Problemas cognoscitivos determinantes by Biblioteca "Licda. Etelvina Trejo de Palencia"

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA DE EL SALVADOR FACULTAD DE EDUCACIÓN

JURADO EXAMINADOR Y ASESOR

LIC: JULIAN MARRERO GONZALES PRESIDENTE

LIC: HECTOR ANTONIO FLORES 1er. VOCAL

LIC: RENE ZELADA MONTENEGRO 2do. VOCAL

LIC: LUIS ALONSO ARENIVAR ASESOR 3

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA DE EL SALVADOR FACULTAD DE EDUCACIÓN

AUTORIDADES UNIVERSITARIAS

INGENIERO: LUIS MARIO APARICIO GUZMAN RECTOR

LICDA.: CATALINA RODRIGUEZ DE MERINO VICE RECTORA ACADEMICA

LIC.: JORGE ALBERTO ESCOBAR GOMEZ DECANO DE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACION

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA DE EL SALVADOR FACULTAD DE EDUCACIÓN

“PROBLEMAS COGNOSCITIVOS DETERMINANTES Y RECURRENTES QUE INCIDEN EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA, EN 10 ALUMNOS DE OCTAVO GRADO “A” DEL CENTRO ESCOLAR SAN NICOLAS LEMPA, CANTON SAN NICOLAS LEMPA, MUNICIPIO DE TECOLUCA, DEPARTAMENTO DE SAN VICENTE, EL SALVADOR, 2007”

TESIS ELABORADA POR:

WALTHER ANTONIO DURAN RIVERA

PARA OPTAR AL GRADO DE:

LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN, ESPECIALIDAD MATEMATICA

SAN SALVADOR, EL SALVADOR, C. A. 2008

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA DE EL SALVADOR FACULTAD DE EDUCACIÓN

TESIS ELABORADA POR:

WALTHER ANTONIO DURAN RIVERA

PARA OPTAR AL GRADO DE:

LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN, ESPECIALIDAD MATEMATICA

SAN SALVADOR, EL SALVADOR, C. A. 2008

INDICE

CAPITULO I

PAGS

MARCO CONCEPTUAL

1. OBJETIVO GENERAL

2. OBJETIVOS ESPECIFICOS

3. INTRODUCCION

4. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA

4.1 Objetos matemรกticos y significados.

5. JUSTIFICACION

6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

7. ALCANCES Y LIMITACIONES

8. RECUENTO DE CONCEPTOS Y CATEGORIAS

DEFINICIร N DE TERMINOS

CAPITULO II: MARCO TEORICO

1. INTRODUCCION

2. FUNDAMENTACION TEORICA METODOLOGICA

24 1

2.1 EL LENGUAJE MATEMATICO ES ABSTRACTO

2.2 CONOCIMIENTO Y CONSTRUCTIVISMO

2.3 COGNOSCITIVIDAD Y PSICOLOGIA COGNITIVA

ANTE EL APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES 2.4 SINTAXIS MATEMATICA Y APRENDIZAJE

2.5 ASPECTOS CONCEPTUALES Y SEMANTICOS

PARA ENSEÑAR MATEMATICA

3. CONSTRUCCION DEL MARCO EMPIRICO

4. FORMULACION TEORICA METODOLOGICA DE LO

INVESTIGADO

5. DESARROLLO Y DEFINICION TEORICA

CAPITULO III: MARCO OPERATIVO

1. DESCRIPCION DE LOS SUJETOS

DE LA INVESTIGACION

2. PROCEDIMIENTOS PARA LA RECOPILACION DE DATOS

3. DESARROLLO DE PRUEBA PILOTO

4. ESPECIFICACION DE LA TECNICA PARA

EL ANALISIS DE LOS DATOS

5. CRONOGRAMA

6. RECURSOS

66 2

7. INDICE PRELIMINAR SOBRE INFORME FINAL

8. BIBLIOGRAFIA GENERAL Y UTILIZADA

9. ANEXOS

CAPITULO I: MARCO CONCEPTUAL.

1. OBJETIVO GENERAL

Conocer los problemas cognoscitivos más recurrentes que afectan a un alumno, en el abordaje de las operaciones básicas con monomios y polinomios, para reflexionar en torno a los factores incidentes en la adquisición y comprensión del lenguaje matemático, en el proceso de aprendizaje.

2. OBJETIVOS ESPECIFICOS

Identificar las posibles causas que provoca un abordaje inadecuado, por parte del alumno, del contenido operaciones básicas con monomios y polinomios, que le afectan de manera significativa para no tener una asimilación adecuada de las estructuras algebraicas inherentes a este tema.

Descubrir las dificultades más recurrentes, al utilizar estructuras algebraicas en la resolución de situaciones problema de nuestro entorno, para contribuir a superar algunos problemas cognoscitivos en el proceso de aprendizaje de la matemática de los alumnos.

3. INTRODUCCION

El presente trabajo trata sobre aquellas situaciones-problema que afectan a un educando, para el aprendizaje de la matemática. Se considera que esta ciencia es de gran importancia para contribuir al desarrollo de la capacidad de abstracción, y en el caso que compete estudiar, ayuda a potenciar más esa capacidad de abstraer que los alumnos poseen de su entorno.

Ante estas circunstancias se propone también que este estudio, no refiere a la matemática como único medio influyente para el desarrollo o potenciación de esas capacidades, sino más bien como una de las alternativas que él tiene para ir consolidando sus procesos de comprensión ante los problemas de la realidad.

Este motivo permite que el estudio de esta problemática se aborde también desde diversas perspectivas, algunas de carácter constructivistas, en materia de las cogniciones del educando, de aquellos constructos que utiliza para asimilar y traducir el conocimiento nuevo con ayuda de los conocimientos previos, en aprendizaje significativo, el cual será producto de la forma en la cual ordena y estructura la información que se le confiere o toma del medio que le rodea, en referencia a los “objetos matemáticos”, y en relación con el significado sobre estos objetos, así la primera idea puede entenderse como: “ la utilización de imágenes conceptúales, definiciones conceptúales para describir el conocimiento de un sujeto y en sí todas

las entidades mentales que se introducen para

distinguir los conceptos matemáticos formalmente definidos que un alumno es capaz de internalizar, para establecer conclusiones”.

La segunda idea referente al “significado”, esta basada en “todas aquella representaciones internas que el educado realiza sobre los objetos matemáticos, con finalidad de llevar esas representaciones a la traducción mediante el lenguaje algebraico”1. Se propone entonces que el significado será el que contribuya a 1

D. Godino, Juan; “Marcos Teóricos de Referencia sobre Cognición Matemática”, Tesis UPES, pág. 2

determinar las relaciones que existirán entre las representaciones internas para traducirlas en representaciones externas del objeto matemático en estudio.

Es pertinente mencionar que las definiciones que existen son variadas, dependiendo de la perspectiva de cada autor, presentadas en este proyecto de investigación, pero se toma ante ello el bosquejo del concepto que se encuentre más próximo al estudio de esta problemática, es decir lo más cercano a la idea que cada autor pretende.

Posteriormente en la justificación del problema, se trata de poner en evidencia la importancia que posee el estudio de esta ciencia, ante la dificultad que existe para asimilarle, el beneficio de conocerla un poco más; como medio que nos permita comprender de mejor forma algunos fenómenos de nuestro entorno y ante la problemática que implica dentro del proceso de aprendizaje para con los alumnos, materia que nos conlleva a resaltar la relevancia de tomar en cuenta a la didáctica de la matemática, quien se apoya en otras ciencias como la psicología, filosofía, etc.; entre otras ciencias, quienes contribuyen para que haya una mayor concepción ante las situacionesproblema que podrían tener una significación, a través del estudio que pueda dárseles mediante el terreno del algebra.

Después aparecen una serie de conceptos y definiciones utilizadas a lo largo de todo el texto, los cuales proponen parte de la idea que se pretende lograr con el estudio de esta temática, y de tal forma que estos ayuden a comprender algunos términos de uso frecuente en el terreno de la matemática, ciencia que se ha tornado en la actualidad y desde tiempos anteriores en difícil de asimilar.

Seguidamente en el marco teórico, se abordan algunos situaciones en relación con las contribuciones que algunos autores proponen, en materia de la forma en que se deben abordar estas situaciones-problema, para que la didáctica de la matemática las tome en consideración, valorando algunas de estas teorías 6

mediante enfoques de carácter constructivistas, ayudando a comprender con mayor profundidad aquellos problemas por los cuales atraviesa un alumno ante el aprendizaje de la matemática, también se apoyan estas ideas de cómo estructuran el conocimiento los estudiantes en la psicología cognitiva, quien brinda aportes sustanciales sobre la capacidad de los alumnos para realizar representaciones internas y externas sobre los objetos matemáticos. Luego aparece la bibliografía de donde se han tornado muchas ideas sobre la problemática en estudio, las que han sido tratadas de explicar en todo el texto.

4. ANTECEDENTES:

4.1 OBJETOS MATEMATICOS Y SIGNIFICADO.

Para abordar la idea sobre los objetos matemáticos, es importante resaltar también toda una teoría sobre el tema del significado, que acompaña esta forma de ver la realidad a través de objetos matemáticos, ante esta situación se propone lo siguiente, "el significado que atribuyen los alumnos a toda la terminología y simbología matemática, a los conceptos y proposiciones, así como exp licar la construcción de estos significado s como consecuencia de la instrucción" 2. Para esta propuesta debemos retomar la idea de los constructor que los estudiantes son capaces de realizar a nivel cognoscitivo, pues resulta viable traer al caso que ellos poseen mucho conocimiento de la realidad en la cual están inmersos, aspecto que les permite construir sus propias representaciones esquemáticas a nivel mental del entorno y de los objetos matemáticos que nos interesan para este planteamiento.

Luego, habrá la necesidad de sumarle a esto toda la instrucción que están recibiendo consta ntemente. permitiendo con ello reforzar mayormente la capacidad de estructurar de mejor manera los esquemas que ya poseen en relación con los conocimientos nuevos que les inculcan, a tal grado de estar 2

D. Godino, Juan; “Marcos Teóricos de Referencia sobre Cognición Matemática”, Tesis UPES, pág. 2

renovando y consolidando en mejor forma sus conceptos y concepciones en materia de la comprensión a través de los significados pertinentes, atribuibles a los objetos matemáticos, guiándoles en esa medida al establecimiento de situaciones concretas o traducciones específicas producto de la comprensión y asimilación obtenida en materia del conocimiento.

Por otra parte, "la noción de significado utilizada con frecuencia de manera informal en los estudios didácticos, es un tema central y controvertido en filosofía, lógica, semiótica y demás ciencias y tecnologías interesadas en la cognición humana". Como anteriormente se expone, el significado y las construcciones esquemáticas que los estudiantes son capaces de realizar, sobre los objetos matemáticos; resulta ser un tema de mocha dificultad para los investigadores, aunque se reconoce el aporte sustancial que tendrían estas teorías en materia de la didáctica, ya que suponen que la noción de significado, puede llegar a resolver la problemática que existe para comprender todas aquellas relaciones que resultan entre las distintas formulaciones teóricas que han sido elaboradas en materia del aprendizaje de la matemática.

Se aclara también ante esta perspectiva el soporte que brindaría la idea del significado para retomar el estudio bajo otras dimensiones que contribuirían posteriormente en la comprensión de los temas referidos a la evaluación de como se adquiere el conocimiento y sobre las formas en que son organizadas las ideas con ayuda de la instrucción. Lo controvertido del tema del significado se pone de manifiesto para la didáctica por el use que hacen algunos autores, interesados por el fundamento sobre este término, como ejemplo tenemos la idea de Balacheff (1990), "Un problema pertenece a una problemática de investigación sobre la enseñanza de la matemática si esta específicamente relacionado con el significado matemático de las conductas de los alumnos en la

clase de matemáticas"3.

En la concepción del termino significado que propone este autor, destaca la importancia de retomar aquellas conductas que el maestro observa ante el proceso de enseñanza de la matemática, en relación con los alumnos, así resalta la importancia de conocer si los alumnos, en realidad están interesados por apropiarse de los conocimientos que esta ciencia les brinda y como situación que involucra a la didáctica, se pregunta sobre aquellos aspectos que deben tenerse en consideración, sobre los significados matemáticos que un maestro o un investigador logre definir respecto del educando, a partir de la observación de la conducta que este adopta, dentro del proceso de transmisión de los conocimientos.

También se cuestiona sobre los tipos de significados que el alumno es capaz de construir en referencia al aprendizaje de la ciencia misma, de igual modo se pregunta sobre la importancia de brindar un contenido en específico a los estudiantes en relación con el significado que tenga esa temática ante la situación que el vive dentro de la sociedad, es decir propone tomar en consideración el brindar una explicación lógica y coherente del beneficio que tendrá para el educando el estudio de esta ciencia.

En otro caso Sierpinska (1990). considera básica para la didáctica de la matemática la idea de significado en relación con la comprensión, para ello propone: "Comprender el concepto será entonces concebido como el acto de captar su significado", para esta autora, si un estudiante asimila el contenido que le proponen, de tal forma que sus esquemas mentales traduzcan la información para que se consolide como parte fundamental del nuevo saber que ha ganado, este acto será probablemente un acto de procesamiento de la información de manera estructurada que posteriormente conllevó a una síntesis de significados

D. Godino, Juan; “Marcos Teóricos de Referencia sobre Cognición Matemática”, Tesis UPES, págs. 2-3

que el educando construyó para apropiarse de ese conocimiento, convirtiéndose así, en significados captados mediante un acto de comprensión, entendiéndose esto ultimo como aquellos actos que se preocupan por el proceso de construir el significado de los conceptos a nivel de la cognición del educando.

Ante ello expone Dummett (1991), "De todo lo que una teoría del significado tiene que dar cuenta es lo que alguien conoce cuando conoce el lenguaje, esto es cuando conoce los significados de las expresiones y oraciones de un lenguaje" 4. La propuesta de este autor es un poco más generalizada, pero se enfoca también en la idea del significado como un referente a los procesos de comprensión, es decir promueve que un estudiante puede tener una idea más clara de los conceptos y definiciones que le son propuestos en la medida que dominen la terminología y simbología referente al tema de estudio, es decir que este se encuentre empapado del lenguaje básico inherente al tema, obteniendo como resultado la comprensión adecuada hacia el contenido.

Otro de los factores ante el problema del significado y ante el proceso de comprensión de los alumnos, lo propone Brunner (1990) mediante el punto de vista de la psicología cultural, donde plantea lo siguiente. "El concepto fundamental de la psicología humana es el de significado y los procesos y transacciones que se dan en la construcción de los significados". Para este personaje y en el ámbito de la psicología cultural, el interés se encuentra puesto en todos

aquellos

procesos,

reglas

particularidades

cada

individuo,

pertenecientes a la estructuración del conocimiento, a los cuales recurre la mente del ser humano al momento de crear significados, que se conviertan en experiencias de aprendizaje, para el caso que compete el aprendizaje del algebra y la matemática en si misma.

En última instancia retomo la idea de otro personaje, Brousseau (1980), quien al igual que Balacheff, tiene sus propios cuestionamientos sobre: "Cuales son las 4

D. Godino, Juan; “Marcos Teóricos de Referencia sobre Cognición Matemática”, Tesis UPES, pág. 3

componentes

del

significado que pueden deducirse del comportamiento

matemático observado en el alumno". Para la concepción que este autor propone es difícil extraer de la mente de un alumno los procesos en particular que ellos tienen para dar un significado a los objetos matemáticos, poniendo en evidencia que hasta el momento no hay componentes que indiquen la forma correcta de coma ellos estructuran los conocimientos para que se produzca el proceso de comprensión.

Ante toda esta problemática esta la preocupación por el carácter relevante que la idea de significado tiene no solo para la didáctica de la matemática, sino para la psicología en general, es pertinente decir que se tiene nada más sobre este termino un enfoque preteórico que estará sujeto por el momento a las concepciones que cada autor realiza para enfocar la dificultad que esta problemática de la adquisición del conocimiento matemático y de las formas que un alumno tiene para realizar los constructos a nivel esquemático sobre los objetos matemáticos en estudio.

5. JUSTIFICACION DEL PROBLEMA.

Para seleccionar este problema se pensó en primera instancia en lo difícil que resulta para un maestro y toda la comunidad educativa, tratar con problemas que llevan inmerso procesos de análisis matemáticos frente a la falta de dominio de las operaciones básicas como sumar, restar, multiplicar y dividir, por parte de los alumnos, convirtiéndose lo anterior en un llamado de atención para todas las instancias educativas de nuestro país para que valoren la problemática y comience a surgir una tendencia que opte por una metodología que conlleve al reforzamiento de estos aspectos importantes para el aprendizaje de la matemática, que en si mismo afecta el conocimiento y aprendizaje del terreno para el que estas operaciones básicas preparan, el álgebra.

Conocemos que en nuestro país se implementan periódicamente nuevas reformas, las cuales implican que existe una tendencia por mejorar la educación en el territorio nacional, pero no sucede de la misma manera con el seguimiento que debería dársele a esta ciencia tan importante, no solo para el desarrollo de capacidades y habilidades en los educandos, sino también para el desarrollo de la capacidad de abstracción que ellos deben poseer para insertarse en los diferentes niveles que presenta nuestro sistema educativo, con el fin de llevarle constantemente a la consecución de un pensamiento cada vez mas analítico a cerca de las situaciones problema que a diario enfrenta en nuestra sociedad alienante.

Por tales circunstancias, las de nuestro entorno educativo; podemos observar la crisis por la cual atraviesa el razonamiento lógico matemático de nuestros educandos al momento de llegar a su tercer ciclo de educación básica, y para el caso que nos merece la problemática se torna para ellos mas compleja cuando abordan su octavo grado, en el cual, el profesor maneja la idea de que han alcanzado todas sus competencias en el campo de la aritmética básica, y se encuentran en teoría aptos para hacer una alianza entre los números, las operaciones básicas del aritmética y las letras, que se convierten en las nuevas estructuras que el educando abordara y mantendrá en adelante a través de su recorrido por el terreno del álgebra. A todo ello se suman todas las ideas manifestadas por muchos educadores, sobre el caso de la complejidad que incluye el aprendizaje de la matemática, convirtiéndose esto en un fenómeno que repercute en la ideología que el educando se ira formando en grados posteriores, a cerca las carreras a las que el puede optar, sin tener que cursar esta materia, todo ello producto de la aversión que los educadores en alguna ocasión tuvieron que experimentar al cursarla, por tal situación es mas que obvio que nuestro sistema educativo deba sentirse comprometido con potenciar

el desarrollo y crecimiento de programas

encaminados a inculcar la importancia que conlleva la adquisición del lenguaje matemático en relación con la capacidad de análisis que se necesita para vivir en 12

esta sociedad tan alienante y cambiante que obliga a ser más proactivo en cada día que pasa.

Posteriormente cabe destacar que este proyecto también pretende observar aquellos fenómenos de carácter cognoscitivos que el estudiante enfrenta en el momento de abordar junto con el maestro un determinado contenido, lo cual dificulta el proceso de asimilación que éste pueda lograr, agregándole a ello la incomodidad que el maestro enfrenta al encontrarse con secciones de estudiantes que resultan ser muy numerosas, y en atención a la diversidad de ideologías que en algunos de los estudiantes ya han formado ante esta ciencia.

Este factor que les obliga a pensar en carreras mas próximas de alcanzar, como carreras de carácter técnico, frustrando con ello las aspiraciones y sueños que en una época se trazaron, es válido rescatar con este planteamiento, que la idea no radica en que todo el saber para con los alumnos esta basado solo en el terreno del aprendizaje del álgebra como única solución a la realidad que nos circunda pero; si representa un aspecto importante dentro del campo educativo, pues; los educandos de una u otra forma están en constante aprendizaje dentro de la escuela y dentro de nuestro sistema educativo nacional. Por tanto merecen que se les brinde la atención debida y optima, que les permita traducir todo ese cúmulo de conocimientos en experiencias que puedan en alguna medida, insertarlos con mayor facilidad dentro de nuestro medio social, por ello y ante otros factores incidentes en esta problemática en torno al aprendizaje y rendimiento

académico de los estudiantes, en el terreno del

álgebra, en especifico para trabajar con las operaciones básicas de monomios y polinomios que ayudan a comprender mejor el porqué la utilización de toda una gama y estructura simbólica, que ayude al desarrollo del pensamiento abstracto y que

merece le adjudiquemos un poco de importancia al considerar estudios

posteriores, de tal manera que

la matemática en si, se este conformando cada

día más como un patrimonio que nos ayuda a lograr un nuevo enfoque para el análisis de problemas cotidianos, evitando al mismo tiempo cometer el error de 13

pensar que las otras ciencias quedan fuera de este proceso, aspecto que se tornaría en una equivocación para el acto del proceso de aprendizaje.

6. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En nuestro medio social, cultural e histórico, el aprendizaje de la matemática es uno de los factores que inciden en gran medida dentro de la formación educacional que los estudiantes reciben, debido a la complejidad propia de esta ciencia, por ello es necesario que los docentes de nuestro sistema educativo, tomen en consideración aquellas situaciones por las que atraviesa un estudiante, al momento de intentar asimilar los conocimientos matemáticos.

Son este tipo de situaciones las que llevan a preguntarse lo siguiente: ¿Qué factores son los que inciden en el aprendizaje de esta ciencia?, ¿Por qué a los alumnos se les hace difícil elegir una rama del conocimiento al momento de optar por una carrera que requiera de una preparación previa de matemática?, ¿Por qué esta ciencia les provoca frustración a los estudiantes en sus estudios?, ¿Cómo hacer para que los alumnos asimilen con mayor facilidad el conocimiento matemático? El problema no es tarea sencilla para el docente y el alumnado, tomando en cuenta que tampoco es novedoso, pues los antecedentes muestran que siempre ha existido este fenómeno en épocas pasadas y que debido a este factor, las investigaciones se han comprometido ha observar, discutir y tratar de plantear variantes que contribuyan a comprender el fenómeno desde otro punto de vista que beneficien el proceso de enseñanza-aprendizaje.

El compromiso es fuerte y no compete solo a los procesos de comprensión que los alumnos logran, sino también al conocimiento que los docentes deben tener como mínimo, sobre esta ciencia, al momento del proceso de transmisión de ideas, de tal manera que el aprendizaje de la matemática adquiera ese carácter dinámico y comprensible ante la apreciación del alumnado.

7. ALCANCES Y LIMITACIONES: ALCANCES La investigación pretende abordar muchos factores que intervienen en el aprendizaje que los alumnos logran al momento de estudiar matemática. Por ello debe considerarse la idea de hacer un llamado a la conciencia a entidades encargadas de la educación en nuestro medio social, pues son el medio para que el desarrollo de esta ciencia tenga crecimiento en nuestro entorno. Sabemos por hechos históricos anteriores, que la matemática es un campo difícil de asimilar

para los educandos; la formación que ellos reciben, debe

tener un mayor espacio para el desarrollo de algunos proyectos que involucren situaciones de la vida real en contraste con la resolución de problemas matemáticos. Por este motivo, se trata de analizar algunas posturas filosóficas ante los objetos matemáticos y su significado, puede destacarse entre estos avances, "el enfoque operacional o pragmático que tiene el mérito de definir el significado en términos contextuales. Es decir, puramente empíricos, sin necesidad de recurrir a estados mentales vagos, intangibles y subjetivos" 5. (Wittgenstein, 1953). Se trata de resaltar el carácter instrumental que posee el lenguaje que se utiliza en esta ciencia, donde el concepto es una serie de operaciones, sinónimo con el conjunto de operaciones en los cuales se esta trabajando de tal forma que podamos acercarnos a una concepción referencial del significado. "Desde un punto de vista epistemológico la definición pragmática del significado, es mucho mas satisfactoria que la teoría figurativa realista"6, con la teoría del pragmatismo se desaparecen conceptos y proposiciones como datos independientes de la

5 6

D. Godino, Juan; “Marcos Teóricos de Referencia sobre Cognición Matemática”, Tesis UPES, pág. 7 D. Godino, Juan; “Marcos Teóricos de Referencia sobre Cognición Matemática”, Tesis UPES, pág. 8

lengua y se disipa el problema de como pueden ser conocidas estas entidades, acercándonos a fenómenos que justifican la dependencia que puede tener el pensamiento y de la experiencia respecto del lenguaje a utilizar. El reto esta en potenciar en los estudiantes formas que les lleven a pensar de manera mas general y propiamente sobre estos conocimientos que posee la matemática, por medio de valorar aquellos aspectos que resultan ser de gran dificultad para ser asimilados por ellos y como consecuencia evitan que haya una mayor asimilación e internalización de los contenidos que propone un docente en el aula Por tanto este proyecto de investigación, pretende lograr en primera instancia; tener una base teórica y fundamentada que ayude a cambiar el enfoque de "difícil de enseñar y asimilar", adoptado por docentes y personal que administra los procesos educativos de nuestro entorno. Luego pretende valorarse la importancia del estudio y aprendizaje de la matemática como una fuente del conocimiento que propicie el crecimiento y desarrollo cognitivo de los educandos, de tal forma que ellos también adopten una actitud crítica ante las situaciones problema de nuestro entorno social, que involucren soluciones a través de esta ciencia.

LIMITACIONES:

La matemática es una ciencia que trabaja los aspectos más generales de la vida real, propiamente matemáticos; este hecho lleva a pensar en las particularidades que posee, lo frustrante que puede ser para asimilarle cuando no existe una preocupación por la metodología para enseñarla. Por otra parte sabemos que la didáctica de la matemática siente interés por el Significado

que

atribuyen

los

educandos

los

términos,

símbolos

matemáticos, conceptos, proposiciones etc.

Convirtiendo la "noción de significado (utilizando de modo informal en estudios didácticos en un tema central y controvertido en filosofa, semiótica y demás ciencias y tecnologías interesadas en la cognición humana)" 7. Luego, podemos situarnos en dos polos opuestos: "considerar el lenguaje en un nivel secundario, en relación con los objetos matemáticos

pensar

que

objetividad

matemática

esta

inseparablemente unida a su formulación lingüística"8. En esta postura puede observarse que la objetividad de la matemática debe tener un auxilio del lenguaje matemático formal pero que el estudio del significado tenga cada vez mayores probabilidades de ser entendido por maestros y alumnos dentro del proceso de aprendizaje.

Ante esta perspectiva, debe valorarse que la educación en matemática, implica guiar al estudiante al dominio de conceptos, al conocimiento de métodos, a la potenciación de habilidades y destrezas matemáticas, por medio de procesos pedagógicos que contribuyan a identificar factores determinantes y recurrentes, que inciden notoriamente en la adquisición del conocimiento matemático.

Estos aspectos tienen mucho peso en la asimilación de los contenidos matemáticos propuestos a los educandos, agregando a esta situación que en nuestro sistema educativo, en nivel básico existen casos de docentes que imparten esta materia sin ser especialistas, la falta de recursos materiales y económicos que propician el ausentismo temporal del alumnado, infraestructura inadecuada, deficiente formación básica de los estudiantes en sus primeros niveles ante los conocimientos matemáticos, la carencia de ética de docentes ante los comentarios sobre esta ciencia delante de los educandos en formación, etc.

7 8

Godino, Juan; “Marcos Teóricos de Referencia sobre Cognición Matemática”, Tesis UPES, pág. 2 Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, vol. x, # 2, 2003 Pág. 151.

Generando en esa medida en el alumnado que a tempranas edades sientan aversión por apropiarse de los conocimientos que incluye el estudio de la matemática. 8. RECUENTO DE CONCEPTOS Y CATEGORIAS: DEFINICION DE TERMINOS.

En esta sección se presenta la definición de algunos términos utilizados en todo el trabajo de investigación, con el objetivo de facilitar la asimilación de las ideas planteadas por diversos autores, en relación con la terminología que atañe al campo de la matemática y teorías que contribuyen a que la didáctica de la matemática, adquiera un carácter mas notorio en el proceso de enseñanza de esta ciencia. De la misma forma se aclara que parte de estos conceptos y definiciones, en su mayoría no poseen carácter único debido a la complejidad que tienen en relación a la posición de diversos autores, por tanto se pretende con algunos términos hacer una representación adecuada aunque no exacta, que permita mostrar nada mas parte de la idea que proponen.

Objetos matemáticos, referido a todos aquellos objetos de referencia, simbología,

terminología,

situaciones-problema,

técnicas,

concepciones,

conceptos, proposiciones, argumentaciones, teorías, entornos de aprendizaje, etc., de los cuales se vale la mente humana para comprender aspectos relacionados con el aprendizaje de la matemática9. Este concepto hace referencia a todos aquellos problemas de los que puede poner mano el educando en el momento del proceso de aprendizaje, a nivel de los esquemas mentales que posee, mediante la interacci6n con algunos de ellos, con finalidad de internalizar conocimientos previos y recientes sobre los objetos para formar un concepto que le produzca un aprendizaje mas significativo. 9

D. Godino, Juan; “Marcos Teóricos de Referencia sobre Cognición Matemática”, Tesis UPES, págs. 2,4,8,9

En cuanto al significado, relacionado estrechamente con el problema de las representaciones internas y externas hechas por los educandos a nivel de procesos que suceden en la mente del mismo.

Ante este problema del significado se han generado muchos debates, aspecto que conlleva a ir consecución del mismo desde muchos puntos de vista, según el autor que lo retoma pero todos hacen alusión estrecha con las representaciones internas que los educandos elaboran sobre los objetos matemáticos, para tratar de asimilar todas aquellas particularidades que conforman el fenómeno, con el objetivo de estructurar este nuevo conocimiento para tener una mayor concepción de el. Podemos mencionar entonces que ante esta perspectiva, la didáctica de la matemática, debe interesarse por identificar el significado que los alumnos atribuyen a los términos y símbolos matemáticos, a los conceptos y proposiciones, axial como explicar la construcción de los significados como consecuencia de la instrucción. Como todos sabemos la didáctica se ocupa de todos los procesos inmersos en el proceso de enseñanza en general, ahora bien la didáctica de la matemática, con ayuda de otras ciencias trata de focalizar su estudio en todas aquellas situaciones que afectan a un alumno, al momento de presentarles la terminología básica que compete al terreno de la matemática en si, también estudia los factores por los cuales se les dificulta aprender los contenidos de esta ciencia en particular.

Por ello es importante que retomemos la idea de constructos, la cual nos refiere a los problemas cognitivos o cognoscitivos, llamados hoy en día construcciones mentales, de acuerdo con la dinámica que seguía la epistemología

piagetana (1960)10. Este concepto tiene relación con la idea que propuso la psicología cognitiva sobre ¿cómo adquieren el conocimiento los educandos?, a partir de los aportes de Kant, Piaget, ante esta temática de la asimilación del conocimiento como una visión moderna ante esta situación, dando paso a la idea que actualmente manejan como la revolución cognitiva, pues la mente según esta ciencia es considerada como un procesador. En la actualidad, la cognición es una adquisición y desarrollo sucesivo de estructuras lógicas cada vez más complejas.

Como se introdujo en el concepto sobre los constructos que el educando es capaz de realizar, a nivel cognitivo y en relación a la capacidad que la mente humana posee para asimilar, interiorizar y procesar la información que recibe a través de objetos matemáticos, surge la idea de cognición, en donde se retoma la filosofía de la capacidad estructural que el alumno puede hacer con la información que se le transmite y sobre los conceptos matemáticos, asociados con las imágenes conceptuales y las definiciones conceptuales para describir el conocimiento de un sujeto 11.

Podemos valorar que la idea anterior pretende retomar todos aquellos procesos que suceden en la mente del educando, a los cuales han convenido llamarles entidades mentales, en relación con todas aquellas situaciones conscientes o inconscientes que afectan el concepto, la concepción, el significado y uso de esa terminología particular de la matemática, ante el aprendizaje de la misma.

Tamayo Valencia; Alfonso: “Como Identificar Formas de Enseñanza”, Editorial Magisterio, 1999, Santafé de Bogotá, Colombia, Primera Edición, Pág.-71 11 D. Godino, Juan; “Marcos Teóricos de Referencia sobre Cognición Matemática”, Tesis UPES, págs. 24-2526

CAPITULO II: MARCO TEORICO: 1. INTRODUCCION

En los documentos que sobre la enseñanza y aprendizaje de la matemática elaboran instituciones educativas y administrativas, siempre aparecen interrogantes como: ¿para qué aprender matemática?, ¿Qué ventajas presenta saber matemáticas para encontrar trabajo?, ¿Qué utilidad tienen las matemáticas para un conductor de autobuses, un deportista, o un dependiente de un súper mercado?, etc.

Este tipo de cuestionamientos nos llevan a reflexionar en torno a ¿Qué variables influyen de manera muy significativa para el aprendizaje de la matemática? ¿Qué formación necesitamos los profesores para enseñar matemática en nuestra sociedad? Ante este tipo de situaciones debemos recordar

que

pretende

representar

algo

novedoso

con

esta

investigación sino más bien abordar algunos problemas de tipo cognoscitivos, que han estado incidiendo de manera muy notoria en el aprendizaje de los alumnos al momento de abordar un contenido especifico en el terreno de la matemática., lo cual se ve reflejado en el rendimiento académico que ellos muestran o en la actitud que presentan cuando se les expone un tema.

Para el caso que en este momento atañe, se pretende que al presentarles a los alumnos una exposición sobre el tema de operaciones básicas con monomios y polinomios, se pueda tener un referente que aporte información pertinente a este trabajo y tomar en esa medida algunas variables que sean de mucha utilidad para el desarrollo de la investigación, también se adjunta la opinión de autores que en cierta medida han contribuido al aprendizaje de la matemática, a su relatividad con el sujeto cognoscente y a valorar dificultades para asimilar los contenidos propuestos por el docente, no obviando que también rodea a los alumnos un entorno que 1

puede entenderse como la suma total de condiciones e influencias externas que afectan la vida y desarrollo de todo organismo, por tanto cabe mencionar que resultaría difícil decir cuales son los limites que los alumnos pueden tener para adquirir un determinado conocimiento; en esos términos; hay que considerar que el ambiente humano es el resultado de interactuar con factores objetivos:

físicos,

organizativos

sociales;

factores

subjetivos:

cognoscitivos, culturales y perceptuales; que al final repercuten de manera significativa en los alumnos y el aprendizaje de la matemática, pues la polémica sobre el rendimiento académico toma muy en consideración estos aspectos que se conforman como sustanciosos en el momento de aprender un contenido propuesto en matemática.

Podemos decir entonces, que se debe a este tipo de factores la importancia de hacer valoraciones que conlleven a despertar el interés por verificar si los alumnos, en realidad están aprendiendo o solo forman parte del contexto vivenciado del proceso de aprendizaje.

A todo este fenómeno podemos agregar el carácter formativo que la matemática lleva inmerso, pues si las metodologías que se están utilizando con los estudiantes no son las adecuadas el proceso de aprendizaje se tornara más confuso para que puedan apropiarse de ese conocimiento, lo que provocaría una reacción adversa, con referencia a la materia; hasta el grado de convertir aquello que el alumno pretende (aprendizaje), en aversión por esta ciencia. Ante esta situación surge la necesidad de valorar el lenguaje propio y formal que utiliza esta ciencia.

2. FUNDAMENTACION TEORICA METODOLOGICA 2.1 EL LENGUAJE MATEMATICO ¿ES ABSTRACTO? Anteriormente se ha querido mostrar un panorama de lo difícil que representa estudiar y comprender la lógica que sigue la matemática, en relación con variables que afectan de manera significativa el aprendizaje óptimo que podría alcanzar un alumno en este ámbito. Por tal razón es de gran utilidad rescatar que la matemática posee un lenguaje propio y particular que la distingue de otras ciencias, en consecuencia este lenguaje comparte la idea de partir de hechos reales, al igual que el de otras ciencias, no dejando fuera la permisibilidad para poder estudiar estos fenómenos con el alumnado y por qué no decir que estos hechos también quedan abiertos para ser valorados por otras especialidades.

"Por

otra

parte,

conocimiento

matemático

estrechamente

dependiente de un lenguaje especifico, de carácter formal, muy diferente de los lenguajes naturales." 1 Este lenguaje supone abstraer lo más esencial de las relaciones matemáticas eliminando referirse al contexto o situación, hasta considerar al lenguaje del álgebra como auténtico lenguaje, pero los debates ante este tema han generado mucha polémica en cuanto a la formalidad o la no formalidad que debe dársele a la matemática con referente al conocimiento que los alumnos reciben del maestro.

Pues en el lenguaje natural, que conocemos, cada palabra que mencionamos nos invita a realizar un bagaje que se convierte en impreciso, aspecto que la matemática también puede retomar de forma más obvia y precisa, tal es el caso de las siguientes pala bras escritas a continuación: largo, ancho, pequeño, etc. 1

Teberosky, Ana, Tolchinsky, Liliana; “Mas allá de la alfabetización”, Editorial Santillana, Paso 192, Avellaneda, Provincia de Buenos Aires, Argentina, Noviembre del 2000, pág. 288

En el lenguaje natural nuestro tienen su propio entendimiento, así ancho podemos definirlo en el lenguaje que conocemos como algo que posee una dimensión considerable o excesiva y podemos agregarle factores como la calle es ancha, el cuarto es ancho, etc. Quedando abierta la posibilidad para que podamos extendernos con una serie de definiciones acordes a esta variable, mientras que en matemáticas podríamos agregarle una dimensión más específica en relación al objeto del cual se habla, así tendríamos lo siguiente: El plano tiene cincuenta centímetros de ancho, la autopista tiene seis metros de ancho, etc.

Ahora, si se le plantea a un educando la palabra ancho, tendrá su propia idea para definirlo y cada alumno poseerá una respuesta que aportar sobre cada frase propuesta, metiéndonos en el terreno de la matemática estas palabras pueden tener también su interpretación de carácter más específico y cuantitativo ante un objeto, agregándoles un va lor numérico; luego, de esas particularidades podemos evidenciar que la matemática toma situaciones más concretas, particularizándolas a un lenguaje que permita una manipulación efectiva del conocimiento que existe a nuestro alrededor, dando posibilidad a la emisión de juicios más puntuales.

Contrario al procedimiento que seguimos en nuestro lenguaje natural, donde estos conceptos llevarían la tendencia de ser definidos de forma extensa. En relación con el alumnado, ¿Cómo esperar que un educando pueda aprender sobre los procesos lógicos que rigen un determinado tema en matemática, sino es mediante un lenguaje?, lo que sucede es que el lenguaje matemático tiene sus propias particularidades, pero este fenómeno no debe indicar que no parta de la realidad de nuestro lenguaje natural, por tanto debe considerarse que el carácter abstracto que esta ciencia posee, no significa que sea incomprensible para los alumnos.

"En resumen podríamos decir que los símbolos matemáticos poseen dos 4

significados: uno estrictamente formal, que obedece a reglas internas al propio sistema, y otro que podríamos Ilamar referencial, que permite vincular los símbolos matemáticos con las situaciones reales y hacerlos así sutiles para dar soluciones".2

Según la idea que pretende dar el texto, en el primer caso; se refiere al carácter formal que posee la matemática, regido por una serie de normativas intrínsecas que la gobiernan, sin embargo estas poseen autonomía desde el hecho que pertenecen al campo de la realidad, ya que la veracidad de estas ideas estará determinada por la lógica y coherencia con la cual se presentan las ideas. Para el segundo caso, sucede que las pretensiones de este ámbito radican en vincular toda la parte simbólica que incluye esta ciencia, con las situaciones reales, para proporcionarles utilidad en la resolución de problemas de aplicación a casos concretos de nuestro entorno.

2.2 CONOCIMIENTO Y CONSTRUCTIVISMO. El conocimiento es inherente para todas las personas y para la situación contextual que nos compete, el aprendizaje y las dificultades que presentan los alumnos al momento de entrar al terreno del álgebra, es muy importante saber con qué presaberes cuentan los educandos, con el objeto de tener una idea más clara sobre tal situación, entonces cabe la idea de hacernos una pregunta muy sencilla pero de amplia significación para este estudio, ¿cómo adquieren el conocimiento los educandos? Para abordar un poco más sobre esta situación competente a las formas de aprendizaje que el educando posee retomamos a un personaje clásico, quien fue uno de los primeros en indagar sobre la teoría del constructivismo (E. Kant), quien colocó las bases para que hoy podamos acercarnos a través del

Teberosky, Ana, Tolchinsky, Liliana; “Mas allá de la alfabetización”, Editorial Santillana, Paso 192, Avellaneda, Provincia de Buenos Aires, Argentina, Noviembre del 2000, pág. 293

conocimiento a una idea de aprendizaje para el educando por medio del constructivismo. Parte

este

pensamiento podemos analizarlo en la siguiente

proposición, "para construir conocimientos se requieren tanto la experiencia sensorial como la actividad de la mente (la razón)" 3 Para Kant existen formas a priori de la sensibilidad que permiten organizar los datos, utilizando nuestros sentidos, y luego poder ir construyendo a través de la experiencia nuestro propio conocimiento de la realidad y hace alusión a que sin ellas, se nos haría más difícil la organización de estructuras mentales que conlleven al potenciamiento del pensamiento abstracto.

Ese motivo es el que nos invita a pensar en los presaberes que el estudiante ya posee a la hora de abordar un contenido propuesto por el docente y tomar muy en cuenta los factores que inciden en el aprendizaje del álgebra en los alumnos, pues si no llevan ganada una buena base de conocimientos, más difícil se les tornara en el proceso de aprehensión de los conocimientos que se pretenden inculcar en ellos.

Por tanto, este proyecto tratará de enfocarse hacia aquellos aspectos más determinantes y recurrentes que puedan estar incidiendo en el aprendizaje de la matemática en un grupo de por lo menos diez estudiantes. Según Kant "Existen categorías que son resultado de la actividad del entendimiento sobre los fenómenos espacio-temporales y que nos permiten la construcción de conceptos, juicios y razonamientos." 4 Para este autor la matemática es un ejemplo claro de este enunciado ya que esta representa 3

Tamayo Valencia; Alfonso: “Como Identificar Formas de Enseñanza”, Editorial Magisterio, 1999, Santa Fé de Bogotá, Colombia, Primera Edición, Pág.-69 4

Tamayo Valencia; Alfonso: “Como Identificar Formas de Enseñanza”, Editorial Magisterio, 1999, Santafé de Bogotá, Colombia, Primera Edición, Pág.70

conocimientos que tienen el carácter de convertirse en un lenguaje universal, y como ejemplo de ello se pueden tomar los aspectos siguientes: cantidad, cualidad, relación y modo, que son conceptos que dan lugar a la comprensión del funcionamiento de un conocimiento con enfoque científico, el cual tiene como una de sus características el juicio ante toda investigación, convirtiéndose estos en conocimientos a priori, es decir conocimientos que añaden información nueva y pertinente en muchas ocasiones respecto del fenómeno, en otras palabras incorporan a la teoría del fenómeno existente nuevas experiencias, las cuales se adhieren al conocimiento y luego pueden ser tomadas como universales en la idea de este autor.

En otro enfoque relativo a las formas de aprender del ser humano y en relación con el caso para el cual se pretende este proyecto, los educandos de nuestro entorno, Piaget "considera que las categorías de las ciencias llegan a un estado final de desarrollo donde las estructuras lógico-matemáticas gobiernan a toda asimilación y constitución de conocimientos 5.

Para este autor el conocimiento que un alumno puede alcanzar tiene sus límites, él resume esta teoría en la adquisición de un lenguaje lógicomatemático y el dominio básico sobre la teoría de conjuntos, pero la teoría del

estructuralismo

lógico-matemático

creada

muy

recientemente,

desmiente este fenómeno sobre la capacidad de la mente humana que supone este personaje porque en la idea de esta novedosa propuesta, no puede considerarse como lógico-matemático a toda estructura mental, supone también que las mejores estructuras mentales no son solo bases en esta ciencia matemáticas, es decir debemos evitar concebir que los educandos aprenden de acuerdo a las fases de su desarrollo, ya que se ha comprobado que un niño pequeño tiene la capacidad de abstraer

Tamayo Valencia; Alfonso: “Como Identificar Formas de Enseñanza”, Editorial Magisterio, 1999, Santafé de Bogotá, Colombia, Primera Edición, Pág.76-77

muchos

conocimientos sobre un objeto de su entorno, aunque los

comprendan según el nivel de madurez emocional que el posee.

Ante esta concepción que se tenía sobre ¿Cómo adquieren el conocimiento los estudiantes?, complementa y refuerza otro autor, Vigostky, quien en una de sus ideas propone el concepto sobre: "la zona de desarrollo próximo, que no significa otra cosa má s que la distancia entre el nivel real de desarrollo y el nivel de la zona de desarrollo potencial". Si algo debe retomarse en el aporte de Piaget es el reconocimiento que hace por la importancia que tienen los factores sociales en el desarrollo de la inteligencia, aunque podemos rescatar de ello la problemática en que se vio inmerso, sobre la no profundización ante sus ideas, aspecto que si tomo en consideración Vigostky, de quien puede mencionarse que mas que una crítica sus aportes contribuyeron al complemento de la teoría del primero, pues el incluyó que el desarrollo del lenguaje en las edades de dos a siete años que propone Piaget en sus etapas del crecimiento si aportan aspectos valiosos al desarrollo cognoscitivo de los educandos, por tal motivo se consideró que el aprendizaje no resulta solo de las actividades individuales en las que el alumno pueda verse incluido, sino mas bien proviene del desenvolvimiento que este tenga en el ámbito social en que se encuentre. 2.3

COGNOSCITIVIDAD

PSICOLOGIA

COGNITIVA

ANTE

APRENDIZAJE DE LOS ESTUDIANTES

Ausubel es otro de los autores que aporto una teoría sustancial ante el aprendizaje de los educandos, uno de sus aportes consiste en el siguiente planteamiento: "El aprendizaje debe ser una actividad significativa para la

persona que aprende" 6.

Para esta propuesta haremos un recordatorio de una de las ideas que anteriormente se abordó para este fenómeno, la cual consistía en que los alumnos logran aprender a través de la suma de conocimientos previos en unión a los más recientes que les son transmitidos, esta teoría es opuesta a la idea clásica que se tenía sobre la forma de adquisición del conocimiento por parte del alumno, donde se consideraba un aprendizaje como un simple sinónimo de mecanicismo, en este enfoque aprender lleva como significado implícito comprender los procesos lógicos que conlleva estudiar el terreno del álgebra o la matemática como ciencia, en nuestro caso.

En la situación contextual que pretendemos abordar para este estudio de los problemas cognoscitivos que inciden en los educandos al momento de abordar el contenido expuesto en párrafos anteriores; esta idea del aprendizaje, pretende reconsiderar los errores que un estudiante puede cometer con mayor frecuencia en el aprendizaje del contenido, para convertirlos en experiencias o conocimientos previos que le permitirán en su momento una reelaboración del conocimiento nuevo en contraste con el que ya tiene ganado, efectuándose desde ese punto de vista la asimilación de un aprendizaje más significativo, pues los educandos tendrán la ganancia de haber comprendido el contenido con mayores resultados ante las exigencias del medio social que cada vez se torna más complejo y propone mayores exigencias de cara a una realidad que propone situaciones cada vez más distintas.

Tamayo Valencia; Alfonso: “Como Identificar Formas de Enseñanza”, Editorial Magisterio, 1999, Santafé de Bogotá, Colombia, Primera Edición, Pág.78

2.4 SINTAXIS MATEMATICAS Y APRENDIZAJE.

Con este enfoque se pretende brindar un panorama de la influencia de las concepciones entre los matemáticos y la influencia tradicional que nos han inculcado de manera tradicional, en la forma de enseñar matemática, a los educandos de nuestra época, aspecto de considerable importancia en la asimilación del contenido al cual nos referimos en este proyecto, para tal ocasión retomaremos lo siguiente: " la enseñanza de la matemática se ha basado más en la manipulación sintáctica de símbolos y reglas que en el significado de los mismos”7 para tal efecto tomaremos el siguiente ejemplo, ilustrativo ante esta realidad y ante el estudio del aprendizaje de los alumnos en el terreno del álgebra, la operación de multiplicar se expresa mediante la yuxtaposición de símbolos de tal manera que multiplicar el valor cuatro por un medio no significa cuatro por uno entre dos, ni treinta y cuatro significa multiplicar tres por cuatro: Ilustración.

4 x ½ ? 4 x 1: 2,

También, 34 ? 3 x 4.

Los alumnos que se inician en algebra tienden a interpretar que si a = 8, y b = 7, entonces al multiplicar el valor de la variable "a" por el valor de la variable "b", es decir "ab” ellos escribirían que "ab” = 87, en vez de escribir 56, que resulta ser el valor correcto. Entonces se puede evidenciar que el joven escribe aquella operación que el maestro le solicita tal como observa el orden de las letras, no pudiendo conectar las reglas lógicas que acompañan a este fenómeno, con el conocimiento procedimental para resolver este problema, ni por supuesto con su conocimiento conceptual respecto de la operación de multiplicación, frente a estos hechos, el maestro tiende a desesperarse y comienza a mencionar frases como esto esta fácil?, ¡no creo que se les dificulte entender!, ¿préstenle más atención? , pero se le dificulta al maestro comprender que 7

Teberosky, Ana, Tolchinsky, Liliana; “Mas allá de la alfabetización”, Editorial Santillana, Paso 192, Avellaneda, Provincia de Buenos Aires, Argentina, Noviembre del 2000, págs. 294-295

ha caído en el error de transmitir los conocimientos matemáticos, basados en reglas que hay que cumplir, obviando la comprensión del significado que estos conceptos poseen. Es evidente que no se trata de hacer una simple manipulación de toda la simbología matemática que se conoce, sino más bien de entender como suceden los fenómenos y la necesidad que nos confiere para tratar de estudiarlos, con el objetivo de potenciar un poco más las habilidades y destrezas que poseen los educandos. 2.5 ASPECTOS CONCEPTUALES Y SEMANTICOS PARA ENSEÑAR MATEMATICA Han surgido nuevas teorías, las cuales conllevan a la "aparición de tendencias que se han venido denominando como conceptuales o, más modernamente semánticas" 8, estos aspectos surgen en respuesta a los factores de carácter sintáctico que mencionamos anteriormente, o más bien tienden a convertirse en una alternativa ante todas las tradiciones que hoy en día persisten en los maestros de matemática de nuestro medio y en materia de la transmisión de conocimientos a los educandos, en realidad el objetivo que se persigue radica en introducir una idea distinta en la forma de observar las cosas del entorno del educando, de manera que ellos comiencen a interesarse por aprender los conceptos que conllevan las operaciones básicas con monomios y polinomios, en nuestro caso; para que después

puedan

comprender

importancia

indagar

sobre

esos

conocimientos, entonces el aprendizaje que se pretende lograr incluye aprender y comprender aquellos saberes que el maestro debe aportar al desarrollo cognoscitivo de los alumnos.

Cabe mencionar que en este campo de la semántica y la conceptualidad 8

Teberosky, Ana, Tolchinsky, Liliana; “Mas allá de la alfabetización”, Editorial Santillana, Paso 192, Avellaneda, Provincia de Buenos Aires, Argentina, Noviembre del 2000, pág. 296

de la matemática, se encuentran ideas que van desde las bases que fueron puestas por Kant, hasta los aportes que hoy en día existen sobre la construcción de conceptos sobre matemáticas, ya que todas las teorías antes descritas tienen similitud en dos aspectos, el primero hace alusión a todo el estudio sobre el cual necesitamos que todos los maestros mantengan una misma idea, a tal grado que el docente sea la primera persona en estar convencida de la necesidad que existe por la priorización del aspecto sintáctico y semántico que merece el estudio de los conceptos matemáticos, es decir pensar en motivar esa capacidad creativa en los educandos para que estos adopten los conceptos que se les transmiten como propios e inherentes, para que se les torne más fácil comprenderlos.

Para el segundo caso al que nos conllevan estas teorías en el terreno del aprendizaje de la mate mática y porque no decirlo del álgebra misma, sus estructuras simbólicas; nos refiere al hecho siguiente: si los estudiantes aprenden un conocimiento que se les transmite y comprenden el significado al que conlleva este conocimiento, en terreno de la matemática, tendrán mayor facilidad para dominar el lenguaje formal algebraico que un docente les proponga. En consecuencia de estos dos factores sale ganancioso el educando en el proceso de aprendizaje.

3. CONSTRUCCION DEL MARCO EMPIRICO

Para desarrollar este trabajo de campo ha sido necesario auxiliarse de algunos métodos y técnicas de investigación que contribuyan a descubrir algunas dificultades que presentan los educandos, en la rama del álgebra, específicamente en el tema sobre el desarrollo de operaciones básicas con monomios y polinomios.

Entre los métodos que se han tomado en cuenta tenemos al de observación, estudio de casos, analítico, etc. Los cuales han sido apoyados 12

mediante técnicas como la entrevista, preguntas y respuestas; de tal manera que dentro del estudio puedan ser observables, algunas situaciones que ponen en dificultad al estudiante para el aprendizaje del álgebra, todo ello con la finalidad de obtener información adecuada, ante la problemática del aprendizaje de la matemática en sí.

Para realizar el trabajo de campo, en primera insta ncia; hubo necesidad de elegir el Centro Escolar Cantón San Nicolás Lempa, para qué brindara la posibilidad de efectuar la investigación, luego de identificar el lugar se procedió al abordaje de las instancias de mayor inmediatez, tal como la directora del Centro Escolar y la subdirectora, para plantearles el motivo de la visita, el tipo de proyecto que se pretendía para con la institución y en específico argumentarles que tipo de trabajo se trataba de realizar con alumnos del octavo grado, haciéndoles ver que el

estudio solo incluía

trabajar con una muestra de diez alumnos, ante la situación, ellas no presentaron ninguna objeción para el desarrollo del proyecto investigativo.

En la siguiente visita, se abordó nuevamente a las encargadas de la dirección del centro escolar, con la variante que el docente encargado de la materia de matemática estuvo presente; inmediatamente después del saludo y presentación

se le planteó la problemática, para lo cual no manifestó

ningún inconveniente. Luego se procedió ha platicar sobre el número de visitas que se harían por mes y en fase de observación al Centro Escolar, conviniendo en que fuesen tres como mínimo.

Luego de establecer una provechosa platica con el docente y aclarar que no se trataba de cuestionar la metodología empleada en la clase por parte de él, como encargado de la materia de matemática, sino más bien, de valorar algunas situaciones problema que enfrentan los estudiantes, ante el abordaje y aprendizaje de las operaciones básicas con monomios y polinomios, tema que se ha tomado por motivos que es uno de los más idóneos, para estudiar 13

algunos problemas de carácter cognoscitivos que enfrentan los educandos para asimilar los conocimientos algebraicos básicos dentro del terreno de la ciencia matemática y por razones de que el tema planteado es donde el estudiante comienza a observar la idea de va riables y a familiarizarse con los conocimientos previos, para el aprendizaje del álgebra y en sí de la matemática misma.

También se tomó a bien, el hecho de entrevistar a los alumnos en determinado momento (En el caso de que se encontraran inmersos dentro de la temática propuesta en este trabajo, antes de estarlo y después), luego se habló con el docente de pasarles, al alumnado en estudio una encuesta y un test, con la finalidad que aporten información sustancial, sobre que factores pueden estar incidiendo, de manera más notoria; para aprender matemática y con la idea de establecer algunas valoraciones sobre estos problemas, que pueden afectar al educando para apropiarse del conocimiento que desean transmitirle sus maestros. Luego de resolver dudas sobre las dimensiones del trabajo de investigación y con el objetivo de despejar dudas que pudiese tener el docente encargado, se abordó ante el trabajo una perspectiva más del porque se ha planteado este tipo proyecto de investigación.

Para lo anterior expuesto en este marco empírico, debemos recordar que si bien se ha manifestado con anterioridad, dentro de este proyecto de investigación, los factores existentes pueden ser variados, pero se tomarán aquéllos más recurrentes dentro del desarrollo del trabajo, de igual modo era evidente aclarar que la utilización de los métodos propuestos para llevar a cabo la investigación, son de gran fundamento para la construcción del trabajo mismo, sin obviar que la problemática no es novedosa ya que el estudio del álgebra como lenguaje propio de esta ciencia se torna complicado, ante los factores incidentes en el aprendizaje de la matemática y en relación al aprendizaje que los educandos son capaces de lograr.

Por tal situación es de gran importancia dentro del estudio de esta problemática, tomar en consideración posturas filosóficas que contribuyan a identificar y fundamentar, algunos problemas recurrentes que los educandos manifiestan al momento de transmitirles los conocimientos, para tal efecto dentro de la fase de observación y del trabajo de campo se pretende establecer valoraciones, respecto de lo observado en el aula, en la clase de matemática y referente a la actitud del educando ante el desarrollo de las clases, también se valorarán los aportes del desarrollo de un test, de una encuesta, del anecdotario que se le llevará a cada estudiante y de las entrevistas que se le realizarán en determinado momento a los educandos, para analizar la problemática y los factores de carácter más relevantes, que puedan estar incidiendo sobre el nivel de asimilación que logren o no, los estudiante sobre las temáticas propuestas para apropiarse del conocimiento matemático que le confieren sus maestros al momento de intentar asimilar estos conocimientos.

Dentro de esta investigación, podemos observar una constante búsqueda por descifrar algunos problemas que enfrentan los educandos para asimilar los conocimientos matemáticos que le confieren sus maestros, tomando en cuenta que las teorías sobre el aprendizaje que ellos pueden lograr, en referencia a los contenidos que les proponen, son variadas y que los constructos que son capaces de realizar ante los objetos matemáticos del entorno, dependen de las diferentes formas que poseen para estructurar el conocimiento, traducirlo y sintetizarlo, con la finalidad de poder establecer un concepto, como resultado de la interpretación de todas las concepciones que le brindan los objetos matemáticos y con la intención de

fortalecer los

conocimientos previos que poseen para que el aprendizaje sea significativo.

Por tal situación en este apartado, trataremos de reflexionar y describir algunos

componentes

fundamentales

que

contribuyan

establecer

valoraciones sobre el aprendizaje de los educandos en la rama del álgebra, 15

tomando en consideración que el álgebra es tomado como el lenguaje por medio del cual podemos establecer representaciones sobre fenómenos de los que toma en cuenta el estudio de la matemática y que “también se le constituye como el lenguaje particular y formal para estudiar matemática”9.

Ante este enfoque, se aborda en primera instancia el tema del aprendizaje como uno de los elementos que siempre esta inmerso en todo tipo de investigación, retomando que ayuda a generar respuestas a múltiples problemáticas de carácter pedagógicas y que su aplicación pretende lograr nuevas y mejores conductas para con los educandos, de la misma manera se analiza la influencia que tienen los objetos matemáticos, en referencia con el aprendizaje que ellos asimilan, producto de todas aquellas concepciones, representaciones internas y constructos que suceden en la mente del educando, quien al final consolida todos estos saberes como un nuevo conocimiento.

Otro de los elementos importantes que se aborda es, el método analítico, que se ha constituido como uno de los pilares fundamentales dentro de la investigación, pues

en conjunto con el método de

observación se han

obtenido algunos datos teóricos referentes al conocimiento y aprendizaje de la matemática, los cuales permiten plasmar algunas situaciones problemas más determinantes y recurrentes

que enfrentan los educandos, para

apropiarse del conocimiento algebraico básico que los docentes pretenden inculcarles.

Otro de los métodos que también ha contribuido al desarrollo del trabajo es el estudio de casos,

que apoyado con técnicas como la entrevista,

preguntas y repuestas, ha generado aportes significativos en materia del aprendizajes que se pretende lograr con el alumnado.

Teberosky, Ana, Tolchinsky, Liliana; “Mas allá de la alfabetización”, Editorial Santillana, Paso 192, Avellaneda, Provincia de Buenos Aires, Argentina, Noviembre del 2000, pág. 288

Por otra parte, a estos métodos de investigación se les ha brindado el apoyo de instrumentos como pruebas piloto, entrevistas guía y desarrollo de test. Con la aplicación de estos instrumentos se pretende obtener mayor información del fenómeno, antes, durante y después del periodo, en relación con la temática, aprendizaje de las operaciones básicas con monomios y polinomios y con la idea de conocer aquellos problemas más recurrentes que enfrentan los educandos para internalizar y apropiarse del conocimiento matemático que se pretende inculcarles.

Ante la perspectiva expuesta anteriormente, cabe mencionar que en el desarrollo de la primera entrevista que se les practicó a los alumnos, hubo la necesidad de pasarles una encuesta, en la cual se les explicaba el objetivo de la misma ante el desarrollo de la investigación, especificando que se trataba de verificar algunos de los conocimientos previos, que ellos poseían frente al desarrollo de la unidad número cuatro, introducción al álgebra y la relación que existía con la palabra aritmética y las operaciones básicas de monomios y polinomios.

Esta pequeña encuesta que incluía al final un test breve de conocimientos para desarrollarlo, se administró en relación a que los alumnos ya habían iniciado dicha unidad

y con el objetivo de obte ner información un tanto

general sobre el alumnado en estudio, sobre conocimientos previos ante el desarrollo de la temática propuesta, sobre preferencias por alguna asignatura en general, dificultades que tenían ante la asimilación de los conocimientos matemáticos que les habían conferido en años anteriores, aversión por la materia de matemática, existencia de elementos distractores que pudiesen afectar la recepción idónea de los conocimientos matemáticos, entre otros aspectos.

Seguidamente se muestra la prueba administrada a los alumnos para obtener parte de esta información sobre algunos de los problemas que se especulaba que ellos enfrentaban:

ENCUESTA PARA ALUMNOS DEL CENTRO ESCOLAR SAN NICOLAS LEMPA MUNICIPIO DE TECOLUCA DEPARTAMENTO DE SAN VICENTE OBJETIVO: Identificar las posibles causas que provocan un abordaje inadecuado, por parte del alumno, del contenido operaciones básicas con monomios y polinomios, que afectan de manera significativa para no tener una asimilación adecuada de las estructuras algebraicas inherentes a este tema.

1. Nombre:________________________________________

2. Edad: _____años.

3. Grado que cursas actualmente: _____________grado.

4. Nombre del Centro Escolar donde estudias:________________________________________________

5. Repites grado: SI

6. ¿Tienes tus preferencias por alguna materia?: SI

Argumenta sobre tu respuesta: _______________________________________________________________ ___________________________________________________________

7. ¿Puedes seleccionar el nombre de algunas asignaturas de tu parecer entre las siguientes? (con las que tienes afinidad).

Ciencia

Sociales

Matemática

Computación

Lenguaje

Ingles

8. ¿Has escuchado que algunas personas o profesionales, hablan con mucho descontento cuando se refieren a la ciencia matemática?. SI

¿Puedes mencionar dos de ellas? _______________________________________________ _______________________________________________

9. ¿Sientes aversión por la matemática, debido a lo difícil que se torna asimilar sus conocimientos, o debido a lo que mencionan sobre esta ciencia, o por motivos propios?: SI

Argumenta sobre tu respuesta: __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________

10. ¿Crees que resulta muy necesario tener una buena base de conocimientos teóricos básicos, para tu formación estudiantil en el área de matemática? SI

NO Argumenta sobre tu respuesta:

_________________________________________________________ _________________________________________________________ 19

_________________________________________________________

11. ¿Consideras que posees una buena base de conocimientos teóricos básicos en matemática, ante el grado que estas cursando actualmente? SI

Argumenta sobre tu respuesta: _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________

12. ¿Has escuchado en alguna ocasión la palabra aritmética?. SI

13. Si tu respuesta fue si: ¿Qué entiendes por Aritmética? ____________________________________________________________ ____________________________________________________________ ______________________________________________________

14. ¿Tus conocimientos básicos del aritmética son óptimos, según tu apreciación? SI

Argumenta sobre tu respuesta: _________________________________________________________ _________________________________________________________ __________________________________________________________

15. ¿Puedes escribir el nombre de las operaciones del aritmética que conoces y dominas con mayor facilidad? __________________________________________________________ __________________________________________________________ 20

__________________________________________________________

16. ¿Has recibido hasta el momento clases de álgebra? SI

17. ¿Qué entiendes por álgebra? __________________________________________________________ __________________________________________________________

18. ¿Consideras que es necesario conocer un poco de álgebra y de Aritmética ante las exigencias del grado que cursas actualmente? SI

Argumenta sobre tu respuesta: _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________

19. Hasta este momento de tu formación como estudiante, en la materia de matemática: ¿Has realizado ya, operaciones básicas con monomios y polinomios? SI

20. ¿Sientes que resulta complicado el estudio de estas operaciones básicas con monomios y polinomios? SI

Argumenta sobre tu respuesta: _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________

21. ¿Qué dificultades puedes listar, que consideras primordiales para asimilar el conocimiento sobre álgebra, que te brinda tu profesor?. Se te sugieren algunas y debes escribir otras que no estén presentes. -

Muy enojado y nos imprime miedo

No explica mucho

Evita responder las preguntas que se le hacen

No profundiza en lo explicado

Muchas ideas proporciona por lo cua l nos confunde

No es especialista en la materia Otros: __________________________________________________________ ____________________________________________________

22. ¿Qué dificultades puedes listar, muy especificas del entorno que te afecten para aprender en matemática, y en relación con las operaciones básicas de monomios y polinomios del álgebra, que no encuentras entre las siguientes? -

Siento aversión por la materia

Existe mucho ruido y por ello me distraigo Soy bastante hiperactivo

Me siento desmotivado

Muchas ideas me proporcionan por lo cual me confundo

Si no entiendo algo me da miedo preguntar, por causa de la actitud de mis compañeros

Otros: __________________________________________________________ ____________________________________________________ _______________________________________________________

23. Te resulta difícil razonar cuando te plantean situaciones que inducen a utilizar conocimientos sobre algebra, es decir que conlleven a recurrir al uso de expresiones algebraicas en las que debas trabajar con monomios y polinomios. SI

Argumenta sobre tu respuesta: _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________

24. Si te pidiesen escribir un nivel para ti, en cuanto al conocimiento Matemático que has ganado a través de los años hasta tu octavo grado en relación con los nuevos conocimientos sobre el desarrollo de las operaciones básicas de monomios y polinomios. ¿En cua l de los siguientes te inscribirías?

Conocimientos Ganados. Excelentes

Bueno

Muy Bueno

Regular

Argumenta sobre tu respuesta: _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________

25. Resuelve lo Siguiente:

a) Término y monomio ¿son definiciones iguales?

b) ¿De que partes consta un término? ______________________________________________________

c) ¿Qué condiciones reúnen los términos para considerarlos semejantes? ______________________________________________________ d) Encuentra el valor numérico para las expresiones:

m=4

n=5

p=7

d.1) 4 m²n³p²

d.2)

5mn³p²

e) Realiza lo siguiente:

e.1) 4pr + 6pr – 8prn – pr

Para las expresiones y en el desarrollo del test corto surgieron algunas dificultades como las siguientes:

a) Encuentre el valor numérico para: 5mn³p²

Cuando sabemos que:

m = 4; n = 5; p = 7.

En este problema se le pedía al alumno que sustituyera cada letra que 24

acompañaba al numero cinco, con el valor numérico que se había asignado a cada letra y luego, para el caso de las letras “n” y “p”, que desarrollara las multiplicaciones (potencias), correspondientes para cada una de ellas, de la siguiente forma:

n³ = (5) ³ = (5)(5)(5) = 125

p² = (7) ² = (7)(7) = 49

Quedando de la manera siguiente: 5(4)(125)(49) = 122,500; los resultados obtenidos fueron “no me acuerdo”, “24,500”, o en otros casos no pudieron realizarlo, pero al momento de proporcionar un resultado, no se percataban que la existencia de paréntesis indicaba realizar una multiplicación de las cantidades, pese a que ya se les había explicado con anterioridad.

Ante la situación, puede observarse en el ejemplo anterior, que “el lenguaje matemático comporta la “traducción” del lenguaje natural a un lenguaje universal formalizado” 10 . En el lenguaje matemático existe el intento por abstraer lo esencial de toda relación matemática, dejando fuera cualquier referencia que se pueda realizar hacia el contexto o situación, pues como sugerimos en el ejemplo, encontrar un valor numérico para la expresión propuesta, nos ubica en el contexto de que: los números con los cuales se estaba trabajando tienen un carácter abstracto y por ello en la presentación del problema se representan con letras que a su vez poseen un valor numérico asignado.

Teberosky, Ana, Tolchinsky, Liliana; “Mas allá de la alfabetización”, Editorial Santillana, Paso 192, Avellaneda, Provincia de Buenos Aires, Argentina, Noviembre del 2000, pág. 288

4. FORMULACION TEORICA METODOLOGICA DE LO INVESTIGADO

El estudio del aprendizaje de la matemática es uno de los temas más controvertidos, cuando se habla de la educación; debido a la complejidad que caracteriza a esta ciencia.

Por tal motivo en este estudio se intenta mostrar algunas perspectivas que contribuyen a establecer valoraciones, sobre algunos problemas cognoscitivos que afectan a los educandos al momento de intentar asimilar los conocimientos matemáticos y para tal caso se eligió el tema sobre operaciones básicas con monomios y polinomios, por la razón que en esta temática, el alumnado comienza a relacionarse con la idea de variables, en el terreno del algebra, la finalidad de esta tarea consiste, en encontrar algunas dificultades que los estudiantes presentan al momento de recepcionar y poner en práctica los conocimientos que les son transmitidos, para convertirlos en aprendizaje efectivo y significativo, al mismo tiempo se pretende realizar valoraciones que contrasten con algunas teorías plasmadas a lo largo del trabajo de investigación, versus el enfoque que se tenía de los educandos sobre ¿qué dificultades encuentran estos personajes, para asimilar los conocimientos matemáticos dentro de la realidad que enfrentan en su octavo grado.?.

Al inicio de la investigación, se atribuía parte del problema, al nivel bajo de conocimientos matemáticos óptimos de los educandos ante las exigencias de una buena formación básica en su trayectoria, hasta el octavo grado, a partir de ese momento se comenzó a valorar una serie

de teorías que van desde las

perspectivas que propusieron personajes como Kant, Vigostky, Piaget, hasta un poco de la perspectiva resumida con los aportes de Ausubel en la teoría sobre la psicología cognitiva ante el aprendizaje significativo que puedan estar logrando los educandos, todo ello para indagar sobre dificultades que enfrenta un estudiante para aprender álgebra, debido a que esta rama de la es considerado como el lenguaje propio de la matemática. 26

Debe rescatarse que estas teorías aportan datos sustanciales que nos acerca a comprender algunos fenómenos que están afectando al estudiante en su desarrollo cognitivo

pues hacen alusión a la evolución cognoscitiva que los

alumnos deben ir ganando dentro de su formación persona l.

Por otra parte se aborda el problema, desde la perspectiva de los objetos matemáticos, los cuales sirven como referencia a los educandos para establecer concepciones que conllevan a la consolidación de los conceptos matemáticos y en esa medida entender su significado, cabe mencionar que la realidad circundante al estudiantado, cuando se le administro un pequeño test, arrojó datos que concordaban con la falta de bases teóricas óptimas en los estudiantes para el nivel en el que estaban inmersos, en contraste con las teorías abordadas con anterioridad en el trabajo de investigación, pero se obtuvieron también otro tipo de problemas que influían en el aprendizaje de los estudiantes, tal es el caso del medio entorno donde ellos se encuentran, por ello el test se enfocaba en diversas variantes que conllevara al alumnado al aporte de información adicional ante los problemas cognoscitivos para aprender matemática, finalizando este con la presentación de algunas situaciones problemas, relativas al tema de operaciones básicas con monomios y polinomios, tema que ellos estaban cursando.

Mediante esta pequeña prueba pudo constatarse dificultades para identificar procesos del algebra que necesitaban conocimientos de las cuatro operaciones básicas del aritmética, potenciación y sustitución de variables por letras, constatando con ello algunas expectativas que se tenían, sobre los problemas cognoscitivos que enfrentan ellos para abordar situaciones problema de matemática que se les proponen.

5. DESARROLLO Y DEFINICION TEORICA.

Para abordar los estudios sobre ¿cómo adquieren el conocimiento los 27

educandos?, comenzaremos desde los aportes que brindaron personajes como Kant, quien propone que “no es posible para el ser humano conocer el objeto en sí o tal como es, sino que siempre se nos presenta como fenómeno, es decir, como el resultado de la interacción de los conceptos o categorías con las intuiciones o datos de los sentidos”, para este autor los objetos de nuestro entorno estimulan nuestros sentidos a tal grado que podemos obtener como respuesta, un conocimiento más amplio de la realidad, a diferencia de Kant, Piaget, quién habla de “la realidad como lo conocido por los científicos en diferentes épocas y por los niños en diferentes etapas, aunque admite que la “realidad”, sería el límite matemático al cual tiende la construcción que el niño y la ciencia hace, la realidad conocida" 11.

Vigostky por su parte propone que “todos los procesos Psicológicos superiores (comunicación, lenguaje, razonamiento…), se adquieren primero en un contexto social y luego se internalizan” 12 . Estos aportes vienen más que todo al complemento de los trabajos realizados por Piaget, pues tienen interés por mostrar que el conocimiento puede desarrollarse colectivamente y que existe una relación entre el desarrollo cognitivo y el aprendizaje de los educandos.

En otro caso, Ausubel

propone los “organizadores previos”, que son las

presentaciones que un docente hace al alumnado, para que éste establezca las relaciones adecuadas entre los conocimientos que posee en referencia con las nuevas ideas que les confieren, de tal manera que la profundización ante las temáticas que se desarrollan, venga después de que el alumno haya incorporado y estructurado el nuevo conocimiento ante sus esquemas de procesamiento de la información, no obviando que pueda darse una negociación de significados y de contenidos entre docente y alumno, en 11

Tamayo Valencia; Alfonso: “Como Identificar Formas de Enseñanza”, Editorial Magisterio, 1999, Santafé de Bogotá, Colombia, Primera Edición, Págs.73-74. 12 Tamayo Valencia; Alfonso: “Como Identificar Formas de Enseñanza”, Editorial Magisterio, 1999, Santafé de Bogotá, Colombia, Primera Edición, Págs.78-79.

contraposición con Piaget, quién opta mejor por el descubrimiento de forma individual, de cara a esta situación es importante rescatar que la psicología cognitiva ha proporcionado aportes valiosos ante el desarrollo cognitivo del ser humano, en materia de las formas en que adquiere el conocimiento, teniendo como consecuencia el aprendizaje de los educandos y centrada en los problemas del significado que éstos atribuyen a los objetos matemáticos.

Sierpinska, por su parte propone que “comprender un concepto debe ser concebido como el acto de captar su significado” 13. A diferencia de Wittgenstein quién propone que “el significado de una palabra esta en su uso dentro de un determinado contexto 14, teniendo con ello una apreciación distinta de los objetos matemáticos y el significado que se les puede atribuir a estos, aunque la postura de este autor resulta ser innovadora ante la problemática de la adquisición del conocimiento que logran los estudiantes.

Entonces podemos valorar que la tarea de investigar como se realiza la adquisición del conocimiento matemático por parte del educando, no es tarea sencilla ni novedosa pero se pretende con el trabajo de investigación tener un referente que nos ayude a comprender algunos aspectos determinantes que inciden en el aprendizaje de los alumnos, en la clase de matemática y que afectan en gran medida dentro del aprendizaje que se pretende ante el alumnado en formación.

En el caso particular el aprendizaje de la matemática, resulta ser un tema central dentro de la formación de los educandos, considerando que los factores influyentes varían, dependiendo del contexto sociocultural en el cual este inmerso el educando, del nivel de conocimientos que este lleve ganados, de la metodología que se utilice para enseñar los conocimientos que brinda esta ciencia, de estos factores y otros que se han observado y plasmado en el

13 14

D. Godino, Juan; “Marcos Teóricos de Referencia sobre Cognición Matemática”, Tesis UPES, pág. 3. D. Godino, Juan; “Marcos Teóricos de Referencia sobre Cognición Matemática”, Tesis UPES, pág. 15.

documento, podemos notar una constante bĂşsqueda por hacer que la ciencia matemĂĄtica, se convierta en una alternativa que contribuya al desarrollo de una cultura que nos invite a luchar por el desarrollo de un pensamiento ordenado, que nos ayude a comprender la importancia del estudio de la realidad en la cual nos encontramos inmersos.

CAPITULO III: MARCO OPERATIVO: 1. DESCRIPCION DE LOS SUJETOS DE INVESTIGACION Para el abordaje de este apartado, cabe mencionar que los jóvenes que a continuación se describirán, han estado como compañeros conviviendo durante cuatro años y algunos de ellos más de ese tiempo, por lo que se supone que tienen muchos conocimientos uno del otro, por tanto se consideró como válido el nivel de conocimientos similares que ellos manejan, para que esa información aportara ideas sobre éste estudio.

El sujeto “A” , es un joven de dieciocho años repitente en su octavo grado por consiguiente hoy en día se nota más a la expectativa de lo que sucede en la clase de matemática, sus conocimientos ganados ante su nivel académico se mostraron deficientes al momento de entrar al terreno del álgebra, según el maestro era debido a que todos los jóvenes que se encontraban en esa sección llevan conocimientos muy bajos en la rama del aritmética, factor que les dificultaba comprender en mayor amplitud los contenidos.

Otro de los factores que influía es la personalidad de este alumno, pues no preguntaba sobre el contenido nuevo que se le estaba confiriendo, lo cual dificultaba ante el trabajo de investigación en un inicio pero a medida fue transcurriendo el tiempo con ayuda del docente, hubo un pequeño cambio de actitud y compromiso mayor por parte de él ante la situación vivencial dentro de la clase de matemática, aspecto que le permitió ser uno de los más sobresalientes en la clase. Por otra parte, el sujeto “B”, es un joven de catorce años de edad, muy distraído, pero en el momento de establecer alguna pregunta relativa a la comprensión del contenido, no dudaba en realizarla para afianzar los conocimientos previos que poseía, el ser despistado no le impedía prestar atención al contenido expuesto por el docente, ese fenómeno le ayudaba a él a

reafirmar lo expuesto por el docente. El sujeto “C”, es una joven que tiene trece años de edad y se muestra como una persona que se distrae dentro de la clase con mucha facilidad, sumándole a ello la complejidad de estar inmersa en un grado que requiere una muy buena base de conocimientos óptimos de aritmética para llegar con mayor agilidad ante el terreno del álgebra, se pudo observar durante el estudio que no había interés por pate de ella por asimilar los conocimientos que se le conferían, a ello se le sumaba el bajo nivel de conocimientos que poseía, aspecto que dificultaba el buen desempeño en sus estudios de matemática, a lo largo de la investigación el cambio actitudinal ante el aprendizaje de esta ciencia, se le torno bastante complicado.

Por otro lado, el sujeto “D”, un joven de catorce años de edad, un sujeto que se notaba que poseía cualidades intelectuales ante el aprendizaje de la matemática, pero su forma de comportarse, muy inquieto dificultaba mucho que él se mantuviese concentrado y enfocado en aprehender los conocimientos que le confería el docente pero al llegar el momento de crear la idea de variables en ellos el docente inicio con cuestionamientos como ¿cuántas estrellas hay en el universo?, si dos casas son consecutivas y sus números sumados hacen un total de once, ¿Qué número posee cada casa?, etc. Fue algo que despertó un poco la curiosidad del estudiante y durante todo el proceso con la motivación del docente poco a poco fue poniendo mayor énfasis ante la clase y al final mejoró su actitud y aprendizaje relativo al nivel donde se encontraba estudiando.

En otro caso el sujeto “E”, es una joven como de catorce años de edad, sobre la cual se ha podido apreciar que pese a los esfuerzos del docente por hacerle ganar interés ante el aprendizaje de la matemática, resulto ser un

tema

seriamente difícil, pues no presentaba ningún compromiso por apropiarse de conocimientos que tuvieran la más mínima relación con el aprendizaje de esta ciencia, este fenómeno impedía el proceso de formación de la estudiante en este campo, sumado a esta dificultad estaba su bajo nivel de conocimientos en dicha área y su actitud para enfrentar el desarrollo de la clase misma, cabe resaltar que 3

no presentaba problemas en su conducta, sino que su forma de comportarse era que se mostraba desinteresada, no realizaba preguntas y solo se dedicaba a escribir lo que el docente le proponía en la pizarra.

Luego el sujeto ”F ”, una joven de catorce años de edad también, quién tenía una conducta excelente, muy respetuosa pero al mismo tiempo se logró observar durante todo el proceso de investigación que estaba muy desmotivada a seguir estudiando aunque siempre fue bastante reservada, también era bastante cohibida dentro de la clase de matemática, por momentos reaccionaba pero recaía nuevamente en desanimo para continuar sus estudios, fenómeno que impedía que ella se apropiara de los conocimientos sobre álgebra que se le estaban queriendo inculcar.

Al momento que el docente abordo la temática del aprendizaje del álgebra, presentó problemas de comprensión ante éste terreno, uno de sus problemas radicaba en que no comprendía el proceso de escribir variables, ante un problema de matemática y que luego se pudiesen sustituir por valores numéricos para obtener un resultado, pero otro delos fenómenos que presentaba al igual que los demás era la deficiencia en conocimientos básicos sobre aritmética, pese a ello estaba inmersa dentro del proceso de formación en su octavo grado.

Este fenómeno, se convertía en un reto grande para la transmisión de conocimientos matemáticos para el docente dentro del desarrollo de las clases impartidas. Mientras tanto, el sujeto

“G”, también mostraba deficiencia en el

campo del aritmética, aunque eran pocas las preguntas que realizaba al docente habitualmente, sobre la fundamentación de la idea de variables para dar solución a algunos problemas relacionados con el aprendizaje de la matemática, que el profesor deseaba transmitirles, puede mencionarse que se adaptaba con suma facilidad al desarrollo del trabajo cuando el se lo proponía, era otra de las personas que mostraba mucho desanimo para continuar sus estudios de nivel básico, aspecto que dificultaba su buen desempeño como estudiante. 4

En otro ámbito el sujeto “H”, una persona muy inquieta, aunque con mucha capacidad para realizar los problemas de matemática propuestos por el docente, se distraía con mucha facilidad dentro de la clase, este factor le impidió mucho lograr un buen desenvolvimiento, durante el proceso de observación realizado, es valido rescatar que al final este alumno mostro un cambio en su actitud ante la clase de matemática, lo cual le permitió mejorar un poco, fenómeno que no se pudo evidenciar dentro del proceso observatorio, para obtener información pertinente al caso en cual, el docente tratara de ayudarles a establecer la idea de variables, para resolver algunos problemas matemáticos y establecer el paso del aritmética al álgebra.

Cabe mencionar también que el era muy suelto para formular preguntas al docente dentro del desarrollo de la temática en cuestionamiento, pero en esos momentos su idea radicaba más que todo en querer sobresalir como líder del grupo de estudiantes, situación que lo alejaba un poco más de estar inmerso dentro del proceso de recepción de conocimientos.

El sujeto “I”, una joven con cualidades actitudinales, conductuales e intelectuales excelentes, en el momento de verse inmersa dentro de su proceso de recepción de los nuevos conocimientos sobre el terreno del álgebra, no dudaba en reforzar sus conocimientos por medio de la realización de preguntas que tuviesen relación con el tema, contexto que le permitió con mucha facilidad adaptarse al desarrollo del tema propuesto por el profesor.

De igual manera sucedió con los sujetos: “J”, de características muy similares a la persona descrita anteriormente y sujeto “K”, un joven de catorce años de edad, de semejantes características a las mencionadas anteriormente, en relación con las dos jóvenes descritas anteriormente, éste fenómeno permitió que durante el desarrollo de la investigación estos tres personajes ayudaran al docente en las tareas propuestas, como tutores, reforzando en esa medida los conocimientos 5

sobre operaciones básicas de monomios y polinomios en relación con la introducción al terreno del algebra y al aprendizaje de la matemática.

Es conveniente aclarar que el docente era una persona que dentro del desarrollo de la clase, generaba mucho la participación aunque al inicio se notaba cierta espectatividad por parte del sector docente y alumnos, ante la presencia la del investigador, algo que fue mejorando durante el transcurso de las visitas más continuas al centro escolar, por parte del investigador; a la clase de matemática y por medio de la interacción investigador-alumnos, algo que no se presentó de manera inmediata, debido a que la primera instancia era familiarizarse con todo el personal que se había contado para llevar a cabo la investigación de campo plasmada de tal modo que todos se familiarizaran con mi presencia.

2. PROCEDIMIENTOS PARA LA RECOPILACIÓN DE DATOS.

Las formas teóricas que se diseñaron para obtener información general y alusiva al tema de aprendizaje de la matemática, a través de operaciones básicas con monomios y polinomios, fueron en total tres, la primera sirvió como un sondeo sobre la temática antes mencionada y sobre la importancia que algunos alumnos daban al terreno de la matemática, o si tenían aversión por la materia, si les parecía difícil el tema introductorio al terreno del álgebra, proporcionado por el docente, o por la forma en que el docente les imparte la clase de matemática, aspecto que tomo un poco de tiempo, dada la situación que me percibían como un agente extraño ante el contexto vivencial diario que ellos estaban acostumbrados.

La segunda forma teórica diseñada, presentaba un carácter más formal sobre aspectos más importantes y dificultosos para recepcionar y apoderarse de los conocimientos sobre álgebra que el profesor estaba tratando de inculcar en los estudiantes, también incluía algunas generalidades concernientes a obtener algunos datos sobre los estudiantes, preferencias por materias, etc. Y al final de esta prueba se le anexaba algunos problemitas de algebra que ellos se 6

encontraban recibiendo con el docente, para corroborar si estaban asimilando en alguna medida las enseñanzas sobre operaciones con monomios, vistas hasta el momento dentro de las clases de matemática.

La tercera forma diseñada fue la prueba piloto que se tomó a bien pasarles al estudiantado de octavo grado, con la finalidad de valorar algunos de los problemas que estaban enfrentando para aprehender los conocimientos matemáticos que se les estaban confiriendo, esta fue aplicada posteriormente al encontrarse inmersos en el terreno del álgebra, cabe mencionar que su vaciado y lectura se ha desarrollado por medio de:

análisis de la información y

descripción de los

fenómenos más relevantes encontrados en las formas procedimentales de resolver algunos problemas matemáticos, por parte del alumnado, en contraste con las teorías epistemológicas, de las cuales se abordan dentro de este trabajo de investigación.

3. DESARROLLO DE PRUEBA PILOTO.

PRUEBA DE CONOCIMIENTOS PARA OCTAVO GRADO SOBRE ARITMETICA Y ALGEBRA. Nombre del alumno(a): _________________________________________ Define los siguientes conceptos según los conocimientos que has recibido en la clase de matemática. a) Aritmética: b) Algebra:

Cuáles de las siguientes propuestas pertenecen al terreno del algebra y cuales al terreno de la Aritmética y desarrollarlas si consideras que tienen solución: a) 4 + 7 =

d) 8 + 7/5

b) 3m + 6n

e) a + 7b - 2/5m

c) 2/5 + 4/7

3³ + 0

Si marcaste algunas operaciones de la Aritmética: ¿Por qué consideras que pertenecen a esta rama?

Si marcaste alguna operación del Algebra: ¿Por qué consideras que pertenecen a esta rama?

¿Consideras que existe similitud

entre Aritmética y Algebra o crees que se

complementan?

Explicar los conceptos: Término: Variable: Monomio: Polinomio: Puedes listar las partes que contiene un término: a) ___________________

b) ___________________

c)_____________________

d) ____________________

¿Qué operación; de las cuatro operaciones básicas, puedes observar en las presentaciones siguientes? a) – 4 a

b) - 7 / 2 m²

Realiza lo siguiente: a) – 4 – 8 – 6 – 3

d) 4 m² + 3 p – 5 m² n + 8 m² n – 6 p

b) 2 / 5 – 3 / 4

e) (5 / 7 a)( 2 / 5 a² m)

c) 4 a + 7 b – 2 a

f) (4 a)(2 a)( a³)

Realizar encontrando el valor numérico para: a) 4 / 2 a² m

Si: a = 5

b) 5 p^5 a

b=2

m=- 3

c) 2 a b^2 m p^4

p=1

Para estos casos, algunos alumnos lograron en determinado momento identificar las situaciones problema planteadas, pero en los punto s de sustituir las variables dentro de las expresiones, es donde surgía el problema pues tenían que pasar al procedimiento final, convirtiéndose ese

momento en la

mayor dificultad, debido a que no vinculaban la sustitución de valores numéricos con la operación de multiplicar, aspecto que se tornaba un tanto frustrante para ellos, tomando en cuenta que no tenían ayuda por parte del docente, debido a que se indagaba sobre como reaccionaban ellos ante las pequeñas dificultades que se les presentaban.

Otro de los problemas que se observó en los educandos, radica en la baja formación en las bases de conocimientos matemáticos que tienen ganados hasta esta etapa de sus estudios, situación que no les permite desenvolverse con mayor fluidez ante las dificultades que se les plantean, entonces, quiere decir que “no se trata de circunscribir objetivos educativos a realizar en un marco de las matemáticas, consideradas como un cuerpo abstracto, sino de conducir a los estudiantes al dominio de conceptos, métodos, y destrezas matemáticas a través de procesos pedagógicos y didácticos específicos 2.

Se pretende ante esta realidad que los estudiantes se sientan comprometidos por apropiarse de los conocimientos matemáticos y que haya 2

Ruíz, Ángel; Alfaro, Cristian; Gamboa, Ronny: Boletín “Aprendizaje de las Matemáticas: Conceptos, Procedimientos, Lecciones y Resolución de Problemas”, Centro de Investigaciones Matemáticas y MetaMatemáticas, Escuela de Matemática de Costa Rica y AIEM, Escuela de Matemática de la Universidad Nacional, Pág. 7.

un compromiso mayor para con el desarrollo de la clase de matemática, de tal manera que el aprendizaje sea el eje central en todo el proceso de formación del alumnado para que estos sean los gananciosos en su proceso de formación. Puede observarse también en otro caso que a pesar de que los alumnos estaban inmersos dentro del terreno del algebra, aún se les dificultó establecer

que

operaciones

las

presentadas

prueba

conocimientos última, pertenecían al terreno del aritmética y cuá les al terreno del álgebra, incluso al escribir sobre el significado que habían logrado captar sobre los conceptos de éstas dos ramas de la matemática no lo tenían muy claro, así mismo cua ndo se les solicitó que escribieran sobre las definiciones de monomio, término y variable, algunos optaron por no responder a los ítems debido, lo cuál apunta a pensar en la baja formación académica que poseen y que les afecta en su formación para la aprehensión óptima de los conocimientos matemáticos que les confiere el docente.

4. ESPECIFICACION DE LA TECNICA PARA EL ANALISIS DE LOS DATOS.

A continuación se tratará de especificar algunas técnicas de las cuales se tuvieron que utilizar para la lectura de los datos, y parte de la aplicación que se trato de afrontar de cara a la problemática en estudio.

La primera técnica que rescataremos, es la entrevista, la cual tiene por objetivo obtener información de grupos o individuos accesibles a través de causas, hechos y relatos, ésta puede adquirir un carácter de tipo cerrado, abiertas o focalizadas, para el caso que nos corresponde, el aprendizaje de la matemática, quién tiene dado por lenguaje propio y particular, el álgebra; las entrevistas que poco a poco se realizaban con el alumnado en un inicio no aportaron mucha información pero poco a poco fue dando el resultado esperado por el investigador, lo cual estaba de 10

acuerdo con el grado de confianza que los alumnos fueron mostrando a lo largo de la fase observatoria y dentro de su proceso de formación ante el terreno del álgebra, por medio de preguntas dirigidas sobre la temática en estudio.

Por su parte la técnica de la observación también fue un complemento que sirvió como otra de las bases muy fundamentales dentro del estudio, ésta consiste en recoger datos sensoriales por parte del investigador o por medio de instrumentos que logran afinar aquellos fenómenos que los sentidos perciben de la realidad circundante, para el caso, esta técnica se dio de forma directa, pues existía la necesidad de interactuar con el alumnado para obtener parte de esa información, la que ayudaría para plasmar y describir algunos fenómenos que estaban interviniendo ante el aprendizaje de la matemática del alumnado en estudio.

Otra de las técnicas importantes dentro de éste trabajo de investigación, que no puede faltar en todo estudio es la del análisis de la información, la cual consiste en la búsqueda de pautas y patrones conductuales que necesitan ser analizados dentro de todo el proceso de seguimiento al trabajo de investigar, por tal motivo su aplicación estuvo vigente antes, durante y después de estar inmersos dentro del aprendizaje de la matemática por parte del alumnado, permitiendo que los datos cualitativos que pudieran surgir en determinado momento fuesen valorados dentro de toda la fase de investigación.

A estas técnicas contribuyeron también métodos como el de estudio de casos quién permitió describir situaciones únicas sobre los sujetos de investigación y comparación entre ellos, debido a las características de éste método por tener afinidad con diversas técnicas,

también contribuyo el método analítico

argumentativo que sirvió para organizar de mejor forma la información proveniente de diversas fuentes, como la información matemática, lógica, y la información de carácter filosófica plasmada por diferentes autores ante el aprendizaje de la

matemática a través del lenguaje que ellos proponen como formal para ésta ciencia.

Es válido ante el desarrollo de toda la investigación, rescatar que existen variedad de técnicas sobre las cuales se puede tomar mano, pero en esta instancia se han tomado algunas de ellas, por considerarse más apegadas al desarrollo de todo este proceso.

Por tal motivo en ésta breve exposición de las técnicas y su aplicabilidad, se pretende tener un pequeño enfoque sobre el aporte de ellas para el desarrollo de éste trabajo.

6. RECURSOS.

En primera instancia existió la necesidad de consultar con los miembros que estaban seleccionados para el jurado, sobre la aceptación de ellos ante el desarrollo de esta tesis propuesta, luego de lograr contar con este selecto cuerpo de docentes, se procedió a proponerlos ante el consejo académico de esta universidad, con la finalidad de que pudiesen ser aprobados como jurado evaluador, lo cual fue un éxito, posteriormente se realizaron los contactos con los encargados del centro escolar donde se pretendía llevar a cabo esta investigación con jóvenes de octavo grado y en última instancia, dentro de la fase de investigación se contó también con el apoyo de las personas encargadas de la unidad de servicios técnicos para el desarrollo de cada avance de tesis, con el apoyo de la asistencia académica y de los encargados de la biblioteca para efectos de consultar otros trabajos de investigación.

7. INDICE PRELIMINAR SOBRE INFORME FINAL.

MARCO CONCEPTUAL: Dentro de el se ha tratado en primer lugar de rescatar toda una teoría a cerca de los antecedentes históricos que preceden ante el aprendizaje de la matemática, justificando la necesidad que merece abordar este tipo de problemas, los cuales incluyen valoraciones sobre la importancia que tiene el desarrollo del pensamiento en contraste con todo el acontecer matemático que nos rodea.

También se aborda en esta problemática del aprendizaje de la matemática, que el problema no es una tarea sencilla ni novedosa, pues la buena aprehensión de los conocimientos depende de muchos factores intervinientes en todo proceso de aprendizaje, factores del entorno físico, factores de carácter psicológico, del nivel ganado por los estudiantes dentro de toda la formación académica recibida, de la forma en que se les transmiten los conocimientos y del mismo sistema despreocupado por brindar el interés meritorio ante el desarrollo de esta ciencia, 17

como un factor que potencie en cierta medida el nivel de abstracción que los alumnos son capaces de lograr.

Por todo ello en esta fase se ha realizado ese bagaje sobre situaciones que de manera notoria o no, ha n intervenido para que los educandos logren aprehender e internalizar los conocimientos matemáticos, que desde antaño se han tornado difíciles de asimilar por el alumnado, culminando este apartado con un recuento de conceptos y categorías que sirven para esclarecer parte de las ideas plasmadas por los diferentes autores que han sido citados para dar vida a la problemática del aprendizaje de la matemática.

MARCO TEORICO:

Para el desarrollo del marco teórico, se inicio con la fundamentación de algunas escuelas de pensamiento que van desde las ideas propuestas por Kant, hasta las ideas de Brunner, en cuanto al aprendizaje en general y en relación con las ideas propuestas por diversos autores, interesados por el acontecer en torno al aprendizaje de la matemática en nuestro medio social y de todas las formas del aprendizaje, de las cuales los alumnos se valen para apropiarse de la información que les confieren los docentes en las clase de matemática, continuando con la construcción del marco empírico, donde se les administraron a los alumnos una serie de instrumentos que servirían para complementar la información que se obtenía a lo largo de toda la fase de observación, sobre el trabajo de investigación.

Todo ello con la finalidad de retomar algunas posturas filosóficas en contraposición con la opinión que presentaba cada autor y en relación con la problemática de investigación planteada, sobre el aprendizaje de la matemática y la importancia que merece esta ciencia, ante el desarrollo de la capacidad de abstracción, en relación con el alumnado.

MARCO OPERATIVO:

Dentro del marco operativo, se ha tratado de realizar algunas valoraciones de todos los hechos encontrados dentro de la fase de observación, con el objetivo de resaltar posibles fenómenos, por los cuales atraviesa un educando en el momento de aprehender los conocimientos matemáticos, que les confiere el docente en la clase de matemática, también se ha tratado de representar algunos aspectos personales de cada alumno en observación, en contraste con parte de la personalidad que poseen, el nivel educativo que están cursando y el nivel de conocimientos que ellos tienen ganados ante el grado académico en el que se encuentran inmersos.

También dentro de este apartado se ha tratado de contrastar en cierta medida el fenómeno sobre el aprendizaje de la matemática, en relación con todo el proceso de seguimiento que se le ha llevado al alumnado, de tal forma que puedan notarse, algunos problemas que enfrentaron para abordar los contenidos que el docente deseaba transmitirles para que ellos los internalizaran.

8. BIBLIOGRAFIA GENERAL Y UTILIZADA

- Alas, José; Reyes, Judith; Zepeda, María: “Evaluación de los Factores Didácticos que influyen en la Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática Común en el Nivel Medio de la ciudad de Cojutepeque, Depto. De Cuscatlán”, Tesis para Lic. En Matemática y Física, UPES, Págs. 191.

- Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, vol. X, # 2, 2003, Págs. 151.

- D. Godino, Juan: “Marcos Teóricos de Referencia Sobre Cognición Matemática”, Tesis UPES, Págs. 42.

- Martínez

Fuentes,

Wendy

Mygdaly;

Sayes

Quijada,

Ana

Margarita:

“Comparación del rendimiento escolar en el aprendizaje de la matemática utilizando el plan Kéller y el método expositivo interrogativo en la unidad cuatro, del programa de matemática de noveno grado”, Tesis UPES, Págs. 39.

- Tamayo Valencia , Alfonso: “Como Identificar Formas de Enseñanza”, Editorial Magisterio, 1999, Santafé de Bogotá, Colombia, Primera edición, Págs. 123.

- Teberosky, Ana; Tolchinsky, Liliana; “Mas allá de la Alfabetización”, Editorial Santillana, Paso 192, Avellaneda, Provincia de Buenos Aires, Argentina, noviembre del 2000, Págs. 325. 20

- Ruíz, Ángel; Alfaro, Cristian; Gamboa, Ronny: Boletín “Aprendizaje de las Matemáticas:

Conceptos,

Procedimientos,

Lecciones

Resolución

Problemas”, Centro de Investigaciones Matemáticas y Meta-Matemáticas, Escuela de Matemática de Costa Rica y AIEM, Escuela de Matemática de la Universidad Nacional, Págs. 20.

ANEXOS

FOTOGRAFIAS SOBRE LA VISITA AL CENTRO ESCOLAR SAN NICOLAS LEMPA

En la primera fotografía, se muestra una de las primeras visitas que se efectuaron al centro escolar para solicitar permiso para desarrollar la investigación, en ese instante solo se abordo a la directora y la subdirectora, mientras en la segunda, se muestra otra de las visitas hechas donde estaba presente el encargado de la materia de matemática. 2

EN EL SALON DE CLASE.

La profesora encargada me ayudaba en ese momento a pasarle a cada estudiante la primera encuesta que se les administr贸, durante el transcurso de la investigaci贸n.

CONVERSACION CON MAESTRAS Y ESCUELA PARA PADRES.

En la primera fotografía, me encontraba platicando con dos maestras quienes preguntaban sobre las visitas que hacía al centro escolar, mientras en la segunda se muestra una asamblea de padres que estaban desarrollando en ese día.

EL PERSONAL Y OBSERVACION.

En la primera foto, me encuentro observando parte de la forma de trabajo de la profesora con los educandos y en la siguiente solicitĂŠ a los encargados de administrar la escuela, que me facilitaran una toma con todo el personal del centro escolar.

FOTOS DE LA SEGUNDA PRUEBA.

En ambas fotos se aprecia el momento donde se aplicó la segunda prueba al alumnado en colaboración de otro de los maestros de matemática, pues ese día no había asistido al centro escolar la profesora. 6