ARITMÉTICA by leonardo balcino dos santos

COLECCIÓN EL POSTULANTE

ARITMÉTICA

CO LECCIÓ N EL POSTULANTE

ARITMÉTICA

ARITMÉTICA -

COLECCIÓN E l POSTULANTE

Salvador Timoteo © Salvador Timoteo Diseño de portada: Óscar Farro Composición de interiores: Natalia Mogollón Responsable de edición: Alex Cubas © Editorial San Marcos E. I. R. L., editor Jr. Dávalos Lissón 135, Lima Telefax: 331-1522 RUC 20260100808 E-mail: informes@ editorialsanmarcos.com Primera edición: 2007 Segunda edición: 2013 Tiraje: 1000 ejemplares Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú Registro N.° 2012-11992 ISBN 978-612-302-918-0 Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del autor y del editor. Impreso en el Perú / Printed in Perú Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 974, Lima Telefax: 424-6563 E-ma¡l: ventaslibreria@ editorialsanmarcos.com www.editorialsanmarcos.com Composición, diagramación e impresión: Editorial San Marcos de Aníbal Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S. J. L. RUC 10090984344

ÍNDICE Razones - Proporciones - P ro m e d io s .............................................................................................................

M agnitudes p ro p o rcio n ale s ...............................................................................................................................

Reparto p ro p o rc io n a l..........................................................................................................................................

Regia de tr e s .........................................................................................................................................................

Porcentajes - M ezclas .......................................................................................................................................

Interés - D e scu e n to.............................................................................................................................................

Num eración - C o n te o ..........................................................................................................................................

Cuatro o p e ra cio n e s.............................................................................................................................................

Divisibilidad.............................................................................................................................................................

Núm eros p rim o s ..................................................

M áximo común divisor - M ínimo común m últiplo..........................................................................................

Potenciación y ra d ic a c ió n ..................................................................................................................................

Teoría de conjuntos ................................................

102

Núm eros ra c io n a le s ............................................................................................................................................

114

PRESENTACIÓN Editorial San M arcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando en las necesidades académ icas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades, institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional. La Colección El Postulante reúne los tem as requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son desarrollados didácticam ente, con teoría ejem plificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocim ientos básicos necesarios para enfrentar no solo los diversos exám enes de admisión, sino afianzar los saberes de su form ación escolar y alcanzar una form ación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria exitosa. Finalmente, deseam os hacer un reconocim iento al s fa ffd e docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe dro de Castro, Jorge Solari y Nathali Falcón, profesores de amplia trayectoria en las m ejores academias de nuestro país, quienes han entregado lo m ejor de su experiencia y conocim ientos en el desarrollo de los contenidos.

- E L E D IT O R -

RAZONES - PROPORCIONES - PROMEDIOS Las alturas de los edificios A y B están en la relación de 5 a 3.

RAZON

Es la com paración que se establece entre dos can tidades de una magnitud m ediante las operaciones de sustracción o división, lo cual nos induce a se ñalar que se tiene dos clases de razón.

Recuerde: RAZÓN Aritm ética

Razón aritm ética. Es la que se obtiene m ediante la sustracción y consiste en determ inar en cuánto excede una de las cantidades a la otra: a - b = r Ejemplo: Los autom óviles A y B se desplazan con velocida des de 28 m/s y 23 m/s respectivam ente, com pare mos sus velocidades:

razón aritm ética 28 m/s -> 23 m/s antecedente

5 m/s

Geom étrica

a - b = r Térm inos: a: antecedente b: consecuente r y k: valores de las razones Cuando en el texto se mencione solam ente razón o relación se debe entender que se hace referencia a la razón geométrica.

consecuente

PROPORCIÓN

Interpretación: la velocidad del autom óvil A excede en 5 m/s a la velocidad del autom óvil B.

Es la igualdad en valor num érico de dos razones de la m isma clase.

Razón geom étrica. Es la que se obtiene mediante ia división y consiste en determ inar cuántas veces cada una de las cantidades contiene la unidad de referencia: — = k b

Proporción aritm ética. Es aquella que se forma al igualar los valores num éricos de dos razones aritméticas.

Ejemplo: Los edificios A y B tienen una altura de 60 m y 36 m, respectivam ente, com parem os sus alturas (en ese orden):

Ejemplo: Forme una proporción aritm ética con las edades de 4 alum nos y que son: 15 años, 17 años, 18 años y 14 años. Extremos

razón geométrica

I. antecedente consecuente

18 años - 15 años = 17 años - 14 años t

------► 60 m _ 5 ------► 36 m 3

Extremos

valor de la razón Interpretación:

II.

18 años - 17 años = 15 años - 14 años

Las alturas de los edificios A y B son entre sí como 5 es a 3 porque: Altura de A: 5(12 m) Donde: 12 m es la unidad de referencia. Altura de B: 3(12 m) Por cada 5 unidades de 60 m hay 3 unidades de 36 m.

M edios

í M edios

Llevando los extrem os y m edios a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente: Extremos

Medios

• 18 años + 14 años = 17 años + 15 años 32 años = 32 años

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Extremos Medios • 18 años + 14 años = 15 años + 17 años 32 años = 32 años

ya que generalm ente se asum e el orden en que se dan los términos. Recuerde:

De donde podem os concluir que en toda propor ción aritmética:

Proporción aritmética Discreta

[suma de extrem os] = [suma de medios]

“a excede a b como c excede a d” Extremos

Dependiendo del valor que asumen los térm inos m edios las proporciones aritm éticas presentan dos tipos. A.

J i a - b = c - d t_ J “ Medios d: cuarta diferencial de a, b y c

Discreta. Cuando los valores de los térm inos m edios son diferentes. Ejemplo: Forme una proporción aritmética con las altu ras de 4 árboles y que son: 25 m; 18 m; 42 m y 35 m.

Continua Extremos I * a - b = b - c

R e s o lu c ió n : Debemos com parar las alturas de dichos ár boles mediante una resta.

Medios b: media diferencial de a y c c: tercera diferencial de a y b

25 m - 18m = 7 m a la vez 42 m - 35 m = 7 m Como el valor de cada razón es el mismo pode mos establecer: 2 5 m - 1 8 m = 4 2 m - 3 5 m que es una proporción aritmética discreta. Convenclonalm ente se asumen los térm inos de la proporción aritm ética en el orden como se presentan en el problema: í 1 -er [térm ino/^

Proporción geom étrica. Es aquella que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas.

i z °ino/) - ( [té rm 3erin o W 4 Mino/ [term / [term

Ejemplo: Ejemplo: Halle la cuarta diferencial de los precios de tres artículos que son: S/.50, S/.34 y S/.29.

Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son 24 L, 6 L, 16 L y 4 L las cuales se comparan me diante la división del siguiente modo:

R e s o lu c ió n : M

La cuarta diferencial es el cuarto térm ino en la proporción: 50 - 34 = 29 - c; c = 13, enton ces 13 es la cuarta diferencial de 50; 34 y 29. B.

Continua. Cuando los valores de los térm inos medios son ¡guales. Ejemplo: Forme una proporción aritmética continua con los volúmenes de 4 recipientes y que son 19 cm3, 15 cm 3 y 11 cm3. R e s o lu c ió n : Podría ser: 19 cm 3 - 15 cm 3 = 15 cm 3 - 11 cm 3

6L l iL

24 L = 16L 6L 4L

4L 24 L y 4 L: térm inos extrem os

6 L y 16 L: térm inos medios Interpretación: la capacidad de 24 L es a la capaci dad de 6 L como la de 16 L es a la de 4 L. Ejemplo: Forme una proporción geom étrica con las veloci dades de 4 autom óviles y que son: 15 m/s; 20 m/s; 9 m/s y 12 m/s.

R e s o lu c ió n : I

15 m/s _ 9 m/s _ 3 2 0 m /s 12 m/s 4

r it m é t ic a

Continua. Cuando los valores de los térm inos medios son iguales. a _ b b _ c

Extremos: 15 m/s y 12 m/s Recuerde:

Medios: 20 m/s y 9 m/s 3

Valor de cada razón geométrica: ^ II

20 m/s 15 m/s

12 m/s 9 m/s

4 3

Extremos: 20 m/s y 9 m/s Medios: 15 m/s y 12 m/s Valor de cada razón geométrica: ^

Proporción geom étrica Discreta

Continua

a _ c b d

a b b ~ c

d: cuarta proporcional de a, b y c

b: m edia proporcional de a y c. c: tercera proporcional de a y b.

Llevando los térm inos medios y extrem os a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo siguiente: Extremos Medios (15 m/s)(12 m/s) = (9 m/s)(20 m/s) 180=180 Extremos Medios (20 m /s)(9 m/s) = (12 m/s)(15 m/s) 180 = 1 8 0 De donde podem os concluir que en toda pro porción geométrica:

Propiedad de la proporción geom étrica. Al efec tuar las operaciones de adición y/o sustracción con los térm inos de una razón en la proporción, estas m ism as operaciones se verifican con los térm inos de la otra razón. Si: a c a+b c+d a+ b c+d o -------- = --------- o — — — ->---------— b d b d a c b- a _ d- c a+ b _ c+ d b d a - b c - d

[Producto de extrem os] = [Producto de medios]

Dependiendo del valor que asumen los tér m inos medios, las proporciones geom étricas presentan dos tipos: A.

Discreta. Cuando los valores de los térm inos medios son diferentes: — =

— d

Convencionalm ente se asumen los térm inos de la proporción en el orden como se presen tan en el problema: (1.er térm ino) __ (3.er térm ino) (2.° térm ino)

(4.° térm ino)

Serie de razones geom étricas equivalentes En algunas oportunidades nos encontrarem os con razones geom étricas que tienen el mismo valor nu mérico, como: 5

— = 2' — = 2-— = 2 7 ’3 6

Las cuales pueden igualarse del siguiente modo: 10 14 fi 1? - = — = - = — = 2 , la cual es llam ada serie de 5 7 3 6 razones geom étricas equivalentes. Donde: 10; 14; 6 y 12 son los antecedentes. 5; 7; 3 y 6 son los consecuentes. 2 es la constante de proporcionalidad.

Ejemplo: Calcula la cuarta proporcional de las estaturas de 3 estudiantes que son: 1 ,6 m; 1,2 m y 1,4 m

Realicem os algunas operaciones con los términos:

R e s o lu c ió n :

. 10 + 14 + 6 = 30 = 2 5 + 7+ 3 15

. 10 + 1 2 - 6 = 16 = „ ’ 5 + 6 -3 8

La cuarta proporcional es el cuarto térm ino de .. 1,6 1,4 la proporción = — =, x = 1,05 es la cuar

En ambos casos se observa que la constante de proporcionalidad no ha variado lo cual nos induce a:

ta proporcional.

10 = 14 = 6 = 12 = 10 + 14 = 1 0 - 6 __ 5 7 3 6 5+7 5 —3

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

10 + 6 - 1 2 5 + 3 -6 10 x 14 x 6

10 + 1 4 - 6 - 1 2 = 2 5+ 7- 3 - 6

En las siguientes series de razones geométricas: _8_ = 12 = 18 12 18 27

2x2x2

5x7x3 10 x 14 x 6 x 12

Propiedad:

2x2x2x2 = 2

5x 7x 3x 6 Se puede observar que al m ultiplicar los antece dentes y consecuentes la constante de propor cionalidad se ve afectada de un exponente que num éricam ente es igual a la cantidad de razones consideradas para la multiplicación.

81 54

54 36

36 24

24 16

se observa que el prim er consecuente es igual al. segundo antecedente, el segundo consecuente igual al tercer antecedente y así sucesivam ente. A este tipo de serie se le denom ina: serie de razones geom étricas continuas equivalentes. En general: a = ek b = ek 3

cY b o ta /:.......

- ...........

„

En general para n razones de igual valor nu mérico: C1

_ ^2 _ ^3 _ C2 C3

= ek PROMEDIO

£ 2. _ k cn

Dado un conjunto de datos es frecuente calcular un valor referencial (que represente a dichos datos) cuyo valor se encuentra com prendido entre los va lores extrem os (mínim o y m áximo dato) o es igual a uno de los extrem os y se le denom ina promedio.

Donde: a¡: antecedente; c¡: consecuente k: constante de proporcionalidad Además:

En general: para n datos a-, < a2 < ... < a n se tiene que:

a! = c, k a 2 = c2 k

83 = c3 k

a-, < prom edio < a n

an = c„ k Promedio aritmético o media aritmética (MA) En el cual se cumplen las siguientes propiedades: - Oí C1 C2 C3

—= cn

3i -+- 82 + a3 + ••• + an = k C1 + C2 + C3 + ... + cn

R e s o lu c ió n :

Se cumple:

14° + 1 3 °+ 1 2 °+ 1 1 °+ 15° = 65^ MA = 5 5

suma de antecedentes súma de consecuentes

Es el más sencillo y ya lo habíam os trabajado en el ejem plo anterior: MA =

O W

a 2\n _ / a 3\n _ O M

í aif - [ VC-i /

13°

II cI

a1a 2 a 3 C1.C2 .C3 ■•Cn

Ejemplo: Calcular el prom edio aritm ético de las tem pe raturas de 5 ciudades y que son: 14°; 13°; 11°; 12°; 15°.

- i 3")" Un/ MA =

Se cumple: producto de antecedentes producto de consecuentes

Donde n es el número de razones que se multiplican.

suma de datos cantidad de datos

3 i + a 2 + 83 + ... + a n n

Para determ inar la variación que experim enta el prom edio aritm ético de un conjunto de da tos solo es necesario considerar el increm en to o dism inución en la suma de los datos.

A r it m é t ic a |

increm ento o dism inución en la suma de los datos cantidad de datos

I variación del | I

prom edio I

Propiedades (MA, MG y MH) 1.

Para un conjunto de datos no iguales se tiene que: MH < MG < MA

Cuando de un conjunto de datos se conoce su prom edio im plícitam ente ya se tiene la suma de ios datos.

Cuando los datos son iguales se cumple que: MH = MG = MA

M A (n datos) = k => suma (n datos) = n(k) 2.

Prom edio ponderado Datos: a 3

a k

Pesos: P 3

Siem pre para dos datos a y b se cum ple que: (MA)(M H) = (M G )2 Para dos números:

prom edio _ a-|P| + a 2 P2 + a 3 P3 + ... + akFj( ponderado “ p, + p2 + p3 + ... + pk

MA(a; b) = MG(a; b) = -lab

Prom edio geom étrico o media geom étrica (MG). Es un prom edio que perm ite prom ediar índices y tasas de crecim iento y el procedi m iento para calcularlo es:

MH(a; b) :

1a + 1b

= 2 ab

a+b

EJERCICIOS RESUELTOS MG = 2 ^ 2 í^ p ro d u c to de los datos MG = 5 ja ,x a 2 x a 3x ... x a „

Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se ob tienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor?

Promedio arm ónico o media arm ónica (MH).

R e s o lu c ió n : _ . . a 2 Por dato: f = b 5

Es la inversa del prom edio aritm ético de los recíprocos de los datos:

MH = -

Adem ás: 2k +

cantidad de datos suma de las inversas de los datos

n MH = 1 1 1 1 — + — + — + ...+ — a 1

a 2

a 3

a n

Mediana (Me). Es un prom edio que represen ta el punto m edio de los datos para determ i narlo el procedim iento es el siguiente: Se ordenan los datos en form a creciente o de creciente. -

Si el número de datos es impar, la m edia na es el dato central.

Si el número de datos es par, la m edia na es el prom edio aritm ético de los datos centrales.

a = 2 k (menor) -=■ => b = 5k (mayor) 175

= 5k + 115

60 = 3k =. k = 20 Luego: m enor = 2k = 40

El producto de los cuatro térm inos de una proporción geom étrica es 50 625. Sabiendo que los m edios son iguales y que uno de los extrem os es 75, indicar la suma de los cuatro térm inos de la proporción. R e s o lu c ió n : 75 b Sea la proporción: — = — = k b d Por dato: (75)(d)(b)(b) = 50 625

Entonces: b4 = 154 =* b = 15 Adem ás por propiedad:

Moda (Mo). Es el valor más frecuente o el que más se repite en un conjunto de datos.

(75)(d) = (15)(15) => d = 3 Luego: 75 + 2b + d = 108

I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

El jardinero A planta rosas más rápidam ente que el jardinero B en la proporción de 4 a 3. Cuando B planta x rosas en 1 hora. A planta x + 2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4 horas?

600- V = 8 600 - F 7 Por propiedad de proporciones:' F -V

F - ( 2 F - 300)

R e s o lu c ió n :

600 - F “ 7 ~

600 - F

A = 4t Por dato: A = 1 = B = 3t B 3

- 7 F + 2100 = 600 - F

-i “ 7

1500 = 6 F => F = 250; V = 200 Cam bian de opinión: 150

Adem ás en 1 hora 2 + x = 4t x = 3t

>x = 6

¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción continua si la suma de sus cua tro térm inos es 36 y la razón entre la suma y diferencia de los dos primeros térm inos es 3?

Luego, B en 4 horas planta: 6(4) = 24 rosas. 4.

La razón de 2 núm eros es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. Encontrar el m ayor de los dos números. R e s o lu c ió n : Sean a y b los números:

a 3 3 — = — => a = —b b 4 4

R e s o lu c ió n : Sea la proporción: — = — = k b d a 4- 2b + d — 36

f a b , 1152 > f ( f b ) b : = 1152

Reem plazando en la proporción:

b2 9 2 - = 1152 =9 b = 2304 = 482

=> b = 48 (mayor) A a = 36 (menor)

Luego en (1):

.. b = 48

k = 2

2b + 2b + -

■•■('!)

a+ b = 3, de aquí por propiedad de propora - b do n es: — = 2 =9 a = 2 b b

Un asunto fue som etido a votación de 600 personas y se perdió; habiendo votado de nuevo las m ism as personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el doble de votos por el que se había perdido la primera vez, y la nueva m ayoría fue con respecto a la anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión? R e s o lu c ió n :

- b = 36

b = 8 ;a = 1 6 y d = 4 .-. a - d = 12 El prom edio de 50 núm eros es 38; siendo 45 y 55 dos de los números. Eliminando estos dos números, hallar el prom edio de los restantes. R e s o lu c ió n : Vamos a convenir que: M An =

Sn n

Entonces en el problema: D iferencia

A favor

En contra

1 ,a vot.

600 - F

600 - 2F

2 .a vot

600 - V

600 - 2V

Por dato: •

= 36 =9

600 - 2V = 2(600 - 2F) 600 - 2V = 1200 - 4F 4F - 2V = 600 2F - V = 300 =9 V = 2F - 300

de votos

| ^ 5U

= 38=9 S 50 = 1900

Como dos de los números son 45 y 55; quedan: S 48 = 1900 - (45 + 55) =9 S 48 = 1800 Luego: M A 48 = 37,5 Se tienen 4 núm eros enteros y positivos, se seleccionan 3 cualesquiera de ellos y se cal cula su m edia aritmética, a la cual se agrega el entero restante, esto da 29, repitiendo el

A r it m é t ic a |

proceso 3 veces más se obtienen como resul tados 23, 21 y 17. Hallar uno de los enteros

Vabc = 3VT20 = abe = 120

De donde: a(30) = 120; (be = 30)

originales.

^ a = 4 R e s o lu c ió n :

Luego:

Sean a, b, c y d los números: a+ b+ c + d = 29 3 b+ c+ d a+ b+ d a+ c+ d

...(1)

a = 23

...(2)

+ c = 21

...(3)

+ b = 17

(4)

Sum ando m iembro a miembro: 3(a + b + c + d)

b = 5; c = 6

b + c = 11

be = 30

b = 6; c = 5

MH(a; b; c) :

3.4.5 .6 _ 180 _ 360 20 + 24 + 30 37 74

11. El peso prom edio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2. Si el peso prom edio de ambas clases com binadas es 70 y el número de estudiantes en la clase B excede a la de A en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B?

h (a + b + c + d) = 90

R e s o lu c ió n :

a + b + c + d = 45

Sea n el número de estudiantes en B y n - 16 el número de estudiantes en A:

En (1): a + ^ + c = 29 - d

=» Prom. =

45 - d = 87 - 3d => d = 21 En (2): a = 12; en (3): c = 9; en (4): b = 13

7 1 ,2n + 68 ,4(n - 16) • 2 n - 16

= 70

139,6n - 1094,4 = 140n - 1120 =. n = 64 9.

Hallar dos números tales que su medía arit mética sea 18,5 y su media geom étrica 17,5.

e j e r c ic io s

PROPUESTOS ! ' ]

R e s o lu c ió n : Sean a y b los números.

MA(a; b) = ^ -± - ^ = 18,5 =* a + b = 37 MG(a; b) = Váb = 17,5 => a x b = 306,25

Dada la siguiente serie de razones geom étri cas equivalentes: 27 _ _b_ _ 15 _ _d_ a 70 c 14 además: b - d = 24. Hallar: a + b + c + d

Debemos buscar dos números que m ultiplica dos den 306,25 y sumados 37.

a) 126 d) 162

Así, de: a x b = 306,25

b) 134 e) 146

c) 143

a x b = 2 4 ,5 x 1 2 ,5 Los números son: 24,5 y 12,5

(a 2 + b2 + c 2)(b 2 + c 2 + d2) = 4900

10. Tres núm eros enteros a, b y c, tienen una media aritm ética de 5 y una m edia geom étri ca de 3/120" • Adem ás, se sabe que el produc

Hallar: 3(ab + be + cd) a) 70 d) 120

to be = 30. H allar la m edia arm ónica de estos números. R e s o lu c ió n : Por dato:

Si: -§■ = - = - y además: b c d

b) 280 e) 210

Dado la siquiente serie: — = — = — = k ; k e E + a b d e Adem ás: c + e = 15; b + d = 14

MA = -a ^ ^ + c = 5 = >a + b + c = 15

c) 35

Calcular: (a + b + c)

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 25 d ) 42 4.

b) 30 e) 28

b) 10

b) 30

e) 8

d) 12

c) 24

d) 36

b) 22

c) 24

d) 28

a ) 2 1 dm d )1 8 d m 13.

e) 32

La razón de 2 núm eros es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. Encontrar el m ayor de los 2 números. a) 36 d) 60

9 -

c) 105

S i : f

b) 48 e) 72

“

Í 5

10.

Sabiendo que:

= -|y

7 8

c d ~ 48 ~ 75

donde (d + b) - (c + a) = 143 Hallar: a + b + c + d a) 101 d) 111

b) 10 010 e) 1010

b) 30 000 e) 240

a) 486 d ) 620

c) 270

b) 240 e) 210

Para envasar 15 000 litros de aceite se dispo ne de botellas de 1/2 litro, 1 litro, 5 litros. Por cada botella de 5 litros hay 10 de un litro y 20 de m edio litro. Al term inar de envasar el acei te, no sobra ninguna botella vacía. ¿Cuántas botellas había en total? c) 18 600

b) 242 e) 70

c) 345

15. El número de niños y niñas en una fiesta in fantil está en la relación de 2 a 5. Si al cabo de 2 horas llegan 10 parejas y 6 niños, la nueva relación sería de 4 a 7. Hallar el número de asistentes.

hallar: C + P + V a) 180 d) 300

c )1 5 d m

14. Se tiene una serie de razones geom étricas continuas equivalentes, donde cada conse cuente es el triple de su antecedente; además la suma de sus extrem os es 488. Dar como respuesta el m ayor término.

c) 50

c) 195

b ) 1 2 dm e) 28 dm

a) 18 000 d) 27 000

a + 2b -t- 3c — 430 b) 30 e) 70

b) 169 e) 210

12. La anchura de una alfom bra rectangular es a su largo como 2 es a 3. Si se le corta por los 4 costados una tira de 10 cm de ancho, la su perficie dism inuye en 56 dm 2. Diga cuál es el largo de la alfombra.

Hallar el valor de b si: | = | = | y

a) 90 d) 35

La suma de tres núm eros es 650. Esta suma es a la diferencia del primero con el último como 50 es a 9 y esta m isma suma es a la di ferencia de los últim os como 25 es a 1. Hallar el m ayor de los números. a) 295 d) 286

e) 32

En una proporción continua, la suma de los extrem os es 73 y la suma de los cuadrados de los extrem os es 4177. Determ ine la m edia proporcional. a) 18

c) 11

En una proporción geométrica continua la suma de los extrem os es 75 y la diferencia de los m ismos es 21. Calcular la m edia propor cional. a) 18

11.

En una proporción geom étrica continua se sabe que la diferencia de los extrem os es 40 y la suma de sus térm inos es 100. Calcular la media aritm ética de los extrem os e indicar la suma de sus cifras. a) 9

c)36

c) 1001

a) 96 d) 91 16.

b) 121 e) 110

c) 84

Hace 8 años la razón de las edades de dos herm anos era 2/5 y dentro de 12 años la razón sería 4/5. Hallar la edad del menor de los her manos. a) 16

b) 18

c) 15

d) 9

e) 12

A r it m é t ic a |

17.

La razón de x a y es 343 veces la razón de y 2 a x2; hallar la razón de x a y. a) 5/1 d) 7/2

18.

b) 5/2 e) 7/1

19.

a) 16

b) 240 e) 0

b) 14c) 10

los extrem os de 5. continua, si la es 32 y la razón de los dos primeros

b) 90 c) 72

d) 96

5. d

9. a

13. b

6. c

14. a

18. a

3. c

7. e

15. e

19. d

4. c

-Q OÓ

10 . c 11 . d 12 . d

16. e

20. d

17. e

El prom edio de 5 números es 85. Se conside ra un sexto número y el prom edio aum enta en 15. Hallar el sexto número. c) 175

En un salón de clase, a alumnos tienen 14 años, b alum nos tienen 11 años y c alumnos tienen 13 años. SI el prom edio de todos es 12 años, hallar a. a) 2 b - a d) a - b

b) b - 2 a e) a + b

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

b) 41

c) 42

d) 43

e) 44

La suma de 2 números es 18 y sus promedios aritm ético y arm ónico son consecutivos. Halla la diferencia de dichos números. a) 6

a) 120 9.

c) 2 b

b) 8

c) 10

d) 12

e )1 5

El doble del prom edio aritm ético de 2 nú meros es igual al cuadrado de su prom edio geom étrico más 1. Si uno de los números es 120. ¿Cuál es el otro? b) 60

c) 30

d) 4

e) 1

El prom edio arm ónico de 40 números es 16 y el de otros 30 números es 12. Halle el prom e dio arm ónico de los 70 números. a) 10

El prom edio de las edades de 5 hombres es 28 años, además ninguno de ellos es m enor de 25 años. ¿Cuál es la m áxima edad que po dría tener uno de ellos? a) 40

[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS 2 l

b) 165 e) 185

b) 12,5 e) 14

e) 84

1. b 2. e

a) 155 d) 170

e) 20

e) 12

d) 19

El prom edio de 50 números es 30. Sise re tiran 5números cuyo pñomedlo es 48.¿En cuánto dism inuye el prom edio? a) 0

d) 16

En una proporción geom étrica continua, el pri mer térm ino es 1/9 del cuarto térm ino. Si la suma de los m edios es 72, hallar la diferencia de los extremos. a) 60

c) 18

Un estudiante de una academ ia ha obtenido 13; 14; 16; 12 y a en sus 5 exámenes, además el último tiene doble peso que los otros. Deter mina el valor de a si el prom edio ponderado es 13,5. a) 12 d) 13,5

6. 20.

b) 17

c) 100

¿Cuál es la diferencia entre una proporción geométrica suma de sus cuatro térm inos entre la suma y diferencia térm inos es 2 ? a) 9

El prom edio aritm ético de los cuadrados de 2 núm eros consecutivos es 380,5. Hallar el me nor de ellos.

c) 6/1

En una urna se tienen 400 bolas, de las cua les 160 son blancas y las restantes, negras. ¿Cuántas blancas se deben añadir para que por cada 2 negras haya 3 bolas blancas? a) 200 d) 120

b) 12

c) 14

d) 16

e )1 8

10. El mayor prom edio de 2 números es 100, mientras que su m enor prom edio es 36. Hallar la diferencia de dichos números. a) 180 d) 120

b) 160 e) 182

c) 140

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

11.

El prom edio arm ónico de 3 núm eros es 180/37, uno de los números es 5 y el prom e dio geom étrico de los otros 2 números es 6 . Dar como respuesta el m enor de estos 3 nú meros.

a) 1 12 .

d) 5

e) 12

16.

b) 18 e) 20

b) 240 e) 360

b ) 11,5 e) 18

b) 4 km/h e) 30 km/h

c) 40 km/h

c) 32 17.

c) 280

c) 16

15. La m edia aritm ética de 3 números es 13/3, la m edia geom étrica de los mismos es igual a

¿Cuántas horas em plea un móvil para reco rrer 480 km. Viajando a una velocidad media de 60 km/h, si hace 3 paradas de 15 minutos. a) 8,15 h d) 8,75 h

18.

La media aritm ética de 2 números es 20,5 y la media geom étrica es 20. Hallar el menor nú mero. a) 20,5 d) 11

c) 72

Un ciclista viaja de A hacia B a 60 km/h, y re gresa por el mismo camino a 30 km/h. Hallar la velocidad media de su recorrido total. a) 50 km/h d) 35 km/h

La m edia aritm ética de 5 números es 120. SI le agregam os 5 nuevos números la MA queda aum entada en 80. ¿Cuál es la MA de los 5 números? a) 200 d) 320

14.

c) 3

b) 8 e) 10

a) 9 d) 6

El promedio geométrico de 2 números es 12 y la suma de sus promedios, aritmético y armóni co es 26. ¿Cuál es la suma de dichos números? a) 40 d) 36

13.

b) 2

uno de ellos y su m edia arm ónica es igual a 27/13. ¿Cuál es uno de los números?

b) 8,45 h e) 8,90 h

c) 8,50 h

Hallar la suma de dos números que se dife rencian en 24, y además la diferencia que existe entre su MG y MA es 6 . b) 26 e) 32

a) 24 d) 30

c) 28

U1 y > < I

1. c 2. b

5. c

9. c

13. c

17. d

6. a

14. c

18. d

3. d

7. a

4. d

8, e

10 . b 11 . c 12 . d

15. a 16. c y

MAGNITUDES PROPORCIONALES MAGNITUD

Se entiende como magnitud, para nuestro estu dio, a todo aquello que experim enta cambios o variación, el cual puede ser medido o cuantificado (magnitud matemática). CANTIDAD

Es un estado particular de la magnitud en un deter minado m om ento de análisis, el cual resulta de me dir (cuantificar) la variación, expresado en ciertas unidades de medida. Si tiene unidades se dice que es concreta, si carece de unidades es abstracta. RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES

Dos m agnitudes son proporcionales cuando al va riar uno de ellos entonces la otra tam bién varía en la misma proporción.

razón geom étrica de los valores correspondientes a las magnitudes. Podem os observar que las m agnitudes sombra proyectada y altura de las estacas cumplen que el cociente de sus valores correspondientes es cons tante y que su gráfica es una recta. Cuando 2 m agnitudes cumplen estas 2 condicio nes les llam arem os m agnitudes directam ente pro porcionales. De aquí podem os m encionar que si los valores de las m agnitudes aumentan (o dism i nuyen) en la misma proporción son directam ente proporcionales. En general para dos m agnitudes A y B estas se relacionan en form a directam ente proporcional si el cociente de sus valores correspondientes es una constante. Notación: valor de (A)

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP)

V alor de (A ) — = constante Valor de (B)

Ejemplo:

A DP B =>

En un determ inado m om ento Lolo coloca 5 estacas de diferentes alturas y luego procede a m edir la sombra que proyecta cada una de ellas, todo ello lo anota en la siguiente tabla.

A a B => A = k

S o m b ra proyectada (cm )

A ltura d e cad a estaca (cm )

La gráfica de dos m agnitudes DP, son puntos que pertenecen a una recta que pasa por el origen de coordenadas. En cualquier punto de la gráfica (excepto el origen de coordenadas) el cociente de cada par de valores resulta una constante.

Resolución: Intuitivam ente se puede afirm ar que a mayor altura de la estaca, m ayor som bra proyectada. Esta afir mación, m atem áticam ente se puede expresar así:

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP)

Ejemplo: Una empresa constructora estudia, el tiempo que emplea un grupo de obreros para realizar una obra (todos los obreros rinden igual) y estos son los da tos obtenidos:

Valor de la sombra V alor de la altura

4 2

_ 36 _ 48 _ 2 (constante) 18 24 Donde los puntos corresponden a una recta que pasa por el origen de coordenadas, la cual presen ta una Inclinación respecto al eje horizontal (lla mada pendiente) que num éricam ente es igual a la

n.° d e obreros

Tiem p o (días)

Se observa cuando hay más o b r os m enos tiem po se emplea. El com portam iento de los valores es inverso, esto lleva a señalar que la magnitud obreros y tiem po son inversam ente proporciona les. Adem ás de ello se tiene que: 10(60) = 20(30) = 24(25) = 30(20) = 40(15) = 50(12) = 600

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

A IP B = B IP A

De donde: (V a lo r d e \/V a lo r del\ = constante (obra a rea|¡zar)

•

A IP B => A D P 1

\ obreros / \ tiempo /

A DP B =» A" DP Bn

G ráficamente:

A I P B =» A " I P B n

tiem po (días)

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

Una rueda A de 80 dientes engrana con otra rueda B de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra rueda C de 15 dientes que engrana con una rueda D de 40 dientes. Si A da 120 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda D? R e s o lu c ió n : Gráficam ente, las ruedas están dispuestas como sigue:

Cada sector rectangular que se genera con un punto de la gráfica y los ejes tienen la misma su perficie y que físicam ente corresponde a la obra realizada.

L ¿

\ O 80

J B

En general, dos m agnitudes A y B son inversam en te proporcionales si el producto de sus valores co rrespondientes es constante.

J °50 C

Notación:

c Y lo ia - :----------------------

A(IP)B => (valor de A)(valor de B) = constante

; ¡ I

A ÍijB

=> A.B = k

La gráfica de dos m agnitudes 1P, son puntos que pertenecen a una rama de una hipérbola equilátera. En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores correspondientes resulta una constante. Propiedades Cuando se tienen más de 2 m agnitudes como A, B, C y D se analizan dos a dos, tom ando a una de ellas como referencia para el análisis y m antenien do a las otras en su valor constante. A DP B (C y D constantes)

Si la rueda tiene menos dientes, da más vueltas; lo que indica que: (N.° de dientes)(N.° de vueltas) = k (IR)

Así, en un minuto: 1.° 80(120) = 50(N.° V B) =* N.° V B = 192 2.°

Pero N.° V B = N.° Vc = 192 (tiene el mismo eje)

3.°

15(192) = 40(N.° V D) => N.° V D = 72

Según la ley de Boyle, la presión es inversa mente proporcional al volumen que contiene determ inada cantidad de gas. ¿A qué presión está som etido un gas si al aum entar esta pre sión en 2 atmósferas, el volumen varía en un 40%?

A IP C (B y D constantes)

R e s o lu c ió n :

A DP D (B y C constantes)

P: presión; V: volumen

AC => — = constante BD

Observación:

A DP B = B DP A

Si la presión aumenta; entonces el volumen dism inuye, pues son IP.

A r it m é t ic a |

ponerlas al 2%, al 4% y al 5% respectivamente. Sabiendo que todas las partes le producen igual interés. ¿Cuál es la parte impuesta al 4%?

Así: P x V = k (constante) P x V = (P + 2 ) - ^ - x V

100

10P = 6 P + 12

R e s o lu c ió n :

4P = 12 =? P = 3 atmósferas

Si los intereses son iguales; entonces los ca pitales son IP a las tasas

Dos cantidades son inversam ente proporcio nales a una tercera. ¿Cómo son entre sí estas cantidades?

C-i x 2 = C 2 x 4 = C 3 x 5 M ultiplicando por

R e s o lu c ió n :

tenemos:

C-i x 2 x -¿r = C 2 x 4 x -L . = C 3 x 5 x - 7-

Sean A y B las m agnitudes y C una tercera magnitud.

Por dato: C iP B y C IP A

9 i 10

Por propiedad: C IP (A x B)

:k ^ k :

C 1+ C 2 + C 3 1Ó T5 + 4

Por lo tanto: ^ k = 584 250 = 30 750 19

C x A x B = k (constante) .'. Son inversam ente proporcionales.

Luego, la parte Impuesta al 4% es: Un tendero hurta en el peso em pleando una balanza de brazos desiguales que miden 22 cm y 20 cm. Una m ujer com pra 4,4 kg de azúcar y el tendero pone las pesas sobre el platillo correspondiente al brazo menor de la balanza. La m ujer compra otros 4,4 kg dei mismo artículo y obliga al com erciante a po ner las pesas en el otro platillo. En los 8,8 kg ¿cuánto dio de más o menos el tendero?

C 2 = 5 x 30 750 = 153 750 soles

[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS T j 1.

R e s o lu c ió n :

a) 1

20 P(20) = 4,4(22)

A es directam ente proporcional a la raíz cua drada de B e Inversamente proporcional al cuadrado de C. Cuando A es 8 , B es 16 y C es 6 . Calcular el valor de B cuando A sea 9 y C sea 4. b) 2

c) 3

d) 4

e)<

22 2. . p = 4,84 kg

Al colocar las pesas en el brazo menor nece sita más azúcar para equilibrar.

Se tienen las m agnitudes A; B; C y D tales que A es DP a B; A es IP a C: A es IP a D. Cuando A = 5; B = 2C y D = 2, hallar el valor de A cuando B = 48; C = 2 y D = 3. a) 36

b) 35

c) 40

d )4 5

e) 32

Entrega de más: 0,44 kg

3. 20

ip j

4,4(20) = 22 x P =» P = 4 k g Entrega 0,4 kg menos; luego en los í trega:

Se sabe que una magnitud A es Inversamente proporcional a B. Hallar el valor de A sabiendo que si dism inuye en 36 unidades el valor de B varía en un cuarto. a) 24

b) 36

c) 180

e) 48

I kg en-

0,44 - 0,40 = 0,04 kg = 40 g más Una persona dispone de un capital de 584 250 soles que lo ha dividido en tres partes para Im

X varía en razón directa a Y e inversa al cua drado de Z. Cuando X es 10, Y es 4 y Z es 14. Hallar el valor de X cuando Y sea 16 y Z sea 7. a) 180

b) 160

c) 154

d) 140

e) 120

j C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

-------------------------------------

A es directamente proporcional al cuadrado de B e inversamente proporcional a la raíz cúbica de C. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye en sus 26/27, ¿qué sucede con el valor de A?

a) 24 d ) 96 11.

a) Se m ultiplica por 12 b) Dism inuye en 1/11 de su valor c) Aum enta en 1/11 de su valor d) Se triplica

b) 48 e) 100

c) 72

Una rueda A de 20 dientes engranada con otra rueda B de 75 dientes. Fija al eje B, hay otra rueda C de 35 dientes que engrana con otra rueda D de 20 dientes. Si A da 60 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D?

e) Se cuadruplica a) 24

A y B son directam ente proporcionales. Cuan do el valor inicial de B se triplica, el valor de A aum enta en 10 unidades. Cuando el nuevo valor de B se divide entre 5, ¿cómo varía el valor de A respecto al inicial? a) Aum enta en 15 c) Dism inuye en 12 e) No se altera

a) 6/5

b) 7/5

c) 2

d) 7

c) 36

d) 60

e) 21

12. Se tienen 2 m agnitudes A y B; tales que A es inversam ente proporcional con B2; si cuando B aumenta en 25% el valor de A varia en 144 unidades. ¿En cuánto aumenta o dism inuye cuando B dism inuye en 20%?

b) Disminuye en 10 d) Dism inuye en 2

A y B son inversamente proporcionales con constante de proporcionalidad igual a k. ¿Cuál es este valor si la constante de proporcionali dad entre la suma y diferencia de A y 1/B es 6 ?

b) 28

a) Aum enta (22%) c) Dism inuye (10%) e) Aum enta (50%)

b) Disminuye (22%) d) Aum enta (10%)

13. SI: A es DP a B2 (C = constante); C es DP a VA (B = constante). Sea la tabla:a

e) 6/7

Sea F una función de proporcionalidad, tal que: F(4) + F( 6 ) = 20 F(31) Hallar el valor del producto: —- — F(7) F(3)

1 /2

hallar x. a) 372 d ) 704 9.

b) 744 e ) 1488

c) 558 a) 1/4 d )1

El consum o es directam ente proporcional a su sueldo. El resto lo ahorra, un señor cuyo suel do es $560 ahorra $70. Si recibe un aumento, consum e $910. ¿De cuánto es el aumento? a) $450 d) $560

b) $480 e) $500

b) 1/8 ' e ) 1/64

c) 1/16

14. SI A es IP a B2; A es DP a D y D es IP a VC , hallar x de la siguiente tabla.

c) $490

10. La figura muestra los engranajes W, I, L e Y con 8 ; 1 2 ; 16 y 6 dientes cada uno respectiva mente. Si W da 18 vueltas por minuto, ¿cuán tas vueltas dará Y en 3 m inutos?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 12 N

tn u > <

1. d 2. c

5. a

9. b

13. c

6. d 7. b

4. b

8. b

10 . d 11 . b 12. a

14. b

3. c

REPARTO PROPORCIONAL Como aplicación de la proporcionalidad consiste en repartir una cantidad en partes directa o Inver samente proporcionales a ciertas cantidades que llam arem os indicadores.

Luego: S¡ = 4 + 7 + 10 = 21

Problema general

A = 4(600) = 2400

k =

12 600 21

k = 600

Por tanto, la menor de las partes es: Repartir S en partes P2; ...; Pn que sean DP a b-i; b2; ...; bn. D eterm inar cada una de las partes.

R e s o lu c ió n : Partes: P,; P2; ...; Pn => S = P, + P2 + ... + Pn Indicadores: b-,; b2; ...; b n Por dato: P,; P2; ...; Pn DP b ^ b2; ...; bn

Repartir 252 800 en partes DP a 3; 4 y 6 e IP a 5; 5 y 7. Determ inar la diferencia entre la mayor y menor de las partes. R e s o lu c ió n : Partes: A; B y C a S = A + B + C = 252 800 Como: A; B :C I P 5 ; 5; 7

= k (constante de proporcionalidad)

a A; B; C DP

bi Por propiedad: k =

5 5 7

MCM (5; 7) = 35; luego:

Pl + Ps + •••+ Pn ^ k = — bi + b 2 + ... + bn Sj

S¡: suma de indicadores Luego: P, = b,k; P2 = b2k; Pn = bnk Ejemplos: 1. Repartir 25 200 en partes DP a 5; 7 y 9. Deter m inar cada una de las partes. R e s o lu c ió n :

A DP 3

A A DP

DP f . 3 5 = 21 5

B DP 4

B DP 1 , B DP - . 3 5 = 28 5 5

C DP 6 A

C DP 1 = > C DP y .35 = 30

a S¡ = 21 + 28 + 30 = 7 9 a k = ^ | | 5 °

= 3200

Sean las partes: Del dato: A; B; C DP 5; 7; 9

Por lo tanto, la diferencia entre la mayor y me nor parte es:

^ S ¡ = 5 + 7 + 9 = 21

C - A = 30k — 21 k = 9(3200) = 28 800

A ; B y C = > S = A + B + C = 25 200

=■ k =

=* k = 1200

Luego:

A = 5.(1200) = 6000 B = 7.(1200) = 8400 C = 9.(1200) = 10 800

Repartir 12 600 en partes IP a 1/4; 1/7 y 1/10. Dar como respuesta la menor de las partes. R e s o lu c ió n :

REGLA DE COMPAÑÍA

En este caso se reparten las ganancias (G) o pér didas directam ente proporcionales a los capitales (C) aportados y los tiem pos (T) de im posición de cada uno de los socios, respectivam ente. Es decir: G DP C (T constante) y G DP T (C constante) • G DP C.T =

Partes: A ; B y C = > S = A + B + C = 12 600 Usando propiedad:

En general:

_G_ = k (constante) CT

G-|

C 1T1

C 2T2

A IP - 1 ^ A DP 4 4

En particular, si:

B IP U

B DP 7

C IP -!-= > C DP 10 10

G„ C,

C-j = C 2 = ... = Cn, entonces: Gi _ G 2 _

T ™

_ Gn _

" ' = \

■= k

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Observación: 60 = MCM (3; 4; 5 y 6)

T-i = T 2 = ... = T n, entonces:

Luego: 1.a -► 80; 2.a -> 30; 3.a — 24; 4.a — 20 3. EJERCICIOS RESUELTOS 1.

Dos pastores que llevan 5 y 3 panes respecti vamente, se encuentran con un cazador ham briento y comparten con este los 8 panes en partes iguales. SI el cazador pagó S/.8.00 por su parte. ¿Cómo deben repartirse los pasto res el dinero entre si?

Una persona dispuso en su testam ento que se entrega a 3 sobrinos suyos la cantidad de S/.19 695 para que se repartan proporclonalm ente a las edades que cada uno de ellos tenga el día que falleciera. Uno de ellos tenía 36 años el día que su tío falleció y le correspondió S/.7020 pero renunció a ellos y el reparto se hizo entre lo s otros 2, también proporcionales a sus edades, por lo que a uno de ellos le correspondió S/.2700 adicionales. Calcular las edades.

R e s o lu c ió n : R e s o lu c ió n :

Total de panes = 8

Primer reparto (19 695)

1,er pastor tiene: 5 2 ° pastor tiene: 3

Como c/u de los 3 come 8/3

36 ->• 36 x — — = 7020 36 + (a + b)

o y El 1 ,er pastor ayuda con: 5 - — = —

entonces: a + b = 65

El 2.° pastor ayuda con: 3 -

Segundo reparto (7020)

DP a —> a x Z °2 0 = 2700 ^ a = 25 65

Entonces el reparto se hace en form a DP a lo que cada uno ayuda. O sea:

1.° DP

b = 40

.-. Las edades son: 36; 25 y 40 4.

El primero recibe: 7 soles y el segundo recibe: 1 sol 2.

Repartir 154 en partes directam ente propor cionales a 2/3; 1/4; 1/5; 1/6. R e s o lu c ió n :

Un hombre decide repartir una herencia en form a proporcional al orden en que nacieron sus hijos. La herencia total es S/.480 000; adi cionalm ente deja S/.160 000 para el mayor, de tal modo que el primero y último hijo reci ban igual herencia. ¿Cuál es el mayor número de hijos que tiene este personaje? R e s o lu c ió n :

S = 154

S = 480 000

Partes:

Orden:

1.a DP —x 6 0 = 3

2.a D P - 1 x 6 0 = 4

1.°

k = 3.a DP | x 6 0 = 5’

3.°

154 77

n.° i menor

Les toca: k; 2k; 3k; ...; nk De donde: k + 2k + 3k + ...+ nk = 480 000

4.a DP 4 x 60 =

2.°

i mayor

10 7

n(n + 1) k x — —— - = 480 000

...(1)

A r it m é t ic a |

Adem ás, por dato:

k + 160 000 = nk ■> (n - 1 )k = 160 000 ...(2) Dividiendo (1) (2):

Repartir 1240 DP a 2400; 2401; 2402; 2 403 y 2404. Hallar la suma de cifras de la m ayor parte. a) 10 d) 13

n 2 - 5n + 6 = 0 (n - 3 )( n - 2 ) = 0 => ^ = 3; n2 = 2

b) 11 e) 15

c) 12

Repartir 648 en form a DP a 4 y 6 y a la vez en form a IP a 3 y 9. Dar la diferencia de las partes obtenidas.

M ayor número de hijos = 3 5.

Se reparte 738 en form a directam ente pro porcional a dos cantidades de m odo que ellas están en ia relación de 32 a 9. Hallar la suma de las cifras de la cantidad menor.

a) 214 d) 217

R e s o lu c ió n : Por condición del problema: A = 32 B 9

A = 32K B = 9K K = 18

Luego:

A = 32(18) = 576

B = 9(18) = 162 Suma de cifras de m enor cantidad:

c )2 1 6

El profesor de aritm ética decidió prem iar a sus m ejores alumnos regalándoles $9200 en form a directam ente proporcional al número de problem as que resuelven de la guía. El prim e ro resolvió 17 problemas, el segundo 15 y el tercero 14. Indica cuánto le tocó al segundo. a) 3000 d) 3500

Entonces: A + B = 4 1 K = 738

b)215 e) 218

b) 3400 e) 4000

c) 2800

Repartir 28 380 en partes IP a los números 2/7; 4/5; 6/7 y 12/15. Dar com o respuesta la m enor de las partes.

1 + 6 + 2 = 9 [^EJERCICIOS PROPUESTOS

a) 3000 d) 4620

8. 1.

Efectuar el reparto de 7227 en forma inversa mente proporcional a 4; 8 y 12. Dar la diferen cia entre la m ayor y m enor de las partes que se obtiene. a) 2828 d) 2840

b) 2728 e) 2943

9. 2.

Se reparte una cantidad N en form a DP a los números 2; 3; 5 y 7. La tercera cantidad repar tida (en orden ascendente) resultó 600. Hallar la suma de las cifras de la cantidad total. a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

b) 160 e) 220

c) 200

Se reparten 1000 en tres partes inversam en te proporcionales a 183; 64 y 242. Dar com o respuesta una de las partes. a) 144 d) 324

b) 288 e) 162

c) 576

e) 8 10.

c) 2800

Repartir 580 en partes DP a los números 6 ; 8 y 9 e IP a los números 5; 4 y 12, adem ás DP a los núm eros 10; 7 y 4 Indicar la diferencia entre el mayor y la m enor de las partes. a) 180 d) 250

C) 2628

b) 3400 e) 4000

Se desea repartir $7200 en partes DP a las raíces cuadradas de los núm eros 200; 392 y 288. Dar com o respuesta la m enor de las partes.

Descom poner 304 000 en tres partes de ma nera que los 2/3 de ¡a primera sea igual a los 5/6 de la segunda y los 4/9 de la segunda igual a los 8/7 de ia tercera. Dar como res puesta la menor parte.

a) $2000 d) $2400

a) 44 200 d) 44 800

b) $2800 e ) $3200

c )$ 1 2 0 0

b) 44 400 e) 45 000

c) 44 600

I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

11. Al repartir N en tres partes A, B y C de manera que A es a B como 3 es a 4 y B es a C como 7 es a 3, se obtuvo como parte m ayor 1400. Calcular el valor de N. a) 2000 d) 2300

b) 6400 e) 3250

13.

b) 430 e) 320

c) 120

14. Tres autom ovilistas deciden repartirse $3100 en form a proporcional a las velocidades de sus vehículos. Si luego de una competencia se observó que el primero de demoró 2 h, el segundo 3 h y el tercero 5 h en llegar a la meta. Hallar cuánto le tocó al primero. a) 1500 d) 600

17.

b) 1200 e) 900

c) 1300

b) 11 000 e) 14 000

b) 42

c) 48

d) 72

e) 60

Las edades de siete hermanos son números consecutivos. Si se reparte una cantidad de so les proporcionalmente a sus edades, el menor recibe la mitad del mayor y el tercero 80 000 soles, ¿cuántos soles recibe el quinto? a) 64 000 d) 100 000

18.

c) 12 000

Una cantidad es repartida en forma proporcio nal a tres números y son 96; 32 y 24. ¿Cuál habría sido la mayor de las partes; si el repar to se hubiera hecho en forma inversam ente proporcional a los m ism os números? a) 76

b) 12 millones d) 9 millones

Hallar tres números que sumen 472 y que sus cuadrados sean proporcionales a 1/8; 1/50 y 1/98. Dar el mayor, a) 180 d) 280

16.

c) 3050

12. Se reparte una herencia en form a proporcio nal a las edades de 3 personas y recibieron 6 ; 12 y 24 millones, respectivam ente. ¿Cuánto le habría tocado al segundo, si el reparto hubie ra sido Inverso a sus edades? a) 6 m illones c) 24 m illones e) 18 millones

a) 10 000 d) 13 000

b) 72 000 e) 96 000

c) 80 000

Dos agricultores tienen 4 y 3 hectáreas de terreno que trabajarán en conjunto. Para con cluir más rápido contratan a un obrero que cobra 70 soles. Se desea saber lo que cada uno debe pagar al obrero, si al final los tres trabajan igual. a) b) c) d) e)

50 40 60 45 60

soles soles soles soles soles

y y y y y

20 soles 30 soles 10 soles 25 soles 10 soles

1. c 2. c

5. c

9. b

13. d

17. d

15. Al repartir $76 700 en 3 partes DP a 3; 5 y

6. a

14. a

18. a

6 y DP a f7 2 \ V128 y V200, respectivam en

3. a

7. d

te. ¿Cuál es la diferencia entre las 2 mayores partes?

4. a

8. e

10. d 11 . c 12. b

15. d 16. a

REGLA DE TRES Es una aplicación de la proporcionalidad donde al com parar dos o más m agnitudes se determ ina un valor desconocido. Se considera como m agni tud dependiente a la magnitud que contiene a la incógnita.

_x_ bi

b, —

Disposición práctica: Magnitudes:

R EGLA DE TRES SIMPLE (R3S)

Valores correspondientes

Resulta de com pararse dos m agnitudes directa mente proporcionales o dos m agnitudes inversa mente proporcionales.

c y iú J z i:

R3SD. Sean A y B dos m agnitudes DP. Entonces

Al com pararse una magnitud que hace obra (hombres, operarios, obreros, máquinas, etc.) con la m agnitud tiem po (días, horas, h/d, m inutos, etc.) siem pre serán inversa mente proporcionales.

= k, luego:

2a1

~ = -— (x, es incógnita) bi b2

X= bll f

t r

t >1

Disposición práctica: Magnitudes: Valores correspondientes

EJERCICIOS RESUELTOS %

x ) b2 )

R3SI. Sean A y B dos m agnitudes IP, entonces: A x B = k, luego: bi = xb 2 => x = a t — Disposición práctica: Magnitudes: Valores correspondientes

Una guarnición de 400 soldados situados en un fuerte, tienen víveres para 180 días si con sume 900 gram os por hombre y por día. Si recibe un refuerzo de 100 soldados pero no recibirá víveres antes de 240 días, ¿cuál de berá ser la ración de un hombre por día para que los víveres puedan alcanzarles? R e s o lu c ió n :

a, b, x ) b2;

Por regla de tres compuesta: bi

Soldados

REGLA DE TRES COMPUESTA (R3C)

Resulta de com pararse más de dos magnitudes. Se compara siem pre la m agnitud dependiente con otra, independiente de las demás. Sean A, B y C tres magnitudes, donde B es la mag nitud dependiente (contiene a la incógnita). Considerem os A y B dos m agnitudes DP

a 2 _x_ _ £2 b, ~ x ^ b-i ~~ ai

b-tC-i = XC2 =* — = — b, c2 De (1) y (2):

Ración / día H

400 /

180 /

500 ^

240

900 »t ^

Luego: x = 900 x a 500

x 240

x = 540 gramos Se emplearon m obreros para ejecutar una obra y al cabo de a días hicieron 1 /n de aque lla. ¿Cuántos obreros hubo que aum entar para term inar la obra en b días más? R e s o lu c ió n :

B y C dos m agnitudes IP X

días

obreros

días

. .. ( 2 )

m + x

obra

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Luego: tiem po (horas)

o (n - 1) n m + x = m x f-x X7 b n 1

x =

x = -^-(an - a - b) b Un contratista dice que puede term inar un tra mo de autopista en 3 días si le proporcionan cierto tipo de máquinas; pero que con 3 má quinas adicionales de dicho tipo puede hacer el trabajo en 2 días. Si el rendim iento de las m áquinas es el mismo. ¿Cuántos días em pleará una m áquina para hacer el trabajo?

m jn = 1 h 10 min 20 s

Una obra debía term inarse en 30 días em pleando 20 obreros, trabajando 8 horas dia rias. Después de 12 días de trabajo, se pidió que la obra quedase term inada 6 días antes de aquel plazo y así se hizo. ¿Cuántos obreros se aumentaron teniendo presente que se au mentó también en dos horas el trabajo diario? R e s o lu c ió n :

Suponem os que ¡nicialmente hay N máquinas de dicho tipo; entonces:

Inicialm ente debían hacer la obra en 30 días; lo que indica que en un día hacen 1 12 2 — ; entonces en 12 días hacen: — = — 30 30 5 2 3 Faltando asi: 1 - — = -p, luego: 5 5

días

N t N + 3 '

3 )^ N 2 *

+ 3 = N x -| 2

Obreros

2N + 6 = 3N => N

Luego: máquinas

días f

3° )

20 + x V

12 /

h/d 8

obra )

10 i

3/5 )

=> 20 + x = 20 x f ^ x — x ~ 12 10 5

x = 3 x — => x = 18

20 + x = 24 = * x = 4

Quince obreros han hecho la mitad de un tra bajo en veinte días. En ese m om ento abando nan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tar darán en term inar el trabajo los obreros que quedan?

Un reloj marca la hora a las 0 horas de un cier to día; si se sabe que se adelanta 4 minutos cada 12 horas. ¿Cuánto tiem po transcurrirá para que nuevam ente marque la hora exacta? R e s o lu c ió n :

R e s o lu c ió n : O breros

días

15 ( 10 V

20 x /

=> x = 20 X —

2 )

R e s o lu c ió n

máquinas

3376 ( 3

x = m x § (n -1 )-m ^

adelanto m ínimo

Si durante 12 horas adelanta 4 m inutos, en tonces en un día adelanta 8 minutos. Así: adelanto

=> x = 30

720 \

Un reloj se adelanta minuto y medio cada 24 horas. Después de 46 días 21 horas 20 m inu tos. ¿Cuánto se adelantó el reloj?

=> x = 1 x

n.° días x /

= 90 días

'[^EJERCICIOS PROPUESTOS" ] R e s o lu c ió n : Expresando todo en horas, tenem os: 46 días 21 h 20 min =

horas

Si 64 obreros pueden construir una carretera en 24 días, ¿cuántos obreros podrán hacer la misma carretera en 48 días?

A r it m é t ic a |

a) 16 d) 36 2.

b) 24 e) 30

b) 18

d) 24

e) 25

b) $105 e) $120

b) 360 soles e) 560 soles

a) |

b) | b

d) 2b

e) 3b

3 ) 2 y

b) 2 y

d) 3 y

e) 3 y

11.

4 y

Un grupo de 12 alumnos resuelve 120 problem as de Física en dos horas. ¿Cuántos

b) 1 0 0 0 g e) 1180 g

c) 1 0 2 0 g

b) 24 e) 72

12.

c) 36

Juan compra 15 kg de arroz para 18 días para su fam ilia que está com puesta de 5 personas en total. Sin embargo, pasados 6 días llegan 3 fam iliares más. ¿Cuánto durará el arroz en total? a) 12 días d) 10 días

b) 15 días e) 12,5 días

c) 13,5 días

Si M anuel puede hacer 24 problem as en tres horas, ¿cuántos problem as cuya dificultad es a la de los anteriores com o 6 es a 5, podrá hacer M anuel en el m ismo tiem po? a) 28

13.

Si ocho bolitas de 0,4 mm de radio pesan 256 gram os, con siete bolitas del mismo m aterial que los anteriores, pero con radio 0,6 mm, ¿qué peso tendrán?

a) 60 . d) 54

c) b

A y B pueden hacer una obra én tres días. Si A trabaja solo, se demora siete dias. El primer día solo trabajó B, y a partir del segundo día los dos trabajaron juntos. La cantidad de días que dem oraron en hacer la obra es:

c) 480

10. Treinta obreros pueden hacer una obra en 48 días. Si 18 de ellos dism inuyen su rendimiento en su tercera parte, ¿en qué tiem po harían la misma obra todo el grupo?

c) 464 soles

Si a obreros pueden hacer una obra en b días ¿en cuántos días pueden hacer una obra de triple dificultad, ei doble de obreros, cada uno de ellos de doble habilidad que los anteriores?

b) 100 e) 800

a) 960 g d) 1140 g

c) $108

Para su com ercialización, la harina de trigo se distribuye en cajas cúbicas de diferentes dimensiones. Si una caja de 6 dm de arista, conteniendo harina de trigo, cuesta 216 soles, ¿cuánto costará una caja de 8 dm de arista? a) 288 soles d) 512 soles

c) 16

Por pintar una pared de 4,5 m por 3,6 m me cobran $36. ¿Cuánto me cobrarán por pintar tres paredes de 2,4 m por 7,5 m? a) $90 d) $111

b) 43,2 horas d) 40,2 horas

a) 136 d) 400

24 taladros en 8 horas pueden hacer 7680 agujeros. ¿Cuántos taladros en 9 horas de trabajo podrán hacer 7200 agujeros? a) 20

problem as resolverá otro grupo de ocho alumnos, el doble de eficientes que los anteriores, en cinco horas?

c) 32

Carlos puede hacer un trabajo en 18 horas. ¿En qué tiem po podrá hacer un trabajo 1,4 veces más difícil? a) 36,2 horas c) 25,2 horas e) 28,2 horas

b) 29

c) 24

d) 18

e) 20

Sesenta obreros hacen los 3/8 de una obra en 27 días. Si se retiran 24 obreros y los res tantes concluyen la obra, ¿qué tiem po en total duró la obra? a) 75 días d) 102 días

b) 72 días e) 62,5 días

c) 45 días

14. Veinticuatro obreros pueden hacer una obra en 60 días, si trabajan 9 horas diarias. 20 días luego de iniciado el trabajo se enferm an 6 obreros y los restantes trabajan 10 horas dia rias hasta term inar la obra. ¿Cuánto duró la obra en total?

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 48 días d) 68 días 15.

b) 60 días e) 64 días

Una secretaria escribe 48 palabras por m inu to. ¿Cuántas palabras escribirá en 6 minutos, si dism inuye su velocidad en su cuarta parte? a ) 108 d ) 200

B) 162 E ) 216

C) 180

16. Tres cam pesinos pueden cosechar un terreno de 80 m 2 de área. ¿Cuántos cam pesinos se rán necesarios para cosechar un terreno de 1,2 hectáreas? a) 300 d) 400

b) 540 e) 450

c) 320

17. Cuarenta y cinco obreros pueden construir 600 m de un muro de 1,5 m de alto. ¿Cuántos obreros construirán 1150 m de un muro de 1.6 m de alto? a) 84 d) 96

b) 88 e) 98

obreros podrán cavar una zanja de 2 m de diám etro y 24 m de profundidad?

c) 72 días

c) 92

18. Ocho obreros cavan una zanja de 1,6 m de diámetro y 12 m de profundidad. ¿Cuántos

a) 24

b) 25

c) 28

d) 15

e) 18

19. 27 obreros pueden hacer una obra en 42 días, si trabajan 8 horas diarias. ¿Cuánto tardarián 16 obreros, trabajando 7 horas diarias, para hacer una obra cuya dificultad es a la anterior como 4 es a 3? a) 72 días d) 96 días 20.

c) 88 días

b) 84 días e) 108 días

Dieciocho obreros pueden hacer una obra en 15 dias. Si luego de haber trabajado 5 días se retiran 3 obreros, ¿cuál será el tiempo total de duración de ia obra? a) 12 días d) 20 días

1. c 2. c 3. a 4. e

b) 15 días e) 21 días

c) 17 días

5. d

9. d

13. d

17. c

6. b

10. a 11 . c 12. e

14. d

18. b

7. d

8. d

15. e

19. e

16. e

20. c

PORCENTAJES - MEZCLAS 100 partes ¡guales

PORCENTAJES

Regla del tanto por cuanto. En algunas oportu nidades es necesario dividir lo que tenem os en partes ¡guales para hacer una distribución de estas partes. Ejemplo: Se tiene una bolsa con 40 manzanas el cual se desea dividir en 8 partes iguales y se han de tom ar 6 de ellas.

1 100

Uno por ciento Entonces: A por ciento < > A% < >

R e s o lu c ió n : El procedim iento a seguir es: Dividiendo 40 en 8 partes iguales. T

60 partes O F

6o ( —

f 5

10 partes O

1 0 Í — W > 10 % O \ 100 /

-L

W > 60% O \ 100 /

Tomamos 6 de estas partes: 6(5) = 30 Interpretación: El 6 por 8 de las 40 m anzanas es 30 m anzanas. M atem áticamente: 6 ( 4 ^ = 30 En general si tenem os N objetos. ¿Cuál será el a por b de N?

40 partes O 25 partes O

40% < > § 25( — ) < > 25% O 1100/

100 partes O

1 4

100%

Además: 40% de 400 = |( 4 0 0 ) = 160 5 75% de 560 = |( 5 6 0 ) = 420 25% de 900 = -1(900) = 225

Se toman a partes

15% de 600 = A (600) = '9 0

M atem áticamente: a / — \b

65% de 400 = | | ( 4 0 0 ) = 260

De aquí podem os señalar que el tanto por cuanto viene a ser un procedim iento aritm ético que con siste en dividir un todo en partes ¡guales y tom ar tantos de ellos como se Indique.

Porcentaje. Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una cantidad.

En la vida diaria el tanto por cuanto más utilizado es aquel que divide al todo en 100 partes ¡guales y al que se le denom ina: tanto por ciento. Ejemplo: Calcule el 15 por ciento de 400.

Ejemplo: Halle el 20% de 400 20% (400) = 80 tanto por ciento

porcentaje

O peraciones con porcentajes 1. a%N + b%N = (a + b)%N Ejemplos:

V1 oo /

1 5 ( t 7 í 7t )

6 0

En general si una cantidad se divide en 100 partes, cada parte representa ( 1 / 100 ) del total a la cual llam arem os el 1 por ciento y lo denotarem os: 1 %

•

12%N + 34%N = 46%N

•

118%N + 60%N = 178%N

•

30%N + 11,5%N = 41,5% N

•

N + 13%N = 113%N

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

x%N - y%N = (x - y)%N

el precio de venta de una unidad de m edida de la mezcla. Para ello se vale de algunos procedim ien tos aritm éticos, lo cual en su conjunto constituye la regla de mezcla.

Ejemplos: •

74%N - 24% N = 50%N

•

169%N - 2 9 % N = 140%N

•

112%N - 64%N = 48%N N - 14%N = 86 %N

• 3.

Ejemplo: Un com erciante hace el siguiente pedido a un dis tribuidor mayorista de café:

a x (b% N) = (a x b)%N Ejemplos:

•

3(50% N) = 150%N

•

4(75 %N) = 300%N = 3N

•

5,5(2% N) = 11 %N

El a% del b% del c% de N es: a% b% c% N

Aplicación com ercial Un com erciante com pró un pantalón en S/.50 (P0) y fija para su venta un precio de S/.80 (PF). Sin em bargo lo vende en S/.70 (Pv) debido a que hizo una rebaja de S/.10 (R). Aparentemente está ganando S/.20 (GB), pero esta operación le generó gastos por un valor de S/.5, (gas tos) por lo cual realmente esta ganando S/.15 (Gn).

Café

Cantidad en kg

Precio unitario

Extra (E) Superior (S) Corriente (C)

S/.7 S/.5 S/.4

20 15

Para venderlo a sus clientes el com erciante mezcla los tres tipos de café. ¿A cómo debe vender el kg de la mezcla para ga nar el 20 %? R e s o lu c ió n : Para determ inar dicho precio de venta el com er ciante procede del siguiente modo: 1 Determ ina el costo de su inversión

m »] Cantidad (kg):

lif H 50

Precios unitarios: S/.7

S/.5

S/.4

Costos parciales: S/.350 S/.100

GB = S/.20

S/.60

Costos totales: S/.510 G n = S/.15

gastos = SI. 5

Pe S/.50

R = S/.10

S/.70

S/.80

Peso total = 50 + 20 + 15 = 85 kg Calcula el costo por unidad de m edida (kg) de la mezcla. A este costo por kg se le denom ina precio m edio (Pm) ya que es un precio que no genera ni ocasiona pérdida. Costo por 1

c Y lo ta /:........................................ ................................ | l | I

Las ganancias (o pérdidas) se representan como un tanto por ciento del precio de costo. Las rebajas se representan com o un tanto por ciento del precio fijado.

'> Pv = Pe + ganancia

MEZCLA

Es la reunión de dos o más sustancias (ingredien tes) en cantidades arbitrarias conservando cada una de ellas su propia naturaleza.

S/.510 = S /.6 85

Se observa tam bién que: S/.4 < S /.6 Precio m enor

Precio m edio

S/.7 Precio mayor

Si com param os los precios unitarios con el precio m edio se tiene: 50 kg

20 kg

15 kg

Precios unitarios S/.7

S/.5

S/.4

S/.6

S /.6

Pierde

Gana

S/.1

S/.2

Cantidades

Precio medio: Regla de mezcla. La regla de mezcla se origina por el deseo de los com erciantes en determ inar

= Pm

kg de mezcla

Por 1 kg:

S/.1

A r it m é t ic a |

Pero la pérdida y ganancia es aparente ya que al final estas se compensan.

I I

Tipo de alcohol:

Pérdida = Ganancia 50(1) = 20(1) + 15(2)

Volumen:

80 L

120 L

S/.50 = S/.50

Grado:

,25°

40°

8 0 (2 5 )+ 120(40) Grado medio = — — ——------- = 34° 80 + 120

Sobre el precio m edio el com erciante determ i na el precio de venta considerando su ganan cia respectiva.

En general para k tipos de alcohol:

Precio de venta = S /.6 + 20% (S/.6) = S/,7,20 Luego:

Tipo:

Volumen:

Grado:

G-i

El com erciante debe vender el kilogram o de la mezcla en S/,7,20 para ganar el 20%. En general para k sustancias:

H H H - H Cantidades:

Precios unitarios:

P-i

Se cum ple lo siguiente: Precio

Grado

V|G-| 4- V2G 2 ■+■V 3G 3 + ... + N^G^

m edi°

ñ^

+ ^

t w

C Í P1 + C 2P2 + C 3 P3 + ... + CkP|<

Finos. Oro, plata, platino.

C ,+ C 2 + C 3 + . . . + Ck

Ordinarios. Cobre, hierro, zinc.

m edio = Mejor aún:

Precio _ Costo total m edio Peso total

Promedio ponderado de precios

Precio menor < precio medio < Precio mayor Ganancia aparente = Pérdida aparente

Aleación. Es la mezcla de dos o más metales me diante el proceso de fundición. En las aleaciones por convencionalism o los metales se clasifican en:

La pureza de una aleación se determ ina mediante la relación entre el peso del metal fino empleado y el peso total de ia aleación, a dicha relación se le conoce como la ley de la aleación. Ejem plo inductivo: Se tiene una aleación de 36 g de plata pura con 12 g de zinc, ¿cuál es la ley de la aleación? R e s o lu c ió n :

IV.

Plata

Precio venta = precio m edio + ganancia Com ercialm ente la pureza alcohólica se ex presa en grados y para ello convencionalm en te se tiene que: (%) O (°) volumen de Grado de mezcla = alcoho1 puro x (100°) volumen total

Peso:

Se mezclan 80 L de alcohol de 25° con 120 L de 40°. Calcula el grado de la mezcla. R e s o lu c ió n : Se procede de manera análoga que para el cálculo del precio medio.

■

Total

12 g

48 g

=> Ley = P e so P 1^ = 36 = Q.750 Peso total 48 La aleación del peso del metal ordinario con el peso total se le conoce como la liga de la aleación: L ig a

Ejemplo:

36 g

= P e s° zinc = 12 = 025Q Peso total 48

Se deduce que: Ley + Liga = 0,750 + 0,250 = 1 En general Para una aleación:

Peso trnetaJj] fino )0 j.:í f |

Peso me ta i] o rd in a rió 'fl

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Ley =

10 800 = 9600 + 96x

Peso metal fino Peso total

1200 = 96x x = 12,5%

Peso metal ordinario Liga = Peso total III.

0 < ley de la aleación < 1

Com ercialm ente la ley del oro se expresa en qui lates y para ello convencionalm ente se establece que si la aleación contiene solo oro puro es de 24 quilates.

Se estim a que una m ezcladora de concreto sufre una depreciación de 10 % por cada año de uso, respecto al precio que tuvo al com en zar cada año. SI al cabo de 4 años su precio es de S/. 131 220; hallar el costo original de la m ezcladora. R e s o lu c ió n :

Una sortija de 14 quilates significa que el peso total se divide en 24 partes iguales y 14 de ellos son de oro puro.

La depreciación no es sino la pérdida del valor del bien. Así, si el costo inicial es de N soles.

En el ejem plo anterior vamos a determ inar su ley en quilates.

x 2 l *

Oro

Cobre

Total

9g:

[13

12 g X 2

) X2 24 partes

Ley = 18 quilates

Queda

10% N

90% N = P

2 .° año

10% P

90% P = R

3.er año

10% R

90% R = S

4 ° año

10% S

90% S

Por dato: —

Q 1Q Ley = — . = — ; de donde se obtiene: 12 24 (Peso metal fino)

n.° de quilates

(Peso total)

Ley =

Depreciación

1 .er año

EJERCICIOS RESUELTOS Un fabricante reduce 4% el precio de los artí culos que fabrica. Para que aum ente en 8 % la cifra total de sus ingresos, sus ventas tendrán que aum entar en:

100

x S = 131 220

— x ^ - x U ; X ^ - x N = 131220 100 100 100 100 N = S/.200 000 El Ingreso promedio del sector obrero en una empresa es de 300 000 mensuales. En el mes en curso hay un Incremento de haberes del 10 % del haber anterior más bonificación gene ral de 60 000 soles, pero se decreta un des cuento del 5% del haber actualizado, profondos de reconstrucción. Hallar el promedio actual. R e s o lu c ió n :

R e s o lu c ió n :

Ingreso actual: 300 000

Sean P el precio y N el número de artículos; entonces: Ingresos = P x N

1o Se Incrementa e n : -------x 300 000 = 30 000 100

Después:

Por concepto de bonificaciones 60 000, en tonces, su haber actualizado es 390 000.

P dism inuye en 4%; ahora tiene: 96% P y N aumenta en x%; ahora es: (100 + x)%N

Pero se descuenta: 5

x 390 000 = 19 500

Para que los Ingresos aumenten en 8 %

100

108 96 (100 + x ) Así: -¡zjg-x PN = j ^ - P x ... N 100 100 100

Entonces recibe: 390 000 - 19 500 = 370 500 soles

A r it m é t ic a ¡

Un m ayorista vende un producto ganando el 20% del precio de fábrica. Un distribuidor reparte estos productos a las tiendas de co mercio ganando una comisión del 15% del precio por mayor. La tienda remata el artículo haciendo un descuento del 10 % del precio de compra (del distribuidor). ¿En qué porcentaje se eleva el precio de fábrica del producto?

qo Luego lo vende en: x 110 000 = 99 000 M 100 Pedro gana 1000 soles más Ganancia total: S/.11 000 7.

R e s o lu c ió n : Sea PF el precio de fábrica El m ayorista vende en 120% PF al distribuir.

Un arquitecto ha previsto un recubrim iento de locetas circulares para una cierta pared. Si to das las locetas son ¡guales, ¿cuál es el m áxi mo porcentaje de área de la pared que puede ser cubierto con dichas locetas? R e s o lu c ió n :

El distribuidor vende en 115% (120% PF) a la tienda.

Gráficamente:

El tendero lo remata en (pierde 10%) 90% [115% (120% PF)j a locetas

Es decir; se vende en: 7?7ñx 7HRx W x P F = 124,2%PF 100 100 100 entonces, el PF se ha increm entado en 24,2%. 5.

E! presidente de un club de basketball obser va que por partido, en promedio, un tercio de las entradas se quedan sin vender, pero afir ma que todas las entradas se venderían si se rebajase en un 30% el precio de la entrada. Suponiendo correctas las hipótesis del presi dente del club. ¿Qué sucederá?

Largo: L = (2R)b; ancho: A = (2R)a Área de la pared: L x A = 4R2ab Área de cada loceta: tiR 2 Total de locetas: a x b Área cubierta por locetas: ab/iR 2 Nos piden: ~ ^ - 4 R 2ab = abitR 2

100

R e s o lu c ió n : Sea 3N el total de entradas y P el precio de la entrada.

x = 78,5%

1.° vende; 2N; queda: N

Hallar la cantidad de onzas de agua que se necesita para rebajar al 30% el contenido de alcohol de un frasco de loción de afeitar de 9 onzas, que contiene 50% de alcohol.

venta total: 2NP 2.° el nuevo precio es 70% P, entonces: venta total = (70% P)(3N) = 2,1 x NP

R e s o lu c ió n :

La recaudación aumenta.

Si hay 9 onzas de 50% de alcohol, entonces tiene:

Pedro tiene una casa que vale 100 000 soles y se la vende a Juan con una ganancia del 10%. Juan revende la casa a Pedro con una pérdida del 10 %, siendo así:

alcohol = 4,5;

agua = 4,5

Si aum entam os x onzas de agua, entonces, por dato: 30

R e s o lu c ió n :

-(9 + x) = 4,5

100'

Costo de la casa: 100 000 soles

3x = 45

Pedro vende ganando (10%) o sea en 110 000 Gana 10 000 Juan lo vende a Pedro, perdiendo 10% de su costo que es 110 000 .

Una persona pregunta en una tienda qué des cuento le pueden hacer sobre el precio de un repuesto, le responde que el 20 %; va a otra

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

tienda y compra el mismo repuesto con un descuento del 25%; ahorrándose así S/.35. ¿Cuánto costaba el repuesto?

R e s o lu c ió n : Cantidad

Ley

0,920 - \

635

r 0,835

R e s o lu c ió n : Lm = 0,835

Sea P el costo del repuesto En la 1.a tienda desct.: 20%

En la 2.a tienda desct.: 25% Ahorro: 5% 5

x P = 35

100

P = S/.700

10 . Para la construcción de un edificio se com pra ron ladrillos a S/.1200 el millar. Se inutilizan por diversas causas 3600 ladrillos equivalen tes al 0.1% del total comprado. ¿Cuánto se invirtió en la compra? R e s o lu c ió n :

835 85 ^

635 x

Al com prar en la segunda tienda ahorra:

13.

R e s o lu c ió n : Considerem os: Vino (1): x L; de S/.70 y

Entonces: 100

= 635 x 85 835

Se hace una mezcla de vinos de S/.70 el litro y S/.60 el litro, con agua; la mezcla tiene un pre cio de S/.50. Se sabe que la cantidad de agua es los 2/5 de la cantidad de vino de S/.60. ¿En qué relación está la cantidad de vino de S/.70 a la cantidad de vino de S/.60?

Por dato del problema:

0,1

Y_ 0,085

x = 64,64 kg

0,1 % T = 3600 T: total de ladrillos

Vino (2): 5V L de S/.60

T = 3600 '

1000

: 3600

T = 3 600 000; que es equivalente a 3600 mi llares.

Agua: -|(5 V ) = 2V de 0 soles Luego: 70x + 6 0 (5 V ) + 0 (2 V )

Como costo/m illar ladrillo = 1200 Costo total = 3600 x 1200 = S/.4 320 000

r 1—

5 0

70x + 300V = 50x + 350V 11.

¿Cuál deberá ser la pureza de alcohol que de berá añadirse a 80 litros de alcohol de 96% de pureza, para obtener un hectolitro de alcohol de 90% de pureza?

Recuérdese un hectolitro tiene 100 litros, en tonces para com pletar faltan solo 20 litros. Así: 80 x 96% + 20x%

100

= 90%

7680 + 20x = 9000

20 x = 1320 « x = 66 % 12.

x 5V

0,50

14. A 215 litros de un vino que importa a S/,0,40

R e s o lu c ió n :

grado medio

20x = 50V

¿Qué cantidad de cobre debe añadirse a una barra de plata que pesa 635 g y tiene 0,920 de ley, para que resulte una aleación de 0,835 de ley?

c/u, se añaden 5 litros de alcohol de a S/.2.50 el litro. En cuánto debe venderse el litro de la mezcla para ganar el 20 % sobre el precio de compra. R e s o lu c ió n : Tenemos: C, = 215 L

P-, = 0,40

C2 = 5 L

P 2 = 2,50

2 1 5 x 0 ,4 0 + 5 x 2 ,5 0

220 98,50

197

220 : 440

A r it m é t ic a |

Como gana el 20% sobre el Pm (que es. lo m is mo que Pc) D _ 120 ^ 197 Entonces. Pventa - 100 x 440 15.

: S/. 0,537

Si 30 litros de una solución contienen 12 litros de alcohol, ¿cuántos litros de agua debem os agregar para obtener una solución al 25%?

¿Qué porcentaje debo dism inuir a 450 para obtener el 10% menos de 400? a) 20%

b) 16%

c) 18%

d) 25%

e) 15%

En una sesión de m aestros se vio que el 65% trabaja en colegios nacionales, 220 en cole gios particulares y 2 0 % en colegios particula res y nacionales. ¿Cuantos eran en total?

R e s o lu c ió n : a) 400 d) 700

Si agregam os N de agua se obtiene:

OCO/

■= 25% 30+ N

16.

c) 600

b) 500 e) 800

48 = 30 + N =5 N = 18 L

Al com prar un artículo me hacen dos des cuentos sucesivos de 12 % y 2 0 %, de manera que ahorro $74. ¿Cuál era el precio original del artículo?

Un lingote contiene 5 kg de plata pura y 3 kg de cobre. ¿Qué cantidad de plata pura es pre ciso agregar a este lingote para fabricar mo nedas de plata de S/.5; cuya ley es 0,900?

a) $200 d) $280

30 + N

c) $320

Un futbolista ha hecho 30 goles en 75 par tidos. ¿Cuántos goles debe hacer en los 25 partidos siguientes para que su porcentaje de goles por partido aum ente en 5%?

R e s o lu c ió n : Tenemos: Ag = 5 kg Cu = 3 kg

b) $240 e) $250

J Ley = ^ = 0,625

a) 12

b) 15

c) 10

d) 16

e) 20

Luego: Cantidad (kg)

Leyes

0,275

Lm = 0,900

Indica si las siguientes afirm aciones son ver daderas (V) o falsas (F), respectivam ente: I.

a%(N) + b%(N) = (a + b)%(N)

II.

m %(N) - n%(N) = (m -n )% (N )

III. a (b % (N )) = (ab)%(N) V_ 0,100

0 ,6 2 5 _ / p

0,275

8 " 0,100

P =

a) V W F d) VFFF

100

e j e r c ic io s propuestos "

c) $170

b) $172 e ) $164

¿Qué número aum entado en 14% da como resultado 45,6? a) 42

b) 40

c) 36

d) 41

b) V V W e) VVFV

c) VFVF

Un terreno tiene 500 m 2 de área. Vendo el 20% de dicho terreno y luego el 38% del res to. ¿Cuánto usaré para sem brar arroz, si para este fin utilizaré la mitad de lo que me queda?

Vendí un artículo ganando el 24% del costo. ¿Cuál es el costo, si lo vendí a $217? a) $165 d ) $175

abMN 10 000

275x8

P = 22 kg

IV. a% (M ) b%(N) =

e) 38

a ) 248 m 2 d) 112 m 2

b) 124 m 2 e) 180 rn2

c) 62 m 2

El precio de lista de un artículo es $600. Al com prarlo me descuentan el 18% y para ven derlo gano el 18%. ¿A cuánto lo vendí? a) $590,25 d) $585,0

b) $600,00 e) $575,6

c) $580,56

¡ C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

10.

En un vaso preparo ron con gaseosa y limón, El 25% de la mezcla es ron y el 80% del vaso contiene líquido. ¿Qué porcentaje del vaso es limón, si este representa el 10 % del ron? a) 2% d) 1,5%

11.

-------------------------------------

b) 1% e) 2,5%

c) 0,5%

a) 11/10 d) 1/10

b) 300 e) 3000

a) Aum enta en 12% b) Dism inuye en 12%

a) S/.20 000 d) S/.19 700

c) Aum enta en 16% d) Dism inuye en 16% •

c) 900

12. Un com erciante decide vender un artículo, ga nando el 10%. Un cliente acude a com prar y solicita un rebaja de 10%. Si el com erciante le hace la rebaja solicitada, con lo cual pierde S/:200. ¿A cuánto se vendió el artículo? b) S/.19 800 e) S/.18 900

e) No varía 19.

b) 80,4% e) 84%

c)S /.1 9 000 20.

a) 480 L d) 350 L

b) 250 L e) 320 L

c) 300 L

15. La edad de Miguel aumentada en su 75% es igual a 63 años. ¿Cuál era su edad hace 7 años? a ) 36 años d) 30 años

b) 31 años e) 28 años

b) 6 %

c) 8 %

a) 75% d) 37,5% 22.

c) 29 años

d) 12%

b) 22,5% e) 67,5%

c) 15%

b) 25% e) 32,5%

c) 62,5%

En un aula el 63% del total de alumnos es de letras, el 2 % es de arquitectura y el resto es de ciencias. Si de los alum nos de ciencias, el 80% son varones, ¿qué porcentaje del total son m ujeres que estudian ciencias? a) 7 d) 28

b) 14 e) 35

c) 21

e) 7% 23.

17.

c) 24 398 u

21. Se compran dos latas iguales de leche para el desayuno. SI de la primera se consum e el 25% y de la segunda se consume el 50%, ¿Qué porcentaje del total de la leche com pra da queda sin consumir?

16. En una granja de aves, el 40% es de gallinas. Si se ha vendido el 20% de gallinas, ¿en qué porcentaje ha dism inuido el número de aves? a) 10%

b) 18 268 u e) 26 718 u

La dirección ha com prado dos tipos de tizas en iguales cantidades. Los profesores usan en clases 80% de un tipo y 75% del otro tipo. ¿Qué porcentaje de la cantidad total se quedó sin usar? a) 45% d) 30%

c) 81,2%

14. Un depósito está lleno totalmente. Si se ex traen 256 litros, su volumen dism inuye en 80%. ¿Cuál es el volum en total?

En un país la producción aumenta el 10% anual. Si en el año 1998 la producción era de 18 000 unidades, ¿cuál será le producción en el año 2001 ? a) 20 362 u d) 23 958 u

13. Al dictar mi clase de m atemáticas, en la piza rra dejo libre a cada extrem o el 5% del largo y el 4% del ancho. ¿Qué área efectiva de la pizarra uso? a) 78,6% d) 82,8%

c) 11/21

18. Si el largo de un terreno se acorta en 40%, y el ancho se Incrementa en 40%, ¿en qué porcentaje varía su área?

¿En cuánto excede el a% de b/3 al b% de a/4, si ab = 36 000? a) 30 d) 1000

b) 1/11 E) 7/11

Un número aum enta sucesivam ente en 20%, 25% y 40%. ¿En qué fracción debe dism inuir para regresar a su valor original?

De una cierta cantidad de dinero que tenía, me robaron el 12%. Si de lo que me quedaba presté el 25%, ¿Qué porcentaje del total de dinero que tenía antes del robo me quedará?

A r it m é t ic a |

a) 55% d) 62% 24.

c) 88 %

b) 400 L e) 200 L

c )1 6 0 L

SI se calcula el 75% de la suma de 1/4 de 256 con el 60% de los 2/3 de 400, resulta: a) 172 d ) 186

b) 168 e) 602

a) 25%

b) 20%

d) T %

c ) ( 1 ,2 )6a

e) 15,8%

c) 15,6%

30.

b) 24% e) 33,3%

Un vendedor logra colocar los 3/4 de su m ercadería en clientes fijos y un 1/8 en clientes eventuales. ¿Qué porcentaje de su m ercadería aún no ha colocado? a) 8 % d) 15%

tn w > < ü

c) 30%

b) 10% e) 16%

1. d 2. b 3. a 4. a 5. e 6. b

10. a 11 . a 12 . b

16. c 17. c 18. d

7. b

c) 12,5%

13. d

19. d

25. b

-Q

b) ( 1 ,2 )7a e) (0 ,2)7 a

b) 17,7%

d) 19.2%

a) ( 0 ,2 a )7 d) a + ( 0 ,2)7

a) 16%

a) 20% d) 33%

c) 30%

El costo de vida de un país sube cada mes en un 20%. Si en enero gastaba una cantidad a para vivir, ¿cuánto gastaré en agosto para vivir de la misma forma?

En un país el 35% d e ja población se encuen tra en la capital. En la capital el 6 % de las per sonas son analfabetos y en el interior el 24% de la población son analfabetos. Hallar qué porcentaje son los analfabetos con respecto al total.

29. Com pro un articulo en 240 soles y lo vendo a 312 soles. ¿ qué porcentaje del costo gané?

c) 206

26. Si al vender un articulo se gana el 50% del costo, ¿qué porcentaje del precio de venta se debe rebajar para ganar 25% del costo?

27.

28.

Se sabe que al extraer 40 litros de un depósito que estaba lleno hasta el 60%, queda reduci do al 50% de su capacidad. ¿Cuál es la capa cidad del depósito? a) 260 L d) 100 L

25.

b) 66 % e) 75%

14. e

26. e

9. c

15. c

20. b 21. c 22. a 23. b 24. b

27. b 28. b 29. c 30. c

INTERÉS - DESCUENTO REGLA DE INTERES

Identificación de los elementos •

Capital de préstam o (C). Llamado com ún mente capital, es la cantidad de dinero que su poseedor va a acceder en form a de préstam o para obtener ganancias. Tiem po (t). Es el periodo durante el cual va a ceder o im poner un capital. Para calcular el interés se considera generalmente:

acumula al capital. Con otro ejem plo práctico podem os observar un caso de interés simple y al m ismo tiempo deducir una relación entre los elem entos que intervienen. Ejemplo: Se depositó en un banco S/.4000 durante 3 años siendo la tasa anual de 10%. ¿Cuánto será el interés ganado y el monto obtenido? R e s o lu c ió n :

1 mes comercial tiene 30 días

C = S/.4000

1 año comercial tiene 360 días

t = 3 años

1 año común tiene 365 días

r% = 10 % anual

1 año bisiesto tiene 366 días

Cada año se gana: 10% (4000) = S/.400

Interés (I). Es ia ganancia o beneficio que produce el capital de préstamo, durante cierto tiempo.

Esquema

Tasa de interés (r% ) o rédito. Es la ganancia que se obtiene por cada 100 unidades m one tarias en una unidad de tiempo. Por ello se ex presa generalm ente como un tanto por ciento. i Ejemplo: •

5% m ensual, significa que por cada mes se gana el 5% del capital prestado.

•

2 1 % trimestral, significa que por cada tres m eses se gana el 2 1 % del capital.

•

Cuando no se indique la unidad de tiem po referida a la tasa, se asumirá una tasa anual.

Tasas equivalentes 4% bim estral

r% = 2 % mensual O

6 % trim estral 8 % cuatrim estral 12 % semestral 24% anual 30

% diario

Monto (M). Es ia suma recibida al final del pe ríodo y es igual al capital más el interés que genera el mismo. [M = C + 11 Clases de interés Interés simple. Es cuando el interés o ganan cia que genera el capital de préstam o no se

S/.4000 Interés:

S/.400

Luego al final de los 3 años se tiene: Interés = 400 + 400 + 400 Interés = 3[10% (4000)j = S/.1200 En general: Interés = Tiempo x Tasa x Capital No debem os olvidar que el análisis se hizo año por año, porque el interés se prestó con una tasa anual, lo cual nos da una idea que si las condiciones de tasa en que se prestó fue ran mensuales, el análisis se debería realizar en tiem pos mensuales. Las fórm ulas para calcular el interés simple son: C.r.t 100

t en años '

C.r.t

1200

, t en meses

C.r.t , t en días 36 000

Interés com puesto. Es cuando el interés que genera el capital prestado, se acumula al capi tal en intervalos de tiempo especificados. O b servamos el ejemplo pero en condiciones de un préstam o a interés com puesto o conocido también como un proceso de capitalización.

A r it m é t ic a |

Valor actual (Va). Es el valor que pagamos por un docum ento com ercial por hacerlo efec tivo antes de su fecha de vencimiento.

Ejemplo: Se presta un capital de S/.1000 durante 3 años a una tasa anual de 10 % y capitalizable anualmente. Calcula el monto obtenido.

Descuento (D). Es un beneficio para el deu dor por cancelar un docum ento comercial an tes de la fecha de vencim iento; está represen tado por la diferencia entre el valor nominal y el valor actual del documento.

R e s o lu c ió n : Observación: capitalizable anualmente signifi ca que después de cada año el interés produ cido se acumula al capital, siendo el monto ob tenido el nuevo capital para el siguiente año. S/.1100

S/. 1210

S/.1331

Capital S/.1000 I, = 10% (1000) l2 = 10% (1100) l3 = 10% (1210) l ,= S /. 1 0 0

i2 = S/.110

l3 = S/.121

El interés en los 3 años es: Interés

= s / 10Q + Q/ m

+ s / 1 2 1 = s / 331

com puesto Luego: Monto en general = 1000 + 331 = S/.1331 En general: M = (1 + r%)n. C Donde:

D = V n - V, •

Tiem po de descuento (t). Es el com prendido entre la fecha de negociación y la fecha de vencimiento.

Clases de descuento En la presente teoría consideram os dos clases de descuento según el capital que se asum e como re ferencia, si éste es el valor nominal se denom inará descuento comercial, si la referencia es el valor ac tual se denom inará descuento racional. Descuento com ercial (Dc). Es el interés que generaría el valor nominal bajo una cierta tasa durante el tiem po de descuento. También se le denom ina descuento externo o descuento abusivo, ya que la deducción de interés es sobre un valor futuro.

n nos indica el número de períodos de capitali zación contenidos en el tiempo de imposición.

Vn.r.t ^ Dr = —— ; t en anos

El período de capitalización determ ina las uni dades de la tasa y tiem po que se debe utilizar necesariam ente.

100

Vn.r.t t D„ = — ; t en meses

REGLA DE DESCUENTO

1200

Vn-r-t .

Identificación de ¡os elementos Letra de cambio. Es un docum ento de crédi to que se utiliza para resolver transacciones comerciales a plazo, en el cual una persona denom inada deudor se compromete (m edian te su firma y datos) a pagar el im porte a otra persona denom inada acreedor al cabo de cierto tiempo.

36 0 0 0 ’

t en días

Ejemplo: Tenemos una letra de cam bio de S/.540 que vence en 4 meses. Si hoy negociam os la letra a una tasa de descuento del 24%. ¿Cuánto es el valor del descuento comercial? ¿Cuánto nos pagarán por dicha letra?

•

Valor nom inal (Vn). Es el valor que asume un docum ento comercial para ser cancelado en una fecha determ inada, por tanto, va impreso o escrito con claridad en una zona destacada del m ismo documento. Fecha de vencim iento. Fecha lím ite que in dica el final del plazo para hacer efectivo el valor nominal de un docum ento comercial.

R e s o lu c ió n : Para hallar el valor que nos pagarán por la letra, es necesario, restar los intereses que corresponden a los 4 m eses siguientes, es tos intereses se han calculado a partir de un capital inicial, pero, en e! descuento comercia! se calculan del capital final que viene a ser el valor nominal.

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

calcula a partir del valor actual (cuyo yalor no es dato del ejemplo), entonces:

4 meses Por tanto, el cálculo de Interés será: f£ % 12

540

tasa de descuento

valor nominal

tiempo

S/,43,2

descuento (interés calculado del V„)

Finalmente, el valor efectivo del documento es: S/.540

valor nominal

S/,43,2

descuento

||%

VaR

tasa de descuento m ensual

valor actual racional

tiem po

S/.540

valor nominal

VaR valor actual racional

Luego: VaR = 500 Finalm ente el descuento racional es: D r = 540 - 500 = 40

S/,496,8

Resumiendo:

valor actual

VaR = S/.500 D r = S/.40

Resumiendo:

Vac = S/.496,8 Dc = S/,43,2

Podemos concluir que: ~Dr = r% Vart = V „ - Var

Podemos concluir que: Var: valor actual racional r% V nt = V n - Va[ Vac: valor actual comercial El descuento comercial es proporcional al tiem po de descuento. Descuento racional (Dr). Es el interés que generaría el valor actual de un docum ento co mercial a una tasa de descuento y durante el tiempo de vencimiento. También se le denom ina descuento interno o descuento m atemático.

Com parando los resultados de los dos ejem plos se tiene que: Com ercial

Racional

Descuento:

S/.43,2

S/.40

Valor actual:

S/,496,8

S/.500

Observación: Los descuentos han sido aplicados a la m is ma letra y a tasas ¡guales para un mismo tiem po de descuento. Propiedades de la regla de descuento

Vart D, = —— ; t en anos

100

Vart D r = —2— ; t en meses 1200

En este segmento del capítulo planteam os algunas propiedades que surgen a partir de la comparación de los resultados obtenidos en los cálculos relati vos al descuento comercial y al descuento racional de una misma letra a tasas y tiem pos ¡guales.

(Descuento interno o m atem ático) Dado que V n > Va, entonces: Dc > Dr V ,rt D r = — 2— ; t en días r 36 000

Ejemplo:

adem ás Vac < Var La diferencia de valores actuales (comercial y racional) es igual a la diferencia de sus des cuentos.

Tenemos una letra de cam bio de S/.540 que vence en 4 meses. SI hoy negociam os la letra racionalm ente a una tasa del 24%. ¿Cuál será su valor actual? ¿Cuánto vale el descuento racional?

Es posible calcular el descuento racional a partir del valor nominal de un descuento (como verem os). Sabem os que:

R e s o lu c ió n :

Dc = r% V n t

...(a)

En este caso tam bién restaremos del valor nominal los intereses pero, ahora el interés se

Dr = r% Var t

...((3)

Vsr - Vac = Dc - Dr

Restando (p) de (a):

A r it m é t ic a |

D=1 == 200 < 5% <2 => D c1 = 20 = 225 > 5% x 4 - d c2 = 45 ° c2

Dc - Dr = (Vn - Var) r% I Dr

Letra de Lolo

200

180

Luego, reem plazando el Dc por su equivalente en la expresión anterior.

Letra de Tito

225

180

r% Vnt ~ Dr = Drr% t

Com param os resultados y notam os que hoy el va lor de cada letra es S/.180 por lo cual se pueden Intercam biar sin beneficio ni perjuicio de Lolo o de Tito.

O btenemos: Dc - Dr = Drr% t

r% Vnt = Dr (1 + r% t) y obtenemos: Vnr%t

1 + r%t Luego, la expresión obtenida en (3) la m ultipli camos por el V n.

V e n c im ie n to co m ú n . Es un caso particular que se presenta en un cambio de letras con las siguientes condiciones: 1. Se reem plazará un conjunto de letras de cam bio por una sola. 2.

El valor nominal de la letra reem plazante es igual a la suma de los valores nominales de las letras reemplazadas.

Todas las letras son descontadas comerclalmente y a una misma tasa.

V n (Dc - Dr) = Dr r% tV n Dc y obtenemos: "

Dc - Dr c y ia ta .': .................... —

C a m b io de le tra s. Es usual que un deudor no pueda cum plir con sus obligaciones (por diversos motivos), es por esto que tratará de replantear sus pagos m odificando los montos y los plazos en acuerdo con el acreedor. También se presenta la figura en la cual el acreedor (tenedor de la letra) canjea ésta por otra u otras con distintas caracte rísticas.

Dc > Dr pues: V n > Va De donde: Vac > V n- Dc; Var > V n - Dr

2. i

Recordem os que el valor nominal de un docum en to es el valor que se pagará en la fecha de venci•m iento, pero hoy el valor de cada letra es menor, calculemos los valores actuales: Como la tasa es mensual podem os considerar el tiem po en número de meses.

;

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

Tanto la tasa como el tiempo, deben ser ; cantidades que no hagan al descuen- j to una situación absurda. Por ejemplo j el tiempo no puede ser 200 años, 500 I años, etc.

E je m p lo :

R e s o lu c ió n :

„

y de aquí: Var > Vac

Para ello es necesario que a la fecha del canje los valores de los docum entos (valores actuales) reem plazados y reem plazantes sean equivalentes.

Lolo tiene una letra de S/.200 que vence dentro de 60 días y Tito tiene otra letra de S/.225 que vence dentro de 120 días. Si ambos intercam bian sus le tras, ¿quién de ellos se perjudica? Considere que se aplica en ambos casos una tasa de descuento del 5% mensual.

-----------

¿Cuál es la suma que al 5% de interés simple anual se convierte en 3 años en 3174 soles? R e s o lu c ió n : Datos: r = 5%; t = 3 años M = 3174 C + I = 3174

C+

=3174 100

— on C = 3174 =A C = 2760

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Carlos Impone los 4/7 de su capital al 4% y el resto al 5% y resulta un interés anual de S/.3100. Diga cuál es la suma im puesta al 4%. R e s o lu c ió n : Sea C el capital •

Coloca y C al 4% .

4xC x4x 1 7x100

Coloca | c

16 ^ 700

Un capital de S/.40 000 estuvo im puesto du rante un cierto número de años, meses y días. Por los años se cobró el 5% anual, por los me ses el 4% y por los días el 3%. Calcular la utili dad producida por dicho capital sabiendo que si se hubiera tenido im puesto durante todo el tiem po al 5%, habría producido S/.3840 más que sí hubiera colocado todo el tiem po al 3%. R e s o lu c ió n : Considerem os un total de t días. Por dato del problema:

al 5%

ls% ~ b% = 3840 I?

3C x 5 x 1 _ 15 ( 7 x 1 0 0 ” 700

4 0 000 x 5 x t - 40 000 x 3 x t = 3840 36 000

Por dato:

4 0 0 0 0 x 2 x t = 384Q ^ t = .|728 días 36 000

I, + l 2 = 3100

es decir: t = 4 años, 9 m eses y 18 días

16rC + 4 Í r C = 3100 700 700 -3 L ( 700

: 3100

Luego, nos piden, 40000x5x4 100

C = 70 000

El valor nonimal de una letra es los 4/5 del va lor de la otra. Se han descontado com ercial mente al 4% la primera por un mes y 16 días y la segunda por 3 meses. El descuento de esta fue de S/.20,50. ¿Cuál fue el descuento de la otra?

^meses ”f Idías

= 8000 + 1200 + 60 = 9260 soles

Al 4% se colocó: y x 70 000 : 40 000 3.

laños

4 0000x4x9 , 40000x3x18 1200 + 36 000

El monto de un capital im puesto durante

8 años es S/.12 400. Si el mismo capital se hubiera Impuesto ai m ismo rédito durante 9 años, 6 meses, el monto sería S/.12 772. ¿Cuál es el capital? R e s o lu c ió n : Para el primer monto: 12 400 soles

R e s o lu c ió n :

Cx rx 8

12 400 soles ...(1)

Considerem os V n = 5V„, entonces

M, = C +

Vn = 4Vn

Para el segundo monto: 12 772 soles

Por condición: D C2 = ■ 5V„ x 4 x 3 1200

1200

100 C x r x 9 ,5

= 20,50

100

= 12 772

(2 )

Restando (2) - (1), se obtiene: = 20,50

Vn = 410 C x r (9 ,5 - 8 ) ■= 12 7 7 2 - 12 400

100

De aquí deducimos: V n = 1640 Vn, x r x t Luego: Dc =

1,5

100

( C x r) = 372 => C x r = 24 800

36 000 Reem plazando en (1):

1640x4x46 D C1= 36 000

C +

DCl= 8,38 soles

C + 1984 = 12 400

24 800 x

100

12 400 C = 10 416 soles

A r it m é t ic a |

Calcular el valor nominal de una letra, sabien do que su descuento comercial es 388,25 so les y su descuento Interno 385 soles.

R e s o lu c ió n : Por dato se sabe que:

Carmelo tiene una peluquería hipotecada y anualm ente tiene que pagar el 6 % de su va lor. Dicho pago lo hace con los intereses que le produce un bono de $75 000 al 4%, donde estos intereses están sujetos a un descuento del 20%. Determ inar el valor de la hipoteca.

Dc = 388,25 y Dr = 385 a) $35 000 d) $50 000

Adem ás por propiedad: ^ .

Dc x D r

3 8 8 ,2 5 x 3 8 5

n “ Dc - Dr

3^25

e j e r c ic io s

de cierto tiempo. ¿Cuál es este, sabiendo que expresado en años es igual a la mitad del tanto por ciento al cual se impuso el capital?

b) 3000 e) 3300

b) 82 000 e ) 9000

b) SI. 1550 e) S/.6000

c) 80 000

c) S/.3000

c ) 6 años

b ) 5 años e ) 10 años

Determ inar a qué tasa mensual debo im poner mi dinero, sabiendo que tengo S/.1200 y den tro de 8 meses debo com prar un artefacto que actualm ente cuesta S/.1400 y que al cabo de dicho tiem po su precio aum entará en un 20 %. a) 5% d) 15%

b) 10% e) 17,5%

c) 12%

8 . Un capital im puesto a una tasa mensual du rante cierto tiem po produce S/.1800 más que si se hubiera Impuesto a una tasa semestral num éricam ente igual a la anterior. ¿Qué in terés se hubiera producido si la tasa fuera anual?

c )3 1 0 0

Una persona posee S/.45 000, una parte la coloca al 36% anual y el resto al 35%. Si las tasas a las que están im puestas se perm uta ran, al térm ino de un año se produciría S/.50 m ás de interés. Hallar la diferencia entre los intereses anuales. a) SI. 1000 d) S/.5000

a ) 4 años d ) 7 años

c) 5400

Un capital se tiene Impuesto al 4% anual de interés simple. Al final del prim er año se re tiran los intereses y adem ás otro tanto como los Intereses, al final del segundo año se repi te la misma operación y se observa que el ca pital ha dism inuido en S/.6272. Hallar el valor del capital original (en soles). a) 71 000 d) 89 000

b) 5200 e) 6800

Un capital produce un cierto Interés al cabo de un tiem po en el cual se observa que la di ferencia entre el capital y el Interés equivale al 42% de dicho capital. ¿Qué interés produce un capital de S/.30 000 en la tercera parte del tiem po anterior y con una tasa 50% menor? a) 2900 d) 3200

C alcular el interés que producirá S/.1600 de positado durante 2 años al 25% trim estral ca pitalizadle semestralmente. a) 5100 d) 6500

PROPUESTOS

c) $45 000

6 . Un capital aumenta la mitad de su valor al cabo

V n = 45 992,69 soles [ "

b) $40 000 e) $55 000

a) S/.160 d) S/.195 9.

b) S/.175 e) S/.200

•

c)S /.1 8 0

El gráfico corresponde al m onto (M) obtenido en función del tiem po (t) a partir de un cierto capital im puesto a interés sim ple con una tasa de r% anual. Calcular: a + b + c + r

¡ C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

10.

El monto obtenido al im poner un capital duran te 8 meses es S/.24 800. Si el mismo capital se hubiera impuesto a la misma tasa durante 9 meses y 15 días el monto sería S/.25 544. Hallar el capital (en soles). a) 18 350 d) 21 540

b) 19 900 e) 22 345

15.

c) 20 832

a) 13 16.

11.

Determ inar el tiem po al que fue im puesto un capital a una tasa de 60%, sabiendo que el capital, interés y monto más capital forman una proporción geométrica continua, donde la media proporcional es el Interés. a) 35 m eses c) 38 meses e) 40 meses

12.

b) 37 meses d) 39 meses

a) 20

b) 21

c) 22

d) 23

14.

b) S/.102 000 d) S/. 106 000

Ullses quiere com prar una guitarra, pero le falta tanto como lo que tiene, así que decide comprarla dentro de 10 meses, por lo que deposita lo que tiene en un banco al 15% se mestral y después de 4 meses deposita S/. 115 más. Si cuando retira todo su dinero, el precio se había increm entado en 20 % de su valor, pero a pesar de ello logra comprarla sin tener excedente. Hallar el precio final de la guitarra. a) 276 d) 380

d) 300 e) 408

c) 360

b) 14

18.

c) 15

d )1 6

e )1 7

Un capital se impone al 40% anual durante 3 años, de manera que cada año se reciben las ganancias y la mitad de ellas se suman al capi tal. Si al final del tercer año se recibe S/.100 800, ¿cuál fue el capital depositado? a) 40 000 d) 48 000

b) 42 000 e) 50 000

c) 45 000

Cada año se deposita SI. 160 000 en una cuenta bancaña que produce 5% de interés semestral y con el mismo periodo de capitalización, ¿qué capital se tendrá inmediatamente después de haberse efectuado el tercer depósito? a) 502 120 d) 528 460

e) 24

13. Se tiene S/.306 000 divididos en 3 partes pro porcionales a los números a; b y c; las cuales al ser colocadas a la tasas de (a + 1 )%; (b + 2 )% y (c 4 3)%, en ese orden, al cabo de un año generan m ontos proporcionales a a2, b2 y c 2 respectivamente. Hallar la mayor de las partes en que fue dividida la cantidad inicial. a) S/. 100 500 c) S/.103 000 e) S/.110 000

. 17.

Dionisio se presta $42 000 al 10% de interés mensual sobre el saldo deudor de cada mes. El prim er y segundo mes no se am ortiza nada, pero el tercer y cuarto mes se paga una m is ma cantidad igual a N dólares. Hallar N para que la deuda quede cancelada al cuarto mes; dar la suma de sus cifras.

Un capital de abcOO dólares es colocado du rante 10 meses a una tasa de 9,6%, siendo el monto, interés y capital proporcionales a 27, b y c2. Hallar a + b + c, si se sabe además que el monto fue a(b + c)c 00 dólares.

b) 517 464 e) 530 881

c) 525 734

Edy va al banco y pide un préstamo por una cierta cantidad al 8 % anual y 4 meses más tarde pide otro préstam o por otra cantidad pero al 5% anual. Cinco meses después lo que entrega al banco por capitales e Intereses producidos por cada préstam o son iguales, determ inar el valor del prim er préstamo. a) 450

b) 480

c) 520

d) 640

e) 720

19. Un capital de S/.175 200 fue im puesto al 30% anual de interés simple durante 7 m eses se guidos. Determ inar cuál fue el primer mes de im posición si se sabe que con el año común habría un beneficio extra de S/.300 con res pecto al interés que se obtendría consideran d o el año comercial. a) Mayo d) Agosto 20.

b) Junio c) Julio e) Septiem bre

Se deposita S/.3125 en un banco a una tasa de 20%, capltalizable anualmente. Si el inte rés total generado fue S/.3355, determ inar el tiem po que estuvo depositado dicho capital. a) 2 años d ) 5 años

b) 3 años e ) 6 años

c) 4 años

A r it m é t ic a I

21.

financiera de Gran Caimán la cual le da un beneficio de 8,2% anual. Luego de 11 años el monto originado por ambos capitales es el mismo. Calcular a + b + c + x + y + z.

Una persona por error im pone su capital al 5% durante 4 años a interés simple, debiendo im ponerlo al r% de Interés com puesto durante el mismo tiempo, perdiendo de esta manera el 546/625 de su capital. Hallar el valor de r. a) 15

b) 20

c) 25

d) 35

a) 20 27.

23.

b) SI. 1600 e) S/.1800

24.

25.

b) 5%

b) S/.95 000 d) S/.98 000

c) 7%

d) 9%

29.

e) 11%

b )S /.1 0 3 960 d) S/.108 050

26. Vladlm iro deposita abcOOO dólares en un ban co de Ginebra que le paga 7,3% anual, y otro capital de xyzOOO dólares lo coloca en una

b) 150 400 e) 178 560

e) 24

c) 152 400

b) 10 000 e) 18 000

a) 6000 d) 12 000

30.

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

Un cierto capital se impone a un plazo fijo de t meses al r% anual de Interés simple y cuando ha trascurrido un tiempo igual al 60% del tiem po que falta, la tasa aumenta un 20 % de su valor, obteniéndose una tasa aumenta un 20 % de su valor, obteniéndose una tasa efectiva que es x% mayor que r. Hallar el valor de x. a) 10,5

tn Lü > < j

c) 11 000

Se im pone un capital C a interés simple de la siguiente manera: el prim er mes al 5% m en sual, el segundo mes al 6 % mensual y así su cesivam ente durante n meses. Hallar n si al cabo de ese tiempo se produjo un Interés que es Igual al 45% del capital C. a) 5

Hace 3 años una persona depositó cierta suma de dinero al 10 % semestral capitalizable anualm ente y con el dinero acumulado hoy ha com prado una casa que planea ven der en S/.220 320 con una ganancia del 20% sobre el precio de venta. ¿Cuál fue el interés obtenido? a) S/.74 256 c) S/.105 920 e) S/. 110 980

d) 23

28. Al dividir un capital en tres partes, se im pone la primera al 3% bimestral, la segunda al 12% semestral y la tercera al 1% mensual. Anual mente producen el mismo Interés y además se sabe que el total Invertido es de S/.26 000, obtener la m ayor de las partes.

Hace 8 m eses se Impuso cierto capital, cuyo monto actualm ente es S/.4650. Si dentro de un año el monto será S/.4875, hallar la tasa anual de imposición. a) 3%

c) 22

Un capital de $72 000 es dividido en 9 partes, siendo las 8 primeras: 1/2 1 / 6 ; 1 / 12 ; 1 / 20 ; ...; 1/72 de dicho capital, las cuales son im pues tas durante un año al 0,4% diario, y el resto se Impone tam bién durante un año a! 15% men sual. Determ inar el monto total obtenido. a) 150 480 d) 156 800

c) SI. 1640

Un negociante recibe anualm ente una ganan cia de S/.20 000 que proviene de dos de sus negocios que le producen Intereses que están en la relación de 2 a 3. Si las tasas de interés son 16% y 18%, respectivam ente, hallar la di ferencia de los capitales em pleados en cada negocio. a) S/.90 00 c) S/.96 000 e) S/.100 000

b) 21

e) 40

22. Tito se presta cierta cantidad, com prom etién dose a pagar el 5% de interés m ensual capltalizable bim estralm ente. Si el primer pago de S/.1430 lo realiza al cabo de 2 m eses y cancela sus adeudados meses después con S/.363; ¿a cuánto ascendía el préstamo? a) SI. 1200 d) S/.1740

b) 11

c) 12

d) 12,5

e) 15

1. d 2. a

7. a

13. c

19. c

25. a

8. c

14. a

26. a

3. c

9. d

15. a

4. b 5. b 6. e

10 . c 11 . e 12. d

16. e 17. e 18. a

20. c 21. b 22 . b 23. e 24. b

27. e 28. d 29. b 30. d

NUMERACIÓN - CONTEO NUMERACIÓN

Es parte de la aritm ética que se encarga del estu dio de la correcta form ación, lectura y escritura de los números. Número. Es un ente m atem ático que nos permite cuantificar los elem entos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad. Numera!. Es la representación sim bólica o figura tiva del número m ediante determ inados símbolos o guarismos. E j e m p l o : | | |, ^ , 3

Por ejemplo, si la base es 10 (en ese caso se dice que el sistema de num eración es decimal) y quere mos representar el siguiente conjunto de unidades sim ples en dicho sistema.

Se em pieza agrupando las unidades en el orden

0 y cada 10 unidades se va pasando al orden 1 . Órdenes 1

Cifra (dígito). Son los sím bolos que convencionalmente se utilizan en la form ación de los numerales y estos son: 0; 1; 2; 3; ... Sistem a posicional de num eración. Es el con junto de normas, leyes, principios, reglas y conve nios que nos perm iten la correcta form ación, lectu ra y escritura de los números. Principios fundam entales De! orden. Toda cifra que forma parte de un num e ral ocupa un orden determ inado, el cual se indica de derecha a izquierda, por ejem plo el numeral: 7

Cifra

Orden

0 6

textualm ente direm os que se tiene veintiséis uni dades y de acuerdo al orden decim os que se tiene: 6 unidades de orden 0

o también

2 unidades de orden 1

Órdenes 5 9

Utilizando las cifras para formar el numeral tendremos: Orden

Ahora expresam os las unidades sim ples en el sis tem a de numeración de base 5. 2

'~'v

Aplicación 1 ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual se cum ple que su cifra de tercer orden está ocupando el cuarto lugar? De la base Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para form ar una unidad del orden inm ediato superior.

•

A r it m é t ic a |

Este proceso podem os reducirlo un poco más, para hacerlo práctico, así:

Utilizando las cifras, tenemos: Orden

39LA.

V @

(5) textualm ente direm os que se tiene uno, cero, uno en el sistema de base 5 y de acuerdo al orden:

L_5_

Luego: 39 = 124(5, Conclusiones

1 unidad de orden 0

0 unidades de orden 1 1 unidad de orden 2

Toda cifra que forma parte de un numeral es un número m enor que la base. Así en el sistema de base n se pueden utilizar n cifras diferentes las cuales son:

Podemos resum ir el proceso del siguiente modo (para ello nos valem os del sistema decimal el cual conocem os más). El proceso consiste en Ir agrupando las unidades de acuerdo a la base en cada orden, luego:

A m ayor numeral aparente le corresponde m enor base.

SI: 143(n) = 53(kj

Como: 143 > 53

[_5_

significativas II.

|_5_

Queda Pasa

máxima 0; 1; 2; 3; ...; (n - 1)

Entonces: n < k Sistem as de numeración más usuales

Base

Nom bre del sistema

Queda Pasa

3 4 5

Binarlo Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonarlo Decimal Undecimal Duodecimal

.-. 2 6 = 101 (5)

6 7

SI se tuviera 39 unidades y se desea expresarlo en base 5 (se sobreentiende que es el sistema de numeración). 2

[_5_

Queda Pasa

7 2

L A 1

8 9

10 11 12

Cuando las cifras a utilizar superan a 9 convenclonalm ente se utilizan letras m ayúsculas para su representación, es así que: cifra

10 11

Queda Pasa

2 39 = 124(6)

4 Ejemplos: A5B C 3(15,

letra

O o o

A B C

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

o el numeral 87534 Indica el valor de sus ci-

Significa que se tiene: 3 unidades de orden 0 C = 12 unidades de orden 1

Valor absoluto (VA)

Cifra

B = 11 unidades de orden 2

4 3 5 7

5 unidades de orden 3 A = 10 unidades de orden 4 Del valor de las cifras. Toda cifra que form a parte de un numeral tiene dos valores.

Valor absoluto (VA). Por la cantidad de unidades sim ples que representa.

Cifra

4 3 5 7

unidades unidades unidades unidades 8 unidades

Valor relativo (VR)

4 3 5 7

Valor relativo (VR). Por el orden que ocupa en el numeral. Vamos a determ inar cuántas unidades sim ples tie ne una unidad en cada orden.

4 3 5 7

unidades unidades unidades unidades 8 unidades

de de de de de

orden orden orden orden orden

0: 1: 2: 3: 4:

4 3 5 7

x x x x 8x

10° 10 1 10 2 10 3 10 4

Para el numeral 714653(9), indica el valor de sus cifras.

En base 10 3

103

102

x 10

■*

orden

'.10

Cifra

3 5

3x9° 5 X 91 6 x 92 4 x 93 1 x 94 7 X 95

4 1 7

1 1 unidad

contiene la siguiente canti dad de unidades simples

de orden

0 1 2

1 = 10 ° 10 102 103

En base 7 3

Representación literal de los números Cuando no se conocen las cifras de un numeral estas se representan m ediante letras minúsculas, teniendo en cuenta que: I. Toda expresión entre paréntesis representa una cifra. II.

La cifra de mayor orden debe ser diferente de cero.

III.

Letras diferentes no necesariam ente indican cifras diferentes, salvo que lo señalen.

< ------orden

Ejemplos:

Un numeral de dos cifras en base 10.

1 unidad de orden

contiene la siguiente cantidad de unidades simples

0 1 2

1 = 1°

simples simples simples simples simples

7 72 73

ab t {10; 11; 12; ...; 99} Un numeral de tres cifras en base 7. xyz(7) e { 100 (7); 10 1 (7)1 102 (7); ... 666 (7)} (a - 3)(a + 2)(2a - 1)(g) •

— 1 )(n

abab(k)

— 1 ) (n)

A r it m é t ic a |

Numeral capicúa

999 = 103 — 1

Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son ¡guales.

99 ...9 = 10k - 1

Ejemplos:

k cifras

3223; 454,8,; 66 ,7,; aba,^) • Descom posición polinómica de un numeral

7,8, = 8 - 1 77(8, = 82 - 1

Sim ple. Es la suma de los valores relativos de las cifras que conform an dicho numeral.

777,8, = 83 - 1

Ejemplos:

77 ... 7(8, = 8 k - 1

415 = 4 x 102 + 1 x 1 0 + 5

k cifras

723(8) = 7 x 8 2 + 2 x 8 + 3 5142,7, = 5 > 7 3 + 7 2 + 4 x 7 + 2

B a s e s su c e s iv a s :

13,n, = n + 3 En general: abcde,n) = an 4 + bn 3 + en2 + dn + e Por bloques Ejemplos: 3143,5)

1513(n) = n + 3 + 5 '

12i5i3,n) = n ' t ' 3 + 5 + 2 Luego: 17.,

=k + 2 + 5 + 3 + 2 + 7 13

= 31,5) x 5 2 + 4 3 ,5)

12m

24351,7) = 24(7) x 7 3 + 35(7) X 7 + 1 454545,e) = 45,6) x 64 + 45,8, x 62 + 45,6) abab,n, = ab(n, x n 2 + áb,n)

En general: 1a

Cambios de base en los sistemas de numeración

= n + a + b + c + ... + x

1b_ 1c 'ÍX(n)

Prim er caso: de base n a base 10 Procedimiento: descom posición polinómica Ejemplo: 543,6,

= 5 x 62 + 4 x 6 + 3 = 207

C a n tid a d d e n u m e ra le s co n c ie rta c a n tid a d d e cifra s

¿Cuántos números de 3 cifras existen en el siste ma de base 10; y base 7?

Segundo caso: de base 10 a base n Procedimiento: divisiones sucesivas

Base 10: sea el numeral abe abe 6 {100; 101; 102; ...; 999}

Ejemplo: Representar 298 en el sistema quinarlo.

Cantidad de numerales: 999 - 99 = 900 Luego: 102 < abe < 103 Base 7: sea el numeral xyz x y z e (100,7); 101,7); 102,7); ...;666,7)) Cantidad de numerales: 666,7,

- (1 0 0 ,7 ,- 1) = 294

Luego: 72 < xyz < 73 Propiedades: Num eral de cifras máximas: 9 = 10 - 1 99 = 102 — 1

En general: SI N,b, tiene k cifras, se limita del siguiente modo: bk_1 N,b, < bk

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

C asos e s p e c ia le s en lo s c a m b io s de base de lo s s is te m a s de n u m e ra c ió n

-> n .“ de térm inos =

P rim e r ca so : de base n a base n \ k e

44; 51; 58; ...; 2438

— — = ^95. _ 235 3 3

Procedimiento: • '

El numeral se descom pone en bloques de k cifras a partir de! orden cero. Cada bloque se descom pone polinóm icam ente y el resultado es la cifra en la nueva base.

= ^ 0 1 = 343

=» n.° de térm inos =

Cantidad de cifras de una serie natural Dado la sucesión:

E je m p lo :

1; 2 ; 3; 4; 5; (N - 1); N

Expresar 120221 (3) en el sistem a nonario.

N numeral de k cifras, entonces:

R e s o lu c ió n : Como 9 = 32 cada bloque debe tener 2 cifras. 12

1 /3 + 2

0x3 + 2

2x3 + 1

.-. 120221 (3) = 527,9,

=> n.° de cifras = (N + 1)k - 11...111 k cifras Ejemplo: ¿Cuántas cifras se usan en la numeración de un libro de 350 hojas? R e s o lu c ió n : 350 hojas = 700 páginas

S e g u n d o c a so : de base nk a base n, k e Z + Procedimiento: Cada cifra del numeral genera un bloque de k cifras. Las cifras de cada bloque se obtienen me diante las divisiones sucesivas. E je m p lo : Exprese 547(9) en el sistem a ternario. R e s o lu c ió n : Com o 9 = 32 el bloque debe tener 2 cifras. 5

5 | 3 2 1

4 L3_ 1 1

7 L3_ 1 2

La numeración es: 1; 2; 3; 4; ...; 700 n.° cifras = 701 x 3 - 111 = 2103 - 111

547(9) = 121121(3,

n.° cifras = 1992 M étodo com binatorio Ejemplos: ¿Cuántos números pares de 3 cifras existen? ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras tie nen un solo 6 en su escritura? ¿Cuántos números de la forma a(a + 3)(b - 2)(b + 1) existen? R e s o lu c ió n : abe

•

a bc b a

100

106

212

324

6 8

6 6 —►se excluyen

C 0 N T E 0 DE NÚMEROS

Fórmula para hallar el número de térm inos en una progresión aritmética. n.° de _ último térm ino - anterior al primero térm inos ~ razón E je m p lo s : Determ inar el número de térm inos en: 24; 27: 30; ...; 726 3

9 9

9 " x l0 " x 5 = 450 a(a + 3)(b 1 2

2 3

6 6

- 2)(b + 1)

8 x

7 = 42

8x9x

A r it m é t ic a j

¿Cuántos números de 3 cifras, se escriben con un 8, con 9 y alguna otra cifra diferente de las anteriores?

R e s o lu c ió n : Lo que van a recibir las personas, son poten cias de 7: 7o: 71; 72; 73; ... Entonces, 1 000 000 lo expresamos en base 7.

R e s o lu c ió n :

Asi:

casos: 8 9a

iy9

8 a 9

a 8 9

8 x

Te-

T éT

u -

+ 3X72+ 1 x 7 + 1

T x

Cantidad de números: 46

N.° de personas = 1 + 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 16 3.

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

Hallar la representación binaria del número 100 del sistema decimal.

Un número está form ado de dos cifras cuya suma de los valores absolutos es 9. Cuando se invierte el orden de ías cifras se obtiene un segundo número que excede en 9 ai cuádrupio de! primero. ¿Cuál es este número? R e s o lu c ió n : Sea ab ei número, por dato.

R e s o lu c ió n :

1.° a + b = 9

Cam bios de base:

2.° ba = 4 x ab + 9

1 0 0 -v base (2)

Per descom posición polinómica:

Por divisiones sucesivas:

10b + a = 40a -+- 4b + 9 6b = 39a + 9 Reem plazando b = 9 + a, se obtiene: 54 - 6a = 39a + 9 45 = 45a ~ a = 1; b = 8 .-. El numeral es 18 4.

¿Cuál de las siguientes expresiones, dadas en sistemas de numeración distintos repre senta e! número mayor?

Se desea repartir S/.1 000 000 entre un cierto número de personas de tal m odo que lo que

I. 4 3 ¡6) IV. 24(9)

i!. 212,3, V. 10,25)

III. 10 110,2;

R e s o lu c ió n :

les corresponda sea S/.1; S/.7; S/.49; S/.343; etc. y que no más de 6 personas reciban la misma suma. Determ inar cuántos fueron los

Expresando cada uno de ios numerales en base 10, tenemos:

beneficiados.

43(5) = 4 x 5 + 3 = 23

I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

II.

212(3) = 2 x 32 +

III.

10 110,2)= 1 x 24 + 1 x 2 2+ 1x 2 = 22

IV. 24(9) = 2 x 9 + 4

= 22

0 = 25

lOps, = 1 x 2 5 +

R e s o lu c ió n :

1 x 3 + 2= 23

Los núm eros que cumplen la condición, son todos los números de tres cifras (900) menos los núm eros de 3 cifras que tienen todas sus cifras pares o todas sus cifras Impares,

Respuesta: V 5.

todas pares

* Escribiendo en base 11 el número 1 010 011 del sistema binario, se obtiene:

a b e 2 0 0 4 2 2 6 4 4 8 6 6 8 8_______ 4 x 5 x 5 = 100

R e s o lu c ió n : Tenemos: 1.° 1 0 1 0 011 (2) —>

2.° b a se 1 0

—> base 11

2.° Por divisiones sucesivas: (7 )

Hallar la suma de 0,2 04 6 (7) + 0,13(5)en base 6.

Hallando la generatriz de cada sumando: -

83 = 76(11)

2046 ,7) 0 ,2 04 6 ,7) =

6666 (7 ) 13,5)— 1

El número 133 1e n base x es un cubo perfecto si y solo si: I. x II. x III.x IV.x

es es es es

° ’ 1 3 <3> = ^

8 7 10 entero m ayor que 3

10 7

= á j

Sum am os 0,2046 (7) + 0,13 (5) A + _L = 0,65

Pasando a base 6

R e s o lu c ió n

65x6

Por dato: 1331 (x) = k3

90 x 6

Por descom posición polinómlca:

40x6

x3 + 3x2 + 3x + 1 = k3 (x+1)3

b e 1 1 3 3 5 5 7 7 9 9 5 x 5 = 125

R e s o lu c ió n :

83 ¡_11_ (6 )

a 1 3 5 7 9 5 x

Cum plen la condición: 900 - 225 = 675

1.° Por descom posición pollnómica: 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 2 + 1 = 83 (base 10)

todas impares

40x6

= k3 Periódica

.-. x > 3

0,65 = 0,352,6) 7.

Si N = 2(17)4 + 4(17) + 2(17)3 + 26

N = 2(17)4 + 4(17) + 2(17)3 + 26

El núm ero abed es m últiplo de 8 y cuando se cam bia al sistem a de num eración de base 8, el últim o cociente es 6; el penúltim o residuo es 6 y el últim o residuo es 7. H allar la sum a de a + b + c + d.

N = 2(17)4 + 2(17)3 + 0(17)2 + 4(17) + 1 7 + 9

R e s o lu c ió n :

N = 2(17)4 + 2(17)3 + 0(17)2 + 5(17) + 9

Por dato:

¿cómo se escribe el número N en base 17? R e s o lu c ió n : Tenemos el numeral:

N = 22059(17) 8.

¿Cuántos núm eros de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo me nos una cifra impar?

10.

abed

A r it m é t ic a |

a) 13 d) 18

• ábcd = 6760(8) abcd = 6 x 83 + 7 /. 82 + 6 x 8 abcd = 3072 + 448 + 48

abcd = 3568 a + b + c + d = 22 11.

100

Hallar el sistema de numeración que utiliza el ganadero.

c) 17

SI: abab(n) = 850, hallar: (a + n) a) 21 d) 32

Al responder una encuesta, un ganadero es cribe en la ficha lo siguiente: n.° de toros: 24 n.° de vacas: 32 Total de cabezas:

b) 15 e) 19

b) 27 e) 35

c) 29

En un corral hay abO patos, aOb pavos y aab gallinas. La diferencia entre patos y pavos es 9; además el número de gallinas excede en 11 al de patos. ¿Cuántas aves hay en el corral? a) 632 d) 902

b) 745 e) 982

c) 856

R e s o lu c ió n : Sea n la base del sistema de numeración, en tonces:

24(n) + 32(n) = 100(n) 2n + 4 + 3n + 2 = n2

La suma de un número de 2 cifras con su in versa es 132. Hallar el menor valor del pro ducto de los números. a) 18

b) 20

c) 22

d) 27

e) 32

6 = n2 - 5n 6(1) = n(n - 5)

n = 6 12. A es el conjunto de los números de 2 cifras en base 7; B es el conjunto de los números de 3 cifras en base 4. Hallar el número de elem en tos que tiene la Intersección de A y B.

Un número de 3 cifras diferentes sumado con su inversa es b(2b)b. ¿Cuántos valores puede to mar la suma de las unidades con las centenas? a) 1

R e s o lu c ió n : En base 7:

En base 4: Se tiene: 100(4); ...; 333(4) Luego:

A n B = {16; 17; 18; ...; 48}

b) 38

c) 42

d) 45

e) 48

b) 12

c) 14

d) 16

e)18

Si se sabe que: a0ab(6) = bb(2b)

a) 1 e j e r c ic io s

e) 5

¿cuántos valores puede tom ar b?

.-. n (A n B) = 33 ["

d) 4

Si 2a6n(8) = ab65(r,), hallar a + b + n. a) 10

B = {1 6 ; 17; ...; 63}

c) 3

El menor número de 4 cifras de base n se ex presa como a1b en el sistema decimal. Hallar (a + b)n. a) 35

Se tiene: 10(7); ■■■i ®^(7) A = {7; 8; ...; 48}

b) 2

c) 3 ’

d) 4

e) 5

PROPUESTOS 1 [ 10. Se cumple que:

El numeral E D G A en el sistema hexadeclmal, ¿cuántos ceros tiene en el sistema binarlo? a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 10

2b02(n) = b00b00b0(a) = nna(2r,) De tal manera que a yji^ son números pares consecutivos, además aa + nn = 66. Hallar abn en el sistema nonario.

Hallar el mayor número de tres cifras, que sea Igual a 55 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras.

A) 257 D ) 527

B) 572 E ) 725

C ) 275

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

11.

Si se sabe que: a0a0a(x) = aaa(y)

19.

hallar la razón entre y y x2. a) x + 1 d )1 12.

b) 1/4 e) y

c) 0,5

En un sistema de numeración se cumple que el mayor número de 3 cifras es igual a 57 ve ces la m ayor cifra del sistema de numeración. ¿Cuál es la base de este sistema? a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

a) 123 d) 143 20.

e) 9

13. Edy tiene ab soles pero al escribir invierte el orden de las cifras, obteniendo una cantidad que excede en 5 al doble de lo que tiene. ¿Cuánto le queda a Edy si pierde 3 soles en una apuesta? a) 10 14.

b) 13

c) 16

d) 19

En la siguiente progresión, hallar el vigésim o término.

b) 132 e) 114

c) 235

La diferencia de un número de 3 cifras con el número con las cifras invertidas del número original es 6xy, adem ás se sabe que la suma de las cifras de las unidades y las centenas es 9. Hallar la suma de las cifras del número mayor. a) 12 d) 18

e) 28

123(n); 128(n); 132(n); ...

Un número capicúa de 3 cifras en base 4, es igual a otro número capicúa de 3 cifras en base 5, si la suma de las cifras m ayores es 7. Hallar el número en el sistem a senario.

b) 14 e) 21

c) 15

1. c

5. d

9. d

13. a

17. e

2. d

6. b

10. a

14. b

18. c

3. b

7. e

11. d

15. c

19. e

4. a

8. c

12. c

16. a

20. d

[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS 2 l

a) 241 (n)

b) 1AA(n)

d )A A 1 (n)

e) 8A9(n)

c )A 1 A (n) 1.

15. Si 1010(101 ) = 3F2(16); hallar: x + 2 (*) a) 2

b) 3

c) 5

d) 7

¿Cuántos números se pueden escribir con las cifras 0; 2; 4; 6 y 8, de tal manera que sean m ayor que 400 y m enores o igual que 8000? a) 376 d) 450

e) 13

b) 390 e) 472

c)421

16. Si ab + 1 = 1414l4(s); hallar: a + b 2. a) 10

b) 12

c) 18

d) 15

e) 14

¿Cuántos números diferentes entre sí se pue den escribir en el sistema senario;.de tal ma nera que tengan 4 cifras? a) 100 d) 400

hallar: n - a a) 6 18.

b) 10

c) 13

d) 15

e)19

Un número se convierte a 2 sistem as de nu meración cuyos números son 454 y 353 en bases consecutivas. Hallar la suma de las ci fras del número en el sistema decimal. a) 8 d) 12

b) 6 e) 15

c) 10

c) 300

¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo m enos una cifra 7 en su escritura? a) 252 d) 302

b) 200 e) 500

b) 264 e) 316

c) 285

¿Cuántos números pares de 3 cifras se pue den escribir en el sistema octal? a) 250 d) 330

b) 224 e) 350

c )3 1 0

A r it m é t ic a |

a) 90 d) 150

¿Cuántos núm eros de 4 cifras que sean pares se pueden escribir en el sistema heptal y en el sistema senario? 14. a) 185 d) 257

b) 203 e) 305

c) 246

En qué sistem a de numeración hay 3840 nú meros de 3 cifras diferentes entre sí. a) 10

b) 12

c) 13

d) 15

b) 224 e) 307

c) 256

En qué sistema de numeración se utiliza 1470 cifras para escribir todos sus capicúas de 5 cifras. a) Binario d) Heptal

b) Terciario e) Octal

c) Senario

16.

10.

d )2 9

e) 35

b) 4

c) 6

d) 7

e) 8

b) 25

a) Q uinario d) Octal 18.

d) 32

c) 27

e) 36

d) 32

b) Senario e) Nonario

e) 36

c) Heptal

¿Cuántos números capicúas Impares de 5 ci fras existen? a) 200 d ) 500

b) 300 e) 600

c) 400

19. ¿Cuántos números de la forma

SI se cum ple que: aba(n) + aba(n +

c) 27

17. En 2 sistem as de numeración uno de los tér minos tiene 42 números capicúas de 3 cifras más que el otro. Hallar el sistema de base me nor si la suma de las bases es 15.

Los números de la form a (a - 1)(2b)abc exce de en 28 núm eros a los números de la forma (a + 1)(b/2)abc (n). Hallar n. a) 2

11.

c) 3

b) 49

¿Cuántos números de 3 cifras existen en base 8, en donde una cifra se repite exactam ente 2 veces? a) 21

¿Cuántos números pares de la form a

b) 20

c )3 1 0

¿Cuántos números de la forma a(a - 2)b(6 - b) existen en el sistema nonario? a) 21

a(a/2)b(b + 6) existen en el sistem a octal? a) 12

b) 302 e) 327

e)17

¿Cuántos núm eros de 4 cifras significativas (sin el cero) tienen por lo menos una cifra par y una cifra im par en el sistema quinario? a) 195 d) 278

c) 120

¿Cuántos números existen al sum ar números de 3 cifras que term inan en 3 en la base 5 con los núm eros de 4 cifras que term inan en 5 en la base 7? a) 207 d) 314

15. 7.

b) 100 e) 180

+ aba(n +2) = 38 números.

(a + 3)(b/3 + 2)(a - 2)(b

+ 5)c existen?

a) 100

d) 40

b) 32

c) 36

e) 45

Hallar la suma total de las cifras de los números. 20. a) 114 d) 142

b) 119 e) 175

c) 127

12. ¿Cuántos números de 3 cifras tiene solam en te 2 cifras cinco en el sistema hexadecim al? a) 2950 d) 3150 13.

b) 3005 e) 3270

c )3 1 2 0

¿Cuántos números pares de la forma (a/2)(a)(b)(a + 5)c hay?

¿Cuántos números pares capicúas de 5 cifras existen cuya cifra central es siem pre impar en el sistema decimal? a) 100 d ) 400

b) 150 e) 800

c) 200

1. d

5. c

9. c

13. b

2. c

6. e

10. d

14. d

17. b 18. d

3. a

7. b

11. a

15. b

19. a

4. b

8. d

12. d

16. c

20. c

CUATRO OPERACIONES INTRODUCCIÓN

Dado el conjunto A = {2: 3; 4}; el conjunto producto A x A = {(a; b) / a g A a b g A ) }

consideran criterios ló g ico -m a te m á tico s o arbitra rlos y que pueden presentarse m ediante una tabla de doble entrada:

=* A x A = {(2; 2): (2; 3); (2; 4); (3; 2); (3: 3); (3; 4); (4; 2); (4; 3); (4; 4)} Incluye relaciones binarias tales como: R, = {(a; b) / a = b} => R-i = {(2; 2); (3; 3); (4; 4)}

En este ejem plo podem os expresar la operación (*) en form a genérica para dos elementos: a y b a *b = a

R2 = {(a; b) / a > b} => R2 = {(3; 2): (4: 2); (4; 3)} R 3 = {(a ; b ) / a < b } =» R3 = {(2; 3); (2; 4); (3: 4)}

Definición: Dado un conjunto no vacío A, una ley de com po sición Interna en A es cualquier función de A x A en A. *: A x A ^ A

R4 = {(a: b) / a + b = par} -

a , = «2; 2); (2; 4): (3; 3): (4: 2); (4; 4)}

LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA

Considerem os el conjunto no vacio A = {2; 3}, si a cada par de elem entos que pertenecen al con junto A se hace corresponder otro elem ento que pertenece al mismo conjunto, se dice que hemos establecido una ley de composición interna en A. Nótese que las parejas que se pueden form ar con los elementos de A son pares ordenados dei con junto A x A. A x A = {(2;2); (2; 3); (3; 2): (3: 3)} Ahora, si m ediante cierta condición que represen tamos con (*) asignam os un único elem ento a cada par tendremos: *)

(

(2; 2) —> (2 * 2) = 2 operación

También se le denom ina operación binaria en A ya que relaciona dos elem entos de dicho conjunto. Se entiende que si m e A y n e A, entonces existe un único p e A tal que m * n = p. OPERACIONES BINARIAS

La adición es una operación binarla, la cual es representada m ediante la ayuda del sím bolo + y asigna a cada pareja de elem entos un tercer nú mero como resultado de la operación. 2 y 3^ ' i j pareja de elem entos

— operación

¿+_ 3 _ numeración asignado como resultados

Si utilizamos el concepto de par ordenado, podemos expresar la noción anterior de la siguiente forma: (2; 3)

(+ )

2 + 3^

par ordenado

operación de adición

resultado (considere el orden)

(2: 3) -> (2 * 3) = 2 (3; 2) -> ( 3 * 2 ) = 3 (3; 3) — (3 * 3) = 3 Par ordenado

Elemento asignado

*: es el operador matemático Entonces hemos determ inado la operación interna "asterisco" para definir la característica principal de la ley u operación que produce el resultado; se

Sin embargo es usual que la expresem os así: 2

(+ )

primer elem ento

3 segundo elem ento

operador elemento de la adición

5 resultado

A r it m é t ic a |

En el caso de los sistem as de números, para res petar la term inología tradicional, usarem os sim ple mente la palabra "operación" en lugar de "opera ción binaria" que a fin de cuentas es una "ley de com posición interna". Se denom ina conjunto de los números naturales al conjunto: IN = {0; 1; 2; 3; ...}

SUSTRACCION

Dados dos números naturales a y b se llama dife rencia de a y b y se denota (a - b) al número natural D, si existe, tal que a - b = D. Se denomina sustrac ción a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números (a; b) su diferencia (a - b). Ejemplo: ->■ diferencia 34

ADICIÓN

Dados dos números naturales a y b se llama suma de a y b y se denota (a + b) al número natural S, tal que a + b = S. Se denom ina adición a la opera ción que se hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a; b) su suma a + b.

21 = 13 — — ► sustraendo ------------- >■ m inuendo

Sustracción en otros sistem as de num eración

Ejemplo:

3 + 5 + 9 =17

Halla la diferencia de los siguientes números:

Sum andos

432(5) y 143(5)

Sum a

Adición en otros sistem as de numeración Ejemplo:

R e s o lu c ió n : Se disponen los térm inos de manera vertical, para trabajar de acuerdo al orden:

Halla la suma de 4 35(7); 164(7) y 416 (7) R e s o lu c ió n : Los sum andos son colocados en form a vertical para efectuar la operación de acuerdo al orden que ocupan sus cifras. b

sumandos

5(7)

4(7)

6(7)

< - orden

Suma:

minuendo

2(5,

sustraendo

3(5)

+- orden

diferencia Trabajarem os en forma ordenada: O rden

Procedim iento C o m o a 2 no se le p ue de dism inuir en 3 lo q u e se h ace es reg resa r al orden 1 una ve z

la base (es decir 5). Luego: 5 + 2 = 4 (q ueda )

Procedimiento

Orden 0

5 + 4 + 6 = 1 5 = 2> 7 + 1 | queda se lleva 3 + 6 + 1 + 2 = 12 = 1 x 7 + 5 | queda se lleva 4 + 1 + 4 + 1 = 10 = 1 x 7 + 3 j queda se lleva

Luego se tiene que:

C o m o se ha reg resa d o 1 v e z la base, quiere decir que en este orden se tien e ahora 3 - 1 = 2 , pero a 2 no le pod em os dism inuir 1

en 4, luego el orden 2 regresa m o s una v e z a la b as e (es decir 5) 5 + 2 -4

= 3 (q u ed a )

A q uí se ten ia 4 vec es la base, com o reg resa 2

m os una v e z la b as e aqu í quedó. 4 - 1 - 1

= 2 (q u ed a )

Al final se tiene que: 435, 164, 416, 1351

432, 143, 234,(5)

¡ C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Analizando se llega a ¡a siguiente conclusión: abc,k) cba(k)

= x + z = y = k -1

xyz(k!

E jem p lo s:

COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA) Se denom ina com plem ento aritm ético de un núm e ro natural a la cantidad que le falta a dicho número para ser igual a una cantidad del orden Inmediato superior, a su cifra de m ayor orden. E je m p lo s : 1.

Halla el CA de 748: 5136 y 30 479 R e s o lu c ió n : I.

3 t

~o 7 2

21 0

—

o ~ ir 4 8 5 2

-—

orden

CA(748) = 252 N.

4 3 1 0 5 4

Form a práctica para calcular el C A de los núm eros

A partir del menor orden se observa la primera cifra significativa, la cual va a dism inuir a la base y las demás cifras dism inuyen a la base menos 1.

2 1 0 0 1 3 8 6

0 0 6 4

orden -

9 (7

9 4

10 8) = 252

9 (5

9 1

9 3

10 6) = 4864

9 (7

9 0

10 4

0) = 2960

8 (2

8 1

9 8,9)) = 671(9)

6 (3

6 5

5 4 3 2 1 0 1 0 0 0 0 0 3 0 4 7 9 6 9 5 2 1

Dados dos números naturales a y b, se llama pro ducto de a y b la cual se denota ab al número natu ral P, tal que ab = P. Se denom ina m ultiplicación a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números na turales (a; b) su producto a x b Ejemplos: 1 1 5 x 1 2 = 180 í| ' producto 1

—

orden

multiplicador multiplicando

<—

CA(30 497) = 69 521 2.

0(7)) = 3160,

MULTIPLICACIÓN

CA(5136) = 4864 ML

7 1

Halla el C A d e los números: 53(7); 218(9)

m ultiplicando m ultiplicador

-----*• 5 2 — ► ____________ g_

productos

parciales

{

3 3

producto final — ► 3

4 7

1 4 ___4_______ 5

1 0

R e s o lu c ió n : I.

2 1

1 0 0 0(7, 5 3 (7) — r ^ 7)

—

orden

Multiplicación en otros sistemas de n u m e ra ció n Ejemplo:

—

Efectúa 243(7) x 36(7, Procedim iento

C A (5 3 (7)) = 14(7) II.

3 2 1 0

1 0 0 Ojg) —

6 7

<—

orden

.«—

8 í9)

1 (9|

CA(218(9)) = 671(9)

Los térm inos son colocados en la forma siguiente, para efectuar ¡a operación de acuerdo al orden que ocupan sus cifras: 2

•*—

orden

3(7) >

_—

multiplicando

67>

-«—

multiplicador

A r it m é t ic a |

Adem ás: 104 = 11 (9) + 5

R e s o lu c ió n : Para la cifra de orden 0 del multiplicador: 6 x 3 = 18 = ( 2 ) x 7 + ( 4 ) . — L

queda

7 + 0 -.

queda

30 |_ 5 _

se lleva

6 x 2 + 3 = 15 = 0 x 7 L

CLASES DE DIVISIÓN

Exacta. (Residuo = 0)

se lleva

6 x 4 + 2 = 26 = 0 x

algoritmo de la división

+ 0

queda

30 = 5(6)

0 D = d x q

se lleva Inexacta. (Residuo + 0)

Para la cifra de orden 1 del multiplicador: 3 x 3 = 9 =

(T) x

7 + ( 2)

x 7 + @ L

3 x 2 + 1= 7 = 0

—

75 = 11(6) + 9

queda

se lleva

75 [_I1_

75 jjT I_

se lleva

3 x 4 + 1 = 13 = 0

Exceso

Defecto

queda

75 = 1 1 ( 7 ) - 2

En donde: 9 + 2 = 11

x 7 + @

queda En general:

se lleva

multiplicando m ultiplicador

3(7) 3(7)

productos

parciales

A l 1

producto final

Exceso

Defecto

Al final se tiene que:

4,(7) 4,(7)

DIVISION

D [_ d _

D I¡_____ d

r* q + 1

D = dq + r

D = d(q + 1) - r *

Donde: r + r* = d Propiedades de la división inexacta

Dados los números naturales a y b # 0 se llama co ciente de a y b, se denota a/b o, al número natural c, si existe, tal que a = be. Se llama división a la operación que hace corres ponder a ciertos pares (a; b) de núm eros naturales su cociente a/b.

Cero < residuo < divisor

Residuo m ínimo = 1

Residuo defecto + residuo exceso = divisor

Residuo m áximo = divisor - 1

EJERCICIOS RESUELTOS

E je m p lo : Divida 104 entre 11 1.

R e s o lu c ió n : dividendo (D) L - * 104

divisor (d) | 11

R e s o lu c ió n :

99 5 residuo (r) — f

Una botella vacía pesa 425 gram os y llena de agua pesa 1175 gramos. ¿Cuántas botellas sem ejantes serán necesarias para vaciar en ellas el contenido de un barril de 225 litros?

t _ cociente (q)

Pbot

= 425 g

425 + Pagua = 1175 g => Pagua = 750 g

¡ C o le c c ió n E l P o s t u l a n t e

Pero: 225 L = 225 000 g

R e s o lu c ió n :

Luego: n.° de bot. = 225 000 = 300 750

Considerem os A el sueldo del padre y B el sueldo del hijo, entonces: 14A + 24B = 1 1 8 ^ 7 A + 12B = 59 ...(1)

Dos personas deben hacer un mismo recorri do de 28 km. La primera está a pie y hace 5 km

21A + 19B = 143

por hora, la segunda a caballo y hace 12 km por hora. Si la primera parte a las 5 a. m. ¿A qué hora deberá partir la segunda para llegar

36B - 19B = 177 - 143

...(2)

Luego: 3 ( 1 ) - ( 2 ) 17B = 34 => B = 2 soles A = 5 soles

al mismo tiempo a su destino?

A - B = 3 soles

R e s o lu c ió n : La persona que viaja a pie emplea:

28 km = 28 h 5 km 5 La persona que viaja en caballo emplea: 28 km = 7 h 12 km 5

La suma de 4 números diferentes es 24; la suma de los 2 mayores es el doble de la suma de los 2 menores; la suma del menor con el mayor es igual a la suma de los otros 2 núme ros. Hallar la suma de las diferencias del mayor con el menor y de los intermedios mayor con menor. (Suponer que M es el número mayor). R e s o lu c ió n :

Para que ambas personas lleguen al mismo tiempo; el que viaja en caballo debe salir:

Por condición se tiene: a < b < c < M

( t Í- = ttt h = 3 h 16 min, después del \ 12 3/ 1o

a + b + c + M = 24

otro: o sea a las 8 h 16 min. 3.

...(2)

a + m = b + c

...(3)

De (1) y (2):

Se ha pagado una deuda de 265 soles, con m onedas de 5 y de 2 soles. El número de mo nedas de 2 soles es mayor que el de 5 soles en 17 m onedas. ¿Cuánto suman las m onedas de 2 y de 5 soles?

a + b = 8 ; c + M = 16 Luego: (M - a) + (c - b) = (M + c) - (a + b) (M - a) + (c - b) = 1 6 - 8 (M - a) + (c - b) = 8

R e s o lu c ió n : Como hay 17 m onedas más de 2 soles, hacen un total del 17 x 2 = 34 soles. Es decir, 265 - 34 = 231 se pagan con igual número de m onedas de 5 y 2 soles. O sea 231

7 33

Luego: hay 33 m onedas de 5 soles y 50 mo nedas de 2 soles. En total 83 4.

...(1)

c + M = 2 (a + b )

Un obrero trabajó durante 2 meses con su hijo en una misma fábrica. El prim er mes, por 14 días del padre y 24 del hijo recibieron S/. 118; el segundo mes por 21 días del padre y 19 del hijo recibieron S/.143. ¿Cuál es la diferencia de jornales diarios del padre y del hijo?

Dos jinetes corren en un hipódrom o de 90 m de circunferencia y en el mismo sentido. El primero que tiene 18 m de adelanto corre con una velocidad de 2,90 m/s, y el otro 2,54 m/s. Calcula la suma de las distancias recorridas hasta su encuentro. R e s o lu c ió n : El primero tiene adelantado 18 m, por tanto para alcanzar al otro debe superar 72 m; además en cada segundo supera 2,90 - 2,54 = 0,36 m. Luego, por regla de tres Tiempo (s)

Adelanto

0,36

t t = 1x

72 0,36

t = 200 s

Finalmente:

R e s o lu c ió n :

distancia (1 ,°) = 2,90 > 200 = 580 m

De: abe - cba = 1dg

distancia (otro) = 2,54 x 200 = 508 m

Por propiedad: d = 9

distancia total = 1088 m

Entonces: abe - cba = 198

r it m é t ic a

= 8

de donde: a - c = 2 7.

Ei producto de dos números im pares es 925. Si se divide el número m ayor entre el menor se obtiene un cociente 1 y residuo 12. Halla dichos números.

y como: a + c = 12 ^ a = 7 A C = 5 Luego: a + 2c = 7 + 2(5) = 17 11.

R e s o lu c ió n : Sean a y b los números:

El co cie n te de dos núm eros es e x a cta m e n te 7, y su p ro d u cto es 50 575. ¿Cuál es el m ayor?

Por dato: R e s o lu c ió n :

a x b = 925 a | b 12

Por dato del problema: a = 7b

=> a - b = 12

Además:

a x b = 50 575

De (1) y (2): a = 37; b = 25

7b2 = 50 575 8.

Se divide el número 927 entre 22. ¿Cuál es el producto de la cantidad máxima en que pue de aum entarse el dividendo de manera que el cociente no varíe, por el nuevo residuo que se genera?

b2 = 7225 b2 = 852 => b = 85; a = 595 12.

Un cierto número m ultiplicado por 2, por 3 y por 7, da tres nuevos números cuyo producto es 55 902. ¿Cuál es este número?

R e s o lu c ió n : R e s o lu c ió n : Tenemos: 927 122 3

Sea el numeral N

Por dato:

Por propiedad el resto m áximo es 21, es decir, la m áxima.cantidad de aumentarse al dividen do es 18.

42N 3 = 55 902

Luego: 1 8 x 2 1 = 378

N3 = 113 =>N = 11

Un_ núm ero de tres cifras abe es tal que abe - cba = mn3. Si se sabe que la cifra de las decenas es igual a la suma de las otras dos cifras. Hallar: a2 + b2 + c2

(2N)(3N)(7N) = 55 902 N3 = 1331

13.

El dividendo de una cierta división es 1081. SI el cociente y el residuo son iguales, y el divisor es el doble del cociente, ¿cuál es el divisor?

R e s o lu c ió n :

De: abe - cba = mn3, por propiedad m = 6 y n = 9: entonces:

Por dato del problema: 1081 |2 q

abe - cba = 693 (b = a + c)

a - c = 7 (tanteo)

1081 = q(2q + 1) 23 < 47 = q(2q + 1)

= b= 9

=» b= 11 (falso)

q = 23 d = 2q = 46

Luego: a2 + b2 + c2= 82 f 92 + 12 = 146 14. 10. Si abe

- cba = 1dg y

calcula: a + 2c

q => 1081 = (2q)q + q

a + c = 12

La diferencia de dos núm eros es 64 y la divi sión del m ayor entre el menor da cociente 3 y por residuo 18. ¿Cuál es el mayor?

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

R e s o lu c ió n : a - b = 64

a ...(1)

=> a = 32b + b

a = 33b - 1

...(2)

Reem plazando (2) en (1):

=4 a = 3b + 18

33b - 1 + b = 611

...(2)

34b = 612

Reem plazando (2) en (1):

b = 18 =4 a = 593

3b + 18 - b = 64

Luego: a - b = 575

2b = 46 b = 23 A a = 87 15.

| b

b - 1

a [b __ 18

...( 1 )

a + b = 611

Sean a y b ios números (a > b)

18.

La suma de dos números es 74 y su cociente 9, dando de residuo 4. ¿Cuál es el número menor?

La suma de tres números es 24. El cociente de dos de ellos es 3 y la suma de éstos divi dido entre el tercero es Igual a 5. ¿Cuál es el tercer número? R e s o lu c ió n :

R e s o lu c ió n :

Por dato:

Sean a y b los números (a > b) a + b = 74

=4 a = 9b + 4

...(1)

^ = 3 =4 A = 3B B

...(2)

...(1)

a | b 4

A + B + C = 24

...(2)

16.

74 - b = 9b + 4

Reem plazando (3) en (1):

70 = 10b => b = 7; a = 67

5C + C = 24 =4 C = 4

En cierto número m enor que 100 el cociente de la cifra de ias decenas entre la de las unidades es 3 y el residuo es 1. SI la suma de las cifras del número es 9. ¿Cuál es su diferencia?

19.

R e s o lu c ió n : Por condición del problema: D [_ d _

Por dato: ...(1)

a [_b_ 1 3 => a = 3b + 1

Sum ando el dividendo, el divisor, el co

ciente y el residuo se obtiene un total de 336. ¿Cuál es el dividendo?

Sea ab el numeral a + b = 9

...(3)

En una división, el cociente es 8 y el residuo 20.

R e s o lu c ió n :

=4 D = 8 d + 20 (d > 20)

( 8 d + 20) + d + 28 = 336 9d = 288 « d = 32

3b + 1 + b = 9

Luego:

4b = 8 =4 b = 2: a = 7

D = 8 x 32 + 20 = 276

a - b = 5 La suma de dos números es 611, su cociente es 32 y el residuo de su división el más grande posible. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos números?

D + d + 8 + 20 = 336

.. (2)

Reem plazando (2) en (1):

17.

= 5 => A + B = 5C

Reem plazando (2) en (1):

[" 1.

e j e r c ic io s p r o p u e s t o s

T ]

Calcule la suma de cifras de la siguiente adición:

8 + 98 + 998 + ... + 999...998

R e s o lu c ió n : Sean a y b los números (a > b)

50 cifras

A r it m é t ic a |

a) 47 d) 50 2.

b) 48 e) 51

c) 49

11.

Calcula: A = 22,(3) a) 111(3) d )1 1 0 0 3

¿Cuántas cifras tiene el menor número escrito en base 13, cuya suma de cifra es 169?

T 11(3) b ) 1 1 0 (3 ,

C) 1 0 0 ,3 ,

e) 1000 ,3,

12. Calcule el valor de S, si: a) 15 d) 16 3.

b) 14 e) 18

c) 13

S = 5 + 8 + 13 + 20 + ... + 229 a) 1300 d ) 2040

Calcula (a + b + c) si:

b) 1640 e) 1240

c) 1500

a la + a2a + ... + aaa = 8bc1 13. Si (a + b + c)2 = 225, calcule abe + bea + cab a) 17 d) 20

b) 18 e) 21

Calcule n s ¡:1 + 2 + 3 + 4 + a) 20 d) 80 5.

Calcula (n/2), si: 2 + 4 + 6 + a) 40 d) 50

b) 80 e) 20

Calcula (n + 1), si: 1 + 3 + 5 + 7 a) 15 d) 30

b) 40 e) 90

b) 225 e) 16

c) 19 a ) 1665 d ) 1666

c) 1565

+ n = 3240 c) 60

14. La suma de 15 números im pares consecuti vos es 525. Calcule el prim er número impar en dicha suma. a) 19

+ n = 1640 c) 60

c) 23

d) 25

e) 17

15. La suma de 15 números pares consecutivos es 510. Calcule el último p a re n dicha suma. a) 48

- n = 225 c) 29

b) 21

16.

b) 50

c) 52

d) 46

e) 44

En una división la diferencia entre el divisor y el resto es 4. Si el cociente es 12 y el dividen do más el divisor es 80, hallar el dividendo.

Calcula (n + 1)2 s i: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n = 225 a) 69 a) 15 d) 225

b) 29 e) 900

x + y + z = 13. a) 1540 d ) 1666

b) 1509 e) 1556

c) 1607

Si (a + b + c)2 = 144, calcula abe + bea + cab. a) 1332 d) 1232

b) 444 e) 1222

b) 65

c) 74

d) 72

e) 79

c) 30

Calcula E = 1xy + x6z + yz4 + zyx, si:

b) 1555 e) 1556

c) 1333

17. En una división inexacta el cociente es 15 y el resto 9. Si el dividendo se aumenta en 100 y se vuelve a dividir, se obtiene 13 por residuo y 27 por cociente. Hallar el dividendo original. a) 129 d) 135

b) 120 e) 150

c) 140

18. ¿Cuántos números de tres cifras existen tales que al dividirlos entre 21 den un residuo que es el doble del cociente? a) 38 d) 42

b) 39 e) 45

c) 40

10. Si ( V á T b T c ) 2 = 16, calcula: abe + bea + cab + abe + cab + bea a) 1666 d) 3542

b) 1776 e) 3552

c) 3452

19. En una división por defecto, al residuo le falta 7 unidades para ser m áximo y será m ínimo al restarle 29. Hallar el dividendo si el cociente es ia tercera parte dei resto.

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 360 d ) 370

b) 390 e) 400

c) 290

27.

20. En una división dos números enteros positivos se obtiene 7 por residuo y 15 de cociente. Si el dividendo excede al divisor en una cantidad igual al quíntuplo del residuo, hallar el divisor. a) 36 d) 25 21.

b) 37 e) 41

c) 39

En una división inexacta la suma de los tér minos es 1073. Si se triplica el dividendo y el divisor, la suma de los tres térm inos es 3153. Hallar el cociente. a) 40 d) 22

b) 30 e) 33

a) 351 d) 350

a) 27 d) 85 29.

c) 11

23.

b) 7

d) 12

b) 11 e) 15

b) 12

c) 14

tn tii > < j ü

c) 74

b) 12 e) 25

c) 27

1. c

7. e

2. a

8. c

13. a 14. b

20. b

26. e

3. b

9. a

15. a

21. e

27. c

4. d 5. a 6. d

10. e 11. b 12. a

16. c 17. a 18. b

22. e 23. e 24. e

28. d 29. e

19. b

25. c

[ " ejercicios PROPUESTOS_2_ 1.

Un núm ero es tal que m ultiplicado por 2, por 3 y por 7, da tres núm eros cuyo producto es 72 576. ¿Cuál es el núm ero? a) 12 d) 15

e) 18

b) 50 e ) 112

a) 20 d) 23

c) 12

d) 16

c) 352

La suma de 2 núm eros es 1069, su cociente es 13 y el resto 61. Calcular la suma de las cifras del mayor.

e) 10

En una división, el cociente es 14, el divisor es el doble del cociente y el residuo el máximo posible. Hallar la suma de cifras del dividendo. a) 10

26.

c) 9

En una división inexacta el divisor es 38 y el residuo es el triple del cociente. Hallar el m áxi mo valor que puede tom ar el dividendo y dar la suma de cifras. a) 10 d) 13

25.

c) 50

En una división inexacta, la suma de los tér m inos es 130. Si duplicam os el dividendo y el divisor, la suma de los cuatro térm inos resulta ahora 270. Hallar el cociente. a) 5

24.

b) 35 e) N. A.

b) 349 e) 500

28. Al sum ar dos núm eros se obtiene 112 y al di vidirlos se obtiene 3 como cociente y 4 como residuo. Hallar el mayor de ellos.

22. Si al dividendo y al divisor de una división inexacta de residuo 14 se le m ultiplica por 5, ¿cuál es el nuevo residuo? a) 10 d) 70

En una división inexacta él divisor es 13 y el cociente 27. Hallar el dividendo si el residuo es mínimo.

b) 14 e) 18

c) 6

El producto de un número capicúa de 4 cifras por 23 term ina en 11. Halla la suma de sus cifras. a) 20 d) 28

b) 24 e) 32

c) 30

3. Halla laúltima cifra del producto: ¿Cuántos números enteros m enores que 300 P = 2(2 + 1)(22 + 1)(22 + 1 )... (2n + 1) pueden ser dividendo de una división cuyo co ciente es 13 y su residuo 17? donde: n = 1371 a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

a) 5

b) 3

c) 1

d) 0

e) F. D.

A r it m é t ic a |

a) 30 d) 42 5.

11.

Al dividir A entre B se obtiene resto máximo. Si el dividendo se dism inuyera en 170, el co ciente dism inuirá en 3 unidades y el resto se volvería mínimo. Hallar B. b) 35 e) 43

b) 32 e) 26

Halla un número tal que multiplicando por 11, 39; 12; 34 y 27 dé co mo productos; abede, eabed, deabe, edeab y bedea, sabiendo ade más que: a + b + c + d + e = 27

c) 48 a) 2430 d) 2439

El resto por exceso de una división es el tri ple del resto por defecto; dar el divisor si el cociente es 15 y la suma del dividendo con el divisor es 520. a) 36 d) 40

c) 28

SI en una división el residuo por exceso, el residuo por defecto, el divisor y el cociente por defecto son números pares consecutivos. ¿Cuál es el valor del dividendo? a) 50 d) 54

b) 52 e) 60

b) 2432 e) 2451

c) 2450

12. La suma de los 4 térm inos de una división en tera es 353 si se multiplican el dividendo y el divisor por 7 la suma de los nuevos térm inos es 2375. Calcula el valor de la mayor cifra del cociente. a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

13. En una división inexacta el divisor es 24 y el resto 15. Si triplicam os el dividendo y hace mos nuevam ente la división. ¿Qué ocurre con el cociente?

c) 53 a) Se triplica b) Se triplica y aumenta en 3

c) Se triplica y aumenta en 1

Halla (a + b + c ), si; abe x cb3 = ...402

d) Se triplica y aumenta en 21 a) 14 d) 17

b) 15 e) 19

c) 16

e) Se triplica y aumenta en 2 14.

Al m ultiplicar un número de 3 cifras por 52, la suma de sus productos parciales es igual a 8.89. Halla dicho número. a) 120 d) 134

b) 127 e) 140

a) 18 d) 26

c )1 3 0 15.

En una división inexacta el residuo es 37 y el cociente 13. Calcula el valor del dividendo sa biendo que es m enor que 560 y que term ina en 4. Dar la cifra m ayor como respuesta. a) d)

10.

7 8

b) 5 e) 4

c) 9

a) 171

b) 180 e) 195

b) 81 e) 144

c) 63

En una división entera el producto del dividen do por el resto term ina en 28. Sabiendo que el divisor es un número de dos cifras, el dividen do term ina en 23 y el cociente en 79. Halla la suma de cifras del divisor. a) 8

b) 9

c) 6

d) 7

e) 5

16. Si al dividir_a7b entre ab se obtiene cc de cociente y 1b de residuo. El número ab está com prendido entre:

En cierta división inexacta el resto por defec to, el resto por exceso, el cociente por exceso y el divisor form an una progresión aritm ética de razón 3. Calcula el dividendo.

d) 193

En una división entera inexacta el dividendo es mpr, el divisor es pr, el cociente es 14 y el resto mínimo. Halla el producto (mpr).

a) 55 y 65 d) 43 y 54

b) 70 y 80 e) 90 y 96

c) 65 y 75

c) 189 i

17. Si: CA ((a + 4 )(a + 2)) x CA(m n) = ...7

| C o l e c c ió n

Po s t u l a n t e

a) d) 11

Además: (a + 4)(a + 2) + mn = ...2 Calcula (a + m + n) máximo. a) 20 d) 19

b) 21 e) 23

c) 22

20.

9 b) 19 . e) 15

c) 13

En una m ultiplicación la suma de los 3 térm i nos es 1997, si al m ultiplicador se le multiplica por 3, la suma de sus 3 nuevos térm inos es

18.

En el producto de dos números si a uno se le quita 3 decenas, el nuevo producto dism inuye

5845. Halla la cifra de las decenas del m ulti plicando.

en 10 830. Halla uno de estos números. a) 350 d) 380 19.

b) 360 e) 392

c) 361

a) d) 7

3 b) 4 e) 5

En una división inexacta el dividendo esta com prendido entre 200 y 300, el divisor es 25. Además, el residuo por defecto excede del re

1. a

5. b

2. b 3. d

6. b 7. e

siduo por exceso en 23. Halla el mayor valor

4. e

8. b

que puede tom ar el cociente.

c) 6

17. b

9. b 10. a

13. c 14. a

18. c

11. d

15. a

19. d

12. e

16. a

20. d

DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD EN 2

De aquí se concluye:

Un número entero A es divisible entre otro número entero positivo B si al dividir A entre B el cociente es entero y el residuo igual a cero.

Todo número entero es múltiplo de sus diviso res enteros positivos. E je m p lo : N es múltiplo de 15, como: 15 = 3 x 5

Simbólicamente: Si: A e Z; B <e Z y k e 2Z

Luego se puede afirm ar que: N es múltiplo de 3 o N es múltiplo de 5

A es divisible entre B

B es divisor de A

II.

0 es múltiplo de 5 porque: 0 = 5(0)

Sin em bargo ios elem entos de la división se pue den representar m ediante su algoritmo, esto es: A = B(k) => A es múltiplo de B B es m ódulo de A E je m p lo s : 1.

l 8

40 es divisible entre 8 8 es divisor de 40

40 = 8(5) =>

El cero es múltiplo de todo módulo, pues, 0 es múltiplo de n porque: 0 = n(0), donde: n e Z +

c Y h o ia •:.........................................................................._ ; | |

En la multiplicidad para lo cual se tiene una notación. Si A es m últiplo de B lo denotam os así:

A = B |

40 es múltiplo de 8 8 es m ódulo de 40

E je m p lo s: 20 = 5(4) => 20 = 5 o 20 = 4

-5 1 ¡ 3

- 51 es divisible entre 3 3 es divisor d e -5 1

-5 1 = 3(—17) =» - 51 es divisible entre 3 3 es m ódulo de -5 1 3.

13 0

| 13

13 es divisible entre 13

13 es divisor de 13

13= 13(1)=»

13 es múltiplo de 13 13 es m ódulo de 13

|_7_

0 = 7(0)

0 es divisible entre 7

0 es múltiplo de 7

7 es divisor de 0 7 es m ódulo de 0

De estos ejem plos podem os sacar algunas conclu siones: I. Si el número entero N es múltiplo de 12, sig nifica que N se va a obtener de m ultiplicar 12 por un entero k, 12 tiene divisores, lo cual per mite expresar 12 de diferentes modos: N = 12k = 2(6k) = 6(2k) = 3(4k) = 4(3k) se observa que en cada caso podemos tom ar un módulo como referencia, es decir, podemos afirm ar también que N es múltiplo de 3 ,4 , 6 y 2.

- 1 8 = 3 (—6) = 6(—3) => - 1 8 = 3 0 - 1 8 = 6 5a + 7b = 5 + 7b = 5a + 7, donde: a y b son Z + A = 7 = 7 + 14 = 7 - 21 = 7 + 7n, n e Z 4 Hasta el momento, solo hemos visto los m úl tiplos de un móauío, sin embargo también se tienen números que no son m últiplos de al gún módulo. Y esto sucede porque no se está cum pliendo la definición, es decir, ia división resulta inexacta y de esta se tiene dos tipos. E je m p lo s: 68 no es divisible entre 7, porque al dividir 68 entre 7 la división es inexacta, efectuándola por: Defecto - 68 [_7_ 5 9

Exceso 68 | 7 2 10

por el algoritm o de la división: 68 = 7(9) + 5

68 = 7(10) - 2

Usando ia notación de la m ultiplicidad, para trabajar solo con el m ódulo, obtenemos: 68 = 7 + 5

68 = 7 - 2

Adem ás: 5 + 2 = 7 (propiedad) En general, si tenem os la siguiente división inexacta:

| C o l e c c ió n

Po s t u la n te

Por defecto A [_B_

Por exceso A |_B_ R.y k + 1

Tde k

a = 30 = 7 + 2 b = 12 = 7 - 2 Luego: a + b = 7

A - B + r^e

O bservam os que el residuo por defecto de uno de los sum andos es igual alresiduo por exceso del otro sum ando y es por ello que el

A = B

Propiedad: Eje ■ rex

resultado es 7. En general; si a + b = n se van a presentar dos casos:

Esto significa que la representación se puede dar en función del residuo por defecto o el re siduo por exceso.

o a = n

43 = 8 + 3 o 43 = 8 - 5; (3 + 5 = 8)

||.

54 = 7 + 5 o 54 = 7 - 2; (5 + 2 = 7)

•

II -Q

Ejemplos:

II.

0 a = n + r b = n - r

Sustracción Ejemplo:

En situaciones concretas nos encontraremos con números que no son múltiplos de algún módulo y será necesario operar y trabajar con ellos. Para esto necesitamos algunas herra mientas que nos permiten dar respuestas a la situación planteada. Esta necesidad nos lleva a conocer algunos principios de la divisibilidad.

25 - 15 = 10 5(5) - 5(3) = 5(2) 5 - 5 = 5 Luego, si el minuendo (M) y el sustraendo (S) son m últiplos de 5, entonces, la diferencia (D) es 5. En general: M - S = D

PRINCIPIOS BÁSICOS DE DIVISIBILIDAD

Las operaciones aritm éticas elem entales respecto a los múltiplos de un módulo.

n - n = n ¿Qué sucede con el minuendo y el sustraen-

Adición

do si la diferencia es n?

Ejemplo:

35 + 14 = 49

M - S = 15 = 5

7(5) + 7(2) = 7(7)

5 o

7 + 7 =7 Luego, sio los sum andos son 7, entonces, la suma es 7; en general: n + n = n ¿Qué sucede con los sumandos si la suma es n? Ejemplo:

M últiplos de 5: 35; 20 No m últiplos de 5: 33; 18 A nalicem os el segundo caso, ya que el primer caso se ha visto expresado al minuendo y sustraendo en función del módulo. M = 33 = 5 + 3 S = 18 = 5 + 3

42 = a + b

Luego: M - S = 5

O bservam os que los residuos por defecto del minuendo y sustrendo son iguales es por ello

12 -» no m últiplos de 7

Analicem os el segundo caso, ya que el primer caso lo hemos visto, expresado cada número en función del módulo.

que el resultado es 5. En general, si M - S = n tendremos dos casos:

r it m é t ic a

En ge neral:_________________________ M = n

S = ñ

(n + a)(n + b)(n + c) = n + abe

Efectuamos las siguientes divisiones: 22 |_5_ 2 4

47 |_5_ 2 9 47 = 5 + 2

22 = 5 + 2

Dado que los residuos son ¡guales se afirma que los números 47 y 22 son congruentes res pecto al m ódulo 5 y su notación es:

Potenciación Ejemplo: 83 =

8 x 8 x 8

= 512

(4)3 =

4 =4

Luego; en general: (n)k = n, donde: k e Z +

47 = 22 (mod 5) En general s ia = n + r y b = n + r entonces a y b son congruentes respecto al módulo n y se denota:

El numeral 31 241 (5) puede ser descom puesto polinóm icam ente en bloques, así: 31 241(5) = 314(5) x 5 + 1 31 241,5, = 3124(5) v 52 + 41(5,

a = b (mod n)

31 241,5, = 31,5, x 53 + 241,5, Multiplicación

Aplicando la notación de multiplicidad para cada caso se tiene:

Ejemplo 1 5 X 7 = 105 = 3 (3 5 ): 15

5(21) = 7(15)

Se observa que s( la m ultiplicam os un 15 por

31 241,5, = 5 + 1 = (52) + 41,5, = 53 + 241(6) Asimismo: N = ... 12,7, = 49 + 12,7, = 4°9 + 9

7 el resultado es 15 o 7. En general:

En general:

/ abcde(n) =

- n; a e TL

O ,— n + e -

n2 + de(n) n3 + cde,n.

nx a : (n x a); a e TL

Observación:

Ejemplo:

(lm par)par = 8 + 1

Calcula el residuo de dividir (147 < 228) entre 5.

Si un número es m últiplo de varios módulos, entonces, será múltiplo del m enor múltiplo co mún de los módulos.

R e s o lu c ió n : 147x228 = 5 + R

...(a)

Representando a 147 y 228 en función de mó dulo 5.

E je m p lo : N = 4 A N =6 4

147 = 5 + 2 A 228 = 5 + 3 N = 2 x 2 v 3xk=12 ( 1 4 7 x 2 2 8 ) [_5_ R q

=3. k = 12

^~6

Luego en (a):

Se observa que 12 es el menor número m últi plo de 4 y 6.

(5 + 2)(5 + 3) = (5 + R)

A = 1°0 1 J0^ A = 8 A = 5^ 2

5(5) + 5(3) + 2(5) + j2 )( 3 ) = 5 + R 5 + 5+5 + 6 = 5 + R 5 + 5 + 1 =5+R 5+1 =5 + R .R = 1

A = 6

R = a ] R = b l R = m R = c j

2 8

^6^ 24x 3 x K = 12QK = 120

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Donde m es el menor múltiplo común de a, b y c. De A rq u ím e d e s : o SI: AB = n

(5 + 4)(5 + 4) = 5 (5 + 4)2 = 5 + R

o o a A # n; entonces: B = n

5 + 42 = 5 + R 5 + 16 = 5 + R

Donde: A y B e ZZ+

5 + 5 + 1 = 5 + R E je m p lo s : I.

5 + 1= 5 + R

7N = 9; como: 7 # 9: entonces: N = 9 0

R = 1

II. 6A = 11; como: 6 # 11; entonces: A = 11 III. Si: 11ab = 13; hallar los valores de ab.

Otros casos

( 1°1 +

i5 = 2 )1

+ 25 = 1°1 + 32 = 1°1 + 10

12N = 1°5 = 15k

43 = 9 + 64 = 9 + 1

12 y 15 tienen 2 divisores comunes el 1 y 3 lo cual nos induce a sim plificar al máximo de dichos números:

l3 = ! ,4 _ :

34 = 8 + 81 = 8 + 1 (? (7 - 2)5 = 7 - 25 = 7 - 32 = 7 - 4 = 7 + 3

3(4N) = 3(5k)o

(5 + 4 )51 = (£ - 1)51 == 5 - 1 = 5 + 4 En general, sean los enteros positivos: a; r y n

IV. Analicem os lo siguiente:

(4N) = 5k = 5; pero: 4 V 5

(13 + 1)2000 = 13 + 1

Luego: N = 5 (a+ r)n = a + r V. 20A = 28 (dividiendo entre 4) (a - r)n =

5A = 7 A= 7 Vi. 3N = í l + 6

...(a)

3N - 6 = 1°1

a + r": n es par a - rn: n es impar

RESTOS POTENCIALES o

3(N - 2) = 11 como 3 ^ 1 1 entonces N - 2 = 1°1 N = 11 + 2 Se puede abreviar el proceso si la igual dad ( a j se divide entre 3: 3N = 11 + 6 =» N = 1°1 + 2 Los valores positivos que asume N son: N = 2; 13; 24; ...

Ejemplo: Halla los residuos al dividir cada una de las poten cias sucesivas de 5 entre 8. R e s o lu c ió n : Lo que se desea es: 5 n = 8 + rn, n e5Zo Dando valores a n obtenemos: 5n

5o = 1 = 8 + 1 51 = 5 = 8 + 5

Vil. 5R = 13 + 3 5R = 13 - 10 (entre 5) =>R = 1°3 - 2

52 = 25 = 8 + 1 53 = 125 = 8 + 5 54 = 625 = 8 + 1

VIII. 7A = 8 + 5 + 2(8) 7A = 8 + 21 (entre 7 ) = > A = 8 + 3

1; 5; 1; 5; 1 ;... se denom ina restos potenciales de 5 respecto al módulo 8, la cual se observa que se re pite en form a periódica y que el primer residuo es 1.

DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON

En general:

E je m p lo :

Si {b, m} c Z +

Calcula e! residuo ai dividir (154 x 319) entre 5.

{n, r} c Z j

R e s o lu c ió n : 154x319 = 5 + R

además: b" = m + rn

A r it m é t ic a |

Luego, al conjunto form ado por los restos: r0; r+ r¿ se le denom ina restos potenciales de b respecto al m ódulo m, siendo esta periódica desde un iugar en adelante (con período menor a m).

CASOS QUE SE PRESENTAN AL ANALIZAR LOS RESTOS POTENCIALES

E je m p io :

C aso l

Calcula los restos potenciales de 2 respecto al mó dulo 7.

b contiene algunos de ios divisores del módulo, pero no a todos.

Si se tiene; bn = m + rn

R e s o lu c ió n :

E je m p lo :

2" = 7 + rn 2" rn

Analicem os los restos potenciales de:

2° = 7 + 1

6 respecto al m ódulo 10

15 respecto al m ódulo 20

4 respecto al m ódulo 7

21 = 7 + 2 C a so II b contiene a todos los divisores primos del m ódulo

22 = 7 + 4 23 = 7 + 1 24 = 7 + 2

E je m p lo :

25 = 7 + 4

Analicem os los restos potenciales de:

26 = 7 + 1

12 respecto ai m ódulo 18

10 respecto ai m ódulo 20

12 respecto al m ódulo 8

Los restos potenciales son: 1; 2; 4; 1; 2; 4: 1; ... Se observa que los restos potenciales {2: 4; 1} se repiten periódicam ente. A la cantidad que nos in dica el número de térm inos del período (3) se le denom ina G aussiano, adem ás los exponentes y restos potenciales se pueden relacionar a través del Gaussiano, del siguiente modo:

•

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Un criterio de divisibilidad es una relación que debe cum plir las cifras de un determ inado numeral para que este sea divisible por otro, si no lo es, nos per mitirá calcular el residuo a partir de elias. Cada sis

23 = 7 + 1

2 15 = 7 + 1

tem a de numeración tiene sus propios criterios de

23 T 1 = 7 + 2

261 = 7 + 2

divisibilidad y para conocerlos nos valem os de los

23 + 2 = 7 + 4

=»

229 = 7 + 4

restos potenciales.

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

'------------------------

PRINCIPALES CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Por 2

abcde = 2 + e. Si e = 2 (e e {0: 2; 4: 6; 8}) => abcde = 2

Por 4

abcde = 4 + de. Si de = 4 (de e {0 0 ; 04; 08; 12; ...; 96}) => abcde = 4

Por 8

abcde = 8 + cde. Si cde = 8 (cde e {0 0 0 ; 008; 016; ...992}) =* abcde = 8

Por 5

abcde = 5 + e. Si e = 5 (e e {0 ; 5}) => abcde = 5

Por 25

abcde = 25 + de. Si de = 25 (de

Por 125

abcde = 125 + cde. Si cde = 125 (de e {0 0 , 25, 50, 75}) => abcde = 125

{00; 25; 50; 75}) => abcde = 25

abcde = 3 + a + b + c + d + e. S ia + b + c + d + e = 3 Por 3 tu w < m z ni

Por 9

Por 11

[(a + b + c + d + e) e {3 ; 6; 9; 12; ...}] — 3 abcde = 9 + a + b + c + d + e. Si a + b + c + d + e = 9 [(a + b + c + d + e) e {9 ; 18; 27; ...}] = 9 abcde = 11 + e - d + c - b + a. S i a - b + c - d + e = 11=> abcde = 11 abcdefgh 31231231

Por 7

N =7 + (3a + b) - (2c + 3d + e) + (2f + 3g + h). Si N = 7 =» abcdefgh = 7 abcdefgh

31431431 Por 13

- + ' r '+

= 13 - 3a + (b + 4c + 3d) - (e + 4f + 3g) + h. Si N = 13 =» abcdefgh = 13

< ac uu z LU O

Por 33

abcde = 33 + a + be + de. Si a + be + de = 33 => abcde = 33

Por 99

abcde = 99 + a + be + de. Si a + be + de = 99 => abcde = 99

Por n - 1 en base n

abcde(n) = (n - 1) + a + b + c+ d + e.

Por n + 1 en base n

abcde(n) = (n + 1 ) + a - b + c - d + e.

Si a + b + c + d + e = (n - 1) =» abcde(n _ 1} = (n - 1)

S i a - b + c - d + e = (n + 1 ) ^ abcde(n + ^ = (n + 1)

A r it m é t ic a |

EJERCICIOS RESUELTOS

R e s o lu c ió n : Sea N el numeral:

¿Cuál es la suma de las cifras que deben sus tituir al 2 y 3 del número 52 103 para que sea divisible por 72?

10 + 9 = 10 9 + 8 = 9 -

N = M C M (1 0 : 9; 8; 2) -

8 + 7 = 8 - 1

R e s o lu c ió n :

2 + 1 = 2 —1

Tenemos el numeral 52 103; sustituim os 2 por a y 3 por b, entonces resulta:

N = 360 -

1 => N = 360 x t - 1

Para: t = 1 =» N = 359 t = 2 =» N = 719

5a10b = 72

t = 3 => N = 1079 t = 4 ^ N = 1439 Mod(8): Tob = 8=>100 + b = 8 ^ b = 4 t = 7 =» N = 2519

Mod(9): 5a104 = 9 =» a + 1 = 9 ^ a = 8 a + b = 12 2.

Hallar el múltiplo que siem pre resulta de la diferencia del cubo de un número entero y el número mismo. R e s o lu c ió n :

Si al cuadrado de un número de dos dígitos se le resta el cuadrado del número form ado por los dos dígitos en orden invertido. ¿El re sultado será divisible por la diferencia de los dígitos del número?

Sea N el número

R e s o lu c ió n :

N3 - N = N( N2 - 1 )

Sea ab el numeral

= N(N - 1)(N + 1) = 6

Por dato: ab2 - ba2 (ab + ba)(ab - ba)

2 * 3 3.

[11 (a + b)][9(a - b)]

=> 32 x 11 x (a + b)(a - b)

Halla el residuo que resulta al dividir el pro ducto de los 100 primeros números primos entre 4. R e s o lu c ió n :

.-. Si será divisible por a - b. En el sistema de base 7, hallar ¡a cifra de las unidades del número: (1459)26 R e s o lu c ió n :

Considerem os al producto: N = 2 x 3 x 5 x 7...

Por dato del problema: (14 59)26 =

99 números primos

...X (7);

(1459)25 = (,..)7 + x = 7 + x

Nota: (n.° ¡mpar)(n.° impar) = (n.° impar)

En efecto: 14 5 925 = (7 + 3)25 = 7 + 325 = 7 + (33)8 x 3

N = 2(n.° impar)

145925 = 7 + (7 - 1)®x 3 = 7 + (7 + 1 ) x 3

N = 2(2K + 1)

145925 = 7 + 3 => x = 3 N = 4K + 2 = 4 + 2 4.

Residuo = 2

Un número al dividirlo por 10 da un residuo de 9, cuando se divide por 9 da un residuo de 8 y cuando se divide por 8 da un residuo de 7, etc. y cuando se divide por 2 da un residuo de 1, halle el número.

Sea la diferencia entre un número de 3 cifras y otro número obtenido escribiendo el interior con las cifras en orden invertido. ¿Qué m últi plo tendrá siem pre esta diferencia? R e s o lu c ió n : Sea abe el numeral, entonces:

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 175 d) 178

abe - cba = 100a + 10b + c -(1 0 0 c + 10b + a) => 99a - 99c = 99 x (a - c) = 32 x 11 (a - c) => 3; 9; 11: 33: etc.

Si n2 es un número divisible entre 3 y r es el resto de dividir n entre 3, hallar el resto.

r= 0

c) 177

¿Cuántos m últiplos de 6 term inados en 2 exis ten entre 120 y 1236? a) 18 d) 37

R e s o lu c ió n : => Si n2 = 3; entonces: n = 3

b) 176 e) 180

b) 19 e) 38

c) 36

Por qué número es siem pre divisible un nú mero de la forma: N = ab(2a)(2b)

Cuando el número 673 se eleva a la potencia 5642, hallar la cifra en que termina el resultado.

a) 13 d) 19

R e s o lu c ió n : Analizando la term inación de las potencias de 673, tenemos:

6733 = ...7; 6734 = ...1; 6735 = ...3 En general:

Si: a + b + c = 6

a) 11 d) 13

6734 = ...1 Luego:

a) 190 d) 180 6.

3 A- 1 N = MCM(3; 4; 5: 6; 9) + 1

5 + 1

N = 180 + 1 = 180t + 1

c) 7

¿Cuántos am ericanos asistieron a dicha con vención?

Se tiene cierto número N, de! cual se sabe que al dividirlo entre 3, 4, 5, 6 y 9 deja residuo 1. Pero al dividirlo entre 7 deja residuo 0. Ha llar ¡a suma de cifras del menor número que cumple con tal condición.

4 +-1

b) 74 e) 27

A una convención de profesionales asistieron 400 personas entre am ericanos y europeos entre los europeos ¡os 2/7 son médicos, los 5/6 son ingenieros y los 3/5 son abogados.

6 7 35642 = 67 35640 x 67 32 = (...1)(...9) 6736642 = g

R e s o lu c ió n :

c) 17

entonces: abe + cab + bea; ¿de qué número siem pre será múltiplo?

673° = ...1; 6 731 = ...3; 6732 = ...9

10.

b) 15 e) 31

6 + 1

c) 150

A un evento deportivo asisten una cantidad de personas m enor que 300: si 2/11 de los asis tentes son m ayores de edad; los 5/17 de los m ismos son limeños. ¿Cuántos no son lim e ños? a) 22 d) 132

9 + 1

b) 110 e) 120

b) 55 e) 158

c) 77

Adem ás se sabe que: 7.

N = 180t + 1 = 7

Si (11 + 3 ) 2 + A + 1 1 + 9 + 3 3 x 4 = 1 1 . Halla el m enor valor de A (positivo).

t = 7 + 4

^ c ifra s -

E JER C IC IO S PROPUESTOS T ' |

¿Cuántos números son m últiplos de 17 en los 3000 primeros enteros positivos?

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

En ün salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte de las m ujeres son rubias y la 11.a parte de los hombres usan lentes. ¡ Cuántos hombres no usan lentes?

a) 22 d) 20

b) 28 e) 4

a) 20

c) 2

b) 21

c) 22

r it m é t ic a

d) 14

e) 18

16. Al dividir aba entre 7 el resto fue 2 y al dividir 9.

Del 1 al 5000, ¿cuántos son divisibles entre 13 pero no entre 6?

abb entre 7 el resto es 5. Calcula el resto de dividir abab entre 7.

a) 340 d) 321

a) 2

b) 341 e) 319

c) 320

10. A una fiesta de prom oción asistieron 400 personas entre varones y m ujeres. Del total de las m ujeres asistentes se observó que la sexta parte de ellas tienen cabello largo, que ios tres octavos de ellas usan aretes y que los cinco onceavos son rubias. ¿Cuántos varones asistieron a la reunión? a) 128 d ) 264 11.

b) 132 e) 252

b) 58 e) 61

c) 59

c) 4

d) 5

e) 6

El número 3216 se convierte al sistema octal, ¿cuál es la última cifra de dicha representación? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

18. En una reunión donde asistieron 222 perso nas se observó que la 17.a parte de los hom bres tenían reloj, que la tercera parte de las m ujeres usaban falda y que la quinta parte de las m ujeres usaban pantalón. ¿Cuántos no usaban falda?

¿Cuántos núm eros de 3 cifras (base 7) son m últiplos de 5? a) 57 d) 60

12.

c)136

17.

b) 3

a) 40 d) 54 19.

¿Por qué número no siem pre es divisible el

b) 60 e) 24

Halla el m ayor número par de 3 cifras, que di vidido entre 7 da un resto igual a 1 y al dividirlo entre 15 el resto es 9. Dar como respuesta la cifra central.

numeral abcabc? a) 2 a) 7 d) 9

b) 13 e ) 77

b) 8

c) 4

d) 3

e) 0

c)11 20.

13. Calcula. ¿Cuántos térm inos de la siguiente

Un número capicúa de cinco cifras es divisible por 55; si sus m illares enteros son divisibles entre 19. ¿Cuál es el valor de la cifra central?

serie son 15 + 2? 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 8

8; 17; 26; 35; ..; 908 a) 20 d) 25

b) 30 e) 28

c)15

14.

Un numera! es 19 + 16; otro numeral es 19 + 5; si el primero se divide entre el segundo el residuo es cero. ¿Cuál es el m enor positivo cociente? a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

1. b

5. a

9. c

2. d

6. d

10. c

13. a 14, c

3. c

7. d

11. d

15. c

19. d

4. b

8. d

12. d

16. b

20. b

[ " ejer cicios PROPUESTOS 2 l

e) 7 1.

15. Si prq3 = 7

Halla la suma de valores de x si: 52x3x1 = 3

pqr4 = 8

a) 9

b) 12

c) 15

d) 18

pqr5 = 9 halla el mayor valor de (p + q + r).

17. c 18. c

Si 7a4a3 = 7, halla el valor de a.

e )2 1

¡ C o le c c ió n E l P o s t u la n t e

a) 3 d) 6

b) 4 e) 8

c) 5

13.

b) 6 e) 9

14.

b) 3 e) 7

a) 5 d) 4 16.

Al dividir a2853a entre 13 se obtuvo como res to 2, halla a.

a) 1

17.

Dar el valor de a en: a577n = 72 a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

c) 9

e)-6

c) 5

b) 7 e) 3

¿Cuántos números de la form a 3a3b son múl tiplos de 36? b) 5

a) 1 d) 3

c) 4

b) 2 e) 7

d) 3

b) 8 e) 18

15. Calcula (a + b - c). Si abe = 7 y ab = 8c

c) 3

b) 2 e) 5

d) 4

Sabiendo que_5b3cc = 1 1 , ¿cuántos valores puede adm itir be si b y c son diferentes entre si? a) 6 d) 10

c) 4

¿Cuál es el residuo de dividir entre 7 un nú mero form ado por 345 cifras 4?

a) 1

c) 20

c )7

Calcula x, si: 2xx5x es divisible entre 7. a) 2 d) 6

b) 18 e) 24

a) 16 d) 27

Si a532 = 9 y 3b58 = 11, halla (a + b). a) 4 d) 8

¿Cuántos números de la forma abba son divi sibles entre 7?

c) 4

e) 2

Halla un número de 3 cifras que sea igual a 5 veces, el producto de sus cifras. Da como respuesta la cifra de m ayor orden. a )1 d) 4

c) 3

b) 2 e) 5

Calcula (m x n), si: 7m46n es divisible por 56. a) 4 9.

d) 49

e) 56

18. Si mmpp = 63, halla (m - p).

b) 24

c) 25

d) 18

e) 16

19.

b) 24

c) 26

d )4 6

e) 36

Sabiendo que: abe = 8, bea = 5, ab = 17, halla (a + b+ c). a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

b) 9

c) I

d) 11

b) 4

e) 1

Calcula: (p + q + r)

a) 6 20.

c) 3

1375

b) 8

c) 13

e) 20

Si abe se multiplica por 11 se obtiene: 9n8n, halla: (a + b + c) a) 14

b) 12

c) 11

d) 16

e) 15

e) 10

12. Si 6aba4b es divisible por 88, halla la suma de a y b. a) 7

a) 0 d) 2

si: pqp8pr =

Halla ab sabiendo que el número 2a3b26a es divisible entre 72. a) 64

11.

c) 35

Halla (a x b), si: a713b es divisible por 88. a) 20

10.

b) 8

e) 10

17. a

1. c

5. c

9. d

13. b

2. c

6. c

10. d

14. c

18. e

3. d 4. d

7. b

11. c

15. d

19. e

8. b

12. b

16. e

20. d

NÚMEROS PRIMOS C LA S IFIC A C IÓ N

DE LOS NÚM ER O S ENTEROS

NÚMEROS SIMPLES

Son aquellos números que tienen a lo más dos di visores.

P OSITIVOS

Dado el conjunto numérico: Z + = {1; 2; 3: 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...}

La unidad. Es el único Z + que tiene un solo divisor

Los números que conform an el conjunto pueden ser clasificados teniendo en cuenta alguna carac terística que presenten en particular como por ejemplo, el de la paridad (por su divisibilidad entre dos), se tiene: Números pares: {2; 4; 6; 8; 10; 12; ...}

También se le llama primo relativo Primos absolutos. Son aquellos números que poseen exactam ente dos divisores, usualmente se dice número primo. {2; 3; 5; 7; 11; ...}

Números impares: {1; 3; 5; 7; 9; 11; ...} En genera!, podem os afirm ar que:

NÚMEROS COMPUESTOS

Número

Forma

Par

2n = 2

Impar

2n - 1 = 2 - 1

Son aquellos números que tienen más de dos di visores. (4; 6: 8; 9; 10; 12; ...}

En este capítulo vam os a considerar la cantidad de divisores enteros positivos que tiene cada número. Encontrem os los divisores de algunos números del conjunto: Números

(D ©

Cantidad de divisores

Divisores

1 2 1

Todo número com puesto tiene por lo menos un di visor primo. En esta primera parte vam os a realizar un estudio amplio sobre el conjunto de los números primos: {2; 3; 5; 7; 11; ...} Los cuales presentan las siguientes propiedades: 1.

2 2 4

-n

Fermat supuso que el número (2" + 1 ) es pri mo; donde n es un entero positivo.

3 2

1 2

3 4

2 3

El conjunto de los números primos es infinito y todavía no se encuentra fórm ula alguna para determ inar todos los números primos.

22" + 1

Número

primo

257

primo

65 537

primo

4 294 967 297

compuesto

641(6700 417) De ahí se observa que: 1 tiene un solo divisor

II.

Todos los números primos, a excepción del 2 son impares.

III.

Los únicos números consecutivos que son pri m os es el 2 y el 3. ¡Demostrarlo!

IV.

Todo número primo mayor que 2 es de la for

2; 3; 5; 7; 11; ... tienen solo dos divisores 4; 6; 8; 9; 10; 12;... tienen más de dos divisores Luego los TL+ se clasifican en dos conjuntos de números: Simples (1; 2; 3; 5: 7; 11: ...} Compuestos: {4; 6; 8; 9; 10; 12; ...}

ma (4 + 1) o (4 - 1).

| C o le c c ió n E l P o s t u la n t e

Número primo

Forma

4 -1

4+1

4 -1

Se dirá que el número es com puesto si por lo menos en un caso resulta divisible. Ejemplos: 1.

lo contrario no siem pre se cumple:

¿163 es un número primo? 1.er paso:

7163 = 12,...

2.° pa so :

(2; 3; 5; 7; 11)

3.er paso:

163=2 + 1 163 = 3 + 1

25 es 4 + 1 pero no es primo.

163 = 5 + 3 Todo número primo mayor que 3 es de la for

163 = 7 + 2 163 = 1 1 + 9

ma (6 + 1 ) o ( 6 - 1) Número primo

Forma

6-1

6 + 1

Conclusión: 163 es número primo. 2.

¿221 es un número primo? 221 = 2

221 = 3 + 2 11

6-1

°6 + 1

221 = 5 + 1 221 = 7 + 4 221 = 1°1 + 1 221 = 13 = 13 x 17

Dem uéstrelo analíticam ente.

Conclusión: 221 no es número primo

Lo contrario no siem pre se cumple. 49 es 6 + 1 pero no es primo. En m uchas oportunidades se nos presenta un número, por ejem plo 163; 221 o 317 y se nos pregunta si es primo, evidentem ente que con testar la pregunta nos demandaría algún tiem po, pues tendríam os que determ inar si es o no divisible por algún entero, inferior a! número.

CLASIFICACIÓN POR GRUPO DE NÚMEROS

Números primos entre sí (PESÍ). Se les denomina también primos relativos o coprimos y son aquellos que tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplos: 1.

¿8; 12 y 25 son PESÍ? Número 8 12

ALGO RITMO PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO

ES PRIMO

1.er paso. Se calcula la raíz cuadrada aproxim ada (por defecto) dei número, se tom a la parte entera de dicha raíz.

25 5 ►único divisor común

.-. 8; 12 y 25 son PESÍ 2.

¿9; 15 y 21 son PESÍ?

2.° paso. Se indican todos los números primos me nores o igual a la raíz cuadrada aproximada.

Número 9

3.8r paso. Se determ ina si el número es o no divi sible entre cada uno de los números primos indica dos en el paso anterior, de m enor a mayor.

Se dirá que el núm ero es primo, si no resulta ser divisible por ninguno de los prim os indi cados.

Divisores 00

Para estos casos se tiene un procedim iento práctico.

Divisores ©

I—♦ dos divisores comunes .-. 9; 15 y 21 no son PESÍ

A r it m é t ic a |

Números primos entre sí 2 a 2. Son aquellos grupos de números que al ser tom ados de 2 en 2 estos pares de números son PESi.

ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NUMERO

Tabla de divisores Ejemplo: Elaborar una tabla de los divisores de: 200

Ejemplo:

R e s o lu c ió n :

¿8; 9 y 25 PESÍ 2 a 2?

200 = 23 x 52 PESÍ 8

PESÍ

PESI

D iv is o re s d e 2 3

Divisores de 5

2°

5° = 1

23 8

51 = 5

52 = 25

100

200

De aquí en adelante trabajarem os en función del número:

y 21 son PESÍ 2 a 2 N = p í ' p ^ p f ...p ?

Propiedades: I.

SI varios números son PESÍ dos a dos, enton ces son PESÍ. Lo contrario no siem pre ocurre.

II.

Dos o más números consecutivos siem pre son PESÍ.

Ejemplos:

III.

Tres núm eros im pares consecutivos siem pre son PESÍ dos a dos.

IV.

Dos o más im pares consecutivos siem pre son PESÍ.

R e s o lu c ió n :

CANTIDAD DE DIVISORES [CDN]

Halla la CD de los números: 200

(a)

b) 540

200 = 23 x 52 (DC) .'.CD,(2 0 0 )

: (3 + 1)(2 + 1) = 4 x 3 = 12

TEOREM A FUNDAMENTAL DE LA ARITM ÉTICA

(b)

Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la m ultiplicación Indicada de sus divisores primos diferentes elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos, esta representación es única y se le denom ina descom posición canónica del número.

540 = 22 x 33 x 5 CD(540) = (2 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 3 x 4 x 2 = 24

Analice los divisores de 72. R e s o lu c ió n : 72 = 23 x 32 =» C D (72) = 4 x 3 = 12

D escom poner canónicam ente el número 1400

Los divisores son: sim ples compuestos

R e s o lu c ió n :

1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72

Ejemplo:1

1400

=> 1400 = 23 X 52 x 7

700

descom posición canónica (DC)

350

175

primos propios CD72 = 12 C^simples = 3

C ^compuestos — ^ Divisor elemental: 2

En general:

cdn

CDpr¡mos — 2 C D p ro p io s — 1 1

(a-, + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)...(ak + 1)

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Además:

- 200 + 100 + 50 + 40 + 25-h 20 + 10 + 8 + 5 + 4 + 2 + 1 200

CD n — CDs¡mp|6S + CDcompuestos

Dado el número 360 determ inar su cantidad de divisores: a) sim ples

R p ta .:4

b) com puestos

Rpta.: 20

c) im pares

Rpta.: 6

d) múltiplos de 5

Rpta.: 12

e) m últiplos de 12

Rpta.: 8

f) PESÍ con 3

Rpta.: 8

g) m últiplos de 2 pero PESÍ con 5

Rpta.: 9

cirx _ SD(2oo) _ 465 _ 93 SID(200) - 200 - 40 En general:

PRODUCTO DE LOS DIVISORES [PD (N|]

Ejemplo: Calcula el producto de los divisores de 72.

SUMA DE DIVISORES [SD(N)]

R e s o lu c ió n :

Ejemplo:

72 = 23 x 32

Calcula la suma de los divisores de 200 y 2205

CD (72) = 4 x 3 = 12

R e s o lu c ió n :

O bservem os estos divisores:

200 = 23 x 52

1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72

.■.SD(200) = y — 1x - | — 1 = 1 5 x 3 1 = 4 6 5

M ultiplicando 2 a 2 los divisores equidistantes, te nemos: 1 x 7 2 = 72 4 x 18 = 72

__ 3 3 - 1 . 52 - 1 . 7 3 - 1 s d (2205) - — < 5 _ 1 x 7_ 1

2 ^ 36 = 72

6 x 12 = 72

3 x 24 = 72

8 x 9 = 72

SD(2205) — 4446

De aquí inducimos que: PD(72) = 72 < 72 x 72 x 72 x 72 x 72 = 726

En general:

PD(72)= 7212,2 = p“ 1+1- 1 p22+1- 1 Pk —1 SD (N) = ^ — x ------- x-^ -------— 1' Pi - 1 P2 - 1 Pk - 1

/ ^

En general: PD(N) = Jn cd»n>

SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES [SID(N)]

FUNCIÓN DE EULER [<|>(n): cp(n)]

Se define para todos los enteros positivos N y re

Ejemplo:

presenta la cantidad de números enteros positivos

Calcula la SID de 200

entre dos m últiplos consecutivos de N y que son

R e s o lu c ió n :

primos relativos (PESÍ) con N. Algunas veces la función es llamada indicador de N.

200 = 23 x 52 sus divisores son: 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 25; 40; 50; 100 y 200

Ejemplos: Sum ando sus inversas: q in

SIDpoo, -

1+ 1 + 1 + 1 + 1 + J - + J -

4 5^ 8 1 0 j_

Calcula 4>(7), 0(13) R e s o lu c ió n :

+ 25 + 40 + 50 + 100 + 200

1; 2; 3; 4; 5; 6; (7) 1; 2; 3; 4; ...; 12; (13)

A r it m é t ic a |

Cada uno de los enteros positivos m enores que 7 es PESi con 7, asim ism o sucede con 13. <j>(7) = 6y< K 13) = 12

R e s o lu c ió n : 200 = 23 x 52; <|)(200) = 80 S = 4 x 200 x 80 = 8000

En general Si P es primo, entonces:

EJERCICIOS RESUELTOS

<KP) = P - 1

Calcula <j)(8); <K9) y (K625)

Entre los números 180, 756 y 900, ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 360? R e s o lu c ió n :

R e s o lu c ió n : 8 = 23; 9 = 32 y 625 = 54 <j)(23) = 23 -

22 = 22(2 - 1) = 4

<j>(32) = 32 (|)(54) = 54 -

3 = 3(3 - 1) = 6 53 = 53(5 - 1) = 500

En general: Si p es número primo y a es un entero positi vo, entonces: <Kp“ ) = pu - 1(p - 1)

Descom poniendo canónicam ente a todos los números, tenemos: 360 =

23 x 32 x

180 =

22 x 32 x

5 CD(360) = 4 x 3 x 2 = 24 5 CD(180) = 3 x 3 >; 2 = 18

756 =

22 x 33 x

7 CD(756) = 3 x 4 x 2 = 24

900 =

22 x 32 x

52CD(900) = 3 x 3 x 3 = 27

¿Cuántos divisores m enos tiene el número 360 que el número 1800? R e s o lu c ió n :

Halla <(>(72), <|>(200)

Canónicam ente los numerales resultan: 360 = 23 x 32 x 5

R e s o lu c ió n :

CD(360) = 4 x 3 x 2 = 24

1800 = 23 x 32 x 52

72 = 23 x 32

CD(1800) = 4 x 3 x 3 = 36

CD(1800)- CD(360) = 12

<t>(23 x 32) = (f)(23) x (j)(32) <(>(23 x 32) = 4 . 6 = 24 <)>(72) = 24

Diga ¿cuántos de los siguientes números son primos absolutos en base 7? 13(7); 31(7); 61(7); 25(7)

200 = 2 3 x 52 <t>(23 x 52) = 22(2 - 1 ) 5 ( 5 - 1) = 4 x 20 <t>(200) = 80

Tenemos a los números: 13(7)1 31(7)1 61(7)1 25(7)1 (base 7)

En general:

Si N = p“ 1p“ 2p“ 3...p“ k DC

10;

22;

43;

Entonces:

son primos solo: 61 (7) y 25(7)

4>(N) = p(-'-1(P l- 1 ) p ' f - 1( P 2 -1 )...p ^ -1(Pk - l ) Si: n > 1, entonces, la suma de los enteros positivos m enores o iguales que n y PESl con n es: ^ x n x<(>(n)

R e s o lu c ió n :

Calcula la suma de los números enteros posi tivos menores o iguales y PESl con n, donde: n = 200

(base 10)

Halla la suma de las inversas de todos los di visores de 360. R e s o lu c ió n : Sabem os que: 360 = 23 x 32

Luego: SD,(360)

24 - 1 2 -1

SD(360) — 1 5

33 - 1 , 52 - 1 3 -1 5 -1 x

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

R e s o lu c ió n :

Finalmente: SID,(360)

S°(360) :

360

N = 30" = 2" < 3" x 5"

15 x 1 3 x 6 360

C D (N) = (n + 1)(n + 1)(n +

SID(36q) — 3,25

C D (M) = (n + 1)(2n + 2)2 =

4(n + 1)2

¿Cuántos divisores tiene el número 914 760?

Adem ás, por dato del problema:

R e s o lu c ió n :

CD(N) = 2 x C D(M)

Canónicam ente resulta:

(n + 1 )3 = 2 x 4(n + 1 f

914 760 = 23 x 33 x 5 x 7 > 112

n + 1 = 8 =» n = 7

CD !914 760) = 4 x 4 x 2 x 2 x 3 = 192 6.

1) = (n + 1)3

M = 15 x 18" = 2n x 3 2n + 1x 5

¿Cuántos núm eros enteros existen que sean primos relativos con 104 m enores que 104? R e s o lu c ió n : En este caso, es suficiente con aplicar el indi cador del número 104 (función Euler) Así: 104 = 24 x 54

Calcula la raíz cuarta del producto de todos los enteros positivos m enores que 2500, que tengan exactam ente 5 divisores positivos. (Sugerencia: vea cuál es la form a de los nú meros enteros positivos que tienen exacta mente 5 divisores) R e s o lu c ió n : Si tienen 5 divisores positivos, son de la for ma: p4: p: primo

entonces: <H104) = 23(2 - 1)53( 5 - 1 ) = 4000

Luego, por dato: 7.

Halla la suma de las cifras de un número ente ro N, sabiendo que admite solo 2 divisores pri mos, que el número de sus divisores sim ples y com puestos es 6 y la suma de ellos es 28.

p4 'x 2500 P < 7 , ... P = 2; 3; 5; 7 Piden: 4^24 x 34 x 54 x 74 = 210

R e s o lu c ió n : Por condición: N = a“ x bp (a y b primos) Como: CD{nj = (ct + 1)(p+ 1) = 6;oc = 1 ,p = 2 o a = 2, p = 1 además:

10. Sean p, q y r enteros de 1, 2 y 3 cifras respec tivam ente, que son prim os absolutos y están en progresión aritm ética de razón t, siendo r el m enor primo absoluto de 3 cifras. ¿Cuántos

SD(N) = ^ - ^ x -^— -4 = 28 1 b - 1

divisores tiene t?

(a - 1)(a + 1)

Como r es el m enor primo absoluto de 3 ci fras, r = 101

. 1

( b - 1 ) ( b 2 + b + 1) X

4 1

_2 (a + 1)(b + b + 1) = 4 x 7

— nzz____ j

b2 + b + 1 = 7 = » b = 2 a + 1= 4=»a = 3 . . N = 3 x 22 = 12

R e s o lu c ió n :

Adem ás p; q; r están en progresión aritm ética de razón t. Luego: q = 101 - t

(2 cifras)

p = 101 — 2t < 10

(1 cifra)

t > 45,5 Para t = 48, q = 53 y p = 5

Halla el valor de n para que el número de divi sores de N = 30" sea el doble del número de divisores de M = 15 x 18".

Finalm ente t = 48 = 24 x 3 1 CD(t) = 5 x 2 = 10

A r it m é t ic a |

[ " 1.

e j e r c ic io s propuestos ' ' ¡

10. ¿Cuántos divisores de 4400 son impares? a) 4 d) 12

Al descom poner canónicam ente 4400 se ob tiene (2x)(5y)(11z). Halla x + y + z. 11. a) 6 d) 9

n factores

b) 2 e) 5

tiene 114 divisores com puestos1hallar n.

c) 5

a) 13.

c) 15

14.

b) 72 e) 729

b) 4

c) 5

d) 8

e) 7

Si el número 12n x 28, tiene 152 divisores compuestos. Halla el valor de n. a)

c) 3

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

Halla la suma de los dígitos del menor número im par N que tiene 4 factores primos y tiene 24 divisores. a) 9 d) 18

b) 12 e) 21

c) 15

c) 648

Si el siguiente número N = 9 x 10n tiene 44 divisores compuestos. Calcula n.

Determ inar N sabiendo que adm iie solo 3 di visores primos que sum ados resulta 16. Dar como respuesta el m enor valor que adopta N, si este tiene 30 divisores.

a) 1 d )4

a) 1500 d) 1700

b) 2 e )6

15.

c) 3

¿Cuántos divisores de 720 son múltiplos de 6? a) 6 d) 12

b) 12 e) 26

c) 9

12. S i P = 1 0 8 x 108 x 108 x ... x 108

¿Cuántos divisores tiene 1410 - 148? a) 99 d ) 1146

b) 8 e )4

c) 16

Calcula n, si 16n x 35n, tiene 81 divisores. a) 1 d) 4

b) 4 e )7

c) 10

¿Cuántos ceros se deben poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 divisores compuestos? a) 6 d )5

¿Cuántos divisores com puestos tiene 4400? a) 27 d) 17

b) 20 e) 12

b) 6 e) 16

¿Cuántos divisores primos tiene 4400? a) 3 d )2

c) 8

¿Cuántos divisores tiene 4400? a) 8 d) 30

b) 7 e) 10

b) 8 e) 16

c) 10

Determ inar el número de divisores pares del numeral 36 000. a) 45 d) 65

b) 40 e) 70

c) 60

b) 1584 e) 1728

c) 1600

16. Si: A = 8 k + 8k ' 2, tiene 88 divisores, halla k. a) 6 d) 7

b) 5 e) 8

c) 4

17. Al m ultiplicarse N = 22 x 2a por 27 su número de divisores se increm enta en 27. Caicula N. « a) d)

50 225

b) 100 e)

c) 75 150

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

18.

Si el m enor número de la form a aaa tiene 12 divisores. Calcula el residuo al dividir aaa en tre 9. a) 8 d )5

19.

b) e)

7 4

c) 6

Determina el valor de n si se sabe que el nú mero 1960", tiene 105 divisores. 3)1 d) 4

b),3 e) 5

c )2

20.

¿Cuántos divisores tiene N = 9n 161" + 2 tiene n6 divisores? a) d)

49 65

b)50 e) 81

- 9n

c) 64

1. b

5. b

9. c

13. c

17. b

2. d

6. c

10. b

14. d

18. c

3. a

7. c

11. b

15. b

19. c

4. e

8. e

12. b

16. d

20. b

MÁXIMO COMÚN DIVISOR - MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MCD(18; 6; 30) = 6

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

Dado un conjunto de cantidades se define al MCD de estas como aquel número que cum ple las si guientes condiciones: I. Es un divisor común de las cantidades II.

Es el m ayor de los divisores comunes.

Ejemplos: 1.

Sea los números: 30 y 45 Hallando sus divisores: 30: 1; 2 ; 3; 5; 6: 10; 15; 30

S ÍA = B

Dado un conjunto de cantidades se define el MCM de estas como aquel que cumple lo siguiente: I. Es un múltiplo común de las cantidades. II.

Es el m enor de estos m últiplos comunes.

45: 1; 3; 5; 9; 15; 45

Ejemplos:

Divisores comunes: 1; 3; 5; (15) —> Máximo

4: 4; 8; 12; 16: 20; 24; 28; 32; 36; 40;... 6: 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42;...

Sean los números 24; 60 y 84

M últiplos comunes: (12); 24; 36; ...

Hallando sus divisores:

Mínimo

24: 1; 2 3; 4; 6; 8; 12; 24

MCM(4; 6) = 12

60: 1; 2 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60

M últiplos de 12: 12; 24; 36;...

84: 1; 2 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84 MCD(24: 60: 84) = 12 Divisores de 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12

Sean 4 y 6. Hallem os sus múltiplos.

Divisores de 15: 1; 3; 5 y 15

Divisores comunes: 1; 2; 3; 4; 6; (12) -> Máximo

C = B

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

MCD(30; 45) = 15

MCD(A; B; C) = B

Sean 10; 15 y 30 O bservem os sus múltiplos. 10: 10: 20: 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100;.... 15: 15; 30; 45: 60; 75; 90; 105; 120; 135;...

Observación: Los divisores com unes de un conjunto de can tidades son los divisores de su MCD. El MCD está contenido en los números.

30: 30; 60; 90; 120, 150; 180;... M últiplos comunes: (30); 60; 90;... M CM(10; 15; 30) = 30 M últiplos de 30: 30; 60; 90;...

En general: Para los números A, B y C MCD(A; B; C) = k

Los m últiplos comunes de un conjunto de can tidades son múltiplos de su MCM. El MCM es un número que contiene a los nú meros.

Ejemplos: 1.

O b s e rv a c ió n :

Halla el MCD de: 8; 10 y 15

Ejemplo: Halla el MCM de: 8 y 9

R e s o lu c ió n : 8; 10 y 15 son PESÍ .-. MCD(8; 10; 15) = 1

R e s o lu c ió n : 8 y 9 son PESÍ .-. MCM(8; 9) = 8 x 9 = 72

Si A, B y C son PESÍ .-. MCD(A; B; C) = 1 2.

Calcula el MCD de: 18; 6 y 30 R e s o lu c ió n : 18 = 6 x 3 y 30 = 6 > 5

Si dos números A y B son PESÍ Entonces MCM(A; B) = AB SI los números A, B y C son PESÍ dos a dos entonces: MCM(A; B, C) = ABC

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

METODOS PARA EL CALCULO DEL MCD Y MCM

Descomposición sim ultánea

En general: sean los números A, B, C donde MCM(A; B; C) = m. Luego:

Ejemplos:

m = A x ®

m = Bx @ A

Calcula el MCM y MCD de 80; 120 y 200

R e s o lu c ió n : I.

son PESÍ

m = C x 0 '

Hallando el MCD 80 - 120 - 200

40 - 60 - 100

20 - 30 - 50

10 - 15 - 25 2 - 3 - 5

Calcula el MCD y MCM de 60 y 96. R e s o lu c ió n :

2 2

60 - 96

30 - 48 15 - 24 5 -8

23 x 5 = 40

son PESÍ MCD(80; 120; 200) = 40

3 22 x 3 = 12 12

60 - 96 5 -8

Cada número del conjunto de núm eros se puede expresar en función al MCD del con junto de números:

5 8

1- 8 1- 1

12x5x8

80 = 40 x (2 ) \ 120 = 40 x ( 3 ) - A son PESl

Luego: MCD(60; 96) = 12

200 = 40 x (5 ) /

MCM(90; 96) = MCD(60; 96) x 5 x 8

M CM (60;96) = 1 2 x 5 x 8

Adem ás: 60 = 12 x 5

En general: sean los números A, B y C.

96= 12x8

MCD(A; B; C) = k, luego:

60 x 96 = 12 x 12 x 5 x 8

A = k x 0 , B = k x @ -A

60 x 96 = (MCD)(MCM )

son PESÍ

C = k x ® ^

En general, para dos núm eros A y B SI MCD(A; B) = k

II.

Hallando el MCM: 80 - 120 - 200 2 1 1 1

3 3 1 1

5 5 5 1

A = k x ® x X > B = k x © /

40 2 3 5 1200

MCM(A; B) = m Entonces:

MCD(80; 120; 200) = 1200 Expresamos al MCM en función de cada nú mero: 1200 = 80 X 0 1200 = 120 x @ 1200 = 200 x ( í )

PESl

son PESÍ

m = kpq

II.

AB = km

Analicem os que sucede con el MCM y MCM de los números: 60; 90; 105 MCD(60; 90; 105) = 15 60=15x4

=>60x8 = 1 5 x 8 x 4

90 = 1 5 x 6

=>90x8 = 1 5 x 8 x 6

105 = 1 5 x 7 = > 1 0 5 x 8 = 1 5 x 8 x 7 MCD(60 x 8; 90 x 8; 105 x 8) = 15 x 8

A r it m é t ic a |

Si MCD(A; B; C) = k MCD(An; Bn; Cn) = kn Donde: n e ZZ+ MCM(60; 90; 105) = 1260

120 [36_ 12

=» MCD(120; 36) = MCD(36; 12)

36 [12. 0

=> MCD(36; 12) = 12 .-. MCD(156; 120) = 12

1260 = 60 x 21 => 1260 x 6 = 60 x 6 x 21 1260 = 90 x 14 => 1260 x 6 = 90 x 6 x 14 1260 = 105 x 12=» 1 2 6 0 x 6 = 1 0 5 x 6 x 12

Euclides ordenó todas estas divisiones del siguien te modo:

MCM(60 x 6; 90 x 6; 109 x 6) = 1260 x 6

cocientes

Si MCM(A; B; C) = m MCM(An; Bn; Cn) = mn

156

Donde n e í

120

12 <— MCD

residuos DESCOM POSICIÓN CANÓNICA

Ejemplo: Halla el MCD y MCM de los números A, B y C don de: A = 2 5 x 32 x 53

En general: sean los números A y B donde A > B. di A

B = 23 x 34 x 52 x 72 h

C = 24 x 36 x 5 x 11

d2 d3 ri r2 r2 É3

cocientes

r3 0

MCD residuos

.-. MCD(A; B) = r3

Entonces: MCD(A; B; C) = 23 x 32 x 5 MCM(A; B; C) = 25 x 36 x 53 x 72 x 11 En general: Dadas las descom posiciones canóni cas de varios números: El MCD de dichos números es el producto de sus divisores primos comunes elevados cada uno de sus m enor exponente. El MCM de dichos números es el producto de sus divisores primos comunes y no com unes elevados cada uno a su mayor exponente. DIVISIONES SUCESIVAS 0 ALGORITMO DE EUCÜDES

Teorema: En toda división entera inexacta el MCD del dividendo y el divisor es el MCD del divisor y el residuo. Si:

E je m p lo : Calculam os el MCD de 144 y 56. Divisiones por defecto

Divisiones por exceso

144 156

144 [5 6

=> MCD(D: d) = MCD(d; r)

=» MCD(156; 120) = M CD(120; 36)

56 [2 4 _

24 |_16_

32 [2 4 _ 1

24 l 8

16 )_ § _ 0

Por defecto:

Ejemplo: Calcula el MCD de 156 y 120. 156 1120

56 [3 2 _

D [_d_ r

No olvidar que las divisiones se pueden realizar por defecto o exceso.

144

MCD

residuos

.-. M CD(144; 56) = 8

cocientes

I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

d a p = 5148=» 36a x p = 5 1 4 8

Por exceso:

144

MCD

<— residuos

a x p = 1 4 3 = » a x p = 11> 13

t - cocientes

a = 13 y p = 11 (pues son PESÍ) El mayor número es: 36 x 13 = 468 3.

MCD(144; 56) = 8 P ro p ie d a d : Sean los números: a cifras

A =

n - 1

Tres reglas de 200 m ilím etros de longitud c/u, están uniform em ente graduadas; la primera cada milímetro, la segunda cada 16/25 de m ilímetro y la tercera cada 18/23 de milímetro. SI se les hace coincidir en toda su extensión. ¿A qué distancia del origen coincidirán tres trazos de las reglas?

(n - 1)(n - 1)(n - 1)n R e s o lu c ió n : __________b cifras - = nb - 1 B = (n -1 ) (n - 1 )( n -1 ) ...( n - 1 ) n

Sea L la longitud de la coincidencia entonces: 1

C =

c cifras ( n -1 )(n - 1 )( n -1 ) ...( n - 1 ) n

nc - 1

L = M C M Í1 ;1 |;||)

...(1)

MCD(A; B; C) = nMCD(a; b; c) - 1 M C M ( 1 ;1 |;^ | \ 25 23

EJERCICIOS RESUELTOS

M C M (1; 16; 18)

144

M C D (1 ;2 5 ;2 3 ) ~

Reem plazando en (1): 1.

¿Cuáles son los dos números primos entre sí, cuyo MCM es 330 y su diferencia 7? R e s o lu c ió n :

Sean A y B los números, por dato: A

i da -

B = 7

i dp = 7 = d(a - p) = 7

...(1)

MCM(A; B) = 330

144 mm

Las longitudes de las circunferencias de las ruedas delanteras y traseras de una locom o tora son, respectivam ente 250 y 425 centím e tros. ¿Qué distancia tendrá que recorrer la lo com otora para que una de las ruedas de 2870 vueltas más que la otra? R e s o lu c ió n :

4 dxaxp = 2x3x5x11

...(2)

De (1) y (2): d = 1 además: A - B = 7 A xB = 15x22

L = 144 y como L < 200

G ráficamente: =

- Q

'------------- L------------- ' A = 2 2 , B = 15

Calculando el MCM de 250 y 425 M CM(250; 425) = 4250; entonces:

Hallar el m ayor de dos números tales que su m áximo común divisor sea 36 y su m ínim o co mún múltiplo sea 5148. R e s o lu c ió n : Por dato: MCD(A: B) = 36 MCM(A: B) = 5148

La rueda m enor da:

4250 . . . = 17 vueltas 250

La rueda mayor da:

4250 425

10 vueltas

Es decir, la rueda menor da 7 vueltas más que la mayor; cuando la locomotora recorre 4250 cm.

r it m é t ic a

=* 7MCD (a; b) = 840

Luego:

MCD(a; b) = 120; además: Distancia (cm)

Dif. vueltas

/ 4250 \

M = n o =, ^

7►

-----------

=» x = 4250 x

2870 /

M = 21 b

= 1 742 500 cm

= 110 => p = 110

^ = 2 1 ^ a = 21 dp

Luego: MCM(a; b) = d M = d x a x p

x — 17 425 m

M = 120 x 110 x 21 = 277 200 5.

El MCD de 2 números A y B es 248 y el menor de ellos es 2976. Sabiendo que el MCM está com prendido entre 59 520 y 89 500. ¿Cuán tas soluciones hay para el m ayor de dichos números?

R e s o lu c ió n :

MCD(A; B) = d = 248 y el menor es:

Si N = k2 es el MCM de 25 números diferentes, quiere decir que k2 tiene 25 divisores, es decir debe ser de la forma: k2 = a4 > b4; k2 = a24

248 x a = 2976 => a = 12, de donde el mayor B = 248(3, (3 debe ser PESÍ con 12.

Ahora, como N debe ser el menor posible, en tonces: a = 2 y b = 5, pues, por dato: a, b + 3

Adem ás: 59 520 < MCM(A; B) < 89 500 59 520 < 248 v 12 x |3 < 89 500

Así: N = k2 = 24 x 54 = 10 000

20 < (3 < 30, ...

En el caso N = k2 = a24 = 224 (es muy grande)

entonces: p = 23: 25; 29 6.

Determ inar el menor número entero que es MCM de 25 números enteros diferentes, que no sea múltiplo de 3 y tenga raíz cuadrada exacta (cuadrado perfecto).

El MCD de 2 números es 13, se desea cono cer cuáles son estos números sabiendo que los cocientes sucesivos que se obtienen al hallar el MCD son 11; 9; 1; 2.

La suma de los números a y b es 651; el cocien te entre su MCM y MCD es 108; hallar a - b. R e s o lu c ió n : Sabem os que:

R e s o lu c ió n :

m c m

MCD

Por el algoritm o de Euclides: 11

=108^ M d

= 108

a x p = 22 x 33 => a = 2 7 y p = 4 a + b = 651 => d(a + p) = 3 x 7 x 31 d x 31 = 3 x 7 x 31 => d = 21 Luego: a - b = d(a — P) = 21 x 23 = 483

MCD(A; B) = 13 De la tabla: B = 9 x 65 + 39 = 624 A = 11 x 6 2 4 + 65 = 6929 7.

Sea M el MCM de a y b Si: — = 110; — =21 y el MCD de 7a y 7b es a b 840. Calcula M. R e s o lu c ió n : Por dato del problema: MCD(7a; 7b) = 840

10.

El producto de dos números enteros positivos es 360. La suma de los cocientes obtenidos al dividir cada uno de ellos por su máximo co mún divisor es 7, y el producto de estos co cientes es 10. Hallar el valor absoluto de la diferencia de estos números. R e s o lu c ió n : Por condición del problema: A x B = 360

...(1), además:

J A

| V »U L tl_ U U I\

C.L r U S I U U M N I t

a) 13 d) 12

=> a + |3 = 7 y a x p = 10 = 5 x 2 , de donde: a = 5 y p = 2

b) e)

6 c) 9 15

Reem plazando en (1): (d x 5)(d x 2) = 360, entonces: d2 = 36

=> d = 6 Luego: A - B = d(a - p) = 6 x 3 = 18 11.

Sean A y B dos n úm eros e n te ro s cuyo MCD es 12 y la d ife re n cia de sus cu a d ra d o s es 20 880. H a lla r A - B.

Determ inar dos enteros sabiendo que el co ciente de su suma por su MCD es 8 y el co ciente de su producto por su MCD es 840. Dar al número de soluciones. a) 1

R e s o lu c ió n :

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

La suma de dos números enteros positivos es 4320 y tiene 24 divisores comunes: ¿Cuántos pares de números cumplen dicha condición?

MCD(A; B) = 12; además: A2

a) 2

B2 = 20 880

(da)2 - (dp)2 = 20 800

b) 1

c) 3

d) 4

e) 5

El MCD de 1a7a y b3(b + 2) es un capicúa de dos cifras ¿Cuál es la suma de a + b?

d2(a 2 - b2) = 20 800 a) 10

144(a2 - P2) = 20 800 a2

p2 = 145

172 -

122 = 145

Luego:

12.

c) 12

d) 13

e) 14

¿Cuántos números m enores que 7680 tiene en el un MCD Igual a 24. a) 128 d) 134

0 sea: a = 17; p = 12 A - B = d(a - P) = 12(5) => 60 = A - B

b) 11

b) 130 e) 136

c) 132

Halla la diferencia de 2 núm eros enteros sa biendo que su MCD es 48 y que su suma es 288.

Al calcular el MCD de dos números mediante el algoritm o de Euclides se obtuvo como co cientes sucesivos 1; p; 3 y 2. Calcular el valor de p; si la suma de los núm eros es igual 53 veces el MCD.

R e s o lu c ió n :

a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

Por dato: MCD(A: B) = d = 48 Adem ás: A + B = 288

48a + 48p = 288 48(a + P) = 288

Tres números de form a p5p, q7qr27 poseen como MCD a 11. Calcular (p + q +r). a) 19 d) 22

a + p = 6

1i 5 1 a = 5 y p = 1, luego:

A - B = d(a - p) = 48 x 4 = 192

e jer cicio s

PROPUESTOS j

Determ inar dos enteros sabiendo que la suma de sus cuadrados es 3492 y su producto es 216 veces su MCD. Dar su diferencia como respuesta.

c) 21

El número entero de tres cifras y su CA tiene como MCD a 100. ¿Cuántos números cum plen esta condición? a) 1

b) 20 e) 23

b)2

c)3

d) 4

e) 5

Al calcular el MCD de dos números A y B por el m étodo del algoritm o de Euclides se obser vó que los dos prim eros fueron 54 y 36, ade m ás la suma de los cocientes Sucesivos fue 17. Si el número A es el m ayor posible. ¿Cuál es su valor?

A r it m é t ic a |

a) 2596 d ) 2690

17.

10. C alcular n si el MCD de: n(n + 1)(n + 2) y (n + 3)(n + 4)(n + 5) es 9. a) 1 11.

b) 2

c) 3

d) 4

18.

12. El MCM de tres núm eros naturales que su man 255 es 1785. Si e! MCD de cada par de ellos es 17 ¿Cuál es el mayor? a) 119 d) 170 13.

La suma de dos núm eros es 581 y el cociente de su MCM por su MCD es 240. ¿Cuál es la diferencia de dichos números? a) 531 d) 537

14. MCM(A; B) = A2 = 324. Determ inar la suma de cifras del MCD. a) 3

b) 6

c) 9

d) 12

e) 15

15. El MCM de cuatro números consecutivos es 5460. C alcular la suma de los dígitos del me nor de los números si este es múltiplo de 3. a) 3 16.

b) 6

c) 9

d) 12

e) 15

¿Cuál es el menor número que es: (m5 + 2), (m6 + 1), (m7 + 2), (m8 + 5). Dar como res puesta la suma de sus cifras.

c) 9585

Determ inar la superficie del menor terreno rectangular que puede ser dividido en lotes rectangulares de 12 m; 10 m; 20 m; 8 m; 16 m; 24 m. Sabiendo que las primeras dimensiones representan el largo y las segundas el ancho. b) 14 400 m2 d) 72 000 m2

19. A un número de tres cifras m6 se le agrega uno y se convierte en m7 y si agrega una uni dad mas se convierte en m8. Determ inar la suma de cifras de todas las soluciones.

c) 535

b) 533 e) 539

b) 9587 e ) 9581

a) 28 800 m2 c) 25 000 m2 e) 57 600 m2

c) 153

b) 136 e) 102

Determ inar el mayor número de cuatro cifras que al dividirlo entre 6, 7, 8 y 9 nos da residuos ¡guales, tal que este sea el máximo posible. a) 9589 d) 9583

c) 168

b) 160 e) 184

c) 22

e) 5

La relación de dos números es 5/8 y su MCM es 840. ¿Cuál es el mayor? a) 152 d) 176

b) 23 e) 20

a) 24 d) 21

c) 2952

b) 2856 e) 2876

a) 48 d) 66 20.

c) 60

b) 54 e) 72

Se divide dos números y el cociente exacto resulta igual a su MCD; la suma del MCD y MCM resulta ser igual a 56. Determ inar el pro ducto de ambos números. a) 256 d) 343

c) 320

b) 289 e) 450

1. d

5. c

9. b

13. e

17. e

2. b

10. b

14. c

18. a

3. b

6. b 7. e

11. c

15. a

19. d

4. a

8. b

12. a

16. c

20. d

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN POTENCIACIÓN

Es una operación m atem ática que consiste en mul tiplicar un número por si mismo varias veces.

O bservación: los siguientes núm eros son cuadra dos perfectos: A = 2 2 2- 3 4

CDa = 3 x 5 = 15

B = 34 x 5 2 x 7 2

=3 CD B = 5 x 3 x 3 = 45

625 = 5 x 5 x 5 x 5 = 5 4

C = 22 x 52

=* CD c = 3 x 3 = 9

Es una potencia perfecta de grado 4.

Si: N = P 2aiP 2a2P 32a3

Ejemplos:

CDN = (2a, + 1)(2a2 + 1)(2a3 + 1) = Número impar. 729 = 9 x 9 y 9 = 9 3 Es una potencia perfecta de grado 3. 729 = 3 2 x 3 2 x 32 = 3 6 Es una potencia perfecta de grado 6 .

% i (

Todo cuadrado perfecto tiene una cantidad im par de divisores.

729 = 27 x 27 = 272 Es una potencia perfecta de grado 2.

Potencia perfecta de grado 3 (cubo perfecto) Ejemplos:

En general:

125 = 5 x 5 x 5 = 5 3

P = K x K x K ... K = Kn n veces

n e f

64 = 2 6 = (2 2)3 = 4 3

Ke Z

216 = 2 3 x 3 3 = (2 x 3 )3 = 63 n = 5 67 3 = (5 2 ■ 7 )3 = 1753

Donde: K es la base n es el exponente

En general si:

P es la potencia perfecta de grado n.

p = P 13aip 3', 2p 33H3 DC P = ( p “ r p “ 2 p “ 3)3

TEOREM A FUNDAMENTAL

Para que un número entero positivo sea una po tencia perfecta de grado n, es condición necesaria y suficiente que los exponentes en su descom posi ción canónica sean m últiplos de n. Si P = P “ 1P “ 2P “3

P = K 3 form a general

CRITERIOS DE INCLUSIÓN Y EXCLUSIÓN DE CUA

pn _ p nai p nc<2p na3

DRADOS Y CUBOS PERFECTOS

Pn es una potencia perfecta de grado n. CASOS PARTICULARES

Potencia perfecta de grado 2 (cuadrado perfecto)

Según su última cifra k

...0

...1 ...2 ...3 ...4 ...5 ...6 ...7 ...8 ...9

...0

...1 ...4 ...9 ...6 ...5 ...6 ...9 ...4 ...1

...0

...1 ...8 ...7 ...4 ...5 ...6 ...3 ...2 ...9

Si un número term ina en la cifra 2; 3; 7 u 8 no es un cuadrado perfecto en los demás casos tiene la posibilidad de serlo.

Ejemplos: 64 = 2 6 = (2 3)2 = 82 144 = 24 x 32 = (2 2 x 3 )2 = 122

Un cubo perfecto puede term inar en cualquier cifra.

2025 = 34 x 5 2 = (3 2 ,< 5 )2 = 45 2 En g e neral:________________________ Si P = P 2" 'P 22u2P 32cl3

Por su term inación en cifras ceros Ejemplos:

P = ( P ? 'P ? P ? f

14 400 = 144 x 10 2 = 12 2 x 10 2

P es un cuadrado perfecto

64 000 = 64 x 10 3 = 8 2 x 10 3

1,2

cuadrado 2n ceros perfecto

000 ... 000 = k3

cuadrado perfecto

ab ...

Divisibilidad por 9

125 000 = 125 x 103 = 53 x 103 216 000 000 = 216 x 106 = 63 x 106 ab ... 00 ... 00

r it m é t ic a

3n ceros

Por su term inación en cifra 5

Ejemplos:

1225 = 35

12 = 3 x 4

3025 = 552

30 = 5 ' 6

7225 = 852

72 = 8 - 9

13 225 = 1152

132 = 11 x 12

9 O

9 + 7

9 o

o +

9 +1

9 + 8

9 + 1

9 - 1

..0 ..2

RADICACION

..6 3375 = 153

Es una operación m atem ática inversa a la poten ciación que consiste en que dados dos números

15 629 = 253

llam ados índice y radicando se calcula un tercer

428 875 = 353

número llam ado raíz, donde este último elevado al Indice reproduzca el radicando. Así tenemos:

abc25 = n5

abe = n(n + 1) =

91 125 = 45 3 abcd5 = n53

d = 2; si n: par R = nf

d = 7; si n: impar 4. I.

o k = R"

Por criterios de divisibilidad

Donde:

Divisibilidad por 4

k es el radicando

Ejemplos:

n es el Indice R es la raíz enésima

1 2 = 4 =» 122 = 4 o o 1 7 = 4 + 1 =» 172 = 4 + 1

* Ejemplos:

22 = 4 +

2=> 222 = 4

1225 = 15 =» 152 = 225

35 = 4 +

3=» 352 = 4 + 1

3V2Í6 = 6 =» 63 = 216

16 = 4

=» 163 = 4

9=4+1

V625

5 = 625

=» 93 = 4 + 1 Luego: toda potencia perfecta de grado n posee raíz enésim a exacta.

10 = 4 +

2=> 103 = 4

15=4 +

3=> 153 = 4 + 3 = 4 CASOS PARTICULARES

En general o

4 + 1

4 +2

4 + 3

4 + 1

4 +1

4 + 3

Raíz cuadrada a.

Exacta V 529 0

529 = 23

\[Ñ ~ h 0 N = k2

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

b. Inexacta

EJERCICIOS RESUELTOS

Defecto

V 540

Exceso V 540 24 36

11 540 = 232 + 11

540 = 242 -

¿Cuál es el número de cuatro cifras cuyas dos prim eras cifras de la izquierda son 2 y 2; que es un cuadrado perfecto? R e s o lu c ió n :

Sea el número 22ab

f"exc

R c!uf

N = k2 +

k +

Por dato: 22ab = k2, entonces:

(k + 1)2

R def =

C xc

22’ab 16 6a'b 609 0

2k + 1

R d e f " f l"exc

O bservem os las siguientes raíces y los resi duos: V 143 11 22 143 + 1: cuadrado perfecto

47 — - 7u8 8 87 x 7 = 609 88 > 8 = 704 (no sirve)

k2 = 47 2 = 2209

22: residuo máximo V 624 48

24 624 + 1: cuadrado perfecto 48: residuo máximo

Hallar el número por el cual hay que dividir a 108 675 para que el cociente sea un cuadrado perfecto. R e s o lu c ió n :

VÑP 2K

Por dato 108 675 |_N_

N + 1 = cuadrado perfecto

!—*• Residuo máximo

Raíz cúbica a.

108 675 = N x k2 Descom poniendo en factores a 108 675 se obtiene:

Exacta 3i-------V 512 0

\[Ñ U 0

108 6 75 = 32 x 52 x 7 x 23 x N =

512 = 83

N = k3

108 675 4 - 12 075 x 32 \

Inexacta 10

\ l 829

111

3. k + 1

'vrÑT| N = k + rdef = (k + 1) - rexc 3 k (k

1) +

O bservem os las siguientes raíces y los re siduos: 3.---31V 124 V63 60 36

3/---n/TÑT

Las raíces cúbicas de 614 125 y 205 379 se diferencian en: R e s o lu c ió n :

*"def

3x3x4

483 x 152

De las altérnativas, solo cum ple N = 483

V 829 100

r d e f ■*" ^ e x c =

/ 4375 x 52

3x4x5 N + 1 = cubo perfecto rmax = 3 K ( K + 1)

Extrayendo la raíz cúbica, en ambos casos: 614 125 85 1021 * 512 102 125 3 x 82 102 125 19 200 + 0 1200 25 20 425 5 1 0 2 12 5

V 205 379 59 803 125

Nos piden: 85 - 59 = 26

80 379 80 979 0

_ n

3 x 52 7500 + 1350 81 8931 9 80 379

A r it m é t ic a |

Por dato:

Para recorrer 302,50 metros, Juan da tantos pasos como milímetros tiene cada uno de ellos. ¿Cuál es la longitud del paso?

(L + 1 0 0 )2 2500 cm 2

R e s o lu c ió n :

200 L = 340 000 L = 1700 cm

Luego: N x N = 302,5 m

L = 17 m

N2 = 302 500 mm N = V302 500 = 550 mm

SI se extrae la raíz cuadrada de 11,9494069; hallar el residuo que queda.

Hay 1849 árboles en un bosque. El número de árboles en una fila es Igual al número de filas. Halla el número de filas.

R e s o lu c ió n : Extrayendo la raíz cuadrada, se obtiene:

R e s o lu c ió n :

V 11,94940690 _9_ 29'4 256 3894 3425 46 906 41 436 547 090 483 889 63 201

Sea N el número de filas del bosque; cada fila tiene N árboles, entonces, en total hay N2 ár boles. O sea: N2 = 1849 N = 43 6.

[ ■= 140 2500 cm 2

200 L + 10 000 = 350 000

Sea A el número de pasos que da; entonces, cada paso mide N milímetros.

Una persona nacida en la primera m itad del siglo diecinueve tenía x años en el año x2. Di cha persona nació en:

3,4569 64 x 4 = 256 685 x 5 = 3425 6906 x 6 = 41 436 69 1 2 7 x 7 = 493 889

R e s o lu c ió n : .-. Residuo = 0,0063201

Sea 18ab el año de su nacimiento. Por dato: 18ab + x = x2 18ab = x(x - 1)

Dos núm eros im pares consecutivos son tales que la diferencia de sus cuadrados es 8000.

1640 = 40 x 40 (no cumple)

Hallar los números.

1722 = 42 x 42 (no cumple)

R e s o lu c ió n :

1806 = 43 x 42 (cumple)

Sean los números: (2n + 1) y (2n - 1)

1892 = 44 x 43 (no cumple)

Por dato:

Nació en 1806

(2n + 1)2 - (2n - 1)2 = 8000 7.

(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 8000

Para pavim entar un patio cuadrado se em plean losetones de 50 x 50 cm. SI el patio tu viera un m etro más por cada lado, se habrían necesitado 140 losetones más. ¿Cuánto mide cada lado del patio?

(4n)(2) = 8000 n = 1000 Luego los números son: 2n + 1 = 2001 2n - 1 = 1999

R e s o lu c ió n : Sea L la longitud del lado del patio. [2 ------Inicialmente: n.° losetas = 2500 cm 2

Después: n. losetas =

(L + 100)2 — 2500 cm 2

10.

Con S/.16 464, se han com prado latas de sar dinas en cierto número de cajones cada uno de los cuales contiene un número de latas triples del número de cajones. Cada lata de sardinas cuesta un número de soles doble del número de cajones. ¿Cuántas son las latas de sardinas?

I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

R e s o lu c ió n :

je r c ic io s propuestos i

Sea n el número de cajones • cada caja contiene: 3n latas

• cada lata cuesta: 2n soles En total invierte: n(3n)(2n) = 16 464 n3 = 2744 n3 = 143 => n = 14 número de latas = 42 11.

Hallar los cuadrados perfectos de la forma:

n2 = aabb e indicar a + b.

I. 297 IV. 372

II. 196 V. 400

III. 128

a) 2 d )1

b) 3 e )5

c) 4

¿Cuántos cuadrados perfectos están com prendidos entre 144 y 900? a) 15 d) 18

R e s o lu c ió n : Por dato: aabb = k2 Descom poniendo polinómicam ente:

¿Cuántos de los siguientes numerales no son cuadrados perfectos?

1100a + 11b = k2

b) 16 e) 19

c) 17

¿Cuántos cubos perfectos de tres cifras hay? A) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

11 (100a + b) = k2 4.

¿Cuántos cubos perfectos de dos cifras hay?

11 x t a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

entonces: 100a + b = 11 (Í1 + 1) a + b = Í1

a + b = 11 a + b = 11 (única posibilidad) 12. Se quiere cercar un terreno de form a cuadra da cuya superficie es de 15 625 m2, con una

a) 2 6.

b) 3

total: S/.4225 R e s o lu c ió n :

d) 5

b) 1 e )6

e) 6

c) 2

¿Cuántos cubos perfectos hay entre 27 y 8000? a) 16 d) 17

Área total = 15 625 m2, entonces, cada lado

c) 4

Si: N = 640a es un cuadrado perfecto; calcular: a a) 0 d )4

cerca de tres hileras de alambre. Se desea saber cuánto costará toda la obra si el metro de alam bre cuesta S/. 15,50 y la mano de obra

¿Cuántos cubos perfectos hay entres 20 y 150?

b) 15 e) 18

c) 14

tiene V15 625 = 125 m 8. Perímetro total del terreno: 500 m Costo del m etro de alambre: 15,50 Costo de 500 m de alambre:

Los números que tienen raíz cuadrada exacta y están com prendidos entre 269 y 412; calcu lar cuántos números son. a) 6 d) 4

15,50 x 500 = 7750 soles

b) 5 e) 3

c) 2

En las tres hileras gasta: 3 x 7750 = 23 250 soles + 4225 (mano de obra) Total = 2 7 475

¿Cuántos cuadrados perfectos hay entre 80 y 160? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

A r it m é t ic a |

10. C alcular la suma de los dos m ayores cuadra dos perfectos de dos cifras. a) 120 d) 170 11.

b) 145 e) 180

c) 160

a) 143 d ) 26 18.

¿Cuál es el m enor número natural por el que se debe m ultiplicar a N para que sea un cua drado perfecto, si N = 22 x 15 x 49? a) 8 d) 49

b) 15 e) 60

b) 22 e) 286

c) 28 600

¿Cuál es el menor número entero por el que se debe multiplicar a 648 para que su produc to sea un cuadrado y cubo perfecto a la vez? a) 36 d ) 56

b) 72 e ) 112

c) 144

c) 25

19. ¿Cuál es el menor número entero tal que si dividim os el número 157 339 entre dicho nú mero se obtiene una división exacta con un 12. La diferencia de los cuadrados de las raíces decociente que es un número entero y cuadrado dos números es 24 y la suma de las raíces de perfecto? dichos números es 12. ¿Cuál es el m enor de dichos números, si son cuadrados perfectos? a) 13 b) 37 c) 19 d) 17 e) 91 a) 16 b) 25 c) 36 d) 49 e) 81 20. La suma de la tercera y cuartas parte de un 13.

número es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el m enor número que cum ple esta condición?

Entre dos cuadrados perfectos consecutivos hay 26 números enteros. Determ inar el prim e ro de los números com prendidos entre tales cuadrados perfectos. a) 171 d) 172

b) 170 e) 195

c) 168

a) 12 d) 84 21.

14. Sea N = 3 x 72 x 11, ¿Cuál es el m enor nú mero natural por el que se debe m ultiplicar a N para que sea un cuadrado perfecto? a) 3 d) 66 15.

B) 2 E) 5

b) 216 e) 375

c) 2000

c) 33 22.

Entre dos cuadrados enteros, determ inar el mayor de dichos cuadrados. a) 1024 d) 1089

b) 961 e) 900

C )1156

c) 81 23.

El cuadrado de un número aum entado en el propio número resulta 156. Hallar la suma de las cifras de dicho número. A) 1 D) 4

17.

b) 25 e) 36

Para que un número N sea cubo perfecto se le debe m ultiplicar por 18 y para que sea cua drado perfecto se le debe m ultiplicar por 15. ¿Cuál es el menor valor que puede tener N? a) 225 d) 1500

El cubo de un número, aumentado en el propio número resulta 222. ¿Cuál es su cuadrado? a) 49 d) 64

16.

b) 11 e) 75

b) 24 e) 96

a) 89

¿Cuál es el m enor número entero por el que se debe m ultiplicar a 64 350 para que el pro ducto sea un cuadrado perfecto?

La diferencia de los cuadrados de dos núm e ros es 1128, mientras que la diferencia entre ellos es 6; uno de ellos es: b) 91

c) 93

d) 95

e) 87

tn u

1. b

6. b

11. b

. J. c

21. d

2. c

7. a

12. b

17. e

22. d

< j u

3. d

8. a

13. b

18. c

23. b

4. b 5. b

9. d 10. d

14. c 15. e

19. c 20. d

1 0 0 | C o l e c c ió n E l Po s t u l a n t e

10.

[ " ejer cicios PROPUESTOS 2 1 1.

b) 7 53a9 10

c) 10

d) 13

e) 15

a) 64 d) 85

11.

c) 76

b) 71 e) 89

b) 9 e) 36

Sea 10 < A < B < 100 donde A y B son cua drados perfectos. Si la suma de las raíces cua dradas de A y B es Igual a 13, entonces, hallar la suma de las cifras del menor valor de A. a) 6 d) 10

calcular: K + a

a) 4 d) 25

Al extraer la raíz cuadrada a: 70ab, se obtiene 14 de resto. Calcular: a + b a) 6

Si: 1bb5 es un cuadrado perfecto, calcular b2.

b) 7 e) 12

c) 9

12. Calcular a + b si al extraer la raíz cuadrada a un núm ero que no tiene raíz exacta de la forma: 16ab, se obtuvo un resto mínimo.

Si: (2a)6a(2a) = K¿ a) 6 d) 12

hallar la suma de cifras K. b) 18 e) 16

a) 12 d) 14

b) 7 e) 14

c) 10

c) 15 13. Al extraer la raíz cuadrada a: abb(b - 1) se obtiene 37 como raíz y un resto máximo. Cal cular a + b.

Si: 4aa5a = K hallar: a2 + K (a es par) b) 70 e) 81

a) 69 d) 104 5.

c) 72

c) 11

b) 6 e) 14

b) 50 e) 53

c) 45

V 1200 [ K R

d) 9

e) 10 a) 70 d) 81

Si z52 = 4xxy, hallar: xy + xz a) 49 d) 52

b) 42 e) 72

16. Calcular el valor de K + R en:

Si: 3c2= ab25, hallar a + b + c. c) 6

c) 20

c) 23

b) 25 e) 26

b) 8

b) 18 e) 32

V 1232 R a) 35 d) 60

Si: xxx2 = 12 321, hallar: xx + 13

a) 7 9.

a) 15 d) 24

c) 2345

b) 1235 e) 1234

a) 24 d) 22

c) I

15. Calcular K + R en:

SI: 11112 = PERUREP, hallar: PERU a ) 3456 d ) 4321

b) 7 e) 12

14. Al extraer la raíz cuadrada a: 75ab3 se obtuvo como resto 8. Calcular ab.

Hallar (a + b ), si aabb = K2 a) 5 d) 13

a) 5 d) 9

c) 51

b) 75 e) 83

c) 78

17. Al extraer la raíz cuarta de: 41006bc, se obtu vo como raíz a5. Calcular a + b + c.

A r it m é t ic a | 1 0 1

a) 9 d) 13

b) 10 e) 14

18. Al extraer la raíz cuadrada a N se obtuvo un resto máximo igual a 38. Si M es el mayor cubo perfecto pero menor que N, Calcular N - M. a) 17 d) 48

a) 8 d) 5

c) 11

b) 35 e) 56

23.

24.

20.

b) 9

c) 10

d) 11

b) 11 e) 14

c) 10

D eterm inar el valor de a + b si ei numeral 12ab es un cuadrado perfecto. b) 7 9e)

c) 8 10

25. Al extraer la raíz cuadrada de un número ob tuvim os 23 de resto y al extraer la raíz cuadra da de su cuádrupío obtuvim os 19 de resto. La suma de cifras de! números es:

e) 15 a) d)

¿Cuántos números de 4 cifras, tienen raíz cú bica exacta? a) 10 d) 13

b) 9 e) 12

a) 6 d)

c) 85

Con las cifras: 5; 0; 3 y 2 se forma un número de 4 cifras que tenga raíz cuadrada exacta. Calcular la suma de las cifras de la raíz. a) 8

21.

b) 84 e ) 90

c) 9

Determ inar el valor de a + b si el numeral 22ab es un cuadrado perfecto. a) 8 d) 11

c) 42

19. ¿Cuántos números naturales tienen como raíz cuadrada entera a 42? a) 83 d) 91

b) 6 e) 7

c) 12

22. Al encontrar la raíz cúbica de un número se obtuvo como residuo el máximo posible: 2610. ¿Cuál es el radicando? Dar su mayor cifra.

14 23

b) 15 e) 25

c) 17

A U) til S < j

1. b

6. e

11. b

16. c

21. c

2. c

7. a

12. c

17. c

22. c

3. d

8. b

13. a

18. e

23. a

4. c 5. c

9. c 10. a

14. b 15. b

19. b 20. c

24. b 25. a

TEORÍA DE CONJUNTOS CONJUNTO

Es un ente m atem ático por lo cual se puede tener una ¡dea subjetiva de ello, como colección agrupa ción o reunión de objetos abstractos o concretos denom inados elementos. Ejemplos: •

' Los días de la semana.

Es evidente que el orden en el cual son listados los elem entos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a el. De este modo en el conjunto A = {a, e, i, o, u} = {a, o, u, i, e} no todos los conjuntos pueden ser determ inados por extensión, entonces, se recurre a otra form a de determ inación.

Los países de Am érica del Sur. Los jugadores de un equipo de fútbol. NOTACIÓN DE UN CONJUNTO

G eneralm ente se denota a un conjunto con sím bo los que indiquen superioridad y a sus elementos m ediante variables o letras m inúsculas separados por comas y encerrados con llaves.

Por com prensión (form a constructiva). Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elem entos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elem ento del conjunto goza de la propiedad m encionada. Esquema: tal que

Ejemplos: F =

A = {a, e, i, o, u}

Forma general de elemento

B = {los días de la semana} Q = {cara, sello}

......} Características o propiedad común de la variable que forma el elemento

RELACIÓN DE PERTENENCIA

G = {n/n es una vocal}

Se establece esta relación solo de elem entos o conjuntos y expresa si el elem ento indicado forma parte o no del conjunto considerado. ... pertenece a ...: 6

H = {los números pares m enores que 13} J = {n2 - 11 / n es entero A 1 < n < 7}

... no pertenece a...: (f Esto quiere decir que dado un elem ento y un con junto: Ejemplo: C = {1; 2; {1 ; 2} ; 5; {6 }}

CLASES DE CONJUNTOS

Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen, se gún esto tenem os: Finito. Si posee una cantidad limitada de elem en tos, es decir, el proceso de contar sus diferentes elem entos term ina en algún momento.

•

2 tC 8£ C

Ejemplo:

•

{1 ; 2 } e C

K = {3n + 2 / n e Z Z A l < n < 4 }

5 tC

K es finito pues, el número de elementos de K es: 4 L = {x / x es un día de la semana}

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Consiste en precisar correctam ente que elem entos form an parte del conjunto. Puede hacerse de dos formas: Por extensión (forma tabular). Cuando se indica generalm ente a todos y cada uno de los elementos. Ejemplos: A = {a, e, i, o, u} D = {2 ; 4 ; 6: 8 }

L = es finito pues, el número de elem entos de L es: 7 Infinito. Sí posee una cantidad ilimitada de ele m entos, es decir, el proceso de contar sus diferen tes elem entos no term ina nunca. Ejemplo: M = {x/x e ® A l< x < 2 } M es infinito pues, el número de elem entos de M es: oc

A r it m é t i c a | 1 0 3

TÚ = {1; 2; 3; 4; 5; ...} TÚ es infinito pues, el número de elem entos de TÚ es: oo C ONJUNTOS NUMÉRICOS

Dando valores, del conjunto A, a la variable x se obtiene: Si x = 2 => 22 + 1> 4 (V) Si x = 3 => 32

1> 4(V)

Si x = 4 => 42

1> 4(V)

Conjunto de los núm eros naturales IN = {0; 1; 2; 3; 4; ...} 0,3 £ IN , 17

Conjunto de los núm eros enteros TL =

- 3 ; - 2 ; - 1 ; 0; 1; 2; 3; ...}

Esto es, para todo valor de x que pertenece al con junto A se cumple que x2 + 1 > 4 es verdadero. Luego afirm am os que: Para todo x t A s e cumple que: x2 + 1 > 4 Si bien es cierto x2 + 1 > 4 no es proposición, al anteponerle para todo x e A, se cumple que se convierte en proposición. A este proceso se le de nomina cuantificación. Trataremos los dos principales tipos de cuantificadores. Universal. Se denota por V y se lee: para todo o para cualquier. Si P(x) es una función proposicional, V x e A; P(x) es una proposición que será ver dadera cuando para todos los valores de x e A se cumple P(x).

Ejemplos:

0,333...

Si: A = { 2 ; 4; 6; 8}

P(x) = x es un número par P(y) = 3y - 2 > 4 Luego:

CARDINAL DE UN CONJUNTO

A: x es un número par

(V)

Es el número de elementos diferentes que posee el conjunto considerado. Cuando se trata de elem en tos abstractos para objetos concretos se toman en cuenta a todos.

A: 3y - 2 > 4

(F)

Notación: |A| o n(A): número de elem entos diferentes de A

Existencial. Se denota por 3 y se lee existe por io menos un. Si P(x) es una función proposicional, 3x e A / P(x) es una proposición que será verda dera si existe por lo menos un elm ento de A, que cum ple P(x).

A = {a; e; i; o; u} => |A| = n(A) = 5 P = {2; 2; 3; 3; 3; 5; 7} =* n(P) = 4

Ejemplos: Si: B = {1; 4; 5; 7}

NÚMERO ORDINAL

P(x) = x es un número impar

Teniendo en cuenta una disposición de los elem en tos dentro del conjunto del cual forman parte, cada uno determ ina su número ordinal como el lugar que ocupa en el orden establecido.

P(y) = (y - 4)2 = 4 Luego: 3x

B / x es impar

3y g B / (y — 4)2 = 4

(V) (F)

Notación: Ord(x): número ordinal de x S = {7; a; A; 13} O rd(a) = 2

Ord(A) = 3

CUANTIFICADORES

Sea el enunciado abierto: x2 + 1 > 4 y el conjunto A = {2; 3; 4}

Negación de los cuantificadores. Cuando afir m am os la proposición: todos los peruanos son m orenos su negación afirm aría que no todos los peruanos son morenos, en símbolos: p: v x g A: x es moreno; A = {todos los peruanos} - p : 3x

A / x no es moreno

1 0 4 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

En general se cumple: - [ V x e A ; P(x)] = 3x e A / -P (x )

Análogamente:

Ejemplo: A = {3n + 2 / n e Z A l < n < 4} B = {5; 14; 8; 11} se observa: A = B A = B o A c B a B c A

- [ 3 x e A / P(x)] e V x e A: -P (x )

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Es la representación geométrica de un conjunto mediante una región de plano limitado por una fi gura cerrada y en cuyo Interior se indican los ele mentos que form an el conjunto.

Com parables. Se dice que dos conjuntos son com parables cuando solo uno de ellos está inclui do en el otro. Ejemplo: dados los conjuntos: A = {3; 5}

Ejemplo:

B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}

A = {a; i: o; e; u}

C = {2; 4: 6; 7} D = (4; 7} Son conjuntos comparables: A y B; B y C; B y D; C y D.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Inclusión (c ). Se dice que un conjunto está in cluido en un segundo conjunto, cuando todos los elementos del primero form an parte del segundo conjunto. c : incluido o contenido A c B: A está contenido en B A es subconjunto de B B contiene a A A está incluido en B

Disconjuntos o ajenos. Dos conjuntos se deno m inan disjuntos cuando no poseen ningún elem en to común. Ejemplos: C = {x / x es un hombre} D = {x / x es una mujer} .-. C y D son disjuntos Si dos conjuntos son disjuntos am bos serán dife rentes. Si dos conjuntos son diferentes, entonces, no siem pre serán disjuntos. Ejemplos: E = {2; 5; a; b}; F = {3; 4; c; d} E y F son disjuntos => E A F G = {1; 3; c; d; 7}; H = {2; 8; e; f; c} G ^ H , pero G y H no son disjuntos A = {2; 3; a; b}; b = {2; 3; c; d} son diferentes pero no disjuntos.

Ejemplos: i. A = {todos los gatos} B = {todos los m am íferos} Ac B II.

D = {2 ;4 ; 6}; E = {1 ;2 ; 3; 5} Se observa que D no está contenido en E, ese caso se denota: D Ct E

Igualdad. Se dice que dos conjuntos son iguales cuando am bos poseen los mismos elementos.

Coordinables o equipotentes. Dos conjuntos se dirán que son coordinables cuando se pueda esta blecer una correspondencia uno a uno entre todos y cada uno de los elem entos del primer conjunto con los del segundo conjunto. A dicha correspon dencia se le denom ina blunívoca y como conse cuencia de estos se tiene que los cardinales de estos conjuntos son iguales (si son finitos). Ejemplo: I = {Lima, Caracas, Bogotá, Santiago}

A r it m é t ic a ¡ 1 0 5

J = {Venezuela, Colombia, Perú, Chile}

C es fam ilia de conjuntos

Se observa que es posible establecer ¡a correspon dencia biunívoca:

D no es fam ilia de conjuntos

!...es capital de...! De ahí que I y J son coordinables mas aún: n(l) = n(J) CONJUNTOS ESPECIALES

Vacío o nulo. Es aquel conjunto que carece de elementos. Notación: o ; { } Ejemplo: A = {x / 0 < x < 5 A x2 = 100} = { } = 0 Observaciones: VA: 0 c A

CONJUNTO POTENCIA

El conjunto potencia de A, llam ado también con junto de partes de A, es aquel que está form ado por todos los subconjuntos posibles que posee el conjunto A. Notación: P(A) Ejemplo: A = {x; y} P(A) = {0 ; {x}; {y}; {x; y}} n[P(A)j = 4 Los subconjuntos 0 , {x}, {y} son denom inados pro pios. B = {x / x es primo y x < 10} B = {2; 3; 5; 7} =» n(B) = 4

0 V {0} [Número de subconjuntos de B] = 24 = 16 El vacío 0 es subconjunto de todo conjunto. Unitario o singletón (singular). Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. P = {x / x > 0 a x2 = 9} = {3} Universal. Es un conjunto referenclal para el es tudio de una situación particular, que contiene a todos, los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto y se le denota gene ralmente por U.

[Número de subconjuntos propios de B] = 24 - 1 = 15 PAR ORDENADO

Es un conjunto de dos elem entos para los cuales se considera el orden en que están indicados. Notación: (a; b) Se lee: par ordenado a, b a: prim er com ponente b: segundo com ponente (a; b) = (c; d) » a = c A b = d

Ejemplo: A = {2; 6; 10; 12} B = {x + 3 / x es im par A 0 < x < 10}

■Ejemplo: (7; 2) ± (2; 7) ( 11; 8 ) = ( 11; 8 )

podrán ser conjuntos universales para A y B: U = {x/x e 1N A x < 13} U = {0; 2; 4; 6; 8; ...} CONJUNTO DE CONJUNTOS

También se le denom ina fam ilia de conjuntos o cla se de conjuntos; es aquel conjunto cuyos elem en tos son todos conjuntos.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión (u). La unión de dos o más conjuntos es aquel conjunto conformado por la agrupación de to dos los elementos de los conjuntos que intervienen. AuB = {x/xe A vxe B } U

Ejemplos: C = «2; 3}; {3}; {a}; {6; b}; 0 } D = {{a; b; c}; {2; 3; 6}; {6}; c; 8} Se observa que:

AC O

D B

1 0 6 I C o le c c ió n E l P o s t u la n t e

Ejemplo:

AAB = {x/xe(AuB)Axí(AnB)}

A = {2; 3; 5} B = {1; 7; 5} A u B = {2; 3; 5: 1; 7}

Ejemplo: A = {2; 4; 5; 6; 7; 8}

Si A cB s AU B = B

B = {1; 3; 6; 7; 9} A A B = {2; 4; 5; 8; 1: 3; 9} Intersección (n). La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto form ado por ios elem entos que pertenecen a A y B a la vez. AnB = {x/xeAóxeB} U

SiAcB ^ AAB = B - A Si A y B disjuntos, A A B = A u B Com plem ento de A (CA; Ac; A; A’). El com ple mento de A es el conjunto form ado por los elem en tos que pertenecen al conjunto universal (U) pero no al conjunto A. Ac = { x / x e U

a x í

A) = U - A

Ejemplo: A = {2; 3; 4; 5; 6} B = {4; 6; 7; 9} A n B = (4; 6} S i A c B =» A n B = A

Ejemplo: U = {x / x e IN A x < 8}

Si A y B son disjuntos, A n B = o

A = {1; 3; 4} .-. A c = {0; 2; 5; 6; 7}

Diferencia ( - ) . El conjunto diferencia (A - B), en ese orden, es aquel que esté form ado únicamente por los elem entos exclusivos de A, es decir no de ben de pertenecer a B. A - B

= {x /

x e

a x í

CONJUNTO PRODUCTO 0 PRODUCTO CARTESIANO (X)

Dados los conjuntos A y B se define el conjunto producto como:

A x B = {(a; b) / a e A A b e B} U

Ejemplo:

A = {a: b; c}; B = {1; 3} A x B = {(a; 1); (a; 3); (b; 1); (b; 3); (c; 1); (c; 3)} B x A = {(1; a): (1; b); (1; c); (3; a); (3; b); (3; c)}

Ejemplo: A = {2; 4; 5; 6: 7; 8} B = {1; 3; 6; 7; 9} .-. A - B = {2; 4; 5; 8} B - A = {1; 3; 9} Observación:

Si A = B = > A x B = B . x A Si A y B son finitos, entonces: n(A x B) = n(A) x n(B) S i A x B = B x A => A = B v A = 0 V B = o DIAGRAMAS PARA A x B

Cartesiano

Si A y B son disjuntos A - B = A y B - A = B

Diferencia sim étrica (A). La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto form ado por los elem entos que pertenecen a A o B pero no a ambos.

3 ------- -T---------t --------- t

(a; 3)

1 -------

(b: 3)

(c; 3)

j(_b, 1_)_ J(c; 1)

I I I _1------------L---------- 1---------► a b c a

A r it m é t ic a | 1 0 7

Adicional

Sagital

A - B = A n Bc (U) c = o (0)c = U

Diagram a de carrol (para conjuntos) A

An B

B - A

A - B

Án B

RELACION BINARIA

Considera el conjunto A = {2; 3; 5} la representa ción gráfica mediante un diagram a cartesiano deí producto A x A es el siguiente: A | (2; 5)

(3; 5)

(5; 5)

LEYES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

Idem potencia 3

A UA = A A n A = A

<2;3J (2;2)

I |(3 ;2 )

■- - T

) 5; 3> I 1(5:2)

Conm utativa Au B = B u A A n B = B n A

Asociativa ( A u B) u C = A u (B u C) ( A n B) n C = A n ( B n C)

Distributiva A u (B n C) = ( A u B) n ( A u C) A n ( B u C) = ( A n B ) u ( A n C)

De Morgan (A u B) c = A c n B ° (A n B) c = A c u B c

¿Cuáles son los elem entos del conjunto de A x A tal que la suma de sus com ponentes es 6 o mayor que 6? Llamemos R a ese conjunto de pares ordenados que cumplen dicha condición, entonces: R = {(2: 5); (3: 3); (3: 5); (5; 2); (5; 3); (5: 5)} Decidimos que R es una relación binaria definida sobre e! conjunto A. Si R es una relación binarla y (a; b) e A x A, tal que (a; b) e R, entonces, se denota; a R b y se lee: a se relaciona con b o a está relacionado con b. Del ejem plo anterior: 2 R 5, 3 R 3, 2 R 5, 3 R 5, 5 R 2, 5 R 3, 5 R 5.

Del com plem ento A u Ac = U

A n Ac = ( A c )c = A

PROPIEDADES QUE PUEDE PRESENTAR UNA RE LACIÓN BINARÍA

Propiedad reflexiva

De la unidad

Considere el conjunto A = {1; 2; 3; 5} y en el la relación R c A x A, tai que:

AU U = U

(a; b ) E R » a + b, número par

An U = A

Es decir: a R b » a + b: número par.

Au 0 = A

Entonces: R = ((1: 1): (2: 2 ): (3:3): ( 5 :5 ): (1:3 ); (1 :5 ); (3; 1); (3; 5); (5; 1); (5; 3)}

De absorción A U (A n B) = A A n (A u B) = A A u ( Ac n B) = A u B A n ( Ac u B) = A n B

Se observa que por medio de la relación R, todo elem ento del conjunto A se relaciona consigo mismo. Por esta razón, se dice que la relación R posee la propiedad reflexiva. En general: una relación R definida sobre un conjunto A posee la propiedad reflexiva,

1 0 8 j C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

cuando todo elem ento de A esta relacionado consigo mismo. B.

P ro p ie d a d s im é tric a Considera el conjunto B = {2; 3; 4; 5} y la re lación R definida por: a R b, si y solo si, ab es un número par, es decir:

RELACIÓN

DE EQUIVALENCIA

Considerem os ei conjunto: A = {3; 4; 6; 7} y en ia relación dada por el siguiente criterio: ios números de A están relacionados, si al dividirlos entre 3 dan el m ismo resto. O bservem os las divisiones:

a R b o a b : número par

L l_

Entonces:

L 3-

1 1

7 La _

1 2

R = {(2; 2); (2; 3): (2; 4); (2: 5); (3; 2); (3; 4): (4; 2); (4: 3); (4: 4); (4: 5); (5: 2); (5: 4)} Observa los pares:

Los números de 4 y 7 dan el mismo resto (1), luego están relacionados.

(2; 3) (2; 4)

(3; 2)

(2; 5) (3; 4)

( 5: 2)

Form ando ei conjunto R con los números que se relacionan:

( 4: 3)

R = {(3; 3); (6; 6); (3; 6): (4; 4): (7; 7); (4; 7);

(4; 5)

(5; 4)

( 4: 2)

Donde si un elem ento se relaciona con otro, este se relaciona con el primero. Por ello la relación R posee la propiedad simétrica. En g e n e ra l: una relación R definida sobre un conjunto A posee la propiedad simétrica: Si cuando (a; b) e R, entonces (b; a) e R, lo que es lo mismo; a R b => b R a. C.

Los números de 3 y 6 dan el mismo resto (0), luego están relacionados.

P ro p ie d a d tra n s itiv a En el conjunto C = {17; 12; 27; 47}, considere la relación R, definida por: a R b; si y soio si, a y b tienen la misma cifra de unidades, entonces: R = {(17; 17); (17; 27): (17; 47); (27; 17); (27; 27); (27; 47); (47; 17); (47; 27); (47; 47)}

(7; 4)} Se observa que R posee las propiedades: re flexiva, sim étrica y transitiva, se dice por elio que es una relación de equivalencia. Adem as los elementos de A que están relacio nados entre si, se llaman elem entos equiva lentes, en A lo son: 3 y 6 (resto 0) 4 y 7 (resto 1) En g e n e ra l: una relación R definida sobre un con junto A se dice que es de equivalencia, si tiene las propiedades: reflexiva, sim étrica y transitiva. Es decir si: a R a, para todo a

a R b =» b R a si a R b y b R c, luego a R c

Se observa que, si: (17; 27) y (27; 47) luego (17; 47) e R

Si R es de equivalencia y a R b, decimos que a es equivalente a b.

(27; 47) y (47; 17) luego (27; 17) e R (47; 17) y (17; 27) luego (47; 27) e R I

Por ello se afirma que la relación R posee la propiedad transitiva. En g e n e ra l: una re la ció n R, d e fin id a en el c o n ju n to A p o se e ia p ro p ie d a d tra n s itiv a , si cu a n do (a: b) e R y (b; c) e R, e n to n ce s, (a; c) e R.

CLASES DE

EQUIVALENCIA

Consideram os de nuevo ia relación de equivalen cia definida en el conjunto A = {3; 4; 6; 7} Los subconjuntos form ados por los elementos que están relacionados entre sí (elem entos equivalen tes) se llaman clases de equivalencia. En ei conjunto A: 3 y 6 están relacionados, luego conform an una clase de equivalencia.

A r it m é t i c a | 1 0 9

4 y 7 están relacionados, luego conform an otra clase de equivalencia, es decir, se tienen dos clases de equivalencia. C i = {3; 6}

O-, es la clase de 3 o 6. Otra notación es: [3] = [6] = {3: 6} C2 = {4; 7}, luego: [4] = [7] = {4; 7} G ráficamente:

EJERCICIOS RESUELTOS Un estudiante salió de vacaciones por n días, tiem po durante el cual: Llovió 7 veces en la m añana o en la tarde. •

Cuando llovía en la tarde, estaba despeja da la mañana. Hubo 5 tardes despejadas.

•

Hubo 6 m añanas despejadas.

Según esto, hallar n. R e s o lu c ió n : Com o al llover en la tarde no llueve en la ma ñana, es im posible que llueva todo el día, en tonces: Mañanas n

despejadas

llueve a

llueve b

despejadas

0Ü Tardes n

despejadas

Observa que estas clases de equivalencia tie nen las siguientes propiedades: -tu 1. Todas las clases tienen algún elemento, es decir, ninguna clase es el conjunto vacio. 2.

Las clases distintas son disjuntas, es de cir, no tienen elem entos comunes.

La unión de las clases de equivalencia es el conjunto A.

Toda relación de equivalencia establecida en un conjunto, determ ina en este conjunto una clasificación o partición en clases de equiva lencia.

Por dato: a 4

b = 7 T

n - 6 + n - 5 = 7 2n = 18 => n = 9 En un grupo de 55 personas, 25 hablan in glés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres Idio mas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas? R e s o lu c ió n :

Hemos visto que los elem entos de:

Usando los diagram as de Venn-Euier

A = {3; 4; 6; 7} han quedado clasificados en dos subconjuntos o clases de equivalencia C-i y C2 por la relación R: dan el mismo residuo al dividir entre 3. Considera el conjunto cuyos elem entos sean las clases de equivalencia {C-i, C2}. Este nuevo conjunto se llama conjunto co ciente de A respecto a la relación R y se re presenta por: A = { C l;C 2} = { [3 ],[4 ]} b + n + p = 27 = {[6 ], [7 ]}

c + m + p = 28

1 1 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Sumando: a + b + c + 2(m + n + p) = 75

Una persona come huevos y/o tocino en su desayuno cada m añana durante el mes de

...(a)

enero. Si come tocino 25 m añanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas m añanas comió hue vos y tocino?

Pero: a + b + c + m + n + p = 50 En: (a) 50 + m + n + p = 75 m + n + p = 25

R e s o lu c ió n : Gráficam ente:

¿Cuántos subconjuntos se form arán con 6 elementos?

huevos (1 8 )

tocino (2 5 )

R e s o lu c ió n : El número de subconjuntos que tiene un con junto A, es igual al número de elem entos que tiene el conjunto potencia de A.

Com o todo ocurre en el mes de enero (31 dias), entonces:

Es decir:

18 - x + x + 2 5 - x = 31 => x = 12

n(P(A)) = 2niA) = 26 = 64 4.

A, B y C son tres conjuntos tales que satisfa cen las condiciones siguientes: •

A está contenido en B y B está contenido en C. Si x es un elem ento de C, entonces, x tam bién es un elem ento de A.

El circulo A contiene a las letras a, b, c, d, e, f. El círculo B contiene a las letras b, d, f, g, h. Las letras del rectángulo C que no están en A son h, j, k y las letras de C que no están en B son a, j, k. ¿Cuáles son las letras que están en la figura sombreada?

¿Qué concluim os de las condiciones? R e s o lu c ió n : De las condiciones deducim os que: A c B A B c C ^ A c C (transitiva)

...(1)

51 x e C => x e A =» C c A (in c lu s ió n )

...(2)

De (1) y (2) concluim os que: R e s o lu c ió n :

A = B = C

Por dato sabemos que: 5.

Sean A, B dos conjuntos contenidos en un universo. Si: (A - B) u (B - A) = A u B ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? I. III.

A = A - B B cA '

II.

An BV 0

IV.

(A n B)'

B C

R e s o lu c ió n : Si (A - B) U (B - A) = A u B, quiere decir que A y B son conjuntos disjuntos. Analizando al ternativas: I.

A = A - B (verdadero)

II.

(A n B) ^

B = (b, d, f, g, h} C — A = (h, j, k} C - B = (a, j, k}

0 (falso)

III. B c A '(ve rd a d e ro ) IV. (A n B)c

A = {a, b, c, d, e, f}

Entonces:

(A u B) (verdadero) Respuesta: II

A n B = {b, d, f}, luego del gráfico. Figura sombreada: (a, b, d, f, h}

A r it m é t ic a | 1 1 1

E JE R C IC IO S PROPUESTOS

Determina por extensión el conjunto „3

A =

Coloca el valor de verdad a cada proposición, si: A = {8; 3; {2}; {1; 3}}

;x e N x /x = 12 + x

a) {0; 4} d) { - 3 ; 4}

I. 3 e A II. 2 e A III. 8 e A IV. {3} V A V. 3 e { 1 ; 3 } VI. 4 V A Indicar la cantidad de proposiciones verdade ras:

b) {4} e) { - 3 }

SI: A = í— - — / - e

a) 2.

b) 2

d) 4

e) 5

a) 2

II. 0 c A V. { o } e P ( A )

c) 5

d) 6

e) 7

IN; 1 < x < 9

Dí, 2 < n < 6

Halla el número de elem entos comunes entre A y B.

III. 1 c A Vl.oeP(A)

a) 0 3

B =

Dado el conjunto: A = { o ; 3; {O }; {2; O }} ¿Cuántas proposiciones son verdaderas? I. 0 e A IV. { 3 } c A VI I . OcP( A)

c) 3

c ) { - 3 ; 0; 4}

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Representar por extensión los siguientes con juntos

Dado el conjunto: A = jii!± l/0

A = {2; {3}; {3; 5}} B = {3x / x es un número natural entre 0 y 5}

< x < 7 A

B = Jx2 /1 < 2 L ± ! < 2 ,x e 2

C = {x / x es un subconjunto propio de A} ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdera? I.

{3; 5} c A

III.

{3; 6 } e P(B)

IV. {2: {3}} c P(A)

{3: 6} c P(B)

VI. {3} e P(C)

il. ( 3 ) e B

b) e)

II VII

a) 0 10.

V II. C c A a) I d) VI

Halla el n[P(C)j donde: C = {x /

c) 2

a x e

b) 1

d) 3

c) 2

d) 4

e) 8

Indicar el número de elementos del conjunto:

a) 194/3 d) 196/3

M = { x e I N / 1 0 < 3x2 < 39} b) 1

A = j x + 1 / , J 3x_f_1 £ M . x < 2 4 }

c) I

Halla el cardinal del conjunto:

a) 0

x e

11. e) 4

b) 68/3 e) 109/3

c) 34/3

SI se cumple que: A = {2a + b; 17} B = {b + 1; 3a - b}

Dado el conjunto: B = {x + 3 / x e TL\ x2 < 9},

son conjuntos unitarios.

calcula la suma de los elementos del conjunto B.

Halla la suma de todos los elementos de A y B.

a) 25

3 b) 9

c) 12

d) 15

e) 18

¿Cuántos subconjuntos propios tiene: A = {x / x e 2; - 7 < 4x + 1 < 21}?

b) 27

c) 30

d) 35

e) 42

12. Sabiendo que el conjunto: A = {a + b; a + 2b - 2; 10} es un conjunto unitario. Dar el valor de a2 + b2.

a) 64 d) 15

b) e)

63 31

c) 16 a) 16

b) 80

c) 68

d) 58

e) 52

112

| C o l e c c ió n

Po s t u la n te

{p2 + q; q + 2} = { - 9 ; 10}

Se tienen 2 conjuntos com parables A y donde se cumple que:

Calcula el menor valor que puede tom ar p + q.

n (A u B) + n (A n B ) = 30

13. Si p y q son números enteros y

n[P(A - B)] = 256 a) 10

b) 11

c) - 1 2

d) 12

e ) -10

14. Si A y B son conjuntos dlsjuntos; además: 4 n(A) + n(8) _ -j g3 Calcula n(A u B) b) 12

a) 8

c) 16

d) 18

e) 32

a) 32

b) 2048 e) 256

d) 1

c) 64

Considere 3 conjuntos A; B y C contenidos en U tales que: B n A = B; n(C - A) = 50 n ( A n C ) = 2n(B - C)

15. Sea A = {a + b; 15; b2 + c}

n [(A n B)' - C] = n(C) = 90

B = {a + 3; d2 - 1} Si A es singleton e igual a B. Calcula el m íni mo valor del prom edio de a; b; c y d. a) 6,25 d) 4,25 16.

Halla: nP[Ac n (A u (A A B))]

c) 5,05

b) 6 e) 4,05

La suma del número de subconjuntos unita rios con el número de subconjuntos binarios de A es igual a 55. Halla n(A).

Halla: n(U) b) 195 e) 140

a) 180 d) 135

c) 200

Para 2 subconjuntos A y B de U se tiene: • n(A) - n(B) = 3 • n [P (A u B)] = 2048 • •

n[P(A n B)] = 16 n(B') = 9

Calcula: n[P(A')j a )5 17.

b) I

d) 12

e) 15

Para 2 conjuntos com parables donde uno de ellos tiene 3 elem entos más que el otro, se cumple que la suma de los cardinales de sus conjuntos potencia es 576. ¿Cuántos elem en tos tiene el que está incluido? a) 8

U1 lll > < 1 □

c) 10

b) 10

c) 7

d) 6

1. d

5. d

9. c

13. c

2. e

6. b

10. d

14. c

3. c

7. a

11. a

15. d

4. c

8. c

12. c

16. c

e) 9 17. d

b) 64 e) 512

a) 32 d ) 1024

c) 128

Durante el mes de enero, Juan salió a pasear con Ana o Bety. Si 16 días paseo con Ana y 22 días con Bety. ¿Cuántos días paseo con ambas? a) 5

b) 6

c) 7

d )l

e) 9

Sí un conjunto A tiene n elem entos y un con junto B que tiene 2n elem entos origina 992 subconjuntos más que A. ¿Cuántos subconjuntos tiene (A A B) si se sabe que (A n B) tiene 3 elementos? a) 64 d) 512

[ " e je r c ic io s PROPUESTOS 2 \ Para 3 conjuntos A, B y C se cumple: n(B) = 60, n(B - A) = 38, n(B n C) = 20 Además: 3n(A n B) = 11 n(A n B n C)

b) 128 e) 1024

c) 256

De 52 estudiantes, 30 son hombres y 12 mu jeres tienen 20 años. Si 20 de dichos estu diantes tienen 20 años. ¿Cuántos hombres no tienen 20 años?

Halla: n[(a A b) n (A u C)'] A) 23

B) 24

C) 25

D) 26

E) 27

a) 10 d) 22

b) 20 e) 132

c) 30

En un salón de la PRE hay 43 alumnos: 5 son m ujeres que estudian aritmética, 28 son hom bres y el número de hombres que no estudian aritmética es el doble del número de m ujeres que no estudia aritmética.

a) 38 d) 48 13.

¿Cuántos hombres estudian aritm ética? a) 5

b) 8

c) 10

d) 20

e) 18

r it m é t ic a

b) 40 e) 54

| 113

c) 42

De una m uestra de 100 artículos se realiza un estudio de su calidad considerándose 3 defectos A, B, C como los más importantes. O bteniéndose el siguiente resultado: 41 tienen el defecto A o B pero no C 46 tienen el defecto B o C pero no A

10.

De 76 alumnos; 46 no estudian Álgebra, 44 no estudian Física y 28 no estudian ni Álgebra ni Física, entonces, ¿cuántos alumnos estudian Álgebra y Física?

42 tienen el defecto A o C pero no B

a) 18

¿Cuántos artículos tienen por lo menos un de fecto?

d) 20

e) 12

b) 30% e) 29,8%

c )2 7 ,6 %

Se realizaron las 3 primeras prácticas de la PRE a la cual se presentaron 300 alumnos. Adem ás se sabe que: 170 aprobaron la primera prueba, 150 la segunda y 130 la tercera, 50 aprobaron la primera y la segunda, 70 la primera y tercera, 80 la segunda y tercera y 10 no aprobaron ninguna. ¿Cuántos escolares fueron admitidos, si solo necesitan aprobar 2 pruebas? a) 160 d) 154

12.

c) 14

En una óptica de una muestra de clientes se sabe que el 45% son varones; el 80% tiene ojos verdes y el 30% son varones con ojos verdes. Calcula el porcentaje de clientes mu jeres, que no tienen ojos verdes. a) 31,5% d) 40%

11.

b) 16

b) 130 e) 182

39 tienen exactam ente dos defectos, los que tienen 3 defectos son la tercera parte de los que no tienen ninguno.

c) 126

En una encuesta a un grupo de 130 personas, se encontró la siguiente información: 10 muje res no tenían hijos, el número de hombres sin hijos era el triple de las mujeres que tenían hijos y esta cantidad era la mitad de hombres que tenían hijos. ¿Cuántos hombres tenían hijos?

a) 45 d) 90 14.

b) 84 e) 92

c) 88

De un grupo de 200 personas se determ ina . que 80 eran mudos, 70 eran cantantes y 90 eran ciegos, de estos últim os los mudos eran tantos como los cantantes. ¿Cuántos de los que no son ciegos son cantantes, si los que no son cantantes ni mudos ni ciegos son 20? a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

15. A una cerem onia asistieron 24 señoritas con minifaldas, 28 varones con corbata, 40 porta ban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no minifaldas. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaban minifalda ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca? a) 6

b) 7

c) 8

d) 11

e) 13

1. b

5. c

9. c

13. c

2. d

6. d

10. e

14. d 15. c

3. c

7. d

11. a

4. d

8. b

12. b

NÚMEROS RACIONALES EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Se conoce que las operaciones de adición, sus tracción y m ultiplicación están bien definidas en el conjunto de los número enteros TL, es decir, que la suma, diferencia y producto de dos números ente ros, es otro entero (ley de clausura o cerradura).

TL x TL* = {(a; b) / a e TL A b e TL* } (a; b) representa ^ b O bservando algunos pares y denotando las com ponentes m ediante la división: ...(2 :4 )

(4; 8)

(6; 12)

2 4

4 8

E je m p lo : Sean los números enteros 13 y 7 Luego: 13 + 7 = 20

...(20 e Z )

13-7 = 6

...(6 e TL)

1 3 x 7 = 91

...(91 e TL)

son equivalentes

Sin em bargo la división es una operación que está parcialm ente definida, pues el cociente no siempre es entero. Por ejemplo: ^ = 4 (4 e 2 ) 5

•

^ = c(cíí) 7

Com o en la vida diaria se van a dar estos casos, es necesario am pliar el conjunto de los números enteros. Empezarem os tom ando a los números enteros en pares ordenados, denotándolo a través de la divi sión, como por ejemplo: •

(5; 3) = |

-(-8;2)= z^

•

(0 ;9 ) = |

•

La observación nos perm ite indicar que estos cocientes son equivalentes; pero si nos pre guntaran: ¿los cocientes 18/24 y 15/20 son equivalentes? Necesitamos un fundam ento teórico para res ponder dicha pregunta. En el conjunto TL x TL*\ definim os la siguiente relación: (a; b) = (c; d) cuando ad = be Luego a/b = c/d E je m p lo s: •

•

= ^ , porque 8(10) = 16(5) = - ^ , porque ( - 9 ) ( - 4 ) = 6(6)

(7:0) = J indeterm inado

Luego hay que tener cuidado que la segunda com ponente del par ordenado no sea cero. Form em os el conjunto TL x TL*, donde: TL = {...; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0; 1; 2; 3; ...} ZZ* = { ...- 3 ; - 2 : - 1 ; 1; 2; 3; ...}

Se puede probar que la relación » es una re lación de equivalencia en el conjunto TL x TL*, por verificar las propiedades: reflexiva, sim é trica y transitiva. Al ser a una relación de equivalencia, deter mina en TL x TL* una clasificación en clases de equivalencia y en cada clase están todos los pares equivalentes entre sí. Por ejemplo:

G ráficamente:

•

~ (_ 2; - 4 ) = ( - 1 ; - 2 ) ~ (1; 2) = (2; 4) a (3:6)*... .. - 2 „ - 1 -4 ~ -2

1 . 2 . 3. 2 ~ 4 ~ 6 ’ "'

Luego todos ellos conform an una clase de equivalencia: I V"

-4 ~ -2 ~ 2

6’

1 j

Asimismo, cualquiera de ellos puede ser to mado como un representante de la clase, por ejemplo: 2/4 y la notación sería en ese caso.

[21

fll- í

| [

- 2 . - 1 . 1. 2. 3- 4 ’ - 2 ’ 2’ 4 ’

zA- - 2 . 2.

UJ 1-6’ - 3 ’ 3 ’ 6’ 9 ’ " j1 En cada clase de equivalencia de los infinitos representantes que tiene, hay uno en particular, aquel cuyas componentes son primos entre sí, el cual es denominado representante canónico. Por ejemplos, en la siguiente clase de equivalencia. [61 = f ^ 6 . ^_3. 3. 6. _9_. [ 8 J V —8 ’ - 4 ’ 4 ’ 8 ’ 12’

1 J

La gráfica de cualquier clase — ' son puntos LbJ que pertenecen a una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es b/a. Se tiene que: (1; 2) a (2; 4) a ( - 1 ; - 2 ) = ... 1

2 4

2 1

| ^ j es el representante canónico de las clase,

¡115

Observaciones:

6’"'|

r it m é t ic a

-1 -

4 - 2

(Forma usual)

De modo que cuando hablemos del número r 11 racional — sim plemente diremos:

porque: 3 y 4 son PESÍ. Cada una de las clases de equivalencias de term inadas en Z x Z* es denom inado número racional, luego son número racionales:

[21 [ ~ 4 [. [ 21. [61. í 4 J’ [ 3 J’ Í3 J’ [ 8 J' Observación:

2 -1 — 0 —— o... 4 -2

El conjunto Z coincide con ei conjunto de clan] ses 7 con n e Z ; luego: Z e ® . JJ DENSIDAD DE UN CONJUNTO

No hay un par que esté en 2 clases. El conjunto cociente: 2i x 7 l * — 7 — cuyos elem entos son las clases de equivalencia, es decir, los números raciona les, se representa por ©.

1 — 0 2

T L *j

— : número racional IbJ

Un conjunto A es denso respecto a la relación de orden (< ), si para dos elem entos cualquiera a y b de A (a < b), existe un elem entos c de A, tal que a < c < b. Es importante darse cuenta que sea cual fuera el punto que se elija hay una infinidad de números racionales próxim os a él. Pese a lo anterior, no es posible que los números cubran toda la recta nu mérica, es decir todavía presenta vacíos los cuales corresponden a otros números llam ados números irracionales (conjunto denotado como ©* o H), por ejemplo:

72; — 72; V3; —/ 3 ; ... Los cuales no provienen de dividir 2 números en teros. NÚMEROS FRACCIONARIOS

Son aquellos números racionales :¡ue no son en teros.

J L - 11- ^ 1 -3 ’ 5 ’ 4 ' - 3 Son números fraccionarios

no son números fraccionarios

1 1 6 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

FRACCION

Son aquellos números fraccionarios cuyos térm i nos son positivos.

Por ia cantidad de divisores com unes de sus térm inos

10. _5_. 7. _4_. -16. J2_. -_10 8 ’ 2 0 ’ 3 ’ 18’ - 4 ’ - 8 ' - 6 Si F es fracción: l_ _

•*—-N u m e ra d o r

B ■*—

Denominador

Donde: A, B e S+

Irreducible

Reducible

A y B son PESÍ MCD(A; B) = 1

A y B no son PESÍ MCD(A; B) A 1

10. 15. 23 13' 3 2 ’ 16

18. 20. 20 12’ 3 6 ’ 16

Observaciones:

A# B

interpretación:

A Si: F = — es un fracción reducible, enton ces: MCD(A; B) = d

El denom inador indica las partes iguales en que se divide la unidad (o el todo).

A = dxp;

El num erador representa las partes de la uni dad (o el todo) que se toman o consideran.

son PESÍ F = A = d£ = P B dq q

CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES A

Por la com paración de su valor respecto a la unidad

> V OD

ro |> V

CQ V <

V < | CQ

20. 12. 16 8 ’ 9 ’ 10

4. 5. 16 7 ’ 9.’ 18

c V la ta : Una fracción im propia tam bién se puede ex presar del siguiente modo:

3n ; (n 6 T ) 5n

11 20 '

Por grupo de fracciones Homogéneas

Heterogéneas

Todos tienen igual denom inador

Al m enos un deno m inador es distinto a los demás.

3 . 5 . 11. 20 12’ 12 ’ 12’ 12

10. 2. 6. 7 8 ’ 8’ 8’ 3

De un grupo de fracciones homogéneas será mayor aquella que presenta mayor numerador.

20 [_ 8 _

20 = 2 i

_9_ 15

_6_ 10

Impropia

Propia

F = — irreducible q

A partir de un fracción irreducible se pue den obtener todas las fracciones equiva lentes a ellas.

Sea la fracción: — 1.

B = dxq

t__________ í

11. 20. 6. 12. 18 fracción mixta

— es mayor. 2.

Por su denom inador Siendo k un entero positivo. Decimal O

II CQ

_3_. 25_. _32_ 10’ 102’ 103

O rdinaria B A 10k 3. 18. 25 7 ’ 12' 15

De un grupo de fracciones con igual num era dor, será mayor aquella que presente menor denominador. De! siguiente grupo: 2 0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 20 7 ’ 16’ 12’ 3 ’ 9 20 ~ es mayor.

A r it m é t ic a I 1 1 7

Todo número aval presenta dos partes:

PROPIEDADES 1.

Siendo n e Z T

Parte Entera

1 5 3 2 . 4 1 3(8¡

••• Í1 < h E je m p lo :

coma octava!

f, = A < 12

y 12 + 2

f J L t L = 19. 14

En generai:

_8_ < 10 ' ' 12 ' 14

amam- 1arr¡-2- ■a1a0,a í a2 —¡V -' (k>

fi > f2

Cada cifra de la parte entera y aval ocupa un orden. De la parte entera empieza del orden 0 y de ¡a par te aval del orden - 1 de! siguiente modo. Orden

E je m p lo : fl = 10 > 1 4

f y 2

2 10

10 + 5 = 15 4+5 9

N = 4 2 3 4,

Orden

fi = r Y h = —. se cumplen que: b d

1 0 = 5

^ = k , entonces: b = d (k e Z) a

3 5 *(7) -1 - 2 -3 Orden

Dadas las fracciones irreducibles: f, = — . f2 = f3 = m n p

De esto podem os señalar que un número aval ad mite una descomposición. De los números anteriores N y M.

Se cumpie que: M C M (fi;f2; f 3) :

MCM(f,; f2; f3) =

M CD(a; b; c) MCM(m ; n; p)

N = 4 x 62 + 2 x 6 + 3 + 4 x 6~1 + 1 x 6~2 + 5 x 6” 3 + 2 x 6~4

M C M (a ;b ;c )

M = 5 x 7 + 2 + 3 x 7-1 + 5 x 7~2 + 4 x 7“ 3

M CM(m ; n; p)

La cual tam bién se puede expresar:

NÚMEROS AVALES Son aquellos números que resultan de dividir los térm inos de una fracción en un determ inado siste ma de numeración. Fracción

Número

■ Z 1 9 = 9 34 2 5 8 .

decimal

8 6 _ 321i5¡ 25 100,si

ísl = 4 x 62 + 2 x 6 + 3 + — + -4r + ~cr + -% 6 6 6 6 M = 5

7 + 2 + |7 + 47 2+ 4y 2

Para m ayor comodidad en el estudio de ios núme ros avales, de aquí en adelante em plearem os nú meros que solo presenten parte aval. E je m p lo s:

125 í6;

exaval

6~ = 10mi = .

2,(6)

-3 - 4 Orden

Dadas !as fracciones irreducibles:

Si:

-1

• 19>19 " 4 9 2.

Aval

3 ' 21(5)

pentavai

0 ,3 1 5 (7) = ^ + - L 0,2323..

'( 5 ) ;

1 1 8 | C o le c c ió n E l P o s t u la n t e

CLASIFICACION DE LOS NUMEROS AVALES

7 4 5 —: — y — como números decim ales y las fraccio-

8 11 y 12

La división fue:

k cifras F = 0 ,a b c .

inexacta

= 0, 3636

4 - = 0,411666

inexacta

0,32,(4)

abc...x,(n) (n) '

fracción generatriz

exacta Núm ero aval inexacto. Cuando al dividir los térm i

1 = 0 , 1 2 1 2 ...(4)

inexacta

Luego, en general:

exacta

= 0,875

29 22 x 33

Adem ás, la cantidad de cifras en la parte aval lo indicará el m ayor exponente de los factores primos de B.

11 como números tetravales

2 8’ 5

29 108

Luego podem os afirm ar que F genera un nú mero aval exacto, si y solam ente si, B admite como únicos divisores primos, o por lo menos uno de los divisores primos de la base.

Expresar las fracciones:

7 -

134 (6) F4 = -

F42 = 0,134(6) 1000,6)F4 = 134,(6)

Dependiendo de la división de los térm inos de la fracción, se tendrá también las clases de los nú meros avales. Ejemplo:

= 0, 3222 ... (4)

nos de la fracción la división resulto inexacta, esto implica que la cantidad de cifras de la parte aval sea limitada. Ejemplos:

Esto quiere decir que los números avales, solo pueden ser exactos o inexactos. Para ello trabaja remos con la fracción propia e irreductible. F =

- i- = 0,3636.

El bloque de cifras 36 se repite en forma ordenada

A B

y periódicam ente de aquí que se denom ina periodo

Numero aval exacto. Cuando al dividir los térm i nos de la fracción la división fue exacta esto impli ca que la cantidad de cifras de la parte aval es lim i tada. Encontrar el numero aval exacto no demanda m ucho es fuerzo, solo es necesario efectuar la di visión de los térm inos de las fracción. Sin embargo determ inar que fracción genera el numero aval, re quiere de todo un procedim iento, que pasaremos a estudiar.

— = 0, 41666... 12 La cifra 6 se repite en form a periódica, por lo tanto, es el periodo del número aval, sin embargo existe el bloque 41 que ya no se repite, a la cual se le denom ina parte no periódica. De acuerdo a los resultados, se observa que estos números se dividen en dos tipos: A.

Ejemplos: = 0,24

24 _ 6 25

100F, = 2 4

102

Número aval inexacto periódico puro. En ese caso, también estudiarem os la forma de obtener la fracción que genera estos números.

52 Ejemplos:

. 875 _ 7 _ 1_ F ,= 8 23 " 103

F2 = 0,24 1000F2 = 24

F-i = = 0u ,2 / n , 4 2 4 2 4 ... = 0,24 x 10' 102 F,

23,(6) Fs = -

F3 = 0,23(6) (6)

_5_ = 12

5 22 x 3

=242424. 0,2424...

(102 - 1 ) F 1 = 2 4

A r it m é t ic a | 1 1 9

24 Fi = 102 — 1

9 =

F1 = 0,24 = | ^ = 99

99 = 3 x 1 1 999 = 33 x 37

8 33

9999 = 32 x 11 x 101 99999 = 3 x 4 1 x 271

F2 = 0,135135135... = 0 ,1 3 5

999999

x 103

33 x 7 x 11 x 13 X 37

Luego, en general:

103 F2 = 135,135135... =0,135135...

135 103 - 1

n - 1

135 999

135 .-. F2 = 0,135 = 999

k cifras 37 B.

5 37

F3 = 0,3131.,.(5) = 0,31'(5) x 100,5, = 52 5 2 F3 = 31,3131...(5) \ F , = 0,3131.

■(5)

(52 — 1)F3 = 31 (5)

Ejemplos: F, = 0,41666... = 0,416 M ultiplicam os por 103 y 102 para form ar dos nuevos números: 103F, = 4 1 6 ,6 6 6 ... 102F, = 4 1 ,6 6 6 ... 102(10

31, -

Núm ero aval inexacto periódico mixto. Analizarem os solo el caso para determ inar la fracción que genera el número.

31 (5 ) = 31 (5) _ 16 _ 2 F3 = 2 — 1 44(5, 24 3 (5) ••• F3 = 0,31 (5 )

abc...x,(n)

F = 0,abc...x(n) =

(103 - 1 )F 2 = 135

Fi =

44,

F4 = 0,301301301...(5) = 0,301

(5)

53 F4 = 301,301301.,.(5) A F4 = 0,301301.,.(5)

■

1)F( = 4 1 6 - 4 1

416-41

416-41 900

102(1 0 - 1)

F, = 0,416 =

416 - 41 900

_5_ 12 5

F2 = 0,2181818... = 0 ,2 1 8 103F2 = 218, 181818... 10F2 = 2 ,1 8 1 8 1 8 ...

(53 ~ 1)F4 = 301 (5)

10(102 - 1) F2 = 218 - 2

301 (5) F4 = 53 - 1

F? =

301 (5) _ 19 31 444,5)

F4 — 0,301(5) —

301(6)

444 (5)

218-2

10 ( 10 2 -

F2 = 0,218 =

218-2 990

1?. 55

2 1 8 - 2 = 12 990 55

F3 = 0,2313131...(5) = 0,231(5) Luego, podem os afirm ar que F genera un número aval inexacto periódico puro si B no admite como divisores primos a ningún divisor primero de la base. Además; la cantidad de cifras en el perio do estará indicando por la cantidad de cifras del menos numeral form ado por cifras m áximas de la base, que contiene a B. Para trabajar con núm eros decim ales (base10) es necesario conocer:

53 F3 = 213, 3131...(5) F3 = 2,3131 ...(5) 5(52 — 1)F3 = 231 (5) - 2 (5) 231(5)- 2 ( 5)

231 (5)

5 (5 2 - 1) F4 = 0,13555... (7) 7 F4

135, 5 5 5 .„(7)

440,(5)

(5)

120 I

C o l e c c ió n

Po s t u la n te

F 1 = [2; 4; 3]

72 F4 = 135,555...(7)

F2 = [1; 3; 2; 4] 7 (7 - 1 )F 4 = 135(7 ■>(7) 135(7 ) - 13(7) F4 = -

~ 1 3(7)

F3 = [2; 4; 4; 4;...]

135(7) - 13(7)

600(7)

294

7 2(7 - 1)

135(7) ~ 13(7, _ j3 5 F4 — 0,135(7) —

600,7) (7)

F4 = [1; 1; 2; 1; 2; ...] En general: Térm inos

294

Luego, en general:

F - O .a -^.-.a k b1b2...b(m) a1a2...akb1b 2...bm(n) - a ia 2...nk| (n) F= ■ ■ nk (nm - 1)

CAMBIOS DE BASE EN LOS NUMEROS AVALES

Numeral a base 0,55

=>5 = 0,55 = 0,23(5,

0,24(6) => 8 => 0,24(6) = 0 ,34(8)

0,23(5) - 0,48(9)

Fracciones continuas simples (FCS) Son expresiones de la siguiente forma: •

Si el número de térm inos de una FCS es finito, entonces es dice que la FCS es finita (FCSF). Si el número de térm inos es infinito, entonces, al FCS es infinita (FCSI). Todo número racional y todo número irracio nal puede ser expresado com o una FCS. Ejemplo:

1,43/f J (6)

0,12,5) = 6 => 0,12,5) 0,23 (5) =

Dónde: a0 e ZZ, a¡ e Z+, 1 < i

F, = 2 + — —

Expresar — como una FCS 31 40 = 1 + _?_= 1 + J L 31 31 31 ¥

1 +3 + 9

4° = 1 + - ^

4+i

3+ -

3 + ?

2 + i

1 +Por lo tanto: 2 + -

^ = (1; 3; 2; 4) FCS Finita 31

F> = 2 -

1 4 +

4 + ...

F4 = 1 1 +-

Nótese que el divisor en cada paso del proce so para expresar 40/31 como una FCS es el dividendo en el paso siguiente, por lo tanto, el proceso constituye un caso particular en la obtención del MCD de dos núm eros enteros.

1 2 + 1+

Térm inos de la FCS

1 1 2 + ...

Las cuales representantes convencionalm en te como:

4 1

A r it m é t ic a | 1 2 1

Teorema

Luego en (a):

Todo número racional puede ser expresado como una FCS finita.

x = 2-

Ejemplo:

x = 2x±5 x+ 5

Evaluar la FCS F [5; 1; 3; 2] utilizando el algo ritmo de Euclides. 5 9 7

.-. [5; 1; 3; 2] =

1 7 2

3 2 1

4 + (x - 2) x2

' x + 2

2x = 2x + 5

x 2 = 5 => x = {5

2 1 0

Teorema Toda FCS infinita representa un número irra cional.

Teorem a Teorema

Si p es un entero positivo, entonces, la FCS

Toda FCS finita representa un número racional.

infinita que representa a: lp 2 + 1 es [p, 2p]

Ejemplo: Expresar (2 como una FCS

•

= U 2 + 1 = [4; 8]

Se cumple:

•

{26 = - / s ^ T Í = [5; 10]

■Í2 = 1 + {-Í2 - 1); hacemos: a = (2 - 1 {2 = 1 + a

Teorema

...(a )

Como: a = ¡2 - 1 = - 1 {2 + 1

1 2+ a

Si p es un entero positivo m ayor que 1, enton

1 2+ a

ces, FCS infinita que representa a: ■)p2 - 1 es

Reem plazando en (a):

[(P - 1): 1 .2(p - 1)]

{2 = 1 + 2 + -

•

{8 = { 3 2 - 1 = [2; 1 4 ]

•

{ 24 = { 5 2 - 1 = {4; 178}

1 .-. { 2 = [1; 2; 2; 2; ...] = [1 :2 ]

EJERCICIOS RESUELTOS' Teorema Todo número irracional puede ser expresado como una única FCS infinita. Ejemplo: Determ ine el número irracional representado por la FCSI [2; 4; 4; 4 ; , , ]

1 4 + -

■■■(a)

1 1

Al sim plificar la expresión:

E =

( 0 , 5 + 0 ,6 6 .,- 0 ,0 5 5 ) 9 /1 0 3 ,1 1 ,-2 ,0 6 6 ,

Indicar la diferencia entre el denom inador y el num erador del resultado.

Sea: x = [2; 4; 4; 4 ; , , ] x = 2

R e s o lu c ió n : En el numerador: 0 ,5 = 1 ^ 4 5 2 90

x —2 =

105

0, 6 = 6 = M J 9 90 4 + 0,05 :

_5_ .

_5_ 90

1 J =1 90 10

1 2 2 | C o le c c ió n E l P o s t u la n t e

En el denom inador: 3, 1=-

El área de un circulo es: nR2 Entonces, la suma del área resulta:

31-3

1 + l + ± + _1 + ...|n 4 16 64

206 - 20 2,06 : 90 Restando

Calculando S

280 90

S = 1

186 _ 94 . 47 90 90 : 45

Luego: E

1 , 1 , 1 4 16 64

S = 1

45 47

47 45

■(1 )

Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió la mitad de lo que le quedaba, repitió la mitad de lo que le quedaba, repitió lo mismo por 3.a y 4 .a vez, hasta que le quedó no más que S/.6,00. ¿Cuándo dinero tenia al com enzar el juego?

:1 = s = 4

En (1): suma de áreas: —jt 3 5.

Sim plifica el producto:

R e s o lu c ió n :

K ) M

Utilicemos el método del cangrejo. Recuerda que, si pierde la mitad; entonces; tenia el doble de lo que le queda.

R e s o lu c ió n :

1 - 4 V i -4-

Así: Le queda

tenia

4.° 3.°

2.°

1.°

Hallar la fracción generatriz del número 0,432 R e s o lu c ió n : 432 - 4 0,432 = ■ 990

428 _ 214 990 ' 495

2 3

3 4

1-1V..Í1-1

4 5

= TC X — X — X

Si los radios de una sucesión de círculos son 1- 1 - 1 - 1 centímetros, la suma de las ’ 2’ 4’ 8 ’ áreas de tales circuios será: R e s o lu c ió n : 1 1 1

2 4 8

n- 1 n

Calcula: j 4 r + - 5 36 ’ 48

121 3600

R e s o lu c ió n : Dando denom inador común a todas las frac ciones es obtiene: 500 + 3 7 5 - 9 6 + 121 3600 900 3600

f „ 214 9 495

Los radios son: 1;

) H ) ~ ( W

A un radiador de automóvil, lleno con 16 litros de agua, se le quitan 4 litros de agua que son reem plazados por líquido antioxldante puro. Luego se quitan 4 litros de la mezcla resultan te, que son reem plazados con liquido antioxi dante puro. Lo mismo se hace una tercera y luego una cuarta vez. ¿Qué fracción de agua queda en la mezcla final?

A r it m é t ic a | 1 2 3

la quinta parte y el cuarto las siete restantes. ¿Cuántas gallinas se repartieron?

R e s o lu c ió n : Inicialm ente tenem os 16 litros. Se extra de agua

2.°

Sea N el número de gallinas; entonces: CO

■<-|^ III ''t

1.°

R e s o lu c ió n :

queda de agua 12

T + T + T + 7 = N 2 4 5

¿ (1 2 )

10N + 5N + 4N

7 = N

20 ¿9)

3.°

| ( 9 ) = 6,75

-1§-N + 7 = N

4.°

¿ 6 ,7 5 )

7 = - | - N ^ N = 140

¿ (6 ,7 5 )

10. Al final queda de agua:

Los 3/4 de un barril más 7 litros, son de pe tróleo y 1/3 menos 20 litros, son de agua. ¿Cuántos litros son de petróleo?

!< 6'75> = S

R e s o lu c ió n :

Que representa la fracción:

Sea N la cantidad del barril, entonces: 81 16 16

^ ^

81 256

| 4

+ 7 + J-N-20 = N 3

Juan es el doble de rápido que Pedro. Si ju n tos pueden hacer cierto trabajo en 8 días, ¿cuánto tiem po le tom aría a Juan hacerlo solo?

N = 156

R e s o lu c ió n : Com o Juan es el doble de rápido que Pedro, quiere decir que Pedro emplea el doble del tiem po que em plea Juan en hacer un trabajo. 11.

Entonces: Si:

Juan lo hace en n días

Pedro lo hace en 2n días En un día: i Juan hace: n i Pedro hace: — 2n

Petróleo: - x 1 5 6 + 7 = 124 4 A un alambre de 91 m etros de longitud se le da tres cortes de manera que la longitud de cada trozo es igual a la del inm ediato anterior aum entado en su mitad, ¿Cuál es la longitud del trozo mas grande? R e s o lu c ió n :

Juntos: - + — = — n 2n 2n

Tenemos: 1.°

2.°

3.°

4.°

Luego, todo lo hacen en: = 8 =» n = 12 días

(

i X

Por dato: 9.

Un granjero reparte sus gallinas entre sus cuatro hijos. El primero recibe la mitad de las gallinas, el segundo la cuarta parte, el tercero

+ | l + | 2 4

+ ^ 8

= 91

1 2 4 ¡ C o le c c ió n E l P o s t u la n t e

Piden:

Un padre se fam ilia recibe cierta cantidad de dinero por escolaridad. Si gasta los 3/5 de lo que recibió y aun le quedan S/.120, ¿Cuánto recibió por escolaridad?

— 8

a) 200 d) 350

— L = 91 =» L = f ± x 8 8 65

L = 2 7 * 9 1 x 8 = 37,80 8 65

esta fracción?

a) 36/45 d) 36/47

R e s o lu c ió n : fB =

f, = !

2k 9k

b) 34/49 e) 32/37

c) 32/35

¿Cuántas fracciones irreducibles con denom i nador doce son propias?

Por condición del problema: MCD(2k; 9k) = 13

a) 3 d) 6

k x MCD(2; 9) = 13 => k = 13 Luego: fe =

c) 300

Calcular una fracción equivalente a 0,8; cuyo num erador está com prendido entre 25 y 40; y su denom inador entre 38 y 53.

12. El MCD del num erador y denom inador de una fracción equivalente a 16/72 es 13. ¿Cuál es

f = l 672

b) 250 e) 280

26 117

b) 4 e) 7

c) 5

El denom inador de una fracción excede al nu m erador en 12. Si el denom inador aumentara en 8, el valor de la fracción sería 1/5, halla la fracción.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1 | a) 5/17 1.

Dos depósitos tienen respectivam ente 168 y 420 litros y cada uno de ellos recibe 4 litros de agua por minuto. ¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el primero 79/142 del segundo? a) 27 min d) 57 min

d) 4/5

b) 17 min e) 37 min

c) 47 min

no está lleno, se vacían una cantidad igual a 1/125 de lo que no se vacía. ¿Qué parte del volumen del depósito quedará con líquido? a) 2/13 d) 125/756

b) 3/11 e) 2/6

c ) 1/11

c) 2

para ser igual a

A = 0,002 B = 0,000040 C = 0,0000027

c )3 /5

Si de un depósito que está lleno 1/5 de lo que

b) 3 e) 1

¿Cuánto le falta a (ABC) 0,00021? Siendo:

en el tercero pierde 1/5 del nuevo resto, ¿Qué fracción del dinero que tenia originalm ente le ha quedado?

Determ inar el valor de a:

a) 4 d) 5

su dinero, en el segundo pierde 1/4 del resto y

b) 2/5 e) 3/7

c) 1/13

Jo,00a + 2 ( 0 , 0a) + 0,a = 0 , 7 3

Si un ju gador en su prim er juego pierde 1/3 de

a) 3/4 d) 2/4

b) 7/19 e) 11/23

a) 0,00015 d) 0,0027 10.

b) 0,0015 e) 0,0018

c) 0,00027

Una ¡lave puede llenar una piscina en 3 horas, otra en 2 horas y otra en 6 horas. ¿En cuánto tiem po llenarán la piscina las 3 llaves, si son abiertas al mismo tiempo? a) 1 hora d) 4 horas

b) 2 horas e) 1/2 horas

c) 3 horas

A r it m é t ic a | 1 2 5

11.

Una cañería llena una piscina en 4 horas y otra la puede dejar vacía en 6 horas. ¿En cuánto tiem po puede llenarse la piscina, si la cañería de desagüe se abre 1 hora después? a) 11 h d) 10 h

b) 12 h e) 13 h

c) 9 h

12. Una liebre que da 3 1/4 pasos por segundo, huye velozm ente al darse cuenta que a su lado se encuentra un zorro. Este, al descubrir la se lanza en su persecución; 20 segundos después, dando 4 1/2 pasos por segundo. Calcular el tiem po que demora en alcanzarla. a) 65 d) 42

b) 13 e) 54

a) 100 h d) 130 h

a) 2,75 d) 3 18.

c) 52

c) 3600

14. Si 1/3 de lo que cam iné equivale a los 2/3 de lo que falta caminar, ¿qué fracción del recorri do total caminé? a) 1/3 d) 5/8

b) 3/5 e) 2/3

20.

c) 16 min

Un tanque que contiene 400 galones de capa cidad puede ser llenado por un caño en 15 min y vaciado por otro caño en 40 min. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si ambos caños se abren? b) 21 min e) 26 min

c) 23 min

Un hombre realiza un trabajo en 6 h. su hijo lo hace en 12 h. ¿Cuánto tardarán en hacerlo juntos? a) 4 h d) 3 h

b) 6 h e) 18 h

c) 9 h

b) 1 h 30 min d) 1 h 50 min 1. e

5. a

9. a

13. a

2. b

6. b

10. a

14. e

17. a 18. d

3. d

7. a

11. d

15. b

19. d

4. c

8. a

12. c

16. b

20. a

[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS 2 | 1.

30 m3

b) 22 min e) 9 min

c) 3/8

16. Se tiene un depósito de 30 m3 de capaci dad con dos grifos;uno de sum inistro y otro de desfogue de 250 L/h y 125 L/h, respecti vamente, ubicados como nuestra la figura. ¿Cuánto tiem po demorará en llenarse el de pósito?

c) 2,5

Un tanque está lleno las 3/4 partes. El caño A puede llenarlo en 12 min. El caño B puede desaguarlo en 8 min. Si ambos caños están abiertos, ¿Cuánto tiem po se empleará en desaguar el tranque?

a) 20 min d) 24 min

15. Si C ésar es el triple de rápido que Arturo, ¿en qué tiem po harán una obra si trabajan juntos, sabiendo que Arturo hace toda la obra en 6 h? a) 1 h 20 min c) 1 h 45 min e) 1 h

b) 2,5 e) 2,65

a) 14 min d) 18 min 19.

b) 2400 e) 2200

c)150h

17. A, B y C pueden hacer un trabajo en 10; 5 y 2 días, respectivam ente. El prim er día, trabajó A solo; el segundo día, se le une B y el tercer día trabajan los tres juntos. ¿Cuántos días se necesitarán para hacer toda la obra?

13. Se compra lim ones a 3 por S/.10 y se venden a 2 por S/.9. ¿Cuántos limones se deben ven der para ganar S/.1400? a) 1200 d) 600

b) 200 h e) 160 h

Un vendedor tiene 2 canastas de manzanas con igual cantidad en cada una. De la primera canasta se retira la quinta parte y la coloca en la otra, luego de esta regresa la cuarta parte a la primera, que con este aum ento tendría 44

1 2 6 | C o le c c ió n E l P o s t u la n t e

manzanas. ¿Cuántas m anzanas tenía cada canasta ¡nidalm ente?

la cuarta vez que comió no quedo ningún pas tel. ¿Cuántos pasteles había inicialm ente?

a) 30 d) 45

a) 12 d) 21

b) 76 e ) 86

c) 80

b) S/.4100 e) S/.4400

a) S/.100 d) S/.130

b) S/.110 e) S/.140

c) S/.120

En una reunión Timo come la mitad del nú mero de pasteles más m edio pastel, en la se gunda vez la mitad de los que quedaban más m edio pastel, así sucesivam ente, después de

b) 75 litros e) 84 litros

c) 78 litros

Tú tienes ¡a mitad de lo que yo tengo y yo 1/3 de lo que él tiene, si el triple de lo que tú tienes más el doble de lo que yo tengo excede en S/.5 a los que él tiene, ¿Cuánto tenem os entre los tres? b) S/.35 ' e) S/.50

c) S/.40

10. Un caño llena un recipiente en 4 h mientras que un caño de desagüe lo desaloja, en 6 h. ¿Cuánto tiem po demora en llenarse el reci piente si están vició se abran los dos caños a la vez? a) 10 horas d) 16 horas 11.

a) 260 litros d) 275 litros 12.

b) 12 horas e) 18 horas

c) 14 horas

El indicador de un tanque de aceite señala 115 de su capacidad. Después llega un camión cisterna y deposita en el tanque 165 galones por lo que el indicador señala las 4/5 partes de la capacidad. Hallar la capacidad total del tanque. b) 265 litros e) 280 litros

c) 270 litros

¿Cuál es la cantidad entera que debe agregarse al num erador y denom inador de la fracción 4/7 para que la fracción resultante este com prendida entre 0,7 y 0,75? a) 2

c) 18

De un recipiente que está lleno 2/3 de lo que no está lleno, se extrae 1/4 de lo que no se extrae. Luego se consume 1/2 del resto, que dando 12 litros. Hallar la capacidad del reci piente.

a) S/.30 d) S/.45

c) S/.4200

He gastado los 5/8 de mi dinero, si en lugar de gastar los 5/8 hubiera gastado los 2/5 de mi dinero tendría ahora 72 soles más de lo que tengo. ¿Cuánto no gasté?

b) 15 e) 24

a) 72 litros d) 81 litros

c) 48

Al venderse una chacra, una señora recibió S/.1640 por los 2/7 de su parte. Si la seño ra era dueña de 4/9 de la chacra, además solo ha recibido los 5/8 del precio de venta. ¿Cuántos le falta recibir a la señora? a) S/.4000 d) S/.4300

b) 45 e) 36

c) 49

Katy reparte los caram elos que tiene entre sus sobrinos de la siguiente manera: al primero le tocó 1/9 del total, al segundo 1/15, al terce ro 1/5 y al cuarto por ser su engreído le tocó 33 caram elos más que a los otros 3 juntos. ¿Cuántos caram elos le tocó a este último? a) 72 d) 84

b) 42 e) 36

Hallar la suma de los térm inos de una fracción equivalente a 4/11, si a fu m a r le 11 a cada tér mino se obtiene 0,5227. a) 42 d) 32

c) 40

Una plancha de madera pierde al ser aserra da 2/9 de su ancho y 3/10 de su largo, que dando así un área de 2744 m etros cuadrados. Determ inar el ancho original de la plancha, sabiendo que el largo original era 80 metros. a) 35 d) 56

b) 35 e) 50

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

13. Se vende un edificio y una señora es dueña de 2/5 del edificio y recibió S/.a por los 3/4 de su parte. ¿A qué precio se vendió el edificio?

A r it m é t i c a | 1 2 7

a) 10a/3 d )1 5 a /7

b) 9a/5 e) 10a/7

c)7a/3

14. Tres herm anos se repartieron un terreno de 345 ha de extensión. El herm ano m ayor que había recibido la mayor parte cedió a sus 2 herm anos 1/15 y 1/6 de lo suyo respectiva mente de modo que los tres tuvieran la misma extensión de terreno. ¿Qué extensión les co rrespondió inicialm ente a las dos m enores? a) 95 y 110 d ) 86 y 105 15.

c) 95 y 115

Un tranvía parte con cierto número de pasaje ros, en el prim er paradero deja la quinta parte; en el segundo suben 40 pasajeros, en el ter cero bajan los 3/8 de los que iban, en el cuarto suben 35, y en el trayecto al último paradero déla los 7/9 de los que lleva, llegando a este último con 30 pasajeros, ¿con cuántos pasa jeros partió el tranvía? a) 140 d) 155

16.

b) 90 y 105 e ) 75 y 95

b) 145 e) 160

en 44 min. Estando vacío el depósito se abra el segundo grifo durante 11 m inutos, al cabo del cual se abre el primero. Después de cuan tos minutos de haber funcionado los dos gri fos se llenara el depósito. a) 21 min d) 26 min

b) 23 min e) 28 min

c) 25 min

17. Hallar una fracción propia e irreducible cuyo denom inador es 125; sabiendo que su desa rrollo decimal está form ado por cifras conse cutivas crecientes. a) 37/125 e) 67/125

b) 47/125 e) 87/125

c) 57/125

18. ¿Cuántas fracciones propias e irreducibles de denom inador 168 existen tales que la suma de sus térm inos sea 11? 7

b) 14

c) 10

d) 5

e) 4

c) 150

Un grifo vertiendo agua de manera continua puede llenar cierto depósito en 1 h 17 min. Un segundo grifo puede hacerlo individualmente

1. c

5. b

9. d

2. e

6. c

10. b

13. a 14. b

3. b

7. b

11. d

15. c

4. d

8. b

12. c

16. a

17. c 18. d

Aritmética Álgebra Geometría Trigonometría Física Química Razonamiento Matemático Razonamiento Verbal Habilidad Verbal Economía y Ed. Cívica Lógica y Filosofía Historia del Perú Historia Universal Geografía Lengua Literatura Anatomía Psicología Biología