la figura: | 1 | 2 | 3 | ... | n | Total de cubos:

n ( n + 1) Total de cuadriláteros: — - — 2

n(n + 1)

En la figura:

1 2

...

Total de cuadriláteros: n ( n + 1)

m(m + 1)

En la figura:

1 2 3

a n

12 Total de cuadrados: n(n + 1)(2n + 1)

Total de paralelepípedos: n(n + 1)

— ^—

m(m + 1)

p ( p + 1)

x ------- - -------x — - —

| C o l e c c ió n

Po s t u la n t e

Total de triángulos: 6 + 3 + 2 + 1 = 1 2

EJER CICIO S RESUELTOS

3. 1.

¿Cuántos cuadriláteros hay?

En la figura: / V

1 2 3 4 2 3 4 5

•

/ A

/ \

y / / / /

/ / / / /

7 8

R esolución:

De 1 cifra: 1; 2; 3; 4: 5; 6 ; 7; 8; 9 (9) De 2 cifras: 12; 23; 25; 34; 36; 47; 56; 67; 78; 89 (10) De 3 cifras: 125; 234; 567; 678; 789 (5) De 4 cifras: 2356; 3467; 5678; 6789 (4) De 5 cifras: 56789 (1) De 6 cifras: 234567 (1)

¿Cuántos paralelepípedos hay? ¿Cuántos cubos hay? ¿Cuántos paralelepípedos que no son cu bos hay?

Total de cuadriláteros: 9 + 10 + 5 + 4 + 1 +1 =30

R esolución:

•

3 4

5 6

Total de paralelepípedos:

Hallar el total de cuadriláteros en:

=900 •

Total de cubos: (con 1 cubito) 4 x 5 x 6 = 60 R esolución:

(con 8 cubitos) 4 x 6 = 24

n.° de cuadriláteros:

(con 27 cubitos) 2x3 = 6

6(6 + 1) 4 ( 4 + 1 ) 2

n.° de cuadriláteros: 21 x 10 = 210

n.° total de cubos: 90 Paralelepípedos que no son cubos 900 - 90 = 810 2.

[jEJERCICIOS PROPUESTOS " ! 1.

¿Cuántos triángulos hay?

¿Cuántos cuadriláteros se puede contar en la figura 100 del siguiente arreglo?

U; 1

a) 4350 d ) 4805 2.

R esolución:

n.° de triángulos formados por: 1 figura simple: 4; 5; 6; 7; 8; 9 2 figuras simples: 15; 27; 39 4 figuras simples: 468a; 579a Todas las figuras simples

(6 )

(3) (2) ( 1)

’

Q 3

b) 4385 e) 4881

4 c)

¿Cuántos triángulos hay en la figura? a) b) c) d) e)

30 90 75 165 225

4951

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

¿Cuántos cuadriláteros hay como máximo en la figura mostrada?

En la figura, ¿cuántos triángulos isósceles existe?

a) b) c) d) e)

72 78 80 82 86

Calcular el número total de cuadrados.

¿Cuántos triángulos se pueden contar en total en la siguiente figura?

a) b) c) d) e)

30 pisos I^ IT T

a) 4150 d) 4305

IT T x l c) 3300

b) 3450 e) 2670

a) b) c) d) e)

11 .

# a) 9131 d) 7159

c) 12 200

¿Cuántos cuadriláteros tiene al menos un as terisco? a) b) c) d) e)

312 231 146 244 253

a) b) c) d) e)

343 242 325 212 198

a) b) c) d) e)

* * * * * * * *

¿Cuántos cubitos como mínimo se deben agregar al sólido mostrado, para obtener un cubo compacto? z= tz

\^ fftm

39 40

165 180 240 225 220

100 1000 2000 1100 1800

12. Calcular el número de triángulos en la figura.

¿Cuántos triángulos hay en total en la siguien te figura? a) b) c) d) e)

e n 98 99 b)-10 000 e) 8021

151 161 171 181 Más de 200

10. Calcule el número total de triángulos existen tes en la siguiente figura:

Si la figura está formada por cuadraditos igua les de 1 cm de lado; ¿cuántos cuadrados cuya área no sea mayor a 9 cm2 se contarán en total?

m 1 2 3

8 10 12 14 9

13.

120 125 128 130 135

¿Cuántos cubitos como mínimo se debe agre gar para obtener un cubo compacto? a) b) c) d)

328 343 315 326

e) 320

F F fr

| C o le c c ió n E l P o s t u l a n t e

14. ¿Cuántos segmentos más que triángulos hay en la siguiente figura?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 a) 488 d) 701

19 20

b) 829 e) 840

c) 486

15. En la figura, ¿cuántos cuadriláteros que no son cuadrados hay en total? a) b) c) d) e)

70 225 170 180 36

I I I I I ------------------

b) 2n e) n(n + 1)

c) n + 2

20. La siguientefigura muestra una ruma de 44 cúbitos de 1 cm de arista. Calcular el máximo número de paralelepípedos de 2 cm3 de volu men. a) b) c) d) e)

79 101 82 93 46

21. Calcular el número total de cuadriláteros.

16. Calcular el número de paralelepípedos que no sean cubos. a) b) c) d) e)

a 2n + 2 d) 3n + 1

800 810 820 830 840

a) b) c) d) e)

343 312 323 400 512

20 19 18 17

22. Hallar el número total de triángulos.

17. ¿Cuántos triángulos se pueden contar, en to tal en la siguiente figura?

a) 24 b) 26 c) 22 d) 23 e) 25 23. Hallar el número total de triángulos.

...

1 a) d)

13 420 15 546

60 61

b) 21 300 e) 14 460

c) 14 760

a) b) c) d) e)

22 23 24 25 26

24. Calcule el número total de triángulos, 18. Calcule el máximo número de cuadriláteros en la siguiente figura:

1 2 a) d) 19.

716 389

3 b) 615 e) 131

...

44 c) 431

Se tiene untablero dividido en n + 1 columnas y n filas, todos ellos del mismo ancho, si en dicho tablero se dibuja una de las diagonales principales, ¿a cuántos casilleros cortará di cha diagonal?

a) d)

24 23 1. 2. 3. 4. 5.

c d c e d

b) 26 e) 27 6. 7. 8. 9. 10.

e c e b e

11. 12. 13. 14. 15.

c) 25

b c a b c

16. 17. 18. 19. 20.

b c d b a

21. 22. 23. 24.

c a c b

RAZONAMIENTO LÓGICO 4.

EJER CICIOS RESUELTOS

Construyendo tu árbol genealógico: ¿cuántos bisabuelos tuvieron tus bisabuelos?

En un almuerzo estaban presentes: padre, madre, tío, tía, hermano, hermana, sobrino, sobrina y dos primos. ¿Cuál es el menor nú mero de personas presentes? R esolución:

R esolución:

Haciendo un esquema:

Cualquier persona tendrá: 2 padres < > 4 < >

hermanos

1 A b u e lo s

B isa bu elos

Tata ra b ue lo s

de padre a hija

de madre a hijo

Tus bisabuelos son 8, pero cada uno de ellos tuvo 8 bisabuelos, luego los bisabuelos de tus bisabuelos serán: 8 x 8 = 64 En una familia están presentes 2 abuelos, 2 abuelas, 3 padres, 3 madres, 3 hijos, 3 hijas, 2 suegras, 2 suegros, 1 yerno, 1 nuera, 2 her manos y 2 hermanas. ¿Cuántas personas se encuentran presentes como mínimo?

primos

4 personas. Se tiene una urna con bolas de billar, en don de hay 14 rojas, 15 negras, 5 azules y 11 ver des. ¿Cuántas bolas como mínimo se tendrá que extraer al azar para tener con certeza una de color azul?

R esolución:

abuelas abuelos

Resolución:

1,° Identificar todas las bolas de billar:

XÉ esP°sos y R hijos 43 /

/ 14R

15N

11V

- Urna

10 personas 2.° Suponer el peor de los casos: ¿Quién será el nieto de la madre del único nieto del bisabuelo de la única bisnieta de Dionisio? Resolución:

Empezando por la parte última (tipo cangrejo), colocando frases equivalentes (pero simplifi cando). nieto

de la

madre Nuera o hija de Dionisio

del

del bisabuelo de la única bisnieta de Dionisio Dionisio

Bisabuelo Inicio

Bisnieto de Dionisio

^ 5A

15N

11V

Extraídas: 15N + 14R + 11V + 1A¿= 41 (necesariamente azulf-

n.° total de bolas extraídas = 41

único nieto Nieto de Dionisio

14R

Tres amigos tienen cada uno un animal dife rente, se sabe que: I.

El perro y el gato peleaban.

II. Edy le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario. III. Julio le dice a Luis que su hijo es veterinario.

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

IV. Julio le dice al dueño de! gato que este quiso comerse al canario. ¿Qué animal tiene Luis?

Observamos que Lucía no estudia Arquitec tura, porque no vive en Tacna; por lo tanto, estudia Derecho. Si

R esolución:

“Edy le dice al dueño del gato que el otro ami go tiene un canario".

María

Perro Julio

Luis

Gato

Canario

Entonces, Julio no es dueño del gato, y por el dato anterior no es dueño del perro; entonces, es dueño del canario. Perro Edy Julio

Luis

Gato

Canario

V X

Finalmente, Luis es dueño del gato. 7.

Irene

María, Lucía e Irene viven en tres ciudades diferentes: Lima, Cusco y Tacna, además es tudian una carrera distinta: Educación, Dere cho y Arquitectura, no necesariamente en ese orden. Se sabe que: I. María no vive en Cusco II. Lucía no vive en Tacna III. La que vive en Cusco no estudia Derecho IV. Quien vive en Tacna estudió Arquitectura V. Lucía no estudia Educación ¿Dónde vive Irene y qué estudia?

{S i

X X

Arquit.

,No Derec.

Educ.

x —

Observamos que Lucía no vive en Cusco porque estudia Derecho; por lo tanto, vive en Lima. Luego: Irene vive en el Cusco y estudia Educación. 8.

“Julio le dice al dueño del gato que este quiso comerce al canario”.

Lucía

De aquí deducimos que Edy no es dueño del gato ni del canario; es decir, que es dueño del perro, lo cual elimina como dueños de este animal a Julio y Luis.

Edy

Sil

Lima Cusco Tacna

Edy, Pedro y Franklin tienen dos ocupaciones cada uno: chofer, contrabandista, pintor, jardi nero, barbero y músico, además: I.

El chofer ofendió al músico, riéndose de su cabello largo. II. El músico y el jardinero salían a pasear con Edy. III. El pintor compró al contrabandista un reloj de Suiza. IV. El chofer cortejaba a la hermana del pin tor. V. Pedro debía S500 al jardinero. VI. Franklin ganó al pintor y a Pedro en el jue go de cartas. ¿Qué ocupaciones tenía Franklin? R esolución:

Del enunciado: cada persona tiene 2 ocupa ciones de las 6 que se han dado (3 parejas). De la premisa (VI) Franklin ni Pedro es pintor, entonces Edy es pintor. De (III) y (IV): el pintor no forma pareja con el contrabandista ni con el chofer, por lo tan to, Edy no puede tener ninguna de estas dos ocupaciones. Además de (II) Edy no es músi co ni jardinero, entonces Edy es barbero. hio

Resolución: Chof. Contr. Pintor Jardi. Barber. Músic.

De I, II, III, IV, V. Si

Si [ .......

Lima Cusco Tacna María Lucía Irene

| Si Arquit.

Edy

No Derec.

Educ.

Sí

Pedro

Franklin

x—

De (!) y (II): el músico no forma pareja con el chofer ni con el jardinero, entonces no queda

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

a) 10 d) 13

otra salida que formar pareja con el contra bandista, esto implica que la tercera pareja es chofer y jardinero.

b) 11 e) 14

c) 32

¿Cuántos palitos de fósforo, como mínimo, se tendrá que mover para que la siguiente igual dad resulte verdadera?

Además de (V), Pedro no es jardinero, enton ces es músico y contrabandista, y Franklin es chofer y jardinero.

Chof. Contr. Pintor Jardi. Barber. Músic. Edy

Pedro

Franklin

a) 3 d) 5

T'l

Necesitamos cercar un campo de forma trian gular, de modo que en cada lado aparezcan 9 postes y haya un poste en cada esquina ¿Cuántos postes son necesarios? a) 27 d) 30

b) 24 e) 28

Dar como respuesta la suma de todos los re sultados a) 142 d) 148

b) 147 e) 150

a) 15 d) 11

c) 20

Dentro de una urna depositamos 6 esferas blancas, 8 negras, 12 rojas y 5 amarillas. ¿Cuántas esferas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber obtenido: I. Un par de uno de los colores II. Cinco esferas rojas III. Dos negras y 3 amarillas IV. Dos blancas y cuatro rojas V. Por lo menos una de cada color.

c) 146

Se tienen tres cajas; en una hay 6 esferas blancas, 6 rojas y 6 negras; en otra caja hay 6 conos blancos, 6 rojos y 6 negros, y en la tercera caja hay 6 cubos blancos, 6 rojos y 6 negros. ¿Cuál es el menor número de objetos que se debe extraer de las 3 cajas, para tener la certeza de haber extraído necesariamente entre ellas un par de esferas, un par de conos y un par de cubos, todos del mismo color?

c) 1

Si al producto de 4 números enteros posi tivos consecutivos le agregamos la unidad, siempre termina siendo un cuadrado perfecto cuya raíz cuadrada es 9701. Dar como res puesta la suma de las cifras del mayor de los números?

Rpta.: Franklin es chofer y jardinero.

[T jE R C IC IO S PROPUESTOS

b) 2 e) 4

c) 13

De las siguientes proposiciones: • Alejandra es más veloz que Pedro. Elia no es más veloz que Alejandra. Es falso que Alejandra sea más veloz que Lalo. Podemos concluir como verdadera: I. Elia es más veloz que Lalo. II. Pedro es más veloz que Elia. III. Lalo es más veloz que Pedro. a) Solo I d) I y III

b) 16 e) 12

b) Solo II e) II y III

c) Solo I

Cinco personas: A, B, C, D y E trabajan en un edificio de 6 pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que: • A trabaja en un piso adyacente al que tra bajan B y C. D trabaja en el quinto piso. • Adyacente y debajo de B hay un piso vacío. ¿Quiénes trabajan en el cuarto y sexto piso, efectivamente? a) B - C d) C - E

b) C - A e) A - B

c) E - C

Un edificio tiene 6 pisos. Las empresas: Alfa, Beta, Teta, Gamma, Delta y Omega ocupan cada uno un piso.

| C o le c c ió n E l P o s t u la n t e

•

Teta y Alfa están en pisos adyacentes.

•

Gamma vive dos pisos más arriba que Beta, y este dos pisos más arriba que Alfa. Omega está en el quinto piso.

Se I. II. III.

puede concluir como verdadera: Teta puede estar en el Gamma no está en el sexto piso. Omega vive más arriba que Delta.

a) I y II d) Solo I 9.

b) I y III e) Todas

Ely fuma puros. El que juega sapo tiene el loro. Lucas no tiene el canario. El que fuma Marlboro juega ajedrez. • Alejandro juega dominó. Jaime no juega ajedrez. primer o tercer piso. El que juega damas fuma Nevado. Uno de ellos tiene un gallo. ¿Quién fuma Fortuna?

c)IIy III

Seis amigos A, B, C, D, E y F se sientan alre dedor de una mesa circular simétricamente. SI se sabe que: • •

A se sienta frente a B. C está junto y a la Izquierda de A. D no está frente a C ni a E.

¿Cuáles son verdaderas? I. D está frente a F II. E está junto a B III. B está entre D y E. a) Solo I d) II y III

b) Solo II e) Todas

b) Edy e) Ninguno

c) Lucas

12. Katy es más alta que Alexandra y más gorda que Xímena. Ximena es más alta que Katiuska y más flaca que Alexandra. Si Katiuska es más baja que Katy y más gorda que Alexandra. ¿Quién es más alta y más flaca que Katiuska? a) Katy c) Alexandra e) Ninguna

b) Ximena d) Katy y Ximena

13. Cinco amigos: A, B, C, D, y E, se sientan alre dedor de una mesa circular. Si se sabe que: c) I y II

10. Tres amigas: Gloria, Giovanna yAna, viven en diferentes lugares; San Martín, San Germán y los Cipreses y estudian una profesión diferen te. Sabiendo que: Gloria vive en San Martín; Giovanna no vive en los Cipreses. La que vive en San Germán no estudia se cretariado. La que estudia en San Martín no estudia mecanografía. Giovanna no estudia Contabilidad. Se puede concluir: a) b) c) d) e)

a) Alejandro d) Jaime

Gloria estudia Mecanografía. Giovanna estudia Secretariado Ana vive en los Cipreses Gloria vive en los Cipreses Ana vive en San Martín y estudia Contabili dad.

11. Hay 4 amigos, cada uno con una determina da afición a un juego (sapo, ajedrez, dominó y damas) y fuman (puros, Marlboro, Fortuna, Nevado).

• •

A s e sienta junto a B y frente a C. C no es menor que B ni D. El mayor se sienta junto y a la derecha de A. ¿Dónde se sienta D? a) Entre E y C b) Entre B y E c) Junto a C d) A la derecha de B e) A la Izquierda de E. 14. Cincaautomóviles: P, Q, R, S, y T, son compa rados de acuerdo al costo y tiempo de fabrica ción. Si se sabe que: P es menos caro que R y menos moderno que Q. Q es más caro que P y más moderno que T. R es más caro que T y más moderno que S. • S es menos caro que P y más moderno que Q. • T es más caro que Q y más moderno que P. ¿Cuál de los siguientes autos es más caro que P y más moderno que T? a) Solo Q d) Solo R

b )Q y R e) Solo S

c )R y S

15. Sobre una mesa hay tres naipes en hilera. • A la izquierda del rey hay un as. • A la derecha de la jota hay un diamante

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

• A la izquierda del diamante hay uno de trébol. • A la derecha del de corazón hay una jota. ¿Cuál es el naipe del medio? a) Rey de tréboles. c) Jota de diamantes, e) Jota de tréboles.

b) As de tréboles. d) As de diamantes,

16. Seis amigos: A, B, C, D, E y F, se sientan al rededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Luis no está sen tado al lado de Enrique ni de José. Fernando no está al lado ni de Gustavo ni de José. En rique no está al lado de Gustavo ni de Fer nando. Pedro está a la derecha de Enrique. ¿Quién está sentado junto a la derecha de Fernando? a) Pedro d) Gustavo

b) Enrique e) Fernando

c) Luis

17. Cuatro amigos, con una determinada afición al juego: ajedrez, dominó, monopolio y damas; cada uno tiene una mascota: loro, gorrión, perro y sapo; cada uno practica un deporte: natación, atletismo, fútbol y box. Se sabe que: Pablo practica box. El que juega monopolio tiene loro. Lucas no tiene el sapo. • El que practica atletismo juega ajedrez. • Alberto juega dominó. El que practica fútbol tiene el perro. • Javier no juega ajedrez. El que juega damas practica natación. ¿Quién es el dueño del gorrión? a) Alberto d) Javier

b) e)

Pablo Juan

a) Domingo d) Miércoles

a) Martes d) Viernes

b) Miércoles e) Sábado

a) 19 d) 22

b) 20 e) 23

b) e)

Prima Tía

a) 2 d)

b) 4 8e) 10

a) d)

0b) 1 c) 2 3e) Faltan datos

25. De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra LIBERTAD. L I B

E R

T T T T T A A A A A A D D D D D

c) Su hija

20. Siendo el sábado el mañana de ayer, ¿qué día será el ayer de pasado mañana?

c) 6

24. Tres clases de caramelos: limón, fresa y naran ja, han sido envasados en tres latas distintas. Por equivocación las etiquetas han sido colo cadas en latas que no corresponden al tipo de caramelo que contienen. ¿Cuántas latas se de ben abrir como mínimo para saber con seguri dad el tipo de caramelo que contiene cada una?

c) Esposa

c) 21

23. En una caja hay caramelos de 3 sabores dis tintos. ¿Cuántos debe extraer como mínimo para tener la seguridad de haber sacado 2 del mismo sabor?

18. ¿Qué es de un hombre, una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de su madre?

a) Hermana d) Sobrina

c) Jueves

22. Una enfermera da una pastilla cada 24 minu tos a un paciente durante 8 horas. ¿Cuántas pastillas tomará el paciente?

c) Lucas

19. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del hijo de la suegra de mi esposa?

c)Martes

21. ¿Cuál es el día que está antes del domingo en la misma forma que está después del lunes?

a) Su madre b) Su mujer d) Su sobrina e) Su tía

b) Lunes e) Jueves

a) 114 d) 120

en Ld < J

1. 2. 3. 4. 5.

b b c c d

b) 116 e) 108 6. 7. 8. 9. 10.

c d b c c

11. 12. 13. 14. 15.

a b c d e

c) 128

16. 17. 18. 19. 20.

a c c d a

21. 22. 23. 24. 25.

c c b b c

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

e j e r c ic io s

columna y diagonal resulte lo mismo, dé como respuesta la suma de los cuadros sombrea dos.

PROPUESTOS 2 |

Pedro ha cobrado por todos sus días de traba jo S/.960 y Javier S/.480 por el mismo número de días. Si queremos averiguar cuánto gana Pedro por día, ¿cuál de las dos informaciones adicionales es necesario conocer? Pedro gana diariamente el doble de Ja vier. II. Pedro gana por día S/.16 más que Javier.

a) 34 b) 68 c) 42 d ) 140 e) 74

a) b) c) d) e) 2.

I por si sola II por sí sola Ambas juntas, I y II Cada una por sí sola I o II Faltan datos

¿Qué hora es?, para ello es necesario saber: Si el triple de las horas transcurridas es Igual al triple de las horas que faltan transcurrir, il. La razón entre las horas transcurridas y las no transcurridas es 2.

b) II por sí sola d) Cada una por sí sola

a) b) c) d) e) 4.

Entre el verde y el amarillo Entre el verde y el azul Entre el rosado y el amarillo Entre el marrón y el verde No se puede determinar

En la figura mostrada, colocar los números 1; 2; 3;... hasta el 16 de tal manera que cada fila,

b) 5 e )9

a) 7 d) 7.

c)8

En la siguiente figura escriba un número de 7 clfras(una cifra en cada casilla) de tal mane ra que la cifra de la casilla 0 exprese cuántos ceros tiene el número: la cifra de la casilla 1, exprese cuántos unos tiene el número y así sucesivamente hasta la casilla 6 que dirá cuántos seis tiene el número. ¿Cuál es el nú mero? Dar como respuesta la suma de cifras? 0

Se tienen 5 equipos y cada uno tiene un nú mero diferente de integrantes y además se sabe que: El equipo azul tiene 4 Integrantes más que el rosado. El equipo verde tiene 2 integrantes más que el rosado. El equipo amarillo tiene 1 Integrante me nos que el verde. • El equipo marrón tiene 3 integrantes me nos que el verde. Si se integra otro equipo dentro de los an teriores, ¿entre qué equipo se ubicaría si lo ordenamos de mayor a menor de acuerdo al número de sus Integrantes?

¿Cuántos triángulos equiláteros se pueden formar, como máximo, con 9 palitos de fósforo de Igual longitud de tamaño? a) 6 d )7

a) I por sí sola c) I y II juntas e) Faltan datos

------------------------------------------------------__________________

b) 6 4e)

c) 5 8

Cuatro marcianos acusados de haber ocasio nado disturbios en la sociedad humana son entrevistados por un agente del FBI y al ser interrogados ellos responden: Mario: Marco participó. Marco: Matías participó. Mateo: Yo no fui. Matías: Marco miente. Además, sabemos que tres marcianos mien ten y el que dice la verdad es inocente. ¿Quién es el único inocente? a) Mario d) Matías

b) Marco c) Mateo e) Faltan datos

Anastasio vive en un edificio de dos pisos, cuyos inquilinos tienen una característica muy especial; los que viven en el primer piso siempre dicen la verdad y los que viven en el segundo piso siempre mienten. Anastasio se encontró en una oportunidad con un vecino y

R a z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

al llegar a su casa le dijo a su madre: “El veci no me ha dicho que vive en el segundo piso”. ¿En qué piso vive Anastasio? a) Primero d) No sesabe 9.

b) Segundo e) Azotea

c) Sótano

En una ciudad del futuro, los humanos siem pre mienten y los marcianos dicen la verdad. Un jupiteriano se encuentra con 3 de estos seres y le pregunta al primero de ellos si es humano. Este responde a la pregunta; el se gundo informa que el primero se negó a ser humano; pero el tercero informa que el prime ro es realmente humano, ¿cuántos humanos se encuentran en esta ciudad del futuro? a) d )4

1 b) e) Ninguno

c) 3

10. Si las balanzas están en equilibrio: \© © /

\Q © /

\© j© /

\Q © /

a)©@ ©

b)©©@

c )© @ ©

d) © © ©

e) © ® ® 11. De tres hermanas: Katy, Jenny y Rosa, se sabe que: La mayor solo lava la ropa de la última, que aún es bebe. Rosa lava su ropa y la de Jenny, que es la que compra el jabón. De las tres, ¿quién es la mayor y quién es la menor? (en ese orden) a) Rosa y Jenny c) Katy y Rosa e) Jenny y Katy

De la casa de Bety a la de Sara se bajan tres pisos. María vive en el segundo piso. La sexta persona se llama Karina. ¿Quiénes viven en el primer y último piso, res pectivamente? a) Nilda, Bety c) Nilda, Paola e) María, Nilda

b) Sara, Karina d) Paola, Karina

13. En la figura mostrada, se deben llenar las ca sillas restantes, colocando una de las letras P, Q, R, S o T en cada casilla, de tal modo que ninguna fila, columna o diagonal contenga la misma letra más de una vez. ¿Qué letra debe colocarse en la casilla sombreada? a) b) c) d) e)

P Q R S T

entonces la balanza se equilibra con: \© @ © /

b) Rosa y Katy d) Jenny y Rosa

12. En un edificio de seis pisos viven seis perso nas, cada uno en un piso diferente, si: Bety vive en la casa adyacente a la de Paola y Nilda.

14. Alexandra se encuentra al este de Ana. Sonla se encuentra al oeste de Jacky, ¿Qué Infor mación falta para saber que Sonia está al oes te de todos? a) b) c) d) e)

Ana está al oeste de Alexandra. Jacky se encuentra al este de Alexandra. Jacky se encuentra al este de Ana. Sonia está al oeste de Alexandra. Jacky está al oeste de Ana.

15. En una oficina, en varios momentos durante el día, un jefe le da a su secretaria una car ta para ser mecanografiada, colocando cada nueva carta encima de las que haya en la casilla de trabajo pendiente. Tan pronto pue da, la secretaria saca la carta de encima y la mecanografía. Si hubo cinco cartas en total y el jefe las entregó en el orden 1; 2; 3; 4; 5; ¿cuál de las siguientes no podría ser el orden en que la secretaria las mecanografío? a) 1; 2; 3; 4: 5 c) 3; 2; 4; 1; 5 e) 5; 4; 3; 2; 1

b ) 2 :4 ;3 ;5 ;1 d ) 4 ;5 ;2 ;3 ;1

16. Luis dispone de pesas de 1; 2; 4; 8 ... kilogra mos cada uno. Si se quiere equilibrar un peso

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

de 341 kg utilizando el número mínimo de pe sas posibles. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Luis debe utilizar 4 pesas en total. II. Luis utiliza la pesa de 9 kg. III. La pesa de 4 kg es parte de la solución. a) Solo III d) II y III

b) I y II e) Solo II

b) 23 e) 12

c) 6

18. César no vive junto a Juan; Adrián no vive jun to a Víctor y Víctor no vive junto a César. Si los cuatro viven en la misma calle en casas dife rentes, ubicados uno a continuación del otro y en la misma acera, ¿quiénes viven en la casa del centro? a) Adrián y Juan c) Juan y Víctor ' e) Adrián y César

b) Adrián y Víctor d) Juan y César

19. Existe la opinión de que una mesa de 3 patas nunca se balancea, incluso aunque las patas sean de longitud diferente. ¿En su opinión que es más estable; una mesa de 3 patas o una de 4 patas? a) 3 patas b) 4 patas d) No se puede precisar

c) Iguales e) N. A.

20. ¿Cuántos palitos de fósforo se deben sacar como mínimo para que queden dos cuadra dos donde uno de ellos sea exactamente Igual al otro? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

•

c) Solo I

17. En algunas cajas tenemos huevos rosados, en las otras hay huevos blancos, si lo único que sabemos es que en cada caja está numerada la cantidad de huevos, en la primera hay 5, en la otra 6; 12; 14; 23 y 29 en cada caja respec tiva tomando una caja cualesquiera podemos decir que queda el doble de huevos rosados que los blancos. ¿A qué caja nos referimos? a) 29 d) 14

•

Solo O y P participan en la primera confe rencia. R y otras tres participan en la segunda conferencia. Solamente N participa en la tercera confe rencia. Más personas participan en la cuarta que en la quinta conferencia.

¿Cuál de las siguientes deben ser verdade ras? a) N y Q participan en la segunda conferencia. b) N y R participan en la quinta conferencia. c) Exactamente cuatro personas participan en la cuarta conferencia. d) Q no participa en la conferencia. e) Exactamente cinco personas participan en la quinta conferencia. 22. Se tienen 19 pesas distinta de 1 g; 2 g; 3 g ; ...; n g. Nueve son de acero, nueve son de bron ce y una es de oro. Se sabe que el peso total de las pesas de acero es 90 g superior al peso total de las pesas de bronce. Hallar el peso de la pesa de oro. a) 19 d) 12

b) 17 e) 10

c) 14

23. La matrícula de un automóvil está formado por cinco cifras, todas diferentes. Al Instalarla, el mecánico se equivocó, poniendo la cabeza abajo. Posteriormente al recoger el dueño del vehículo se dio cuenta que el número obteni do era mayor que el original en 78 633. ¿Cuál es el número de la matrícula? Dar como res puesta la suma de cifras a) 23 d) 26

b) 20 e) 16

c) 24

24. SI el ayer del pasado mañana del ayer del an teayer de mañana es viernes, ¿qué día será el mañana del ayer del anteayer del mañana del anteayer del pasado mañana del mañana de hace dos días?

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

a) Lunes d) Miércoles

b) Jueves e) Viernes

c) Martes

25. Se tienen 12 palitos de fósforo, ¿cuántos cua drados, como máximo se pueden formar con dichos palitos, si estos no se pueden romper y además el lado del cuadrado debe ser igual a la longitud de un palito? a) 3 d) 5

b) 4 e) 6

c) 7

26, Se tiene una balanza de 2 platillos y suficiente pesas de 5 g; 20 g y 100 g. ¿Cuál sería la menor y mayor cantidad de pesas a usar para pesar 3/4 de kilo de naranjas, si todo debe ha cerse en una pesada? Dé como respuesta la suma de ambos resultados. a ) 111 d) 161

b) 113 e) 185

29. En una reunión se encuentran 1 abuelo, 1 abuela, 2 padres, 2 madres, 1 nieto, 1 her mano, 2 hermanas, 2 hijos varones, 2 hijas, 1 suegro, 1 suegra y 1 nuera. ¿Cuál es la menor cantidad de personas que satisface la relación? a) 4 d)

b) Mi padre e)Yo

c) 114

a) Padre d)T ío

b) Abuelo e) Sobrino

c) Hijo

c) 6

• •

Ayer me tocó mentir -d ijo el Pegaso. También a mí me tocó mentir -contestó el dinosaurio. ¿En qué día de la semana estaban?

a) Lunes d)Jueves

c) Mi cuñado

28. Si la mamá de Gaby es la hermana de mi her mano gemelo, entonces el abuelo materno del mellizo de Gaby es mi:

b) 5 8 e )7

30. En el mundo de los animales extintos se en cuentran el Pegaso y el dinosaurio. El Pega so miente los lunes y miércoles y el dinosau rio miente los jueves, viernes y sábados. En todas las demás ocasiones ambos animales extintos dicen la verdad. Cierto día ambos animales mantuvieron la siguiente conver sación:

27, Yo solo tengo un hermano, ¿quién es el otro hijo del padre del tío del hijo de la mujer del hijo de mi padre, que no es mi hermano? a) Mi tío d) Mi hijo

U1 Ll > < _l U

1. 2. 3. 4. 5. 6.

b d b b b a

b) Martes e) Sábado 7. 8. 9. 10. 11. 12.

b b a c e b

13. 14. 15. 16. 17. 18.

b e. d a a a

c) Miércoles

19. 20. 21. 22. 23. 24.

a e e e c e

25. 26. 27. 28. 29. 30.

e d e a e d

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

b) I y II e) Solo II

c) Solo I •

b) 23 e) 12

c) 6

b) Adrián y Víctor d) Juan y César

c) Iguales e) N.A.

20. ¿Cuántos palitos de fósforo se deben sacar como mínimo para que queden dos cuadra dos donde uno de ellos sea exactamente igual al otro? a) b) c) d) e)

4 5 6 7 8

21. El administrador de un evento planeó presen tar cinco conferencias, los expositores dispo nibles son M, N, O, P, Q y R; cada expositor debe participar exactamente en tres de las conferencias. Además, se cumple las siguien tes condiciones: Solo O y P participan en la primera confe rencia. R y otras tres participan en la segunda conferencia. Solamente N participa en la tercera confe rencia. Más personas participan en la cuarta que en la quinta conferencia.

b) 17 e) 10

c) 14

23. La matrícula de un automóvil está formado por cinco cifras, todas diferentes. Al instalarla, el mecánico se equivocó, poniendo la cabeza abajo. Posteriormente al recoger el dueño del vehículo se dio cuenta que el número obteni do era mayor que el original en 78 633. ¿Cuál es el número de la matrícula? Dar como res puesta la suma de cifras a) 23 d) 26

b) 20 e) 16

c) 24

24. Si el ayer del pasado mañana del ayer del an teayer de mañana es viernes, ¿qué día será el mañana del ayer del anteayer del mañana del anteayer del pasado mañana del mañana de hace dos días?

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

a) Lunes d) Miércoles

b) Jueves e) Viernes

c) Martes

b) 4 e) 6

c) 7

26. Se tiene una balanza de 2 platillos y suficiente pesas de 5 g; 20 g y 100 g. ¿Cuál sería la menor y mayor cantidad de pesas a usar para pesar 3/4 de kilo de naranjas, si todo debe ha cerse en una pesada? Dé como respuesta la suma de ambos resultados. a) 111 d) 161

b) 113 e) 185

b) Mi padre e) Yo

c) 114

a) Padre d) Tío

b) Abuelo e) Sobrino

c) Hijo

c) 6

•

Ayer me tocó mentir -d ijo el Pegaso. También a mí me tocó mentir -contestó el dinosaurio. ¿En qué día de la semana estaban?

a) Lunes d)Jueves

c) Micuñado

28. Si la mamá de Gaby es la hermana de mi her mano gemelo, entonces el abuelo materno del mellizo de Gaby es mi:

b) 5 e )7

27. Yo solo tengo un hermano, ¿quién es el otro hijo del padre del tío del hijo de la mujer del hijo de mi padre, que no es mi hermano? a) Mi tío d) Mi hijo

tn Ll > < _|

1. 2. 3. 4. 5. 6.

b d b b b a

b) Martes e) Sábado 7. 8. 9. 10. 11. 12.

b b a c e b

13. 14. 15. 16. 17. 18.

b e. d a a a

c) Miércoles

19. 20. 21. 22. 23. 24.

a e e e c e

25. 26. 27. 28. 29. 30.

e d e a e d

COMPARACIÓN DE MAGNITUDES dos o más de ellas. La comparación se hace de la siguiente manera:

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Si dos magnitudes son directamente proporciona les, entonces el cociente entre sus valores numéri cos correspondientes es constante.

1.° Solo se comparan las magnitudes que va rían.

A = k B

2°

Se elige una magnitud cualquiera de ellas y se compara con cada una de las demás. La comparación se hace de dos en dos.

Al momento de comparar dos magnitudes, las demás se deben considerar constantes.

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Si dos magnitudes son inversamente proporciona les, entonces el producto entre sus valores numéri cos correspondientes es constante.

4.°

Cuando dos magnitudes son DP, se cumple que el cociente de sus valores correspondien tes es constante y cuando son IP el producto es constante.

Si A (IP) B =» A x B = k

5.°

Se aplica las propiedades de las magnitudes proporcionales.

S IA (D P ) B

n.° de obreros (DP) n.° de mesas Distancia (DP) tiempo

n.° de obreros

obra

n.° de obreros

IP DP

tiempo

Ejemplo:

dificultad eficiencia

Si una casa puede ser construida por 12 obreros en 40 días, ¿cuántos obreros se requieren para construir 4 casas en 20 días en un terreno doble mente difícil que el anterior?

n.° de obreros n.° de obreros

obra obra

DP IP

obra tiempo tiempo

DP DP IP

dificultad

velocidad

velocidad tiempo

IP DP

tiempo dificultad eficiencia

Resolución:

dificultad

Sea x el número de obreros que se requiere:

eficiencia eficiencia recorrido n.° casas n.° obreros n.° días

tiempo

1 4

recorrido

COMPARACION SIMPLE Directa obreros (DP) obra

A = M B N M

AxN B

a ________ b c ________ n ax b= cx n

c = ^

dificultad 1 2

Elegimos una magnitud arbitrariamente (nú mero de obreros en este caso), para compa rarla con cada uno de las demás.

Al comparar, cada vez, dps magnitudes, nos centramos en estas, asumiendo las demás como constantes, al momento de determinar la relación DP o IP Luego de comparar, tenemos: (n.° de obreros)(n.° de días) _ (n.° de casas)(dificultad) “ constante

COMPARACIÓN COMPUESTA Se presenta una comparación múltiple cuando entre varias magnitudes relacionadas entre sí, varían

40 20

Inversa obreros (IP) días

A -------------B M________ N

12 X

: i

(x)(20) = (12)(40) ^ x = 192 4(2) (1)(1) v ' se requieren 192 obreros.

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

César: k; Marcos: 3k; Pedro: 6k

EJER CICIOS RESUELTOS

ahora comparamos la eficiencia con el núme ro de días: ^ IP ^

Sabemos que A varia DP a B (siendo C cons tante) y que B varía IP a C (siendo A constan te). Además, siA = 6 ;B = 2 y C = 12, ¿cuánto será el valor de B, cuando A = 1 6 y C = 2?

Sea el valor de B igual a x. DP

LAj6

-LCj

• L5J-

-12 -2

16-

Observamos que ya se han comparado la magnitud B con las otras. (2 )(12)

R esolución:

Del enunciado:

: 32

El sueldo de un obrero es proporcional al cuadrado de su edad. Si un obrero que ac tualmente tiene 20 años ha proyectado ganar S/.1200 dentro de 5 años, ¿cuánto gana ac tualmente (en soles)?

el valor de B será 32.

Obtenemos: — 20

R esolución:

Hay un caso real y otro caso supuesto para lo que pensó. Si pensó trabajar x por horas días, entonces: IP i n.° de días i

i h/d i

x x - 3

Como son IP sabemos que el producto de cada pareja de valores es constante. Así: (20)(x) = 40(x - 3) =» x = 6 .-. trabajó : 6 - 3 = 3 h/d 3.

Pedro es el doble de eficiente que Marcos y a su vez este es el triple de eficiente que César. Si entre los tres pueden terminar una obra en 12 días, ¿en cuántos días Marcos junto a Cé sar harían la misma obra? R esolución:

Sea la eficiencia de César igual a K. Veamos primero las eficiencias:

! sueldo |

| (edad)2 ,

x 1200

(20)2 (25)2

Actual: Dentro de 5 años:

Julio pensó hacer un trabajo en 20 días, pero tardó 20 días más por trabajar 3 horas menos cada día. ¿Cuántas horas diarias trabajó?

pensó: caso real:

12 x

Marcos y César harían la obra en 30 días.

Planteando:

¡ tiempo ,

10k 4k

Luego: (4k)(x) = (10k)(12) => x = 30

(x)(2 )

i eficienc. ¡ Los tres juntos: Marcos y César:

R esolución:

•

=> x = 768 (25 f

actualmente su sueldo es 768 soles. 5.

El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante se rompe en 3 pedazos cuyos pe sos son proporcionales a 1; 2 y 3, calcula la pérdida sufrida por el diamante, si dicha joya entera tiene un precio de S/.7200. R esolución:

Sean a, b y c soles los precios de los pedazos de diamante (visto desde arriba) DP

1 kg ----- " 2 kg ------* 3 kg *

i (peso)2.

i precio i

(1)2

a b c 7200

(2)2 (3)2 (6)2

Hemos asumido como peso total del diamante 6 kg para facilitar la distribución en sus partes como 1; 2 y 3.

| C o le c c ió n E l P o s t u la n t e

Luego: a = 200; b = 800; c = 1800 => Total = 2800

AJC B *-

=» — = — = - í - = 7200 = 12 22 32 ~ 62 Se observa que el diamante entero tenía más valor, que en pedazos. Pérdida sufrida: 7200 - 2800 = 4400 soles. 6.

Dos ruedas de 24 y 45 dientes están concate nadas. En el transcurso de 4 minutos una da 70 vueltas más que la otra. Hallar la velocidad menor en rev/min.

Resolución:

P: pensión;

Graficando: (En 4 minutos)

Luego:

24(x + 70) = 45x => x = 80 v menor =

ño - j - = 20 vueltas/min

Por efectos del fenómeno del niño, la tempe ratura promedio en el actual verano es me dia vez más que la del verano anterior (año pasado). Si la producción agrícola es IP al cuadrado de la temperatura, ¿cuál es la pro ducción del presente año, si el año anterior fue de 3600 toneladas? Resolución:

(producción)(temperatura)2 = k (3600)(1)2 = ( x ) ( | f 8.

x = 1600

Si el valor de B disminuye en su 2/5 y su co rrespondiente valor de C disminuye en sus 9/25, ¿en cuánto varia el valor de A, respecto a su valor anterior? R esolución:

Se sabe que:

A DP B2 (cuando C no varía) A IP /C (cuando B no varía)

Dos veteranos de una guerra tienen concebi dos sendas pensiones, que son directamente proporcionales a las raíces cuadradas del nú mero de balazos que recibieron. SI el prime ro recibió 24 balazos más que el segundo y sus pensiones están en la razón de 91 a 65, ¿cuántos balazos recibió el segundo?

pi jN ,

( |B )’

Resolución:

Para dos ruedas concatenadas se cumple: el numero de dientes es inversamente propor cional al número de vueltas, debido a que: a menor número de dientes le corresponde más número de vueltas.

_ 11

{' ~ X )f,Í W '

n: número de balazos

: ‘

91 /)T+~24

65 V5T

, "

10. El precio de una casa es directamente propor cional al área e Inversamente proporcional a la distancia de Lima. SI una casa ubicada a 75 km cuesta S/.45 000, ¿cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el doble y se encuentra a 150 km de distancia? R esolución:

(precio)(distancia) (área) (45 000)(75)

(x)(150)

11. Sabiendo que un buey atado a una cuerda de 3 m de largo tarda 5 días en comerse toda la hierba que se encuentra a su alcance, ¿cuán to tardará si la cuerda fuera de 6 m? R esolución:

El tiempo empleado por el buey, depende de la cantidad de hierba que consuma y ella ló gicamente está condicionada por la superficie del círculo que determina la cuerda.

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o I

DP n.° de días 5 x

ji(32) ti(62)

=> (36n)(5) = 9nx 12.

.\ x = 2 días

La cantidad de granos de maíz que entran en un balón esférico de 3 dm de diámetro es 120. ¿Cuántos granos entrarán en un balón de 6 dm de diámetro? R esolución:

Debemos tomar en cuenta el volumen de una esfera:-— n R 3 DP volumen

120

4 rt/ | ' 3

3 \2

13.

15. Un Ingeniero civil se compromete a hacer una obra que comenzaría el 1 ° de abril y termina ría el 5 de mayo trabajando domingos y feria dos inclusive. El 1 de abril se pone a trabajar a 20 hombres, los cuales trabajan a razón de 6 horas días. Al terminar la jornada del día 14 de abril, el propietario le dice que necesita la obra terminada el día 24 de abril. Entonces a partir del 15 coloca más hombres que trabajan 9 h/d en vez de 6 y logra complacer al propie tario. ¿Cuántos hombres aumentó el ingenie ro a partir del 15 de abril? R esolución:

Suponiendo que un hombre hace k en 1 hora, luego: (6k)(35)(20) = (6k)(14)(20) + (9k)(10) (20 + x)

n.° de granos

27(120) = - ^ x

.-. x = 960

Un albañil pensó hacer un muro en 15 días pero tardó 6 días más por trabajar 2 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó dia riamente? R esolución:

4200 = 1680 + 1800 + 90x

=• 15(x + 2) = 21x 14.

,\ x = 8

16. Una cuadrilla de 12 obreros puede terminar un trabajo en 15 días, trabajando 10 horas días. Al cabo de 7 días de labor se enferman 5 de los obreros, y 3 días más tarde, se comunica al contratista para que entregue el trabajo en la fecha fijada previamente. ¿Cuántos obreros adicionales tendrá que tomar para cumplir con tal exigencia? R esolución:

Sea k el trabajo hecho por una persona en un día, luego:

IP n.° de días 15 15 + 6

Trabajo total: (15)(12k) n.° de horas x + 2 x x= 5

SI 7 monos comen 7 plátanos en 7 minutos, ¿cuánto tiempo se demorarán 2 monos en co merse 2 plátanos?

(7)(12k)

(3)(7k)

5(7 + x)(k)

7 días

3 días

5 días

se enferman 5

se aumentan x

Del gráfico: (15)(12k) = (7)(12k) + (3)(7k) + (5)(7 + x)k 180 = 84 + 21 + 35 + 5x

x= 8

R esolución:

••• x = (7) ( | ) ( f ) = 7minutos

17. SI 30 obreros excavan qna zanja de 6 m de largo, 5 m de ancho y 2 m de profundidad, con un rendimiento tal como 5, una actividad tal como 2 y en un terreno de resistencia a la cava tal como 5; ¿cuántos obreros se necesi tarán para hacer una zanja del mismo ancho, doble de largo y de mitad de profundidad, con

| C o l e c c ió n

Po s t u la n te

un rendimiento tal como 3, una actividad tal como 4 y en un terreno de resistencia a la cava como 2? R esolución:

obreros 30 x

a) 12 d) 16 6.

vol. 6x5x2 12x5x1

■■■ * = | 30>( f ) ( ! ) ( f ) ‘

misma zanja en 12 días?

rend. 5 3

act. 2 4

res. 5 2

j e r c ic io s p r o p u e s t o s

Si el tiempo que demora un planeta en dar la vuelta al Sol es DP al cubo de su distancia al Sol e IP al peso del planeta; ¿cuánto tiempo demora un planeta de nueve veces el peso que el de la Tierra en dar la vuelta al Sol, si la distancia que lo separa del Sol es tres veces que el de la tierra? a) 1010 dias d) 945 días

b) 14 días e) 23 días

b) Aumenta en 7/2 d) Aumenta en 2/5

Un soldado con una ametralladora dispara 3 balas por segundo. ¿Cuántas balas serán dis paradas en 1 min, disparando al mismo ritmo? a) 121 d) 359

c) 15 días

A y B son dos magnitudes IP, si A disminuye en 3/5 de su valor, entonces, ¿cómo varía B en su valor? a) Aumenta en 3/2 c) Aumenta en 4/3 e) Aumenta en 9/11

b) 360 e) 131

segunda en S/,0,45 segunda en S/.0,18 primera en S/.0,13 primera en S/,0,20 segunda en S/,0,30

c) 130

Con 12 obreros pueden hacerse 50 m de una zanja en 8 días. ¿Con cuántos obreros doble mente eficientes pueden hacerse 200 m de la

Diez peones se demoran 15 días a 7 h/d de trabajo en sembrar un área de 50 m2. ¿Cuán tos días de 8 h/d se demorarán en sembrar 80 m2, 15 peones doblemente hábiles? a) 7 d) 12

c) 1024 días

Un grupo de 18 obreros han construido en 10 días los 3/5 de un puente, si entonces se reti ran 8 obreros, ¿en cuánto tiempo terminarán lo que falta los obreros restantes? a) 17 días d) 12 días

b) 1095 días e) 1125 días

La La La La La

)

7. 1.

c) 13

Una toronja de 8 cm de diámetro se ofrece a S/.0.40, mientras que otra de la misma calidad y de 12 cm de diámetro se ofrece a S/,0,90. ¿Cuál de ellas es más barata, la primera o la segunda? a) b) c) d) e)

b) 20 e) 19

c) 10

Se tienen 600 kg de carne para alimentar 150 hombres durante 15 días. Si se presentan 30 hombres más, ¿en cuántos kilos debe aumen tar la carne para alimentar a todos en 18 días? a) 200 d) 470

b) 15 e) 6

b) 360 e) 264

c) 340

Un hombre decide repartir una herencia en for ma proporcional al orden en que nacieron. La herencia total es S/.520 000, sabiendo que el penúltimo hijo recibe S/.140 000, ¿cuál es el ma yor número de hijos que tiene este personaje? a) 3 d) 5

b) 4 e )7

c) 2

10. La rapidez de A es igual a 4 veces la rapidez de B y a su vez este es 2 veces la rapidez de C. Si A hace un trabajo en 9 minutos y 5 segundos, ¿en cuánto tiempo hará C dicho trabajo? a) 1h 28 min d) 37 min

b) 58 min e) 1 h 21 min

c)1 h 1 4 m in

11.. Si una vara de 2,15 m de longitud da una som bra de 6,45 m, ¿cuáí será la altura de una torre cuya sombra, a la misma hora, es de 51 m? a) 14 d) 69

b) 23 e) 17

c) 153

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

12. Si 8 hombres han cavado en 20 días una zan ja de 50 m de largo, 4 m de ancho y 2 m de profundidad, ¿en cuánto tiempo hubieran ca vado la zanja 6 hombres menos? a) 48 días d) 52 días

b) 80 días e) 56 días

c) 31 días

13. Trece obreros trabajando durante 21 días pue den construir 180 m2 de pared. ¿Cuántos días tardarían 12 obreros dos veces más eficiente que los anteriores para construir 600 m2 de pared? a) 18 d) 29

b)28 e)25

c) 14

14. Dos personas A y B pueden hacer una obra en 12 días; B y C en 15 días; A y C en 20 días. Empiezan la obra los tres juntos, luego de 2 días se retira C, 6 días más tarde se retira B y A solo termina lo que falta. ¿En qué tiempo se hizo toda la obra? a) 12 días e) 21 días

b) 17 días d) 10 días

c) 16 días

15. Doce obreros inicialmente pensaban hacer una obra en n días. Si después de haber hecho la mitad de ia obra, 8 de los obreros aumentaron su rendimiento en un 25%, con io cual el tiem po total de trabajo fue de 13 días. Hallar n. a) 18 d) 26

b)23 e)19

c) 14

16. Una guarnición de 1600 hombres tiene víve res para 10 días a razón de 3 raciones dia rias cada hombre, Si se refuerzan con 400 hombres, ¿cuántos días durarán los víveres si cada hombre toma 2 raciones dianas? a) 10 d) 12

b)14 e)26

c) 21

17. Un hombre, una mujer y 3 niños pueden hacer un trabajo en 65 días. Si se hubiera empezado

con 2 mujeres y 2 niños más, ¿cuánto tiempo se habría ahorrado en terminar dicho trabajo, sabiendo que la eficiencia de una mujer es a la eficiencia del hombre como 7 es a 10 y la eficiencia de la mujer es a la de un niño como 5 es a 3? a) 18 días d) 28 días

b) 13 días e) 25 días

c) 20 días

18. Un tramo de carretera puede ser asfaltada con 4 máquinas que trabajan 10 h/d en 30 días. Al final del 6.° día una de ellas se malo gra durante x días. Hallar el valor de x si des de el 7.° día las otras 3 máquinas trabajan a 12 h/d y cuando se repara la malograda, esta solo puede trabajar 8 h/d, acabándose la obra en el plazo establecido. a) 10 d) 12

b) 21 e) 28

c) 13

19. Dos personas hacen un trabajo en 18 y 24 días. El primero aumenta su rendimiento en 10% y el segundo en 20%, si en estas condi ciones trabajan juntos, ¿en cuántos días ha rían el trabajo? a) 13 d)

b) 9 6 e)

c) 16 10

20. Quince obreros han hecho la mitad de una obra en 20 días. Si se retiran 5 obreros, ¿en cuántos días los restantes harán lo que falta de la obra? a) 30 d) 32 1. 2. 3. 4.

b) 25 e) 60 b d a a

5. 6. 7. 8.

d a a e

9. 10. 11. 12.

c) 16

a c e b

13. 14. 15. 16.

e b c d

17. 18. 19. 20.

d d b a

PORCENTAJES Tres descuentos sucesivos de 10%; 20% y 30% equivalen a un descuento único de:

TANTO POR CIENTO (%) Su representación : % < >

100

Du = 100% - ( J ^ \ / - ^ ° - ) 7 0 % =49,6% 1100 A 100/

Expresión matemática: x por ciento de N = x%N =

(N)

Dos aumentos sucesivos del 35% y 20% equivalen a un aumento único de:

Ejemplo: Hallar el 25% de S/.44.

A u = ( t ! ) 120% “ 10 0% =6 2%

Resolución:

100

Tres aumentos sucesivos del 20%; 30% y 10% equivalen a un aumento único de:

x 44 = S/.11

Conversión de tanto por ciento a fracción o de cimal 10% = i g . = 0,1; 100

25% =

100% = M = 1; 100

500% =

100

= 0,25

100

7 = 7(100%) = 700%

O peraciones con porcentajes 75% - 30% = 45%;

Au = (7^ ( 77^ 110% - 100% = 71,6% V100 /l 100 / APLICACIÓN COMERCIAL Pv: precio venta; G: ganancia

= 5

Conversión de fracción o decimal a tanto por ciento 2 0,35 = — = 35%; 0,0 2 = = 2% 100 100 4/5 = ^(100% ) = 80%; 5

AUMENTOS SUCESIVOS

x + 60%x = 160%x

5(27%a) = 135%a TANTO POR CUANTO El m por n de x: — x n Ejemplos: El 30 por 90 de 3:

Pe: precio compra; P: pérdida Pv = Pe + G

Transacción comercial cuando hay ganancia

Pv = Pe - P

Cuando hay pérdida

Ejemplo: Se tiene la misma cantidad de naranjas de dos cla ses distintas, que se vende a dos por un sol las de primera y tres por un sol las de segunda. Si se vendieran todas las naranjas a 5 por dos soles, ¿se ganará o perderá y en qué porcentaje? R esolución:

1.a clase

2.a clase

cantidad : x

cantidad: x

vende: 2 por 1 sol

vende: 3 por 1 sol

vendo: x por a

vendo: x por b

El 17 por 24 de qué número es 34: 17, 24

b = -í- soles • 34

DESCUENTOS SUCESIVOS Dos descuentos sucesivos de 20% y 30% equiva len a un descuento único de: Du = 100% - ( ~ ) 7 0 % = 44% \ 100 /

Gasto total: x. + 2L = .§x. => 4 _ 5 / n \ 2 3 " 6 35 5 “ 6 1100 / .-. se pierde 4%

n = 96%

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o ¡

VARIACION PORCENTUAL

EJER CICIOS RESUELTOS

Aum ento en % de lados o alturas 1. a (200 + a)

Área =

100

Si el 24 por 7 del 15% de n por 4800 de 49 es igual al 105% de m%, hallar el m% por n de 400. R esolución:

D ism inución de área. Reduce o disminuye en % el

— )(15%)( —^— 49 = 105%(m%) 7 r \4800

lado, altura o radio.

=> n = 200m% Area =

a (200 - a) 100

Luego: 5 ^ -4 0 0 :

En una reunión hay 10 chinos, 15 gringos y 25 mestizos. ¿Qué porcentaje representan los chinos respecto de los mestizos?

Aum ento y dism inución a la vez

Variación =

100(a - b) + ab 100

R esolución:

25 Ejemplos: 1.

Si la base de un rectángulo se incrementa en un 30% y la altura disminuye en un 40%, ¿en cuánto disminuirá el área?

100(a - b) + ab 100

Rosita había gastado en el mercado de los S/.35.00 que le dio su mamá, el 75% de lo que no gastó. ¿Cuánto gastó? Resolución:

% Por condición: x =

Dato: a = +30%; b = -40% Variación =

| = 40% 5

Gastó: x No gastó: 35 - x

Resolución:

Variación =

m% ■400 = 2 200m%

100(30 - 40) + (3 0 )(- 40) 100

Variación = -22 %

(35 - x) = S/.15

Tú tienes 25% menos de lo que tengo. Si tu vieras 20% más de lo que tengo y tú tuvieras 20% menos de lo que tienes, lo que tú ten drías sería 12 soles menos de lo que yo ten dría. ¿Cuánto tengo? R esolución:

disminuirá en un 22% ¿En qué porcentaje disminuye el área de un circulo, si se disminuye en 40% su radio?

Tu:

cantidad real

cantidad supuesta

100

80 I[_75_, tx ! 10011100'

R esolución:

Área disminuye =

a(200 - a) 100

120

Yo:

100

% Por condición:

Área disminuye =

4 0 (2 0 0 -4 0 ) 100

Área disminuye = 64%

% = 64%

6. 5

100

- -rQ rl-r^rX l = 12 100110 0

rX = 12 => x = 20 5

.-. tengo 20 soles

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

¿En cuántos décimos es mayor 80% que

yo tendria si recibiera 25% menos. ¿Cuánto tienes?

20%? R esolución:

R esolución:

80% - 20% = 60% = — = 1 100 5

tengo: Y;

Convertimos a décimos:

T - 40%T = Y - 25%Y => 60%T = 75%Y

| = ( | V | \ = A = 6 - L = 6 décimos 5 \5A 2/ 10 10

4T = 5Y => Y = -^T 5

6 décimos 6.

Reemplazando: Y + T = 1500

En un cumpleaños el 80% de los hombres está bailando y el 10% de las mujeres no bai la. Si en total asistieron 340 personas, ¿cuán tos bailan en el momento?

5 9.

R esolución:

+ T — 1800

R esolución:

n.° homb. que bailan = n.° mujeres que bailan 80%H = 90%M =» 8H = 9M

Aumento total:

= |M

n.° de personas que bailaban: PB = 80% H + 90%M = ~ ( 1 8 0 ) + ^ ( 1 6 0 ) PB = 144 + 144

Sea x la cantidad total.

18% £ + 38% £ % = 9%x + 19%x 2 2

...(2)

De (1) y (2): M = 160; H = 180

Aumento total: 28%x 10. Lucio compró un auto en S/.16 200 y lo ven dió ganando el 25% del costo. ¿Cuántos soles más hubiera ganado si lo vendía ganando el 25% del precio de venta?

PB = 288

R esolución:

Ganó: 25%(16 200) =* G = 4050

En una conferencia el 70% de los presentes son varones y el resto damas, en seguida llegan 12 chicos cada uno con tres señoritas, completándose los grupos de damas y varo nes por igual. ¿Cuántas damas habían inicialmente?

Al vender con ganancia: Gv = 25%Pv ...(1) Luego: 75%Pv = 16 200 => ^ P v = 16 200 Pv = 21 600

R esolución:

Varones: V Damas: D

1.er grupo

2.° grupo

70%Pt 30%Pt

12 36

Presentes al inicio: P¡ Luego: 70%P¡ + 12 = 30%P¡ + 36 40%P¡ = 24 =» P, = 60 Finalmente, el total de damas inicialmente: 30% p¡ = ^ ° - X 60 = 18 damas 100 8.

T = 1000

Por error se aumenta 18% de la mitad y 38% sobre la otra mitad, ¿qué porcentaje total se ha aumentado?

H: n.° de hombres; M: n.° de mujeres H + M = 340 ...(1)

-H

tienes: T

Y + T = 1800

Entre tu dinero y el mío tendríamos S/. 1800, pero si hubiera recibido el 40% tendrías lo que

■

...(2)

Reemplazando (2) en (1): Gv = 25% (21 600) = S/.5400 - Ganancia que hubiera tenido: Ganancia = 5400 - 4050 = S/.1350 de más.

11. En una granja, el 30% del número de patos es el 20% del número de pavos. ¿Qué tanto por ciento del 80% del total es el número de patos? R esolución:

Del enunciado tenemos: 30%(n.° de patos) = 20%(n.° de pavos) => 3(n.° de patos) = 2(n.° de pavos)

R a z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

gantes eran mujeres y el 25% de ellas votaron por la lista A que además obtuvo los votos del 50% de los hombres. ¿Qué tanto por ciento de los sufragantes votaron por la lista A?

[ n.° de patos = 2k

n. de patos n. de pavos

I n.° de pavos = 3k

Luego nos piden: n. de patos 80% (total)

x 100% =

R esolución: Como el 48% de los sufragantes eran muje res, asumiremos que el total de sufragantes es 100; entonces:

X 100% = 50%

l(5 k )

12. Tengo el 90% de lo que tenía ayer que era 20 soles más. ¿Qué tanto por ciento de lo que tuve ayer tendría mañana, s¡ hoy perdiese 20 soles más que el 50% de lo que tengo?

n,° de mujeres n.“ de hombres 48 52 Votaron por la lista A:

Sea lo que ayer tenía: 10k Hoy

10k

90%(10k) = 9k

u diferencia: k = 20

Resolución:

El hijo recibió: S/.50 Luego: -i gastó = ^-(no gastó)

R esolución:

Si sumamos: 4k + k = 50 => k = 10 .-. gastó = S/.10

[ "

Sea: 2.“ cilindro 5b =» 4a + 5b = 800 ...(1) 4-40% 4 3b =• 3a - 3b = 60 ...(2)

Resolviendo (1) y (2): a = 100; b = 80 Lo que ahora hay es:

no gastó = 4k ¡gastó = k

13. Dos cilindros contienen un total de 800 galo nes. Se sacan el 25% del contenido del prime ro y 40% del segundo. Si después de sacar, quedan 60 galones más en el primero que en el segundo, ¿cuántos galones hay en cada ci lindro ahora?

14.

26 = 38 personas

15. Al preguntar un padre a su hijo cuánto había gastado de los 50 soles que le dio, el hijo le contestó que gastó el 25% de lo que no gastó. ¿Qué cantidad gastó?

Luego: Si hoy perdiese: 50%(180) + 20 = S/.110 Mañana tendría: 180 - 110 = S/.70 70 Nos piden: -Ltf- x 100% ■ 35% 200

Antes: 4a 4- -25% Ahora: 3a

.-. votaron por la lista A el 38%

Entonces, reemplazando: ayer: S/.200; hoy: S/.180

1 er cilindro

| 50%

1 25%

Resolución:

Ayer

e j e r c ic io s

PROPUESTOS

□

Una señora quiere reducir la cantidad de energía eléctrica que consume su familia. Ha ciendo tres modificaciones sucesivas que le permitan ahorrar respectivamente un 20%, un 25% y un 55% de los costos de la luz, el por centaje total ahorrado es de: a) 33% d) 33,33%

b) 73% e) 33,1/3%

c) 66,66%

En el 1.er cilindro = 3(100) = 300 galones En el 2 ° cilindro = 3(80) = 240 galones

Si Lucía compra una lámpara a C soles y la vende a V soles ganando el 25% sobre el precio de venta. Hallar el porcentaje sobre el precio de compra.

En la UNMSM se han realizado las elecciones para el tercio estudiantil. El 48% de los sufra-

a) 25% d) 22,5%

b) 20% e) 33 1/10%

c) 33 1/3%

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Al vender un objeto en S/.2530 ganó el 15% del 10% del 80% del costo, ¿a cuánto debo vender el objeto para ganar el 20% del 60% del costo? a) S/.2575 d) S/.2578

b) S/.2576 e) S/.2579

b) 22% e) 7%

c) 15%

b) 54 L e) 25 t

c) 32 l

9 es el 15% de: a) 4,5 d) 90 7.

b) 54 e) 135

c) 60

¿Qué porcentaje de 3 1/3 es 5/12? a) 20% d) 12,5%

b) 12% e) 75%

c)15%

¿Qué porcentaje del doble del 60% de un nú mero, es el 30% del 20% de los 2/5 del mismo número? a) 2% d) 24%

b) 10% e) 15%

c) 20%

Si el perímetro de una región circular aumen ta en 20%, ¿en qué porcentaje aumenta su área? a) 30% d) 44%

b) 32% e) 20%

a) 20% d) 40%

12 .

c) 48%

10. Al vender un objeto en S/.2530 ganó el 15% del 10% del 80% del costo, ¿a cuánto debo vender el objeto para ganar el 20% del 25% del 60% del costo?

b) 600 e) 400

c) 350

En la familia Rojas el 30% de los varones adultos es igual al 60% de las damas adul tas, y el 15% de ellas es igual al 20% de los niños, ¿qué porcentaje del total representan los niños? b) 15% e) 25%

c) 30%

¿En qué porcentaje aumenta el área de un triángulo equilátero, si se aumenta su altura en 20%? a) 80% d) 40%

De un recipiente se extrae el 500% de lo que no se extrae, y luego se devuelve el 25% de lo que no se devuelve. Se observa que el vo lumen ha disminuido en 36. Hallar el volumen inicial. a) 20 l d) 50 L

11 .

c) S/.2577

De un grupo de postulantes, se observó que el 30% del total eran hombres, y de estos el 50% postulan a Ingeniería y de las mujeres solo el 10% postula a Ingeniería, ¿qué tanto por ciento postula a ingeniería? a) 16% d) 13%

a) 2500 d) 2575

b) 64% e) 20%

c) 44%

13. En un depósito de forma cónica, el diámetro se aumenta en un 10%, ¿en qué tanto por ciento será necesario disminuir la altura del depósito para que su volumen no varíe? a) 2M %

b) 1

d) 100%

e) 50%

2000 % 121

14. ¿Cuál debe ser el peso de la mezcla final, si a 620 gramos de agua que contiene el 7% de sal, se le añade agua pura para reducir la pro porción de sal a 2,5%? a) 1240 g d) 1159,4 g

b) 1480 g e) 1779,4 g

c)1736 g

15. Doce obreros hacen una obra en 28 días. Si ocho aumentan su rendimiento en un .60% ¿qué tiempo emplearán en hacer la obra? a) 10 días d) 18 días

b) 12 días e) 20 días

c) 15 días

16. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ga nara el 28% de lo que me quedaría, perdería 156 soles, ¿cuánto tengo? a) S/.1000 d) S/.1300

b) S/.1100 e) S/.1500

c) S/.1200

17. Si pierdo el 20% de mi dinero, ¿qué tanto por ciento de lo que me queda debo ganar, para tener 20% más de lo que tenía? a) 50% d) 80%

b) 60% e) 75%

c) 70%

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

18. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ga nara el 15% de lo que me quedaría, perdería S/.195. ¿Cuánto dinero tengo? a) 1955 d) 100

b) 1950 e) 1000

c) 5

19. Al vender un artefacto en 9680 soles estaría ganando el 21%, ¿a cómo debería venderlo si quiero ganar el 24%? a) S/.8000 d) S/.10 000

b) S/.9970 e) S/.11 111

c) S/.9920

20.

Si el lado de un cuadrado aumenta en 20%, en qué porcentaje aumenta su área. a) 44% d) 42% 1. 2. 3. 4.

b c a b

b)40% e)36% 5. 6. 7. 8.

b c d a

9. 10. 11. 12.

d d a c

c) 48%

13. 14. 15. 16.

a c e e

17. 18. 19. 20.

a e c a

FRACCIONES FRACCION (F) Se denomina así a todos los números racionales que cumple las siguientes condiciones:

Fracción irreductible. Su numerador y denomi nador no poseen factores en común (son primos entre sí). Por ejemplo: 3. 7. 4. _ 2 i 5 ’ 2 ’ 9 ’ 101

p _ a — *■ numerador b — ► denominador o

donde:

a, b e Z +

Fracciones homogéneas. Es un conjunto de frac ciones que tiene igual denominador. Por ejemplo:

a# b

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FRACCIÓN Para representar gráficamente a una fracción, con sideremos lo siguiente: n.° de partes ¡guales que se consideran n.° de partes ¡guales en que se dividen la unidad

Unidad. Es la totalidad de una cantidad referencial

3. 5. 1 101 7’ 7’ 7’ 7 Fracciones heterogéneas. Es un conjunto de fracciones que tienen diferente denominador. Por ejemplo: 3. 4. 2. 3. 4_ 5 ’ 9' 8 ’ 6 ’ 10 Fracciones equivalentes. Son aquellas fraccio nes que utilizando términos diferentes expresan una misma parte de la unidad.

Ejemplos: 3 F= ■ 5

a => hpn c _= — ak rc -— — b eq bk 1 5

1 5

3 partes iguales 5 partes ¡guales

2 partes iguales

F= |

7 partes ¡guales

RELACION PARTE TODO Viene a ser la comparación geométrica de una cantidad asumida como parte, respecto a otra can tidad asumida como un todo. Luego: lo que hace de parte lo que hace de todo

F- f PRINCIPALES TIPOS DE FRACCIONES

Fracción generatriz

Fracción propia. Es aquella en la cual el numera dor es menor que el denominador. Al hacer la di visión correspondiente, el resultado es menor que la unidad. F=

a<b

/— exacto F = -jj = n. decimal — periódico puro \ — periódico mixto Casos: I. Decimal exacto

Por ejemplo: 5/9; 3/11; 1/20; 8/14; ... Fracción im propia. Es aquella en la cual el nu merador es mayor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es mayor que la unidad. Fracción reductible. Su numerador y denomina dor poseen factores en común (no son primos en tre sí). Por ejemplo: 3. 20. 100 . 6 6 ’ 18’ 10002’ 10

0,3 =

3 .

2,71

0,37 = ^ - ; 100 II.

765

0,765 =

10’

1000

271 100

Decimai periódico puro 0,1 = - i; 9

0,854 =

0.64 = | ^ ; 99

0,Ó02 = - J 999

999

2,7160 = 2 + 0,7160 = 2 +

7160 9999

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

EJERCICIOS RESUELTOS

84,01 = 8 4 + 0,01 = 84 +

99 En un salón de la academia solo asisten a un examen los 2/3 de los alumnos, y de estos aprueban los 3/7; si los desaprobados son 24, ¿cuántos alumnos hay en dicha aula?

Decimal periódico m ixto

0,21

=■

2 1 -2 90

0,3542 : 0,0105 :

3542 - 35 9900

R esolución:

. 1 0 5 -1 9900

7,381 = 7 + 0,381 = 7 +

381 - 3 990

10,0107 = 20 + 0 ,0 1 0 7 = 10 +

1 0 7 -1 9900

Ejemplos: 1.

Sea x el número de alumnos. 2 Asisten al examen: - x 3 2x Aprueban: 3 Desaprueban

4 /2 x 7\ 3

= 24 (dato)

x = 63

En una reunión se sabe que 2/3 eran varones, de las mujeres: 2/3 eran casadas y 6 solteras. ¿Cuánto representa la tercera parte del total de hombres? .

Cierta tela después de lavada se encoge 1/5 de su longitud y 1/6 de su ancho. ¿Cuántos metros deben Comprarse para que después de lavada se disponga de 96 m2, sabiendo que el ancho original es 80 cm?

Resolución:

R esolución:

Después de lavarla se tendrá:

mujeres

6 | ( 0,8 m)

casadas solteras

n.° de varones: 36 -i

de varones) = 12

Se tiene una fracción equivalente a 8/28, la suma de los términos de dicha fracción es 27. Determinar la diferencia de dichos tér minos. R esolución:

Para trabajar con la fracción equivalente a 8/28, previamente reducimos buscando su fracción canónica. _8 _ _ 2 F _ 2k 28 7 ~ eq 7k Dato: 2k + 7k = 27 => k = 3 Luego, la fracción equivalente es: 21 - 6 = 15

Como: largo x ancho = área =. ( ^ - ) ( | ) ( 0,8) = 96

x = 180 m

Una pelota en cada rebote se eleva 1/5 de la aitura de la cual cayó, si se deja caer de una altura de 14 m, hallar la longitud de la trayec toria descrita por la pelota hasta quedar en reposo. R esolución:

Sea H la altura de donde cae; luego:

| C o l e c c ió n

Po s t u la n te

Calcular:

H + 2[ti + 4 + 4 + J 15 5 5 j

s = - 1 - + - 1 - + - ! _ + . ,.+ _ J _ 1x3 3x5 5x7 n(n + 2)

H + 2 h [1 + -1 + 4 + . . 15 52 5

R esolución:

Suma límite:

Multiplicando por 3 - 1 = 2 a toda la expre sión: 2 2 - 2_ + - 2- + _____ 2S 1x3 3x5 5x7 n(n + 2 )

, ,

1- H + 2h (4

pero H = 24, luego

Recorrido total: -|(24) = 36 A una fracción propia de términos consecuti vos se le añade 2 unidades a cada término. Esta nueva fracción excede en 1/12 a la origi nal. Hallar la fracción original.

S =

R esolución:

Sea —2— la fracción propia de términos conn+ 1 secutlvos. Por condición del problema: n+2 _ n+ 2 (n + 1) + 2 n+ 3 además: n + ^ n+ 3

2S = 1 -

—— n +1

Efectuando: n = 3

1 12

1 n+2

2S =

R esolución:

1 n+2

n+ 1 2 (n + 2)

Sabiendo que perdí 2/3 de lo que no perdí, luego recupero 1/3 de lo que ño recupero y tengo entonces 42 soles. ¿Cuánto me que daría luego de perder 1/6 de lo que no logré recuperar? R esolución:

no perdí X

no recupero recupero

Del esquema: 3x + x = -|y x + y = 42 Resolviendo: x = 6

Sea a/b la fracción propia, de acuerdo al enunciado, tendremos:

SKI a2 + a2 + a2 + (a

1 n

Fracción:

Si a una fracción propia la convertimos en im propia invirtiendo sus términos y sumamos es tas fracciones, resultaría el producto de estas 2 fracciones, más el resultado de la suma del numerador al cubo y el denominador al cubo de esta fracción. Halla el producto de la suma de los términos de la fracción con el producto de estos mismos.

Desarrollando:

1 n+ 2

n+ 1 n+ 2

perdí

+ i n

Si pierdo

= S/.3

Luego, me quedará: 42 - 3 = S/.39

= 1 + a3

b2 = ab(1) + ab(a3 + b3) b2 ab + (ab)(a + b)(a2 - ab + b2) b2 - ab = (ab)(a +b)(a2 + b2 ■ab) + b)(ab) = 1

Pedro hace una obra en 4 h y Luis lo hace en ,12 h, trabajando juntos, en cuánto tiempo lo harán. R esolución: 1

Los dos en 1 h: — + — 4 12 todo lo harán en: 3 h

3+1 12

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

to y por último los 3/5 del nuevo resto, ¿cuán tos litros quedan?

Un caño llena un estanque en 5 h y un desagüe lo desaloja en 6 h. Funcionando jun tos, en cuánto tiempo lo llenarán.

a) 4 d) 10

R esolución:

1 1 1 Los dos en 1 h hacen: — - — = — 5 6 30

todo lo llenarán en 30 h [ " ejer cicio s PROPUESTOS 1 | 1.

c) 14 2/3

b) 440 e) 420

c) 220

b) 30 000 e) 120 000

c) 40 000

Se vende 1/3 de un lote de vasos. Si se quie bran 30 y quedan todavía 5/8 del lote, ¿de cuántos vasos constaba el lote? a) 620 d) 720

b) 13 1/3 e) 15

Una piscina está llena hasta sus 5/6 partes. Si se sacaran 20 000 litros, quedaría llena hasta sus 2/3 partes. ¿Cuántos litros faltan para lle narla? a) 20 000 d) 36 000

c) 7/10

Calcular el valor de un número sabiendo que si a la cuarta parte de sus 2/5 se le agrega los 2/5 de sus 5/8 y se resta los 3/8 de su quinta parte, se obtiene 121. a) 280 d ) 880

b) 1/10 e) 3/10

Sumar a 1/5 los 7/6 de 3/4. SI a este resultado se le multiplica por los 5/3 de 4/5 de 10 obte nemos: a) 14 1/3 d) 13

c) 3/5

SI 1/5 de x es igual a los 2/5 de y, ¿qué parte de (2x + y) es (x - y)? a) 1/5 d) 2/5

b) 3/10 e) 6/5

b) 650 e) 750

c) 670

. Un envase contiene 48 litros de agua. Si se retiran 3/8 del contenido, luego los 2/3 del res

b) 6 . e) 12

c) 8

Se vendieron 1/5 de las entradas para una función de cine, el día de la función se vendió 1/3 de las que quedaban, quedando por ven der 48 entradas. ¿Cuál es la capacidad del cine? a) 72 d) 108

S11/5 de A es los 3/10 de B, ¿qué parte de B es A? a) 1/2 d j 3/2

b) 84 e) 112

c) 90

Un alumno hace 1/3 de su asignatura antes de ir a una fiesta, después de la fiesta hace 3/4 del resto y se va a dormir. ¿Qué parte de la asignatura le queda por hacer? a) 1/2 d) 2/3

b) 1/6 e) 7/12

c) 1/12

10. El sueldo de un profesor se incrementa en 1/5 y luego disminuye en 1/5 de su nuevo valor. ¿Qué sucedió con el sueldo de dicho profesor? a) No varía c) Aumenta en 4/5 e) Aumenta en 1/10

b) Disminuye en 1/5 d) Disminuye en 1/25

11. De un tonel de 1400 L de vino se extrae 1/4 de lo que no se extrae, luego 1/4 de lo que ya se había extraído. ¿Cuánto se extrajo en total? a) 200 L d) 350 L

b) 250 L e) 430 L

c) 280 L

12. Una pelota cae desde una altura de 54 m y en cada rebote se eleva una altura Igual a los 2/3 de la altura de la cual cayó. Hallar el espacio total recorrido por la pelotlta hasta tocar por cuarta vez la superficie. a )1 6 0 m d )1 9 0 m

b) 206 m e )1 8 6 m

c) 208 m

13. Cierta tela después de lavada se encoge 2/5 de su longitud y 1/6 de su ancho. ¿Cuántos metros deben comprarse para que después de lavada se disponga de 66 m2, sabiendo que el ancho original es de 60 cm? a) 160 m d) 210 m

b) 180 m e) 220 m

c) 220 m

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

------------------------------------

14. Se tiene un recipiente de 8 litros, con 5 litros de alcohol y el resto con agua. Se utiliza una cuarta parte de la mezcla y se reemplaza con agua, luego se utiliza la tercera parte y se reemplaza con agua. ¿Cuántos litros de alcohol queda? a) 1,5 d) 3,5

b) 2 e) 3

b) 25/25 e) 23/28

c) 16/23

16. Un alumno resuelve los 3/5 de lo que no re suelve. ¿Qué parte del examen ha resuelto? a) 4/7 d) 3/8

b) 5/8 e) 3/7

c) 4/9

17. La mitad de lo que me queda de gaseosa en la botella, dice ella: “Es igual a la tercera parte de lo que ya me tomé”. “Si tomo (dice luego) la cuarta parte de lo que me queda”, ¿qué frac ción de toda la gaseosa se habrá tomado? a) 3/10 d) 7/10

b) 3/7 e) 1/3

c) 2/3

18. Sabiendo que perdí 2/3 de lo que no perdí lue go recupero 1/3 de lo que no recuerdo y tengo entonces 42 soles. ¿Cuánto me quedaría lue go de perder 1/6 de lo que no logré recuperar? a) 36 soles d) 48 soles

b) 39 soles e) 60 soles

c) 42 soles

19. Jorge gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que le queda. Si su dinero ha dismi nuido en 12 dólares, ¿cuánto tenía al princi pio? a) $108 d) $144

b) $120 e) $54

c) $132

20. Dada la siguiente fracción propia: hallar la suma de valores de x que cumplen dicha condición, sabiendo que es un número entero menor que 7. a) 7 d) 16

b) 12 e) 21 .

a) 320 d) 240

b) 560 e) 244

c) 420

c) 2,5

15. De un total de 40 personas, se sabe que 12 son varones y el resto mujeres. De las muje res la cuarta parte son niñas. Determinar qué parte de las mujeres son adultas. a) 21/28 d) 22/27

21. Los 4/5 de las aves de una granja son palo mas; los 5/6 del resto son pavos y los 8 res tantes son patos. ¿Cuántas aves hay en la granja?

c) 14

22. En una reunión los 2/3 son mujeres y 3/5 de los varones son casados, mientras que los otros 6 son solteros. ¿Cuántas personas hay en la reunión? a) 45 d) 25

b) 36 e) 15

c) 30

23. Un jugador en su primer juego pierde 1/3 de su dinero, vuelve a apostar y pierde los 3/5 de lo que le queda y en una tercera apuesta pierde los 4/7 de lo que aún tenía. ¿Qué frac ción del dinero que tenía originalmente le ha quedado? a) 4/35 d) 13/105

b) 22/35 e) 23/105

c) 4/105

24. Una jugadora en su primer juego gana 1/3 de su dinero, vuelve a apostar y gana los 2/5 de lo que le quedaba y en una tercera apuesta gana 3/7 de lo que le quedó luego del segun do juego. Si se retiró con 320 soles, hallar cuánto ganó. a) 150 d) 220

b) 180 e) 240

c) 200

25. En la mitad del terreno de una hacienda se siembra pasto, en la tercera parte de lo que queda se siembra café y en las tres quintas partes del resto se siembra maíz. ¿Qué parte de la hacienda no sembrada con maíz, queda sin sembrar? a) 1/5 d) 1/6

b) 2/5 e) 2/15

c) 4/5

26. Un fardo de tela está dividido en tres partes ¡guales; si los 4/7 de un extremo y los 2/5 del otro extremo son de color negro y el resto blanco, hallar cuánto mide la parte de color negro, si la parte blanca mide 710 m. a )3 1 0 m d) 350 m

b) 330 m e) 360 m

c) 340 m

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

tardaría 9 días más que el otro. ¿Qué tiempo tardará este otro?

27. Una persona toma 16 metros de una varilla. Luego toma los 2/3 del resto y observa que ambas partes tienen la misma longitud. Hallar la longitud total de la varilla. a) 40 d) 46

b) 42 e) 48

a) 36 días d) 48 días 3.

b) 2/35 e) 6/35

c) 4/25 4.

b) 10 h e) 72 h

tn iit > < i u

1. 2. 3. 4. 5. 6.

d a a b a d

b) 15 h e) 16 h 7. 8. 9. 10. 11. 12.

a c b d d b

13. 14. 15. 16. 17. 18.

c c a d d b

19. 20. 21. 22. 23. 24.

a e d a a c

25. 26. 27. 28. 29. 30.

d c a d b c

Un caño llena un pozo en 3 horas y otro lo vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo se llenará el pozo, si se abre el desagüe una hora después de abrir el caño? a) 3 h d) 5 h

b) 3,5 h e) 6 h

c) 4 h

Dos albañiles pueden construir un muro en 20 días, pero trabajando por separado uno

b) 14 días e) 50 días

12 días, y B días, después días se retira B la parte que c) 36 días

b) 110 h e) 90 h

c ) 120h

A y B hacen una obra en 6 días; B y C, en 4 días y A y C harían la misma obra en 3 días. ¿En cuánto tiempo A haría la obra solo? a) 4 días d) 15 días

c) 18 h

b)5 días e) 12 días

c) 8 días

6. A y B pueden hacer una obra en 20 días; B y C pueden hacer la misma obra en 15 días y A y C la pueden hacer en 12 días. ¿En cuánto tiempo harán la obra A. B y C juntos? a) 10 días d) 18 días 7.

[ " ejer cicios PROPUESTOS 2 I 1.

c) 45 días

Dos grifos A y B llenan juntos un tanque en 30 horas. Si el grifo B fuese de desagüe se tarda ría en llenar el tanque 60 horas. ¿En cuánto tiempo llenará la llave B el tanque estando este vacío? a) 100 h d) 80 h

c )1 2 h

30. Tres hombres hacen un trabajo en 4 horas. Sabiendo que el primero lo haría con 8 horas y el segundo en 12 horas, ¿qué tiempo tarda ría el tercero trabajando solo? a) 14 h d) 17 h

A puede hacer un trabajo en hace el mismo trabajo en 60 de trabajar juntos durante 2 A. ¿En qué tiempo terminará falta? a) 25 días d) 48 días

29. Una cañería llena una piscina en 12 horas y otra cañería la llena en 60 horas. ¿En qué tiempo puede llenarse la piscina, si las dos funcionan simultáneamente? a) 5 h d) 36 h

b) 40 días e) 54 días

c) 44

28. Un jugador pierde en su primer juego 1/3 de su dinero, vuelve .a jugar y pierde los 3/5 de lo que le quedaba y en una tercera apuesta pier de los 4/7 del resto. ¿Qué fracción del dinero que tenía originalmente le ha quedado? a) 1/35 d) 4/35

c) 15 días

Si César es el triple de rápido que Arturo, ¿en qué tiempo harán una obra si trabajan juntos, sabiendo que Arturo hace toda la obra en 6 horas? a) 1 h 20 m d) 1 h 10 m

b) 14 días e) 20 días

b) 1 h 30 m e) 1 h

c) 1 h 45 m

Alfredo en a días puede hacer los m/n de una obra, pero Carlos en n días puede hacer los m/a de la misma obra. Si trabajan juntos, ¿cuántos días demorarán para hacer toda la obra? a) 2m/an d) n/ma

b)an/2m e)am/2n

c) an/m

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Tres equipos de obreros podrían hacer el mis mo trabajo, el 1.° en 8 días, el 2 ° en 10 días y el 3.° en 12 días. Se toma 1/2 del 1.°, 1/3 del 2 ° y los 3/4 del 3.°. ¿En cuántos días quedará terminada las 19/30 partes del trabajo? a) 5 d) 8

b) 4 e) 3,5'

c) 6

10. Tres tuberías A, B y C funcionando juntas, pueden llenar la mitad de un tanque en cuatro horas. Si funcionan solo A y B, pueden llenar todo el estanque en 10 horas; y si funcionan B y C lo llenan en 15 h. ¿En cuántas horas llenará la tercera parte del estanque la tubería B, si funciona sola? a) 12 d) 9 11.

A y B pueden hacer una obra en 2 — días; B y 5 C, en 4 días y A y C, en 3 días. ¿En cuántos días puede hacer A solo la obra? a) 4 d) 9

b) e)

6 3

12 . A puede hacer un trabajo en 10 días; B puede

hacerlo en 5 días y C en 2 días. El primer día trabajo solo A, el segundo día se le une B y el tercer día trabajan los 3. ¿Cuántos días de mora la obra? a) 2

b) 3

d) 3

e) 3

c) 2 3

13. A, B y C pueden hacer un trabajo en 20; 10 y 40 días, respectivamente. El primer día, trabaja A solo; el segundo día se le une B y el tercer día trabajan juntos los 3. ¿Cuántos días se necesitarían para terminar toda la obra? a) 1,75 d) 3,50 14.

b) 2,59 e) 1,60

b) 5 e) 6

c) 2

Lolo puede hacer una obra en 15 días y su enamorada puede hacer la misma obra en 10 días. Lolo empieza a trabajar en la obra y des pués de 5 días se incorpora su enamorada. ¿A los cuántos días de incorporada está con cluida la obra?

c) 3

15. Pepe y Martín pueden terminar una obra en 12 días. Después de haber trabajado juntos 4 días, Pepe cae enfermo y Martín acaba el trabajo en 40 días. Si Pepe hubiera trabajado solo, ¿en cuántos días hubiera hecho la obra? b) 15 e) 16

a) 24 d) 30

c) 40

16. Una cañería llena una piscina en 4 horas y otra la puede dejar vacía en 6 horas. ¿En qué tiempo puede llenarse la piscina si la cañería de desagüe se abre 3 horas después? a) 11 h d) 10 h

c) 6

b) 8 e) 4

a) 2 d) 4

b) 12 h e) 13 h

c) 6 h

17. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días, después de haber trabajado juntos durante 12 días, se retira el ayudante y el albañil termina lo que falta de la obra en 20 días. ¿En cuántos días puede hacer toda la obra el ayudante trabajando solo? a) 50 d) 60

b) 70 e) 45

c) 40

18. Se tiene un depósito de 30 m3 de capacidad con dos grifos: uno de suministro y otro de desagüe de 250 L/h y 125 L/h, respectivamen te, ubicados como muestra la figura. ¿Cuánto tiempo demorará en llenarse el depósito? a) 100 b) 200 c) 150 d ) 130 e) 160

h h h h h

250 L/h

19. El caño A llena el recipiente mostrado en 20 horas estando cerrado B. El desagüe B saca la parte que le corresponde en 30 horas es tando cerrado el caño A. Si se abren los 2 caños a la vez, ¿en qué tiempo se llenará el recipiente? a) b) c) d) e)

30 20 35 28 25

h h h h h

? I

H/4

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

abierto el desagüe, el caño se demora 9 horas en llenarla. Sí llenamos la piscina y cerramos el caño, ¿en cuántas horas se vaciará com pletamente?

20. A puede hacer una obra en 20 días y B lo po dría hacer en 60 días. ¿Si A y B trabajan jun tos, en cuántos días lo podrían terminar? a) 10 d) 18

b) 12 e) 9

c) 15

21. A y Bpueden hacer una obra en 4 días y B solo lo puede haber hecho en 12 días. ¿En cuántos días A trabajando solo podría hacer los 2/3 de la obra? a) 3 d) 6

b) 4 e )9

c) 2

22. Un obrero puede hacer un trabajo en 7 días y otro en 14 días. Si el primero trabaja solo durante un día y luego trabajan juntos hasta terminar la obra, ¿cuánto tiempo han tardado en hacer toda la obra? a) 2 días d) 3 días

b) 7 días e) 4 días

c)5días

23. Estando el desagüe de una piscina cerrado, un caño demora 6 horas en llenarla, y estando

a) 18 d) 15

b) 12 e) 16

c) 20

24. Dos grifos A y B llenan juntos un 20 horas. Sí elgrifo B fuera de desagüe se tardarían en llenar el estanque 60 horas. ¿En cuántas horas llenaría la llave A el estanque estando este vacío? a) 20 d) 35 01 W > < J ü

1. 2. 3. 4. 5.

d a d c c

b) 25 e) 40 6. 7. 8. 9. 10.

a b b b b

11. 12. 13. 14. 15.

c) 30

a c c d b

16. 17. 18. 19. 20.

c d b c c

21. 22. 23. 24.

b c a c J

ANÁLISIS COMBINATORIO FACTORIAL DE UN NÚMERO Factorial de n: n! o |n_

Ejemplos: 1.

n != [n _ = 1 x 2 x 3 x . . . x n n! = [n_ = n(n - 1)(n - 2)... 3 x 2 x 1 Ejemplos: 0! = 1

Bety para ir de su casa a la academia lo hace tomando un solo microbús. SI por su casa pa san 3 líneas de transporte que la llevan a la universidad, ¿de cuántas maneras diferentes, según el microbús que tome, llegará Bety a la universidad? Se sabe que la línea A tiene 3 microbuses, la línea B tiene 5 microbuses y la línea C tiene 8 microbuses.

1! = 1

Resolución:

2! = 2 x 1 = 2 31=3x2x1=6 41=4x3x2x1=24 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 1 2 0 61=6x5x4x3x2x1=720

Nos damos cuenta que Bety para llegar a la universidad le basta tomar un microbús no im portando de cual de las 3 líneas sean, por lo tanto. Línea A o Línea B o Línea C n.° de maneras de llegar:

c Y la ta /:................... ......... ......... ...........

| j i \

• Si: x! = n! => x = n • Si: x! = 1 => x = 1 v x = 0 • n! = n(n - 1)1 16! = 16 x 15! 48! = 48 x 47 x 46!

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO En lo que respecta a técnicas de conteo, tenemos dos principios Importantes: El p rincip io de adición (o). SI un evento o suceso A ocurre de n maneras y otro B ocurre de m ma neras; luego: n.° de maneras en que puede ocurrir el evento A o el evento B es: n + m Un suceso o evento ocurre de una forma o de otra, más no de ambas formas a la vez (no sucede en simultáneo).

Los alumnos de un colegio se comprometen a pintarlo por motivo de su aniversario. El primer piso lo harían los alumnos de un aula del 3.er año, el segundo piso lo harían los alumnos de un aula de 4.° año, el tercer piso lo harían los alumnos de un aula de 5.° año. Si el colegio tiene 4 aulas en 3,er año, 5 de 4.° y 6 de 5.° año. ¿de cuántas maneras distintas, según las aulas que Intervienen, podrán hacerse la distribución para el pintado del colegio? R esolución: 1,er piso y 2.” piso y 3.er piso n.° de maneras de pintarlo:

~ x

„

6-120

PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN Son los diferentes ordenamientos (permutaciones) o agrupaciones (combinaciones) que se pueden obtener con n elementos tomados de k en k.

El p rincip io de m ultiplicación (y). (Conocido también como “el principio fundamental del análi sis combinatorio”). Si un evento A ocurre de n maneras diferentes se guido de otro evento B que ocurre de m maneras distintas, entonces: n.“ de maneras en que puede ocurrir A y B es: n x m Los sucesos o eventos ocurren uno a continuación de otro originando un suceso compuesto.

Sí Importa el orden como se toman los elementos.

No importa el orden como se toman los elementos

1 P " permutaciones

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

Se sugiere tener presente la importancia de discer nir, si importa o no el orden de los elementos, ya que ello nos permitirá escoger entre una permuta ción (sí importa el orden) o una combinación (no importa el orden). PERMUTACIÓN Son los diferentes ordenamientos que se obtie nen con n elementos tomados de k en k. En una permutación sí importa el orden como se toma los elementos. Tenemos tres tipos importantes de per mutaciones: Permutación lineal: De algunos elementos:

P k=-

n! (n -k )l

forma consecutiva. ¿De cuántas maneras dis tintas se podría ubicar todos los 5 amigos en dichos asientos? Resolución: SI queremos ubicarlos en forma distinta en tonces importará el lugar que ocupen, por lo tanto:

de 5 amigos

n.° de maneras de ubicarse: P5 = 5! = 120

; 0 < k <n

Perm utación circular. Se llama permutación cir cular cuando los elementos se ordenan formando una línea cerrada o cuando se ordenan alrededor de un objeto circular.

Permutación de n elementos tomados de k en k. También se emplea como variación.

( i)

n! V„" = ;0 < k< n (n -k )l

Pc(n) = (n - 1)!

Ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar 6 personas alrededor de una mesa circular?

De todos los elementos: Pn = n!

R esolución:

Permutación de n elementos Ejemplos: 1.

n.° de maneras: Pc(6) = (6 - 1)! = 5! = 120

En una carrera automovilística participan 10 autos. Si solo se premiara a los tres prime ros lugares (premios distintos) y tomando en cuenta que no existen empates, ¿de cuántas maneras distintas podría ocurrir dicha premia ción?

Nos damos cuenta que la premiación depen de del orden en que lleguen a la meta los co rredores, por lo tanto: n = 10; k = 3 n.° de maneras de premiar: 10! _ 10! (10 - 3)! 7!

Perm utación con elem entos repetidos. Se van a ordenar n elementos, de los cuales hay algunos que se repiten. n elementos 0 0 - 0

R esolución:

Sabemos que sí importa el orden de ubicación de las personas alrededor de la mesa, entonces:

10x9x8x7! = 720 7!

Cinco amigos al llegar al estadio encuentran en una fila 5 asientos vacíos numerados en

A A ...A kr

P = n! '* * * - * ' k¡! x k2! x ... x kr! Donde: n: n.° total de elementos k1; k2; ...; kr: n.° de elementos repetidos en cada clase, k-i + k2 + ... + kr < n

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Ejemplo: Se tienen 3 fichas rojas iguales, 2 azules iguales, 1 verde y 1 negra. ¿De cuántas formas diferentes se podrán colocar estas 7 fichas en linea recta? R esolución:

Como importa el orden y tenemos algunos elemen tos repetidos, entonces:

Pintamos esta región con un primer color A. (cualquiera de los 5)

__________ 7 fichas_________

®@® ®® ®® 3 fichas P7

3'2 3! x 2!

Está región con un segundo color B (cualquiera de los 4 restantes)

2 fichas

7 X 6x 5x 4x 3! 3! x 2

R esolución:

: 420

COMBINACION Son los diferentes agrupamientos que se obtie nen con n elementos tomados de k en k. En una combinación no importa el orden como se toma los elementos. n! Cí = ■ ; 0< k<n k l( n - k ) ! Combinaciones de n elementos.

Aquí de nuevo el 3.er color y así sucesi vamente, como se observa

Está región con un tercer color C (cualquiera de los restantes)

Nos han bastado 3 colores como mínimo para pintar la figura dada. Por lo tanto, las maneras de escoger 3 colores para pintar la figura: 1,er color

2° color

3.er color

= 60 maneras

Ejemplo: Un profesor de Razonamiento Matemático ofrece premiar con un libro por persona a solo tres de sus 10 alumnos. Si los libros son del mismo autor, ¿de cuántas maneras distintas podría escoger a sus alumnos para premiarlos?

Una compañía aérea debe realizar diariamen te 5 viajes a Cusco, 3 a Trujillo y 2 a Iquitos. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar dicho itinerario?

R esolución:

Lo que se desea es realizar la siguiente lista: CCCCCTTTII.

Notamos que al seleccionar a los tres alumnos, no interesa el orden, ya que van a recibir el mismo libro. Solamente nos interesa tomar trios distintos de alumnos. Por lo tanto:

cl°

___________ 10! 10! 10x9x8x7! = 3!(10 —3)! ~ 3 !x 7 ! ~ 3 x 2 x 1 x7!

R esolución:

Como podemos deducir, el orden interesa pero se están repitiendo algunos viajes.

,10

Luego: P532 = 120

EJERCICIOS RESUELTOS Se dispone de 5 colores diferentes para pintar la siguiente figura de manera que los cuadra dos vecinos tengan colores diferentes. ¿De cuántas maneras puede cumplirse dicho ob jetivo, si el número de colores utilizados en cada caso es mínimo?

10 ! 5! x 3! x 2!

: 2520

¿De cuántas maneras distintas se puede lle gar al punto B partiendo de A, si siempre se debe ir hacia adelante?

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o ¡

Resolución:

Utilizando el principio de adición y contando las maneras de llegar a cada punto.

R esolución:

Luego, hay 21 maneras diferentes de llegar al punto B según las condiciones dadas. 4.

En la figura, A, B, C y D son ciudades y cada línea es un camino. Si una persona desea viajar, ¿de cuántas maneras puede elegir su recorrido? Se sabe: • •

Sale de A hacia D, (pasando por B y C sin retroceder). Sale de A hacia D, luego regresa hacia A. Sale de A hacia D, luego regresa hacia A, sin pasar de nuevo por el mismo recorrido. B

Resolución:

En el esquema se muestra el número de caminos entre A, B, C y D:

C§)

Cs)

Luego el número de recorridos es: 4 x 5 x 3 = 60 •

Vamos a aplicar aquí el principio de adición, teniendo cuidado de contar las maneras de llegar a cada punto. En el esquema mostrado a continuación, se aprecia los caminos para recorrer así como los que no interesan (líneas punteadas).

Ahora el trayecto es de A hacia D, luego de D hacia A; es decir, ida y vuelta, entonces:

Luego, hay 19 formas distintas. Naty desea comprar un televisor, para lo cual ha consultado en 3 tiendas comerciales. La primera le ofrece 3 sistemas de crédito; la se gunda, 4 sistemas de crédito distintos a las 2 primeras tiendas. ¿De cuántas maneras dife rentes puede comprar el televisor? R esolución:

Para la compra del televisor ella puede elegir de la siguiente forma: Formas de crédito:

ida y vuelta 60 x 60 = 360 0 No regresa por el mismo recorrido de ida por eso solo le queda 59 recorridos de los 60. que hay en total. ida y vuelta 60 x 59 = 3540 ¿De cuántas maneras distintas se puede Ir de A hacia B de modo que siempre avance res pecto a su meta?

1.a T 3

e j e r c ic io s

o 2.a T o 3.a T + 4 + 4 = 11

PROPUESTOS ~Í |

Se tienen 7 frutas diferentes, ¿de cuántas maneras se puede preparar un juego de 4 frutas? a) 7 d) 28

b) 21 e) 70

c) 35

¿De cuántas maneras se pueden ordenar 2 bolas rojas, 3 negras y 3 blancas?

| C o l e c c ió n

a) 560 d) 280 3.

•

Ambos premios no se pueden repartir a una misma persona.

•

Ambos premios se pueden repartir a una misma persona.

a) 256 d) 184

b) 840 e) 1440

c) 360

Se tienen 8 libros de Historia y 6 de Lengua, ¿de cuántas maneras se puede colocar los li bros en grupos de 5, de los cuáles son 2 de Historia y 3 de Lengua? b) 1440 e) 7200

c) 67 200

En un estante hay 5 libros de Álgebra y 7 de Física, ¿de cuántas maneras se pueden esco ger 3 libros de Álgebra y 5 de Física? b) 70 e) 210

c) 105

¿De cuántas maneras diferentes se pueden formar una terna, siendo 8 los candidatos? b) 112 e) 72

c) 56

b) 120 e) 64

c) 144

b) 192 d) 28

c) 729

11. ¿De cuántas formas pueden dividirse 10 per sonas en dos grupos de 4 y 6 personas, res pectivamente? a) 24 d) 250

b) 84 e) 720

c) 210

12. ¿De cuántas formas pueden llegar 4 atletas a la meta, si ninguno de ellos llegan empata dos? a) 48 d) 120

b) 4 e) 24

c) 720

13. Las cuatro regiones verticales de un mapa deben llevar diferente color, ¿de cuántas ma neras se puede colorear, si se dispone de 6 colores diferentes? a) 360 e) 36

Cuatro viajeros llegan a una ciudad en donde hay 5 hoteles. ¿De cuántas formas se pueden hospedar cada uno en un hotel diferente? a) 60 d) 96

c) 1120

a) 84 d ) 720

a) 28 d ) 336 7.

b) 40 e) 18

Dar como respuesta el producto de dichos re sultados.

a) 15 d) 420 6.

Po s t u la n te

Se tienen 4 libros de Geometría y 3 libros di ferentes de Química. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en 7 casilleros, si los de Química deben ir juntos?

a) 1480 d) 16 720 5.

b) 720 e) 18

c) 240

j 14. ¿De cuántas maneras se puede intercambiar el orden todas las letras de ACCACCIA? a) 280 d) 360

b) 560 e) 720

c) 140

¿De cuántas formas pueden sentarse 7 per- i 15. ¿Cuántas ensaladas pueden prepararse con: sonas alrededor de una mesa, si dos perso lechuga, berro, pepino, tomate, apio, col? nas determinadas no deben estar una al lado a) 6 b) 126 c) 720 de la otra? d) 1 e) 63 a) 720 b) 240 c) 840 16. En una reunión se dieron 120 estrechadas de d ) 480 e) 520 mano. Sí todos se saludaron, ¿cuántas perso 9. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en nas habían? un estante 5 libros? a) 120 b) 15 c) 16 a) 24 b) 120 c) 96 d) 8 e) 119 d) 48 e) 60 17. Se tienen 7 varones y 5 damas, ¿de cuántas maneras se pueden formar un comité com 10. De cuántas maneras pueden repartirse 2 pre puesto de 3 varones y 2 damas? mios entre 4 personas, sabiendo que:

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o j

a) 350 d ) 700

b) 240 e) 540

pares de gemelas, nueve niños y once niñas. Se utiliza una tinta indeleble para escribir sus nombres. Ai día siguiente la tinta desaparece. ¿De cuántas maneras es posible mezclar los niños?

c) 120

18. ¿Cuántos partidos de fútbol se jugarán en una sola rueda con 20 equipos, jugando todos contra todos? a) 190 d) 120

b) 200 e) 40

c) 20

a) 3600 d ) 600

b) 7200 e) 200

1. 2. 3. 4.

e c b d

9. 10. 11. 12.

j e r c ic io s

b b c e

13. 14. 15. 16.

a a e c

17. 18. 19. 20.

a a c a

b) 4 e) 1

b) 1000 e ) 719

Suponga que el 3 de marzo de 1999 nacen en cierto hospital cuatro pares de gemelos, dos

bj 5 550 000 d) 3.996 000

b)90 e)

c) 36 70

¿De cuántas.maneras diferentes puede selec cionarse un grupo de 4 o más personas si nay 10 personas disponibles9 b) 848 e) 483

c) 884

Teresa es una señorita bastante jovial y ami gable por lo que solo en una semana de estar en la academia, ha conseguido tener 10 ami gos a los cuales desea invitarlos a un cum pleaños. ¿De cuántas maneras puede invitar a uno o más de ellos? a) 1023 d) 10

c) 720

c) 360

¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pue den formar con ios dígitos 1; 2; 5; 6; 7; 8; 9; si cada dígito puede emplearse un sola vez?

a) 843 d) 384

c) 3

9. 3.

b) 15 ej 90

Considere ¡as placas de automóviles que tie ne tres letras seguidas de tres dígitos. Si pue den emplearse todos los arreglos posibles, ¿cuántas placas diferentes pueden formarse?

a) 210 d ) 126 7.

c) 26!

Un producto se vende en 3 mercados; en el primer mercado lo ofrecen en 5 tiendas, en el segundo en 4 tiendas y en el tercer mercado en 6 tiendas. ¿De cuántas maneras puede venderse ei producto?

a) 19 683 000 c) 47 930 021 e ) 5 781 020

PROPUESTOS 2 I

La cerradura de la bóveda de un barco pres tigioso consta de 3 discos con la numeración del 1 al 10. Si un amigo de lo ajeno desea abrir la bóveda, ¿cuántos intentos infructuo sos como máximo tendrá que realizar? Obs: la bóveda se abre cuando ios discos se combinan de forma correcta. a) 999 d) 896

c) 96

(x + 3)! (x + 5)! Halle x en: —---------—--------^— = 1 2 0 (x + 3 ) !+ ( x + 4)i a) 5 d) 2

5. 6. 7. 8.

b) 111x9! e) —?2j— 41 X 20

a) 120 d) 45

b) 24 e) 30 c a d c

c) 2400

20. Se tienen 3 varones y 3 mujeres, ¿de cuántas maneras se pueden formar en fila de a 5, si las damas siempre van juntas? a) 48 d) 72

a) 32! d) (2!)6

19. Se tienen 4 vocales diferentes y 5 consonan tes también diferentes, ¿cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con 2 vocales y 3 consonantes?

b) 10! e) 100

c) 55

Ei gerente de operaciones de una compañía de teléfonos ordena a un empleado hacer el cálculo de la cantidad de teléfonos que se

C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

pueden instalar con la serie 485 y que no ten gan los números 2, 7, 3. Indicar el cálculo del empleado. a) 840 d) 10 000

b) 2940 e) 2401

c) 1482

10. Para la biblioteca de la academia se han com prado 6 estantes grandes, 5 medianos y 4 pe queños, todos de distintos diseños. Se les va a ubicar en una fila, en un ambiente acondi cionado. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar sabiendo que los estantes del mismo tamaño siempre están juntos. a) 31x15! c) 2! x 5! x 10! e) 3! x 4! x 5! x 6!

b ) 4 !x 5 ! d) 2! x 6! x 9!

11. Seis ladrones se escapan de la policía, y tie nen 3 escondites para poder ocultarse, ¿de cuántas maneras diferentes como máximo pueden ocultarse? a) 20 d) 30 12.

b) 729 e) (3!)6

c) 360

Un estudiante tiene una colección de 12 libros diferentes de Razonamiento Matemático. ¿De cuántas maneras diferentes podrá seleccio nar 6 libros, sabiendo que uno es su preferido y siempre lo va a elegir? a) 643 d) 426

b) 426 e) 362

c) 463

13. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar 10 personas en una mesa circular de 6 asientos. a) 2500 d) 25 200

b) 20 500 e) 2520

c) 25 000

14. ¿Cuántos ordenamientos diferentes se pue den obtener usando todas las letras de la pa labra CACAREAR? a ) 5040 d) 8160

b) 2100 e) 1680

c) 2680

15. En una competencia de canotaje, un bote es tripulado por 6 hombres de los cuales: José, Gabriel yAbraham reman en el lado izquierdo y Víctor y Raúl en el lado derecho. ¿De cuán tas maneras puede ordenarse la tripulación, si en cada lado se ubican 4 asientos? a) 760 d) 576

b) 144 e) 120

c) 846

16. En la casa de Heraldo asistieron a una reu nión familiar 3 tíos y 3 tías; se les pide que se ubiquen en una banca de forma alternada, ¿de cuántas maneras lo pueden hacer? a) 36 d) 180

b) 720 e) 12

c) 72

17. De 15 jugadores de fútbol, ¿de cuántas mane ras se pueden conformar un equipo si se sabe que 3 de ellos, por problemas personales, se niegan a jugar en el mismo equipo? a) 198 d) 125

b) 160 e) 210

c) 120

¿Cuántas palabras aunque carezcan de sen tido se pueden formar con las letras de la pa labra ROCACORO? a ) 5040 d ) 1860

b) 1680 e) 1668

19. Calculexen:

(x + 3 )3(x + 1)! ( x + 1 ) ! + ( x + 2)! + (x + 3)! c) 10

b) 2 e) 8

a) 1 d) 5 1. 2. 3. 4.

c) 2100

e a d b

5. 6. 7. 8.

a b a a

9. 10. 11. 12.

e e b c

13. 14. 15. 16.

d e d c

17. e 18. b 19. b

RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO EJER CICIOS RESUELTOS

En una recta se ubican los puntos consecuti vos A, B, C, D, tal que C es punto medio del segmento BD, AC = a; AB = b. Hallar AD.

En los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, el rayo OC es bisectriz del ángulo BOD, además mZAOB + mZAOD = 100°. Encon trar mZAOC. R esolución:

R esolución:

Según la figura: BC = a - b Entonces: BC = CD = a - b Ahora:

A D = A C + CD AD = a + a - b

Del dato: mZAOB + mZAOD = 100° x - 2<)> + x = 100° x - <j> = 50°

AD = 2a - b

En lospuntos collneales A, B, Cse toma el punto medio M del segmento BC, de modo que: AB2.+ AC2 = 26. Hallar: AM2 + BM2

Hallar x, si L / / Lt

R esolución:

-— •-----------•—#— •— #— •------- ► A B M C Del dato: AB2 + AC2 = 26 ...(1) De la figura: AB = AM - BM AC = AM + MC = AM + BM Reemplazando en (1): (AM - BM)2 + (AM + BM)2 = 26 Desarrollando y reduciendo: 2AM2 + 2BM2 = 26 AM2 + BM2 = 13 3.

En los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD, se cumple que los ángulos AOB y BOC, son suplementarios, los ángulos BOC y COD son complementarlos. Encontrar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.

Siguiendo la rama ABCD por propiedad: 130° = 3p + 4 p + 6p = p = 10° Siguiendo la rama PQRS: 4p + x = 60° + 3p Reemplazando p: (4)(10°) + x = 60° + (3)(10°)

x = 50°

R esolución:

Calcular x, si: L //L t, L2 / / L 3, además 4> —cc = 40°.

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

R esolución:

Resolución:

El AABD es equilátero: AB = A D = BD Por propiedad entre las rectas L2 y L3. mZB = 20° + a

El ABCD es isósceles: mZBDC = mZC = x

En la rama ABCDE: 20° + a + <j> = 20° + 0 + a + 3a <(>=0 + 3a ...(1)

Luego: x + 30° + x = 180° 9.

En la rama ABCFE: 20° + a + 180° —x = 20° + 0 + a + 2a x = 180° - 0 - 2a ...(2)

Encontrar: x + y + z

Del dato: d = 40° + a ...(3) (1) = (3): 0 + 3a = 40° + a => 0 = 40° - 2a Reemplazando en (2): x = 140° 7.

En los ángulos consecutivos AOB y BOC se cumple que mZAOB = 50°. Encontrar la me dida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BOC yAOC.

R esolución:

Resolución: 4

En el AABC: 3a + 36 + z = En el AADB: x = a + 5 En el AAEB: y = 2a + 28

180° ,..{1) ...(2) ...(3)

De (1), (2) y (3): x + y + z = 180° Al ser OM bisectriz del ángulo AOC se cumple: mZAOM = mZMOC = m ZA0C = 50 2

mZAOM = mZMOC = 25° + 0

...(1)

Ahora: mZMON = mZMOC - mZNOC

...(2)

‘ 2-

BC = 10, se traza su bisectriz interior AD. En contradla distancia del punto medio de AD al lado AC, si DC = 6. R esolución:

(1) en (2): mZMON = 2 5 ° + 0 - 0 .'. mZMON = 25° 8.

10. En el triángulo rectángulo ABC, mZB = 90°;

Encontrar x, si: AB = BC = AD, mZA = 60°; mZB = 90°

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

Trazamos MN TAC En el fc\ANM, FH es base media:

Trazamos DE _LÁC Como AD es bisectriz: DE = BD = 4 En el £\AED, MN es su base media. MN = ^ 11.

FH = — 2

.-. M N = 2

=» MN = 6

En el IABHC, MN es base media:

En un triángulo equilátero ABC, exteriormente y por la parte del lado BC se traza la recta BD que es congruente con el lado del triángulo equilátero. Hallar la medida del ángulo ADC. R esolución:

= — 2

6 =

.-. x = 9

En el triángulo ABC, mZB = 90°, AB = 5; BC = 12; AC = 13, se traza la altura BH, y luego se trazan las bisectrices de los ángulos ABH y HBC que cortan al ladoAC en los pun tos F y E. Hallar FE. R esolución:

AABC es equilátero: AB = BC = AC = a mZA = mZB = mZC = 60° C

El AABD es isósceles: mZBAD = mZBDA = ó El ABDC es isósceles: mZBCD = mZBDC = ó + x Por ángulo exterior: AABE: S = <f> + 60° ...(1) ACED: S = <)> + 2x ...(2) Igualando (1) y (2): <j) + 2x = <f> + 60° 12.

En el ABEC: mZAEB = 2<t> + 0 El AABE es isósceles: AB = AE = 5 En el AABF; mZBFC = 20 + ó El AFBC es isósceles: FC = BC = 12 Luego: F C = x + 8 f= > 1 2 = x + 8 .-. x = 4

.•. x = 30°

En un triángulo ABC; m Z A = 11°; mZC = 101°, se traza la altura BH, tal que AC = 3 y CH = 1. Calcular BH.

CalcularAB, si mAB s m B C , BE = a; ED = b.

R esolución:

AAHB ~ ACHB: * = i 1 x

13.

/ 10jU/79° r 3

En un triángulo ABC, la altura BH pasa por el punto medio F de la mediana AM. Hallar BF, si FH = 3. B

Resolución:

AABE - AABD: -

x a+ b

x = ^a(a + b) 16. Dado un triángulo isósceles ABC con AB = BC, se toma los puntos M sobre AB y N sobre BC, de modo que el triángulo MNC

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

sea equilátero, calcular la medida del ángulo NMB, si mZACM = a.

R esolución:

82° = mEB t 1'—

=» mEB = 34°

Por propiedad: El AMNC es equilátero: MN = NC = CM mZNMC = mANCM = mZCNM = 60°

x + mBED = 180° => x + 114° =180° .-. x = 66°

El AABC es isósceles: mABAC = mZBCA = 60° + a [ "

e j e r c ic io s

PROPUESTOS

□

En el AAMC por ángulo exterior: x + 60° = 60° + a + a

. . x = 2a

Calcular x, si: AC = 2BD B

17. Los ángulos interiores B, C, D de un polígono convexo ABCDE miden 170°; 160°; 150°. Ha llar la medida del menor ángulo formado por las prolongaciones de los lados AB y DE. R esolución:

a) d) 2.

60° 45°

b) 23° e) 30°

c) 44°

Calcular AD, si: MD / / AC; AB = 4 y M es punto medio, además: AABC es equilátero. a) 4 /7 b) -Í7 c) 5 /7

Sumamos los ángulos del polígono ABCDE,

e) 2 /7

donde: n = 5 mZA + 170° +160° +150° + mAE = 180° ( 5 - 2 ) mAA + mAE = 60°

...(1)

En el AAFE: x = mAA + mAE

...(2)

De (1) y (2):

d) 5

Si: 2AB = 3BC; calcular x. a) b) c) d) e)

x = 60°

18. Calcular x, si: mED = 80°; mDC = 130°. 4.

30° 23° 25° 20° 33°

En la figura, calcular x. a) b) c) d) e)

35° 45° 60° 36° 42°

\M ____ D

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

¿Cuál es la menor distancia que se debe re correr para Ir de A hacia B, tocando el piso? M 8m

7m -i r ~

r 20 m a) d) 6.

32/2 21/2

b) 31/2 e) 25

c) 30/7

En el gráfico: T es punto de tangencia; calcule x.

d) 60°

En la figura AB 1 BC, calcular el valor de: x + y Aia) 70° b) 49° c) 47° d) 51° e) 63°

En la figura: O es centro, AB = 6 m y AO = 5 m. Calcular BE.

3 5 7 6 8

En un trapecio rectángulo ABCD (recto en A y B) se traza la altura CH y se pide el segmento que une los puntos medios de AH y CD, sa biendo que BD = 12. 3b)12 8e)6

10. Calcular R. a) b) c) d) e)

2,5 2,4 2,2 1,5 3,2

12. Calcular el área del rectángulo Inscrito en una circunferencia, si los lados forman flechas de 1 cm y 2 cm de longitud. a) b) c) d) e)

48 46 242 16 55

a) d)

405° 360°

b) 340° e) 390°

c) 180°

14. Un rectángulo es dividido en cuatro rectángu los. Las áreas de tres de los rectángulos asi obtenidos, se muestran en la figura. ¿Cuál es el área del cuarto rectángulo?

m m m m m

a) d)

25° 30° 37° 45° 18°

13. En la siguiente figura, ¿cuál es la suma de las medidas de los ángulos señalados?

e) 35°

a) b) c) d) e)

11. En la fig'ura: ABC es un triángulo rectángulo. SI AP = PQ = QC, calcular x. a) b) c) d) e)

c) 13

a) b) c) d) e)

10 21 15 25 20

X i

35 r

15. En la figura: E, T y F son puntos de tangencia, calcular AF. a) b) c) d) e)

r r/2 r /2 r/5 r/3

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

16. En el cuadrado circunscrito ABCD, calcule la medida del ánguio x (T es punto de tan gencia). a) b) c) d) e)

65° 64° 64° 30’ 68° 30’ 67° 30’

más pequeño (en grados sexagesimales) que puede tomar b. a) b) c) d) e)

B|— =— ^ — "C

22.

45° 35° 46° 36° 40°

En la figura: BC = AC = AD, calcular x.

17. En el gráfico mAB = 60°, calcule x. a) b) c) d) e)

70° 72° 60° 75° 80°

18. Si ABCD es un rectángulo, PD = 6 cm, AL = 3 cm, calcule LC. a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

además

HC = 24 cm. Calcular PQ. a) b) c) d) e)

7 cm 10 cm 8 cm 11 cm 9 cm

a) b) c) d) e)

a) 3 b) 6 c) 4 d) 7 e) 5 20. Calcular el área de un triángulo equilátero cir cunscrito a una circunferencia cuya longitud es 60 cm. 900/3 n cm2

, 2700 » c) — — cm

8 cm 6 cm 12 cm 10 cm 9 cm

24. En la figura: RP = VQ, calcular el valor de x.

19. En la figura, calcular el valor de x.

14° 12° 8° 15° 10°

b) 900/3^ cm2 d) 2500Í3 cm2

2700/3 „ „ 2 — cm

21. En la figura, las medidas de los ángulos inte riores del triángulo ABC están dadas en gra dos sexagesimales. Calcular el valor entero

24° 18° 38° 30° 28°

25. En la figura: ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6 m y MP = 8 m. Calcular.el área del rectángulo MNPQ. B N C a) 12 m2 pT b) 9 m2 c) 8 m2 d) 4 m2 e) 6 m2 0) u < J ü

1. 2. 3. 4. 5.

e e b a e

6. 7. 8. 9. 10.

c d e e d

11. 12. 13. 14. 15.

c a d c c

16. b 17. e 18. e 19. b 20. e

21. 22. 23. 24. 25.

c e b b d

REGIONES SOMBREADAS AREA DE REGIONES CUADRANGULARES Cuadrilátero cualquiera C (AC)(BD)sena

En paralelogram os

Si: a = 90° B

S* = bh Sx = BH

„ . (AC)(BD) ^ABCD--------- ó------

Propiedades para todo cuadrilátero

S,S2 = S3S4 Sx —S-j + S2 —

S v

S t

Si + s 2 = s 3 + s 4 = — = —

(AC)(BD)

En trapecios

S = mh AREA DE REGIONES CIRCULARES Del c ircu lo S =7iR2

S-i + S2 - Sx S=

;i(AB f

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Corona circu la r H

3 V3 + 12

ti y2

S = it(R2 - r 2) s ,=

n(AB)

/ 1 2 - 3 V 3 —2 ti\ , 2 12 i L

s2= Sector circu lar

(

0*d « _ )

\ /

/ \

S y A

/ L

7rR2a _ 360

|n + 3 - 3 '/3 j|2

cVLota/: -

s =

tiR

Longitud de una circunferencia

Longitud de un arco r.--'

Segmento Circular

nR g _ R sena 360

l = nrO

Ln = 2n r

360

Triángulo

Si —S2 -

Triángulo rectángulo

2 \ R2

S - ^

S i - S , - í ' 71

Triángulo conociendo 2 lados y un ángulo

S = ' ( * 2 2) l 2

S = — sena 2

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

Triángulo equilátero

i /

\ t

¿2<l3

' ¡A Se observa que se va a formar un semicírculo de diámetro a. EJERCICIOS RESUELTOS 1.

Hallar el área de la región sombreada.

= SL_ = l [ í a ! S= 2 2t 4 3.

S = na2/8

Hallar el área de la reglón sombreada.

R esolución:

Trazando la otra diagonal y una mediana ade cuada:

Dividiendo la región sombreada en figuras co nocidas:

3S 3 S \^ s/ s

Ks S

Se observa que de los 12S está sombreado 5S, luego:

Se observa que las 2 figuras A juntas repre sentan un semicírculo del diámetro a y C la cuarta parte del cuadrado de lado a. 1 \ na 2l 4

ET 4

Ssomb = ^ ( S a ) 4.

Ssomb =

~^2

Hallar el área de la región sombreada.

0 na2 + 2a2 a2, , s = S = -5-(* + 2) 2.

Hallar el área de la región sombreada, cr

R esolución: De la figura: A + B + C + D + Ssi

i —s n

Ssomb = SD - (A + B + C + D) S A = ■ R esolución:

Trazando las diagonales para luego trasladar.

Sn B= f

C = — ;D 12

Sr 20

\ \ a

B\ X s C-

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Reemplazando en (1) se tendrá: 1_ _ S n| 1 - 1- - -1 - 1 12

20 Sc

En el AADB: mZFAD = 30° = 2mZADE

mZADE = 15° = m^ (~' (ángulo inscrito)

9a2 ■■ ^somb — 20

mZABC = mAC = 30° (ángulo central)

Calcular el área de la región de la corona cir cular sombreada, AB = 8: FG = 12.

Luego: J 90 S - Asector CBD - A^cbd - n6 ( 35o

( 6 )( 6 )

S = 9(ti - 2) m2 7.

Calcular el área de la región sombreada, O y C son centros, AO = 2.

R esolución:

El área de la región sombreada es igual al área de la reglón de la corona circular mayor menos el área de la región de la corona circu lar limitada por las circunferencias mayor y la intermedia. s = nFN2 - nAM2 = rc6

■7l4

S = 20n

Calcular el área de la región sombreada, A y B son centros, AB = 6 m.

El fcsDCO es isósceles: 2 = r-/2 => r = -Í2 y mZDOC = 45° S —Asector a o d —Aseclor a o d

S = 7T?2/ —

(Asector DCO f ( V 2 )2 -

— y)

( V2) ( V2)

.-. S = 1

R esolución:

El AADB es equilátero.

~ ^ ”

Calcular el área de la región sombreada, AO = OB = 6; mZOAD = 18° yA C = CD.

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

Resolución:

a) b) c) d) e) 5.

mZDAB = 18° =

(ángulo inscrito)

mZDOB = mDB = 36°

L2/3 2L2/3 2L2/5 2L2/7 L2/4

Calcular el área de la región sombreada, si: a = 30° yA B = 1 cm.

(ángulo central)

En el trapecio OCDB: AAfcd = Aaofb = A El área de la reglón sombreada es igual al área de la reglón del sector circular DOB. S

A s e c to rD O B

n ®2 (

30 q ‘

)

(n —/ 3 ) 2 a) -— cm2

, (2 /3 - Jl) 2 c) -----cm

[ " ejer cicios PROPUESTOS 1 I 1.

a) b) c) d) e) 3.

90 100 120 150 180

¿Qué parte es la región sombreada, de la re glón no sombreada? 1/3 3/5 2/3 2/5 1/2

Calcular el área de la reglón sombreada:

a) 4 n m2 d) 9n m2 4.

b) 5rtm2 e)11ti m2

c) 7n m2

Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD es L.

( ti

(3 )

d) — - -Í3 cm2 2

cm2

Hallar el área de la intersección de ambos cuadrados, si uno de los vértices es el centro del otro cuadrado.

Calcular el área de la región sombreada. a) b) c) d) e)

b) ( 2 n - - l3 ) cm2

a) b) c) d) e) 7.

2a2/3 3a2/4 a2/5 a2/4 a2/3

Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 8 cm de lado; ade más M, N, P. Q son puntos medios de los la dos del cuadrado. M B a) 6jt cm b) 8ti cm2 c) 1Orc cm2 QK d) 12n cm2 e) 15n cm2 D Hallar el área de la región sombreada en el cuadrado ABCD. A B a) 16a2/25 b) 15a2/24 c) 13a2/25 d) 15a2/23 e) 2a2/5

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Calcular el área de la región sombreada, sa biendo que el área del hexágono regular es 180 cm2, a) b) c) d) e)

40 45 50 55 60

------------------------------------

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

120 130 140 150 180

cm2 cm2 cm2 cm2 cm2

a) 3n/2 4n/3 5tt/2 6rt/5 7n/3

L2/2 L2/3 L2/5 L2/8 L2/10

/ \

13. Calcular el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD es 2 m. a) b) c) d)

a) b) c) d) e)

2L2/5 L2/3 2L2/3 3L2/5 L2/2

a) b) c) d) e)

12 m2 24 m2 3 /3 m2 6 /3 m2 12/3 m2

17. En un paralelogramo ABCD de área 48 m2 se traza AM (M es punto medio de CD) y la dia

12. Sabiendo que cada vértice de los cuadrados inscritos son puntos medios de los lados del cuadrado anterior, se pide calcular el área del cuadrado sombreado. a) b) c) d) e)

m2 m2 m2 m2 m2

16. Calcular el área de la región sombreada, sabiendo que es un hexágono regular y que cada uno de los triángulos equiláteros no sombreados, son congruentes entre sí, tienen por área 2 /3 m2.

11. Calcular el área de la reglón sombreada:

b) c) d) e)

12 15 16 18 19

15. Hallar el área de la región sombreada, en el cuadrado ABCD de lado L.

10. Calcular el área de la región sombreada en el cuadrado ABCD, sabiendo que la suma de las áreas de las regiones no sombreadas es 100 cm2. a) b) c) d) e)

a) b) c) d) e)

(4 - n) m2 3(4 - jt) m2 (4 - n)!2 m2 2(4 - ji) m2

e) 4(4 - ti) m2 14. Calcular el área de la reglón sombreada, si el área del cuadrado ABCD es 60 m2.

gonal BD cortándose ambos es P. Calcula el área del triángulo PDM. a) 8 m2 d) 3 m2

b) 12 m2 e) 2 m2

c) 4 m2

18. Si: A ^ rau breada. a) b) c) d) e)

6 3 2 1 5

19. En la figura, ¿qué parte del área del parale logramo ABCD es el área de la región som breada? a) b) c) d) e)

1/6 5/12 7/12 1/4 1/3

Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |

1. 2. 3. 4.

b e b a

5. 6. 7. 8.

a d b a

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

d d c d

El lado del cuadrado mide 1, hallar etérea de la región sombreada.

17. c 18. d 19. c

d c a e

a) (n—2)12 b) t: - 2 c) 2ti -1 d) 2n e) ti

[ " ejer cicios PROPUESTOS 2 I 6. 1.

¿Qué porcentaje del área del círculo repre senta el de la reglón sombreada?

Siendo M y N los puntos medios de ios lados SR y RT del paralelogramo SRTQ. Se afirma que el área de la región sombreada es: I. El doble de x. II. El doble de y. III. Igual a (x + y). Son verdaderos:

a) 26,8% d) 49,8% 2.

Hallar la razón del área de la región som breada al área de la reglón no sombreada; M y N son puntos medios de los lados del cuadrado. a) b) c) d)

El área sombreada es aproximadamente: a) 0.69I-2 b) 0,5351^ c) 0.45I-2 d) 0,21 r2 e) r2

El área del cuadrado es igual a 1; hallar el área sombreada:

Calcular el área sombreada si se conoce que el área del cuadrado es Igual a 80.

a) 4 -2 n b) (4-2n)/2 c) (4—n)/2

a) 60 b) 50 c) 40 d) 30 e) 20

d) 2n e) ;t 4.

Solo I Solo II Solo III I y II

e) Todas

3/7 2/7 1/6 2/3

e) 1/3 3.

a) b) c) d)

c) 42%

b) 33,3% e) 50%

Hallar el área de la región sombreada -q

a) 3,072 d) t i - 3 , 3

b) 3,28 e) 7i + 5,3

c) 7t + 3,3

¡=j

Si M y N son puntos medios de los lados del cuadrado, hallar la razón del área de la región no sombreada y el área de la reglón sombreada. N a) 3/8 b) 5/8 c) 7/8 d) 1/8 e) 5/3

1 0 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

10.

Hallar el área de la reglón sombreada.

15. Hallar el área de la región sombreada: a) 4n b) 9 ti c) 2 57i

R=18

d) 16n e) 36 tl d) 96 11.

16. Hallar el área de la reglón sombreada.

e) 42

a) b) c) d) e)

Determine el valor del área sombreada si las cuatro circunferencias tienen un radio igual a 2.

44 36 16 52 80

17. Hallar el área de la reglón sombreada.

a) d) 12.

10 16

a) 6 b) 8 c) 5 d) 4

c) 14 e) 18

Indicar qué porcentaje del área del cuadrado representa el área de la región sombreada. a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30%

18. Hallar el área de la región sombreada.

13. De la figura mostrada, calcular el área de la región sombreada, si el radio del círculo ma yor es a. a) a2 b) 2a2 c) 3a2 d) 4a2 e) 5a2 14. Hallar el área de la región sombreada, si el radio del círculo es 4. a) b) c) d) e)

15 12 18 10 20

a) 1,14 d) 2,72 19.

b) e)

2,28 3,02

c) 3,62

Hallar el perímetro de la región sombreada: -C

a) 4n b) 2n c) 5n d) 6n e) 3n 1. 2. 3. 4.

50% 6 m ZY'/

6m d e c b

5. 6. 7. 8.

a e a c

9. 10. 11. 12.

e c d c

13. 14. 15. 16.

r b b c d

17. c 18. b 19. c

CRIPTO ARITMÉTICA R esolución:

EJERCICIOS RESUELTOS

Pordato: 1.

19(mnp) = ...892 17(mñp) = ...956 2mnp) = ...936

S I : a4b - 3c7 = c8c, calcular: abe Restando: R esolución:

Dándole la forma 3.a 4 3 c a

Multiplicando por 9: 18( mnp) = ...424 .-. suma = 10

de adición 1.a 2.a 4 4 7 + c 8 c 4 b

R esolución:

De la 1,a y 2.a columnas: 7 + c > 1 0 =>c = 5 c = 5; b = 2; a = 9 (9)(2)(5) = 90 2.

Sea: (abe) abe = 3038, hallar: a2 + b2 + c2

Sea: 21 ab + 24ab + 27ab + ... + 69ab = xyz63 calcular: (a + b - x - y - z )

Descomponiendo en factores: (ábe) abe = 1(2)(7)(7)(31) 217 Ordenando: (ábe) abe = (217)(2)(1 )(7) de donde: abe = 217 .-. 22 + 12 + 72 = 54

R esolución:

n.° de términos: ^

~ 3

= 17

Operando:

76 500 + (17)(ab) = xyz63 =» i b = 39 JSÍT

Dándole la forma de adición: d e a b e e d c b a x

77 163 = xyz63 .-. 3 + 9 - 7 - 7 - 1 = - 3

De la 5.a columna: 1 0 < a + e < 2 0 =» x == 1

Si el producto medu x 999 termina en 2471, calcular el valor de: m + c + d + u

luego:

R esolución:

Por dato: medu x 999 = ... 2471 pero: 999 = 1000 - 1, luego: mcdLT(1000 - 1) = ... 2471 Operando: mcduOOO - medu = ...2471 mcduOOO medu ... 2471

10 - u = 1; u = 9 9 -d =7;d=2 9 - c = 4; c = 5 8 - m = 2 ;m = 6

Nos piden: 6 + 5 + 2 + 9 = 4.

calcular: aa + bb + cc + dd + ee R esolución:

|Ü Q 2..±-6gP0 | ( i 7) + (i7)(ab) = xyi63

Si: x6xxx5 - abede = edeba

a + e = d + b= c + c= c=

Nos piden: aa + bb + cc + dd + Hallar el valor de (a + b + c), si: abc(a) = 1904 ábc(b) = 3332 ábc(c) = 2856 R esolución:

Calculemos:

Sea: 19(mnp) = ...892 17(mnp) = ...956 hallar la suma de las tres últimas cifras de: 18(mnp)

15 10 10 5

3 1 9 2 2

2 3 0 6

a a 8 3 4 5

b b 5 2

c c 6

1 0 2 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

R esolución:

de donde: abe = V226 576 abe = 476 .-.4 + 7 + 6 = 17 8.

De: UÑI x 468 = UÑÍ x 1 5 6 x 3 = ...8761 x 3 = ...628

Cada asterisco representa una cifra. Hallar la suma de todas las cifras desconocidas, si el multiplicando es el mayor posible. 7

.-. suma: 6 + 2 11.

AVE x E= 428 AVE x V = 214 AVE x A = 856

hallar: EVA xÁVE

6 2

R esolución:

Colocando en forma vertical lo que nos piden:

R esolución:

3 7

(9) 2

AVExA— AVE x V —► AVE x E —>4 4 .-. 45 796

12.

* 8

De:

Pero en el producto: O x 4 = ... R => R es par, luego R = 2 y 0 = 8 , además que: 4 x A + ... = M=» A = 1 (ya que 4 x M + 3 = ...1 =» M = 7

[" e je r c ic io s PROPUESTOS 1~|

x 1. +

8 6

.-. suma de cifras del producto será: 1 + 1 + 7 + 6 = 15 10.

A AR)

.-. A + M + 0 + R = 1 + 7 + 8 + 2 = 18

La única posibilidad es que el multiplicando sea 12, luego reconstruyendo la operación:

RAMO x 4_

En el multiplicando: 4 x R + ... = 0 => R = 1 A R = 2

Observando y analizando tenemos que: 8 x ** = ** => n.° de 2 cifras 9 x " = " * => n.° de 3 cifras

OMAR

Resolución:

R esolución:

1 2 9___ 8 9 6

Si: RAMO x 4 = OMAR, calcular: A + M + O + R

Hallar la suma de cifras del producto en: * 9

A V E E V A 8 5 6 2 1 4 2 8 5 7 9

5 -1

2a debe terminar en 6 y como a debe ser im par => a = 3 .-. suma = 72 9.

+ 8= 16

Si: UÑÍ x 156 = 876 calcular la suma de las 3 últimas cifras del re sultado de: UNI x 468.

En la siguiente multiplicación de un número de tres dígitos por un número de dos dígitos, cada □ representa un dígito oculto. Calcular la suma de las cifras del producto. a) 7 b) 10

□

c) 11

□ 3

□ 0 □

d ) 12

e> 13

□ □

□

1 □

□

R a z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o | 1 0 3

a) b) c) d) e) 3.

Cuando Slepy estuvo en los Estados Unidos envió una carta a su padre requiriéndole dine ro; como no quería que su mamá se enterara de cuánto dinero necesitaba y ante la inmi nente posibilidad de que leyera el telegrama, decidió hacer la petición en clave, con la se guridad de que el señor la interpretara correc tamente. El telegrama decía:

En la siguiente multiplicación, todos los aste riscos son números primos. Calcule la suma de cifras del producto. 18 20 16 14 15

SEND + M O RE

Si: a + b + c + d = ^1m25; a, b, c, d e Z +, calcule la suma de cifras de K:

M O N EY

K = abed + beda + edab + dabe a) d) 4.

b) 20 e) 26

54 64 60 62 68

* *

3 4

a) d)

* . 5

6 4

» *

—

12 13 14 15 11

» * * »

* * *| 2 6 2 * * * * 5 4

a) 18 b)' c) d) e)

16 23 18 17 21

xyxyx|yxx 11x - 90*

21 22 20 16

2 * * *|»* * * * * * 3* -----* * , 8 7 7 7 5_*_

11. Calcular la suma de las cifras del producto en la siguiente multiplicación: a) b) c) d) e)

Calcular: xyz a) b) c) d) e)

2 * » » * * » * . . * » 1 8 9

10. En la siguiente división, calcular la suma de las cifras del dividendo.

^ # ’ !" ^7 8

3 * * »

c) 12

* * u z *

c) 9"! d) 92 e) 88

Calcular la suma de las cifras del cociente, luego de reconstruir la siguiente división: a) b) c) d) e)

b) 18 e) 19

a) 89 * * * * x b) 90------------------- -------

10 14

En la siguiente multiplicación, calcular la suma de las cifras que reemplazan a los asteriscos.

Calcular la suma de cifras del dividendo luego de reconstruir la siguiente división:

b) 31

c) 32 d) 33 e) 29 6.

Obs.: cada letra representa un dígito. ¿Cuánto dinero (MONEY) necesitaba Slepy? Dar como respuesta la suma de sus cifras.

c) 28

Calcule la suma de los números que repre sentan cada asteriscos: a) b) c) d) e)

16 32

12.

14 16 18 20 19

5 * 4 x * 5 2 1 4 8

Si a, b, c y d son cifras diferentes cuya suma es la máxima posible, calcule: 1abcd + 2cdab + 3dcba + 4badc. Dé como respuesta la suma de cifras de dicho resul tado.

1 0 4 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

13. Si:

b) 12 e)

c) 11

Determine el valor de cada símbolo. Dé como respuesta la suma de cifras de su producto.

a) 7 d) 10

_____________ A M IG A+ I

M1 M

G I

19.

calcular: A + M + l + G + A ; M # 0 . a) 24 d) 29

b) e)

14 c) 16 18

15. Sabiendo que: CCÁ + BBA = *CAA calcular la suma de cifras del resultado. a) 10 d)

b)5 2e)

* » » x

b) 24 c) 22 d) 23 0^ 24

Í_J1 * • * 2 * ** * * ** * *

20. Si: VASO + TOPE = VAPOR, además, a le tras diferentes le corresponden cifras diferen tes, calcule: V + A + P + O + R a) 21 d) 12

c) 8 7

b) 16 e) 10

A 6 5 3 7 C A

Ico

¡co

Ico

TRES +

1 C B

DOS C IN C O dar como respuesta el valor de la suma de las cifras de CINCO.

calcular: — + — C

a) 5 d) 13

a) 4 d)

17.

c) 11 22.

SI: GGG + OOO + LLL = 2553

18.

432 440

b) 435 e) 445

c) 1

Calcule el máximo valor de CTON, si se sabe

Considere que letras diferentes son cifras diferentes y significativas, letras ¡guales son cifras iguales.

c) 439

En la adición mostrada, cada símbolo repre senta un único guarismo y símbolos diferen tes representan guarismos diferentes.

□ A + A ® ©

b) 2 8e)6

que: COSR + SENR = PTAN(P + 1)

calcular: G x O x L a) d)

c) 14

21. Si:

16. Sabiendo que: N = 5: R > D

b) 14 e) 15

c) 8

En la siguiente multiplicación, todos los aste riscos son números primos. Calcule la suma de cifras del producto total. a) 20

26 c) 18 30

14. Si: AA + BB = CBC, calcular: A x B x C a) 15 d) 20

b) 9 e) 15

a) 10 d) 13

□

□ A ©

a) 8374 d) 9372 in Ul /* < j

1. 2. 3. 4. 5.

a e d d c

b) 8734 e) 2431 6. 7. 8. 9. 10.

b d d a b

11. 12. 13. 14. 15.

c d a e d

c) 8273

16. 17. 18. 19. 20.

c a b e e

21. e 22. b

A ritm é tic a Á lg e b r a G e o m e tría T rig o n o m e tría F ís ic a Q u ím ic a R a z o n a m ie n to M a te m á tic o R a z o n a m ie n to V e rb a l F ia b ilid a d V e rb a l E c o n o m ía y E d C ív ic a L ó g ic a y F ilo s o fía H is to ria d e l P erú H is to ria U n iv e rs a l G e o g ra fía Lengua L ite ra tu ra A n a to m ía P s ic o lo g ía B io lo g ía