Trigonometia

Escola Secundária de Tavira Dr. Jorge Augusto Correia

Trigonometria

Alice Ferreira nº1, 10ºA3, Bruna Guerreiro nº3, 10ºA Filipa Santana nº 8, 10ºA3, Marta Mestre nº13 , 10º A3

Índice Introdução……………………………………………………………………………………………………..1 Desenvolvimento………………………………………………………………………………………...…...1 História da Trigonometria………………………………………………………………………………........1 Personagens importantes na Trigonometria…………………………………………………........2 Os ângulos e as suas amplitudes…………………………………………………………………..……....4 Medidas de amplitude de ângulos…………………………………………………………........................5 Como medir ângulos…………………………………………………………………………….…....5 Conceito de grau como medida de amplitude de ângulos…………………………………..................................................................................................5 Conceito de radiano como medida de amplitude de ângulos………………………………………….....6 Relação entre graus e radianos……………………………………………………………….....................6 Conversão de graus para radianos………………………………………………………………................7 Conversão de radianos para graus……………………………………………………………..………..….7 Exemplos……………………………………………………………………………….………..…......7 Trigonometria esférica e o que distingue entre da trigonometria plana………………………….………8 Fórmulas Trigonométricas……………………………………………………………..……..………….……8 Fórmula Fundamental da Trigonometria…………………………………………………………………….9 Teorema de Carnot ou Lei dos Cossenos…………………………………..……………………………….9 Lei dos Senos ou Analogia dos Senos………………………………………………………......................9 Relação entre a tangente de um ângulo agudo e o seu seno e cosseno do mesmo ângulo…………………………………………………………………………………………………............10 Funções Trigonométricas…………………………………………………………………………………….11 Funções Trigonométricas seno………………………………………………………….................11 Funções Trigonométricas cosseno………………………………………………………………....12 Funções Trigonométricas tangente……………………………………………….………………..13 Arcos notáveis das funções trigonométricas seno, cosseno, tangente……………..….……………...14 Funções Inversas…………………………………………………………………………………………….14 Função Trigonométrica arcsen……………………………………………………………………...14 Função Trigonométrica arccos……………………………………………………………………...15 Função Trigonométrica arctg…………………………………………………………….................15 Contributo da trigonometria no estudo de fenómenos de natureza periódica e a aplicação na tecnologia………………………………………………………………………………..………..…………...16 Astronomia…………………………………………………………………………………….……...............16 Medida do raio da terra………………………………………………………….…......................16

Física…………………………………………………………………………………..………………………17 Trabalho realizado por uma força constante…………………………………….……..…..17 Ciências médicas…………….………………………………………………..…………………………..…18 O balanço pélvico do andar feminino…………………………………………..…................18 Citações……………………………………………………………………………………….……………….20 Conclusão………………………………………………………………………………….………................21 Referências Bibliográficas……………………………………………………………….…………………..21

Índice de Ilustrações 1

Arquimedes…………………………………………………………....................................1

2

Hiparco………………………………………………………………………………………...1

3

Ptolomeu…………………………………………………………………………….......…....1

4

Euler…………………………………………………………………………………………....2

5

Viète…...……………………………………………………………………………………….2

6

Roberval……………………………………………………………………………………….2

7

Fouriever……………………………………………………………………………………....2

8

Johannes Muller……………………………………..………………………….………........2

9

Representação da trigonometria esférica………………………………………………….8

10

Representação da trigonometria plana………..………………………………………..….8

11

Representação de um triângulo retângulo……………………………………………...….8

12

Gráfico função seno…...…....……….…………………………………………………......11

13

Gráfico e sinais da função seno…………………...……………………………………....11

14

Gráfico de sinais da função seno…...………………………………………..…….……...12

15

Gráfico da função cosseno...……………………………………………...……………….12

16

Gráfico da função tangente…...…………………………………………………….……...13

17

Gráfico de sinais da função tangente……………………………………………………..14

18

Tabela de arcos notáveis………………………………………………………….………..14

19

Gráficos de função arscen……………………………………………………….…………15

20

Gráficos de função arccos………………………………………………………………....15

21

Gráficos de função arctg…………………………………………………………………...16

22

Cálculo para obter o raio da Terra………………………………………………………...17

23

Uma força constante F……………………………………………………………………..19

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Ciclo oscilatório da pélvis…………………………………………………………………..19

INTRODUÇÃO A origem da trigonometria não é precisa, surgiu da curiosidade do homem, na antiguidade remota, em medir distâncias inacessíveis em problemas relacionados com a Astronomia, a Agrimensura e a Navegação. O objetivo deste trabalho é propor uma abordagem no ensino da trigonometria, desde o conhecimento adquirido no 9º ano até ao final do ensino secundário, assim como, a história, os conceitos, as propriedades, as ferramentas de cálculo e valores práticos da trigonometria. Para isso, foi necessário recorrer a livros especializados no tema, o uso da internet para completar o nosso conhecimento e chamadas síncronas para realizar a estrutura e a realização do trabalho. No desenvolvimento do trabalho recorremos à plataforma Word e PowerPoint e, surgiram algumas dificuldades, tais como: a disponibilidade de todos os elementos na realização do trabalho, a procura da informação visto que não obtivemos um conhecimento alargado sobre matéria e devido ao afastamento social provocado pelo surgimento do vírus Covid-19.

História da Trigonometria A trigonometria (palavra vinda do grego TRI-três, GONO-ângulo e METRIEN-medida, ou seja, medida de três ângulos) estuda os ângulos e as relações entre amplitudes de ângulos e comprimentos, em figuras planas e tridimensionais. Apesar dos egípcios e dos babilónios terem utilizado as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos, para resolver problemas, foi a atração pelo movimento dos astros que impulsionou a evolução da Trigonometria. Daí que, historicamente a Trigonometria apareça muito cedo associada à Astronomia.

Os matemáticos da Antiga Grécia aprofundaram os trabalhos realizados por Egípcios e por Babilônios. É comum nomes como Tales de Mileto (624 a.C. -548 a.C.) que foi responsável pelo o Teorema de Tales, Euclides (330 a.C.-_) que escreveu o livro “Elemento” que contribui na trigonometria na medida da Lei dos Senos, dos Cossenos e das Tangentes, Arquimedes (287 a.C-212 a.C.) conseguiu calcular o perímetro de um círculo dado o raio e estabeleceu algumas fórmulas trigonométricas, Eratóstenes de Cirene (276 a.C-194 a.C.) conhecido por calcular a circunferência da Terra e Hiparco de Nicea (180a.C-125 a.C.) atribuiu nas primeiras tábuas Trigonométricas, estes estão associados ao desenvolvimento da trigonometria, sendo Hiparco de Nicea conhecido como o “pai da trigonometria”.

Ao desenvolver o trabalho de Hiparco, três séculos mais tarde, Cláudio Ptolomeu (90-168), produziu uma obra monumental composta por 13 volumes, Almagesto. Esta obra é 24 considerada a mais importante alguma vez publicada sobre trigonometria da Antiguidade.

Muitos dos teoremas da trigonometria atual já eram utilizados nesta obra. Ma só em meados do século XIV a trigonometria ganha autonomia, sendo no século XVI que surge o termo trigonometria. Muitos matemáticos ficaram naturalmente excluídos desta pequena nota histórica sobre a trigonometria, mas é ao matemático suíço Leonhard Euler (1707- 1783) que se deve o surgimento da trigonometria tal como hoje é entendida.

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Personagens importantes na Trigonometria Para além dos matemáticos já anteriormente referidos que contribuíram para o desenvolvimento da trigonometria, de seguida, estão apresentados outros que também colaboraram:

Fig.1- Arquimedes (288 a.C.- 212 a.C.)

Fig. 3- Ptolomeu (100 d.c - ?)

Fig. 2- Hiparco (190 a.C. -120 a.C.)

Fig. 4- Euler (1707- 1783)

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Fig . 5- Viète (1540 – 1603)

Fig.7- Fourier (1768 – 1830)

Fig.6- Roberval (1602 – 1675)

Fig.8- Johannes Muller (1436-1476)

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Os ângulos e as suas amplitudes Agudo O ângulo agudo mede menos do que 90 (< 90 º)

Raso O ângulo raso, também conhecido como meia volta, mede exatamente que 180º.

Reto

Ângulo Côncavo

O ângulo reto mede exatamente 90º (= 90º).

O ângulo côncavo com medida entre 180º e 360º.

Obtuso O ângulo obtuso mede mais do que 90º e menos do que 180º (90º>).

Ângulo completo O ângulo completo ou de uma volta mede exatamente 360°.

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Medidas de amplitude de ângulos O ângulo é a região compreendida entre dois segmentos de retas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. Os ângulos são medidos em graus (°) ou radianos (rad). Essa medida é a abertura entre os dois segmentos de retas.

Como medir os ângulos?

Para medi-los, precisamos do auxílio de uma ferramenta chamada transferidor, que pode ser encontrada facilmente em papelarias.

O transferidor já vem graduado com divisões de 1° em 1° Existem dois tipos de transferidor: de 180° e de 360°.

Conceito de grau como medida de amplitude de ângulos A unidade principal de medida de um ângulo é o grau (°) definido como sendo a amplitude do ângulo ao centro correspondente a cada uma das 360 partes da circunferência. O grau é muito utilizado na navegação, na astronomia e até mesmo na topografia. O grau pode ainda dividir-se em subunidades: 1°= 60' (1 grau = 60 minutos) 1' =60'' (1 minuto = 60 segundos)

Curiosidade: Para definirem o grau, os Babilónios dividiram o círculo em 360 partes iguais, considerando que este era o número aproximado de dias que um ano tem e porque o seu sistema de numeração era sexagesimal, enquanto o radiano pertence ao sistema circular.

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Conceito de radiano como medida de amplitude de ângulos A unidade de medida é o radiano (rad) que também é usado para a medição de ângulos na trigonometria. Em uma circunferência, o ângulo que correspondente a 1 radiano é aquele cuja abertura compreende um arco com comprimento igual ao raio da circunferência. De maneira geral, um comprimento C em uma circunferência de raio r define um ângulo α (em radianos) da seguinte maneira:

Em geral, os matemáticos, os físicos, entre outros preferem usar a medida dos ângulos em radianos, pois as fórmulas do cálculo são mais simples quando a variável independente x nas funções trigonométricas tais como por exemplo: sin x, cos ⁡ x, é expressa em radianos.

Relação entre graus e radianos Primeiro temos de considerar o comprimento total de um círculo de raio r:

C=2πr Chamando de α o ângulo que ele define (em radianos) teremos:

Portanto,um comprimento de circunferência define 2πrad. Em graus, dizemos que uma volta completa mede 360°.

Logo, 2πrad=360° e a partir daí também é possível concluir que: πrad=180°.

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Conversão de graus para radianos Uma medida em graus é diretamente proporcional a uma medida em radianos, portanto é possível aplicar a regra de três simples.

Consideremos uma medida α em graus e x em radianos. Utilizaremos como base a igualdade π =180°:

Fórmula:

Exemplos: ●

45 º

●

330º

Conversão de radianos para graus Como vimos π radianos = 180 º . Muitos ângulos em radianos ficam em função de π . Nestes casos tudo que precisamos de fazer é trocar o π por 180 º.

Exemplos:

Exemplos utilizando a regra de três simples, onde x é a medida em graus:

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Trigonometria esférica e o que distingue da trigonometria plana A trigonometria esférica é conhecida/consiste no estudo das propriedades dos triângulos em superfícies esféricas, onde tem as suas principais aplicações na astronomia e na navegação de longa distância, enquanto na trigonometria plana fundamenta-se nas aplicações na topografia e em quase todas as áreas da física (propagação da luz e do som, na corrente elétrica).

Fig.9- Representação da trigonometria esférica

Fig.10- Representação da trigonometria plana

Fórmulas trigonométricas As fórmulas trigonométricas consistem nas relações entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo (fig.10).

Fig.11- Representação de um triângulo retângulo

Fórmula Fundamental da Trigonometria A fórmula fundamental da trigonometria consiste na relação básica/no conhecimento dos valores do cosseno e do seno, sem ser necessário saber os valores das amplitudes dos ângulos.

A partir da fórmula anterior resultam naturalmente estas duas: e

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Teorema de Carnot ou Lei dos Cossenos O teorema de Carnot ou lei dos cossenos aplica-se geralmente quando se tem conhecimento da medida do comprimento dos três lados ou a medida do comprimento de dois lados e a medida da amplitude do ângulo por eles formado.

Lei dos Senos ou Analogia dos Senos A lei dos Senos ou analogia dos senos aplica-se geralmente quando se indicada a medida do comprimento de um dos lados e a medida de dois ângulos internos.

Relação entre a tangente de um ângulo agudo e o seno e o cosseno do mesmo ângulo A relação entre a tangente de um ângulo agudo e o seno e o cosseno do mesmo ângulo é caracterizada pela utilização de duas fórmulas, a fórmula fundamental da trigonometria e a tangente.

e

A partir das duas fórmulas anteriores conclui-se a seguinte fórmula:

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Tg2α + 1= co1s2α A fórmula deduzida é formada a partir de alguns cálculos, reparemos:

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Funções trigonométricas As funções trigonométricas são funções angulares obtidas através do auxílio do círculo trigonométrico.

Destacamos as principais funções trigonométricas: Função Seno; Função Cosseno; Função Tangente.

Função Trigonométrica Seno

Seno define-se como Sendo assim função trigonométrica de seno é dada f(x) = sen x.

Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: D=IR Conjunto de imagem: A função seno possui um conjunto de imagem dentro do intervalo [-1, 1], isto é, -1 ≤ sen(x) ≤ 1, onde x é um número real. Ou seja, a função admite o valor máximo de 1 e o valor mínimo de -1.

Gráfico:

Para se construir o gráfico apenas se escreve os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano. Como a função seno é uma variação entre -1 e 1, por esse motivo a função seno é chamada de função periódica.

Fig.12- Gráfico função seno

Período: O período é a curva do gráfico no intervalo 0 a 2π, e é chamado de senoide. Então, o período do seno é 2π.

Paridade: A função seno é ímpar, pois é dada por sen(-x) = – sen(x).

Sinal: Quando a função é representada por um círculo os quadrantes I e II são positivos e os quadrantes III e IV são negativos. Já no gráfico podemos ver quando são positivos, negativos e quando também são zero.

Fig.13- Gráfico de sinais da função seno

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Função trigonométrica cosseno Cosseno define-se como

Sendo assim a função cosseno é dada f(x)= cos x.

Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: D=IR Conjunto de imagem: Como na função seno, a função cosseno admite um valor máximo igual a 1 e um valor mínimo de -1, sendo assim, o conjunto imagem para f(x) = cos(x) é o intervalo [-1, 1].

Gráfico:

Fig.14- Gráfico de sinais da função seno

Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano. E novamente tal como a função seno, a função cosseno é uma variação entre -1 e 1, e por esse motivo a função cosseno é chamada de função periódica.

Período: O período é a curva do gráfico no intervalo 0 a 2π, e é chamado de cossenóide. Então, o período da função é 2π.

Paridade: Função cosseno é par, pois é dada por cos(-x) = cos(x) .

Sinal: A função quando é representada por um círculo tem sinal positivo nos quadrantes I e IV e sinal negativo nos quadrantes II e III. Já no gráfico podemos ver quando são positivos, negativos e quando também são zero.

Fig.15- Gráfico da função cosseno

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Função trigonométrica tangente Tangente define-se por

Sendo assim a função tangente é dada como f(x) = tan(x). A função tangente para um número real x é a razão entre o seno e o cosseno desse número. É uma função ilimitada, ou seja, não é limitada por um intervalo como as funções seno e cosseno, mas é periódica.

Domínio: A função tangente existe, se, e somente se, o cos(x) ≠ 0, pois a função apresenta uma peculiaridade. O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeraram o cosseno.

Em linguagem matemática: D = {x ∈ R | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z}.

Conjunto de imagens: Como a função é ilimitada então o valor de x pode assumir qualquer valor, logo o conjunto de imagens é IR. Gráfico: Esta representação chama-se “Tangentoide”, como a função é ilimitada, ou seja, não está dentro de um intervalo, faz com que a mesma seja uma função periódica o que quer dizer que ocorre em determinados períodos.

Períodos: O período da função é π.

Paridade: A função tangente é par, pois é dada por tan(-x) = – tan(x) Sinal: A função quando é representada por um círculo tem sinal positivo nos quadrantes I e III, e sinal negativo nos quadrantes II e IV. Já no gráfico podemos ver quando são positivos, negativos e quando também são zero.

Fig.16- Gráfico da função tangente

Fig.17- gráfico de sinais da função tangente

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Arcos notáveis das funções trigonométricas seno, cosseno, tangente Os arcos notáveis são valores, em radianos, para os ângulos 0 °, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°.

Fig.18.-Tabela dos arcos notáveis

Funções inversas Função trigonométrica arcsen A função inversa de seno (f(x) = sen x) é arcsen (f(x)= sen-1 x).

Domínio: Para ser uma função o domínio tem de ser [-1, 1]. Conjunto de imagens: Para ser novamente uma função o conjunto de imagens corresponde a [-π /2, π /2].

Gráfico: O gráfico ficará ao contrário da função seno.

Fig.19- Gráficos da função arscen

Exemplos: De acordo com a tabela exposta anteriormente o ângulo 30º no seno corresponde 1/2

e

radiano π /6 então: arcsen (1/2) = p /6 radianos porque sen (p /6) = 1/2 14

Função trigonométrica arccos A função inversa de cosseno (f(x)= cos x) é arccos (f(x)=cos-1 x).

Domínio: Para ser considerada uma função o domínio tem de ser [–1,1].

Conjunto de imagens: Para ser novamente uma função o conjunto de imagens corresponde a [0, ].

Gráfico:

O gráfico ficará ao contrário da função cosseno.

Exemplo: De acordo com a tabela mostrada anteriormente, o ângulo 30º no cosseno corresponde

e radiano π /6 então:

/6 radianos porque cos (π /6) = (

Fig.20- Gráfico da função arccos

Função trigonométrica arctg A função inversa de tangente é (f(x) = tan x) é arctg (f(x)=tan-1 x).

Domínio: Neste caso o domínio vai ser IR. Conjunto de imagens: Para ser considerada uma função o conjunto de imagens tem de ser (– /2).

/2,

Gráfico:

Fig.21- Gráfico da função arctg

O gráfico ficará assim.

Exemplo: De acordo com a tabela mostrada anteriormente o ângulo 30º na tangente corresponde √3/3 e radiano π /6 então: Arctg (

/6 radianos porque tan (π /6) =

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Contributo da trigonometria no estudo de fenómenos de natureza periódica e aplicação tecnológica ASTRONOMIA Através da trigonometria foi possível calcular o raio da Terra, medir as distâncias Terra-Lua e TerraSol. Esta contribuiu ainda na descrição da órbita dos planetas ao redor do Sol, utilizando para isso, conhecimento sobre elipse.

Medida do raio da Terra Sobe-se a uma torre de altura h e mede-se o ângulo θ que faz a reta BC do horizonte de B com a vertical BO do lugar.

Figura 22 – Cálculo para obter o raio da terra

Como o triângulo OBC é retângulo em C, tem-se que:

Dessa forma, o raio R da Terra é dado por:

Se obtivermos as medidas de h e θ e uma tabela de senos ou uma calculadora científica, será então possível calcular o raio R da Terra.

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Iremos supor uma torre de altura h = 102, 83 metros, resta apenas medir o ângulo θ da linha do horizonte. Utilizando o instrumento "Estação Total", primeiramente medimos o ângulo complementar ao ângulo do horizonte. Assim, obtemos um ângulo de aproximadamente 0, 32◦. Dessa forma, o ângulo que faz a reta BC do horizonte de B com a torre é θ = 90 ◦ − 0, 32◦ = 89, 68◦

Portanto, substituindo

θ

= 89, 68◦ e h = 102, 83 m na equação, e utilizando uma calculadora científica,

segue a seguinte conta:

Transformando essa medida em quilômetros, obtemos R = 6593, 1 km. Ou seja, o raio da Terra obtido é aproximadamente 6593,1 km.

FÍSICA A aplicação da Matemática na Física sempre foi muito rica, e particularmente, a trigonometria é muito utilizada no estudo de muitos fenômenos dessa área. Assim, nesta seção, será descrito a aplicação da trigonometria no estudo do trabalho realizado por uma força constante.

Trabalho realizado por uma força constante O trabalho W realizado por uma força constante, sobre um corpo em movimento retilíneo no sentido dessa força, é definido como o produto do módulo da força pelo módulo do deslocamento d da partícula. Isto é:

Onde a unidade de trabalho é o joule (J) e o da força é o Newton (N)

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Se uma força constante

, inclinada de um ângulo θ com o eixo x, atua sobre uma partícula cujo

deslocamento naquele instante é d , então o trabalho realizado por essa força durante o deslocamento é:

Figura 23 – Uma força constante F

Exemplo: Para puxar um caixote de 50 kg num piso sem atrito, um operário aplica uma força de 210 N, dirigida 45◦ acima da horizontal. Se o caixote se desloca de 3,0 m, qual o trabalho realizado pelo operário sobre o caixote?

Basta então substituir os dados na equação. Dessa forma, obtém-se:

Portanto, o trabalho realizado pelo operário é de 445,5 J.

CIÊNCIAS MÉDICAS O balanço pélvico do andar feminino Pélvis é a cavidade na parte inferior do tronco onde se situa o reto e uma grande parte dos aparelhos urinários e genitais. É bem conhecido o balançar rítmico da pélvis feminina, que difere bastante do andar masculino. Isto acontece, devido a determinadas diferenças anatômicas entre os dois sexos.

Quando a mulher se desloca no seu andar, a vara oscilará em torno de seu centro para cima e para baixo, acompanhando o ritmo da pélvis.

Fig.24– Ciclo oscilatório da pélvis

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Supondo que o movimento se complete ao final de 1,5 segundos, isto é, seu período T é de 3 2 segundos por ciclo. Obtemos a expressão:

Também pode-se ver que a frequência f dada por f = 1 T é aproximadamente 0,67 ciclo por segundo.

Suponha que a amplitude seja de 18◦, ou seja, e considere x(t), o ângulo entre a vara que está presa em seu centro e o eixo vertical.

A partir do exposto, temos que x poderia ser expresso por:

Exemplo: Qual o menor instante, em que a vara (linha imaginária) e a coluna vertebral de uma mulher formam 15◦, enquanto esta se desloca?

Queremos saber o menor valor de t na equação, quando x(t) = 15 ◦ = π 12 Substituindo esse valor na equação dada, obtemos:

Logo, o menor instante, em que a vara (linha imaginária) e a coluna vertebral de uma mulher formam 15◦ enquanto ela anda, é em aproximadamente 0,14 segundos.

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Apresenta-se neste trabalho muitas aplicações da trigonometria nas várias áreas do conhecimento. Com isso, viu-se a importância de se ter um bom conhecimento teórico da trigonometria para o entendimento das aplicações.

Muitas das aplicações da trigonometria apresentadas neste trabalho, são devido a uma propriedade fundamental das funções trigonométricas, ou seja, pelo fato delas serem periódicas. Por isso, foram especialmente usadas para descrever os fenômenos de natureza periódica, oscilatória ou vibratória, os quais existem no universo, como o movimento dos planetas em torno do Sol, o raio do planeta terra, o nível das marés, etc.

Citações Arquimedes: "É indispensável citar os autores e obras cujos textos estão na fase de desenvolvimento do trabalho" ”Estou convencido de que (o método dos teoremas mecânicos) não será de grande utilidade para a matemática; pois aprendi que alguns, tanto de meus contemporâneos quanto de meus sucessores, poderão, por meio do método estabelecido uma vez, descobrir outros teoremas que ainda não me ocorreram. ”

Ptolomeu "Tudo o que é difícil de alcançar é facilmente atacado pela generalidade dos homens."

"A duração da vida ocupa o primeiro lugar entre as pesquisas sobre os eventos após o nascimento."

Viète “Existe uma certa maneira de procurar a verdade na matemática que, segundo se diz, Platão descobriu, Theon denominou-a de análise e definiu-a como a suposição daquilo que é procurado como se fosse admitido e trabalhando através de suas consequências para o que é admitido como verdadeiro. Isso se opõe à síntese, que é assumir o que é admitido e trabalhar com suas consequências para chegar e entender o que é procurado. "

Euler “Quantas vezes os nossos raciocínios são errados! Atrevo-me a afirmar, que somos muito mais frequentemente enganados por estes do que por nossos sentidos. Mas isso quer dizer que nossos raciocínios são sempre falaciosos, e que não podemos ter nenhuma dependência de qualquer verdade descoberta por nós pela compreensão“ “Matemáticos têm tentado em vão, até o dia de hoje, descobrir alguma ordem na sequência de números primos, e nós temos razões para acreditar que é um mistério no qual a mente humana jamais penetrará. “

Fourier “A ampliação dos direitos das mulheres é o princípio básico de todo progresso social. “ “Todos esses caprichos filosóficos, a que se chamam deveres não têm qualquer relação com a natureza. “

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Conclusão Neste trabalho foi abordado o tema Trigonometria, onde referimos de uma forma breve a história, os matemáticos que mais contribuíram para o desenvolvimento da Trigonometria, alguns conceitos relacionados, propriedades, ferramentas de cálculo e valores práticos da trigonometria. Através do estudo da história é possível ter uma melhor perceção do desenvolvimento da trigonometria até à atualidade, onde as funções trigonométricas são definidas usando o círculo trigonométrico unitário, sendo que isso não diminui o uso de frações, mas na notação decimal, que nos dias que correm são diferente da dos gregos, o que torna o seu uso mais simples. Foram cumpridos todos os objetivos propostos, apesar das dificuldades que surgiram ao longo do desenvolvimento do trabalho.

Este trabalho foi importante para o nosso conhecimento e a aprofundamento sobre a Trigonometria, uma vez que alguns conceitos, já nos tinham sido solicitados em anos anteriores. Permitiu-nos também desenvolver as nossas competências a nível escolar e pessoal, na investigação, seleção, organização e comunicação da informação.

Referências Bibliográficas https://pt.slideshare.net/ailtonbarcelos/trabalho-trigonometria https://matematicabasica.net/geometria-plana/ https://matematicabasica.net/angulos/ http://pedronoia.pt/11ano/Mat11S.pdf https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica https://matematicabasica.net/funcoes-trigonometricas/ https://www.coladaweb.com/matematica/funcoes-trigonometricas http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/func/triinv.htm https://pt-pt.khanacademy.org/math/trigonometry/trig-equations-and-identities/inverse-trig-functi ons/a/inverse-trigonometric-functions-review https://www.obaricentrodamente.com/2014/02/func-trig-arcoseno.html http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm22/historia.htm https://www.matematica.pt/util/formulas.php https://citacoes.in/pesquisa/?h=Fourier+ Raposo, Daniela e Gomes, Luzia (2019), Expoente 11 - Volume 1. Lisboa, ASA

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