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ÁLGEBRA U.I.B. MATRICES 1.- SEP 1998 Trobau les matrius X tals que XA = AX, on A =
Según las condiciones del problema la matriz X es 2x2. X =
x
y
z
t
.
1 1 0 1
=
1 1
x
y
0 1
z
t
;
0 1
x
y
z
t
.
x x z x z y t x y y t x t , z t z z z 0 z t t
x x y z
1 1
z t
x y
Por tanto la matriz X =
0 x m
2.- SEP 1998 a.- Calculau el rang de la matriz A =
1
1 m 1
1
1 1 segons els valors de 1
m.
x b.- Resoleu el sistema A y z
0 0 en els casos en què sigui indeterminat. 0
Desarrollando el determinante de la matriz A e igualándolo a 0 : m2 - 1= 0; m = 1 el A 0 . El rango de A es 3. Si m
1 Si m = 1, A =
1
1 el determinante 1
1 1 1
Si m = - 1, A =
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1 1
1 el determinante 1
1 1
1
0 y el A = 0; rango de A es 2.
1 1
0 y el A = 0; rango de A es
2. b.Se trata de un sistema homogéneo. Será indeterminado para x =
1.
1
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Si x = - 1 el sistema queda Si x = 1 el sistema queda
x y z
0
x y z
0
x y z
0
x y z
0
x y
;
;
z
x y z x y
z
x y z
y resulta
y resulta
3.- JUNIO 1998 Si A i B són matrius 3x3 de nombres reals i A és diagonal (és a dir, aij = 0 sempre que i j), podem afirmar que AB = BA per a qualsevol matriu B?. Com podria ser A perquè es compleixi AB = BA per a qualsevol matriu B?
x 0 0
a
Sean A = 0 y 0 y B 0 0 z
xa
d e f . Efectuamos los productos A.B y B.A g h i
xb xc
A.B = yd ye zg zh
b c
ax
yf ; B.A = dx gx zi
x
by cz ey hy
fz , es evidente que A.B iz
B.A
0 0
Si x = y = z ,es decir, A = 0 x 0 entonces se cumple A.B = B.A 0 0 x
4.- JUNIO 1999 Demostrau que, si A =
a b
, es verifica A2 - (a+d)A + A I = 0, on
c d 1 0 0 0 A és el determinant de A, I = i0= . 0 1 0 0
a 2 bc ab bd A= . = c d c d ca dc cb d 2 2
a b
a b
(a+d).A = (a+d). A .I = (ad – bc).
a b c d 1 0 0 1
A2 - (a+d)A+ A I =
= =
a 2 da ac dc
ab db ad d 2
ad bc
0
0
ad bc
a 2 bc ab bd a 2 da ca dc cb d 2 ac dc
ad bc 0 ab db + =0 0 ad bc ad d 2
2
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a 1 0
5.- JUNIO 1999 Trobau totes les matrius X de la forma
0 b 1 tals que 0 0 c
1 0 1 2
X =
0 1 0 . 0 0 1
a2 X2= 0 b 1 . 0 b 1 = 0 0 0 c 0 0 c 0 a 1 0
a 1 0
a2 1 a b 0
1 0 1 a b 1 2 b b c = 0 1 0 0 0 1 0 c2
b 2 1 , resulta: b c 0 c2
1
a = 1, b = -1 y c = 1 o a = - 1, b = 1 y c = - 1. Las matrices son:
6.- SEP 1999 Sabem que una matriu quadrada A té inversa B si es verifica AB = I (I és la matriu identitat). Demostrau que si una matriu verifica A2 = 0 (0 és la matriu nul·la), aleshores A no pot tenir inversa. Si AB = I
AB
I
AB
A.B
1
1 A
1, B
B, el A debe ser distinto de 0. Si A2= 0
A2
0
Si una matriz A tiene inversa
A
2
0
A
0
A no tiene
inversa.
7.- SEP 2000 Una matriu quadrada A és ortogonal si es verifica AAt = I (At és la transposada de A, I és la matriu identitat). Per a quins valors de a i b és la següent a 0 0 matriu ortogonal? A = 0 0
a t
A.A = 0 0
0
0
cos b sin b sin b cos b a
0
cos b sin b . 0 cos b sin b cos b 0 sin b
0 sin b = cos b
3
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a2 = 0
2
0
2
cos b sen b
0 a2 0
0 a2 senb. cos b senb. cos b = 0
0
cos 2 b sen 2 b
senb. cos b senb. cos b 1 0 0 0 0 1 0 = 0 1 0 , a2 = 1, a = 0 0 1 0 1
0
0 0 1 0 =I. 0 1
1. El parámetro b puede tomar cualquier valor
real.
8.- JUNIO 2001 Es considera el conjunt M de matrius de nombres reals de la forma a
b
siendo a2+b2 = 1 b a Demostrau que tenen inversa i calculau-la. Demostrau també que, si se multipliquen dues matrius de M, s’obté una matriu de M. Una matriz cuadrada tiene inversa si su determinante es distinto de 0. a b a b a b tiene a 2 b 2 1(según el enunciado) . Si 0 la matriz b a b a b a inversa. Las matrices del conjunto M cumplen que los elementos de la diagonal principal son iguales y los de la secundaria son opuestos. Además el determinante de las matrices de M es 1. a b a' b' Sean M = M y M’= M, la matriz M.M’ es b a b' a '
aa' bb'
ab' ba '
, esta matriz cumple las condiciones de M, los elementos de la ba ' ab' bb' aa' diagonal principal son iguales, los de la secundaria son opuestos y |M.N| = |M|.|N| = 1.1 = 1, por tanto, M.M’ M
9.- JUNIO 2002 Hallar todas las matrices reales 2x2 tales que la suma de los elementos de cada fila sea igual a 1 y la suma de los elementos de la primera columna sea igual a 0.
A=
a b c d
a b 1
b 1 a
c d 1 de donde c a c
0
a
, por tanto, la matriz A =
d 1 c 1 a
a
1 a
a 1 a
10.- JUNIO 2002 Se considera el conjunto, llamémosle M, de las matrices 3x3 tales que en cada fila y en cada columna tienen dos ceros y un uno. a.- Escribe todas las matrices del conjunto M. b.- Demuestra que todas las matrices de M tienen inversa.
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