ACADEMIA ALCOVER 660 41 88 26
GEOMETRÍA 1.- SEP 1998 Es consideren els punts A = (1,1,0) i B = (0,1,2). Determinau els punts C sobre la recta (x,y,z) = (0,1,1) + t(1,0,1) situats a distància 2 2 de la recta que passa per A i B. El punto genérico de la recta dada es C = ( t, 1, 1+t ).
i 1 Distancia punto-recta =
ABx AC
=
2 10 1 yt= 3
1
k 2
t 1 0 1 t
AB
donde t =
j 0 5
0, 1 3t,0
=
3t 1 5
5
2 2 ,de
2 10 2 10 1 2 10 1 .C= y ,1,1 3 3 3
1 2 10 1 2 10 ,1,1 3 3
C=
2.- JUNIO 1998 Determinau el pla π d’equació kx distància entre π i el punt ( 1,0,1) sigui igual a 1.
(1+k)y + 2z
Aplicando la fórmula de distancia de un punto a un plano: k 2 1 D [(- 1, 0, 1 ); kx (1+k)y + 2z 1 = 0] = 1; k 2 (1 k) 2 2 2 1 k 2
1 = 0 tal que la
1;
1 , elevando al cuadrado, 1 – 2k + k2= 2k2+ 2k +5, k2+ 4k + 4 = 0, de
2k 2k 5 donde k = -2. π: -2x + y + 2z – 1 = 0
3.- JUNIO 1998 Trobau l’equació contínua de la projecció ortogonal de la recta (x,y,z) = (2,1,1) + t( 1,0,2) sobre el pla 2x + y z = 0. Buscamos π que contiene a la recta y es perpendicular al plano dado: π: P ( 2,1,1) x 2 y 1 z 1 contiene a la recta 1 0 2 0; v ( 1,0,2) π=
perpendicu lar al plano dado : u
( 2,1, 1)
2
1
1
1
ACADEMIA ALCOVER 660 41 88 26
2x y z
π: 2x -3y + z – 2 = 0. La proyección ortogonal es la recta
1 4
x forma continua es:
1 2
y
1
2
0
2x 3y z 2 0
, que en
z 4
x 2 4.- JUNIO 1999 Considerem les rectes r: 2
y 1 1
z
x 1 3t
m
1 4t . i s: y z 5 t Determinau m de manera que les rectes es tallin (siguin secants). Trobau també el punt de tall. 2
t
x r: y z
2 2
1 3t
2 2
1 1 4t 1 . Igualando r y s , resolviendo m 2 5 t m 2 m
m = - 32/5 y el punto de corte
1 5 4 . Por tanto, 5 32 5
2 1 24 . , , 5 5 5
5.- SEP1999 Trobau el pla de la família mx + y + z — (m+1) = 0 que està situat a distància 1 de l’origen. Aplicando la fórmula de distancia de un punto a un plano: m 1 m 1 D [(0, 0, 0 ); mx y + z m - 1 = 0] = 1; 1; 1 , elevando al m 2 12 12 m2 2 1 1 3 cuadrado, m2+ 2m + 1 = m2+ 2, de donde m = . π: x + y + z – = 0 2 2 2 6.- SEP 1999 Estudiau la posició relativa de les rectes següents x 1 y 1 z 2 x 4 y 4 z 5 r: i s: 1 2 1 4 1 2 Observando los vectores directores vemos que o se cortan o se cruzan, pues no son paralelas. x 1 t x 4 4 1 t 4 4 r: y 1 2 t y s: y 4 . Igualando 1 2 t 4 si este sistema no tiene z 2 t 2 t 5 2 z 5 2 solución, se cruzan. Si tiene solución, se cortan. Resolviendo obtenemos los valores: t = 1 y λ = - 1. Se cortan en el punto (0, 3, 3)
2
ACADEMIA ALCOVER 660 41 88 26 7.- JUNIO 2000 Estudiau la posició relativa de les rectes, segons els valors del y 1 z x y 2 z 2. paràmetre k, r: x k i s: 2k 1 2 k 1 1 Pr= (k, - 1, 0) y v r = (1, 2k – 1, 2) Ps= (0, 2, - 2) y v s = (k + 1, - 1, 1)
k
Pr Ps M
vr vs
=
3
1
2k 1 k 1 1
cero se obtiene k = - 3 y k = Si k - 3 y k
Si k = - 3; M =
2
1 , el M 2 3 3
1 2
7 1
2 1
. Resolviendo el determinante de M e igualándolo a
1 . 2 0 , las rectas se cruzan.
2 2 , M 1
0 y los vectores no son proporcionales. Se
cortan.
1 3 2 2 1 Si k = ;M= 1 2 2 , M 2 1 1 1 2 dos primeras filas. Son paralelas.
0 y los vectores son proporcionales pero no las
8.- JUNIO 2000 Determinau els punts de la recta r:
x 1 2
y 1 3
z 2 que equidisten 2
dels plans α: 3x + 4y = 1 i β: 4x - 3z = 1 Sea P = ( 1 + 2t, - 1 + 3t, - 2 + 2t) el punto genérico de r. Distancia de P a α = distancia de P a β.: 3.(1 2 t ) 4.( 1 3t ) 1 4.(1 2 t ) 3.( 2 2 t ) 1 ; 18 t 2 9 2 t 5 5 18 t 2 9 2 t
11 16 18 t 2 t
11 2 t
9 20 1 47 29 19 17 5 P1= y P2 = , , , , 10 20 10 8 16 8 t
9.- SEP 2000 Sabem que la recta r: (x,y,z) = (1, - b,0) + t(2, - 10,1) i el pla π 3
ACADEMIA ALCOVER 660 41 88 26 2x + ay + z = 2 es tallen perpendicularment i que la recta passa pel punt (- 1,1, - 1). Calculau a, b i el punt de tall. Sustituyendo el punto en la recta r: (- 1,1, - 1) = (1, - b,0) + t(2, - 10,1)
1 1 2t
1 b 10 t resulta b = 9. Si se cortan perpendicularmente, el vector director de la recta (2, - 10, 1) 2 10 1 es paralelo al vector normal o asociado del plano (2, a, 1). → a = - 10. 2 a 1 La recta r queda (x,y,z) = (1, - 9,0) + t(2, - 10,1) y el plano π: 2x – 10y + z = 2 x 1 2t 9 10 t , sustituyendo en la ecuación del plano Escribimos r en paramétricas y z t hallaremos t. 2.(1 + 2t) – 10.(- 9 – 10t) + t = 2; t =
90 . Punto de corte 105
5 3 90 , , 7 7 105
10.- SEP 2000 Sabem que les rectes següents es tallen en un punt. Calculau el valor de m i el punt de tall. r:
x 1 y m 2 3 x 1 2t
r: y z
z x i s: 2 3 x 3
y 1 2
z m . 2
1 2t
m 3t y s: y 1 2 igualando queda 2t z m 2
3
m 3t 1 2 , resolviendo nos 2t m 2
t 1 da
1 . Por tanto, m = 0 y se cortan en el punto (3, 3, - 2) m 0
11.- JUNIO 2001 Comprovau que les rectes r: (x,y,z) = (3,- 4,0) + a(2,-3,-2) s: (x,y,z) = (-7,1,2) + b(4,-1,0) es tallen en un punt. Trobau també l’equació general del pla que determinen. Observando los vectores directores vemos que las rectas o se cortan o se cruzan. Pues, no son paralelas. M =
Pr Ps
10
5
vr vs
2 4
3 1
2 2 .M 0
0
Las rectas se cortan.
contiene a Pr
Buscamos la ecuación general del plano α que determinan. α
sus vectores
vr . vs
4