4 vmbo-KGT Samenvatting Hoofdstuk 1
Macht 45 is een macht. Het grondtal is 4, de exponent is 5. 45 spreek je uit als 4 tot de vijfde macht. 45 betekent 4 × 4 × 4 × 4 × 4. 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024 Bij het berekenen van machten gebruik je de machttoets Je krijgt 45 = 1024. ¯74 = ¯7 × 7 × 7 × 7 = ¯2401 (¯7)4 = ¯7 × ¯7 × ¯7 × ¯7 = 2401 (¯7)3 = ¯7 × ¯7 × ¯7 = ¯343 Bijzondere exponenten 30 = 1 8,570 = 1 1.1
Machtsverbanden De formule inhoud etalagemodel = 20 × vergrotingsfactor3 gaat over een verband tussen de vergrotingsfactor en de inhoud van het etalagemodel. In de formule staat een macht, daarom is het een machtsverband. Andere voorbeelden van formules van machtsverbanden zijn: • afstand = 5t2,5 • a = 0,8t4 Bij een formule van een machtsverband kun je een grafiek tekenen.
1.1
Voorbeeld Teken de grafiek van de formule h = 10 + 0,8t2,5. h: hoogte in m t: tijd in uren Aanpak • Maak eerst een tabel, bijvoorbeeld van t van 0 tot 5. Voor t = 2 krijg je h = 10 + 0,8 × (2)2,5 = 14,5.
• • •
Teken een assenstelsel dat bij de tabel past. Teken de punten van de tabel in de grafiek. Verbind de punten door een vloeiende kromme te tekenen.
Uitwerking 1.1
Wortelverbanden De formule langste zijde in cm = 100 + a 2 gaat over het verband tussen de lengte van de rechthoekszijde en de langste zijde. In de formule staat een wortelteken, daarom is het een wortelverband. Andere voorbeelden van wortelverbanden zijn tijd = 0,45 Ă—
d
snelheid in m/s = 10 Ă—
25t
Bij een wortelverband kun je een grafiek tekenen.
1.2
Voorbeeld Bij de firma LAMPE maken ze ledlampen. De productiekosten berekenen ze met de formule B = 1000 + 300 a . a: aantal lampen B: bedrag in â‚Ź Teken de grafiek bij de formule. Aanpak Maak eerst een tabel en vul die in. Teken de grafiek met de punten uit de tabel. Uitwerking
1.2
Formule bij een exponentieel verband +1
BACTERIËN
+1
+1
+1
+1
t in minuten
0
1
2
3
4
5
aantal × 1000
25
50
100
200
400
800
×2
×2
×2
×2
×2
De groeifactor is 2. begingetal
aantal = 25 × 2t
de variabele is een exponent groeifactor
Er is een verband tussen de tijd en het aantal bacteriën. In de formule is de variabele t een exponent. Daarom is het een exponentieel verband. De formule bij een exponentieel verband ziet er zo uit: aantal = begingetal × groeifactortijd. 1.3
Voorbeeld BACTERIËN
+1
+1
+1
+1
+1
t in minuten
0
1
2
3
4
5
aantal × 1000
5
15
45
135
405
1215
×3
×3
×3
×3
×3
aantal = begingetal × groeifactortijd Het begingetal staat onder de 0. Dat is hier 5 × 1000 = 5000. De groeifactor is 3. aantal = 5000 × 3t
1.3
Toename Voorbeeld aantal = 20 × 4t t: tijd in weken Hoeveel insecten komen er bij in de vierde week? Aanpak De vierde week loopt van t = 3 tot t = 4. Bereken het aantal insecten voor t = 3 en t = 4. Bereken het verschil. Uitwerking t = 3 geeft aantal = 20 × 43 = 1280 t = 4 geeft aantal = 20 × 44 = 5120 toename in de vierde week = 5120 – 1280 = 3840 1.3
Van percentage naar groeifactor Neemt een hoeveelheid met 12% toe, dan krijg je 100% + 12% = 112%. De groeifactor is dan 112 : 100 = 1,12. Bij een toename van 5,3% krijg je 100% + 5,3% = 105,3%. De groeifactor is dan 105,3 : 100 = 1,053. Bij een toename van 0,8% hoort een groeifactor van 1,008.
1.4
Exponentiële afname Neemt een hoeveelheid met 16% af, dan krijg je 100% – 16% = 84%. De groeifactor is dan 84 : 100 = 0,84. Bij een afname van 7,2% krijg je 100% – 7,2% = 92,8% . De groeifactor is dan 92,8 : 100 = 0,928. Bij een afname van 0,6% hoort een groeifactor van 0,994.
1.4
Verdubbelingstijd en halveringstijd De tijd die nodig is om het begingetal te verdubbelen noem je de verdubbelingstijd. In de formule aantal = 240 × 1,2t is het begingetal 240. t = tijd in jaren Het dubbele van 240 is 480. De verdubbelingstijd op één decimaal bereken je zo. Bij t = 3,8 is het aantal nog net niet verdubbeld. Bij t = 3,9 is aantal net iets meer dan verdubbeld. De verdubbelingstijd is 3,9 jaren. 3,9 jaren = 3 jaren en 0,9 × 365 dagen = 3 jaren en 329 dagen. De verdubbelingstijd op twee decimalen is 3,81 jaren 3,81 jaren = 3 jaren en 0,81 × 365 dagen = 3 jaren en 296 dagen. De tijd die nodig is om het begingetal te halveren noem je de halveringstijd. 1.4