Como é que a Matemática que é, antes de tudo, um produto do pensamento humano, independente da experiência, se pode adaptar tão admiravelmente aos objetos da realidade? Albert Einstein (1879-1955)
No princípio era o:
2-3
2:3
?!
?!
Nem sempre as raízes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equação são reais. Às vezes elas são imaginárias Descartes
?! 1
1
x 2 = −1
c x = ± −1
Como sabemos −1 não é um número real, pois não há nenhum número real que, elevado ao quadrado, seja igual a -1 A expressão −1 foi aceite, por razões que veremos adiante, como um número (século XVI), e, mais tarde, passou a escrever-se i = −1 Este novo número i, a que se dá o nome de unidade imaginária, imaginária verifica a igualdade i2 = -1
??!!
c x = ±i −1 = i , em que i2 = -1
i - unidade imaginária e − A = −1 × A = i A
( A > 0)
1 E então, temos:
2 3
0 2
0,007
π
e −5
3
−1 −
5 7
−2 −i −2 + 3i 3 2− i 2
CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
O conceito de número, tal como hoje se apresenta, é apenas uma fase de uma evolução que tem durado milénios. Naturais Fracionários (positivos) Racionais (positivos) Irracionais (positivos) Reais (positivos) Zero Negativos
a primeira generalização veio tornar sempre possível a divisão.
a segunda veio tornar sempre possível a radiciação, bem como outras operações.
a terceira veio tornar sempre possível a
subtração (os números negativos, aceites com
desconfiança, eram chamados de absurdos, falsos fingidos, etc.) .
Reais Imaginários
Complexos
a quarta veio, de novo, tornar sempre possível a
radiciação, que tinha ficado impossível, em certos casos, no conjunto dos números reais.
no conjunto dos números complexos, as propriedades operatórias fundamentais mantêm-se válidas, com exceção da relação de ordem.
...
Historicamente os números imaginários surgiram a propósito da resolução de problemas, que na época, eram conhecidos como do cubo e da coisa igual a um 3 número, ou seja, que envolviam a resolução de equações cúbicas do tipo x + px + q = 0 É já sobejamente conhecida a fórmula resolvente da equação do segundo grau. Também sabemos que em ¡ , se, na resolução de uma equação do segundo grau, por meio da forma resolvente, nos aparecer uma raiz quadrada de um número negativo, a equação é impossível. Embora pouco conhecida, também existe uma fórmula resolvente, descoberta por matemáticos italianos do século XVI, para as equações do terceiro grau do tipo x 3 + px + q = 0 (prova-se facilmente que, através de uma mudança de variável, qualquer equação do terceiro grau se pode reduzir a uma deste tipo). A fórmula resolvente para estas equações é: 2
3
2
3
q q q p q p x= 3 − + ÷ + ÷ + 3 − − ÷ + ÷ 2 2 2 3 2 3
Vejamos um exemplo de aplicação desta fórmula Um problema:
2
3
2
3
q q q p q p x 3 + px + q = 0 ⇔ x = 3 − + ÷ + ÷ + 3 − − ÷ + ÷ 2 2 2 3 2 3
Seja: V o volume de um cubo de aresta x; V ’ o volume de um paralelepípedo rectângulo cuja área da base é 3 e cuja altura é igual à aresta do cubo; Pretende-se determinar x de tal modo que V = V ’ + 1.
x 3 u.a. x
Para resolver este problema torna-se necessário encontrar as soluções da equação
x3 = 3x + 1 1
3
1
3
Aplicando a definição atrás referida obtemos x = 3 2 + − 4 + 3 2 − − 4 A resolução do problema depende pois do cálculo de
−
3 4
Mas “esta raiz não existe”, o que significava que o problema era impossível.
Só que o problema não é impossível!
Podemos ver isto atualmente, por exemplo, com auxílio da calculadora gráfica ou modelando o problema proposto, com auxílio do Sketchpad. Calculadora: Queremos resolver a equação x3 = 3x + 1, só nos interessando, se existirem, as soluções positivas. Averiguemos, então, se existem zeros (positivos) da função f ( x ) = x 3 − 3x − 1
Geometer’s Sketchpad:
x ; 1,88
Como se pode visualizar, através do gráfico da função f, esta equação tem mesmo três raízes reais, apesar de ser uma equação irredutível (i.e., ao aplicarmos a fórmula resolvente aparece a raiz quadrada de um número real negativo).
O cubo.gsp
E então, o problema é possível! Observa-se pois, no caso irredutível, este facto deveras notável: partindo de números reais (coeficientes da equação), obtêm-se resultados reais (as soluções), depois de ter trabalhado com números imaginários.
Como acaba de se ver, foi o estudo das equações do 3º grau, e não das equações do 2º grau, que obrigou a introduzir estes números.
As personagens desta aventura são o professor de matemática da mais antiga universidade do mundo (Bolonha) Scipione del Ferro, o guarda-livros, matemático e topógrafo Niccolò Fontana
Tartaglia,
o matemático, médico e escritor
célebre Gerolamo Cardano, Cardano o jovem prodígio Lodovico
Rafael
Ferrari e o engenheiro
Bombelli e envolvem acusações de traição e roubo de ideias, casos de
duelos, guerras de influências, assassínios e suicídios.
Niccolò Fontana (Tartaglia) (ca. 1499 - 1557)
Gerolamo Cardano (1501 - 1576)
Conta-se que Scipione del Ferro, professor em Bolonha desde 1496 a 1526, descobriu a fórmula resolvente para as equações cúbicas e não a divulgou (hábito da época: ficaria para ser utilizada nos desafios que, matemáticos e outros pensadores, se faziam mutuamente). Scipione del Ferro morre e deixa a fórmula em testamento ao seu genro Annibale della Nave e ao seu aluno Antonio Maria Del Fiore.
A fórmula da discórdia 2
3
2
3
q q q p q p x= 3 − + ÷ + ÷ + 3 − − ÷ + ÷ 2 2 2 3 2 3
Del Fiore desafia Tartaglia, um matemático considerado, a resolver uma série de problemas, cuja resolução dependia do conhecimento da fórmula resolvente. Tartaglia depois de estar dias a fio à volta destes problemas acabou por chegar, também ele, à fórmula resolvente das equações algébricas do 3º grau. No dia aprazado para a resolução em praça pública dos problemas, Tartaglia resolve-os sem errar um sequer. O mesmo não aconteceu com os problemas que Del Fiore tinha, em contrapartida, que resolver.
A fórmula da discórdia 2
3
2
3
q q q p q p x= − + ÷ + ÷ + 3 − − ÷ + ÷ 2 2 2 3 2 3 3
Tem em conta também que é possível fazer certas concessões ao engenho, como é frequente nos livros de história. Cardano. De propria vita. 1576
Cardano, um matemático também muito conceituado, mas de caracter duvidoso, teve conhecimento deste feito e pediu insistentemente a Tartaglia que lhe revelasse a fórmula. Tartaglia, após toda esta insistência, e tendo Cardano jurado solenemente não tornar pública a fórmula, acaba por lha revelar, o que fez em verso (rimas que escreveu para facilitar a sua memorização). Cardano dá conhecimento da fórmula ao seu aluno: Ludovico Ferrari. Cardano e Ferrari vasculham nos papéis de Del Ferro encontram a fórmula e, assim, Cardano tem uma desculpa para a tornar pública, o que faz no seu livro Ars Magna. Ferrari deduz, então, uma fórmula para resolver as equações algébricas do quarto grau. Ferrari encarrega-se de desacreditar Tartaglia, propõe-lhe um desafio e derrota-o em praça pública. Tartaglia retira-se em ignomínia para a sua cidade natal, Brescia.
−A
−1
A sensacional descoberta dos quinhentistas italianos incitou vivamente os estudiosos a procurarem fórmulas análogas para as equações de grau superior ao 4º e até, se possível fosse, uma fórmula geral que se aplicasse a todos os graus. Durante cerca de três séculos fizeram-se esforços ingentes para encontrar essa fórmula mágica, que seria o “abre-te Sésamo” do mundo algébrico.
Finalmente, o grande e infeliz matemático norueguês N. H. Abel (1802 – 1829), precedido em parte por Ruffini (1765 –1822), conseguiu demonstrar rigorosamente que a equação geral do 5º grau, e portanto a de 6º, a do 7º, etc., não é resolúvel algebricamente, isto é, mediante uma expressão algébrica sobre os coeficientes. E… depois veio Galois (1811 – 1822), mas este é um outro episódio da aventura Matemática!!!
Este novo conceito é tão importante que hoje é usado em inúmeras áreas fora
da matemática, como o processamento de sinal, sinal a teoria de controle, controle o eletromagnetismo, eletromagnetismo a dinâmica de fluidos, a aerodinâmica e a mecânica quântica. Modelação de fenómenos aparentemente imprevisíveis (FRACTAIS - teoria do caos): de natureza meteorológica, astronómica, económica, biológica, biológica etc. , …
£ Forma algébrica do número complexo
z = a + bi
com
a,b ∈ ¡
e
i 2 = −1
Parte Parte real imaginária
i - unidade imaginária
−1 = i
e −A = i A
No número complexo z podemos considerar duas partes: a é a parte real de z e representa-se por Re(z) = a bi é a parte imaginária de z, sendo b o coeficiente da parte imaginária, imaginária representandose por Im(z) = b •Se Im(z) = 0, o número a + bi é um número real. (
¡ ⊂ ) £
•Se Re(z) = 0, o número complexo a + bi é do tipo bi, sendo os números complexos desta forma designados por imaginários puros.
£ A cada número complexo x + yi corresponde um e um só par ordenado (x , y) de
números reais e … inversamente, a cada par ordenado de números reais corresponde um e um só
número complexo x + yi.
Exemplos:
z = x + yi ↔ P(x , y) Consideremos no plano r r um referencial cartesiano ortonormado O , i , j
(
Im (z)
2 + 3i ↔ (2 , 3) 1 - 2i ↔ (1 , -2) 4i
↔ (0 , 4)
2/3 – i ↔ (2/3 , -1) 5
)
Eixo imaginário
P(x , y) ← afixo ou imagem geométrica de z
y uuur OP imagem vetorial de z r j r i
O
↔ (5 , 0)
x
Eixo real
Módulo de z:
z = x2 + y 2 { ρ
Re (z)
(
uuur z = OP
)
Complexos_09.gsp
Bibliografia Compêndio de Matemática – 7º ano (J. Sebastião e Silva | J. D. da Silva Paulo) Matemática A - Questões de exames nacionais e de testes intermédios (1997-2012) - Gave Espaço 12 (Belmiro Costa, Lurdes Resende, Ermelinda Rodrigues) Infinito 12 (Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso | Alves Cristina Cruchinho | Gabriela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões ) “A prodigiosa aventura do nascimento dos números imaginários” - Jaime Carvalho e Silva, Departamento de Matemática da FCTUC La aventura de la ecuación cúbica – Francisco Martín Casalderrey Poesía, álgebra y espionaje , por Lolita Brain BEAUTY OF MATHEMATICS Direction: Yann Pineill & Nicolas Lefaucheux | Production: Parachutes / 2013 14 Beautiful Images That Math Nerds Will Geek Out Over http://www.policymic.com/articles/85281/14-beautiful-images-that-math-nerds-will-geek-out-over
O número que você marcou é imaginário. Por favor multiplique-o por i e tente novamente. (Na mudança do telefone do MIT) Anónimo
“...a maravilhosa criatura de um trabalho imaginário, quase um anfíbio entre as coisas que são coisas e as coisas que não são” Leibniz
Maria José Vaz da Costa