4 vmbo-KGT Samenvatting Hoofdstuk 3
Omgekeerd evenredig Het inhuren van een band voor een schoolfeest kost € 600. Hoe meer leerlingen er komen, hoe minder je per leerling betaalt.
a: aantal leerlingen Hierbij kun je een tabel maken en een grafiek.
In de tabel en de grafiek zie je: • als het aantal leerlingen tien keer zo groot wordt, dan wordt het bedrag per leerling tien keer zo klein. • als het aantal leerlingen drie keer zo groot wordt, dan wordt het bedrag per leerling drie keer zo klein. Dit noemen we een omgekeerd evenredig verband. De grafiek bij een omgekeerd evenredig verband is een hyperbool.
3.1
Formules bij een omgekeerd evenredig verband De formule P =
36 a
hoort bij een omgekeerd evenredig verband.
Je kunt de formule ook schrijven als P Ă— a = 36. Bij de twee formules hoort dezelfde tabel en dezelfde grafiek. De grafiek is een hyperbool. variabele
De formule P Ă— a = 36 is van de vorm variabele Ă— variabele = getal. variabele
getal
3.1
Evenredig en omgekeerd evenredig
3.1
Voorbeeld I bedrag in â‚Ź = 80 Ă— aantal dagen II
III
Aanpak I De formule is een lineaire formule. Het begingetal is 0. II Als het aantal personen drie keer zo groot wordt, dan wordt het bedrag drie keer zo klein. III De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong. Uitwerking I evenredig verband II omgekeerd evenredig verband III evenredig verband
3.1
Vuistregels en formules In de grafiek zie je de gemiddelde lengte in 2020 getekend. Die lengte is niet gemeten, maar voorspeld door deskundigen. Het was hen opgevallen dat de grafiek van de lengte heel veel leek op een lineaire grafiek. Toen hebben ze een lineaire formule gemaakt. lengte in mm = 1630 + 1,25t t: tijd in jaren na 1900. Voorbeeld Gebruik de formule om de lengte uit te rekenen van een 19-jarige in 2050. Geef commentaar. Aanpak In 2050 is t = 2050 – 1900 = 150 Vul t = 150 in de formule in. Denk na over het antwoord. Uitwerking lengte = 1630 + 1,25 × 150 lengte = 1817,5 mm = 1,82 m. Dat zou kunnen.
3.2
Trapjesgrafiek In de trapjesgrafiek zie je het verband tussen de borstomvang en de kledingmaat. De grafiek bestaat uit horizontale lijntjes. Dat komt omdat de uitkomst van de formule moet worden afgerond op een even getal. Daardoor hebben de tussenliggende maten geen betekenis en springt de grafiek steeds een trapje van 2 hoger. Voor mannen met een borstomvang van 101, 102, 103 en 104 geldt dat ze allemaal kledingmaat 52 hebben. Je ziet dat het trapje 52 al bij 100 begint, omdat iemand met een borstomvang van net boven de 100 cm (bijvoorbeeld 100,1 cm) al in maat 52 valt.
3.2
Stippengrafiek De resultaten van metingen kun je in een assenstelsel zetten. Bij elke meting hoort een stip. Zo krijg je een stippengrafiek. Soms lijkt de grafiek op een bekende grafiek, bijvoorbeeld een rechte lijn of een parabool. In de figuur zie je een stippengrafiek die lijkt op een bergparabool. Het verband tussen het aantal verkochte exemplaren en de winst in â‚Ź lijkt dus op een kwadratisch verband.
3.2
Gelijkwaardige formules De formule prijs = 15 + 2 × aantal komt op hetzelfde neer als de formule aantal =
prijs – 15 2
Dat controleer je zo: • Neem bijvoorbeeld aantal = 5 en bereken de prijs. Je krijgt prijs = 15 + 2 × 5 = 25. • Neem prijs = 25 in de andere formule. 25 – 15 Je krijgt aantal = 2
= 5.
Bij beide formules hoort bij aantal = 5 de prijs = 25. Controleer dat met nog een getallenpaar. Klopt het weer? Dan horen de formules bij hetzelfde verband. We noemen de formules gelijkwaardige formules. 3.3
Voorbeeld breedte stof = 1,5 × lengte rail + 20 breedte stof – 20 lengte rail = 1,5 Zijn de formules gelijkwaardig? Aanpak Kies een getal voor lengte rail en vul dat in de eerste formule in. Vul de uitkomst in de tweede formule in op de plaats van breedte stof. Om het zeker te weten vul je nog een keer een ander getal in. Klopt het weer dan zijn de formules gelijkwaardig. Uitwerking lengte rail 200 cm breedte stof = 1,5 × 200 + 20 = 320 cm 320 – 20 breedte stof 320 cm lengte rail = = 200 cm 1,5 Het klopt. 3.3
Voorbeeld breedte stof = 1,5 × lengte rail + 20 breedte stof – 20 lengte rail = 1,5 Zijn de formules gelijkwaardig? Aanpak Kies een getal voor lengte rail en vul dat in de eerste formule in. Vul de uitkomst in de tweede formule in op de plaats van breedte stof. Om het zeker te weten vul je nog een keer een ander getal in. Klopt het weer dan zijn de formules gelijkwaardig. Uitwerking lengte rail 300 cm breedte stof = 1,5 × 300 + 20 = 470 cm 470 – 20 breedte stof 470 cm lengte rail = = 300 cm 1,5 Het klopt twee keer, de formules zijn gelijkwaardig. 3.3
Vergelijkingen oplossen Voorbeelden van vergelijkingen zijn • 2x + 6 = 4 • 3 + 6x = 10 – x • 0,5x = 3 – 25x • x2 + 6x = ¯5 • 45 = 13 + 4 × tijd in uren Bij een vergelijking kun je een oplossing vinden. Die oplossing is een getal. Het oplossen van vergelijkingen kan op drie manieren: 1. Met grafieken 2. Met de balansmethode 3. Met inklemmen
3.4
1
Met grafieken
Vergelijkingen oplossen met grafieken doe je alleen als de grafieken al getekend zijn. Je kunt dan uit de grafiek het gevraagde punt of snijpunt aflezen. De horizontale coรถrdinaat is de oplossing van de vergelijking. Soms kun je het gevraagde punt niet precies aflezen. Dan ga je daarna nog verder zoeken met inklemmen.
3.4
Voorbeeld 1 bezorgkosten in € = 27,95 + 1,51 × gewicht in kg a Teken de grafiek. b Hoeveel weegt een pakje waarvoor je € 40 bezorgkosten betaalt? Aanpak a Maak een tabel met drie punten. Maak een assenstelsel en teken de grafiek. b De grafiek is getekend. Lees uit de grafiek af welk gewicht hoort bij € 40 bezorgkosten. Uitwerking a
b Bij € 40 hoort een pakje van 8 kg. 3.4
2
Met de balansmethode
Vergelijkingen met de balansmethode kun je gebruiken als je twee lineaire verbanden met elkaar moet vergelijken. Je stelt dan de twee formules aan elkaar gelijk en lost de vergelijking stap voor stap op. In de formules moeten wel dezelfde variabelen voorkomen.
3.4
Voorbeeld 2 QUICK: bezorgkosten in € = 2,75 × gewicht in kg DE KERRIJER: bezorgkosten in € = 27,95 + 1,51 × gewicht in kg a Bij welk gewicht zijn de bezorgkosten gelijk? b Hoeveel zijn de bezorgkosten dan? Aanpak a Stel de formules aan elkaar gelijk. Maak van gewicht in kg de letter g. Los de vergelijking op met de balansmethode. b Gebruik de oplossing om de bezorgkosten te berekenen. Uitwerking 27,95 + 1,51g = 2,75g – 2,75g – 2,75g Aan de rechterkant geen variabelen. 27,95 – 1,24g = 0 – 27,95 – 27,95 Aan de linkerkant geen losse getallen. ¯1,24g = ¯27,95 : ¯1,24 : ¯1,24 Delen door het getal dat voor de variabele staat. g = 22,54 kg a Dus bij 22,54 kg zijn de firma’s even duur. b bezorgkosten = 2,75 × 22,54 = € 61,99 3.4
3
Met inklemmen
Vergelijkingen oplossen met inklemmen doe je • als het oplossen met grafieken te onnauwkeurig is • als je een vergelijking hebt waarbij de balansmethode niet werkt, bijvoorbeeld een vergelijking met machten of met een deelstreep.
3.4
Voorbeeld 3 Hiernaast zie je de grafieken van hoogte = a2 – 6a + 8 en hoogte = 4 a: horizontale afstand in meters hoogte in meters Bereken de coördinaten van het snijpunt P. Rond af op één decimaal. Aanpak a2 – 6a + 8 = 4 Los op met inklemmen. Lees uit de grafiek af dat a ligt tussen 0,5 en 1. Bereken a met inklemmen. Uitwerking a = 0,7 geeft hoogte = 4,29 a = 0,8 geeft hoogte = 3,84 3,84 ligt dichter bij 4 dan bij 4,29, dus a = 0,8 De hoogte is 4, dus P(0,8; 4).
3.4