ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO ax 2
bx
c
0; x
b 2 4.a.c 2.a
b
EJEMPLO 1
x
2
3x 2
0
a 1 b 3 c
3
x
2
9 (4.1.2) 2.1
3
9 8
3 1 2 3 1 2
3 1 2
2
1 2
EJEMPLO 2
x
2
5x 6
0
a 1 b 5 c
x
5
25 (4.1.6) 2.1
6
5
25 24 2
5 1 2
5 1 2 5 1 2
3 2
EJEMPLO 3
2x
2
x 3
0
a 2 b 1 c
3
x
1
1 (4.2.( 3)) 2.2
1
1 24 4
1 5 4
1 5 4 1 5 4
1
EJERCICIO 1 x2 - 7x + 12 = 0
Soluciones: x = 4, x = 3
EJERCICIO 2 x2 + 8x – 9 = 0
Soluciones: x = - 9, x = 1
6 4
3 2
EJERCICIO 3 2
x - 4x - 12 = 0
Soluciones: x = 6, x = - 2
EJEMPLO 4 a 2x 2
4x 2
0
2
b 4 c 2
x
4
16 (4.2.2) 2.2
4
16 16 4
4
Dentro de la raíz hay un cero. La ecuación tiene una sola solución, el –1. EJEMPLO 5 a 1 6 36 (4.1.9) 6 36 36 2 x 6x 9 0 b 6 x 2.1 2 c 9
0
4 0 4
6
0
4
2
1
6 0 2
Dentro de la raíz hay un cero. La ecuación tiene una sola solución, el –3. EJERCICIO 4 2
x - 4x + 4 = 0
Soluciones: x = 2
EJEMPLO 6 a
1
1 1 (4.1.3) 1 1 12 1 11 b 1 x 2.1 2 2 c 3 Dentro de la raíz hay un número negativo. Diremos que la ecuación no tiene solución real. x
2
x 3
0
3
EJEMPLO 7 a
1
2 4 (4.1.2) 2 4 8 1 4 b 2 x 2.1 2 2 c 2 Dentro de la raíz hay un número negativo. Diremos que la ecuación no tiene solución real. x
2
2x 2
0
EJERCICIO 5 2
x - 6x + 12 = 0
Soluciones: NO TIENE SOLUCIÓN REAL
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS EJEMPLO 8
x2
x
0
En esta ecuación la c es 0
x(x 1)
0
saco x factor común
x
0
x 1 0; x
1
EJEMPLO 9 x 2x
2
3x
0
En esta ecuación la c es 0
x(2x
3)
saco x factor común
0
0
2x 3
0; x
3 2
EJERCICIO 6 2
x - 7x = 0
Soluciones: x = 0, x = 7
EJERCICIO 7 2
2x - 9x = 0
9 2
Soluciones: x = 0, x =
EJEMPLO 10 x2 - 1 = 0 En esta ecuación la b es 0. El –1 pasa al 2º miembro sumando cuadrado pasa al 2º miembro como la raíz” x 1 1
x 2= 1
”El
EJEMPLO 11 3x - 12 = 0 En esta ecuación la b es 0. El –12 pasa al 2º miembro sumando 3x2= 12 3 pasa dividiendo x2= 4 ”El cuadrado pasa al 2º miembro como la raíz” x 4 2 EJEMPLO 12 2 3x + 27 = 0 En esta ecuación la b es 0. El 27 pasa al 2º miembro restando 3x2= -27 3 pasa dividiendo x2= -9 ”El cuadrado pasa al 2º miembro como la raíz” x Esta ecuación no tiene solución real. 2
El
El 9
EJERCICIO 8 2
x - 49 = 0
Soluciones: x=
7
EJERCICIO 9 2
2x + 3 = 0
Soluciones: NO TIENE SOLUCIÓN REAL