3 vmbo-KGT Samenvatting Hoofdstuk 9
Tangens In een rechthoekige driehoek kun je met tangens werken. Je kunt met tangens een hoek berekenen als je twee rechthoekszijden weet. voorbeeld Bereken ∠C. Aanpak overstaande rechthoekszijde • tan ∠C = aanliggende rechthoekszijde AB • tan ∠C = BC •
Bereken de hoek met TAN–1
Uitwerking 12 tan ∠C = 8 ∠C = 56° 9.1
voorbeeld Bereken LM in één decimaal. Aanpak • Je weet ∠L. • • •
overstaande rechthoekszijde tan ∠L = aanliggende rechthoekszijde KM tan ∠L = LM Vul in wat je weet.
Uitwerking tan 63° =
15 LM
LM = 15 : tan 63° = 7,6 m
9.1
Sinus en cosinus De tangens van een hoek is de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde. O T
tan hoek =
overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde
A
In een rechthoekige driehoek kun je nog twee verhoudingen opschrijven. Dat zijn de sinus en de cosinus. Daarbij gebruik je de schuine zijde en een rechthoekszijde. sin hoek =
overstaande rechthoekszijde schuine zijde
cos hoek =
aanliggende rechthoekszijde schuine zijde
Met sinus, cosinus en tangens kun je zijden en hoeken in een rechthoekige driehoek berekenen. 9.2
Bij de rechthoekige driehoek DEF horen bij ∠D drie verhoudingen. • • •
overstaande rechthoekszijde EF 15 = = schuine zijde DF 17 aanliggende rechthoekszijde DE 8 = = cos ∠D = schuine zijde DF 17 overstaande rechthoekszijde EF 15 = = tan ∠D = aanliggende rechthoekszijde DE 8 sin ∠D =
SOS CAS TOA
9.2
voorbeeld Bereken ∠A in ∆ABC. Aanpak Van ∠A weet je de overstaande rechthoekszijde (O) en de schuine zijde (S). Gebruik dus
SOS
BC sin ∠A = AB Uitwerking 5 sin ∠A = 12 ∠A = 25° 9.2
Zijde berekenen met sinus Weet je van een rechthoekige driehoek twee zijden, dan kun je de hoeken berekenen. Dat heb je in de vorige opgaven gedaan. Andersom kan ook. Weet je in een rechthoekige driehoek ĂŠĂŠn zijde en een scherpe hoek, dan kun je de andere zijden berekenen.
9.3
voorbeeld Bereken PQ. Aanpak Je weet ∀ ∠R = 48° • PR = 55 cm.
Schuine zijde Overstaande rechthoekszijde
Je moet berekenen PQ. Je gebruikt sinus.
SOS
55 is een heel getal, PQ rond je dus af op één decimaal. Uitwerking sin 48° =
PQ 55
PQ = 55 × sin 48° = 40,9 cm 9.3
Zijde berekenen met cosinus voorbeeld Bereken QR. Aanpak Je weet ∀ ∠R = 48° • PR = 55 cm.
Schuine zijde Aanliggende rechthoekszijde
Je moet berekenen QR. Je gebruikt cosinus.
CAS
Uitwerking QR cos 48° = 55 QR = 55 × cos 48° = 36,8 cm 9.3
Pythagoras, sinus, cosinus en tangens In rechthoekige driehoeken kun je zijden en hoeken berekenen. Welke methode je daarvoor gebruikt hangt af van de gegevens die je hebt. Er zijn drie situaties.
9.4
voorbeeld Van een ∆KLM is ∠L = 90°, KL = 2 cm en LM is 4 cm. a Bereken ∠K. b Bereken KM. Aanpak - Maak een schets. Zet de gegevens en het vraagteken erbij. Vergeet het rechte-hoekteken niet. - Onderzoek welke situatie het is. Bij a hoort de situatie: twee zijden bekend, hoek gevraagd. Gebruik SOS CAS TOA. Bij b hoort de situatie: twee zijden bekend, derde zijde gevraagd Gebruik de stelling van Pythagoras. - De gegevens zijn gehele getallen. Het antwoord rond je dus af op één decimaal. Uitwerking
9.4
Uitwerking a tan ∠K =
4 2
∠K = 63° b kwadraat
KL
= 2
4
LM
= 4
16
KM = ?
20
+
wortel
KM = 20 = 4,5 cm 9.4
Hellingspercentage Bij hellingen gebruik je niet alleen de hellingshoek, maar ook het hellingspercentage. hellingspercentage = tan hellingshoek Ă— 100% Hellingspercentages rond je af op een heel getal.
9.4
voorbeeld ∠A is de hellingshoek. Bereken het hellingspercentage. Aanpak • Je hebt de tangens van de hellingshoek nodig, dus de zijden AB en BC. AB weet je. BC bereken je met de stelling van Pythagoras. • Bereken het hellingspercentage met BC hellingspercentage = × 100% AB Rond af op een heel getal. Uitwerking BC2 = 10 900 BC = 10 900 10 900 tan hellingshoek = 540 10 900 × 100% = 19% hellingspercentage = 540
9.4