FUNÇÃO MÓDULO Aceite para publicação em 30 de julho de 2019
Se pensarmos na correspondência que a cada número real faz corresponder o seu valor absoluto, tal correspondência é uma função.
Qualquer número real tem um e um só valor absoluto.
f :xa
x
Função módulo Recordando a definição de módulo ou valor absoluto de um número real, que, como
sabem, na reta real, representa a DISTÂNCIA DO PONTO QUE TEM POR ABCISSA
ESSE NÚMERO REAL À ORIGEM DA RETA REAL, tem-se:
-2 = 2
2 =2
0 =0 Distância = 2
- 0,1 = 0,1 Distância = 2
-2
O
2
-
20 20 = 3 3
-2 = 2
2 =2
0 =0
- 0,1 = 0,1
-
20 20 = 3 3
Definição Chama-se FUNÇÃO MÓDULO à função que associa a cada número real x o seu valor absoluto. f :
�
e
x a f ( x) = x
�............. f ( x) = x = � ............. �
se x �0 se x < 0
Mais genericamente, dada uma função real de variável real definida por p ( x ) p ( x)
� �p ( x ) =� - p ( x) �
se
p ( x ) �0
se
p ( x) < 0 Uma função diz-se definida por ramos se é definida por expressões diferentes em partes diferentes do seu domínio.
Gráfico de x a y = x
y = -x
y=x
�x y= x =� -x �
se
x �0
se
x<0
a reta …………….. para x �[ 0, +�[ e a reta ……………… para x �] -�, 0[
O gráfico é constituído por duas semirretas com a mesma origem. O gráfico da função y = x também pode ser obtido y=x através da representação da função , substituindo os pontos de ordenada menor do que zero pelos seus simétricos relativamente ao eixo das abcissas.
y= x
Caraterísticas principais da função módulo x a x
e
Zero: Sinal: positiva para Extremos: tem um mínimo absoluto 0 (com minimizante 0) Monotonia: estritamente decrescente em e estritamente crescente em É não injetiva e não sobrejetiva É uma função par Vértice do gráfico: ponto de coordenadas Eixo de simetria: reta de equação
Vamos estudar a família de funções escritas na forma y = a x - h + k , a �0 I. Comecemos por estudar as
funções do tipo
y=a x
No referencial da figura ao lado tens representadas
y= x y = -2 x graficamente as funções e , aproveita-o para nele representares também as
y = 0,5 x y=2 x y=- x funções , e . Procura retirar conclusões sobre os gráficos das funções deste tipo.
Funções do tipo y = a x Conclusões y = a x , a �0 O gráfico de uma função do tipo tem a forma de um “V” com a abertura voltada para cima se ………., com a abertura voltada para baixo se ……….. Podemos afirmar que as coordenadas do vértice são …………….…. e o seu eixo de simetria é o eixo dos …….., de equação …………. a > 0:................ � O domínio é …………… e o contradomínio é: se �a < 0 :................ �
Quanto à paridade, são funções ……..….. y= x y = a x ( a �0 ) O gráfico de uma função do tipo obtém-se do gráfico da função , a > 1 � a < -1 efetuando uma dilatação vertical de coeficiente a (se ) ou uma contração -1 < a < 0 � 0 < a < 1 vertical coeficiente a (se ).
II.
Funções do tipo y = a x + k
V1 Sabendo que é a representação gráfica da função y= x , quais as expressões analíticas das funções
V3 V2 representadas graficamente por e ? Nota: a abertura dos gráficos mantém-se.
Procura retirar conclusões sobre os gráficos das funções deste tipo.
y = -2 x + 1 Como obter o gráfico das funções e
y= x y = -2 x - 3 a partir do gráfico da função ?
Funções do tipo y = a x + k Conclusões y=a x São gráficos com a mesma .................... de e que sofreram uma translação vertical de ……..... unidades - translação associada ao vetor …………………. O sentido da translação é igual ao sinal de ......... O vértice é o ponto de coordenadas (.... , ....) O eixo de simetria da parábola é o eixo dos ….... , de equação ….... a > 0:................ � O domínio é …………… e o contradomínio é: se � a < 0 :................ �
Quanto à paridade, são funções ……..…..
III.
Funções do tipo y = a x - h
V1 Sabendo que é a representação gráfica da
y = 2,5 x função , quais as expressões analíticas das funções representadas graficamente por
V V3 2 e ?
Nota: a abertura dos gráficos mantém-se.
Procura retirar conclusões sobre os gráficos das funções deste tipo.
y = -2 x - 1 Como obter o gráfico das funções e y = -2 x + 4 y= x a partir do gráfico da função ?
Funções do tipo y = a x - h Conclusões y=a x São gráficos com a mesma .................... de e que sofreram uma translação horizontal de ......... unidades - translação associada ao vetor ……………….. O sentido da translação é igual ao sinal de ......... Podemos afirmar que as coordenadas do vértice são ………..…….…. e o seu eixo de simetria é a reta vertical de equação ………..…. a > 0:................ � O domínio é …………… e o contradomínio é: se � a < 0 :................ �
É uma função par se ……..…
IV.
Funções do tipo y = a x - h + k
(caso geral)
V1 Sabendo que é a representação gráfica da
y = 0,8 x função , quais as expressões analíticas das funções representadas graficamente por
V V3 2 e ?
Nota: a abertura dos gráficos mantém-se.
Procura retirar conclusões sobre os gráficos das funções deste tipo. O que se pode prever sobre o gráfico da função
y = -2 x + 2 + 1 ?
Funções do tipo y = a x - h + k
( a �0 )
(caso geral)
Conclusões y= x f ( x ) = a x - h + k , a �0 O gráfico de uma função do tipo obtém-se do gráfico da função , a >1 efetuando uma dilatação vertical de coeficiente a (se ) ou uma contração vertical 0 < a <1 coeficiente a (se ), seguida de uma ………………………. associada ao vetor……………..
Podemos afirmar que as coordenadas do vértice são …………….…. e o seu eixo de simetria é a reta vertical de equação …………. a > 0:................ � O domínio é …………… e o contradomínio é: se � a < 0 :................ �
É uma função par se ……………
Exemplos 1. Associa a cada uma das funções representadas graficamente no referencial da figura abaixo a sua expressão analítica:
f ( x ) = -2 x - 1 + 2 g ( x) =
1 x +1 - 2 3
h( x) = x +1 i ( x) = - x - 2 -1 j ( x) = 3 x + 2 +1
Exemplos 2. Determina uma expressão analítica da função representada graficamente na figura ao lado. (Nota: o ponto de coordenadas (0 , 8) pertence ao gráfico da função e o seu vértice é o ponto de coordenadas (3 , 2)).
3. Seja g a função real de variável real definida por g ( x) = -3 2 x + 1 - 1 Apresenta uma expressão analítica que represente g na forma y = a x - h + k , a �0 e esboça o gráfico de g, começando por determinar as coordenadas do respetivo vértice. Assinala, na tua representação, o eixo de simetria, o vértice e mais dois pontos do gráfico, simétricos relativamente ao eixo de simetria. 4.
� �p ( x ) p x = ( ) � Tendo em atenção que - p ( x) �
se
p ( x ) �0
se
p ( x) < 0
define analiticamente, por ramos, sem usar o símbolo de valor absoluto, as funções representadas a seguir: f ( x) = x + 3
g ( x) = 1 - 2 x
Exemplos 5. Explica como se pode obter o gráfico de cada uma das funções reais de variável real definidas pelas y= x expressões seguintes, a partir do gráfico da função real de variável real definida por ,
utilizando a linguagem das transformações de funções. y = x -1 y = 2 x -1 y = -2 x + 2
y=
2 x +1 + 3 3
Resolução de equações e inequações com módulo Vamos começar por considerar equações e inequações do tipo: x =a
x <a
EXEMPLO: Determina, em , o conjunto-solução de: 1.
x =3
2.
x <3
3.
x >3
x >a
( a� )
Vamos começar por fazer resoluções gráficas que nos vão orientar para os processos a seguir nas resoluções analíticas. 1. x = 3
Resolução gráfica: y= x
y=3
3
O conjunto-solução é:
{ .....,.....} -3
x =3 �
3
x = ..... � x = .....
a<0 Se - a equação é impossível x =0 � x=0 a=0 Se -
x = a � x = a � x = -a a>0 Se -
2.
x <3
Resolução gráfica:
y= x
y=3
3
O conjunto-solução é:
] ..... , .....[ -3
3
� x <3 -3
� ...... < x < ......
3
x-0 <3
� x < ....... � x > .......
� x < 3 � x > -3
a �0 Se - a condição é impossível a>0 Se -
O
x < a � x < a � x > -a
3.
x >3
Resolução gráfica: y= x
y=3
3
O conjunto-solução é:
] ......,......[ �] ......,.......[
-3
3
�
-3
x >3 �
x > ....... � x < ......
O
3
x-0 >3 � x > 3 � x < -3
a<0 Se - a condição é universal e o conjunto-solução é
x > 0 � x� a=0 Se -
x > a � x > a � x < -a a>0 Se -
Exercícios 1. Determina o conjunto-solução da: a) equação 4 x - 2 - 3 = 0 b) inequação 1 - 3 x �4 c) inequação 2 x + 1 > 1 2. Resolve a equação 1 - 2 x = x + 3 Nota: para resolver esta equação tem em atenção uma destas duas propriedades: a = b � a = b � a = -b ou a = b � a2 = b2 , sendo a e b números reais não negativos.
3. Resolve a inequação x + 3 > x - 2 Nota: para resolver esta inequação tem em atenção a seguinte propriedade: a > b � a2 > b2 , sendo a e b números reais não negativos.
Bibliografia: Novo Espaço
Matemática A -11º ano Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues
Material publicado sob Licença Creative Commons da Casa das Ciências Maria José Vaz da Costa