Problemas de ingenio by JULIA AGUILAR

Dpto. Matemáticas

Nombre y Apellidos:_________________________________Curso:

Hora de comienzo:

Hora de finalización:

Grupo:

Tiempo:

E N I G M A 1. "LOS CUATRO TRESES" Escribir los números naturales del 1 al 10 utilizando, en cada caso, cuatro treses y las operaciones suma, resta, multiplicación y división. SOLUCIÓN: 3 1 3 3⋅3 6 = 3+ 3

1= 3−3+

3⋅3 − 3 3 3 7 = 3+3+ 3 2=

3+3+3 3 3 8 = 3⋅3 − 3

3⋅3 + 3 3 3⋅3⋅3 9= 3 4=

3 3 3 10 = 3 ⋅ 3 + 3 5 = 3+3−

2. “LOS HUEVOS" Un hombre posee 6 cestas con la siguiente cantidad de huevos cada una: 5, 6, 12, 14, 23 y 29. En unas cestas hay huevos de paloma y en otras de gallina. El hombre nos dice: “Si vendo esta cesta me queda doble número de huevos de gallina que de paloma”. ¿A qué cesta se refiere? SOLUCIÓN: Se refiere a la cesta de 29 huevos. En total suman 89 huevos si restamos 29 nos quedan 60 (Tiene que ser una cesta impar de huevos para que la resta sea par). Entonces hay 40 huevos de gallina que son las cestas de 5, 12 y 23 y 20 huevos de paloma que son las cestas de 6 y 14.

CURSO: 2.011-2.012

ANTONIO M. RUIZ CERVERA

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3. "CUANTAS MONEDAS GASTAR" La buena de la señora Carmen Fuentes pretendía pasar de largo junto a la máquina de chicles sin que sus gemelitos se dieran cuenta. Primer gemelo: ¡Mamá yo quiero un chicle! Segundo gemelo: ¡Mamá, yo también. Y lo quiero del mismo color que el de Rafalito! La máquina contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules. ¿Sabrás calcular cuántas monedas ha de tener a mano la señora Fuentes para estar segura de conseguir dos iguales?. SOLUCIÓN: Necesita tener a mano 4 monedas, ya que las tres primeras bolas podrían ser blanca, roja, azul o blanca, azul, roja, o azul, blanca, roja, o azul, roja, blanca o roja, blanca, azul o roja, azul, blanca. En la cuarta moneda ya se repetiría el color.

4. “LAS BODAS DE RUBÍ” En la celebración de las bodas de rubí (40 años de casados), Guillermo y Ruth invitaron a toda su familia a una fiesta. Pensando en sus largas vidas juntas, Guillermo recordó cómo se enamoró de la joven cuando ambos compartían un pupitre, hacía muchos años. Mirando a sus hijos y sus familias, se preguntó si volverían a estar todos juntos en el aniversario de las bodas de oro, y así especulando se dio cuenta que la diferencia entre el cuadrado de su edad y el cuadrado de la edad de su esposa era exactamente igual al cuadrado del número de sus hijos. ¿Qué edad tenían Guillermo y Ruth cuando se casaron, y cuántos hijos tuvieron? SOLUCIÓN: Sea x = edad actual del padre, y = edad actual de la madre, n = número de hijos. x − y = 2 x2 − y2 = n2 . ( x − y ) ⋅ ( x + y ) = n 2 → Si n = 10 →  , x = 26, y = 24  x + y = 50 imposible pues llevan 40 años de casados, por tanto, n > 10, x − y = 1 Si n = 11 →  , x = 61, y = 60 , por tanto, cuando se casaron  x + y = 121 Guillermo tenía 21 años y Ruth 20 y tienen 11 hijos. CURSO: 2.011-2.012

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852 – 842 = 132 cumplen eso. La segunda ecuación puede ser eliminada, puesto que daría una familia de 13 hijos nacidos de una pareja que se casó a los cuarenta.

5. “LA LETRA PEQUEÑA”. La letra grande de cada cuadro tiene una relación lógica con la letra pequeña. Según esto, ¿cuál es la letra pequeña que falta en el último cuadro?

SOLUCIÓN: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z Hay que contar el mismo número por delante que por detrás, se trata, por tanto, de la S.

6. “CUADRADOS CONSTRUIDOS CON CERILLAS” a) Retira tres cerillas de las quince que forman esta figura, de manera que sólo queden tres cuadrados iguales. b) Intenta retirar sólo dos cerillas y que queden también tres cuadrados. (Esta vez no se exige que los cuadrados sean del mismo tamaño) SOLUCIÓN: Quitando dos:

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Quitando tres:

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7. "TRIÁNGULO NUMÉRICO" En los círculos de este triángulo coloca las nueve cifras en forma tal que la suma de cada lado sea 20.

SOLUCIÓN:

8. “EN SEIS FILAS” Distribuir 24 personas en seis filas de modo que en cada fila haya 5 personas. SOLUCIÓN:

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9. “EL ATASCO.

En un pequeño aparcamiento subterráneo, los coches están aparcados como si fueran sardinas. Tan apretados están , que la única manera de mover los coches es dando marcha adelante o marcha atrás. El coche número 1 de la figura pertenece al director gerente de la empresa dueña del aparcamiento, ¡y tiene mucha prisa por salir! Ayuda al encargado a encontrar el número mínimo de coches que deben ser movidos para que el director pueda salir del atasco. SOLUCIÓN: Supongamos que la anchura de un coche es de una unidad y que su longitud es de 2 unidades. Si nombramos con las letras N, S, E y O al desplazamiento hacia arriba, abajo, derecha e izquierda respectivamente, entonces el coche 1 será “liberado” con los siguientes movimientos: 3 (O1), 4(N1), 5 (E2), 11(N2), 7(N2), 6(N1), 8(O1), 12(O4), 13(N1), 10(E1), 1(S6).

10. “LA SUMA” En esta suma cada letra representa un número. No puede haber dos letras que representen el mismo número ni dos números distintos representados por la misma letra. Averigua que número corresponde a cada letra. DOS DOS DOS + DOS --------------OCHO

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SOLUCIÓN:

623 623 623 623 ------------2492

Nota: hay otras soluciones

11. "CINCO TROZOS DE CADENA" A un herrero le trajeron cinco cadenas de tres eslabones cada una y le encargaron que las uniera formando una sola cadena. ¿Cuál es el número mínimo de eslabones que habría que abrir y volver a soldar para realizar el trabajo?

SOLUCIÓN:

3 eslabones. Abrimos los 3 eslabones de uno de los trozos, por ejemplo del 1. Unimos con uno de ellos el trozo 2 y el 3, con otro el 3 y el 4 y con el último el 4 y el 5.

12. “LA HERENCIA” Un padre desea dividir el terreno de la figura entre sus cuatro hijos, pero de tal forma que a todos les toque la misma forma geométrica. ¿Cómo puede hacerlo? SOLUCIÓN:

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13. “LA TARDE DE AYER” ♦ Ayer por la tarde Juan fue a un concierto ♦ Guillermo pasó algún tiempo con Ana ♦ Jaime no vio a Carmen ♦ María estuvo en el cine ♦ Carmen estuvo en el teatro ♦ Un chico y una chica fueron juntos a un espectáculo ♦ Estaban también Marcos e Isabel ¿Quién estuvo con quién y dónde? SOLUCIÓN: En una tabla de doble entrada vamos poniendo “sí” si estuvieron juntos y “no” si no lo estuvieron: C ANA CA AR RM ME EN N MARÍA ISABEL (teatro) (cine) JUAN No no No Sí (concierto) (concierto) GUILLERMO Sí No No No (espectáculo) JAIME No No Sí No (cine) MARCOS No Sí No No (teatro)

14. “EL CLAUSTRO DEL MONASTERIO” Un monasterio medieval fue construido alrededor de un claustro de forma cuadrada. El pozo estaba situado de tal forma que la distancia a tres esquinas consecutivas era 30 m., 40 m. y 50 m. respectivamente. ¿Cómo era el claustro de grande?

SOLUCIÓN: Los lados del patio miden aproximadamente 56,54 m. Del dibujo se sigue que x 2 + (a − y ) 2 = 900 (1) CURSO: 2.011-2.012

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(a − x) 2 + y 2 = 2500

(2)

x 2 + y 2 = 1600 (3) 2 (1) – (3) da a − 2ay + 700 = 0 (4) (2) – (3) da a 2 − 2ax − 900 = 0 (5) a2 – 2ax - 900 = 0 (5) Despejando en (4) y (5) " x" e " y", y sustituyendo en (3) se tiene a4 - 3400a2 + 650000 = 0 que puede ser resuelto como una ecuación cuadrática en a.

15. “ ¿EN QUÉ AÑO NACIÓ TU PROFE? En 1990 su edad era igual a la suma de las cifras del año de su nacimiento. SOLUCIÓN: Mi profe nació en mil novecientos y pico. Si nació en 19xy, se tiene que cumplir: 1990 – 19xy = 1 + 9 + x + y

1990 – (1000 + 900 + 10x + y) = 1 + 9 + x + y

90 – 10x – y = 1 + 9 + x + y

11x + 2y = 80

que sólo se puede cumplir si x = 6 e y = 7

Por tanto, mi profe nació en 1967.

16. “LA ECUACIÓN DEL SOLITARIO” Sin efectuar operaciones, hallar el valor de A. A = 83 875 4702 – (83 875 469 x 83 875 471) SOLUCIÓN: A = a 2 − (a − 1) ⋅ (a + 1) = a 2 − (a 2 − 1) = 1

17. “NÚMEROS CAPICÚAS” A los números como 12321, que se leen lo mismo de derecha a izquierda que de izquierda a derecha, se les llama capicúas. Tengo un amigo que asegura que todos los capicúas de cuatro cifras son divisibles por 11 ¿es cierto? SOLUCIÓN: Todo número capicúa de cuatro cifras tiene la forma ABBA, donde A y B son dos dígitos distintos o iguales. Tal número lo podemos expresar como: CURSO: 2.011-2.012

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1000A + 100B + 10B + A = (1000 + 1)A + (100 + 10)B = 1001A + 110B = 11x91A + 11x10B = 11(91A + 10B)

18. “DIVIDIR Y RECOMPONER” Divide en dos partes un rectángulo de 16 cm. por 25 cm. de forma que con ellas puedas formar un cuadrado. SOLUCIÓN: El cuadrado que se forme tendrá una superficie de 16 x 25 = 400 cm2. Por tanto tendrá 20 cm. de lado.

19. “EL OJO DE BUEY” Aunque el trasatlántico estaba atracado en el puerto, la señora Mansasolas se encontraba tan mareada que no se atrevió a salir de su camarote. A mediodía el ojo de buey situado junto a su litera se encontraba exactamente a 7 metros sobre el nivel del agua. En ese instante la marea subía a razón de 1 metro por hora. Suponiendo que la velocidad con que sube la marea se duplique cada hora, ¿cuánto tardará el agua en cubrir el ojo de buey? SOLUCIÓN: Nunca. La marea nunca alcanzará al ojo de buey, pues el barco sube al mismo tiempo que ella. CURSO: 2.011-2.012

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20. “LOS DIEZ ENUNCIADOS” Determinar la verdad o falsedad de los siguientes enunciados: 1. Exactamente uno de los enunciados de esta lista es falso 2. Exactamente dos de los enunciados de esta lista son falsos 3. Exactamente tres de los enunciados de esta lista son falsos 4. Exactamente cuatro de los enunciados de esta lista son falsos 5. Exactamente cinco de los enunciados de esta lista son falsos 6. Exactamente seis de los enunciados de esta lista son falsos 7. Exactamente siete de los enunciados de esta lista son falsos 8. Exactamente ocho de los enunciados de esta lista son falsos 9. Exactamente nueve de los enunciados de esta lista son falsos 10. Exactamente diez de los enunciados de esta lista son falsos SOLUCIÓN: Cada uno de los diez enunciados es incompatible con todos los demás, es decir, si uno de ellos es verdadero todos los demás tendrán que ser falsos. El único enunciado que puede ser verdadero siendo los demás falsos es el 9. Luego el 9 es verdadero y todos los demás son falsos.

21. “TRES AMIGOS”. Tres amigos se sentaron a comer; Juan tenía cinco panes, Julia tenía tres y Miguel ninguno. Para repartirse los panes a partes iguales, Miguel dio ocho monedas a sus amigos. ¿Cómo crees que deberían repartirse las monedas Juan y Julia? SOLUCIÓN: Juan se llevará 7 monedas y Julia 1.H En efecto, si el tercero puso 8 monedas para repartir los 8 panes entre los tres, es que 8/3 de pan equivalen a ocho monedas. Por tanto, 1 pan equivaldrá a 8 : 8/3 = 3 monedas. Juan puso 5 – 8/3 = 7/3 de pan para Miguel, por tanto se llevará 7/3 · 3 = 7 monedas. Otra forma: Los cinco panes de Juan los vamos a dividir en tres partes iguales cada uno, en total tendríamos 15 partes iguales. Los tres panes de Julia los vamos a dividir en 3 partes iguales cada uno, en total tendremos 9 partes iguales. Al final cada uno se come 8 trozos, cada trozo que se come Miguel vale una moneda. Se come 5 de Juan y 3 de Julia, con lo que debe dar 5 monedas a Juan y 3 a Julia, pero Julia se come 5 trozos de Juan y Juan se come 3 trozos de Julia, con lo que Julia debe dar 2 monedas a Juan, por lo tanto Juan debe recibir 7 monedas y Julia 1.

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22. “MOTORISTA” Un motorista sale a la carretera con el cuentakilómetros en esta cifra: 13931. Va a una velocidad constante y, dos horas después, se detiene en el próximo número capicúa. ¿A qué velocidad circula? SOLUCIÓN: El siguiente número capicúa es 14041. Por tanto, si ha recorrido 110 kilómetros en dos horas, circula a 55 km/h.

23. “EL ABECEDARIO” Hemos hecho con las letras del abecedario tres grupos: 1º: C E F G H I J K L M N Ñ S T U W X Y Z 2º: A D O P Q R 3º: B ¿Por qué hemos hecho así los grupos? SOLUCIÓN: En el 1º están las letras “abiertas”. En el 2º las que se cierran una vez. En el 3º la que se cierra dos veces.

24. “ADIVINANZA” ¿Cómo harías para traer de un río seis litros de agua, si no tienes a tu disposición, para medir el agua, más que dos recipientes, uno de cuatro litros y otro de nueve? SOLUCIÓN: ♦

Llenamos el recipiente de 9 l.

♦

Echamos 4 l. en el otro y lo vaciamos, echamos otros 4 y hacemos lo mismo, por

fin echamos el litro que queda.

♦

Nos queda 1 l. en el recipiente de 4 l.

♦

Volvemos a llenar el de 9 l.

♦

Echamos los tres litros que faltan en el de 4 l. para llenarse

♦

Nos quedamos con 6 litros en el recipiente de 9 litros

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25. "VISITAR EL MUSEO" Hace años visitar el museo costaba 40 euros. Mi hermano entregó en la taquilla cien euros y sin mediar palabra ni gesto alguno, le dieron dos entradas y 20 euros. ¿Cómo supo el taquillero que deseaba dos entradas, si yo permanecía alejado de mi hermano en todo momento? SOLUCIÓN: Porque entregó dos billetes de 50 euros..

26. “¿CUÁL ES EL NÚMERO?” A. La primera cifra es igual a la suma de sus divisores. (Pitágoras lo llamó número perfecto) B. La segunda cifra es igual a su cuadrado, aunque distinta de la siguiente. C. La tercera cifra es igual a su mitad. D. La cuarta cifra es suma de las dos primeras. E. El número es el mismo leyéndolo en orden inverso. (Se considera primera cifra a la primera de la izquierda) SOLUCIÓN: El número es: 6 1 0 7 0 1 6

27. “LA TORRE DE ANA” Uno de los regalos que tuvo Ana el día de su cumpleaños fue una caja de ladrillos de construcción. Los ladrillos eran todos cúbicos, con una arista de 5 cm., y llenaban la caja, que era también cúbica. Ana empezó por construir un cubo grande, luego otro más pequeño encima, y luego otro todavía más pequeño encima del último. Cuando los tres cubos estaban terminados, ella era todavía más alta que su torre cuando se ponía de pie, lo que no le agradó, pero al menos tenía la satisfacción de haber utilizado todos los ladrillos. ¿Cómo era de alta la torre?

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SOLUCIÓN: La manera en que Ana ha podido hacer exactamente tres cubos de ladrillos con un cubo de ladrillos es que los cubos en la torre tengan aristas de 5 ladrillos, 4 ladrillos y 3 ladrillos, y que la caja tenga una arista equivalente a 6 ladrillos, puesto que: 33 + 43 + 53 = 63 La torre debe tener entonces 12 ladrillos de altura (3+4+5), y por tanto mide (3+4+5) · 5 =60 cm.

28. "PRIMOS CAPICÚAS" Números primos capicúas entre 100 y 200 hay 5 que son: 101, 131, 151, 181 y 191. Números primos capicúas entre 300 y 400 hay 4 que son: 313, 353, 373 y 383. ¿Cuántos números primos capicúas hay entre 200 y 300? SOLUCIÓN: Ninguno. Si hubiera alguno terminaría en 2 y, por tanto, no sería primo.

29. “UNA BOLA PESA MENOS” Se tienen 27 bolas de tamaño idéntico, pero una de ellas pesa un poquito menos que las otras Para averiguar cuál es te dan una balanza de dos platos, en los que puedes poner bolas –cuantas quieras de las 27-, para ver si se equilibran o no ambos platos. ¿Cuál es el número de pesadas que necesitas efectuar, sin tener en cuenta la buena suerte, para saber cuál es la bola en cuestión? SOLUCIÓN: Comparamos 9 bolas cualesquiera con otras 9 y dejamos las 9 restantes en la caja. Si la balanza se equilibra, ya sabemos que la bola menos pesada está en la caja y si no es así, estará entre las 9 del platillo que se incline hacia su lado la balanza. Hemos conseguido, pues, aislar la bola defectuosa entre 9 con sólo una pesada. Dividamos ahora este conjunto de 9 bolas en tres de 3 cada uno y repitamos la operación anterior con ellos. Después de la segunda pesada habremos conseguido aislar la bola defectuosa en un conjunto de tres concretas, y repitiendo una vez más el proceso con ello tendremos localizada la bola en cuestión a la tercera pesada y sin error posible CURSO: 2.011-2.012

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30. “CALCETINES Y GUANTES” En una misma caja hay 10 pares de calcetines de color café y 10 pares negros, y en otra caja hay 10 pares de guantes de color café y otros tantos pares negros. ¿Cuántos calcetines y guantes es necesario sacar de cada caja, para conseguir un par de calcetines y un par de guantes de un mismo color (cualquiera)? SOLUCIÓN: Bastan tres calcetines, porque 2 serán siempre del mismo color. La cosa no es tan fácil con los guantes, que se distinguen no sólo por el color, sino porque la mitad de los guantes son de la mano derecha y la otra mitad de la izquierda. En este caso hará falta sacar 21 guantes. Si se sacan menos, por ejemplo 20, puede suceder que los 20 sean de una mano (por ejemplo, 10 de color café de la mano izquierda y 10 negros de la izquierda).

31. “REGALOS EN METÁLICO” Dos padres dieron a sus hijos dinero. Uno de ellos dio a su hijo 150 pesetas, el otro entregó al suyo 100. Resultó, sin embargo, que ambos hijos juntos aumentaron su capital solamente en 150 pesetas. ¿De qué modo se explica esto? SOLUCIÓN: Uno de los padres es hijo del otro. En total eran, no cuatro, sino tres personas: abuelo, hijo y nieto. El abuelo dio al hijo 150 pesetas y éste, de ese dinero, entregó al nieto (o sea a su hijo) 100 pesetas, con lo cual sus propios ahorros aumentaron sólo en 50 pesetas.

32."¿VERDADERO O FALSO? " Utilizando todas las cifras, comprueba qué dos errores pueden dar un acierto en la siguiente suma: falso + falso -----------------cierto ¿Qué cifra representa cada letra? 79320 SOLUCIÓN: + 79320 --------------158640 CURSO: 2.011-2.012

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33.“CURIOSIDAD NUMÉRICA” 2+2=4 3 + 1´5 = 4´5

2x2=4 3 x 1´5 = 4´5

¿Qué parejas de números tienen esta propiedad? SOLUCIÓN: Serán dos números x, y que cumplan: x+y=x·y es decir x · y –y = x o bien y(x – 1) = x por tanto y =

x x −1

34. "LOS TRES SOMBREROS" Un árbitro elige tres sombreros de un conjunto de tres blancos y dos negros. Tres hombres sentados, alineados uno tras otro, y todos mirando en la misma dirección (de manera que cada uno sólo puede ver el sombrero de los que tiene delante de él) cierran los ojos mientras se les encasqueta su chapeo. Los sombreros no utilizados se ocultan de la vista. El árbitro le pregunta al tercero de la hilera si sabe el color de su sombrero. Éste contesta: “No lo sé”.Hace entonces la misma pregunta al sentado en el centro. También éste contesta: “No lo sé”. Cuando se lo pregunta al ocupante de la primera silla, éste contesta: “Sí, mi sombrero es blanco”. ¿Cómo pudo deducirlo? SOLUCIÓN: El razonamiento es como sigue: “El sentado en la tercera silla solo podrá contestar “sí” cuando vea dos sombreros negros. Por haber respondido “no”, es obvio que los dos sombreros que ve no son ambos negros. Supongamos ahora que mi sombrero fuese negro. El hombre sentado en el centro ve que es negro. Tan pronto como esta persona oiga decir “no” al sentado tras él, sabrá que su sombrero es blanco, pues de lo contrario, el tercero vería dos sombreros negros y contestaría “sí”. Por consiguiente, si mi sombrero fuese negro, la persona sentada tras de mí contestaría afirmativamente. Pero en la realidad contesta que “no”. Ello demuestra que la persona sentada detrás de mí está viendo en mi cabeza un sombrero blanco. Por tanto, la hipótesis inicial es falsa, y mi sombrero, blanco.

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35. “LOS CUATRO CUATROS” Utilizando 4 veces el número 4 se pueden conseguir todos los números naturales del 1 al 10 incluidos. Para conseguirlo puedes realizar las operaciones; sumar, restar, multiplicar y dividir. Para ayudarte un poco te vamos a indicar como podrías, por ejemplo, conseguir el número 1. SOLUCIÓN: 1=

4+4 4+4

4⋅4 4+4

4+4 +4 4

7 = 4+4−

3= 4 4

4⋅4− 4 4

4 ⋅ ( 4 + 4) 4

4 = 4+

4−4 4

4⋅4+ 4 4

4 4

10 =

44 − 4 4

9 = 4+4+

36. “LA BOLSA DE NARANJAS” Una bolsa de naranjas valía 8 € . Me pareció demasiado grande y pedí que me quitaran 4 kg. Ahora vale 4,8 €. ¿Cuánto pesaba la bolsa? SOLUCIÓN: Sea x = kg de naranjas que tiene la bolsa inicialmente. x x−4 = → 4,8 x = 8 x − 32 → 3,2 x = 32 → 8 4,8 La bolsa de naranjas pesa 10 kilogramos.

Precio del kg de naranjas =

x = 10

37. “LAS TIJERAS Y TU MENTE” Teniendo unas tijeras, ¿cómo podríamos cortar una cuadricula de 9 x 4 en dos partes iguales de forma que al unirlas la figura resultante sea un cuadrado?

SOLUCIÓN:

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38. “EL LOBO, EL CONEJO Y LA COL” Un pastor tiene que pasar un lobo, un conejo y una col de una orilla de un río a la otra orilla. Dispone de una barca en la que sólo caben él y una de las tres cosas anteriores. Si deja solos al conejo y al lobo, éste se come a aquél; si deja al conejo con la col, aquél se la come. ¿Cómo debe proceder para llevar las tres cosas a la orilla opuesta? SOLUCIÓN: El pastor debe coger al conejo y pasarlo a la otra orilla. Se vuelve y recoge al lobo y lo pasa al otro lado del río, pero ahora al volver se lleva con él al conejo, lo deja y coge a la col y la pasa. Vuelve solo y recoge al conejo.

39. “EL NÚMERO 100” ¿Cómo escribirías los dígitos del 1 al 9 y en ese mismo orden, intercalando los signos aritméticos que quieras para que el resultado sea 100?. SOLUCIÓN: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8 · 9) = 100 Esta es una solución. 12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100 Aquí tienes otra

40. “LAS PERAS”. A un árbol me subí donde peras había, peras no cogí y peras no dejé. ¿Cuántas peras había?. SOLUCIÓN: Había dos peras en el árbol, cogí una y dejé otra; por tanto, había peras, en plural, pues eran dos; pero cogí y dejé sólo una, y por tanto no cogí ni dejé peras, que significa varias.

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41. “EL NÚMERO OCHO” El número 24 se puede escribir utilizando únicamente tres ochos así: 24= 8+8+8. ¿Podrías escribirlo utilizando únicamente tres treses? ¿Y utilizando tres doses? SOLUCIÓN: 24 = 3 3 − 3

24 = 22 + 2

42. “EL NÚMERO MIL” ¿ Serías capaz de escribir 1.000 utilizando ocho ochos?. SOLUCIÓN: 1000 = 888 + 88 + 8 + 8 + 8

43.”EL CUADRADO Y LA ESTRELLA” Añade el número que falta

¿Cuál es el número que falta?

SOLUCIÓN:

44. ”EL JEROGLÍFICO”. ¿Qué clase de triángulo?

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SOLUCIÓN:

Equis menos s = equi

Nota musical = la

T = te

Cero menos c = ero

Por tanto, la solución es equilátero.

45. “EL HUERTO” En un huerto había 49 árboles dispuestos como se ve en la figura adjunta. Al hortelano le pareció que había demasiados árboles y quiso despejar el huerto, cortando los que sobraban, para plantar mejor unos cuadros de flores. Llamó a un peón y le dijo: deja nada más que 5 filas de 4 árboles cada una. Los demás árboles, córtalos y quédate con la leña. Cuando terminó, salió el hortelano y miró el trabajo. ¡El huerto estaba casi arrasado!. En vez de 20 árboles, el peón sólo había dejado 10 y había cortado 39. ¿Cómo había cortado los árboles el peón? SOLUCIÓN:

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46. “LAS TRES HIJAS” Erase que se eran dos matemáticos empedernidos que se vieron en la calle después de muchos años sin coincidir. - ¡Hola!, ¿qué tal?, ¿te casaste?, y... ¿cuántos hijos tienes? - Pues tengo tres hijas. - ¿y qué años tienen? - ¡A ver si lo adivinas!: el producto de las edades de las tres es 36, y su suma es el número del portal que ves enfrente... El ínclito filológico (que no filólogo) duda, y responde: - ¡Me falta un dato! - ¡Ah, sí!, ¡la mayor toca el piano! ¿Qué edad tendrán las tres nenitas? SOLUCIÓN: El número 36 se puede descomponer en tres factores de las siguientes formas: 1, 1, 36

1, 2, 18

1, 3, 12

1, 4, 9

1, 6, 6

2, 2, 9

2, 3, 6

3, 3, 4

Puesto que, evidentemente, el profesor que intenta resolver el acertijo conoce el número de su propia casa, si estas ocho ternas de números sumaran cantidades distintas, hallaría fácilmente las edades de las niñas. Si dice que le falta un dato es porque varias de estas ternas suman lo mismo. Al hacer la comprobación, veremos que todas suman distinto excepto 1-6-6 y 2-2-9, que suman 13, luego ha de ser una de estas dos ternas, ya que de lo contrario el profesor no le habría faltado ningún dato. La aclaración "Mi hija mayor toca el piano" descarta la posibilidad 1-6-6, pues no hay una mayor; luego las edades son 2, 2 y 9 años.

47.”LOS VIAJES DE CURRO” Curro dice lo siguiente: "Hice muchos viajes. Todos fueron a París, menos dos. Todos los que hice fueron a Italia, menos dos. Y CURSO: 2.011-2.012

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todos fueron a Tahití, menos dos". ¿Cuantos viajes hizo Curro en total? SOLUCIÓN: En total hizo 3 viajes: uno a París, otro a Italia y uno último a Tahití.

47. “EL CARACOL Y LA TAPIA” Un caracol sube verticalmente por una tapia de 10 metros de altura. Durante el día sube 2 metros, y durante la noche resbala, retrocediendo un metro. ¿Cuántos días tardará en subir la tapia? SOLUCIÓN: 9 días. El último día no baja nada puesto que ya ha llegado a la parte de arriba de la tapia.

48. “EL SEIS”. Con simples operaciones matemáticas tienes que conseguir que, operando con tres cifras iguales, el resultado siempre sea 6. Las operaciones que se pueden usar son las normales en una calculadora científica. Por ejemplo: 6+6-6 = 6. SOLUCIÓN: (1 + 1 + 1)!= 6

2+2+2=6

3·3-3=6

41/2 + 41/2 + 41/2 = 6

5/5+5=6

6+6-6=6

7-7/7=6

81/3 + 81/3 + 81/3 = 6

91/2 · 91/2 - 91/2 = 6

49. “EL BARQUERO INGENIOSO”. Un barquero ha de atravesar un río con una zorra, una gallina y una cesta llena de maíz. En la barca sólo cabe el barquero y, o un animal o la cesta. La zorra se comería a la gallina, y la gallina se comería el maíz si se quedaran ambos en la misma orilla. ¿Cómo se la ingeniará el barquero para atravesar el río con su carga? CURSO: 2.011-2.012

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SOLUCIÓN: En el primer viaje se lleva la gallina y vuelve solo. En el segundo se lleva la zorra y vuelve con la gallina. En el tercer viaje, se lleva el maíz y vuelve solo. Por último, atraviesa con la gallina. En total, cruza el río siete veces.

50. “ALTERACIÓN DEL ORDEN” En una hilera hay 6 vasos. Los 3 primeros están llenos de vino y los 3 siguientes, vacíos. Se trata de conseguir, moviendo un solo vaso, que los vasos vacíos se alternen en la fila con los llenos. SOLUCIÓN: Hay que vaciar el segundo vaso en el quinto.

51. “LA FALSA MONEDA”. La alegría que tuvo William cuando llegó a casa con su botín solo se vio empañada cuando uno de sus compañeros de fechorías lo llamó por teléfono: - William, tengo que darte una mala noticia. - ¿Qué? - No digas que te lo he dicho yo, pero de las seis monedas de oro que te han correspondido una es falsa; lo puedes saber fácilmente porque pesa menos que las demás. - ¡Maldición! Pero, oye, espera…, y ¿tú como lo sabes? En ese momento se cortó bruscamente la comunicación, y William, maldiciendo contra su amigo, se dispuso a salir rápidamente en su busca, pero antes de hacerlo cogió una balanza y en dos pesadas supo cuál era la moneda falsa. ¿Cómo lo hizo? SOLUCIÓN: En la 1ª pesada ponemos 2 de las monedas en un platillo de la balanza y 2 en el otro. Pueden pasar dos cosas: a) Que la balanza quede equilibrada, lo que significa que las 4 monedas que hemos comparado entre sí son todas buenas; luego la falsa está entre las dos restantes. En tal caso, en la 2ª pesada comparamos las 2 monedas que nos CURSO: 2.011-2.012

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quedan y la moneda falsa será la del platillo que se quede más alto, puesto que ya sabemos que pesa menos. b) Que la balanza se incline hacia un lado, entonces la moneda falsa será una de las dos que se encuentre en el platillo que ha quedado más alto. En tal caso, en la 2ª pesada comparamos las 2 monedas de dicho platillo y de nuevo la falsa será la que quede en el platillo más alto.

52. “LAS PESAS DEL TENDERO”. Un tendero posee una balanza y cuatro pesas distintas que le permiten pesar cualquier número exacto de kg. igual o menor que 15. ¿Cuánto pesa cada una?. SOLUCIÓN: 1, 2, 4 y 8 Kg., respectivamente

53. “LA HERENCIA DEL JEQUE”. Un Jeque árabe tenía tres hijos y les dejó al morir 17 camellos, con el mandato expreso de que habían de repartirlos sin matar ningún camello, y de la manera siguiente: El mayor recibirá la mitad; el segundo, la tercera parte, y el menor, la novena parte. Los hijos del Jeque, al querer hacer el reparto, se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había mas remedio que descuartizar algunos camellos. Acudieron al cadí, y éste les pidió un día para pensarlo. Pasado ese día, acudió el cadí con un camello suyo y lo unió al grupo de los 17 camellos, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del Jeque sobre esta herencia aumentada. Así, el mayor tomó 9 camellos; el segundo, 6, y el menor, 2. Al terminar el reparto el cadí volvió a llevarse su camello y dejó a los tres hermanos contentos. Explica la solución dada por el cadí. SOLUCIÓN: La suma de las fracciones 1/2, 1/3 y 1/9 no da como resultado, la unidad, como tenía que ocurrir si se quiere que no sobre nada, sino que es igual a 17/18.

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54. “LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG” En el siglo XVIII había en la ciudad de Königsberg (situada en la antigua Prusia, hoy Kaliningrado, perteneciente a Rusia) siete puentes que conectaban cada una de las orillas del río Pregel con dos islas interiores. Los ciudadanos estaban muy orgullosos de sus puentes y bromeaban sobre la posibilidad de recorrerlos todos pasando una sola vez por cada uno de ellos. ¿És esto posible?. SOLUCIÓN: El tema se hizo muy popular y llegó a oídos de Euler, matemático suizo nacido en Basilea en 1707, quien demostró que era imposible recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por uno de ellos. Para comprobarlo, identificó cada una de las orillas con un punto e hizo lo mismo con cada una de las islas, convirtió los puentes en líneas que unían los puntos; de esta forma obtuvo una red de puntos y líneas.

En una red de este tipo, se denominan vértices pares a aquellos a los que llega un número par de líneas, e impares si es un número impar. Euler demostró que era imposible recorrer una red sin pasar dos veces por el mismo camino (línea) si ésta tenía más de dos vértices impares. En el caso de que sólo hubiera dos vértices impares, era posible recorrer la red si se partía de un vértice impar y se acababa en el otro. Por lo que respecta a los puentes, todos los vértices son impares (a todos llegan tres caminos, excepto a una de las islas que llegan cinco), por tanto, el problema no tiene solución. CURSO: 2.011-2.012

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Puedes comprobar que el problema tendría solución, por ejemplo, eliminando el puente que une las dos islas y tomando como punto de partida una de las orillas y como punto de llegada la otra ya que, eliminando el puente intermedio, tendríamos dos vértices impares y dos pares.

55.”JUGANDO CON NÚMEROS” Te planteo este sencillo juego. -Escribe un número de tres cifras distintas.(Por ejemplo 136.) -Escríbelo en orden inverso (631). -Resta del mayor el menor (631-136=495) -Si tu me dices la cifra de las unidades, yo adivino el valor de la resta. ¿Crees que es posible?. SOLUCIÓN: Vamos a utilizar un poco de cálculo algebraico. Supongamos que el número de tres cifras es "abc".Expresamos este número como potencias de 10: a.102+b.10+c. En orden inverso seria cba= c.102+b.10+a. Los restamos (suponiendo a>c): (a.102+b.10+c)- (c.102+b.10+a)=(a-c).102+(c-a)= (a-c)(100-1)=(a-c).99. Es decir, siempre se obtiene un múltiplo de 99. Analicemos estos múltiplos: CURSO: 2.011-2.012

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99.1=99=099 99.2=198 99.3=297 99.4=396 . . Observamos que todos tienen propiedades comunes: *la cifra de las decenas siempre es un nueve *la cifra de las unidades y las centenas suman nueve Es evidente que nos basta con conocer la cifra de las unidades (o centenas) para "adivinar" el número resultante.

56. “DESCOMPONER NÚMEROS” Uno de los mayores entretenimientos matemáticos es el de descomponer un cierto número de varias formas. Por ejemplo, ¿sabías que el número 1729 es el primer número que se descompone como suma de dos cubos perfectos, de dos maneras distintas?. Efectivamente, puedes comprobar que 1729=103+93=123+13 *Prueba tu habilidad con los números: a)¿Sabrías escribir el número 10 de dos formas distintas empleando cuatro nueves? b)¿Sabrías escribir el número 100 de cuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales?. c)¿Puedes escribir el número 30 con tres treses?. ¿Y con tres seises?. ¿Y con tres cincos?. SOLUCIÓN: 10 =

10 =

99 − 9 9

Ejemplo: 100 = 111 − 11 3 100 = 33 ⋅ 3 + 3

9⋅9 + 9 9

30 = 33 − 3

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 44 − 4  100 =   4  30 = 6 ⋅ 6 − 6

100 = 88 + 8 + 3 8 + 3 8

30 = 5 ⋅ 5 + 5

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57. “LA PIRÁMIDE” El número de cada casilla es la suma de los dos números que tiene debajo

SOLUCIÓN: Llamando x al número de la casilla de la derecha de 36 se tiene que los dos de encima serán 36+x, x+2, el de arriba a estos será 38+2x, Entonces se ha de cumplir que 38+2x+63=183, por tanto, x=41 y la pirámide quedará de la forma: 308 183 120 77 36

63 43

125 62 20

42 18

58. “LAS CINCO CIRCUNFERENCIAS MÁGICAS” Estas cinco circunferencias mágicas entrelazadas tienen la propiedad de que la suma de los números de cada una es siempre 22. Para rellenar las casillas se han utilizado una vez las nueve primeras cifras: Averigua las cifras que faltan.

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SOLUCIÓN: Llamando “x” a la bola azul de arriba, “y” a la bola verde de la fila de en medio y “z” a la bola amarilla, se ha de cumplir: x+y+5+7=22 → x+y=10 → y=10-x x+z+6+7=22 → x+z=9 → z=9-x x+y+z+4=22 → x+y+z=18 → x+10-x+9-x=18 → x=1, y=9, z=8 Por tanto, si escribimos los números que deberían llevar las bolas serían: 5 amarillo, 1 azul, 6 rojo, 9 verde, 7 negro, 8 amarillo, 2 rojo, 4 azul, 3 verde.

59. “PIENSA Y DIBUJA” Dibuja un camino entre las casas de cada uno de estos hombres y su lugar de trabajo, de manera que no se crucen en ningún punto.

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SOLUCIÓN:

60. “JUEGA PENSANDO” A, B, C y D son cifras de un solo dígito. Todas ellas forman parte de las siguientes ecuaciones: A+C=D AxB=C C–B=B Ax4=D Encuentra los valores de A, B, C y D. Indica la solución como una cifra de cuatro dígitos: ABCD. SOLUCIÓN: D=4A → A+C=D=4A → C=3A C-B=B → C=2B AxB=C=2B → A=2 AxB=C=3A → B=3 C=6 D=8

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61. “ACERTIJO” Uno de estos tres personajes dice la verdad y los otros dos mienten. Teniendo en cuenta que A dice que no miente nunca, que B declara que A miente y que es él quien dice la verdad, y que C afirma que B miente y que quien dice la verdad es él ¿Quién dice la verdad? SOLUCIÓN: Si A dijera la verdad, entonces C también estaría diciendo la verdad. Si fuera C quien dijera la verdad, entonces lo que dice B también sería cierto. La única forma de que sólo uno de ellos diga la verdad es que sea B.

62. “LOS CERDITOS” Separa los 7 cerdos de un redil usando tres cuerdas nada más. SOLUCIÓN:

63. “LA RUTA” ¿Qué ruta deben seguir dos amigos para conseguir cubrir la mayor distancia posible entre A y B sin pasar dos veces por el mismo sitio?

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SOLUCIÓN:

64.”CUADRADO MÁGICO” Coloca los números en el cuadrado, de forma que la suma de tres números, ya sea en horizontal o diagonal, dé el mismo resultado. SOLUCIÓN:

65. “RECTÁNGULOS” El juego de los Rectángulos, consiste en dividir cada figura en cuadrados y rectángulos de tal manera que cada sector contenga el número de casillas que indica el número. A manera de ejemplo observa la siguiente figura: CURSO: 2.011-2.012

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Ahora pon en práctica lo anterior, dividiendo y coloreando cada gráfico en cuadrados y rectángulos haciendo coincidir el número de casilla con el número dado.

SOLUCIÓN:

3 2

4 2

2 3 6

3 3

4 5

4 4

66. “LA PRINCESA Y LA CARRERA DE CABALLOS” En un reino muy muy lejano vivía una hermosa princesa.

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Hasta este lugar llegaron dos apuestos y poderosos príncipes a pedir su mano…

El rey

no sabía a cuál de ellos concedería la mano de su hija y les propuso una prueba: Una carrera de caballos entre ambos, pero con una peculiaridad... La mano de la princesa sería para aquel cuyo caballo llegara el último. Los príncipes, muy confundidos, discutieron acerca de las condiciones de la carrera, pues ninguno quería ganar, pero tampoco podían quedarse ambos eternamente parados en la meta... tras deliberar largamente dieron con la solución. La carrera se celebró y durante muchos años se siguió hablando de la velocidad y la rapidez con la que habían corrido los corceles. ¿De que forma ingeniosa resolvieron el enigma? CURSO: 2.011-2.012

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SOLUCIร N:

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67.” ¿LO ADIVINAS?” ¿Cuál es el próximo número en la secuencia siguiente? 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,……. SOLUCIÓN: Cuando buscamos alguna regla para encontrar el número siguiente a una secuencia y vemos que no existe una relación o algoritmo matemático que la genere: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,...: Podemos recordar lo que hemos hecho otras veces en acertijos similares, y es escribir con palabras los números de la secuencia: dos, diez, doce, dieciséis, diecisiete, dieciocho, diecinueve,... Todos empiezan por D. Luego el siguiente número de la serie 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,... es... Doscientos, 200

68. “CRIPTOARITMÉTICA” Resuelve este problema relacionado con la criptoaritmética, utilizando los diez dígitos. Ten presente que letras iguales dígitos iguales y letras diferentes, dígitos diferentes. SOLUCIÓN:

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69. “EL PERSONAJE”

SOLUCIÓN:

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70. “DOS RUEDAS DENTADAS” Un piñón de 8 dientes está engranado con una rueda dentada de 24 dientes. Al dar vueltas la rueda grande, el piñón se mueve por la periferia. ¿Cuántas veces girará el piñón alrededor de su eje, mientras da una vuelta completa alrededor de la rueda dentada grande?. SOLUCIÓN:

Si pensáis que el piñón girará tres veces, os equivocáis: dará cuatro vueltas y no tres. Para ver claramente cómo se resuelve el problema, pon en un hoja lisa de papel dos monedas iguales, por ejemplo de un euro, como indica la figura. Sujetando con la mano la moneda de debajo, id haciendo rodar por el borde la de arriba. Observaréis una cosa inesperada: cuando la moneda de arriba haya recorrido media circunferencia de la de abajo y quede situada en su parte inferior, habrá dado la vuelta completa alrededor de su eje. Esto puede comprobarse fácilmente por la posición de la cifra de la moneda. Al dar la vuelta completa a la moneda fija, la móvil tiene tiempo de girar no una vez, sino dos veces. Al girar un cuerpo trazando una circunferencia, da siempre una revolución más que las que pueden contarse directamente. Por ese motivo, nuestro globo terrestre, al girar alrededor del Sol, da vueltas 1 1 alrededor de su eje no 365 y , sino 366 y , si consideramos las 4 4 vueltas en relación con las estrellas y no en relación con el Sol. Ahora comprenderéis por qué los días siderales son más cortos que los solares.

71. “EL CUARTO CRECIENTE DE LA LUNA” Se trata de dividir la figura de un cuarto creciente de la Luna en seis partes, trazando solamente dos líneas rectas. ¿Cómo hacerlo? SOLUCIÓN: CURSO: 2.011-2.012

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72. “CON DOCE CERILLAS” Con doce cerillas puede construirse la figura de una cruz, cuya área equivalga a la suma de las superficies de cinco cuadrados hechos también con cerillas. Hay que cambiar la disposición de las cerillas de tal modo que el contorno de la figura obtenida abarque sólo una superficie equivalente a cuatro de esos cuadrados. SOLUCIÓN:

73. “DIVISIÓN ENIGMÁTICA” En el ejemplo de división que vamos a hacer, todas las cifras están reemplazadas por asteriscos, a excepción de cuatro cuatros. Colocar las cifras reemplazadas en lugar de los asteriscos. SOLUCIÓN: CURSO: 2.011-2.012

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74. “LA ESTRELLA DE OCHO PUNTAS” Hay que distribuir los números del 1 al 16 en los puntos de intersección de las líneas de la figura de modo que la suma de los cuatro números que se hallan en cada lado de los dos cuadrados sea 34 y que la suma de los cuatro números que se encuentran en los vértices de cada cuadrado sea también 34. SOLUCIÓN:

75. “LA MESA DE TRES PATAS” Existe la opinión de que una mesa de tres patas nunca se balancea, incluso aunque las patas sean de longitud diferente. ¿Es verdad esto?. SOLUCIÓN:

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Una mesa de tres patas siempre puede apoyarse correctamente en el suelo con los tres extremos de sus patas, puesto que por tres puntos situados en el espacio, puede pasar un plano y sólo uno. Por este motivo, las mesas de tres patas son estables y nunca se balancean. Como se ve, este problema es puramente geométrico y no físico. He aquí por qué es muy cómodo emplear trípodes para los instrumentos agrimensores y los aparatos fotográficos. La cuarta pata no aumenta la estabilidad; por el contrario, habría siempre necesidad de preocuparse de la longitud exacta de las patas para que la mesa o los aparatos no se balancearan.

76. “POR EL ECUADOR” Si pudiéramos recorrer la Tierra siguiendo el Ecuador, la coronilla de nuestra cabeza describiría una línea más larga que la planta de los pies. ¿Qué magnitud tendría la diferencia entre estas longitudes?. SOLUCIÓN: Supongamos que la persona mide 180 centímetros de altura y designemos por R el radio de la Tierra. Tendremos: 2 ⋅ π ⋅ ( R + 180) − 2 ⋅ π ⋅ R = 2 ⋅ π ⋅ 180 = 1130,4 centímetros, o sea, 11´3 metros. Lo realmente sorprendente es que no depende del radio de la Tierra, y por tanto es el mismo para el Sol que para una bolita.

77. “¿SABEN MATEMÁTICAS LAS ABEJAS?” Este hecho ya fue constatado por Papus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 284 al 305. Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por que eligieron entonces los hexágonos, si son mas difícil de construir?. SOLUCIÓN:

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La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego "igual perímetro"). Papus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran más área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el círculo, que posee un número infinito de lados. Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: ¿y quien le enseñó esto a las abejas?....

78. “ECUACIONES DIOFÁNTICAS” Uno de los matemáticos que más fama dieron a Alejandría fue Diofanto, quien vivió en la época de Pappo (siglo IV). Diofanto se consagró al álgebra, y ha legado a la posteridad el término ecuaciones diofánticas, que se refieren a las de soluciones enteras. Un epigrama griego nos narra de forma concisa su vida: Fue muchacho 1/6 de su vida, su barba creció luego 1/12 más, se casó 1/7 después, tuvo un hijo cinco años más tarde, que vivió la mitad de la edad de su padre, el cual murió cuatro años después de su hijo. ¿Sabrías decirnos que edad tenía Diofanto cuando murió?. SOLUCIÓN: Llamemos x = años que vivió Diofanto. Entonces se ha de cumplir: x x x x 14 x 7 x 12 x 420 42 x 336 84 x + + +5+ +4 = x ⇒ + + + + + = 6 12 7 2 84 84 84 84 84 84 84 756 = 84 9 Diofanto vivió 84 años. 9 x = 756 ⇒ x =

⇒

79. “LA CRUZADA” Completar esta cruzada con las siguientes 28 palabras, de tal manera que todas encajen en las casillas vacías blancas.

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TRES LETRAS: ISO-MCM CUATRO LETRAS: ARCO-AREA-CONO-TRIO CINCO LETRAS: AGUDO-GIROS-GRADO-LINEA-PUNTO-SUMAS SEIS LETRAS: ALTURA-OBTUSO-ORIGEN-REALES-TEORÍA. SIETE LETRAS: ADITIVO-CÍRCULO-FUNCIÓN OCHO LETRAS: ECUACIÓN-MINUENDO-TRAPECIO. NUEVE LETRAS: MÚLTIPLOS-RADICALES. ONCE LETRAS: OBTUSÁNGULO-OPERACIONES. DOCE LETRAS: FRACCIONARIO SOLUCIÓN:

80. “ 2 igual a 1” ¿Será posible que 2 sea igual a 1?. Partimos de que a = b Multiplicando por “ a ” en ambos miembros tenemos a ⋅ a = a ⋅ b ⇒ a 2 = a ⋅ b .Restando b 2 en ambos miembros tenemos 2 2 2 a − b = a ⋅ b − b ⇒ ( a − b) ⋅ ( a + b) = b ⋅ ( a − b ) . CURSO: 2.011-2.012

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( a − b)

nos queda: a + b = b ⇒ como a = b ⇒ b + b = b ⇒ 2b = 1b ⇒ 2 = 1 al simplificar. Como esto no es posible, ¿en donde me equivoqué?.

Simplificando

por

SOLUCIÓN: Es evidente que si esto fuera cierto nos habríamos cargado toda la matemática. Pero, ¿dónde cometemos el error?. Cuando hacemos la primera simplificación dividimos por (a − b) , pero esto no podemos hacerlo puesto que si partimos con que a = b ⇒ (a − b) = 0 ⇒ lo que hacemos es dividir por cero y eso no está permitido. Ejemplo: 7 ⋅ 0 = 6 ⋅ 0 ⇒ si suprimimos el 0 en ambos miembros nos quedaría que 7=6.

81. “LA MADRE DE TODAS LAS BATALLAS” Lewis Carroll, matemático y escritor británico cuyo verdadero nombre es Charles Lutmidge Dogson lo conocemos principalmente por su obra "Alicia en el país de las maravillas", y siempre ha manifestado su interés por lo absurdo, los acertijos y la confusión. Un problema que se atribuye a él es el siguiente: En una extraordinaria batalla, por lo menos el 70% de los combatientes perdió un ojo; el 75% una oreja, por lo menos el 80% perdió una mano y el 85% una pierna. ¿Cuántos, por lo menos perdieron los cuatro órganos? SOLUCIÓN: Por lo menos el 45% perdió el ojo y la oreja: Por lo menos el 65% perdió la mano y la pierna: Por lo menos el 10% perdió los cuatro órganos:

82. “LA CINTA DE MÖEBIUS” Si coges una cinta de papel y unes los extremos sin más, tendrás un anillo. Si antes de unirlos le das a uno de ellos media vuelta retorciéndolo, y los pegas como se indica la figura, tendrás una cinta de Möebius.

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Según una leyenda Tartésica, si coloreas una cara de la cinta de Möebius de color rojo y la otra de color verde (colores sagrados en la cultura de Tartesos) conseguirás la felicidad eterna

Actividades con la cinta: 1. Otra tradición tartésica cuenta que si se corta por la mitad una cinta de Möebius, y se regala cada una de las cintas resultantes a dos amantes, éstos mantendrán para siempre la llama de su amor. Para que se produzca el hechizo es imprescindible que, justo antes de realizar el último corte, cada enamorado tenga cogida su cinta correspondiente 2. Prueba ahora a cortar la cinta manteniéndote siempre a un tercio de la orilla. ¿Qué ocurrirá?.

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84. “LAS GRANJAS Y LOS POZOS” Tres hermanos mal avenidos desean construir tres caminos desde cada una de sus casas a cada uno de los tres pozos que hay en el valle. El problema es que ninguno desea que un camino suyo se cruce con los de los otros. ¿Es posible satisfacer sus deseos? SOLUCIÓN: Se trata de un grafo K3,3 y este tipo de grafos no son planos, es decir, que al menos uno de los caminos se ha de cruzar a no ser que hagan un paso levadizo.

Intentemos resolver el mismo problema para una familia de primos que viven en la cinta de Möebius.

SOLUCIÓN:

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85. “CUADRADOS MÁGICOS” Los cuadrados mágicos están formados por números colocados de tal forma que las sumas de estos números en filas, columnas y diagonales son iguales, esta suma común se llama número mágico. El cuadrado mágico representado por Alberto Durero en su célebre grabado "Melancolía" fue descubierto en las ruinas de la ciudad de Khajuraho (siglos X y XI), en la India. Tal vez Durero eligió este cuadrado porque los dos números centrales de la última fila coinciden con la fecha de ejecución del grabado: 1514.

¿Sabrías encontrar más cuadrados mágicos similares a éste? SOLUCIÓN:

2 12 5 15 13 7 10 4 Puedes encontrar muchas soluciones. 11 1 16 6 Te propongo un par de cuadrados mágicos. 8 14 3 9

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1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16

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Te sugiero un método para construir el cuadrado de la derecha. Se cuentan las casillas en el orden normal, comenzando por la primera situada en la parte superior izquierda, pero solamente se anotan los números correspondientes a los cuadritos de las cuatro esquinas y a los cuatro centrales. Para escribir los números que corresponden a las casillas que quedan en blanco se procederá de igual modo, pero esta vez comenzando por la casilla 16 y continuando del 1 al 16 siguiendo las casillas en orden inverso y anotando los números correspondientes en los cuadritos en blanco.

1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16

1 6 7 10 11 13

86. “LAS ETIQUETAS CAMBIADAS” Un pastelero recibe tres paquetes con 100 caramelos cada uno. Uno de los paquetes contiene caramelos de naranja, otro de limón y el tercero mitad y mitad: 50 de naranja y 50 de limón. Pero el fabricante le advierte que, a causa de un error de envasado, las tres etiquetas de los paquetes- naranja, limón y surtidos- están cambiadas. ¿Cuántos caramelos tendrá que sacar como mínimo el pastelero para averiguar el contenido de cada paquete? SOLUCIÓN: Basta con sacar un solo caramelo del paquete con la etiqueta "surtido". Por ejemplo: si saca un caramelo del paquete surtido y este es de naranja quiere decir que ese paquete es el que contiene los caramelos de naranja, por tanto donde pone paquete de limón estaría el surtido y donde pone naranja serán los caramelos de limón.

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87. “LA LÓGICA DE EINSTEIN” Einstein aseguraba que el 98% de la población mundial sería incapaz de resolverlo. Yo creo que Vd. es del 2% restante. Inténtelo y verá como tengo razón. Condiciones iniciales: - Tenemos cinco casas, cada una de un color. - Cada casa tiene un dueño de nacionalidad diferente. - Los 5 dueños beben una bebida diferente, fuman marca diferente y tienen mascota diferente. - Ningún dueño tiene la misma mascota, fuma la misma marca o bebe el mismo tipo de bebida que otro. Datos: 1. El noruego vive en la primera casa, junto a la casa azul. 2. El que vive en la casa del centro toma leche. 3. El inglés vive en la casa roja. 4. La mascota del Sueco es un perro. 5. El Danés bebe té. 6. La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca. 7. El de la casa verde toma café. 8. El que fuma PallMall cría pájaros. 9. El de la casa amarilla fuma Dunhill. 10. El que fuma Blend vive junto al que tiene gatos. 11. El que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill. 12. El que fuma BlueMaster bebe cerveza. 13. El alemán fuma Prince. 14. El que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua. ¿Quién tiene peces por mascota? SOLUCIÓN: CASA 1

CASA 2

CASA 3

CASA 4

CASA 5

Noruego Amarillo Agua Dunhill Gatos

Danés Azul Té Blend Caballos

Inglés Rojo Leche PalMall Pájaros

Alemán Verde Café Prince Peces

Sueco Blanco Cerveza BlueMaster Perro

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88. “EL JUEGO DEL AJEDREZ” Antecedentes históricos El ajedrez tiene su origen en la India, más concretamente en el Valle del Indo, y data del siglo VI d.C. Originalmente conocido como Chaturanga, o juego del ejército, se difundió rápidamente por las rutas comerciales, llegó a Persia, y desde allí al Imperio bizantino, extendiéndose posteriormente por toda Asia. La mayoría de los historiadores coinciden en ubicar el origen del ajedrez en la India en el siglo VII. El mundo árabe, adoptó el ajedrez con un entusiasmo sin igual: estudiaron y analizaron en profundidad los mecanismos del juego, escribieron numerosos tratados sobre ajedrez y desarrollaron el sistema de notación algebraica. El juego llegó a Europa entre los años 700 y 900, a través de la conquista de España por el Islam, aunque también lo practicaban los vikingos y los Cruzados que regresaban de Tierra Santa. En las excavaciones de una sepultura vikinga hallada en la costa sur de Bretaña se encontró un juego de ajedrez, y en la región francesa de los Vosgos se descubrieron unas piezas del siglo X, de origen escandinavo, que respondían al modelo árabe tradicional. Durante la edad media España e Italia eran los países donde más se practicaba. Se jugaba de acuerdo con las normas árabes (descritas en diversos tratados de los que fue traductor y adaptador Alfonso X el Sabio), según las cuales la reina y el alfil son piezas relativamente débiles, que sólo pueden avanzar de casilla en casilla. La era moderna del Ajedrez, sin embargo, puede ser ubicada en el siglo XV, donde las piezas obtuvieron la forma que tienen actualmente. El primer analista serio del juego fue el español Ruy López de Segura (Siglo XVI), quien en 1561 describió las reglas que aún se usan. El primer reglamento impreso fue publicado por Francois Philidor con el titulo Analyse du jue des echecs (1749), que fue traducido a muchos lenguajes y ayudo a la difusión del juego.

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Durante los siglos XVI y XVII el ajedrez experimentó un importante cambio, y la reina se convirtió en la pieza más poderosa, en cuanto a su movimiento se refiere, del tablero. Fue entonces cuando se permitió a los peones avanzar dos casillas en su primer movimiento y se introdujeron la regla conocida como en passant ('al paso'), que permite capturar el peón que sigue su marcha y no come la ficha que se le ha ofrecido por una determinada estrategia, y el revolucionario concepto del enroque. Los jugadores italianos comenzaron a dominar el juego, arrebatándoles la supremacía a los españoles. Los italianos, a su vez, fueron desbancados por los franceses y los ingleses durante los siglo XVIII y XIX cuando el ajedrez, que había sido hasta entonces el juego predilecto de la nobleza y la aristocracia, pasó a los cafés y las universidades. El nivel del juego mejoró entonces de manera notable. Comenzaron a organizarse partidas y torneos con mayor frecuencia, y los jugadores más destacados crearon sus propias escuelas. La leyenda de los granos de Trigo. Resulta que el rey indio Ladava acababa de perder a su hijo en una batalla y un ciudadano (Sessa) que se enteró quiso alegrarlo enseñándole el juego del ajedrez. Parece ser que el rey quedó fascinado con el juego y era tan grande su agradecimiento que ofreció a Sessa un "cheque en blanco" para que él pidiese lo que quisiera. Sessa, que se ve que no era muy tonto, le dijo que quería un regalo relacionado de alguna manera con el juego del ajedrez, por lo cual propuso al rey que le entregase cierta cantidad de trigo: "Majestad, me conformo con que me des un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta y así sucesivamente, multiplicando cada vez por dos, hasta llegar al último casillero". Parece ser que el rey se ofendió por haber pedido una recompensa tan modesta cuando podría haber solicitado algo más importante. Sin embargo accedió a su petición y mandó que le fuese entregada a Sessa la cantidad de trigo que solicitaba. Los matemáticos de la corte tardaron varios días en calcular cuanto trigo habría que entregar a Sessa hasta que CURSO: 2.011-2.012

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finalmente acudieron al rey para decirle que su petición era imposible de satisfacer, ya que ni con todo el trigo del mundo habría bastante para pagarle. ¿Quieres saber por qué? Sigue leyendo... Como todos sabemos el ajedrez se juega sobre un tablero de 8 filas y 8 columnas, con lo cual el tablero tiene exactamente 64 casillas donde colocar las piezas. Si a cada una de estas casillas les escribimos un número (del 1 al 64), la siguiente tabla muestra cuando granos de trigo corresponderían a cada casilla según la petición de Sessa: Casilla Nº Granos de trigo que le corresponden 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 CURSO: 2.011-2.012

1 (Sessa quería un grano en la casilla 1) 2 (A partir de ahí quería en cada casilla el doble de lo que recibía en la anterior 4 8 16 32 64 128 256 512 1.024 2.048 4.096 8.192 16.384 32.768 65.536 131.072 262.144 524.288 1.048.576 2.097.152 4.194.304 8.388.608 16.777.216 33.554.432 51

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27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

67.108.864 134.217.728 268.435.456 536.870.912 1.073.741.824 2.147.483.648 4.294.967.296 8.589.934.592 17.179.869.184 34.359.738.368 68.719.476.736 137.438.953.472 274.877.906.944 549.755.813.888 1.099.511.627.776 2.199.023.255.552 4.398.046.511.104 8.796.093.022.208 17.592.186.044.416 35.184.372.088.832 70.368.744.177.664 140.737.488.355.328 281.474.976.710.656 562.949.953.421.312 1.125.899.906.842.620 2.251.799.813.685.250 4.503.599.627.370.500 9.007.199.254.740.990 18.014.398.509.482.000 36.028.797.018.964.000 72.057.594.037.927.900 144.115.188.075.856.000 288.230.376.151.712.000 576.460.752.303.423.000 1.152.921.504.606.850.000 2.305.843.009.213.690.000 4.611.686.018.427.390.000 9.223.372.036.854.780.000

Total

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18.446.744.073.709.600.000

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Habría que sumar además los granos de trigo de las casillas anteriores, o que supone un total de:

Podemos ver todo esto gráficamente en la siguiente imagen donde vemos el número de granos que se solicitan en cada casilla

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¿Realmente es imposible de satisfacer su petición? Parece ser que la producción de trigo anual en Argentina es unos 10.000.000 de toneladas al año. Si cada grano de trigo CURSO: 2.011-2.012

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pesa más o menos un miligramo, harían falta 4000 años de cosechas en Argentina para darle a Sessa los 18.446.744.073.709.600.000 granos que pedía (como hemos calculado en la tabla de antes). Si tal cantidad de trigo pudiese reunirse (lo cual no se conseguiría ni con toda la producción mundial durante 100 años consecutivos), y fuésemos capaces de contar un grano de trigo cada segundo para entregárselos a Sessa necesitaríamos la siguiente cantidad de tiempo. 18.446.744.073.709.600.000 segundos 5.124.095.576.030.430 horas 213.503.982.334.601 días 584.942.417.355 años 5.849.424.174 siglos Osea que el pobre Sessa estaría más tieso que la mojama para cuando hubiese que entregarle su recompensa. Lo que no cuenta la historia es si el rey lo ajustició posteriormente por graciosete... 89. “LA LEY D`HONT” A continuación voy a explicar como se lleva a cabo la asignación de diputados a cada provincia siempre que hay unas elecciones generales: 1. En cada provincia se ordenan las candidaturas de mayor a menor según el número de votos emitidos.

2. De la lista se eliminan aquellas formaciones políticas que no hayan alcanzado el 3% del total de votos escrutados.

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3. Los votos de cada partido se dividen entre 1, 2, 3, etc hasta un número igual al de los diputados asignados a dicha provincia. En el caso de Girona en el año 2000 fueron 5.

4. Se escogen las cifras más altas y por cada una se asigna un diputado hasta completar el total de los asignados en dicha circunscripción.

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5. A cada provincia le corresponde un mínimo de 2 diputados, excepto 1 a Ceuta y Melilla

6. De los 350 diputados si restamos los asignados a provincia nos quedan 248. A continuación se obtiene una CUOTA DE REPARTO resultante de dividir el total de la población de derecho española entre 248.

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7. Se adjudican a cada provincia tantos diputados como resulta de dividir, en números enteros, la población de derecho provincial por la cuota de reparto establecida anteriormente.

8. El resto de diputados se asignan a cada una de las provincias cuyo cociente obtenido anteriormente tenga un decimal mayor. Girona en el 2000 no obtuvo más diputados por este procedimiento al tener una fracción decimal menor que otras provincias.

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Los partidos minoritarios no están de acuerdo con la asignación de diputados. A continuación expongo un gráfico de cómo habría quedado el Parlamento con un sistema sin circunscripciones electores.

90. “EL TORNEO DE AJEDREZ” En un torneo de ajedrez participaron 30 concursantes que fueron divididos, de acuerdo con su categoría, en dos grupos. En cada grupo los participantes jugaron una partida contra todos los demás. En total se jugaron 87 partidas más en el segundo grupo que en el primero. El ganador del primer grupo no perdió ninguna partida y totalizó 7'5 puntos. ¿En cuántas partidas hizo tablas el ganador? . SOLUCIÓN: Veamos primero el número de jugadores en cada grupo. Sea x el número de jugadores del primer grupo. (30 − x) ⋅ (29 − x) x ⋅ ( x − 1) − = 87 2 2 CURSO: 2.011-2.012

⇒ 870 − 59 x + x 2 − x 2 + x = 174 ⇒

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58 x = 696 ⇒ x = 12 .

Luego hubo 12 jugadores en el primer grupo y 18 jugadores en el segundo grupo. Cada jugador del primer grupo jugó 11 partidas y como el ganador totalizó 7'5 puntos, sin perder ninguna partida, tenemos, llamando y al número de partidas en las que hizo tablas: 0,5 ⋅ y + (11 − y ) ⋅ 1 = 7,5 ⇒ 0,5 ⋅ y = 3,5

y = 7 Partidas

91. “LAS DEPORTISTAS”. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica cada una? SOLUCIÓN: Ana es más alta que la tenista, por lo tanto no es ni la tenista, ni la gimnasta; la más baja es la nadadora. La gimnasta no es Ana, ni Beatriz (mujer casada), es Carmen. Por eliminación, la tenista es Beatriz. 92. “BLANCO, RUBIO Y CASTAÑO”

Tres personas, de apellidos Blanco, Rubio y Castaño, se conocen en una reunión. Poco después de hacerse las presentaciones, la dama hace notar: "Es muy curioso que nuestros apellidos sean Blanco Rubio y Castaño, y que nos hayamos reunido aquí tres personas con ese color de cabello" "Sí que lo es -dijo la persona que tenía el pelo rubio-, pero habrás observado que nadie tiene el color de pelo que corresponde a su apellido." "¡Es verdad!" -exclamó quien se apellidaba Blanco. Si la dama no tiene el pelo castaño, ¿de qué color es el cabello de Rubio? SOLUCIÓN: Suponer que la dama se apellida Castaño conduce rápidamente a una contradicción. Su observación inicial fue replicada por la persona de pelo rubio, así que el pelo de Castaño no podrá ser de ese color. Tampoco puede ser castaño, ya que se correspondería con su apellido. Por lo tanto debe ser blanco. Esto implica que Rubio ha de tener el pelo castaño, y que Blanco debe tenerlo rubio. Pero la réplica de la persona CURSO: 2.011-2.012

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rubia arrancó una exclamación de Blanco y, por consiguiente, éste habría de ser su propio interlocutor. Por lo que antecede, la hipótesis de que la dama sea Castaño debe ser descartada. Además, el pelo de Blanco no puede ser de este color, ya que coincidirían color y apellido, y tampoco rubio, pues Blanco replica a la persona que tiene ese cabello. Hay que concluir que el pelo de Blanco es castaño. Dado que la señora no tiene el pelo castaño, resulta que ésta no se apellida Blanco, y como tampoco puede llamarse Castaño, nos vemos forzados a admitir que su apellido es Rubio. Como su pelo no puede ser ni rubio ni castaño, se debe concluir que es blanco. Si la señora Rubio no es una anciana, parece justificado que estamos hablando de una rubia platino.

93. “COMIENDO EN EL RESTAURANTE” Armando, Basilio, Carlos y Dionisio fueron, con sus mujeres, a comer. En el restaurante, se sentaron en una mesa redonda, de forma que: - Ninguna mujer se sentaba al lado de su marido. - Enfrente de Basilio se sentaba Dionisio. - A la derecha de la mujer de Basilio se sentaba Carlos. - No había dos mujeres juntas. ¿Quién se sentaba entre Basilio y Armando? SOLUCIÓN: La mujer de Dionisio. Siguiendo el sentido de las agujas del reloj, la colocación es la siguiente: Armando, mujer de Dionisio, Basilio, mujer de Armando, Carlos, mujer de Basilio, Dionisio y mujer de Carlos.

94. “LLENANDO LA PISCINA” Una piscina se puede llenar con tres surtidores. El primer surtidor tarda en llenarla 30 horas, el segundo tarda 40 horas y el tercero 5 días. Si los tres surtidores se conectan juntos, ¿cuánto tiempo tardará la piscina en llenarse?

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SOLUCIÓN: El primer surtidor llena la piscina en 30 horas, por tanto, en una hora 1 de piscina. llena 30 El segundo surtidor llena la piscina en 40 horas, por tanto, en una hora 1 llena de piscina. 40 El tercer surtidor llena la piscina en 5 días, es decir, 120 horas, por tanto, 1 en una hora llena 120 1 1 1 8 1 + + = = de piscina, 30 40 120 120 15 por lo tanto la piscina se llenará en 15 horas.

Los tres grifos llenan en una hora

95. “LA ORUGA Y EL LAGARTO” La oruga piensa que tanto ella como el lagarto están locos. Si lo que cree el cuerdo es siempre cierto y lo que cree el loco es siempre falso, ¿el lagarto está cuerdo? (Original de Lewis Carroll) SOLUCIÓN: El lagarto está cuerdo, la oruga loca. Si lo que cree el cuerdo es cierto entonces si la oruga estuviera cuerda diría la verdad y por tanto estaría loca, por tanto, no puede a la vez estar loca y cuerda, por tanto el cuerdo es el lagarto y la oruga la loca.

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96. “LOS NEUMÁTICOS” Todos los neumáticos son de goma. Todo lo de goma es flexible. Alguna goma es negra. Según esto, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a) Todos los neumáticos son flexibles y negros. b) Todos los neumáticos son negros. c) Solo algunos neumáticos son de goma. d) Todos los neumáticos son flexibles. e) Todos los neumáticos son flexibles y algunos negros. SOLUCIÓN: La d) y la e)

97. “FALSA APARIENCIA” Dadas las dimensiones (en centímetros) que muestra la ilustración, calcula la longitud de la diagonal del rectángulo que va de la esquina A a la esquina B. SOLUCIÓN: Dibuja la otra diagonal de rectángulo y verás que es el radio de la circunferencia, por tanto 10 cm es lo que mide la diagonal buscada.

98. “EL JOVEN HINDÚ Y EL GATO” ¿Cuántos cuadrados distintos puedes contar en el dibujo del joven hindú con turbante? ¿Cuántos triángulos distintos puedes contar en el dibujo del gato? Observa atentamente. ¡Los problemas no son tan fáciles como podría parecer!

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SOLUCIÓN: Al resolver problemas de este tipo siempre es mejor contar las figuras de algún modo sistemático. En el dibujo del joven hindú, tomemos los cuadrados por orden de tamaño:

Los triángulos del gato pueden contarse así:

99. “CORTANDO EL PASTEL” Con un solo corte recto puedes dividir un pastel en dos partes. Un segundo corte que atraviese el primero producirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte (ver la ilustración) puede llegar a producir siete partes. ¿Cuál es el mayor número de partes que puedes lograr con seis cortes rectos?. CURSO: 2.011-2.012

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SOLUCIÓN: En vez de resolver este problema por medio del ensayo y el error, una manera mejor es descubrir la regla que nos dará el mayor número de partes que pueden obtenerse con cualquier número de cortes. El pastel sin cortar es una sola parte, de modo que cuando se hace el corte nº 1 se suma una parte más, lo que da dos partes en total. El corte nº 2 suma dos partes más, totalizando 4. El corte nº 3 suma tres partes más totalizando 7. Parece que cada corte suma un número de partes que es igual al número del corte. Esto es cierto, y no resulta difícil observar por qué. Considérese, por ejemplo, el tercer corte. Atraviesa dos líneas previas. Esas dos líneas dividen a la tercera en tres secciones. Cada una de esas tres secciones divide un pedazo de pastel en dos partes, de modo qué cada sección agregará un pedazo extra, y las tres secciones, naturalmente, agregarán tres pedazos. Lo mismo ocurre en el caso de la cuarta línea. Puede marcarse de manera que cruce las otras tres líneas. Esas tres líneas dividirán a la cuarta en cuatro pedazos más, y lo mismo ocurre en el caso de quinta línea, de la sexta y de todas las que deseemos agregar. Este tipo de razonamiento, que va desde el caso particular hasta un número infinito de casos, se conoce como inducción matemática. Si se tiene en cuenta esta regla, resulta fácil hacer una tabla que muestre el mayor número de partes que producirá cada corte:

Número de cortes 0 1 2 3 4 5 6 7

Número de partes 1 2 4 7 11 16 22 29

La ilustración muestra cómo puede lograrse que seis cortes produzcan 22 partes, que es la respuesta del problema original

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100. “QUIEN ES QUIEN”

SOLUCIÓN:

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