Faktor9 gb bm blabok by Cappelen Damm

Faktor

atiinknket Mauntgedm omstr

Faktor

for

på Komponenter 8.u–n1nb0ok. tOrpipnganve: Gr

Bokmål

Lærerens bok pgavebok

Alternativ op

Faktor Ddigui.ntaol) (faktor.c

nenter: Tilleggskompo Eksamensforberedende hefte

Temahefter

Regelhefte

ma Faktora

d) (nettste

Faktor

Grunnbok

Fordypningshef

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen

Grunnbok ISBN 978-82-02-45663-4 ISBN 978-82-02-45663-4

9 788202 456634 www.cdu.no

Matematikk for ungdomstrinnet

Bokmål

Espen Hjardar Jan-Erik Pedersen Illustratør: Line Jerner

Faktor

9 Grunnbok Bokmål

Dette er Faktor 9 Grunnbok. Til grunnboka hører det en oppgavebok. Her ser du ungdommene som følger deg gjennom alle bøkene på ungdomstrinnet:

Hvert kapittel i grunnboka består av fire deler:

Noen oppgaver er merket med disse symbolene:

Lærestoff og oppgaver

Kalkulator

Prøv deg selv

Finn ut

Noe å lure på Oppsummering

Faktor 9

Hei til deg som skal bruke Faktor!

Frioppgave Digitale verktøy Utfordrende oppgave

Bakerst i boka finner du en liten manual for bruk av kalkulator, regneark og GeoGebra. I oppgaveboka finner du øvingsoppgaver i tre vanskelighetsgrader til hvert kapittel. Alle kapitler har også et oppgavesett med repetisjonsoppgaver. Kategori 1 Litt av hvert

Kategori 2 Kategori 3 Øvingsoppgaver for digitale verktøy

Å kunne matematikk er nyttig, og matematikk er spennende å lære! Vi har lagd en bok som vil hjelpe deg med å nå målene for matematikkfaget på ungdomstrinnet. Lykke til med arbeidet!

Hilsen forfatterne Espen Hjardar og Jan-Erik Pedersen

Innhold

Innhold 1 Tall og tallforståelse ................. 7 Potenser........................................... 8 Kvadrattall...................................... 16 Regning med fortegnstall ............. 20 Forhold........................................... 23 Figurtall og tallrekker .................... 27 Prøv deg selv .................................. 30 Noe å lure på ................................. 32 Oppsummering ............................... 34

2 Algebra..................................... 37 Bokstavuttrykk ............................... 38 Likninger ........................................ 47 Ulikheter ........................................ 57 Prøv deg selv .................................. 59 Noe å lure på ................................. 61 Oppsummering ............................... 63

3 Geometri................................... 67 Mangekanter.................................. 68 Omkrets og areal av mangekanter............................. 72 Omkrets og areal av en sirkel ....... 84 Pytagoras-setningen ...................... 88 Konstruksjon og beregninger ....... 96 Geometri i natur og kunst .......... 102 Det gylne snitt og det gylne rektangel ..................... 107 Prøv deg selv ................................ 113 Noe å lure på ............................... 117 Oppsummering ............................. 119

4 Statistikk og sannsynlighetsregning .......... 123 Relativ frekvens ........................... 124 Sektordiagram ............................. 130 Andre diagrammer ...................... 135 Kritisk bruk av diagrammer......... 140 Sentralmål og variasjonsbredde.. 143 Antall mulige utfall...................... 148 Å finne sannsynligheten.............. 151 Å finne sannsynligheten ved flere hendelser............................. 155 Like stor sannsynlighet hver gang?................................... 162 Prøv deg selv ................................ 164 Noe å lure på ............................... 167 Oppsummering ............................. 169

5 Måling og beregninger ......... 173 Målenøyaktighet .......................... 174 Målestokk..................................... 177 Volum og overflate...................... 185 Prøv deg selv ................................ 196 Noe å lure på ............................... 198 Oppsummering ............................. 199

6 Funksjoner ............................. 201 Koordinatsystemet....................... 202 Formler og funksjoner................. 207 Grafen til en funksjon ................. 211 Mer om funksjoner...................... 215 Prøv deg selv ................................ 218 Noe å lure på ............................... 220 Oppsummering ............................. 222

Innhold

7 Økonomi................................. 225 Prosent og promille..................... 226 Merverdiavgift.............................. 231 Rabatt........................................... 234 Tilbud ........................................... 236 Renteregning ............................... 239 Kredittkort.................................... 246 Prøv deg selv ................................ 249 Noe å lure på ............................... 251 Oppsummering ............................. 253 Manual for digitale verktøy ...... 254 Kalkulatoren................................. 255 Regneark ...................................... 258 GeoGebra..................................... 262 Fasit ............................................. 270 Stikkord ....................................... 291

Det er 384 000 km til m책nen. Alpha Kentauri er 40 000 000 000 000 km unna jorda.

Er det 400 000 000 000 eller 40 000 000 000 stjerner i v책r galakse, Melkeveien?

Et romskip flyr med ca. 40 000 km/h. Hvor lang tid ville det tatt 책 reise dit?

Tall og tallforståelse

Noen ganger har vi bruk for å skrive svært store tall, for eksempel i forbindelse med avstander i verdensrommet. For å få bedre oversikt kan vi skrive tallene som produkter av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens: 384 000 = 3,84 105

Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . .

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

tall på standardform faktorer, potenser, kvadratrot og forhold mellom størrelser i beregninger fortegnstall tallmønstre

Mange nuller å holde orden på!

Tall og tallforst책else

Potenser To i femte er en potens.

Hva betyr to i femte? 25 er en potens med 2 som grunntall og 5 som eksponent. 25 uttales to i femte. 25 = 2 2 2 2 2 = 32 Regel

Et produkt der alle faktorene er like, kan vi skrive som en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Oppgaver 1.1

1.2

Skriv som potens. a) 2 2 2 2 b) 3 3 3 3

c) 10 10 10 d) 7 7 7 7 7

e) 5 5 5 5 5 5 f) 9 9 9 9

Regn ut potensen. a) 23 b) 35

c) 53 d) 105

e) 55 f ) 210

Skriv av tabellen og fyll inn det som mangler. Grunntall

Eksponent

Potens

5 1

8 2,34

4 1.4

Regn ut. a) 3 4 4 4 b) 5 23

Tall og tallforståelse

1.3

c) 24 33 d) 52 + 42

e) 103 -- 101 f ) 35 -- 53

Multiplikasjon og divisjon av potenser Når vi skal multiplisere to potenser som har samme grunntall, lar vi grunntallet stå og summerer eksponentene. 2 2 = 2 2 2 2 2 2 2 = 2 3

3+4

Husk! 2 = 21 , 3 = 31 osv.

Når vi skal dividere en potens med en potens som har samme grunntall, lar vi grunntallet stå og subtraherer eksponentene. 56 = 56 : 52 = 56 -- 2 = 54 52

Regel

Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og summerer eksponentene. Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, beholder vi grunntallet og subtraherer eksponentene.

Tall og tallforståelse

Hvis vi dividerer to like potenser med hverandre, blir svaret lik 1 fordi telleren og nevneren er like store. Hvis vi bruker regelen for divisjon av potenser, får vi 53 = 53 -- 3 = 50 53 Det betyr altså at 50 = 1. Regel

For alle tall a er a0 = 1. Når vi skal multiplisere eller dividere to potenser som ikke har samme grunntall, må vi regne ut potensene hver for seg. Eksempel 1:1

Regn ut. Skriv svaret som én potens hvis det mulig. a) 22 25 b) 46 : 42

c) 32 43 d) 44 : 23

Løsning a) 22 25 = 22 + 5 = 27 b) 46 : 42 = 46 -- 2 = 44

c) 32 43 = 9 64 ¼ 576 d) 44 : 23 = 256 : 8 = 32

Oppgaver 1.5

1.6

1.7

? 10

Skriv svaret som én potens. c) 22 23 a) 32 35 b) 52 52 d) 52 54

e) 102 103 f ) 72 73

Skriv svaret som én potens. a) 132 133 c) 122 123 b) 52 5 d) 102 104

e) 100 105 f ) 70 73

Skriv svaret som én potens. c) 22 26 a) 32 3 2 2 b) 15 15 d) 102 104 102

e) 103 105 10 f ) 7 73 70 72

Hvordan kan vi skrive tallet 189 som en sum av to potenser?

Skriv svaret som én potens. 27 24 65 b) 2 6 a)

1.9

106 102 312 d) 8 3 c)

Skriv svaret som én potens. c) 35 : 34 a) 55 : 52 d) 74 : 73 b) 105 : 103

55 52 35 f) 4 3 e)

Tall og tallforståelse

1.8

e) 155 : 153 f ) 109 : 103

1.10 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis ikke, regn ut. a) 95 : 92 c) 26 -- 24 e) 124 : 123 4 3 4 3 f ) 34 + 24 b) 3 + 3 d) 10 + 10 1.11 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis ikke, regn ut. a) 32 35 c) 122 23 e) 82 8 b) 52 53 d) 52 102 f ) 5 43 1.12 Skriv svaret som én potens hvis det er mulig. Hvis ikke, regn ut. a) 136 : 134 c) 5 42 -- 16 b) 84 -- 44 d) 3 52 + 5 32

Potenser med 10 som grunntall Nedenfor ser du noen eksempler på potenser med 10 som grunntall. 100 101 102 103 104 105 106

= = = = = = =

1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000

Vi bruker tallene 1, 10, 100 osv. når vi skriver naturlige tall på utvidet form: 3456 = 3 1000 + 4 100 + 5 10 + 6 1 Ettersom 10, 100, 1000 osv. kan skrives som potenser med 10 som grunntall, får vi: 3456 = 3 103 + 4 102 + 5 101 + 6 100

Tall og tallforståelse

Eksempel 1:2

Skriv 1 205 604 på utvidet form ved å bruke potenser av 10. Løsning 1 205 604 = 1 1 000 000 + 2 100 000 + 0 10 000 + 5 1000 + 6 100 + 0 10 + 4 1 1 205 604 = 1 106 + 2 105 + 5 103 + 6 102 + 4 100 Oppgaver 1.13 Skriv tallene som potenser med 10 som grunntall. a) 100 c) 100 000 e) Ti millioner b) 1000 d) 1 000 000 f ) En milliard 1.14 Skriv tallene på utvidet form ved å bruke potenser av 10. a) 6543 c) 12 675 e) 2 450 565 b) 3409 d) 125 308 f ) 2 907 530 1.15 Skriv tallene på vanlig måte. a) 5 103 + 4 102 + 1 101 + b) 3 104 + 4 103 + 5 102 + c) 7 105 + 4 104 + 5 103 + d) 2 105 + 4 103 + 5 102 + e) 1 106 + 4 105 + 5 103 + f ) 3 105 + 4 102 + 9 101 +

6 100 6 101 + 5 100 6 102 + 3 101 + 4 100 6 100 6 102 + 1 101 + 2 100 1 100

1.16 Skriv 7 milliarder på vanlig måte og deretter ved å bruke tierpotens. Det er over 7 milliarder mennesker på jorda.

For å få bedre oversikt over et stort tall, kan vi skrive tallet som et produkt av et desimaltall mellom 1 og 10 og en tierpotens. 150 000 000 km kan vi skrive slik: 1,5 108 km Tierpotens Desimaltall mellom 1 og 10

Tall og tallforståelse

Tall på standardform

Når vi skriver om store tall på denne måten, flytter vi desimaltegnet og setter det mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Ovenfor har vi flyttet desimaltegnet åtte plasser. Derfor blir tierpotensen 108 . Skrivemåten 1,5 108 kaller vi standardform.

Sola, vår egen stjerne

Avstanden fra jorda til sola er ca. 150 000 000 km!

Tall og tallforståelse

Regel

Vi skriver store tall på standardform ved å plassere desimaltegnet mellom det første og det andre sifferet. Deretter multipliserer vi med en tierpotens. Eksponenten i tierpotensen svarer til antallet plasser vi har flyttet desimaltegnet. Eksempel 1:3

Skriv tallet 340 000 000 på standardform. Løsning 340 000 000 = 3,4 108 Oppgaver 1.17 Skriv tallene på standardform. a) 25 000 c) 24 000 000 b) 14 000 d) 910 000

e) 4 500 000 f ) 4 500 000 000

1.18 Skriv avstandene fra sola til planetene på standardform. a) Sola – Venus 108 000 000 km b) Sola – Jorda 150 000 000 km c) Sola – Jupiter 778 000 000 km

e) 1,05 107 f ) 4,08 109

1.20 Massen til månen har blitt beregnet til ca. 73 500 000 000 000 000 000 tonn. Skriv tallet ved å bruke tierpotens.

Tall og tallforståelse

1.19 Skriv tallene på vanlig måte. c) 9,1 105 a) 4,5 103 4 b) 2,7 10 d) 4,5 106

Landingsmodulen The Eagle (Apollo 11) var det første romfartøyet som landet på månen, 20. juli 1969.

1.21 Finn ut hvor mye jorda veier. Skriv tallet både på vanlig måte og ved å bruke tierpotens.

Massen til månen er ca. 0,0123 av massen til jorda!

Tall og tallforståelse

Kvadrattall Alle tallene er kvadrattall!

Hva mener vi med kvadrattall? Vi kan legge ut brikker i kvadratform på denne måten:

&& &&

&&& &&& &&&

&&&& &&&& &&&& &&&&

Se på regnestykkene nedenfor. 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

= = = = =

12 22 32 42 52

= = = = =

1 4 9 16 25

Tallene 1, 4, 9, 16, 25 osv. kaller vi kvadrattall fordi vi kan illustrere disse tallene i et kvadratisk mønster som ovenfor. Regel

Hvis x er et helt tall, er x x = x 2 et kvadrattall.

1.22 Hvilke av disse tallene er kvadrattall? 4 9 7 8

1.23 Lag en tegning som illustrerer kvadrattallene. a) 4 b) 9 c) 16

d) 25

Tall og tallforst책else

Oppgaver

1.24 Hvilke kvadrattall illustrerer disse figurene? a)

1.25 Regn ut kvadrattallet x 2 n책r x er a) 5 c) 10 b) 8 d) 15

e) 20 f ) 100

1.26 81 brikker blir lagt ut som et kvadrat. Hvor mange brikker er det langs sidene av kvadratet? 1.27 Stolene i en kinosal er plassert som et kvadrat. Det er 625 plasser i salen. Hvor mange stoler er det i hver rad?

Plasser tallene fra 1 til 6 i trekanten slik at summen langs hver av sidene blir den samme.

Tall og tallforståelse

Kvadratrot Når vi multipliserer to like tall med hverandre, får vi et kvadrattall. 3 3 = 9 Det vil si at 9 er et kvadrattall. Motsatt sier vi at 3 er kvadratroten av 9. pffiffiffi . Vi kan skrive kvadratroten av 9 slik:

Tegnet for kvadratrot er pffiffiffi 9=3 På samme måte er pffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25: Regel

Vi finner kvadratroten av et bestemt tall ved å finne det positive tallet som multiplisert med seg selv, gir det bestemte tallet. Eksempel 1:4

Finn kvadratroten av 36. Løsning Ettersom 6 6 = 36, er

pffiffiffiffiffi 36 = 6.

Oppgaver 1.28 Finn kvadratroten av a) 9 b) 25 c) 16 d) 36 e) 81 f ) 100

Vi må bruke kalkulator for å regne ut kvadratroten av tall som ikke er kvadrattall.

pffiffiffiffiffiffiffiffi c) 144 pffiffiffiffiffiffiffiffi d) 400

pffiffiffiffiffi e) 85 pffiffiffiffiffiffiffiffi f ) 128

1.30 Regn ut. pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi a) 25 + 81 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi b) 36 + 100

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi c) 25 + 16 pffiffiffi pffiffiffiffiffi d) 9 + 36

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi e) 81 -- 36 pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi f ) 100 -- 121

Tall og tallforståelse

1.29 Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 25 pffiffiffiffiffi b) 36

Finn tallet! . . .

Tallet har to faktorer som også er primtall. Kvadratroten av tallet er mindre enn 10. Tallet har tverrsummen 13.

1.31 a) Sidene i et kvadrat er 6,5 cm. Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 23,04 cm2 . Hvor lang er siden? 1.32 En håndballbane har form som et rektangel som er dobbelt så langt som det er bredt. Arealet av håndballbanen er 800 m2 . Regn ut lengden og bredden av håndballbanen. Håndballcup i Ski

Tall og tallforståelse

Regning med fortegnstall Hm ... 5–3=2 5–2=3 5–1=4 5–0=5 5–(–1) = ? 5–(–2) = ?

–1∙3=–3 –1∙2=– 2 –1∙1 = –1 –1∙0= 0 –1∙(–1) = ? –1∙(–2) = ?

Hva blir svaret på oppgavene? Vi kan legge til og trekke fra negative tall. Jo mindre tall vi legger til, desto mindre tall får vi til svar. Jo mindre tall vi trekker fra, desto større tall får vi til svar. 5+3 5+2 5+1 5+0 5 + ð--1Þ 5 + ð--2Þ 5 + ð--3Þ

= = = = = = =

8 7 6 5 4 3 2

5 -- 3 5 -- 2 5 -- 1 5 -- 0 5 -- ð--1Þ 5 -- ð--2Þ 5 -- ð--3Þ

= = = = = = =

2 3 4 5 6 7 8

Regel

Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. Hvis vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall: --6 ð--3Þ = 18 --3 ð--3Þ = 9

--6 : ð--3Þ = 2 --3 : ð--3Þ = 1

Når vi multipliserer eller dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. Når vi multipliserer eller dividerer to negative tall med hverandre, blir svaret et positivt tall.

Tall og tallforståelse

Regel

Minus minus = pluss! Minus pluss = minus!

Eksempel 1:5

Regn ut. a) 10 + ð--12Þ b) 10 -- ð--12Þ c) 5 ð--4Þ

d) --5 ð--4Þ e) --20 : 4 f ) --20 : ð--4Þ

Løsning a) 10 + ð--12Þ = 10 -- 12 = --2 b) 10 -- ð--12Þ = 10 + 12 = 22 c) 5 ð--4Þ = --20

d) --5 ð--4Þ = 20 e) --20 : 4 = --5 f ) --20 : ð--4Þ = 5

Oppgaver 1.33 Regn ut. a) 5 -- ð--4Þ

b) 9 -- ð--9Þ

c) 10 -- ð--5Þ

d) 50 -- ð--100Þ

1.34 Regn ut. a) 5 + ð--2Þ b) 20 + ð--12Þ

c) 13 + ð--12Þ d) 25 + ð--20Þ

e) --5 + ð--2Þ f ) --5 -- ð--2Þ

g) --10 + ð--8Þ h) --10 -- ð--8Þ

Tall og tallforståelse

1.35 Regn ut. a) 12 + ð--3Þ b) 12 -- ð--3Þ

c) 12 -- ð+3Þ d) 12 + ð+3Þ

e) 12 + ð--15Þ f ) --20 -- ð--20Þ

g) --9 + ð--17Þ h) --14 -- ð--6Þ

1.36 Hvilket av svarene er riktig? A 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 1 B 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 9

C 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = 11 D 5 -- ð--5Þ -- ð+1Þ = --1

1.37 Regn ut. a) 5 ð--6Þ

b) --4 6

c) --3 ð--7Þ

d) 5 ð--10Þ

1.38 Regn ut. a) 25 : ð--5Þ

b) --25 : 5

c) --30 : ð--6Þ

d) --42 : 7

1.39 Regn ut. a) 2,5 ð--6Þ

b) 4 ð--2,5Þ

c) --3 1,5

d) --10 ð--3,7Þ

1.40 Regn ut. a) 4 + ð--3Þ -- ð--4Þ b) 5 -- ð--3Þ + ð--4Þ

c) 10 + ð--4Þ -- ð--15Þ d) 50 + ð+50Þ -- ð--100Þ

1.41 Regn ut. a) 15 -- ð+17Þ b) --2 -- ð+2Þ

c) 50 -- ð--50Þ + ð--25Þ d) --100 -- ð+100Þ -- ð--100Þ + ð--100Þ

1.42 Skriv av og sett de riktige tallene inn i rutene. a) 5 ð--7Þ = & c) & ð--8Þ = --80 b) --3 & = 21 d) --10 ð--10Þ = &

Til en teltplass på en øy kom det 10 gjester den første dagen teltplassen var åpen for sesongen. 2 gjester dro tilbake den samme kvelden. Den andre dagen kom det 12 gjester, men 3 dro tilbake samme kveld. Dette mønsteret fortsatte. Hvor mange gjester var det på teltplassen ved slutten av den syvende dagen?

Vi blander i forholdet én til fem!

Tall og tallforståelse

Forhold

Hva vil det si å blande i forholdet én til fem? Når vi blander saft og vann i forholdet én til fem, blander vi én del saft med fem deler vann. Det kan for eksempel være 1 dL saft og 5 dL vann. Ettersom 10 dL er fem ganger så mye som 2 dL, kan vi også blande 2 dL saft og 10 dL vann. Forholdet mellom mengden av saft og mengden av vann blir også da én til fem. Forholdet én til fem kan vi skrive slik: 1 : 5 eller

1 5

Brøkstreken er her det samme som et divisjonstegn. Når vi skal finne forholdet mellom to størrelser, forkorter vi brøken så mye som mulig. Regel

Vi finner forholdet mellom to tall ved å dividere tallene med hverandre.

Tall og tallforståelse

Eksempel 1:6

Hanna bor 12 km fra skolen, mens Simen bor 3 km fra skolen. Hva er forholdet mellom 12 km og 3 km? Løsning 12 km 12 4 = = 3 km 3 1

Husk! I noen av oppgavene må du gjøre om til samme benevning.

Forholdet er 4 : 1 Oppgaver 1.43 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 2 km og 10 km b) 3 bøtter og 12 bøtter c) 500 kr og 250 kr e) 2 cm og 20 cm d) 15 kg og 45 kg f ) 4 cm og 80 000 cm 1.44 Finn forholdet mellom størrelsene. a) 500 kr og 125 kr d) 12 km og 3 cm b) 4 cm og 1 m e) 50 øre og 50 kr c) 3 g og 12 kg f ) 500 km og 5 cm 1.45 Simen blander 2 dL iste med 16 dL vann. Sara blander 3 dL iste med 27 dL vann. Hvem lager den sterkeste blandingen? 1.46 Martin tjener 360 kr på 4 timer. Hanna arbeider i 5 timer. Hvor mye må Hanna få i lønn hvis hun skal tjene like mye per time som Martin? 1.47 Elevene i 9A solgte vafler for 375 kr. Det er 25 elever i gruppa. I 9B er det 28 elever. Hvor mye må elevene i 9B selge vafler for hvis de skal selge like mye i forhold til elevtallet?

Vi regner med forhold i mange sammenhenger, for eksempel – når vi blander saft og vann – når vi blander sement og sand – når vi får lønn i forhold til den tiden vi arbeider

Tall og tallforståelse

Regning med forhold

Martin og Lotte hjalp naboen med å male huset. Martin arbeidet i 10 timer og Lotte i 8 timer. For dette fikk Martin 750 kr og Lotte 600 kr. Vi regner ut timelønnen: Martin: Lotte:

750 kr : 10 = 75 kr 600 kr : 8 = 75 kr

Det betyr at forholdet mellom 750 og 10 er det samme som forholdet mellom 600 og 8. Martin og Lotte har derfor fått like mye betalt i forhold til de timene de har arbeidet, selv om de har fått forskjellige kronebeløp. Eksempel 1:7

Herman arbeider i 3 timer, og Sara arbeider i 4 timer. De får 770 kr til sammen for dette arbeidet. Hvor mye får hver av dem? Løsning Herman arbeider: Sara arbeider: Til sammen:

3 timer 4 timer 7 timer

Lønnen for én time blir: 770 kr : 7 = 110 kr Herman får: 3 110 kr = 330 kr Sara får: 4 110 kr = 440 kr Vi kontrollerer svaret: 330 kr + 440 kr = 770 kr

Tall og tallforståelse

Oppgaver 1.48 Martin og Lotte skal dele 450 kr i forholdet 4 : 5. Hvor mye får hver av dem? 1.49 Sara og Herman skal dele et overskudd fra et loddsalg. Sara solgte 50 lodd, og Herman solgte 75 lodd. Overskuddet var 150 kr. a) Regn ut forholdet mellom antallet lodd Sara og Herman solgte. b) Hvor stor del av overskuddet fikk hver av dem? 1.50 Simen skal fylle 2 dL olje og 48 dL bensin på mopeden. Hanna skal fylle olje og bensin i samme forhold.

a) Regn ut forholdet mellom mengden av olje og mengden av bensin. b) Hvor mange desiliter bensin må Hanna fylle hvis hun bruker 1 dL olje? 1.51 Sara skal blande iste og vann i forholdet 1 : 9. Hun vil bruke 2 dL iste i blandingen. Hvor mange desiliter ferdigblandet iste får hun? 1.52 I en oppskrift på hasselnøttbrød står det blant annet at vi skal bruke 7 dL grovt rugmel og 6 dL hvetemel. Herman skal lage en brøddeig med 9 dL hvetemel. Hvor mye rugmel må Herman bruke hvis forholdet mellom mengden av hvetemel og mengden av rugmel fortsatt skal være det samme?

Tall og tallforståelse

Figurtall og tallrekker

Hvilke tall får vi videre etter dette mønsteret? Hvis vi fortsetter å legge ut brikker etter det samme mønsteret, får vi følgende figurer og tall: & & && & && &&& & && &&& &&&& & && &&& &&&& &&&&& 1 3 6 10 15 osv. Antall brikker er: 1 brikke 3 brikker ð1 + 2Þ 6 brikker ð1 + 2 + 3Þ 10 brikker ð1 + 2 + 3 + 4Þ 15 brikker ð1 + 2 + 3 + 4 + 5Þ osv.

Husk! 1, 4, 9, 16 osv. kaller vi kvadrattall.

Tallene 1, 3, 6, 10, 15 osv. kaller vi trekanttall fordi vi kan illustrere disse tallene i et geometrisk trekantet mønster. Tallene 1, 3, 6, 10 og 15 er de fem første trekanttallene.

Tall og tallforståelse

Vi kan lage andre tallrekker ved å bruke et bestemt system eller mønster. Systemet vi bruker, kan være addisjon, subtraksjon, multiplikasjon eller divisjon mellom leddene i rekken. Her er noen eksempler på hvordan vi kan bygge opp tallrekker: Ved addisjon: 1 3 +2

5 +2

Ved subtraksjon: 12 7 –5

7 +2

–5

81 3

Ved summering av ledd: 1 1 2 1+1

–8

Ved divisjon: 64 32

–3

Ved multiplikasjon: 1 3 9 3

1+2

4 :2

5 2+3

Vær oppmerksom på at tallrekker også kan være lagd etter flere enn ett mønster. Prøv å finne ut hvordan tallrekkene er bygd opp når du løser oppgavene på neste side. Oppgaver

1.53 Hvilke av tallene er kvadrattall? A 9 C 50 B 36 D 81

E 20 F 144

G1 H 169

1.54 Hvilke av tallene er trekanttall? A 10 C 20 B 15 D 25

E 21 F 100

G 28 H 50

Tall og tallforståelse

1.55 Hvilke av tallene er ikke kvadrattall? A 16 C 14 E 20 B 8 D 18 F 24

G 36 H 38

1.56 Se på regnestykkene nedenfor. Fortsett fire linjer til etter det samme systemet. Skriv en regel ut fra den sammenhengen du ser. 1 = 1 = 12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1.57 De seks første trekanttallene er 1, 3, 6, 10, 15 og 21. Legg sammen a) det første og det andre trekanttallet b) det andre og det tredje trekanttallet. c) det tredje og det fjerde trekanttallet d) Hva slags tall får du i oppgave a, b og c? 1.58 Skriv de tre neste tallene i tallrekkene. & & a) 1 4 9 b) 1 2 4 7 11 & c) 2 4 8 16 & d) 2 6 18 54

& & & &

1.59 Skriv av og sett inn tallene som mangler i tallrekkene. & & & a) 2 4 8 & & b) 1 4 8 13 & & & c) 1 9 25

& & &

128 34 169

Hva kan differansen mellom to negative tall bli?

1.60 Se på regnestykkene nedenfor: 1 1 = 12 = 1 11 11 = 112 = 121 111 111 = 1112 = 12321 Ser du et system som gjør at du raskt kan finne ut hvilket tall 11 1112 er?

Tall og tallforståelse

Prøv deg selv 1

c) 2 2 2 2 2 d) 7 7 7

Regn ut potensen. b) 33 a) 103

c) 54

d) 28

Skriv svaret som én potens. a) 103 102 b) 43 44

c) 53 52

d) 102 10

Skriv svaret som én potens. a) 55 : 52 b) 106 : 102

c) 74 : 72

d) 25 : 24

Skriv tallene på utvidet form ved å bruke potenser av 10. a) 3563 b) 12 875 c) 20 456 d) 120 503

Skriv tallene på standardform. a) 24 000 b) 540 000

c) 760 000 000 d) 50 100 000 000

Regn ut arealet av et kvadrat når sidene i kvadratet er a) 4 cm b) 9 cm c) 7 cm d) 3,6 cm

Regn ut x 2 . a) x = 2

b) x = 7

Regn ut. pffiffiffiffiffi a) 64

Skriv som én potens. a) 3 3 b) 5 5 5 5

pffiffiffiffiffi 81

c) x = 1

a) Sidene i et kvadrat er 4,5 cm Hvor stort er arealet? b) Arealet av et kvadrat er 12,96 m2 . Hvor lange er sidene?

Regn ut. a) 4 -- ð--2Þ + 3 b) 15 + ð--5Þ -- 10 c) --20 -- ð--30Þ -- 2

pffiffiffiffiffiffiffiffi 121

d) x = 0,5

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 16 + 49

d) 23 -- ð12 -- 5Þ e) ð12 -- 4Þ -- ð15 -- 2Þ f ) ð7 -- 4 + 23Þ -- 3 + ð6 -- 3Þ

Regn ut. a) --2 3 b) 5 ð--10Þ

c) --4 ð--8Þ d) --32 : ð--8Þ

e) 45 : ð--9Þ f ) --45 : 9

Lotte blander 2 dL iste med 10 dL vann. a) Hvor mange desiliter ferdigblandet iste får Lotte? b) Regn ut forholdet mellom volumet av iste og volumet av vann.

Murer Sand blander sement og sand i forholdet 1 : 5. Han har 6 skuffer sement i blandemaskinen.

Tall og tallforståelse

a) Hvor mange skuffer sand har mureren i blandemaskinen? b) En annen gang har mureren 20 skuffer sand i blandemaskinen. Hvor mange skuffer sement og sand har han da til sammen i blandemaskinen?

Pantheon i Roma (bygd i år 118–125) har en selvbærende kuppel av betong.

Hvilke tall mangler a) 1 4 b) 1 1 c) 1 3

i tallrekkene? & 9 2 3 & 6

& & &

36 & 21

Hvilke av tallene er kvadrattall, og hvilke av tallene er trekanttall? 16 4 21 25 10 36 6

Tall og tallforståelse

Noe å lure på 1

En flaske inneholder 6 dL saft. Simen skal blande saft og vann ved å bruke 1 del saft og 9 deler vann. På flasken står det at det kan bli 6 liter ferdigblandet saft. Forklar hvorfor det er riktig.

Se på utregningene nedenfor. 1 = 13 3 + 5 = 23 7 + 9 + 11 = 33 Hvordan fortsetter dette mønsteret?

Avstanden fra jorda til månen er ca. 380 000 km, og avstanden fra jorda til sola er ca. 150 000 000 km. Månens diameter er ca. 3480 km, og solas diameter er ca. 1 400 000 km. Regn ut forholdet mellom a) avstanden fra jorda til sola og avstanden fra jorda til månen b) diameteren til månen og diameteren til sola c) Hva har svarene i a) og b) å si for en solformørkelse?

pffiffiffi Sidene i et kvadrat er 5 cm. Regn ut arealet av kvadratet. qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi pp ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffi Regn ut 256.

Vi vet at 2,5 106 = 2 500 000. Men hva er 2,5 10 -- 6 ?

a) Hvordan fortsetter dette mønsteret?

Tall og tallforståelse

1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

1 4

b) Hva kjennetegner tallene du finner?

Tegn av og plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonner og bokser (2 3Þ inneholder disse tallene. Samme tall kan ikke opptre to ganger i en rad, kolonne eller en boks.

4 5

1 4

3 5

1 6 3

Sudoku

Tall og tallforståelse

Oppsummering Potenser Når vi multipliserer tall som er like store, kan vi skrive dem som en potens. 5 5 5 5 5 5 = 56 x x x = x3 Når vi multipliserer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir summen av eksponentene i de potensene vi multipliserer. 23 24 = 23 + 4 = 27 x3 x2 = x3 + 2 = x5 Når vi dividerer potenser som har samme grunntall, blir svaret en potens med det samme grunntallet. Eksponenten i svaret blir eksponenten i telleren minus eksponenten i nevneren. 56 = 56 -- 2 = 54 52 x 6 : x 2 = x 6 -- 2 = x 4

Tall på standardform Tall kan skrives på vanlig form eller på standardform. Vanlig form: 450 000 000 Standardform: 4,5 108

Kvadrattall Hvis x er et helt tall, kaller vi x 2 et kvadrattall. 5 5 = 52 = 25 25 er et kvadrattall.

Kvadratrot Kvadratroten av et tall x er det positive tallet som multiplisert med seg selv gir tallet x. pffiffiffiffiffi 25 = 5 fordi 5 5 = 25

Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra det tilsvarende positive tallet. 10 + ð--7Þ = 10 -- 7 = 3

Tall og tallforståelse

Regning med fortegnstall

Å trekke fra et negativt tall er det samme som å legge til det tilsvarende positive tallet. 10 -- ð--7Þ = 10 + 7 = 17 Når vi multipliserer et positivt tall og et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 ð--5Þ = --125 Når vi dividerer et positivt tall med et negativt tall, blir svaret et negativt tall. 25 : ð--5Þ ¼ --5 Når vi multipliserer to negative tall, blir svaret et positivt tall. --25 ð--5Þ = 125 Når vi dividerer et negativt tall med et negativt tall, blir svaret et positivt tall. --25 : ð--5Þ = 5

Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved å dividere tallene med hverandre. Forholdet mellom 5 og 25 er 5 : 25 = 1 : 5

Trekanttall Vi får trekanttall ved å summere naturlige tall fortløpende fra 1 og oppover. 1+2=3 1+2+3=6

3 er et trekanttall 6 er et trekanttall

2xei + xei + 5 = 3xei + 5

2x + x + 5 = 3x + 5

2Algebra

Det var araberne som først begynte å regne med bokstaver. De brukte ordet «sai» når de regnet med ukjente tall. I middelalderen ble mange bøker oversatt fra arabisk til spansk av spanske munker. De oversatte ordet «sai» med «xei», og etter hver gikk man over til å bruke bare den første bokstaven i ordet «xei», nemlig x, når man regnet med ukjente tall. Derfor er det vanlig å bruke bokstaven x når vi regner med ukjente tall i dag.

Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . . .

enkle algebraiske uttrykk regning med parenteser likninger med en ukjent løsning av ulikheter praktiske problemer med tall og regnemetoder

Han bruker x i stedet for den ukjente!

Algebra

Bokstavuttrykk Hm, det blir 2x + 7y. Jeg vil gjerne ha to x-er og sju y-er.

Hva kaller vi et regneuttrykk som inneholder bokstaver? Talluttrykk inneholder bare tall. Uttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstavene står da i stedet for tall. Hver bokstav kaller vi en variabel. En variabel er noe som varierer, det betyr at den kan ha forskjellig verdi. 2 5 + 7 10 er et talluttrykk. 2x + 7y

er et bokstavuttrykk.

Eksempel 2:1

Familien til Hanna skal på bilferie. De skal kjøre y kilometer. Lag et bokstavuttrykk som viser utgiftene dersom de må beregne 4 kr per kilometer. Løsning Utgiftene i kroner blir: 4y

2.1

Forklar forskjellen på talluttrykk og bokstavuttrykk.

2.2

Hvilke av regneuttrykkene er talluttrykk, og hvilke er bokstavuttrykk? A 235 -- 34 B 3x 5 C 15 -- y D 2ð5 + 4Þ

2.3

I en kiosk koster en brus 15 kr og et skolebrød 19 kr. Sara handler 3 flasker brus og 2 skolebrød. Hvilket talluttrykk viser hvor mye Sara må betale? A 15 + 3 + 19 + 2 C 15 3 19 2 B 15 3 + 19 + 2 D 15 3 + 19 2

2.4

Skriv et bokstavuttrykk som viser a) x multiplisert med 3 b) summen av 2x og 3y c) differansen mellom 2x og 3

2.5

Lotte kjøper smågodt til 99 kr per kg. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Lotte må betale for x kg.

2.6

Sara leser n blader hver uke. Hvilket av disse regneuttrykkene viser hvor mange blader Sara leser på 6 uker? A 6 n B 6+n C n -- 6 D n + n 6

Algebra

Oppgaver

Algebra

2.7

Herman sykler 2 km hver vei til skolen. Han sykler i x dager. Hva står bokstavuttrykket 4x for?

2.8

Lag et bokstavuttrykk som viser hva som finnes i sirkelen. x

x z

x y

z x

2.9

z z

Lag et bokstavuttrykk som viser omkretsen av figurene. a) b) c) b

a b

2.10 Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Simen må betale for x liter melk, y liter jus og z liter brus til sammen.

14,90 per liter

15,90 per liter

13,90 per liter

2.11 Martin svømmer to ganger i uka. Prisen for buss tur–retur svømmehallen er 50 kr, og det koster 60 kr i inngangspenger. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Martin må betale for n uker med svømming.

Vi regner ut verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn verdien til variablene.

Algebra

Sette tall inn i bokstavuttrykk

2x + 7y = ?

Hva blir svaret når x = 4 og y = 2?

Hvis x = 4 og y = 2 i bokstavuttrykket 2x + 7y, setter vi inn verdien til variablene og regner ut. 2x + 7y = 2 4 + 7 2 = 8 + 14 = 22 Eksempel 2:2

Regn ut 3a + 2b når a = 5 og b = 6

Løsning 3a + 2b = 3 5 + 2 6 = 15 + 12 = 27

Oppgaver 2.12 Sett inn x = 8 og y = 7. Regn ut. a) x + y b) 2x + 6y c) 4y – 4x

d) 4x + 3y

Martin har færre enn åtte mynter i lomma. Til sammen har han 60 kroner. Hvilke mynter kan Martin ha i lomma?

Algebra

2.13 a) Lag et bokstavuttrykk for omkretsen av figuren. b) Regn ut omkretsen av figuren når 1 a = 2, b = 3 og c = 1 2 a = 4, b = 6 og c = 2 a 3 a = 8, b = 12 og c = 4

2.14 Sara er x år eldre enn Aurora, som er 13 år. a) Skriv et bokstavuttrykk som viser hvor gammel Sara er. b) Hvor gammel er Sara hvis x = 4? 2.15 Regn ut omkretsen O av figurene når a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm, d = 4 cm, g = 4 cm og h = 3 cm. c) O = g + h + c a) O = 2a + 2b b) O = d

2.16 Sett inn x = 3, y = 4 og z = 2 og regn ut. y 4x 2x + y b) a) c) z y z

2x + 2y x z

Regning med bokstavuttrykk Vi kan regne med variabler på samme måte som vi regner med tall. Vi vet at 2 + 2 + 2 = 3 2 6 + 6 + 6 = 3 6 På samme måte er x + x + x = 3 x a + a + a = 3 a 3 a = 3a

Husk! Vi sløyfer vanligvis gangetegnet mellom tall og bokstaver (variabler).

Vi ordner bokstavleddene i svaret etter alfabetet. 4x + 2y -- 2x + 3y = 4x -- 2x + 2y + 3y = 2x + 5y

Algebra

Når vi har bokstavuttrykk med flere variabler, trekker vi sammen ledd med for eksempel x og y hver for seg.

Regel

Når vi skal trekke sammen et bokstavuttrykk, adderer eller subtraherer vi ledd med like variabler. Eksempel 2:3

Regn ut. a) 7y + 3y -- y b) 4a + 6b -- 2a + 3b Løsning a) 7y + 3y -- y = 9y b) 4a + 6b -- 2a + 3b = 4a -- 2a + 6b + 3b = 2a + 9b

Oppgaver 2.17 Regn ut. a) x + x + x + x b) b + b + b

c) a + a + a + a d) xy + xy + xy

2.18 Regn ut. a) 2b + 2b b) 4x + 7x c) 11a -- 7a

d) 4y + 2y + 3y e) 2a + b + a + 4c -- 3b f ) 3x + y + z -- 4x + 3z

2.19 Regn ut. a) x + y + 3x + 5y b) 5b + 2a + 4a – 2b c) 3ab – 2ab + 3ab + 3ab

d) 3a + 4b + 4a – 6b e) 2xy + 4ab + 6xy -- 8ab f ) 12ab -- 9xy -- 9ab + 3xy

Algebra

Potenser og bokstavuttrykk På samme måte som vi kan skrive tall som potens, kan vi også gjøre det med variabler. 4 4 4 = 43 x x x = x3 Vi multipliserer og dividerer potenser med samme variabel på samme måte som med tall. 53 54 = 53 + 4 = 57 a3 a4 = a3 + 4 = a7 76 : 74 = 76 -- 4 = 72 y 6 : y 4 = y 6 -- 4 = y 2 Eksempel 2:4

Regn ut. d) ab ab

a) a6 a2 b) 2y 3y 3

e) 2x 3 + x + x

c) x 7 : x 5 Løsning a) a6 a2 = a6 + 2 = a8

d) ab ab = ðabÞ2

b) 2y 3 3y 2 = 2 3 y 3 + 2 = 6y 5

e) 2x 3 + x + x = 2x 3 + 2x

c) x 7 : x 5 = x 7 -- 5 = x 2

(ab )² = a²b ²

Oppgaver 2.20 Skriv svaret som én potens. a) y y b) a a a a c) x x x x x x d) ab ab ab

2.21 Skriv svaret som én potens. b) a2 a8 a) y 4 y 3

c) b4 b3 b2

d) x x 6 x 3

2.22 Skriv svaret som én potens. a) a4 : a2 b) x 8 : x 4

c) y 5 : y 5

d) ð2aÞ9 : ð2aÞ5

c) 7ðabÞ2 8ab d) 3x 2x 2 4x 3

2.24 Trekk sammen. a) y 4 + y 2 + y 2 b) 3x -- 2x 2 + x þ 2x 2

c) 3a + 3a2 + a -- 2a2 d) 3x + 2x 2 + 4x 3

2.25 Regn ut. a) 2ab 6ab b) 4b : 4b

c) 5z 2 4yz 3 d) 3y x 4 3y 3 2x 5

x ¹= x¹ˉ¹ = x˚ =1 x¹

Algebra

2.23 Regn ut. a) 3b 5b b) 3x 2 5x 3

Parenteser og bokstavuttrykk Når vi skal trekke sammen bokstavuttrykk som inneholder parenteser, løser vi opp parentesene på denne måten: Positivt fortegn: +ð4x + 3xÞ = 4x + 3x = 7x +ð4x -- 3xÞ = 4x -- 3x = x Negativt fortegn: --ð4x + 3xÞ = --4x -- 3x = --7x --ð4x -- 3xÞ = --4x + 3x = --x Legg merke til at når vi løser opp en parentes, bytter vi fortegn inne i parentesen om det står et minustegn foran parentesen. Regel

Når vi løser opp parenteser med plusstegn foran, forandrer vi ikke fortegnene inne i parentesen. Når vi løser opp parenteser med minustegn foran, forandrer vi fortegnet foran hvert ledd inne i parentesen. Hvis det står et tall eller bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi dette med hvert ledd inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi også forandre fortegn. Positivt fortegn: 5ð2a + 4aÞ = 5 2a + 5 4a = 10a + 20a = 30a Negativt fortegn: --5ð2a + 4aÞ = --5 2a -- 5 4a = --10a -- 20a = --30a

Algebra

Regel

Vi multipliserer et tall eller bokstavuttrykk med en parentes ved å multiplisere med hvert ledd inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi også forandre fortegn. Eksempel 2:5

Regn ut. Skriv svaret så enkelt som mulig. a) -- ð3a -- aÞ Løsning a) --ð3a -- aÞ = --3a + a = --2a

b) 4xð2x--3Þ

c) --2að2a--3aÞ

b) 4xð2x -- 3Þ = 4x 2x -- 4x 3 = 8x 2 -- 12x

c) --2að2a -- 3aÞ = --2a 2a -- 2a ð--3aÞ = --4a2 + 6a2 = 2a2

Oppgaver

Vi skriver bokstavuttrykk før talluttrykk i svaret.

2.26 Løs opp parentesene og regn ut. a) +ð3x + 4xÞ c) --ð4y + 4yÞ b) +ð5a -- 3aÞ d) --ð--4b -- 2bÞ

2+a =a +2

2.27 Løs opp parentesene og regn ut. a) 2ða + bÞ c) --3ð2 + xÞ b) 4ð2x -- yÞ d) --4ða + bÞ 2.28 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3að2a + aÞ c) --xðx + 2Þ b) 2xð3x -- 2xÞ d) --3aða -- 3aÞ

Hver rute skal inneholde summen av uttrykkene i de to rutene under. Forklar hvordan du vil gå fram for å fylle ut alle rutene i algebrapyramiden.

–3x 2x

2.29 Løs opp parentesene og regn ut. a) 3ð5 + 6Þ + 4ð2 -- 5Þ c) 3xð2x + 4xÞ + 2xðx + 3xÞ b) 2að3 -- 5Þ -- 3að2 + 3Þ d) --að--4 -- 5aÞ -- 3að2 + aÞ

Algebra

Likninger Lurer på hva x kan være ...

Hvordan løser vi likningen 2x = 9? Vi kan løse likninger ved å legge til eller trekke fra like mye på hver side av likhetstegnet. Vi kan også multiplisere eller dividere alle leddene med det samme tallet. Når vi løser en likning vil vi vanligvis at den ukjente skal stå alene på venstre side av likhetstegnet, men den ukjente kan også stå alene på høyre side. Vi bruker ofte x for den ukjente i en likning, men vi kan også bruke andre bokstaver, som for eksempel a, t eller y. Regel

Husk at pluss, minus og er lik skiller de ulike leddene!

Vi kan løse en likning ved å legge til eller trekke fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet. Vi kan også løse en likning ved å multiplisere eller dividere alle leddene med det samme tallet.

Algebra

Eksempel 2:6

Løs likningene. a) 7 + x = 12

c) 3x = 18 z d) =8 12

b) 15 = a -- 6 Løsning a) 7 + x = 12 7 + x -- 7 = 12 -- 7 x=5 b)

Trekker fra 7 på begge sider

15 = a -- 6 15 + 6 = a -- 6 + 6 21 = a a = 21

Legger til 6 på begge sider

Ettersom 21 = a, er også a = 21

3x = 18 3x 18 = 3 3 x=6

Dividerer alle ledd med 3

z =8 12

z 12 = 8 12 12 z = 96

Multipliserer alle ledd med 12

Oppgaver 2.30 Løs likningene. a) x + 3 = 13

b) x – 5 = 17

c) 56 = x – 22

d) 11 = x + 7

2.31 Løs likningene. a) 2x = 42

b) 7x = 28

c) 3a = 15

d) 100 = 5x

2.32 Løs likningene. x a) = 6 7

x =3 5

c) 12 =

x 2

a = 10 12

a) 9 = 3 -- x

b) 2x + x = 12

3x =6 2

d) 3x =

3 2

Algebra

2.33 Løs likningene.

Addere og subtrahere med x Vi kan legge til og trekke fra samme tall eller bokstavuttrykk på begge sider av likhetstegnet i en likning. Vi løser likningen 2x = 9 + x slik: 2x = 9 + x 2x -- x = 9 + x -- x x=9

Trekker fra x på begge sider

Eksempel 2:7

Løs likningene. a) 4x = 3x + 9 b) x = 10 -- 4x Løsning a) 4x = 3x + 9 4x -- 3x = 3x + 9 -- 3x

Trekker fra 3x på begge sider

1x = 9 x=9 b)

x = 10 -- 4x x + 4x = 10 -- 4x + 4x 5x = 10 5x 10 = 5 5 x=2

Legger til 4x på begge sider

Dividerer alle leddene med 5

Husk! Likningen må alltid balansere!

Algebra

Oppgaver 2.34 Løs likningene. a) 2x = 9 + x

b) 5x = 15 + 2x c) 3x = 12 – x

2.35 Løs likningene. a) 2x – 4 = 11 – 3x b) 7x + 6 = 12 + 3x

d) x – 8 = –3x

c) 8 + 6x = 3x + 20 d) –7x – 6 = –6x – 5

Martin, Simen og Herman selger pizzabiter på skolefesten. Martin selger 20 flere biter enn Simen, og Simen selger 40 færre biter enn Herman. Hvor mange pizzabiter kan de ha solgt?

2.36 Løs likningene. a) 4ðx -- 3Þ = 8 b) xð2 + 3Þ = 10

c) 3ð2 + xÞ = 4ðx -- 3Þ d) 2ðx + 5Þ -- 3ðx -- 2Þ = 4x -- 4

Multiplisere med x På samme måte som vi kan multiplisere alle leddene i en likning med tall, kan vi også multiplisere alle leddene med en variabel (bokstav). For å løse likningen 2 =

4 må vi «fjerne» x

4 x i nevneren i brøken . Det gjør vi ved x å multiplisere alle leddene med x. 2= 2 x =

4 x 4 x x

2x 4 = 2 2 x=2

Multipliserer alle leddene med x

Dividerer alle leddene med 2

Husk! Vi skiller leddene fra hverandre med + tegn og – tegn.

Algebra

Hvis likningen består av flere ledd, må vi huske på å multiplisere eller dividere alle leddene med samme tall eller samme bokstavuttrykk.

3+ x 3 =9–x

Regel

Vi kan løse en likning ved å addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med det samme tallet eller bokstavuttrykket på begge sider av likhetstegnet. Eksempel 2:8

Løs likningene. 9 a) = 3 x

4x =8+x 3

Løsning a) 9 =3 x 9 x = 3 x x

Multipliserer alle ledd med x

9 3x = 3 3

Dividerer alle ledd med 3

3=x x=3 b)

4x =8+x 3 4x 3 = 8 3 + x 3 3 4x = 24 + 3x 4x -- 3x = 24 + 3x -- 3x

Multipliserer alle ledd med 3

Trekker fra 3x på begge sider

1x = 24 x = 24

Algebra

Oppgaver 2.37 Løs likningene. 2 a) = 4 x

x =4 2

c) 6 =

3 x

4x =8 2

2.38 Løs likningene. 15 =3 a) x

x = 100 5

c) 4 =

24 2x

5x = 25 2

4 +4=2 x

c) 3 +

x x x = 9 -- x d) + x = + 3 3 4 2

2.39 Løs likningene. 3 a) 6 + = 9 x

Kvadratiske likninger Hm, denne likningen har to løsninger ...

x ² = 16

Likninger av typen x 2 = 16 kaller vi kvadratiske likninger. Ettersom både 42 og ð--4Þ2 er lik 16, så vil både x = 4 og x = –4 være løsningen på likningen x 2 = 16: Det vil altså si at x = 4 og x = –4 er løsningen på likningen x 2 = 16: Regel

Kvadratiske likninger har alltid to løsninger.

Løs likningene. a) x 2 = 25 Løsning a) x 2 = 25 pffiffiffiffiffi x = 25 eller x=5

eller

b) x 2 + 5 = 55

Algebra

Eksempel 2:9

pffiffiffiffiffi x = -- 25 x = --5

x 2 + 5 = 55

x 2 + 5 -- 5 = 55 -- 5

Trekker fra 5 på begge sider

x = 50 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x = 50 eller x = -- 50 x 7,07 eller x --7,07

Oppgaver 2.40 Løs likningene. a) x 2 = 16 b) x 2 = 4

c) x 2 = 36 d) x 2 = 64

2.41 Løs likningene. a) x 2 = 62 b) x 2 = 9,5

c) x 2 = 121 d) x 2 = 30,25

2.42 Løs likningene. a) x 2 + 4 = 40 b) x 2 -- 5 = 76

c) x 2 + 17 = 66 d) 78 = x 2 -- 67

2.43 Løs likningene. a) 2x 2 = 50 b) 3x 2 -- 5 = 28

For å finne kvadratroten av et tall bruker jeg som regel kalkulatoren!

c) 4x 2 + 3 = 9 d) 5x 2 -- 7 = 3x 2 + 11

I et tegneprogram blir arealet av et kvadratisk bilde halvert to ganger. Hva vil da ha skjedd med lengden på sidene til bildet?

Algebra

Å sette prøve på likninger Vi kan sette prøve på en likning ved å undersøke om venstre og høyre side av likningen har samme verdi. Vi setter da inn verdien for x og regner ut venstre og høyre side av likningen hver for seg.

Jeg tror svaret blir 6! Jeg undersøker ved å sette prøve! Venstre side:

Høyre side:

5x 3

4+x

5x =4+x 3

5 6 3 30 3 10

4+ 6 10

Verdien av venstre side av likhetstegnet er lik verdien av høyre side. x = 6 er derfor en riktig løsning.

Oppgaver 2.44 Hvilken av likningene gir x = 6 til svar? A 45 = 2x B 3x = 18 C 21 = 4x 2.45 Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 7x = 42 b) 5x = 50 c) 64 = 4x 2

d) x 2 + 4 = 125

2.46 Løs likningene og sett prøve på svaret. x a) 2x – 3 = x c) = 7 6 b) 2 -- 3x = 8 -- 5x d) 2x 2 -- 5 = x 2 + 31 2.47 Løs likningene og sett prøve på svaret. x 7x a) + 5 = 9 -- 3x b) + x = 30 2 3

c) 3x 2 + 8 = 2x 2 + 152

Vi kan løse mange ulike problemer ved hjelp av likninger. Noen ganger kan det være lurt å lage en hjelpefigur.

Omkretsen av den likebeinte trekanten er 30 cm.

Algebra

Problemløsing og likninger

Hvor lange er sidene?

I den likebeinte trekanten på tavla er de lengste sidene dobbelt så lange som den korte. Vi kaller den korte siden for x. De lange sidene blir da 2x. Vi får likningen 2x + 2x + x = 30, der x er den korte siden. 2x + 2x + x = 30 5x = 30 5x 30 = 5 5 x=6 De lange sidene finner vi slik: 2x = 2 6 = 12 De lange sidene er 12 cm, og den korte siden er 6 cm. Vi kan kontrollere svaret slik: Omkretsen er 12 cm + 12 cm + 6 cm = 30 cm.

Algebra

Oppgaver 2.48 I et rektangel er lengden dobbelt så stor som bredden. Omkretsen av rektangelet er 42 cm. a) Kall bredden for x cm og still opp en likning. b) Hvor lange er sidene i rektangelet? 2.49 Du trekker 23 fra et ukjent tall og får 71 til svar. a) Kall det ukjente tallet for x, og still opp likningen. b) Løs likningen. 2.50 Hanna kjøper 5 pizzaer og 10 brus til en klassefest. Det koster til sammen 650 kr. Hvor mye koster en pizza dersom brusen koster 18 kr per flaske? Løs oppgaven ved hjelp av likning.

2.51 Hanna og Herman vil dele en pose med 47 karameller slik at Hanna får 11 karameller mer enn Herman. Hvor mange karameller får de hver? Løs oppgaven ved hjelp av likning. 2.52 Simen har to søsken som heter Tone og Espen. Espen er to år eldre enn Simen, mens Tone er dobbelt så gammel som Simen. Til sammen er de 54 år. Hvor gamle er hver av dem?

Jeg er 13 år og større enn deg.

Algebra

Ulikheter

Ja, jeg er bare 8 år og mindre enn deg.

Hvordan kan vi lage et uttrykk som viser aldersforskjellen? Vi bruker symbolene < (mindre enn) og > (større enn) for å vise ulikheter. Vi skriver 13 > 8

13 er større enn 8

8 < 13

8 er mindre enn 13

Vi kan legge til eller trekke fra like mye på hver side i en ulikhet, som for eksempel: 13 > 8 13 + 3 > 8 + 3 16 > 11

Legger til 3 på begge sider

16 > 11 16 -- 3 > 11 -- 3

Trekker fra 3 på begge sider

13 > 8

Algebra

Eksempel 2:10

Løs ulikheten. x +4<8 Løsning x +4<8 x + 4 -- 4 < 8 -- 4

Trekker fra 4 på begge sider

x<4

Oppgaver 2.53 Løs ulikhetene. a) x + 3 < 9

b) x + 7 < 12

c) x -- 5 < 5

d) x + 3 > 11

2.54 Løs ulikhetene. a) x + 1,5 < 6,5 b) x + 3,5 > 6

c) --2,5 + x < 4

d) x + 11 > 3

2.55 Løs ulikhetene. a) 2x + 2 < x + 8 b) 3x + 5,5 > 2x + 6,5

c) --2,5 -- 5x < 3,5 -- 6x d) 5x -- 1,5 > 3x + 3,5

Vi kaller uttrykket for en ulikhet.

6> 3

? 58

Figurene er lagd av pinner. Finn et uttrykk for neste figur i mønsteret.

Hva er forskjellen på et talluttrykk og et bokstavuttrykk?

a) Lag et bokstavuttrykk som viser omkretsen av figuren.

Algebra

Prøv deg selv

b a b

a c c

b) Hanna kjøper kjøttdeig til 69 kr/kg. Lag et bokstavuttrykk som viser hvor mye Hanna må betale for x kg. 3

Skriv så enkelt som mulig. a) z + z + z + z b) 6a + 5a

c) 2r + 4r – r d) 7y + 2x – 3x + y

Sett inn x = 3 og y = 5 og regn ut. a) 2x + 3y c) 3x + 2y b) x + y d) x 2y

Skriv som potens. a) a a a b) x x x x x

c) z z d) 2b 2b 2b 2b

Regn ut. a) x 3 + x 3

b) a4 + a4

c) 2x 5 + 2x 5

d) 2y 2 + y 3

Regn ut. a) a4 a3

b) x 3 x 3

c) x 7 : x 2

d) 3a3 2a4

Løs opp parentesene og regn ut. a) 3ðx -- 5Þ c) --ð4x + 3xÞ b) 3ð4a + 3aÞ d) --ð2x -- 5xÞ

Løs likningene. a) 42 = 13 + x b) a – 9 = 0

c) x – 12 = 12 d) 22 + 2 = 14 + x

Algebra

Løs likningene. a) 2x = 16

Løs likningene. 3 a) 1 = x b) 4x -- 2 = 3x + 4

x =4 4

3x = 15 2

c) --x + 2 = 3x -- 8 x d) 3x = + 15 2

Løs likningene. a) x 2 = 49 b) x 2 = 64

b) 35 = 5x

8 x 2 d) 3x + 3 = x 2 + 27

c) 2x =

Sett prøve og vis hvilke av likningene som har løsningen x = 4. 4 A 6x = 24 B x 2 + 2 = 18 C =2 x

Fra vannkranen til badekaret kommer det 20 liter vann på ett minutt. Hvor lang tid vil du bruke på å fylle hele badekaret hvis det rommer 200 liter? Still opp en likning og finn svaret.

Løs ulikhetene. a) 9 + x > 10 b) x -- 50 < 145

c) x -- 8 > 2 d) x + 60 > 200

Algebra

Noe å lure på Matematikkgeniet Carl Friedrich Gauss (1777–1855) fant i ung alder en formel for å summere de hundre første naturlige tallene. Summen blir 5050, men hva er formelen?

Hva blir summen av de ti første naturlige tallene?

Carl Friedrich Gauss

Sara har like mange 10-kronestykker som Martin har 5-kronestykker. 10-kronestykkene til Sara er verdt 75 kr mer enn 5-kronestykkene til Martin. Hvor mange kroner har de til sammen?

En blomst med potte koster 260 kr. Blomsten koster 190 kr mer enn potta. Hvor mye koster blomsten, og hvor mye koster potta? Sett opp en likning og finn svaret.

Algebra

Gull- og sølvbarre

En gullbarre veier 4,5 kg mer enn en sølvbarre. Seks gullbarrer og to sølvbarrer veier like mye som tre gullbarrer og seks sølvbarrer. Hvor mye veier én gullbarre, og hvor mye veier én sølvbarre?

Her ser du en vekt som er i balanse. Hvilke tall skal stå i stedet for x og y?

x y 2kg

Algebra

Oppsummering Bokstavuttrykk Regneuttrykk som inneholder bokstaver, kaller vi for algebraiske uttrykk eller bokstavuttrykk. Bokstaven står da i stedet for et hvilket som helst tall. Bokstaven kaller vi en variabel. A = g h O = 2a + 2b

Sette inn tall i bokstavuttrykk Vi finner verdien av et bokstavuttrykk ved å sette inn tall for variablene og regne ut uttrykket som et talluttrykk. Hvis vi setter a = 4 og b = 6 inn i bokstavuttrykket 2a + 2b, får vi: 2a + 2b = 2 4 + 2 6 = 8 + 12 = 20

Regning med bokstavuttrykk Når vi regner med bokstavuttrykk, kan vi bare trekke sammen ledd som har den samme variabelen. Hvis vi skal multiplisere eller dividere ulike bokstavledd med hverandre, multipliserer eller dividerer vi tall med tall og bokstavledd med bokstavledd. 5a + 3b + 2a -- 2b = 7a + b 3x 5y = 15xy 3a2 2a3 = 6a5 x7 : x3 = x4

Bokstavuttrykk og parenteser Når vi løser opp en parentes med plusstegn foran, endrer vi ikke fortegnene inne i parentesen. Vi løser opp en parentes med minustegn foran ved å endre fortegnene på alle leddene inne i parentesen. 4x + ð2x + 3Þ = 4x + 2x + 3 = 6x + 3 6x -- ð3x -- yÞ = 6x -- 3x + y = 3x + y

Algebra

Hvis det står et tall eller et bokstavuttrykk foran parentesen, multipliserer vi tallet eller bokstavuttrykket med alle leddene inne i parentesen. Hvis tallet eller bokstavuttrykket er negativt, må vi bytte fortegn på alle leddene inne i parentesen. 2xð5 + 7Þ = 2x 5 + 2x 7 = 10x + 14x = 24x --2xð5 -- 7Þ = --2x 5 -- 2x ð--7Þ = --10x + 14x = 4x

Likninger Vi kan legge til eller trekke fra samme tall eller samme bokstavuttrykk på begge sider av likhetstegnet i en likning. Vi kan også multiplisere eller dividere alle leddene i en likning med det samme tallet eller det samme bokstavuttrykket. 6= 6 x = 6x 6x -- 4x 2x 2 x

= = = =

4 +4 x 4 x + 4 x x 4 + 4x 4 + 4x -- 4x 4 2 2

Likninger av typen x 2 = 25 kaller vi kvadratiske likninger. Kvadratiske likninger har alltid to løsninger. x 2 = 25 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x = 25 eller x = -- 25 x=5

eller x = --5

Vi setter prøve på en likning ved å sette inn verdien for den ukjente og undersøke om venstre og høyre side av likhetstegnet får samme verdi.

Algebra

Å sette prøve på likninger

3x + 4 = 8 + 2x 3x -- 2x = 8 -- 4 x=4 Prøve: Venstre side:

Høyre side:

3x + 4 3 4 + 4 12 + 4 16

8 + 2x 8 + 2 4 8+8 16

Verdien av venstre side er lik verdien av høyre side. x = 4 er derfor riktig løsning.

Ulikheter Vi løser ulikheter ved å legge til eller trekke fra samme tall på begge sider av ulikhetstegnet. Symbolet < betyr mindre enn, og symbolet > betyr større enn. x + 4 < 12 x + 4 -- 4 < 12 -- 4 x<8 x er mindre enn 8.

Kongen skal ha betaling for kvadratene dine!

Slapp av, jeg m책ler s책 fort jeg kan ...

3Geometri Vi bruker geometri for å beskrive figurer eller former. Ordet geometri stammer fra den tiden da egyptere og babylonere trengte et redskap for å regne ut størrelsen på jordeiendommene sine. En av de første beskrivelsene av geometri vi vet om, stammer fra Herodot. Han levde om lag 500 år før vanlig tidsregning. Han skriver: «De som eide land i Egypt, måtte betale en årlig skatt til kong Sesostris ut fra hvor mye land de eide.» Ordet geometri betyr jordmåling eller måling av jord.

Mål I dette kapitlet skal du få lære om .

egenskaper ved sammensatte todimensjonale figurer . konstruksjon av ulike geometriske figurer . omkrets, areal og vinkler . tallet i beregninger . beregninger ved hjelp av Pytagoras-setningen . teknologi, kunst og arkitektur

Hva er det de driver med?

Geometri

Mangekanter

Hva kjennetegner figurene på tavla? Vi finner vinkelsummen i en trekant ved først å måle vinklene og deretter summere dem. C

A+

B+

C = 180

45 + 45 + 90 = 180 45°

45°

Regel

Vinkelsummen i en trekant er 180 . Vi kan dele en firkant i to trekanter.

y z

I hver trekant er det tre vinkler. Vinkelsummen blir: u+

v+ 180

180

z = 360

x u

Geometri

Ettersom en firkant alltid består av to trekanter, blir vinkelsummen i en firkant 360 . Regel

Vinkelsummen i en firkant er 360 . Når du skal finne vinkelsummen i andre mangekanter, kan du dele opp mangekantene i trekanter ved å trekke diagonaler fra ett hjørne. I en sjukant vil du få fem trekanter, og vinkelsummen blir da 5 180 = 900 .

Oppgaver 3.1

3.2

Finn vinkelsummen i en a) femkant b) sekskant

c) tikant

Hvor store er vinklene som mangler gradtall? a) c) 155°

76°

86°

105°

35°

d) 93°

123° 115°

96°

145° 205° 190°

84°

? 3.3

48°

Tenk deg et hvilket som helst kvadrat. Hvordan endrer arealet seg om sidene blir halvert? Vi bruker ofte betegnelsen n-kant for en mangekant med ukjent antall (n) sider. Lag en formel for vinkelsummen i en n-kant.

Geometri

Regulære mangekanter En regulær mangekant er en mangekant der sidene er like lange og vinklene er like store.

Sidene er like lange, og vinklene er like store.

C 3 cm

60° 60°

3 cm

60°

3 cm

To eksempler på regulære mangekanter er en likesidet trekant og et kvadrat.

60° 60°

60°

I en regulær trekant er alle vinkler lik 60 . I en regulær firkant er alle vinkler lik 90 . I begge figurene er alle sidene like lange.

Regel

I regulære mangekanter er sidene like lange og vinklene like store.

Hvor store er vinklene i en regulær femkant?

Geometri

Eksempel 3:1

Løsning En femkant består av tre trekanter. Vinkelsummen blir da: 3 180 = 540 Det er fem vinkler i en femkant. Hver vinkel blir da: 540 : 5 = 108

Oppgaver 3.4

Hvor store er vinklene i disse regulære mangekantene? a) b) c)

3.5

Hvor store er vinklene i en regulær a) tikant b) tolvkant

c) hundrekant

Fra Eden Project i Cornwall i England

Geometri

Omkrets og areal av mangekanter Hvor stort areal m책 jeg klippe? Hvor stor er omkretsen av gressplenen?

Hvordan beregner vi omkrets og areal av en mangekant?

Rektangel I et rektangel er alle vinklene 90 , og de motst책ende sidene er like lange og parallelle. Omkretsen O av rektangelet er O = 3 cm + 3 cm + 2 cm + 2 cm = 10 cm eller O = 2 3 cm + 2 2 cm = 10 cm Arealet A av rektangelet er

2 cm 3 cm

A = 3 cm 2 cm = 6 cm2 Regel

Vi finner omkretsen O av et rektangel ved 책 summere alle sidene. O = 2l + 2b Vi finner arealet A av et rektangel ved 책 multiplisere lengden (l) med bredden (b). A = l b

Regn ut omkretsen og arealet av rektangelet.

2 cm

Geometri

Eksempel 3:2

8 cm

LĂ¸sning Omkrets:

Areal:

O = 2l + 2b

A = l b

O = 2 8 cm + 2 2 cm

A = 8 cm 2 cm

O = 16 cm + 4 cm

A = 16 cm2

O = 20 cm Oppgaver 3.6

Regn ut omkretsen og arealet av rektanglene. a) c)

4 cm 5,5 cm

5 cm

b) 3,5 cm 3 cm

6 cm

3.7

Regn ut omkretsen og arealet av rektanglene nĂĽr a) lengden er 10 m og bredden 8 m b) lengden er 25 cm og bredden 12 cm c) lengden er 12,5 dm og bredden 8,5 dm

Geometri

3.8

Finn omkretsen og arealet av rektanglene. a)

Husk! Gjør om til samme benevning før du regner ut! b)

1500 m 2,5 km 1,5 mil

12 km

3.9

Den vestre rullebanen på Oslo Lufthavn Gardermoen er 3600 m lang og 60 m bred. a) Hva er arealet av rullebanen? b) Hvor mye koster det å asfaltere rullebanen når asfalten koster 550 kr per kvadratmeter? Oslo Lufthavn Gardermoen bygges ut til å tåle 28 millioner passasjerer i året. Ny flyplass skal stå ferdig i 2017.

I et parallellogram er de motstående sidene parallelle. Vi finner omkretsen av et parallellogram ved å legge sammen alle sidene. O = 2 4 cm + 2 3 cm = 14 cm

2 cm

3 cm

Geometri

Parallellogram

4 cm

Hvis vi klipper ut det ene hjørnet av et parallellogram og plasserer det på den andre siden, får vi et rektangel.

2 cm

4 cm

2 cm

3 cm 4 cm

Grunnlinjen i parallellogrammet er like lang som lengden av rektangelet. Høyden i parallellogrammet er like lang som bredden i rektangelet. Vi finner derfor arealet av parallellogrammet ved å multiplisere grunnlinjen med høyden. A = 4 cm 2 cm = 8 cm2 Regel

Vi finner omkretsen O av et parallellogram ved å summere alle sidene. O = 2l + 2b Vi finner arealet A av et parallellogram ved å multiplisere grunnlinjen med høyden. A = g h

Geometri

Eksempel 3:3

Regn ut omkretsen og arealet av parallellogrammet.

5 cm

4 cm

Husk! Høyden står alltid vinkelrett på grunnlinjen. 6 cm

Løsning Omkrets: O = 2 6 cm + 2 5 cm O = 12 cm + 10 cm O = 22 cm

Areal: A = g h A = 6 cm 4 cm A = 24 cm2

Oppgaver 3.10 Regn ut omkretsen og arealet av parallellogrammene. a)

4 cm

3 cm

8 cm

70 mm

5 cm

1 dm

Geometri

3.11 Et parallellogram har sider på 10 cm og 6 cm. Avstanden mellom de to lengste sidene er 5 cm. a) Tegn parallellogrammet. b) Regn ut omkretsen. c) Regn ut arealet. 3.12 Et parallellogram der alle sidene er like lange, kaller vi en rombe. a) Tegn en rombe ABCD der sidene AB og AD er 8 cm og avstanden (h) mellom sidene er 6 cm. b) Regn ut omkretsen. c) Regn ut arealet.

Omkretsen av et rektangel skal være 48 m. Hva er det største arealet et slikt rektangel kan ha?

Trekanter Hvis vi setter sammen to like trekanter, får vi et parallellogram.

h g

Grunnlinjen til parallellogrammet er den samme som grunnlinjen til trekanten. Det samme gjelder for høyden. Arealet A av parallellogrammet er: A = g h

Husk! Høyden står alltid vinkelrett på grunnlinjen.

Da må arealet A av trekanten være: A=

g h 2

Geometri

Regel

Vi finner omkretsen O av en trekant ved å summere alle sidene. O = AB + BC + CA

Vi finner arealet A av en trekant ved å multiplisere grunnlinjen med høyden og dividere på 2. A A=

g h 2

Eksempel 3:4

Regn ut omkretsen og arealet av trekanten.

5,0 cm 3,0 cm

3,6 cm

6,0 cm

Løsning Omkrets: O = 6,0 cm + 3,6 cm + 5,0 cm O = 14,6 cm

Areal:

g h 2

6,0 cm 3,0 cm 18,0 cm2 = 9,0 cm2 = 2 2

Geometri

Oppgaver 3.13 Regn ut omkretsen og arealet av trekantene. a) c)

5 cm

4 cm

6,7 cm 4,5 cm

4,7 cm

6,5 cm

3 cm

6,0 cm 7 cm

7 cm

6 cm

5,0 cm 4,0 cm

7,5 cm

7 cm

3.14 Regn ut arealet av a) parallellogrammet b) trekantene ABD og BCD D

4 cm

8 cm

Kan en likesidet trekant ogsĂĽ vĂŚre likebeint eller rettvinklet? Forklar!

Geometri

3.15 Regn ut arealet av seilene. 6m

3.16 Alle rektanglene nedenfor er like store og med sidene a og b. Hvilken påstand er riktig? Begrunn svaret.

b A

A B C D E F

Trekant A har størst areal. Trekant B har størst areal. Trekant C har størst areal. Trekant D har størst areal. Trekantene har like stort areal. Vi kan ikke bestemme hvilken trekant som har størst areal.

Geometri

Trapes

2 cm

Et trapes er en firkant der bare to av sidene er parallelle. Sidene a og b er parallelle, og h står vinkelrett på disse sidene. 3 cm

3 cm

Vi finner omkretsen av et trapes ved å summere alle sidene. 4 cm

O = 4 cm + 3 cm + 2 cm + 3 cm = 12 cm

Alle trapeser kan deles opp i to trekanter der høydene er like store. b

Arealet av trekantene blir a h b h og 2 2 Hvis vi summerer arealet av de to trekantene, får vi arealet A av trapeset. A=

a h b h ða + bÞ h + = 2 2 2

Regel

Vi finner omkretsen O av et trapes ved å summere alle sidene. b

O = AB + BC + CD + DA Aealet A av et trapes er: A=

ða + bÞ h 2

Geometri

Eksempel 3:5

Regn ut omkretsen O og arealet A av trapeset ABCD. D

4 cm

3 cm

3,5 cm

8,5 cm

Løsning Omkrets: O = 8,5 cm + 3,5 cm + 4 cm + 4 cm = 20 cm Arealet: A=

ð8,5 cm + 4 cmÞ 3 cm 12,5 cm 3 cm 37,5 cm2 = 18,75 cm2 = = 2 2 2

Når linjestykket AB er parallelt med linjestykket CD, skriver vi AB||CD.

Oppgaver 3.17 Regn ut omkretsen og arealet av trapesene. a) D

5 cm

4 cm

5 cm

10 cm

5 cm

4 cm

Geometri

4,5 cm

6 cm

c) 4,5 cm

3,5 cm

4,5 cm

6 cm

2,5 cm

3.18 Finn arealet av eiendommene og sorter dem etter stĂ¸rrelse. Start med det minste fĂ¸rst. 24 m

32 m

10 m

3 4m

33 m

6 18 m

10 m

24 m 2

30 m

12 m

15 m

Geometri

Omkrets og areal av en sirkel Omkretsen er d, men hvordan kan jeg finne arealet av sirkelen?

r d sentrum

Hvordan kan vi beregne arealet av en sirkel? I figuren til høyre har vi tegnet et rødt kvadrat inne i sirkelen og et lilla kvadrat utenfor sirkelen. Arealet av det lilla kvadratet er større enn arealet av sirkelen. Arealet av det røde kvadratet er mindre enn arealet av sirkelen. Arealet av det lilla kvadratet blir 2r 2r = 4r 2 Arealet av det røde kvadratet blir 2r r 2r r + = r 2 + r 2 = 2r 2 2 2 Arealet av sirkelen må da ligge mellom 2r 2 og 4r 2 : Nøyaktige beregninger har vist at arealet A av en sirkel er A=

der

3,14

r 2r

Omkretsen O av en sirkel er

diameter

Husk! uttales «pi».

Geometri

Regel

r d

Arealet A av en sirkel er A=

radius radius

Eksempel 3:6

Regn ut omkretsen og arealet av sirkelen.

r = 5 cm d = 10 cm

Husk! d r = og d = 2 r 2 Løsning Omkrets: O = d O = 3,14 10 cm O = 31,4 cm

Areal: A = r2 A = 3,14 5 cm 5 cm A = 78,5 cm2

Geometri

Oppgaver 3.19 Regn ut omkretsen og arealet av sirklene. a) c) r = 3 cm d = 6 cm

d) r = 1 cm

r = 5 cm

Hvor stort er det største området du kan avgrense med 100 m gjerde?

3.20 Regn ut omkretsen og arealet av sirkelen når a) radien er 4 cm b) diameteren er 6 m c) diameteren er 25 cm d) radien er 2,5 mm e) radien er 12,5 dm f ) diameteren er 44,4 km 3.21 Sara skal steke pannekaker med diameter på 30 cm. Hvor stort areal har en slik pannekake?

d = 4 cm

Geometri

3.22 Den gamle Olympiastadion i Aten fra 1896 består av et rektangel og én halvsirkel. a) Hvor stor er omkretsen til stadion? b) Hva er arealet til stadion?

140 m r = 18 m

Tegning av Olympiastadion i Aten, 1896

3.23 Hvor stort er arealet av det gule området på figuren? 7,5 m

3.24 Hvor stort er arealet av sirkelsektorene? b) a)

c) d = 4 cm

d = 4 cm

3.25 Finn omkretsen av sirkelsektorene i oppgave 3.24. 3.26 Lotte driver med luftgeværskyting. Hun lurer på hvor stort areal de ulike feltene i blinken har.

10 cm

2,5 cm

5 cm

Geometri

Pytagoras-setningen Det må finnes en lur måte å regne ut sidene i en rettvinklet trekant på ...

Får vi alltid en rettvinklet trekant når vi legger tauet slik? I trekanten nedenfor er C = 90 . En trekant der én av vinklene er 90 , kaller vi en rettvinklet trekant. Den lengste siden ligger C alltid overfor den rette vinkelen. Den kaller vi hypotenus. katet De to andre sidene kaller vi kateter. A

katet

hypotenus

Pytagoras var en gresk matematiker og filosof som levde for omtrent 2500 år siden. Han har fått æren for læresetningen som viser sammenhengen mellom katetene og hypotenusen i en rettvinklet trekant.

Portrett av Pytagoras basert på en detalj fra Rafaels maleri «Skolen i Aten».

Geometri

Trekanten til høyre er en rettvinklet trekant med sidene 3 cm, 4 cm og 5 cm. Inntil hver side er det tegnet et kvadrat.

B A

Kvadratene har disse arealene: A A = 3 cm 3 cm = 9 cm2 B A = 4 cm 4 cm = 16 cm2 C A = 5 cm 5 cm = 25 cm2 Hvis vi summerer arealene til kvadratene på katetene, får vi

4 cm

3 cm 5 cm

9 cm2 + 16 cm2 = 25 cm2 Pytagoras oppdaget at denne summen var lik arealet av kvadratet på hypotenusen. Vi får da denne likningen, som vi kaller Pytagoras-setningen: katet 2 + katet 2 = hypotenus2 Vi skal nå se hvordan vi kan bruke denne setningen til å regne ut lengden av en ukjent katet eller hypotenusen i en rettvinklet trekant.

Beregning av hypotenusen I trekanten nedenfor er katetene kjent, mens hypotenusen er ukjent.

Hypotenusen i en rettvinklet trekant ligger alltid rett overfor den rette vinkelen.

hypotenus 12 cm

9 cm

Geometri

Vi finner hypotenusen ved å sette inn lengdene på katetene i Pytagorassetningen og regne ut som likning. Vi kaller den ukjente for x. katet 2 + katet 2 = hypotenus2 92 + 122 = x 2 81 + 144 = x 2 225 = x 2 pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 225 = x 2

Vi regner ut kvadratroten på begge sider

15 = x x = 15 Lengden av hypotenusen er 15 cm. Regel

Vi finner hypotenusen i en rettvinklet trekant ved hjelp av denne formelen: katet 2 + katet 2 = hypotenus2

Eksempel 3:7

Regn ut hypotenusen. Løsning katet 2 + katet 2 = hypotenus2 42 + 52 = x 2

x cm

5 cm

16 + 25 = x 2 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 41 = x 2 6,40 x x 6,40 Hypotenusen er 6,4 cm.

4 cm

3.27 Regn ut hypotenusen. a)

Geometri

Oppgaver

6 cm

5 cm

8 cm

4 cm

På hvilke måter kan du finne ut om en trekant med sider på 8, 15 og 17 er rettvinklet?

3.28 Hanna maler en vegg. Hvor lang må stigen være for å rekke helt opp?

Geometri

3.29 Hvor lange er diagonalene i rektanglene? b) c) a)

4,5 cm

5 km 6m 5,5 cm

4 km 2m

3.30 Snekker Andersen skal bygge et hus. Hvor lang må diagonalen være for at hjørnet skal bli rett (90 )?

6,5 m

8,5 m

Beregning av katetene I trekanten nedenfor er hypotenusen og den ene kateten kjent. For å finne den ukjente kateten, setter vi inn de kjente lengdene i Pytagorassetningen og regner ut som likning. Vi kaller den ukjente kateten for x.

8 cm

6,4 cm

x cm

Geometri

katet 2 + katet 2 = hypotenus2 x 2 + 6,42 = 82 x 2 + 40,96 = 64 x 2 + 40,96 -- 40,96 = 64 -- 40,96

Vi trekker fra 40,96 på begge sider

x = 23,04 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 23,04

Vi regner ut kvadratroten på begge sider

x = 4,8 Lengden av den ukjente kateten er 4,8 cm.

Regel

Vi finner den ukjente kateten i en rettvinklet trekant ved hjelp av formelen: katet 2 + katet 2 = hypotenus2 Eksempel 3:8

Regn ut den ukjente kateten. katet 2 + katet 2 = hypotenus2 x 2 + 72 = 102 x 2 + 49 = 100

10 cm

x 2 + 49 -- 49 = 100 -- 49 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x 2 = 51 x 7,1

Den ukjente kateten er 7,1 cm.

x cm

7 cm

Geometri

Oppgaver 3.31 Regn ut den ukjente kateten. a)

5 cm

12 cm

4 cm 6 cm

17 cm

8,5 cm

15 cm 5,5 cm

3.32 Hvor lang er den ukjente siden i rektanglene? a) b)

12 km

8 km 5m

2 cm

Geometri

3.33 Regn ut arealet av de rettvinklete trekantene. a) c)

5 cm

4 cm 5 cm

7 cm

12 cm

4 cm

8,5 cm

3.34 Verdens største pyramide, Keopspyramiden, ble bygd i Egypt i år 2625 før vanlig tidsregning. Den er ca. 147 m høy, og siden i grunnflaten er ca. 230 m. a) Omtrent hvor stort areal har hver av sideflatene i pyramiden? b) Pyramiden har fire sideflater. Omtrent hvor stort er arealet av disse til sammen? Keopspyramiden med sfinksen i forgrunnen

Geometri

Konstruksjon og beregninger Jippi, jeg klarte det!

Hvordan kan vi regne ut arealet til figuren?

Hva m책 vi kunne for 책 konstruere en figur? Hvordan kan vi beregne omkretsen eller arealet til en figur vi har konstruert? For 책 kunne konstruere en figur, m책 vi kjenne til de ulike vinkelkonstruksjonene. Ved konstruksjon av mangekanter kombinerer vi ofte flere vinkelkonstruksjoner. Normal i et punkt (90 )

Nedfelle en normal (90 )

Konstruere 60

Halvere en vinkel

Konstruer 4ABC når

A = 30 , AC = 6,0 cm og

C = 90 .

Geometri

Eksempel 3:9

Løsning C

Hjelpefigur: 6,0 cm 30° A

Konstruksjon:

Forklaring: 1. Tegnet en linje og markerte et punkt A på linjen. 2. Konstruerte A = 30 . 3. Avsatte linjestykket AC = 6,0 cm. 4. Konstruerte 90 i C. 5. Vinkelbeina til A og C skjærer hverandre i B.

Oppgaver 3.35 Konstruer vinklene. b) 60 a) 90

c) 45

d) 30

3.36 Konstruer vinklene. b) 22,5 a) 15

c) 75

d) 112,5

Geometri

3.37 Tegn av hjelpefigurene og konstruer trekantene. Skriv forklaring til konstruksjonene. a) c) C

45° A

45° 10 cm

30°

8 cm

d) C

C 8 cm

52,5° 9,5 cm 60°

60° A

Undersøk hva som skjer hvis du konstruerer midtnormaler på alle sidene i en trekant.

3.38 En rettvinklet 4ABC har disse målene: A = 90 , AC = 6,5 cm og C = 60 . a) Tegn hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring til konstruksjonen. 3.39 En 4ABC har disse målene: A = 45 , AC = 8,5 cm og C = 45 . a) Tegn hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring til konstruksjonen. d) Hvor stor er B?

Husk! Tegn hjelpefigur når du konstruerer.

Geometri

For å kunne beregne omkretsen eller arealet av en figur må vi kjenne lengden på bestemte sider. Disse lengdene kan vi blant annet beregne ved hjelp av Pytagoras-setningen. Eksempel 3:10

I trapeset ABCD er AB || CD, AB = 8,0 cm, BC = 4,0 cm, CD = 6,0 cm og B = 90 . a) Konstruer trapeset. b) Regn ut lengden av diagonalen AC. c) Regn ut arealet av trapeset. Løsning a) D

Hjelpefigur:

6,0 cm

4,0 cm A

8,0 cm

Konstruksjon:

Forklaring: 1. Tegnet linjestykket AB = 8,0 cm. 2. Konstruerte B = 90 . 3. Avsatte C 4,0 cm fra B på høyre vinkelbein til B. 4. Konstruerte 90 i C. 5. Avsatte D 6,0 cm fra C på høyre vinkelbein til C. 6. Trakk linjestykket AD og diagonalen AC.

Geometri

b) Bruker Pytagoras-setningen for å finne AC. AC er x cm. AB2 + BC 2 = AC 2 8,02 + 4,02 = x 2 80 = x 2 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 80 = x 2 8,9 x Diagonalen AC er 8,9 cm.

c) Arealet av trapeset er: A=

ða + bÞ h 2

ð8,0 cm + 6,0 cmÞ 4,0 cm 14,0 cm 4,0 cm 56,0 cm2 = 28,0 cm2 = = 2 2 2

3.40 Konstruer en rettvinklet trekant der de to katetene er 5 cm og 7 cm. Regn ut a) lengden på hypotenusen b) omkretsen av trekanten c) arealet av trekanten 3.41 Konstruer en rettvinklet trekant der den ene kateten er 6,0 cm og hypotenusen er 9,0 cm. Regn ut a) lengden av den ukjente kateten b) omkretsen av trekanten c) arealet av trekanten 3.42 Konstruer 4ABC der A = 90 , AB = 8,0 cm og AC = 4,0 cm. Regn ut a) lengden av BC b) arealet av trekanten

100

Geometri

3.43 Konstruer en trekant ABC der alle sidene er 7 cm. a) Hva kaller vi en slik trekant? b) Regn ut omkretsen av trekanten. c) Regn ut arealet av trekanten. 3.44 I en firkant ABCD er A = 90 , AD = 8,0 cm og AB = 4,5 cm. BDC = DBC = 45 . a) Tegn hjelpefigur og konstruer firkanten. b) Hvor lang er BD? c) Hvor stor er C? d) Hvor lange er BC og CD? e) Regn ut arealet av firkanten. 3.45 Konstruer en firkant ABCD der AB = 9,0 cm, og AD = CD = 5 cm:

B = 60 ,

ACB = 90

Brokonstruksjoner av Leonardo da Vinci. P책 tegningen har han skrevet med speilskrift.

101

Geometri

102

Geometri i natur og kunst

Geometri

Naturen har sine egne storslåtte mønstre og byggverk. Disse mønstrene og byggverkene har alltid vært inspirasjonskilder for kunstnere og arkitekter. Hva slags geometriske mønstre finner du på bildene?

103

Geometri

Opp gjennom historien har noen former og geometriske mønstre vært mer brukt enn andre. Dette er eksempler på regulære mangekanter som er mye brukt.

I en regulær mangekant er sidene like lange.

Hvis vi skal kunne lage et mønster av mangekanter, må vinkelsummen der hjørnene møtes, bli 360 .

Et mønster som er bygd opp av én type regulære mangekanter, kalles et regulært mønster.

360°

Et mønster som er bygd opp av flere typer regulære mangekanter, kalles et semiregulært mønster. 360°

104

3.46 Tegn av og gjør ferdig det regulære mønsteret av likesidete trekanter.

Geometri

Oppgaver

3.47 Lag et regulært mønster ved hjelp av a) firkanter b) sekskanter

3.48 Tegn av og gjør ferdig det semiregulære mønsteret.

Hvis du bruker tegnefunksjonen i Word til å lage regulære figurer, holder du shift-knappen nede mens du lager figurene. Da blir de regulære!

3.49 Tegn fire regulære firkanter inntil hverandre. Hva blir vinkelsummen der hvor de fire hjørnene møtes?

105

Geometri

3.50 a) Tegn tre regulære sekskanter inntil hverandre. Hva blir vinkelsummen der hvor de tre hjørnene møtes? b) Tegn tre regulære femkanter inntil hverandre. Hva blir vinkelsummen der hvor de tre hjørnene møtes? c) Går det an å dekke et plant område med bare femkanter? Forklar.

3.51 Å tessellere betyr å dekke et plant område med identiske figurer, som for eksempel å flislegge et gulv. Hvilke regulære figurer kan du tessellere med?

3.52 Ved å ta utgangspunkt i en regulær figur, «klippe ut» og flytte på deler av rektangelet går det an å lage spennende mønster. Mønsteret nedenfor er laget på grunnlag av et kvadrat med inspirasjon fra lønnebladet:

Lag ditt eget mønster ved å «gjøre om» på en regulær figur og sette sammen figurene.

106

Geometri

Det gylne snitt og det gylne rektangel

Hvorfor har mange bygninger denne geometriske formen? Forholdet mellom lengden og hĂ¸yden pĂĽ Nidarosdomen i Trondheim er ca. 1,618. Dette forholdet kalles det gylne snitt. Et rektangel som har dette forholdet mellom sidene, kalles et gyllent rektangel. Vi finner forholdet mellom to sider i et rektangel ved ĂĽ dividere den lengste siden med den korteste.

2,40 cm

3,88 cm

3,88 cm : 2,40 cm 1,62

107

Geometri

Et linjestykke kan også være delt i et gyllent snitt ved at den lengste delen dividert på den korteste delen er 1,618.

Forholdet mellom knivbladet og skaftet er 1,618.

Oppgaver 3.53 a) Se på rektanglene nedenfor. Hvilket av rektanglene tror du er et gyllent rektangel? A

b) Mål sidene i rektanglene og regn ut forholdet mellom den lengste siden og den korteste siden. Hvilket av rektanglene er et gyllent rektangel?

108

Jeg tror det må være ...

Gjenstand

Geometri

3.54 Regn ut forholdet mellom den lengste siden og den korteste siden. Sett resultatene inn i en tabell og finn hvilke av bildene som er gylne rektangler.

Lengde

Bredde

Lengde : bredde

Flagg

Fakto r

8 Bokm 책l

Fakto

Grun nbok

Espen Jan-E Hjardar rik P eder sen

Grun

nbok

Mate

mati

kk fo

r ung

dom

strin

net

Bokm

책l

109

Geometri

Familien til Hanna skal plante et tre nøyaktig midt i den rektangelformede hagen sin. Hvordan kan de finne dette punktet uten å måle opp?

3.55 Noen påstår at kroppslengden dividert med lengden fra navlen ned til gulvet er et gyllent snitt. Stemmer det?

3.56 En fotballbane er 62 m bred. Hvor lang må banen være for å være et gyllent rektangel?

105 m

110

Mål

Hjørneflagg

Straffesparkfeltet

Målfeltet Mållinje

Midtlinje Sidelinje

Straffesparkmerket

r = 9,15 m

40,32 m

r = 9,15 m

18,32 m 11 m

7,32 m

16,5 m

3.57 Er gressmatta på Ullevaal stadion et gyllent rektangel?

68 m

Geometri

Parthenon-templet i Aten

3.58 Bruk en linjal og mĂĽl lengden og hĂ¸yden. Regn ut forholdet mellom den lengste og den korteste siden, og finn ut om forholdet er et gyllent snitt. a) Parthenon-templet b) Taj Mahal Taj Mahal er et mausoleum i byen Agra i India.

3.59 Finn andre eksempler pĂĽ ting som er delt i det gylne snitt.

111

Geometri

Pentagonen og det gylne triangel Vi kan finne igjen pentagonen i natur og arkitektur.

En pentagon er en regulær femkant. Se på pentagonen til høyre. Dersom vi trekker to diagonaler fra for eksempel A og B til C, får vi en likebeint trekant ABC. Denne trekanten er et gyllent triangel. Trekanten kalles gyllen fordi forholdet mellom hver av de lengste sidene og den korte siden er

AC = 1,618 AB Oppgaver 3.60 Tegn et gyllent triangel med grunnlinje 5,0 cm. 3.61 Knytt en knute på en papirstrimmel. Hvilken geometrisk form får du? D

3.62 Mål noen lengder i pentagonen til høyre og se om du finner flere gylne snitt mellom lengdene.

112

Regn ut vinklene i disse regulære mangekantene. a

c d

Geometri

Prøv deg selv

Omtrent hvor stort er arealet av øya når hvert kvadrat er 1 km2 ?

Regn ut omkretsen og arealet av rektangelet.

2,5 cm

4,5 cm

Regn ut omkretsen og arealet av parallellogrammet.

2,0 cm

2,5 cm

3,0 cm

113

Geometri

Regn ut omkretsen og arealet av trekanten.

15 cm

9 cm 10 cm

7,6 cm

Regn ut omkretsen og arealet av trapeset. 1,5 cm 3,6 cm 1,6 cm 5 cm

Regn ut omkretsen og arealet av sirklene. a) b)

d = 3,5 cm

114

a) Hvor stor er diameteren p책 CD-platen n책r omkretsen er 37,68 cm?

r = 2,5 cm

Geometri

b) Hvor stor er diameteren p책 klokkeskiven n책r omkretsen er 7,85 cm?

Regn ut arealet av figurene. a)

b) 4 cm

4 cm 2 cm

4 cm

4 cm 1,3 cm

4 cm

Bruk Pytagoras-setningen til 책 regne ut den ukjente siden i disse rettvinklete trekantene. a) b) C A

9 dm

12 dm

B 18 cm

24 cm

115

Geometri

Bruk Pytagoras-setningen til å regne ut den ukjente siden i disse rettvinklete trekantene. a) b) C

6 cm

5 cm

8 cm 9 cm

En 4ABC har disse målene: AB = 6,5 cm, AC = 8,0 cm og B = 90 . a) Tegn hjelpefigur. b) Konstruer trekanten. c) Skriv forklaring. d) Regn ut BC.

a) Konstruer en firkant ABCD der A = 90 , AB = 9,0 cm, ABD = 45 , BDC = 90 og BC = 14 cm. b) Hvor lang er AD? c) Regn ut BD og DC. d) Regn ut arealet til firkanten ABCD.

Bruk en linjal og mål lengden og høyden på Slottet i Oslo. a) Regn ut forholdet mellom den lengste og den korteste siden. b) Er forholdet et gyllent snitt?

Det Kongelige Slott i Oslo

116

Simen og Lotte skal lage et kaninbur i hagen. De har 20 m netting. a) Hvordan bør kaninburet se ut for at kaninene skal få størst mulig areal? b) Hvor stort areal kan kaninene få?

Et rektangel har arealet 40 cm2 . Den ene siden er 5 cm lang. Hvor stor er omkretsen til rektangelet?

Fire planker som alle har lengden 40 cm og bredden 5 cm, legges som vist på figuren. Hvor stort blir arealet av området innenfor plankene?

På figuren nedenfor er AB = BC og v = 130 . Hvor stor er C? C

Geometri

Noe å lure på

5 cm

40 cm

v A

117

Geometri

Hvor stor er høyden i den rettvinklete trekanten?

4 cm

3 cm h 5 cm

Flaggstangen utenfor skolen var 7 m høy. Under en storm brakk den. Hvor høyt over bakken brakk flaggstangen?

I år 250 før vanlig tidssregning regnet den greske oppfinneren og matematikeren Arkimedes ut med tre desimaler. Han brukte en regulær mangekant med 96 sider. Hvor store er vinklene i Arkimedes' regulære 96-kant?

Arkimedes (287–212 før vanlig tidsregning)

118

Geometri

Oppsummering Vinkelsummen i mangekanter Vi kan finne vinkelsummen i mangekanter ved å dele disse inn i trekanter. Vinkelsummen i femkanten er 3 180 = 540 .

Regulær mangekant I en regulær mangekant er alle vinklene like store og alle sidene like lange.

Omkrets og areal av mangekanter Vi finner omkretsen av en mangekant ved å summere alle sidene. Vi finner arealet av en mangekant ved å bruke formlene som er vist nedenfor: Rektangel

A = l b

Parallellogram A = g h

h g

Trapes ða + bÞ h A= 2

Trekant h

g h 2

119

Geometri

Omkrets og areal av en sirkel O = d A = r2

r d

Pytagoras-setningen De to korteste sidene i en rettvinklet trekant kalles kateter. Den lengste siden kalles hypotenus.

hypotenus

katet

Pytagoras-setningen: katet 2 + katet 2 = hypotenus2

Vi finner hypotenusen:

katet

Vi finner den ukjente kateten:

15 cm

x cm x cm

12 cm

9 cm

92 + 122 = x 2

92 + x 2 = 152

81 + 144 = x 2

81 + x 2 = 225

225 = x 2 pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 225 = x 2 15 = x x = 15

120

9 cm

81 -- 81 + x 2 = 225 -- 81 x 2 = 144 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 = 144 x = 12

Når vi skal konstruere mangekanter, kan vi få bruk for disse konstruksjonene: Konstruksjon av 90

Halvering av en vinkel

Konstruksjon av 60

Nedfelling av en normal fra et punkt til en linje

Geometri

Konstruksjon

Midtnormal

Figurer og mønstre Et regulært mønster består av regulære mangekanter.

Et semiregulært mønster består av to eller flere regulære mangekanter.

Det gylne snitt og det gylne rektangel Det gylne snitt deler en lengde i forholdet 1,618. I et gyllent rektangel er forholdet mellom den lengste siden og den korteste siden 1,618. 3,18 cm

5,15 cm : 3,18 cm 1,62 5,15 cm

121

LYKKEHJUL

Jeg vil ikke spille på nr. 13!

Lykketallet mitt er 7!

Jo flere ganger jeg kaster, jo større er sjansen for å få en 6-er!

4 Er det virkelig 50 % sjanse for å vinne?

Statistikk og sannsynlighets-

regning

Statistikk og sannsynlighetsregning er noe vi møter hver eneste dag. Statistikk blir brukt for eksempel ved valg, undersøkelser og planlegging av ulike prosjekter. Sannsynlighet møter vi i forbindelse med ulike spill, for eksempel tipping, lotto, terningspill og kortspill.

Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . . . .

presentasjon av data i tabeller og diagrammer vurdering av diagrammer median, typetall, gjennomsnitt og variasjonsbredde kildekritikk sannsynlighet og sannsynlighetsregning sannsynlighet som brøk, desimaltall og prosent

... om jeg bare kunne mer om sannsynlighet!

Statistikk og sannsynlighetsregning

Relativ frekvens Hvem vil være med på skirenn?

Frekvensen av «Nei», er 3.

Hva mener vi med frekvens? Frekvens betyr hvor mange ganger en bestemt observasjon forekommer. Da Simen og Lotte undersøkte hvor mange som ville være med på skirenn, fordelte svarene seg slik i en frekvenstabell: Svar

Frekvens

Nei

Vet ikke

Sum

Frekvensen av «Ja» er 15. Det vil si at 15 av 24 svarte «Ja». Vi finner den relative frekvensen ved å dividere frekvensen til den enkelte observasjonen med summen av frekvensene. Den relative frekvensen til «Ja» blir da: 15 = 0,625 24

124

Svar

Frekvens

Relativ frekvens

15 24

= 0,625

Nei

3 24

= 0,125

Vet ikke

6 24

= 0,25

Sum

Legg merke til at summen av de relative frekvensene alltid blir 1.

Statistikk og sannsynlighetsregning

Vi kan sette opp de relative frekvensene for de andre svaralternativene på tilsvarende måte i en frekvenstabell.

Regel

Frekvens betyr hvor mange ganger en bestemt observasjon forekommer. Relativ frekvens er den enkelte frekvensen dividert på summen av alle frekvensene. Eksempel 4:1

Martin fikk disse fiskene på en fisketur: 4 abborer, 3 gjedder, 2 brasmer og 1 ål. Vis frekvens og relativ frekvens i en frekvenstabell.

125

Statistikk og sannsynlighetsregning

Løsning

Fiskeslag

Frekvens

Relativ frekvens

Abbor

4 10

= 0,4

Gjedde

3 10

= 0,3

Brasme

2 10

= 0,2

Ål

1 10

= 0,1

Sum

Oppgaver 4.1

Hanna undersøkte hvor mange elever i klassen som har husdyr. Vis den relative frekvensen av svarene i en frekvenstabell.

4.2

Frekvens

Nei

Gjør ferdig frekvenstabellen. Næringsinnhold

Frekvens

Protein

Karbohydrater

Fettsyrer

Fett

Kostfiber

Natrium

Sum

126

Svar

100

Relativ frekvens 28 100

= 0,28

Hanna har talt ulike tresorter på en liten øy. Her ser du resultatet av tellingen: Tresort

Sett dataene inn i en frekvenstabell som viser frekvens og relativ frekvens.

4.4

Antall

Furu

Gran

Bjørk

Ask

Eik

Andre sorter

Statistikk og sannsynlighetsregning

4.3

En zoolog gjorde følgende registreringer av rovdyr i et fylke i Norge: mår, jerv, bjørn, gaupe, jerv, mår, ulv, bjørn, gaupe, jerv, ulv, gaupe, gaupe, jerv, jerv, bjørn, gaupe, mår, bjørn, gaupe a) Sett de ulike rovdyrene inn i en frekvenstabell som viser frekvens og relativ frekvens. b) Lag et stolpediagram.

Ulven har mange navn. Det latinske navnet er Canis lupus.

127

Statistikk og sannsynlighetsregning

Relativ frekvens og prosent Vi kan skrive den relative frekvensen som prosent.

Hvor mange kommer på klassefesten?

Sara og Simen skal arrangere klassefest. 15 av 24 elever kommer på festen. Vi skriver: 15 = 24

0,625

Brøk Desimaltall

= 62,5 % Prosent

15 av 24 elever er 62,5 %. Eksempel 4:2

I sangkoret Sølvstrupen er 12 av 30 medlemmer jenter. Hvor stor er den relative frekvensen av jenter i prosent? Løsning 12 = 0,4 = 40 % 30

Det er 40 % jenter.

128

15 har svart ja. Hvor mange prosent er det?

4.5

Herman undersøker hvor mange elever som vil være med på en overnattingstur. Her ser du resultatet av undersøkelsen: Svar

Frekvens

Nei

Vet ikke

Sum

Regn ut de relative frekvensene på brøkform og som prosent og skriv resultatet inn i en frekvenstabell. 4.6

Statistikk og sannsynlighetsregning

Oppgaver

På en test i engelsk fikk elevene disse karakterene: 2 3 2 5

5 5 3 4

3 3 4 5

6 3 4 6

2 4 4

To be or not to be ... a) Sett karakterene inn i en frekvenstabell som viser frekvens og relativ frekvens. b) Vis den relative frekvensen som prosent. 4.7

Herman registrerte biler som passerte huset hans mellom kl. 13.00 og kl. 14.00. Bilmerke

Antall

Volvo

BMW

Ford

Mercedes

Toyota

Tesla

Andre bilmerker

Regn ut den relative frekvensen som desimaltall og brøk i den samme frekvenstabellen.

129

Statistikk og sannsynlighetsregning

Sektordiagram

Nei 9 stk. 37,5 %

Vi har undersøkt om klassen vil dra på sykkeltur.

Her ser dere resultatet av undersøkelsen!

Ja 15 stk. 62,5 %

Hva forteller diagrammet oss? Diagrammet ovenfor kalles et sektordiagram eller kakediagram. Hvert svaralternativ vises som en sirkelsektor. Hele sirkelen er 100 % eller 360 . Vi finner gradtallet til de ulike sirkelsektorene ved å multiplisere prosentandelen (den relative frekvensen) med 360 . Når alternativene er oppgitt i prosent, gjør vi om til desimaltall og finner gradtallene på denne måten: Svar (alternativ)

130

Prosent (relativ frekvens)

Desimaltall (relativ frekvens)

Gradtall til sirkelsektorene

62,5 %

0,625

0,625 360 = 225

Nei

37,5 %

0,375

0,375 360 = 135

Sum

100 %

360

Svar (alternativ)

Antall (frekvens)

Relativ frekvens

Gradtall til sirkelsektorene

15 24

= 0,625

0,625 360 = 225

Nei

9 24

= 0,375

0,375 360 = 135

Sum

360

Når vi skal lage et sektordiagram, bruker vi passer, linjal og gradskive.

130

0 20 10 30

0 10 20 30

0 180 160 17 150 140

180 170 160

10 100 90 80 70 60 20 1 1 5 130 60 70 80 90 100 110 120 0

150 140

135°

Statistikk og sannsynlighetsregning

Når alternativene er oppgitt som et antall, finner vi gradtallene på denne måten:

Nei

225°

Regel

Vi multipliserer prosenten eller den relative frekvensen med 360 for å finne gradtallene til sektorene i et sektordiagram. Eksempel 4:3

I orienteringsklubben Kompass er det 15 jenter og 10 gutter. a) Lag en frekvenstabell som viser relativ frekvens som desimaltall og i prosent, og som også viser gradtall til sirkelsektorene. b) Vis fordelingen i et sektordiagram.

131

Statistikk og sannsynlighetsregning

Løsning Antall Relativ Kjønn (alternativ) (frekvens) frekvens

Prosent

Gradtall til sirkelsektorene

Jenter

15 25

= 0,6 0,6 100 % = 60 % 0,6 360 = 216

Gutter

10 25

= 0,4 0,4 100 % = 40 % 0,4 360 = 144

Sum

100 %

360

Gutter 144° 40 % Jenter 216° 60 %

Oppgaver 4.8

132

Martin undersøkte hvor mange på fotballtreninga som er høyrebeinte eller venstrebeinte. Høyrebeinte: 15 Venstrebeinte: 5 a) Lag en frekvenstabell. b) Vis fordelingen i et sektordiagram.

Vi grupperer blod inn i fire grupper: A, B, AB og 0 (null). PĂĽ et legekontor fĂ¸rer de logg over hvilken blodtype pasientene har. Etter en uke fordelte resultatet seg slik: A 0 AB A A

0 A A A

0 0 A 0

0 A A 0

B A 0 0

A A 0 B

a) Lag en frekvenstabell. b) Lag et sektordiagram. c) Hvor mange prosent hadde blodtype A?

Statistikk og sannsynlighetsregning

4.9

4.10 Lufta inneholder 78 % nitrogen, 20,9 % oksygen, 0,9 % argon og 0,2 % andre gasser. Lag et sektordiagram som viser fordelingen av gassene.

I klassen til Lotte er det 20 elever. Femten av elevene liker pop, ti liker rock og to liker verken pop eller rock. Hvordan kan du finne ut hvor mange som liker bĂĽde pop og rock?

4.11 En norsk 20-kronemynt inneholder 81 % kobber, 10 % sink og 9 % nikkel.

9%=

9 = 0,09 100

Lag et sektordiagram som viser fordelingen av metallene i en 20-kronemynt.

133

Statistikk og sannsynlighetsregning

4.12 Utgiftene til strøm hos familien til Simen fordeler seg slik: Oppvarming 53 % Varmt vann 21 % Lys 6% Matlaging 13 % Rengjøring 7% Lag et sektordiagram som viser fordelingen. 4.13 Herman og Lotte har vært på fisketur. Her ser du hvor mye de fikk av hvert fiskeslag: Hvor mange prosent av fangsten var a) torsk og sei b) flyndre c) makrell d) Hele fangsten var på 100 kg. Hvor mange kilogram fikk de av hvert fiskeslag?

134

Flyndre 10 %

Sei 26 %

Torsk 34 % Makrell ?

Statistikk og sannsynlighetsregning

Andre diagrammer Centimeter snø 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 Januar Februar Antall elever 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Mars

Antall elever

4 Poeng

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Katt

Hund

Kjæledyr

Hva slags diagrammer er dette? Øverst ser du et linjediagram. Vi bruker linjediagram når vi vil vise forandring eller utvikling over tid. Vi markerer for eksempel timer, dager, uker eller år på førsteaksen. Diagrammet nederst til venstre viser frekvensen av antall elever som har oppnådd et visst antall poeng. Diagrammet nederst til høyre viser frekvensen av antall elever som har ulike kjæledyr. Slike diagram kaller vi for stolpe-, søyleeller kolonnediagram. Felles for disse diagrammene er at vi presenterer observasjonene på førsteaksen og frekvensene på andreaksen. Vi bruker stolper for å vise frekvensen til observasjonene.

135

Statistikk og sannsynlighetsregning

Oppgaver 4.14 I kroppsøvingstimen har noen elever straffekastkonkurranse. Her ser du resultatet av konkurransen: Navn Synne Karoline Herman Jeppe Hanna Tarik Espen 0

15 Antall mål

a) Hvor mange mål scoret elevene totalt? b) Hvem scoret flest mål? c) Hvor mange flere mål scoret Synne enn Karoline? d) Hvor mange prosent flere mål scoret Synne enn Karoline?

? 136

I en fotballkamp ble det scoret totalt 5 mål i første omgang. Kan vi illustrere resultatet i et diagram?

Statistikk og sannsynlighetsregning

Hornindalsvatnet er Europas dypeste innsjø.

4.15 Lag et stolpediagram som viser dybden på Norges dypeste innsjøer.

Innsjø

Dybde

Hornindalsvatnet

514 m

Suldalsvatnet

376 m

Tinnsjø

460 m

Mjøsa

453 m

Fyresvatn

477 m

Salsvatnet

482 m

Bandak

325 m

Øvrevatn

340 m

Vannivå

4.16 Skriv en tekst som passer til diagrammet. Sammenlikn teksten din med det de andre i gruppa di har skrevet.

4 3 2 1 0 Tid

137

Statistikk og sannsynlighetsregning

4.17 Diagrammet nedenfor viser temperaturen de første 14 dagene av mai, målt om morgenen og om ettermiddagen. Temperatur °C 25 20 15 10 5 0 –5

10 11 12 13 14

–10

Omtrent hvor stor var temperaturforskjellen den a) 3. mai b) 10. mai c) Når var temperaturforskjellen minst? 4.18 Herman og Lotte er med i skytterklubben Blink. De førte statistikk over hvor mange bom de hadde på siste trening. Antall omganger 5 Lotte Herman

4 3 2 1 0

1 2 3 4 Bom per omgang

a) Hvor mange bom hadde Herman totalt? b) Hvor mange bom hadde Lotte totalt?

138

Dato i mai

Statistikk og sannsynlighetsregning

Vindmøller i Øresund mellom København og Malmö

4.19 Verdens energiforbruk i løpet av ett år fordeler seg slik på disse energikildene: a) Lag et Energikilde Andel i prosent stolpediagram. Olje 35 % b) Lag et Kull

25 %

Gass

19 %

Kjernekraft

Vannkraft

Andre energikilder

sektordiagram.

10 %

4.20 Her ser du gjennomsnittstemperaturene for hver måned i Karasjok og Bergen i løpet av ett år. By

Jan

Karasjok

–17,1 –15,4 –10,3

Bergen

1,5

Feb

1,6

Mars

3,3

Apr

Mai

Juni

Juli

Aug

Sept

Okt

–3,1

3,8

10,1

13,1

10,7

5,3

–1,3

5,9

10,5

13,5

14,5

14,4

11,5

8,7

Nov

Des

–9,4 –15,3 4,7

2,6

a) Vis gjennomsnittstemperaturen for Karasjok og Bergen i samme linjediagram. b) I hvilken måned var temperaturforskjellen størst? c) I hvilken måned var temperaturforskjellen minst? d) Hvor mange prosent høyere var temperaturen i Bergen enn i Karasjok i juni?

139

Statistikk og sannsynlighetsregning

Kritisk bruk av diagrammer Men, økningen er jo bare på 9!

Se hvordan antall tyverier har økt i byen vår!

Antall tyverier 616 614 612 610 608 606 604 602 600 2012

2013

Hvorfor ser økningen av tyverier så stor ut? Vi må være kritiske når vi vurderer diagrammer. Særlig må vi se på hva slags skalaer som blir brukt på aksene. På diagrammet ovenfor begynner andreaksen på 600 tyverier. Hvis den hadde begynt på 0 tyverier, ville diagrammet sett slik ut: Antall tyverier 700 600 500 400 300 200 100 0 2012

2013

Begge diagrammene gir riktig matematisk informasjon, men det siste gir et riktigere bilde av økningen.

140

4.21 Gjør om diagrammene slik at de gir informasjonen på en bedre måte.

God-is er størst!

a) Prosent av markedet 34

Statistikk og sannsynlighetsregning

Oppgaver

31 God-is

Super-is

Best-is

Omsetningen er på vei mot himmelen!

Omsetning i millioner kr 1,004 1,003 1,002 1,001 1,000 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

141

Statistikk og sannsynlighetsregning

4.22 Arne S. Vindel vil selge bilfirmaet sitt. Hovedkonkurrenten er Bilbutikken. Han lager et diagram som viser hvor mange biler firmaet hans har solgt i 2014 i forhold til Bilbutikken.

Vi er de største i byen! Antall solgte biler 2014 56 55 54 53 52 51 Bilbutikken

A.S. Vindel

a) Er dette en riktig måte å framstille et slikt diagram på? Begrunn svaret. b) Lag et diagram der andreaksen starter på null. Sammenlikn de to diagrammene. 4.23 Tabellen viser hvor mange biler Arne S. Vindel solgte per år fra 2011 til 2013. Lag et linjediagram der du bruker a) 1 cm mellom enhetene på førsteaksen b) 4 cm mellom enhetene på førsteaksen c) Sammenlikn de to diagrammene.

142

År

Antall solgte biler

2011

2012

2013

Hva er typetallet? Min høyde er medianhøyden.

Hvor stor er variasjonsbredden?

Jeg er 5 cm lavere enn gjennomsnittet i gruppa vår.

Statistikk og sannsynlighetsregning

Sentralmål og variasjonsbredde

Hva mener vi med gjennomsnitt, median, typetall og variasjonsbredde? Gjennomsnitt, median og typetall er sentralmål. De viser hvor hovedtyngden, eller sentrum, av målingene (dataene) ligger. Variasjonsbredden viser hvor stor spredning det er på dataene. Variasjonsbredden er differansen mellom den største målingen og den minste målingen. Regel

Vi finner gjennomsnittsverdien ved å summere alle observasjonene og dividere på antall observasjoner. Vi bruker også navnet middelverdi for gjennomsnitt. Medianen er den midterste verdien når tallmaterialet er ordnet i stigende rekkefølge. Hvis det er to tall i midten, finner vi gjennomsnittet til disse to tallene. Typetallet er den eller de observasjonene som har den høyeste frekvensen.

143

Statistikk og sannsynlighetsregning

Regel

Variasjonsbredden er differansen mellom den største observasjonen og den minste observasjonen. Eksempel 4:4

Vi har disse fem målingene: 8m 7m 5m 5m 6m Finn a) gjennomsnittsverdien b) medianen

c) typetallet d) variasjonsbredden

Løsning a)

8m+7m+5m+5m+6m = 6,2 m 5 Gjennomsnittsverdien er 6,2 m.

b) Vi ordner tallene i stigende rekkefølge. 5m 5m 6m 7m

Medianen er 6 m. c) Observasjonen 5 m forekommer flest ganger. Typetallet er 5 m. d) Vi finner den største og den minste målingen. Største måling: 8 m Minste måling: 5 m 8m–5m=3m Variasjonsbredden er 3 m.

Oppgaver 4.24 Bestem gjennomsnittsverdien, medianen og typetallet. a) 1 1 2 3 b) 18 15 14 16 16 c) 200 300 100 300 200 300

144

3,9 0,10

4.26 Bestem typetallet. a) X Y Y b) Per Pål Ben

Z Per

Per

Z Per

X Pål

X Ben

X Kim

4.27 Lotte og Simen har undersøkt hvor mange timer elevene i deres gruppe arbeider med lekser hver dag. Svarene fordelte seg slik: 1 1 3 2 0 1 2 2 1 0 1 3 3 3 0 1 1 1 1 0 2 2 1 1 2 1

Statistikk og sannsynlighetsregning

4.25 Bestem medianen, typetallet og variasjonsbredden. a) 3 3 3 4 4 4 b) 3,5 4,4 5,5 3,8 3,7 5,0 5,7 c) 0,10 0,11 0,10 0,01 0,10 0,01 0,11

a) Hvor mange timer arbeider elevene i gjennomsnitt med leksene? b) Hva er medianen? c) Hva er typetallet? d) Regn ut variasjonsbredden. 4.28 Bestem a) 45 b) 1,78 c) –0,5

gjennomsnittsverdien og variasjonsbredden. 46 48 50 41 43 43 1,68 1,80 1,61 1,59 1,82 1,74 1,72 –1,5 0,0 –3,5 1,5 1,0 2,5 –2,0

4.29 Martin og Hanna 1,60 m 1,50 m 1,60 m 1,55 m 1,65 m 1,70 m 1,65 m 1,60 m a) b) c) d)

har målt 1,60 m 1,60 m 1,55 m 1,75 m

høyden 1,75 m 1,75 m 1,55 m 1,50 m

3,0

–1,5

til alle elevene i gruppa si: 1,60 m 1,75 m 1,75 m 1,50 m 1,70 m 1,50 m 1,75 m 1,65 m 1,50 m 1,85 m

Hva er gjennomsnittshøyden? Hva er medianen? Hva er typetallet? Hvor stor er variasjonsbredden?

145

Statistikk og sannsynlighetsregning

Å velge det beste sentralmålet De ulike sentralmålene kan gi et feil bilde hvis det er for få observasjoner, hvis resultatene er skjevt fordelt eller hvis variasjonsbredden er for stor. Det er derfor viktig å vurdere hvilket sentralmål som er det beste å bruke i hver undersøkelse. Oppgaver 4.30 Simen får 130 kr i uka i lommepenger. Han vil undersøke hvor mye han får i forhold til vennene sine ved å regne ut gjennomsnittet. Sara 100 kr Herman 100 kr Lotte 120 kr Simen 130 kr Hanna 450 kr 100 kr + 100 kr + 120 kr + 130 kr + 450 kr = 180 kr 5 a) Syns du Simen får lite lommepenger i forhold til vennene sine? Forklar. b) Hvilket sentralmål gir det beste bildet av vennenes lommepenger?

146

Finn to eksempler på hvor lang den nye slangen kan være. Regn ut de nye gjennomsnittslengdene.

4.31 En gruppe elever er på sykkeltur i Danmark. Her ser du hvor mange kroner hver elev brukte den første dagen: 20 kr 50 kr 60 kr 40 kr 30 kr 30 kr 1100 kr 40 kr 30 kr 50 kr 30 kr 20 kr 80 kr 50 kr

Statistikk og sannsynlighetsregning

I en dyrehage er det fire slanger. Lengden deres er 85 cm, 93 cm, 101 cm og 105 cm. En ny slange kommer til dyrehagen, og gjennomsnittslengden øker.

a) Regn ut gjennomsnittet, medianen og typetallet. b) Hvilket sentralmål gir det beste bildet av forbruket?

4.32 I firmaet F.U.S.K. er det 8 ansatte og 2 sjefer. Her ser du lønningene: 220 000 kr 250 000 kr

180 000 kr 200 000 kr

200 000 kr 160 000 kr

2 200 000 kr 3 200 000 kr

200 000 kr 150 000 kr

Sjefene sier at gjennomsnittslønnen i F.U.S.K. er på 696 000 kr, noe de mener er meget bra. a) Gir gjennomsnittslønnen i F.U.S.K. et riktig bilde? b) Finn medianen og typetallet til lønningene i F.U.S.K. c) Hvilket sentralmål ville du valgt? Forklar.

147

Statistikk og sannsynlighetsregning

Antall mulige utfall

Meny Forrett: Salat Hovedrett: Laks Biff Vegetar Dessert: Is Frukt

Hvor mange ulike menykombinasjoner kan hun velge mellom? I sannsynlighetsregning snakker vi om antall mulige kombinasjoner eller antall mulige utfall. Ovenfor ser du at en forrett kan kombineres med tre hovedretter og to desserter. Hvis vi vil finne ut hvor mange ulike menykombinasjoner som finnes, kan vi tegne et valgtre som viser alle de mulige utfallene. Salat

Vegetar

Biﬀ

Frukt

Laks

Frukt

Vi finner antall mulige utfall ved å telle de nederste «greinene» på treet. Det er 6 mulige utfall til sammen. Vi kunne også ha funnet de ulike utfallene ved hjelp av multiplikasjon: 1 forrett 3 hovedretter 2 desserter = 6 mulige utfall

148

Vi finner antall mulige utfall ved å multiplisere antall muligheter med hverandre. Eksempel 4:5

Hvor mange mulige veier kan Martin velge til skolen?

Statistikk og sannsynlighetsregning

Regel

Løsning Første strekning gir tre veier, andre strekning gir én vei, og tredje strekning gir fire veier. Antall mulige veier blir: 3 1 4 = 12

Oppgaver 4.33 Lotte kan velge mellom fire veier hjemmefra til butikken og tre veier videre til farfaren sin. Hvor mange ulike veier kan hun gå for å komme til farfaren sin?

149

Statistikk og sannsynlighetsregning

4.34 Hvor mange mulige utfall blir det hvis du kaster a) et pengestykke b) en vanlig terning 4.35 Herman og Simen kaster mynt og krone. Hvor mange mulige utfall har et kast med a) to pengestykker b) tre pengestykker c) ti pengestykker 4.36 En vanlig terning har seks sider. Hvor mange mulige utfall har et kast med a) to terninger b) tre terninger c) fire terninger

4.37 Herman skal lage en middag med tre retter. Han skal ha suppe til forrett og kan velge mellom pasta, pizza eller kjøttboller til hovedrett. Til dessert kan han velge mellom is, frukt eller sjokoladekake. a) Tegn et valgtre som viser alle mulige kombinasjoner. b) Hvor mange ulike kombinasjoner kan han velge mellom?

Martin, Herman og Simen skal dele 5 bananer. På hvor mange ulike måter kan de fordele bananene hvis hver av dem skal få minst én banan?

4.38 Et norsk bilnummer består av to bokstaver og et femsifret tall. Vi bruker ikke bokstavene Æ, Ø eller Å. Det første sifferet kan ikke være null. Hvor mange ulike bilskilt finnes det?

150

Krone!

Mynt!

Statistikk og sannsynlighetsregning

Å finne sannsynligheten

Hva er sannsynligheten for at pengestykket lander med myntsiden opp? Sannsynlighet er det samme som sjansen for at noe skal skje. Vi bruker bokstaven P for sannsynlighet. Hvis vi kaster et pengestykke opp i lufta, kan to ting skje når det lander: Pengestykket kan lande med enten kronesiden eller myntsiden opp. Vi sier at det er to mulige utfall: mynt eller krone. Siden begge utfallene er like sannsynlige, sier vi at sannsynligheten for hvert 1 utfall er . 2 Bokstaven P kommer 1 1 av probabilitas på latin, og og PðkroneÞ = PðmyntÞ = probability på engelsk. 2 2 Summen av sannsynlighetene til de ulike utfallene skal alltid bli 1. Vi oppgir sannsynlighet som brøk, desimaltall eller prosent. 1 = 2 Brøk

PðmyntÞ =

0,5 Desimaltall

50 % Prosent

151

Statistikk og sannsynlighetsregning

Gunstige utfall Hvis vi vil finne sannsynligheten for å trekke et hjerterkort ut av en kortstokk, deler vi antall gunstige utfall på antall mulige utfall. Det er 13 gunstige utfall som gir et hjerterkort, og det er 52 mulige utfall i alt. Alle utfall er like sannsynlige. Sannsynligheten for å trekke et hjerterkort blir da: 13 1 = = 0,25 = 25 % PðhjerterkortÞ = 52 4 Regel

Sannsynlighet =

antall gunstige utfall antall mulige utfall

Eksempel 4:6

Hva er sannsynligheten for å få en sekser når du kaster en vanlig terning? Oppgi svaret som a) brøk b) desimaltall c) prosent Løsning Sannsynligheten er lik for alle utfall. a) PðsekserÞ =

1 6

b) PðsekserÞ =

1 0,17 6

c) PðsekserÞ =

1 0,17 = 17 % 6

Sannsynligheten for en hendelse er alltid et tall mellom 0 og 1.

152

4.39 Hva er sannsynligheten for å få en ener når du kaster en vanlig terning? Oppgi svaret som a) brøk b) desimaltall c) prosent 4.40 Hva er sannsynligheten for å trekke sparknekt ut av en kortstokk? Oppgi svaret som a) brøk b) desimaltall c) prosent

Statistikk og sannsynlighetsregning

Oppgaver

4.41 Du kaster en vanlig terning. Hva er sannsynligheten for å få a) et oddetall b) et primtall c) en femmer eller en sekser 4.42 En kortstokk har 52 kort. Hva er sannsynligheten for å trekke a) hjerter åtte b) et ess c) et rødt kort

4.43 Det er 24 elever i en gruppe, 14 jenter og 10 gutter. Læreren vil høre en tilfeldig elev i leksa. Hva er sannsynligheten for at a) en jente blir spurt b) en gutt blir spurt c) en gutt eller en jente blir spurt

153

Statistikk og sannsynlighetsregning

Forklar hvorfor sannsynlighet kan oppgis som et tall mellom 0 og 1.

4.44 Hvor stor er sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på a) tallet 1 b) et tall større enn 7 c) et primtall

4.45 Hanna trekker kuler fra skålen uten å legge dem tilbake igjen. a) Hva er sannsynligheten for å trekke en blå kule? b) Den første kulen Hanna trekker, er blå. Hva er sannsynligheten for at den neste kulen hun trekker, er blå? c) Den andre kulen Hanna trekker, er også blå. Hva er sannsynligheten for at den tredje kulen hun trekker, er rød?

154

Mynt!

Krone!

Statistikk og sannsynlighetsregning

Å finne sannsynligheten ved flere hendelser

Hva er sannsynligheten for at begge pengestykkene lander med myntsiden opp? Når vi skal bestemme sannsynligheten for flere hendelser, kan vi bruke et trediagram (valgtre). I eksempelet ovenfor blir det kastet to pengestykker. Utfallet av det første kastet har ingen betydning for utfallet av det andre kastet. Vi sier at kastene er to uavhengige hendelser. Dette trediagrammet (valgtreet) viser de mulige utfallene: 1. kast

2. kast

krone

mynt

krone

mynt

Vi teller de nederste grenene og finner at det er fire mulige utfall. krone – krone

krone – mynt

mynt – krone

mynt – mynt

Kun én grein gir utfallet mynt–mynt. Sannsynligheten for å få begge pengestykkene til å vise mynt blir derfor: Pðmynt, myntÞ =

1 4

155

Statistikk og sannsynlighetsregning

Eksempel 4:7

Sara kaster et pengestykke tre ganger. Hva er sannsynligheten for å få a) krone alle tre gangene b) én krone og to mynt (rekkefølgen av utfallene har ingen betydning) Løsning Vi lager et trediagram (valgtre) der M står for mynt og K står for krone. a) 1. kast 2. kast 3. kast

M M

M K

K K

Vi teller de nederste greinene og finner at det er åtte mulige utfall. Hvert utfall har lik sannsynlighet. Kun ett utfall gir tre ganger krone: KKK Pðkrone, krone, kroneÞ =

1 8

b) Tre utfall gir én krone og to mynt: KMM Pðén krone og to myntÞ =

3 8

Oppgaver 4.46 Du kaster to pengestykker én gang. a) Hvilke mulige utfall blir det? Hva er sannsynligheten for å få b) krone, krone c) mynt, mynt

156

MMK MKM

Statistikk og sannsynlighetsregning

4.47 Et ektepar ønsker seg to barn. Tegn et trediagram og finn sannsynligheten for at de får én gutt og én jente. Sannsynligheten for å få gutt og jente er like stor.

4.48 Et ektepar ønsker seg tre barn. Tegn et trediagram og finn sannsynligheten for at de får minst to jenter. Sannsynligheten for å få gutt og jente er like stor. 4.49 Her ser du et uferdig trediagram for fire kast med et pengestykke. 1. kast

2. kast

3. kast 4. kast

K K

a) Tegn ferdig trediagrammet. b) Hvor mange mulige utfall er det? Hva er sannsynligheten for å få c) mynt i alle fire kastene d) to mynt og to kroner

157

Statistikk og sannsynlighetsregning

Å finne sannsynligheten ved hjelp av multiplikasjon Vi kan også finne sannsynligheten for flere hendelser ved hjelp av multiplikasjon. Hvis vi kaster to terninger, får vi følgende mulige utfall:

Hva er sannsynligheten for å få to seksere på ett kast?

1–1

2–1

3–1

4–1

5–1

6–1

1–2

2–2

3–2

4–2

5–2

6–2

1–3

2–3

3–3

4–3

5–3

6–3

1–4

2–4

3–4

4–4

5–4

6–4

1–5

2–5

3–5

4–5

5–5

6–5

1–6

2–6

3–6

4–6

5–6

6–6

Det er bare én mulighet for å få to seksere!

I tabellen ser vi at det er 36 mulige utfall når vi kaster to terninger. Det er bare 1 ett utfall som gir to seksere. Sannsynligheten for å få to seksere er da . 36 1 Sannsynligheten for å få en sekser på en terning er . Kaster vi to terninger, 6 1 1 1 kan vi finne sannsynligheten for å få to seksere på denne måten: = 6 6 36 Regel

Vi finner sannsynligheten for flere hendelser ved å multiplisere sannsynligheten for de enkelte utfallene med hverandre.

158

Hva er sannsynligheten for å få mynt tre ganger på rad hvis du kaster et pengestykke? Løsning Sannsynligheten for å få mynt er

1 alle tre gangene. Sannsynligheten for 2

å få tre mynt blir da: Pðmynt, mynt, myntÞ =

1 1 1 1 = 2 2 2 8

Statistikk og sannsynlighetsregning

Eksempel 4:8

Eksempel 4:9

Du kaster et pengestykke og en terning. Hva er sannsynligheten for å få krone og en sekser? Løsning 1 Sannsynligheten for å få krone er , og sannsynligheten for å få en sekser 2 1 er . Sannsynligheten for å få krone og sekser blir da: 6 Pðkrone og sekserÞ =

1 1 1 = 2 6 12

Oppgaver 4.50 Hva er sannsynligheten for å få mynt og en femmer når du kaster et pengestykke og en terning? Oppgi svaret som brøk. 4.51 Hva er sannsynligheten for å få én ener og én sekser når du kaster to terninger? Oppgi svaret som a) brøk b) desimaltall c) prosent

159

Statistikk og sannsynlighetsregning

4.52 Sara kjøper ett lodd i to forskjellige lotterier. Sannsynligheten for 1 1 å vinne er henholdsvis og . 20 50 Hvor stor er sannsynligheten for at hun vinner i begge lotteriene?

4.53 Herman skal trekke en kule fra hver skål. Hva er sannsynligheten for at han trekker a) to blå kuler b) en blå og en gul kule c) en rød og en gul kule

160

4.55 Hva er sannsynligheten for å få tre seksere når vi kaster tre terninger? Oppgi svaret som a) brøk b) desimaltall c) prosent

Statistikk og sannsynlighetsregning

4.54 Sannsynligheten for å vinne i et lotteri er 0,04. Sannsynligheten for å bli oppringt av en telefonselger er 0,07. Hva er sannsynligheten for at du både vinner i lotteriet og blir ringt opp av en telefonselger?

Hvorfor er det slik at sannsynligheten for å få en sekser når du kaster én terning er lik sannsynligheten for å få to like når du kaster to terninger?

4.56 Hva er sannsynligheten for å få yatzy i seksere med fem terninger i ett kast?

4.57 Sannsynligheten for å få sju rette i Lotto er liten. Hvis du vil finne ut av hvor liten den er, må du gjøre ferdig denne utregningen:

161

Statistikk og sannsynlighetsregning

Like stor sannsynlighet hver gang? Nå har jeg kastet fem ganger, da må jeg vel få en sekser!

Er sannsynligheten større for å få en sekser i det sjette kastet enn i det femte kastet? Når du kaster en terning er sannsynligheten for å få en sekser like stor hver gang du kaster. Siden kastene ikke er avhengige av hverandre, og terningen ikke kan huske hva du fikk på forrige kastet, er sannsynligheten lik hver gang. Sannsynligheten for å få en sekser er den samme på det siste kastet som på det første. Oppgaver 4.58 Hvilke av utsagnene er riktige? A Når du kaster et pengestykke, øker sannsynligheten for å få myntsiden opp med hvert kast. B Det er større sannsynlighet for å få summen 7 enn 6 når du kaster med to terninger. C Hvis du har 50 % sjanse for å vinne i et lotteri, betyr det at hvert andre lodd som blir trukket ut, er et vinnerlodd.

162

4.60 Hvilke av utsagnene er riktige? A Lottorekken 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 har like stor sjanse for å trukket ut som en hvilken som helst annen rekke. B Sannsynligheten for å få én mynt og én krone når du kaster to pengestykker, er like stor som sannsynligheten for å få to mynter.

Statistikk og sannsynlighetsregning

4.59 Hvilke av utsagnene er riktige? A Sannsynlighet kan angis som brøk, desimaltall eller prosent. B Tallet 7 i lotto har ikke blitt trukket ut på 32 ganger. Martin mener det er større sannsynlighet for at tallet 7 vil bli trukket ut som vinner den 33. gangen. C Jo flere lottorekker du leverer, jo større sjanse har du for å vinne.

4.61 Lag tre utsagn om sannsynlighet. Test utsagnene på andre elever i gruppen din.

Noe med kortspill kanskje ...

Hva er sannsynligheten for å vinne i Vikinglotto?

Hva betyr det at noe har odds på 1,85?

163

Statistikk og sannsynlighetsregning

Prøv deg selv 1

Hanna har undersøkt hvilke dyr som fins i gata der hun bor. Her ser du resultatet av undersøkelsen: Dyr

Antall

Katt

Hund

Gullfisk

Hamster

Skilpadde

Papegøye

Lag en frekvenstabell som viser frekvens og relativ frekvens. 2

Bruk tallene fra tabellen ovenfor. Hvor mange prosent av dyrene a) er fisker b) har fire bein

Her ser du hva Sara bruker tiden til i løpet av et døgn. Skole: 6 h Sove: 7,2 h Spise: 1,2 h Tv: 3 h Venner: 2,4 h Trening: 2,4 h Annet: 1,8 h Vis i et sektordiagram hva Sara bruker tiden til i løpet av et døgn.

Før en gymnastikktime målte alle elevene hvilepulsen sin (slag/min). Her ser du resultatene: 74 68 71 63 66 86 80 77 67 56 64 74 71 82 79 77 69 66 65 77 83 62 60 71 86 63 a) Hva er medianen? b) Hva er typetallet? c) Hva er gjennomsnittlig hvilepuls?

164

Hva er variasjonsbredden til observasjonene i oppgave 4?

Redaktøren i Verdens Ugang presenterer avissalget sitt slik: Avissalg 290 000 289 000 288 000 287 000 286 000 285 000

Statistikk og sannsynlighetsregning

284 000 283 000 Dagposten

Verdens Ugang

a) Forklar hvorfor diagrammet er misvisende. b) Forklar på hvilken annen måte diagrammet kunne vært presentert. 7

Hvilket sentralmål vil du bruke for å angi hvor sentrum eller tyngden av disse observasjonene ligger? 100 kr 130 kr 150 kr 750 kr 100 kr 45 kr 120 kr 100 kr 180 kr 100 kr 0 kr 300 kr

Lotte har 2 skjorter, 2 jakker og 3 bukser som hun kan ha på seg til klassefesten. Hvor mange ulike måter kan hun kle seg på?

165

Statistikk og sannsynlighetsregning

a) Martin snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sannsynligheten for å vinne hvis han satser på tallet 3? b) Du skal trekke en kule ut av skålen uten å se. Hvor stor er sannsynligheten for å trekke en sort kule? 10

Tegn et trediagram for tre kast med et pengestykke. Finn sannsynligheten for å få to mynt og én krone. Rekkefølgen på mynt og krone har ingen betydning.

Sannsynligheten for å vinne i tre ulike lotterier er henholdsvis 1 4 1 , og : 20 70 100 Hva er sannsynligheten for å vinne i alle tre lotteriene?

Hvilke av utsagnene er riktige eller gale? A Sannsynligheten for å trekke hjerterto er like stor som sannsynligheten for å trekke kløverfem. B Sannsynligheten for å få myntsiden opp når du kaster et pengestykke er lik i alle kast. C Hvis sannsynligheten er 1, vil hendelsen aldri skje. D Alle tall i Lotto har like stor sannsynlighet for å bli trukket ut. E Sannsynligheten for å kaste et primtall med en terning med sidene 1–6 er mindre enn sannsynligheten for å få et partall. F Hvis det er 16 gutter og 12 jenter i gruppa di, er det større sannsynlighet for at en jente blir trukket ut enn en gutt. G Det er større sannsynlighet for å få yatzy på ett kast hvis du allerede har prøvd 500 ganger.

166

Hanna tegner en femkant. Hun tegner to tilfeldige diagonaler. Hva er sannsynligheten for at diagonalene ikke skjærer hverandre?

Lotte, Simen eller Sara vant hovedgevinsten i et lotteri.

Simen vant ikke. Jeg vant ikke.

Statistikk og sannsynlighetsregning

Noe å lure på

Jeg vant!

Hvem vant hovedgevinsten når vi vet at minst to av de tre lyver? 3

Skriv sifrene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 på ni lapper. Trekk ut to tilfeldige lapper og lag et tosifret tall. Hvor stor er sannsynligheten for at tallet er delelig med 3?

167

Statistikk og sannsynlighetsregning

Martin og Hanna kaster hver sin terning. Hva er sannsynligheten for at terningen til Hanna viser mer enn terningen til Martin? 1 1 5 C E A 6 2 12 1 3 B D 3 8

Ti personer møttes i et selskap. Alle håndhilste på hverandre én gang. Hvor mange håndhilsninger ble det?

Tegn av og plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonner og bokser (2 3) inneholder disse tallene. Samme tall kan ikke opptre to ganger i en rad, kolonne eller en boks.

3 1 2 1 3 Sudoku

168

2 5 6 4 2

Frekvens og relativ frekvens Frekvens betyr hvor mange ganger en bestemt observasjon eller hendelse forekommer. Relativ frekvens er frekvensen dividert med antall observasjoner.

Relativ frekvens og prosent Vi kan skrive den relative frekvensen som brøk, desimaltall eller prosent. Vi finner prosentandelen ved å multiplisere den relative frekvensen med 100. 1 = 4

0,25

Statistikk og sannsynlighetsregning

Oppsummering

= 25 %

Brøk Relativ frekvens

Prosent

Sektordiagram Vi finner gradtallet til hver sektor ved å multiplisere prosenten eller den relative frekvensen med 360 . Svar (Alternativ)

Frekvens

Relativ frekvens

Prosent

Gradtall til sirkelsektorene

3 5

= 0,6

0,6 100 % = 60 %

0,6 360 = 216

Nei

2 5

= 0,4

0,4 100 % = 40 %

0,4 360 = 144

Sum

100 %

360

Nei

169

Statistikk og sannsynlighetsregning

Stolpediagram

Antall svar

Begrepene stolpediagram, søylediagram og kolonnediagram blir brukt om samme type diagram. Felles for disse diagrammene er at de viser observasjonene på førsteaksen og frekvensene på andreaksen. Legg merke til at observasjonene også kan være tall, slik som på aksen «Antall flyreiser» i diagram nummer to.

250 200 150 100 50 0

Nei

Antall personer 35 30 25 20 15 10 5 0

Linjediagram Vi bruker linjediagram når vi vil vise forandring eller utvikling over tid.

6 Antall ﬂyreiser

Antall kilometer 60 50 40 30 20 10 0

5 Antall timer

Gjennomsnitt Gjennomsnittet =

summen av alle observasjoner antall observasjoner

Gjennomsnittet av 3, 5, 6, 6, 8, 12 og 16 er

170

3 + 5 + 6 + 6 + 8 + 12 + 16 =8 7

Medianen er den midterste observasjonen når observasjonene er ordnet i stigende rekkefølge. Hvis antall observasjoner er et partall, er medianen gjennomsnittet av de to midterste observasjonene. 3

6 + 8 14 = = 7 2 2

Medianen er 7.

Typetall Typetallet er den eller de observasjonene som har den høyeste frekvensen. Tallet 6 opptrer flest ganger blant observasjonene ovenfor. Typetallet er da 6.

Statistikk og sannsynlighetsregning

Median

Variasjonsbredde Variasjonsbredden er differansen mellom den høyeste og den laveste verdien til observasjonene i en undersøkelse. 17 -- 3 = 14 5 -- ð--2Þ = 5 + 2 ¼ 7

Variasjonsbredden er 14. Variasjonsbredden er 7.

Sannsynlighet Hvis alle utfallene for en hendelse er like sannsynlige, er sannsynligheten antall gunstige utfall antall mulige utfall Sannsynligheten for en hendelse er alltid et tall mellom 0 og 1.

Sannsynlighet ved flere utfall Når sannsynligheten bestemmes av flere utfall, kan vi bruke et trediagram (valgtre) for å finne alle mulighetene. 1. kast

2. kast

krone

mynt

krone

mynt

Antall mulige utfall er fire. Sannsynligheten for å få krone i første kast og mynt i andre kast er

1 : 4

Vi kan også bestemme sannsynligheten ved hjelp av multiplikasjon. 1 1 1 Pðkrone, myntÞ = = 2 2 4

171

Foten min er lenger enn deres fĂ¸tter.

Måling og beregninger

Den eldste kjente måleenheten er en fot. Den egyptiske «kongelige fot» målte 31,6 cm, den greske fot 30,83 cm og den romerske 29,57 cm. Fot er en måleenhet som sjelden blir brukt i våre dager. Nå bruker vi vanligvis måleenheter som bygger på grunnenheten meter.

Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . .

usikkerhet i forbindelse med målinger målestokk bruk av formler i problemløsninger egenskaper og beregninger i forbindelse med tredimensjonale figurer

Det er visst ikke bare bare å måle i fot.

Måling og beregninger

Målenøyaktighet Nå er det vel 125 gram?

Hvorfor er det vanskelig å måle nøyaktig? Vi kan telle hvor mange stoler det er i klasserommet, hvor mange elever det er på skolen, hvor mange biler det er på parkeringsplassen, og hvor mange kroner vi har i lommeboka. Slike tellinger gir nøyaktige resultater: 28 stoler, 245 elever, 12 biler, 45 kr De tallene vi får fram ved målinger, er derimot alltid unøyaktige. Det er umulig å måle noe helt nøyaktig. Nøyaktigheten er avhengig av hvilket måleinstrument vi bruker. Eksempler på måleinstrumenter: Linjal, målebånd, tommestokk, skyvelære, kjøkkenvekt, brevvekt, desilitermål, målesylinder, klokke, laser, kompass og speedometer

174

20,8 cm

29,7 cm

Måling og beregninger

Sara måler lengden på et A4-ark med linjalen sin. Arket er 29,7 cm langt.

Sara har målt med en nøyaktighet på nærmeste millimeter. Andre måleinstrumenter enn en linjal kan gi større eller mindre nøyaktighet. Kilometertelleren i en bil viser 4

Kilometertelleren viser kjørelengden på nærmeste kilometer. På noen biler er det en rute til på høyre side. Da viser kilometertelleren kjørelengden på nærmeste 100 m. Oppgaver 5.1

Hvilke tall er sikre, og hvilke er usikre? a) Det er 24 elever i klassen. b) Hanna løp 60 meter på 9,8 sek. c) Det er 3 km til skolen. d) Herman har 15 kr i lomma. e) Eplene koster 20,50 kr.

5.2

Hvilke tall i tekstene a), b) og c) er sikre, og hvilke må vi regne med er usikre? a) På skolen til Sara går det 217 elever, 102 jenter og 115 gutter. En dag i september hadde de aktivitetsdag. Den begynte kl. 09.00, og sluttet kl. 14.15. Kantinegruppa solgte varer for 2850,50 kr. Det gikk med 87 liter saft. b) I konkurransene ble de beste resultatene: Lengde 5,26 m Høyde 1,76 m 100 m 12,2 sek c) Gruppe 9B ble best i en konkurranse med 65,5 poeng.

175

Måling og beregninger

5.3

Martin har en gammel brevvekt hjemme. a) Hvor nøyaktig tror du Martin kan veie med denne vekten? b) Hvor nøyaktig tror du Martin kan veie med en digital brevvekt?

5.4

Mål bredden på matematikkboka di. a) Hvilket måleinstrument brukte du? b) Hvor bred målte du boka til å være? c) Undersøk om de andre i gruppa di får det samme resultatet. Hvis resultatene er forskjellige, hva kan grunnen være?

5.5

I en trekant er sidene 5,5 cm, 6,2 cm og 4,9 cm. a) Hvor mange millimeter er sidene? b) Tegn to slike trekanter. Klipp ut trekantene og legg dem oppå hverandre. Ble trekantene helt like? Hvis ikke, hva er grunnen til det?

5.6

Politiet har ofte fartskontroll langs veiene.

En av metodene de bruker, er denne: – langs en vei blir det målt opp en bestemt strekning, for eksempel mellom to stolper – politiet måler den tiden som bilene bruker mellom de to punktene – deretter blir farten regnet ut Hva er årsaken til at en slik metode er usikker?

176

Målestokk 1 : 2

Måling og beregninger

Målestokk

Målestokk 1 : 1

Målestokk 2 : 1 Hvilke av tegningene er forstørringer eller forminskninger?

Forstørring Hvis vi skal vise bilder av små ting, for eksempel bakterier, virus eller celler, må vi lage forstørringer. Målestokken sier hvor stor forstørringen er, og den blir alltid oppgitt som et forhold. Hvis målestokken er 100 : 1, betyr det at alle lengder i virkeligheten er 100 ganger så små som de lengdene vi måler på tegningen. Da vil tegningen være en forstørring av virkeligheten. Eksempel 5:1

Bakteriene på dette bildet er omtrent 3 cm lange. Målestokken er 10 000 : 1. Hvor lange er bakteriene i virkeligheten? Pestbakterier (forårsaket svartedauden i middelalderen)

Løsning Bakteriene er 10 000 ganger så korte som lengden på bildet. 3 cm = 0,0003 cm = 0,003 mm 10 000 Bakteriene er 0,003 mm i virkeligheten.

177

Måling og beregninger

Oppgaver 5.7

Hvor lange er tøffeldyrene i virkeligheten?

Tøffeldyr i målestokken 100 : 1

5.8

Hvor lange er smådyrene i virkeligheten? a) c)

Målestokk 3 : 1

Målestokk 4 : 1

Målestokk 2 : 1

Målestokk 5 : 1

? 178

Du måler avstanden mellom to punkter på en tegning. Hvordan forandrer avstanden på kartet seg hvis målestokken dobles?

Simen har tegnet en trekant med sider 2 cm, 2,5 cm og 4 cm. Tegn en tilsvarende trekant i målestokk 2 : 1.

2,5 cm A

2 cm 4 cm

5.10 DNA-molekylet er ca. 0,000005 mm bredt i virkeligheten. Mål bredden på illustrasjonen. Hvilken målestokk er brukt?

Måling og beregninger

5.9

DNA-molekyl

Forminskning Hustegninger, modeller og kart er eksempler på tegninger som er mindre enn den virkeligheten som er tegnet. De er derfor modeller av virkeligheten. Målestokken på tegningen eller kartet sier hvor stor forminskningen er, og den blir alltid oppgitt som et forhold. Hvis målestokken er 1 : 100, betyr det at alle lengder i virkeligheten er 100 ganger så store som de lengdene vi måler på tegningen. Da vil tegningen være en forminskning av virkeligheten. Modell til en arkitektkonkurranse. Den viser en forminskning av virkeligheten.

179

Måling og beregninger

Eksempel 5:2

Bildet av flyet er i målestokken 1 : 1000. Flyet er 7,3 cm langt på bildet. Hvor langt er flyet i virkeligheten?

Airbus A 380, verdens største passasjerfly

Løsning Flyet er 1000 ganger så langt som lengden på bildet. 7,3 cm 1000 = 7300 cm = 73 m Flyet er 73 m i virkeligheten.

Oppgaver 5.11 Hvor lange er tingene i virkeligheten? a) Målestokk 1 : 5

b) Målestokk 1 : 10

c) Målestokk 1 : 200

180

5,5 cm

Måling og beregninger

5.12 Kartet over Østerrike er i målestokk 1 : 5 000 000. Finn avstanden i luftlinje mellom a) Wien og Innsbruck b) Salzburg og Graz c) Kitzbühel og Villach

Kart over Østerrike i målestokk 1 : 5 000 000 Cappelens atlas for ungdomstrinnet

5.13 På et kart i målestokken 1 : 50 000 er det 8 cm mellom Dalen og Toppen. Hvor langt er det i luftlinje mellom de to stedene? 5.14 Sara skal lage en drage. Hun tegner den i målestokken 1 : 20. Hva blir målene på dragen i virkeligheten? 2 cm

5 cm

181

Måling og beregninger

Å finne målestokken Når vi skal finne målestokken til en tegning, ting eller et kart, må vi vite hvor lang avstanden er i virkeligheten. Avstanden i virkeligheten og avstanden på for eksempel kartet, må ha samme benevning. Benevningen kan for eksempel være centimeter. Regel

Vi finner målestokken til en forstørring ved å dividere den målte lengden med den virkelige lengden. Vi finner målestokken til en forminskning ved å dividere den virkelige lengden med den målte lengden. Eksempel 5:3

Bindersen er 3 cm lang i virkeligheten. I hvilken målestokk er bindersen tegnet? Løsning Bindersen er 6 cm på tegningen og 3 cm i virkeligheten. 6 cm =2 3 cm Bindersen er tegnet i målestokken 2 : 1.

Eksempel 5:4

Avstanden i luftlinje fra Leknes til Svolvær er 40 km. Hva er målestokken til kartet? Løsning Avstanden på kartet er 5 cm. 40 km = 4 000 000 cm 4 000 000 cm = 800 000 5 cm Målestokken til kartet er 1: 800 000.

182

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

5.15 Finn målestokken til en tegning når avstanden i virkeligheten er a) 5 cm og avstanden på tegningen (forstørringen) er 15 cm b) 3 cm og avstanden på tegningen (forstørringen) er 60 cm c) 0,001 mm og avstanden på tegningen (forstørringen) er 1 cm 5.16 Finn målestokken når avstanden i virkeligheten er a) 5000 cm og avstanden på tegningen (forminskningen) er 5 cm b) 40 km og avstanden på tegningen (forminskningen) er 4 cm c) 175 mil og avstanden på tegningen (forminskningen) er 7 cm 5.17 Hva er målestokken til de ulike kartene når avstanden fra Oslo til Fredrikstad er ca. 82 km?

Måling og beregninger

Oppgaver

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

183

Måling og beregninger

5.18 Hvilken målestokk har bildene? a)

Blåvinge. Vingespennet er i virkeligheten ca. 2,5 cm.

Aurorasommerfugl. Vingespennet er i virkeligheten ca. 4 cm.

5.19 På et teppemønster er bitene 1,5 cm brede. På det ferdige teppet er bitene 12 cm brede. Hva er målestokken til teppemønsteret?

184

Måling og beregninger

Volum og overflate De to eskene har det samme volumet, men ikke den samme overflaten ...

Hva er forskjellen på volum og overflate?

Volum av et prisme Eksempler på rette firkantete prismer er fyrstikkesker, drikkekartonger, høyttalere og krittesker.

Kongruent betyr identisk!

Endeflatene i hvert rette prisme er helt like i både form og størrelse. Vi sier at de er kongruente.

185

Måling og beregninger

h l

Arealet G av grunnflaten i et rett firkantet prisme er lengden bredden. Vi skriver G = l b Volumet V av et rett firkantet prisme er grunnflatearealet G høyden. Vi skriver V = G h Regel

Volumet V av et rett firkantet prisme med lengden l, bredden b og høyden h er V=l b h Volumet V av et prisme med grunnflatearealet G og høyden h er V=G h Eksempel 5:5

a) Regn ut arealet av grunnflaten til esken. b) Regn ut volumet til esken.

2 cm 4 cm

Løsning Esken er et rett firkantet prisme. a) Grunnflatearealet er lengden bredden. G = 8 cm 4 cm = 32 cm2 Arealet av grunnflaten er 32 cm2 : b) Volumet er grunnflatearealet høyden. V = 32 cm2 2 cm = 64 cm3 Volumet er 64 cm3 .

186

8 cm

5.20 Et rett firkantet prisme har grunnflaten 20 cm2 . Regn ut volumet når høyden er a) 2 cm b) 5 cm c) 10 cm d) 35 cm 5.21 a) Regn ut arealet av grunnflaten i prismet. b) Regn ut volumet av prismet.

3 cm

Måling og beregninger

Oppgaver

2 cm 6 cm

5.22 Regn ut volumet av prismene. a)

2 cm

4 cm

8 cm

3 cm 8 cm 2 cm

b) 1 cm 2 cm 15 cm

5.23 I et rett trekantet prisme har grunnflaten et areal på 42 cm2 . Høyden i prismet er 8 cm. Regn ut volumet av prismet.

187

MĂĽling og beregninger

Arealet av overflaten til et prisme Et rett firkantet prisme er satt sammen av seks flater. Flatene er rektangler, og to og to flater er helt like.

b h

b l

Vi finner arealet av overflaten til prismet ved ĂĽ legge sammen arealet av de seks rektanglene: Arealet av bunnflaten og toppflaten: 2 l b Arealet av de to endeflatene: 2 h b Arealet av de to sideflatene: 2 l h Arealet A av alle seks flatene blir A = 2 l b + 2 h b + 2 l h Regel

Arealet A av overflaten til et rett firkantet prisme med sidene l, b og h er: A = 2 l b + 2 h b + 2 l h Eksempel 5:6

2 cm

Regn ut arealet av overflaten til esken. LĂ¸sning Arealet A av overflaten til prismet er:

4 cm 8 cm

A = 2 8 cm 4 cm + 2 4 cm 2 cm + 2 8 cm 2 cm = 64 cm2 + 16 cm2 + 32 cm2 = 112 cm2 Arealet av overflaten til esken er 112 cm2 :

188

5.24 Regn ut arealet av overflaten til eskene. a) b) 3 cm

7 cm

6 cm

2 cm 4 cm

5 cm

3 cm

16 cm

Måling og beregninger

Oppgaver

5.25 En kritteske er 8 cm lang, 5 cm bred og 2 cm høy. Regn ut arealet av overflaten til krittesken. 5.26 Sara skal lage en lekekasse til søsteren sin. Kassen skal være 40 cm lang, 30 cm bred og 20 cm høy. Den skal være uten lokk, men med bunn. Hvor mange kvadratdesimeter materiale går det med til å lage kassen?

5.27 To esker har form som rette firkantede prismer. 2 cm

4 cm 4 cm 4 cm

4 cm 8 cm

a) Regn ut volumet av begge prismene. b) Regn ut arealet av overflaten til begge prismene. c) Sammenlikn svarene du har fått. Hva legger du merke til?

Hvordan kan en eske med et volum på 120 dm3 se ut? Hvor mange løsninger klarer du å finne?

189

Måling og beregninger

5.28 Martin måler størrelsen på et glassprisme på naturfagrommet. Prismet er 5,0 cm høyt. Grunnflaten er en rettvinklet trekant der katetene er 2,0 cm. a) Lag en tegning av prismet. b) Regn ut volumet av prismet. c) Regn ut arealet av overflaten til prismet.

Volumet av en sylinder I en sylinder er grunnflaten og toppflaten to like store sirkler. Høyden h er avstanden mellom grunnflaten og toppflaten. Arealet G av grunnflaten i en sylinder er Vi skriver G=

r r

eller G =

radius radius.

r 2

Volumet V av en sylinder er grunnflatearealet høyden. Vi skriver V = G h eller V =

r 2 h

Regel

Volumet V av en sylinder med grunnflatearealet G og høyden h er V = G h Volumet V av en sylinder med radien r og høyden h er V =

190

r 2 h

Måling og beregninger

Eksempel 5:7

En boks fiskeboller har radius 5 cm og høyde 12 cm. a) Regn ut arealet av grunnflaten i boksen. b) Regn ut volumet av boksen. Løsning a) Arealet G av grunnflaten er G=

r r

Best i verden

= 3,14 5 cm 5 cm = 78,5 cm2

Arealet av grunnflaten i boksen er 78,5 cm2 : b) Volumet V av boksen er V = G h = 78,5 cm2 12 cm = 942 cm3 Volumet av boksen er 942 cm3 :

V =

Vi kan også regne på denne måten.

r 2 h = r r h = 3,14 5 cm 5 cm 12 cm = 942 cm3

Oppgaver 5.29 Regn ut volumet av sylindrene. a) b)

2 cm

5 cm 4 cm 4 cm 2 cm

3 cm

Du kan lage en sylinder på to måter ved hjelp av et rektangelformet ark. Har sylindrene samme volum? Forklar hvordan du kom fram til svaret.

191

Måling og beregninger

5.30 En kjele har form som en sylinder. Husk! Radien er 10 cm og høyden er 12 cm. 3 1 dm = 1000 cm3 = 1 liter a) Regn ut arealet av grunnflaten. b) Regn ut volumet av kjelen. c) Hvor mange kubikkdesimeter rommer kjelen?

5.31 En kakeform har radius 12 cm og høyde 5 cm. a) Regn ut arealet av grunnflaten. b) Hvor mange liter rommer kakeformen?

5.32 En oljetank har form som en sylinder. Radien er 3 m og høyden er 2 m. Hvor mange a) kubikkmeter rommer tanken b) liter rommer tanken 5.33 En vannslange har form som et sylindrisk rør. Radien er 1 cm. Slangen er 30 m lang og er fylt med vann. Hvor mange a) kubikkcentimeter vann er det i slangen b) liter vann er det i slangen

5.34 Et kumlokk av betong har diameteren 80 cm. Tykkelsen er 6 cm. Regn ut volumet av kumlokket.

192

Hvis vi klipper opp en sylinder, får vi et rektangel og to sirkler.

Måling og beregninger

Arealet av overflaten til en sylinder

Sideflaten i sylinderen er et rektangel. Endeflatene er to like sirkler. Det betyr at overflaten av en sylinder består av ett rektangel og to sirkler. Begge sirklene har arealet A = r 2 : Bredden av rektangelet er det samme som høyden h i sylinderen. Lengden av rektangelet må være like lang som omkretsen O av endeflaten i sylinderen. Vi vet at O=

d = 2 r

Arealet A av rektangelet blir da A = 2 r h Arealet A av hele overflaten til sylinderen blir derfor A=

r 2

+ 2 r h

A = 2 r 2 + 2 r h Regel

Arealet A av overflaten til en sylinder med radius r og høyde h er A = 2 r 2 + 2 r h

193

Måling og beregninger

Eksempel 5:8

Regn ut arealet av overflaten til en sylinder med radius 2 cm og høyde 5 cm.

r = 2 cm

h = 5 cm

Løsning Vi regner ut arealet av både grunnflate, toppflate og sideflate. Arealet A av overflaten blir da: A = 2 r 2 + 2 r h = 2 3,14 2 cm 2 cm + 2 3,14 2 cm 5 cm = 25,12 cm2 + 62,8 cm2 = 87,92 cm2 88 cm2 Arealet av overflaten til sylinderen er 88 cm2 :

Oppgaver 5.35 Regn ut arealet av overflaten til sylindrene. a) b) 2 cm

c) 5 cm

4 cm 4 cm 2 cm

194

3 cm

5.37 Sylinderen har radius 2 m og høyde 5 m. Regn ut a) arealet av grunnflaten b) arealet av overflaten til sylinderen

4 cm

6 cm

Måling og beregninger

5.36 En sylinder har radius 4 cm og høyde 6 cm. Regn ut a) arealet av grunnflaten b) arealet av overflaten til sylinderen

5.38 En søppelkasse har form som en sylinder. Kassen har ikke lokk. Regn ut arealet av overflaten til søppelkassen når den har en utvendig diameter på 50 cm og en utvendig høyde på 70 cm.

5.39 Et rør har en utvendig diameter på 20 cm. Røret er 4 m langt og laget av betong. a) Regn ut det utvendige volumet av røret. b) Hvor stort er arealet av den utvendige overflaten til røret? Vi ser bort fra tykkelsen på røret. 5.40 Martin lager et litermål av plast. Det har form som en sylinder der grunnflaten har en radius på 2 cm. Hvor høy må sylinderen være for at den skal romme 1 liter?

195

Måling og beregninger

Prøv deg selv 1

Skriv opp de måleinstrumentene som du mener er de mest brukte.

Hvorfor er noen tall sikre, mens andre tall er usikre?

Klasserommet til Hanna er 8,7 m langt. Med hvilken nøyaktighet er den lengden oppgitt?

En flue er ca. 7 mm lang. Herman vil tegne en slik flue i målestokken 15 : 1.

Hvor lang blir flua på tegningen til Herman?

196

En gulvmatte har form som en sirkel. Diameteren er 1,20 m. a) Hvor mange centimeter er 1,20 m? b) Regn ut omkretsen og arealet av matta.

Avstanden i luftlinje fra Forsnes til Sandstad er 35 km. Hva er målestokken til kartet?

En firkantet kasse er 8 dm lang, 6 dm bred og 5 dm høy. a) Hvor mange liter rommer kassen? b) Regn ut arealet av overflaten til kassen.

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

En firkantet eske har en grunnflate som er et rektangel. Lengden i rektangelet er 15 cm. Høyden av esken er 10 cm. Esken har et volum på 1800 cm3 . Regn ut bredden av rektangelet i grunnflaten.

En tegning av en sommerfugl er tegnet i målestokk 1 : 2. Hvor stort vingespenn har sommerfuglen i virkeligheten når vingespennet på tegningen er 4,9 cm?

Måling og beregninger

Svalestjert

En blikkboks har form som en sylinder. Den er 25 cm høy, og radien i grunnflaten er 12 cm. Regn ut a) arealet av grunnflaten b) volumet av boksen c) arealet av overflaten til boksen

En tank har form som en sylinder. Radius i grunnflaten er 60 cm. Sara fyller 1350 liter vann i tanken. Hvor høyt opp i tanken står vannet?

197

Måling og beregninger

198

Noe å lure på 1

Martin og Lotte sammenliknet to sylindrer. De var like høye, men den ene hadde en diameter i grunnflaten som var dobbelt så lang som diameteren i den andre. Hvor mye rommer disse sylindrene i forhold til hverandre?

Et kvadrat og en sirkel har like stort areal. Hanna mener at sirkelen har den største omkretsen. Herman mener at kvadratet har den største omkretsen. Hvem har rett?

Hvorfor er målestokken 1 : 100 000 mindre enn målestokken 1 : 50 000?

De blå og de oransje pilene skal bytte plass. Pilene kan bare flyttes i den retningen de peker, eller ved at en pil hopper over en annen.

Målestokk Målestokken er et mål for hvor stor en forstørring eller forminskning er. M = 20 : 1 betyr at 20 cm på tegningen svarer til 1 cm i virkeligheten.

Måling og beregninger

Oppsummering

M = 1 : 10 betyr at 1 cm på tegningen svarer til 10 cm i virkeligheten. Vi finner målestokken til en forstørring ved å dividere den målte lengden med den virkelige lengden. Vi finner målestokken til en forminskning ved å dividere den virkelige lengden med den målte lengden.

Volum og overflate av et prisme Vi finner volumet V av alle prismer ved å multiplisere grunnflatearealet G med høyden h. V = G h Overflaten av et rett firkantet prisme består av seks rektangler. Vi finner arealet av overflaten ved å summere arealene av rektanglene.

Volum og overflate av en sylinder Vi finner volumet V av en sylinder ved å multiplisere grunnflatearealet G med høyden h. V = G h V =

r 2 h

Arealet A av overflaten til en sylinder er satt sammen av to like store sirkelflater og et rektangel. Arealet A av overflaten til en sylinder med radius r og høyde h er: A = 2 r 2 + 2 r h

199

Hm ...

y er en funksjon av x.

E = mc 2

6Funksjoner En funksjon viser hvordan en verdi forandrer seg på grunnlag av en annen verdi.

Hvis 1 kg pærer koster 10 kr, koster 5 kg pærer 5 10 kr. Da er summen vi må betale for pærene, en funksjon av prisen per kg.

Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . .

koordinatsystemet hvordan funksjoner kan beskrive praktiske situasjoner hvordan vi kan sette opp en funksjon på grunnlag av en tabell hvordan vi kan tegne en graf til en funksjon

Dette må jeg undersøke nærmere!

Funksjoner

Koordinatsystemet 3 2 1 -4 -3 -2 -1

-1

-2 -3

Skatten befinner-4 seg i punktet (–3, 2).

Hva mener sjørøveren med (–3, 2)? Et koordinatsystem består av to akser, førsteaksen og andreaksen. Førsteaksen er vannrett, og andreaksen er loddrett. Skjæringspunktet mellom aksene kaller vi for origo, eller nullpunktet. Vi kan beskrive alle punkter i koordinatsystemet ved hjelp av to koordinater, førstekoordinaten og andrekoordinaten.

Andreaksen 5 4 3 2 Andrekoordinaten 1 Førsteaksen –4 –3 –2 –1

–1

Førstekoordinaten –2 –3

Origo

–4 –5

På sjørøverkartet ovenfor er førstekoordinaten –3, og andrekoordinaten 2. Skatten, eller punktet, kan vi beskrive ved hjelp av tallparet (–3, 2). Førstekoordinaten

Andrekoordinaten

(–3, 2) 202

Først går vi fra punktet og vinkelrett på førsteaksen. Vi leser av førstekoordinaten: –3

Funksjoner

Vi bestemmer koordinatene til punktet P slik:

5 4 3 P

2 1

Så går vi fra punktet og vinkelrett på andreaksen. Vi leser av andrekoordinaten: 2

–5 –4 –3 –2 –1

–2 –3

Punktet P har koordinatene (–3, 2). Vi skriver: P(–3, 2)

–4 –5

Koordinatene til et punkt bestemmer altså hvor i koordinatsystemet punktet skal være. Vi kan derfor plassere et punkt i koordinatsystemet hvis vi kjenner koordinatene til punktet. Hvis vi skal tegne punktet A(4, 3), går vi loddrett opp fra tallet 4 på førsteaksen og vannrett til høyre fra tallet 3 på andreaksen. Punktet A ligger der de to linjene krysser hverandre.

1 –1

5 4 A

3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

–1 –2 –3 –4 –5

Regel

Et koordinatsystem består av to akser som står vinkelrett på hverandre. På førsteaksen finner vi førstekoordinaten, og på andreaksen finner vi andrekoordinaten.

203

Funksjoner

Eksempel 6:1

Finn koordinatene til punktene A, B, C og D. A

5 4 3

2 1

–5 –4 –3 –2 –1

–1 C

–2 D

–3 –4 –5

Løsning Punktene A, B, C og D har koordinatene A(3, 5), B(--5, 2),

4 3 B

C(--2, --2), D(5, --3)

1 –5 –4

Husk! Førstekoordinaten står først i parentesen.

–3 –2 –1 –1 C

–2 –3 –4 –5

204

Funksjoner

Eksempel 6:2

Tegn punktene A(3, 2) og B(–2, –5) i et koordinatsystem. Løsning 5 4 3 A

2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2 –3 –4 B

–5

Oppgaver 6.1

Finn koordinatene til punktene. 5 4 3 2

1 R –5 –4 –3 –2 –1

–1 S

–2

–3 –4 –5

205

Funksjoner

6.2

a) Tegn et koordinatsystem og merk av disse punktene: A(–3, –2) B(2, –2) C(2, 2) D(–3, 2)

6.3

a) Finn koordinatene til punktene A, B, C og D. D

6 C

5 4 3 2 1

B –5 –4 –3 –2 –1 A

–1 –2

b) Tegn linjestykkene BD og AC. Hva er koordinatene til skjæringspunktet mellom disse linjestykkene?

206

6.4

Tegn et koordinatsystem og merk av punktene: A(1, 5), B(–5, 1), C(4, –3), D(–3, –4), E(7, 0) og F(0, 7).

6.5

a) Tegn et koordinatsystem og merk av punktene: A(0, 0), B(–2, 0), C(–2, –2) og D(0, –2). b) Tegn linjestykkene AB, BC, CD og DA. c) Hva slags firkant får du?

6.6

a) Tegn et koordinatsystem og merk av punktene: K(4, 4), L(–2, 4), M(–2, 0) og N(4, 0). b) Tegn firkanten KLMN. c) Tegn linjestykkene KM og LN. d) Finn koordinatene til skjæringspunktet S mellom KM og LN.

6.7

Merk av punktene (–4, –4) og (–2, 1) i et koordinatsystem. Tegn en linje gjennom punktene og forleng linjen slik at den skjærer andreaksen. Finn koordinatene til skjæringspunktet med andreaksen.

Funksjoner

Formler og funksjoner

Hvis jeg kjøper x antall epler, må jeg betale 5x kr.

Hva mener Sara egentlig? 1 eple koster 2 epler koster 3 epler koster x epler koster

1 5 kr = 5 kr 2 5 kr = 10 kr 3 5 kr = 15 kr x 5 kr = 5x kr

Hvis vi lar x stå for antall epler og y stå for prisen, kan vi skrive y = 5x Vi har nå funnet en formel for prisen. Vi sier at prisen y er en funksjon av antallet x, og at y er en funksjon av x gitt ved formelen y = 5x: y = 5x er et funksjonsuttrykk. Vi kan regne ut forskjellige verdier av y ved å velge forskjellige verdier for x. Dette kan vi sette opp i en tabell:

5 1

5 2

5 3

5 4

5 5

207

Funksjoner

Regel

y er en funksjon av x når hver verdi av x gir én verdi av y. Eksempel 6:3

Moren til Simen kjører bil med en fart på 70 km per time. a) Regn ut kjørelengden y i kilometer når moren kjører i 2 timer, 3 timer og 4 timer. b) Finn en formel for kjørelengden y i kilometer når hun kjører i x timer. c) Bruk formelen til å regne ut kjørelengden når hun kjører i 3,5 timer. Løsning a) y = 70 2 = 140 Når hun kjører i 2 timer, er kjørelengden 140 km. y = 70 3 = 210 Når hun kjører i 3 timer, er kjørelengden 210 km. y = 70 4 = 280 Når hun kjører i 4 timer, er kjørelengden 280 km. b) Når hun kjører x timer, er kjørelengden y i kilometer y = 70 x = 70x y = 70x

c) Når hun kjører i 3,5 timer, er kjørelengden y = 70x = 70 3,5 = 245 Kjørelengden er 245 km når hun kjører i 3,5 timer.

208

Funksjoner

Oppgaver 6.8

Hanna sykler 18 km per time. a) Hvor mange kilometer sykler hun på 3 timer? b) Hvor mange kilometer sykler hun på 4 timer? c) Finn en formel for kjørelengden y i kilometer når hun sykler i x timer. d) Bruk formelen til å regne ut kjørelengden når hun sykler i 2,5 timer. e) Forklar hvorfor y er en funksjon av x.

6.9

På en bensinstasjon koster bensinen 15,50 kr per liter. a) Hvor mye koster 5 liter bensin? b) Finn en formel for prisen p i kroner når Martin kjøper x liter bensin. c) Bruk formelen til å regne ut prisen når han kjøper 20 liter bensin. d) Forklar hvorfor p er en funksjon av x.

6.10 Formelen y = 199 x forteller hva Lotte må betale i kroner for et mobiltelefonabonnement i x måneder. a) Hvor store er mobiltelefonutgiftene hennes etter 1) 10 måneder 2) 1 år b) Hva finner du hvis du setter x = 24 inn i formelen? c) Forklar hvorfor y er en funksjon av x. 6.11 Omkretsen O av en sirkel med diameter d finner vi ved hjelp av formelen O = d: a) Regn ut omkretsen O av en sirkel når diameteren d er 10 cm. Bruk = 3,14 eller -tasten på kalkulatoren. b) Regn ut omkretsen O av en sirkel når diameteren d er 15 cm. c) Forklar hvorfor omkretsen O er en funksjon av diameteren d.

209

Funksjoner

Fra den norske filmen Kon-Tiki om Thor Heyerdahls reise over Stillehavet.

6.12 Formelen y = 110x forteller hvor mye det koster for x billetter på kino. a) Regn ut prisen y for billettene når du kjøper 3 billetter. b) Lag en tabell som viser prisen for 1 billett, 2 billetter, ..., 6 billetter. c) Forklar hvorfor y er en funksjon av x. 6.13 Herman reiser med buss til byen for å gå på kino. Kinobillettene koster 95 kr per billett, og han betaler 58 kr for bussturen til og fra byen. a) Finn en formel for utgiftene u i kroner som Herman har når han reiser til og fra byen og kjøper x kinobilletter. b) Regn ut hvor mye Herman må betale i alt når han kjøper fem billetter.

Hvilken av grafene viser sammenhengen mellom radien og arealet i en sirkel? Areal

Areal

B Radius

210

Areal

C Radius

D Radius

Radius

Funksjoner

Grafen til en funksjon y = 15 . x

Hvordan kan x og y plasseres i koordinatsystemet?

Hvordan kan vi tegne grafen til en funksjon? Sara kjĂ¸per appelsiner i butikken for 15 kr per kilogram. Hvis prisen for x kilogram appelsiner er y kr, fĂĽr vi formelen y = 15 x Vi regner ut hvor mye det koster for 1 kg, 2 kg, . . ., 6 kg, og setter resultatet opp i en tabell: Antall kilogram (kg)

Pris (kr)

15 6 = 90

211

Funksjoner

Vi kan nå bruke tabellen til å tegne en graf som viser sammenhengen mellom antall kilogram (x) og prisen (y). Vi tegner av punktene (koordinatene): (1,15), (2,30), (3,45), (4,60), (5,75), og (6,90) der x er førstekoordinaten og y er andrekoordinaten. Hvis vi kjøper 2,5 kg, kan vi lese av på grafen at vi må betale 37,50 kr. Vi har framstilt funksjonen

y 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

y = 15 x grafisk:

0 1

Eksempel 6:4

En kinobillett koster 80 kr. For x kinobilletter betaler Simen y kr. a) Skriv y som en funksjon av x. b) Framstill funksjonen grafisk.

Løsning a) Funksjonsuttrykket blir y = 80 x: b) Tabellen viser hvor mye kinobilletter koster.

212

7 x

y (pris i kr)

160

240

320

400

480

Pris (kr) 500

Funksjoner

x (antall kinobilletter)

Husk at avstanden mellom enhetene på hver av aksene må være like stor hele tiden!

400 300 200 100 0

Kinobilletter

Oppgaver 6.14 Hanna kjøper klementiner på tilbud til 12 kr per kilogram. a) Hvor mye må Hanna betale for 3 kg klementiner? b) For x kg klementiner betaler Hanna y kr. Forklar hvorfor y er en funksjon av x gitt ved formelen y = 12 x: c) Lag en tabell som viser hvor mye Hanna må betale for 1 kg, 2 kg, . . ., 5 kg klementiner. d) Tegn en graf som viser sammenhengen mellom antall kilogram og prisen. La 1 cm på førsteaksen svare til 1 kg, og la 1 cm på andreaksen svare til 10 kr. 6.15 Familien til Lotte er på biltur. Gjennomsnittsfarten er 60 km/h. a) Hvor langt kjører familien på 2 timer? b) På x timer kjører familien y km. Forklar hvorfor y er en funksjon av x gitt ved formelen y = 60x. c) Tegn en graf som viser kjørelengden. La 1 cm svare til 1 time på førsteaksen, og la 1 cm svare til 50 km på andreaksen. d) Bruk grafen til å finne ut hvor langt de kjører på 2,5 timer. e) Hvor lang tid bruker familien på å kjøre 210 km?

213

Funksjoner

Fra karnevalet i Venezia i februar måned

6.16 Martin skal på ferie til Italia og kjøper euro i banken. Han betaler 8 kr for 1 euro. a) Hvor mye betaler Martin for 10 euro? b) For x euro betaler Martin y kr. Forklar hvorfor y er en funksjon av x gitt ved formelen y = 8 x. c) Lag en tabell som viser hvor mye Martin må betale for 5, 10, 15, . . ., 50 euro. d) Tegn en graf som viser prisen på euro. e) Bruk grafen til å finne ut hvor mye 22 euro koster. f ) Bruk grafen til å finne ut hvor mange euro Martin får for 272 kr. 6.17 Herman betaler 199 kr per måned i abonnement på mobiltelefonen. I tillegg betaler han 5 kr per MB data utover det som ligger i abonnementet. La y være mobiltelefonutgiftene i kroner når Herman bruker x MB data i tillegg per måned. y er da en funksjon av x gitt ved formelen y = 5x + 199 a) Framstill funksjonen grafisk. Bruk x-verdier fra 0 til 30. b) Hvor mye må Herman betale for en måned når han bruker 10 MB data ekstra? c) Hvor mange ekstra MB data kan Herman laste ned for 275 kr i måneden?

214

Funksjoner

Mer om funksjoner y=2.x x –4 –2 –1 0 1 y –8 –4 –2 0 2

Hvordan blir grafen når det er både negative og positive x-verdier? I matematikk arbeider vi ofte med funksjoner der de variable størrelsene er tall selv om tallene ikke har noen betydning i dagliglivet. Tallene kan være både negative og positive. En funksjon kan være y = 2 x. Vi setter inn forskjellige verdier for x og regner ut verdiene for y. Resultatet setter vi opp i en tabell. x

–4

–3

–2

–1

–8

–6

–4

–2

Vi får disse punktene: (–4, –8), (–3, –6), (–2, –4), (–1, –2), (0, 0), (1, 2), (2, 4) og (3, 6)

215

Funksjoner

Vi merker av punktene i et koordinatsystem: y 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

Vi ser at grafen til funksjonen y = 2 x er en rett linje. Uttrykket y = 2 x kaller vi likningen til linjen. Vi sier ofte bare linjen y = 2 x: Oppgaver 6.18 I funksjonen y = 3 x kan vi sette inn forskjellige verdier for x. a) Regn ut verdien av y når x = –3, x = –2, x = –1, x = 0, x = 1 og x = 2, og fyll ut resten av tabellen. x

–3

–2

–9

–6

–1

b) Skriv opp koordinatene til punktene. c) Tegn grafen til funksjonen y = 3 x.

216

y = --2x a) Skriv av og fyll x –2 ut resten av tabellen. y 4 b) Skriv opp koordinatene til punktene. c) Tegn grafen til funksjonen y = –2x.

–1

Funksjoner

6.19 Herman skrev opp en funksjon slik:

–4

6.20 Tegn grafen til funksjonen y = 1,5 x. Velg verdiene –3, –2, –1, 0, 1, 2 og 3 når du skal regne ut verdier for y. 6.21 Tegn grafen til funksjonen y = 2x + 3. Velg selv passende verdier for x. 6.22 Finn funksjonsuttrykket til graf a og graf b.

y 6

–4

–2

4 x

–2

–4

–6

Simen tjente 1350 kr på en sommerjobb. Hvor mange timer kan han ha jobbet, og hva tjente han da per time?

217

Funksjoner

Prøv deg selv 1

Sara har hatt åtte matematikkprøver i løpet av året. Hun har laget en graf som viser hvilken karakter hun fikk på hver prøve. Karakter 6 5 4 3 2 1 0

4 5 Prøve nr.

Hvilken karakter fikk Sara på prøve a) nr. 2 b) nr. 7 På hvilken eller hvilke prøver fikk hun c) karakteren 6 d) karakteren 4 2

Finn koordinatene til punktene A, B, C, D og E. 6 5

E A

4 3 2 D

1 B

–6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

218

2 C

a) Tegn et koordinatsystem og merk av punktene A(1, 1), B(6, 1), C(6, 4) og D(1, 4). b) Tegn linjestykkene AB, BC, CD og DA. Hva slags firkant er ABCD? c) Tegn linjestykkene AC og BD. Hva er koordinatene til skjæringspunktet mellom disse linjestykkene?

Simen setter opp en tabell som viser hvor mye 1 kg, 2 kg, ..., 5 kg epler koster.

Funksjoner

Antall kilogram

Pris (kr)

a) Bruk tallene i tabellen til å tegne en graf. La 1 cm svare til 1 kg på førsteaksen, og la 1 cm svare til 10 kr på andreaksen. b) Hvor mye koster 3,5 kg epler? c) Hvor mange kilogram epler får du for 81 kr? 5

Herman sykler med en fart på 15 km per time. a) Hvor mange kilometer sykler han på 2 timer? b) Finn en formel for kjørelengden y når han sykler x km. c) Forklar hvorfor y er en funksjon av x.

Martin kjøper pærer til 16 kr per kilogram. a) Hvor mye betaler Martin for 2 kg pærer? b) For x kg pærer betaler han y kr. Forklar hvorfor y er en funksjon av x gitt ved formelen y = 16 x: c) Tegn en graf som viser sammenhengen mellom antall kilogram og prisen. Velg selv enheter på aksene.

Vi har funksjonen y = 4 x. a) Regn ut verdien av y når du setter inn x = –2, x = –1, x = 0, x = 1 og x = 2. b) Sett resultatene opp i en tabell. c) Tegn grafen til funksjonen y = 4 x.

219

Funksjoner

Noe å lure på 1

Portoen på et brev er en funksjon av vekten på brevet. Men vekten av et brev er ikke en funksjon av portoen på brevet.

Forklar hva læreren til Lotte mener. 2

Et mobiltelefonselskap lagde to grafer som viser forskjellige priser på mobilabonnement. Pris (kr) 600 500 400 300 200 100 0 1

8 Ringetid (timer)

Forklar forskjellen på de to grafene.

220

Funksjoner

Hvilke av utsagnene nedenfor er riktige? a) Den skatten vi må betale, er en funksjon av den inntekten vi har. b) Resultatene på en matematikkprøve er en funksjon av den tiden du bruker på prøven. c) Den tiden du bruker på å løpe 60 m, er en funksjon av hvor mange timer du har trent. d) Du sykler i 5 timer. Den strekningen du har syklet, er en funksjon av gjennomsnittsfarten.

Sara tegnet grafene til funksjonene y = 2x -- 1 og y = -- 2x + 3 i det samme koordinatsystemet. Hvordan kan Lotte finne koordinatene for skjæringspunktet ved hjelp av regning?

Tegn av og plasser tallene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 slik at alle rader, kolonner og bokser (2 3) inneholder disse tallene. Samme tall kan ikke opptre to ganger i én rad, én kolonne eller én boks.

4 5

5 6

3 1 2

1 6 Sudoku

221

Funksjoner

Oppsummering Koordinatsystem Et koordinatsystem består av to akser, førsteaksen og andreaksen. Aksene står vinkelrett på hverandre. Aksene skjærer hverandre i origo. Andreaksen 5 4

3 2 1

Origo Førsteaksen

–5 –4

–3 –2 –1

–1 –2 –3 –4 –5

Koordinater Alle punktene i et koordinatsystem er bestemt av et tallpar som vi kaller koordinatene til punktet. Vi finner førstekoordinaten på førsteaksen, og andrekoordinaten på andreaksen. Koordinatene til punktet A ovenfor er (2, 3).

Funksjon En størrelse y er en funksjon av en annen størrelse x hvis det til hver verdi av x svarer én verdi av y. y er for eksempel en funksjon av x gitt ved formelen y = 70 x:

222

En graf viser sammenhengen mellom to variabler x og y. Når vi lager grafen, velger vi verdier for x og regner ut verdier for y. De tallene vi velger, skal stå langs førsteaksen. De tallene vi regner ut, skal stå langs andreaksen. Vi kan tegne en graf på grunnlag av en likning eller funksjonsuttrykk:

Funksjoner

Grafen til en funksjon

y = 2x Grafen til funksjonen y = 2x er en rett linje. Vi velger verdier for førstekoordinaten og setter opp en tabell. Så regner vi ut verdiene for andrekoordinatene og tegner grafen til likningen. x

8 7 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

–2

223

Lurer på hva vi kan kjøpe for denne steinøksa?

Kan dere betale med gull?

Kan vi handle på kreditt?

7Økonomi

Helt siden oldtiden har handel med varer vært en viktig del av dagliglivet vårt. Ved å bytte varer med hverandre kunne alle få et større vareutvalg og øke sin egen velferd. Vikingene tok blant annet med seg jern og møllesteiner til Europa, og i bytte fikk de varer som de ikke hadde i nord.

Mål I dette kapitlet skal du få lære om . . . . .

prosent og promille i praktiske situasjoner rabatt (avslag) og merverdiavgift avbetaling og renteberegning rente og renteberegning kreditt og kredittkort

Hm. Tar de ikke kort ...?

Økonomi

Prosent og promille Det er derfor vi flyter.

Dødehavet inneholder 300 ‰ salt! Hvor mange prosent er det?

Hva er forskjellen på prosent og promille? Av og til bruker vi promille i stedet for prosent. Eksempel på det er når vi måler hvor mye salt det er i havvann. Promille betyr tusendeler, og symbolet for promille er ‰. Det vil si at 1 1‰= 1000 Vi regner med promille på samme måte som vi regner med prosent. Slik gjør vi om promille til desimaltall: 15 = 0,015 15 ‰ = 1000

Regel

Prosent betyr hundredel, og promille betyr tusendel. 10 % =

226

10 = 0; 1 100

10 ‰ =

10 = 0,01 1000

Husk! Prosent betyr hundredeler. 1 1 % = 100

Økonomi

Eksempel 7:1

I Middelhavet inneholder vannet ca. 38 ‰ salt. Hvor mye salt er det i 20 kg vann fra Middelhavet?

Dykking i Middelhavet

Løsning 38 ‰ =

38 = 0,038 1000

38 ‰ av 20 kg = 0; 038 20 kg = 0; 76 kg Det er 0,76 kg salt i 20 kg vann fra Middelhavet.

Oppgaver 7.1

7.2

Skriv som desimaltall. a) 15 ‰ b) 25 ‰

c) 45 ‰

d) 830 ‰

Skriv som desimaltall. a) 1,5 % b) 2,5 %

c) 4,5 %

d) 83 %

7.3

a) Sammenlikn svarene i oppgave 7.1 og oppgave 7.2. b) Skriv en regel ut fra det du finner ved sammenlikningen.

7.4

Regn ut. a) 15 ‰ av 200 g b) 25 ‰ av 1200 g c) 15 % av 2000 kr

d) 10 % av 200 kr e) 50 % av 200 g f ) 830 ‰ av 200 g

227

Økonomi

7.5

I sjøvann er det enkelte steder 30 ‰ salt. Hvor mye salt er det i 20 kg av dette sjøvannet?

7.6

En sølvskje veier 25 g. Den inneholder 830 ‰ rent sølv. Hvor mange gram rent sølv er det i sølvskjeen?

7.7

Nysølv inneholder 625 ‰ kobber, 125 ‰ sink og 250 ‰ nikkel. a) Hvor mange gram sink er det i 1 kg nysølv? b) Messing inneholder 750 ‰ kobber og 250 ‰ sink. Hvor mange kilogram kobber er det i 5 kg messing? c) Stål består av 980 ‰ jern og 20 ‰ karbon. Hvor mange kilogram karbon er det i 2 tonn stål?

228

Husk! 1 kg = 1000 g

I 2012 økte merverdiavgiften på matvarer fra 14 % til 15 %. Hvorfor ble ikke maten 1 % dyrere?

For å finne ut hvor mange promille 15 er av 750, må vi dividere 15 med 750: 15 = 0,020 750 Ettersom 0,020 =

Økonomi

Å finne promillen

20 , så er 0,020 = 20 ‰. 1000

Eksempel 7:2

Det er ca. 15 g salt i 1,5 kg vann fra Østersjøen. Hvor mange promille salt inneholder vann fra Østersjøen? Løsning Vi gjør om vannmengden til gram: 1,5 kg = 1500 g 15 = 0,010 1500 Ettersom 0,010 =

10 , så er 0,010 = 10 ‰. 1000

Vann fra Østersjøen inneholder 10 ‰ salt.

Oppgaver 7.8

7.9

Skriv som promille. a) 0,036 b) 0,056

c) 0,075

d) 0,925

Skriv som prosent. a) 0,36 b) 0,56

c) 0,75

d) 9,25

7.10 Sara kokte 2 kg sjøvann i en kjele uten lokk. Etter kokingen var det 40 g salt igjen i kjelen. a) Hvor mange promille salt var det i dette sjøvannet? b) Hvor mange prosent salt var det i sjøvannet?

229

Økonomi

Hav

Saltinnhold

Middelhavet

35 ‰

Nordsjøen

30 ‰

Østersjøen

10 ‰

Dødehavet

300 ‰

Cappelens atlas for ungdomstrinnet

7.11 Dødehavet inneholder ca. 300 ‰ salt og Østersjøen ca. 10 ‰ salt. a) Hvor mange ganger mer salt er det i vannet i Dødehavet enn i vannet i Østersjøen? b) Martin fikk en vannprøve på 600 g. Han koker inn vannet og finner ut at det inneholder 21 g salt. Fra hvilket hav kommer vannprøven?

7.12 En bilfører ble stoppet i politikontroll. Det ble tatt blodprøve, og han hadde 10,8 g alkohol i blodet. Det var 1,8 ‰ av hele blodmengden i kroppen til bilføreren. Hvor mange kilogram blod hadde bilføreren i kroppen sin?

230

Økonomi

Merverdiavgift Hva er forskjellen på inklusiv og eksklusiv?

Hva betyr ekskl. mva. og inkl. mva.? Vi betaler mange avgifter til staten. Eksempler på avgifter er – veiavgift – bensinavgift – alkoholavgift – merverdiavgift Vi betaler en merverdiavgift (mva.) på mange varer. Denne avgiften kaller vi i dagligtalen for moms. I 2015 var merverdiavgiften på de fleste varene 25 %. På matvarer var merverdiavgiften 15 %. Hvis prisen på en vare er oppgitt uten merverdiavgift, må vi legge til merverdiavgiften for å finne ut hvor mye vi skal betale.

Ekskl. betyr eksklusiv, og inkl. betyr inklusiv.

Pris uten merverdiavgift forkortes slik: Pris ekskl. mva. Pris med merverdiavgift forkortes slik: Pris inkl. mva.

231

Økonomi

Eksempel 7:3

Sara vil kjøpe et nytt skap til 1160 kr ekskl. mva. Hvor mye må Sara betale for skapet inkl. mva.? Merverdiavgiften er 25 %. Løsning Pris uten merverdiavgift: Merverdiavgift: 0,25 1160 kr Pris med merverdiavgift:

1160 kr + 290 kr = 1450 kr

Sara må betale 1450 kr for skapet.

Oppgaver 7.13

Simen skal kjøpe et dekk til mopeden sin. Prisen er 300 kr. I tillegg kommer 25 % merverdiavgift. Hvor mye må Simen betale for dekket? 7.14 Lotte skal kjøpe matvarer til kantina på skolen. Regningen kommer på 1500 kr. I tillegg kommer 15 % merverdiavgift. Hvor mye må hun betale for varene? 7.15 Familien til Hanna kjøpte nye møbler for 15 000 kr ekskl. mva. Merverdiavgiften er 25 %. Hvor mye måtte familien betale for møblene?

232

Økonomi

7.16 Martin vil bestille nye høyttalere fra et postordrefirma. Høyttalerne koster 2200 kr ekskl. mva. a) Hva blir prisen for høyttalerne inkl. 25 % mva? b) Firmaet beregner 3 % tillegg for frakt. Tillegget blir beregnet av prisen inkl. mva. Hvor mye må Martin betale i alt? 7.17 En ferietur til India koster 12 500 kr inkl. mva. Hvor mange kroner utgjør merverdiavgiften når den er 25 %?

Varanasi ved elven Ganges i India er hinduenes helligste by.

7.18 Familien til Lotte fikk dette tilbudet på oppussing av kjøkkenet: Materialer 4800 kr Arbeid 1200 kr Rabatt 15 % Alle priser er oppgitt ekskl. mva. Merverdiavgiften er 25 %. Hvor mye må familien betale for oppussingen?

233

Økonomi

Rabatt Hm, hva må jeg betale for sekken?

Hva mener vi med rabatt? Noen ganger gir forretninger rabatt, det vil si avslag i prisen. Varene blir da billigere enn den opprinnelige prisen. Eksempel 7:4

Sara kjøper en jakke. Hun får 5 % rabatt. Jakka kostet opprinnelig 420 kr. Hvor mye må Sara betale for jakka? Løsning Jakka kostet: 5 % rabatt: 0,05 420 kr Ny pris:

5%= 420 kr -- 21 kr = 399 kr

Sara må betale 399 kr for jakka.

234

5 = 0,05 100

7.19 Simen kjøper et nytt stereoanlegg. Det koster egentlig 8500 kr, men han får 10 % rabatt. Hvor mye må Simen betale for stereoanlegget?

Økonomi

Oppgaver

7.20 Butikken Trafikkspesialisten AS selger en moped med rabatt for 10 500 kr. Gammel pris er 12 000 kr. a) Hvor stor er rabatten i kroner? b) Hvor mange prosent utgjør rabatten? 7.21 Under høstsalget vil Filmhjørnet selge alle varene sine med 40 % rabatt. En stereobenk kostet opprinnelig 3200 kr. Hva blir prisen på benken når rabatten er trukket fra? 7.22 En butikk har tilbud på olabukser. Bukser som koster mellom 500 kr og 800 kr, skal selges med 25 % rabatt. Resten er det 30 % avslag på. Regn ut den nye prisen når den gamle er a) 850 kr b) 600 kr c) 900 kr d) 750 kr 7.23 Martin skal kjøpe ny sykkel. Sykkelen koster egentlig 5000 kr, men han får 8 % kontantavslag. Hvor mye må Martin betale?

7.24 Faren til Lotte skal kjøpe ny bil. I prislisten står det at bilen koster 250 000 kr. Faren får tilbud om å kjøpe bilen for 232 500 kr. a) Hvor mange kroner får faren til Lotte i rabatt? b) Hvor mange prosent får han i rabatt?

235

Økonomi

Tilbud Lurer på om det egentlig er så billig ...

Hvordan kan vi vurdere hvor godt et tilbud er? Vi ser ofte at det er forskjellige tilbud på varer, for eksempel – avslag (rabatt) i pris – kvantumsrabatt – det vil si at vi får avslag når vi kjøper mye – utsalg Selv om et tilbud kan virke godt, er det lurt å sammenlikne priser i forskjellige butikker. Hvor godt et tilbud er, avhenger blant annet av den opprinnelige prisen på varen. Det kan også komme utgifter til reise eller porto i tillegg hvis du ikke handler nær der du bor. Eksempel 7:5

Herman vil kjøpe en ny genser. Den koster 543 kr i nærbutikken og 515 kr på storsenteret. For å komme til storsenteret må han ta buss som koster 18 kr hver vei. Hvor lønner det seg for Herman å kjøpe genseren? Løsning Pris i nærbutikken: Pris på storsenteret: Utgifter til buss: 2 18 kr Til sammen

543 kr 515 kr + 36 kr = 551 kr

Det lønner seg for Herman å kjøpe genseren i nærbutikken.

236

7.25 Hanna vil kjøpe et digitalkamera i byen til 1800 kr. Hun må ta bussen fram og tilbake. Det koster 60 kr. Hvor mye må Hanna betale i alt?

Økonomi

Oppgaver

7.26 Martin skal kjøpe turutstyr i en nettbutikk. Utstyret koster 1350 kr. I tillegg kommer porto på 95 kr og oppkravsgebyr på 56 kr. Hvor mye må Martin betale for turutstyret? 7.27 Lotte kjøper nye jeans som koster 1250 kr. Hun får 250 kr i rabatt. a) Hvor mye må Lotte betale? b) Hvor mange prosent rabatt får hun? 7.28 Hanna skal bestille 30 bilder fra en fotoforretning på nettet. Hvert bilde koster 2,95 kr. I tillegg kommer porto på 39 kr. Hvor mye må Hanna betale for bildene?

7.29 Herman handler brus på tilbud. Hvis han kjøper tre kasser brus, får han 50 % rabatt på den tredje kassen. En kasse brus koster 320 kr uten rabatt. Hvor mye må Herman betale for tre kasser brus?

237

Økonomi

Forklar hvorfor en pris ikke blir den samme hvis den først stiger med 10 % og så synker med 10 %.

7.30 Sara vil kjøpe seg et nytt kamera. a) Hvilket tilbud er best? b) Hvor mange prosent utgjør prisforskjellen mellom det dyreste og det billigste tilbudet? A

238

Vi kan gi deg 3 % p.a. i rente.

Økonomi

Renteregning

Hva betyr 3 % p.a.? Hvis vi har penger i banken, får vi renter av pengene. Husk! Renter er penger som blir lagt til det beløpet p.a. betyr per år. vi har i banken. Renter regnes vanligvis som en bestemt prosent av pengene våre. 3 % rente p.a. betyr 3 % rente per år. Vi sier at rentefoten er 3. Eksempel 7:6

Martin setter 5000 kr i banken. Banken gir 3,0 % p.a. i renter. Hvor mye får han i renter etter ett år? Løsning 3%=

3 = 0,03 100

3 % av 5000 kr = 0,03 5000 kr = 150 kr Martin får 150 kr i renter på ett år.

239

Økonomi

Oppgaver 7.31 Lotte har 5000 kr i banken. Banken gir henne 2 % p.a. i renter. Hvor mye får Lotte i renter etter ett år? 7.32

Herman setter 10 000 kr i banken. Han får 4 % rente p.a. av pengene sine. Etter ett år tar han ut pengene med renter. Hvor mye kan Herman ta ut av banken? 7.33 Sara har 8000 kr i banken. Etter ett år får hun 240 kr i renter. Hvor mange prosent av beløpet har banken gitt Hanna i renter? 7.34 L. Ånesen skylder et kredittselskap 12 000 kr etter en reise til Egypt. Etter ett år må han betale alt tilbake. Kredittselskapet forlanger 22 % rente p.a. a) Hvor mye må L. Ånesen betale i renter? b) Hvor mye må han betale i alt?

Pyramidene er gravanlegg fra Det gamle Egypt. De eldste er fra ca. 2600 før vanlig tidsregning.

240

Økonomi

Kilimanjaro er Afrikas høyeste fjell, 5895 moh.

L. Ånesen skal på safari i Afrika året etter, og han låner 8000 kr av banken. Etter ett år må han betale alt tilbake. Banken forlanger nå 24 % rente p.a. c) Hvor mye må L. Ånesen nå betale i renter? d) Hvor mye må han nå betale i alt? 7.35 Familien til Hanna låner 150 000 kr til bil.

De må betale 6 % rente p.a. a) Hvor mye må familien betale i renter det første året? b) Det første året betaler familien 39 000 kr i renter og avdrag. Hvor stort er restlånet da? c) Hvor mye må familien betale i renter det andre året?

241

Økonomi

Rentedager Det er sjelden at penger står i banken i nøyaktig ett år. Noen ganger står pengene i banken mer enn ett år, andre ganger i mindre enn ett år.

Vi regner at et renteår er 365 rentedager. Da ser vi bort fra de årene det er skuddår. Eksempel 7:7

Regn ut rentedagene fra 4. juli til 15. desember. Løsning Når vi skal regne ut rentedagene fra 4. juli til 15. desember, tar vi ikke med 4. juli, men vi tar med 15. desember. Juli: (fra 4. juli) August: September: Oktober: November: Desember (til og med 15. desember): = Til sammen:

27 31 30 31 30 15 164

dager dager dager dager dager dager dager

Det er 164 rentedager fra 4. juli til 15. desember samme år.

242

7.36 Regn ut rentedagene fra 6. mars til 12. september.

Økonomi

Oppgaver

7.37 Lotte satte penger i banken 14. januar. Hun tok dem ut 28. november. Hvor mange dager hadde pengene stått i banken? 7.38 Herman låner penger i banken 23. februar. Han betaler lånet tilbake 10. desember. Hvor mange dager må Herman betale renter for?

Dette løser jeg lett med regneark ... 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

7.39 Sara setter inn 1800 kr i banken 10. januar. Hun vil bruke pengene til å kjøpe julepresanger. Hun tar derfor ut pengene 2. desember. Hvor mange dager får hun renter for?

Sara sparer noen penger hver måned i 6 måneder. Hver måned sparer hun like mye som hun sparte forrige måned pluss halvparten av det beløpet igjen. Hvor mye kan hun ha spart den første måneden, og hvor mye kan hun ha spart totalt?

7.40 Simen setter penger i banken 28. april. Han tar ut pengene seinere på året. Banken regner ut at han har hatt pengene stående i 205 dager. På hvilken dato tar Simen ut pengene?

243

Økonomi

Rente for deler av et år Vi kan regne ut rente for en del av et år ved å dividere årsrenten på 365 dager og multiplisere med riktig antall dager. Hanna har spart 1800 kr. Banken gir henne 3 % rente p.a. 3%=

3 = 0,03 100

Jeg har spart i 200 dager.

Rentene for ett år er dermed 0,03 1800 kr = 54 kr For én dag vil Hanna få i renter: 54 kr = 0,1479 365 Hvis Hanna har pengene stående i banken i 200 dager, vil hun få i renter: 200 0,1479 kr = 29,58 kr Eksempel 7:8

Martin hadde 2500 kr stående i banken fra 4. mai til 15. september. Banken ga 2 % rente p.a. Hvor mange kroner fikk Martin i renter i denne perioden? Løsning Fra 4. mai til 15. september er det 134 rentedager (27 + 30 + 31 + 31 + 15). 2%=

2 = 0,02 100

Rentene for ett år er: 0,02 2500 kr = 50 kr Rentene for én dag er:

50 kr = 0,1370 kr 365

Rentene for 134 dager er: 134 0,1370 kr = 18,36 kr Martin fikk 18,36 kr i renter.

Vi kan også løse oppgaven i eksempelet slik: 0,02 2500 kr 134 = 18,36 kr 365 Martin fikk 18,36 kr i renter.

244

7.41 Lotte setter 5000 kr i banken til 2 % p.a. i rente. Pengene står i banken i 230 dager. Da tar hun ut pengene med renter. Hvor mye får Lotte a) i renter for én dag b) i renter for 230 dager c) utbetalt

Økonomi

Oppgaver

7.42 Fetteren til Herman selger bilen sin for 54 000 kr. Han setter pengene i banken til 3 % rente.

Etter 120 dager tar han ut pengene med renter. Hvor mye får fetteren til Herman a) i renter b) utbetalt

Hva har vi funnet ut om vi multipliserer et innskudd som har stått på konto i ett år, med 1,05?

7.43 Familien til Sara låner 500 000 kr 5. mai. De må betale 5 % rente p.a., og de betaler renter på lånet til og med 31. desember. a) Hvor mange rentedager er det fra 5. mai til 31. desember? b) Hvor mye må familien betale i renter? 7.44 Moren til Simen arvet mye penger. Hun fikk 1 200 000 kr 4. mars. Hun satte pengene i banken til 3 % rente p.a. 24. juni tok hun ut 900 000 kr i forbindelse med et huskjøp. 15. oktober tok hun ut resten. Hvor mye kunne hun ta ut av banken 15. oktober?

245

Økonomi

Kredittkort Hm. Lønner det seg å kjøpe på kreditt?

nå! re p Kjø seneittkort! al kred Beyttt deg av vårt Ben

Hva vil det si å kjøpe på kreditt? Kredittkort er et betalingskort. Når vi benytter kortet, er det kortutstederen som låner oss de pengene vi bruker. Dette kalles å gi kreditt. – Vi kan handle eller ta ut kontanter uten å ha penger i banken. – Hvis vi betaler tilbake kreditten etter én måned, slipper vi å betale renter av lånesummen. – Hvis vi venter med å betale tilbake lånet, beregner banken høye gebyrer og høy rente. Et slikt lån kan derfor bli svært dyrt. Eksempel 7:9

Onkelen til Hanna bruker kredittkort og skylder 22 000 kr etter ett år. Kredittkortselskapet tar 22,5 % i rente. Hvor mye skylder han totalt inkl. renter? Løsning 22,5 % =

22,5 = 0,225 100

Onkelen skylder: Rentetillegg: 0,225 22 000 kr Han skylder totalt: Han skylder 26 950 kr.

246

22 000 kr 4 950 kr = 26 950 kr

7.45 Familien til Lotte skal kjøpe ny vaskemaskin som koster 7200 kr. De betaler 2500 kr kontant. Resten betaler de i 12 månedlige avdrag på 430 kr. a) Hvor mye må familien betale i alt i avdrag de 12 månedene? b) Hvor stort blir pristillegget fordi familien kjøper vaskemaskinen på avbetaling?

Økonomi

Oppgaver

7.46 G. Jeld har brukt et kredittkort der den effektive renten er 26,8 %. Hvor mye må han betale tilbake hvis han har tatt opp en kreditt (lån) på 15 000 kr og betaler tilbake etter a) ett år b) to år K. Reditt har brukt et kredittkort og handlet for 28 000 kr. Hun betaler tilbake 5000 kr med en gang. Resten av summen betaler hun tilbake etter ett år. Kortselskapet tar 23,7 % av beløpet i rente. c) Hvor mye må hun betale i renter etter ett år? 7.47 Truls betaler en feriereise med kredittkort. Reisen koster 12 000 kr, og han betaler tilbake beløpet først etter ett år. Kortselskapet beregner 32,6 % i rente per år. Hvor mye må Truls betale til kortselskapet når rentene er medregnet? Golden Gate i San Francisco, USA

247

Økonomi

7.48 Sara kjøper nyeste modell av mobiltelefon. Den koster 3600 kr. Hun betaler 25 % av prisen kontant. Resten må hun betale over 3 måneder med 940 kr i avdrag hver måned. a) Hvor mye betaler Sara på de tre månedene? b) Hvor mye kommer mobiltelefonen på i alt?

Hvorfor tror du kredittkortselskaper tilbyr rentefrie lån i de første månedene?

7.49 Kameraten til Simen får tilbud på en moped. Den koster 12 000 kr. Han kan betale 35 % av prisen kontant. Resten må han betale over 12 måneder med 700 kr hver måned. Hvor mange prosent dyrere blir mopeden hvis han kjøper den på avbetaling, enn hvis han betaler med en gang?

248

Hva vil det si at en forretning gir rabatt?

Prisen på en bukse er 1200 kr. Lotte får 300 kr i rabatt. Hvor mye betaler Lotte for buksa?

En sportsbutikk gir Herman 20 % rabatt på en treningsdress som koster 2000 kr. Hvor mye får Herman i rabatt?

Sara vil kjøpe en brukt moped som koster 8000 kr. Hun får 5 % rabatt. a) Hvor mye får Sara i rabatt? b) Hvor mye må Sara betale for mopeden?

I butikken er et par sko satt ned fra 1200 kr til 900 kr.

Økonomi

Prøv deg selv

Med hvor mange a) kroner er skoene satt ned b) prosent er de satt ned 6

Merverdiavgift forkortes ofte mva. Hva betyr det når prisene er oppgitt a) ekskl. mva. b) inkl. mva.

249

Økonomi

250

Skolen til Simen skal kjøpe inn nye kantinemøbler for 12 000 kr ekskl. mva. Merverdiavgiften er 25 %. a) Regn ut merverdiavgiften. b) Hvor mye må skolen betale for møblene?

Hanna vil bestille varer på internett. Prisene i prislisten er oppgitt ekskl. mva. Varene koster 800 kr. Merverdiavgiften er 25 %. I tillegg kommer utgifter til frakt på 130 kr. Hvor mye må Hanna betale i alt?

a) Fru Nilsen kjøper ny oppvaskmaskin på avbetaling. Hun betaler 2000 kr kontant. Resten betaler hun i seks månedlige avdrag på 500 kr. Hvor mye betaler hun i alt? b) Hr. Hansen har brukt et kredittkort til å kjøpe en bruktbil. Bilen kostet 40 000 kr, og kredittkortselskapet tar 23,2 % rente per år. Hvor mye må Hansen betale tilbake hvis han låner pengene i 10 måneder?

Martin har lyst på et nytt stereoanlegg som koster 8000 kr. Han kan betale 2000 kr med en gang. Butikken regner et rentetillegg av restbeløpet på 15 %. a) Hvor stort er restbeløpet? b) Regn ut rentetillegget. c) Hvor mye må Martin betale i alt for stereoanlegget?

Hva betyr det at renten er 4 % p.a.?

Regn ut rentene av 5000 kr i ett år når rentefoten er a) 2 b) 3 c) 4,5

Lotte hadde 1200 kr i banken ved begynnelsen av året. Banken gav 3 % p.a. i rente. a) Hvor mye fikk Lotte i renter for ett år? b) Regn ut rentene for 200 dager.

Herman satte 2500 kr i banken den 3. juni. Han tok ut pengene den 25. november samme år. Banken ga 2 % rente p.a. Hvor mye kunne Herman ta ut av banken den 25. november?

Arkimedes (287–212 før vanlig tidsregning) var ikke bare antikkens fremste matematiker, men også en av de største naturforskere som har levd. Forklar ved hjelp av Arkimedes' lov at vi flyter lettere i Dødehavet enn i Atlanterhavet.

Økonomi

Noe å lure på

Rekreasjon i Dødehavet

1. februar ble prisen på noen varer satt opp med 5 %. Etter noen måneder ble prisen på de samme varene satt ned med 5 %.

Da må prisen på varene være lik det den var før 1. februar.

Nei, jeg tror ikke det er riktig.

Hva mener du?

251

Økonomi

I en butikk koster to liter melk og ett brød 28 kr, mens fire liter melk og tre brød koster 67 kr. Hvor mye koster én liter melk og ett brød?

Hvordan blir prisen hvis vi må betale merverdiavgift, men samtidig får rabatt?

Jeg tror det er to måter å regne på ...

A (Pris ekskl. mva. + mva.) – rabatt B (Pris ekskl. mva. – rabatt) + mva. Hva er riktig? Blir det noen forskjell? 5

252

En kafé selger rundstykker med pålegg til 23 kr, 26 kr, 29 kr og 31 kr. Er det mulig å kjøpe fire rundstykker som til sammen koster nøyaktig 100 kr?

Promille

Økonomi

Oppsummering Vi regner med promille på samme måte som vi regner med prosent. 5‰=

5 = 0,005 1000

5 ‰ av 12 000 kr er 0,005 12 000 kr = 60 kr

Merverdiavgift På de fleste varer og tjenester må vi betale merverdiavgift (mva.). Merverdiavgift blir ofte kalt moms. I 2015 var avgiften 25 % på de fleste varer. På matvarer var avgiften 15 %. Ekskl. mva. betyr at prisen er oppgitt uten merverdiavgift. Inkl. mva. betyr at prisen er oppgitt med merverdiavgift.

Rabatt Rabatt er avslag i pris. Det betyr at en vare blir solgt for en lavere pris enn den opprinnelige. Rabatten blir ofte gitt i prosent.

Rente Banken betaler oss renter når vi har penger i banken. På samme måte betaler vi renter til banken når vi låner penger der. Vi finner rentene for ett år ved å multiplisere renten i prosent med kapitalen. Kapitalen er 5000 kr. Renten er 3 % p.a. Rentene for ett år er 0,03 5000 kr = 150 kr Rentedager regner vi ut ved å telle dager på kalenderen. Rentene for én dag er Rente for ett år 365 Rente for 120 dager er: Rente for én dag 120

Kredittkort og avbetaling Når vi kjøper noe på avbetaling eller med kredittkort, behøver vi ikke å betale alt på en gang. Vi låner de pengene vi bruker, og de må betales tilbake med ganske store rentetillegg og gebyrer.

253

Manual for digitale verktøy

Manual for digitale verktøy Innhold Kalkulatoren ............................... 255 De vanligste funksjonene............ 255 Flere regnearter på en gang....... 255 Prosent......................................... 256 Kvadratrot .................................... 256 Minne........................................... 257 Regneark ..................................... 258 Hva er et regneark?..................... 258 De vanligste justeringene ........... 258 Formatere en celle ...................... 258 Bruk av formler............................ 259 Kopiere formler til flere celler etter hverandre............................ 259 Låse innholdet i en formel til én celle .................................... 260 Utskrift av regneark..................... 260

GeoGebra.................................... 262 Hva er GeoGebra? ....................... 262 Menylinje og de vanligste funksjonene ................................. 262 Skjermbildet og de vanligste funksjonene ................................. 263 Verktøylinja .................................. 263 Formler og kommandoer ............ 266 Navn på grafer, punkt og akser.. 267 Fremgangsmåte........................... 268 Utskrift ......................................... 269

Oppgavebok

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

254

Du finner øvingsoppgaver til den digitale manualen i oppgaveboka.

De vanligste funksjonene Det finnes mange typer kalkulatorer. De kan virke på forskjellig måte. Sjekk bruksanvisningen for å se hvordan din kalkulator fungerer. De vanligste funksjonene er:

Manual for digitale verktøy

Kalkulatoren

Addisjon Subtraksjon Multiplikasjon Divisjon Desimaltegn Tastene som sletter tallene i kalkulatorvinduet, kan se slik ut: CE

Bokstaven C står for det engelske ordet «clear».

Flere regnearter på en gang Hvis det er flere regnearter i samme oppgave, må vi multiplisere og dividere før vi adderer eller subtraherer. Eksempel

Regn ut: 34 + 56 45

Kontroller svaret ved å gjøre overslag.

Løsning

Kalkulatoren viser svaret 2554. Hvis det er større uttrykk, bruker vi minnefunksjonen eller regner i flere operasjoner.

255

Manual for digitale verktøy

Prosent Kalkulatoren kan hjelpe deg med å finne prosenten av et tall. Da bruker du prosentknappen. Prosentknappen Eksempel

Regn ut: 30 % av 450 Løsning

Kalkulatoren viser svaret 135.

Kvadratrot Hvis du skal finne kvadratroten av et tall på kalkulatoren, kan du bruke kvadratrotknappen. Kvadratrotknappen Eksempel

Regn ut kvadratroten av 64. Løsning

Kalkulatoren viser svaret 8.

256

Kalkulatoren har minnefunksjon. Minnefunksjonen gjør at kalkulatoren husker et tall samtidig som vi regner ut noe annet. Legger til noe i minnet Trekker fra noe i minnet MR

eller

Henter fram det du har i minnet (Recall memory)

eller

Sletter minnet (Clear memory)

Manual for digitale verktøy

Minne

Husk å slette minnet før du bruker kalkulatoren på en ny oppgave. Eksempel

Regn ut: 8 9 + 6 7 Løsning RM

Kalkulatoren viser svaret 114. Eksempel

Regn ut: 7 6 -- 3 6 Løsning RM

Kalkulatoren viser svaret 24. Eksempel

Regn ut: 9 – 7 6 + 9 : 4 Løsning RM

Kalkulatoren viser svaret --30,75:

257

Manual for digitale verktøy

Regneark Hva er et regneark? Et regneark blir brukt til å sortere data, gjøre beregninger og lage diagram. I denne manualen finner du opplysninger om de vanligste oppgavene et regneark kan utføre. Et regneark består av celler. De er ordnet i loddrette kolonner som er merket med bokstaver, og i vannrette rader som er merket med tall. Hver celle har navn etter den kolonnen og den raden cellen står i, for eksempel A1 eller B2. I cellene kan du skrive tall, tekst eller formler. Vi bruker formler når vi vil gjøre utregninger i et regneark. For mer detaljert opplæring i regneark, se Faktor Regelhefte eller Faktor Digital.

De vanligste justeringene I et regneark kan du klippe ut, kopiere og lime inn innhold på samme måte som i et tekstbehandlingsprogram. Kolonnebredden justerer du ved å føre musepekeren over skillet mellom kolonnene øverst i regnearket. En pil kommer fram. Ved å holde venstre museknapp nede, kan du justere til ønsket bredde. Hvis du dobbeltklikker, vil bredden justere seg automatisk etter innholdet i cellen.

Formatere en celle Noen ganger er en celle forhåndsinnstilt, for eksempel til å vise dato. Hvis dette er tilfelle, vil desimaltallet 3,14 automatisk bli omgjort til datoen 03.01.00. Da må du formatere cellen slik at den vil vise tall. Dette gjør du ved å høyreklikke i cellen og velge Formater celle. Velg så Tall eller et annet ønsket format. Du kan også bruke hurtigtastingen «CTRL + 1» for å få opp menyen for formatering.

258

I et regneark bruker du formler for å regne ut ulike verdier. Det er viktig at du bruker formler slik at regnearket blir dynamisk (dvs. at svaret i D endres når tall i B eller C endres).

Alle formler som skrives i en celle, må begynne med et likhetstegn (=). Se på E-kolonnen ovenfor. Her ser du formelvisning av de vanligste formlene og regnesymbolene.

Manual for digitale verktøy

Bruk av formler

Juster antallet desimaler med disse knappene!

Kopiere formler til flere celler etter hverandre Du kan på en enkel måte kopiere en formel slik at regnearket automatisk utfører den samme regneoperasjonen i de neste cellene: . . . .

Skriv inn formelen i cellen (her celle D2). Før musepekeren over det nederste høyre hjørnet i cellen slik at et plusstegn vises. Hold så venstre museknapp inne og dra musepekeren nedover (her celle D3 til D4). Formelen er nå kopiert slik at den multipliserer celle B3 med C3 og celle B4 med C4.

259

Manual for digitale verktøy

Låse innholdet i en formel til én celle Du kan låse innholdet i en formel til én celle ved å skrive symbolet $ foran kolonnebokstaven og foran radnummeret.

Utskrift av regneark Vanlig utskrift Når du skal skrive ut et regneark, bør du ha med navn, rutenett og rad- og kolonneoverskrifter. Velg fanen Sideoppsett og klikk på Utskriftstiler og Ark. Huk av for Rutenett og Rad- og kolonneoverskrifter.

260

Formelutskrift Det kreves ofte en utskrift av de formlene du har brukt. Etter at du har skrevet ut regnearket med verdier, kan du bytte til formelvisning ved hjelp av hurtigtastingen «CTRL+J» (Excel 2010) eller via fanene Formler og Vis formler (Excel 2013). Husk at du bør justere kolonnebredden slik at du tilpasser utskriften til arket.

Manual for digitale verktøy

Velg deretter fanen Topptekst/bunntekst. Klikk på Egendefinert topptekst og skriv inn et navn eller annen informasjon du vil ha med. Skriv deretter ut regnearket.

Du kan også bruke Utklippsverktøyet for å kopiere regnearket og formler inn i et tekstdokument hvis du syns det er enklere!

261

Manual for digitale verktøy

GeoGebra Versjon 5.0

Hva er GeoGebra? GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer og ulike funksjonsuttrykk. Du kan også løse likninger (likningssett) grafisk. Programmet er gratis og kan lastes ned fra geogebra.no. For mer opplæring i GeoGebra se Faktor Regelhefte, Faktor Digital eller geogebra.no.

Menylinje og de vanligste funksjonene

Her gjør du de tilpasningene du trenger. Hvis ikke Oppsett vises automatisk, velger du oppsett selv fra Vis-menyen. De viktigste oppsettene er: Vis Algebrafelt Grafikkfelt Fremgangsmåte Inntastingsfelt

262

Verktøylinje der aktivt verktøy er markert med blått omriss

Angreknapp

Algebrafelt Innstillinger for akser og rutenett

Manual for digitale verktøy

Skjermbildet og de vanligste funksjonene

Grafikkfelt

Inntastingsfelt

Husk at du kan alltid angre handlinger ved hjelp av Ctrl + z.

(angreknappen) eller

Verktøylinja Verktøylinja inneholder mange knapper. Under hver knapp vil du få fram flere verktøy hvis du trykker på den lille pilen nederst i høyre hjørne. Når du holder musepekeren over et verktøy, kommer det fram en hjelpetekst.

Vi skal nå komme inn på de vanligste funksjonene som ligger under hvert verktøy på verktøylinja. Det fins mange flere verktøy enn de vi tar for oss her. Flytt Lar deg ta tak i et objekt og flytte det.

263

Manual for digitale verktøy

Punkt Lar deg opprette et nytt valgfritt punkt.

Lar deg opprette et skjæringspunkt. Lar deg opprette et midtpunkt eller sentrum i en regulær figur.

Linjer og linjestykker Lar deg opprette en linje gjennom to punkter. Lar deg opprette et linjestykke mellom to punkter. Lar deg opprette et linjestykke med gitt lengde. Lar deg opprette en stråle fra ett punkt gjennom et annet punkt. Lar deg opprette en vektor (pil) fra ett punkt til et annet punkt.

Normaler, halveringsstråler og parallelle linjer Lar deg opprette normalen (90°) mellom et punkt og en linje. Lar deg opprette en parallell linje gjennom et punkt. Lar deg opprette en midtnormal mellom to punkter. Lar deg halvere en vinkel.

Mangekanter Lar deg opprette en irregulær mangekant. Lar deg opprette en regulær mangekant. Lar deg opprette en mangekant som ikke kan forandres.

264

Lar deg opprette en sirkel ved hjelp av to punkter. Lar deg opprette en sirkel med mål (radius i cm). Lar deg opprette en sirkel ved hjelp av tre punkter.

Manual for digitale verktøy

Sirkler, sirkelbuer og sirkelsektorer

Vinkler og størrelser Lar deg opprette en vinkel ved hjelp av tre punkter. Lar deg opprette en vinkel med angitt størrelse. Lar deg måle en avstand (cm). Lar deg måle et areal (cm2). Lar deg måle stigningen til en funksjon. Speiling og rotasjon Lar deg speile et objekt om en linje. Lar deg speile et objekt om et punkt. Lar deg rotere et objekt rundt et punkt. Sette inn Lar deg sette inn en tekstboks.

Justeringer Lar deg flytte grafikkfeltet og justere aksene ved å dra i dem. Hold musepekeren over aksen du vil justere. Da kommer det opp en dobbeltpil. Hold så venstre museknapp inne og dra aksen i ønsket retning.

265

I inntastingsfeltet kan du skrive inn likninger, funksjonsuttrykk eller beregningskommandoer. Nedenfor ser du noen eksempler. Flere finner du i Faktor Regelhefte, Faktor Digital og på geogebra.no Husk at du må bruke punktum (.) i stedet for komma (,) ved inntasting av desimaltall.

Lineærfunksjon

Manual for digitale verktøy

Formler og kommandoer

Kommando:

Forklaring:

x=5

Viser en linje gjennom x = 5

y=6

Viser en linje gjennom y = 6

f(x)=2x+3

Viser en funksjon med stigningstall +2 og konstantledd +3

y=2x+3 Funksjon[y=2x-5,0,5]

Viser funksjonen y = 2x -- 5 avgrenset med x-verdier fra 0 til 5

h(x)=–0.05x^2+x+5

Viser parabelen hðxÞ = --0,05x 2 + x + 5

Parabel

y=–0.05x^2+x+5 Ekstremalpunkt[ h ]

Viser topp- eller bunnpunkt til en parabel (her parabelen hðxÞÞ

Nullpunkt[ h ]

Viser parabelens skjæringspunkt med førsteaksen (her parabelen hðxÞÞ

Skjæring[ y,h ]

Viser skjæringspunktene mellom funksjonen y og parabelen h

Hyperbel

f(x)=3/x

Viser hyperbelen y =

3 x

Viser hyperbelen y =

5 + 3 avgrenset med x

y=3/x Funksjon[5/x+3,1,20]

x-verdier fra 1 til 20

Når du høyreklikker i grafikkfeltet, kan du velge Vis alle objekt. Da vises grafen du har tegnet automatisk!

266

Når alle grafer, skjæringspunkt og annet er lagt inn i koordinatsystemet, setter du navn på dem. Høyreklikk i grafikkfeltet og velg Grafikkfelt eller Egenskaper, eller bruk hurtigtasten Ctrl + E. Velg Egenskaper oppe til venstre. Velg så hvilket element du vil navngi (funksjoner, linjer, punkt eller annet). Velg Navn og verdi for hvert element under Vis navn-knappen.

Manual for digitale verktøy

Navn på grafer, punkt og akser

Velg deretter Innstillinger oppe til venstre. Velg så Navn og enheter på x-aksen og y-aksen. Du kan også skrive egen tekst rett inn i de to feltene. x-akse

y-akse

Her kan du også ta bort negative x- og y-verdier.

Eksempel på aksetekst kan være: x (lengde) x (timer) x (meter) y (areal) y (kroner) y (høyde)

x (minutter) y (liter)

267

Manual for digitale verktøy

Fremgangsmåte Velg Fremgangsmåte fra Vis-menyen.

Fremgangsmåtefeltet vil vise seg.

Juster feltet i bredde slik at alt vises. Du kan skrive inn utfyllende tekst i Objekttekst-feltet. Etter at du har valgt Fremgangsmåte fra Vis-menyen, vil Fremgangsmåte være tilgjengelig fra Utskrift-menyen. Eksportere alt til én side Du kan også eksportere Grafikkfelt og Fremgangsmåte slik at det vises på én side (skrives ut på én side). Trykk på eksporter-knappen under Fremgangsmåte.

268

Manual for digitale verktøy

Skriv inn «Tittel», «Laget av» og eventuelt dato og trykk på Eksporter.

Du vil nå bli bedt om å lagre. Skriv inn filnavn, lagringssted og trykk på lagre. Oppgaven vil nå bli vist i din nettleser (Firefox, Crome, Explorer, Safari eller liknende). Skriv så ut oppgaven fra nettleseren via Fil-menyen.

Utskrift Velg Forhåndsvis utskrift fra Fil-menyen. Her velger du hva som skal skrives ut. (Algebrafelt, Grafikkfelt, Fremgangsmåte osv.)

Her velger du stående eller liggende papirretning.

Her justerer du størrelsen på det du skal skrive ut.

Husk at du også kan skrive ut alt på én side via eksporter-funksjonen. Se Eksportere alt til én side på forrige side.

Du kan også bruke Utklippsverktøyet for å kopiere grafikkfelt o.l. inn i et tekstdokument hvis du syns det er enklere!

269

Fasit

Fasit Tall og tallforst책else 1.1

1.10

a) 93 b) 108 c) 48

d) 11 000 e) 12 f ) 97

1.11

a) 37 b) 55 c) 1152

d) 2500 e) 83 f ) 320

1.12

a) 132 b) 3840

c) 64 d) 120

1.13

a) 102 b) 103 c) 105

d) 106 e) 107 f ) 109

1.14

a) 6 103 b) 3 103 c) 1 104 7 101 d) 1 105 3 102 e) 2 106 5 102 f ) 2 106 5 102

d) 7 e) 56 f ) 94

a) 2 b) 34 c) 103

1.2 d) 100 000 e) 3125 f ) 1024

a) 8 b) 243 c) 125 1.3 Grunntall

Eksponent

Potens

2,3

2,34

5 102 4 102 2 103 5 100 2 104 8 100 4 105 6 101 9 105 3 101

+ 4 101 + 3 100 + 9 100 + 6 102 + + 5 103 + + 5 104 + + 5 100 + 7 103 +

1.4

a) 192 b) 40 c) 432

d) 41 e) 990 f ) 118

1.15

a) 5416 b) 34 565 c) 745 634

1.5

a) 37 b) 54 c) 25

d) 56 e) 105 f ) 75

1.16

7 000 000 000 = 7,0 109

1.17

a) 135 b) 53 c) 125

d) 106 e) 105 f ) 73

a) 2,5 104 b) 1,4 104 c) 2,4 107

d) 9,1 105 e) 4,5 106 f ) 4,5 109

1.18

a) 1,08 108 km b) 1,5 108 km

c) 7,78 108 km

a) 33 b) 154 c) 28

d) 108 e) 109 f ) 76

1.19

a) 4500 b) 27 000 c) 910 000

d) 4 500 000 e) 10 500 000 f ) 4 080 000 000

a) 23 b) 63 c) 104

d) 34 e) 53 f) 3

1.20

7,35 1019

1.21

ca 6,0 1021

1.22

4, 9, 16 og 25

1.6

1.7

1.8

1.9

270

+ + + + + + + + + +

a) 5 b) 102 c) 3

d) 7 e) 152 f ) 106

d) 204 506 e) 1 405 612 f ) 300 491

1.34

a) 3 b) 8 c) 1 d) 5

e) –7 f ) –3 g) –18 h) –2

1.35

a) 9 b) 15 c) 9 d) 15

e) –3 f) 0 g) –26 h) –8

1.36

1.37

a) –30 b) –24

c) 21 d) –50

1.38

a) –5 b) –5

c) 5 d) –6

1.39

a) –15 b) –10

c) –4,5 d) 37

1.24

a) 4 b) 25

c) 16

1.40

a) 5 b) 4

c) 21 d) 200

1.25

a) 25 b) 64 c) 100

d) 225 e) 400 f ) 10 000

1.41

a) –2 b) –4

c) 75 d) –200

1.42 1.26

1.27

25 stoler

a) 5 ð--7Þ = --35 b) ð--3Þ ð--7Þ = 21 c) 10 ð--8Þ = --80 d) ð--10Þ ð--10Þ = 100

1.28

a) 3 b) 5 c) 4

d) 6 e) 9 f ) 10

1.43

a) 1 : 5 b) 1 : 4 c) 2 : 1

d) 1 : 3 e) 1 : 10 f ) 1 : 20 000

1.29

a) 5 b) 6 c) 12

d) 20 e) 9,22 f ) 11,31

1.44

a) 4 : 1 b) 1 : 25 c) 1 : 4000

d) 400 000 : 1 e) 1 : 100 f ) 10 000 000 : 1

1.30

a) 14 b) 16 c) 9

d) 9 e) 3 f ) –1

1.45

Simen (1 : 8)

1.46

450 kr

1.31

a) 42,25 cm2

b) 4,8 cm

1.47

420 kr

1.32

lengde = 40 m, bredde = 20 m

1.48

Martin Lotte

1.33

a) 9 b) 18

1.49

a) 1 : 1,5 = 2 : 3 b) Sara fikk 60 kr, Herman fikk 90 kr

1.50

a) 1 : 24

c) 15 d) 150

Fasit

1.23

200 kr 250 kr

b) 24 dL

271

Fasit

1.51

20 dL = 2 liter

2.8

6x + 3y + 5z

1.52

10,5 dL

2.9

a) 2a + 2b b) 4a + 4b

1.53

A, B, D, F, G og H 2.10

14,90x + 15,90y + 13,90z

1.54

A, B, E og G 2.11

100n + 120n = 220n

2.12

a) 15 b) 58

2.13

a) a + b + c b) 1) 6 2) 12

1.55 1.56

1.57

1.58

1.59

1.60

B, C, D, E, F og H 2

4 ,5 ,6 ,7 Summen av oddetall fra og med 1 blir et kvadrattall. Kvadrattallet har grunntall som svarer til antall oddetall som summeres. a) 4 b) 9 a) 1, b) 1, c) 2, d) 2,

c) 16 d) kvadrattall 4, 2, 4, 6,

9, 16, 25, 36 4, 7, 11, 16, 22, 29 8, 16, 32 , 64 , 128 18, 54, 162 , 486 , 1458

a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 b) 1, 4, 8, 13, 19 , 26 , 34 c) 1, 9, 25, 49, 81, 121 , 169

2.2

b) 17 år

2.15

a) 14 cm b) 12,56 cm

c) 12 cm

2.16

a) 3 b) 2

c) 5 d) 21

2.17

a) 4x b) 3b

c) 4a d) 3xy

2.18

a) 4b b) 11x c) 4a

d) 9y e) 3a -- 2b + 4c f ) --x + y + 4z

2.19

a) 4x + 6y b) 6a + 3b c) 7ab

d) 7a -- 2b e) 8xy -- 4ab f ) 3ab -- 6xy

2.20

a) y 2 b) a4

c) x 6 d) ðabÞ3

2.21

a) y 7 b) a10

c) b9 d) x 10

2.22

a) a2 b) x 4

c) 1 d) ð2aÞ4

2.23

a) 15b2 b) 15x 5

c) 56ðabÞ3 d) 24x 6

2.24

a) y 4 + 2y 2 b) 4x

c) a2 + 4a d) 4x 3 + 2x 2 + 3x

2.25

a) 12ðabÞ2 b) 1

c) 20yz 5 d) 18x 9 y 4

272

a) og d) er talluttrykk. b) og c) er bokstavuttrykk.

2.3

2.4

a) x 3 = 3x b) 2x + 3y

2.5

99x

2.6

2.7

Antall kilometer Herman sykler i x dager til og fra skolen.

c) 2x – 3

3) 24

a) x + 13

123 454 321

Talluttrykk inneholder bare tall. Bokstavuttrykk inneholder bokstaver, eller bokstaver og tall.

c) –4 d) 53

2.14

Algebra 2.1

c) 8a + 4b

a) 7x b) 2a

c) --8y d) 6b

2.27

a) 2a + 2b b) 8x -- 4y

c) --3x -- 6 d) --4a -- 4b

2.28

a) 9a2 b) 2x 2

c) --x 2 -- 2x d) 6a2

2.29

a) 21 b) –19a

c) 26x 2 d) 2a2 -- 2a

2.30

a) x = 10 b) x = 22

c) x = 78 d) x = 4

2.31

a) x = 21 b) x = 4

c) a = 5 d) x = 20

2.32

a) x = 42 b) x = 15

c) x = 24 d) a = 120

2.33

a) x = -6 b) x = 4

c) x = 4 1 d) x = = 0,5 2

2.42

a) x b) x c) x d) x

= 6 eller x = –6 = 9 eller x = –9 = 7 eller x = –7 12,04 eller x –12,04

2.43

a) x b) x c) x d) x

= 5 eller x = –5 3,32 eller x --3,32 1,22 eller x --1,22 = 3 eller x = --3

2.44

2.45

a) x = 6, V.s. = h.s. = 42 b) x = 10, V.s. = h.s. = 50 c) x = 4 eller x = –4, V.s. = h.s. = 64 d) x = 11 eller x = –11, V.s. = h.s. = 125

2.46

a) x = 3, V.s. = h.s. = 3 b) x = 3, V.s. = h.s. = –7 c) x = 42, V.s. = h.s. = 7 d) x = 6 eller x = –6, V.s. = h.s. = 67

2.47 2.34

a) x = 9 b) x = 5

c) x = 3 d) x = 2

2.35

a) x = 3 b) x = 1,5

c) x = 4 d) x = -1

2.36

a) x = 5 b) x = 2

c) x = 18 d) x = 4

2.37

a) x = 0,5 b) x = 8

c) x = 0,5 d) x = 4

2.38

a) x = 5 b) x = 500

c) x = 3 d) x = 10

a) x = 1 b) x = -2

c) x = 4,5 d) x = 4

Fasit

2.26

8 4 a) x = , V.s. = h.s = 5 7 7 b) x = 9, V.s. = h.s. = 30 c) x = 12 eller x = -12, V.s. = h.s. = 440

2.39

2.40

2.41

4 2 6 8

eller eller eller eller

x x x x

= = = =

–4 –2 –6 –8

a) x b) x c) x d) x

= = = =

a) x b) x c) x d) x

7,87 eller x --7,87 3,08 eller x --3,08 = 11 eller x = --11 = 5,5 ellerx = --5,5

2.48

a) 6x = 42

b) Lengden er 14 cm, og bredden er 7 cm.

2.49

a) x – 23 = 71

b) x = 94

2.50

94 kr

2.51

Hanna: 29 karameller Herman: 18 karameller

2.52

Simen: 13 år Espen: 15 år Tone: 26 år

2.53

a) x < 6 b) x < 5

c) x < 10 d) x > 8

2.54

a) x < 5 b) x > 2,5

c) x < 6,5 d) x > --8

2.55

a) x < 6 b) x > 1

c) x < 6 d) x > 2,5

273

Fasit

Geometri 3.1

3.2

a) 540 b) 720

c) 1440

a) 69 b) 68

c) 104 d) 93

5 cm

10 cm b) 32 cm c) 50 cm2

ðn -- 2Þ 180

3.4

a) 120 b) 128,57

c) 135

a) 144 b) 150

c) 176,4

3.6

6 cm

3.3

3.5

274

3.11

3.12

D 8 cm

a) Omkrets: 18 cm Areal: 20 cm2 b) Omkrets: 18 cm Areal: 18 cm2 c) Omkrets: 18 cm Areal: 19,25 cm2

3.7

a) Omkrets: 36 m Areal: 80 m2 b) Omkrets: 74 cm Areal: 300 cm2 c) Omkrets: 42 dm Areal: 106,25 dm2

3.8

a) Areal: 180 km2 Omkrets: 54 km b) Areal: 3,75 km2 Omkrets: 8 km

3.9

a) 216 000 m2

3.10

a) Omkrets: 24 cm Areal: 24 cm2 b) Omkrets: 34 cm Areal: 50 cm2

b) 118 800 000 kr

6 cm

8 cm

b) 32 cm c) 48 cm2 3.13

a) Omkrets: 12 cm Areal: 6 cm2 b) Omkrets: 21 cm Areal: 21 cm2 c) Omkrets: 17,9 cm Areal: 14,625 cm2 d) Omkrets: 18,5 cm Areal: 15 cm2

3.14

a) 32 cm2 b) Arealet av begge trekantene: 16 cm2

3.15

6 m2 og 9 m2

3.16

Påstand E er riktig.

3.17

a) Omkrets: 24 cm Areal: 28 cm2 b) Omkrets: 20,5 cm Areal: 22 cm2 c) Omkrets: 17,5 cm Areal: 12,25 cm2

1: 140 m2 2: 240 m2 3: 185 m2

3.19

a) Omkrets: 18,84 cm Areal: 28,26 cm2 b) Omkrets: 6,28 cm Areal: 3,14 cm2 c) Omkrets: 12,56 cm Areal: 12,56 cm2 d) Omkrets: 31,4 cm Areal: 78,5 cm2

3.20

4: 180 m2 5: 200 m2 6: 270 m2

a) Omkrets: 25,12 cm Areal: 50,24 cm2 b) Omkrets: 18,84 m Areal: 28,26 m2 c) Omkrets: 78,5 cm Areal: 490,6 cm2 d) Omkrets: 15,7 mm Areal: 19,6 mm2 e) Omkrets: 78,5 dm Areal: 490,6 dm2 f ) Omkrets: 139,4 km Areal: 1547,5 km2

3.21

706,5 cm2

3.22

a) 373 m

3.23

48,4 m2

3.24

a) 6,28 cm2 b) 9,42 cm2

c) 3,14 cm2

3.25

a) 10,28 cm b) 13,42 cm

c) 7,14 cm

4,9 cm2 14,7 cm2

58,9 cm2

3.27

a) 6,4 cm

b) 10 cm

3.28

8,25 m

3.29

a) 6,3 m b) 6,4 km

3.30

10,7 m

b) 5549 m2

3.31

a) 3 cm b) 8 cm

c) 10,4 cm d) 6,5 cm

3.32

a) 7,5 m

b) 8,9 km

3.33

a) 4 cm2 b) 11,5 cm2

c) 12,5 cm2 d) 36 cm2

3.34

a) 21 500 m2

b) 86 000 m2

3.35

Fasit

3.18

90째

60째

45째

3.26

30째

c) 7,1 cm

275

1 Konstruerte A = 60 . 2 Avsatte 8 cm langs det venstre vinkelbeinet til punktet C. 3 Konstruerte C = 90 og fant B.

Fasit

3.36

15° c)

22,5° A

1 Avsatte AB = 8 cm. 2 Konstruerte 90 i A og 30 i B. 3 Punktet C ligger i skjæringspunktet mellom vinkelbeina.

75° d)

112,5° A

3.37

1 Konstruerte B = 60 2 Avsatte 9,5 cm langs det høyre vinkelbeinet til punktet C. 3 Konstruerte C = 52; 5 og fant A.

C 3.38

276

1 Avsatte AB = 10 cm. 2 Konstruerte 45 i A og 45 i B. 3 Punktet C ligger i skjæringspunktet mellom vinkelbeina.

c) 1 Konstruerte A = 90 . 2 Avsatte 6,5 cm langs det venstre vinkelbeinet til punktet C. 3 Konstruerte C = 60 og fant B.

3.39

7 cm

Fasit

3.43

c) 1 Konstruerte A = 45 . 2 Avsatte 8,5 cm langs det venstre vinkelbeinet til punktet C. 3 Konstruerte C = 45 og fant B. d) B = 90

a) Likesidet trekant b) 21 cm c) 21,22 cm2 3.44

3.40

D 5 cm

8 cm

7 cm a) 8,6 cm b) 20,6 cm c) 17,5 cm2

4,5 cm B

b) 9,2 cm c) 90 d) 6,5 cm e) 39,1 cm2

3.41

9 cm 3.45

5 cm

6 cm a) 6,7 cm b) 21,7 cm c) 20,1 cm2

60째 A

3.42

5 cm

9 cm

3.46

4 cm

8 cm

a) 8,9 cm b) 16 cm2

277

3.57

Nei, den er litt for bred i forhold til lengden.

3.58

a) Ja, det er et gyllent snitt b) Nei, det er ikke et gyllent snitt

Fasit

3.47

3.60 b)

8 cm

5 cm 3.48

3.61

En regulær femkant

Statistikk og sannsynlighetsregning 4.1 3.49 Svar

360 3.50

3.51

a) 360 b) 324 c) Nei. Vinkelsummen der hjørnene møtes må være 360 . Likesidete trekanter, kvadrater og regulære sekskanter.

3.53

F er et gyllent rektangel.

3.54

Togbilletten, fyrstikkesken og spillekortet er tilnærmet gylne rektangler.

3.55

3.56

Ca. 100 m

14 = 0,7 20

Nei

6 = 0,3 20

Frekvens

Relativ frekvens

Protein

28 = 0,28 100

Karbohydrater

24 = 0,24 100

Fettsyrer

11 = 0,11 100

Fett

20 = 0,20 100

Kostfiber

16 = 0,16 100

Natrium

1 = 0,01 100

4.2 Svar

Sum

278

Frekvens Relativ frekvens

100

4.3

4.5 Frekvens

Relativ frekvens

Svar

Frekvens

Relativ frekvens

Furu

30 = 0,30 100

20 = 80 % 25

Gran

35 = 0,35 100

Nei

4 = 16 % 25

Bjørk

10 = 0,10 100

Vet ikke

1 = 25

Ask

5 = 0,05 100

Sum

Eik

5 = 0,05 100

15 = 0,15 100

Andre sorter Sum

100

4.4

4.6

4% 100 %

a)b)

Karakter

Frekvens

Relativ frekvens

0 = 19

3 = 15,8 % 19

5 = 26,3 % 19

0 %

Svar

Frekvens

Relativ frekvens

Mår

3 = 0,15 20

5 = 26,3 % 19

Jerv

5 = 0,25 20

4 = 21,1 % 19

Bjørn

4 = 0,20 20

2 = 10,5 % 19

Gaupe

6 = 0,30 20

Sum

100 %

Ulv

2 = 0,10 20

Sum

Fasit

Svar

Registrering av rovdyr Frekvens 7 6 5 4 3 2 1 0

Mår

Jerv Bjørn Gaupe Ulv

279

Fasit

4.7

4.9

Bilmerke

Antall

Relativ frekvens

5 = 0,15 34

Volvo BMW Ford

Toyota Tesla Andre bilmerker Sum 4.8

6 = 0,18 34

Mercedes

Blod-type

3 = 0,09 34

a) Frekvens

Relativ frekvens

Gradtall til sektorene

12 = 0,48 25

0,48 360 = 172,8

10 = 0,40 25

0,40 360 = 144,0

1 = 0,04 25

0,04 360 = 14,4

2 = 0,08 25

0,08 360 = 28,8

4 = 0,12 34

AB B

5 = 0,15 34

Sum

3 = 0,09 34

8 = 0,24 34

HĂ¸yrebeint Venstrebeint Sum

B AB O A

Frekvens

Relativ frekvens

Gradtall til sektorene

15 = 0,75 20

0,75 360 = 270

5 = 0,25 20

360

Svar

0,25 360 = 90

c) 48 % 4.10

Nitrogen Oksygen Aron Andre gasser

360

Venstrebeint HĂ¸yrebeint

4.11

Kobber Sink Nikkel

280

4.19

4.15

Andre energikilder

c) 3 mål d) 60 %

Vannkraft

a) 46 mål b) Hanna

Kjernekraft

4.14

Gass

d) T: 34 kg F: 10 kg S: 26 kg M: 30 kg

40 35 30 25 20 15 10 5 0 Olje

a) 60 % b) 10 % c) 30 %

Fasit

Energiforbruk Forbruk (%)

Oppvarming Varmt vann Lys Matlaging Rengjøring

4.13

Kull

4.12

Norges dypeste innsjøer 0

Olje Kull Gass Kjernekraft Vannkraft Andre

-100 -200 -300 -400 Øvrevatn

Bandak

Salsvatnet

4.20

Temperatur (°C)

4.17

a) Ca. 6 C b) Ca. 6 C

c) 11. mai

4.18

a) 28

b) 28

20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 Jan Feb Mars Apr Mai Juni Juli Aug Sep Okt Nov Des

Mjøsa

Tinnsjø

Fyresvatn

Dybde im

Suldalsvatnet

-600

Hornindalsvatnet

-500

Bergen Karasjok b) Januar c) Juli d) 33,7 %

281

Fasit

4.21

4.23

Antall biler

Prosent av markedet

40 35 30 25 20 15 10 5 0

50 40 30 20 10 0 2004 God-is

Super-is

2005

2006

Best-is

Antall biler b)

60 50

Omsetning i millioner kr

2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

30 20 10 0 2004

4.22

2005

2004

2003

2002

2001

2000

1999

4.24

20 10 0 Bilbutikken

282

A.S. Vindel

Median: 16 Median: 250

4.26

a) X

b) Per

4.27

a) 1,38 timer b) 1

c) 1 d) 3

4.28

a) Gjennomsnitt: 45,1 Variasjonsbredde: 9 b) Gjennomsnitt: 1,72 Variasjonsbredde: 0,23 c) Gjennomsnitt: -0,1 Variasjonsbredde: 6,5

40 30

Median: 1,5

a) Median: 3,5 Typetall: 3 og 4 Variasjonsbredde: 1 b) Median: 3,9 Typetall: 3,9 Variasjonsbredde: 2,2 c) Median: 0,10 Typetall: 0,10 Variasjonsbredde: 0,1

Antall biler

a) Gjennomsnitt: 1,75 Typetall: 1 b) Gjennomsnitt: 15,8 Typetall: 16 c) Gjennomsnitt: 233,3 Typetall: 300

4.25 a) Diagrammet burde ha begynt p책 0 p책 andreaksen. b)

2005

a) Gjennomsnitt: 1,63 m b) Median: 1,60 m c) 1,60 m og 1,75 m d) 0,35 m

4.41

4.30

b) Medianen

4.42

4.31

a) Gjennomsnitt: 116,4 kr Median: 40 kr Typetall: 30 kr b) Medianen

4.32

a) Nei b) Median: 200 000 kr, Typetall: 200 000 kr c) Median

4.33

4.34

a) 2

b) 6

4.35

a) 4 b) 8

c) 1024

4.36

a) 36 b) 216

c) 1296

4.37

4.43

4.44

4.45

Forrett

1 52 1 b) 13

7 12 5 b) 12

1 3

1 2

c) 1

1 10 3 b) 10 a)

3 5 1 b) 2

2 5

2 3

Suppe

Hovedrett

Dessert

Pasta

Pizza

Frukt Sjokoladekake

4.38

60 840 000

4.39

1 6

b) 0,17 c) 17 %

1 a) 52

b) 0,019 c) 1,9 %

Kjøttboller

Frukt Sjokoladekake 4.46

b) 9

4.40

1 2 1 b) 2

Fasit

4.29

Frukt Sjokoladekake

1 a) Krone - krone, b) krone - mynt, 4 mynt - krone, 1 mynt - mynt c) 4

4.47

Gutt

Jente

Gutt

Jente

Sannsynligheten for å få én gutt og én jente 1 er : 2

283

Fasit

4.48

Gutt

Jente

Gutt

Jente

Jente Gutt

Gutt

Jente Gutt

Jente

Jente Gutt

Jente

1 Sannsynligheten for 책 f책 minst to jenter er . 2 4.49

1. kast

M M

2. kast 3. kast

4. kast M

4.50

284

K K M

M K M

K K M

M K M

K K M

M K M

K K M

b) 16

4.54

0,0028

1 16

4.55

3 8 4.56

1 7776

4.57

0,0000001859 eller

1 12 1 18

4.51

4.52

1 1000

4.53

9 25 6 b) 25

b) 0,056 c) 5,6 %

4 25

1 216

1 5 379 616

b) 0,00463 c) 0,463 %

5040 = 27113264640

4.58

Utsagn B er riktig.

4.59

Utsagnene A og C er riktige.

4.60

Utsagn A er riktig.

5.1

5.2

5.3

Sikre: a, d og e Usikre: b og c a) b) c) Sikre: 217,102, 115, 2850,50, 65,5 Usikre: 09.00, 14.15, 87, 5,26, 1,76, 100, 12,2 a) Til nærmeste gram b) Varierer, men nærmeste tidels gram er vanlig

5.16

a) 1 : 1000 b) 1 : 1 000 000 c) 1 : 25 000 000

5.17

a) 1 : 5 000 000 b) 1 : 1 000 000

c) 1 : 820 000

5.18

a) 3 : 1

b) 2 : 1

5.19

1:8

5.20

a) 40 cm3 b) 100 cm3

c) 200 cm3 d) 700 cm3

5.21

a) 12 cm2

b) 36 cm3

5.22

a) 96 cm3 b) 30 cm3

c) 32 cm3

b)19,5 cm

Fasit

Måling og beregninger

5.4

a) linjal

5.5

a) 55 mm, 62 mm og 49 mm b) Det kan være unøyaktighet både i måling og i klipping. Trekanten må konstrueres.

5.23

336 cm3

5.24

a) 52 cm2 b) 142 cm2

5.6

Både måling av veistrekning og tidtaking er unøyaktige.

5.25

132 cm2

5.7

ca. 0,3 mm

5.26

40 dm2

5.8

a) 1,5 cm b) 1,5 cm

5.27

a) Begge rommer 64 cm3 b) 96 cm2 og 112 cm2 c) Samme volum, men ulik overflate

5.28

c) 8,75 mm d) 1 cm

5.9

C 5 cm A

c) 412 cm2

4 cm 8 cm

5 cm

5.10

8 000 000 : 1

5.11

a) Ca. 40 cm b) Ca. 55 cm

c) Ca. 24 m

5.12

a) 400 km b) 200 km

c) 150 km

5.13

4 km

5.14

40 cm og 100 cm

5.15

a) 3 : 1 b) 20 : 1

2 cm

b) 10 cm3 c) 38,14 cm2 c) 10 000 : 1

5.29

a) 50,24 cm3 b) 100,48 cm3

c) 235,5 cm3

285

a) 314 cm2 b) 3768 cm3

c) 3,768 dm3

5.31

a) 452,16 cm2

b) 2,26 liter

5.32

a) 56,52 m3

b) 56 520 liter

5.33

a) 9420 cm3

b) 9,42 liter

Fasit

5.30

5.34

30 144 cm = 30,1 dm

c) 251,2 cm2

5.36

a) 50,24 cm2

b) 251,2 cm2

5.37

a) 12,56 cm2

b) 87,92 cm2

5.38

12 952,5 cm2

5.39

a) 125,6 dm3

5.40

79,62 cm

6.2

–5 –4 –3 –2 –1 –1 A –2 –3 –4 –5

6.3

286

E 1 2 3 4 5 6 x

–5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 D –4 –5

1 2 3 4 5 6 x B

a) A(–2, –1) B(6, 0) C(4, 5) D(–2, 6) b) (2, 3)

a) b)

b) 251,2 dm2

P(1, 2) Q(6, –2) R(–4, 0) S(–3, –2)

5 4 3 2 1

6.5

Funksjoner 6.1

y 7 F 6 A 5 4 3 2 1

a) 75,36 cm2 b) 150,72 cm2

5.35

6.4

6 5 4 3 2 1

A B –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 x –1 C D –2 –3 –4 –5 c) Kvadrat

6.6

a) b)

M –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5

a) u = 95x + 58

6.14

a) 36 kr b) y er en funksjon av x fordi hver verdi av x gir én verdi av y. c)

S N

b) 533 kr

x-kg

y-pris

Fasit

6 5 4 3 2 1

6.13

1 2 3 4 5 6 x d)

Kroner 70 60 50

d) S(1, 2)

40 6.7

(0, 6)

6.8

a) 54 km b) 72 km c) y = 18x d) 45 km

e) y er en funksjon av x fordi hver verdi av x gir én verdi av y.

a) 77,50 kr b) p = 15,50x c) 310 kr

d) p er en funksjon av x fordi hver verdi av x gir én verdi av p.

6.9

6.10

a) 1) 1990 kr c) y er en funksjon av x fordi hver 2) 2388 kr verdi av x gir én b) Utgiftene etter verdi av y. to år

20 10 0 0

6.15

5 Antall kg

a) 120 km b) y er en funksjon av x fordi hver verdi av x gir én verdi av y. c) d)

Kilometer 350 300

6.11

6.12

a) 31,4 cm b) 47,1 cm

c) O er en funksjon av d fordi hver verdi av d gir én verdi av O.

250 200 150 100 50

a) 330 kr b)

0 0

x-billetter y-pris

5 Timer

e) 3,5 timer

110 220 330 440 550 660 c) y er en funksjon av x fordi hver verdi av x gir én verdi av y.

287

Fasit

6.16

a) 80 kr b) y er en funksjon av x fordi hver verdi av x gir én verdi av y. c) x-euro

y-kroner

120

160

200

240

280

320

360

400

6.18

Norske kroner 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

a) x

–3

–2

–1

–9

–6

–3

b) (–3, –9), (–2, –6), (–1, –3), (0, 0), (1, 3) og (2,6) c) 6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Euro

4 3

e) 176 kr f ) 34 euro 6.17

2 1 0 –3 –2 –1 0 –1

Kroner 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

b) 249 kr c) 15,2 MB

288

30 MB

2 x

6.19

6.21 –2

–1

–2

–4

–6

9 7 6 5 4

y 4

1 0 –3 –2 –1 0 –1

1 –3 –2 –1 0 –1

b) (–2, 4), (–1, 2), (0, 0), (1, –2), (2, –4), (3, –6) c)

Fasit

3 x

–2 –3

–2

–4

–3 –4 6.22

–5

a) y = 3x

b) y = –3x

-6

Økonomi 6.20

4 3

7.1

a) 0,015 b) 0,025

c) 0,045 d) 0,83

7.2

a) 0,015 b) 0,025

c) 0,045 d) 0,83

7.3

a) De er like b) 1 % er det samme som 10 ‰

7.4

a) 3 g b) 30 g c) 300 kr

7.5

600 g

7.6

20,75 g

7.7

a) 125 g b) 3,75 kg

c) 40 kg

7.8

a) 36 ‰ b) 56 ‰

c) 75 ‰ d) 925 ‰

7.9

a) 36 % b) 56 %

c) 75 % d) 925 %

2 1 0 –3 –2 –1 0 –1

3 x

–2 –3 –4

d) 20 kr e) 100 g f ) 166 g

–5

289

Fasit

290

7.10

a) 20 â&#x20AC;°

7.11

a) 30 ganger mer b) Middelhavet

7.12

6 kg

7.13

375 kr

7.14

1725 kr

7.15

18 750 kr

7.16

a) 2750 kr

7.17

2500 kr

7.18

6375 kr

7.19

7650 kr

7.20

a) 1500 kr

7.21

1920 kr

7.22

a) 595 kr b) 450 kr

7.23

4600 kr

7.24

a) 17 500 kr

7.25

1860 kr

7.26

1501 kr

7.27

a) 1000 kr

7.28

b) 2 %

7.31

100 kr

7.32

10 400 kr

7.33

7.34

a) 2640 kr b) 14 640 kr

c) 1920 kr d) 9920 kr

7.35

a) 9000 kr b) 120 000 kr

c) 7200 kr

7.36

190 dager

7.37

318 dager

7.38

290 dager

7.39

326 dager

7.40

19. november

7.41

a) 0,27 kr b) 63 kr

c) 5063 kr

7.42

a) 532,60 kr

b) 54 532,60 kr

7.43

a) 240 dager

b) 16 438,50 kr

7.44

313 833 kr

7.45

a) 5160 kr

b) 460 kr

7.46

a) 19 020 kr b) 24 117,36 kr

c) 5451 kr

7.47

15 912 kr

127,5 kr

7.48

a) 2820 kr

7.29

800 kr

7.49

7.30

a) B

b) 2832,5 kr

b) 12,5 %

c) 630 kr d) 562,5 kr

b) 7 %

b) 20 %

b) 12,5 %

b) 3720 kr

A addere med x 49 algebraiske uttrykk 38, 63 andreakse 202 andrekoordinat 202 antall observasjoner 170 areal av grunnflate i rett firkantet prisme 186 av mangekant 119 av overflaten til prisme 188 av parallellogram 75 av rektangel 72 av sirkel 84, 85, 120 av sylinder 190, 193 av trapes 80 av trekant 78 avbetaling 246, 253 avslag 236 B beregning av hypotenus 89 beregning av katet 92 bokstavledd 43 bokstavuttrykk 38, 63 bokstavuttrykk og parenteser 63 bokstavuttrykk, regning med 42, 63 bokstavuttrykk, sette tall inn i 41, 63 brøk 128 C celle formatere 266 skrive formel 263 legge inn tall eller tekst 258 merke enkeltceller 259 slå sammen 262 summere flere etter hverandre 270 D data, sortere 268 desimaler, justere antall 267 desimaltall 128 det gylne rektangel 107, 121 det gylne snitt 107, 121 det gylne triangel 111 diagram, kritisk bruk 140 diagramveiviser 275 dividere to negative tall 21 divisjon av potenser 9

Stikkord

Stikkord E eksklusiv merverdiavgift 231, 253 eksponent 8 F femkant 71 figur 121 figurtall 27 firkant, vinkelsum 69 forhold 23, 35 forhold, regning med 25 forholdet mellom to tall 23 formatere celle 266 formel 207 til en funksjon 285 kopiere til flere celler etter hverandre 269 låse innholdet til en celle 271 forminskning 179, 182 forstørring 177, 182 fortegnstall, regning med 35 frekvens 124, 169 frekvens, relativ 124, 128, 169 frekvenstabell 124 funksjon 207, 222 graf 211, 223 vise trendlinje og formel 285 y = a . x, graf 281 funksjonsuttrykk 207 førsteakse 202 førstekoordinat 202 G geometri i natur og kunst 102 gjennomsnitt 143, 170 gjennomsnittsverdi 143 graf til funksjonen y = a . x 281 grafen til en funksjon 211, 223 grunntall 8 gylne rektangel 107, 121 gylne snitt 107, 121 gylne triangel 111, 112 H halvering av vinkel 96, 120 hjelpefigur 97 hypotenus 88 beregning av 89

291

Stikkord

I inklusiv merverdiavgift 231, 253 J justere antall desimaler 267 justere kolonnebredde 261 K kakediagram 130 kalkulator 255 katet, beregning av 92 kateter 88 kolonne legge til eller fjerne 261 merke 260 kolonnebredde, justere 261 kongruent 185 konstruksjon 96, 120 konstruksjon av 60º 96, 120 konstruksjon av 90º 120 koordinat 222 koordinatsystem 202, 222 kopiere formler til flere celler etter hverandre 269 kopiere og flytte tekst eller tall 267 kredittkort 246, 253 kritisk bruk av diagram 140 kvadratisk likning 52, 64 kvadratrot 18, 34, 256 kvadrattall 16, 18, 34 L legge til eller fjerne kolonne 261 legge til eller fjerne rad 262 legge til et negativt tall 20 likning 47, 64 likninger, sette prøve på 54, 65 linjediagram 170, 275, 276 låse innholdet i en formel til en celle 271 M mangekant 68 areal 119 omkrets 119 regulær 70, 104, 119 vinkelsum 119 median 143, 171 merke en kolonne 260 merke en rad 260 merke enkeltceller 259 merke et område 259 merverdiavgift 231, 253 merverdiavgift, eksklusiv 231, 253 merverdiavgift, inklusiv 231, 253

292

middelverdi 143 midtnormal 120 mindre enn 57, 65 minne 257 moms 231 multiplikasjon av potenser 9 multiplisere et positivt tall og et negativt tall 21 multiplisere med x 50 multiplisere to negative tall 21 mønster 121 regulært 104, 121 semiregulært 104, 121 måleinstrument 174 målenøyaktighet 174 målestokk 177, 199 målestokk, å finne 182 måling 174 N natur og kunst, geometri 102 nedfelling av normal 96, 120 negativt tall, legge til 20 negativt tall, trekke fra 20 normal i et punkt 96 normal, nedfelle 96 O observasjon 169 antall 170 summen av 170 omkrets av mangekant 119 av parallellogram 75 av rektangel 72 av sirkel 84, 85, 120 av trapes 80 av trekant 78 område, merke 261 overflate av prisme 199 P parallellogram 75, 119 areal 75 omkrets 75 parenteser og bokstavuttrykk 45 pentagon 111 potens 8, 34 med 10 som grunntall 11 multiplikasjon og divisjon 9 potenser og bokstavuttrykk 44 potensform 8

R rabatt 234, 253 rad legge til eller fjerne 262 merke 260 regneart, flere på en gang 255 regning med bokstavuttrykk 42, 63 regning med forhold 25 regning med fortegnstall 20, 35 regulær mangekant 70, 104, 119 regulært mønster 104, 121 rektangel 72, 119 relativ frekvens 124, 128, 169 relativ frekvens og prosent 169 rente 253 rente for deler av et år 244 rentedag 241, 253 rentefot 239 renteregning 239 rettvinklet trekant 88 S sannsynlighet 151, 171 ved flere utfall 171 finn ved hjelp av multiplikasjon 158 like stor hver gang? 162 sektordiagram 130, 169, 278 semiregulært mønster 104, 121 sentralmål 143 velge det beste 146 sette inn tall i bokstavuttrykk 63 sette prøve på likninger 54, 65 sette tall inn i bokstavuttrykk 41 sirkel 84, 85, 120 sirkelsektor 130 skrive formel i celle 263 slå sammen celler 262 sortere data 268 standardform 13, 14

standardform, tall 34 stolpediagram 135, 170, 271 større enn 57, 65 subtrahere med x 49 summen av alle observasjoner 170 summere flere celler etter hverandre 270 sylinder 190, 193 søylediagram 135, 170, 271

Stikkord

prisme areal av grunnflate i rett firkantet 186 areal av overflate 188 overflate 199 rett firkantet 185 volum 185, 199 volum av rett firkantet 186 pristillegg 246 problemløsning og likninger 55 promille 226, 253 promille, finne 228 prosent 128, 226, 256 Pytagoras 88 Pytagoras-setningen 88, 120

T tall på standardform 13, 34 tallrekker 27 talluttrykk 38 tessellere 106 tierpotens 13 tilbud 236 trapes 80, 119 trediagram 155 trekant 77, 119 rettvinklet 88 vinkelsum 68 trekanttall 27, 35 trekke fra et negativt tall 20 trendlinje til en funksjon 285 typetall 143, 171 U ulikhet 57, 65 utfall antall mulige 148, 152 gunstig 152 V valgtre 148 variasjonsbredde 143, 143, 171 vinkel, halvering 96, 120 vinkelsum i firkant 69 i mangekant 119 i trekant 68 av prisme 185, 199 av rett firkantet prisme 186 volum av prisme 185, 199 av sylinder 190 av rett firkantet 186

293

Fotografier Getty Images / Thinkstock: Pixland s. 12, angorius s. 26, Ron Chapple studios s. 31, Sdenisov s. 32, Michael Hoerichs s. 39, foodandstyle s. 56, bhofack2 s. 59, vnlit s. 61n, master-garry s. 62v, ppart s. 62h, Ingram Publishing s. 71, iggy1965 s. 80h, graletta s. 80m, pptad s. 80v, John Fox s. 102øv, Purestock s. 102mv, Eyescatch side 102mh, Borisb17 s. 102nv, Thinkstock images (blad) s. 102 mh, allocricetulus s. 103øv, Alan Crawford s. 103 øh, Ryan McVay s. 103m, MarcelC s. 103nv, Alexander Bryljaev s. 103nh, saico3p s. 111n, Thinkstock images s. 112v, rafiqelmansy s. 115, 3drenderings s. 153ø, Aaron Amat zaragoza s. 153n, Mikko Pitkanen s. 161, metrocom s.174øv, Tsirosnik s. 174øh/nv, Tugio Murata s. 174nh, Zedor Wholly Owned PhotoObjects s. 187, Oleksiy Mark s. 209, sodapix s. 221, scubaluna s. 227, Jeremy s. 233, Nerthuz s. 238, Top Photo Group s. 240, Fuse s. 241, scanrail s. 246, Yasushi Akimoto s. 247, Nanisimova s. 252 GVPress: Index Stock Imagery s. 13, Science Photo Library , Detlev van Ravenswaay s. 14, Science Photo Library s. 61ø, 118, 177, Photo Researchers s. 112h, Russel Kightley/SPL s. 178, Bruno Morandi s. 214 NTB scanpix: AP s. 15, Svein Grønvold s. 19, Fredrik Varfjell s. 74, Morten Holm s. 87, Bettmann/Corbis s. 88, Historical Picture Archive/Corbis s. 95, Alinari Archives/Corbis s. 101, Jim Winkley/Ecoscene s. 111ø, Fredrik Neuman s. 116, Tom Schandy/NN s. 127, Helge Sunde s. 137, Paul Kleiven s. 139, Olav Olsen/ Aftenposten s. 179n, Maurizio Gambarini/dpa/Corbis s. 180, Johannes Haugan/NN s. 184ø, Ove Bergersen/NN s. 184n, 197, AP Photo/The Weinstein Company s. 210, NRKP2 s. 228, Heinz TschanzHofmann/AGE(RM) s. 248, Tore Wuttudal/Samfoto s. 251

© CAPPELEN DAMM AS, 2014 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Faktor dekker alle målene i Kunnskapsløftet etter revidert plan 2013 i faget matematikk og er lagd til bruk på grunnskolens ungdomstrinn. Illustratør: Line Jerner Grafisk formgiving, tilrettelegging og ombrekking: AIT Oslo AS Omslagsfoto: Hanna Kristin Hjardar Forlagsredaktør: Berit Rogstad Bilderedaktører: Espen Skovdahl/Berit Rogstad Trykking/innbinding: Livonia Print SIA, Latvia 2015 Utgave 1 Opplag 2 ISBN 978-82-02-45663-4 cdu.no faktor.cdu.no

Faktor Komponenter på 8.–10. trinn: Grunnbok Oppgavebok Alternativ oppgavebok Lærerens bok Nettsted (faktor.cdu.no) Tilleggskomponenter: Fordypningshefte Eksamensforberedende hefte Regelhefte Digital versjon av grunnboka (tavlebok) Til øving av grunnleggende ferdigheter: Temahefter Faktorama (nettsted)