2ª SÉRIE – ENSINO MÉDIO MATEMÁTICA APLICADA Unidade Curricular Eletiva Integradora
Formação integral para a vida e para o futuro.
Matemática Aplicada Para garantir novas abordagens dos assuntos mais relevantes da Matemática, trabalhados na BNCC da 1ª série, trazemos como solução pedagógica o Matemática Aplicada. Por ser uma Unidade Curricular Eletiva Integradora, utiliza estratégias de aprendizagens diversificadas e metodologias que favorecem o protagonismo juvenil, a reflexão, a interpretação do mundo e o trabalho em contextos distintos. Além disso, auxilia no desenvolvimento de habilidades específicas e na ampliação da prática de questões. Conta com breve explicação das principais teorias, exemplos para contextualizá-las, tarefas resolvidas (para que o estudante aprenda com a resolução) e exercícios de diversos processos seletivos do Brasil, para que haja a completude do aprendizado. Novas questões nas Unidades de Aprendizagem do Meu Bernoulli para o professor disponibilizar aos estudantes.
Seção Matematizando: Nessa seção, os estudantes poderão acessar, via QR Code, atividades digitais instigantes, dando a possibilidade de investigarem e de proporem solução(ões) utilizando os conhecimentos matemáticos. São simulações de problemas reais de outras Áreas do Conhecimento e até da própria Matemática. Isso permitirá aos estudantes um maior engajamento nos estudos e, consequentemente, na preparação para os processos seletivos e para a vida.
Aprimoramento dos conhecimentos matemáticos e ampliação da prática em questões.
O estudante terá acesso à resolução dos Exercícios de Aprendizagem e dos Exercícios Propostos, presentes no material.
Demonstrativo do material
CAPÍTULO
1 aguardando ILU
Geometria Plana
Algumas Relações Geométricas
PROIBIDA A IMPRESSÃO: uso exclusivo do GRUPO BERNOULLI. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida ou transmitida, por nenhuma forma e nenhum meio, seja mecânico, eletrônico, ou qualquer outro, sem prévia autorização por escrito pelo BERNOULLI SISTEMA DE ENSINO.
VERSÃO PRELIMINAR: SUJEITA A REVISÃO DE CONTEÚDO, DE LÍNGUA E DE LAYOUT.
Que tal analisarmos o formato dos smartphones? Já parou para pensar por que as telas dos smatphones são similares às figuras planas? E qual é o motivo desse formato também para os tablets? Por que não temos uma tela num formato circular? Para inciarmos os estudos geométricos e respondermos a essas e outras questões, ampliando as reflexões, vamos começar com alguns conceitos importantes. No estudo da Geometria Plana euclidiana, que se inicia neste capítulo, iremos potencializar a análise das relações geométricas já vistas com a aplicação dos conteúdos e exercícios de ampliação. Sabemos que a visão contínua da Geometria Plana nos permite facilitar a construção de soluções geométricas e desenvolver o olhar crítico para situações do cotidiano, tais como uma troca de azulejos do piso da cozinha e um cálculo da quantidade de ladrilhos necessária para preencher uma parede, pois estamos trabalhando com várias ferramentas que se completam e auxiliam nessas resoluções.
1. Relações angulares iniciais Os primeiros elementos práticos para o trabalho geométrico são os ângulos, que possuem uma variedade de nomes e propriedades que devem ser guardados, pois, na ciência, o processo de nomenclaturas tem a finalidade de formar conjuntos de elementos que possuem determinadas características, propriedades ou até mesmas ações comuns. Nesse sentido, vamos mostrar a classificação dos ângulos após sua definição apresentada a seguir.
Ângulo é a união de duas semirretas que possuem a mesma origem. O ângulo representado por AOB na figura a seguir é formado pelas semirretas OA e OB , cuja origem está no vértice simbolizado pelo ponto O. Na nomenclatura AOB, o vértice é destacado pelo circunflexo. Outra maneira de ilustrar esse ângulo usando OA OB. um processo simbólico será AOB
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A
O
B Bernoulli Sistema de Ensino
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
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II. A soma das medidas de dois lados de um
Considerando um triângulo isósceles de base BC com ângulos dos vértices B e C medindo 2x – 20° e x + 30°, calcular a medida do ângulo do vértice A.
triângulo sempre é igual à medida do terceiro lado. III. A soma das medidas de dois lados de um triângulo é sempre maior que a medida do
Resolução:
terceiro lado, que não foi somado.
Como o triângulo é isósceles de base BC, as medidas dos ângulos dos vértices B e C são iguais.
IV. Os triângulos retângulos possuem um único ângulo raso.
2x – 20° = x + 30° ⇒ x = 50°
V.
Logo, temos dois ângulos de medida 50° e o ângulo do vértice A, mas a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo é 180°. Assim:
chamado de isósceles. Resolução:
50° + 50° + A = 180° ⇒ A = 80°
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I.
Verdadeiro, pois, em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é
Seja ABC um triângulo isósceles de base BC, e as medidas de AB = 2x – 7 e AC = x + 5, encontrar o valor de x.
180 graus. II. Falso, pois, dessa forma, não se satisfaz a condição de existência do triângulo.
Resolução:
III. Verdadeiro, pois a afirmação corresponde exatamente à condição de existência
Como o triângulo é isósceles de base BC, as medidas dos lados AB e AC são iguais.
(a < b + c). IV. Falso, pois não existe triângulo com ângulo
2x – 7 = x + 5 ⇒ x = 12
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Um triângulo que possui três lados iguais é
raso (medida de 180 graus). Sobre as propriedades, características e resultados a respeito de triângulos, julgar os itens a seguir: I.
V.
Verdadeiro pois podemos chamar o triângulo equilátero de triângulo isósceles, tendo em vista que o triângulo equilátero possui três lados congruentes e, consequentemente, dois
A soma dos ângulos internos de um triângulo isósceles é 180°.
lados congruentes.
SOLUÇÕES RE
10
AY PL
BERNOULLI NO
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM
Calcule: A + B + C + D + E + F. E A
B D
F C
11
M8U1
(IFMT) As medidas dos ângulos internos de um triângulo são expressas, em graus, por 2x, 3x + 4° e 6x + 22°. Nessas condições, podemos afirmar que a medida do maior ângulo externo desse triângulo é A. 94°.
C. 144°.
B. 122°.
D. 120°.
E.
152°.
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PRELIMINAR: SUJEITA A REVISÃO DE CONTEÚDO, DE LÍNGUA E DE LAYOUT.
Considerando a figura a seguir, nota-se que os raios luminosos oriundos do Sol incidem sobre a superfície terrestre (considerada plana) com o mesmo ângulo. Prédio 2
Prédio 1
18 m α 20 m 3m
α
x Com base nessas informações, determine a medida da sombra do prédio 1, em metros.
16 G9NE
Antes dos modernos carros de bombeiros, usava-se um sistema de gaiola para a retirada de pessoas do alto das casas em chamas. Esse instrumento rudimentar trabalhava com o mesmo princípio de uma gangorra, pois era formado por uma estrutura metálica que se apoiava em duas hastes rígidas sobre uma carroça, que formam um triângulo equilátero com o segmento BC, para ser levada de forma mais rápida, conforme a figura a seguir: Haste para abaixar o dispositivo
5m
3m 2m
H
A C
B
A altura H, em metros, alcançada pelo sistema em relação ao nível da carroça é: 5 3 8 3 B. 8¹3 C. D. 5¹3 A. 3 3
17 8EU9
E.
3¹3
Através de uma câmara escura, uma pessoa olha para um quadro de 3 metros de largura pendurado na parede. A base do quadro está a 1,20 metros acima do solo, conforme a figura a seguir:
15 cm 3m
1,20 m
x
50 cm
Calcule a distância x, em metros, da câmera ao quadro sabendo que o quadro fornece uma imagem de 15 cm.
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Capítulo 1 VERSÃO
20 ZB4N
Uma das aplicações para o Teorema de Tales é encontrada nas cidades planejadas que buscam estabelecer os tamanhos das quadras e lotes a serem comercializados. Na figura a seguir, existem três terrenos que possuem frente para as ruas Jardim e Flores.
Rua Jardim
120 m
Lote A
40 m
Lote B
Lote C
Rua Flores
30 m
20 m
As laterais dos lotes são paralelas. Determine a medida das frentes dos lotes para a Rua Jardim, sabendo que a quadra será formada somente pelos três lotes e possui comprimento de 120 m.
5. Polígonos e quadriláteros notáveis O que as placas de sinalização “Pista sinuosa à esquerda” (A-3a) e “Parada obrigatória” (R-1) têm em comum? As placas de sinalização têm como finalidade indicar, advertir e orientar para, assim, manter o fluxo de trânsito em ordem e segurança. Observando o contorno dessas placas, é possível listar algumas características em comum, por exemplo, são planas, fechadas, simples e seu contorno é formado apenas por segmentos de retas.
es tty Imag hani / Ge shahro
sidneyd ealmeid a / Getty Images
Essas características definem os chamados polígonos, que são regiões planas limitadas por uma linha poligonal fechada. Nesse ponto devemos revisar os conteúdos relacionados aos polígonos e o caso particular dos quadriláteros notáveis. Para estabelecer um polígono, considere uma sequência de mais de dois pontos, A1 , A2 , A3 , ..., An, denominados vértices do polígono, de modo que não existam três pontos consecutivos colineares. O polígono de n lados é a união dos n segmentos consecutivos A1A2 , A2 A3 ,..., An − 1An e AnA1 com os segmentos chamados de lados. Bernoulli Sistema de Ensino
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01
Ø4YS
SOLUÇÕES RE
AY PL
NO BER ULLI NO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
03 EQSP
(IFSULDEMINAS–2019) Considere duas retas paralelas r e s e uma reta t, transversal a ambas, conforme a figura. A reta u também é transversal a r e s, mas forma com elas ângulos de medidas diferentes dos formados pela reta t. Além disso, as retas r, t e u passam pelo ponto A e os demais pontos de intersecção entre as retas são indicados por B e C. t A
98° C
A. 0,1 m.
D. 3,3 m.
B. 0,3 m.
E.
04
s
Considerando os ângulos de vértices B e C e suas medidas, indicadas na figura, calcule a medida do ângulo α, que tem vértice em A.
(UEG-GO) Um engenheiro quer medir a distância entre os pontos A e B, que estão em lados opostos de um rio. Para isso, ele marcou o ponto C de forma que os segmentos BC e AB formem um ângulo de 90° e verificou que BC = 48 metros e que BCA = α e BAC = β. Para auxiliá-lo, desenhou um triângulo retângulo A’B’C’ com as medidas e ângulos especificados na figura a seguir. C
A. 45°
α
B. 53°
Cl 10
α
C. 82° D. 127°
02 9XFG
β Bl
(IFRR) Foi doado a duas famílias em Roraima um loteamento com dois terrenos. Às famílias informaram as medidas das frentes de cada terreno, 60 m e 40 m, e a medida total dos fundos dos terrenos, de 120 m. Sabendo que as laterais dos terrenos são paralelas, quais os valores do fundo de cada terreno?
F1
F2
60 m
40 m
A. F1 = 75 m e F2 = 45 m. B. F1 = 48 m e F2 = 72 m. C. F1 = 60 m e F2 = 60 m. D. F1 = 70 m e F2 = 50 m.
8
Al
β B
A
A medida do segmento AB é de
05
E.
8,1 m.
C. 7,5 m. r
135° B
Assim, o comprimento de uma rampa, construída com 3 metros de altura de um andar para o outro e uma inclinação de 22°, considerando-se sen 22° = 0,37 e cos 22° = 0,92, se preciso, é de, aproximadamente,
u
α
(Unit-SE–2019) Em hospitais, devido ao uso das cadeiras de rodas para transportar alguns pacientes, são utilizadas rampas em vez de escadas, para se ir de um andar para o outro.
A. 52 metros.
C. 88 metros.
B. 64 metros.
D. 100 metros.
(Unifor-CE–2017) O trecho do mapa de uma cidade apresenta os quarteirões I e II. Os lados que dão para a rua A medem, respectivamente, 250 m e 200 m, e o lado do quarteirão I voltado para a rua B mede 40 m a mais do que o do quarteirão II para a mesma rua, como mostra a figura a seguir.
Rua A l
ll
Rua B
F1 = 72 m e F2 = 48 m. Bernoulli Sistema de Ensino
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