3 vmbo-KGT Samenvatting Hoofdstuk 5
Namen van zijden Een rechthoekige driehoek heeft twee rechthoekszijden. Die zijden vormen de rechte hoek. In ∆KLM zijn KL en KM de rechthoekszijden. Zijde LM is de langste zijde. Die zijde wordt ook wel schuine zijde genoemd. Tegenover ∠L ligt rechthoekszijde KM. Daarom is KM de overstaande rechthoekszijde van ∠L. Hoek L ligt aan de rechthoekszijde KL. Daarom is KL de aanliggende rechthoekszijde van ∠L.
5.1
Tangens
overstaande rechthoekszijde 6,2 tan ∠C = = aanliggende rechthoekszijde 4,5 0,726
=
Hoe steiler de helling is, hoe groter de tangens is. De tangens rond je af op 3 decimalen.
5.1
opgave 7
C
B A
a
b
tan ∠A =
110 550
= 0,2
tan ∠B =
200 200
=1
tan ∠C =
100 210
= 0,5
Hellingshoek B heeft de grootste tangens. Helling 1 is het minst steil. 5.1
Tangens op de rekenmachine Je rekenmachine heeft de tangens van alle hoeken in zijn geheugen. Je vindt die tangens met de knop tan38째 = 0,781
5.2
Hoek berekenen met tangens De tangens kun je gebruiken om een hoek te berekenen. overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde 7,4 tan ∠D = 3,6 tan ∠D =
∠D bereken je op de rekenmachine. Bij hoeken berekenen gebruik je de knop Die staat boven de knop Om ∠D te berekenen tik je in:
∠D = 64°
5.2
Hellingspercentage Bij een helling spreek je meestal niet van een hoek in graden, maar van een hellingspercentage. Het hellingspercentage kun je berekenen met de formule hellingspercentage = tan hellingshoek × 100%. Het hellingspercentage rond je af op een geheel getal.
opgave 25
hellingspercentage = tan 4° × 100% = 6,9… = 7% Hier hoort het verkeersbord met 7% bij. 5.2
Zijde berekenen In ∆PQR weet je dat ∠Q = 18° en PR = 4,5 cm. Rechthoekszijde QR bereken je zo tan 18° =
4,5 QR
QR = 4,5 : tan 18° = 13,8 cm.
5.3
opgave 33 a
tan 29° =
DF 180
DF = 180 × tan 29° = 99,77… = 100,0 meter. b
tan 19° =
5 QR
QR = 5 : tan 19° = 14,521…= 14,52 cm
5.3
opgave 40
a
tan 12° =
LM 158
LM = 158 × tan 12° = 33,5… = 34 meter b
kwadraat
korte zijde
KL = 158
korte zijde
LM =
33,58
langste zijde
KM =
?
24 964 1227,88 26 091,88…
+
wortel
KM = 26 091,88... = 161,5… Van de skibaan is lengte KM = 162 meter. 5.4
In de ruimte In ruimtefiguren kun je ook hoeken en lijnstukken berekenen. Je zoekt dan naar een rechthoekige driehoek in een zijvlak of een doorsnede. Met de stelling van Pythagoras en met de tangens kun je dan de gevraagde hoek of het gevraagde lijnstuk berekenen. voorbeeld Bereken ∠AHB Aanpak 1 ∠AHB ligt in ∆ABH. ∆ABH ligt in het diagonaalvlak ABGH. In dat diagonaalvlak is ∠A een rechte hoek. 2 Maak een schets van het diagonaalvlak. Zet er de maten bij die je weet. 3 Om ∠AHB te berekenen moet je de lengte van AH weten. AH is een diagonaal van zijvlak ADHE. Bereken AH met de stelling van Pythagoras. 4 Bereken nu ∠AHB in ∆ABH. 5.5
voorbeeld Bereken ∠AHB
5.5
opgave 50 a
In ∆ABC:
kwadraat
korte zijde
AB = 6
36
korte zijde
BC = 4
16
langste zijde AC = ?
52
+
wortel
AC =
52 cm
b tan ∠ACE =
5 52
∠ACE = 35°
5.5