3 vmbo-KGT Samenvatting Hoofdstuk 3
Verbanden De formule inkomsten in ₏ = 20 + 4t beschrijft het verband tussen de tijd (t) en inkomsten. Hoe langer je werkt, hoe meer inkomsten je hebt. In de formule staan twee variabelen, t en inkomsten. Bij variabelen horen eenheden. Hier zijn dat uren en euro’s.
3.1
Van formule naar grafiek Bij de formule inkomsten in â‚Ź = 20 + 4t kun je een grafiek tekenen. In de formule staat het begingetal 20 en de stapgrootte 4. Een formule met een begingetal en een stapgrootte is een lineaire formule. De grafiek teken je zonder eerst een tabel te maken. Kies eerst de getallen bij de horizontale as. Janet werkt 40 uren per week. Daarom loopt de horizontale as tot 40. Bereken de inkomsten bij t = 40. Dat is 20 + 4 Ă— (40) = 180, dus de verticale as loopt tot 180. Het minimum van de grafiek is 20. Het maximum van de grafiek is 180.
3.1
+1
Gelijkmatige toename en afname t
0
+1
+1
1
2
3
l 20 25 30 35 In de bovenste rij zijn de stappen even groot. Dat is ook zo in de onderste rij. +5 +5 +5 Er is een gelijkmatige toename. De stapgrootte vind je door te berekenen wat er per stap van 1 bijkomt. In de tabel hierboven is de stapgrootte 5. In de tabel hiernaast is de toename in de bovenste rij steeds hetzelfde. In de onderste rij is de afname hetzelfde. We spreken dan van gelijkmatige afname.
+1
+1
+1
t
0
1
2
3
l
50
42
34
26
–8
–8
–8
3.2
Gelijkmatige toename en afname Je kunt onderzoeken of er in een tabel sprake is van een gelijkmatige toename of afname. Dat gaat zo: •
Je schrijft de toename of afname boven en onder de tabel.
•
Dan maak je steeds de deling
•
Als de uitkomst steeds hetzelfde is, dan is het een tabel met een gelijkmatige toename of afname. De uitkomst van de deling is dan de stapgrootte.
toename onder toename boven
Voorbeeld –6 = ¯3 2 –9 = ¯3 3 –3 = ¯3 1
+2
+3
+1
t
0
2
5
6
l
60
54
45
42
–6
–9
–3
De uitkomst is steeds gelijk, er is sprake van gelijkmatige afname. De stapgrootte is ¯3.
3.2
Formule kiezen bij een tabel Bij een tabel met gelijkmatige toename hoort altijd een lineaire formule. Soms moet je uit een aantal formules de juiste kiezen. voorbeeld Welke formule hoort bij de tabel ? Kies uit formule I of II. I tijd = 6 + 3a II tijd = a + 6
+2
+2
+2
a
0
2
4
6
tijd
6
8
10
12
+2
+2
+2
Aanpak 1. Neem formule I. Vul een getal in voor a. Begin met a = 0. Bereken de tijd. 2. Kijk in de tabel of de uitkomst klopt. 3. Klopt het niet? Kies dan de volgende formule. Klopt het wel, kies dan voor a een ander getal uit de tabel. 4. Als het weer klopt dan controleer je alle getallen. 5. Als ze allemaal kloppen heb je de juiste formule. 3.3
Formule kiezen bij een tabel voorbeeld Welke formule hoort bij de tabel ? Kies uit formule I of II. I tijd = 6 + 3a II tijd = a + 6 Uitwerking formule I: tijd = 6 + 3a a = 0 tijd = 6 + 3 × (0) = 6 klopt a = 2 tijd = 6 + 3 × (2) = 12 klopt niet Formule I hoort niet bij de tabel.
+2
+2
+2
a
0
2
4
6
tijd
6
8
10
12
+2
+2
+2
formule II: tijd = a + 6 a = 0 tijd = (0) + 6 = 6 klopt a = 2 tijd = (2) + 6 = 8 klopt a = 4 tijd = (4) + 6 = 10 klopt Formule II hoort bij de tabel. 3.3
Van tabel naar formule Bij een tabel met een gelijkmatige toename of afname kun je een lineaire formule maken. Je zoekt dan naar de stapgrootte en het begingetal. De formule ziet er zo uit:
3.3
+2
voorbeeld Bij de tabel hiernaast is de stapgrootte 3 = 1,5 2 Het begingetal is de lengte die hoort bij t = 0. Dat is hier 6 – 3 = 3.
+2
+2
t
2
4
6
8
lengte
6
9
12
15
+3
+3
+3
De variabele onder in de tabel is ‘lengte’. Daar begint de formule mee.
lengte
3
1,5
t
De formule bij de tabel is lengte = 3 + 1,5 × t
3.3
Van lineaire grafiek naar formule Bij een lineaire grafiek kun je een lineaire formule maken. De variabele die bij de verticale as staat komt voor het = teken. De variabele die bij de horizontale as staat komt achter het = teken. Lees het begingetal af op de verticale as. De stapgrootte vind je zo: • Zoek een roosterpunt op de grafiek dat je goed kunt aflezen. • Tel één naar rechts en kijk hoe je weer op de grafiek komt. • De formule die je krijgt ziet er zo uit
3.4
voorbeeld Aanpak 1 Bij de verticale as staat B. B= 2 Het begingetal is 5. B=5 3 De grafiek stijgt, dus + B=5+ 4 Je ziet 1 naar rechts en 5 omhoog, dus de stapgrootte is 5. B=5+5Ă— 5 Bij de horizontale as staat de t. B=5+5Ă—t
B 25 20 15 10
5 5
O
1 1
2
3
4
5
t
Uitwerking B = 5 + 5t 3.4
Stapgrootte berekenen In sommige grafieken is de stapgrootte niet precies af te lezen als je één stap opzij gaat. Dan bereken je de stapgrootte zo: 1 Kies twee punten op de grafiek waarvan je de coördinaten goed kunt aflezen. 2 Teken de horizontale en verticale lijnstukken die daarbij horen. 3 Bereken de stapgrootte met toename verticaal toename horizontaal 15 Hiernaast zie je: stapgrootte = = 3,75 4 stapgrootte =
B 25
•
20
15
15 10
5
•
O
4 1
2
3
4
3.5
t
Hetzelfde begingetal of dezelfde stapgrootte • Bij grafieken die evenwijdig lopen horen formules met dezelfde stapgrootte. • Sommige formules hebben hetzelfde begingetal . De grafieken van die formules beginnen op dezelfde hoogte op de verticale as. Voorbeeld Bij een rode grafiek hoort formule B = 15 + 2,5t a Een groene grafiek loopt evenwijdig aan de rode grafiek, maar als beginpunt (0, 7). Wat is de formule van deze grafiek? b Een blauwe grafiek heeft hetzelfde beginpunt als de rode grafiek en heeft als stapgrootte ¯0,75. Wat is de formule van deze grafiek? Aanpak a Gebruik dat evenwijdige grafieken dezelfde stapgrootte hebben. b Gebruik dat de gegeven grafieken hetzelfde begingetal hebben. Uitwerking a B = 7 + 2,5t b B = 15 – 0,75t
3.5