GEOMETRÍA by leonardo balcino dos santos

COLECCIÓN EL POSTULANTE

GEOMETRÍA

COLECCIÓN EL POSTULANTE

GEOMETRÍA

Ed ito rial

GEOMETRÍA - COLECCIÓN EL POSTULANTE Salvador Timoteo © Salvador Timoteo Diseño de portada: Miguel Bendezú Composición de interiores: Miguel Bendezú Responsable de edición: Alex Cubas © Editorial San Marcos E. I. R. L., editor Jr. Dávalos Lissón 135, Lima Telefax: 33 1-1 52 2 RUC 20260100808 E-ma¡l: informes@ editorialsanm arcos.com Primera edición: 2007 Segunda edición 2013 Tiraje: 1000 ejem plares Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú Registro N.° 2012-12000 ISBN 978-612-302-917-3 Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del autor y del editor. Impreso en el Perú / Printed in Perú Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 974, Lima Telefax: 424-6563 E-ma¡l: ventaslibreria@ editorialsanm arcos.com www.editorialsanm arcos.com Composición, diagramación e impresión: Editorial San Marcos de Aníbal Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S. J. L. RUC 10090984344

ÍNDICE

Segm ento s y án g u lo s...................................................................................................................................................................................

T rián g u lo s..............................................................................................................................................................................................................

Polígonos y cu ad rilátero s..........................................................................................................................................................................

C irc u n fe re n cia ...................................................................................................................................................................................................

Puntos notables asociad os al triángulo...........................................................................................................................................

Se m ejan za de se g m en to s.........................................................................................................................................................................

R elacio nes m é trica s......................................................................................................................................................................................

C álculo de á re a s ...............................................................................................................................................................................................

Geom etría del e s p a c io ................................................................................................................................................................................

Geom etría a n a lític a ........................................................................................................................................................................................ 104

PRESENTACION Editorial S a n M arcos presenta al público la Colección E l Postulante, elaborada íntegram ente pensando en las n ecesidad es acad ém icas de los jó venes que aspiran a alcan zar una vacante en las universidades, institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional. La Colección El Postulante reúne los tem as requeridos por los prospectos de adm isión, los cu ales son desarrollados didácticam ente, con teoría ejem plificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado de dificultad, con los cu ales se busca dotar a los jó venes de los conocimientos básicos necesarios para enfrentar no solo los diversos exá m e n es de admisión, sino afianzar los sa b eres de su formación escolar y alcan zar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria exitosa. Finalm ente, deseam os hacer un reconocimiento al sta ff de docentes liderados por Salvador Timoteo, P e dro de Castro , Jo rge Solari y Nathall Falcón, profesores de am plia trayectoria en las m ejores acad em ias de nuestro p aís, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de los contenidos.

- E L E D IT O R -

SEGMENTOS Y ÁNGULOS ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRIA Lo s objetos que están en nuestro entorno dan la ¡dea intuitiva de cuerpo geométrico, superficie geom étrica, línea y punto. Una v e z adquiridas e s tas nociones intuitivas, la mente hace abstracción de los cuerpos m ateriales que han tomado de base y p asa de lo concreto a lo abstracto. P a ra la geo metría, el punto, la recta, el plano son elem entos fundam entales que no se definen, solo surgen de la idea partiendo de la realidad y formulando d e s pués las propiedades que caracterizan a cada uno de estos elem entos.

Punto medio de un segm ento. E s aquel punto que pertenece al segm ento y que lo divide en dos segm entos parciales de igual longitud. §--------+ -------- 1------- H

SI: M e A B y AM = M B; entonces M es el punto medio de A B .

OPERACIONES CON LAS LONGITUDES DE SEG MENTOS *1

R R ep resentació n gráfica de un punto:

Notación: punto A

R ep resentació n gráfica de una recta: L ►

Lo s puntos A, B y C son colineales y consecutivos, entonces, se establecen las siguientes operacio nes con las longitudes de los segm entos. Adición de longitudes de segm entos

Notación: recta L: L N otación: R ecta A B : A B R ep resentació n gráfica de un plano

AC = AB + BC

=a + b

S u stra cció n de longitudes de seg m entos ■n - b

AB = AC - BC Notación: Plano P: O P

La distancia entre dos puntos e s la longitud de segm ento que tiene por extrem os a di chos puntos.

SEGMENTO E s una parte de la recta comprendida entre dos puntos, a los cu ales se le denominan extrem os del segmento. ^ A

c V l a t a : ......... -................................- -- .........................................

^ g

Notación: segm ento A B : A B

S e a n P , y P 2 dos puntos dados: d S i: P ,P 2 = d Luego: d: distancia entre P i y P 2

Longitud de un segm ento. E xp re sa el tamaño o medida de un segm ento y resulta de la com para ción del segm ento con otro, que es tomado como unidad (metro); por ejemplo: si un segm ento con tiene 4 v e c e s la unidad (metro) entonces dicho segm ento tiene una longitud de 4 m. Si la longitud de un segm ento no se conoce, esta convencionalm ente se Indicará con una letra latina m inúscula. A s i, del gráfico anterior, n e s la longitud del segm ento A B : entonces A B = n A B : se lee “longitud del segm ento AB".

ÁNGULO Figura geométrica formada por dos rayos que tie nen el mismo origen. Región Interior del ángulo A O B

¡ C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

Elem ento s:

SEGUN LA POSICION DE SUS LADOS

lados: O A y O B; vértice: O

Á n g u lo s ad yacentes. Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y adem ás están situados a distinto lado de un lado común.

Notación: ángulo A O B : Z A O B medida del ángulo A O B : m Z A O B

m ZAO B=0

BISECTRIZ DE UN ANGULO E s aquel rayo ubicado en la región interior del án gulo cuyo origen es el vértice de dicho ángulo y que forma con su s lados, ángulos de igual medida.

los ángulos A O B y BO C son adyacentes. 0 = a + (3 Á ngulos co nsecu tivos. S e denominan asi a dos o m ás ángulos que son adyacentes con su inmediato.

En la figura, OP: bisectriz del ángulo A O B . m ZAO P = m ZPO B

CLASIFICACION DE ANGULOS SEGUN SUS MEDIDAS Ángulo agudo. E s aquel ángulo cuya medida es m ayor que 0 o y menor que 90°.

los ángulos A O B , B O C , C O D , y D O E son co nse cutivos. m ZAO E = a + p + 0 + y

el Z A O B e s agudo 0° < a < 90°

Á n g u lo s o p u esto s por el vértice. Son dos ángu los que tienen el mismo vértice y ad em ás los lados de uno de elios son las prolongaciones de los lados del otro en sentido contrario. A-

,r M

Ángulo recto. E s aquel ángulo cuya medida es igual a 90°.

el Z A O B e s recto

'*■ N

los ángulos A O B y MON son opuestos por el vértice. a = 90° m Z A O B = mZM ON O

Ángulo obtuso. E s aquel ángulo cuya medida es m ayor a 90° y menor a 180°. A el Z A O B es obtuso 90° < a < 18 0°

Angulos com plem entarios. Son dos ángulos cuya sum a de su s medidas e s igual a 90°

se tienen los ángulos complementarios A O B y MQN. a +1

e o m e t r ía

Á n g u lo s co nju g ad os internos

: 90°

S e a C (a ): complemento de a . C (a ) = 90° - a A n g u lo s sup lem entarios. Son dos ángulos cuya sum a de su s m edidas e s igual a 180°. A *

S e a : L , // L2, entonces a y (3 son las m edidas de dos ángulos conjugados Internos. a + R = 180° Á n g u lo s co rrespo n dien tes

se tienen los ángulos suplem entarios A O B y MQN. a + e = 180° S e a S (x ): suplem entario de x. S (x ) = 180° - x

POSTULADO

S e a : L , // L 2, entonces a. y 0 son las m edidas de

Por un punto exterior a una recta solo se puede trazar una recta paralela a ella.

dos ángulos correspondientes.

Q L,

PROPIEDAD

■L S i Q e s exterior a la recta L, entonces por Q solo se puede trazar L! // L (recta L-, paralela a la recta L).

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARA LELAS Y UNA RECTA TRANSVERSAL Al trazar una recta secante o tran sversal a dos rectas paralelas, se forman ocho ángulos cuyas medidas guardan ciertas relaciones, a sí tenem os:

Si L-i // L 2, entonces:

x =a +f

En general:

Á ng ulo s alternos internos Li

S e a : L , // L 2. entonces a y 9 son las m edidas de dos ángulos alternos Internos.

Si: L , // L 2

=> E Z I = S Z D a + b + c = x + y -t-z

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

EJERC IC IO S RESUELTOS 1.

Lo s puntos A. B. C , D, E se encuentran sobre una linea recta, de tal forma que: B C = 2 A B ; AD = 20; (A B )(C E ) = (A C )(B D ). C alcu lar D E.

R e s o lu c ió n : a A

2a B

De la figura: x = a + 2<j> De los datos: m Z A O C + m Z A O B = 140° a + 2<j> + a = 140“ => a + <(>= 70° Del dato: m Z A O B - m Z B O F = 20° a —<(>= 20° De (2) y (3): a = 45° y ij> = 2 5 “ R eem plazando en (1): x = 95°

...(2 )

...(3 )

E C alcu lar x, si L l l L-i

Sea: AB = a =» B C = 2 A B = 2a; C E = 20 - 3a + x A C = 3a: B D = 20 - a En el dato: (A B )(C E ) = (A C )(B D ) a(20 - 3a + x) = 3a(20 - a) 20 - 3a + x = 60 - 3a x = 40 2.

R eso lu c ió n :

S e tienen cuatro puntos consecutivos A, B, C , D sobre una línea recta de modo que: C D = 4 A C ; BD - 4 A B = 50, C alcu lar B C .

R es o lu c ió n : a A

x B

_________________ _

S e a : A B = a; B C = x De los datos: C D = 4 A C =s C D = 4(a + x) CD = 4a+ 4x ...(1 ) BD - 4 A B = 50 B C + C D - 4 A B = 50 ...(2 )

Usando propiedades: x + 0 = 180° ...(1 ) 0 = ij> + 6 ...(2 ) Por ángulos conjugados internos: (<j> + 48) + (4<j> + 5) = 180° (j> + 5 = 36° En (2): 0 = 3 6 e En (1): x + 36° = 180° x = 144°

De (1) y (2): x + 4a + 4 x - 4a = 50 => 5x = 50 x = 10 3.

En los ángulos ad yacentes A O B y B O C se traza la bisectriz O F del ángulo B O C . Encon trar m Z A O C , sí m Z A O C + m Z A O B = 140°, m Z A O B - m Z B O F = 20°

R eso lu c ió n :

R e s o lu c ió n :

eo m e t r ía

Usando ángulos de lados perpendiculares:

Del gráfico, calcular la medida del segmento

100° = 2p => <)> = 50° ...(1 )

que une los puntos medios de AD y de B C .

Por ángulos conjugados internos: 2(j> + 5(1 = 180°

...(2 ) a) 4

P o r propiedad: x = <j) + 2(3 x = 5 0 ° + 2 (1 6 ° )

(1) en (2): 2(50) + 5(1 = 180° => p = 16° x = 82°

b) 17

' 4

d) 13

c) 26

e) 16

E n una recta se ubican los puntos consecutivos A , B, C y D, de modo que:

(~ EJERCICIO S PROPUESTOS 1 | 1.

a) 16

En la figura, calcu lar x, si: M es punto medio deAB. A M B

b) 20

c) 4

d) 12

e) 24

Del gráfico, calcu lar x, si: C D - A B = 15 A

H 12(a + x)

(12 + 4a)x

= Cjp y (A B )(B C ) = 96. Calcular CD.

4x a) 12 2.

b) 6

d) 3

e) 2

En una recta se ubican los puntos consecuti v o s A , B , C y D, de m odo q u e: B C = 6 y A C + B D = 2 0 . C alcu lar AD. a) 10

c) 4

b) 12

c) 14

d) 20

9x a) 6 10.

e) 18

a) 6

b) 8

11.

b) 4

d) 3

a) 12 12.

I I 3a 1

13.

1 1 I I 3b 1 2a 1 2b 1 70

b) 18

c) 16

d) 42

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: A B = 17; C D = 23 y AD = 6 B C . C alcu lar B C . a) 8

b) 7

c) 6

d) 5

x b) 6

c) 9

d) 18

e) 3

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

b) 24

c) 28

d) 42

e) 39

e) 28 14.

e) 5

En una recta se tienen los puntos consecuti vos A, B, C y D, de modo que: 2AB = 3BC = 4CD y AD = 52: calcu lar BD . a) 36

a) 14

d) 6

En una recta se tienen los puntos consecuti vos A , B , C y D de modo que:

a) 1,5 D

c) 2

A C = 5; BD = 4 y —------ - L = ^ ; calcular B C . CD AB 2

e) 6

Del gráfico, calcu lar BD . A

b) 4

En la figura, calcular x, si M e s punto medio de

e) 5

d) 7

c) 5

e) 3

En una recta se ubican los puntos c o n se cu tivo s A, B , C y D, de m odo q u e : B C = 6; B D = 2 A B y A C = 5C D . C alcu lar A B .

En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que: A C = BD = 8. C a l cular C D , si ad em ás: AD - B C = 10 a) 10

d) 2

A C y N es punto medio del B C .

c) 9

b) 5

a) 3

Del gráfico, calcu lar x, si: (A C )(A B ) = 20

c) 4

e) 9

En una recta se tienen los puntos consecuti vo s A , B , C , D, E y F, si: AC BC

BD CE CD " DE

p _ AB BC BC ^ CD

DF EF

14, calcular:

CD DE DE + EF

¡ C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 14 d) 12 15.

b) 18 e) 7

c) 16

En una recta se tienen los puntos consecuti vos A, B, C y D. C alcu lar A C , si: (A D )(B C ) = 16

a) 16 d) 6 22.

Y AB ~ CD = AC a) 1 d) 4 16.

b) 2 e) 8

Sobre una recta se tienen los puntos co n se cu tivos A, B y C . Luego se ubica e! punto medio M de A B ; si A B = 8 y A C = 22, hallar AM. a) 13 d) 16

b) 14 e) 17

23.

24. 17.

Sobre una recta se tienen los puntos consecuti v o s A, B, C y D de modo que: B C = 5 y AD = 29. N d e C D . Hallar MN.

18.

b) 8 e) 9

b) 12 e) 15

c) 13

Dados los puntos colineaies y consecutivos A, B. C y D, de modo que: A B = C D = 3. Hallar

a) 6 d) 14

c) 13 25.

En una recta se tienen los puntos consecutivos A , B y C de m anera que: A B - B C = 12. Luego se ubica el punto medio M de A C . Hallar MB. a) 6 d) 4

19.

b) 15 e) 19

c) 6

AQ s ¡- _1______ 1 _ _ J L ’ ' BC AD 20

Luego se ubican los puntos medios M de A B y

a) 17 d) 11

b) 5 e) 2

S e tienen los puntos colineaies y consecuti vos A, B, C y D, tal que: A B = C D = 5. Hallar A C . si (A D )(B C ) = 144. a) 6 d) 14

c) 15

c) 10

Sobre una recta se tienen los puntos consecuti vos A, B. C y D, de modo que: A B = 4 y C D = 6. Luego se ubican los puntos medios M d e A C y N de BD ; hallar MN. a) 3 d) 4

c) 3

b) 12 e) 8

26.

Sobre una recta se tienen los puntos co n se cu tivos A, B y C , tal que A B = 8; luego se ubican-

b) 5 e) 8

c) 6

Sobre una recta se tienen los puntos consecu tivos A, B, C y D. Hallar B C , si: A D = 6 B C , A B = 9 y C D = 16. a) 5 d) 7

los puntos medios M de A C y N de B C . Hallar

c) 13

S e tienen los puntos colineaies y consecutivos A, B, C y D. Si A B = 3C D , B C = 11 y AD = 35, hallar C D . a) 4 d) 7

c) 3

b) 12 e) 15

b) 6 e) 8

c) 4

MN. 27. a) 6 d) 4 20.

b) 5 e) 8

c) 2

En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D, siendo A C = 7 y BD = 11. Luego se ubican los puntos medios M de A B y N de

a) 10 d) 12

21.

b) 11 e) 4

tivos P . Q . R y S , tal q u e: ^ b) 8 e) 9

c) 10

luego se ubican a los puntos medios M de A B , N de B C y S de MÑ. Hallar S B .

;

P S + Q R = 38. Hallar Q R . a) 15 d) 25

En una recta se ubican a los puntos consecu tivos A, B y C , de modo que: A B - B C = 32:

c) 15

28. Sobre una recta se tienen los puntos consecu

C D . Hallar MN. a) 6 d) 7

Dados los puntos colineaies y consecutivos A, B, C y D, de modo que: 3A B = 5C D . B C = 7 y AD = 39. Hallar C D .

29.

b) 10 e) 14

c) 20

S e tienen los puntos colineaies y consecutivos A , B . C y D . tal q u e: 2 A B = 3 B C = 4C D y AD = 26. Hailar BD .

b) 18 e) 14

a) 16 d) 20 30.

a) 81 d) 100

c) 12

b) 25 e) 121

e o m e t r ía

c) 144

En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B. C y D. Hallar A C si (A B )(C D ) = (A D )(B C ); (B C )(C D ) = 47 y (A D )(A B ) = 96.

S e a n Z A O B , Z B O C y Z C O D ángulos ad ya centes de modo que el Z B O C se a recto. S e an OP, OQ Y O Z bisectrices de los Z A O B , Z C O D y Z P O Q en e se orden,

a) 6 d) 9

Calcular:

U1 lll > < I ü

b) 7 e) 12

c) 8

1. d

7. d

13. c

19. d

25. c

2. c

8. b

14. b

20. e

26. a

3. a

9. e

15. d

21. e

27. d

4. c 5. e 6. a

10. b 11. a 12. d

16. c 17. a 18. a

22. b 23. c 24. c

28. b 29 e 30. b

a) 1 d) 2

m AOB m. -COD b) 1/2 e) 3

c) 1/3

S e tienen los ángulos consecutivos AO B, BO C y C O D , de manera que el Z A O D sea de 164° y el Z B O C _se a _d e 96°. S e trazan las bisec trices OT, O S . O P y O R , de los ángulos A O B , C O D : A O S y TO D en e se orden. C alcu lar la

m ZPO R. [ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS " j \ En el gráfico: A, O y B son colineales. Hallar la m ZAO C.

a) 34° d) 46° 7.

c) 68°

S e trazan los rayos coplanarios y co n se cu

a) b) c) d) e)

22°30 45° 30° 15° 60°

tivos O A, O B, O C y OD, determ inándose los ángulos consecutivos A O B , B O C , C O D y DO A

a) b) c) d) e)

180° 520° 480° 360° 720°

De la figura, calcular el máximo valor entero im par de x, si 9 es la medida de un ángulo agudo.

que miden 90°, 70°, 100° y 100°. C alcu lar el complemento de o°. a) 70° d) 17°

b) 28° e) 17°

a) b) c) d) e)

Si: L , // L 2, calcu lar el máximo valor entero de x. siendo el Z C A B agudo. a) b) c) d) e)

b) 80° e) 60°

c) 10°

100° 120° 130° 133° 145°

E l doble del complemento de un ángulo su m a do con el suplem ento de otro ángulo es igual al suplem ento del primer ángulo. C alcu lar la sum a de las m edidas de dichos ángulos.

18° 17° 16° 15° 12°

a) 100° d) 180“

Si C indica com plem ento y S indica su p le mento, calcular: í3 C (3 0 ° ) + 2 S (1 0 0 °) f 34°

10.

b) 45° e) 120°

c) 90°

S e tiene los ángulos consecutivos AO B: BO C y C O D , tal que: m ZA O D = 148° y m Z B O C = 36°. C a lcu la r la medida del ángulo formado por las b isectrices de los ángulos A O B y C O D .

¡ C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 108° d) 56° 11.

b) 36° e) 74°

S e tiene ios ángulos consecutivos PO Q , Q O R y R O S , de tal manera que: m Z P O R = 32° + k y m Z Q O S = 88° - k. Calcular la m Z Q O R , si el ángulo P O S es recto. a) 22° + k d) 40°

b) 30° e) 16° + k /2

del suplemento del ángulo triple del segundo. Calcular la medida de dichos ángulos.

92°

17.

68° - k

2 m Z A O B + m Z D O E = 150°

13.

18.

a) b) c) d) e)

l-2 I-3

El doble del complemento de un ángulo au mentado en el triple del suplem ento del doble de dicho ángulo nos da 480°. Hallar, el suple mento dicho ángulo: a) 30° d) 150°

16.

c) 36°

b) 60° e) 135°

c) 120°

La diferencia de las medidas de dos ángulos e s 40° y el triple del suplemento del ángulo doble del primero e s igual al duplo del complemento

‘

... ..... ' ' < x - 0

‘ Ll

X^£> /x1 1 *» l_2 m ZD CQ

- y m ZAQ C = 2 *

calcu lar el complemento del Z D C Q .

C alcu lar x, si: L 1 // L2 // L 3 y a - b = 36° Li

15.

34° 32° 28° 29° 30°

S i: Á B // DO,

b) 72° e) 52°

c) 63°

Del gráfico, calcu lar el valor de 9 cuando x toma su mínimo valor entero par. S i: L 1 // L 2. a) b) c) d) e)

143° 127° 150° 135° 165°

a) 54° d) 63°

b) 28° e) 75°

a) 23° d) 36°

Si: L-i // L 2, calcu lar x. a) b) c) d) e)

14.

25° 75° 60° 65° 50°

Sean: Z A O B, Z B O C , Z C O D , Z D O E y Z E O F ángulos consecutivos, tales que: m Z A O F = 154° y m Z A O D = m Z B O E = m Z C O F. C alcu lar la m Z B O C , si la medida del ángulo formado por la bisetriz del Z C O D y el rayo O E es igual a 54°.

12. C alcu lar la m Z B O C , si: m Z A O B = 2 m Z C O D y

A) b) c) d) e)

b) 30° y 90° d) 70° y 50°

a) 60° y 60° c) 45° y 75° e) 40° y 80°

20.

20° 60° 50° 70° 80°

A Z* Q<C d

-------

S i: L , // L2, calcular x. a) b) c) d) e)

15° 10° 12,5° 22° 22°30'

17. a

1. b

5. a

9. d

13. d

2. e

6. e

10. c

14. d

18. d

3. c

7. c

11. b

15. a

19. c

4. e

8. d

12. e

16. e

20. e

TRIANGULOS E s la figura geom étrica formada ai unir tres puntos no co lineaies mediante segm entos. Elem ento s:

Teorem a 2. En todo triángulo la medida de un án gulo exterior es igual a la sum a de las m edidas de dos ángulos interiores no ad yacentes a él. B

V értices: A, B y C Lad os: A B , B C y A C

X =

Notación:

a +

Triángulo A B C : A A B C

REGIONES DETERMINADAS TRIÁNGULO ►B /

RESPECTO

Teorema 3. En todo triángulo la sum a de las m e didas de los ángulos exteriores considerando uno por vértice e s igual a 360°.

R eg ió n interior

R eg ió n exterior

relativa a A B

relativa a B C

A /

BA,

x + y + z = 360°

R eg ió n exterior relativa a A C

ANGULOS DETERMINADOS TRIÁNGULO

RESPECTO

AL Teorema 4. En todo triángulo al lado de mayor longitud se le opone el ángulo de m ayor medida y viceversa (propiedad de correspondencia).

Medida de los ángulos internos: a ; P; 0 Medida de los ángulos externos: x: y; z Perím etro de la región triangular A B C (2pAABC) 2P m b c — a + b + c Semiperimetro de la región triangular A B C

Teorema 5. E n todo triángulo la longitud de un lado es m ayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos y menor que la sum a de las m ism as (pro piedad de existencia).

(P a a b c )

a + b+ c Paabc -

E n el A A B C , se a: a > b > c

TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL TRIANGULO

b -c< a< b + c

Teorem a 1. En todo triángulo la sum a de las medi d a s de su s ángulos interiores e s igual a 180°. B x =a +p +0 a + p + 9 = 180°

| C o lec c ió n E l P o s t u l a n t e

E n la fig u ra : A A O B y A C O D presentan un án gulo interior opuesto por el vértice.

Triángulo acutángulo. E s aquel triángulo, que tiene su s ángulos internos agudos.

S e cumple: a

+ (1 = 0

Triángulo oblicuángulo. E s aquel que no tie ne ángulo recto y puede ser:

+ y

a < 9 0 °; |3 < 9 0 °; 6 < 9 0 ° => A A B C : acutángulo

x + y = a + [5 Triángulo obtusángulo. E s aquel triángulo que tiene un ángulo interior obtuso. Si: 0

90°

=> A A B C : obtusángulo, obtuso en A. a¿

b + c¿

Seg ún las longitudes de s u s lados

CLASIFICACIÓN DE TRIANGULOS Lo s triángulos son clasificados de acuerdo a las m edidas de su s ángulos o la longitud de su s lados.

Triángulo escalen o . E s aquel triángulo, en e! cual, su s lados tienen diferente longitud.

Según las m edidas de s u s ángulos 1.

Triángulo rectángulo. E s aquel triángulo que tiene un ángulo recto.

S i : a A b A c => A A B C : escaleno

En la figura, m Z A B C = 90° A B y B C : catetos: A C : hipotenusa

Triángulo isó sc e le s. E s aquel triángulo que tiene dos lados de igual longitud.

A dem ás : a + 0 = 90° Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rec tángulo el cuadrado de la longitud de la hipo tenusa e s igual a la sum a de los cuadrados de las longitudes de su s catetos. En el L A B C , se cumple:

S i: A B = BC => A A B C : isó sceles. A B y B C : laterales A C : base m ZBAC = m ZACB Triángulo equilátero. E s aquel triángulo cu yos lados son de igual longitud.

eo m e t r ía

En el A A B C : L 1 A C y A M = MC => L: mediatriz de A C 4.

Altura. E s una ceviana perpendicular al lado, al cual es relativa, la posición de una altura res pecto al triángulo depende del tipo de triángulo. B

Si: a = b = c => A A B C : equilátero a = P = 0 = 60°

LINEAS NOTABLES ASOCIADAS AL TRIANGULO 1.

Ceviana. E s aquel segm ento que une un vér tice con un punto del lado opuesto o de su prolongación.

BH 1 A C =5 BH : altura relativa a A C

cYlata:

----------------------- ---------------------------------------------------

Aa E n el A A B C :

• D pertenece a A C En el C\ABC

=> BD : ceviana interior relativa a A C

=3 BH : altura relativa a la hipotenusa A C

• E pertenece a la prolongación de A C => B E : ceviana exterior relativa a A C 2.

Mediana. E s una ceviana que biseca el lado al cual e s relativa.

En el A A B C : obtusángulo (y > 90°) A P : altura relativa a BC C Q : altura relativa a A B BH : altura relativa a A C

M es punto medio de A C => BM: m ediana relativa a A C 3.

Medlatriz. E s aquella recta perpendicular a un lado que b iseca a dicho lado, B

B isectriz. E s aquella ceviana interior o exte rior que biseca a un ángulo interior o exterior, respectivam ente. B isectriz interior B

¡ C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

En el A A B C :

TRIANGULOS CONGRUENTES

A D : bisectriz interior relativa a B C

Son dos triángulos cuyos ángulos son, respectiva mente, de igual medida y ad em ás su s lados co rrespondientes de iguai longitud (ángulos y lados homólogos) A A B C s A A 'B 'C ' „B X vB'x

B isectriz exterior

En el A A B C : B E : bisectriz exterior relativa a Á C

PROPIEDADES DE ÁNGULOS DETERMINADOS POR BISECTRICES

m Z B A C = m ZB 'A 'C ' =» A B = A ’B ’

Ángulo determinado por las bisectrices de un ángulo interior y un ángulo exterior.

m Z A C B = m ZA 'C 'B' => C A = C'A'

m Z A B C = m Z A ’B 'C 1 => B C = B'C'

CASOS DE CONGRUENCIA P a ra poder afirmar que dos triángulos son con gruentes, es necesario que tres elem entos en uno de ellos sean de igual media que los otros elem en tos correspondientes en el otro triángulo, de los cu ales por lo m enos uno, e s un lado. En el A A B C :

C a so : Lado - Ángulo - L ad o (LA L). Dos triángu los son congruentes, si tienen un ángulo interior de igual medida y adem ás los lados que determinan a dicho ángulo, respectivam ente, de igual longitud.

A P : bisectriz del ángulo interior. C P : bisectriz del ángulo exterior.

P X=2 Ángulo determ inado por las bisectrices de dos ángulos interiores B

En el A A B C : Al

y Cl : bisectrices de

ios ángulos interiores. -90° +

Ángulo determinado por las bisectrices de dos ánguios exteriores En el A A B C : B E y C E : bisectrices de los ángulos exte-

x =9 0 °-|

S i: m Z B A C = m ZB 'A 'C ' A B = A'B'

=* A A B C s A A 'B 'C '

A C = A 'C C a so : Ángulo - Lado - Ángulo (ALA). Dos trián gulos son congruentes, si tienen un lado de igual longitud y adem ás ios ángulos ad yacentes a di chos lados, respectivam ente, de igual medida.

S i: A C = A ’C' m Z B A C = m ZB 'A 'C '

A A B C = A A 'B 'C '

dos de un triángulo; al tercer lado se le derorr base.

m Z A C B = m ZA 'C 'B' C a so : Lado - Lado - Lado (LLL). Dos triángulos son congruentes, si su s lados son, respectivam en te, de igual longitud. b ase

Teorem a de ia b ase media. E s todo triángulo, una base media e s paralela a la base y su longitud es la mitad de la longitud de dicha base.

Si: A B = A'B' B C = B 'C ’

A A B C = A A ’B 'C

A C = A'C'

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA

Teorem a de la b isectriz. Todo punto que pertene ce a la bisectriz de un ángulo equidista de los lados de dicho ángulo.

S i: AM = MB y BN = NC =» MN: base media

M N //A C

MN =

B isectriz

Teorema de la mediana relativa a ia hipotenusa En todo triángulo rectángulo la longitud de la m e diana relativa a la hipotenusa e s igual a la mitad de la longitud de dicha hipotenusa BM: mediana relativa a la hi potenusa A C del k A B C . S i: R e OP, RH 1 O A y R Q 1 O B R H = RQ

BM =

OH = OQ

Teorema de la mediatriz. Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extrem os de dicho segmento.

S e a : L m ediatriz del segm ento A B . Si: P e L PA = P B

B a s e media de un triángulo. E s el segm ento que tiene por extrem os, los puntos medios de dos la

TRIANGULOS RECTANGULOS NOTABLES S e denominan a sí a ciertos triángulos rectángulos en los cu ales conociendo las m edidas de su s án gulos Internos (denom inados'ángulos notables) se tendrá presente una determ inada relación entre las longitudes de su s lados y vice ve rsa. Entre ios m ás importantes tenem os: A notable de 45°

K notabie de 30° y 60°

ín

¡ C o le c ció n E l P o stu la n te

A B C D es un cuadrado:

notable de 15° y 75°

AB = BC = CD = A D = a a(-Í6

El A A E D e s equilátero:

A E = ED = A D = a m Z E A D = m Z A E D = m Z A D E = 60° El A A B E es isó sceles: 30° + 2 m Z A E B = 180° =» m Z A E B = 75°

TRIANGULOS RECTANGULOS NOTABLES APROXI MADOS t\ notable de 37° y 53°

En el punto E : 75° + 60° + x = 180° x = 45°

tx notable de 53 7 2 = 2 6 °30’

En un triángulo A B C , A B

= 5; B C

= 9,

m Z A = 2 m Z C , se traza la bisectriz interior BD . C alcu lar AD.

R eso lu c ió n :

notable de

t\ notable de

37 7 2 = 18°30'

16° y 74°

Sobre la prolongación de C A c o n s t r u im o s el triángulo isó sce les A E B , con A E = A B = 5 24 k

fck notable de 8° y 82°

E l A E B C e s isó sce les: E B = B C = 9 Analizando ángulos se deduce que el A E B D e s isó sce les: E D = E B 5 + x = 9

x =4

82^ \5kV 2~ C alcu lar x.

EJERC IC IO S RESUELTOS En el interior de un cuadrado A B C D se co ns truye el triángulo equilátero A E D , la prolon gación de B E corta el lado C D en el punto F. Hallar la medida del ángulo D EF,

R es o lu c ió n : B

R es o lu c ió n :

Usando el teorema adicional 1. En el A A B C D : 45 = 3x + 4<t> + x

... (1)

En el />E B C D : 35 = 24° + 3<|> + x

eo m e t r ía

C alcu lar x, si: AD = B D , B E = E C

... (2)

De (1) y (2): x = 12° E n un triángulo A B C se traza su m ediana AM, por el punto medio F de AM se traza una recta paralela al lado A C que corta al lado A B en D y al lado B C en E . Hallar F E . si D F = 3.

R eso lu c ió n :

R e s o lu c ió n :

El A A B D e s isó sce les: m / A = m Z A B D = a El A B E C e s isó sce les: m Z C = m Z C B E = <|> En el vértice B: 3x + a + <t>= 180° ... (1) En el A A B C : 2x = a + c|> ... (2)

Trazam o s M N / / A C / / D E En el AA N M , D F e s su base media: DF = 3 = — 2

=> NM = 6

De (1) y (2): x = 36°

En el A A B C , MN e s su base media: 7.

En el A A M C , F E es su base media:

En un triángulo A B C , las bisectrices interiores de los ángulos A y C se cortan en el punto F. E n contrar la medida del ángulo B, sabiendo que: m Z A F C + m Z A B C = 165°.

FE =

R eso lu c ió n :

NM = 6 = ~

^ A C = 12

^ x = —

x =6

Los lados de un triángulo A B C miden A B = 10, B C = 14, A C = 16, se trazan BQ y B P per pendiculares a las bisectrices interiores de los ángulos A y C . Encontrar PQ

R eso lu c ió n : B

U sam os la propiedad de bisectriz interior m Z A F C = 90° + ^ 2 Del dato: m Z A F C + m Z A B C = 165° 90° + — + x = 165° 2 8.

-1 6

Prolongam os B P y BQ El A A B E es isósceles: A B = A E = 10; BQ = Q E El A D B C e s isósceles: B C = CD = 14: B P = PD En el A D B E , PQ es su base media: PQ = 5 £

PQ=4

x = 50°

En un triángulo A B C , la mediana BD y la ceviana interior A E se cortan en F . E n c o n tra r F E , si A F = 12, E C = 2 B E

R es o lu c ió n : B

[ C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

Trazam o s D J // A E .

a) 2; 3; 4; 5; 6

En el A A E C , D J e s su base media: AE E J = J C = m => DJ 2 En el A D B J , F E e s su base media:

b) 2; 3; 4

FE = x ■

D J = 2x

En (1): 2x :

12 + x

3x + 6,

c) 3; 4; 5 d) 4; 5; 6 e) 3; 4 6.

En el triángulo escaleno mostrado, calcular los valo res enteros que pueden tomar x.

x =4 a) 2; 3; 4

b) 3; 4 c) 2; 3

[ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS 1 l

d) 1; 2; 3; 4; 5 En la figura, calcu lar la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar x.

e) 4 7,

En la figura, calcular: x + y + z a) 180° b) 360° c) 540° d) 720° e) 270°

c) 7

a) 9 d) 6

En la figura, calcular: a + b + c + d + e + f a) 180°

En la figura, calcu lar x, s i:A B = A D y B C = E C a) b) c) d)

10° 12° 15° 18°

e) 20 '

b) 360° c) 540°

d) 720° e) 900° A

En la figura, calcu lar la m Z A B C

B 3.

En la figura, calcu lar x a) 150° b) 118° c) 144° d) 132° e) 126°

a) b) c) d) e)

120° 150° 144° 135° 105°

d) 90°

/ai 2¡K

10.

e) 75°

En la figura, calcu lar x

/áp ' X,

En la figura, calcular los valores enteros que puede tomar x.

d) 12°

e) 18°

11.

e o m e t r ía

En la figura, calcu lar x. a) 70 b) 80° c) 75° d) 90° e) 120°

12.

18.

En la figura, calcular x.

En la figura, calcu lar x.

D 19. 13.

En la figura, calcu lar el máximo valor entero que puede tomar x.

14.

En la figura, calcular: x + y

En la figura, calcu lar x, si: G e s baricentro del AABC.

2 0 . En la figura, calcu lar x, si: I es incentro de! triángulo A B C .

a ) 120° b) 180° c) 60° d) 90°

15.

En la figura, calcu lar x, si: A C = BD B

1. b

OI O

e) 45° 9. c

13. b

17. c

2. c

6. e

10. e

14. d

18. d

3. e

7. b

11. e

15. e

19. e

4. a

8. d

12. a

16. a

20. d

[ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS 2~1 16.

17.

En la figura, calcu lar x, si H e s ortocentro del triángulo A B C .

En la figura, calcular el valor de x.

E n un triángulo A B C se_traza la cevlana BD que biseca a la m ediana A E en el punto P, cal cular PD , si BD = 8.

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

10.

a) b) c) d) e)

En la figura, calcu lar el valor de x. a) b) c) d) e) 4.

, 5.

a) b) c) d) e)

En la figura, calcu lar Q C , si NP = 6. B

17° 15° 21° 13° 12°

//i

a) 6 d) 7

En la figura, calcu lar el valor de x. 12.

12° 15° 20° 18° 10°

50° 30° 20° 40° 70°

En la figura, calcu lar el valor de x.

d) 10°

13. \ D

21° 32° 42° 36° 40°

z x

i- i

e) 12° En la figura, calcular ei valor de x. a) b) c) d) e)

En la figura, calcu lar el valor de x. a) b) c) d) e)

c) 9 e) 5

a) 15° b) 30° c) 18°

En la figura, calcu lar el valor de x. a) b) c) d) e)

11.

40° 30° 50° 10° 20°

En la figura, calcu lar el valor de « .

a) b) c) d) e) 6.

7 6 4 5 3

En figura, calcular el valor de x.

14.

30° 45° 37° 60° 53°

/0 \3

En la figura, calcu lar el valor de x.

En la figura, calcu lar el valor de x. a) b) c) d) e)

a) 60° d) 37°

6 2 3 4 5

15.

b) 15° e) 47°

c) 45°

En la figura, calcular el valor de x.

En la figura, calcu lar el valor de x. a) b) c) d) e)

37° 53° 30° 60° 45°

a +b a) 15° d) 16°

b) 25° e) 30°

20°

16.

19.

En la figura, calcular el valor de a . a) 15° b) 14°

En la figura, calcu lar el valor de x.

20.

a) 26° b) 14°

c) 4

d) 7 E )8

—

En la figura, calcular el valor de x.

b) 37° c) 53° d) 45° e) 60°

e) 30° En un triángulo A B C . el ángulo A mide el do ble del ángulo C . la bisectriz exterior trazada de A interseca la altura trazada de B en el punto D, calcu lar C D , si BD = 6. a) d)

En la figura, calcular BD.

a) 30°

c) 20° d) 10°

18.

b) 5

c) 12° d) 10° e) 18° 17.

e o m e t r ía

6 b)7 9e) 5

c) 8

1. a

5. b

9. b

13. c

17. e

2. a

6. d

10. e

14. c

18. a

3. d

7. c

11. c

15. e

19. a

4. b

8. c

12. b

16. d

20. d

POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS POLÍGONOS E s ia figura geom étrica cerrada, que se forma al unir consecutivam ente tres o m ás punto no colineales, mediante segm entos; de tal modo que di cha figura limite una región del plano.

CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS Por la región que limitan Polígono convexo. E s aquel polígono que limita una región convexa.

Elem entos: V értices: A, B, C , D, E ,... y P Lad o s: A B , B C , C D , D E

y PA

Notación: Polígono A B C D E ...P Án g u lo s determ inados

El polígono A B C D E F G limita una reglón con ve x a , entonces el polígono se denomina con vexo. Polígono no co nvexo o có ncavo. E s aquel polígono que limita una región no convexa.

Medidas de los ángulos interiores: a ,. a 2, ots. «4 y cx5 Medida de los ángulos exteriores: 0 ,, 6 ,. ü3, 04 y 05

E l polígono A B C D E F G H ¡Imita una región no convexa, entonces ei polígono se denomina no convexo. Por ¡as m edidas de s u s elem entos (iados y á n

LÍNEAS ASOCIADAS AL POLÍGONO Diagonal. E s el segm ento cuyos extrem os son dos vértices no consecutivos. Para el polígono A B C D E F , mostrado en el gráfico; A C es una diagonal. D iag o nal m ed ia. E s el segm ento cuyos extrem os son ¡os puntos medios de dos lados. P a ra el polígono A B C D E F , m ostrado en el grá fico; si: M y N son puntos m edios de A F y E D , resp ectivam ente, ento nces MN e s una diagonal m edia.

gulos) Polígono equiángulo. E s aquel polígono cuyos ángulos internos son de igual medida; dicho polígono siem pre es convexo. A dem ás su s ángulos externos son de igual medida.

E l polígono A B C D E F es equiángulo, a : medida de su s ángulos interiores O: medida de su s ángulos exteriores

e o m e t r ía

Su m a de las m edid as de los áng ulos inter nos (S ¡):

Polígono equilátero. E s aquel polígono cu yos lados son de igual longitud; dicho polígo no puede se r convexo o no convexo.

E l polígono e s convexo de n lados. S| = a-¡ + a 2 + ... + a n = 180°(n - 2)

Tam bién se cum ple en polígonos no con vexos.

polígono convexo

polígono no convexo o cóncavo

Lo s polígonos A B C D E y M N LTQ son eq uilá teros.

Sum a de las m edidas de los ángulos externos de un polígono convexo tomado uno por vérti ce (S e):

Polígono regular. E s aquel polígono equián gulo y equilátero a ia vez.

S e m uestra un polígono convexo de n lados. Se = 360° 4.

Número de diagonales de un polígono: Número de diagonales trazad as desde un vértice:

E l polígono A B C D E F e s regular. O: centro del polígono regular (punto de con

currencia de las m ediatrices de los lados)

ÁNGULO CENTRAL En un polígono regular, se define el ángulo central, como aquel ángulo cuyo vértice e s el centro del polígono y cuyo s lados contiene a los extrem os de un lado de dicho polígono

S e m uestra un polígono de n lados.

En el gráfico, Z A O B : ángulo central. N .‘ d iagon ales d e

1 vértice '

PROPIEDADES 1.

En todo polígono de n lados: N. vértices = N, lados =

N.° ángulos = n internos

•

Número total de diagonales. En todo polí gono de n lados: N .‘ total de d ia g o n ale s

n(n - 3) '

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

---------------------------

Número de diagonales m edias de un polígono:

CUADRILÁTEROS E s aquel polígono de cuatro lados. Puede se r con vexo o no convexo.

S e tiene un polígono de n lados. Se an : M-,, M2, M3 Mn los puntos medios de los lados del polígono:

¿3A B C D : convexo •

N-

diagonales medias de 1 punto medio = n — 1

Lados opuestos: A B y C D . B C y AD Ángulos opuestos: BA D y B C D , A B C y A D C D iagonales: A C y BD

Número total de diagonales m edias en todo polígono de n lados:

Su m a de m edidas de ángulos interiores.

a + p + e + S = 360° No l '1-

_ n (n — 1) total d e d ia g o n ale s m e d ia s ~

Medida de un ángulo interior en polígonos equiángulos:

D iagonales: A C y BD.

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS S e muestra un polígono equiángulo de n lados. 0: medida de un ángulo interior. A 180°(n - 2) 0 2= -------------n 7.

Medida de un ángulo exterior en polígonos equiángulos:

Lo s cuadriláteros convexos se clasifican según el paralelism o de su s lados opuestos en:

TRAPEZOIDE E s aquel cuadrilátero convexo que no presenta la dos opuestos paralelos. Un trapezoide puede se r sim étrico (trapezoide don de una de las diagonales e s parte de la mediatriz de la otra diagonal) o asim étrico (trapezoide que no cumple la condición del trapezoide sim étrico).

S e muestra un polígono equiángulo de n lados, a : medida de un ángulo exterior. '

a = 360°

L3A B C D : trapezoide simétrico Ento nces: A C es parte de la m ediatriz de BD .

También, se cumple que A C es eje de simetría del trapezoide.

e o m e t r ía

= Q A B C : trapecio rectángulo (recto en A y B). Tam bién es un trapecio escaleno. Trapecio isó sc e le s . E s aquel trapecio cuyos lados laterales son de igual longitud.

Z1ABCD: trapezoide asimétrico

TRAPECIO E s aquel cuadrilátero convexo que solo tiene un par de lados opuestos paralelos.

Si: B C //AD y A B = CD =■ Z 3A B C D : trapecio Isó sceles S e cumple: m ZBAD = m ZCD A

y A C = BD

PROPIEDADES En todo trapecio, la base media es paralela a su s b a ses y su longitud e s Igual a la se m isu ma de las longitudes de su s b ases.

Si: B C //AD, A B H C D Ento nces Z Z A B C D e s un trapecio. •

B a s e s :B C y A D Laterales: A B y CD Altura: BH B a se media: MN

CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS Los trapecios se clasifican de acuerdo a la longitud de su s lados laterales en:

En la fiqura, MN es la base media del trapecio ABCD.

Trapecio e scalen o . E s aquel trapecio cuyos lados laterales tienen diferente longitud.

S e cumple:

a +b MN // B C

También:

S I: B C / / A D y A B ^ C D => Z Z A B C D : trapecio escaleno B_

C O A B C D : trapecio rectángulo Si: M e s punto medio de B C y MN 1 A D

X li

S e cumple:

m Z A B C = m Z B A D = 90°

a + b 2

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

En todo trapecio, el segm ento que une los puntos medios de su s diagonales e s paralelo a su s b a ses y su longitud e s igual a la semidlferencia de las longitudes de dichas b ases.

CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS Rom boide, E s aquel paralelogramo que tiene los lados consecutivos de diferente longitud y su s án gulos interiores tienen m edidas distintas de 90°. No e s equilátero ni equiángulo.

¿7 A B C D : romboide

B C // A D , P y Q son los puntos medios de A C y B D , respectivam ente. S e cumple: P Q // BC

M es un punto medio de A C y MH 1 BD .

Rom bo. E s aquel paralelogramo que tiene su s la dos de igual longitud y su s ángulos interiores tie nen m edidas distintas de 90°. E s equilátero y no equiángulo.

S e cumple: S e cumple:

Z7A BC D : rombo

c II E

C d = a -

PARALELOGRAMO E s aquel cuadrilátero convexo que tiene su s dos pares de lados opuestos paralelos.

Rectángulo. E s aquel paralelogramo que tiene su s lados consecutivos de diferente longitud y las m edidas de su s ángulos son iguales a 90°. E s equiángulo y no equilátero. C | EZ1ABCD: rectángulo a

S i: A B // C D

B C //A D

=> Z7A BC D : paralelogramo

PROPIEDADES A B = CD

Cuadrado. E s aquel paralelogram o que tiene su s lados de igual longitud y las m edidas de su s ángu los igual a 90°. E s equilátero y equiángulo, e s decir que el cuadrado e s un polígono regular.

B C = AD

m ZBAD = m ZB CD

□ A B C D : cuadrado O: centro del cuadrado.

m ZA BC = m ZADC AO = O C

BO = OD

Teorem a:

E s un cuadrilátero convexo o no convexo, el cua drilátero que tiene por vértices a ios puntos medios de su s lados e s un paralelogramo.

e o m e t r ía

Lo s núm eros de lados de dos polígonos regu lares son dos núm eros consecutivos. C alcu lar el número de lados del polígono de m ayor án gulo exterior, si la diferencia de las m edidas de su s ángulos exteriores es 12°.

R e s o lu c ió n : S e a n : n y n + 1 el número de lados de los dos polígonos regulares. Por dato:

360° n

360° = 12° n+ 1

Ento nces los polígonos tienen 5 y 6 lados. M, N, L y P: puntos medios de A B , B C , C D y AD, respectivam ente. S e cumple:

E l polígono que tiene el menor número de la dos tendrá el m ayor ángulo exterior. 5 lados

Z7M N LP: paralelogramo 5. EJERC IC IO S RESUELTOS

Hallar el número de lados de un polígono regu lar, si la medida de su ángulo interior es igual al triple de la medida de su ángulo central.

R e s o lu c ió n :

El número de diagonales de un polígono es igual a doce veces su número de lados. ¿Cuánto s lados tiene el polígono?

mz i = 3 m _e

180°(n - 2)

360°

R e s o lu c ió n : Nd = 12n => 2.

_ i 2n

6. n = 27

L a diferencia entre el número de diagonales y el número de ángulos rectos que contiene la sum a de las m edidas de los ángulos interiores de un polígono e s igual a 13. Hallar el número de lados.

C a lcu la r la b a se m ayor de un trapecio, los lados no paralelos miden 5 y 7, las bisectri c e s interiores de los ángulos ad ya ce n tes a la b a se menor se cortan en un punto de la base mayor.

R e s o lu c ió n :

R e s o lu c ió n : N q ~ N. Z rectos — 13 n(n - 3)

1 8 0 "(n -2 ) 9 0”

= 13

En un polígono, el número de diagonales m ás el número de triángulos que se forman al unir un vértice con los otros vértices m ás el núm e ro de ángulos rectos que contiene la sum a de las m edidas de su s ángulos interiores es igual a 14. Encontrar el número de lados.

Usando ángulos alternos internos: m ZA M B = m Z M B C = a m ZD M C = m Z M C B = 6 El A A B M es isó sce les: AM = A B = 5 El A M C D es isó sce les: DM = D C = 7 x = 12

■triángulos "L N . ángulos rectos — 1 4

C , n - 2) + ~

= 14

En un cuadrilátero convexo A B C D , A B = 6, C D = 1 0 . Hallar el perímetro del cuadrilátero que se forma a! unir los puntos medios de B C , ÁC, BD yÁ D .

| C o l ec c ió n E i P o s t u l a n t e

R eso fució n:

e j e r c ic io s p r o p u es t o s

C alcu lar el número de lados de un polígono convexo, si se sabe que: la sum a de las medi das de su s ángulos internos es igual al séxtu plo de la sum a de las m edidas de su s ángulos externos. a) 13

Usando el principio de la base media de un triángulo: En el A A B C : MN = - = 3

En el A A B D : PQ = f = 3 2

b) 14

c) 15

e) 10

En la figura, A B C D E F e s un hexágono regular, calcu lar 9. a) 90° b) 105°

En el A B C D : M Q t | = 5

c) 120° d) 150°

En el A A C D : NP = y

e) 144°

perímetro del AlM N PQ = 16

En un rombo A B C D cuyo lado mide 12, se toma el punto medio M del lado B C , por el punto medio de BM se traza una recta paralela al lado A B que corta a BD en P y a AM en Q. Hallar PQ .

a) e) 4.

Usando el principio de la base media de un triángulo nos dam os cuenta que P y Q son los

...(1 )

En el A A B C : MO e s su base media 6.

= 6

Reem plazando en (1): PQ = l í L d i

. PQ = 3

b) Heptágono d) Nonágono

Decágono

C alcu lar la sum a gulos Internos de sabe que desde dicho polígono se

de las m edidas de los án un polígono convexo, sí se 3 vértices consecutivos de han trazado 14 diagonales.

900

b) 1980

d) 1620

e) 1080

c) 1800

En la figura, calcular a + b, síx + y + z + w = 200° a) b) c) d) e)

puntos medios de BO y A M . En el trapecio ABM O ; PQ = ^

Hexágono

c) Octógono

R eso lu c ió n :

MO = M 2

S e tienen dos polígonos convexos de modo que el número de lados de uno es el doble del otro. SI la diferencia entre su s núm eros de diagonales es 81, entonces el polígono de menor lado se llam a:

300° 100° 400° 190° 200°

En un polígono equiángulo A B C D E ..., se sabe que el número total de diagonales es el triple de su número de lados; B C = C D y A B = BD. C alcu lar la m Z A D E . a) d)

120° 40°

b) 80° e) 90°

c) 60°

14.

En la figura m ostrada, calcular x, a) 6 b) c) d) e)

En la figura, calcu lar x. a) b) c) d) e)

11.

12.

13.

b) 60° e) 90°

b) 8 e) 11

16. En la figura, c a lcu la r x, si el pentágono e s regular.

c) 30°

c) 9

17. S e tiene un decágono regular A B C D E F ..., ha llar la medida del menor ángulo que forman las prolongaciones de A B y E D . a) 72° d) 18°

3 4 5 6 8

1 2 3 4 5

a) Pentágono c) Icoságono e) Dodecágono 19.

b) c) d) e)

2 3 4 6

c) 54°

20.

b) Nonágono d) Decágono

En un polígono regular A B C D E F ... de n la dos; la m Z A C E = 135°. C a lcu la r su número de lados. a) 8 d) 32

En el romboide A B C D mostrado, calcu lar la distancia entre los puntos medios de A E y BF.

a) 1

b) 36° e) 9°

¿C u á l e s el polígono cuyo número de diago nales es el doble del número de diagonales de otro polígono que tiene tres lados m enos?

En la figura, calcu lar x. a) b) c) d) e)

En la figura. calcular x.

d) 7 e) 5

En la figura, calcu lar x. a) b) c) d) e)

2 3 4 5 1

c) 6

L a s diagonales de un trapecio miden 10 y 12. C alcu lar el máximo valor entero que puede to mar la medida de su m ediana. a) 7 d) 10

a) 4 b) 3

En un trapecio Isó sceles, la diagonal mide el doble de su m ediana. C alcu lar la medida del ángulo formado por las diagonales. a) 45° d) 150°

10.

15.

2 3 4 5 6

En el trapecio A B C D mostrado, calcular x. a) b) c) d) e)

7 5 5.5 4,5

eo m e t r ía

b) 16 e) 30

c) 24

En un polígono regular A B C D E

las me-

dlatrices de A B y D E se cortan formando un ángulo de 135°. C alcu lar el número total de diagonales del polígono. a) 10° d) 30°

b) 20° e) 35°

25°

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

21.

En un polígono equiángulo d esd e (n - 5) vé rtice s co n se cu tivo s se trazan (n + 6) d ia gon ales. C a lcu la r Ja m edida de un ángulo interior.

23.

En la figura m ostrada, si A B C D es un trapecio; calcu lar MN a) 7 b) 6

a) d)

135° 60°

b) 140° e) 120°

c) 108°

c) 5 d) 4 e) 3

22. Sí el octógono mostrado e s regular, calcu lar 0 a) 60° b) 75° c) 53° d) 70° e) 85°

m iii > <í j u

1. b

6. e

11. b

16. d

2. c

7. b

12. c

17. a

21. a 22. b

3. c

8. a

13. c

18. e

23. d

4. e

9. b

14. c

19. b

5. e

10. d

15. d

20. b

CIRCUNFERENCIA E s el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto, de dicho plano, deno minado centro. A la distancia constante de estos puntos al centro se denomina radio de la circun ferencia.

cVlata: ;

•

.........................................................................................................................................................

E l círculo es la porción del plano que comprende la circunferencia y su inte rior. Ei perímetro del círculo es igual a la longitud de la circunferencia, entonces se cumple: L c = 2nr

L c: longitud de la circunferencia r: radio de la circunferencia •

La medida angular de una circunferen cia es igual a 360°

Una circunferencia determina en su plano corres pondiente dos conjuntos de puntos, denom inados interior y exterior a la circunferencia. Si: IO < R => I es un punto interior a la circunfe rencia. Si: E O > R => E es un punto exterior a la cir cunferencia. S i: O P = R => P e s un punto de la circunferen cia.

ÁNGULOS ASOCIADOS A LA CIRCUNFERENCIA Ángulo central

LÍNEAS ASOCIADAS A LA CIRCUNFERENCIA -LAOB: ángulo central

Ángulo inscrito

S e tiene la circunferencia de centro O y radio R . C uerda: C D Diámetro: A B Flecha o sagíta. E F R ecta secante: PQ R ecta tangente: LT (T: punto de tangencia) R ecta normal: L N Arco: es una porción cualquiera de la circun ferencia determ inada por dos puntos de la m ism a, denom inados extrem os demarco, en la figura, por ejemplo: el arco PQ : PQ

j C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

Á ngulo exinscrito Lt : recta tangente a la cir cunferencia en T.

¿ B P Q : ángulo exinscrito

O T 1 LT

*= !

Todo diámetro perpendicular a una cuerda bi se ca a dicha cuerda y a los arcos que subtiende.

Ángulo interior Z A P B : ángulo interior 1

p \

'A V

V y N

a +p X"

0 , -----------

-A

m\P 1 r MT H Ji \ r' ® V " 1? m AM = m M B

- A P B : ángulo exterior

MN: diámetro, si MN 1 A B AH = HB

m AN = m NB

En una m ism a circunferencia o circunferen cias congruentes; si dos arco s son de igual medida su s cuerdas correspondientes son de igual longitud; adem ás dichas cuerdas equi distan del centro

Z A P B : ángulo exterior S i: m A B = m CD A B = CD

adem ás:

OM = OH

En una circunferencia los arco s comprendidos entre dos cuerdas paralelas son de igual m e dida.

adem ás

x + p = 180°

PROPIEDADES La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado en el punto de tangencia. Tam bién, si: LT //A B

m AT = m TB

Lo s segm entos tangentes a una circunferen cia trazados desde un punto exterior, son de igual longitud.

eo m e t r ía

O b servació n: C ircunferen cias ortogonales

R 2 + r2

PA y P B son tangentes a la circunferencia.

L ,: recta tangente a la circunferencia de cen tro 0 2 L 2: recta tangente a la circunferencia de cen tro O ,.

PA = P B adem ás: PO bisectriz del Z A P B

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFEREN CIAS COPLANARIOS C ircu n fe ren cias exteriores. Son aquellas cuya distancia entre los centros es m ayor que la sum a de los radios.

C ircu n fe ren cias tangentes interiores. Son aquellas cuya distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.

d = R - r

T: punto de tangencia entre las circunferencias. C ircu n fe ren cias interiores. Son aquellas cuya distancia entre los centros es menor que la distancia de los radios. C ircu n fe ren cias tangentes e x te rio re s . Son aquellas cuya distancia entre los centros es igual a la sum a de los radios. d <R - r

T: punto de tangencia entre las circunferencias. •

C ircu n fe ren cias co n cén trica s. Son aquellas cuya distancia entre los centros es cero; es decir tienen el mismo centro.

C ircu nferen cias secan tes. Son aquellas cuya distancia entre los centros es menor que la sum a de los radios y mayor que su diferencia. L = 2 -IR2 - r2 R - r <d < R + r A B : cuerda común a las dos circun ferencias.

A B : cuerda de la circunferencia de radio R tangente a la circunferencia de radio r.

I C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA E s aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una m ism a circunferencia. circunferencia circunstricas al

¿3A BCD

CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE EN UNA CIRCUN FERENCIA E s aquel cuadrilátero convexo que puede ins cribirse en una circunferen cia; e s decir, que su s vértices pueden se r ubicados en una m ism a cir cunferencia.

A, B, C y D: son puntos de la circunferencia; entonces: cOABCD: inscrito en la circunferencia

PROPIEDADES En el cuadrilátero inscrito su s ángulos interio res opuestos son suplem entarios.

S i: A , B , C y D pueden se r ubicados en una circun ferencia. ¿3A B C D : inscriptible

CONDICION PARA QUE UN CUADRILATERO SEA INSCRIPTIBLE Prim er ca so . Todo cu ad rilátero co n vexo cu yo s án g u lo s in terio res o p u esto s son su p le m e n ta rios, e s inscriptib le. ¿3A B C D : inscrito

e + p = 180°

si: a es la medida del ángulo exterior de vérti ce C. S e cumple:

0 =a

En todo cuadrilátero inscrito; su s diagonales determinan con los lados opuestos ángulos de igual medida.

S i: a + p = 180°

¿3A B C D : inscriptible

S i: a = 0

¿3A B C D : inscriptible

Seg u nd o ca so . Todo cuadrilátero convexo cuyas diagonales determinan con dos lados opuestos án gulos de igual medida, e s inscriptible.

S e tienen dos cir cunferencias secan tes en A y B.

S i: a = 0 O A B C D : inscriptible

EJERC IC IO S RESUELTOS 1.

e o m e t r ía

C alcu lar x, si: m OA = 40°, los puntos O y O t son centros.

E l punto O es el centro de la circunferencia exinscrita relativa al lado B C de un triángu lo A B C , los segm entos BO y C O cortan a la circunferencia en los puntos D y E , sobre el m ayor arco D E se toma un punto F. Hallar m Z B A C , si m Z B A C = m Z D F E .

R e so lu c ió n : R e s o lu c ió n :

m ZO = m D E = 2x

(ángulo inscrito) E n el t\O AD : nrZO_= 90° - 20° = 70°

E l centro O es el excentro del A A B C , luego BO y C O son bisectrices exteriores: m Z O = 90” -

m ZO = 70° => m CD = 70° (ángulo central) x _ fn g D (gng U|0 inscrito)

=. 2x = 90” - # 2

x = 36° 2.

.-. x = 35

C alcu lar m B D , si: A B s A E = E D , m Z C = 20°

Un pentágono A B C D E s e e n c u e n tra c ir c u n s c rito a u n a c ir c u n f e r e n c ia , de m odo q u e A B + C D + A E = 1 1 ,B C + D E = 5 .Hallarla longitud de la tangente que parte del vértice A.

R es o lu c ió n :

En la figura, hacem os la congruencia de las tangentes, del dato: A B + C D + A E = 11 x + m + n + f + q + x = 11 ...( 1 ) => 40° = a —<(> Pero: 360° = 3a + 4>(longitud de la circunferencia) Sum ando: a = 100° Luego: 40° = 100° —4>

<|> = 60°

BC + DE = 5 m + n+ f + q = 5 Reem plazando (2) en (1): x = 3

■■■(2)

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

C alcu lar x, si:

C alcu lar x

m AB = 60°, m A E = 70°, m ZD = 20°

a) b) c) d) e) 4.

20°

m EC = 200° m E C - m AB 200° - 60°

[ " e j e r c ic io s 1.

7. x = 70°

pro pu esto s

10° 12° 15° 18° 10"

C alcu lar R a) b) c) d) e)

T |

360° 450° 540° 270° 180°

En la figura, calcu lar x a) b) c) d) e)

2 3 6 4 1

(ángulo exterior)

En la figura, calcu lar a + p a) b) c) d) e)

En la figura, calcular x, si: O e s centro. a) b) c) d) e)

Pero: 70° + 60° + m BC + m E C = 360°

x =

22 30 28 26 23

(ángulo exterior)

=5 m BC = 30°

=»

12 6 9 18 15

C alcu lar el perímetro del trapecio A B C D . a) b) c) d) e)

70° - m BC

En la figura, calcu lar el perímetro del triángulo som breado. a) b) c) d) e)

R es o lu c ió n :

3a - 2b 2b - a 2a - b a - b a - b

C alcu lar x. a) b) c) d) e)

4 5 7 6 3

55° 60° 65° 75° 45°

En la figura, calcular x. a) b) c) d)

45° 37° 30° 60°

e) 53°

10.

En la figura, calcu lar A B , si: C O son centros.

4; O y O

16.

d) 12

En la figura, calcu lar x, si: O e s centro. a) b) c) d) e)

a) 4 b) 8 c) 2

e o m e t r ía

37° 53° 45° 60° 30°

e) 6 17. 11.

C alcu lar R.

En la figura, calcu lar x. a) b) c) d) e)

a) 1 b) 2,5 c) 1,5 d) 2

130° 140° 120° 110° 150°

e) 3,5 18. 12.

En la figura, calcular x.

En la figura, ¿cuánto mide el ¡nradio del trián gulo A B C ? . S i: AO = 4 y O es centro.

d) 90° a) 1 d) 4 13.

80° 40° 45° 55° 60°

a) b) c) d) e)

125° 150° 135° 140° 145°

\4 0 °

1 A

En la figura. calcular x.

U D

: 20.

En la figura, calcular x.

En la figura m ostrada, calcular a a) b) c) d) e)

15.

19.

En la figura, calcu lar x, si: O es centro. a) b) c) d) e)

14.

c) 3 e) 5

e) 60°

60 53 37 45 74

a) 130°

b) 140°

d) 110°

e) 150°

c) 120°

En la figura m ostrada, calcu lar x. a) 1 b )2

c) 3 d) V2 e) V3

y f

1. d

5. d

9. e

13. d

17. b

2. c

6. b

10. b

14. e

18. c

3. e

7. a

11. d

15. b

19. e

4. b

8. c

12. b

16. d

20. b

¡ C o lec c ió n E l P o stu la n te

¡ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS 2 ~¡ 1.

C alcu lar 0, si A, B, C . D y E son puntos de tangencia. a) b) c) d) e)

11.

2 2,5 6 4 5

"A"

Si m AB = 40°, hallar m P Q . a) b) c) d) e)

30° 60° 15° 45° 53°

45° 30° 53° 37° 60°

Del gráfico, calcu lar R , si D E = 8. a) b) c) d) e)

10.

50° 40° 45° 30° 60°

c) 5

S i A B C D es un cuadrado, calcu lar la m A F E . a) b) c) d) e)

b) 4

e) 2

20° 80° 10° 40° 50°

En la figura m ostrada, m AC C alcu lar x.

a y m BD

Del gráfico mostrado, c a lc u la ra . a) b) c) d) e)

45° 53° 60° 37° 75°

De la figura, a) b) c) d) e)

De la figura, calcu lar el valor de x, si A, B, C y D son puntos de tangencia. a) b) c) d) e)

15° 20° 22° 30° 36°

En una circunferencia se trazan las cuerdas perpendiculares A B y C D ; B C = 8. C alcu lar la distancia del centro a AD. a) 8 d) 6

En el gráfico, los puntos P, Q, R y L son puntos de tangencia. C alcu lar el valor de x. a) b) c) d) e)

100° 105° 120° 135° 150°

En el gráfico, B es punto de tangencia. C a lcu

a) (a + b)/2

b) (a + b)/3

c) (a + b)/4

d ) ^

e) | ( a + b) 12.

En la figura, R e s punto de tangencia, E D = DP

lar x, si: m H E = 40°, AO = O B.

y m E F = 100°. C alcu lar x.

a) 20°

a) b) c) d) e)

10°

c) 5° d) 15° e) 25°

20° 40° 50° 55° 65°

13.

En la figura, T y S son puntos de tangencia.

19.

C alcu lar x, si m DC = 80° y m D S = 40°.

eo m e t r ía

En un cuadrado A B C D , la circunferencia ins crita es tangente en M, L, F y Q a A B , B C , CD y AD, respectivamente. S e traza NC (N e M L),

a) b) c) d) e) 14.

20’ 30° 35° 40° 50°

N C n L F = {P }, m N L = m P F . C alcu lar la m e dida del ángulo determ inado por LQ y NF. a) 53° d) 90°

Del gráfico, calcu lar x, siendo A y B puntos de

20.

15.

a) b) c) d) e) es

punto

de tangencia,

16.

21. Si O es centro y la m AB = 100°, calcu lar x. a) b) c) d) e)

75° 60° 45° 70° 80°

En una circunferencia de centro O se trazan el

22.

diámetro A B y la cuerda CD que se intersecan

17.

b)4 e) 6

c) 5

En la figura, el triángulo A B C e s equilátero, P y A son puntos de tangencia. C alcu lar la m A D . a) b) c) d) e)

18.

30° 60° 45° 75° 40°

En la figura, A B = 5; B C = 4; B E = 3. C alcu lar CD. a) b) c) d) e)

5 6 7 8 9

23.

45° 50° 55° 60° 65°

S i O es centro de la sem icircunferencia; M y N son puntos de tangencia, c a lc u la ra . a) b) c) d) e)

en P y 3 m A C = m B D . Calcular P C , s iA P = 2 y A B = 10. a) 3 d) 2,5

55° 65° 75° 85° 70°

// A B ,

m LT = 30°, calcu lar x. a) b) c) d) e)

En el gráfico se tiene que: P, Q y S son puntos

la m A B.

80° 60° 40° 30° 50°

S iJ T

c) 7 5 ’

de tangencia y m MS + m N S = 110°. C alcu lar

tangencia y m CD = 120°. a) b) c) d) e)

b) 60° e) 45°

100° 120= 135° 105° 160°

De la figura, calcular jel valor de x, si la m Z A C B = 113°, L-i, L 2; L 3 y L 4 son rectas tan gentes (A, B y D son puntos de tangencia). a) b) c) d) e)

20° 21° 22° 23° 24°

24. S i P y Q son puntos de tangencia, calcular x. a) b) c) d) e)

45° 60° 75° 63° 67,5°

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

25.

Si la m PQ = 70°. calcular la m A B.

28.

C alcu lar x, si P y Q son puntos de tangencia. a) b) c) d) e)

a) 55° b) 60° c) 70° d) 75°

40° 50° 100° 8° 90°

e) 4 0 “ 29. De la figura, calcular el valor de x. 26.

M y

son

puntos

tangencia

a) b) c) d) e)

m EM P = 160°, calcu lar x. a) 80° b) 100°

80° 160° 100° 120° 140°

c) 120° 30.

d) 130° e) 110° 27.

Si A B e s diámetro, m CD PQ = 5, calcu lar Q B.

De la figura calcular x, si O es centro. a) b) c) d) e)

= 90°: A P = 3;

100° 120° 140° 150° 160° 1. e

a) 3 d )3 /2

tn u > <

b) 4 e) 412

c) 5

2. 3. 4. 5. 6.

c b d c a

7, b 8. 9. 10. 11. 12.

d d d c e

13. d 14. b 15. 16. 17. 18.

a a b e

19. c 20. 21. 22. 23. 24.

e c d b b

25. 26. 27. 28.

c a b c

29. c 30. c

PUNTOS NOTABLES ASOCIADOS AL TRIÁNGULO BARICENTRO

INCENTRO

E s el punto de concurrencia de las m edianas re s pecto a un triángulo. El baricentro o centro de gra vedad de una región triangular divide a una m edia na en la razón de 2 a 1 (midiendo desde el vértice)

E s el punto de concurrencia de las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo. El incentro del triángulo, equidista de su s lados, por lo tanto, es el centro de la circunferencia inscrita en dicho triángulo a cuyo radio se le denomina inradio del triángulo.

G : baricentro de ¡a región triangular A B C Propiedades: A G = 2GN

;

BG = 2G L

;

C G = 2GM

I : incentro del A A B C ; r : inradio del A A B C P, L y T: puntos de tangencia

ORTOCENTRO

Propiedades:

E s el punto de concurrencia de las alturas o su s prolongaciones en un triangulo. La posición del ortocentro respecto al triángulo de pende de la naturaleza del triángulo.

m Z A IC - 90° + m- A B C 2

n = p- a

p: sem lperím etro de la región triangular A B C .

EXCENTRO A A B C : acutángulo H: ortocentro del A A B C

E s el punto de concurrencia de las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz de un ángulo interior en un triángulo. El excentro del triángulo equidista de su s lados, por lo tanto, e s el centro de la circunferencia e xin s crita a dicho triángulo, a cuyo radio se le denomina exradio del triángulo.

A A B C : rectángulo, recto en B B: ortocentro del L A B C

Todo triángulo tiene tres excentros, tres circunfe rencias exin scritas y tres exradios; cada uno relati vo a un lado del triángulo.

A A B C : obtusángulo, obtuso en B C

H: ortocentro del A A B C C ircu n fere n cia e xinscrita ai A A B C relativo a B C

E a: excentro del A A B C relativo a B C R a: exradio del A A B C relativo a BC M, L y T: puntos de tangencia

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

Propiedades: m Z A E aC =

m Z B E aC - 90°

m- B A C

m = p

p: sem iperím etro de la región triangular A B C A A B C : obtusángulo, obtuso en B.

CIRCUNCENTRO

O: circuncentro de! A A B C

E s el punto de concurrencia de ias m ediatrices de los lados de un triángulo.

R : circunradio del A A B C

El circuncentro del triángulo equidista de los vérti ce s, por lo tanto, e s el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, a cuyo radio se le denomi na circunradio del triángulo. La posición del circuncentro respecto al triángulo, depende de la naturaleza del triángulo.

TRIÁNGULOS ESPECIALES •

Triángulo mediano o com plem entarlo. E s aquel triángulo que se determ ina al unir los puntos medios de los lados de un triángulo dado.

M, N y L: puntos medios de A B , B C y A C , re s pectivam ente. A A B C : acutánguio. O: circuncentro del A A B C

A M N L: triángulo mediano o complementario del A A B C .

R : circunradio del A A B C Propiedades: El baricentro de un triángulo e s el baricen tro de su triángulo mediano El circuncentro de un triángulo e s el ortocentro de su triángulo mediano. Triángulo órtico o peda!. E s aquel triángulo que se determina al unir los pies de las alturas de un triángulo. Solo tienen triángulo órtico los triángulos oblicuángulos. B Circunferencia circunscrlla al [A A B C

A A B C : rectángulo, recto en B. O: circuncentro del A A B C R : circunradio del A A B C

e o m e t r ía

A A B C : acutángulo; P, Q y R : pies de las altu ras del A A B C . A P Q R : triángulo ortico o pedal del A A B C . Propiedades: •

E l ortocentro de un triángulo acutángulo e s el ¡ncentro de su triángulo órtico. Lo s vértices de un triángulo acutángulo son los excentros de su triángulo órtico. => a + c = b + 2r

RECTA DE EULER En todo triángulo no equilátero, el ortocentro, bari centro y circuncentro son colineales y la recta que los contiene es denom inada “recta de E u le r”.

a +c - b 2

TEOREMA DE PITOT En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferen cia, la sum a de las longitudes de su s lados opues tos son iguales.

H, G y O son el ortocentro, baricentro y circuncen tro del A A B C , respectivam ente.

ZCABCD: circunscrito a la circunferencia .-.

a + c = b + d

L: recta de E u ler del A A B C

TEOREMA DE STEINER

Propiedades: En todo triángulo se cumple que la distancia de un vértice al ortocentro e s el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto a dicho vértice. En la figura, se cumple: BH = 20M

En todo cuadrilátero exlnscrito, la diferencia de las longitudes de su s lados opuestos son iguales.

AH = 2 0 N

En todo triángulo se cumple que la distancia del ortocentro al baricentro es igual al doble de la distancia del baricentro al circuncentro. En la figura, se cumple:

Z>ABCD: exlnscrito a la circunferencia a - c = b - d

HG = 2G O

EJERCICIO S RESUELTOS

TEOREMA DE PONCELET En todo triángulo rectángulo se cum ple que la sum a de las longitudes de su s catetos e s igual a la sum a de la longitud de su hipotenusa y el doble del inradlo de dicho triángulo.

En un triángulo A B C , por su incentro se traza una recta paralela al lado A C que corta a los lados A B y B C en los puntos M y N . Hallar MN, si: AM = 5 y NC = 4

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

R es o lu c ió n :

Como: m ZN O C = 90° = m ZA O N = 70° Luego: 70° + x = 90° x = 20°

M Ñ //Á C

La altura BH de un triángulo acutángulo A B C mide 12, la recta que pasa por el_ortocentro y el baricentro e s paralela al lado A C . Hallar el circunradio de dicho triángulo, si: A C = 16

R eso lu c ió n : Como I es ¡ncentro, IA, IC son bisectrices. Por ángulos alternos internos: m ZAlM = rnZ IA C = a m ZC lN = m Z IC A = p AAM I isó sce les: AM = MI = 5 A IN C isó sce les: IN = NC = 4 MN = 9

L: ortocentro G : baricentro O: circuncentro R : circunradio Sea: OM = f, L G O / / A C Por propiedad (recta de Euler)

E n el triángulo acutángulo A B C , los puntos L y O son su ortocentro y circuncentro. C alcu lar la medida del ángulo A B C . si: m Z A L C = m Z A O C

R e s o lu c ió n :

OM = —

LB = 2f

BH = 3f => 12 = 3f

f =4

t\O M C, por Pitágoras: R 2 = 4 2 + 82 R = 4 /5 En un triángulo acutángulo A B C de clrcuncentro O, se trazan las alturas A E y C D , encontrar el ángulo formado por BO y D E .

R e s o lu c ió n : L: ortocentro; O: circuncentro S abem o s que: m Z A L C = 180° - x m Z A O C = 2x Del dato: m Z A L C = m ZA O C 180° - x = 2x x = 60° 3.

El ángulo B de un triángulo acutángulo A B C mide 80°, por su circuncentro O se trazan per pendiculares a los segm entos O A y O C que cortan al lado A C en M y N. Hallar la medida del ángulo MON.

L: ortocentro O: circuncentro El A D E F e s órtlco o pedal, entonces: m ZBAC = m ZD EB = p Adem ás: m ZA BF = m ZO BC = a A A F B : a + p = 90° => x = a + p = 90° x = 90°

e j e r c ic io s

PROPUESTOSs _ ]

R eso lu c ió n : Encontrar el circunradio de un triángulo equi látero, si su inradio mide 4. a) 4 d) 12

O: circunce Sabem o s:

o AOC

: 2 m Z A B C = 160°

b) 2 e) 16

c) 8

En un triángulo Isó sceles A B C (A B = B C ), su altura BH mide 9, el punto E es su excentro re lativo al lado B C . Hallar la distancia del punto E al lado B C .

a) 4,4 d) 9 3.

b) 6 /3 e) 8 /3

b) 60° e) 125°

b) 3a

d) 90° + a 9.

c) 90" + - |

e) 90” + - |

C alcu lar la medida de uno de los ángulos de un triángulo acutángulo, si la distancia de su ortocentro a uno de su s vértices es igual al lado opuesto. a) 30° d) 75°

10.

c) 12

b) 45° e) 90°

11.

c) 30°

c) 60°

En un triángulo acutángulo A B C , la distancia de su ortocentro al vértice B e s 3, la distancia de su baricentro a su circuncentro_es 2, la rec ta de E u ler al cortarse con el lado A C forma un ángulo de 30°. C alcu lar la altura BH. a) 7,5 d) 6,5

b) 5 e) 5,5

c) 6

En un triángulo acutángulo A B C , el ángulo que se forma al unir el circuncentro con ios vértices A y C es igual a la mitad de la medi da del ángulo que se forma al unir el excentro relativo al lado A C con los m ismos vértices. Hallar la medida del ángulo B. a) 58° d) 20°

b) 30° e) 15°

c) 72°

c) 9 - I 12.

Los puntos L, I, O son el ortocentro, el incen tro, el circuncentro de un triángulo acutángulo A B C . Hallar m Z A IC , si m Z A L C = m Z A O C a) 90° d) 80°

b) 15° e) 37°

a) 2 a

En un triángulo equilátero cuyo lado mide 12, encontrar la distancia de su incentro a uno de su s excentros. a) 6 d) 1 2 /3

b) 4 e) 6

m Z A C H = a , m ZBAM = 90° - 2a . Hallar la medida del ángulo OMC.

c) 12

Hallar la medida del menor ángulo agudo de un triángulo rectángulo, si la distancia de su ortocentro a su circuncentro e s igual a uno de los catetos. a) 22°30' d) 7°30’

b) 4 e) 6

Por el excentro relativo al lado B C de un trián gulo A B C se traza una recta paralela_al lado A C que corta al lado B C en E , lado A B en F y a la prolongación de la bisectriz interior del ángulo C en M. Hallar MF, si A F = 15, E C = 9 a) 3 d) 8

c) 6

Por el excentro relativo al lado B C de un trián gulo A B C se traza una recta paralela al lado A C que corta al lado B C en E y al lado A B en F, hallar F E , si A F = 15 y E C = 9 a) 3 d) 8

b) 18 e) 12

eo m e t r ía

a )d /3 - c

c) 120°

El punto O e s el circuncentro de un triángu lo acutángulo A B C , se traza la altura C H , de modo que O e s un punto interior del triángulo BFIC ; luego sobre CH se toma un punto M de modo que:

El ángulo B de un triángulo A B C mide 60°, el punto E e s el excentro relativo al lado A C , se traza E F perpendicular al lado A C . C alcu lar AF, si A B = c, E F = d.

d) c - d

b) d - c

c) 2d - c

e) ^ z

in w i j u

1. c

4. a

7. c

10. a

2. d

5. c

8. d

11. d

3. e

6. e

9. b

12. a

SEMEJANZA DE SEGMENTOS es decir (reem plazando longitudes)

RAZON GEOM ETRICA DE SEGM ENTOS E s ¡a com paración mediante ei cociente de ias lon gitudes de dos segm entos exp resad os en la m isma unidad de medida. El resultado de dicho cociente es e! valor de la ra zón geométrica.

De lo anterior, a los puntos P y Q se les denomina conjugados arm ónicos respecto a A y B. Adem ás; A, P, B, y Q forman una cuaterna armónica.

Ejem plo:

I—

an = bm

8 crn

12 cm

TEOREMA DE TALES D

Sean A B = 8 cm y C D = 12 cm; la razón geométrica 8 cm de A B y C D es ^ : * CD 12 cm

T re s o m ás rectas paralelas determinan en dos rectas tran sversales o se ca n tes a ellas, segm en tos proporcionales.

SEGM ENTOS PROPORCIONALES So n dos pares de segm entos que tienen el mismo valor de su s razo nes geom étricas. Ejem plo: Se an A B = 8 cm. C D

12 cm. PQ = 12 cm y

R S = 1 8 cm. A B _ 8 cm _ 2 (razón geométrica de A B y C D ) CD 12 cm 3 PQ = 1 2 cm RS 1 8 cm

S i: L.( // L 2 // L 3 y L4 , L 5 tran sversa le s o se ca n tes a dichas rectas. S e cumple:

(razón geométrica de PQ y R S )

AB BC

MN NQ

COROLARIO DEL TEOREMA DE TALES Entonces, A B y C D son proporcionales a PQ y R S . PQ RS

AB CD

DIVISION ARMONICA DE UN SEGMENTO Dos puntos dividen arm ónicam ente a un segm en to, si lo dividen internamente y externam ente en la m ism a razón.

Toda recta coplanaría a un triángulo y paralela a uno de su s lados, divide internam ente o exter nam ente a los otros lados en segm entos propor cio nales.

División Interna S i: L //Á C

-b -

P divide internamente a A B y Q divide externam ente a A B , si P y Q dividen armónicamente al segmento AB . S e cumple, por definición: AP PB

División externa S i: L / / Á C x = P

AQ BQ

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR En todo triángulo, una bisectriz interior divide interna mente al lado ai cual es relativo en segm entos pro porcionales a los lados adyacentes a dicha bisectriz.

e o m e t r ía

I (¡ncentro del A A B C ), divide internamente a la bi sectriz interior BD. x _ a +c

y ~

TEOREMA DE MENELAO

La bisectriz interior BD dei A A B C divide interna mente a A C . •

Toda recta secante a un triángulo que divide inter nam ente a dos lados y externam ente al tercero, determ ina en dichos lados segm entos, cum plién dose que el producto de ¡as iongitudes de tres de ellos sin extremo común e s igual al producto de las longitudes de los otros tres.

£ - ül a ~ n

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR En todo triángulo, una bisectriz exterior (tal que los lados ad yacentes a dicha bisectriz son de longitu des diferentes) divide externamente ai lado al cual es relativa en segm entos proporcionales a ¡os lados adyacentes a dicha bisectriz.

La recta L secante a! triángulo A B C , divide interna mente a A B y B C y externam ente a A C am y = bnx

TEOREMA DE CEVA

La bisectriz exterior B E del A A B C (c > a) divide externam ente a A C . •

En todo triángulo, tres cevian a s interiores concu rrentes dividen internamente a cada lado en seg m entos; cum pliéndose que el producto de las ion gitudes de tres de ellos sin extrem o común e s igual al producto de las iongitudes de los otros tres.

£ - m a _ n

TEOREMA DEL INCENTRO En todo triángulo , el ¡ncentro divide internam ente a una bisectriz interior en segm entos proporcionales a la sum a de longitudes de los lados ad yacentes a la bisectriz y la longitud del lado ai cual es relativa dicha bisectriz.

La s cevian a s interiores A Q , B R y C P concurrentes en M, dividen internamente a los lados del A A B C . am x = bny

SEMEJANZA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS Dos figuras geom étricas que tienen igual forma y tam años distintos se denominan sem ejantes.

| C o le c c ió n E l P o s t u la n t e

En dos figuras sem ejantes existe una correspon dencia biunívoca (correspondencia uno a uno) entre su s puntos, de modo que a los puntos que se corresponden se les denominan puntos homólogos y a los segm entos que se corresponden se les de nominan segm entos o líneas homologas.

CRITERIOS DE SEMEJANZA EN TRIANGULOS C a so I. Dos triángulos son sem ejantes si tienen al m enos dos ángulos respectivam ente de igual m e dida.

En dos figuras sem ejantes su s líneas homologas son proporcionales.

C E

Si: m Z B A C = m Z F E G y m Z A C B = m Z E G F AABC - A E FG S e m uestran dos figuras geom étricas sem ejantes. A y A': puntos homólogos A C y A'C': lados o lín eas homologas luego:

C a s o II. Dos triángulos son se m eja n tes si tienen un ángulo de igual m edida y los lados que deter minan a dichos ángulos resp ectivam ente propor cionales.

ñ - m - 5. - k b ~~ n ~ r

k: constante de proporcionalidad o razón de se m e jan za. símbolo de se m ejanza (se lee: e s sem ejante a)

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS So n dos triángulos que tienen su s ángulos, res pectivam ente, de igual medida y ad em ás su s lados homólogos proporcionales.

i. = b _ k L

A A B C -A M N L C a so III. Dos triángulos son sem ejantes si su s la dos son respectivam ente proporcionales.

Si: A A B C - A M N L S e cumple: L a s m edidas de su s ángulos son, resp ectiva mente, iguales. S u s lados homologos son proporcionales E s decir:

JL = b = c = k m n l

A A BC - AM NL

e o m e t r ía

]

Sobre los lados de un triángulo A B C se toman los puntos D, E , F sobre A B , B C , A C de modo que el cuadrilátero A D E F se a un rombo. Fiallar B E , si: A B = 6, B C = 7, A C = 8

PROPIEDADES Una recta paralela a uno de los lados de un triángulo, determina un triángulo parcial s e mejante al triángulo dado.

R e s o lu c ió n : SI: PQ //A C A PBQ - AABC

En todo triángulo acutángulo, el segm ento que une los pies de dos alturas determ ina un triángulo parcial sem ejante al triángulo dado.

Al se r A D E F un rombo, su diagonal A E e s b¡sectriz, entonces:

6 = S i: A A B C acutángulo

8 7 - x

x = 3

AQ BP - AABC En un triángulo A B C , la ceviana Interior A F pasa por el punto medio E de la bisectriz Interior BD . C alcu lar A B , si: B F = 3 y F C = 5

R eso lu c ió n : EJERCICIOS RESUELTOS 1.

E n un triángulo rectángulo A B C (m A B = 90 °), el punto I e s su incentro, calcular Bl, si (A I)(C I) = 64, A C - 16.

R e so lu c ió n : Tracem os D J // A F En el A D B J : E F e s su base media. BF = FJ = 3 En el A A B C : BD es bisectriz * = 8 DC

...(1)

En el A A F C apliquem os Tales: (3 _ AD 2 " DC

GBM I e s Isó sceles: IM = —-Í2 _ 2 Como Al e s bisectriz: IN = IM = —(2 2 Sabem o s que: m Z A IC = 90° + m ^ -- = 135° Trazam o s C D 1 Al.

<21

Igualem os (1) y (2): 4.

x - 12

C alcu lar E C , si: A B = 35, B E = 4, ED = 16. m ZBAC = m ZA CF B

A C ID e s Isó sceles: ID = C D = - í 2 2 ±12 G ANI - A A D C : —— = - 4 r AC

x =4

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

R eso lu c ió n :

S |2EJERCICIO Ü

PROPUESTOS 1 |

S i: C P = 2 P D : 5AQ = 3Q D y A B = 85, calcular MN. B

a) b) c) d) e)

Trazam o s E J // A B

55 45 37 40 35

/ o

A J E C es isó sce les: J E = E C = x 2.

A JE D ~ AABD : J L = ü 35 20

x = 28

En un triángulo A B C , de baricentro G , se ubica el punto T en B C tal que G T // A C . Si A B = 6, B C = 8 y A C = 7, calcu lar el perímetro del romboide M G TC .

Los lados A B y B C de un triángulo A B C miden 8 y 12 cm, la distancia del vértice A a la bisec triz Interior del ángulo B e s 3 cm, calcu lar la distancia del vértice C a dicha bisectriz.

b) 10

d) 12

e) 13

c) 11

En un triángulo A B C se traza la bisectriz inte rior BD y la bisectriz D E del ángulo BD C . Si A E intersecta a BD en M, calcular MD, si: A B = 16,

R es o lu c ió n : B ínA D B

a) 9

~ t\ C E B :

B E = 4 y AD = 12.

3 = _8_ x 12

a) 1,2 d) 2,4

x = 4,5 cm 4.

b) 1,4 e) 2,8

c) 1,6

En un triángulo A B C , recto en B, se traza la altura BH y en el triángulo BFIC la bisectriz in terior BM . Si AM = 2 y MC = 3, calcu lar HM.

Por un punto F del lado B C del triángulo A B C

a) 1,2 d) 1,6

se traza una recta paralela al lado A C que cor

b) 1,4 e) 1,8

c) 1,5

ta a la m ediana BM en el punto J de modo que m Z B A C = m ZB M F. C alcu lar F J , si B J = 9 y JM = 4.

se traza la m ediana BM y la bisectriz del án

R es o lu c ió n :

gulo B A C , las cu ales se Intersecan en P, por

En un triángulo A B C : A B = 5, B C = 6 y A C = 8,

el cual se traza una paralela al lado A C que Interseca al lado B C en Q. C alcu lar Q C . a) 4/3 d) 4/9 6.

Prolongam os F J hasta L U sam os la propiedad: L J = J F = x A L B J ~ A JF M : 4 = — 4 x

/. x = 6

b) 7/3 e) 5/9

8/3

Por el vértice A de un romboide A B C D se traza una recta secante que Interseca a la diagonal en M al lado C D en N y a la prolongación de B C en Q . S i MN = 4 y NQ = 12, calcular AM. a) 6

B) 7

d) 8,5

e) 9

7. S i: O A = 2; O E calcular: A B .

18; A C // BD y B C // ED ,

e o m e t r ía

14. C alcu lar C D .

a) 6 b) 4 c) 9

d) 12 e) 8

C alcu lar x. a ) 5/6

b) 6/5

15.

c) 5/7 n Q

e) 7/5

b) 10

d) 12

e) 8

c) 15

S i: A F

d) 7/6

a) 20

X 3

E n un triángulo A B C , por el punto medio de A B , se traza una_ recta perpendicular a la bi sectriz interior BD , que interseca a B C en Q. C alcu lar Q C , si: A B = 6, AD = 5 y D C = Q C. a) 10

b) 11

d) 13

e) 15

c) 12 16.

10.

11.

12.

a) 2 /3

b) 3 /2

d) 4

e) 6 /2

S i: AD = 3; D C = 2, calcu lar C E .

L a s b a ses de un trapecio miden 12 y 16, su altura mide 9. C alcu lar la distancia del punto de intersección de las diagonales a la base mayor. a) 5,14

b) 6,2

d) 6,4

e) 7,2

c) 5,8

En un triángulo A B C ; m Z A = 2 m Z C , la mediatriz de A C interseca a B C en el punto F. S i: B F = 8 y F C = 10, calcu lar A B . a) 16

b) 12

d) 9

e) 8

a) 20 d) 15 17.

c) 24

II.

E l teorema de Tales e s solo para tres rec E l teorem a de la bisectriz se cumple en todo triángulo.

III. Si en un triángulo se traza una bisectriz interior determ inando dos segm entos

c) 15

3/2 2/3 1/4 4/5

e) 2/5

entonces el triángulo es

equilátero. a) W F d) V V V

S i: A B = 5AD; calcu lar x. a) b) c) d)

c) 18

tas paralelas y una secante.

congruentes, b) 12 e) 18

b) 12 e) 10

Determinar el valor de verdad de las siguien tes proposiciones: I.

En los lados A B y B C del triángulo A B C se ubican los puntos M y N, respectivam ente, tal que MN // A C . En BN se ubica Q; MQ // AN ; si B Q = 4; QN = 6, calcu lar NC. a) 8 d) 16

13.

c) 6

18.

b) F F F e) V F V

c) F V F

En un triángulo A B C se inscribe el rombo BM NT. S i A B = 6 y B C = 14, calcu lar BM. a) 2,1 d) 4

b) 3,6 e) 4,2

c) 3,8

I C o l ec c ió n 1 E l P o s t u l a n t e

19.

Determinar el valor de verdad de las siguien tes proposiciones: I.

Los triángulos congruentes son semejantes.

II.

En triángulos sem ejantes su s elem entos homólogos son proporcionales.

III. La razón de se m ejanza en dos triángulos sem ejantes es menor que 1. FFF V FV

b)F V F e) V F F

c) V V F

C alcu lar x a) b) c) d) e)

2 5 3 8 6

3x -

1. b

5. c

9. e

13. c

17. c

2. b

6. c

10. a

14. a

18. e

3. d

7. b

11. b

15. c

19. c

4. a

-Q 00

a) d)

20.

12. c

16. e

20. c

RELACIONES MÉTRICAS RELACIONES METRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA Teorema de las cu e rd as. S e cumple que los pro ductos de las longitudes de los segm entos determi nados en cada cuerda son iguales.

Teorema de la tangente. S e cumple que el cuadra do de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante y su parte externa.

A, S e cumple:

ab = mn

A B y MN son cuerdas se can tes en el punto interior P.

cYlotw:-

PT: recta tangente. P A B : recta secante. Si: A B : diámetro y PH ± Á B

Teorema de las secan te s. S e cumple que los pro ductos entre las longitudes de los segm entos se cantes y su parte externa son iguales.

P T : segm ento tangente. a 2 = mn R a yo s iso g on ales. Son dos rayos coplanarios a un ángulo que tienen como origen el vértice del ángulo y que son sim étricos respecto a la bisectriz de dicho ángulo: e s decir, forman con los lados del ángulo dado, ángulos de igual medida. O

P A B y PM L son rectas se can tes a la circunferen cia trazadas por P.

O P : bisectriz del Z A O B

P B y P L : segm entos se ca n tes determ inados.

OM y ON: rayos isogonales respecto del Z A O B

PA y PM: parte externa de las se can tes.

.-. m ZA O M = m ZBO N

ab = mn

cYloiw:

Teorem a de las Iso go n ales. En todo triángulo, el producto de las longitudes de dos lados e s igual al producto de las longitudes de los segm entos iso gonales respecto al ángulo determ inado por estos lados, de modo que uno de dichos segm entos iso gonales se determinó con el tercer lado y el otro con la circunferencia circunscrita al triángulo.

¿3ABCD: inscriptible. Si P es el punto de intersec ción de las prolongaciones de los lados opuestos B C y AD. • I be = ad I

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

B P y PQ : segm entos isogonales respecto al Z A B C . ca = xy

RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOS REC TÁNGULOS

Teorem a del producto de d o s lados. En todo triángulo, el producto de las longitudes de ios lados e s Igual al producto de las longitudes de la altura relativa al tercer lado con el diámetro de la circun ferencia circunscrita a dicho triángulo. En el É\ABC: A B y B C : catetos;

A C : hipotenusa

BH : altura relativa a la hipotenusa AH y C H : proyecciones de A B y B C sobre A C , res pectivam ente SnA B C - CnA H B ~ R : circunradio del A A B C a c = 2Rh P royección ortogonal. La proyección ortogonal de un punto sobre una recta e s el pie de la per pendicular trazada por dicho punto a la recta. E sta perpendicular se denom ina proyectante y la recta, eje de proyección. La proyección ortogonal de un segm ento sobre una recta o eje de proyección e s la parte del eje de proyección comprendida entre las proyecciones de ¡os extrem os de dicho segmento.

S i: P P ' i L (P 1e L), entonces: P': proyección ortogonal de P sobre la recta. P P ': proyectante de P sobre L

énBH C

Propiedades: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de un cateto e s igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyec ción de dicho cateto sobre la hipotenusa. a¿ = bn

A d em ás:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de ¡a longitud de su hipotenusa e s igual a la sum a de los cuadrados de las longitudes de su s catetos. Este teorema lleva el nombre de teorema de Pitágoras, en honor a quien demostró esta pro piedad del triángulo rectángulo.

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de su altura relativa a la hipotenusa e s igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre dicha hipo tenusa.

L: eje de proyección A 'B': proyección ortogonal de A B sobre L MN': proyección ortogonal de MN sobre L A d em ás, s [ 9 es la medida del ángulo determinado por MN y L. L = acos9

En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de su s catetos es igual al producto de ¡as longitudes de ¡a hipotenusa y ¡a altura relativa a dicha hipotenusa. ca = bh

En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa e s Igual a la sum a de las inver s a s de los cuadrados de las longitudes de su s catetos. 1

e o m e t r ía

de las longitudes de su s resp ectivas proyecciones sobre el tercer lado. Prim er c a so : triángulo acutángulo

<=Vlota/:A A B C : acutángulo AH y H C : proyecciones de A B y B C sobre A C , respectivam ente.

AH : proyección de la cuerda A P sobre el diámetro A B

Segundo ca so : triángulo obtusángulo B '

x2 = dm

A A B C : obtusángulo. AH , H C: proyecciones de A B y B C sobre A C , respectivam ente. A B : segm ento tangente común exterior a las circunferencias tangentes exterio res. S e cumple:

y = 2-/R?

A d em ás, si x es el radio de la circunfe rencia tangente a las dos circunferen cias y a la recta A B . S e cumple: J_ = J _

íx

-Ir

Teorem a de E u clid e s Prim er c a so : en todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la sum a de los cu a drados de las longitudes de los otros dos la dos m enos el doble del producto de las longi tudes de uno de ellos y la proyección del otro sobre aquel.

e < 90°

RELACIONES METRICAS EN TRIANGULO OBLI CUÁNGULOS Teorema de p ro yeccio n es. En todo triángulo, la diferencia de los cuadrados de las longitudes de dos lados es igual a la diferencia de los cuadrados

AH : proyección de A B sobre A C . 2bm

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

Seg u nd o c a so : en todo triángulo obtusángulo el cuadrado de la longitud del lado que se opone al ángulo obtuso es Igual a la sum a de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados m ás el doble producto de las longi tudes de uno de dichos lados y la proyección del otro sobre aquel.

BM : m ediana relativa a A C , A B y B C : lados ad ya centes a la m ediana BM. ■

AH: proyección de A B sobre A C a 2 = b2 + c 2 + 2bm Teorema de Stewart. En todo triángulo, la sum a de los cuadrados de las longitudes de los lados ad yacentes a una cevlana Interior multiplicados con las longitudes de los segm entos opuestos a dichos lados determ inados por la ceviana en el lado al cual es relativa e s igual al producto del cuadrado de la longitudes de dicha cevlana con la longitud del lado al cual es relativa m ás el producto de las longitudes de dicho lado con los segm entos deter m inados por la cevlana en este.

c2 + a 2 = 2 x2 + — 2

Teorem a del cálculo de la b isectriz interior. En todo triángulo el cuadrado de la longitud de una bisectriz interior e s igual a la diferencia de produc tos de las longitudes de los lados ad yacentes y los segm entos determ inados por dicha bisectriz en el lado al cual e s relativo.

B D : bisectriz Interior del A A B C relativa al lado A C . .-.

BD: ceviana Interior del A A B C relativa al lad oA C .

x 2 = ca - mn

Teorema del cálculo de la bisectriz exterior. En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de una bi sectriz exterior (cuyos lados adyacentes a la bisec triz sean diferentes en longitud) e s igual a la diferen cia de productos de las longitudes de los segm entos determinados por la bisectriz en el lado al cual es relativa y los lados adyacentes a dicha bisectriz.

A B y B C : lados adyacentes a la ceviana interior BD . AD y DC: segmentos determinados por la cevlana en A C . .'.

c2n + a 2m = x 2b + bmn

Teorema de la m ediana. En todo triángulo, la sum a de los cuadrados de las longitudes de dos lados e s igual al doble del cuadrado de la longitud de la m ediana relativa al tercer lado m ás la mitad del cuadrado de la longitud de dicho tercer lado.

B E : bisectriz exterior del A A B C relativa al lado A C (c > a) .-.

x2 = mn - ca

T e o rem a de H eró n . En todo triángulo, la longitud de una altura e s Igual al doble de la inversa de la longitud del lado al cual e s relativa multiplicado con la raíz cuadrada del producto del sem iperím etro de la región limitada por dicho triángulo con la diferen cia de dicho sem iperím etro y la longitud de cada uno de su s lados.

pendiculares, se traza FN perpendicular a A C .

R e s o lu c ió n :

En el A A FM : FM 2 = (AM )(NM )

(4f = 9 (1 )

h = —Vp (p - a )(p - b)(p - c)

C alcu lar BF, si AN = 8 y NM = 1

Com o F es baricentro: FM = BH : altura relativa al lado A C del A A B C (acutángu lo u obtusángulo)

e o m e t r ía

x =6

C alcu lar A B , si B C = 10, p: semiperímetro de la región triangular A B C .

DC2 + ED 2 + AE

: 56

a + b+c

EJERC IC IO S RESUELTOS La altura relativa a la hipotenusa de un trián gulo rectángulo determ ina sobre la hipotenusa segm entos que se encuentran en la relación de 1 a 3. FHallar la medida de los ángulos agu dos.

R e s o lu c ió n :

R e s o lu c ió n : U sam os el teorema de Pltágoras: A BD C: BC 2 = DC2 + BD2 A B ED : BD2 : : ED 2 =2 .

BE2

Su m am os las tres exp resiones y ordenam os: B C 2 = DC2 + ED 2 + A E 2 + A B 2 102 = 56 + A B 2

En los cuadrados de la figura, calcu lar BF, si

Aplicando relaciones m étricas: A B 2 = (A C )(A H ) => A B 2 = (4m )(m ) => A B = 2m El A A B C e s de 30° y 60°, por ser:

AB2 + FG 2 = 8 AB =

m Z C = 30°: m Z A = 60° 2.

A B = 2-/TT

El baricentro de un triángulo A B C es el punto F, de modo que A F y la m ediana BM se an per-

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

R eso lu c ió n :

Com o A B 1 D L, tenem os que: D F = F L = x Por el teorem a de cuerdas: (x )(x) = (4 )(9 ) 7.

x = 6

C alcu lar E F , si: A G = DC = 4, D E = 5, A B = 2 . D

Prolongam os B C y E F hasta J , en el triángulo rectángulo B J F aplicam os Pltágoras. x 2 = (a + b)2 + (a - b)2 => x2 = 2 (a 2 + b2) x2 = 2 x 8 x =4 5.

R e s o lu c ió n :

C alcu lar A C , si A E = 6, C D = 5

Usando el teorem a de la tangente: 4 2 = 2(2 + m) => m = 6

R es o lu c ió n : Usando el teorema de se can tes:

Usando el teorema de la tangente: A E 2 = (A B )(A C ) C D 2 = (A C )(B C )

(4 )(10) = 5(5 + x)

[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS 7 ]

Sum ando: A E 2 + C D 2 = A C 2 62 - 5 2 = A C 2

A C = /61 1.

x = 3

En la circunferencia de centro O , encontrar DF, si C F = 4, E F = 9

C alcu lar BM ; si A B = A C ; E F = 4; M e s punto de tangencia y O e s centro.

c) 4

a) 8

R eso lu c ió n :

d) 4 / 2 c _____E c X A a x/9 ía\ 1a y ó \/4 p x J \ L

e) 2 /2

S i: O y B son centros; Q S = /5 , calcu lar A B .

\ j /

Prolongam os E F , al se r congruentes los ángu los se cumple que: C F = F J = 4

c) 5

a ) 2 /5 d) 10

e) 2 /1 0

C alcu lar el radio de la circunferencia.

a) b) c) d) e)

a) 5 /2 b) 2.5 c) 4

4 5 6 5 /3 4 /2

/ ^

e o m e t r ía

d) 0 ,5 /2 10.

e) 2 ,5 /2 4.

S e tiene una circunferencia tangente a dos la dos ad yacentes de un cuadrado y determ ina en los otros dos lados segm entos cu yas longi tudes son 2 y 23. C alcu lar la longitud del radio de la circunferencia. a) 15 d) 18

c) 17

b) 16 e) 20

De la figura, calcu lar TN , si: PQ = 4, QM = 6 y T P = 2.

a) 2 m d) 5 m

16 15 18 17 15,5

a) 5 d) 9 12.

3: A C = 5 y P es punto

b) 2 / 2 e) 3 /2

d) 6 e) 7 /2

13.

C alcu lar CT. si: AM = 12, A C = 13, B, M y T son puntos de tangencia.

14.

Determ inar el valor de verdad de las siguien tes proposiciones:

c) 2

L a sum a de los cuadrados de las m edidas de los lados de un triángulo rectángulo e s 1250. C alcu lar la medida de la hipotenusa. b) 24 e) 30

A /^

c) 3 /2

a) 20 d) 29

c) 8

b) 6 e )7

a) 4 / 2

C alcu lar B P ; si: A B de tangencia.

a) 4 d) 4 /2

c) 4 m

SI: QN : 10 y Q P = 2, calcu lar A B .

b) 8 6.

b) 3 m e) 6 /2 m

11 . C a lc u la r la m edida de la hipotenusa de un triángulo rectáng ulo, sab iend o que la su m a de los cu ad rad o s de las m e d ian as e s igual a 54.

a) b) c) d) e)

En un trapezoide tres lados consecutivos mi den 6 m, 8 m y 10 m. SI las diagonales se inter secan perpendlcularmente, calcular la longitud del cuarto lado.

c) 25

En una circunferencia se trazan las cuer das PQ y R S que se Intersecan en M; en tonces: (P Q )(M Q ) = (R S )(M S )

L a s b a ses de un trapecio isó sce les miden 7 y 25. Determine la diagonal del trapecio, s a biendo ad em ás que los lados no paralelos mi den 15.

II. En una circunferencia se trazan por el pun

a) 25 d) 20

III. Si las prolongaciones de los lados A B y

b) 16 e) 17

c) 18

S e a A B C D : un cuadrado: A B = 8 y T: punto de tangencia, calcu lar R.

to P exterior la tangente P T y la secante P Q R ; entonces: (P T )2 = (P Q )(Q R ) D C de un cuadrilátero inscrlptlble A B C D se intersecan en P ; entonces: (P A )(P B ) = (P D )(P C )

15.

| C o l ec c ió n E i P o s t u l a n t e

a) F F F

b) F F V

d) V V F

e) F V F

c) F V V

20.

Según el gráfico, G e s baricentro de la reglón triangular A B C . SI AM = MC = 6 y T es punto de tangencia, calcu lar MT.

Determ inar el valor de verdad de las siguien tes proposiciones: I.

La proyección de un segm ento sobre una

II.

La altura relativa a la hipotenusa e s media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

recta siem pre e s un segm ento.

a) Í3 b) 3/3

III. E l triángulo cuyos lados miden: /a - b, / ¡ ¡ T b y /2a es un triángulo rectángulo.

c) ¡2 d) 2 /3 e) 2 /2 16.

que m P B = 2m Z PM A . SI O B = 3, calcular: PM 2 + P B 2. a) 18 d) 48

b) 24 e) 54

c) 36

19.

e) F V F

c) F V V

1. d

5. c

9. b

13. b

17. d

2. d

6. b

10. e

14. b

18. d

3. e

7. c

11. b

15. d

19. a

4. c

8. d

12. b

16. c

20. c

D esde el punto P exterior a una circunferen cia se trazan una tangente y una secante. La secante Interseca a la circunferencia en A y B tales que A B = 3PA, m AB = 120°. Si el radio de la circunferencia mide 6, calcu lar la medida del segm ento cuyos extrem os son P y el punto de tangencia.

18.

b) V V F

En una circunferencia de diámetro A B y centro O, se ubica el punto P y en AO el punto M, tal

17.

a) V V V d) F F F

a) /3

b) 2 /3

d) 4 /3

e) 5 /3

[ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS T |

En la figura, calcular x.

c) 3 /3

En un trapecio Isó sceles, calcu lar la medida de la proyección de una de las diagonales so bre la base mayor, si la sum a de las m edidas de su s b a ses e s 12.

a) 9

a) 3

b) 4

a) /5

d) 6

e) 9

c) 5

d) 4

c) 6 e) 5

En la figura, calcular x.

b) 2 c) 2 /3

En el gráfico, las 2 circunferencias son tangen

d) 3

tes en A, A B y FH son diámetros de la circun ferencia mayor. Si: BD = 9 y E F = GH = 5, calcular A C .

e) /6

a) 25 b) 27

a) 5

c) 30 d) 36

c) 7

e) 50

e) 6,5

b) 4 d) 8

En la figura, calcular x.

a) b) c) d) e)

a) 37° b) 53° c) 45°

eo m e t r ía

53° 60° 30° 45° 37°

d) 60° 11.

e) 30° 5.

En la figura, calcular x. a) í l

En la figura, calcu lar x.

b) m

a) 1

c) 5

b) 1/2

d) 3

c) 2

e) / T i

d) 1/3 e) 3 6.

12.

En la figura, calcular a. T

En la figura, calcu lar x.

2/13 a) 2 b) 3 c) 4 e) /5 13. 7.

b) 26°30' e) 37°

a) 30° d) 45°

d) /6

c) 22°30'

En la figura, calcular x.

En la figura, calcu lar x. a) 3 /5 a) 1/2

b) 2 / 6

b) 1

c) 5 /2

c) 2

d) 6 /2

d) 1/3

e) 4 / 3

e) 2,5 14. 8.

En la figura, calcu lar x.

En la figura, calcu lar a. a) /28 a) 30°

b) /30

b) 37°

c) /33

c) 45°

d) /22

d) 53°

e) /19

\T , 6, I— 3 —I

e) 60° 15. 9.

En la figura, calcu lar 9.

En la figura, calcu lar h. a) 2 /6

B B

b) Í6 c) 2 /3 d) 4 e) 3 10.

En la figura, calcu lar a.

a) 15°

b) 30°

d) 45°

e) 53°

37°

16.

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

En la figura, calcu lar x

19.

a) 4

b) 2,5

b) 6

c) 2

c) 5

d) 3

d) 2 e) 3

e) VTÍ 17.

En la figura, calcu lar x. a) b) c) d) e)

18.

En la figura, calcu lar x, si: ab = mn

a) n

En la figura, c a lc u la ra , si: b a) b) c) d) e)

20.

7 8 9 6 5

30° 40° 80° 45° 37°

En la figura, calcu lar x. a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 1

: a + ac 1. e

5. b

9. a

13. d

17. c

2. d

6. e

10. d

14. b

18. b

3. b

7. d

11. b

15. b

19. e

4. e

8. d

12. e

16. d

20. d

CÁLCULO DE ÁREAS REGIÓN PLANA

A R EA DE REGIONES TRIANGULARES

E s una porción de plano limitada por una línea c e rrada, también llam ada frontera de la región. L a s regiones principales a tratarse en este capítulo son las regiones poligonales (triangular, cuadrangular) y la región curvilínea (circulo) y algunas reglones m ixtilíneas.

Región triangular. E s una región plana cuyo con torno es un triángulo. Fórm ula b ásica. El área de una región trian gular e s igual al sem iproducto de las longi tudes de un lado y ¡a altura relativa a dicho lado. B \

BH : altura relativa a A C . bh

región poligonal (hexágonal)

i H

2 \

■b

R 2: región curvilínea ÁR EA DE UNA REGIÓN PLANA E s la medida de una región plana, la cual resulta de com parar dicha región con otra. REGION ES EQUIVALENTES Son regiones planas que tienen igual área. S u s for m as no son necesariam ente ¡guales.

A B y B C : catetos

A\abc “

S e muestran tres regiones R 1? R 2 y R 3 de áre as A ,, A 2 y A 3, respectivam ente. R^ ■' > R 2 ■ L* R 3

=> A-| —A 2 —A 3

REGION ES CONGRUENTES Son dos regiones planas que están limitadas por figu ras congruentes; tienen igual área. S e muestran las regiones R , y R 2 de áreas A i y A 2, respectivamente.

Fórm ula trigonom étrica. El área de una región triangular e s igual al sem iproducto de las longitudes de dos lados, m ultiplicados con el seno del ángulo determ inado por di chos lados.

A C = b; B C = a y m Z B C A -

Si; R^ = R 2

=> A-i —A 2

A aabc -

^ sen G

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

Triángulo equilátero AB = BC = AC = L

Fórm ula de Herón. El área de una región triangular e s igual a la raíz cuadrada del pro ducto del sem iperím etro de la región triangu lar y la diferencia de dicho sem iperím etro con la longitud de cada uno de los lados.

R : circunradio del A A B C a

a aabc -

abe

Fórm ula en función del exradio. El área de una región triangular es igual al producto de la diferencia de su sem iperím etro y la longitud de un lado con el exradio relativo a dicho lado.

2 p: sem iperím etro de la región A B C A a a b c = Vp(p — a )(P — b ) (p — c)

R a: exradio del A A B C , relativo a B C Fórm ula en función del inradio. El área de una región triangular es igual al producto de su sem iperím etro con el Inradio del triángulo correspondiente.

p: sem iperím etro de la reglón triangular A B C A a a b c = (P - a ) Ra

análogam ente, con los otros exradlos R b y R c. A a a b c = (P _ b) R b

A a a b c - (P - c ) R c

r: inradio del A A B C p: sem iperím etro de la región A B C A a a b c = Pr

Fórm ula en función del circunradio. E l área de una región triangular es igual al cociente del producto de las longitudes de su s tres la dos con el cuádruplo de su circunradio.

FÓRMULAS ADICIONALES PARA TRIANGULARES RECTANGULARES

REGIONES

El área de una región triangular rectangular e s igual al producto de los exradios relativos a los catetos. R b y R c: exradios relativos a los catetos del EaB A C . a ^ bac

- RbRc

El área de una región triangular rectangular es Igual al producto del inradlo con el exradio relativo a la hipotenusa, r: Inradlo del t\B A C R a: exradlo dei G B A C , relativo a la hipotenusa. : = rR ,

eo m e t r ía

RELACIÓN ENTRE ÁREAS DE REGIONES TRIAN GULARES E s la com paración de las áre a s de dos reglones triangulares mediante el cociente, esto, com ún mente, se determina en reglones triangulares cu y a s dim ensiones o m edidas de determ inados ele mentos guardan cierta relación. Si dos regiones triangulares tienen un lado de Igual longitud, su s áre a s serán proporcionales a las longitudes de su s alturas relativas a di chos lados.

El área de una reglón triangular rectangular es Igual al producto de las longitudes de los se g mentos determ inados en la hipotenusa por la circunferencia Inscrita (teorema de Morley). B

M ABC _

A C = ML = b

Vamni

S i dos reglones triangulares tienen una de sus alturas de Igual longitud, su s áre a s serán pro porcionales a las longitudes de los lados a los cu ales son relativas dichas alturas. B N AM y M C: segm entos determ inados en A C por la circunferencia Inscrita. Ac.ABC — mn C El área de una reglón triangular rectangular es Igual al producto de las longitudes de los se g mentos determ inados en la hipotenusa por la circunferencia exlnscrlta relativo a un cateto.

B P = NQ = h

a ABC

a MNL

m n

En toda reglón triangular una cevlana interior determ ina dos regiones triangulares cuyas áre a s son proporcionales a las longitudes de los segm entos que dicha cevlana determina en el lado al cual e s relativa.

AM y MC son segm entos determ inados en A C por la circunferencia exlnscrlta relativa al cateto BC . A aA B C — m n

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

La ceviana Interior BN determ ina las reglones triangulares ABN y N BC A _ abn A ^ n sc

_ m n

S i dos regiones triangulares son sem ejantes, se cum ple que su s áre a s son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de su s lí neas homologas.

Propiedad:

.A B C

A zíMNL En el A A B C , BM: m ediana relativa a A C

S i dos regiones triangulares tienen uno de sus ángulos de igual medida o suplem entarios, se cumple que su s áre a s son proporcionales al producto de las longitudes de los lados que determinan a dichos ángulos.

c2 - 5 1 - ,,* Rl

k: razón de sem ejanza o constante de propor cionalidad (razón lineal) E sta propiedad de relación de áre a s se ge neralizan y se cum ple que en dos regiones sem ejantes cualesquiera, su s áreas son pro porcionales a los cuadrados de las longitudes de su s líneas homologas.

ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES

1.er ca so

Región cuadrangular. E s una región plana cuyo contorno e s un cuadrilátero; esta región puede ser convexa o no convexa.

S i: m Z B A C = m ZN M L = 0 A.

.A B C

_ be

A..MNL

Fórm ula general. E l área de una reglón cua drangular convexa o no convexa es igual al semlproducto de las longitudes de su s diago nales multiplicado con el seno de la medida del ángulo determinado por dichas diagonales.

2.° ca so

ó 1d 2 A/ía b c d = — sen0 A M N L P : cóncavo en P

Si: a + 0 = 180° A

.A B C

A _ mnl

be np

A amnlp — 2~senp

e o m e t r ía

d: distancia del punto medio de A B hacia CD , = ad

AREA DE UNA REGION PARALELOGRAMICA

Región romboidal. El área de una región rom boidal e s igual al producto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado.

S e muestran los cuadriláteros de diagonales perpendiculares.

A - mn 11111 « A M N I P ~ “C T-

AREA DE UNA REGION TRAPECIAL E l área de una región trapecial e s igual al producto de la sem isum a de las longitudes de las b a ses con la longitud de la altura de dicho trapecio.

2Z 7A BC D : romboide h: longitud de la altura relativa al lad o A D Entonces A dem ás:

EC7A B CD

= bh

A¿27abcd ~ absenu

Región rombal. El área de una región rombal es igual al semiproducto de las longitudes de su s dia gonales. CaA B C D : trapecio;

B C y A D : b ases

h: longitud de la altura A aiabcd - ( —rr~ ')h

ad em ás, si MN e s la base media del trapecio A B C D T 7 A B C D : rombo A aiabcd — mh

d-i y d2: longitudes de su s diagonales. d id 2

Teorem a. E l área de una región trap ecial, e s igual al producto de la longitud de un lado lateral y la distancia del punto medio del otro lado lateral ha cia él.

Ao a bcd

Cuadrado A = L2

Rectángulo A = ab ZIXABCD : trapecio I: longitud del lado lateral CD

¡ C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

RELACIÓN DE ÁREAS EN REGIONES CUADRAN G LA R ES

FÓRMULAS EN REGIONES TRAPECIALES

C u a d rilá te ro c o n v e x o

B C // AD

Aa a

: A a r.

Adem ás: S 2 = MN M, N ,L y T son puntos medios de los lados A B , B C ,

C D y A D , respectivam ente.

A d em ás ¿7M N LT: paralelogramo C u a d rilá te ro no c o n v e xo B C //AD, M: punto medio de CD A q abcd

M, N, L y T son los puntos medios de los lados A B , B C , C D y A D , respectivam ente.

Si CAABCD: trapecio (B C // A D ), M y N son puntos medios de las b ases. C u a d rilá te ro c o n v e x o AQABMN - H Q NMCD

EN REGIONES PARALELOGRAMICAS 1-

zZ A B C D : co nvexo , las diagonales se intersecan en P. (A a a b p )(A a c d p ) - (A a b p c )(A a a d p )

También se cumple si el punto P pertenece a la prolongación de B C o de C B .

e o m e t r ía

S e cto r circu lar. E s aquella porción de círculo limitada por un ángulo central y su arco c o rre s pondiente.

r: radio del sector circular A O B a : medida del ángulo central AAPB + A APCD - '

Á aaob -

360°

Ad em ás: L: longitud del arco A B Aqaob - ^ P e s un punto exterior al paralelogramo A B C D , relativo al lado C D ,

Segm ento circular. E s aquella porción de círculo limitada por una cuerda de dicho círculo y el arco que subtiende dicha cuerda.

^ABPC + A aapd

AREAS DE REGIONES CIRCULARES C irculo. E s una porción de plano cuyo contorno es una circunferencia. Área de un círculo

¡C7APB: segm ento

A= «R

circular

determ inado

por

cuerda A B . A =

nD2

r: radio 0: medida del ángulo central correspondiente al segm ento circular.

Corona circular. E s aquella reglón plana limitada por dos circunferencias concéntricas.

t (R 2

- r )

También si T es punto de tangencia. ría 4

A^-'.apr — ------------ senB 360° 2

TEOREMA DE REGIONES EXTERNAS Al trazar regiones sem ejantes sobre los lados de un triángulo rectángulo, de modo que dichos lados del triángulo sean líneas hom ologas de las reglo nes sem ejantes, se cumple que el área de la región trazada sobre la hipotenusa e s igual a la sum a de las á re a s de las regiones trazad as sobre los c a tetos.

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

EJERCICIOS RESUELTOS Encontrar el área de la reglón som breada, O y D son centros, AO = 4, mAD = m C E C

R 1t R 2 y R 3 son regiones sem ejantes de á re a s A i, A 2 y A 3, respectivam ente, en las cu ales A B , B C y A C son su s correspondientes líneas homologas. S e cumple:

R e s o lu c ió n :

=A ,

LUNULA E s una reglón plana no convexa limitada por dos arcos de circunferencia secantes.

C om o: m A D C = a + 8 = 90° E nto nces: m D C E = 8 + a = 90° Luego: m Z D O E = 9 + a = 90° (ángulo central)

En el gráfico la región som breada e s una lúnula, limitada por los arcos A P B y A Q B .

LÚNULAS DE HIPÓCRATES

E l O D O E e s Isó sceles: m Z O D E = 45° a 21 4 5 ° . = Jt4 '3 6 0 ' 2.

Por un punto A exterior a una circunferencia de centro O se trazan la secante A B C y la se ca n te diam etral A D E de modo que m C E = 90°, A B = 5, B C = 4. Encontrar el área de la región triangular B O E .

R e s o lu c ió n :

S e m uestran dos lúnulas de á re a s, S , y S 2 deter m inadas por las sem icircunferencias de diámetros A B , B C y A C ; se cumple: : S i + So

cYlota/:-

AABD ~ A B C E :

= A BE

■( 1)

(B D )(B E ) = 20 A adbo = A a o be = x

( B D )(B E ) A t.D B E -

2x -

De (1) y (2): 2x =

2 20

..(2 )

e o m e t r ía

El triángulo A B C es equilátero, AM = 3 / 3 ,

El t\A F B e s de 30° y 60°, por se r B F =

N C = (3 . H a lla r el á re a de la región so m b read a.

E nto nces: A F = 1 / 3 = 2 /3

De acuerdo a la formula trigonométrica:

(2 /3 ) (4) A a a f d = ---- 2 ---- sen60 °

R es o lu c ió n :

,\ A a a f d = 6

Sobre los lados de un triángulo A B C _se toman los puntos D sobre A B , E sobre B C . F sobre A C de modo que D E //A C , D F // B C , las áreas de las regiones triangulares A D F y D B E son 16 y 25. Encontrar el área de la región triangular ABC.

R e s o lu c ió n : B

A: área de la región A B C . Lo s fc+AMQ y t\Q N C son de 30° y 60°: AQ = 2.AM = 6 / 3 ;

A A D F - A A B C : — = — — — => — = —— A (m + n )2 /A m +n

Q C = 2N C = 2 /3

As = |A C 2 - -A Q 2 - - Q C 2 8 8 8

A D B E - A A B C : — = — —— A (m + n)

A s = ^-[(8/3 )2 - (6 /3 )2 - (2 /3 )2] A s = 9n 4.

El lado de un cuadrado A B C D mide 4, hacien do centro en el vértice B se traza un arco de circunferencia que pasa por los puntos m e dios de lo s ja d o s A B y B C , luego se traza la tangente A F al arco. Determ inar el área de la región triangular A FD .

=» - 5 - = — 2— /A m+ n

Sum ando y operando: A = 81 6.

En un triángulo A B C , la circunferencia inscrita e s tangente al lado A C en F. Hallar el área de la región triangular A B C , si F C = 7 y el exradio relativo al la d o A B mide 5.

R e s o lu c ió n :

A = rc(p - c) ...(1 ) Por propiedad de la circunferencia: FC = p - c E n (1): A = rc x F C =* A = 5 x 7

Aa = 35

| C o l ec c ió n E i P o s t u l a n t e

Lo s lados de un triángulo miden 15, 20 y 25. C alcu lar el área de la región triangular form a da por el incentro. baricentro y circuncentro del triángulo.

[ " e j e r c ic io s PROPUESTOST | 1.

Según la figura: B A = 2N B, calcular la relación de S-i, S 2, S 3, siendo las áreas de las reglones som breadas, L, P y Q son puntos de tangencia.

a) 5 d) 10/3 7.

a) S 3 — S i + S 2 c) S 3 = 2 ( S í + S 2) e) S 3 — S 2 - 2 S í 2.

b) S 3 — 2 S 2 í S í d) S 3 = 3S-| + S 2/2

En el gráfico, P es punto de tangencia. C a lcu lar la razón de áre a s de las regiones MBN y AMNQ.

c) 9/16 d) 16/25 e) 4/5

a )1 2 c m 2 d) 1 8 /3 cm 2

10.

c) 18 cm 2

c) (6/5)L2

a) 21 m2

b) 42 m2

d) 18 m2

e) 72 m2

c) 36 m2

9n 6n 9 6 8n

B-------------- C

El área de la región triangular A B C e s 24 m2 C alcu lar el área de la región som breada.

b) 8 m2 e) 10 m2 d) 12 m2 e) 11 .

b) 1 2 /3 cm 2 e) 15 cm 2

e) 2 L 2

a) 7 m2

b) 18 + 2 /3 d) 2 7 + 18 /3

Dos circunferencias de radios 2 y 6 cm son tangentes exteriores. C alcu lar el área de la región del triángulo formado por las tangentes com unes que se pueden trazar a las dos cir cunferencias.

b) (4/3)L2

d) L 2/12

a) b) c) d) e)

c) 650

S e tiene un hexágono regular de 4 m de lado, se construyen circunferencias de 2 m de ra dio. tangentes exteriores a cada lado en su punto medio. ¿C u á l e s el área de la región del hexágono obtenido al unir los centros de la circunferencia? a )9 + 6/3 c) 36 + 2 4 /3 e) 45 + 3 0 /3

b) 720 e) 540

a) 3 L 2

En la figura, calcu lar el área de la región som breada. si A B C D e s un cuadrado de lado 6.

Hallar el área de la región del hexágono regu lar circunscrito a una circunferencia, sabiendo que el área de la región del hexágono regular Inscrito en la m ism a circunferencia es 540. a) 840 d) 600

La hipotenusa A C de un triángulo rectángu lo isó sce le s A B C , recto en B, tiene longitud L. Exteriorm ente, se construye el cuadrado A C D E . B E y BD cortan a A C en los puntos P y Q. C alcu lar el área de la región del triángulo PBQ .

C alcu lar el área de la región de un triángulo A B C ; m Z A B C = 90°, la bisectriz interior BD cortan a la circunferencia circunscrita en el punto E , si: BD = 6 m y D E = 8 m.

a) 3/4 b) 9/25

c) 5/3

b) 2,5 e) 25/12

14 m 2

S i: P, Q, M, N, R , S son puntos de tangencia, calcu lar el área de la región triangular A B C .

12.

Hallar el área de la región de un triángulo isó s celes A B C . sabiendo que: A B = B C = 30 cm, y que la perpendicular a B C en su punto medio AE = 1 M, corta a A B en E y que: EB 5 a) 300 cm ¿ d) 360 cm 2

14.

f/3

¡3

1/3

C alcu lar el área de la región triangular corres pondiente a un triángulo Isó sceles, en el cual la base mide 16 cm y el circunradio 10 cm, siendo el triángulo obtusángulo. a) d)

15.

Hallar la razón entre las áreas de una reglón triangular equilátera y una región cuadrada, si estas regiones son isoperim étrlcas. a) f / 3

32 cm 2 30 cm 2

b )1 6 c m 2 3) 34 cm

5. b

13. c

6. e

10. c

14. a

3. b

7. d

11. d

15. a

4. c

8. b

12. d

a ) A amnd = A aafm + 2A angc b) Aamnd = 2aafm i Aangc

b) 7 e) 14

c) 11

En el gráfico: A = 9; B =10: C = 12: D = 15. calcu lar el área de la región som breada. a) b) c) d) e)

[ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS 2 | S e tiene un triángulo A B C inscrito en una cir cunferencia, se traza la bisectriz B E , cuya pro longación corta en D al arco A C , desde E se trazan las perpendiculares E F y E G , hacia A B y B C . respectivam ente. SI: FD n A C = {M} y G D n A C = {N}, entonces, podemos afirmar que:

En un trlángulo^ABC se_traza la m ediana AM y la ceviana CN (N e A B ) , las cuales se Inter se can en el punto G . Por el punto M se traza una recta paralela al lado A B , que ¡ntersecta a

a) 9 d) 10

b) ( a - 2) m2 c) 2(a + 2) m2 d) 2 ( a - 2) m2 e) 2(a - 8) m2

1. a

b) 1 cm d) (-Í2 - 1) cm

la ceviana CN en el punto Q. Si: — = - y el NA 2 área de la región triangular A B C es 140, hallar el área de la reglón triangular Q M G.

En la siguiente figura, se tiene un cuadrado de lado 4 m. C alcu lar el área de la región som breada.

2. c

S e a el hexágono regular A B C D E F , cuyo lado mide 2 cm. L a s diagonales A D , C F y B E se cortan en O. Sobre OD, O F y O B, se ubican los puntos G, H y P, de modo que el triángu lo G H P e s equilátero. S i el área de la reglón triangular G H P e s la cuarta parte del área de la reglón hexagonal A B C D E F , calcu lar la lon gitud del segm ento DG. a) (2 - Í2 ) cm c) ( Í 3 - -lt>) cm e) 1/2 cm

c) 48 cm 2

a) (n + 2) m2

c ) A amnd = 2(A aafm + AANGc ) d) A amnd = A ^ pm + A angc e ) AA mnd = 1/2 (A aapm + Aangc)

c) 240 cm

CD O

13.

b) 380 cm e) 120 cm 2

e o m e t r ía

3 4 5 6 8

En un cuadrado A B C D de lado L, se ha co ns truido un triángulo isó sce les M EF, obteniéndo se 3 figuras planas de igual área (ver figura adjunta). C alcu lar la longitud del segmento D E , si M e s punto medio del lado A B . a) L/12 b) L/6 c) L/4 d) L/3 e) 2 L/3

F C

Er^el triángulo A B C de perímetro 48 m, el lado B C mide 12 m. La circunferencia exinscrita al lado B C tiene radio 10 m. Hallar el área de la región triangular A B C .

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 120 m

b) 240 m2

d) 330 m2

e) 450 m2

c) 300 m2

12.

S i: el área de la región cuadrangular A B C D es 40, M y N son puntos medios de A C y BD, respectivam ente, calcu lar el área som breada. P a) 8 b) 5 c) 10

B 4^

d) 20 e) 30

/mí

S i: A R = 2, R C = 3 y A C = 4, calcu lar el área de la región cuadrangular P R S B .

L a s diagonales de un paralelogram o miden a y b y forman un ángulo agudo C . Hallar el área de la reglón del paralelogramo.

1 c) —ab c sc C 2 -i e) —ab co sC

13. S e tiene un círculo de centro O y un punto A externo a él (ver figura). S e a n : PQ = R S = 16 m; el área de la región triangular O PQ = 48 m2 y O A = V157 m. C alcu lar el área de la región del triángulo A O R .

14.

15.

b) 42 /

c) 189

Del gráfico, calcular: A^ + A 2 + A 3, si: PQ = 2.

b) f - 1

e) 64

¿ ¿ l , ___i—

— _ j^ c

En un triángulo A B C del área 84 m2, H y J son los pies de las alturas trazadas de los vértices A y C , respectivam ente. Si J K es perpendicu lar a B C , C J = 2 m y J K = 2 / 3 m, hallar el área de la región triangular B JH . b) 3,8 m2 e) 8,6 m2

a) 5 m2 d) 7 m2

c) 8,2 m2

C alcu lar el lado de un octógono regular cuya área es 128 m2. a) /2 m

b) / 2 - / 2

c) 2 ¡ 2 ^ 12

d) 2 /2 + 72 m

e) 8 /7T

b) 187 e) 192

\S,'

d) 60

11.

S e tiene un cuadrilátero A B C D , siendo O punto de la intersección de su s diagonales. Sabiendo que: O A = x, O B = 2x, O C = 8x, OD = 5x, y que el área de la región triangular B O C e s igual a 48 m2; hallar el área de la re gión del cuadrilátero, en m2.

a) \ - 2

c) 48

10.

48 m2 36 m2 24 m2 9 m2 12 m2

a) 185 d) 190

Del gráfico, calcu lar el área de la región trian gular A B C , si: S t = 9. a) 36

d) —ab se n C 2

a) b) c) d) e)

b) ab co sC

a) ab se n C

1 m

C) 71 - 1

d) e) 16.

t it i-

3 2

S e a n dos circunferencias tangentes exteriorm ente de radios 10 dm y 30 dm. Determ inar el área del triángulo isó sce les circunscrito a las dos circunferencias. a) 1 8 00 /3 dm2 c) 9 0 0 /3 dm 2

b) 1 2 00 /3 dm2 d) 1 8 0 /3 dm2

e) 2 7 0 0 /3 dm2 17. S e a A el área de un triángulo A , A-i el área del triángulo A 1 obtenido uniendo los puntos medios de los lados del triángulo A ; análoga-

mente se a A 2 el área del triángulo A 2, obteni do uniendo los puntos medios de los lados del triángulo A i ; y a sí su cesivam ente. Hallar, la sum a de las áreas: A + Ai + A 2 + ... a) |

18.

b) J A

d) § A

e) 2A

e o m e t r ía

1. d

5. b

9. d

13. d

17. b

2. a

6. a

10. d

14. e

18. d

3. a

7. c

11. e

15. b

19. b

4. b

8. a

12. d

16. e

20. d

c) A

Del gráfico, hallar el área X , en función de S-, y S 2. (M, N, P y Q son puntos de tangencia).

EJERCICIO S PROPUESTOS

Si el área de la región del triángulo A B C es 36, c a lc u la r el áre a de la región so m b read a. a) 1

b) 2 c) 3 d) 8 e) 9 2. b) V sf + S | - 6S-,S2 [</S2 + S 2 + 6 S 1S 2 + S i + S 2] c)

[•is? + S 2 + 6 S 1S 2 - (S-, + S 2)] 2

e) En un cuadrado A B C D por el vértice B se tra za la recta L 1t no secante al cuadrado y por el vértice D, se traza la recta L 2 que interseca al

lado A B en Q, de modo que: L-, y L 2 se inter secan perpendicularm ente en P, P B = b y la distancia del vértice A a la recta L 2 es a. Hallar el área de la reglón cuadrada A B C D . a) 2b + 2ab + a c) (2a + b)2 e) (a + b)2 Hallar el área O A = O B = 6. a) b) c) d) e)

a) 600

b) 500

d) 350

e) 300

c) 400

9 18 n 9 71 18 36

reglón

som breada.

24 40 36 32 28

H allar el área de la región del triángulo A B C , si: AD = 13, A B = 5 y el triángulo B C D es equi látero: a) b) c) d) e)

b) 2 a 2 + 2ab + b2 d) (a + 2b)2

C alcu lar el área de la reglón del trapecio mostrado. a) b) c) d) e)

i s f + S ¡ ^ 6 S ^ S ¡ - (Sn+ S 2)]

20.

19.

En un triángulo rectángulo de hipotenusa 50, donde el cateto es el doble del otro, calcu lar el área de la región del triángulo.

15 20 25 30 60

C B-

En la figura, hallar el área de la corona circular form ada, si: A B = 2 m. a) 27t m2 b) 3 tt m2 c) (3/4)7t m2

d) 4 ti m2 e)

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

51 A B C D e s un rectángulo, AM = MD, S t = 3; 5 2 = 13; S 3 = 12. Hallar: S 4, si O R = OD. a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e )7

11.

Lo s catetos de un triángulo rectángulo A B C , miden: A B = 24, A C = 10. S i E es un punto de A B , tal que: A E es la base de un triángulo isó sce les, cuyo vértice D está en la hipote

1 'r s r -

nusa B C . S e pide hallar la longitud de A E , de tal m anera que el área de ia región triangular A D E se a 4/8 del área de la región triangular ABC.

0> M

S i A O B es un cuadrante, P, Q y M son puntos de tangencia y PQ = 2, calcu lar el área de ía región triangular MOP. X* a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

b) 1¡r e) i 5

A 12.

C alcu lar el área de ¡a región cuadrada A B C D , si: AD = DQ 5

a) 4 S

e) 5

L O

b) 5S

G l i , ■ ' n SG 3 u . N

c) 6 / 2 S En la figura, si: BD = A C = 4/ l0 - 2 / 5 / calcular: A ^ bq .

d) 8 (2 + / 2 ) S

e) 12

13.

S i: m B C = 106° y R = 35, calcu lar el área de la reglón som breada. a) 663

b) 661 c) 662

a) /5 d)

V5 4

En el gráfico: S-, cular S x. a) b) c) d) e) 10.

°> #

d) 671

e) 2 /5 - 21, S 2

e) 672 42 y S 3 = 28. CalC

7 14 3,5 10,5 6

14.

En la figura, AM = 2, BN = 3, calcu lar el área de la reglón rectangular M NPQ, si T, A y B son puntos de tangencia. a) 15 u2 b) 18 c) 20 d) 25

En el gráfico, calcu lar la razón de las áreas de las reglones triangulares A B C y M IC , si: B L = LD B

e) 30 Según

el gradeo: AN

P D - D S , f ó // ÑA v área de regló • 7 NQ .* la reg i‘. . a) 4 rn b) 3 m2

a) 12 d) 8

c) 4 e)

3 /1 5

c) 2,5 rrr d) 2 uÁ

’

:í i ¡ J

p /p

16. S I: B C // AD, AM = MB, CN S 1 + S 2 = 10, calcu lar S x.

ND y

b) 5

19.

c) 10 d) 6

c) ^ / 3 m 5

b) ~ ^ 3 m 5

1 2 /5 m

e )1 2 /3 m

d) ^ / 5 m 5

a) 2,5

e o m e t r ía

SI: IM = M E (I y E son incentro y excentro, respectivam ente), A-¡ + A 6 = 17, A 2 + A 4 = 20, calcu lar el área som breada A 3

e) 9 17.

En una circunferencia de 6 m de radio, se Inscribe un rectángulo, cuyo lado m ayor tiene 8 m Por los cuatro vértices de! rectángulo, se trazan tangentes a Is circunferencia, form án dose un paralelogram o. C alcu lar el área del parsleiogram o. a) 6 4 ,8 /5 m2 d )6 4 /5 m 2

18.

b) 143 . i r

2 0 . C alcu lar el área de la reglón triangular A B C .

a) b) c) d) e)

c j 144,5 m2

e) 6 5 /5 m2

La figura m uestra un cuadrado cuya área e s 64 m2 y tal que: P C = B P '. Hallar AM, si: A P = 6 m.

12 12,5 13 14 14,5

til ÜJ > < J

1. b

5. e

9. a

13. e

17. a

2. b

6. b

10. d

14. e

18. d

3. c

7. a

11. b

15. e

19. c

4. d

8, a

12. e

16. c

20. b

GEOMETRÍA DEL ESPACIO RECTA Y PLANOS Rep resentació n geom étrica de un Plano

S i L-i // L 2 => L-i y L 2 determinan O P . Notación: O P : se lee plano P.

POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

DETERMINACIÓN DE UN PLANO

E n tre d o s p ian o s

Determ inar un plano significa fijarlo geom étrica mente en el espacio.

P ia n o s p a ra le lo s . Son dos planos que no tie nen ningún punto en común.

P ostulado fundam ental. T res puntos no colineales determinan un plano al cual pertenecen. Dicho plano e s el único que contiene a este conjun to de elem entos geométricos.

S i: A , B y C son puntos no colineales. => A, B y C determinan el O P Teorema 1. Una recta y un punto que no pertenece a ella determinan un plano.

D P II O H ■ O P n£7H :

P la n o s S e c a n te s. D os planos son s e c a n te s, si dichos planos tienen un conjunto de puntos en com ún, los c u a le s determ inan una recta denom inada recta de intersección o arista. Arista

SI L c £ 7 P y Lc/D Q => O P y O Q . son planos secantes.

S i: A g L =» A y L determinan el Z7P

Entre una recta y un plano

Teorem a 2. Dos rectas se can tes determinan un plano.

R ecta contenida en un plano. Una recta está contenida en un plano, cuando todos los puntos de dicha recta pertenecen a dicho plano. S i: A¡ g

A¡ g O M / i g

=> L c O M S i: L-i n L 2 = {P } =* L-t y L 2 determinan el O Q .. Definición de rectas paralelas. Dos rectas para lelas determinan un plano.

R ecta secan te a un plano. Una recta y un plano son se can tes, cuando am bos tienen un punto en común, denominado punto de inter sección.

S i: L ,

eo m e t r ía

n L2 = 0 ; y

L-, y L 2 : no coplanares =» L t y L 2 : son alab ead as o cru zad as.

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO

S i: ¿7M

n L = {P } => L y £7M

son se ca n tes

S e define como aquella recta perpendicular a to das las rectas contenidas en el plano.

Recta paralela a un plano. Un plano y una recta son paralelos cuando dichos elem entos no tienen ningún punto en común. „ L . ------------------ * S i L // O P => L n O P = {

} Ento nces: L X L-,; L 1 L 2; L 1 L 3; L 1 L 4

Entre dos rectas R e ctas se ca n te s. Son aq uellas rectas que tienen un solo punto en común.

Teorem a. SI una recta es perpendicular a dos rec tas se ca n tes contenidas en un plano, entonces di cha recta es perpendicular al plano.

E xiste un solo plano en el cual están conteni d as dichas rectas. Si: a

n b = {A }

=> a y b: se can tes R e ctas paralelas. Son aq uellas rectas que no tienen puntos en común y que existe un solo plano que las contiene.

S e a n : L-, c ¿ 7 P y L 2 c Z 7 P , adem ás L-, y L 2 son se ca n tes en A S i: L í L , y L _ L 2 => ü i O P

S i: m

nn = {

}

m y n : coplanares

^ m y n : paralelas R e ctas alab ead as o cru zad as. Son aquellas rectas que no tienen puntos en común y que no son coplanares. L,

Teorema de las tres p erp endiculares. Si por el pie de una recta perpendicular a un plano, se traza otra recta perpendicular a una de las rectas conte nida en dicho plano, entonces, toda recta trazada por el pie de ésta última recta y un punto cualquiera de la recta perpendicular al plano se rá perpendicu lar a la recta contenida en dicho plano.

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

Sea: L c O P S i: L | i O P y L 2 1 L ( L 2 c Z 7 P ) => L 3 ± L

a = 90°

ÁNGULO DIEDRO E s la figura geom étrica formada por la unión de dos sem iplanos que tienen en común una recta de origen a la cual se le denomina arista del ángulo diedro. Elem entos: arista

V értice: O A rista: OA, 0 8 .... C a ra s : A O B , B O C ,... (m edidas: a, b..) Diedros: O E , OD, (m edidas: a , (3..) Notación: Ángulo poliedro O -A B C D E

Notación: Ángulo diedro A B , ángulo diedro H - A B - F. Z xo y : ángulo plano o rectilíneo del ángulo diedro. 9: medida del ángulo diedro.

Los ángulos poliedros se nombran de acuerdo a su número de c aras y pueden se r: ángulo triedro, ángulo tetraedro, ángulo pentaedro., si tiene 3, 4, 5 ,.... c aras respectivam ente. Propiedad: En todo ángulo poliedro convexo la sum a de las me didas de su s caras es mayor de 0° y menor de 360°.

PLANOS PERPENDICULARES

ÁNGULO TRIEDRO

Dos planos son perpendiculares, cuando determi nan un diedro que mide 90°.

E s aquel poliedro de tres caras.

Ángulo triedro O -ABC a : medida del diedro

Triedro O -ABC M edidas de las c a ra s: a, b c

si: a = 90° => O H 1 O P

M edidas de los diedros: a , y, p

ÁNGULO POLIEDRO

Propiedades:

E s la figura geom étrica formada por tres o m ás re

giones angulares que tiene el mismo vértice y que dos a dos comparten un lado.

En todo ángulo triedro la sum a de las m edidas de las ca ra s es m ayor de 0° y menor que 360° 0° < a + b + c < 360°

En todo ángulo triedro la sum a de las medi d as de los ángulos diedros es m ayor de 180° y menor de 540°.

e o m e t r ía

Propiedad: E n todo triedro isó sceles:

180° < a + p + y < 540° 3.

En todo ángulo triedro la medida de cualquie ra de las tres ca ra s es menor que la sum a y m ayor que la diferencia de las m edidas de las otras dos caras. a -c < b < a + c

siendo a > b > c

En todo ángulo triedro a cara de m ayor m e dida se opone un diedro de m ayor medida y v iceversa. S i: a > c => a > y

Si: m Z A O B = m Z A O C ; y PH perpendicular a la cara B O C OM: bisectriz del Z B O C Por el número de caras rectas (de medida igual a 90°) Triedro rectángulo. E s aquel que tiene una cara que mide 90°.

C lasificació n : Lo s ángulos triedros se clasifican según los si guientes criterios: Por la co m p aració n de las m e d id as de s u s c a ra s Triedro e scalen o . E s aquel que tiene su s tres c aras de diferentes m edidas. Del gráfico: Si: a A b , b y c y a A c

Triedro bi-rectángulo. E s aquel que tiene dos ca ra s que miden 90°. A los cu ales se opo nen diedros que miden 90°.

=5 Triedro: O -A B C : escaleno, adem ás:

a AP, p Ay y a A y Triedro isó sc e le s . E s aquel que tiene dos ca ras de igual medida a los cu ales se oponen diedros congruentes. Del gráfico: S i: a = c ■ Triedro O -A B C : isó sceles, A d em ás: a = y Triedro equilátero. E s aquel que tiene su s tres c aras de igual medida y su s tres ángulos diedros congruentes. Del gráfico: S i: a = b = c => Triedro O -A B C : equilátero, A dem ás: a = p = y

Triedro tri-rectángulo. E s aquel que tiene su s tres ca ra s que miden 90°: entonces su s tres diedros miden 90°.

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

SÓLIDO GEOMÉTRICO

C +V=A +2

E s aquella porción del espacio separado del espacio inmediato por un conjunto de puntos que conforman la superficie del sólido. Un sólido de acuerdo a su superficie puede ser, poliedro (pirámide, prism a, etc.) o cuerpo redondo (esfera, cilindro, etc.).

C: V: A: 2.

L a medida de ia superficie de un sólido e s el área de la superficie dei sólido, y la medida de la porción de espacio correspondiente a un sólido es el volum en del sólido.

número de caras número de vértices número de aristas

En todo poliedro la sum a de las m edidas de los ángulos internos de todas las ca ra s es igual a 360° por el número de vértices dism i nuido en dos. Szcaras = 360° (V - 2) Sacaras- sum a de m edidas de los ángulos in ternos de todas las c a ra s. V: número de vértices.

En todo poliedro cu yas ca ra s tienen igual nú mero de lados, el número de aristas e s igual al semlproducto del número de ca ra s y el nú mero de lados de una cara.

POLIEDRO E s aquel sólido geométrico cuya superficie está for m ada por cuatro o m ás regiones poligonales planas a las cuales se les denomina c aras del poliedro.

A: número de aristas C : número de c aras n: número de lados en común de todas las caras.

Ai lado común a dos caras se le denomina arista y al punto de concurrencia de las aristas vértices del poliedro. Diagonal del poliedro: es el segmento cuyos ex trem os son dos vértices ubicados en caras distintas. Se cció n plana: es la intersección del sólido con un plano secante a él. Los poliedros se nombran de acuerdo a su número de caras y pueden ser: tetraedro, pentaedro, hexae dro, ... si tiene cuatro, cinco, se is caras respecti vamente.

En todo poliedro el número de diagonales es igual al valor de la combinación del número de vértices del poliedro tomados de dos en dos, m enos el número de aristas y m enos la sum a de los núm eros de diagonales de todas las c a ras de dicho poliedro. NDp = C 2 —A — ND Ndp: número de diagonales del poliedro, V: número de vértices „v

lV = jv H x Ü

V (V - 1 ) =

A: número de aristas Nd: sum a de los núm eros de diagonales de todas las caras.

Teorema de Eu ler 1.

En todo poliedro el número de c a ra s, m ás el número de vértices es igual al número de a ris tas aum entado en dos.

POLIEDRO CONVEXO Y POLIEDRO NO CONVEXO (CÓNCAVO) Un poliedro e s convexo cuando todas su s se ccio nes planas son co n vexas, en caso contrario será no convexo.

Poliedro convexo

eo m e t r ía

Tiene 4 diagonales, las cu ales son de Igual longitud y concurren en su s puntos medios el cual e s el centro del cubo.

sección plana co nve xa

/ Ü

/ I K s. f;........

Poliedro no co nvexo o có ncavo E

Notación: hexaedro regular A B C D -E F G H Diagonal:

Á rea de la superficie (A): Volumen (V): 3.

POLIEDRO REGULAR E s aquel poliedro cu yas ca ra s son regiones poli gonales regulares congruentes entre si y en cada vértice concurren el mismo número de aristas. Solo existen cinco poliedros regulares; los cuales son; 1.

A = 6a

V :

Octaedro regular. E s aquel poliedro regular limitado por ocho regiones triangulares equi láteras. Tiene 3 diagonales, las cu ales son de igual longitud y son perpendiculares en sus puntos medios. Notación:

Tetraedro regular. E s aquel poliedro regular limitado por cuatro regiones triangulares equi láteras.

Octaedro regular M -ABCD-N

Diagonal:

MN = a-Í2

Á rea de la superficie (A) G : baricentro de la reglón triangular A B C Á rea de la superficie (A ):

Volumen ( V ) :

A = a 2 (3 4.

Volumen (V):

V = •

V = :

5/2

Hexaedro regular o cubo. E s aquel poliedro regular limitado por se is regiones cuadradas.

D odecaedro regular. E s aquel poliedro regular limitado por doce regio nes pentagonales regu lares. Tiene 100 diago nales.

•12

A = 2 a 2 /3

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

Icosaedro regular. E s aquel poliedro regular limitado por veinte regiones triangulares equi láteras. Tiene 36 diagonales.

Prism a. E s aquel poliedro determinado por una su perficie prism ática cerrada y dos planos paralelos entre sí y se ca n tes a todas las generatrices. C a ra cte rística s. El prism a tiene dos c aras para lelas y congruentes a las cu ales se les denomina b a ses y las otras c aras son reglones paralelográm icas y e sta s son denom inadas c aras laterales.

cYloia/:--; | | t

POLIEDROS CONJUGADOS E s aquel par de poliedros regulares, en los que, el número de ca ra s de uno e s igual al número de vértices del otro y viceversa. Lo s pares de poliedros conjugados son: El tetrae dro con otro tetraedro, el hexaedro y el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

PRISMA

.................................... - ........................................................N

Lo s p rism as se nom bran según el número '¡ de lados que tiene la b a se , por ejem plo: si I tiene siete lados, se le denom ina prism a j heptagonal.

Se cció n transveral. E s la sección plana deter minada en el prisma por una plano paralelo a su base. S e cc ió n recta. E s la sección determ inada en el prism a por un plano perpendicular y secante a to das su s aristas laterales.

Su p erficie p rism ática. Dada una línea poligonal plana no secante a sí m ism a y una recta secante al plano que contiene a la línea poligonal en algún punto de dicha poligonal: la superficie prism ática se genera mediante el desplazam iento de la recta por la poligonal, m anteniéndose paralela a su po sición inicial. A la poligonal se le denomina directriz y a la recta que genera la superficie, generatriz. Su p erficie p rism ática abierta

Notación: prism a hexagonal A B C D E F -A 'B 'C ’D 'E 'P . Á rea de las superficie lateral (A SL) A SL = sum a de áre a s de las ca ra s laterales Su p erficie prism ática cerrada A s l - (2 P s r ) a L

2pSR: perímetro de la sección recta generatriz Á rea de la superficie total (AST) directriz

A st - A sl + 2 (A base) Abase- area be la base

e o m e t r ía

PARALELEPIPEDO

Volumen (V)

E s aquel prism a cuyas b a se s son regiones paralelográm lcas.

V — (Abase) h h: longitud de la altura V - (A j r ) a L A s r : área de la sección recta a L: longitud de la arista lateral.

CLASIFICACIÓN: Prism a o blicu o. E s aquel prism a cu y a s a ris tas laterales no son perpendiculares a las b a se s.

Paralelepípedo rectangular, rectoedro u ortoedro. E s aquel paralelepípedo cu yas ca ra s son reglones rectangulares.

a, b y c: dimensiones del paralelepípedo rectangular. Tiene cuatro diagonales, las cu ales son con currentes y de igual longitud. d2 = a 2 + b2 + c2 S e tiene el prism a ABC D -A 'B'C 'D '

cuadrangular

oblicuo Á rea de la superficie total (A ST)

S e cumple: A st = 2(ab + be + ac) h < aL

A sr < AbaSe Volumen (V)

Prism a recto. E s aquel prism a cu yas aristas laterales son perpendiculares a las b ases.

V = abe

TRONCO DE PRISMA E s una porción de prism a comprendida entre una de su s b a ses y un plano no paralelo a las b ases secante a todas su s aristas laterales. Tronco de prism a triangular oblicuo. E s aquel determ inado en un prism a triangular.

S e tiene el prism a pentagonal recto A B C D E -A 'B ’C ’D’E' aL = h

A sr - A|base

Prism a regular. E s aquel prisma recto cuyas b a ses son reglones poligonales regulares.

se cción re c ta (S R )

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

S e tiene el tronco de prisma A B C - A’B 'C ’.

Área de la superficie lateral (A s l )

Volumen (V)

A s l - (2 P s r) g

ó, + h2 + 03 V - (A a b

) - (

Á rea de la superficie total (AST) A st - A sl + 2 (A base)

V = (As r ) =

ia + b+ c Volumen (V) V = (A base) h

V = (A s r ) g

CILINDRO 2pSR: perímetro de la sección recta Método para generar una sup erficie cilindrica E s el mismo método con el que se genera la super ficie prism ática, sólo que la directriz e s ahora una linea curva plana no secante a sí m ism a. Su p erficie cilind rica abierta

A SR: área de la sección recta

CLASIFICACIÓN: Cilindro recto. E s aquel cilindro cuyas gene ratrices son perpendiculares a su s bases.

se m uestra un cilindro recto, se cumple: Cilindro. E s el sólido limitado por una superficie cilindrica cerrada y por dos planos paralelos entre si y se ca n tes a todas las generatrices. C a ra cte rística s. L a s se ccio n es determ inadas en los planos paralelos se denominan b a ses y son congruentes. La porción de superficie cilindrica comprendida entre dichos planos es la superficie lateral del cilindro; en la cual se ubican segm entos paralelos de igual longitud cuyos extrem os están ubicados en el contorno de su s b a se s denom ina dos generatrices. Se cció n recta de un cilindro

A rr - Ah, Cilindro oblicuo. E s el cilindro cu yas g enera trices son oblicuas con respecto a ias b ases.

En el gráfico se m uestra un cilindro oblicuo; se cumple: h <g

A sr < A h;

Cilindro circu lar recto. E s aquel cilindro recto cu yas b a ses son círculos, también es denom inado cilindro de revolución porque es generado por una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de su s lados.

e o m e t r ía

Á rea de la superficie lateral (ASL) A sl = 2nRg R : radio de la sección recta. Á rea de la superficie total (A ST) A st = A sl + 2 (A base) Volumen (V) Se cció n axiai de un cilindro de revolución, E s una sección plana determ inada en el cilin dro por un plano que contiene a su eje. C} L i l a : - Al desarrollar la superficie lateral de un cilin dro de revolución resulta una región rectan gular en el cual uno de su s lados tiene igual longitud que la circunferencia de una base y el otro lado e s de igual longitud que la gene ratriz del cilindro.

o -

V — (A base)h

cYlota/:

.....................- --------------- ---------------------------------------------------- ---------------------------------------

I j I

L a s b a se s del cilindro oblicuo de sección recta circular son reglones elípticas, cu yas áreas se calculan en función de su s sem iejes.

¡ i

O : Centro de la elipse

I j

Á rea de la reglón elíptica

A = jtab 2a: longitud de eje m ayor 2b: longitud del eje menor

c ^

2nr Á rea de la superficie lateral (ASL)

Tronco de cilindro. E s la porción de cilindro com prendida entre una base y un plano se ca n te a todas su s g eneratrices no paralela a su s b a se s.

A sl = 2nrg Á rea de la superficie total (A ST) A ST = 2nr(g + r) Volumen (V) V = nr2g Tronco de cilindro oblicuo de sección recta circular Cilindro oblicuo de se c ció n recta circular. E s aquel cilindro oblicuo cuya sección recta e s un cír culo.

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

A B : generatriz m ayor

se s están limitadas por un triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, etc.

C D : generatriz menor

También se clasifican en pirámides convexas y no co nvexas, según que la base sea convexa o no convexa.

O , y 0 2 : centros de las bases

O i0 2

9 m + 9m

^ v é r t ic e o cúspide

Á rea de ia superficie lateral (ASL) (2 P s r )

9rr

3ero: \ 2pSR = 2nR Volumen (V) V = A=

f 9 m + 9m .

I hi + h2 ^

base

y ^

S e m uestra una pirámide pentagonal convexa. N o tació n : Pirám ide V -A B C D E

PIRAMIDE G e n e ra ció n de una su p e rfic ie p iram id al. S e con sidera una línea poligonal plana denominada direc triz y un punto exterior a dicho piano denominado vértice, entonces, una recta denominada generatriz que se m ueve pasando por este punto y apoyándo se constantemente sobre el polígono, genera una superficie denominada superficie piramidal. S e m uestra una superficie piramidal con su s dos hojas o mantos.

S e m uestra una pirámide hexagonal no convexa. Notación: Pirám ide V -A B C D E F Área de la superficie lateral (ASL)

a s l = S (área s de las c aras laterales) Á re a s de la superficie total (A ST) ! A 5t - A sl + A base Abase- área de la base

Volumen (V):

(-Abase i -! j

= ri - E s el sólido limitado por una superficie piramidal cerrada y un piano que interseca a todas las aristas de una hoja.

P ro p ie d ad

L a s pirám ides se clasifican según el número de la dos de su Dase en pirám ides triangulares, cuadran g la r e s , pentagonales, hexagonales, etc. si las ba

Todo plano secante a una pirámide y paralelo a su b ase, determ ina una pirámide parcial -semejante al total.

En dos pirám ides sem ejantes se cumple:

eo m e t r ía

Á rea de la superficie lateral (ASL)

S u s líneas hom ologas son proporcionales. L a s áre a s de su s b a se s, de su s superficies totales; son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de su s líneas homologas. •

A sl = S (área s de las ca ra s laterales) Á rea de la superficie total (A ST)

. S u s volúm enes son proporcionales a los cubos de las longitudes de sus líneas homologas.

A s t - A Sl + A b + Ag' Volumen (V) V = ^ (A b + A-b 1+ M b A b 1) A b y A B.: área de las b ases. P irá m id e re g u la r. E s una pirámide que tiene por base a una región poligonal regular y el pie de su altura es el centro de la base.

En el gráfico, Si O P II O Q Pirámide V-ABCD ~ pirámide V-A'B'C'D' L ín e a s homologas proporcionales:

VA ’ VA

VB VB

AB" AB

h’ h

k ’

razón de semejanza

R azón de áreas: O S T (V -A ’B 'C 'D ’)

(V A ’) 2 = tVf = k2

A s T(V-ABCD)

(V A )2

S e m uestra una pirámide hexagonal regular V -A BC D EF. O: centro de la base A B C D E F VIVI: apotem a de la pirámide regular.

R azón de volúm enes: V (V -A 'B 'C 'D ') V (V -A B C D )

(V A ’) 3

h ’3

(V A )3 “ h3 Á rea de las superficie lateral (A SL)

T ronco de pirámide. E s la porción de pirámide comprendida entre la base y la sección plana de terminada per un plano secante a la pirámide y paraíeia a su base

A sl

(Pbase)

Pbase: sem iperím etro de la base. Á rea de la superficie total (A ST)

cara lateral

A St - A s ¡_ + A base A.base: área de la base T r o n c o de p irá m id e r e c u la r . E s aq uel tronco de pirám ide c u y a s b a s e s son reg io n e s poligo n a le s re g u la re s de modo que s u s c en tro s están so b re una m ism a recta p e rp e n d icu lar a d ic h a s b ases.

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

Volumen (V) Y

_ (Abase) ^

Tronco de cono. E s la porción de cono compren dido entre su base y la sección plana determ inada por un plano paralelo a dicha base. S e muestra un tronco de pirámide exagonal regular. Notación: A B C D E F - A 'B 'C 'D 'E 'F 1 MN: apotema

del

tronco

pirámide

regular

A su base y a dicha sección se les denomina b ases de! tronco, la superficie cónica que la limita se de nomina superficie lateral del tronco y a la distancia entre su s b a se s se le denomina altura del tronco de cono.

MN = a p O y O', centros de las b a ses ( 0 0 ' = h) Á rea de la superficie lateral (ASL) Asl =

(p + p')ap

p: sem iperím etro de la base A B C D E F p': sem iperím etro de la base A 'B 'C 'D 'E'F'

CONO

Volumen (V)

Superficie có nica. E s una superficie generada por una recta denom inada generatriz que pasando por un punto fijo denom inado vértice se desplaza por todos los puntos de una linea curva plana no se cante a si m ism a denom inada directriz, de tal modo que el vértice no pertenece al plano de la directriz.

V = | ( B + B ’ + VBB7)

B y B': área de las bases. Cono circu la r recto o de revolución. E s aquel cono recto cuya base es un circulo, también se de nomina cono de revolución porque se genera con una región triangular rectangular al girar una vuelta en torno a un cateto.

Cono. E s el sólido limitado por una superficie cóni ca cerrada y un plano secante a ella que interseca a todas las generatrices de una m ism a hoja. .vértice o cúspide altura superficie lateral

/ {/

VO : altura del cono (VO = h) VO : eje del cono

TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO O DE RE VOLUCIÓN E s un tronco de cono c u y a s b a ses son círculos de modo que su s centros están sobre una m ism a recta perpendicular a dichas b a se s, también se denomina tronco de cono de revolución porque se genera con una región trapecial rectangular al girar una vuelta en torno a su lado perpendicular a su s b ases.

e o m e t r ía

Su p erficie esférica. E s aquella superficie gene rada por una sem icircunferencia al girar 360° en torno a su diámetro. circunferencia menor

Zona esférica. E s la porción de superficie esférica comprendida entre dos circunferencias determ ina d as por dos planos paralelos y se ca n tes a la su perficie esférica. En el gráfico, se m uestra un tronco de cono de re volución. 0 , 0 2 : altura

0 10 2 : eJe del tronco de cono Volumen (V) V = - y ( R 2 + r2 + R r)

ESFERA

AZE —2 ti rh

Superficie esfé rica y partes notables Superficie de revolución. E s aquella superficie que se genera por la rotación de lín eas en torno a un eje. A continuación analizarem os ca so s en las que la línea está en un mismo sem iplano con re s pecto al eje de giro.

A ze: área de la zona esférica. C a sq u ete esférico . E s la porción de superficie esférica que se determina por un plano secante a ella.

S e m uestra una superficie de revolución, genera da por la línea A B C D E F G H al girar 360° en torno al eje.

: 2rtrh

A re — TAB°

A Ce : área del casquete esférico.

| C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

SOLIDO DE REVOLUCION: E s aquel sólido que se genera por la rotación de una región plana ai girar en torno a un eje.

sector circular

eje _ de giro

V SE = tttiR h

E s f e r a : e s aquel sólido generado por un sem icír culo al girar 360°, en torno a su diámetro.

h: longitud de la proyección ortogonal del arco A B sobre el eje de giro. V SE: volum en del sector esférico.

TEOREMA DE PAPPUS - GULDIN Su p erficie de revolución. El área de la superficie generada por una línea plana al girar 360° en tomo a una recta coplanar y no secante a dicha línea es igual a producto de las longitudes de la línea y de la circunferencia que describe su centroide. corte de la superficie

L2 tcx Cuña e s fé ric a . E s aquella porción de e sfe ra que e stá lim itada por dos se m ic írc u lo s m áxim os que tienen el diám etro en com ún y por el huso e s fé ri co co rrespo nd iente.

A sg : área de la superficie generada. L: longitud de la línea A B C : centroide de la línea A B . x: radio de la circunferencia descrita por el centroide. S ó lid o de re v o lu c ió n . E l volum en del sólido gene rado por una región piaña al girar 360° en torno a una recta coplanar y no secante a dicha región es igual al área de la región multiplicada por la longi tud de la circunferencia que describe su centroide. corte del sólido

ji R

270° ^ VgQ —A 2 txx S e cto r esférico . E s aquel sólido generado por un sector circular a! girar 360° en torno a un diámetro del círculo correspondiente, estando el sector en un mismo sem iplano respecto del eje de giro.

eo m e t r ía

V SG: volumen del sólido generado. A: área de la reglón generadora. C : centroide de la región generadora x: radio de la circunferencia descrita por el centroide.

EJERCICIOS RESUELTOS Pero, sabem os: V prisnla = B x h Ento nces por áreas:

C alcular el volumen de un prisma cuadrangular regular, si el desarrollo de su superficie lateral, es una región cuadrada cuyo lado mide L.

B =

(fórmula de área con el circunradio)

R e s o lu c ió n : Vpnsma

Piden: V pr¡sma = B v h Por dato el desarrollo de la superficie lateral del prism a es una región cuadrada cuyo lado mide L.

i abe i 4R

V = —abe 4 4V abe 3

•(2 )

Reem plazando (2) en (1): V x = 3.

B / L/4L/4 L/4 L/4 Como el prism a e s cuadrangular regular la base es una región cuadrada cuyo lado mide L/4

C alcu lar el volumen de un cilindro circular rec to, inscrito en un cono de revolución, si la altu ra y el diámetro de la base del cilindro tienen la m ism a longitud, ad em ás la media armónica entre las longitudes de la altura y el diámetro de la base del cono es 12.

R es o lu c ió n : Piden:

Vcn = cr2(2r)

Vc¡i = 2nr3

Dato: C alcu lar el volum en de un rectoedro, cuyas dim ensiones son congruentes, a las aristas b á sicas de un prism a triangular de volum en V, cuya altura es 3 v e c e s el radio de la circunfe rencia circunscrita a su base.

=. M.H. (h, 2 R ) = 12 2 (h )(2 R ) h - 2R

hR h + 2R

R es o lu c ió n :

...(1 )

Piden:

Luego: GACpB - L .A O C

^rectoedro ~

r _ h-2r R h De (1): r ■

S e sabe: V* = abe

hr = Rh - 2R r Rh h + 2R

(1) .-. V cil = 2n(3) = 54 x

Por dato las dim ensiones del paralelepípedo son iguales a las longitudes de las aristas bá sic a s de un prism a triangular y adem ás:

V„

= V

El área de la superficie total de una pirámide cuadrangular regular es 56 m2. El radio del cír culo inscrito en la base e s 2 m. Calcular la longi tud de la altura de la pirámide.

1 0 0 | C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

R e s o lu c ió n :

C alcu lar el área de la superficie total de un paralelepípedo rectangular, sabiendo que su s dim ensiones están en progresión aritmética de razón 4 y su diagonal mide 5 / i l .

R e s o lu c ió n :

Piden: h Dato: A st ~56 A s t =B + A sl = 56

Piden: A S t = 2(ab + be + ac)

Como r = 2 =>B = 4 2 A' sS jT A2 a n— 5 r += u8a„ ° p “— 56 — °p

Por dato las dim ensiones están en progresión aritm ética de razón 4. b = a + 4; c = a - 4

Luego: h2 ^ 22 = 52

ad em ás: d = 5 VTT = a 2 + (a + 4 )2 + (a - 4 2)

h = /21 m

Operando a = 9 ^ b = 13 y c = 5

C alcu lar la longitud del radio de una esfera, en centím etros, sabiendo que el área de su superficie total es num éricam ente igual a su volumen.

Reem plazando:

El área de ¡a superficie total de un cono es 200n m2, el producto de las longitudes de su generatriz y el radio de su base es 136 m2. C alcu lar el volum en de dicho cono.

Piden: R en centím etros Dato: A s e = V e

t-TiR2

= 454

paralelepipedro

R e so lu c ió n :

4nR

R e s o lu c ió n : Piden: y =

R ' !2 ...(1 ) 3 Datos: g x R = 136 A St = 2 0 0 tl A St = tiR g + txR 2 = 20071 =» 7t( 136) + tlR 2 = 20071 =» R = 8

R = 3 cm

En la figura, BN = 3AN = 3 /3 m y N T = i7 m . C alcu lar el volum en del cilindro circular recto mostrado (T es punto de tangencia). B

Luego: g = 17 y h = 15 En (1): 9.

R e s o lu c ió n :

V ■

Vq¡¡ = 7i(2/3 )2h V cil = 12jth

...(1 )

Por teorema de Pitágoras:

(2/3 )2 + (/7 )2= h2 + ( 13 f 12 + 7 = h2 + 3 =. h = 4 En (1): V c¡| = 12jt(4) = 48tt m3

V = 320 ti m3

Dos cilindros circulares rectos, son sem ejantes y las áreas de su s superficies totales son 187; y 507i. ¿ E n qué razón están su s volúm enes?

R e s o lu c ió n :

Piden:

^(8) (15)

\ \ n

(I)

12 .

Piden: Vc¡i(i)

(Por sem ejanza de sólidos)

Vc¡!(ll) Dato:

r2 ^ total(l) ^ total(ll)

18 t 50 tt

Vcü(l)

&f \5 I

Vcil(ll) 10.

j 101

Dado dos conos de revolución, que tienen el vértice común y cu yas b a se s están limitadas por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado. C alcu lar la razón de volúm enes de dichos sólidos.

R e s o lu c ió n :

6 r2

(Ü f- 9 Vr2 / 25 "

e o m e t r ía

3 5

(Por sem ejanza)

_ 27 125

L a arista de un cubo, cuya área de su su p er ficie total es 54 m2, es de igual longitud al radio de una esfe ra . C a lcu la r el volum en de la esfera.

R e s o lu c ió n :

A nalizando las b a se s de los conos: Piden: 4

Vesf. = - * R

...(1 )

= 54

■'ST(cubo)

=» 6 R 2 = 54 =■ R = 3 Reem plazando en (1): Vesf = |

(3 )2 = 36rv m3 A B C D : cuadrado L o s círcu lo s de radios r y R son las b a se s de los conos m ostrados, pero se o b serva que R = r/2.

C alcu lar el volumen de una pirámide hexago nal regular, cuya arista lateral mide 24 m, y adem ás dicha arista está inclinada 30° resp ec to a la base.

R es o lu c ió n :

Piden: EJERCICIO S PROPUESTOS T ]

Vpirámide —T^Apaseh Por dato la arista lateral forma con la base un ángulo que mide 30°

S e tiene un prisma recto cuya base e s un triángulo cuyos lados miden 3; 4 y 5. C alcu lar el área del prism a, si su altura mide 6. a) 36 d) 80

=5 L A O B (not. 30° y 60

^ h = 12 V,p irám ide 'p irám id e

(12 73 )2 V3

6 x -

2 5 9 2 /3

b) 72 e) 78

c) 84

C alcu lar el volumen de un prism a triangular regular si su arista básica mide 8 y su arista lateral 3.

1 0 2 I C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 4 8 /3 d) 3 6 /3

b) 12 /3 e) 6 4 /3

c) 2 4 /3

a) 128 n d) 256

C alcular el volumen de un prisma hexagonal re gular cuya altura mide 5 /3 y la arista básica 2. a) 80 d) 90

b) 70 e) 2 0 /3

Calcular el volumen de la pirámide regular mos trada.

_h_ 16 h

a) 54 b) 36

10.

b)10 e) 7,5

c) 15

En la figura, el volumen de la pirámide mayor e s V, se han trazado dos planos paralelos a la b ase que trisecan a la altura. C alcu lar el volu men de la porción central.

b)t

C alcu lar el volumen del cono circular recto mostrado, si m Z A B C = 90°. a) n R 3

C alcu lar la medida de la arista básica de una pirámide cuadrangular regular si su área total e s 600 y su apotem a mide 25. a) 5 d) 20

Un vaso cilindrico de diámetro d y altura h está lleno de agua. Si se vierte el contenido en otro vaso de diámetro 2d, ¿h a sta qué altu ra subirá el ag ua?

c) 3 0 /3

c) 18/3 d) 2 0 /3 e) 24

b) i

rtR3

c) |

tiR 3

d) 3

tiR 3

e) 2 11.

tiR 3

La región cuadrada que se m uestra gira en torno al eje L; calcu lar el volum en del solido engendrado. L a) 6n 3V2 b) 9 a c) 18n

d) 36 ti e) 24n

c) ^ ' 3

12.

19V 27 C alcu lar la razón entre la generatriz y el radio de la base de un cilindro circular recto si el área de su superficie lateral e s el doble del área de su base.

a) 1, d) /3

b) (2 e) 3

a) b) c) d) e)

c) 2 13.

El desarrollo de la superficie lateral de un ci lindro recto e s un cuadrado de diagonal 8 / 2 . C alcu lar su volum en.

En la figura BH = B C = 4. C alcu lar el volumen del sólido engendrado por la región trapecial A B C D (A B = C D ) al girar en torno al eje coplanar L. 48n 6 4 ji 80rt 100 ti 9671

B J

l 3° "1 A H

\ \L

C ..............L

Un recipiente cúbico cuya arista mide 3 y cir cunscrito a una esfera, se llena de agua y lue go se vierte el agua en otro cubo congruente. ¿ A qué altura llega el ag ua?.

-7 T

b )^ -

3 d) 14.

15.

b) 18ti

d) 2 7 ti

e) 36-

b) 2a

c) 75 d) 7 5 /3 e) 5 0 /3

c) 7 2 tt En la í;gu;a, calcu lar el volumen de la pirámi de cuadrangular regular.

a) 72 í2 b) 3 6 /3 c) 18/2 d) 3 6 /2

c) 3a

e) 10 8/2

4a 3

21 .

En la figura calcu lar el volum en del prisma recto si su base e s un triángulo equilátero de lado 5. a) b) c) d) e)

5 0 /2 100/3 7 5 /3 5 0 /3 4 0 /3

22.

C alcu lar el volumen de una pirámide cuadran g l a r regular cuya arista básica mide 6, sie n do su área latera! el quíntuplo del área de la base. a) 72

b) 72/6

d) 4 8 /6

e) 5 4 /3

23.

c) 7 2 /3

Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro recto. C alcu lar la relación entre el volum en de la esfera y e! volumen del cilindro. a) 4/9 d) 2/3

La figura m uestra un paralelepípedo rectan gular c u yas dim ensiones son 8; 4 y 6. C alcu lar e¡ área total del paralelepípedo. a) 104

b) 2/5 e) 1/3

c) 1/4

U n cilindro de revolución está circunscrito a u n a esfera cuyo volum en e s 3 6 tt. C alcu lar el área total del cilindro.

b) 240 c) 188

b) 4 8 ti e) 2 7 7t

a) 36;i d) 7 2 ti

d) 180 e) 208 18.

C alcu lar el volum en de la pirámide m ostrada en ¡a figura, si su base es un triángulo equilá tero.

5) 25 {3 b) 4/3

S e tiene dos e sfe ra s m etálicas cuyos radios miden a y 2a; se funden y se construye un cilindro recto cuya altura mide 3a. C alcu lar la medida del radio de la base del cilindro.

| 103

e) n

a l 54n

17.

19.

4 -n 2

Una esfe ra de radío R se encuentra inscrita en un p rism a reg u lar trian g u lar de volum en 1 6 2 /3 u3. C alcu lar el voíum en de la esfera.

a) a

16.

e o m e t r ía

L a s c aras laterales de un prism a triangular regular son cuadrados. Sí el área lateral del prisma e s 108, calcu lar su volum en. a) 1 2 /3

b) 5 4 /3

d) 3 6 /3

e) 3 2 /3

c) 1 8 /3

i ;

tn u > <

j ü

c) 54s

1. c

6. a

11. c

16. d

21. b

2. a

7, a

12. e

17. e

22. d

3. d

8. a

13. b

18. b

23. c

4. a

9. e

14. e

19. e

5. b

10. b

15. b

20. d

GEOMETRÍA ANALÍTICA SISTEMA DE NÚMEROS REALES E s un conjunto de núm eros reales, definido con las operaciones de sum a, multiplicación y la relación de orden m ayor (>), menor (< ), m ayor o igual (>) y m enor o igual (<); el sistem a de los núm eros reales se fundam enta en base a los siguientes axiom as: S e a n a, b y c tres núm eros reales.

se hace corresponder un único punto de dicho eje, de esta forma, se estab lece, una correspondencia biunívoca entre el conjunto de puntos del eje y el conjunto de los núm eros reales. En la siguiente figura, ubiquem os un punto de a b s cisa cero el cual se denomina origen de coorde nadas.

Luego: a + b e IR (ley de clausura) a + b = b + a (ley conm utativa) (a + b) + c = a + (b + c) (ley asociativa) ab e IR (ley de clausu ra) ab = ba (ley conm utativa) (ab) c = a (be) (ley asociativa)

-4

-3

-2

-1

origen de coordenadas

Ejex

D istancia entre d os puntos. La distancia entre dos puntos de ab scisa x-¡ y x 2 en el eje x está dado por:

A xiom a de e xistencia y unicidad del elem ento inverso aditivo

(X2)

( Xi )

Para cada a e IR, existe un único elem ento en IR, denotado por ( - a ) : que cumple la siguiente rela ción: a + ( - a ) = ( - a ) + a = 0

d = |X2 — X! |

PLANO CARTESIANO Interpretación geom étrica de ios núm eros rea les en la recta num érica real o eje x. A la recta, sobre el cual, se fijan los núm eros reales, se de nomina recta num érica real o eje de a b sc isa s (eje x). En dicho eje los núm eros reales se representan m ediante una relación de orden. V eam os el siguiente ejemplo, que nos ¡lustra la re lación de orden. S e an los núm eros reales x 1 y x 2 ubicados en el eje x tal que: x , e s menor que x 2 esto e s, si el punto A de ab scisa X! está a la Izquierda del punto B de a b sc isa s x 2. •-------------------------•-------------------------------► eje x A ( x ,)

B( x 2)

Tal como se observa en la figura la posición de un punto en el eje, se denota, ubicando una letra m a yúscula y a la derecha entre paréntesis el número real, a sí:

El sistem a de los núm eros reales, e s el conjunto IR, el cuál, está asociado a la recta num érica real o eje x. E nto nces, el producto IR-.IR = IR2 es el conjunto de todos los pares ordenados del plano que está determinado por dos rectas num éricas reales per pendiculares, siendo estos, horizontal y vertical respectivam ente, dichas rectas son los e je s de coordenadas rectangulares o pianos cartesiano y a la intersección de los ejes se denomina origen de coordenadas. S e m uestra el plano cartesiano, entonces, del ori gen de coordenadas hacia la derecha, se ubican los puntos cuyos núm eros asociad os son positivos y a la izquierda los puntos cuyos núm eros a so cia dos son negativos, en el eje vertical, del origen ha cia arriba se ubican los puntos cuyos núm eros son positivos y hacia abajo los puntos cuyos núm eros asociad os son negativos.

A (X !): se lee: punto A de ab scisa x-, o x-¡ es la ab s cisa del punto A. B ( x 2): S e lee: punto B de ab scisa x 2 o x2 es la ab s cisa del punto B.

^— origen de coordenadas -4 -3

- 2 -1

-1

Luego del ejemplo expuesto, concluim os que; a cada punto del eje x se hace corresponder un nú mero real único e Inversam ente, a un número real

-2

-3

]-------» «

«----------►eje x

(0,0)1

4-.+00

Ubicación de un punto en el plano cartesiano Postulado. En todo el plano existen infinitos pun tos.

eo m e t r ía

| 105

D istancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos cualesquiera P (x 0; y0) y Q (xri y i) en el plano cartesiano, esta dado por:

Ento nces, en el plano cartesiano, existen Infinitos puntos y a cada punto se le asocia un único par o pareja de núm eros, el cual se denomina P a r O rde nado (x0; y0) E s ta s son distan cias a los ejes o pertenecen a di chos ejes, el cual, está fijado por una recta hori zontal denom inada, eje de la a b sc isa s o eje x y otra recta vertical denom inado eje de ordenadas o eje y. En la figura:

eje de punto P de abscisa xQ y ordenada y0

t\PM Q : aplicando el teorem a de Pltágoras. (PQ)

= (xi - x0) + (y-i — y0)

p(x0; y0)

)2+

J (P.Q) = <l(x i - xo

yo origen de 0(0; 0) coordenadas

eje de abscisa

- “ o-

Notación de par ordenado

(Yi - Yo)2

División de un segm ento en una razón dada. S e a n los puntos P(x-,; y ,) y Q (x0; y0) y M (x2; y2) un PM r, entonces las coor MQ denad as de M esta dado por: punto del PQ , tal que:

(x0; y 0) donde: x 0: es la ab scisa y0: es la ordenada Lo s ejes coordenados determinan en el plano cartesiano cuatro regiones las cu ales se de nominan cuadrantes, tomado en sentido an tihorario primer cuadrante (IC ), segundo cua drante (IIC ), tercer cuadrante (INC) y cuarto cuadrante (IV C ). y IIC

n me

r IVC

Al plano cartesiano se denom ina también s is tema de coordenadas rectangulares o siste ma x-y. E l conjunto de todo los pares ordenados (x; y) se denomina plano numérico y se denota por

IR2 = {(x;y)/x e IR , y e IR } En el plano cartesiano se realizan las siguien tes ap licaciones:

GPH M -t^M N Q Xq ~ *1 _ PM _ r x2- x0 MQ ordenando y despejando x 0 x-, + rx2 x0 = ■ 1+ r

vr V - 1

En forma análoga, se despeja y 0 y i+ ry2 Yo = ■ 1+r

vr V - 1

1 0 6 | C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

Si PM = m y MQ = N, entonces las coordenadas del punto M que pertenece a PQ se exp resa en función de dichas coordenadas, de m y n mediante: x0=

nx-! + m x2

primer grado donde (x; y) pertenece a dicha recta. Esto e s la ecuación general de una recta, se cum ple para todo valor de x e y que satisface dicha ecuación.

nYi + m y2 m+n

Yo= •

Punto medio de un segm ento. Dado el segmento de extrem os A y B, cu yas coordenadas son A = (x-i; y-i), B = (x2; y2) y M es el punto medio de A B , tal que: M = (x; y), luego las coordenadas del punto M se determinan mediante la sem isum a de las res pectivas coordenadas de A y B. L : Ax + By + C = 0

ecuación general

donde: A, B y C son co nstantes, siendo m su pen diente

Por base media en los trapecios rectangulares A A 'B ’B y A A ”B"B X t + X-|

Y i + Y2

Inclinación de una recta. E s el ángulo que forma la recta con el eje de a b sc isa s . S e mide a partir del eje x hasta la ubicación de la recta, tomado en sentido antihorario.

C a lcu lo de las co ord enad as del baricentro de una región triangular. L a s coordenadas del ba ricentro de una región triangular, siem pre está, en función de las coordenadas de su s vértices.

a : medida del ángulo entre la recta L y el eje x. 0: medida del ángulo entre la recta L-i y el eje x Pendiente de una recta. S e denom ina pendien te de una recta a la tangente trigonométrica de la medida del ángulo formado por la recta y el eje x. G es baricentro de la región triangular A B C . Luego: Xi + X2 + X3 x

Yi + y 2 + y3 V

LA RECTA Form a de la ecu ació n general de la recta. Toda, ecuación lineal de la forma Ax + By + C = 0, se denomina ecuación lineal en variables x e y o de

Convencionalm ente la pendiente de una recta se denota con la letra m m inúscula.

S e a m la pendiente de la recta L. Luego:

¡ 107

Donde: P (x 1; y ,): punto de paso;

m = tana

eo m e t r ía

A (x; y): punto genérico

m: pendiente S i a < 90°; entonces m e s positiva. S e a m la pendiente de la recta L , Luego:

ni! = tañe

Si 0 > 90°; entonces m1 es negativa.

Form a de la ecu ación de una recta dado su p e n diente y su ordenada al origen. La ecuación de la recta que pasa por (0; b) y tiene una pendiente m e s: y = mx + b

C á lcu lo de la pendiente. La pendiente de una recta puede se r calculado conociendo las coorde nadas de dos puntos de dicha recta.

Por la ecuación punto pendiente L : y - b = m (x - 0) L: S e a la recta L cuya pendiente e s m.

y = mx + b ecuación intercepto o ecuación de pendiente y ordenada al origen,

m: pendiente de la recta L

Luego: m = tana En el G AM B: tana =

y2 - y i x 2 — X-]

y2- y i Ento nces: m = x2- x ,

Form a de la ecu ación de una recta de co o rd e n ad as al origen. S e a L la recta que pasa por (0; b) y (a; 0).

Form a de la ecu ació n de una recta dado un punto y su pendiente. La ecuación de una recta que pasa por un punto P (xp y-,) y tiene una pen diente m es: y - y , = m (x-x.|)

L: m = Aplicando la ecuación de pendiente y ordenada al origen. L: y = mx + b S e a A (x; y) e L , luego por cálculo de la pendiente L: m

y i- y

y - yi

X-, - x

-Xi

Reem plazando m en (1): L: y = - | x + b Luego:

Luego. L: y — yi = m (x - x-,)

...(1 )

ecuación punto pendiente

l: H

- 1 ecuación de coordenadas al origen

1 0 8 | C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

Form a de la ecu ació n sim étrica de la recta del gráfico:

d (L ,; L 2)

C á lcu lo de la m edida angular entre d o s rectas. Sean:

Del gráfico: L :

y-Yi

x~xi

ecuación sim étrica de la recta.

D istancia de un punto a una recta. S e a L una rec ta cuya ecuación e s de la forma A x + B x + C = 0 y un punto P (x 1; y-i) que no pertenece a dicha recta, luego la distancia del punto P a la recta L e s tá dada por:

L , : cuya pendiente es rrp. L 2 : cuya pendiente es m2. Luego: m-, = tanp, m2 = tana A A B C : propiedad: 0 = a - p Luego: tanG = tan(a - p) tanO

ta n a - tanp 1 + tana tanp

Reem plazando tana = m2 y tanp = m. S e tiene: tanG

m2 - m-i 1 + m 2 xm-|

I Ax-] + By-i + G I d (P ; L) =

Analizando la expresión (1) se tiene: T

d(p; L): distancia del punto P a la recta L.

S i: 0 = 0°; rrq = m2 Esto, quiere decir, que las rectas son paralelas.

D istancia entre d o s rectas p aralelas. S e a n las rectas paralelas L t y L 2 cu yas ecuaciones son: L-p A xq + B y0 -r 0^ — 0 L 2: A xq + B y0 + C 2 — 0 luego la distancia entre dichas rectas está dado por:

m-i y m2 son las pendientes de las rectas L-, y L 2 respectivam ente. Si 0 = 90°

=» m-! x m2 = -1

Esto quiere decir que las rectas son perpendi culares.

S i: L , 1 L 2 =* m-i x m2 = -1 m-i y m2 son las pendientes de las rectas L-i y L 2 respectivam ente. R e ctas paralelas a los e je s de co ord enadas. Instale en el plano cartesiano una recta, que se a paralela al eje de las x, analice las ordenadas de los puntos de dicha recta. ¿Q u é nota?, ahora ins tale en el plano cartesiano otra recta, que se a pa ralela al eje de las y, analice las a b sc isa s de los puntos de dicha recta ¿ Q u é o b serva?, é sta s c a ra c te rísticas hacen que resulte sencillo estab lecer su s ecuacio nes, a sí tenem os:

e o m e t r ía

| 109

En la figura: centro: C (h ; k); radio: R ; punto genérico: P (x; y) Ento nce s por distancia entre dos puntos: ?: (x - h)2 + (y - k)2 = R 2 Ecu ació n ordinaria de la circunferencia. E cu a ció n general de la circu nferen cia. La ecu a ción general de la circunferencia de los puntos P (x; y) de centro C (h; k) y cuyo radio R , está dado: (x - h)2 + (y - k)2 : R 2 Desarrollando y ordenando. ?\ x2 + y2 - 2hx - 2ky + h + k - R = 0 haciendo. - 2 h = A , - 2 k = B y

■L

L // eje x Ecu ación de L:

n~ + k - - K ‘ = u y = b ; Luego:

W'. x 2 + y2 + Ax + By + C = 0

Ecu ación general de la circunferencia.

LA PARÁBOLA L // eje y Ecuación de L:

x = a

Ecu acio n es de los ejes de coordenadas: eje x : y = 0;

M arque en un plano, un punto fijo F, Instale ahora, en dicho plano una recta fija L, luego ubique puntos en el plano que se encuentren igualmente distanciados del punto F y de la recta L, la figura formada por todos eso s pun tos e s denom inada parábola. P

eje y : x = 0

CIRCUNFERENCIA

E s el lugar geométrico de todos los puntos del pla no que están a una m ism a distancia de otro punto fijo del mismo plano denominado centro.

b x F - ''c ------ ;< c

¡c

b¡ A la E cu a ció n ordinaria de la circu nferen cia. S e a P (x; y) un punto del plano x-y cuya distancia co ns tante a otro punto fijo C (h ; k) es R , luego; la ecu a ción de la circunferencia es: ‘í ? : (x - h)2 + (y - k)2 = R 2, a sí:

_□

ü.

F : punto fijo L: recta fija Lo s puntos A, B, C , D, E , ... forman la parábola P de foco F y directriz L

1 1 0 | C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

S e denomina eje focai de una parábola a la recta que pasa por el foco y e s perpendicu lar a la directriz, el punto de corte entre el eje focal y la parábola es el vértice, dado que el vértice e s un punto de la parábola, está a igual distancia del foco y de la directriz, a esta d is tancia se le denom ina parámetro. E! segm ento que une los puntos de una pará bola se llam a cuerda, las cuerdas que pasan por el foco se denominan cuerdas focales y la cuerda focal que es perpendicular al eje focal y por lo tanto paralela a la directriz, e s llam ada lado recto.

En la figura; F(h; k + p): foco de P. Ento nces: di = d2 V[y - (k + p ) f + (x - h) 2 = y - (k - p) Elevand o al cuadrado: [y - (k + p)]2 + (x - h)2 = [y - (k - p)]2 operando los corchetes y acomodando: (x - h)2 = [(y - k) + p]2 - [(y - k) - p]2 aplicando la identidad de Legendre: (x - h)2 = 4(y - k)p acom odando: (x - h)2 = 4p(y - k)

(x; y ) e P

E sta e s la ecuación de la parábola P.

F: foco de P ;

L : directriz de P

L-i: eje focal de P:

V: vértice de P

p: parámetro de P;

A B : cuerda de P

C D : cuerda focal de P ;

MN: lado recto de P

Como se puede ver, en el primer miembro se tiene a la variable x acom pañada de la ab scisa del vértice con signo cam biado, este término es cuadrático, en el segundo miembro vem os a la variable y acom pañada de la ordenada del vértice con signo cam biado, este término es lineal y esta multiplicado por cuatro v e c e s el parámetro. Cuando el eje focal e s el eje de las y, el vérti ce e s el origen de coordenadas se tiene que (h; k) = (0; 0), entonces la ecuación es:

MN = 4p Averigüe porque se cum ple esta relación Dibuje en el plano cartesiano una parábola con su eje focal paralelo al eje de las y, que tenga como vértice al punto V(h; k) y se a de parámetro p, ubique en ella un punto y analice la relación que existe entre las coordenadas del vértice y el parámetro.

V: vértice de P; p: parámetro de P

F: foco de P

x = 4py : (x; y) e P E s importante indicar que cuando una parábo la se encuentra en el plano cartesiano, el signo del parámetro depende de su orientación, así:

La parábola se abre hacia arriba S e sabe que en una ecuación todo punto se encuentra a la m ism a distancia del foco y de la directriz.

p>0

La parábola se abre h ad a abajo p <0

Dibuje en el plano cartesiano una parábola con el eje focal paralelo al eje de las x, que tenga como vértice al punto V (h; k) y que sea su parámetro p, ubique en ella un punto y analice la relación que existe entre las coor denad as de dicho punto, las coordenadas del vértice y el parámetro.

Cuando el eje focal es el eje de las x y el vér tice e s el origen de coordenadas, se tiene que (h; k) = (0,0) entonces la ecuación es:

F : foco de P

p: parámetro de P =4pX~

S e sabe que en una parábola todo punto se encuentra a la m ism a distancia del foco y de la directriz. En la figura F(h + p, k): Foco de P

( x ; y)eP

E s Importante indicar que cuando una parábo la se encuentra en el plano cartesiano, el sig no del parámetro depende de la orientación de la parábola, así: La parábola se abre hacia la derecha

Ento nces: d-, = d2

VIx -

j 111

Como se puede ver, en el primer miembro se tiene a la variable y acom pañada de la ab scisa del vértice con signo cam biado, este término e s cuadrático, en el segundo miembro vem os a la variable x acom pañada de la ordenada del vértice con signo cam biado, este término e s lineal y esta multiplicado por cuatro veces el parámetro.

V: vértice de P ;

V(h k)

e o m e t r ía

p) 1“

+ (y - k )2 = x - (h — p)

Elevando al cuadrado: [x - (h + p)]2 + (y - k)2 = [x - (h - p)]2 operando los corchetes y acom odando: (y - k)2 = [(x - h) + p)]2 - [(x - h) - p]2 aplicando la identidad de Legendre: (y - k) = 4(x h)p acom odando: (y - k)2 = 4p (x - h)

(x; y ) í P

La parábola se abre h a d a la Izquierda p <0

1 1 2 | C o l ec c ió n E l P o s t u l a n t e

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

pero: m 2 ¡

C alcu lar la pendiente de la recta L: x + my + 1 = 0, que interseca al segm ento A B , en su punto medio siendo A = (2; 2) y B = (4; 6)

R es o lu c ió n :

3-0 3 -a

3 -a

Reem plazando en (1): /1 \/ 3 \ 2/V 3 —a /

-1

, B - ( | 0

S e tiene. L: x + my + 1 = 0 1 su pendiente e s: mL = - —

C alcu lar el área de la región limitada por el rectángulo A B C D siendo: A = (2; 1), B = (1; 4) y A C = 5

R e s o lu c ió n :

Por dato: L n A B = {M} M = (x0; y 0): punto medio de A B Por propiedad Xo = —tt— = 3

Yo = '1

2+6

Piden: Ao ^bqq Pero: Aq ^bcd = (A B )(B C )

« =4

2 2 Reem plazando en L : 3 + m(4) + 1 = 0 =» m = -1 mL = 1 2.

Por distancia entre dos puntos A B = J(1 - 2 )2 + (4 - 1)2 = /10

En la sem icircunferencia de diámetro A B : A = ( - 3 ; 0), en dicha sem icircunferencia se ubica el punto C de coordenadas (3; 3), si la ordenada de B e s cero; calcu lar las coorde nadas de B.

R e s o lu c ió n :

fc^ABC: teorem a de Pltágoras =¡> B C = / Í5 R eem plazando: A n *BCD = ( / T o )(/ 1 5 ) A ziabcd = 5 / 6

Determ inar la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje de a b sc isa s y a una recta L en el punto P, si ad em ás dicha recta contiene al origen y P = (/ 3 ; 3)

R e s o lu c ió n :

S e a B = (a: 0) Del gráfico notamos que: L-i ± L 2, Sean m , pendiente de L, m2: pendiente de L 2 Por propiedad: m ,m 2 = -1 3 -0 3 —( - 3 )

.. ( 1) Nos piden: C : (x - h)2 + (y - k)2 = r2 m Z P O T = 60°

En un triángulo A B C ; A = (1; 1), B = (2; 6) y C = (6: 2). Determ inar ia ecuación de la recta que contiene a B y e s perpendicular a la m e diana AM del triángulo A B C .

| 113

Propiedad: en un triángulo rectángulo el ortocentro es el vértice del ángulo recto, ortocentro del fc^ABC e s (2; 3)

Tam bién: _______________________ O P = O C = •¡(•Í3 - O )2 + (3 - O ) 2 = 2/3 ¡zO T C (Notable 30° y 60°) =* h = 2 /3 ; k = r = 2 f f : (x - 2 / 3 )2 + (y - 2 ) 2 = 4

eo m e t r ía

Determinar la ecuación de la recta que es pa ralela a la recta L: y - 2x = 0 y que limita con los e je s coordenados, una región cuya área e s 9, adem ás dicha recta interseca al sem ieje positivo de ordenadas.

R e s o lu c ió n :

Notamos: A B = A C = /26 => A B A C (isó sceles)

Piden: ecuación de L 2

Piden la ecuación de B C

Com o: L2 // L-i => m2 = m-, = 2 = tanG

C álculo de pendiente de B C :

=> t\A O B: O B = 2(AO )

Datos: S ^

En ( 1) : Por ecuación punto pendiente. B C : y - 4 = ( — 1 )(x —4)

(a) (2a)

■■■•(1)

a = 3

Ahora: L 2: y - 2a = m2 (x .-. L 2: y - 2x - 6 = 0

.-. B C : y + x - 8 = 0 6.

Determinar las coordenadas del ortocentro del triángulo A B C . S i: A = ( - 1 ; 6), B = (2; 3) y C = (8; 9).

S e tiene un rombo A B C D , donde A = (2; 2) y C = (4; 6). Determinar la ecuación de la recta que contiene a la diagonal BD .

R e s o lu c ió n :

Calculam o s: 6-3 , L 1: mi = _ 1 _ 2 = ~ 1 ;

, 9 -3 , L 2; m2 = g ~ 2 = 1

S e observa que: m1 x m 2 = -1 => A B X B C => m Z A B C = 90° => fc^ABC: rectángulo

Pero: BD 1 L 2: => mgg x mL, Pero: mL2 =

6 - ^^ = 2 w

1 =, m g D ^ -^

luego, M punto medio de A C => M (propiedad)

(3 : 4 )

1 1 4 | C o lecció n E l P o stula n te

Por ecuación punto pendiente BD:(y-4) = - |

se sabe L : y = mx (recta que contiene el origen) .-. L: y = x

(x-3) 11.

BD :2y + x - 11 = 0 9.

S e tiene un triángulo A B C , en el cual las coor denadas de su s vértices son A (2; 2), B (4; 4) y C (3; 6). Determinar la ecuación de la recta que contiene a B y e s paralela al lado A C .

Según el gráfico, determ inar la ecuación de la parábola, si el área de la reglón cuadrada M O TR e s 16.

R es o lu c ió n :

Pero: L-, // L 2 => m, = m2 = — - = 4 Sab em o s 5a : x2 = 4py ...(1 ) Com o A noTRM — 16 =- O T —T R —4 R = (4; 4) Pero R fe 9°

Por ecuación punto pendiente Lp y - 4 = 4(x - 4) L , : 4 x - y - 12 = 0 10.

Determinar la ecuación de la recta, que con tiene al baricentro de una región triangular, de vértices (6; 0), (a; b), ( - a ; 6 - b) y ad em ás al punto (0; 0).

R es o lu c ió n :

R eem plazam os en (1): 4 2 = 4p (4) => p = 1 12.

.-. tP. x 2 = 4y

Determ inar la ecuación de la circunferencia, ubicada en el primer cuadrante tangente al eje de orden adas en el punto (0; 6) y cuyo centro se encuentra a 5 unidades de la recta 3x - 4y - 10 = 0

R e s o lu c ió n : Piden: ecuación de la circunferencia

Luego G (x 0; y0) = G (2 ; 2) Baricentro Com o la recta contiene a (0; 0)

2-0

„

Dato: el centro de W dista de L en 5 unidades 3 (a) - 4 ( 6 ) - 10 j

G eo m etría | 1 1 5

Para que í r pertenezca al primer cuadrante 3a - 34 = - 2 5 = . a = 3 W . (x - 3)2 + (y - 6)2 = 32 13.

Piden: ecuación de

(x + 7)2 + (y - 9)2 = r2

Por distancia entre dos puntos: A C = 26 y A B = 13 A B A C (T. Bisectriz)

Según el gráfico, determ inar la ecuación de la recta L . SI F es el foco y V e s el vértice de la parábola m ostrada, ad em ás NM = 8 (V; punto de tangencia).

=> CM = 2M B

(por propiedad)

5 + 4 (1 7 ) x0 =

S — =9

1+2 Análogam ente: y 0 = 9 => M (x0; y0) = M(9; 9) ^ r = 16 .-. 15.

R eso lu c ió n :

(x + i f + (y - 9 )2 = 162

Según la figura, determ inar la ecuación de la parábola, cuyo vértice e s el centro del cuad ra do P Q R S ; siendo su eje focal paralelo al eje x, O P = 2 y la longitud del lado de dicho cuad ra do e s 4.

Notamos: MN : lado recto (L R ) de la 9a , por propiedad MN = 4p = 8 ; p = 2 Pero F V = p =* F V = OM = 2 => N = (8; 2) y V = (4; 0)

R es o lu c ió n :

Por ecuación punto pendiente: L: y - 0 = 4 ( x - 4 ) 14.

.-. L: x - 2y - 4 = 0

Los vértices de un triángulo son A (—7; 9), B(5; 4) y C (1 7 ; 19) con centro en A se traza una circunferencia que interseca a B C en M, si m ZBAM = m ZM A C . Determinar la ecuación de dicha circunferencia. Piden: 9a : (y - 2 )2 = 4p (x - 4)

R e s o lu c ió n :

Pero P (2; 0) pertenece a la 9a R eem p laza n d o : (0 - 2 )2 = 4p (2 - 4)

= 16.

S*5: (y ^ 2 )2 = - 2 ( x - 4)

C alcu lar el área de la región limitada por las rectas L 1: y - x = 0;

L 2: y + x - 8 = 0;

y el eje de a b scisa s

L 3: y = 2

1 1 6 | C o lecció n E l P o stu la n te

R eso lu c ió n :

a) 18 d) 32 7.

Pero: t\A P B s fc^CHD AoAPB = At,CHD S x = S ^ hcp = (6 )(2 ) = 12

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1; 2) y tiene pendiente -213. a) 2x + 3y - 8= 0 c) 3x + 2y - 8= 0 e )x + y + 9 = 0

Se ñ ale la ecuación de la recta que pasa por P (3; 2) y cuyo ángulo de inclinación se a 37°.

b)2x + 3 y - 1 7 =0 d ) 3 x - 4 y + 17 = 0

El área de la región triangular determinada por la recta L: y - 2x + 10 = 0 y los ejes coor denados es: a) 25 d) 31

b) 3x + 4y - 17 = 0 d) 4x + 3y - 18 = 0

b) 28 e) 20

12.

b) 3 y 5 e) 2 y 6

13. c)5y4

C a lcu la r el áre a del triángulo form ado por: L-i: x = 4; L 2: x + y = 10 y el eje x.

y = 2x + 34 y = 2x + 4

b) 2y + x - 1 7 =0 c) 2y - x - 17 = 0

C alcu lar el valor de a de modo que la recta: L: ax + ( a - 1 ) y + 18 = 0 se a paralela a la recta; L y 4x + 3y + 7 = 0 b) 2 e) 8

c) 4

S e ñ ale la ecuación de la recta m ediatriz del segm ento A B , si A ( - 3 ; 1) y B (5; 5) a) x - 2y + c) 2x - y + e) 4 x - y +

C alcu lar a y b si las rectas L-, y L 2 pasan por el punto (2: - 3):

a)7y2 d) 4 y 7

La ecuación de la recta L e s x + 2y + 3 = 0 y las coordenadas de un punto e s P(5; 6). Hallar la ecuación de la recta que pasa por P y es paralela a L.

a) 6 d) 5

c) 30

L-i : ax + (2 - b)y - 23 = 0 L 2 : (a - 1 )x + by + 15 = 0

11.

c) M2

Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto (4; - 3 ) ; y e s paralela a una recta cuya ecuación e s: y = 3x + 5

a ) 2 y - x + 17 = 0 c ) 2 y + x + 17 = 0 e)y + x - 1 7 = 0

Se ñ ale la ecuación de la recta que pase por los puntos P (1; 5) y Q (- 3 ; 2). a) 3x - 2y + 7 = 0 c) 2x - 3y + 13 = 0 e) 3x + 4y - 23 = 0

10.

c) 8

b) M4 e) M3

a) y = 3x + 5 c) y = 3x - 15 e) y = 4x - 2

b) x + 2y + 18 = 0 d) 2x + y - 9 = 0

a) 3x 4y - 1= 0 c) 4x — 3y - 6= 0 e) 3x - 2y - 5=0 3.

b) 3 /5 e) /5

Determ inar cu áles de los puntos M-,(2: 1); M2(2; 3); M3(8; 3), M4( —3; 3): M5(3; - 1 ) están situados en la recta: 2x - 3y - 3 = 0 a) M-, d) M5

[ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS T~ |

c) 36 u2

Dada la recta L: x + 2y - 6 = 0, ¿cu ál e s la longitud del segm ento que determ ina dicha recta entre los ejes cartesiano s? a) 6 d) 10

Piden: S x = A + B

b) 48 e) 24

5 = 0 1= 0 1 =0

b)3x + d) 2x +

y - 6= y - 5=

0 0

S e ñ ale la ecuación de la recta que pasando por (1; 2) sea paralela a la recta de ecuación: 3x + y - 1 = 0 a) 3x + y + c) 3x + y + e) 3x + y -

1=0 5 =0 7 =0

b)3x + d)3x +

y + 5= y + 7=

0 0

14.

La pendiente de la recta L que p asa por los puntos A (a; a + 1) y B (1 ; - 2 ) e s 3. C alcu lar la ecuación de la recta L , que es perpendicular a L y pasa por el punto A. a ) x + 3y + 15 = 0 c) x + 3y - 1 = 0 e) x + 3y - 15 = 0

15.

c) V 3 y - x + 6 - 6 / 3 = 0 d) / 3 y - x + 6 - 6 / 3 = 0 e) y = 6-/3x + 2 = 0 19.

Si el cuadrado E B C D y el A A O B tienen igual perímetro, calcu lar la ecuación de la recta L.

b) (m; n) = (5; 7) d) (m; n) = ( - 2 ; 7) a) 3y + 4 x = 0 c) 3y - 4 x = 0 e) 4y - 3x = 0

Se ñ ale la ecuación de la recta que pasando por ( - 3 ; 5) se a perpendicular a la recta de ecuación: 2x - 3y + 7 = 0 a) c) e)

17.

| 117

Determinar los valores de m y n para los cu a les la recta de ecuación. L: (m + 2n - 3)x + (2m - n + 1)y + (6m + 9 ) = 0 e s paralela al eje de a b sc isa s e intercepta al eje y en el punto (0; - 3 ) . a) (m; n) = (7; - 5 ) c) (m; n) = (7; - 2 ) e) (m; n) = (5; 2)

16.

b) x + 3y + 16 = 0 d) x + 3y - 16 = 0

eom etría

2x + 3y - 9 = 0 3x + 2y - 1 = 0 3x - y - 1 = 0

b) 3x + 2y + 1 = 0 d) x + 3y - 1 = 0

20.

Si el área de la reglón som breada e s ~ , hallar la ecuación de la recta L. 21.

b) 3y + 2x d) 3y - 2x

=0 =0

C alcu lar la ecuación de la recta que pasa por (2; 5)y e s perpendicular a la recta 2x - 5y + 1 = 0 a) 4x - 6y -

7 = 0

b)5x-8y-15= 0

3x - 6y -

9 = 0

d) 5x + 2y - 15 = 0

20 = 0

+ 2y -

S e da la recta: 2x + 3y + 4 = 0. Hallar la e cu a ción de la recta que pasa por el punto M(2; 1) y es perpendicular a la recta dada. a ) 4x + y - 9 = 0

b) 3x - 2y

- 4 = 0

c) 3x - 2y + 5= 0

d) 2x - 3y

+6 = 0

e )x + y - 3 = 0 c)y-3x + 2 =0 e) y - 2x + 1 = 0 18.

d) y + x - 1 = 0

22.

Según el gráfico, determ inar la ecuación de la recta que contiene a A B , si AB//L y O B = 6 /2

y L/'

r //\2a / 0

a) / 3 x - y + 6 - 6 / 3 = 0 b) V3x + y - 6 + 6 / 3 = 0

C alcu lar el área del triángulo que se de term ina con los e je s cartesianos y la recta L: 3x - y + 6 = 0 a) 12 d) 24

23.

24.

b) 18 e) 9

c) 6

Una recta tiene ángulos de inclinación de 135° y pasa por el punto (1; 1); si el punto B (3; k) pertenece a dicha recta, hallar el valor de k. a) - 3

e) 2

-1

En la figura, laecuación de la recta L es: 4 x + (3 - a) y - 7 = 0. C alcu lar a.

1 1 8 | C o lec c ió n E l Po st u la n t e

a) b) c) d) e) 25.

1 - 0 ,5 2 -1 -2

y + 2 = -= *— / 2 +1

y +2 =x

d) y - 2 = -=^— ' y í í + 'l

En la figura, calcular la ecuación de L. y* rL

\ 1. a

6. a

tn W > <

2. a

7. b

3. d

8. b

4. a

9. c

5. d

10. b

11. c

16. c

21. b

12. d

17. b

22. c

13. b

18. c

23. c

14. e

19. e

24. d

15. c

20. e

25. d

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