BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG ÑHBK
---------------------------------------------------------------------------------------------------
TOAÙN 1 GIAÛI TÍCH HAØM MOÄT BIEÁN • BAØI 5: ÑAÏO HAØM •
TS . NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (11/2007)
NOÄI DUNG
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1- ÑÒNH NGHÓA ÑAÏO HAØM 2- DUØNG ÑÒNH NGHÓA TÍNH ÑAÏO HAØM: HAØM KHOÂNG SÔ CAÁP (HAØM GHEÙP) – ÑAÏO HAØM 1HAØM PHÍA 3ÑAÏO HAØM AÅN 4- ÑAÏO HAØM LÖÔÏNG GIAÙC NGÖÔÏC 5ÑAÏO HAØM HAØM THEO THAM SOÁ 6 – ÑAÏO HAØM CAÁP CAO
ÑAÏO HAØM
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆f f ' ( x0 ) = lim = lim = lim x → x0 ∆ x → 0 x − x0 ∆x ∆x →0 ∆x YÙ hoïc: goùc
nghóa
hình
Heä
soá tieáp
tuyeán cuûa ñoà thò (C) y = f(x) taïi tieáp Haøm coù ñieåm ñaïo M(x0, f(x haøm taïi 0)) x0
⇒
Lieân tuïc taïi x0. Ngöôïc laïi: SAI!
HAØM GHEÙP, TRÒ TUYEÄT: ÑAÏO HAØM MOÄT PHÍA -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) (i.e ∆x > 0) Ñaïo ∆x →0 + ∆x phaûi: f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) (i.e ∆x < 0) Ñaïo haøm f ' ( x0 −) = lim ∆x →0 − ∆x traùi: haøm f ' ( x0 + ) = lim
Haøm y = f(x) coù ñaïo haøm höõu haïn taïi x0 ⇔ f’(x0+) = f’(x0−) VD: Tính ñaïo haøm taïi x2 , x ≤ 1 x0 = 1 f ( x) = 2 x − 1, x > 1 VD: f ( x ) = x , x0 = 0
KHI NAØO DUØNG ÑAÏO HAØM 1 PHÍA?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ñaïo haøm haøm sô caáp (xaùc ñònh qua 1 bieåu thöùc): baûng ñaïo haøm cô baûn + ñaïo haøm toång,haøm hieäu,khoâng tích, thöông, hôïp(≥ 2 bieåu Ñaïo haøm sô caáp thöùc): ñònh nghóa & duøng ñaïo haøm traùi, ñaïo haøm phaûi VD: Tìm a, b ñeå haøm soá sau coù
ax 2 + bx + 1, x ≥ 0 f ( x) = a sin x + b cos x, x < 0
ñaïo haøm taïi x0 = 0 Chuù yù: Neân kieåm tra tröôùc ñieàu kieän lieân tuïc
x 2 sin 1 , x ≠ 0 x VD: Tính ñaïo haøm taïi x0 = 0 f ( x) = 0 ,x=0 cuûa haøm
TÍNH ÑAÏO HAØM HAØM SÔ CAÁP
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Baûng ñaïo haøm caùc haøm sô caáp cô baûn: töï xem laïi Ñaïo haøm
Ñaïo haøm haøm hôïp
(C)’ = 0 (xα)’ = αxα–1
(uα)’ = αuα–1.u’
(1/x)’ = –1/x2 ( x )' = 1 2 x
(1/u)’ = u )'
(
(sinx)’ = cosx
(sinu)’ =
(cosx)’ = –sinx
(cosu)’ =
(tgx)’ = 1/cos2x = 1 + tg2x
(tgu)’ =
(cotgx)’ = –1/sin2x =
(cotgu)’ =
(ex)’ = ex, (ax)’ = axlna
(eu)’ =
(lnx)’ = 1/x, (logax) = 1/(xlna)
(lnu)’ =
QUY TAÉC TÍNH ÑAÏO HAØM
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Quy taéc ñaïo haøm toång, hieäu, tích, thöông: töï xem laïi ( u ± v ) ' = u '±v' ( Cu ) ' = Cu '
( uvw) ' = u ' vw + uv' w + uvw'
( uv ) ' = u ' v + v' u '
u = u ' v − v' u v2 v
Ñaïo haøm haøm hôïp: Quy taéc daây xích! y = f ( u ) , u = u ( x) : y = f ( u ( x) ) ⇒ y ' x = y 'u ⋅u ' x : Xuaát hie änu'! VD: Cho y = f(x2). Tính caùc ñaïo x2
haøm g(x) y’, y’’ 1 y = f(x) ⇒ log (cô soá e) hoaù y = 1 + ⇒ y ' = ? x
ÑAÏO HAØM HAØM AÅN
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Haøm aån : F(x,y) = 0 ∀ x ∈ [a, b] ⇒ y = y(x) ∀ [a, b] aån y = y(x) xaùc ñònh töø phöông VDx :∈ Haøm trình y = 1 + xey
Tính
y’:
Ñaïo
haøm
tröïc tieáp 2 veá theo x, chuù yù y = y(x) roài giaûi phöông trình e y aån VD ñang y ' x = y’ 1 − xe y xeùt : VD : Ñaïo haøm y’(0) cuûa haøm x 3 + ln yaån − x 2e y = 0 ⇒ y ' ( x) = y( 0) =
⇒
y ' (0) =
ÑAÏO HAØM HAØM LÖÔÏNG GIAÙC NGÖÔÏC – HYPERBOLIC
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
y = f(x) → haøm ngöôïc x = g(y). Taïi y0 = f(x0): Gnhôù : ( arcsin x ) ' =
(
)
' 1 1 −1 g ' ( y0 ) = ⇒ f ( y) = f ' ( x0 ) f ' ( x)
1 1 1 ; ( arccos x ) ' = − ; ( arctgx ) ' = 2 2 1+ x2 1− x 1− x
(arcsinx)’ = 1 1 − x 2 2 (arccosx)’ = − 1 1 − x
2 (arcsinu)’ = u ' 1 − u 2 (arccosu)’ = − u ' 1 − u
(shx)’ = chx
(shu)’ = u’ . chu
(chx)’ = shx
(chu)’ = u’ . shu
(thx)’ = 1/ch2x = 1 – th2x
(thu)’ = u ' cosh 2 u (cothu)’ = − u ' sinh 2 u
(arctgx)’ = 1 (1 + x 2 ) (arccotgx)’ = − 1 (1 + x 2 )
(cothx)’ = –1/sh2x = 1 –
(arctgu)’ = u ' (1 + u 2 ) (arccotgu)’ = − u ' (1 + u 2 )
ÑAÏO HAØM HAØM THEO THAM SOÁ
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Haøm theo tham soá : x = x(t), y = y(t) ⇒ y(x) bieåu dieãn ñöôøng cycloid x = a(t – VDy := Haøm sint), y = a(1 – cost)
P/phaùp:
Ñöa
veà
ñ/haøm theo t! ( y'x ) t y ' (t ) y'x = ; y' 'x = ( y'x ) 'x = x' (t ) x't Ñöôøng
sin t y'x = 1 − cos t
cycloid VD : Tham soá hoaù ñöôøng
elip
&
vieát
t x = a sintieáp y 't ( b cos t ) ' p/trình tuyeán: ⇒ y ' = = x x't ( a sin t ) ' y = b cos t
ÑAÏO HAØM CAÁP CAO
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ñhaøm caáp 2: y’’(x) = [y’(x)]’ . ÑH caáp n: y(n)(x) n = [y(n-1)(x)]’ d y Kyù dx n hieäu:
(e )
x ( n)
=e
( sin x )
(n)
Moät soá ñaïo haøm caáp
(a )
x ( n)
x
π = sin x + n 2
[( ax + b) ]
α (n)
( ln( ax + b ) )
cao cô baûn: = a x ln n a
( sin ( ax + b ) )
( n)
π = a sin ax + b + n 2 n
= a nα ( α − 1) ( α − n + 1)( ax + b ) α −n
(n)
=
(−1) n−1 a n ( n − 1)!
( ax + b ) n
KYÕ NAÊNG TÍNH ÑAÏO HAØM CAÁP CAO
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phaân tích haøm veà daïng “toång” caùc haøm ñôn giaûn 1 VD: f ( x) = 2 x −1 Lebnitz : ( uv )
( n)
2 VD: f ( x) = sin x
n
= ∑ Cnk u ( k ) v ( n − k ) = Cn0uv ( n ) + Cn1u ' v ( n −1) + + Cnnu ( n ) v k =0
VD:
f(x)
=
x2ex Toång quaùt: f(x) = u.v, u – ña thöùc baäc m ⇒ Caùc ñaïo haøm u(k) = 0 ∀ k > m ⇒ Toång u(k)v(n – k)
chæ goàm vaøi thöøa soá: tính ñôn giaûn!