Finanšu matemātika by Biznesa Vadības Koledža

Tālmācības studiju kurss

FINANŠU MATEMĀTIKA

Kursa autore: MBA Inese Vārslava

Studijvedis

Biznesa vadības koledža

INFORMĀCIJA UN IETEIKUMI TĀLMĀCĪBAS STUDENTIEM

Vispārīga informācija Pirmā līmeņa augstākās profesionālās izglītības studiju programmas Biznesa vadības koledžā (BVK) tiek īstenotas, izmantojot tālmācības metodi. Tālmācība ir atzīta par lietderīgāko izglītības ieguves formu strādājošajiem tāpēc, ka:  tā dod iespēju mācīties Jums vēlamajā vietā un laikā;  tā ir Jūsu iespēja apvienot mācības arī ar tādu darbu, kas saistīts ar biežiem komandējumiem, ar darbu maiņās, ar darbu, kurā ir nenormēts darba laiks;  tā ir iespēja kārtot eksāmenu vai ieskaiti jebkurā Jums piemērotā dienā un laikā;  tā ir iespēja saņemt konsultācijas, izmantojot elektronisko pastu;  studējošais katrā priekšmetā saņem īpaši veidotu izsmeļošu mācību grāmatu, kurā iekļauts viss studiju kursa saturs.

Studiju norise

Tālmācības studiju būtiska sastāvdaļa ir patstāvīgās studijas jeb darbs ar tālmācības materiāliem (grāmatām), kurus BVK speciālisti ir sagatavojuši tieši Jūsu vajadzībām.

Ikvienā grāmatā Jūs varat atrast: •

būtiskāko Jums nepieciešamo informāciju, kas strukturēta nodarbībās (tās atrodamas uz baltas krāsas lapām);

•

nodarbības kopsavilkumu, lai nostiprinātu iegūtās zināšanas;

•

terminu skaidrojošo vārdnīcu;

•

vingrinājumus un pašpārbaudes jautājumus;

•

uzdevumu un vingrinājumu atbildes;

•

papildliteratūras sarakstu padziļinātai kursa apguvei; 7

Studijvedis

•

Biznesa vadības koledža

pašpārbaudes testus un kontroluzdevumus, kas palīdz kursa apguvē.

Pievērsiet uzmanību apzīmējumiem (ideogrammām) kursa sākumā! Tie palīdzēs Jums apgūt kursa saturu.

Studiju materiālā atradīsiet arī to kompetenču uzskaitījumu, ko Jūs iegūsiet vai attīstīsiet kursa apguves laikā.

Strādājot ar tālmācības grāmatu, Jūs:  lasāt tekstu;  veicat uzdevumus;  atbildat uz jautājumiem, kas atrodami šajā tekstā;  uz lapas malām atzīmējat sev būtiskāko informāciju, dažādas piezīmes, radušos jautājumus u.tml.;  izmantojot kopsavilkumu katras nodarbības beigās, apkopojat svarīgāko informāciju;  lietojot terminu vārdnīcu, atkārtojat un aktualizējat būtiskākos terminus;  veicat vingrinājumus, atbildat uz pašpārbaudes jautājumiem (to pareizās atbildes varat atrast nodarbības beigās), lai pārliecinātos par to, ka esat pilnībā izpratis/usi un apguvis/-usi nodarbības saturu;  lasāt piedāvāto papildliteratūru, ja vēlaties kursa saturu apgūt vēl dziļāk;  ja vēlaties, veicat pašpārbaudes testu (pareizās atbildes dotas lapas otrā pusē) vai izpildāt kontroluzdevumu, kas palīdz Jums nodarbībā iegūtās teorētiskās zināšanas pielietot praktiski.

1. Katra studiju kursa ietvaros paredzētas arī praktiskās nodarbības klātienē. Tās:  notiek vienu – divas reizes mēnesī;  palīdz izprast teorētisko jautājumu atbilstību Jūsu individuālajai pieredzei, rosinot uz diskusijām, domu apmaiņu, kā arī dodot iespēju samērot savas zināšanas un prasmes ar citu grupas dalībnieku zināšanām un prasmēm; 8

Biznesa vadības koledža

Studijvedis

 ļauj Jums apzināties sevi jaunā sociālā vidē, kas rosina domāt, pilnveidoties profesionāli un personīgi.

Kursa apguves laikā Jūs kārtojat ieskaiti vai eksāmenu:

 tas notiek klātienē: katras klātienes nodarbības noslēgumā kopā ar grupu Jūs kārtojat ieskaiti/ eksāmenu;  līdzdarbojoties klātienes nodarbībās, Jūs saņemat noteiktus atvieglojumus ieskaites/eksāmena kārtošanā (mazāku veicamo uzdevumu skaitu);  ieskaiti/ eksāmenu varat kārtot arī individuāli Jūsu izvēlētajā laikā, iepriekš vienojoties ar Studiju atbalsta centru; 

ieskaites/ eksāmena rezultātus Jums paziņo BVK Studiju atbalsta centra darbinieki (pa tālruni, ar vēstules vai e-pasta starpniecību).

3. Vienu reizi semestrī Jums ir iespēja saņemt arī attiecīgā kursa docētāja individuālas konsultācijas. Konsultāciju laiki ir atspoguļoti Jūsu studiju grafikā. Ja vēlaties saņemt individuālu konsultāciju, aicinām iepriekš pieteikties Studiju atbalsta centrā.

Studiju atbalsta sistēma Studiju atbalsts ir mērķtiecīgi radīta sistēma, kuras galvenais uzdevums ir palīdzēt Jums adaptēties tālmācības studiju vidē, sasniegt iecerētos rezultātus, iegūt kvalitatīvu augstāko izglītību. Pirms studiju uzsākšanas un studiju laikā Jums palīdz BVK Studiju atbalsta centra darbinieki (konsultanti), kuri kvalitatīvi sniedz atbildes uz jautājumiem, kas saistīti ar: •

tālmācības grāmatām (kur, kad un kādā veidā tās saņemt, kā ar tām pareizi strādāt, cik daudz laika jāpatērē optimāla rezultāta sasniegšanai);

•

kārtību, kādā notiek klātienes nodarbības un konsultācijas;

•

ieskaišu/ eksāmenu kārtošanu, vērtēšanas sistēmu un kārtību u.tml.

Studiju kursa saturu Jums palīdz apgūt koledžas mācību spēki. Nekautrējieties izmantot viņu palīdzību klātienes nodarbībās un konsultācijās! 9

Studijvedis

Biznesa vadības koledža

Studiju laikā Jūsu rīcībā ir BVK bibliotēka, kurā varat atrast literatūru vai noskatīties mācību videofilmas, kas nepieciešamas kursa dziļākai apguvei. BVK studējošā apliecība ļauj Jums izmantot arī citu bibliotēku pakalpojumus (skat. www.bvk.lv/biblioteka).

Kā vislabāk mācīties? Iesakām vienas nodarbības apgūšanai veltīt 90 minūtes dienā. Studijas vēlams organizēt šādi: •

izlasiet materiālu, uzrakstiet atbildes uz jautājumiem tekstā (uzdevumiem, kas apzīmēti ar , pareizās atbildes dotas nodarbības beigās);

•

lappušu malās atzīmējiet sev būtiskāko informāciju (izmantojiet šīs piezīmes praktiskajās nodarbībās klātienē vai individuālo konsultāciju laikā);

•

pievērsiet uzmanību konstatējumiem, kas izvietoti uz lapas malām, jo tajos vēlreiz akcentēta svarīgākā doma. Tos ērti izmantot, atkārtojot apgūto vai gatavojoties eksāmenam;

•

vēlreiz pārlasiet nodarbības saturu, pievērsiet uzmanību kopsavilkumam un terminu skaidrojumam;

•

atsauciet atmiņā iepriekš apgūto, atbildiet uz pašpārbaudes jautājumiem, salīdziniet savas atbildes ar kursa autora piedāvātajām atbildēm, kas atrodamas nodarbības beigās;

•

uzrakstiet pašpārbaudes testa vai kontroluzdevumu atbildes / risinājumus;

•

gatavojoties klātienes praktiskajām nodarbībām, iepazīstieties ar papildliteratūru, sistematizējiet savas zināšanas, sagatavojiet jautājumus diskusijām klātienes nodarbībās.

Biznesa vadības koledža

Studijvedis

Kā sagatavot pārbaudes darbu atbildes? Pašpārbaudes uzdevumi Nodarbību noslēgumā ir jautājumi un uzdevumi, kas domāti sevis pārbaudei. Iesakām atbildēt uz paškontroles jautājumiem un veikt paredzētos uzdevumus. Šie uzdevumi paredzēti tikai Jūsu prasmju pašvērtējumam. Par savas atbildes precizitāti varat pārliecināties katras nodarbības beigās, papildu informāciju varat gūt konsultācijās vai praktiskajās nodarbībās, uzdodot konkrētus jautājumus un pārrunājot radušos problēmu.

Pašpārbaudes testi Rūpīgi izlasiet testa jautājumus! Nesteidzieties! Izmantojiet šos jautājumus kā mācību plānu, kas palīdz pievērst uzmanību galvenajam nodarbībā! Vēlreiz pārlasiet studiju materiālu un pārliecinieties, vai visiem jautājumiem esat veltījis / usi pietiekami daudz uzmanības. Mēģiniet formulēt savu atbildi! Pēc tam salīdziniet savu atbildi ar piedāvātajiem variantiem un atbilžu lapā atzīmējiet to, kurš visprecīzāk atspoguļo Jūsu domas! Salīdziniet savas atbildes ar pareizajām, kas dotas pēc testa!

Kontroluzdevumi Iesakām veikt arī kontroluzdevumus. Tie paredzēti, lai Jūs pievērstu uzmanību svarīgākajai informācijai tekstā un apgūtās teorijas praktiskam pielietojumam.

Studijvedis

Biznesa vadības koledža

Ieskaites un eksāmeni Ieskaites un eksāmeni BVK tiek kārtoti klātienē. Studiju kursos, kuru apjoms ir 2 kredītpunkti, ir viens pārbaudījums – diferencētā ieskaite. Studiju kursos, kuru apjoms ir 4 kredītpunkti, ir divi pārbaudījumi: diferencētā ieskaite un eksāmens. Informāciju par to, kā tiek organizēta ieskaite vai eksāmens, Jūs varat atrast grāmatas pēdējā lappusē. Ieskaites/ eksāmeni tiek kārtoti klātienes nodarbības laikā. Tos Jūs kārtojat kopā ar savu grupu, saņemot atvieglojumus (mazāku uzdevumu skaitu). Ir pieļaujama arī individuāla ieskaišu/ eksāmenu kārtošana, kas iepriekš jāsaskaņo ar konsultantiem (BVK Studiju atbalsta centra tālrunis ir 67803261).

Atcerieties, ka ieskaite/eksāmens jānokārto tajā semestrī, kad apgūts attiecīgais studiju kurss!

Vēlam sekmes studijās!

Apzīmējumi

Biznesa vadības koledža

APZĪMĒJUMI

svarīgi iegaumēt

vērts padomāt

 Σ

uzdevumi, uz kuriem atbildes atradīsiet nodaļā “Uzdevumu atbildes”

NODARBĪBAS KOPSAVILKUMS



terminu skaidrojošā vārdnīca



vingrinājumi, uzdevumi un pašpārbaudes jautājumi



uzdevumu atbildes



ieteicamā literatūra



tests

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

1. VIENKĀRŠO PROCENTU SHĒMA Terminu skaidrojošā vārdnīca .................................................................... 21 1. Finanšu matemātikas pirmsākumi .......................................................... 23 2. Darbības ar procentiem........................................................................... 24 3. Vienkāršo procentu aprēķina formulas ................................................... 26 4. Laika posma un procentu likmes mērvienību saskaņošana .................... 27 5. Formulas vienkāršo procentu shēmas dažādo rādītāju aprēķināšanai .... 29 6. Aizdevuma atmaksa pa daļām, veicot vairākus vienādus maksājumus.. 30 7. Finanšu operācijas ar mainīgu procentu likmi vai pamatsummu ........... 32 Kopsavilkums ............................................................................................. 35 Vingrinājumi un pašpārbaudes jautājumi ................................................... 37 Uzdevumu atbildes ..................................................................................... 39 Ieteicamā literatūra ..................................................................................... 41 Tests ............................................................................................................ 43 Pielikums .................................................................................................... 47

Šajā nodarbībā Jūs iegūsiet zināšanas, kas palīdzēs:  izprast naudas pieauguma principus;  noskaidrot vienkāršo procentu shēmas darbību;  aprēķināt kredītu, ieguldījumu datus, ja lietoti vienkāršie procenti.

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

TERMINU SKAIDROJOŠĀ VĀRDNĪCA Augļi (aprēķinātie procenti, maksa par kredītu (starpība starp beigu summu un sākumsummu)) – naudas summas pieaugums noteiktā laika posmā finanšu operācijas rezultātā. Augļotājs (aizdevējs, kreditors, ieguldītājs (kas dod sākumsummu un saņem beigu summu)) – vēsturiski – persona, kas aizdod naudu, lai atpakaļ saņemtu lielāku naudas daudzumu, vai kas pieņem ieguldījumus, lai vēlāk atmaksātu lielāku summu (sākotnējo summu kopā ar augļiem). Finanšu matemātika – zinātne, kas veicina izpratni par kopsakarībām starp dažādiem finanšu operāciju rādītājiem un dod pamatzināšanas par naudas uzkrāšanas un diskontēšanas metodēm. Finanšu operācijas – darbības, kas saistītas ar naudas summas aizņemšanos vai ieguldīšanu un kuras raksturo noteikta procentu (augļu) likme un noteikts laika posms, un kurai var aprēķināt beigu summu. Konta atlikums – naudas summa, kas atrodas bankas kontā noteiktā laika brīdī. Procenti – simtdaļas no kāda lieluma, parasti no naudas summas. Procentu likme (interese, i) – augļi, izteikti kā procenti no aizdotās (ieguldītās) naudas summas, noteiktā laika posmā. Vienkāršo procentu shēma – finanšu operācija – naudas aizdošana vai ieguldīšana uz noteiktu laiku ar noteiktu procentu likmi, kurai atbilstoši atdodamo naudas summu aprēķina, par katru periodu augļus aprēķinot no sākumsummas.

FINANŠU MATEMĀTIKA



1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

1. FINANŠU MATEMĀTIKAS PIRMSĀKUMI Finanšu matemātika ir lietišķās matemātikas nozare, kas pēta finanšu un tirgus darbību, matemātiski aprēķinot kopsakarības starp dažādiem finanšu operāciju rādītājiem; pēta naudas uzkrāšanas, ieguldīšanas un diskontēšanas izdevīgumu; dod metodes, kā praktiski veikt nepieciešamos finanšu aprēķinus.

Finanšu matemātikas pirmsākumi meklējami jau tālā senatnē, kad radās vajadzība aizņemties vai ieguldīt naudu. Attīstoties kapitālismam, kā arī brīvajam tirgum, iespējas nopelnīt ar finanšu operācijām, nenodarbojoties ar lauksaimniecību vai ražošanu, kļuva arvien plašākas. Jau no seniem laikiem ir pazīstama naudas vai citu lietu aizdošanarotams, saņemot par to pretī papildu labumu. Piemēram: Ja kāds gāja pie kaimiņa un lūdza aizdot desmit dālderu, solot tos atdot pēc kāda laika, kaimiņš par savu labo darbu varēja noteikt atlīdzību un prasīja noteiktā laikā atdot vairāk naudas, piemēram, divpadsmit dālderu. Kāpēc naudas aizdevēji prasa atdot vairāk naudas nekā aizdots? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................

Starpību starp atdodamo un aizdoto summu dēvē par augļiem, un šādus naudas aizdevējus – par augļotājiem.

S Pa kur: S – atdodamā naudas summa; P – aizdotā naudas summa (parāds); a – augļi.

Piemērā ar kaimiņiem augļi ir divi dālderi: a = 12 – 10 = 2 dālderi Vai augļus var izteikt vienīgi naudas izteiksmē? Pamatojiet savu atbildi! .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

Augļotājs, ja viņš šai apkaimē ir vienīgais, varētu noteikt jebkuru atlīdzību (augļus) par naudas aizdošanu, aizņēmējam atliek izvēlēties – piekrist noteikumiem vai ne. Konkurences apstākļos aizņēmējs var izvēlēties, pie kura augļotāja vērsties, lai veiktu sev izdevīgāko darījumu, maksājot vismazākos augļus. Tomēr, vērtējot darījumu, svarīgs ir ne tikai augļu lielums (konkrēts naudas skaits), bet arī augļu attiecība pret aizdoto summu un laiku, kurā tā jāatmaksā. Aprēķināsim, par cik procentiem atdodamā naudas summa ir lielāka nekā aizdotā naudas summa: 12 : 10 × 100% = 120% jeb atdodamā summa ir 120% no aizdotās, tātad pieaugusi par 20%. Pieaugums notiek laika posmā, kurā nauda jāatdod. Ja minētie divpadsmit dālderi jāatdod pēc gada, tad mēdz teikt, ka augļi ir 20% gadā, bet, ja pēc diviem gadiem, tad šis 20% pieaugums jādala ar gadu skaitu, tādā gadījumā uzskata, ka pieaugums ir 20% : 2 = 10% gadā. Bet, ja aizdevums jāatdod pēc četriem gadiem? Tādā gadījumā procentu likme ir 20% : 4 = 5% gadā. Zinot, ka ir aizdevējs, kas prasa šādu likmi (5% gadā), arī cits kaimiņš var iet pie šī augļotāja un lūgt, lai viņam arī aizdod, piemēram, 20 dālderus ar šādiem pašiem noteikumiem, tikai uz diviem gadiem. Šajā gadījumā atdodamo summu aprēķina:

20 + 20 × 5% × 2 = 28 dālderi

Procentu likme ir attiecība starp augļiem (izteiktiem procentos no aizdotās summas) un laika posmu skaitu.

2. DARBĪBAS AR PROCENTIEM Procents ir viena simtdaļa no kāda lieluma.

Procents ir viena simtdaļa no kāda lieluma, n procenti, tātad n simtdaļas. Aprēķinos var rakstīt arī n%, kas atbilst skaitlim 0,0n (jo procenti ir simtdaļas). Piemēram, 7% = 7 : 100 = 0,07 Vesels lielums ir 100%. Matemātiski var pierakstīt: 1 = 100 : 100 = 100% Lai aprēķinātu, cik ir noteikta daļa procentos no kāda lieluma – naudas summas, tilpuma, svara vai skaita, šis lielums jāreizina ar procentu skaitu un jādala ar 100.

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

Piemēram: Cik ir 5% no 1200 kg? 1200 × 5 : 100 = 60 kg Tā kā 5% = 0,05, 5% no 1200 var aprēķināt arī 1200 × 0,05 = 60, šajā gadījumā ar 100 nav vairs jādala. Piemēram: Lai aprēķinātu, cik ir 7% no 50, jāreizina: 50 × 7 : 100 = 3,5 vai × 0,07 = 3,5.

Torte sagriezta četros vienādos gabalos, cik procentu no tortes ir vienā gabalā? Cik procentu ir divos, cik – četros gabalos? Viens tortes gabaliņš maksā 60 santīmus, cik maksā visa torte? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................



Lai noteiktu, cik procenti veido kāda apjoma daļu, jādala daļas lielums ar kopējo apjomu, rezultāts jāreizina ar 100. Piemēram: Grozā ir 14 āboli un 6 bumbieri. No kopējā augļu skaita āboli ir 14 : 20 × 100 = 70%, bet bumbieri 6 : 20 × 100 = 30%. Lai aprēķinātu, par cik procentiem viens lielums lielāks (vai mazāks) par otru, tie jādala, un no dalījuma jāatņem 1. Piemēram: Skaitlis 120 ir par 20% mazāks nekā 150, jo 120 : 150 – 1 = -0,2.

1. Cik ir 12% no 450? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 2. Kopējais darbinieku skaits ir 5000. Cik procentu no visiem darbiniekiem ir 1750 sievietes? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 3. Par cik procentiem palielinājusies peļņa, ja 2005. gadā tā bija Ls 3200, bet 2006. gadā Ls 3356? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... FINANŠU MATEMĀTIKA



1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

..........................................................................................................................

3. VIENKĀRŠO PROCENTU APRĒĶINA FORMULAS

Vienkāršo procentu gadījumā atdodamo summu (S) nosaka, aizdotajai summai (P) pieskaitot prasītos augļus, kurus, savukārt, aprēķina, pareizinot aizdoto summu ar procentu likmi (i) laika posmā un laika posmu skaitu (t).

S  P  P  i  t  P  (1  i  t )

Pēc vienkāršās procentu shēmas aprēķina kredīta atmaksājamo summu, soda naudu, līzinga maksājumus, konta atlikuma peļņu.

kur: S – atdodamā naudas summa; P – aizdotā naudas summa; i – procentu likme; t – laika posmu skaits.

Šo aprēķina veidu sauc par vienkāršo procentu shēmu. Mūsdienās pēc šīs shēmas aprēķina kredīta atmaksājamo summu, kavējumu (soda) naudu, līzinga maksājumus, konta atlikuma peļņu. PIEMĒRS: Cik būs jāatdod, aizņemoties Ls 150 uz trim gadiem, ja procentu likme ir 4% gadā? S = 150 × (1 + 4% × 3) = Ls 168



1. Cik pēc pieciem gadiem būs jāatdod, aizņemoties Ls 2500 uz 7% gadā? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 2. Cik būs jāatdod pēc 10 gadiem, ja aizņemas Ls 3000 uz 3,5% gadā? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................

Procentu likme jeb interese (angļu val. – interest rate) vienmēr tiek noteikta no aizdevuma summas konkrētam laika posmam (vienam gadam, dienai vai mēnesim), kā tas tiek norunāts aizņemoties. Mūsdienās parasti runā par noteiktu procentu likmi gadā, tomēr ir iespējami jebkādi noteikumi. Kavējuma naudu nereti aprēķina pēc vienkāršo procentu shēmas, nosakot soda naudu kā procentus no nesamaksātās summas pa dienām.

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

PIEMĒRS: Jāsamaksā Ls 100 šā gada 3. martā. Par katru kavētu dienu tiek aprēķināta soda nauda 0,5% dienā. Ja samaksa tiek veikta 15. martā, cik tad būs jāmaksā? Saskaitām, cik dienas kavētas – 12 dienas, tātad t = 12. Aprēķinām, cik būs jāmaksā: S = 100 × (1 + 0,5% × 12) = Ls 106 Aprēķiniet iepriekšējā piemēra situācijā, cik būs jāmaksā, ja samaksa tiks veikta tikai 25. martā? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................



4. LAIKA POSMA UN PROCENTU LIKMES MĒRVIENĪBU SASKAŅOŠANA Aprēķinot atdodamo summu, jāsaskaņo laika posma mērvienība ar tā posma mērvienību, kas raksturo procentu likmi. Piemēram: Tiek aizdoti 200 lati uz pusgadu, procentu likme ir 4% gadā. Atdodamā summa ir: 200 × (1 + 4% × 0,5) = 204 lati Piemērs: Aizdoti 200 lati uz 40 dienām, procentu likme tā pati 4% gadā. Tādā gadījumā 40 dienas jāizsaka kā gada daļa. Izteikt dienas kā gadus var divējādi. Pēc precīzo vienkāršo procentu shēmas uzskata, ka gadā ir 365 dienas, pēc aptuveno procentu shēmas – 360 dienas. Precīzo vienkāršo procentu gadījumā S = 200 × (1 + 4% × 40 : 365) = 200,8767 Aptuveno vienkāršo procentu gadījumā S = 200 × (1 + 4% × 40 : 360) = 200,8889 Redzam, ka starpība ir neliela, tomēr tā pastāv, īpaši, ja ir lielas summas. PIEMĒRS: 2006. gada 4. aprīlī tiek izsniegts Ls 2000 kredīts uz 5% gadā, atmaksāts tiek 2007. gada 15. jūnijā. Lietot aptuvenos procentus. Aprēķināt beigās atmaksājamo summu!

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

Vispirms jānosaka laiks, dienu skaitu starp kredīta sākumu un beigām dalot ar 360. Dienu skaitu var aprēķināt dažādi – saskaitot kalendārā, izmantojot gada dienu numuru tabulas (skat. 1. pielikumā) vai kā citādi. Izmantosim gada dienu numerācijas tabulas. 4. aprīlis ir gada 93. diena, 15. jūnijs ir 165. diena. Vispirms aprēķinām, cik dienas ilgst kredīts 2006. gadā. 365 – 93 = 272 dienas Pieskaitām dienu skaitu 2007. gadā. 272 +165 = 437 dienas pavisam kopā. Kredīta atmaksas summa ir: S = 2000 × (1 + 5% × 437 : 360) = 2121,389 Gala summu noapaļo līdz divām zīmēm aiz komata.

Gala summu parasti noapaļo līdz divām zīmēm aiz komata, tātad jāatdod Ls 2121,39. Pievērsiet uzmanību, ka, aprēķinot dienu skaitu, vienmēr pieņem, ka gadā ir 365 (vai garajos gados 366) dienas, atšķirība starp aptuveno vai precīzo procentu aprēķināšanu parādās, izdalot dienu skaitu ar 360 vai 365, lai saskaņotu procentu likmes periodu ar laika posmu.



Kredīts Ls 4500 uz 3,5% gadā izsniegts 2006. gada 1. jūnijā, plānots to dzēst 2007. gada 2. janvārī. Cik būs jāmaksā? Izmantojiet precīzos procentus! .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................

PIEMĒRS: Nepieciešama nauda, pieejami divi augļotāji – viens piedāvā naudu ar procentu likmi 20% gadā, otrs – 0,4% dienā. Pie kura no tiem izdevīgāk aizņemties? Ja summa vai laiks nav būtiski, pieņem, ka aizņemamies vienu naudas vienību uz vienu gadu (vai 365 dienām). Aprēķinām, cik būtu gada beigās jāatdod katram augļotājam: Pirmajam S = 1 × (1 + 0,2 × 1) = 1,20 Otrajam S = 1 × (1 + 0,004 × 365) = 2,46 Tātad otrā augļotāja prasītā procentu likme ir daudzreiz neizdevīgāka. Kur izdevīgāk aizņemties Ls 300 uz pusotru gadu? Vai pie drauga, kas prasa pēc noteiktā laika atdot Ls 350, vai bankā, kas prasa 12% gadā, vai vērsties lombardā, kur var izpirkt ķīlu par šo summu, maksājot 0,05% dienā? Cik būtu jāatmaksā bankai? 28

FINANŠU MATEMĀTIKA



1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

.......................................................................................................................... .......................................................................................................................... Cik būtu jāmaksā lombarda turētājam? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... Rēķina samaksa par Ls 600 bija jāveic 20. maijā, samaksāts tika 10. jūnijā. Līgumā paredzēta kavējuma nauda par visu nesamaksāto summu, sākot no pirmās dienas, nosakot tai likmi 25% gadā. Cik liela ir šī kavējuma nauda, ja lieto precīzos procentus? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................

5. FORMULAS VIENKĀRŠO PROCENTU SHĒMAS DAŽĀDO RĀDĪTĀJU APRĒĶINĀŠANAI No jau zināmās formulas var izteikt arī rādītājus P, i un t, lai aprēķinātu katru no tiem, ja zināmi pārējie.

S  P  P  i  t  P  (1  i  t ) P

S 1  it

i

SP Pt

t

SP iP

kur: P – aizdotā naudas summa; S – atdodamā naudas summa; i – procentu likme; t – laika posmu skaits.

Piemēri: Kāda bija aizdotā summa, ja aizņēmās uz pieciem gadiem ar procentu likmi 4% gadā, beigās norunāts atdot Ls 1560? P = 1560 : (1 + 4% × 5) = 1300 Ls Kāda bija procentu likme, ja aizdodot Ls 1200 uz sešiem gadiem, jāatmaksā Ls 1596? FINANŠU MATEMĀTIKA



1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

i = (1596 - 1200) : (1200 × 6) = 5,5% Pēc cik ilga laika aizdotie Ls 3000 ar procentu likmi 0,4% dienā pieaugs divkārt? t = (6000 - 3000) : (3000 × 0,4%) = 250 dienas



1. Kāda naudas summa tika ieguldīta, ja pēc pieciem gadiem ar procentu likmi 3,3% gadā tā pieaugusi līdz Ls 4800? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 2. Pēc cik ilga laika ieguldītie Ls 1000 pieaugs līdz Ls 1200, ja noteikta procentu likme 2,5% gadā? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 3. Kāda procentu likme jāpiemēro, ja vēlas, lai ieguldītie Ls 10000 pēc diviem gadiem palielinātos par Ls 300? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... ..........................................................................................................................

6. AIZDEVUMA ATMAKSA PA DAĻĀM, VEICOT VAIRĀKUS VIENĀDUS MAKSĀJUMS Pēc vienkāršās procentu shēmas izsniegtu aizdevumu var atmaksāt arī pa daļām, aprēķinot kopējo atdodamo summu un sadalot to vienādās daļās atbilstoši norunātajam atmaksāšanas reižu skaitam. Piemēram: Ja izsniegts kredīts Ls 5000 uz četriem gadiem, procentu likme 6% gadā, tādā gadījumā atmaksājamā summa ir: P = 5000 × (1 + 6% × 4) = 6200 Ls Ja aizdevuma līgumā teikts, ka kredīts jāatmaksā vienādās daļās reizi pusgadā, tad var aprēķināt, ka būs jāmaksā astoņas reizes pa Ls 775 līdz viss kredīts ir dzēsts. Šo paņēmienu izmanto ilgtermiņa kredītos, kā arī līzingos.



Cik būs jāmaksā, ja piemērā minētais kredīts būtu jāatmaksā ar vienādiem maksājumiem ik mēnesi? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

.......................................................................................................................... Patlaban ļoti izplatīta iespēja ir iegādāties dažādas preces līzingā. Iespējamas dažādas līzinga maksājumu aprēķina shēmas, un katra kompānija ir tiesīga izstrādāt savus noteikumus, tāpēc uzmanīgi jālasa līgumi, kur jābūt skaidrotai maksājuma grafika aprēķinu shēmai. Piemēram, līzings preces iegādei tiek veikts, aprēķinot kopējo maksājamo summu pēc vienkāršo procentu shēmas, kārtējā maksājuma lielums tiek noteikts, sadalot kopējo apmaksājamo summu vienādās daļās katrai maksājumu reizei. Piemērs: Prece Ls 300 vērtībā iegādāta uz 2,5 gadiem līzingā (2%), jāmaksā katru mēnesi vienāda summa. Kā to aprēķināt? Ja pie procentu likmes nav norādīta perioda mērvienība, pieņem, ka procentu likme ir domāta gadā. Kopējā preces cena, izmantojot šo līzingu, būs: P = 300 × (1 + 2% × 2,5) = 315 Ls Dala šo summu uz 30 vienādiem maksājumiem (jo 2,5 gados ir 30 mēneši), aprēķina ikmēneša maksājuma lielumu Ls 10,50. Zinot ikmēneša maksājuma lielumu, var aprēķināt procentu likmi un preces sākuma cenu, izmantojot formulas no iepriekšējās nodaļas šo lielumu aprēķināšanai.

Piemērs: Kāda bija līzinga procentu likme, ja preci, kuras sākumcena ir Ls 280, var iegādāties, divus gadus maksājot katru mēnesi Ls 12,50? Aprēķinām kopējo naudas summu, kas jāmaksā par preci 12,50 × 24 = 300 Ls. Izmantojam formulu: i = (S - P) : (P × t) i = (300 - 280) : (280 × 2) = 3,57% 1. Prece Ls 330 vērtībā ņemta līzingā uz diviem gadiem, maksājumi jāveic katru mēnesi, līzinga procentu likme ir 1,5% gadā. Aprēķiniet maksājuma lielumu! .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 2. Aprēķiniet līzinga gada procentu likmi, ja preci, ko, uzreiz skaidrā naudā maksājot, var nopirkt par Ls 400, vēlas iegādāties, trīs gadu laikā nemaksājot vairāk kā Ls 12 mēnesī! .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 3. Prece maksā Ls 500, līzinga noteikumi ir šādi – pirmā iemaksa Ls 200, pēc tam trīs gadus jāmaksā Ls 16,50 ik mēnesi. Aprēķiniet līzinga gada procentu likmi! .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... FINANŠU MATEMĀTIKA



1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

..........................................................................................................................

7. FINANŠU OPERĀCIJAS AR MAINĪGU PROCENTU LIKMI VAI PAMATSUMMU Ja kāds no rādītājiem – parāda summa vai procentu likme – laika gaitā mainās, tad katrā izmaiņu brīdī jāveic finanšu operācijas aprēķins. Piemēram: Ja aizdevējs noteic, ka aizņemoties Ls 1000 uz pieciem gadiem, pirmos divus gadus procentu likme būs 4%, bet nākamos trīs gadus – 5%, tad beigās atdodamo summu aprēķina šādi – pie sākotnējās summas pieskaita aprēķinātos augļus par pirmo laika posmu un augļus par otro posmu: Augļi par pirmo laika posmu: 1000 × 4% × 2 = 80 Ls Augļi par otro laika posmu: 1000 × 5% × 3 = 150 Ls Pēc vienkāršo procentu shēmas aprēķinātos procentus pamatsummai nepieskaita.

! 

Kopā jāatdod sākumsumma un visi augļi: 1000 + 80 + 150 = 1230 Ls Pēc vienkāršo procentu shēmas procentus visu laiku aprēķina no ieguldījuma summas attiecīgajā laika posmā, un tos summai klāt nepieskaita. Laika gaitā var mainīties ne tikai procentu likme, bet arī parāda (vai noguldījuma) summa. Katram ir nācies redzēt bankas konta apgrozījuma izdruku, kur redzamas ieskaitītās un izņemtās naudas summas, un nereti arī rindiņu – procentu maksa par konta atlikumu. Konta atlikums ir summa, kas atrodas bankā konkrētajā brīdi.

Apvelciet pareizo atbildi! Vai konta atlikums var būt arī negatīvs?

Nē / Jā

Apskatīsim vienkāršu piemēru par naudas noguldījumu bankā. Tā noteikusi, ka par noguldīto summu maksā 2% gadā, pieļaujot iespēju naudu ieskaitīt un izņemt, kad klients vēlas. Piemēram: kontā tiek veiktas šādas finanšu operācijas:  5. janvārī klients nogulda Ls 1200;  20. februārī klients nogulda vēl Ls 1000;  15. martā klients izņem Ls 500;  20. maijā klients nogulda Ls 800;  6. jūnijā klients izņem Ls 1200;  5. augustā klients kontu slēdz (izņem visu atlikušo summu, kā arī bankas aprēķinātos procentus par visu šo laiku). Cik naudas klients saņems? Visērtāk aprēķinus veikt tabulā: 32

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

Datums

Dienu skaits starp operācijām

5. janvāris 20. februāris 15. marts 20. maijs 6. jūnijs 5. augusts

46 23 66 17 60

Naudas summa kontā līdz šim datumam 1200 1200 + 1000 = 2200 2200 – 500 = 1700 1700 + 800 = 2500 2500 – 1200 = 1300

Uzkrātie augļi 3,02 2,77 6,15 2,33 4,27

Augļus vienmēr aprēķina brīdī, kad notiek izmaiņas konta stāvoklī.

Dienu skaitu starp operācijām nosaka pēc gada dienu numerācijas tabulām (vai saskaita pēc kalendāra, vai kā citādi). Summu, kas konkrētajā laikā atrodas bankā, aprēķina, iepriekšējai summai pieskaitot vai atņemot noguldīto vai izņemto summu. Procentus (augļus) aprēķina, reizinot katru summu ar bankas noteikto gada procentu likmi (2%) un dienu skaitu, dalītu ar 365. Piemēram, par laika posmu no 5. janvāra līdz 20. februārim (46 dienas) bankā glabājās Ls 1200. Šajā laika posmā ar noguldīto summu tika nopelnīti augļi 3,02 Ls apmērā. 1200 × 2% × 46 : 365 = 3,02 Ls Tāpat aprēķina uzkrātos procentus katrā operācijas dienā. Šos aprēķinātos procentus par konta atlikumu noguldītajai summai katrā operācijas brīdī nepieskaita!

Ja tos pieskaitītu noguldījumam, tad stātos spēkā salikto procentu shēma, kura tiks aplūkota nākamajās nodaļās. Turpinot aprēķinus, saskaita visus aprēķinātos procentus, un tos kopā ar konta atlikumu izmaksā klientam konta slēgšanas brīdī. Procentu summa ir Ls 18,55, tātad klients saņems 1300 + 18,55 = 1318,55 Ls. Katra banka var izvirzīt noteikumus, kā tiek maksāti procenti par konta atlikumu, piemēram, ja tas mazāks par Ls 100, tad procentus vispār neaprēķināt vai ja pārsniedz Ls 10000, tad maksāt citu (parasti lielāku) procentu likmi. Pirms noguldīt bankā savu naudu, jāizlasa noteikumi, pēc kuriem notiek darījums!

FINANŠU MATEMĀTIKA

Pirms noguldīt bankā naudu, ir jāizlasa bankas izvirzītie noteikumi!

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

Piemērs: Banka piedāvā maksāt par konta atlikumu 3,5% gadā, ja noguldītā summa pārsniedz Ls 500. Klients nogulda 1. jūnijā Ls 1000, 15. jūlijā izņem Ls 600, 2. augustā nogulda Ls 300, kontu slēdz nākamā gada 30. janvārī. Cik klients saņems? Datums

Dienu skaits starp operācijām

1. jūnijs 15. jūlijs 2. augusts 30. janvāris

Naudas summa kontā līdz šim datumam

44 1000 18 400 181 700 Kopā par procentiem

Uzkrātie augļi

4,22 0, jo kontā nav pilni Ls 500 12,15 716,37

Klients saņems Ls 716,



1. Līgumā noteikts, ka kavējuma nauda par laikā neveiktu maksājumu tiek aprēķināta par pirmajām desmit dienām 0,3% apmērā par katru dienu, bet par nākamajām, sākot no 11. dienas, 0,5% apmērā. Rēķinu par Ls 250 vajadzēja apmaksāt 1. septembrī, apmaksa veikta 22. septembrī. Cik liela kavējuma nauda tiks aprēķināta? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 2. Klients atver kontu bankā, kura par konta atlikumu maksā 2,5% gadā. Veiktās operācijas ir šādas: janvāra, februāra un marta pirmajā datumā ieskaita Ls 450, bet to pašu mēnešu 15. datumos izņem katru reizi pa Ls 200. Kontu slēdz 31. martā. Cik klients saņems? Datums

Dienu skaits starp operācijām

Naudas summa kontā līdz šim datumam

Uzkrātie augļi

KOPSAVILKUMS



Vienkāršo procentu shēma ir vēsturiski senākā aizdotās naudas pieauguma aprēķināšanas metode.

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

Vienkāršo procentu shēmas gadījumā izmanto formulas:

S  P  P  i  t  P  (1  i  t ) augļi

P

S 1  it

i

SP Pt

t

SP iP

kur: P – aizdotā naudas summa; S – atdodamā naudas summa; i – procentu likme; t – laika posmu skaits.

Mūsdienās pēc šīs shēmas aprēķina kredīta atmaksājamo summu, kavējumu (soda) naudu, līzinga maksājumus, konta atlikuma peļņu. Jāsaskaņo procentu likmes laikā mērvienība (gads, mēnesis, diena) ar laika perioda mērvienību. Piemēram, ja procentu likme dota gadā, bet uzdevumā laika posms dots mēnešos, tad i jādala ar mēnešu skaitu gadā, tātad i : 12. Ja procentu likme dota dienā, bet laika posms mēnešos, procentu likme jāreizina ar 30 (aptuveno procentu gadījumā).

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža



VINGRINĀJUMI UN PAŠPĀRBAUDES JAUTĀJUMI 1. uzdevums Kāds ir laika posms, izteikts gados (kā daļskaitlis), ja nauda ieguldīta uz laiku no 2007. gada 18. aprīļa līdz 2008. gada 15. februārim? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 2. uzdevums Kādai jābūt procentu likmei gadā, lai ieguldītā summa piecu gadu laikā dubultotos? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 3. uzdevums Kāda ir gada procentu likme, ja dienā tā ir 0,05%? .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... .......................................................................................................................... 4. uzdevums Aizpildiet tabulu! Kredīta summa 10000 10000 10000 10000

Procentu likme gadā 5% 5% 5% 5%

FINANŠU MATEMĀTIKA

Laiks gados

Atdodamā summa kopā

5 10 20 30

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

UZDEVUMU ATBILDES



25. lpp. Ls 2,40 25. lpp. 1. 54 2. 35% 3. ≈ 5% 26. lpp. 1. Ls 3375 2. Ls 4050 27. lpp. Ls 111 28. lpp. Ls 4592,77 29. lpp. Izdevīgāk ir aizņemties no drauga 29. lpp. Ls 8,63 30. lpp. 1. ≈ Ls 4200 2. 8 gadi; 3. 1,5% 30. lpp. Ls 129,17 31. lpp. 1. Ls 14,17 2. 2,5 % 3. 6,27% (Ls 200 nav jāņem vērā, līzinga sākumsumma ir 500 – 200 = 300) 32. lpp. Nē 34. lpp. 1. Ls 22,50 2. Ls 753,58

37. lpp. 1. uzdevums 303/360

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

2. uzdevums 20% 3. uzdevums 18% 4. uzdevums Kredīta summa 10000 10000 10000 10000

Procentu likme gadā 5% 5% 5% 5%

Laiks gados 5 10 20 30

Atdodamā summa kopā 12500 15000 20000 25000

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža



IETEICAMĀ LITERATŪRA 1. Hazans M. Kā aug nauda: Ievads finansu matemātikā. Rīga: 1994. 156 lpp. 2. Jaunzeme M. Finansu matemātika: definīcijas, formulas, piemēri, uzdevumi: māc. līdz. 2. pārstrād. izd. Rīga: Biznesa augstskola Turība, 2001.154 lpp. 3. Verjē T. Finanšu fitness. Rīga: Nordik, 2005. 250 lpp.

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

TESTS



Atbilžu tabulā testa beigās ar aplīti apvelciet pareizās atbildes. Katram jautājumam iespējama VIENA pareiza atbilde. 1. Lai aizņemšanās gadījumā būtu jāatdod pēc iespējas mazāka summa, jābūt: A. īsākam laika posmam un lielākai procentu likmei; B. īsākam periodam un mazākai procentu likmei; C. garākam periodam un mazākai procentu likmei; D. garākam periodam un lielākai procentu likmei. 2. Lai, ieguldot naudu bankā uz noteiktu laiku, saņemtu vislielākos augļus, jāiegulda: A. bankā, kas piedāvā augstāko procentu likmi; B. bankā, kas piedāvā zemāko procentu likmi; C. procentu likmei nav nozīmes. 3. Ja procentu likme ir vienāda ar nulli, darījums izdevīgāks: A. aizdevējam; B. aizņēmējam; C. nevienam; D. abpusēji izdevīgs. 4. Procentu likmei 12% gadā neatbilst: A. procentu likme 1% mēnesī; B. procentu likme 6% pusgadā; C. procentu likme 4% ceturksnī; D. procentu likme 0,033% dienā. 5. Vairāk naudas jāatdod, aizņemoties: A. uz 10 gadiem ar procentu likmi 2% gadā; B. uz 2 gadiem ar likmi 10% gadā; C. abos gadījumos vienādi; D. nevar aprēķināt, jo nav zināma summa. 6. Paņemts kredīts bankā, kas prasa 7,8% gada vienkāršo procentu likmi uz 30 gadiem. Ik mēnesi jāmaksā Ls 278,50, kas veido gan parāda daļas atmaksu, gan aprēķināto procentu maksu. Cik reižu vairāk naudas banka beigās kopā saņems, nekā sākotnēji aizdeva kreditoram? A. apmēram uz pusi; B. apmēram divreiz; C. apmēram trīsreiz; D. trīsreiz vairāk nekā sākotnēji aizdots.

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža 7. Preci, kuras cena, pērkot uzreiz, ir Ls 760, var iegādāties līzingā, trīs gadus maksājot ik mēnesi Ls 22,70. Kāda ir līzinga procentu likme gadā? A. 2%; B. 2,5%; C. 12%; D. 24%. 8. Banka par konta turēšanu tajā maksā 3% gadā. 2007. gada 22. martā noguldīti kontā Ls 800. Kontu slēdz 2007. gada 10. jūnijā, kādu summu klients saņems? (Atzīmējiet kā pareizo atbildi vistuvāko no dotajām.) A. Ls 800; B. Ls 805; C. Ls 815; D. Ls 850. 9. Nepieciešami ceļojumam Ls 500 uz diviem mēnešiem, tos var iegūt, aizņemoties lombardā par procentu likmi 14% gadā vai izmantot kredītlīniju, kas prasa 0,7% dienā. Kurš variants izdevīgāks? A. lombards; B. kredītlīnija; C. abi varianti vienlīdz izdevīgi; D. neaizņemties vispār.

10. Kāda ir līzinga procentu likme gadā, ja automašīnu, kuras cena ir 5600, var iegādāties, piecus gadus ik mēnesi maksājot Ls 114,33? A. 4%; B. 4,2%; C. 4,5%; D. 4,8%.

FINANŠU MATEMĀTIKA

Biznesa vadības koledža

1. nodarbība

TESTS

10.

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

TESTA ATBILDES

10.

FINANŠU MATEMĀTIKA

Biznesa vadības koledža

1. nodarbība

1. pielikums

Janvāris

Februāris

Marts

Aprīlis

Maijs

Jūnijs

Jūlijs

Augusts

Septembris

Oktobris

Novembris

Decembris

Mēneša diena

Gada dienu numerācijas tabula

121

152

182

213

244

274

305

335

122

153

183

214

245

275

306

336

123

154

184

215

246

276

307

337

124

155

185

216

247

277

308

338

125

156

186

217

248

278

309

339

126

157

187

218

249

279

310

340

127

158

188

219

250

280

311

341

128

159

189

220

251

281

312

342

129

160

190

221

252

282

313

343

100

130

161

191

222

253

283

314

344

101

131

162

192

223

254

284

315

345

102

132

163

193

224

255

285

316

346

103

133

164

194

225

256

286

317

347

104

134

165

195

226

257

287

318

348

105

135

166

196

227

258

288

319

349

106

136

167

197

228

259

289

320

350

107

137

168

198

229

260

290

321

351

108

138

169

199

230

261

291

322

352

109

139

170

200

231

262

292

323

353

110

140

171

201

232

263

293

324

354

111

141

172

202

233

264

294

325

355

112

142

173

203

234

265

295

326

356

113

143

174

204

235

266

296

327

357

114

144

175

205

236

267

297

328

358

115

145

176

206

237

268

298

329

359

116

146

177

207

238

269

299

330

360

117

147

178

208

239

270

300

331

361

118

148

179

209

240

271

301

332

362

119

149

180

210

241

272

302

333

363

120

150

181

211

242

273

303

334

364

151

212

243

304

365

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība

Biznesa vadības koledža

FINANŠU MATEMĀTIKA

Biznesa vadības koledža

FINANŠU MATEMĀTIKA

1. nodarbība