TRIGONOMETRÍA

C O L E C C IÓ N EL POSTULANTE

TRIGONOMETRÍA

C O LE C C IÓ N EL POSTULANTE

TRIGONOMETRÍA

E d ito r ia l

T R IG O N O M E T R ÍA - C olección El P ostulante S a lvador Tim oteo © S a lvador Tim oteo D iseño de portada: Ó sca r Farro C om posición de interiores: Lidia R am írez R esponsable de edición: A lex Cubas © Editorial San M arcos E. I. R. L., editor Jr. Dávalos Lissón 135, Lima Telefax: 331-1522 RUO 20260100808

E-ma¡l\ in fo rm e s@ e d ito ria lsa n m arco s.co m Prim era edición: 2007 S egunda edición 2013 Tiraje: 1000 e jem plares Hecho el d e pósito legal en la B iblioteca N acional del Perú Registro N.° 2012-12002 ISBN 9 7 8-612-302-916-6 R egistro de P royecto Editorial N.° 3 1 5 01001200780 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del a u tor y del editor.

Im preso en el Perú / Printed in Perú Pedidos: Av. G arcilaso de la Vega 974, Lim a Telefax: 424-6563

E-m ail : ve n taslib re ria @ e dito ria lsa n m a rco s.com w w w .e d itorialsanm arcos.com C om posición, dia g ra m a ció n e im presión: Editorial San M arcos de Aníbal Paredes G alván Av. Las Lom as 1600, Urb. M angom arca, S. J. L. RUC 10090984344

ÍNDICE Sistem a de medición a n g u la r............................................................................................................................

9

Razones trigonom étricas de un ángulo a g u d o .............................................................................................

16

Razones trigonom étricas de ángulos en posición e stá nd a r......................................................................

27

Circunferencia trigonom étrica............................................................................................................................

31

Identidades trigonom étricas para un m ismo arco.........................................................................................

38

Arcos com puestos................................................................................................................................................

42

Reducción al prim er cuadrante.........................................................................................................................

46

identidades de arcos m últiples..........................................................................................................................

51

Transform aciones trig o n o m é trica s..................................................................................................................

59

Ecuación trigo n o m é trica .....................................................................................................................................

66

Funciones trigonom étricas y funciones trigonom étricas in v e rs a s ...........................................................

73

Resolución de triángulos oblicu á n gu lo s.........................................................................................................

82

PRESENTACION Editorial San M arcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegram ente pensando en las necesidades académ icas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades, institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional.

La Colección El Postulante reúne los tem as requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son desarrollados didácticamente, con teoría ejem plificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocim ientos básicos necesarios para enfrentar no solo los diversos exám enes de admisión, sino afianzar los saberes de su form ación escolar y alcanzar una form ación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria exitosa.

Finalmente, deseam os hacer un reconocim iento al staff de docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe­ dro de Castro, Jorge Solari y Nathall Falcón, profesores de amplia trayectoria en las m ejores academias de nuestro país, quienes han entregado lo m ejor de su experiencia y conocim ientos en el desarrollo de los contenidos.

- E L E D IT O R -

SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR ANGULO TRIGONOMETRICO

MEDIDA EN GRADOS SEXAGESIMALES

Se genera por la rotación de un rayo (en el mismo plano), alrededor de un punto fijo llam ado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.

El sistem a más utilizado en aplicaciones de inge­ niería, topografía y navegación es el sistema sexa­ gesimal.

Consideram os un ángulo positivo cuando las rota­ ción del rayo sea contraria al m ovim iento de las m anecillas de un reloj (antihorario); cuando la rota­ ción sea en el mismo sentido de m ovim iento (hora­ rio) el ángulo se considera negativo.

En este sistem a definimos el ángulo de una vuelta como aquel ángulo cuya m edida es 360° (1°: grado sexagesimal).

Ejemplo: 240°

Donde: O: vértice de los ángulos generados 6: ángulo trigonom étrico positivo

Dibujem os un ángulo de 2/3 de una vuelta y calcu­ lem os su medida.

La m edida en grados sexagesim ales de este ángu­ lo es |( 3 6 0 ° ) = 240°

(3: ángulo trigonom étrico negativo Cuando a un ángulo trigonom étrico se le in­ vierte su sentido, su valor cam bia de signo.

Para sum ar ángulos trigonom étricos en un gráfico estos deben tener el m ismo sentido.

.-. Medida de un ángulo en grados sexagesima­ les = (Número de revoluciones) (360°) Tenemos también: 1 v = 360°

MEDICIÓN DE UN ÁNGULO

1° = 6 0 ’

1' = 60”

* 1 ° = 3600”

Al m edir un ángulo, tratam os de asignarle un nú­ mero que indique la magnitud de este. Se debe te ­ ner presente para un ángulo positivo, que cuando sea m ayor la rotación, m ayor será el ángulo. ÁNGULO DE UNA VUELTA Es aquel que se genera, cuando el lado final e ini­ cial coinciden por primera vez de cierta rotación.

Podríam os asignarle a este ángulo el número 1 y decir que ángulo de una vuelta es: 1 v.

La form a más lógica para m edir el ángulo es el número de vueltas o llam ado también número de revoluciones.

Donde:

1’: minuto sexagesimal 1” : segundo sexagesimal

MEDIDA EN GRADOS CENTESIMALES Debido a que este sistema no es muy utilizado y carece de aplicaciones prácticas, solo nos lim ita­ remos a m encionar algunas equivalencias. En este sistem a definim os el ángulo de una vuelta como aquel cuya m edida es 4009 (19: grado centesimal) También tenemos: 1 v = 4009

1s = 100m

1m = 100

* 1g = 10 000s 0 /4 v

1/2 v

Donde:

v

Considerem os un ángulo 0 y dibujem os una cir­ cunferencia de radio r y el vértice del ángulo en su centro O; sea además L la longitud del arco de la circunferencia que se genera. Entonces se define:

MEDIDA EN RADIANES

3/4 v <?■

1m: minuto centesimal 1S: segundo centesimal

01

10

| C

o l e c c ió n

El Po stu lan te

La medida de un ángulo en radianes (núm eros de radianes) viene expresado por:

Siendo: S: número de grados sexagesim ales del ángulo ( C: número de grados centesimales del ángulo 8.

R: número de radianes del ángulo 0.

Ejemplo: De la definición:

S 180

Se cumple:

g _ L _ 8_cm _ 4 r 2 cm

o

180R. TI

El número 4 no tiene unidades, asi un ángulo de 4 (radianes) significa un ángulo que subtiende un arco cuya longitud es cuatro veces la longitud del radio (L = 4r)

S = 9k C = 10k

Ahora si consideram os L = r, en­ tonces según la definición tene­ mos:

C 200 c

200R. 71

s

c

ü

10

S = 180k C = 200k R = Tik

LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIA Si un arco de longitud L en una circunferencia de radio r, subtiende un ángulo central (medida en ra­ dianes)

Podemos definir un ángulo de un radián (1 rad) como el ángulo central que subtiende un arco cuya

Entonces:

longitud es igual a la del radio.

cYlata

/: —

..........

„

¡

— vuelta: 180° = 2009 = n rad i 2

I

- vuelta: 90° = 100a = - rad I 4 2 | • 1 ra d > 1 ° > 1 8

I I

27' = 50m r> 1 m

| •

81" = 250s

| •

1">1s

I • ! .

27' = 5000s r> 1 s

0 < 0 < 2 ti

L = 0r

; 1 vuelta: 360° = 4009 = 2 n rad

| • | .

L = 0r

Aplicaciones 1.

Número de vueltas que da una rueda sin resbalar, al desplazarse de una posición a otra En la figura se m uestra una rueda de radio r, que se desplaza de una posición A a otra B, sin resbalar.

I

RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS QUE REPRESEN­ TAN LA MEDIDA DE UN ÁNGULO Considerem os ahora un ángulo trigonom étrico po­ sitivo como se m uestra en la figura:

T

El número de vueltas que da dicha rueda para tal condición se calcula m ediante la siguiente relación: 2nr Donde: nv: número de vueltas que da la rueda. i¿. longitud descrita por el centro de la rueda, r: radio de la rueda.

2.

r ig o n o m e t r ía

!

H

AREA DE UN SECTOR CIRCULAR A la porción sombreada de la figura, se denom ina sector circular.

Si 9 es el ángulo central expresado en radianes, de una circunferencia de radio r, y si S denota el área de un sector circular subtendido porG.

Poleas y engranajes Engranajes en contacto y poleas unidas por una faja de transm isión

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

Hallar el equivalente en grados, m inutos y segundos sexagesim ales de un arco de ^

rad:

Resolución: Pasando al sistema sexagesimal:

En la figura (I) se tiene dos engranajes y en la figura (II) se tiene dos poleas unidas por una faja de transm isión. En cada caso, si A g irá unángulo 0A entonces B girará otro ángulo 0B. Adem ás las longitudes descritas por los pun­ tos P, T y F son iguales, es decir:

: ¿t —U

900° 7

^ rad ( 7 \ re rad 900 [ _ © 128 / x 60

128°

\

240 | 7 0 A rA -

0 B rB -

¿F

¿p: denota la longitud de la trayectoria descri­ ta por el punto P, análogam ente para los otros puntos mencionados.

Poleas unidas por un eje.

©

34

~ 34'

17

=> 17"

x60 \

120 1

5 ti

| rad = 128°34'17"

Hallar la conversión de

32-

rad en grados

sexagesimales.

R esolución: Se tienen dos poleas unidas por un eje, si la polea A gira un ángulo eA entonces la polea B,

Pasando al sistema sexagesimal:

girará un ángulo 0B:

32E rad ( i 8 0 1 9 \ n rad

32x180°

640°

12

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Sector circular (después):

3 tc Si el complemento del arco x es - — radianes, hallar el valor de x en grados centesimales.

Resolución: Sabem os que el com plem ento de un arco x es:

2

- x

3 ti i-. _i j. 71 'JJL Por dato: — - x = - — X_ 14 2 71

12

O bservar que el radio (por dato) del nuevo sector es igual a 3r/4, pero el área no varía.

3 ti => x = ^ rad 7 14

s = 5 ' 36 + “ > - ! s r ( 7 ) 2

Este valor lo pasamos al sistema centesimal: 5n 7

200a \ _ 1000a = 142, 8571£ i Tirad / 7

l / 3 6 j L \ r2 = 1(36 2 \ 180 /

Pasando a minutos y segundos se obtiene: x = 142a 85m 71s 4.

O perando tenem os: a = 28°

[ " e j e r c i c i o s PROPUESTOS T | 90g + — rad + 16° 1.

O bservar de la figura que la longitud total de la vía es igual a la suma de los arcos L-i y L2. l,

2 , (ff^ O O O )

6250n

Calcule el valor de: R =

a) 1 2.

- ( f i ¡ r ) < 2500>

180 \ 4 I

2

Simplificando: 36° = (36° +

Un tramo de una vía férrea curvilínea está for­ mado por dos arcos sucesivos. El primer arco corresponde a un ángulo central de 20° con un radio de 2500 pies y el segundo corresponde a un ángulo central de 25° con un radio de 3000 pies. Encontrar la longitud total de la vía.

Resolución

- <2)

Com o el área es la misma, entonces iguala­ mos (1) y (2):

b) 2

3.

Considerando: n = 3,1416 se obtiene

d) 4

e) 5

Dada la siguiente equivalencia: 11a < > a°b' calcule: b - a b) 46 e) 49

a) 45 d) 48

2 5 0 0 \20V

c) 3

20

4 71 rad - 8° 15

Si: (a + 1)a o

c) 47

( a + 2)0

calcule (a2 + a)° en radianes.

.-. L, + L2 = 2181,67 pies 5.

Se tiene un sector circular de radio r y ángu­ lo central de 36°. ¿Cuánto hay que aum entar al ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio dism inuye en un cuarto del anterior?

4

li2 2 \ 180 I

...(1)

(S: área del sector circular)

371 rad < > a°b'c", calcule (a + 2b - c)9 en — 32 el sistema sexagesimal.

si

a)

Sector circular (inicialmente): 5.

15

e) — ’ 30

d )f

R esolución:

s =

b)

a )á

72°

b) 81°

c) 90°

d) 99°

e) 108°

Los ángulos internos de un triángulo miden: (3x)°, (10x)g, y

rad. Calcule la diferencia

T r ig o n o m e tr ía

6

.

5 tt/1 8 4 tc/8

z: número de minutos centesim ales del m is­ mo ángulo.

c) 7 rc/18

b) n/3 e) n/2

c + s c -s

17

120R V

n

C 10

13.

Determ ine la medida radial del ángulo que cum pla con la Igualdad:

siendo S y C las m edidas sexagesim al y cen­ tesimal de un ángulo trigonom étrico. a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

Determ ine la m edida radial del ángulo que cumple: 12S + 5C + 40R/n = 32 a) ni 10 rad d) 71/100 rad

b) rt/40 rad e) ti/90 rad

a) ni 3 rad d) 27t/5 rad

14.

c) n/80 rad

d) | 9.

rad rad

b) — rad 4 e) í

6

c) -5- rad 5

a) ti/20 d) 7i/9

15. SI:

b) ti/18 e) ti /6

c) 7l/10

11.

b) 15° e) 24°

c) 18°

valor de: -Ia + b

12.

b) 12 e) 15

1 \ U , 1 \ S + 2 / '(1 + s + C - 1/

i

/ X9Xm \ ° l x ’x ” y x m ) 1

)

{

c) nJ5 rad

< > a°b'c"

a- c- 1 b) 15 e) 25

c) 20

Siendo S y C los núm eros de grados sexa­ gesim ales y centesim ales para un m ismo án­ gulo el cual cumple: Sz + 81 < 18S convertir (4SC)9 a radianes.

Si a° y bs son suplem entarios que están en la relación de 1 a 4, respectivam ente, calcule el

a) 11 d) 14

1 V,1 +,

b) n/4 rad e) n/10 rad

a) 10 d) 24

a) 9n/5 d) 3n/5

10. Calcule la m edida del ángulo para el cual se cum ple que: S + 3C - 10SR = 30 ( ti = 22/7) a) 12° d) 21°

x x x'

calcular:

16.

c) ni5 rad

Determ ine la m edida circular del ángulo que cum pla con la igualdad, siendo S, C y R los núm eros convencionales para un ángulo.

a) n/2 rad d) ji/8 rad

rad

El número de segundos sexagesim ales de un ángulo más el número de m inutos centesim a­ les del mismo ángulo es 66 800. Calcule la m edida radial de dicho ángulo.

b) n/2 rad e) 3n/5 rad

-¿- + 1 = 1 +. 1\/A1 , 9R \ SI

La suma del doble del número de grados sexagesim ales con el número de grados cen­ tesim ales de un ángulo es igual a 140. Deter­ m inar la m edida circular de dicho ángulo. a) |

— + 2 0 — = 12(S4 - C4 + R4) 10 n

9

e) 6

c) 171

b) 170 e) 173

a) 169 d) 172

Reducir la expresión E =

13

y: número de segundos sexagesim ales del mismo ángulo,

de las medidas del m ayor y menor ángulo en radianes. a) d)

¡

c) 13

Calcule: 5 0 o ( - — — — - V siendo: x: número de segundos centesim ales de un ángulo.

17.

b) 4n/5 e) 6nl7

c) 2n/3

Siendo S y C los núm eros que representan la medida de un ángulo en grados sexagesim a­ les y grados centesimales, respectivam ente, cumplen la igualdad: Vs + Vs + V s i ~

= Ve - Je -

Calcular la m edida radial de dicho ángulo. a) 1,9 ti; rad d) 4,9n rad

b) 2,9n rad e) 0,9n rad

c) 3,9n rad

18. Calcular la medida del mayor ángulo en radia­ nes, si la suma de la cuarta parte del número de grados sexagesim ales de un ángulo y los tres quintos del número de grados centesima-

14

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

les de otro ángulo es 70, además se sabe que dichos ángulos son suplementarios.

19.

c) 2n

b) 2 ti/3 e) n/4

a) n d) ni2

a) 12?t b) 14n c) 15n d )1 6 n e) 17t í

Un ángulo a mide a0b° y tam bién acO9. Si c > b, ¿cuál es el menor valor que puede to ­ mar a en radianes?

12 5

n

b)

14 n 5 17 n 10

c)

En un sector circular se cum ple que: 4L\ : S + 380 L 6R + -

16 t t

donde: R: radio; 9: número de radianes del ángulo central; L: longitud de arco, S: área.

Hallar S:

5

a) 14 d) 18

2 0 . Se tienen dos ángulos positivos y se sabe lo

siguiente: la diferencia del número de minutos centesim ales de uno de ellos con el número de m inutos sexagesim ales del otro es 400, además sus núm eros de grados sexagesi­ males y centesim ales del segundo y primero suman 10. Calcule la diferencia de estos án­ gulos en radianes. a) rt/46 d) íi/8

b) e)

c)

ti/ 12

13. e

17. a

2. a

6. d

14. e

18. b

3. c

7. d

11. d

15. a

19. b

4. b

OÓ

12. c

16. a

20. e

JD

9. c 10. a

c) 1/3

x + 4

De la figura, calcular: a) b) c) d) e)

Hallar x.

d) 2 e) 3

a) 1 2 1/2 1/3 2/3

1 2 3 1/2 1/3

b ) 1/2

Hallar x.

b) c) d) e)

2L 3L/2 L L/2 L/3

a) 1

PROPUESTOS D EJERCICIOS é u 1.

c) 16

Calcular: 92 + 0 a) b) c) d) e)

7.

b) T5 e) 20

SI S = 5L2, calcular x (S: área). a) b) c) d) e)

6.

5. e

1. d

5.

tt/20

tl/96

m2 m2 m2 m2 m2

1 3 6 5 4

Calcular el área de la región sombreada: R = 6 m

x + 2

Calcular el valor de x. a) b) c) d) e)

3 5 7 9 11

En un sector circular el radio y el perím etro es­ tán en la relación de 1 a 3. Calcular la medida del ángulo central. a) — rad ' 2 d) 2 rad

b) 1 rad e) — rad 2

c) — rad 2

T

10.

D eterm inar la longitud de la cuerda que cubre todo el sistema. a) b) c) d) e)

r ig o n o m e t r ía

|

15

15. Calcular: S (área)

R (3 + ti) 2R (3 + t i ) 3R (3 + rt) 4R (3 + ti) 5R (3 + ti)

2a

c) 2ab 11.

C alcular 9, si: S-, = S2

d) ab

e ) f

16. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 409. SI el radio mide 15 m, calcular la longitud de arco que subtiende.

d)

ti/5

b) 71/9 e) ti/4

12. Si A: área, hallar x. a) b) c) d) e)

a) ti m d) 4 ti m

c) 71/6

17. Si L, + L2 :

1 2 4 5 6

b) 2n m e) 5 ti m

c) 3 ti m

14 tt a + p = 120°; hallar R. 3 ’

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

13. SI S t + S2 = 15 tt m2, calculare. a) ti/15 b) ti/12 c) ti/3 d) 7i/10 e) ti/5

18. Calcular x. a) 1/3 b) 1

c) 40 d) 46 e) 43

~ 2

e) 2

14. C alcular el área S de la región sombreada. a) 48 b) 44

10

c) 4/3 d) 5/3

3

X

tn til > «

1. b

5. a

9. b

13. c

17. d

2. c

6. a

10. b

14. a

18. d

3. a

7. a

11. d

15. d

ü

4. e

8. d

12. e

16. c

1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Se llama triángulo rectángulo al que tiene un án­ gulo recto, recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos.

En la figura, llam amos c a la hipotenusa, para In­ dicar que su longitud es de c unidades y, con el mismo fin, llam amos a y b a los catetos, ahora su­ pongam os que 0 es el ángulo agudo.

R esolución: Teorema de Pitágoras (8)2 + (15)2 = a2

En el 6\: sen0 =

En el triángulo rectángulo m ostrado se cumple: o < e < 90°

a = 17

289 = a2

17 17 15

COS0 = | |

sec0 =

tan0 = A

CSC0 = H

a < c; b < c Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS RAZÓN TRIGONOMÉTRICA (RT) La razón trigonom étrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las m edidas de las longi­ tudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto al ángulo agudo.

AGUDOS: 30°, 60°, 45°, 37° Y 53° Las razones trigonom étricas (RT) de estos ángu­ los se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos.

COS0 =

tan0 =

coto =

3

3k

/< 3 7 °

hipotenusa

r

X37°

hipotenusa cateto opuesto al ángulo 0 cateto adyacente al ángulo 0 cateto adyacente al ángulo 0

a ’ c .b a

cateto opuesto al ángulo 0

a ^b

hipotenusa________

_c

cateto adyacente al ángulo (

r 4

4k

cateto adyacente al ángulo 0

cateto opuesto al ángulo 0

73

5k

cateto opuesto al ángulo 0 _

hipotenusa

/ W

r

” a

_ c b

Ejemplo: C alcule los valores de las seis razones trigo n o ­ m étricas del m enor ángulo agudo 0 de un triá n ­ gulo rectángulo, cuyos catetos m iden 8 y 15 uni­ dades.

^ N ^ n g u lo

RT sen eos tan

\

37°

45°

53°

60°

1 2

3 5

72 2

4 5

73 2

73 2

4 5

72 2

3 5

1 2

73 3

3 4

1

4 3

73

co

cscO =

/^ 3 0 ° k-/3

o O

sec0 =

1

k

Si en el triángulo de la figura anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c), cateto opuesto (b) y cate­ to adyacente (a) al ángulo 0. Podem os definir las razones trigonom étricas de 0 del m odo siguiente:

sen0 =

2

2 k / '6 0 °

T

|

17

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

^ -^ Á n g u lo 30°

37°

45°

53°

60°

cot

/3

4 3

1

3 4

/3 3

csce =

1 sen0

sec

2 /3 3

5 4

12

5 3

2

sec6 =

1 => cos0sece = 1 COS0

CSC

2

5 3

12

5 4

2 /3 3

cote =

1 tan9

R T ^ \

c V la ta :-

Siendo 0 un ángulo agudo, se cumple:

=> sen0csc0 = 1

=> tan9 cote = 1

Ejemplos:

1.

sen9 = j tan© =

/6 - /2

/6 + / 2

csc0 = ^ cote =

5

RAZONES TRIGONOMETRICAS

n

Dos ángulos agudos se lla­ man com plem entarlos si su suma es un ángulo recto.

15w \

(2 -/3 )

(2 + /3Í

Los valores de las seis razones trigo­ nométricas dependen únicam ente de la m edida del ángulo y no de las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.

Luego:

En la figura que se muestra: 6 y a: son ángulos com ple­ m entarios (0 + a = 90°).

Hem os nombrado el ángulo opuesto al cateto b como 6 y el ángulo opuesto al cateto a como a, en consecuencia: sen© =

,tB' tan0 =

By

b —= cosa; c

eos© =

3 —= sena c

—= cota;

cote =

^ = tana b

a

sec0 = — ; csca; a

ACB tenem os que: sen 0 =

DE ANGULOS

COMPLEMENTARIOS

1 /V 5 °

_5_ /5

ik /

2.

r ig o n o m e t r ía

BC AB

B’C ’ L^AC’B' tenem os que: sen 0 = —— M AB , BC B'C' Luego: — = =-^~ a AB AB' Así encontram os el mismo valor para sen0 sin Importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicem os para calcular­ lo, una idea sim ilar podría servir para las otras razones trigonom étricas.

csc0

sena = cos(90° - a ) tana = cot(90° - a) seca = csc(90° - a ) Debido a estas relaciones, las razones Seno y coseno Tangente y cotangente

RT(a) = CO-RT(P) => a + P = 90°

Secante y cosecante se llaman co-razones trigonom étricas una de la otra, respectivam ente.

18

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Ejemplos: sen40° = cos50°

En el triángulo rectángulo la m edida del otro ángulo agudo es: 90° - 9

sec20° = csc70°

tan80° = c o tí 0 o

cot3° = tan87°

cos62° = sen28°

csc24° = sec66° asen0

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Las aplicaciones de la trigonom etría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión "resolver un triángulo" significa encontrar la longitud de cada lado y la m edida de cada ángulo del triángulo.

acosO B.

Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo.

Incógnitas: x, y

En esta sección verem os que podem os resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da:

Cálculo de x:

I.

Las longitudes de dos lados.

— = cot9 => x = acotó

II.

La longitud de un lado y la medida de un án­ gulo agudo.

Cálculo de y:

I.

y

Conociendo las longitudes de dos lados

a

Ejemplo:

csc9 => y = acsc9

En el triángulo rectángulo la m edida del otro ángulo agudo es: 90° - 9

Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2, respectivam ente.

R esolución: Para calcular x, aplicamos el teorem a de Pltágoras: (1)2 + (2)2 = a2

acotB

=> a2 = 5 .-. a = ¡5 Para determ inar la m edida del ángulo 9, calculem os una razón trigonom étrica con los catetos de longitudes 1 y 2.

C.

Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo.

Análogam ente a los triángulos rectángulos anteriores tenemos:

Es decir: tan9 = — => 9 = 26°30' 2

atanB

Como: 9 + p = 90° => p = 63°30’

II.

Conociendo un lado y la mediada de un án­ gulo agudo

A.

Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo.

Incógnitas: x, y

AREA DE LA REGION TRIANGULAR El área de cualquier reglón triangular esta dado por el sem lproducto de dos de sus lados m ultiplicado por el seno del ángulo que form an dichos lados.

Así tenemos:

S = —absenó

2

y — = sen 9 = y = asená a

TRIGONOMETRÍA ¡

ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos contenidos en un plano verti­ cal form ados por la línea de mira (o visual) y la linea horizontal, que parten de la vista del observador.

•

Línea vertical. Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada.

•

Línea horizontal. Se denom ina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical.

•

Plano Vertical. Es el que contiene a toda línea vertical.

•

Línea visual. Llamada también línea de mira, es aquella línea recta Imaginarla que une el ojo del observador con el objeto a observarse.

Los ángulos verticales pueden ser:

Á ngulo de elevación. Es el ángulo form ado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encim a de la línea horizontal.

19

Á n g u lo de observación. Es aquel ángulo fo r­ m ado por dos líneas de m ira que parten de un m ism o punto al observar un objeto de un extrem o al otro.

0: á n g u lo d e o b s e rv a c ió n

Ejemplo: El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de 60°, a 72 metros de ella, estando el ojo del observador a (3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es aproxim adamente:

R esolución: O bservar que: H ^PM Q V3 :

EJERCICIOS RESUELTOS

En la figura se m uestra la ubicación de los ángulos de elevación y depresión.

•

a: es la medida del ángulo de elevación, porque se encuentra contenido en un plano vertical.

•

0: es la m edida del ángulo de depresión, por­ que está contenido en un plano vertical.

(3: no es un ángulo de elevación porque está contenido en un plano inclinado.

Ángulo de depresión. Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

En un triángulo rectángulo un cateto mide 4 m y la altura sobre la hipotenusa 2,4 m. ¿Cuál es el área del triángulo?

R esolución: E\AHB: sena

2,4 4

= 0,6

sena = ¿ =» a = 37° 5 fc^ABC: tana = ~

(4)(3 ) -'AABC '

El perím etro de un trián g u lo rectángulo es de 338 m. Si la tangente de uno de los án­ gulos agudos es 2,4; ¿cuánto m ide el cateto m enor?

20

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

R esolución:

Por dato el t\A B C es isósceles Entonces: a = 45° I! 5

Dato: tana = 2,4

_1_

..(1)

¡2

sen45 1 - sen45

De la figura: tana = — ..,(2)

1

¡2

De (1) y (2): |

^

Entonces sea: a = 12x y b = 5x

c = 13x

Dato: a + b + c

: 338

12x + 5x + 13x

338

3.

¡2 -1

¡2 + 1

=» S = ¡2 + 1

Resolución: Nos piden calcular: sec(1,04720).

30x = 338

Como: 1,04720 =

30 Cateto menor: b = 5x = 5

(2 + 1

Considerando jt = 3,1416; ¿cuál es el valor de la secante de un arco de: 1,04720 radianes?

c = J s f + h 1' = t/( 12x )2 + (5x)2 c = lÍ 6 9 x 2

1

338 30

3,1416 3

ti

“ 3

=> sec(1.04720) ¡ s e c ( ^ ) = 2 b = 56,33 5.

Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC de catetos 1 m (ángulo recto en B). Por B se traza una perpendicular a AC; por D una perpendicular a BC; por E una perpendicular a AC: por F una perpendicular a BC y así su­ cesivamente. Calcular el límite de la suma: BD + DE + EF + FG + ...

La cotangente de un ángulo vale 1,5; ¿cuánto vale la tangente de su complem ento?

R esolución: Dato: cota = 1,5 Por RT de ángulos complementarios sabemos que: ta n (9 0 °- a ) = cota 6.

tan(90° - a ) = 1,5

Hallar el valor num érico de la siguiente expre­ sión:

¡3 cos230°tan60° - ¡6 sen45°cot30° + 2sec45°cos45° - — 4

Resolución: Reem plazando los valores Indicados:

R esolución:

/ 3 ( | ) 2( 7 3 ) - l 6 ( f ) ( / 3 ) + 2 / 2 ( ^ ) - l

A D «N. F

A<* B fcsADB: ^B E D : Í^DFE: ts,EGF: S S S S g

= = = =

BD DE EF FG

= = = =

r A ar

^ •C

sena BDsena = sen2a DEsena = sen3a EFsena = sen4a

BD + DE + EF + FG + .... sena + sen2a + sen3a + sen4a + ... sena [1 + sena + sen2a + sen3a + . sena(1 + S) => (1 - sena)S = sena sena 1 - sena

7.

9_6 4 2

2 _ 1 =1 4

En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide ¡5 y los ángulos agudos B y C cumplen con la relación: senB = 2senC. Hallar las longitudes de los catetos.

Resolución Dato: senB = 2senC b = 2c b = 2c a a b2 + c2 = (¡5 )2 =* (2c)2 + c2 5c2 = 5 1 a b = 2

1

T r ig o n o m e tría !

Hallar el valor de la siguiente expresión:

2.

sen4x + 3tan3x - 2sec2x - 4

4

Resolución: Sea: E = sen4x +3tan3x - 2sec2x - 4

3.

4

Para x = 45°:

Siendo x un ángulo agudo para el cual: cscx = 2,5; calcular el valor de:

a) 1 d) 4 4.

-1

b) 2 e) 5

simplificar: E : a) 1 d) 4

sen230 + l c s c 460 + 4 r sec360 2 36 cot430 + sec245 + 3 ta n 4 5

5.

R esolución:

2

A =

I

Dado el triángulo rectángulo ABC (recto en B).

Calcular cscA, sabiendo que:

a)

36

A = 10.

8 9

2 11'2 9j

9+ 2+ 3

49 ]1'2 36 J 14

fío

d) v5

( / 3 ) 4 + ( / 2 ) 2 + 3(1) 1 4

6.

7 _6_ _ J _

14

12

Hallar los ángulos agudos a y p tales que:

7.

Como: tan(3a - 35°) = cot(90° - p)

b) 2 fíO

b) 2 cm e) 5 cm

a) 25° d) 12°

...(1) ...(2 )

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se ob­ tiene: a = 17° A p = 16°

8.

Del gráfico, calcular: senG a) 0.2 b) 0,5 c) 2/3 d) 2/5 e) 3/4

b) 27° e) 15°

c) 29°

Calcular el ángulo agudo x que cumple: sen(5x + 13°) - cos(4x + 14°) = 0 b) 5° e) 11°

a) 3° d) 9°

HEJE R C IC IO S PROPUESTOS I I 1.

c) 3 cm

Siendo x e y ángulos agudos, calcular x, si: cos(2x + y + 15°)sec(3x + y - 12°) = 1

Entonces: 3a - 35° + 90° - p = 90° Sim plificando: 3a - p = 35° Dato: 2p - a = 15°

c) 3 /1 0

e) 2 /5

Si el perímetro de un triángulo rectángulo ABC (recto en B) es 168 cm, además: cscA = 25/7, calcular la diferencia entre ¡as longitudes de los dos mayores lados. a) 1 cm d) 4 cm

tan(3a - 35°) = cot(90° - p) A 2p - a = 15°

R esolución:

c) 3

secC - senA = 3senC

+ —í — y + — ( 2 f 2 \/3 J

se n A cscC - 2 tan A se n A se cC ta n A b) 2 e) 5

Reem plazando los valores conocidos: i r

c) 3

En un triángulo rectángulo ABC (recto en B),

Hallar el valor de:

A =

c) 7/13

M = 5cos2x - 3senx

+ 3(1)3 - 2 ( / 2 ) 2 - l

E = — + 3 - 4 - 1 4

b) 4/17 e) 5/13

3/19 9/16

4

E = sen445° + 3tan345° - 2sec245° E =

Siendo 0 un ángulo agudo, tal que: tanO = 5/12: calcular el valor de: E = cose - sen0 a) d)

para: x = 45°

21

9.

c) 7°

Calcular el valor de: sen20" + cot(25" + 3x) + sec(80" - 5x) csc(10" + 5x) + tan(65" - 3x) + cos70" a) 1 d) 1/2

b) 0 e) 1/3

c) 2

22

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

10. Siendo a y p ángulos agudos, calcular p, si: sen(7a - 15°) = cos(5a + 21°) tan(2p - a)cot(3a + 2°) = 1 a) 5° d) 20° 11.

b) 10° e) 25°

c) 15°

C alcular la m edida del ángulo agudo x para el cual se cumple: cot(2x - 9°) = tan1°tan2°tan3° ... tan89° a) 10° d) 27°

17.

b) 18° e) 30°

18.

Se tiene un cubo donde se traza una de sus diagonales y una de las diagonales de su base, de tal manera que tenga un punto en común con la diagonal del cubo. Calcular la tangente del ángulo que forman dichas diagonales. a) 12

b)

d) 1612

e) 1616

1212

c)

13/2

Del gráfico, calcular: P = tanp + tan0

c) 20° a) 1/2 b) 2/3

12. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen: sec(5x + 10°) = csc(2y +20°) tan(20° + y)tan(30° + 3y) = 1 calcular: M = sen(4y + x) + tan(4x + y)

e) 3/5

c) 3/2

13. Siendo a y p ángulos agudos tales que: tana = 17 A cscp = 2 / 2 2/ a + p \ /a + p calcular: E = tan' " ' + tan' 3 2 a) 1/2 d) 3/4

b) 1 e) 4/3

1. c

5. d

9. a

10. c 11. d 12. b

o

b)1 e) 3

d) 1

r°

a) 1/2 d) 2

c) -1

6. d

3. c

7. a

4. b

8. c

eos (a + P + 0 )se c(3 a + 2p)

15.

En

un

c)

-12/2

triángulo

a) 10 d) 16 2.

rectángulo

ABC

(recto

c) 0

e) 2

a) 1/2 d) 1212

c o t(x + 40 )ta n (y + 20 ) 4.

tan 10 cot80

s e n (x + y + 5 0 ")co s(20 " + y) c o síy - x - 10") b) 1312 e) 4/5

c) 3/4

b) 10 e) 20

c) 12

Calcular el valor de x (agudo) en: 4sen(22° + x) cos(68° - x) = tan(30° + x)tan(60° a) 2° d) 10°

16. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen:

calcular: E

c) 14

Si: tan0 - sen45°tan60° = 0; 0: agudo

a) 8 d) 16 3.

b) -1

tan(50° - x) =

b) 12 e) 18

calcular E = 1Osen20 + 6csc20

en C), se sabe que: tan2B = 2; calcular: E = 2tan2A - csc2B a) - 2 d) 1

d

tan 60° + sec245° + 4 eos 60° cot45° - sen30°

cos(2o. + 2p + 20)csc(P + 30) b) 1

18. d

b

Calcular el valor de:

sen(3a + P) = cos(30 + 2p)

e) 2

17. b

E JER C IC IO S PROPUESTOS Y ]

1.

a) 1/2 d) 13

b a

r

c) 3/2

14. Si a, p y 0 son ángulos agudos que cumplen:

calcular: M

13.

14.

15.

16.

b) 4° e) 12°

Calcular sec6 del gráfico: a) b) c) d) e)

H 3 /3 11314 11315 V Í3 /6

11317

c) 8°

■x)

T

5.

De la figura, calcular: tan©

r ig o n o m e t r ía

|

a) 8 /3 d) 5 11.

Hallar x. a) 3senatan9 b) 2senacot0

a) d)

-Í3

b) /3 / 2 2e)1313

c) 3senasen0

c) 1

d) 3coso.tan0 e) 3cosacotü

6.

De la figura, hallar csc0, si AO = OB. 12. a) /2

B

De la figura, calcular: — b a) 73/5

b) 2 /2 c) 2 /3

b) 2 /3 /5

d) -Í2/2

c) 3 /3 /5

e) V3/3

o

d) 4 / 3 /5 e) 5 /3 /5

7.

De la figura, calcular: tana 13.

a) 1/2 b) c) d) e) 8.

De la figura, calcular x. a) asen(0 - a)tana b) asen(0 - a)cota c) asen(0 - a)sec a

2 1/4 4 1

d) asen(a - 0)tana e) asen(a - 0)cota

De la figura, calcular: tana 14.

Del gráfico, calcular: x a) 2(tana + tanp) b) 2(cota + cotp) c) 2(cota - tanp) d) 2(cota - cotp) e) 2(tana - tanp)

d) 10/3

e) 10 15.

9.

De la figura, calcular x.

De la figura, calcular: tana a) 1/2 b) c) d) e)

1/3 4/7 3/5 5/7

10. Calcular: A = 10tana + 11 tañe

a) 2R(tan0 + 1) b) 2R(cot0 + 1) c) R(cot0 + 1) d) R(cot0 - 1) e) R(tan0 + 1) 16. Calcular: E = (2sen30° + sec60°)tan53° + /3 ta n 6 0 ° a) 3 d) 9

b)5 e)11

17. Si: sen0 - tan37° = 0; calcular: A = •I-Í7 tañe + 1

c) 7

23

24

| C o le c c ió n E l P o s t u l a n t e

a) 2

b) 3

d) 2 /3

e) 3 /2

F

c) 5

E JE R C IC IO S PROPUESTOS

1.

18. Simplificar:

J

Del gráfico, calcular x. a) 19

2 ta n (3 5 ° + x)ta n (5 5 ° - x) + ta n 260°

b) 18

co s í 8 csc72 - sen30

c) 17 a) 10 d) 7

b) 9 e) 6

c)

8

d) 15 e) 12

19. Del gráfico, calcular: /6 s e n 9 + 1

2.

a) 2

En un triángulo ABC cuya área es 0,5 m2, determ inar a que es Igual el producto de las cosecantes de los ángulos del triángulo.

b) 3 c) 4 d) 5 e )7 20.

3.

De la figura, calcular tanO.

a) abe

b) a2b2c2

d) a2b2c

e) a2bc2

c) ab2c2

Siendo S t y S2 áreas, calcular: a) 1

b) 1/4

b) 2 c) 3

c) 3/4

d) 4

d) 2/3

e) 5

a) 1/3

e) 3/2

4.

4a/ „ ' / 1 6a/

S2

Del gráfico, calcular:

21. Calcular x del gráfico: a) b) c) d) e) 22.

1 2 3 4 5

-a + T a) 3sen8 + 2cos8 c) 4cos8 + 3sen9 e) 3cos9 + 2cos8

Del gráfico, calcular: A = 2sen(9 - 1 5 ° ) + sec(9+15°) 5.

a)1

in y > <í j

ü

Del gráfico, calcular:

b) 2 c) 3

a) sen28 b) csc29

d) 4

c) cos29 d) sec28 e) tan29

e) 5

i. c

6. a

11. a

16. c

21. d

2. d

7. b

12. b

17. a

22. c

3. d

8. c

13. e

18. a

4. a 5. b

9. b 10. b

14. c 15. c

19. b 20. d

b) 2sen8 + cos8 d) 3cos9 + 4cos9

Desde un punto en el suelo se observa la par­ te más alta de un edificio con una elevación angular de 37°, nos acercam os al edificio a una distancia de 10 m y el nuevo ángulo de elevación para el m ismo punto es 45°. Calcu­ lar la altura del edificio.

T

a) 14 m d) 30 m 7.

b) 20 e) 50

a) 4 m d) 10 m

b) 40 e) 48 m

m c) 42 m

b) 6 m e) 12 m

b) 2500 m e) 2000 m

14.

15.

Un cachimbo de la Universidad Vlllarreal de 1,5 m de altura observa la parte superior de un poste, con un ángulo de elevación 4). Si el cachimbo se acerca 45 m, hacia el poste y en

c) 20 m

b) e)

1200 m 1000 m

c) 600 m

Desde la base A de un cam ino inclinado, un ángulo a con respecto a la horizontal, se ob­ serva la parte superior S, de un poste de 2 m de altura con un ángulo de elevación 2a. Si el poste se encuentra en el cam ino y AS = 7 m, calcular tana.

2/9_ 6 /2

b) 2/7 e) 4 /2

c)7/2

Calcular el área de una región triangular don­ de 2 de sus lados m iden 12 m y 14 m, además la m edida del ángulo que form an dichos lados es 30°. a) 40 m d) 43 m2

16.

b) 18 m e) 25 m

Desde el últim o piso de un e d ificio se o b ­ serva un avión con un ángulo de elevación de 53°. Si la altura del e d ificio es de 200 m y la altura de vu e lo del avión es de 1 km, c a lcu la r la d istancia del avión al últim o piso del edificio.

a) d)

c) 8 m

c) 1250 m

16 m 24 m

a) 1600 m d) 800 m

b) 41 m2 e) 44 m2

c)

42 m2

Del gráfico, calcular x. a) — sene b b) — sene ' a

Desde un avión, que se encuentra a una al­ tura H, se observa en tierra un objetivo con un ángulo de depresión de 60°; luego de un minuto y habiendo pasado por encima del ob­ jetivo, se vuelve a observar el mismo con una depresión angular de 30°. Si la velocidad del avión es de 300 km/h, calcular H, adem ás la trayectoria del avión es una linea horizontal. a) 1350 m d) 3500 m

12.

13.

m c) 30m m

10. Desde la parte superior de un muro de 2 m de altura, se observa un árbol con un ángulo de depresión de 30° su base y con un ángulo de elevación de 60° su parte superior. Hallar la altura del árbol.

11.

a) d)

Una persona colocada a 36 m de una torre ob­ serva su parte más alta con un ángulo de ele­ vación a (tana = 7/12). ¿Qué distancia habría que alejarse para que el ángulo de elevación sea 6, donde: tan6 = 1/4? a) 36 m d )4 6 m

25

c o to - cote = 2

c) 14 m

Desde la base de un árbol se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de ele­ vación de 45° y desde la parte superior del ár­ bol se observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 37°. Si la altura del edificio es de 120 m. C alcular la altura del árbol. a) 10 m d) 40 m

9.

b) 12m e) 18m

|

línea recta, el nuevo ángulo de elevación sería 9, halle la altura del poste, sabiendo que:

c) 28 m

Desde un punto en el suelo, situado entre 2 muros de 3 m y 4 /3 m se observa sus puntos más altos con ángulos de elevación de 30° y 60°, respectivam ente. Calcular la distancia entre dichos puntos. a) 10 m d) 16 m

8.

b) 15m e) 32 m

r ig o n o m e t r ía

c) — sene c d) abcsene e) — sene a2 17.

Del gráfico, calcular: A = sene + 2cos0 a) 1 b) 1/2 c) 3/2 d) 3 e) 2

26

| C

o l e c c ió n

E l Po stu lan te

18. Si a + b = ab; calcular x.

C

a) 73 b) 2 /3

/3 0 °\

c) 3 /3

19.

d) 4 /3

7

e) 5 /3

------------

x'

Del gráfico, calcular el área de la región som ­ breada.

15

5

10

a) 13,5

b)

14,5

d) 16,5

e)

17,5

c) 15,5

20. A 16 m de la base de un árbol el ángulo de elevación para la parte más alta es 37°. Cal­ cular la altura del árbol. a)

10 m

b) 11 m

d)

13 m

e) 14 m

c) 12 m

1. e

5. d

9. e

13. e

17. e

2. b

6. d

10. c

14. b

18. a

3. c

7. a

15. c

19. d

4. c

8. c

11. c 12. d

16. c

20. c

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR ANGULO EN POSICION NORMAL

V é rtic e

Lado

Un ángulo 0 está en posición normal, posición es­ tándar o canónica si su vértice está en el origen de un sistema coordenado rectangular y su lado inicial coincide con el eje x positivo.

Cuando un ángulo 0 está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes en cuyo caso se dice que 0 está en tal cuadrante, o bien encontrarse sobre el eje x o el eje y, entonces se dice que es un ángulo cuadrantal.

Ejemplos: I.

y.

En ambas figuras a y 0 son ángulos coterm lnales, en el primer gráfico son ángulos trigonom étricos y en el segundo ambos están en posición normal.

Propiedades de ángulos coterm inales 1.

La diferencia de dos ángulos coterm inales es un número que se representa por 360°k (k: entero). Es decir, si a y 0 son ángulos coterm i­ nales, se cumple:

a - 0 = 360°k -a g u ­

donde: k .= +1, ±2, ±3, ...

Siendo a y O ángulos coterminales y en posición normal como se muestra en la figura se tiene:

ayo yt

IV.

<Ü H : p > o

e < o

Entonces a , (|> A p están en posición normal. a e MIC, ó e IIC y p es un ángulo cuadrantal. sena = sen©

9 no está en posición normal. sen0 ÁNGULOS COTERMINALES Son aquellos ángulos que pueden o no estar en posición normal y tienen las siguientes caracterís­ ticas: I. II.

El mismo lado Inicial El mismo vértice

III.

El mismo lado final

Sin considerar el sentido de los ángulos, es decir, que ambos ángulos pueden tener el m ismo sentido o sentidos opuestos, se tiene:

cosa = — r

c o s a = COS0

cose tana = tana = tan0 tan9 = — x Análogam ente para las dem ás razones trigo­ nométricas. Luego, podem os concluir:

28

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

RT(g) = RT(9)

(sen3260 c o tí 15 co sí 16 )3

( j —-----------------------------------------

(csc195 tan336 f

Donde RT: razón trigonom étrica

l_l _ sen195 cot340 csc128

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN

(tan135 sec298 )3

POSICIÓN NORMAL

R esolución: Recordar los signos de las RT en cada cua­ drante. todas son positivas

(+)

(+ )

y ordenada sen0 = — = r radio vector

tangente cotangente

coseno secante

abscisa COS0 = — = r radio vector

(+)

(+)

En las expresiones dadas solo reem plazamos los signos.

y ordenada tan0 = - = X abscisa cote = - =

abscisa ordenada

sec6 = — =

radio vector abscisa

y X

radio vector CSC0 = — = ordenada y

[(+)(+)(—)]3 (-)(-)

(-) (+)

[R H H P [(-H+tf

(-) (+)

(-)(-)(+) [H(+)P

EJERCICIOS RESUELTOS

1.

seno cosecante

Hallar el valor numérico de la expresión: E = sen180° + 2cos180° + 3sen270° + 4cos270° - 5sec180° - 6csc270°

[ " 1.

(+) (-)

e j e r c ic io s p r o p u e s t o s ' "

De la figura siguiente, calcule tan0.

R esolución: a) - 4 /3

Recordar: sen

eos

tan

cot

sec

CSC

180°

0

-1

0

3

-1

3

270°

-1

0

3

0

3

-1

Reem plazando en la expresión dada: E = 0 + 2 ( - 1 ) + 3 (- 1 ) + 4(0) — 5 (—1) —6 (—1) E = - 2 - 3 + 5 + 6 = 6 2.

Indicar los signos de las siguientes expresio­ nes en el orden F, G, H. _ (sec285 tan2138 sen210 )3 (csc3215 cot338 )

b) 4/3

c) -1 d) 3/4 e) - 3 /4 2.

|

Del gráfico mostrado; calcule tana. a) 2/3 b) 1/3 c) 1/2 d) 3/2 e) 1

T

3.

10.

Del gráfico mostrado, calcule tan0. a) 1/2

Y

A(2; 6)

r ig o n o m e t r ía

|

29

Determ ine el cuadrante al cual pertenece 9 si se tiene que: |sen0| + sene = 0 y además: sen6cos0 > 0

b) 1/3 c) 1 d) 2

Sj

5.

3TX 7

e) 3 4.

7.

x

11.

Si 9 es un ángulo positivo, en posición normal y está com prendido entre la segunda y terce­ ra vuelta; determ ine su valor si se cumplen: tan9 = cot(ji/4) y sen0 < 0. a)

35ti/4

b)75n/4

d)

65 ti/4

e) 4 5 ti/4

y

(4;4)

Si 0 es un ángulo positivo y menor que una vuelta y pertenece al tercer cuadrante; deter­ mine el signo de: I.

E = (sen0 + cose )tan0

II.

F = |s e n |^ | - c o s |^ -jjs e n 0

m/

e) -3 /2

eC V (2; 0)

a) ( - ) ; ( - ) ; (+ )

b) ( - ) ; ( + ) ; ( - )

c) (- ); (-); ( - )

d) (+); (-); ( - )

e) (+); (+); ( - ) 12.

Dadas las relaciones: 1 + |sen0|tan0 < 0 Atan0sen0 > 0

x

determ ine el signo de la expresión:

-i Del gráfico mostrado; calcule 3tan6 + x cote

E = (sene - cos0)(tan0 + cote)

a) 1

a)

(+ )

b) c) d) e)

d)

0

2 3 4 5

13.

y 0 pertenece al segundo cuadran-

a) - 2 d) 1

b) - 1 e) 2

d) - 2

14.

b) 10 e) 6

(“

b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

c) 11 15.

Determine el cuadrante al cual pertenece 6 si

(-1 2 ; - 5 )

De la figura siguiente, calcule: sen6 - 4cos6 a) 5

SI se tiene que 6 es un ángulo en posición nor­ mal del cuarto cuadrante, para el cual se tiene 12 que cose = — calcule: 3 + 13(sen6 + cos0) a) 8 d) 9

c) (+ ) o (—)

Del gráfico mostrado, calcule: 3sen0 + 2cos6

e) - 3 c) 0

b) ( - ) e) F.D.

b) 2 c) 3

SI 0 es un ángulo en posición normal tal que 5 te; calcule: 2 + V41(sen9 + cose)

9.

c) NIC

III. A = (sen20 - cos0)tan(0/2)

c) -4 /3 d) -5 /4

tañe =

8.

b) IIC e) F. D.

c )55j[/4

Del gráfico mostrado, calcule tañe. a) -2 /3 b) -3 /4

6.

a) IC d) IVC

El punto P (-3 ; 5) pertenece al lado final de un ángulo 0 en posición normal; calcule:

se cumple: (sen6 + cos0)sec6 < 1 y además: ■/34(sen0 + cose)

tan0sen0 > 0 a) IC d) IVC

b) IIC e) F. D.

c) INC

a) d)

1/2

b) 1 3 e) 1/3

c) 2

30

| C

16.

El lado final de un ángulo 9 en posición normal pasa por el punto (4; - 5 ) ; calcule:

o l e c c ió n

E l Po stulante

19.

b) - 3 e) - 9

y

a) - 3

V4Í(sen0 - cos9) a )-1 d) - 7

Del gráfico mostrado, calcule: tanG + tana

y

b) - 2

c) - 5

c) -1

\

d) - 4

X3T

'

e) - 5

17. Del gráfico mostrado, calcule el valor de m, si se tiene que: tanG = 3/2 20.

7 a> 1

x.

Del gráfico mostrado; calcule tanG.

a) 1 a) - 3

b) - 8

18.

c) 4

b) - 2

d) - 2

c) -1

e) - 6

d) - 1 /2

En la figura mostrada, calcule: tana + tanG (a: a + 5)

b) - 4 /7 c) - 5 /6 d) -3 5 /1 2 e) - 1 2 /7

— (a — 1; a)

1. e

5. a

9. d

13. e

17. b

2. d

6. d

10. c

14. b

18. c

3. a

7. d

11. c 12. a

15. c

19. a

4. b

-Q 00

a ) -1 3 /1 2

e) - 1 /3

16. e

20. b

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA En la figura se tiene una circunferencia con centro en C(h; k) y radio r. Si P (x; y) es un punto cual­ quiera de la circunferencia, por distancia entre dos puntos se tiene: r = J(x - h)2 + (y - k)2 , pero esto es equivalente a la ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2

...(I)

A la ecuación (I) se denom ina ecuación de la cir­ cunferencia con centro en (h; k) y radio r.

donde la posición inicial de estos arcos es el punto Q punto de intersección del lado positivo del eje x con la circunferencia) ver figura.

En adelante discutirem os aquellos arcos dirigidos en posición normal donde la posición inicial sea un punto tal como Q. Aquellos arcos form ados en sen­ tido antihorario se consideran positivos, y en senti­ do horario se les consideran negativos.

En la figura, ios puntos S y P son los extrem os de los arcos v y p, respectivam ente. y: es un arco positivo

(sentido antihorario) (3: es un arco negativo (sentido horario) A aquella circunferencia que tenga por ecuación: x2 + y2 = 1, se le denom ina circunferencia trigo­ nométrica o unitaria. Entonces esta circunferencia tendrá centro en el origen y radio igual a una uni­ dad. La gráfica de la circunferencia trigonom étrica (CT) se observa en la siguiente figura:

ARCO DIRIGIDO Es la trayectoria recorrida por un punto móvil so­ bre una curva en un sentido determ inado. Asi, por ejemplo, en la figura el arco AB se form a por la trayectoria de un punto sobre la curva G, partiendo de A (posición inicial u origen) llegando al punto B (posición final o extremo). Análogam ente el origen del arco CD es C y su extrem o es D.

0, / B

'D

Así tenem os un arco dirigido QP en posición nor­ mal (figura 1). Del sector circular som breado, se tiene que por la longitud del arco es LQP = ar. Para una CT (r = 1), se cumplirá: LQP = a (figura 2).

Es importante trabajar los arcos en posición normal en la CT teniendo en cuenta el extrem o del arco, este extrem o nos indicará el cuadrante al que per­ tenece dicho arco. Así, por ejemplo, en la figura 0 e IC y y e MIC.

A , x

En la figura (a), se tiene una recta numérica verti­ cal donde el origen de la recta coincide con el punto

ARCOS EN POSICIÓN NORMAL Son arcos dirigidos form ados en una circunferen­ cia con centro en el origen del plano cartesiano,

A(1; 0) de la CT. Considerando a la CT como una sección de un carrete y la recta numérica como un hilo (espesor despreciable) entonces, en la figura

32

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

(b), la parte positiva de la recta se envuelve en sen­ tido antihorario y la parte negativa en sentido horario.

Ejemplos:

y

6

Este procedim iento tiene por fin ilustrar al lector que a cada punto de la recta num érica le corres­ ponde un único punto de la CT. Como ya se ha enunciado, es importante ubicar el extrem o de un arco en la CT, ya sea para la ubica­ ción de su cuadrante o para las definiciones que se verán más adelante. Así, por ejem plo el arco 1 en la CT se relaciona a un ángulo en posición normal 1 rad Fig. (a), análogam ente el arco n a t i rad Fig. (b) y el arco - 2 a - 2 rad Fig. (c)

V Z il |7 O sen(—1 )1t"*/1 6 \1 L ) \

ció /

, X

Y -1

' — E

Definición II El coseno de un arco es la abscisa de su extremo.

Teorema 1:

V a e IR, se cumple:

- 1 < sena < 1 A —1 < cosa < 1

REPRESENTACIONES DE LAS RAZONES TRIGO­

En efecto, si a es cualquier número real, entonces su extrem o en la CT podrá ser cualquier punto de la CT. Los intervalos que contienen los valores del sena y cosa, se ilustran en la fig. (a) y fig. (b), res­ pectivamente.

NOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA En esta parte, al referirnos a un arco, hacemos la suposición de que este es un arco dirigido en la CT en posición normal, es decir, su punto inicial es el origen de arcos A(1; 0). En las representaciones siguientes se han utilizado segm entos dirigidos.

D efinición I El seno de un arco es la ordenada de su extremo.

Fig. (a)

T

Sea la figura siguiente y consideremos que k e Z, planteamos el siguiente cuadro a manera de resumen.

|

r ig o n o m e t r ía

Se concluye que: se n (2 k ji + y ] = -1

33

vkeZ

B o B \ el coseno tiene un valor de cero CT B< ° j)

A’( - 1 ; 07Í

Ejemplos:

XJ

c o s (^ ) = 0 ;

A (1 ;0 )

c o s íZ |2 L ) = 0 ;

cos(~|~) = 0;

B '( 0 ; — 1 )

c o s |--? l5 -J = 0

En el p u n to

Se u bica n lo s e xtre m o s de lo s a rco s de la form a

A

2 kn

E je m p lo s

Se concluye que: cos(2k + 1 )4 = o v k

- 6 tc, —471, —2 ti, 0, 271,

e

Z

471, 67c, 8 ti, 1 Ü7I

A, el coseno tiene un valor Igual a la unidad. ti 5 n 2kn

B

+'IL

V ( 4 k + 1)IL

2

2

97t 1 3tc 1 7 ti

2’ 2 ’ 2 ’

7n

3ti

2 ’ A'

2 ’ 11 ti

2 ’

2 ’

Ejemplos:

2

cosO = 1 ; c o s (-6 ir) = 1;

15tx

2 ""

71, 371, 571, 771, 971, ...

2 k n + 7i V (2 k + 1 ) ti

Se concluye que:

= 1; eos 100n = 1

cos4rr =

cos(2k7t) =

;vkeZ

c o s 2¡ t

1

1

—7i, —37:,—571,—7 ti, —9 ti,

7k

371 B'

2 k ji + 3 j

2

». (4 k + 3 ) í 2

1 171

2 ’ 2 ’ 71 2’

1571

2 ’ 5ti

2 ’ 9ti

2 ’

A', el coseno tiene un valor igual a -1

1971

Ejemplos:

2

= -1 ; c o s (-1 5 n ) = - 1 ;

1371

2 '

co sti

2 ’ "

Continuando en la figura, tenem os que si el extre­ mo de un arco se ubica en el punto:

cos3n =

-1 ;

cos9n =

-1

c o s 4 5 ti = - 1

Se concluye que: cos(2kn +

ti) =

—1 1; v k

eZ

A o A', el seno tiene un valor de cero.

D efinición III

Ejemplos:

La tangente de un arco es la ordenada del pun­ to de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de arcos y la prolongación del radio o diámetro que pasa por el extrem o del arco.

senO = 0: sen?: = 0: sen2ir = 0 s e n (-5 ii) = 0; sen28n = 0 Se concluye que: | sen(kn) =~0~|;

vk e Z

B, el seno tiene un valor Igual a la unidad.

Ejemplos: s e n (!)= 1 ; - 3 ;t

2

sen

= 1: senl

5 ti

1;

2 41 TI

2

= 1;

s e n ( lf^ = 1

1 Vk

Se concluye que: sen(2k7t B’, el seno tiene un valor igual a -1

Ejemplos: 13 n \ _ 2 I “

s e n (^ ) = -1

s e n / - 4 \ = —1 ■ L) =

~1

e

Z

34

I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Definición IV La cotangente de un arco es la abscisa del pun­ to de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de com plem entos y la pro­ longación del radio o diámetro que pasa por el extrem o del arco.

D efinición VI La cosecante de un arco es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extrem o del arco y el eje y.

Ejemplos:

V

C y V ’ B(0; 1)

y cotp B cota '"S ta

/n i 4 \

0\

V

y

y

Ejemplos:

í

Ja

\

x

/^~

CT

ps

/

C O t jl/ 6

0

. a n . li/6

V

r

/

X

\c s c p Ja

x

—n/2

il/2

/csc(§

a

1 CSCa

°

*-

V

V

0

JA /

— 17 .1 4 /

X

_ y r

C T —^

csc( —rt/4) G

D

(P y Q: ptos. de tangencia) (B y T: ptos. de tangencia)

cotí

A la recta o que es la tangente a la CT en B(0; 1) se le suele denom inar eje de cotangentes.

Teorema 2 tana elR; Va e IR - j(2 n +

cota eIR: Va

g

n eZ

IR - {nii}; n e Z

Teorema 3 • seca < - 1 v seca > 1 ; Va e K —j(2n + 1)-|j; n e Z

D efinición V La secante de un arco es la abscisa del pun­ to de intersección entre la recta tangente que pasa por el extrem o del arco y el eje x.

Ejemplos: ~ \.p a \ R /secp y \s M 0 seca I \P qV —^ C J

P y Q: puntos de tangencia

x

exsecO s e c - i\ > 4)\

3

C T ~ v '—

71

- y S 'G

V0 < : IR

La exsecante o secante externa de un arco 0 denotado por exsecO, se define:

FJz-

°

/ 0 g 1E

El cosenoverso o coverso de un arco 0 deno­ tado por covO, se define: covO = 1 - sen©

y

e / 7

SENOVERSO, COSENOVERSO Y EXSECANTE El senoverso o verso de un arco 0 denotado por versO, se define: verso = 1 - cosO

y

s e c ( |) l

• csca < - 1 V csca > 1; Va e IR -{n n }; n e Z

/y

F y G: puntos

D V"

X

secO - 1 ; v e e IR - |( 2 n + 1 )-|j; n e Z

0 < verse < 2 0 < covO < 2 exsecO < - 2 v exsecO > 0

T

Gráficam ente el verso de un arco es el seg­ mento dirigido en el eje x que parte del punto cuya coordenada es el coseno de dicho arco hacia el origen de arcos.

III.

De la figura se cumple:

I.

Está proposición es verdadera. Las fun­ ciones seno y coseno son negativas en el INC. En el IVC ambas funciones son cre­ cientes.

II. Esta proposición es falsa. Ya que la fun­ ción secante es positiva y creciente en el segundo cuadrante.

III. Esta proposición es falsa. Ya que las fun­ ciones tangentes y cotangentes son positi­ vas en el tercer cuadrante y cualesquiera de estas pueden tom ar el valor de 3,8.

Ya que PA = A - P => versO = A - P .-. versO = 1 - cosO Gráficam ente el coverso de un arco es el seg­ mento dirigido en el eje y que parte del punto cuya coordenada es el seno de dicho arco ha­ cia el origen de complementos.

Ejemplo:

.-. VFF 2.

covO = QB Ya que QB = B - Q => covO = B - Q covO = 1 - seno

Cuando el ángulo x aumenta de 90° a 180°, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) b) c) d) e)

Gráficam ente la exsecante de un arco es el segmento dirigido en el eje x que parte del ori­ gen de arcos hacia el punto cuya coordenada es la secante de dicho arco.

El seno aumenta El coseno aumenta La cosecante aumenta La secante dism inuye La cotangente aumenta

Resolución: Si x varia de 90° a 180° estam os en el segun­ do cuadrante, entonces:

Ejemplo:

a) b) c) d) e)

De la figura, P es punto de tangencia y se cumple: exsecO = AR Ya que: AR = R - A

El seno varía de 1 a 0 El coseno varía de 0 a - 1 La cosecante varía de 1 a +oo La secante varia de - o c a -1 La cotangente varía de 0 a —00 Rpta:. c

=> exsecO = R - A exsecO = secO -1

35

R esolución: Analizam os cada proposición:

De la figura se cumple:

¡

Solo existe una función que puede tom ar el valor de 3,8 y ser positiva en el tercer cuadrante.

Ejemplos: versO = PA

1.

r ig o n o m e t r ía

3.

En la circunferencia trigonom étrica se pide indicar el valor de: OC + DB, en función del ángulo a. \

Decir si son falsos (F) o verdaderos (V) los si­ guiente enunciados: I.

Las funciones seno y coseno son negati­ vas en el tercer cuadrante y crecientes en el cuarto cuadrante.

II.

No existe función trigonom étrica alguna de un ángulo del segundo cuadrante que sea positivo y aumenta a medida que el ángulo crece.

R esolución: Como se trata de la CT, entonces OD = OA = 1 OC = csccí y DB = cota.

36

| C

o l e c c ió n

E l Po stulante

OC + DB = csca + cota _

7.

1 , cosa sena T sena

a) 6

_ 1 + COS a sena

8.

[jE J E R C IC IO S PROPUESTOS

¿Cuál de los siguientes valores es el mayor? a) sen40° d) sen220°

2.

3.

b) sen100° e) sen280°

b )co s1 0 0 °

d )co s2 6 0 °

e) cos320°

c)cos1 6 0 °

Q

11.

d) 1/2cosa e) 1

5.

1/6 1/3 1/4 1/2 2/3

= 2 s e c (-|j b) 3

c) 4

a) VVV d) VFF

b) FFV e) FFF

d) (-1 /3 )co s0 e) (-1 /6 )se n 0

Si: ji/2 < x < y < n, entonces: 13.

Son verdaderas: a) Solo I b) Solo II d) I y II e) I y II

c)

Solo III

2k 1 Hallar los valores de k, si: cos8 = — - — a)

[- 1 ; 2]

b)

[- 2 : 1]

d)

[- 1 ; 3]

e)

[- 1 ; 1]

c) [ - 3 ; 2]

c) (-3 ; 2/3)

sen2a + 2cos20 d) 5

e) 6

c)

FVF

12. Del gráfico, calcular el área de la región som ­ breada, si: BP = PQ = QB'

b) (1/3)cos0

III. senx< cosy

e) 16

Indicar si es verdadero (V) o falso (F): I. sen2 < sen3 II. cos5 > cos6 III. sec4tan6 > 0

c) (~1/3)sen8

II. cosx < cosy

d) 15

b) (0: 2/3) e) (3: 2/3)

a) (1/3)sen0

I. senx > seny

6.

c) 8

10. SI a y 9 son arcos diferentes, calcular la dife­ rencia entre los valores m áximo y mínimo de la expresión:

c) 1/2sena

a) b) c) d) e)

e) 10

3k 4- ?

Si: 9 e INC y cos9 = — y — , hallar el intervalo

a) 2

En la circunferencia trigonom étrica mostrada: cose = 2/3 y OM = MB. Calcular el área de la región triangular OMP.

b) —6

a) (-5 ; 3) d) (-2 /3 : 0)

a) sena

4.

d) 9

Calcular AB, donde A y B representan los va­ lores m ínimo y máximo de la expresión: P = 5 - 3cosx

En la CT hallar el área de la región sombreada:

b) cosa

c) 8

de k.

c) sen160°

¿Cuál de los siguientes valores es el menor? a) cos20°

b) 7

a ) -1 5

l 9.

1.

2a — 3 Si: senx = — - — : hallar la suma de todos los 5 valores enteros que pueden tom ar a.

De la figura, calcular d. a) _ s e n 0 _ 1 + COS0 cos8 1 + sen9 sen9— 1 - cose cose 1 + sen8

T

14.

Calcular el valor de:

r-

r ig o n o m e t r ía

¡

37

para: x = 0

/se n x - 1 + /c o s x + 1

b) (2 /2 2 e)

a) 1 d)

/se n x + 8

c) (2 1/2

para: x = nl2 a) d) 15.

1/2 1/5

b) 1/3 e) 1/6

c) 1/4

b) ]4, 5[

a) [4; 5] d )]4 ,5 ]

21. c) [4, 5[

e) ] 4, 5]

b) [ - 1 ; 2] e) [ - 1 ; 4]

c) [- 1 :3 ]

Determ ine el Intervalo de k, si se cumple la siguiente Igualdad: 2 co sx - 1 _ k + 2 __ k - 1 3 2 3

En ia CT hallar el área de la reglón sombreada: a) [-1 4 : 6] d) [4; 12]

a) sena b) cosa c) (1/2)sena d) (1/2)cosa

b) [—13; —5] e) [5: 13]

c) [-1 2 ; 4]

3a — 1 22. Si: cosx = ---------- . calcular la suma de todos 2 ios valores enteros de a.

e) 1 17.

k —1 Hallar los valores de k, si: sen0 = ------2 a) [ - 1 ; 1 ] d) [- 2 ; 3]

SI: — < x < — . indicar la variación de: 2senx + 3

16.

20.

a) - 2 d)

SI: sena = 0,8

b) - 1 1e ) 2

c) 0

a) 3 b)

4

23. Si: 0 £ IVC y sen0 = a ~ ^ , cuántos valores 5 enteros puede tom ar a.

c) 5 d) 0,8

a) d)

e) 0,6 18.

3n x < 2 4 son verdaderas: Si:

indicar qué proposiciones

24.

19.

b) e)

a) d) Solo II I y II

Sim plificar la expresión: E =

/ c o sx - 1 + feos x + 3 /se n x + 1

c) Solo I

b) e)

4 7

c) 5

SI: 0 £ IIC y cosO = ^ ~ ^ , hallar el intervalo de k.

I. senx > cosx II. sen2x > cos2x III.senx - c o s x < 0 a) Solo I d) I y III

3 6

5

[- 2 : 8] ( - 2 : 8}

b) [ - 2 : 3] e) [2; - 3 ]

c) ( - 2 ; - 3 )

1. b

6. a

11. b

16. b

21. a

2. c

7. d

12. d

17. e

22. d

<r

3. a

8. e

13. c

18. e

23. b

j

4. a 5. a

9. c 10. b

14. b 15. d

19. d 20. c

24. b

tn u

□

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN MISMO ARCO Identidades trigonom étricas recíprocas

senxcscx = 1

Identidades trigonométricas por cociente

•

senx tanx = cosx

•

cotx =

cosxsecx = 1 tanxcotx = 1

Identidades pitagóricas

tan0 + cot0 = tanO + cote =

cosx senx

• sen4x + cos4x =

- 2sen2xcos2x

1 + tan2x = sec2x

• sen6x + cos6x =

- 3sen2xcos2x

1 + cot2x = csc2x

• tanx + cotx = secx esex

1 cosGsenG

tanG + cote = sec0csc0 sec20 + csc20 = — 1—- h------i cos 6 sen 0

Identidades trig on o m é tricas auxiliares

sen2x + cos2x = 1

cosGsenG

sec20 + csc20 = .sen20 + cos2e i 2e

1

• sec x + esc x = sec xese x • (1 ± senx ± cosx) = 2(1 ±senx)(1 ±cosx)

cYlata/:

(1 + senO + cose)2

--------

= 12 + (sen0)2+ (cos0)2+ 2sen0 + 2cos0 + 2sen0cos0

sen29 + cos20 = 1

= 1 + sen20 + cos20 + 2sen9 + 2eos0 + 2sen9cos9

Despejando:

= 2 + 2sen0 + 2cos0 + 2sen0cos9

Asimismo:

= 2(1 + senG) + 2cos0(1 + senO) = (1 + sen0)(2 + 2cos0) = 2(1 + sen0)(1 + eos©)

eos O = 1 - sen 0 =» eos 0 =(1 +sen8)(1 -senG)

=» (1 + sen0 + cosG)2 = 2(1 + sen0)(1 + cos9)

sen2© = 1 - cos20

senG) = (1 + cos6)(1 - cos0)

PROBLEMAS PARA DEMOSTRAR

identidades auxiliares - 2sen 0cos 0 sen60 + eos6© = 1 - 3sen20cos20 tan0 + cot0 = sec9csc0 sec20 + csc20 = sec20csc20 (1 + senG + cosG) = 2(1 + sen0)(1 + cos0)

Dem ostrar una identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta sean equiva­ lentes, para lograr dicho objetivo se siguen los si­ guientes pasos: 1.

Se escoge el miembro más complicado.

2.

Se lleva a senos y cosenos (por lo general).

3.

Se utilizan las identidades fundam entales y las diferentes operaciones algebraicas.

Dem ostraciones

Ejemplos:

sen20 + cos20 = 1 Ai cuadrado: (sen20 + cos2i

1.

Demostrar: secx(1 - sen2x) - esex = cotx

R esolución: Se escoge al 1.er miembro: sen 0 + eos 0 = 1 Al cubo: (sen20 + cos20)3 = 13 sen60 + cos60 + 3(sen20cos20)(sen20 + cos20) = 1

secx(1 - sen2x)cscx Se lleva a senos y cosenos: 1

-(eos x )- 1

1

sen 60 + cos60 + 3sen20cos20 = 1 =» sen20 cos20 = 1 - 3sen20cos20 tan6 + cote =

senO , cos0 cose sen0

Se efectúa: cosx-

1

=cotx = cotx

Demostrar: [secx + tanx

1][1 + secx - tanx] = 2tanx

T

R esolución:

E je m p lo :

Se escoge el 1,er miembro:

Elim inar x, a partir de: senx = a

[secx + tanx - 1][secx - tanx + 1] =

De

(secx)2 - (tanx - 1)2 = (1 + tan2x) - (tan2x - 2tanx - 1) = 1 + tan2x - tan2x + 2tanx - 1 =

39

= I

senx = a => sen2x = a 2 cosx = b => cos2x = b2 Sumamos: sen2x + cos2x = a 2 + b2

1 = a2 + b2

2tanx = 2tanx

EJERCICIOS RESUELTOS

PROBLEMAS PARA SIMPLIFICAR Y REDUCIR

Ejemplos:

Si cosx + senxtanx = 1,2; ¿cuánto vale secx?

Reducir: K = sen4x - cos4x + 2cos2x

R esolución:

R esolución: Por diferencia de cuadrados:

cosx + senxí senx ) = 1,2 ' eos x 1

K = (sen2x + cos2x)(sen2x - cos2x) + 2cos2x

cosx +

co sx

K = sen2x - cos2x + 2cos2x 1

2.

a cosx

|

R esolución:

[secx + (tanx - 1)][secx - (tanx - 1)]

1.

r ig o n o m e t r ía

= 1,2 =* cos2x + sen2x = i 2 co sx

= 1.2 =• secx = 1,2

K = sen2x + cos2x => K = 1

oua A

Simplificar: E = 1±_22§2Í------------ — senx 1 - cosx

¿Qué función trigonom étrica deberá es­ cribirse en vez de M para que laecuación tana + cota = M seca se transform e en una identidad?

R esolución: 1 - cos2x (1 + cosx)(1 - co sx) - (senx)(senx)

R esolución:

senx(1 - co sx)

tana + cota = Mseca

¡sen2x - sen2x 0 t = ------------------------- =>t = -----------------------s e n x ( l- c o s x ) s e n x (1 -c o s x i

sena cosa

cosa _ M / _ l _ \ sena ~ \c o s a I

=> E = 0 senacosa

PROBLEMAS CONDICIONALES

1 senucosu

Dada una o varias condiciones se pide hallar una relación en térm inos de dicha o dichas condiciones.

-1

M = csca

secx - cosx esex - senx

Si: senx + cosx = —; hallar: senxcosx 2

R esolución:

Resolución:

Sea: F ¡

Del dato alcuadrado: (senx + cosx)2 = + cos2x

2senxcosx = —

M cosa

Hallar las expresión equivalente de:

Ejemplo:

sen2x

' cosa

+ 2senxcosx

=

4

3

4

—

secx - co sx esex - senx - - cosx

1. cosx

3

1 - sen2x

8

senx

=> senxcosx = ——

PROBLEMAS PARA ELIMINAR ÁNGULOS La idea central es elim inar todas las expresiones algebraicas y que al final quede relaciones inde­ pendientes de la variable.

F _ _cos¿<_ _ sen^x ^ F = tan3x

40

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

4.

Sim plificar la expresión: E =(tanx + tany)(1 - cotxcoty) + (cotx + coty )(1 - tanxtany)

F = cos2x + senxcosx + sen2x F = 1 + senxcosx

R esolución:

["

e j e r c ic io s propuestos ”

!

E = (tanx + tany)(1 - cotxcoty) + (cotx + coty)(1 - tanxtany) Á

B

1.

Simplificar: A = 16(sen6x + cos 6x) - 24(sen4x + cos 4x) +

Efectuamos la expresión A: A = tanx + tany - coty - cotx

1 0(sen2x + cos 2x)

Efectuamos la expresión B: B = cotx + coty - tany - tanx

b) 1

a) 0 d) - 2

Como: E = A + B => E = 0

c) - 1

e) 2

Si: tanx + tan2x = 1, calcular: S = cotx - tanx 5.

Hallar el valor numérico de la siguiente expre­ sión: x 3 tan x + cot x sec2x + cot2x - 2

b) 1 e) 4

a) 0 d) 3 3.

sabiendo que: 4tanx = 3

Resolución:

Reducir: U = (1 + sen 2x )2 + 2(1 + sen 2x)(1 + cos 2x) + (1 + cos 2x )2 a) 0 d) 9

Dato: tanx = 3/4

c) 2

b) 4 e) 27

c) 3

Como: sec2x = 1 + tan 2x, entonces: £ _

tan3x + cot3x

4.

Simplificar: R =

csc 4a (1 - cos 4a ) - 2 cot2a

ta n 2x + cot2x - 1 a) 1 d) 9/2

(tanx + co tx)(ta n 2x - tanxcotx + cot 2x) (ta n 2x + cot2x - 1 ) 5.

E = tanx + cotx = f + § = f §

6.

cosxcotx - senxtanx cscx - secx

Simplificar:

a) senx d) cscx

6.

senx senx c o s x - senx senxcosx

7.

cosx

F =

ta n 2x + cot2x - 2 tanx + cotx - 2

8.

c) 3

15

b) 1 e) 1/5

c) 3

Calcular a + b, de: 1

cosx - senx

ta n 2x + cot2x + 1 tanx + cotx + 1

Si: senx - cosx = — 5 calcular: A = 5senxcosx - 1

1 + sene

cosx - senx )(cos2x + cosxsenx + sen 2x)

se cx c) secx

b) 2 e) 5

a) 0 d) 5

se n xco sx co sx - senx se n xco sx

c o s x - senx

b) cosx e) tanx

a) 1 d) 4

cosxi se n x\ ) —s e n x ]

c) 4

Simplificar: J =

eos x cot x - senx tan x cscx - secx

cosxí

b) 2 e) 5

Reducir: Y = co sx + co sx 1 + senx 1 - senx

R esolución Sea: F =

sec 4a (1 - sen 4a ) - 2 ta n 2a

a) 1 d) 4

,

1 = a + btan cscG - 1 b) 2 e) 5

c) 3

T

15.

Calcular el valor de: M =

sen x - eos x + 1 a) - 2 d) 1 10. Si:

c) 0

b) -1 e)

2

sen x + eos x - 1

16.

_3_ ‘ 16

a) +2 d) +4 11.

Eliminar x, s¡:

c) ±1/4

b) ±1/2 e) ±1/8 senx - sen x = m cosx - cos3x = n

a) m2 + n2 = 3/m ñ

b) m2 - n2 = 3Vmñ

c) m2 + n2 = 3Vmñ2

d) m2

18.

13.

19.

a) b) c) d) e)

c) W F F

sen1 > co sí

II.

cos6>cos5

b) VFV e) FFV

c) VVF

14. Si: senx = 3m - 1, determ ine el Intervalo de m. a) [ - 1 ; 1] d) [- 1 : 2 / 3 ]

b) [-2 /3 ; 2/3] e) [—1; 0]

c) [0; 2/3]

: ntan 2o 0

b) sen20 e) cos0

a 2a 3a 4a 5a

c) COS20

B

Elim inar©, si: sen© ± eos© = n sen30 + cos39 = m ,3

III. sen3 > sen2 a) V W d) FVF

20.

c) 2

Del gráfico mostrado, calcular el mínimo valor

IV. sen250° > cos250°

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres­ ponda:

b) - 2 e) - 1

Hallar n, en: tan29 - sen20

d eA C .

I.

ío- ¿ l 6 ) |l0 ’ 5]

° > [ - H I

(1/2)sen9 (1/4)sen0 (3/2)sen0 (3/4)sen0 (5/4)sen9

III. sen60° = cos300°

b) VFVF e) FVFV

"1 1 5j

2. 1

b> [ -5H’ 5]

a) 1 d) senO

sen70° > sen170°

II. c o s í00° > cos200°

a )V V V F d )F V V F

b)l

a) 0 d) 1

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres­ ponda: I.

11 5]

17. Reducir: J = (1 - cos2x)(1 + cot2x) + (1 - sen2x)(1 + tan2x)

e) m2 - n2 = m2n2 12.

41

Del gráfico mostrado, calcular el área de la re­ gión sombreada: a) b) c) d) e)

calcular: senxcosx

|

Determine el intervalo de k, si: 2cosx = 5k + 1

1.

5’ 3. d)|-° 5’

sen4x - cos4x - 1

r ig o n o m e t r ía

b) 3m = 2n ± m

a) 3n = 2m ± n3 c) m + n = mn e) 3mn = n2 + m2

d) n3 - 2m = 3mn

1. e

5. c

9. b

13. c

17. c

2. b

6. c

10. b

14. b

18. b

3. d

7. b

11. c

15. d

19. c

4. a

8. c

12. c

16. d

20. a

ARCOS COMPUESTOS

PARA LA SUMA DE DOS ARCOS

Ejemplos: 1.

sen(a + (3) = senacosp + cosasenp

Calcule: cos7° cos7° = cos(60° - 53°)

cos(a + P) = cosacosp - senasenp ta n (a + p) : COt(a+ P) =

1 - tanatanp cota + cotp

2.

= 1 X| + f x 2 5 2

10

Calcular: tan16°

tan 16°

= sen(30° + 37°) = sen30°cos37° + cos30°sen 37° “ 2X5 '

sen67°

| = 5

tan16° = tan(53° - 37°)

Calcular: sen67° sen67°

cosr

c o ta cotp - 1

Ejemplos: 1.

= cos60°cos53° + sen60°sen53°

tana + tanp

2

5

4 + 3 /3 10

tan53 - tan37 1 + tan53 tan37 4 _ 3 3 4

7

= 12 tan16° = 1 + 1 ,3 24 3 4 12

^ tan16o = X 24

cVloia:-

Calcular: cos75° cos75°

=cos(30° + 45°)

Z742 25X

=cos30°cos45° - sen30°sen45°

7 V3

V2

~2~ T cos75D

/6

-

.1 ,1 1 2 " 2 24

¡2

IDENTIDADES ADICIONALES

c y io ta /: —

senía + p)sen(a - P) = sen2a - s e n 2p cos(a + p)cos(a - P) = cos2a - sen2p tana ± tanp =

se n (a ± 3 ) cosacosp

tana + ta n p + ta n ja + p )ta n a ta n p = ta n (a + p)

cYlata PARA LA DIFERENCIA DE ARCOS

Siendo a y b números reales, x variable real, se cumple:

sen(a - p) = senacosp - cosasenp cos(a - P) = cosacosp + senasenp tan (a - p) = cot(a - P) =

tana - tanp

asenx + bcosx = 'la2 + b2 sen(x - 0) Donde:

b

senO =

la ^T b 2

1 + tanatanp c o ta cotp + 1 cota - tanp

COS0

.

a / a 2 + b2

T

Ejemplos: senx - cosx = /2 s e n (x - 45°)

- / a 2 + b2 < f (x ) < -¡a2 + b2

R esolución: cos(180° - x) = -c o s x ; sen(180° - x) = senx sen(90° + y) = cosy; cos(90° + y) = -s e n y

Ejemplos: - 2 < /3 senx + cosx < 2

Reemplazando: E = -c o s x c o s y + se n x (-s e n y ) E = -(c o s x c o y + senxseny) E = -c o s (x - y)

- (5 < 2senx - cosx < ¡5 - -ÍY3 < 3senx + 2cosx < /i~3 Si A + B + C = k , se cumple: tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC cotAcotB + cotAcotC + cotBcotC = 1

Si a - b = 45° y a numérico de: sen2a

SI A + B + C = ji/2, se cumple: cotA + cotB + cotC = cotAcotBcotC tanAtanB + tanBtanC + tanAtanC = 1

b = 60°, hallar el valor sen2b

Resolución: Dato: a + b = 45° y a - b = 60° sen2a - sen2b = sen(a + b)sen(a - b) j2 ñ íb = sen45°sen60° = — x — = — 2 2 4

En forma general, si A + B + C = kn (k e Z ) o A + B + C = (2k + 1)-| (k e Z ) las relaciones de!

Calcular el valor natural muy aproxim ado del sen23°.

teorema anterior siguen siendo válidas.

R esolución: sen23° = sen(60° ■37°) sen23° = sen60°cos37° - cos60°sen37°

EJERCICIOS RESUELTOS ji/3;

“ n 23- ( f ) ( l ) - ( 5) ( I

calcular:

P = (cosa + cosb)2 + (sena + senb)2

R esolución:

4/3-3

sen23°

10

P = (cosa + cosb)2 + (sena - senb)2 P = cos2a + 2cosacosb - cos2b + sen2a + 2senasenb + sen2b

6.

Si: tan(x + y) = 33 A tany = 3 encontrar el valor de tanx.

P = 2 + 2(cosacosb + senasenb)

Resolución:

P = 2 + 2cos(a - b)

tan(x + y) = 33

Dato: a - b = n/3

tanx + tany

P = 2 + 2 c o s í/M = 2 + 2 13 ' \2

1 - tanxtany

33, dato: tany = 3

si: a + b + c = ?t/2, hallar el valor de:

tanx + 3 1 - 3tanx

tanatanb + tanatanc + tanbtanc

tanx + 3 = 33 - 99tanx

R esolución:

tanx + 99 tanx = 3 3 - 3

Si: a + b + c = n/2 a + b = - | - c ^

43

Simplificar: E = cos(180° - x) sen(90° + y) + s e n (1 8 0 °- x) cos(90° + y)

Siendo f(x) = asenx + bcosx; x eIR se cumple:

Si: a - b =

|

(tana + tanb)tanc = 1 - tanatanb tanatanc + tanbtanc + tanatanb = 1

senx + ¡3 cosx = 2sen(x + 60°) *

r ig o n o m e t r ía

tan(a + b) = tan(-^ - c)

tana + tanb , 1 = cote = ------1 - tanatanb ta n c

100tanx = 30 =* tanx = 0,3 Si: a + b R =

225°, calcular el valor de: c o ta c o tb (1 + cota)(1 + co tb )

44

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

R esolución: cotacotb - 1 = 1 cota + cotb

cot(a + b) = cot225°

5.

c o ta c o tb -1 = cota + cotb ...(1) cotacotb R : 1 + cota + cotb + cotacotb De (1): R =

cotacotb 1 + cotacotb - 1 + cotacotb

6.

b) 5

c) - 5

e) 1

Si: t a n ( 2 a - p ) = 3 A t a n ( 2 p - a ) = - 2 calcular: tan(a + P) b) - 1 e) - 7

8 )1 d) - 1 /7

1

c) - 2

Si se cumple: 2sen(x + y) = 3sen(x - y) calcular: tanxcoty a) 1/5 d) - 1 /5

cotacotb _ J_ R = 2cotacotb 2 tan9

b) 1 e) 3

a) - 1 d) 2

c) 1/7

cot(4> - 6)

Simplificar: P = 1--

7.

tan0 cot(<(> - 0)

Resolución:

Calcule: R = tan36° + tan24° + (3 tan36°tan24°

tan9 + tan(ij> - 0)

c) (312

b) ¡3 e) 2(3

a) 1 d) ían12°

La expresión P es equivalente a la siguiente:

Calcular: S = (1 + tan35°)(1 + tan10°)

1 - tan0tan((j> - 9) a) 1

Esta expresión es el desarrollo de la tangente de una suma de dos ángulos, es decir: P = tan[0 +(<)>- 0)] = tan<j>

[ " 1.

e j e r c ic io s

9.

□

a) 0 d) 6 10,

- 3 /7 - 7 /3 3/7 7/3 -1 /1 0

4.

12.

Calcularel valorde: N = se n1 0 °+ ta n 40 °co s1 0 ° b )2 se n 2 0 °

o)1

se n (x + y) + se n (x - y) co s(x - y) - co s(x + y) c) tany

b) coty e) 1

Sim plificar: A =

</2sen(45 + x ) - c o s x

c) tanx

a) senx

b) cosx

d) (6 s e m

e) (6 cosx

Reducir: E =

sen 4 8°co s1 2 ° + sen12°cos48° sen33° eos 3o - sen3° eos 33°

a) 1/2

b) 1

d) 2

e) (3

13. Calcular el valor de: S =

e) 2

Calcular: tanx, si: sen4xcos5x + cosx = sen5xcos4x

c) 5

(3 senx + 2 eos (60 + x )

Si: ABDE es un cuadrado, además: BC = 3; CD = 2: AF = 1, calcule: tan0

a )se n 2 0 ° d) tan10°

Reducir: A =

b) 3 e) 12

a) tanx d) cotx 11.

3.

Calcule el m áximo valor de:

Del gráfico, calcule tanO.

a) b) c) d) e)

c) —1

E = 3 + 2senx + (5 cosx

PROPUESTOS

a) 9/19 b) 1/10 c) 21 d ) 1/21 e) 9/10 2.

b) 2 e) 3

d) - 2

a) 0,5 d) 2

b) 1 e) 2,5

c) (312

tan32 + tan 13 1 - tan32 tan 13 c) 1,5

T

14.

Reducir: R = cos(21° + x)cos(16° - x) -

15.

b) 4/5 e) sen(37° + x)

Reducir: P = t a n a a) tana d)se n p

c) 3/5

a) sen80° d )2 co s8 0 °

17.

b) cos80° e) 2sen40°

b) tanp e) senasenp

b) - 3 3e)

Del gráfico, calcule: tañe

cos35 eos 15 - s e n 3 5 s e n 1 5 c) sena

a) 20° d) 25° 20.

c) -5 /3 -4 /3

c) 2sen80°

b) 30° e) 70°

c) 40°

Calcular el valor de m, si: mtan50° = tan70° - tan20° a) 1/2 d)

b) 1 2 e)

c) 3/2 -1

1. a

5. b

9. d

13. b

17. c

c) 7/17

2. b

6. c

10. b

14. b

18. c

3. e

7. b

11. c

15. b

19. c

4. b

có

12. e

16. c

20. d

e) -1

_Q

a) 1 b) 13/15 d) 17/7

45

19. Calcule el m enor valor de x (agudo) en:

se n (a - 6) co sa cosp

16. Si cote = 1/4, calcule: tan(45° + 0) a) -1 d)

|

18. Reducir: M = -/3cos20° + sen20°

sen(21° + x)sen(16° - x) a) 0 d) senx

r ig o n o m e t r ía

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Una función trigonom étrica de un número real cual­ quiera puede expresarse como función de un nú­ mero real del prim er cuadrante. Esto puede m os­ trarse a partir de ciertas fórm ulas de reducción que se-deducen a partir de las identidades de arcos compuestos dando valores particulares.

cVLoia:

•------------ --------------------------------

Signos de las razones trigonom étricas + 90° '( + ) 180°

Recordem os que: cos(a + p) = cosacosp - senasenp

■360° tan cot (+ )

Si sustituim os a por nl2 obtenemos: c o s (-| + p) = c o s (-|)c o s p - s e n ( - |) s e n p y como:

c o s (-|) = 0 y s e n (-|) = 1 eos

Todas (+ )

eos sec ( + ) 270°

Ejemplos: sen(270° - a) = -c o s o

+ p ) = -s e n p

e lilC Ahora si en dicha relación reem plazam os p por

sec(180° + a ) = - s e c a

— - 0, tenemos:

e lilC

2

cos( — + - 0) = - sen(-£ - 0 '2 2 / \2 cos(7t - 0) = -cosO

cot(270° + a ) = - ta n a E lV C tan(180° + 60°) = +tan60°

REGLAS PRÁCTICAS DE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Para razones trigonométricas cuyos ángulos sean de la forma: 90° ±cc, 270° + a , 180° + a, 360° + a

e l IÍC

tan240° =

tan(270° - 30°) = +cot30° e l ÍÍC

R T /90 ± a = +C O R T(a) \2 7 0 ± a)

cos(270° + 40°) = +sen40° e lV C

cos310° = R T /180” —a = +RT (o ) '3 60 ° ± a l

cos(360° - 50°) = +cos50° e lV C

Para determ inar el signo (+) o ( - ) del segundo m iembro se asum e que a sea agudo (así el va­ lor que tenga no lo sea), con el fin de determ inar el cuadrante del ángulo del primer m iembro y así establecer el signo que le corresponde a la razón trigonom étrica de dicho ángulo. y 90° + a 180° - a

90° 90° - a 360° + a

180° 180° + a 270° - a

0°, 360° 270° + a 360° - a 270°

Para razones trigo no m étricas cuyo ángulo es de la form a: 360°n + a ; n e Z Se tiene:

RT(360°n + o ) = RT(a); n e Z

Ejem plos: co sí 172° = cos(360“ x 3 + 92°) = cos92° = cos(90° + 2 ) = -s e n 2 ° tan755° = tan(360° y 2 + 35°) = tan35° c s c (-1 3 9 0 °) = c s c (-1 4 4 0 ° + 50°) = csc[360 / ( - 4 ) + 50o] = csc50° sec39 6 0 5 °= sec(360° x 110 + 5°) = sec5°

T

|

47

Ejemplos:

Para razones trigonométricas de ángulos negativos

s e n 1 4 0 °= sen40°

Recordem os que: cos(p - a ) = cos¡3cosa + senpsena

co sí 70° = - c o s í 0°

Si p = 0, tenemos: c o s (- a ) = cosOcosa + senOsena

•

Como cosO = 1 y senO = 0

’

tan135° = -ta n 4 5 ° C0S( f ) = - C° S( t )

___/ 4 ji

Entonces: c o s (- a ) = cosa Asim ism o: s e n (-a ) = - s e n a

2.

s e n (-a )

sena

c o s (-a )

co sa

Si: a 4 p = 360° Se cumple:

Por identidades fundam entales tenemos: ta n (- a ) =

r ig o n o m e t r ía

sena = -s e n p cosa = cosp tana = -ta n p

Se concluye: ta n (- a ) = -ta n a

Ejemplos: Análogam ente se obtienen:

sen320° = -s e n 4 0 °

c o t( - a ) = -c o ta s e c (- a ) = seca c s c ( -a ) = - c s c a

cos345° = co sí 5° eos

Ejemplos:

i 7 71 4 / = C0S( f )

ta n ( ^ ) = - ta n ( f )

s e n (-1 3 0 ° )= -s e n 1 3 0 ° = -s e n (1 8 0 ° - 50°) cot

e lIC = -(+ s e n 5 0 °) = -s e n 5 0 ° tan(-762°) = -tan762° = -tan(360°

a

5 ji

= - cot/

csc(x 4 290°) = -c s c (7 0 ° - x ) 2 + 42°)

= -ta n 4 2 °

EJERCICIOS RESUELTOS

sec(G - 270°) = s e c [-(2 7 0 ° - 0)] s e n (-|) 4 tan2x - /2

= sec(270° - 0] = —cscO

I - 3ji

3 ti

1.

Hallar la expresión: F

1 4 cos3x

cuando x = 210° = c o s ( i + — ) = -s e n /— ) '2 10' '1 0 '

Resolución:

Propiedades:

Para: x = 210°

1.

p

SI: a 4 p = 180° Se cumple: sena = senp cosa = -c o s p tana = -ta n p

_ sen 105 4 ta n 420 1 4 eos 630 s e n 1 0 5 °= sen75° =

-

-Í2 ■Í6 + -Í2

tan420° = tan(360° 4 60°) = tan60° = Í3 cos630° = cos(7 x 90°) = 0

Dem ostración: De la condición tenem os: a = 180° - p => cosa = cos(180° - p) = -c o s p

e¡IC cosa = -c o s p Análogo para las restantes.

F _ ^6 4 /2 4

|

[ñ - ^ + 4 / 3 - 3 / 2 4

Encontrar el valor de la siguiente expresión: F =

s e n 1 5 0 °ta n 2 2 5 °c o s (-2 1 0 °) s e n (- 1 2 0 °)c o s (-3 1 5 °)ta n 3 0 0 °

48

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Resolución: •

[~ E J E R C IC IO S PROPUESTOS "]

sen150° = sen30° = 1/2

•

tan225° = tan(180° + 45°) = tan45° = 1

•

c o s (-2 1 0 °) = cos210° = cos(180° + 30°)

= -cos30° = -/j/2

/ 3 71 tan ( re + x )c o s ' Reducir: A = cot|-^T - x js e n (3 6 0 - x )

sen(-120°) = -sen120° = -sen60° = - 7 3 / 2 a) 1 d) 1/2

co s (-3 1 5 °) = cos315° = cos(360° - 45°) = cos45° = 72/2 •

tan300° = tan(360° - 60°) = -tan 6 0 ° = - 73

2.

3.

P _ sen670 x c o s 3 1 0 x s e c 2 5 0 x s e n 2 0 0 sen130 x c o s 5 0 x co sí 80

4.

= = = = = =

b) 2 e )5

- 50°) = -s e n 5 0 ° -5 0 ° ) = cos50° - 20°) = -c s c 2 0 ° + 20°) = -s e n 2 0 °

c) 3

Si: x + y = 180°. calcular: ^ _ 2senx

sen(720° cos(360° sec(270° sen(180° sen50° -1

c) 3

Simplificar: A = sen170°csc190° + 6sen150° - 2cos180°

Resolución: sen670° cos310° sec250° sen200° sen130° co sí 80°

b) 2 e )5

a) 1 d )4

Calcular el valor de la siguiente expresión:

c) -1

Calcular: E = 3csc150° + tan225° - sec300° a) 1 d) 4

Reemplazamos:

3.

b) 0 e) - 1 /2

S6ny a) 2 d) - 2

taní-^-) '2 ' c o t í^

b)3 e)0

c) -1

Calcular: A = ^ ! an1485 + 4cos2100 co sí 20

Reemplazando: (-s e n 5 0 )(cos50 ) ( - c s c 2 0 )(-s e n 2 0 )

a ) -1 4 d) 12

(sen50 )(cos50 ) ( - 1)

b) 14 e) - 1 0

c) - 1 2

Simplificando: F = 1 4.

Si sen16° = 7/25, calcular: tan2954°

6.

Reducir la expresión o- 3 2sen(67i + x)i + 3 rn c o.QsI ( 4^ r - x

R esolución: E =

tan2954° = tan(360° x 8 + 74°) = tan74° = cotí 6°

sen(47t - x)

=> tan2954° = c o tí 6° = 24/7 5.

a) 0 d) 2

Si: tanx + coty = 2; x + y = n, hallar: cotx

b) 1 e) - 2

c) -1

R esolución: Como: x + y = ti => y = k - x => coty = - c o tx

Sim plificar: A =

Reemplazando:

a) 1 d) - 2

•i tanx - cotx = 2 => — — - cotx = 2 co tx 1 - cot2x = 2cotx =» cot2x + 2cotx - 1 = 0 8. cotx = ~ 2 ± 2 ^ 2

= cotx = - 1 ± 72

Reducir: A =

c o s (f

+ X)

s e n (-x ) b) 2 e) 0

ta n (2 jl ■ ta n (-x ) c)-1

cos(207i + x) ta n ( 4 1 n - x ) — -— + c o s (-x ) c o t(^ -x

T

b) - 2

a) - 1 d) 1 9.

Calcular: A = 4 co s(-1 2 0 °) - 3co t(-3 1 5°) + 4 se c(-3 0 0 °)

17.

Dado un triángulo ABC, calcular: s e n (A + B)

2 ta n (B + C)

senC

tan A b) 2 e) - 2

a) 1 d )-1 11.

a) FFF d) FVF

c) 3

b) 2 e) - 2

b) FFV e) FVV

I.

tan(180° + x) = -ta n x

II.

cos(360° - x) = - c o s x

b) VFV e) VVF

■seny + t a n ^

b )2 se n x e) 0

c) - ta n (

12. Calcular:

sen(180° + x)

tan(90° + x)

c o s (2 7 0 °- - x)

cot(180° - x)

b) - 1 e) 0

a) 1 d) - 1 /2

19. Sim plificar: A =

cot(270° + x) a) tanx d) -ta n x

c) 3

b) 2 e) 5

20.

13. Simplificar: 2sen(100 + x )

3tan(240 - x )

sen(80 - x )

tan(120 + x ) c) 3

b) 2 e) 5

a) 13 d) 10

c) 3

22.

a) 1 d) -ta n p 16.

b )-1 e) - c o s a

cosC

23. c) - ta n a

Indicar si es verdadero (V) o falso (F)

3sec(A + B + C) b) 1 e) 5

c) 2

Reducir:

a) 1 d) - 1 /2

se n (a + 2 p )ta n (a + ^ :-----i( 2 a + p )co t(p + -

c) 11

2 co s(A + B)

A = cos( 111/

15. Si a - - (3 son suplem entarios, reducir:

A =

■2tan135°

b) 12 e) 9

a) - 1 d) - 2

+ 6sen(61-

b) 2 e) 5

c) cotx

2 1 . Dado un triángulo ABC, simplificar:

14. Calcular:

a) 1 d) 4

b)-c o tx e)- c o t 2x

Calcular: A = 2sen330° - 4sec240°

E = 2 c o s 1 4 7 ti

c) 1/2

sen(180° - x )se c(9 0 ° - x)

A = 2tan ■^T) + sen(C ^ x jsec(7i - x) + 3sen(-^ )

A = 2tan43 4 3 ^ ) -

c) FFV

18. Simplificar:

d) - 2 ta n (

a) 1 d) 4

c) VVF

Indicar si es verdadero (V) o falso (F):

a) FFF d) FVV

c) 3

a )s e n x

a) 1 d) 4

49

III. sen(360° - x ) = -s e n x

Si: x + y = 2n, calcular: A = senx + ta n (-|)

|

I. sec(90° + x) = cscx II. cot(270° - x) = tanx III. esc (270° + x) = secx

e) 2

a) 1 d) - 3 10.

c) 0

r ig o n o m e t r ía

Reducir: A = cos1°

a) 1 d) - 1 /2

8n

/10n

( 11

- cos( t t ) + cosu i b) - 1 e) 0

c) 1/2

■cos2° + cos3° + ... + cos178° + cos179° + cos180° b) 2 e) -1

c) 1/2

50

24.

| C

o l e c c ió n

El Po stulante

Reducir: (a + 1)cos540 - ( a - 1 ) s e n 6 3 0 ( b - 1 )c o s 1 2 6 0 a) 1 d) b

+ (b + 1 )s e n 4 5 0

b ) -1 e) a/b

c) a

m Ui > <í j ü

21. b

1. a

6. b

11. e

16. d

2. e

7. e

12. d

17. c

22. e

3. d

8. c

13. e

18. e

23. e

4. b 5. a

9. c 10. c

14. c 15. a

19. b 20. e

24. b __ j

IDENTIDADES DE ARCOS MÚLTIPLES Las identidades de arcos compuestos han sido de­ mostradas para todo número real. A partir de estas identidades podem os deducir otras, en especial, podem os obtener las identidades que expresan sen, cos y tan de 2a, a l 2 o 3a en térm inos de sen, cos y tan de a.

Puesto que estas son válidas para todo a y p, ha­ ciendo a = p obtenemos:

IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE •

sen2a = 2senacosa

•

cos2a = cos2a - sen2a

2 tan 4 1 + ta n 24

:sen8°

co sí 2° = 1 + tan26

s e n 4 ( ¿ ) + c o s 4( f ) = ! + i c o s ( f ) = f cot20° + tan20° = 2csc40°

cVLota:

-

1 + tan20

/ ^ 2tan0

cos2a = 1 - 2sen2a cos2a = 2cos2a - 1 •

/< 2 0

r 1 - tan20

2 tan a

tan2a

1 - tan2a

Identidades auxiliares 2sen2a = 1 - cos2c<

También podem os establecer lo siguiente: Como: cos20 = 1 -2 s e n 20 Hacemos: 20 = a , tenemos

2cos2a = 1 + cos2a sen2a =

cos2a =

a\ cosa = 1 - 2sen_2 /(44 2'

2 ta n u 1 + tan2a

2

cosa

1 - tan2a 1 + ta n 2a

cota + tana = 2csc2a cota - tana = 2cot2a

IDENTIDADES DEL ARCO MITAD

sen4a +cos4a = — + —cos4a sen6 + cos6a = — + —cos4a

Ejemplos: •

•

sen42° = 2sen21°cos21° cos48° =

cos22 4 ° -

tan14° =

2 ta n 7 — 1 - ta n 27

cos249

•

sen224°

- sen240 = cos80

2 s e n ( | j c o s | | '| = sen©

2sen2( f )

1 - eos/

El signo del segundo m iembro se elige según el cuadrante del arco a/2 y de la razón trigonom étrica que lo afecta.

Ejemplos: sen

: 315 \

¡1

- cos315

52

| C

El Po stulante

o l e c c ió n

Triángulos rectángulos de 18° y 36°

■¡2 - -Í2

315 2

tan4° = tanj — |

tan4° =

/5 -1

r-

tan4° = 5 /2 - 7

Identidades auxiliares

«n(f)

/5 + 1 t Vi

Identidades auxiliares 4 sen3a = 3sen« - sen3a

s e n ( | . j - c o s (-^ ) = ± -/l - sena

4cos3a = 3cosa + cos3a sen3a = senu(2cos2a + 1)

t a n ( ^ ) = csca - cota

cos3a = cosa(2cos2a - 1) tan3a _ 2cos2a + 1 tana 2cos2a - 1

c o t ( ^ ) = csca + cota

sen3a = 4senasen(60° - a)sen(60° + a)

Ejemplos: • •

tan4° = csc8° - cot8° = 5 / 2 - 7

cos3a = 4cosacos(60° - a)cos(60° + a )

c o tí 5° = csc30° + cot30° = 2 + /3

tan3a = tanatan(60o - a)tan(60° + a )

tan(3n/8) = csc(3ir/4) - cot(3rt/4) = /2 + 1 EJERCICIOS RESUELTOS

IDENTIDADES DEL ARCO TRIPLE sen3a = 3sena - 4sen3a

Determ ine el valor de:

cos3a = 4cos3a - 3cosa •

tan3a

A = sen10°sen50°sen70°

3 ta n a - tan3a

R esolución:

1 - 3 ta n 2a

Aplicando las identidades auxiliares: 4sen10 sen(60 - 10 )sen(60 + 10 )

Ejemplos: sen48° = 3sen16° - 4sen316° A =

cos24° = 4 c o s 38 ° - 3cos8° tan1110 =

3 ta n 3 7 - tan337 1 - 3 ta n 237

sena = 3 s e n (-j

4sen,3i a i 3'

cos2a = 4cos3/ — \ - 3C0S1,2a 3 / 3

2.

sen30

1/2

1

4

Determ inar el valor de: M = 16cos5°cos55°cos65°

R esolución: M = 4 x 4cos5°cos(60° - 5°) cos(60° M = 4cos15° = 4

' /6 +

Í2 \ =

- 5 o)

/6 + /2

Si: tan25° = a, hallar el valor de la expresión: tan12x =

3 ta n 4 x - ta n 34x 1 - 3 ta n 24x

tan155 - ta n 1 1 5 . tan205 - ta n 1 1 5 X" * 1 + tan155 ta ñ í 15 tan245 + tan335

T

R esolución:

R esolución:

•

.ten 155 - te n 115_ _ ta n (i5 5 ° - 115°) 1 + tan155 tan115 . = tan40

Como: 2cot2x = cotx - tanx

•

tan205° = tan(180° + 25°) =tan25°

20cot2x =

•

tan115° = -ta n 6 5 °

•

tan335° = tan(360° - 25°) = -ta n 2 5 °

lo |-l-( -2 ) j

tan25 + tan65 tan65 - tan25

cos10

R esolución:

sen(a + b) 2( —eos 10° - — sen10°

sen(a - b)

sen(65 + 25 )

sen9Q

sen(65 - 2 5 )

2

S =

sen40

2

sen20°

2

1

sen40

S =

4(cos6Q eos 10 - sen60 sen10 ) sen20

Reem plazando en T:

T=

(3

1 sen10

g _ cos10 - /3 se n 1 0 sen10 eos 10

tana + tanb tana - tanb

T = tan40°

= 15

= K

Propiedad:

K =

1 se n 4 0 °/

1

1

eos 40°

sen50°

T = csc50° =

sen40° 1 eos 4 0 ° ' sen40°

S =

4 co s (6 0 + 1 0 )

4cos70°

4sen20°

sen20°

sen20°

sen20°

S =4 : csc50 Dada la expresión: tan<t> = (2 + /3 ) ta n |^

1 + ta n 225 2tan25

1 + a2 2a

Si: esc x = 3 y x e IC; cuánto vale 8csc2x.

calcular: tan<j>

Resolución: Dato: tanrf) = (2 + / 3 ) t a n | ^

•( 1 )

R esolución: Dato: cscx = 3, x e iC

Por propiedad

. ta n 3 x _ 2 c o s 2 x + 1 ta n x 2 co sx - 1

Sea: <|> = 3x, entonces en (1): ta n 3x ta n x

8csc2x = 8csc2x = 8csc2x = 1 | = l ^ x / J = 9/2 2/2

sen2x

2 se n xcosx

¥ )(¥ ) ■Í2

5.

53

Hallar el valor de la expresión S =

tan205 - ta n 1 1 5 tan245 + tan335

|

Entonces: 20cot2x = 10(cotx - tanx)

tan245° = tan(180° + 65°) = tan65°

4.

r ig o n o m e t r ía

-Í2

¥

-Í2

Si: cotx = - 0 ,5 ; hallar el valor de 20cot2x

2 eos 2x + 1 : 2 + /3 2cos2x - 1

:2 + /3 -

Aplicando propiedades de proporciones: 2 eos 2x + 1 + 2 eos 2x - 1 2 c o s 2 x + 1 - 2osx + 1 4cos2x

3 + /3

2

1 +/3

cos2x :

■/3

2

2 + /3 + 1 2 + /3 - 1

2cos2x =

2x = 30°

V3(1 + / 3 ) 1 + /3

x = 15°

Volviendo a la variable original: (h — = 15 ° =>()) = 45° tariíj) = tan45°

| C

o l e c c ió n

El P o stu lan te

cosa = 1 -

Si: x = —; hallar el valor de tañí

R esolución:

11.

49

£7 49

Determ inar el valor de la expresión:

Como: taní-2-) = csca - cota

A = sen3acsca - cos3aseca

Resolución: Para x =

A =

sen3a sena

A =

sen3acosa - cos3asena. senucosa

nos queda: V3

ta n <1%)

A =

La base de un rectángulo mide el doble de su altura, hallar la tangente del ángulo agudo que form an sus diagonales

A=

eos 3a co sa

sen(3a - a ) _

sen2a

senacosa

senacosa

2senacosa = 2 senacosa

R esolución: 12.

De la figura: tan(-S-) = 1

Hallar el valor de: Q = 4cos10°cos50°cos70°

R esolución: Q = 4cos10°cos50°cos70° Q = 4cos10°cos(60° - 10°)cos(60° + 10°) Q = cos(3 x 10°) = cos30° 13.

sen2x cosx 11 + co s2 x /\ 1 + cosx

Reducir: N

2 ta n (f) tana =

_/3 2

R esolución:

1 - ta n 2

Como: 1 + cos2a tana =

\2I

< - r

tana =

1 - 14 14

2 se n xco sx

N

2 c o s 2x

2 eos

2/ X i

2 s e n (-)c o s (-)

tana = 4/3 N = Los radios de dos circunferencias son 1 y 2, la distancia de sus centros es 7. Calcular el coseno del ángulo form ado por las tangentes exteriores a estas circunferencias.

Resolución: Sea a el ángulo form ado por las tangentes, PO es bisectriz de dicho ángulo. De la figura:

2

co s

2( ¡ )

2 eos

2/X,

N = tañí 14. Reducir: S = tanu + 2tan2a + 4tan4a + 8cot8a

R esolución: Como: cotx - tanx = 2cot2x => cotx = tanx + 2cot2x S = tana + 2tan2a + 4 (tan4a + 2cot8a) cot4a S = tana + 2tan2a + 4cot4a S = tana + 2(tan2a + 2cot4a) cot2a

cosa = 1 - 2sen

cosa = 1

S = tana

2cot2a

S : cota

T

15.

sen3a _ eos 3a sena co sa

Hallar el valor de: M =

8.

r ig o n o m e t r ía

|

55

Si cosa = 4 , 270° < a <360°; calcular: cosí —l

R esolución: ^ _ 3sena - 4sen3a _ 4 c o s 3a - 3 eos a sena co sa 6

M = 3 - 4sen2a - 4cos2a + 3 9.

M = 6 - 4(sen2a + cos2a ) = 6 - 4 = 2

[" 1.

2.

e j e r c ic io s

d)

Calcular tan2a, si: tana = 72 - 1 a) /2 + 1

b) 272

d) 1

e) 72

c) - 2 7 2

741 d)

3.

741

Simplificar: a) sen21° d) cos84°

4.

b)

741

C)

741

1 - eos 42

b) cos21° e) sen 16°

a) 0,1

b) 3/4 e) 24/25

11.

2 -7 2 2

c) sen89° Simplificar:

c) 4/3

(2sen15°cos15°)2 + (2sen22°30'cos22o30')2

6.

7.

Simplificar:

b) 3/4 e) 9/4

b cot229

d) sec229

e) csc226

472

d )f

b) 1 e) -0 ,1

c) -1

b)

J ͱ H

c)

1 1 1

2 (csc6 - co t6 )

a) tan3° d) cot6°

a) - 2 d) - 1 /2

b) tan6° e) tan12°

c) cot3°

sen160°cos200° sen400° b) 2 e) 73/2

c) 1/2

Simplificar: (1 - 2sen2a )2 - 4sen2a co s2a a) cos4a d) -c o s 2 u c) sec220

1 Si sena = - - , a e IIIC; calcular: sen2a

a)

2713 13

c) 5/4

1 + eos 46 1 - eos 40

a) tan226

3713 13

sec23 - 2 t a n 23

Calcular:

a) 1/4 d) 7/4

c)

72 + 72

Simplificar: 5.

4713 13

Calcular: sen22°30’

d)

Calcular: csc74° - cot74° a) 1/2 d) 1/3

b)

4713 13

d) 2

a)

741

3713 13

10. Simplificar: g s c 4 0 , - c o t4 0 tan200

SI cosa = — , 360° < a <450°; calcular: cosí — í 41 Í2 ; a) -

715

12 SI sena = — , 90° < a < 180°; calcular: s e n í—í 13 '21 a) -

PROPUESTOS i " [

e) -

Simplificar: a )ta n 250 d) cot59 Si sena =

b) -c o s 4 a e) 0

c) cos2a

1 - co sí 00 1 + cos1O0 b) cot250 e) sec50

c) tan 59

a e IIC; calcular: 72 sen2a

a) - 4 /3

b) -1 /3

d) 4/3

e) 72/3

c) 1/3

56

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

17. Simplificar: a) cot2cx d) -ta n 2 a 18.

26. Calcular: M, si: cota + tana = M csc2a

2 ° otct cot a - 1 b) -c o t2 a e) 1

a) 1 d) 4

c) tan2a

b) sen69 e) sen39

a) 2m + 1 d) m2 - 1

c) sen90

20.

a) tan9° d) 2tan18°

c) (2 /2

b) 1/2 e) 1/4

b)

1 - ta n 210 c)

d)

1 - tan240 e)

b) 2tan9° e) tan36°

a) 1 d) 4

2 tan 20 1 - ta n 220

2 tan 40

c) 2m 2 - 1

c) tan18°

29. Sim plificar: (csc2x + cot2x)tanx

Hallar tan40° 2 tan 10

b) 2m - 1 e) m2 + 1

28. Simplificar: (csc36° - cot36°)(1 - tan9°cot81°)

19. Calcular: cos215° - sen215° a) (3 /2 d) (314

c) 3

27. Si: sen0 + cos0 = m, calcular: sen20

Hallar la expresión equivalente de: 2sen39cos30 a) se n 129 d) sen180

b) 2 e) 6

b) 2 e) 6

c) 3

30. Calcular: tan7°30’

2 tan 80 a) (6 - (4 - (3 + (2

1 - ta n 280

b) ( 6 - ( 4 + ( 3 - ( 2

2 ta n 2 0

c) / 6 + / 4 - / 3 + T 2

1 + ta n 220

d) J6 + V4 + J 3 - / 2 21.

Sabiendo que:

e) (6 - (4 - (3 - (2

p = 2cos2a - cos2a A q = 2sen2a + cos2a calcular: p2 + q2 a) 1 d) 6 22.

b) 2 e) 8

Simplificar: (/2 c o s a + 1 )(/2 c o s a - 1) a) cos2a d) sen2a

23.

c) 4

b) -c o s 2 a e) 0

N tn Li > <t ü

b) - 1 e) - 2

25.

b) - 1 e) cos60

c) 0

1.

cos29 csc20

b) sen20 e) cot20

20. b

26. b

21. b

27. d

22. a 23. d 24. d

28. b 29. a 30. a

2. b

8. b

3. a

9. c

4. b 5. b 6. b

10. b 11. c 12. b

16. a 17. c 18. b

Si: cosa = 2/3; 0° < a < 90°, hallar: s e n ( ^ ) a) (3016 d) (6

c) 1

2.

Simplificar: ^ ~~ tan ® 1 + ta n 2© a) d)

14. a 15. a

13. d

[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS ~2 l

24. Simplificar: cos40 - sen40 a) cos40 d) cos20

25. a

7. a

c) -s e n 2 a

Simplificar: c o t a - ta n a cot 2a a) 1 d) 2

19. a

1. d

c) sec20

3.

Si: cos0 = 1

b) (616 e) (615 ^

c) V6/12

< 0 < 2n, calcular: s e n ( |- )

a) (312

b) -(3 1 2

d) -(3 1 3

e) -(3 1 6

c) (313

Si: 25cos2x - 4 = 0; 180° < x < 2 7 0 ° calcular: ta n (-|)

J

T

a) —17

b) -V 3

d) -1 3 /7

e )- m 13.

csc4 0 - cot40 cot70

Calcular: R = a) 13 d) --Í3

a) 1 d) 1/9

c) --17/3

b) 1 e) - V 3 /3

c) -1

r ig o n o m e t r ía

b) -2 3 /2 7 e) - 1 /9

|

57

c) 23/27

Si: senx - cosx = 1/3, calcule: sen6x b) 23/27

d) 22/27

e) 19/27

a) 1/2

b) 3/2

d) 11/2

e) 15/2

c) 17/27

X O 0 CM 1

xU-

o o

a) 13/27

Reducir: E = ta n (- |) + co tx a) 2 s e n ( |)

b) 2 c o s ( | )

c )2 ta n (¡

d) 2sen2( | )

e) 2cos2( | )

c) 7/2

15. Si: s e c ( - |j = 3 s e n (-|), hallar: cos2x a) 1/27 d) 22/27

b) 1/9 e) 1/3

c) 2/27

Si la siguiente igualdad es una identidad: csc2x - cot2x cscx + c o tx

16. SI: cosx = - 1 / 5 ; 180° < x < 270° + 2cotx = mcot(

n/ (I)

hallar: m + n a) 1

b) 2

c) 3

e) 5

d )4

a) J Ó J

b) ÍÓ A

d) -/0 8

e) f f

c)

Si: csc80° + tan10° = a, calcular : cot50° a) a d) 2a~1

b) 2a e) (a

c) a -1

17.

Dado: 16cos20 = 9 ; — < 0 < 2 rt 2 hallar:

Reducir: n, _ csc6 - cot6 tan3‘ a) 1 d )co s8 0 ° 9.

18.

b) - 1 /2 e) -Í312

c) 3

c)

12. Si: s e n j- | j =

b) 2cos2x e) 1 calcular: senx

b) 2 e) 1/2

c) -1

19. Simplificar: E = ta n (-|) + (1 - cosx)cotx a) 1

b) senx

d) cosx

e) -1

c) tanx

1 20.

Reducir: N = a) 1 d) c o s í0 o

Reducir: N = co s3 x + cosx co sx a )c o s 2 x d) 2cosx

Reducir: R - tan 10 + c o t2 0 co t1 0 - c o t 2 0 a) 1 d) - 2

Reducir: M = 4sen350° - 3sen50° a) 1/2 d) - 1

11.

b) 2 e )5

c) - 1 7

c) sen50°

De la siguiente igualdad: c o t1 4 ° - nsec34° = ta n 1 4 ° - 2tan28° hallar: n a) 1 d) 4

10.

b) sen40° e) sen80°

b) 17 e) - 1 7 /14

a) 1 d) - 1 7 /7

sen40 csc40 + cot40

+ cos4° sec45

\

b ) -1 e )-s e n 1 0 °

)sec20° / c)sen 1 0 °

c )c o s x 21.

Si se cumple: J 1 ~ ser|5Q l = cotX; (x; agudo) 1 1 + sen50 halle: sec(x -1 0 ° )

58

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

(2

a )2

b)

d) 4

e) 5/4

a) cot9 d) csc29

c )3 24.

22.

a) d)

1

13

b) 2

c)

¡2

e) ¡6

23. Simplificar: R = csc20 + cost49 + csc40

c) cot29

SI: seca = 4; hallar: cos3a a)

Calcular el valor de: E = ----------------------------

b) csc9 e) 1

1/11

b) -1 /1 6

d ) -1 1 /3 2

c ) -1 1 /1 6

e) -1 /3 2

m W

1. b

6. c

11. b

16. c

21. a

2. c

7. c

12. c

17. d

22. a

< J ü

3. c

8. c

13. d

18. a

23. a

4. b 5. d

9. d 10. b

14. d 15. d

19. b 20. a

24. c 7

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS SENOS O COSENOS A PRODUCTO

senA - senB = 2cos

a , 5a \

/a

2

• cos( f ) " cos(y )= ^ 2sen\ 2 2 2 )sen\-^—2—

, f A + B jr.nsif A - B \ i 2 1 \ 2 1

= - 2 s e n |- y - J s e n ( - a )

(A + B | 1 sen / A - B \ l 2 1 l 2 1

= 2 s e n |^ - js e n a

i A + B\ A - B\ |cns( cosA + cosB = 2cos \ 2 11 l 2 ) cosA - cosB = -2 s e n ( A + B ) sen^ A

B

5a

Propiedades: Si: A + B + C = 180°, se cumple: • senA + senB + senC = 4 co s/-4 '|co sí -i-"icos/ — cosA + cosB + cosC =4sen( - ^ s e n í ^ s e n í —) +1 >2/ \2 / 121

Dem ostración: Para com probar la primera identidad, recordemos que: sen(a + p) = senacosp + cosasenp

• sen2A + sen2B + sen2C = 4senAsenBsenC • cos2A + cos2B + cos2C = -4cosAcosBcosC - 1

sen(a - p) = senacosp - cosasenp Sum ando m iembro a m iembro tenemos: sen(a + p) + sen(u - p) = 2senacosp ...(1) Haciendo: a + p = A ; a - p = B Obtenemos: a = A ± _ § : 2

DE PRODUCTO DE DOS TERMINOS, SENO Y/O CO­ SENO A SUMA O DIFERENCIA 2senAcosB = sen(A + B) + sen(A - B) 2cosAsenB = sen(A + B) ~ sen(A - B)

r = A ~ B 2

2cosAcosB = cos(A + B) + cos(A - B)

'

2senAsenB = cos(A - B) - cos(A + B)

Reem plazando en (1): Se tiene: senA + senB = 2sen( A j~-B |cos( A “ B '

Ejemplos: 2sen49cos9 = sen(49 + 0) + sen(40 - (

Las demás identidades pueden verificarse en for­ ma análoga.

= sen59 + sen36 2 co s (a - - |) c o s ( a +

Ejemplos: sen40° + sen8° = 2sen/ ^

„+ - )cosí 4(~) ~ ^ l

x\ ■“ + 4 )

c o s ía - — - a - —j 1 4 41

= cos2a + c o s í- —)

= 2sen24°cos16° s e n 1 0 0 °- sen50°

= cos2a + eos (-5-) = cos2a

= 2 c o s f100 + 5 ° \s e n ( 100 " 50 = 2cos75°sen25°

5

6

71 \ 6 I )cos( — 2 /

\

= 2 c o s (4 ríW o s (

60

1 71

K

' 60 1

Exprese cos30sen9 como una suma o una di­ ferencia.

60

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

4.

R esolución: Utilizando la primera identidad se tiene: cos30sen2tí = 2 c o s 3 ?sen29 2 = -I(2sen20cos30)

Hallar el equivalente de: A = senx + sen3x + sen5x + sen7x

R esolución: A = (sen7x + senx) + (sen5x + sen3x) A = 2sen4xcos3x + 2sen4xcosx A = 2sen4x[cos3x + cosx] 2cos2xcosx

= ^[(se n (20 + 30) + sen(20 - 30)]

A = 4sen4xcos2xcosx = -l[sen 5 0 + s e n (-0 )] Hallar el equivalente de: 2 se n (-|)c o s 2 x cos30sen20 = i( s e n 5 0 - senG)

R esolución: Como: 2senacosp = sen(a + p) + sen(a - p)

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

Hallar el equivalente de: 2cos6xsenx

2 se n (-^)co s2 x = se n í-^ + 2x) + sení-í- - 2x) = s e n (y ) + s e n ( - y ) = s e n |y ) - s e n ( y

R esolución: 2cos6xsenx = sen(6x + x) - sen(6x - x ) = sen7x - sen5x

Hallar la suma de los senos de tres arcos en progresión aritm ética de razón —

2.

Si el ángulo A mide tt/ 13 rad, hallar el valor de: A =

cosAcos10A cos2A + cos4A

R esolución: c o sA co s 10A „ / 4A + 2A \ / 4A - 2A \ 2 eos eos 2 /~ ~ \ 2 A =

cosA coslO A _ coslO A 2cos3AcosA 2cos3A

Resolución: 2n

Sean: a

P = se n |a -

2R 2 71 + sena + s e n |a + 3 3

2 tt 2 71 P = senl a - ; + sen a +

/1 Ott \ 13 131

- eos

3it 13

2 eos

Hallar la expresión equivalente de: senx + sen3x Q = sen2x + sen4x

R esolución:

P = 2senacos P = 2 s e n a (- —

sena

P = -s e n a + sena = 0 Hallar el equivalente de: S =

Resolución: ,x + y\ /x- y 2sen —- — eos' S =

Q =

sena

2senacos

Dato: A = rc/13 eos

9 ti

, a, a + — los tres arcos en 3 3 progresión aritmética, entonces:

2 s e n 2 x c o sx _ sen2x 2 se n 3 xco sx sen3x

/x + y\ /x - y 2 co s —- — eos1 2

S = tan

x+ y

senx + seny eos x + eos y

T

8.

Hallar el equivalente de:

|

61

A = /2 (-/2 cosa + 1) sen 2x

P = sen4x h----------

r ig o n o m e t r ía

Reemplazam os a = 45°

senx cosx + tanxsenx

A = / 2 ( / 2 cos45 + 1)

R esolución:

A = / 2 [ / 2 ( - ^ r ) + i] =* A = 2^2

sen 2x P = sen4x + senx cosxsenx + cosx + / s e n x \ Senx

11.

Verificándose las siguientes igualdades: sen32° cos32°

sen 2x

P = sen4x

sen12° co sí 2°

=0,738 1,826

calcular el valor de la tangente de 22° expre­ sando el resultado en fracción ordinaria.

cosxsenx-

R esolución: P = Sen4x + . sen22x

2 se n xco sx

sen32° + sen12° = 0,738

= sen4x + se" 22x sen2x

2sen22°cos10° = 0 ,7 3 8 cos32° + co sí 3° = 1,826

* 2x \ e o s ^ x 2x 2

P = sen4x + sen2x = 2sen( \ P = 2sen3xcosx

2cos22°cos10° = 1,826 Dividiendo (1)

9.

Transformar en producto la siguiente expresión: cos4x + cos8x + 2 - 4sen2x

R esolución:

...(1)

2sen22 cos10 2cos22 cos10

a

...(2)

(2): = 0,738 = 738 1,826 1826

Sim plificando: tan22° =

M = cos8x + cos4x + 2(1 - 2sen2x) cos2x 8x + 4x 8x - 4x \ M = 2cos eos 2 / \ 2

12. En que tipo de triángulo se cumple:

M = 2cos6xcos2x + 2cos2x M = 2cos2x(cos6x + 1) 2cos23x M = 4cos2xcos23x

cos2a cosa - cos45

Resolución: O bservar que al reem plazar a = 45°, la expre­ sión A queda: 0/0 (Indeterm inado) Levantam os la indeterm inación: A _

cos2a

_

R esolución: En todo triángulo ABC se cumple: •

cos2A +

cos 2B

+ cos2C = 1 - 2cosAcosBcosC

sen2A + se n 2B + se n 2C =

10. Hallar el verdadero valor de la expresión si­ guiente, para a = 45°: A _

sen2A + sen2B + sen2C = 2

2cos2x

/2 c o s 2 a

cosa — — ^2 cosa — 1 ■12 Diferencia de cuadrados en el numerador: _ /2 ( /2 c o s a + 1 )(/2 co sa - 1) (/2 c o s a - 1)

2 + 2co sA co sB co sC De la última relación: 2 = 2 + 2cosAcosBcosC => cosAcosBcosC = 0 De esta igualdad se deduce que alguno de los tres factores es cero. Esto ocurre si al menos uno de los ángulos mide 90°. .-. se cum ple en un triángulo rectángulo.

13. Simplificar: senG + sen(k0) + se n (2 k - 1)9 cos9 + cos(k0) + co s(2 k - 1)0

R esolución: sen(2k - 1)0 + sen0 + sen(k0) co s(2 k - 1)0 + cos0 + cos(k0)

62

|

C

o l e c c ió n

E =

El

Po stulante

2 se n (k9 )co s(k - 1)0 + sen(k0)

hallar: tan

a + p

2 c o s (k 0 )c o s (k - 1)0 + cos(k9) E =

se n (k9 )[2 cos(k - 1)0 + 1]

b)

c o s (k 0 )[2 c o s (k - 1)0 + 1]

(a -b ) e)

d)

E =tan(k0) 14.

c)

Si: sena + senp = a cosa + cosp = b

3.

(a - b)

2ab (a 2

Calcular: (sen38° + cos68°)sec8° a) d)

calcular: cos(a + p)

(a + b)

1b)2 e) - 1/2

1/4

c) 1/2

R esolución: 4.

Sea: a + p = x sena + senp = a 2 s e n (a "*~^) c o s ( a „

= a

Reducir: P

(1)

'ic o s fa

6.

sen(f

_ _ a xx " b

a

1 - 1 /2

c)

-1

sen59 + sen39 + sen9 cos 50 + cos 39 + cos0 b) e)

tan50 tan80

c) tan20

)= b

2 c o s (-^ -)c o s í-— - ) = b Dividiendo (1)

b) e)

a) tan30 d )ta n 4 0

cosa + cosp = b 2 c o s fa ^

Calcular: S = cos20° + cos100° + cos140° a) 0 d) 1/2

■(2)

Transform ar a producto: E = sena + sen3a + sen5a + sen7a a) b) c) d) e)

(2) se obtiene:

tan( f K 7.

Nos piden calcular: 1 - ta n 2

4sen4asen2asena 4cos4aeos2acosa 4sen4aC 0s2aC 0S a

4sen4asen2acosa 4cos4acos2asena

Calcular: A = cos220° + cos240° + cos280° a) 1 d) 5/2

cos(a + p) = cosx :

b) 2/3 e) 3/2

c)

2

1 + tan 8.

b2 + a2

e) cos2(x - y) 9.

[ " e j e r c ic io s PROPUESTOS T ] 1.

Calcular: A = a) 1 d) /3 /3

2.

Si:

c)

13

b) sen7x e) seniO x

c) sen8x

10. Simplificar: (tan20 + tan0)(cos30 + cos0) a) 2sen30 d) cos39

sena + senp = a cosa + cosp = b

Simplificar: 2(cos5x + co s3 x)(se n 3 x-se n x) a) sen6x d) sen9x

sen80 + sen40 cos80 + cos40 b) 2 e) 1/2

b) cos(x - y) d) cos2(x + y)

a) cos(x + y) c) 0,5 cos(x + y)

cos(a + P) = 1 + af k2

1 - sen2x - sen2y Simplificar: A = co s(x - y)

11.

b) 2cos30 e) 1

SI: x + y = 30°, calcular:

c) sen30

T

se n (x + 3y) + sen(3x + y)

20.

Reducir: A =

sen2x + sen2y a) 1 d) 2 /3

c)

b) 2 e )-1

12. Simplificar: A =

cos(a - 3b) - cos(3a - b)

b) tan2x e) tan5x

Reducir: A =

sen2a + sen2b

c) sen2x

sen7x + sen3x senx + sen9x

si: 6x = n

E = sen2A + sen2B - sen2C a) 4senAsenBcosC c) 4senAsenBsenC e) 2senAsenBcosC

c) tan3x

b) cosx e) sen3x

2 2 . Simplificar: A =

En un triángulo ABC, transform ar a producto:

b) -1 e) - 3 /2

a) 1 d) - 1 /2

b) 4cosAcosBsenC d)4cosA cosB cosC

c) 1/2

1. c

6. c

11. c

16. a

21. b

2. a

7. e

12. d

17. d

22. b

14. En un triángulo ABC, transform ar a producto:

U1 y >

K = senA + senB + senC

<

3. a

8. a

13. b

18. b

j

4. a 5. a

9. c 10. a

14. d 15. e

19. e 20. d

U

a) 4sen(A/2)sen(B/2)sen(C /2) b) 2sen(A/2)sen(B/2)sen(C /2)

r

c) 2cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) d) 4cos(A /2)cos(B/2)cos(C/2)

EJER C IC IO S PROPUESTOS

e) 4sen(A/2)sen(B/2)sen(C /2) 1.

15. Calcular: E = csc20° - cot40° a) 1 d) - ( 3 16.

Reducir: A =

b) 0 e) (3

b) 1/2 e) 2

17. Simplificar: A =

18.

Reducir: A : a) í3 d) 1/2

c) —1

b) - 1 e) 0

sen3acosa

c) sen2x

2

sen4a

a) senacosa

b) s e n ( | ) c o s ( | )

c) 2senacosa

d) sena

a )s e n x d) sen7x

b) sen3x e) sen9x

c) sen5x

Exprese como monomio: P = cos20cos9-sen40sen6 c) 1

19. Calcular: A = cos20° + co sí 00° + cos220° a) 1 d) - 1 /2

b) cosx e) sen3x

Reducir: R = 4sen2xcos2xcos3x - senx c) tan2x

sen50 + cos50 cos5 b) (2 e) (212

Ú

e) sen (-2.)

eos 7x + eos 3x sen7x - sen3x b) cotx e) tan4x

J

Reducir: Q = sen4x - 2senxcos3x a) senx d) eos 2x Reducir: M

sen40 - sen20 cos10

a) 1 d) - 1 /2

a) tanx d) cot2x

c) -1

c) 1/2

63

4senx c o s x e o s 2 x + sen6x 2sen5x

a )s e n x d )c o s 2 x

b) 2cos(a + b) d) 2sen( a - b)

a) 2sen(a + b) c) sen(a - b) e) 2cos(a - b) 13.

21.

|

sen2x + sen4x + sen6x eos 2x + eos 4x - cos6x

a) tanx d) tan4x

/3

r ig o n o m e t r ía

a)sen0sen20 c) sen30cos20 e)sen0cos0 Reducir: sen2xcosx

b)cos30sen20 d)cos30cos20

sen4xcosx + sen2xcos3x

64

| C o l e c c ió n

a) senx d) 0 c 6.

Po stu lan te

b )se n 3 x e) cosx

c) sen5x

b) tan5x e) sec5x

c)

16. cos5x

Calcule el valor de:

a) 1/2 d) 1

c) 1/4

sen4xsen3x - cos6xcosx

b) - 1 e) 2

a) sen36 d) 2sen69

b) cos6x e) cos4x

c) - cos6x

c)

0

b) 2sen39 e) 1

c)

sen69

18. Hallar el valor de: ^ _ sen50 sen38 + sen95 sen7 sen123

b) 6o e) 15°

a) 1/4 d) 2

c) 9o

10.

Halle el valor de: N = —sec80° - 2sen70° 2 a) 0 b) - 1 c) 1 d) - 2 e) 2

11.

Reducir:

19.

M = cos(a + b)cos(a - b) + sen(b + c)sen(b - c) + cos(a + c)cos(a - c) a) 0 d) cosa

b) 1 e )co sb

c)1/2

21.

12. C alcular el valor de a, si: cos3atana + 2sena = sen[(a - 1)a] a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

b) 1/2 e )2

c) 3/4

Factorizar: R = cos8x - cos7xcosx - cos10xcos2x b) -se n 3 xse n 9 x d) -co s3 xco s9 x

Simplificar: K = cos51 cos34 - s e n 2 1 s e n 4 eos 100 + cos 10 a) (212

b) (316

d) (613

e) (214

c)

(614

Calcular: L = 2[2sen39°cos9° - 2cos43°30'cos1°30'] a) (2 + 1 d) 2 - (2

b) 1 - (2 e) ( 2 - 1

c)

2 + (2

22. Calcular x, si: 2cos20°cos40° = x + cos20° a) 0,4 d) 0,8

2(sen40 + sen20 ) Reducir: E = — —---------- 2 - sen30° sec50 a) 0 d )c o s 5 0 °

b) 1/2 e) V2/2

a) 2sen3xsen9x c) sen3xsen9x e) cos3xcos9x 20.

14.

0,5

,, sen49cos0 + sen29cos59 17. Sim plificar: M = ----------------e o s (3

Halle x (ángulo agudo), si: 2sen3xcos5x = cos7x - 2senxcosx a) 3o d) 12°

13.

Reducir: R = cos3xcos2x -

c)

Reducir: (2sen5xcosx - sen6x)2 - cos24x a) cos8x d) -c o s 8 x

9.

b) 2 e) 3/2

b) 0,4 e) 0,8

a) - 2 d) 1

H = 2cos80° + 4cos20°sen10°

8.

15. Calcular: E = 2sen50°cos20° - cos20° a) 0,3 d) 0,6

ol sen9xcosx - sen6xcos4x ----------S im p lific a r: cos4xcos2x - cos7xcosx a) sen5x d) cost5x

7.

El

c) cos40°

23.

Í4 (T - cos240°)(1 - sen210°) - cos40°

24.

c) 0,6

t— , j ■ r-> sen3xsenxcos2x - cosxcos3xsen2x Reducir: K = ----------------(senxcosxf

a) 1/4 d)

Reducir:

b) 0,5 e) 1

b) 1/2 2e)

c)

1

5

Si: x > 2, reducir: B = 2seni|>cos[(x - 1 )<t>] + sen[(x —2)4>]

a) 1/3 d) 1/5

b) 1/2 e) 1

c)

1/4

a) senij) d) cos2<ji

b) cosí)) e) senij)

c)

seni|>

T

Expresar como m onom io N = 2 (c o s 4 °co s3 °- sen7°sen8°) a) cos40s e n H °

b) cos11°cos4°

c)

2cos11°

d) sen11°sen4°

e)

2cos11°cos4°

in tu < J ü

r ig o n o m e t r ía

|

1. c

6. d 7. d

11. a 12. d

16. c

2. a

17. c

22. b

3. d

8. d

13. c

18. e

23. d

4. d 5. d

9. b 10. c

14. b 15. c

19. d 20. c

24. e 25. e

21. b

65

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA Una ecuación se llama trigonom étrica si ella con­ tiene la incógnita x solo bajo los operadores trigo­ nométricos.

3.

Ejemplos: tan2x = 3x - 1

sen( f ) = I

sen4x =

1 2

¡2

. VP = -3 0 °

senx -3 0 °

■Í2

, sen4x = ^ 45°

4.

=> VP = 45°

2

sen4x = —y-=> sen4x = —^

=> VP = -4 5 °

-4 5 °

cVlata/:

-------------------------------------------------------

La ecuación del último ejemplo no se llama trigonom étrica, porque en esta la incógni­ ta x se encuentra no solo bajo el operador tangente, sino también con otro operador no trigonométrico.

;

senx

tanx - cot2x = 0

senx = cosx '

2.

5.

sen2x = 1 => VP = 90°

sen2x = 1

90° 6.

sen2x = - 1

=> sen2x = - 1 =» VP = -9 0 ° -9 0 °

7.

s e n (|) = 0

8.

sen3x = 2 => la ecuación no tiene soluciones

s e n ( | ) = 0 =, VP = 0°

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL Una ecuación trigonom étrica se llama elemental, básica o simple si tiene la siguiente estructura:

O bservación: el valor principal no es la incógnita

FT(kx) = a

x ( V P V x ).

Ejemplos: • senx = -1

• cos2x =

■

• ta n ||j= - /3

VALOR PRINCIPAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONO­ MÉTRICA ELEMENTAL

Valor principal para coskx = a La ecuación tendrá soluciones solamente cuando: -1 < a < 1 Si a es positivo, entonces su VP es un ángulo agudo Si a es negativo, entonces su VP es el suple­ mento del ángulo agudo.

Se llama valor principal (VP) al menor ángulo po­ sitivo o m ayor ángulo negativo que satisface una ecuación trigonom étrica elemental. Es decir: Si:

Si a es 1, entonces su VP es 0°.

FT (kx) = a =? VP = ángulo

Si a es - 1 , entonces su VP es 180°.

ángulo

Valor principal para senkx = a La ecuación tendrá soluciones solam ente cuando: •

-1 < a < 1 Si a es positivo entonces su VP es un ángulo agudo.

Si a es 0, entonces su VP es 90°.

Ejemplos: Calcular el VP de las siguientes ecuaciones: 1.

cosx

■VP = 60° 60°

Si a es negativo entonces su VP es el negati­ vo del ángulo agudo.

cosx = -

1 2

3.

cos4x =

¡2

Calcular el VP de las siguientes ecuaciones: 1 senx = -1 => VP = 30° 1. senx = — 30° 2

cos4x =

¡2

> VP = 45°

45°

Si a es 0, entonces su VP es 0°.

Ejemplos:

. VP = 120° 120°

Si a es 1, entonces su VP es 90°.

Si a e s - 1 , entonces su VP e s -9 0 °.

1

4.

cos4x = - - y - => cos4x = —

VP = 135°

135° cos2x = 1

cos2x = 1 0=

. VP = 0°

T

sen2x

cos2x

-1

= VP = 180°

180° cosí —í = 0

> c o s (¡)= 0

■ VP = 90°

90°

Observación: el valor principal no es la incógnita

Resolución de senkx = a Se aplica la siguiente formula: senkx = a => kx = n(180°) + ( - 1 ) n x VP

Valor principal para tankx = a

n(180°) + ( - 1)" x VP

_

tanx = Í3

=» tanx = Í3

tanx = —V3 => tanx = - / 3

Resolución:

=> VP = -6 0 °

Calculam os el valor principal: VP = 30° Aplicam os la fórmula: 2x = n(180°) + ( - 1 ) n x VP 2x = n(180°) + ( - 1 ) " < 30°

-6 0 ° 3.

tan3x = 1

=» tan3x = 1 45°

=> VP = 45°

4.

tan3x = - 1

=» tan3x = - 1

=> VP = - 4 5 °

n . n(180 ) + ( - 1)nx 30 Despejamos x: x = —------------- --------------Obtenem os el conjunto solución: x = n(90°) + (-1 )n x 15°

-4 5 ° 5.

tanx = 0

=> tanx = 0

=> VP = 0°

Para calcular las 4 primeras soluciones posi­ tivas damos valores enteros positivas a n. En el conjunto solución:

tr 6.

ta n ( ^ ) = 0 ^ t a n ( | ) = 0 => VP = 0° Ó°

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRI­ CAS ELEMENTALES Resolver una ecuación trigonom étrica elemental significa hallar todos los valores de la incógnita x que satisfacen dicha ecuación. Es decir, que re­ ducen ia ecuación a una igualdad después de la sustitución de ia incógnita.

Así, por ejemplo, la ecuación: sen2x = 2 30° 2x = 30°

Resolver la ecuación y hallar las 4 primeras

=> VP = 60°

60° 2.

n e TL

soluciones positivas: sen2x = - l

Calcular el VP de las siguiente ecuaciones: 1.

ne B

Ejemplos: 1.

Ejemplos:

x = 15°

tiene por solución 15°, pero no es la única solución, porque también satisfacen ios siguientes valores: 75°, 195°, 255°, 375°: 435°...

67

Denominándose conjunto solución o solución ge­ neral al resultado:

Si a es negativo, entonces su VP es el negati­ vo del ángulo agudo.

Si a es cero, entonces su VP es 0°.

|

El motivo de estos resultados es que las funciones trigonom étricas son periódicas, a continuación ci­ tarem os para las ecuaciones que involucran seno; coseno y tangente a fin de hallar todas sus infinitas soluciones.

x (V P ^ x ).

La ecuación tendrá soluciones para cualquier valor de a Si a es positivo, entones su VP es un ángulo agudo.

r ig o n o m e t r ía

Para n = 0 :x =

0(90°) + (-1 )° x 15°=»x = 15°

Para n = 1:x =

1(90°) + ( - 1 ) 1 x 15°=>x = 75°

Para n = 2 : x = 2(90°) + ( - 1 ) 2 x 15°=» x = 195° Para n = 3:x = 3(90°) + ( - 1 ) 3 x 15°=» x = 255° 2.

Resolver la ecuación y hallar las 3 primeras soluciones positivas en radianes:

r?

sen3x = - — 2

R esolución: Calculamos el valor principal: VP = -4 5 ° = - ¿ Aplicamos la fórmula: 3x = n(180°) + (-1 )n x VP Pasamos a radianes' 3x = n(n) + ( - 1 ) n( - - | )

68

| C

o l e c c ió n

E l Po s tu lan te

Para n = 2:

nn - ( - 1 f

x = 2 (1 8 0 °)+ 30° => x = 360° - 30° V x = 360° + 30°

Despejamos x: x :

x = 330° v x = 390°

O btenem os el conjunto solución:

Resolver la ecuación y hallar las 3 primeras soluciones positivas en radianes:

x = f - ( - n f x ^

Para n = 0: x = 0( —) —(—1)

°

(

^

Resolución: Calculam os el valor principal: VP = 135° = —

=

Aplicam os la fórmula: 3x = n(360°) ± VP

(no se toma) Para n = 1: x = 1 (-jM - (-1 )11

12'

“ v = — 12

Para n = 2: x = 2 ( ~ ) - Í - 1 Y 2/JL) '1 2 '

7n

n ( 2 jt) ± ^ Despejamos x: x =

12

* - " ( ¥ H Para calcular las 3 primeras soluciones positi­ vas, dam os valores enteros a n en el conjunto

Resolución de coskx = a Se aplica la siguiente fórmula:

solución: n g TL

coskx = a => kx = n(360°) + VP

x = 0 2 l\± i 3 I 4 Tt x = 4

Para n = 0:

Denominándose conjunto solución o solución ge­ neral al resultado: n eZ

: 1 Í 1 * ) + -K \ 3

para n = 1:

: 2zl_

Ejemplos: 1.

g-------

Obtenem os el conjunto solución:

Para n = 3: x = 3(

n (3 6 0 °)± VP

H 2

cos3x

Para calcular las 3 primeras soluciones positi­ vas, damos valores enteros positivos a n en el conjunto solución:

3

Resolver la ecuación y hallar las 5 primeras 1 soluciones positivas: cos2x = —

ü

v x

4

= ^

3

+

í

4

=— v x = ^ 12 12

Resolución de tankx = a

Resolución: Calculam os el valor principal: VP = 60°

•

Se aplica la siguiente fórmula: tankx = a = kx = n(180°) + VP

Aplicam os la fórmula: 2x = n(360°) + VP n(360 )± 60 Despejamos x: x = ---------

n e TL

Denom inándose conjunto solución o solución ge­ neral al resultado:

O btenem os el conjunto solución: n(180°) + VP

x = n(180°) ± 30° Para calcular las 5 prim eras soluciones, da­ mos valores enteros a n en el conjunto solu­ ción: Para n = 0: x = 0(180°)+ 30° x = 30° Para n = 1:

=> x = ± 30°

x = 1 (180°) + 30° =» x = 180° + 30° v x = 180° - 3 0 ° x = 210° v x = 150°

n e2Z

Ejemplos: 1.

Resolver la ecuación y hallar las 3 primeras soluciones positivas: tan2x = /3

R esolución: Calculam os el valor principal: VP = 60° Aplicamos la fórmula: 2x = n(180°) + VP

T

Despejamos x: x

2.

n (180 ) + 30

n(180 ) + 60

Resolver la ecuación: sec3x

Para calcular las 3 primeras soluciones positi­ vas, damos valores enteros positivos a n en el conjunto solución: Para n = 0:x = 0(90°) + 30° => x = 30° Para n = 1: x = 1(90°) + 30° =»x = 120° Para n = 2:x = 2(90") + 30° =a x = 210°

Resolución:

3x = n(360°) ± VP => 3x = n(360°) + 60° n( 360°) ± 6 0 ° X = -2 L => x = n(120°) ± 20° Resolver la ecuación: cscí

Aplicam os la fórmula:

3x = n(180°) + VP

Resolución:

Pasamos a radianes:

3x = n(n) + ( - 4

CSCI1 x ’ = f2

1

j2 2*

O btenem os el conjunto solución; e

y — 1\ X - O/7

y — — OI a i ' 711 A

Para n = 3:

13 '

12

771 12

ti

1 171

12

12

71

-3-1 ~

Resolución de cotkx = a, seckx = a, csckx = a Para resolver ecuaciones trigonom étricas elem en­ tales que involucran cot, sec y esc se inviertan y se obtienen tan, cos y sen, respectivamente.

Ejemplos:

VP = 45°

|

= n(180°) + (-1 )n x 45°

x = 2[n(180°) + ( - 1 ) n x 45°] x = n(360°) + ( - 1 ) n x 90°

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRI­ CAS NO ELEMENTALES Para resolver ecuaciones trigonom étricas no ele­ m entales se reducen aplicando las Identidades trigonom étricas, identidades de transform ación a ecuaciones elem entales para luego seguir el pro­ cedimiento ya conocido.

Ejemplos: 1.

Resolver la ecuación y hallar la segunda solu­ ción positiva de: senx = cosx

R esolución:

Resolver la ecuación: cot2x = (3

senx = cosx

Resolución: cot2x = ¡3 = tan2x =

(2

n(180°) + ( - 1 ) " x VP

­

para calcular las 3 primeras soluciones positi­ vas, damos valores enteros positivos a n en el conjunto solí 71 71 =» x — Para n = 0: x = 0( n \ 12 3 ) ” 12 (no se toma) 71 71 x Para n = 1: X — 1 (' 71 4 12 3' Para n = 2:

V2

1 csc( 2)

nn - — 4

( D

2

cos3x = — => VP = 60° 2

Calculamos el valor principal: VP = -4 5 ° = - ~

—

V3

1 cot2x

69

1___ = 1 sec 3x 2

sec3x = 2

Resolver ¡aecuación y hallar las 3 primeras soluciones positivas en radianes: tan3x = -1

Despejamos x:

|

x = n(90°) + 15°

Obtenemos el conjunto solución: x = n(90°) + 30°

Resolución:

1.

r ig o n o m e t r ía

senx

cosx

1

_1_

=5 tanx = 1 =» VP = 45°

•13

x = n(180°) + VP => x = n(180°) + 45°

= VP = 30

2x = n(180°) + VP =r 2x — n(180°) + 30°

Para n = 0:

x = 0(180°) + 45° =>x = 45°

Para n = 1:

x = 1(180°) +45°=» x = 225°

| C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Resolver la ecuación y hallar la suma de las dos primeras soluciones positivas de: sen2x = cosx

2x = 2rm ± a rcco s( — ~t — I => 2x = 2rtn ± x

n i t ± l6

R esolución: sen2x = cosx => sen2x - cosx = 0

El menor valor positivo de x se obtiene para:

=> 2senxcosx - cosx = 0

n = ° ^ x

= 4

=> cosx(2senx - 1) = 0 Igualando a cero cada factor, obtenem os 2 ecuaciones elementales, por lo tanto, dos conjuntos soluciones: cosx = 0 => VP = 90° v senx = -- => VP = 30°

Si: cos6x = -1 /2 , hallar un valor de cos3x.

Resolución: cos6x = - 1 /2 =* 6x = n(360°) ± a r c c o s | - y

x = n(360°) ± VP v x = n(180°) + (~ 1 )n x VP x = n(360°) ± 9 0 ° v x = n(180°) + ( - 1 ) " x 30° El conjunto solución de la ecuación será la unión: x = n(360°) + 90° V x = n(180°) + ( - 1 ) n x 30° Para n = 0 en el primer conjunto tenem os x = ±90° => x = 90° Para n = 0 en el segundo conjunto tenemos: x = 30° La suma de las dos primeras soluciones posi­ tivas son: 30° + 90° = 120°

=* 6x = n(360°) ± 120° => x = n(60°) ± 20° 3 3x = n(180°) ± 6 0 ° => cos3x = cos[n(180°) ± 6 0 °] => Si n = 0 => cos3x = cos(±60°) = y Hallar el valor del ángulo positivo x más pe­ queño, diferente de cero, que satisface la ecuación: cos24x = 1

R esolución: Com o piden el valor positivo más pequeño (# 0 ) entonces:

E JE R C IC IO S RESUELTOS

cos24x = eos2180° = 1 => 4x = 180° => x = 45°

Cuál es el m enor valor de senx que satisface -i la ecuación: cosx - y senx = 1

Resolución:

Hallar que ángulo agudo a satisface la ecuasena , 1 + co sa , cion: h --------------- = 4 1 ± co sa sena

De la ecuación: 7cosx = 7 + senx

R esolución:

49cos2x = (7 + senx)2

sena _ 1 + co sa

49(1 - sen2x) = 49 + 14senx ± sen2x

1 + co sa __ A sena

50sen2x ± 14senx = 0 2senx(25senx ± 7) = 0 => 25senx + 7 = 0

sen2a + (1 + co sa )2

senx =

sen2a ± 1 + 2 eos a + cos2a

- senx = “ 0,28

sena(1 + co sa ) ^

sena(1 + co sa ) Resolver la ecuación indicando el menor valor positivos para x:

y

¡

2 8/2 — = J — cos2x Í 1 + /2

Resolución: cos2x _ ¡2 + -Í2 _ !2 + (2 ~ i 16 ~ 4 2

2(1 + co sa ) ------------------------s e n a (1 ± c o s a )

-i 4 =3 sena = — 2

El ángulo agudo que satisface esta ecuación es: a = | 6 Hallar un valor de a para que se cumpla: sen22a + cos2a + 1 + se^ — = 0

T

Resolución:

ti/2

□

Resolver tan3x - 1 = 0, e Indicar la segunda

10.

a) 15° d) 120°

b) 75° e) 240°

12. SI:

Resolver: sen5x + sen3x = sen4x, e indicar el

a) 13 d) 7

5.

b) 0°, 60° e) 30°, 60°

c) 45°, 15°

2cosxcosy = 1 tanx + tany = 2

13.

b) 2 ti e) n/4

Resolver: sen6x + cos6x cuarta solución positiva. a) n/4 d) 2 71/5

b) n/2 e) 7ti/4

c) n/6

1/4, e Indicar la c) 5 tt/4

Resolver:

a) 60° d) 330°

14. Resolver: 2sen

1

1

+ sec2x - tan2x

b )1 2 0 ° e) 360°

Resolver: 2senx - cscx = 1, e Indicar el nú­

a) 1 d) 4

b) 195° e) 155°

c) 175° .

b) 720° e) 610°

c) 690°

15. Resolver: ¡3 senx + cosx = 1 y hallar la suma de las dos primeras soluciones positivas. a) 240° d) 480° 16.

Resolver: sen2x + /3 c o s 2 x = 2 a) 205° d) 165°

a) 780° d) 650°

c) 3

b) 2 e) 5

+ 3cosx = 2, e indicar la

quinta solución positiva.

c) 300°

mero de soluciones para x e [0; 2 re]

7.

cosxcosy = 3/4 senxseny = 1/4

a) 0 d) tt/3

b) 150° ' c) 210° e) Hay 2 respuestas

sen2x + tan2x

6.

c) 9

(1 + senx - co sx)2 Resolver: ------------------------------ = 1 a) 30° d) 330°

c) 210°

indicar la diferencia de soluciones (x e y, agu­ dos).

ti]

b) 11 e) 6

b) 180° e) Todas

a) 30°, 30° d) 75°, 15°

c) 105°

número de soluciones para [G;

4.

Resolver:

Resolver 2sen2x + 1 = 0, e Indicar la primera solución positiva

3.

Resolver: 2cos2x — sen3x = 2 a) 0 d) 330°

c) 5 ji/12 11.

2.

he E ^IL J L §11 ' 4 ’ 4 ’ 4 2 ’ 42

> _ti ti 5 jz _ n _ ’ 2 ' 4 ’ 4 2 ’ 42

solución positiva. b) ?i/4 e) 3n/4

7l/1 0

ht — — — ^ n ’ 4 ’ 4 ' 4 2 ’ 42

3 TI ±11 ti _L±i 13 ti C) üH, Tiíi '2 4 42 42

EJE R C IC IO S PROPUESTOS

a) ti/ 12 d) 7rt/12

C)

e) n/6

. n_ K _K_ O 5K 71 1 4 ’ 2 ’ 4 2 ’ 42

2cosa[2sen2acosa + cosa + senacos2a] = 0

1.

71

Resolver: sen9x + sen5x + 2sen x = 1

4sen2acos2a + 2cos2a + 2senacosacos2a = 0

□

b) n/12

a) n/4 d) ti/9

=0

4sen2a c o s 2a + 2cos2a + sen2acos2a = 0

cosa = 0 => a =

|

Resolver: (tan3x + tanx + tan4xtan3xtanx)tan2x + 3 = 0

sen22a + 1 + cos2a + sen4a = o 2 (2senacosa)2 + 2cos2a + 2sen2^ cos2a

r ig o n o m e t r ía

b) 360° e) 500°

Resolver: tan(45° - x) = 2 a) 15° d) 60°

b) e)

30° 115°

c) 420°

3tanx c) 45°

72

| C

o l e c c ió n

El Po stulante

a) 115° d) 240°

17. Resolver: tan2xsen2x + cos2x = 2, e indicar la m enor solución positiva. a) 15° d) 60°

b) 30“ e) 90°

c) 45°

23.

20.

b) 90° e) 240°

c) 150° 24.

b) 3n/2 e) Todas

21.

c) 3

c o s -3 x • + co s3 x = 2, e indi1 + sen3x 1 - sen3x

car el número de soluciones para [0; 2 ti] a) 7 d)

Resolver: 2cos2x = 3senx, e indicar las 3 pri­

25.

b) 30°, 210°, 390° d) 30°, 240°, 330°

b) 57i e) 2rt

22. Resolver: senx + cosx + ( 2 = 0

b) 6 4 e) 3

c) 5

Resolver: 2senx sen3x + cos22x = 1, e indicar la suma de las 5 prim eras soluciones positivas

Resolver: 2versx = senxtanx y hallar la suma de las 3 primeras soluciones. a) 671 d) 3 ti

Resolver:

b) 2 4 e) 5

c) 5^/2

m eras soluciones positivas. a) 30°, 150°, 210° c) 150°, 330°, 390° e) 30°, 150°, 390°

Resolver: 2(senx + cosx) = secx, e indicar el

a) 1 d)

19. Resolver: (1 - senx + cosx)2 = 2covx a) nl2 d) ln /2

c) 225°

número soluciones para [0; 71].

18. Resolver: 2cos2x + 1 = 0 a) 30° d ) 210°

b) 135° e) 315°

c) 4ti

b) 5jt e) 11ti

a) 371 d) 9 tt m y > < j ü

c) 7 k

1. c

6. c

11. a

16. b

21. a

2. c

7. b

12. a

17. b

22. c

3. e

8. e

18. e

23. b

4. e 5. d

9. a 10. e

13. e 14. a 15. d

19. e 20. e

24. d 25. b

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Ejemplo:

Función acotada. Se dice que una función f es

La función y = x2 - 1, es creciente v x e (0; -o o )

acotada, si 3M eIR, tal que |f(x)| < M; V x e Domf.

Función decreciente. Una función f es decrecien­ te en un intervalo I de su dominio, si para todo par de números x, y x2 de dicho intervalo se cumple que:

Ejemplo: La función f(x) = cosx es acotada, ya que |cosx| < 1, v x e IR, tal que M puede tom ar cual­ quier valor mayor o igual que 1. Adem ás del rango de la función se observa.

x, < x 2 => f(x,) > f( x 2)

Ejemplo: La función y = x2 - 1 , es decreciente: Vx C o n ju n to de c o ta s in fe rio re s

C o n ju n to de c o ta s s u fe rio re s

Función par. Una función f es par si:

Ejemplos:

(0; -o o )

Función periódica. Una función f es periódica, si existe un número real T A o, tal que para cualquier x de su dom inio se cumple:

f(—x) = f(x); v x , - x e Dom f

•

e

F(x + T) = f(x); V x; x + T e Dom f

O bservación: el número T se denom ina período

y = f(x) = x2 - 1

principal, si es positivo y mínim o entre todos los periodos positivos.

=>f(-x) = ( - X ) 2 - 1 f(—x) = X2 - 1

Ejempio:

- f( —x) = f(x)

Sea:

y = cosx

f(x) = senx =» f(x + T) = sen(x + T)

sen(x + T) = senx => sen(x + T) - senx = 0

y = secx

O bservación: el gráfico de una función par es si­ m étrico al eje y. s e n ( I ) = 0 => í = k 7 i / k e Z

=> T = 2^k; keZZ+

Función impar. Una función f es im par si: f ( - x ) = -f(x ); V x, - x e Dom f

Si k e Z +; T = 2k , 4 k , 6tt,... .-. el periodo principal de la función: y = senx es 2 n

Ejemplos: •

y = f(x) = x 5 = » f(-x ) f(-x ) = * f( -x )

• •

y = senx y = cotx

= (-x )5 = -x 5 — f(x) y = tanx y = cscx

O bservación: el gráfico de una función im par es sim étrico al origen de coordenadas.

Función creciente. Una función f es creciente en un Intervalo I de su dominio, si para todo par de números x, y x2 de dicho intervalo se cumple que: X"! < x2 =» f f a ) < f ( x 2)

E studio de las fun cion es trigo no m étricas. Las funciones trigonom étricas son el conjunto no va­ ció de pares ordenados (x; y), tai que la primera com ponente es un valor angular expresado en radianes (núm ero real) y la segunda com ponente es un valor obtenido m ediante una dependencia funcional.

Función seno f = {(x >y) e IR2 / y = senx;

x e

R¡

74

j C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e

Dom f = K

Función secante

Ranf = [ - 1 ; 1], es decir: - 1 < s e n x < 1

f = {(x; y)e IR 2 /y = secx;

xg

IR - { ( 2 n + 1)jt/2}; n e Z }

Período de f: 2 ti

Función coseno f = {(x; y) e IR2 / y = cosx; x c E ¡ = cosx (cosenoide)

Dom f = IR - {(2n + 1}n/2; n e Z } Ranf = I R - ( - 1 ; 1} Período de f: 2 ¡i

Dom f = IR Ranf = [- 1 ; 1], es decir: - 1 < cosx < 1

Función cosecante

Período de f: 2n

f = {(x; y) g IR2 / y = cscx; x G IR - (nn); n e TL)

Función tangente f = {(x; y)

g

IR2 / y = tanx; x

g

IR - [(2n + 1)ji/2]; n

g

2Z}

Dom f = IR - {nn / n t TL} Dom f = IR - {(2n + 1)nl2: n g TL)

Ranf = I R - <-1; 1)

Ranf = IR

Período de f: 2n

Período de f: n

Función cotangente f = {(x; y) g IR2 / y = cotx; x e IR - (nn); n e 22}

Desplazamiento vertical. Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la fun­ ción y = f(x) + c es necesario desplazar la gráfica de f a lo largo del eje de ordenadas: Hacia arriba en c unidades si: c > 0 Hacia abajo en |c| unidades si: c < 0

Ejemplo:

Dom f = IR - {nn / n e TL) Ranf = IR Período de f:

ti

T

Desplazamiento horizontal. Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir ia gráfica de la fun­ ción y = f(x - c) es necesario desplazar a la gráfica de f a lo largo del eje de abscisas.

Ejemplo:

|

75

rango tiene un único elem ento en el dominio al cual está asociado: es decir, si: f(X i) = f( x 2) =5 x , = x 2

Equivalentem ente una función es univalente si:

A ia derecha si c > 0 A la izquierda si c < 0

r ig o n o m e t r ía

x l7 Ex2

=, f í x ^ A f jX j)

Ejemplo: Sea: f(x) = x2; x > 0 Aplicando la definición: f(x,) = f(x2) x i 2 = x22 => x ,2 - x22 = 0 => (x-| + x2) (x1~ x 2) = 0 debido a: (x ,+ x2) > 0 => ( x ^ x2) = 0 => x ,= x2 .-. fe s univalente

Opuesto en una función. Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir ia gráfica de la función y = - f(x ) es necesario reflejar en forma sim étrica a la gráfica de f c o r respecto al eje de abscisas.

Ejemplo:

Interpretación geom étrica. G ráficamente, una función univalente o Inyectiva está caracterizada por la propiedad en la que cada recta horizontal interseca al gráfico de la función, a lo más en un punto.

Ejemplos:

Es univalente

Valor absoluto de una función. Dada la gráfica

y

de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función y = |f(x)| es necesario dejar sin cambios los tram os de la gráfica de f que están por encima del eje x y reflejar en forma simétrica a ios tram os de la gráfica de f que están por debajo del eje x.

Ejemplo:

No es univalente

a

y = 1 — cosx

y

y ,

X

No es univalente

Función suryectiva. Una función f: A -» B es suryectiva si el rango de f coincide con el conjunto de llegada B, es decir: V y e R a n f, 3 x e D o m f/ y = f(x)

Ejemplo: La función f: ^0; ^

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Función inyectlva o univalente. Una función es inyectiva o univalente cuando todo elem ento del

-» ^0; ~ j : tal que f(x) = senx:

es suryectiva, pues v x e Dom f 0 < x

2 => 0 < senx 7 — 3 2

76

| C

o l e c c ió n

E l Po stulante

f(x) = senx e (0

V3

2

Ranf = (0; ~

Las funciones trigonom étricas estudiadas (seno, coseno, ...) dadas mediante una regla de corres­ pondencia y que no se especifica el conjunto de llegada, está sobreentendido que el rango coin­ cide con el conjunto de llegada, es decir, ya son suryectivas (o sobreyectivas), entonces para que las funciones trigonom étricas tengan función in­ versa, bastaría que sean funciones inyectivas o

dom inio (como se m uestra en el cuadro adjunto) se logra que sean univalentes, tal que podemos obtener sus respectivas funciones inversas.

Principales restricciones

y = senx

r

n. n j

l

2’ 2J

/

y = tanx

Función inversa. SI una función f es biyectiva (univalente y sobreyectlva), entonces existe su función inversa y se denota por f* o f 1.

[ - 1 ; 1]

n\

t i.

IR

\ 2' 2/

(0;

y = cotx

IR

ti)

IR - ( - 1 ; 1)

[0; . ] - { § }

y = secx

Para determ inar ia inversa de una función se Inter­ cambia x por y e y por x. Así:

[- 1 ; 1]

[0; n]

y = cosx

univalentes.

Rango

Dom inio

Función

IR - ( -1 ; 1)

y = cscx D o m f = Ranf

R a n f = Domf

Notación:

Ejemplo:

FT(9)' = N => 0 = arcFT(N) v 0 = FT~1 (N)

Hallar la función inversa de y = 2x - 1 cuyo dominio es [0; 3].

Se lee: 0 es un arco cuya función trigonométrica es N

Resolución:

Ejem plos:

f(x) = y = 2x - 1; x e [0 , 3] Despejando x se tiene: x =

Y+ 1

2

Intercam biando variables: y

•

SI: senO = J - A - - | < 9 < ^ = > 0 = a rc s e n j-^ j V 0 = s e n - 1( l )

x+ 1

Graficando:

•

SI: cos<(>

=

-|

A 0

< ó

<

ti

=> ó =

a rc c o s |-|j

v 4> = c o s -1( | )

- S i : tan(3 = 10 A

< P< |

P = a rcta n (1 0 ) v p = tan~1(10)

Función arco seno f = {(x: y) eIR 2 / y = arcsenx; - 1 < x < 1} Se observa: Dom f = [0; 3] y Ranf = [- 1 ;5]

Sea la función: y = senx; x e

También: D o m f = [ - 1 : 5] y R a n f = [0; 3]

Despejando x: x = arcseny

- |j

O bservación: Las gráficas de f y f* son simétricas

Intercam biado variables: y = arcsenx

con respecto a la recta (y = x).

Adem ás: Dom f = R a n f e [- 1 ; 1]

Estudio de las funciones trigonom étricas in ver­ sas. Las funciones trigonom étricas por ser perió­ dicas, no son univalentes, pero restringiendo su

Ranf = D o m f e [ - | ; - |] La función es creciente e impar.

T

r ig o n o m e t r ía

¡

77

La función es decreciente.

G raficando f y f*

Función arco secante f = {(x; y) e IR2 / y = arcsecx; x £ IR - ( - 1 ; 1}} Dominio:

(-c o ;

Rango: [0;

- 1 ] u [1;

u

+co)

e]

Función arco coseno

f = {(xi y) e I R2 / y

= arccosx; -1 < x < 1}

Dominio: [ - 1 ; 1]; Rango: [0;

ti ]

La función es creciente.

Es una función decreciente.

Función arco cosecante f = {(x l y) e IR2 / y = arccscx; x g IR - ( - 1 ; 1} Dominio:

< -c o ;

- 1 ] u [1;

+co>

Rango: [ - | ; 0) u (0; |]

Función arco tangente f = {(x l y) Dominio: IR;

g

IR2 / y = arctanx; x £ IR}

Rango:

^

La función es decreciente e impar.

PROPIEDADES PRINCIPALES Propiedad 1 FT(FTI (N)) = N La función es creciente e impar.

Función arco cotangente f = {(x; y) Dominio: IR;

e

«

N

e

Dom(FTI)

sen(arcsen(N)) = N »

N

e

[ - 1 ; 1]

cos(arccos(N)) = N »

N e [- 1 ; 1]

tan(arctan(N)) = N <=» N e IR

IR2 / y = arccotx; x e IR}

Rango: (0; n)

y

cot(arccot(N)) = N »

N

sec(arcsec(N)) = N «

N e ( -o c ; —1] u [1 ;

csc(arccsc(N)) = N »

N

g

IR

g ( — do;

+oo)

—1] u [1; +co)

71

y = arccotx n /2

Ejem plos: •

tan(arctanlOO) = 100

•

cos(arccos3) = 3; absurdo ya que 3 <£ [- 1 ; 1]

sec(arcsec2) = 2 0

x

78

| C

o l e c c ió n

E l P o s tu la n te

---------------------------------------

Ejemplos:

Propiedad II FTI (FT(9)) = 6

•

« 9 e Ran(FTI)

arctan3 + arccot3 =

e

a rc s e n (s e n 0 ) = 0 »

0

a rc c o s (c o s 9 ) = 0 «

0 e [0 ; ti]

a rc ta n (ta n 0 ) = 0

»

0 e /-

a rc c o t(c o t6 ) = 0

«

0 e \ 0 ; n)

e

a rc s e c (s e c O ) = 0 «

0

a rc c s c (c s c 0 ) = 0 «

0 e

i ]

ji/2

arcsec150= + arccsc150 = arcsen2 + arccos2 =

ti/2;

Propiedad V

[0 ; ti] -

|-||

'r t a n v = rr.ta n ií - * —— ) + kn arctanx + arctany = aarctan 11 - xy l

- | ] - {0 }

Si: xy < 1 => k = 0 Si: xy > 1, x > 0 => k = 1 Si: xy > 1 , x < 0 =• k = - 1

a rc c o s [c o s (!)] = !

Ejemplos:

• arCCO t [ C Ot ( f ) i = f

arctan ( 1 ) + arctan/ \,21 ,3 /

a r c t a n ( t a n 2 ) = 2 ; a b s u r d o y a q u e : 2 ■£

i;

^

arctan (

',31 h

Propiedad III

-

2 + 4 1-2 x 4

arctan2 + arctan4 = arctan ( - ®

a rc c o s x ; x e [ - 1 ; 1]

a r c ta n ( - x ) = - a r c ta n x ; x e IR ti

1 + 1 3 2

+ arctan/ \>2 /

a r c s e n ( - x ) = - a r c s e n x ; x e [ - 1 ; 1]

a rc c o t(-x ) =

=arctan

arctan2 + arctan4 = arctan

a rc c o s (-x ) = n -

ti/2

es absurdo ya que

2 < g [-1 ; 1]

Ejemplos: •

a rc s e n |-|j + a rc c o s (-|j = i

arctan2 + arctan4 = it - arctan(6/7)

a r c c o t x ; x e IR

u [1 ; + oo) u [1 ; + oc)

a r c s e c ( - x ) = t i - a r c s e c x ; x e < -o c ; - 1 ] a rc c s c (-x ) = -a rc c s c x ; x

e

{-c e ; - 1 ]

arctan(-1)+arctan(-i3) = arctan

Ejemplos: • ,

arctan(-1) + a rc ta n (-/3 ) = a rcta n |-j l l l j - n

a r c s e n ( - - l) = -

a r c s e n ( - lj = |

arctan(-1) + arctan(--/3) = a rcta n (2 + í 3 ) - n /

á rc e o s

\

¡2 \ i = 2 I

j i-

a r c t a n ( - - Í3 ) = -

j ¡2 \ = \ 2 I

á rc e o s —

ti

n

3n

4

4

- — = —

a rcta n (-1 ) + arctan(- /3 ) = ~

- a =

a r c t a n -Í3 = —n /3

a rc s e c (-2 ) =

ti

-

a rc s e c 2 =

a rc c o t(- 2 ) =

ti

-

a rc c o t2

ti

-

^

^

EJERCICIOS RESUELTOS Calcular el valor de x. x = arctan

Propiedad IV

\ J2 - 1 /

arcsenx + arccosx

_

arctanx + arcotx =

—■V X <=IR

"

,7 2 + 1\

ti . V x e [ - -1; 1] 2’

2’ _ 71 . V x 6 - (-1 ; 1> arcsecx + arccscx ~ 2’

- a r c ta n /- L \ \¡2 )

R esolución: Como: arctanm - arctann = arctan x = arctan

/ V2 + 1 \

\ 12 - 1 /

- arctan \ -¡2 )

m - n \ 1 + m n/

T r ig o n o m e tr ía

x = arctan

1+

i/2 + 1

1

n - 1

/2

Como: arctanm + arctann = arctan I \1 - mn 3a arctan3a + a rcta n — = arctan3

V2 + 1\/ 1

/2 - 1 /\ 12

3a + 1 -(3 a ; 9a

indicar la suma de las soluciones.

3a

■arctan3

arctan

Dada la ecuación: arctan(x + 1) - arctan(x - 1) = arctan2

3a \

2 I

3 =» 3 a = 2 - 9 a 2

2 -9 a 2

R esolución:

9 a 2 + 3a - 2 = 0

arctan(x + 1) - arctan (x - 1) = arctan2

3a

arctan

x + 1 - (x - 1) 1 + (x + 1)(x — 1)

= 2 => x

79

R esolución:

x = arctan f- |] = 4 [ 3J 4 2.

|

-2

3a

1 arctan2

Luego.

3 a + 2 = 0 => a = - 2 / 3 3 a - 1 = 0

=» a = 1/3

= 1 s X = +1 6.

la suma de las soluciones es cero.

Hallar el valor o valores que verifican: cos(arcsenx) + sen(arccosx) = 3/ 2

R esolución:

Hallar x, si: á r c e o s = aresenx

Como: aresenx + arccosx ¡

Resolución:

v x e [ - 1 ; 1]

cos(arcsenx) + sen(arccosx) = 3/2 c o s ( ti/2 - arccosx) + sen(arccosx) = 3/2 sen(arccosx) + sen(arccosx) = 3/2 2sen(arccosx) = 3/2 => sen(arccosx) = 3/4

Por dato: árceos) — j = Entonces: a = aresenx

1

a

sena = x =5 x = —

cosa = X sea: a = arccosx => sena = 3/4 sabemos: sen2a + cos2a = 1

3

También: a = árceos Calcular: sec(arctanb)

7_

Resolución: Sea: F = sec(arctanb) Sea: a = arctanb => tana = b ...(2)

F = seca

V7

16

De (1): Vb2 + t

Encontrar el valor de k; si: R + L = A R = sen[arccot(tan2x)] L = se c(kx)sen[arccot(-tan3x)] A =tan(kx)cos[arccot(tan2x)]

Resolución: R = sen[arccot(tan2x)] R = s e n |a rc c o t[c o t(-| - 2 x ) j| R = s e n (-| - 2x) = cos2x

En (2 ): F = Vb2 + 1 Si: arctan3a + a r c t a n = arctan3 hallar a :

L = seckxsen[arccot(-tan3x)] L = s e c k x s e n |a rc c o t[c o t(-| + 3x) L = seckxsen(-|- + 3x)

( 1)

80

| C

o l e c c ió n

E l P o stulante

L = +seckxcos3x

A = tankxcos ( \2

2 x ) = tankxsen2x

... (3)

'

4.

5.

cos2x

c o s 3 x - s e n k x sen2x eos kx eos kx cos2xcoskx - cos3x = senkxsen2x cos2xcoskx - sen2xsenkx = cos3x

2x + kx = 3x

6.

k = 1

)]}

b) 20 e) 16

Hallar x, si: 2arccot2 + a rc c o s |-|j = arccscx

II.

ta n (a rctan -/T i) = -/Tí

R esolución:

III. sec — (1)

30

a r c s e n d ju i

arCSeC(\ 5l )/ Jl = 5

a) VVV d) VVF

3' arccot2 = 26°30' A árceos^—j = 53°

C)

Indicar verdadero (V) o falso (F): sen

Sabem os que:

C) 72/3

Calcular: P = sec2(arctan ¡5 ) + cot2(arccsc5)

I.

/ O\ arccscx = 2arccot2 + arccos| —j

ti / 2

ji/8

b) V8/3 e) 1/3

a) 15 d) 24

= cos3x

C)

jc/ 3

Calcular: P = sen(arctan[sen(-5a) - 1 /3 d) V3/3

De (1) , (2) y (3): R + L = A cos2x + seckxcos3x =tankxsen2x

cos(2x + kx)

b) e)

a) 7i/6 d) k

...(2)

A = tankxcos ja rc c o t[c o t(-| - 2 x ) jj

b) FFF e) FFV

c) VFV

3n Reducir: P = cos| — - a re s e e ^

Reem plazam os en (1): arccscx = 2(26°30’) + 53°

a) 0,6 d) - 0 , í

arccscx = 106° =» x = csc106° 25 x = csc(180° - 106°) => x = csc74° => x = 24

b) - 0 ,6 e) 0,5

c) 0,!

Calcular: 9 = arcsec(tan60°) + arccsc(2sen60°) [" 1.

e j e r c ic io s propuestos

I

a) íi /4 d) 0

b) — jt/2 e) rt/6

c)

tt/2

C a lcularía = a r c s e n |^ j + 2 arcta n 2 -a rc s e c 2 Hallar x; si: arcsen(3x - 1) = a rc ta n ^ b) kI 3 e) —ji/4

a) jt/2 d ) - jt/3

2.

aresen

' ¡2 - Í2 \

2

II. a rc ta n (-1 ) III. árceos a) VVV d) VFV 3.

a) 11/15 d) 2/15

Indicar verdadero (V) o falso (F): I.

!)

c) 0 b) 7/15 e) 1/15

c) 8/15

10. Calcular: P = ta n |a rc c o s ^ - j - —

k

4

a) 3 d) - 1 /3

_ 7t

b) 1/3 e )2

c) - 3

4 11,

1\ = - i 21 3 b) FFF e) F W

c) VVF

Calcular: a = a rccos{tan(arcsec/2 - arccot2)}

Indicar verdadero (V) o falso (F) I.

a rc s e n (-x ) = -a re se n x

II.

a rc c o s (-x ) = -a rc c o s x

III. a rc c o t(-x ) = -a rc c o tx a) VVV d) VFF

b) FFF e) VFV

c) VVF

T

12. Calcular: 0 = a r c c o s |y j + a r c c o s | - y j

I.

a rc s e n |s e n |^ 2 -jj =

c) 2n

II.

a rc c o s |c o s |-^ |J =

a) 0 d) ji/ 2

b) ti e) - ti

9 = a rc s e n (-1 ) + a rc c o s (-1 ) + a rc ta n (-1 ) b) 2ti tie)

a) V W d) F W

c) - t i/ 2 7i/4

16.

14. Si: arcsenx + arcseny + arcsenz = x, y, z e [ - 1 ; 1], calcular:

b) VVF e) FFV

c) FFF

Calcular: 0 = arctan(1/2) + arctan(1/3) a) 7i/4 d) tc/2

b) -7i/4 e) rt

c)

3n/4

arccosx + arccosy + arccosz a) 2 ti d) 3rc/4 15.

|

III. a r c ta n [ta n (|)] = - |

13. Calcular:

a) nl2 d)

r ig o n o m e t r Ă­a

b) n e) 5n/4

Indicar verdadero (V) o falso (F):

c) 7 ti/4

1. b

5. c

9. c

13. e

2. c

6. d

10. b

14. e

3. b

7. b

11. d

15. c

4. d

8. c

12. b

16. a

81

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS TEOREMA DE LOS SENOS (LEY DE SENOS) En todo triángulo, la longitud de los lados son pro­ porcionales a los senos de sus ángulos opuestos.

2 / 6 + 6/2

4sen75 sen60 2.

3

Resolver el triángulo ABC, si: a = 2; b = 2 -/3 ; C = 30°

a senA

Resolución: senB

senC

De la ley de cosenos se tiene: c2 = a2 + b2 - 2abcosC c2 = 22 + (2/ 3 f - 2(2)(2-/3 )cos30°

Adem ás el valor de dicha proporción es 2R, don­ de R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. Entonces: I a = 2RsenA I | b = 2RsenB

c = 2RsenC

Luego el triángulo es isósceles.

A = 30° y B = 120°

TEOREMA DE TANGENTES (LEY DE TANGENTES) Dado un triángulo ABC, se cumple:

TEOREMA DE LOS COSENOS (LEY DE COSENOS) El cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de dichas longitudes m ultiplicado por el coseno del ángulo que form en dichos lados.

tan

A -B t 2 I

tan

A + B\ 2 /

a- b a+ b

De Igual form a para los otros lados:

j A -C

c - a + b - 2abcosC b

a- c a+ c

- 2accosB

tan 'l

2

, /A + C tan — - —

tan / b- c b+ c

)e las expresiones anteriores podem os despejar: cosA =

c= 2

B -C \ 2 1

tan B + C ) 2 1

TEOREMA DE LAS PROYECCIONES (LEY DE PRO­ YECCIONES)

b2 + c2 - a2 2bc

Dado un triángulo ABC, se cumple: Análogam ente para los otros ángulos. a = bcosC + ccosB a2 + b2 - c2 cosC = 2ab

cosB

b = acosC + ccosA 2ac

Ejemplos: 1.

R e s o lv e re ltriá n g u lo A B C ,s i:A = 60°; B = 4 5 °

c = acosB + bcosA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS SEMIÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO En todo triángulo ABC, con respecto al ángulo A se cumple:

a = 4

Resolución: De la ley de senos se tiene: senA ,

senB

4sen45° sen60°

asenB b = senA

4 /6 3

Como: A + B = 105° => C = 75° asenC Asim ism o: c senA

( p - b ) íp - c ) se n ( f H

be

íp (p -a ) c o s (f) = < be (P - b)(p - c) ta n i t H

p (p -a )

T

Donde: p = -a + ^ + c , (sem iperím etro)

r ig o n o m e t r ía

p = 4Rcos

Bisectriz A. Bisectriz interior A

2bc b+ c

r = 4R sen| ra = 4Rsen rb = 4Rcos

Va: bisectriz interior relativa al lado a. rc = 4Rcos B. Bisectriz exterior A /

c

a

B A cos eos 2 2 2

f) f (f f

sen| cos sen cos

!) f) (I If (I (f) I sen| cos

icos sen

C 2

AREA DE UNA REGION TRIANGULAR (S) Va =

C

83

E x p re s io n e s de p e rím e tro ; inradio y exradios en té rm in o s d e l c irc u n ra d io y los tres ángulos del triá n g u lo

ELEMENTOS AUXILIARES DE UN TRIANGULO 1.

|

B

2bc

s e n /A 'l I b - c | Sen( 2 )

Dado el triángulo ABC: B

M

V a: bisectriz exterior relativa al lado a.

2.

Mediana 4m a = b + c + 2bccosA

C

a/2

M

a/2

B

abe 4R

S = pr

ma: m ediana relativa a! lado a.

Vp (P - a )(p - b)(p - c)

3.

Inradio S = ra(p - a) = rb(p - b) = rc(p - c) S = 2R senAsenBsenC

s = irry ^ p

AREAS DE REGIONES CUADRANGULARES En térm ino de sus diagonales y el ángulo com pren­ dido entra estas.

d id 2 S = — sen6 2

84

| C

o l e c c ió n

El

Postulante

Las longitudes de los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos y el ángulo m ayor es el doble del m enor a; hallar la relación del lado m ayor al lado menor.

Donde: d, y d2: diagonales del cuadrilátero ABCD 9: m edida del ángulo form ado por las diagonales.

S: área del cuadrilátero ABCD

EJERCICIOS RESUELTOS 1.

En un triángulo ABC se conocen: B = 15°; A - B = 90° y el radio de la circunferencia circunscrita es igual a 3/5 m; calcular el lado opuesto al ángulo A.

R esolución:

Uno de los lados de un triángulo es el doble del otro y el ángulo com prendido mide 60°, hallar los otros dos ángulos.

A - B = 90°, como B = 15° => A = 105° De la ley de senos sabemos:

R esolución:

—5— = 2R; dato: R = § senA 5 /3\ 6 a = 2 (¡ ) s e n 1 0 5 ° = |

a= 2.

3 ( lé + i2 )

tt; 10

x ^

a senx

+ ^2)

—

m

sen(60 + x )

2a

senx

a

sen60 co sx | eos 60 s e n x . 2 senx senx

Hallar el valor de: V3

a(b2 + c2)cosA + b(c2 + a2) cosB + c(a2 + b2) cosC

2

cotx ■

Resolución:

_3_

(3 2

cot X = — 2

cotx = -Í3 => x = 30°

13

Sea: F = a(b2+ c 2)cosA + b(c2+ a 2)cosB + c(a2+ b 2)cosC

Luego los otros dos ángulos m iden 30° y 90°.

6.

F = (ab2cosA + ba2cosB) + (ac2cosA + ca2cosC) + (bc2cosB + cb2cosC) F = ab(bcosA + acosB) + ac(ccosA + acosC) + bc(ccosB + bcosC)

Los lados de un triángulo tienen longitudes x, ax, 2ax. Hallar el valor de a necesario para que el ángulo opuesto al lado de longitud x sea de 60°.

R esolución:

...(1)

Aplicam os ley de cosenos:

Por la ley de proyecciones: => F = abe + acb + bea

x2 = (ax)2 + (2ax)2 - 2(ax)(2ax)cos60° F = 3abc

x2 = a2x2 + 4a2x2 - 4a2x2( 1

Los datos del triángulo ABC tienen longitudes BC = 5; AC = 3 y AB = 6. Hallar el coseno del

a2 = 1

1 = 3a2

ángulo del vértice A

ñ.

3

R esolución: cosa =

1 = 2

cotx

en un triángulo cualquiera.

3.

2a_____ sen(60° + x)

32 + 62 - 52 2 (3 )(6 )

7.

2ax

Hallar el perímetro de un polígono regular de n lados, Inscrito en una circunferencia de radio r.

R esolución: cosa =

20 2 (3 )(6 )

5

Si el radio de la circunferencia es r, entonces su lado (L) es Igual a:

T

3.

L = 2 rse n (^r)

r ig o n o m e t r ía

|

Del gráfico, calcular x

a) V77 2 ti n

360

Donde: i

b) ¡18 c) ¡19 d) ¡20 e) ¡21 4.

Dado un triángulo ABC, se cumple:

9 2 /A a2 = b2 ■c - —be; calcular: cot — 3 \ 2 El perím etro (p) es igual a: p = 2nrsen(-S.) => p = 2 n r s e n ( i) En un triángulo rectángulo ABC (A = 90°), expresar sec2B + tan2B en térm inos de los

5.

a) ¡2

b) 2 /2

d) 4 /2

e) 5 /2

Dado un triángulo ABC, si a - b = 5; c = 2; calcular: E =

catetos b y c del triángulo.

R esolución:

A =

6.

-I + 2 /t> V c \ a /v a i

Calcular: cose a) ¡5518

2 a¿

b) 2/9 c) 5/8 a2 + 2bc

d) 3/8

c - b

b 2

c f _ _

A =

e) 155/3

2

7.

b2 + c2 + 2bc

(c + b)2

(c — b)(c + b)

( c - b ) ( c + b)

A =

Dado un triángulo ABC, donde se cumple: a _ b _ c eos A co sB cosC

c+ b c- b

[ "

¿qué tipo de triángulo es?

e j e r c ic io s

a) Equilátero b) Rectángulo c) O btusángulo d) Escaleno e) Rectángulo Isósceles

PRO PUESTO S' ] 8.

Dado un triángulo ABC, simplificar:

Dado un triángulo ABC, simplificar:

N _ senA + senB senB + senC

E = acscA - bcscB a) 0 d) -1 2.

c) 0,3

b) 0,2 e) 0,5

1 + 2se n B co sB cos2B - sen2B

A =

s e n (A + B) sen(B + C) - s e n (A + C)

a) 0,1 d) 0,4

1 + sen2B A = cos2B

c) - 2 / 2

b) 1 e) - 1 /2

Del gráfico, calcular x. a)2 a se n 6 b) 2acosG c) asenO d)a co se e) 4asen9

c) 1/2

a) 1 d) 2 9.

b) 1/2 e) 4

En la figura, calcular: sena a) /5 /5 b) 2 / 5 /5 c) /5 /1 0 d) 3 /5 /1 0 e) ¡5115

c- a b+ c c) 1/4

86

| C

10.

En un triángulo un lado mide 20 m y los ángu­ los adyacentes miden 37° y 16°. Calcular el perímetro.

o l e c c ió n

El Po stu lan te

a) 21 m d ) 142 m

11 .

d) 2

E = senA + senB + senC

17.

a) b2 d) ab

C

2

c) 1/7 d) 1/3

+ (a - b) cos:

e) 1/2

2

c) a2

18.

b) - 2 /7 e) 5/7

c) - 3 /7

c)

P(P-b) ab

p(p-b)

P(p-b)

P(P-b)

be

abe

19.

c) 15

Dado un triángulo ABC, reducir:

a) 1 d) 1/3

senC

c) 1/2

b) 2 e) 0

2 0 . En un triángulo ABC, se cumple: (a + b + c) (a + b - c) = ab

p(p-b)

15. Dado un triángulo ABC, simplificar: F = (tanA +tanB )(bsenC - csenB) a) 1 d) 1/3

b) 10 e) 25

a) 5 d) 20

D _ senA + senB

Dado un triángulo ABC, donde p: semiperíme/ R\ tro. Hallar: eos ;

a)

Dado un triángulo ABC, donde: a2 + b2 + c2 = 10 calcular: E = bccosA + accosB ■ abcosC

13. Se tiene un cuadrilátero inscriptible cuyos lados miden 1, 2, 3, y 4. Calcular el coseno form ado por los lados menores.

14.

De la figura, calcular: cos9

b) 1/4

b) c2 e) ac

a) - 1 /7 d) - 4 /7

c) 1,3

a) 1/5

Dado un triángulo ABC, simplificar: E = (a + b)2sen2

b) 2,4 e) 1,4

a) 1,2 d) 2,6

c)

b) 7 e) 6

Dado un triángulo ABC cuyo perímetro es 24, adem ás el radio de la circunferencia circuns­ crita al triángulo es 5. Calcular:

c) 40 m

Dado un triángulo ABC, donde a = 7; b = 8; c = 9. Calcular la m ediana relativa al lado AC. a) 4

12.

b) 22 m e) 46 m

16.

b) 2 e) 0

c) 1/2

hallar: cosC - 1 /2 - 4 /5

b) - 2 /3 e) - 1 /3

c) - 3 /4

1. a

5. d

9. b

13. e

17. e

2. b

6. c

10. d

14. b

18. a

3. c

7. a

11. b

15. e

19. e

4. a

8. a

12. b

16. b

20. c