4 vmbo-KGT Samenvatting Hoofdstuk 2
Hoeken berekenen in een driehoek Om in een driehoek een hoek te berekenen gebruik je:
2.1
Symmetrie Er zijn drie soorten symmetrie.
2.1
SOSCASTOA De tangens van een hoek is de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde. O T
tan hoek =
overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde
A
In een rechthoekige driehoek kun je nog twee verhoudingen opschrijven. Dat zijn de sinus en de cosinus. Daarbij gebruik je de schuine zijde en een rechthoekszijde. sin hoek =
overstaande rechthoekszijde schuine zijde
cos hoek =
aanliggende rechthoekszijde schuine zijde
Met sinus, cosinus en tangens kun je zijden en hoeken in een rechthoekige driehoek berekenen. 2.2
Bij de rechthoekige driehoek DEF horen bij ∠D drie verhoudingen. overstaande rechthoekszijde EF 15 = = schuine zijde DF 17 aanliggende rechthoekszijde DE 8 = = cos∠D = schuine zijde DF 17 overstaande rechthoekszijde EF 15 = = tan∠D = aanliggende rechthoekszijde DE 8 sin∠D =
SOS CAS TOA
2.2
Voorbeeld (hoek berekenen) Bereken ∠A in ∆ABC.
?
Aanpak Van ∠A weet je de overstaande rechthoekszijde (O) en de schuine zijde (S). Gebruik dus
SOS
BC sin ∠A = AB Uitwerking 5 sin ∠A = 12 ∠A = 25° 2.2
Voorbeeld (zijde berekenen) Bereken BC in twee decimalen nauwkeurig. Aanpak Je weet ∠B. Je weet AB, de aanliggende rechthoekszijde van ∠B. Je moet BC berekenen, dus de schuine zijde.
CAS
Gebruik dus cos∠B. Uitwerking AB cos∠B = BC BC =
3 cos(25°) = BC
3 = 3,31 cos(25°)
2.3
Hellingspercentage Bij een steile helling staat vaak een waarschuwingsbord. Daarop staat het hellingspercentage. Bij het berekenen van het hellingspercentage gebruik je de tangens van de hellingshoek. hellingspercentage = tan hellingshoek Ă— 100% Hellingspercentages rond je af op een geheel getal.
2.3
Voorbeeld Bereken het hellingspercentage van de helling. Aanpak •
BC tan hellingshoek = AB
•
hellingspercentage = tan hellingshoek × 100%
Uitwerking 16 × 100% = 18% hellingspercentage = 87
2.3
Rechthoekige driehoeken maken Bij het berekenen van hoeken en afstanden kun je sinus, cosinus, tangens en de stelling van Pythagoras gebruiken. Dat kan alleen in rechthoekige driehoeken. De rechthoekige driehoek is niet altijd getekend. Teken de zijden die ontbreken er dan zelf bij. Die zijden lopen meestal horizontaal of verticaal.
2.4
Voorbeeld Bereken de diepte van het water. Aanpak • Maak een schets van de situatie. Zet de maten er bij die je weet en een vraagteken bij wat je moet berekenen. • Zorg voor een rechthoekige driehoek. • Kijk of je sinus, cosinus, tangens of de stelling van Pythagoras nodig hebt. Uitwerking AB sin 68° = 12,8 AB = 12,8 × sin 68° = 11,87 m diepte water = 11,87 meter 2.4
Pythagoras en goniometrie in de ruimte
In de balk is de lichaamsdiagonaal AG getekend. Je kunt AG berekenen met de verlengde Pythagoras. Je maakt dan een schema van Pythagoras met drie korte zijden. ∠A in ∆ACG bereken je met goniometrie.
Voorbeeld a Bereken AG. Rond af op één decimaal. b Bereken ∠CAG. Aanpak a Ga van A naar G via drie ribben. Bijvoorbeeld de blauwe route AB BC CG - Vul deze drie ribben en hun lengte in het schema in. - Maak het schema af en bereken AG. b Van ∠CAG weet je de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde, SOS, gebruik dus sinus. Uitwerking a AG = 77 = 8,8 cm b sin ∠CAG = ∠CAG = 27°
4 77
kwadraat
AB
= 6
36
BC
= 5
25
CG
= 4
16
AG
= ?
77
wortel
+
Coördinaten in de ruimte De parasol is 200 cm hoog. Vanaf de voet van de paal naar de top van de parasol ga je: • 500 cm in de x-richting • 225 cm in de y-richting • 200 cm in de z-richting. De top van de parasol heeft dus de coördinaten (500, 225, 200).
2.6
Coördinaten in de ruimte (vmbo-GT) Ruimte heeft drie dimensies, een lengte een breedte en een hoogte. Daarom heb je in de ruimte drie assen nodig, de x-as, de y-as en de z-as. Om een punt in de ruimte aan te geven gebruik je drie coördinaten, de x-coördinaat, de y-coördinaat en de z-coördinaat. Een assenstelsel in de ruimte heet een driedimensionaal assenstelsel. Voor punt F ga je vanuit de oorsprong • 5 stappen in de x-richting • 3 stappen in de y-richting • 4 stappen in de z-richting. Dus de coördinaten van F zijn (5, 3, 4). 2.6
Coördinaten in de ruimte (vmbo-GT) Ruimte heeft drie dimensies, een lengte een breedte en een hoogte. Daarom heb je in de ruimte drie assen nodig, de x-as, de y-as en de z-as. Om een punt in de ruimte aan te geven gebruik je drie coördinaten, de x-coördinaat, de y-coördinaat en de z-coördinaat. Een assenstelsel in de ruimte heet een driedimensionaal assenstelsel. Voor punt Q ga je vanuit de oorsprong • 5 stappen in de x-richting • 1,5 stap in de y-richting • 4 stappen in de z-richting. Dus de coördinaten van F zijn (5; 1,5; 4). 2.6